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Verifica delle sovratensioni di manovra in cavi AAT tramite algoritmi innovativi basati sull'antitrasformata di Laplace

In questa tesi vengono presentati tre metodi self-made per analizzare le sovratensioni di manovra in cavi AAT: essi utilizzano nuove tecniche di antitrasformazione di funzioni nel dominio di Laplace. La verifica è effettuata mediante il software EMTP-RV. Il loro utilizzo trova applicazione come strumento di calcolo, di controllo su altre simulazioni o per future implementazioni, come analisi multiconduttore o lo sviluppo di una formula di sovratensione massima.

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Tesi di Laurea, Università degli Studi di Padova, Anno Accademico 2012- 2013

Pubblicato
da Alessia De Giosa
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Estratto del testo
Universit` a degli Studi di Padova DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA INDUSTRIALE Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Elettrica Tesi di Laurea Magistrale Verifica delle sovratensioni di manovra in cavi AAT mediante algoritmi innovativi basati sull''antitrasformata di Laplace Laureando:
Davide Pietribiasi Relatore:
Ch.mo Prof. Roberto Benato Dipartimento di Ingegneria Industriale Anno Accademico 2012-2013 Indi e 1 In tro duzione: il problem a delle so vratensioni nelle linee in a v o 9 2 Propagazione d'onda nelle linee elettri he 11 2.1 Le equazioni di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1 Ip otesi fondamen tali di la v oro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2 P arametri di linea aratteristi i: imp edenza d'onda, imp edenza aratte- risti a e ostan te di propaga z io ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.3 Il regime v ariabile in una linea di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Equazioni p er linea in a v o non omp ensata alimen tata da generator e non ideale di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Equazioni p er linea in a v o omp ensata alimen tata da generator e non ideale di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Mo dello della linea 21 3.1 Dati te ni i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Cal olo delle ostan ti hilometri he . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2.1 Resistenza hilometri a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.2 Induttanze hilometri he . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.3 Capa ità hilometri a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.4 Imp edenza d'onda, imp edenza aratteristi a e ostan te di propaga z io ne 28 3.3 Mo dello della linea in EMTP-R V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3.1 Creazione del mo dello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3.2 V eri a del mo dello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4 Meto do Ghizzetti - Ossi ini 35 4.1 Riassun to del meto do matemati o Ghizzetti - Ossi ini . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2 Cal olo dei p oli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2.1 Caso ideale - non omp ensato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2.2 Caso ideale - omp ensato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2.3 Riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3 Cal olo dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3.1 Caso ideale - non omp ensato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3.2 Caso ideale - omp ensato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5 Meto do on approssim azione di T a ylor 45 5.1 Riassun to del meto do matemati o on approssima z io ne di T a ylor . . . . . . . . 45 5.2 Cal olo dei p oli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.2.1 Caso ideale - non omp ensato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.2.2 Caso ideale - omp ensato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.3 Cal olo dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.3.1 Caso ideale - non omp ensato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.3.2 Caso ideale - omp ensato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6 Meto do Benato 51 3 6.1 Matri i di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.1.1 Matri e di trasmissione della linea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.1.2 Matri e di trasmissione dell'imp edenza del generator e equiv alen te . . . . 53 6.1.3 Matri e di trasmissione dello sh un t rea tor . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.1.4 P arallelo di doppi bip oli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.2 An titrasformazione omputazionale della matri e di trasmissione . . . . . . . . 55 7 V eri a dei mo de l l i on EMTP 57 7.1 V eri a del meto do Ghizzetti - Ossi ini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7.1.1 Linea non omp ensata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7.1.2 Linea omp ensata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 7.2 V eri a del meto do on approssima z io ne di T a ylor . . . . . . . . . . . . . . . . 63 7.2.1 Linea non omp ensata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 7.2.2 Linea omp ensata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 7.3 V eri a del meto do Benato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 7.3.1 Linea non omp ensata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 7.3.2 Linea omp ensata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 7.4 Prestazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 8 F orm ula approssim ata p er il al olo delle so vratensioni di mano vra 77 8.1 Cal olo della form ula approssima ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 8.2 V eri a della form ula approssima ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8.2.1 V eri a on T e P esatti, µ esatta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8.2.2 V eri a on T e P approssima ti, µ esatta . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 8.2.3 V eri a on T e P approssima ti, µ approssima ta . . . . . . . . . . . . . 82 9 Con lusioni 85 10 Ringraziamen ti 87 Riferim e n ti bibliog ra i 88 App endi e A: Ri hiam i di analisi omple s s a 91 A.1 Deriv ata omplessa e rappresen tazio ni in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 A.2 Classi di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 A.3 Pun ti singolar i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 A.4 T eorema dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 App endi e B: T rasformata e an titrasformata di Lapla e 95 B.1 T rasforma ta di Lapla e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 B.2 An titrasformata di Lapla e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 B.2.1 An titrasformazione di funzioni razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 B.2.2 An titrasformazione di funzioni non razionali . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4 Elen o delle gure 2.1 S hema monofase equiv alen te di una linea a ostan ti distribuite . . . . . . . . . 14 2.2 S hema monofase equiv alen te di una linea in a v o non omp ensata . . . . . . . 17 2.3 S hema monofase equiv alen te di una linea in a v o omp ensata . . . . . . . . . . 18 3.1 Geometria del a v o XLPE 2500 mm2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 P osa dei a vi in doppia terna, spaziatura s = 0.35 m , profondità h = 1.45 m . . 22 3.3 Cir uito in EMTP della linea in a v o senza omp ensazione reattiv a (solo le prime 3 ma jor se tion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4 Cir uito in EMTP della linea in a v o on omp ensazione reattiv a (solo le prime 3 ma jor se tion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.1 Cal olo gra o dei p oli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2 Diagramma riassun tiv o del meto do p er il al olo dei p oli . . . . . . . . . . . . . 39 5.1 Mo dulo del denominatore D(s) di Va(s) in funzione della parte immaginaria di s e parametrizza to p er al uni v alori della parte reale di s , nel aso esatto ed approssima to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.1 Rappresen tazione di una linea ome as ata di due doppi bip oli a parametri on en trati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.2 Imp edenza serie equiv alen te all'imp edenza della rete di alimen tazione . . . . . . 54 6.3 Ammettenza parallelo equiv alen te all'ammettenza del reattore di omp ensazione 54 7.1 T ransitorio di hiusura nei primi 20 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , non omp ensata, d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do Ghizzetti - Ossi ini e EMTP . . . . . . . . . 58 7.2 T ransitorio di hiusura nei primi 5 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , non omp ensata, d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do Ghizzetti - Ossi ini e EMTP . . . . . . . . . . . . . . . 59 7.3 T ransitorio di hiusura nei primi 20 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , omp ensata on ξ = 0.55 , d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do Ghizzetti - Ossi ini e EMTP . . . . . . 61 7.4 T ransitorio di hiusura nei primi 5 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , omp ensata on ξ = 0.55 , d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do Ghizzetti - Ossi ini e EMTP . . . . . . 62 7.5 T ransitorio di hiusura nei primi 20 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , non omp ensata, d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do on approssima z io ne di T a ylor e EMTP . . . 64 7.6 T ransitorio di hiusura nei primi 5 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , non omp ensata, d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do on approssima z io ne di T a ylor e EMTP . . . . . . . . . 65 7.7 T ransitorio di hiusura nei primi 20 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , omp ensata on ξ = 0.55 , d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do on approssima z io ne di T a ylor e EMTP 66 7.8 T ransitorio di hiusura nei primi 5 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , omp ensata on ξ = 0.55 , d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do on approssima z io ne di T a ylor e EMTP 67 5 7.9 T ransitorio di hiusura nei primi 20 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , non omp ensata, d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do on approssima z io ne Benato e EMTP . . . . 68 7.10 T ransitorio di hiusura nei primi 5 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , non omp ensata, d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do Benato e EMTP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.11 T ransitorio di hiusura nei primi 20 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , omp ensata on ξ = 0.55 , d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do on approssima z io ne Benato e EMTP . 70 7.12 T ransitorio di hiusura nei primi 5 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , omp ensata on ξ = 0.55 , d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do Benato e EMTP . . . . . . . . . . . . . 71 8.1 T ensione all'arriv o esatta, somma del termine p ermanen te e transitorio , e ten- sione all'arriv o approssima ta , somma del termine lineare e transitorio . . . . . . 78 8.2 Cir onferenza goniometri a in ui sono evidenziati i due pun ti stazionari tmin e tmax , di v alore div erso ma il ui seno, he ann ulla la deriv ata della funzione, oin ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.3 Confron to tra la form ula approssima ta e il meto do Ghizzetti - Ossi ini, utiliz- zando i termini T e P esatti e µ al olata n umeri amen te . . . . . . . . . . . . 81 8.4 Confron to tra la form ula approssima ta e il meto do Ghizzetti - Ossi ini, utiliz- zando l'approssimaz io ne a ''1 del rapp orto tra i termini T e P e µ al olata n umeri amen te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 8.5 Confron to tra la form ula approssima ta e il meto do Ghizzetti - Ossi ini, utiliz- zando l'approssimaz io ne a ''1 del rapp orto tra i termini T e P e µ al olata analiti amen te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 B.1 P oli si all'in terno del dominio D , in azzurro ; in grass e tto, una urv a appartenen- te alla su essione Cn , on estremi in x0 ± ıyn e il relativ o segmen to di as issa x0 ed estremi ±ıyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6 Elen o delle tab elle 1 Dati geometri i del a v o studiato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 P arametri del a v o studiato p er p osa in terrata on spaziature s = 0.35 m a profondità p = 1.45 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Confron to fra parametri al olati analiti amen te e in EMTP . . . . . . . . . . . 34 4 Primo elemen to A della matri e di trasmissione T , equiv alen te alla serie di n matri i T'' , al olato p er div ersi v alori di n on Matlab. . . . . . . . . . . . . . 53 5 Confron to tra le prestazioni dei meto di e EMTP . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6 T rasforma te notev oli di Lapla e nei asi più sempli i . . . . . . . . . . . . . . . 96 7 8 1 In tro duzione: il problema delle so vratensioni nelle linee in a v o Confermando una tendenza ormai onsolidata negli anni, molti studi attestano il progres s iv o abbandono delle realizzazio ni di n uo v e linee aeree [1 ''. Le ause sono moltepli i: impatto visiv o, so iale ed am bien tale, emissioni elettromagneti he, o upazione del suolo e relativ a sv alutazione delle zone ir ostan ti, disturbi radio e sonori. Una p ossibile soluzione è p otenziare la apa ità di trasmissione su linee esisten ti, sostituen- do i v e hi onduttori alluminio - a iaio (A CSR) on n uo vi onduttori a maggior p ortata in materiale omp osito High T emp erature Lo w Sag (HTLS; in ommer io attualmen te si tro v a- no le tip ologie A CCC e A CCR [2 ''). Appare om unque un'alternativ a non molto utilizzata, p er hé appli abile alle sole linee esisten ti e soprattutto p er hé l'aumen to di p otenza trasmessa oltre alla p otenza naturale può a vv enire solo p er linee relativ amen te orte. Le riti ità he l'ev oluzione del sistema elettri o a liv ello italiano ed europ eo sta p onendo (generazione distri- buita, in tegrazione fon ti in termitten ti, relazione on il mer ato lib eralizzato della generazio ne) impli ano di fatto l'in v estimen to in n uo v a apa ità di trasmissione, sp esso ottenibile solo on la ostruzione di linee strategi he ex-no v o. Le v alutazioni in merito, sp e ie in am bito italiano, p ossono p ortare gli in v estimen ti v erso le linee in a v o, meno impattan ti dal pun to di vista am bien tale, an he in termini di dequali azione del territorio ir ostan te, e ad a ettazione so iale maggior e , on onseguen ti minori tempi autorizzativi e di realizzazio ne [3 ''. Appare an he on v enien te omin iare a piani are la realizzazio ne di op ere infrastrutturali ongiun te, ome nel aso di gallerie ferro viar ie, autostradali o della rete gas; div ersi studi sono già stati fatti in merito: essi prendono in onsiderazio ne oltre ai a vi le an or p o o diuse Gas Insulated Lines (GIL) [4 '' [5 ''. Stan te la situazione, l'in teresse della ri er a si è sp ostato v erso lo studio in tensiv o delle linee in a v o, dalla loro realizzazio ne alla messa in eser izio. Riv este parti olar e imp ortanza l'analisi delle so vratensio ni, sia di origine esterna he in terna: l'isolamen to dei a vi, in quan to solido, non è autoripristinan te ed è dunque fondamen tale prev edere on su ien te hiarezza he solle itazioni si tro v erà a sopp ortar e in base alle ondizioni di funzionamen to. Il grupp o pado v ano di ri er a sui Sistemi Elettri i p er l'Energia ha pro dotto negli ultimi anni div erse analisi a riguardo , an he nel aso sempre più diuso di linee miste aerea - a v o [6 '' [7 ''. Con il la v oro attuale, si vuole partire da do v e questi la v ori si erano fermati e er are di denire n uo vi meto di e pro edure self - made p er analizzare le so vratensio ni di origine in terna; tra i v ari tipi di so vratensio ne, i si on en trerà sull'energizzazio ne di una linea a vuoto, ev en to sempre imp ortan te nella messa in servizio di un sistema elettri o. Non v erranno onsiderati i asi di so vratensio ni generate da ap erture della linea o di ri hiusure su linee an ora energizzate. Le pro edure saranno realizzate median te il soft w are Matlab e v alidate on delle sim ulazioni ondotte on il soft w are ommer iale EMTP . Di seguito si des riv e brev emen te la struttura del la v oro : ' nella prima parte ( apitolo 2) v erranno ri hiamate e riassun te le equazioni p er la propa- gazione delle onde nelle linee elettri he, parti olar iz z a ndo le nel aso sp e i o in esame; 9 ' nella se onda ( apitolo 3) v errà des ritto il sistema in esame e se ne ri a v erà il mo dello elettri o, sia da inserire in Matlab he in EMTP; ' nelle su essiv e tre parti ( apitoli 4, 5 e 6) v erranno dettagliatamen te des ritti i meto di ideati e implemen tati, dalla genesi alla form ulazione nale; ' nella sesta parte ( apitolo 7) si prop orr à il onfron to tra i tre meto di inno v ativi e i risultati di EMTP , p er v alutarne le prestazioni e la orrettezza; ' nella settima parte ( apitolo 8) v errà inne presen tata una form ula approssima ta p er il al olo della so vratensio ne massima di hiusura di una linea in a v o, ri a v ata da uno dei tre meto di; ' nella parte nale ( apitolo 9) si on luderà il la v oro des riv endo brev emen te quan to s op erto. 10 2 Propagazione d'onda nelle linee elettri he 2.1 Le equazioni di trasmissi one Nel amp o della trasmissione le equazioni di trasmissione o dei telegrasti sono b en note ed esaurien temen te trattate in molti testi, tra ui [8 '' e [9 ''. Esse sono solitamen te ri a v ate p er linee trifase in regime sin usoidale equilibrato: v ogliamo qui dimostrare he si p ossono ri a v ar e in egual mo do p er un qualsiv og lia regime elettri o ed in parti olar e p er i a vi in terrati. 2.1.1 Ip otesi fondamen tali di la v oro Un'analisi he tenga on to della linea trifase nel suo insieme, in ludendo quindi gli eetti delle disimmetrie e di altri onduttori ir ostan ti ( ome gli s hermi), ne essita di un appro io m ulti onduttore (si v eda a tal prop osito il la v oro in [10 ''). La nostra analisi vuole in v e e esser più sempli e e partirà da delle basi he p ermettano di tras urar e questi eetti; in parti olar e si supp orrà he: 1. la line a sia p erfettamente simmetri a, 2. non vi siano orr enti ir olanti ne gli s hermi , 3. siano pr esenti solo omp onenti di orr ente al la se quenza dir etta. Si v edrà al apitolo 3.2 in quali asi queste sempli azioni siano da ritenersi v alide. Solamen te sotto queste ip otesi è le ito: ' attribuir e a o gni singola fase un e guale valor e dei p ar ametri d'eser izi o ( onseguenza del- l'ip otesi 1); questo è logi o data l'ip otizzata simmetria della linea, he letta in altro mo do garan tis e un uguale omp ortamen to p er ogni fase 1 ; una trattazione più approfondita si può tro v are in [11 ''; ' tr as ur ar e l'a op p i a mento magneti o fase - s hermo ( onseguenza dell'ip otesi 2); visto he gli s hermi non sono p er orsi da orren ti non esiste nessuna in terazione magneti a on altri onduttori e p er il al olo delle grandezze elettri he della linea e dei parametri hilometri i si può pro edere ome se gli s hermi fossero assen ti; ' ri avar e i valori ttizi di auto e mutua induzione p er l'insieme di fasi ( onseguenza dell'ip otesi 3); una trattazione sin teti a, ma hiara e ompleta, dei o e ien ti ttizi di induzione di una linea è presen te in [11 ''; ' tr as ur ar e la r esistenza de gli s hermi ( onseguenza dell'ip otesi 2); ' tr as ur ar e la r esistenza del ritorno attr averso terr a ( onseguenza dell'ip otesi 3). Ora e solo ora è p ossibile ri ondursi dal ir uito trifase ad un ir uito monofase equiv alen te alla sequenza diretta: da questo ir uito partiranno tutte le analisi seguen ti. 1 Nel aso parti olare dei a vi l'induttanza d'eser izio dip ende dalla geometria e dal tip o di p osa (il amp o magneti o esterno agli s hermi non è n ullo), men tre la apa ità d'eser izio solo dalla geometria e non dal tip o di p osa (il amp o elettri o esterno agli s hermi è n ullo). Un aso parti olare di linea p erfetta men te simm etri a sono i GIL [12 ''. 11 2.1.2 P arametri di linea aratteristi i: imp e de nza d'onda, imp e de nza aratteri- sti a e ostan te di propagazione Si vuole prima di tutto mettere in evidenza una dierenza imp ortan te he in ter orre tra due grandezze, l'imp edenza aratteristi a e l'imp edenza d'onda, sia da un pun to di vista formale he si o. Viene p oi p er ompletezza presen tata an he la ostan te di propaga z io ne. Imp e denza ar attristi a F ormalmen te l'imp edenza aratteristi a è denita ome Z c = s z es y es , (2.1.1) do v e z es e yes sono rispettivamente l'impedenza e l'ammettenza hilometri he d'eser izio della linea, generalmen te omplesse. Nel aso di linea ideale la (2.1.1) div en ta Zc = r les ces , (2.1.2) do v e les e ces sono l'induttanza e la apa ità di eser izio della linea. A v endo quindi utilizzato i parametri d'eser izio, si sottin tende impli itamen te he la linea stia funzionando nel suo normale regime trifase, alimen tata da una terna simmetri a di tensioni e p er orsa da una terna equilibrata di orren ti. Fisi amen te l'imp edenza aratteristi a è il rapp orto tra la tensione e la orren te all'estre- mità di una linea di lunghezza innita Z c = E I ¯
¯
¯
¯d='' , (2.1.3) io è una linea in ui si v ede solo l'onda diretta e man a l'onda riessa. Quindi, se una li- nea di lunghezza nita v enisse hiusa su un'imp edenza di v alore pari a quello dell'imp edenza aratteristi a , si a vrebb e la stessa situazione di assenza dell'onda riessa. Come evidenziato in [8 '' e [13 '', una form ulazione sempli ata dell'espressione di Zc è p ossibile nel aso di linee aeree ideali se ondo la Zc = 138, 2 · log 2D d , (2.1.4) in ui D è la distanza tra le fasi 2 e d il diametro del onduttore di fase 3 . Nel aso di a vi non è p ossibile arriv a r e ad una form ulazione osì sempli e; p er apirlo, è su ien te ri ordar e le form ule p er i parametri d'eser izio [11 '' ris ritte nel aso di linea ideale, l = 0, 46 log 2D d , (2.1.5) c = ǫr 18 · 2, 3 log ds d , (2.1.6) 2 Uguale p er la supp osta simm etria, oppure p er linee trasp oste pari alla distanza media geometri a D = Dm = ''D12D23D31 . 3 Si è tras ur a t o il termine k'' p er hé , essendo la linea supp osta ideale e quindi on r = 0 , l'eetto p elle è massim o e la orre n t e non è uniformemen te distribuita nel ondutt o r e ma su tutta la sua sup er ie. 12 in ui D è la distanza tra le fasi, d il diametro del onduttore di fase e ds il diametro dello s hermo. Se si al ola l'imp edenza aratteristi a sostituendo le espressioni in (2.1.2) si ottiene Zc = 105, 4 r ǫr log 2D d log ds d , (2.1.7) he ertamen te non può dirsi in forma altrettan to sempli e di (2.1.4) . Imp e denza d'onda F ormalmen te l'imp edenza d'onda è denita ome Z0 = s z 0 y 0 , (2.1.8) do v e z0 e y 0 sono rispettivamente l'impedenza e l'ammettenza hilometri he verso terra. Nel aso di linea ideale la (2.1.8) div en ta Z0 = r l0 c0 , (2.1.9) do v e l0 e c0 sono l'induttanza e la apa ità d'onda o v erso terra di un solo onduttore appar- tenen te alla linea. Questi due div ersi parametri in terv engono quando la linea non è p er orsa da una terna equilibrata ma b ensì da un sistema di orren ti in fase fra loro. Fisi amen te è l'imp edenza he in terviene p er fenomeni ome le fulminazioni dirette o le so vratensio ni indotte, tipi amen te non des rivibili ome sistemi di grandezze trifase. Una form ulazione sempli ata dell'espressione di Z0 è an ora p ossibile nel aso di linee aeree ideali, ome evidenziato sempre in [8 '' e [13 '', Z0 = 138, 2 · log 4H dc , (2.1.10) in ui H è l'altezza dei onduttori risp etto al terreno e dc il diametro del mani otto ionizzato p er eetto Corona attorno al onduttore. Nel aso di a vi è sì ora p ossibile giungere ad un'espressione simile e sempli ata: è su ien te notare he, dato he l'induttanza e la apa ità d'onda he in terv engono sono quelle v erso terra, esse oin idono on quelle tipi he di una linea oassia le: l = µ0 2' log ds d , (2.1.11) c = ǫr 18 log ds d . (2.1.12) Sostituendo in (2.1.9) si ottiene 4 Z0 = 138, 2 '' ǫr log ds d . (2.1.13) 4 A margine v a fatto notare ome l'im p edenza d'onda di una terna di a vi oin ida on l'im p edenza aratt e r i- sti a di un a v o unip olare, dato he onsiderar e i parametri v erso terra del a v o equiv ale a al olare i parametri d'eser izio d'un a v o unip olare; a ripro v a di iò si v eda la forma sempli ata dell'im p edenza aratt e r isti a di un a v o unip olare in [8 ''. Questa v a più onsiderat a ome una uriosità, ed è opp ortu n o tenere b en distin ti i due on et t i di imp edenza aratt e r isti a e d'onda. 13 c · dx v (x, t) + ''v (x,t)
''t g · dx r · dx l · dx v (x, t) v (d, t) = vp(t) v (0, t) = va(t) i (x, t) i (x, t) + ''i (x,t)
''t i (0, t) = ia(t) i (d, t) = ip(t) x dx d ''i (x,t)
''t B A Figura 2.1: S hema monofase equiv alen te di una linea a ostan ti distribuite Costante di pr op agazione F ormalmen te la ostan te di propaga z io ne è denita ome k = pz · y ; (2.1.14) z e y p ossono riferirsi, ome visto ai paragr a  pre eden ti, ai v alori dei parametri di eser izio o v erso terra. Non si rip ete qui la distinzione dettagliata tra i due asi: v a p erò ribadito he è molto imp ortan te tenere presen ti le ondizioni in ui la linea si tro v a a funzionare, p er hé i v alori p ossono am biare notev olmen te. Fisi amen te la ostan te di propaga z io ne assume signi ati div ersi a se onda he se ne onsideri la parte reale o immaginaria. La parte reale rappresen ta l'atten uazione he subis e l'onda p er orr e ndo il mezzo trasmissiv o : p er questo viene an he detta ostan te di atten uazione. La parte immaginaria rappresen ta in v e e lo sfasamen to he subis e l'onda nel medesimo tratto di linea: p er questo viene an he detta ostan te di fase. Nel aso di linea ideale si ri a v a da (2.1.14) he k = ı' '' lc . (2.1.15) 2.1.3 Il regim e v ariabile in una linea di trasmiss i o ne Una linea di trasmissione a ostan ti distribuite può essere rappresen tata ome in gura 2.1, p er ui è stato s elto un sistema di riferimen to lineare nello spazio des ritto dalla o ordinata x , on origine all'estremo B (detto arrivo del la line a ) e res en te man mano he i si sp osta v erso l'estremo A (detto p artenza del la line a ). Si onsideri un tratto di linea lungo dx , aratterizza to dai parametri longitudinali di resi- stenza r · dx e induttanza l · dx e dai parametri trasv ers a li di ammettenza g · dx e apa ità c · dx . ' p ossibile s riv ere, se ondo le on v enzioni assun te sempre in gura 2.1, l'equazione alle tensioni 5 · v(x, t) + ''v(x, t) ''x dx ¸ '' v(x, t) = rdx · i(x, t) + ldx · ''i(x, t) ''t , (2.1.16) 5 P er on v enz ione , si è s elto di rappre se n t a r e le grandez z e nel dominio del temp o on una lettera min us ola. 14 in ui si è messa in evidenza la dip endenza delle grandezze elettri he sia dallo spazio he dal temp o. Analogamen te è p ossibile, appli ando la prima legge di Kir ho al no do N e tras urando gli innitesimi di ordine sup eriore, s riv ere l'equazione alle orren ti · i(x, t) + ''i(x, t) ''x dx ¸ '' i(x, t) = gdx · v(x, t) + cdx · ''v(x, t) ''t . (2.1.17) Sempli ando e sopprimendo il fattore dx si giunge al sistema di equazioni      ''v(x, t) ''x = r · i(x, t) + l · ''i(x, t) ''t , ''i(x, t) ''x = g · v(x, t) + c · ''v(x, t) ''t . (2.1.18) Si ip otizzi la line a inizialmente a rip oso, p er ui io è siano v alide le ondizioni v(x, 0) = 0 , i(x, 0) = 0 , (2.1.19) e si appli hi la trasformazio ne di Lapla e se ondo la denizione B.1.1 a ias una delle due equazioni del sistema (2.1.18) . ' le ito p ensare le grandezze v(x, t) e i(x, t) ome funzioni della sola v ariabile t , pres inendo dal fatto he dip endono an he dalla v ariabile x . Appli ando le ondizioni iniziali (2.1.19) p er la trasformazio ne delle grandezze deriv ate risp etto al temp o '' ''t , si ottengono le equazioni nel dominio di Lapla e 6      ''V (x, s) ''x = (r + sl)I(x, s) , ''I(x, s) ''x = (g + sc)V (x, s) . (2.1.20) F ra le equazioni (2.1.20) si può eliminare I(x, s) deriv ando la prima risp etto ad x ''2V (x, s) ''x2 = (r + sl) ''I(x, s) ''x e sostituendo a ''I (x,s) ''x l'espressione della se onda ''2V (x, s) ''x2 '' (r + sl)(g + sc)V (x, s) = 0 . (2.1.21) La (2.1.21) è un'equazione lineare omogenea del se ond'ordine, risolvibile median te i meto di tradizionali; l'equazione he la so ddisfa è notoriamen te V (x, s) = A(s)e ''xk (s) + B(s)exk(s) , (2.1.22) in ui A(s) e B(s) sono le ostan ti da determinare imp onendo le opp ortune ondizioni al on torno, indip enden ti dalla v ariabile t ma funzioni dal parametro s . 6 P er on v enz ione , si è s elto di rapprese n t a r e le grandez z e trasformate nel dominio di Lapla e on una lettera maius ola. 15 La I(x, s) si ottiene in v ertendo la prima delle ( 2.1.20) I(x, s) = 1 (r + sl) ''V (x, s) ''x e sostituendo la deriv ata di (2.1.22) I(x, s) = k(s) (r + sl) h B(s)e xk (s) '' A(s)e''xk(s) i = = £B(s)exk(s) '' A(s)e ''xk (s)¤ Zc(s) . (2.1.23) P er ri a v ar e le espressioni parametri he di A(s) e B(s) si utilizzeranno le ondizioni al on torno V (0, s) = Va(s) , I(0, s) = Ia(s) , (2.1.24) p oi hé si ip otizza di onos ere la tensione all'arriv o e di v olerla determinare in un generi o pun to x della linea. P arti olarizza ndo le (2.1.22) e (2.1.23) on le (2.1.24) si arriv a al sistema      V (0, s) = Va(s) = A(s) + B(s) , I(0, s) = Ia(s) = B(s) '' A(s) Zc(s) , he risolto p orge i risultati      A(s) = Va(s) '' Zc(s)Ia(s) 2 , B(s) = Va(s) + Zc(s)Ia(s) 2 . (2.1.25) Sostituendo le (2.1.25) nelle (2.1.22) e (2.1.23) si ottengono gli inte gr ali gener ali di tensione e orr ente nel dominio di L apla e, p ar ametrizzati p er la distanza x dal punto di arrivo        V (x, s) = Va(s) '' Zc(s)Ia(s) 2 e ''xk (s) + Va(s) + Zc(s)Ia(s) 2 e xk (s) , I(x, s) = Va(s) '' Zc(s)Ia(s) 2Zc(s) e ''xk (s) '' Va(s) + Zc(s)Ia(s) 2Zc(s) e xk (s) , he p ossono essere ris ritti in forma più ompatta ri ordando le espressioni di seno e oseno ip erb oli o:      V (x, s) = Va(s) cosh[xk(s)] + Zc(s)Ia(s) sinh[xk(s)] , I(x, s) = Va(s) sinh[xk(s)] Zc + Ia(s) cosh[xk(s)] . (2.1.26) Le (2.1.26) sono s ritte nella stessa forma in ui si tro v ano solitamen te s ritte p er il regime trifase, on la dierenza sostanziale he ora le grandezze elettri he sono lib eramen te v ariabili nel temp o. Nel seguito, visto he la linea onsiderata sarà di lunghezza nita d , si userà la 16 e (t) Lcc vp(t) va(t) ia(t) ip(t) Figura 2.2: S hema monofase equiv alen te di una linea in a v o non omp ensata di itura sempli ata V (d, s) = Vp(s) , I(d, s) = Ip(s) . (2.1.27) 2.2 Equazioni p er linea in a v o non omp ensata alimen tata da gene- ratore non ideale di tensione P artendo dal dominio di Lapla e, si vuole ora ri a v ar e l'equazione della tensione all'arriv o di una linea alimen tata da un generator e equiv alen te di tensione; il aso è s hematizzato dal ir uito di gura 2.2. Il generator e equiv alen te di tensione rappresen ta la rete alimen tan te la linea in a v o on tensione e(t) e imp edenza di orto ir uito puramen te induttiv a Lcc . Si onsideri una linea in a v o ideale e di lunghezza d , nel qual aso sono v alide la (2.1.2) e la (2.1.15) ; le loro trasformate sono Zc(s) = r les ces , (2.2.1) k(s) = s pl esces . (2.2.2) Si denis a p er omo dità la v ariabile ' = d · pl esces , (2.2.3) he si amen te iden ti a il temp o di p er orr e nza di una linea di un'onda viaggia n te. Sosti- tuendo (2.2.1) e (2.2.2) in (2.1.26) e utilizzando le denizioni (2.1.27) e (2.2.3) si giunge a Vp(s) = Va(s) cosh(s' ) + Ia(s)Zc sinh(s' ) , (2.2.4) Ip(s) = Va(s) Zc sinh(s' ) + Ia(s) cosh(s' ) . (2.2.5) Se onsideriamo la linea a vuoto le (2.2.4) e (2.2.5) div en tano Vp(s) = Va(s) cosh(s' ) , (2.2.6) 17 e (t) Lcc Lsr Lsr vp(t) vp,sr(t) va,sr(t) va,c(t) vp,c(t) va(t) ia,c(t) ip,c(t) ip(t) ip,sr(t) ia,sr(t) Figura 2.3: S hema monofase equiv alen te di una linea in a v o omp ensata Ip(s) = Va(s) Zc sinh(s' ) , (2.2.7) essendo ia(t) = 0 '' t ' 0 . Considerando sempre le Lapla e trasformate si può s riv ere l'equazione di maglia del ir uito E(s) = sLccIp(s) + Vp(s) . (2.2.8) Inserendo in (2.2.8) le (2.2.6) e (2.2.7) si ottiene E(s) = sLcc Va(s) Zc sinh(s' ) + Va(s) cosh(s' ) . (2.2.9) Questa in v ertita dà inne la formula nel dominio di L apla e del la tensione d'arrivo in funzione del la tensione del gener ator e , Va(s) = E(s) sT1 sinh(s' ) + cosh(s' ) , (2.2.10) a v endo in tro dotto la n uo v a ostan te di temp o T1 = Lcc Zc . L'equazione (2.2.10) è la funzione da an titrasforma r e p er tro v are l'andamen to va(t) nel temp o. La (2.2.10) può essere suddivisa nel pro dotto Va(s) = F (s)E(s) , (2.2.11) in ui ompare la trasformata dell'ingresso E(s) e la funzione di trasferimen to del sistema F (s) uguale a F (s) = 1 sT1 sinh(s' ) + cosh(s' ) . (2.2.12) 2.3 Equazioni p er linea in a v o omp ensata alimen t ata da generatore non ideale di tensione Si vuole ora ri a v ar e la stessa espressione di Va in funzione di E nel aso di linea in a v o omp ensata: in parti olar e i si riferis e al ir uito equiv alen te di gura 2.3, do v e sono indi ati 18 tutti i sim b oli delle grandezze oin v olte. Sottin tendendo temp oraneamen te, p er sempli ità di s rittura, la dip endenza da s delle grandezze elettri he, si può s riv ere il sistema di equazioni                                                              Vp,c = Va,c cosh(s' ) + Ia,cZc sinh(s' ) Va,c = Va Ip,c = Va,c Zc sinh(s' ) + Ia,c cosh(s' ) Ia,c = Va,c sLsr Vp,sr = Vp,c Va,sr = Va,c Ip,sr = Vp,sr sLsr Ia,sr = Va,sr sLsr Vp = Vp,c Ip = Ip,sr + Ip,c . (2.3.1) Considerando la linea sempre ollegata ad un generator e di tensione equiv alen te, si può an ora s riv ere l'equazione (2.2.8) qui rip ortata p er omo dità E(s) = sLccIp + Vp . Dal sistema (2.3.1) si ri a v ano le espressioni di Vp(s) e Ip(s) : Vp = Vp,c = Va cosh(s' ) + Va sLsr Zc sinh(s' ) (2.3.2) Ip = Ip,sr + Ip,c = = Vp sLsr + Va
Zc sinh(s' ) + Va sLsr cosh(s' ) = = Va sLsr · cosh(s' ) + Zc sLsr sinh(s' ) ¸ + Va · 1 Zc sinh(s' ) + 1 sLsr cosh(s' ) ¸ = = Va · 2 sLsr cosh(s' ) + µ Zc s2L2sr + 1 Zc ¶ sinh(s' ) ¸ . (2.3.3) Sostituendo (2.3.2) e (2.3.3) in (2.2.8) si ottiene E = sLcc · Vp sLsr + Va
Zc sinh(s' ) + Va sLsr cosh(s' ) ¸ + · Va cosh(s' ) + Va sLsr Zc sinh(s' ) ¸ = Va · cosh(s' ) µ 2 Lcc Lsr + 1 ¶ + sinh(s' ) µ ZcLcc sL2sr + sLcc Zc + Zc sLsr ¶¸ = Va · cosh(s' ) µ 2 Lcc Lsr + 1 ¶ + sinh(s' ) µ Z2 c Lcc + s 2L2 sr Lcc + Z 2 c Lsr sZcL2sr ¶¸ , he in v ertita dà inne la formula nel dominio di L apla e del la tensione d'arrivo in funzione 19 del la tensione del gener ator e (si ritorna ora ad indi are espli itamen te la dip endenza delle grandezze da s ), Va(s) = E(s) h cosh(s' ) ³ 2 Lcc
Lsr + 1 ´ + sinh(s' ) ³ Z2 c Lcc +s 2L2 sr Lcc+Z 2 c Lsr sZcL2sr ´i . (2.3.4) La (2.3.4) può essere suddivisa nel pro dotto Va(s) = F (s)E(s) , (2.3.5) in ui ompare la trasformata dell'ingresso E(s) e la funzione di trasferimen to del sistema F (s) uguale a F (s) = 1 h cosh(s' ) ³ 2 Lcc
Lsr + 1 ´ + sinh(s' ) ³ Z2 c Lcc +s 2 L2 sr Lcc+Z 2 c Lsr sZcL2sr ´i . (2.3.6) P er v eri a, si pro vi a v alutare il limL sr '''' F (s), ioè il aso in ui l'induttanza di ompen- sazione tenda a un v alore innito. ' immediato apire ome questa ondizione debba p ortare F (s) del aso omp ensato a oin idere on quella del aso non omp ensato, dato he equiv ale a togliere ompletamen te i reattori. Si v ede subito he il termine he moltipli a il oseno tende a 1 e quello he moltipli a il seno tende a s Lcc Zc = sT1, ioè il denominatore diventa eettivamente lo stesso del aso non omp ensato: questo pro v a la b on tà dei on ti sv olti nora. Data la omplessità del denominatore di F (s) , in al uni asi si p otrà riv elare opp ortuno denire delle ostan ti he aiutino nei al oli: A = 2 Lcc
Lsr + 1 B = Zc L2 sr (Lsr + Lcc) C = Lcc Zc . F (s) p otrà essere s ritta ome F (s) = 1 £A cosh(s' ) + sinh(s' ) ¡ B s + sC ¢¤ . (2.3.7) 20 3 Mo dello della linea 3.1 Dati te ni i La s elta del a v o su ui si eseguiranno le sim ulazioni dev e riguarda r e il più p ossibile asi reali, he abbiano una v alenza appli ativ a oltre he teori a; inoltre, p er a v ere un v alido ris on tro dei al oli eseguiti, è opp ortuno disp orre di al une misure sp erimen tali e di altre analisi ondotte sulla stessa tip ologia di a vi. P er questi motivi, la s elta è ri aduta su un a v o XLPE 2500 mm2 , già des ritto e utilizzato nei pre eden ti la v ori [14 '' e [7 ''; p er esso sono infatti dip onibili le aratteristi he geometri he rip ortate in tab ella 1 e riassun te in gura 3.1. P er omo dità si sono n umerati progres s iv a men te i raggi di in teresse. T ab ella 1: Dati geometri i del a v o studiato dato geom e tri o sim b o l o unità di mis ura v alore Sezione nominale del onduttor e di fase Sn [mm2] 2500 Materiale del onduttor e di fase Cu Diametr o for o di r ar e ddamento rhole = r0 [mm] 10.0 Diametr o sul onduttor e (Mil like n) rc [mm] 63.4 Diametr o sul lo s hermo semi onduttivo rc,scl = r1 [mm] 69.5 Diametr o sul l'isolante XLPE riso = r2 [mm] 119.9 Diametr o sul lo s hermo semi onduttivo riso,scl [mm] 127.7 Diametr o sul lo s hermo metal li o rs = r3 [mm] 130.1 Materiale del lo s hermo metal li o Al Diametr o sul la guaina PE rg = r4 [mm] 141.7 Inoltre si hanno a disp osizione an he le misure rip ortate in tab ella 2, v alide nel aso di p osa direttamen te in terrata in piano on spaziature da 0.35 m a profondità 1.45 m , ome riassun to s hemati amen te in gura 3.2. Si onsidera un sistema a doppia terna alimen tato alla frequenza di 50 Hz e in un terreno on resisitivtà ρterreno pari a 100 ' m . La distanza fra le due terne è di 5 m, valore tale da poter onsiderar e disa oppiate le due linee. Si sono presi inoltre dei v alori di riferimen to di orren te di orto ir uito relativi all'impian to Cagliari Sud di T erna della rete a 380 kV dell'area di Cagliari, resi disp onibili nel do umen to [15 '', I ''
cc, 3f = 10.552 kA , I ''
cc, 3f = 11.156 kA , (3.1.1) he si riferis ono ad una situazione di rete deb ole. 21 Isolante esterno Schermo r1 r2 r3 r4 Fase Isolante interno Suolo r0 Figura 3.1: Geometria del a v o XLPE 2500 mm2 Doppia terna 2500 mm 2 UGC;L=30 km 5000 mm R S T 350 350 T S R 350 350 1450 (230/400) 400 kV 1 2 3 7 8 9 4 5 6 10 11 12 fasi schermi frequenza = 50 Hz Figura 3.2: P osa dei a vi in doppia terna, spaziatura s = 0.35 m , profondità h = 1.45 m 22 T ab ella 2: P arametri del a v o studiato p er p osa in terrata on spaziature s = 0.35 m a profondità p = 1.45 m parametro sim b o l o unità di mis ura v alore r esistenza di fase a 90 'C rac,90' [ m' km ] 13.3 induttanza riferita a sm ge ometri a les [ mH km ] 0.576 onduttanza on tan δ = 0.9 g [ nS km ] 52 ap a i tà on ǫr = 2.3 ces [ µF
km ] 0.234 imp e denza ar atteristi a Z c ['] 49.68 ' '' 0.04 rad ostante di pr op aga zi o ne k [ 1 km ] 3.710 '' 3 P er stabilire il v alore della reattanza di omp ensazione si fa riferimen to alle indi azioni on ten ute in [16 ''. Esistono v ari motivi he p ortano a do v er omp ensare l'immissione di p otenza reattiv a in rete da parte dei a vi: tra queste le più imp ortan ti sono le so vratensio ni a frequenza di rete nel aso di linea a vuoto, la so vrae ita z io ne dei generator i sin roni in vi inanza del a v o e le e essiv e orren ti a vuoto. Queste ultime rappresen tano un problema p er gli in terruttori, he fanno fati a ad estinguerle nel aso di ap ertura. I v ari vin oli sono relazionabili on il grado di omp ensazione della linea ξsh , denito ome ξsh = 2 · QSR 'cdU 2 , (3.1.2) do v e U è la tensione di alimen tazione, ' la pulsazione della tensione di alimen tazione, d la lunghezza della linea, c la apa ità hilometri a e QSR è la p otenza reattiv a imp egnata dallo sh un t rea tor alla tensione U . Il vin olo più stringen te appare essere quello sulla orren te a vuoto INL ; un v alore reputato a ettabile è quello di 400 A , p er hé apribile in aso di guasto da un normale in terruttore, an he in on omitanza on so vratensio ni della rete di alimen tazione no a 1.4 p.u. . Da prime analisi risulta eviden te he il aso in esame, in assenza di omp ensazione, pro durrebb e orren ti a vuoto ina ettabili. Si prev ede quindi di studiare an he il aso omp ensato, he risulterebb e la soluzione te ni a più prossima alla realtà. Il do umen to [16 '' ha pro dotto, proprio p er il aso del a v o in esame XLPE 2500 mm2 , un gra o del grado di omp ensazione in funzione della lunghezza della linea, nel aso di una rete a 4000 M V A ; ma nello stesso do umen to è stato an he dimostrato he il vin olo su INL non dip ende dalla reattanza di orto ir uito della rete, quindi si può usare la gura p er ri a v ar e ξsh . Nel aso in questione esso v ale ξsh = 0.55 . (3.1.3) 23 In v ertendo la (3.1.2) si ottiene Qsr = ξsh'cU 2 d 2 = = 0.55 · 2'50 · 234 · (400) 2 · 30 2 = = 97.037 M var (3.1.4) e inne Lsr = U 2 'Qsr = = 5.25 H . (3.1.5) 3.2 Cal olo delle ostan ti hilom et r i he Si pro ede ora al al olo delle ostan ti hilometri he se ondo le form ule des ritte in [11 '', p er a v ere un ris on tro teori o dei dati te ni i forniti; si a vranno inoltre dei riferimen ti p er ostruire degli algoritmi automati i in grado di al olar e , una v olta inserita la geometria, i parametri aratteristi i del a v o. In analogia on quan to già spiegato in pre edenza ( fr. paragr a fo 2.1.2), si fa notare he le seguen ti form ule serv ono a al olar e i osiddetti parametri d'eser izio, ne essari p er mo dellizzare la linea se ondo un ir uito monofase equiv alen te. Le ip otesi sotto ui v algono sono le stesse viste al paragr a fo 2.1.1; in parti olar e , i parametri si riferis ono alla sola sequenza diretta. T utto questo è p erfettamen te in linea on l'appro io della ri er a: infatti la teoria vista al apitolo 2 utilizza i parametri d'eser izio ed è v alida nelle stesse ondizioni in ui essi p ossono essere al olati. Dato he si sta trattando la linea an he da un pun to di vista te ni o, è opp ortuno tradurre in termini on reti le ip otesi fatte p er p ortare a v an ti lo svilupp o teori o; riprendendo i tre pun ti del paragr a fo 2.1.1, si può dire he: ' la line a è simmetri a solo nel aso di p osa a trifoglio o di trasp osizio ne delle fasi; ' non vi sono orr enti ir olanti ne gli s hermi solo se essi sono ollegati in single p oin t b on- ding o ross b onding; il aso di ross b onding è quello he più si a vvi ina alla ondizione di p oter tras urar e gli s hermi, p oi hé an he la tensione indotta è n ulla; ' sono pr esenti solo omp onenti al la se quenza dir etta se i tro viamo inoltre in un regime di funzionamen to simmetri o dal pun to di vista elettri o, io è tutte le fasi sono nella stessa situazione di ari o (la simmetria geometri a e quindi dei parametri d'eser izio è già garan tita dall'ip otesi 1 ). Il a v o XLPE sarà quindi s omp osto in 12 ma jor se tion da 2500 m ias una a sua v olta divisa in 3 minor se tion da 833 m , ome fatto an he in [ 7 ''. A d ogni sezione di trasp osizio ne v errà an he eseguito il ross b onding degli s hermi. Essendo la p osa in piano, la fase he v edrà la maggior simmetria sarà quella en trale, io è la b: il suo omp ortamen to sarà quello più similmen te ri ondu ibile al mo dello monofase equiv alen te. 24 3.2.1 Resiste nza hilom e tri a Il al olo della resistenza hilometri a non può essere eettuato a rigore p er hé ne essite- rebb e la onos enza della sezione eettiv a del onduttore e non di quella nominale [11 ''. La norma CEI 20-29 [17 '' ha tab ellato i v alori di resistenza hilometri a in orren te on tin ua p er v arie tip ologie di onduttori, he in questo aso risulta essere rcc,20'C = 7.2 m' km ; (3.2.1) rip ortando la resistenza alla temp eratura di funzionamen to a regime di 90 ' C si ottiene rcc,90'C = rcc,20'C · (1 + 4'10 '' 3 · ''T ) = = 7.2 · (1 + 4'10 '' 3 · 70) = = 13.53 m' km . (3.2.2) 3.2.2 Induttanze hilom e tri he Il al olo dell'induttanza di eser izio può esser eseguito on la [ 11 '' le = 0.46 log GM D GM R , (3.2.3) do v e GMD è la distanza media geometri a esprimibile ome GM D = 3 '' s12 · s13 · s23 = 3 '' s · s · 2s = s 3 '' 2 (3.2.4) e GMR è il ragg io medio geometri o esprimibile ome GM R = k '' · rcond . (3.2.5) Il termine k '' è legato alla forma tub olare del onduttore e alle dimensioni della a vità in terna; denendo ome rhole il raggio della a vità e il rapp orto a = rhole rcond , k '' si può esprimere ome k '' = e '' 0 . 25''a2+a4(0.75''ln a) (1''a2)2 . (3.2.6) Nel aso in esame si ha a = rhole rcond = 5 34.75 = 0.1439 , k '' = e '' 0 . 25''a2+a4(0.75''ln a) (1''a2)2 = 0.7864 , GM R = k '' · rcond = 0.7864 · 34.75 = 27.327 mm , GM D = s 3 '' 2 = 350 3 '' 2 = 440.97 mm , e inne le = 0.46 log GM D GM R = 0.46 log 440.97
27.327 = 0.556 mH km . (3.2.7) 25 P er un v alido onfron to on il le dati di output di EMTP-R V è utile al olar e le auto e m utue induttanze tra onduttori se ondo le form ule sempli ate di Carson - Clem, di ui si può tro v are un ri hiamo in [14 ''. Infatti, ome più v olte fatto notare, l'induttanza di eser izio ha signi ato solo p er linee simmetri he: nella realtà i onduttori hanno a oppiamen ti magneti i div ersi gli uni dagli altri. P er il al olo dell'auto imp edenza hilometri a di un onduttore (fase o s hermo) la form ula è zii = ri + ' 210''4 · f + j · 4'10''4 · f · ln µ Dca GM R ¶ , (3.2.8) do v e ri è la resistenza del onduttore p er unità di lunghezza in ' km , f la frequenza di eser izio e Dca la profondità di Carson al olabile ome Dca = 660 r ρterreno f . (3.2.9) P er il al olo della m utua imp edenza tra onduttori on en tri i uno all'altro si ha zij = ' 210''4 · f + j · 4'10''4 · f · ln µ Dca rj ¶ , (3.2.10) do v e rj è il ragg io del onduttore esterno. P er onduttori esterni uno all'altro la m utua imp edenza è zij = ' 210''4 · f + j · 4'10''4 · f · ln µ Dca dij ¶ , (3.2.11) do v e dij è la distanza tra i en tri dei due onduttori. Con riferimen to alla geometria rip ortata in gura 3.1, a vremo he le induttanze da al olar e saranno : 1. auto induttanza lf,ii della fase i , ri a v abile da (3.2.8) ; 2. auto induttanza ls,ii dello s hermo i , ri a v abile da (3.2.8) ; 3. m utue induttanze mff,ij tra fasi i e j , ri a v abili da (3.2.11) ; 4. m utue induttanze mss,ij tra s hermi i e j , ri a v abili da (3.2.11) ; 5. m utue induttanze mfs,ij tra fasi i e s hermi j , a loro v olta distinguibili nei asi: (a) min f s,ij , fase i on entri a allo s hermo j, ri avabile da (3.2.10); (b) mex f s,ij , fase i esterna allo s hermo j, ri avabile da (3.2.11). Sostituendo gli opp ortuni v alori nelle form ule indi ate si ottengono i v alori delle imp eden- ze. Considerando la sola parte immaginaria, io è la reattanza, si può risalire ai v alori delle induttanze dividendo p er la pulsazione ' . Si arriv a inne ai v alori di 1. auto induttanze delle fasi, lf,11 = lf,22 = lf,33 = 2.088 mH km ; 26 2. auto induttanze degli s hermi, ls,44 = ls,55 = ls,66 = 1.919 mH km ; 3. m utue induttanze tra fasi, mff,12 = mff,23 = 1.578 mH km , mff,13 = 1.439 mH km ; 4. m utue induttanze tra s hermi, mss,45 = mss,56 = 1.578 mH km , mss,46 = 1.439 mH km ; 5. m utue induttanze tra fasi e s hermi (a) nel aso di fase on en tri a allo s hermo, m in
f s, 14 = m in
f s, 25 = m in
f s, 36 = 1.914 mH km ; (b) nel aso di fase esterna allo s hermo, m ex
f s, 15 = m ex
f s, 26 = m ex
f s, 35 = m ex
f s, 24 = 1.578 mH km , m ex
f s, 16 = m ex
f s, 34 = 1.439 mH km . 3.2.3 Capa ità hilom e tri a Il al olo dell'induttanza di eser izio può esser eseguito on la [ 11 '' c = ǫr 18 ln ³ rfase rschermo ´ . (3.2.12) In questo aso la apa ità d'eser izio oin ide on la apa ità v erso terra della fase, p er hé si è nella stessa situazione del a v o oassia le : iò signi a p erfetta simmetria e quindi stessi v alori p er le tre fasi; inoltre la presenza dello s hermo elimina i m utui a oppiamen ti apa itivi. Sostituendo i dati di tab ella 1 in (3.2.12) si ottiene c = 234.3 nF
km . (3.2.13) 27 3.2.4 Imp edenza d'onda, imp e de nza aratteristi a e ostan te di propagazione Ri hiamando la già ommen tata equazione (2.1.13) dell'imp edenza d'onda e sostituendo vi i v alori geometri i del a v o si ottiene Z0 = 21.55 ' . (3.2.14) Sostituendo in v e e i v alori app ena al olati di induttanza e apa ità d'eser izio (3.2.7) e (3.2.13) nell'espressione dell'imp edenza aratteristi a (2.1.2) risulta Zc = 48.71 ' , (3.2.15) o vviamen te div ersa da Z0 , in p erfetta on ordanza on quan to detto in 2.1.2. Nel aso in esame di linea in doppia terna l'imp edenza aratteristi a vista dall'onda he si propaga è pari alla metà di quella della singola linea: essendo infatti le due terne iden ti he dal pun to di vista geometri o e p oste a una distanza tale da onsiderar le disa oppiate, le imp edenze aratteristi he p ossono esser viste in parallelo e quindi equiv alere ad una singola imp edenza dimezzata. La ostan te di propaga z io ne v ale, sostituendo (3.2.7) e (3.2.13) in 2.1.15, k = ı3.65 · 10 '' 3 1 km ; (3.2.16) in parti olar e è p ossibile ri a v ar e il temp o di p er orr e nza ' della linea in esame lunga d = 30 km , sostituendo '' lesces = k ı' e d in (2.2.3), ' = 3.485 · 10 '' 4 s . (3.2.17) 3.3 Mo dello della linea in EMTP-R V Il soft w are EMTP-R V (Eletromagneti T ransien t Progra m) è la v ersione proprietaria revi- sionata del pre eden te soft w are a li enza lib era A TP (Alternativ e T ransien t Progra m). Esso è uno dei prin ipali strumen ti utilizzati in letteratura p er v alidare mo delli elettri i, onfron tare div ersi asi di studio e sim ulazioni in fase di progetto. Il suo pun to di forza è la apa ità di si- m ulare una grande v arietà di transitori an he p er sistemi omplessi, oltre ad altre funzionalità ome ad esempio al oli di load o w. Le sue deb olezze risiedono nella non immediata fa ili- tà di utilizzo e nella di oltà a ripro durr e on fedeltà il aso he si vuole esaminare; sp esso quindi è ne essario disp orre di pro edure alternativ e he ne v alidino i risultati e gara n tis a no la orretteza del mo dello s elto. Il soft w are, n dalla sua genesi negli anni '60, è a ompagna to da una v asta guida p er l'utilizzo [18 '': parados s a lmen te, essa p e a in al uni pun ti di e essiv a te ni ità e in altri di la une informativ e. Si reputa p ertan to utile la lettura di al uni do umen ti più snelli e sp e i i alla sim ulazione he si vuole implemen tare; a tal prop osito si segnalano i riassun ti presen ti in [7 '' p er quel he riguarda EMTP-R V e in [6 '' p er quel he riguarda A TP . 3.3.1 Creazione del mo del l o Il mo dello onsiste essenzialmen te nel ri rear e [21 '': 28 ' il generator e equiv alen te di tensione; ' la linea in a v o; ' i reattori di omp ensazione, nel aso di linea omp ensata. Gener ator e e quivalente Un generator e equiv alen te he rappresen ti la rete di alimen tazione è rappresen tabile ome un generator e ideale di tensione sin usoidale in serie a una reattanza (si onsidera tras urabile la parte resistiv a dell'imp edenza di orto ir uito). Si è de iso, ome si v edrà nelle sim ulazioni, di dare alla tensione sin usoidale un v alore di pi o pari a 1, osì he i risultati risultino espressi in termini di p er unità risp etto al v alore di pi o reale Vpicco : sarà in questo mo do an he più rapido al olar e p er en tualmen te le so vratensio ni di mano vra, p er un fa ile onfron to on altri dati. La reattanza di orto ir uito può essere nemen te mo dellizzata ome una matri e he tenga on to del omp ortamen to alle sequenze. Infatti note le orren ti di orto ir uito mono e trifase I ''
cc, 3f e I ''
cc, 1f si ri avano [11'' Z ''
d = Z i = E alim I ''
cc, 3f , (3.3.1) Z0 = Ealim · ' 3 I ''
cc, 1f '' 2 I ''
cc, 3f ! . (3.3.2) Considerando il a v o alimen tato a una tensione on atenata di 400 kV , on un o e ien te di maggior a z io ne c pari a 1.1 ome se ondo norma CEI 11-25 [19 '', e sostituendo i v alori di (3.1.1) in (3.3.1) e (3.3.2) si ottiene Z ''
d = Z i = ı24.143 ' , (3.3.3) Z0 = ı20.027 ' . (3.3.4) Si ostruis a ora la matri e alle sequenze Zs ome Zs =  
 Z0 0 0 0 Zd 0 0 0 Z i  
 ; (3.3.5) p er passare alla matri e relativ a alle fasi Zf o orr e appli are Zf = F '' 1Z sF , (3.3.6) do v e F è la matri e di F ortesque: F = 1
3  
 1 1 1 1 α α2 1 α2 α  
 . (3.3.7) 29 Seguendo questo pro edimen to si ottiene la matri e nel aso sp e i o; div edendo gli ele- men ti p er la pulsazione ' la si può s riv ere espressa in mH : F =  
 22.769 ''1.371 ''1.371 ''1.371 22.769 ''1.371
''1.371 ''1.371 ''1.371  
 . (3.3.8) EMTP-R V mette a disp osizione nella sua libreria l'elemen to RL ouple d multiphase br an h , in ui è p ossibile inserire direttamen te (3.3.8) . Line a in avo La mo dellizzazione della linea in a v o è la parte più deli ata. In parti olar e esistono div ersi mo delli in grado di rappresen tar la [20 '', qui brev emen te rip ortati: 1. mo delli a parametri on en trati; distinguibili a loro v olta in (a) mo dello nominale a ' , in ui la linea è vista ome un doppio bip olo a ' ; nonostan te la rapidità di al olo, è p o o pre iso; (b) mo dello a ' di un a v o uniformemen te rossb onda to , è un mo dello dedi ato p er i a vi in grado di rappresen tar e una ma jor se tion ome un doppio bip olo a ' , onsi- derando an he i m utui a oppiamen ti magneti i; ha gli stessi v an taggi e sv an tagg i del pun to pre eden te; ( ) mo dello a ' esatto, in ui la linea è vista ome il doppio bip olo equiv alen te a una as ata di doppi bip oli a ' ; questo mo dello non è p erò nel dominio del temp o ma della frequenza, quindi è utile solo nel aso in ui si v ogliano determinare i v alori dei parametri del sistema in un range di frequenze o p er al oli a regime p ermanen te; 2. mo delli a parametri distribuiti; distinguibili a loro v olta in (a) mo dello a ostan ti distribuite (CP), in ui si tiene on to della distribuzione delle grandezze v alutate p erò solo ad una determinata frequenza; è più pre iso dei asi pre eden ti ed ha il pregio di essere v elo e; i risultati he fornis e sono al più impre isi a fa v ore della si urezza; (b) mo dello dip enden te dalla frequenza (FD), in ui si tiene on to del div erso om- p ortamen to dei parametri alle div erse frequenze; è utile quindi p er lo studio dei transitori in maniera più pre isa risp etto al mo dello CP; la matri e di trasforma- zione Q utilizzata da EMTP-R V p er tro v are le grandezze mo dali è ip otizzata a o e ien ti ostan ti e reali, ip otesi non sempre v eri ata nel aso dei a vi; ( ) mo dello dip enden te dalla frequenza on matri e di trasformaz io ne Q a sua v olta dip enden te dalla frequenza (FDQ); è il mo dello più pre iso, an he se il più len to tra quelli presen tati. La s elta iniziale era quella di utilizzare p er la linea in a v o il mo dello FDQ, nonostan te la sua len tezza: dati i mezzi omputazionali a disp osizione e il relativ o pi olo n umero di sim ulazioni da eettuare, si era infatti privilegiata la pre isione. Purtropp o il soft w are EMTP- R V ha presen tato un bug nel o di e he ha imp edito di risolv er e il mo dello p er il v alore 30 ip otizzato di resistività del terreno di 100 ' m , di ui non si è rius iti a stabilire le ause 7 . Si è quindi ripiegato v erso il mo dello CP: ome rip ortato in [21 '', i risultati otten uti on questo mo dello, nei asi di a v o on isolan te solido e in ui la omp onen te alla sequnza zero sia s arsa men te oin v olta, non si dis ostano molto da quelli più a urati ri a v ati dai mo delli dip enden ti dalla frequenza. T rattandosi dell'energizzazio ne di un a v o XLPE a vuoto, si è reputato di rien trare in un mo dello v alido. Essendo il mo dello CP al olato ad una determinata frequenza, bisogna an he de idere quale v alore sia meglio inserire. In [22 '' viene presen tata la soluzione empiri a f = 1 4' , (3.3.9) do v e ' è il temp o di p er orr e nza della linea di un'onda viaggia n te. Sostituendo ( 3.2.17) in (3.3.9) si ottiene f '' 730 Hz . (3.3.10) Il soft w are EMTP-R V onsen te di inserire i dati geometri i del a v o e al ola in maniera automati a le matri i dei parametri di linea. Non è p erò p ossibile studiare i asi di onduttori omp osti da trefoli, p er hé il progra mma onsidera la sezione onduttri e ome un materiale massi io. P er al olar e orrettamen te la resistenza del onduttore di fase o orr e quindi imp ostare una resistività maggior a ta equiv alen te, otten uta partendo dai al oli analiti i [23 ''. Se si prende (3.2.2) e noti i raggi in terni ed esterni del onduttore da tab ella 1 si ottiene fa ilmen te ρeq = rcc,20'C · '(r 2 2 '' r 2 1 ) = = 7.2 · '(34.75 2 '' 52)10''6 = = 26.75 m' mm2 m . (3.3.11) I ollegamen ti he attuano le trasp osizio ni delle fasi e il ross b onding degli s hermi sono stati eseguiti man ualmen te, senza ri orr e r e ad opzioni parti olar i di EMTP-R V he, op erando in mo do non del tutto hiaro, p otrebb ero falsare il risultato. Come si v ede in gura 3.3 si sono ri reate tutte le 36 minor se tion di 833 m , on messa a terra ad ogni estremo delle ma jor se tion. Nel aso di linea omp ensata ome in gura 3.4, si sono sempli emen te aggiun ti i due reattori ad inizio e ne linea. R e attori di omp ensazione Nel aso di linea omp ensata, i reattori sono fa ilmen te mo- dellizzabili ome induttanze on en trate in parallelo alla linea. In questo aso di studio v engono tras urate sia la resistenza del reattore he la sua aratteristi a di saturazione; non do v endo studiare asi di ap ertura del reattore, si tras ura an he la sua apa ità parassita . 7 Le pro v e eseguite p er v alori di ρterreno molto bassi o molto alti p orta v a n o infatti il mo dello a risoluzione; nè sulla guida, nè su altre pubbli azioni o in rete si sono tro v at i riferimen ti al tip o di bug rip ortat o nel le di output. 31 A A B B C C D D 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 CABLE DATA model in: cable_matlab_cp_rv.csv cable_matlab_CP + 1 /_120 'v AC1 + 0|1E15|0 SW3 CP + 8.33000E-01 TLM1 + 0|1E15|0 SW1 + 0|1E15|0 'v SW2 CP + 8.33000E-01 TLM2 CP + 8.33000E-01 TLM3 CP + 8.33000E-01 TLM4 CP + 8.33000E-01 TLM5 CP + 8.33000E-01 TLM6 CP + 8.33000E-01 TLM7 CP + 8.33000E-01 TLM8 CP + 8.33000E-01 TLM9 Page s208 Page s210 Page s212 Page s214 Page s216 Page s219 1 2 3 + 1 2 3 RL RL1 GND GND GND BUS2 c b a Figura 3.3: Cir uito in EMTP della linea in a v o senza omp ensazione reattiv a (solo le prime 3 ma jor se tion) 32 A A B B C C D D 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 CABLE DATA cable_matlab_CP model in: cable_matlab_cp_rv.csv + AC1 'v 1 /_120 + SW3 0|1E15|0 CP + TLM1 8.33000E-01 + SW1 0|1E15|0 + SW2 'v 0|1E15|0 CP + TLM2 8.33000E-01 CP + TLM3 8.33000E-01 CP + TLM4 8.33000E-01 CP + TLM5 8.33000E-01 CP + TLM6 8.33000E-01 CP + TLM7 8.33000E-01 CP + TLM8 8.33000E-01 CP + TLM9 8.33000E-01 Page s208 Page s210 Page s212 Page s214 Page s216 Page s219 + L2 5.25 1 2 3 + 1 2 3 RL RL1 BUS2 c b a GND GND GND BUS3 c b a Figura 3.4: Cir uito in EMTP della linea in a v o on omp ensazione reattiv a (solo le prime 3 ma jor se tion) 33 T ab ella 3: Confron to fra parametri al olati analiti amen te e in EMTP parametro unità di misura analiti o EMTP-R V misure rcc,90'C m ' km 13.53 - 13.3 lf,ii mH km 2.088 2.072 - ls,ii mH km 1.919 1.919 - mff,ij onduttori vi ini mH km 1.578 1.577 - mff,ij onduttori lon tani mH km 1.439 1.438 - mss,ij onduttori vi ini mH km 1.578 1.577 - mss,ij onduttori lon tani mH km 1.439 1.438 - mcs,ij onduttori on en t r i i mH km 1.914 1.921 - mcs,ij onduttori vi ini mH km 1.578 1.577 - mcs,ij onduttori lon tani mH km 1.439 1.438 - c nF
km 234.3 234.6 234 Zc ' 48.71 - 49.68 k 1 km 3.65 · 10 '' 3 '1.57 rad - 3.7 · 10 '' 3 '1.53 rad 3.3.2 V eri a del mo del l o Prima di pro edere on le sim ulazioni, è utile e v an taggio s o v eri are he il mo dello oin ida eettiv amen te on quello studiato. In tab ella 3.3.2 si sono rip ortati i v alori forniti da EMTP-R V nel le di output, quelli al olati analiti amen te e an he quelli misurati forniti dal ostruttore e già visti in tab ella 2. La on ordanza è notev ole, quindi i si asp etta he le sim ulazioni diano un risultato v alido. 34 4 Meto do Ghizzetti - Ossi ini Le equazioni (2.2.10) e (2.3.4) non sono an titrasformabili analiti amen te: infatti nessuna delle form ule di an titrasformaz io ne notev oli rip ortate nell'app endi e B è ri ondu ibile ad esse; an he il al olo dell'in tegrale di Lapla e (B.2.1) se ondo la denizione B.1.1 risulta risolvibile solo p er via n umeri a [24 '' [25 ''. T utta via, la omplessità del problema non es lude he esistano vie di soluzione approssima te ma om unque analiti he. I meto di di analisi basati sul al olo sim b oli o e le trasformate di Lapla e sono ottimamen te des ritti in un libro di Aldo Ghizzetti e Alessandro Ossi ini [26 '', he ha fornito le fondamen ta teori he di questo apitolo. Le prin ipali nozioni matemati he, le form ule e le ip otesi sotto ui v algono sono riassun te in app endi e B.2.2; qui v erranno ri hiamati i soli pun ti di in teresse, in tegrati on al une onsiderazio ni di liv ello si o. A giusto tributo del la v oro di ri er a ed esp osizione, he ha p ortato in sup er ie la quasi totalità degli elemen ti ne essari a studiare la propaga z io ne d'onda nei a vi AA T, questo meto do è dedi ato agli autori del libro. 4.1 Riassun to del meto do matemati o Ghizzetti - Ossi ini La form ula implemen tata nel meto do Ghizzetti - Ossi ini è la (B.2.10) , he qui si ri hiama p er omo dità e ris ritta p er il aso sp e i o he si sta analizzando va(t) = '' X k =1 R(sk) , in ui on sk si indi ano tutti i p oli ( io è pun ti di singolar ità , v edi app endi e A.3) di estVa(s) e on R(sk) i residui (v edi app endi e A.4) di estVa(s) nei p oli sk . Essa onsen te di al olar e una grandezza nel dominio del temp o ome somma di un'innità di termini nel dominio di Lapla e, senza ri orr e r e ad in tegrali. Il problema dell'an titrasformazio ne osì form ulato p one due questioni: ' al olo dei p oli, he sarà aron tato nella su essiv a sezione 4.2; v erranno usati meto di di al olo n umeri o, data la natura tras enden te delle equazioni; ' al olo dei r esidui, he sarà aron tato nella sezione 4.3; una v olta noto il p olo sarà p ossi- bile al olar ne il residuo orrisp o nden te, ma nel aso delle funzioni studiate si giungerà a delle forme indeterminate, he ri hiederanno pare hi passagg i matemati i p er arriv a r e ad una form ulazione nale adeguata. 4.2 Cal olo dei p oli 4.2.1 Caso ideale - non omp ensato Nel Capitolo 2 si è già vista l'espressione (2.2.11) , he denis e Va(s) ome pro dotto tra le trasformate di Lapla e E(s) e F (s) . Si p ossono quindi suddividere i p oli sk in due ategorie: ' p oli del la line a, he si indi heranno ome s1, s2, . . . , si, . . . , io è quei pun ti he ann ullano il denominatore di F (s) ; 35 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 ''5 0 5 10 15 20 25 30 35 µ = α/' [rad/s] Calcolo grafico dei poli cotg α non compensato
compensato Figura 4.1: Cal olo gra o dei p oli ' p oli del l'ingr esso , he si indi heranno ome sIN , io è quei pun ti he ann ullano il deno- minatore di E(s) . Il termine est può essere tras urato p er hé è immediato v eri are he non ha p oli. Lo studio v errà dunque aron tato in maniera distin ta p er i due asi. Poli del la line a Si ri onsideri l'equazione (2.2.12) e si er hi di al olar ne i p oli ri ordando he, nel aso di linea ideale, tutte le soluzioni saranno puramen te immaginarie del tip o si = ıµi (man a io è un termine legato allo smorzamen to dell'onda): F (ıµ) = 1 ıµT1 sinh(ıµ' ) + cosh(ıµ' ) ; ri ordando inoltre he v ale cosh ıµ' = cos µ' e sinh ıµ' = ı sin µ' si può s riv ere F (ıµ) = 1 ''µT1 sin(µ') + cosh(µ') . Se viene imp osto il am bio di v ariabile α = µ' e denito k = T1 ' è p ossibile arriv a r e alla forma ompatta F (α) = 1 ''kα sin(α) + cos(α) . (4.2.1) L'equazione (4.2.1) è a v ariabili puramen te reali e p ertan to più sempli e da studiare. I p oli si p ossono al olar e imp onendo il denominatore uguale a 0 : ''kα sin(α) + cos(α) = 0 '' kα = cot α . (4.2.2) ' A d ogni αi orrisp o nde una pulsazione µi = αi ' : essendo la pulsazione in rad/s e la ostan te di temp o in s risulta hiaro he α è un n umero espresso in radian ti. 36 ' L'equazione 4.2.2 è so ddisfatta da un'innità di pun ti α1, α2, . . . , αi, . . . on α1 < α2 < . . . < αi < . . . , ome si v ede in 4.1; infatti la retta kα in terse a la funzione cot α in inniti pun ti, dato he quest'ultima è p erio di a di p erio do ' . ' Notiamo sempre dalla gura 4.1 ome i p oli all'aumen tare di i tendano sempre di più al v alore (i + 1)' , io è l'in tersezione tra la retta kα e cot α si a vvi ina sempre di più all'asin toto della otangen te (asin toti a ai m ultipli di ' ). Nel aso prati o di implemen tazione o vviamen te non si p otranno al olar e tutti gli αi , dato he sono in n umero innito: si stabilirà un n umero di p oli m adeguatamen te elev ato da gara n tire una su ien te pre isione all'an titrasfor ma z io ne. L'equazione (4.2.2) è già di p er sè un meto do di pun to sso adatto ad essere implemen tato in un linguaggio di progra mma z io ne. ' altresì noto he il meto do di pun to sso è len to e non sempre di si ura on v ergenza : è quindi preferibile usare il meto do di Newton - Raphson, più v elo e e adabile. La sua espressione è xj+1 = xj '' f '(xj) f (xj) , (4.2.3) on j = 0, 1, 2, . . . . A dattando il meto do al problema sp e i o, è naturale asso ia r e x al p olo µi e xj alla j-esima approssima z io ne di µi . f (x) è il denominatore di F (s) già visto in (4.2.1) ; di onseguenza f '(x) è la deriv ata prima del denominatore di F (s) , '' ''α [''kα sin(α) + cos(α)] = ''k sin(α) '' kα cos(α) '' sin(α) = = ''kα cos(α) + (k + 1) sin(α) . L'iterazione da implemen tare in forma ompleta è µi,j+1 = 1
' · αi,j '' [kαi,j cos(αi,j) + (k + 1) sin(αi,j) kαi,j sin(αi,j) + cos(αi,j) ¸ , (4.2.4) on i '' [1, m] . Poli del l'ingr esso Gli altri p oli he in teressano sono quelli della trasformata dell'ingresso E(s) ; ome si v edrà in seguito, sarà rilev an te solo la trasformata di un segnale osin usoidale di pulsazione ' he è L[e(t)] = L[V cos('t)] = s s2 + '2 . (4.2.5) ' fa ile dedurre he il p olo è uni o e v ale s2 + '2 = 0 '' sIN = ı' '' µIN = ' . (4.2.6) 4.2.2 Caso ideale - omp ensato La determinazione dei p oli nel aso di linea omp ensata è più omplessa: i si riferis e quindi all'espressio ne sempli ata (2.3.7) . Nonostan te questo v algono sempre le osserv a z io ni iniziali fatte al paragr a fo 4.2.1, quindi si distinguono i p oli di Va(s) in p oli della linea e p oli dell'ingresso. 37 Poli del la line a L'equazione (2.3.7) div en ta, p er una linea ideale e quindi p er s = ıµ , F (ıµ) = 1 h A cos(µ' ) + sin(µ' ) ³ B µ '' µC ´i . Se si op era an ora la sostituzione α = µ' si ottiene, on passagg i analoghi a prima, A cos(α) + sin(α) µ ' B α '' α C ' ¶ = 0 '' Cα2 '' B' 2 αA' = cot α . (4.2.7) ' L'equazione 4.2.7 è an ora so ddisfatta da un'innità di pun ti α1, α2, . . . , αi, . . . on α1 < α2 < . . . < αi < . . . , ome si v ede in 4.1. ' an he in teressan te fare un onfron to gra o on (4.2.2) , da ui si nota ome i p oli più pi oli siano dieren ti men tre tendano a oin idere man mano he aumen ta il loro v alore ( i '' '' ). ' Come diretta onseguenza del pun to pre eden te (e sempre visibile dalla gura 4.1), i p oli all'aumen tare di i tendono sempre di più al v alore (i + 1)' , in on ordanza on quan to già detto p er i p oli della linea non omp ensata. Si prev ede sempre l'utilizzo del meto do di Newton - Raphson p er l'implemen tazione in un linguaggio di progra mma z io ne xj+1 = xj '' f '(xj) f (xj) , on j = 0, 1, 2, . . . . In analogia on quan to già detto al paragr a fo 4.2.1 risultano o vvie le orrisp o ndenze tra x e si , f (x) e il denominatore di F (s) e f '(x) e la deriv ata prima del denominatore di F (s) he ora si al ola: '' ''α · A cos(α) + sin(α) µ ' B α '' α C ' ¶¸ = = '' A sin(α) '' ' B α2 sin(α) + ' B α cos(µ' ) '' C sin(µ') '' C'µ cos(µ') = = cos(α) · ' B α '' C ' α ¸ '' sin(α) · A + ' B α2 + C ' ¸ . Si s riv e inne l'iterazione da implemen tare in forma ompleta: µi,j+1 = 1
'    αi,j '' A cos(αi,j) + sin(αi,j) ³ ' B αi,j '' αi,j C ' ´ cos(αi,j) h ' B αi,j '' C ' αi,j i '' sin(αi,j) h A + ' 3 B α2 i,j + C ' i    , (4.2.8) on i '' [1, m] . Poli del l'ingr esso I p oli dell'ingresso o vviamen te non am biano nel aso di linea omp en- sata, si tratta sempre di un singolo p olo iden ti o a quello della relazione ( 4.2.6) : µIN = ' 38 Figura 4.2: Diagramma riassun tiv o del meto do p er il al olo dei p oli 4.2.3 Riepil o g o A questo pun to si hanno tutte le funzioni p er implemen tare il meto do iterativ o e al olar e i p oli, he s hemati amen te viene riassun to in gura 4.2. 4.3 Cal olo dei residui 4.3.1 Caso ideale - non omp ensato Il meto do des ritto in B.2.2 prev ede he i residui v adano al olati nei p oli di estVa(s) , he sono già stati deniti ome sk . A questo ne è ne essario quindi s egliere an he l'ingresso e(t) e la sua trasformata E(s) . ' noto he l'istan te p eggiore di hiusura degli in terruttori è quello in ui la tensione e(t) è massima; iò orrisp o nde a un ingresso di tip o osin usoidale e(t) = Vmaxcos('t) , la ui trasformata è già stata vista nell'equazione (4.2.5) . Sostituendo quindi (4.2.5) in (2.2.10) si ottiene Va(s) nel aso di ingresso osin usoidale Va(s) = s [sT1 sinh(s' ) + cosh(s' )](s2 + '2) . (4.3.1) Si inizia al olando i residui se ondo (A.4.1) nei p oli della linea si , supp onendo he essi 39 siano noti. Op erando an ora una v olta la sostituzione s = ıµ , v alida nel aso di linea ideale, lim s''si e stVa(s)(s '' si) = lim s''si e st s(s '' si) [sT1 sinh(s' ) + cosh(s' )](s2 + '2) = = lim µ''µi e ıµt ''µ(µ '' µi) ''T1µ('2 '' µ2) sin(µ') + ('2 '' µ2) cos(µ') . Es ludendo l'esp onenziale omplesso eıµt , risulta sempre una funzione a v ariabili puramen te reali, io è Va(ıµ)(ıµ '' ıµi) = Va(µ)(µ '' µi) . Il limite p er µ '' µi è in una forma del tip o 0
0 e p ertan to indeterminato. Chiamando D(µ) il denominatore di Va(µ) si nota ome esso onsista nella somma di due termini in seno e oseno: D(µ) = ''T1µ(' 2 '' µ2) sin(µ') + ('2 '' µ2) cos(µ') . Si sviluppi D(µ) in serie di T a ylor se ondo la denizione A.1.3. P er snellire la trattazione, v a evidenziato he i termini dello svilupp o deriv an ti da f (µi) una v olta sommati tra loro danno un risultato n ullo, essendo P i f (µi) = D(µi) = 0; questo è logi o da dedurre se si pensa he D(µi) è il denominatore al olato nel p olo, he p er denizione lo ann ulla. Si ometteranno p ertan to tutti i termini f (µi) , dato he non danno reale on tributo alla determinazione del limite e v erranno indi ati on [. . .] . lim µ''µi ''T1µ(' 2 '' µ2) sin(µ') '' '' [. . .] '' T1[(' 2 '' µ2 i ) sin(µi' ) '' 2µ 2 i sin(µi' ) + ' µi(' 2 '' µ2 i ) cos(µi' )](µ '' µi) + o(µ 2) = = [. . .] '' T1[sin(µi')(' 2 '' 3µ2 i ) + ' µi(' 2 '' µ2 i ) cos(µi' )](µ '' µi) + o(µ 2) (4.3.2) lim µ''µi ('2 '' µ 2) cos(µ') '' ''[. . .] + [''2µi cos(µi') '' '(' 2 '' µ2 i ) sin(µi' )](µ '' µi) + o(µ 2) (4.3.3) Sommando i due limiti (4.3.2) e (4.3.3) si ottiene lo svilupp o di T a ylor del denominatore, he opp ortunamen te riarra ng ia to dà: lim µ''µi D(µ) '' D(µi) + [''T1 sin(µi')(' 2 '' 3µ2 i ) '' T1'µi(' 2 '' µ2 i ) cos(µi' )+ '' 2µi cos(µi') '' '(' 2 '' µ2 i ) sin(µi' )](µ '' µi) + o(µ 2) '' '' D(µi) '' {sin(µi')[T1(' 2 '' 3µ2 i ) + ' (' 2 '' µ2 i )]+ + cos(µi' )[T1' µi(' 2 '' µ2 i ) '' 2µi]}(µ '' µi) + o(µ 2) '' D(µi) '' {sin(µi')[' 2(T1 + ') '' µ2 i (3T1 + ' )]+ + µi cos(µi' )[T1' (' 2 '' µ2 i ) '' 2]}(µ '' µi) + o(µ 2) A questo pun to, a v endo un termine noto n ullo D(µi) e tras urando gli innitesimi di ordine sup eriore, si v ede ome si p ossa sempli are (µ''µi) al denominatore on quello al n umeratore. Sempli ando inne i due segni negativi a n umeratore e denominatore il limite risulta esistere 40 e p ertan to il residuo R(ıµi) = limµ''µ i e ıtµVa(ıµ)ı(µ '' µi) ha v alore: R(ıµi) = eıµitµi sin(µi' )['2(T1 + ' ) '' µ2i(3T1 + ')] + µi cos(µi')[T1'('2 '' µ 2 i ) '' 2] (4.3.4) Si al olino ora i residui dei p oli dell'ingresso, he in questo aso è solo uno dato he l'ingresso ha un uni o p olo in µIN = ' . Op erando la onsueta sostituzione s = ıµ e ri ordando la s omp osizione (x2 '' y 2) = (x + y)(x '' y) , si ottiene una forma determinata lim s''ı' e stVa(s)(s '' ı') = lim µ''' e ıµt ''µ(µ '' ') [''T1µ sin(µ') + cos(µ')]('2 '' µ2) = = lim µ''' e ıµt µ(µ '' ') [''T1µ sin(µ') + cos(µ')](µ '' ')(µ + ') = = eı't 2[cos('' ) '' T1' sin('')] , e quindi R(ı') = eı't 2[cos('' ) '' T1' sin('')] . (4.3.5) Ri ordando la form ula (B.2.10) vista in B.2 si può inne s riv ere: va(t) = m X i =1 e ±ıµitµi sin(µi' )['2(T1 + ' ) '' µ2i(3T1 + ')] + µi cos(µi')[T1'('2 '' µ 2 i ) '' 2] + + e ±ı't 2[cos('' ) '' T1' sin('')] (4.3.6) A questo pun to della trattazione è opp ortuno soermars i su delle osserv a z io ni imp ortan ti, sia dal pun to di vista matemati o he si o. ' Nella form ula (4.3.6) si è in tro dotto il segno ± ad ogni p olo: questo p er hé i p oli im- maginari sono sempre a oppia on il loro omplesso oniugato. A liv ello prati o questo signi a he nell'eseguire la sommatoria si do vranno onsiderar e p er ogni k due termini on segno della fase opp osto; an he a liv ello gra o si in tuis e ome una somma di questo genere elimini le parti immaginarie e las i solo la omp onen te reale, in a ordo on quel he i si asp etta dall'an titrasforma z io ne di un segnale dal dominio di Lapla e al dominio del temp o (dominio puramen te reale). ' Sempre nella form ula (4.3.6) si distinguono due termini: uno legato ai p oli del la line a e uno legato al p olo del l'ingr esso . Il primo è una sommatoria di termini os illatori a div erse pulsazioni proprie della linea a ostan ti distribuite, il se ondo è un uni o termine alla frequenza di rete. ' p ossibile quindi dedurre he quest'ultimo rappresen ta il segnale a r e gime men tre l'altro rappresen ta la omp onente tr ansitoria ; ome i si asp etta, il segnale reale è dato dalla somma della omp onen te p ermanen te e di quella transitoria . ' I residui legati ai p oli della linea non sono i residui di F (s) ma di estVa(s) : questo do vrebb e risultare espli ito dalla trattazione eseguita, ma è giusto pun tualizzarlo. In altre parole, il v alore di R(ıµi) he determina l'ampiezza delle os illazioni transitorie non 41 è ri a v abile da F (s) , ma dip ende fortemen te dal segnale in ingresso, ome tra l'altro è giusto asp ettarsi. 4.3.2 Caso ideale - omp ensato Come già visto al paragr a fo 4.3.1, p er al olar e i residui di estVa(s) è ne essario deni- re an he l'ingresso e(t) e la sua trasformata E(s) . An he nel aso omp ensato v algono le onsiderazio ni sv olte in pre edenza: l'istan te p eggiore di hiusura dell'in terruttore è quello in ui la tensione del generator e e massima, il he equiv ale a onsiderar e un ingresso di tip o osin usoidale e(t) = Vmaxcos('t) , la ui trasformata è già stata vista nell'equazione (4.2.5) . Sostituendo quindi (4.2.5) in (2.3.4) si ottiene Va(s) nel aso di ingresso osin usoidale Va(s) = 1 h cosh(s' ) ³ 2 Lcc
Lsr + 1 ´ + sinh(s' ) ³ Z2 c Lcc +s 2L2 sr Lcc+Z 2 c Lsr sZcL2sr ´i (s2 + '2) . (4.3.7) Si v ogliono an ora una v olta al olar e i residui di estVa(s) se ondo (A.4.1) nei p oli della linea si . Op erando l'ormai onsueta sostituzione s = ıµ si ottiene lim s''si e stVa(s)(s''si) = lim µ''µi ''e ıµtµ(µ '' µi) h cos(µ' ) ³ 2 Lcc
Lsr + 1 ´ + sin(µ' ) ³ Z2 c (Lcc Lsr ) ''µ2L2 sr Lcc µZcL2sr ´i ('2 '' µ2) . Si v ede ome, es ludendo l'esp onenziale omplesso eıµt , si ottenga sempre una funzione a v ariabili puramen te reali, io è Va(ıµ)(ıµ '' ıµi) = Va(µ)(µ '' µi) . Il limite p er µ '' µi è in una forma del tip o 0
0 e pertanto risulta indeterminato. Chiamando an ora D(µ) il denominatore di Va(µ) e onsiderando l'espressione più snella ( 2.3.7) di F (s) , il denominatore D(µ) div en ta hiaramen te la somma di tre termini, D(µ) = A ¡'2 '' µ 2¢ cos(µ') + B µ ¡'2 '' µ 2¢ sin(µ') '' µC ¡'2 '' µ2¢ sin(µ') . (4.3.8) P er al olar e il limite è ne essario sviluppare in serie di T a ylor questi tre termini sempre se ondo la denizione A.1.3. An he qui, in analogia on quan to già spiegato al paragr a fo 4.3.1, si indi a on [. . .] quel termine dello svilupp o deriv an te da f (µi) he, una v olta sommato agli altri, darebb e P i f (µi) = D(µi) = 0: lim µ''µi A('2 '' µ 2) cos(µ') = =[. . .] + £''2µi cos(µi') '' '(' 2 '' µ2 i ) sin(µi' ) ¤ (µ '' µi) + o(µ 2) , (4.3.9) lim µ''µi ('2 '' µ 2) B µ sin(µ' ) = =[. . .] + B · ''2 sin(µi') '' '2 '' µ 2 i µ2 i sin(µi' ) + ' '2 '' µ 2 i µi cos(µi' ) ¸ (µ '' µi) + o(µ 2) = =[. . .] + B · ' '2 '' µ 2 i µi cos(µi' ) '' sin(µi') µ 2 + '2 '' µ 2 i µ2 i ¶¸ (µ '' µi) + o(µ 2) , (4.3.10) 42 lim µ''µi ''Cµ(' 2 '' µ2) sin(µ') = =[. . .] '' C £''2µ 2 i sin(µi' ) + sin(µi' )(' 2 '' µ2 i ) + ' µi(' 2 '' µ2 i ) cos(µi' ) ¤ (µ '' µi) + o(µ 2) = =[. . .] '' C £' µi('2 '' µ 2 i ) cos(µi' ) '' sin(µi')(3µ 2 i '' ' 2)¤ (µ '' µi) + o(µ2) . (4.3.11) Sommando i tre limiti (4.3.9) , (4.3.10) e (4.3.11) si ottiene lo svilupp o di T a ylor del denomi- natore, he opp ortunamen te riarra ng ia to dà lim µ''µi D(µi) '' '' D(µi) + cos(µi') · ''2Aµi + B' '2 '' µ 2 i µi '' C'(' 2 '' µ2 i ) ¸ + '' sin(µi') · A' ('2 '' µ 2 i ) + B µ 2 + '2 '' µ 2 i µ2 i ¶ '' C(3µ 2 i '' ' 2) ¸ (µ '' µi) + o(µ 2) '' '' D(µi) + cos(µi') · ''2Aµi + '(' 2 '' µ2 i ) µ B µi '' Cµi ¶¸ + '' sin(µi') · ('2 '' µ 2 i ) µ A' + B µ2 i ¶ + 2B '' C(3µ 2 i '' ' 2) ¸ (µ '' µi) + o(µ 2) . A questo pun to, a v endo un termine noto n ullo D(µi) e tras urando gli innitesimi di ordine sup eriore, si v ede ome si p ossa sempli are (µ''µi) al denominatore on quello al n umeratore. Il limite risulta esistere e p ertan to il residuo R(ıµi) = limµ''µ i e ıtµVa(ıµ)ı(µ '' µi) ha v alore R(ıµi) = eıµitµi cos(µi' )Kcos '' sin(µi')Ksin , (4.3.12) a v endo denito p er sempli ità i due v alori dip enden ti da µi , Kcos = · ''2Aµi + '(' 2 '' µ2 i ) µ B µi '' Cµi ¶¸ , (4.3.13) Ksin = · ('2 '' µ 2 i ) µ A' + B µ2 i ¶ + 2B '' C(3µ 2 i '' ' 2) ¸ . (4.3.14) Si al olino ora i residui dei p oli dell'ingresso, he in questo aso è solo uno dato he l'ingresso ha un uni o p olo in µIN = ' . Op erando la onsueta sostituzione s = ıµ e ri ordando la s omp osizione (x2 '' y 2) = (x + y)(x '' y) , si ottiene una forma determinata, lim s''ı' e stVa(s)(s '' ı') = lim µ''' e ıµt µ(µ '' ') h A cos(µ' ) '' sin(µ') ³ µC '' B µ ´i ('2 '' µ2) = = lim µ''' e ıµt µ(µ '' ') h A cos(µ' ) '' sin(µ') ³ µC '' B µ ´i (µ '' ')(µ + ') = = eı't 2 £A cos('' ) '' sin('') ¡'C '' B ' ¢¤ , 43 e quindi R(ı') = eı't 2 £A cos('' ) '' sin('') ¡'C '' B ' ¢¤ . (4.3.15) Ri ordando la form ula (B.2.10) vista in B.2 si può inne s riv ere: va(t) = m X i =1 e ±ıµitµi cos(µi' )Kcos '' sin(µi')Ksin + e ±ı't 2 £A cos('' ) '' sin('') ¡'C '' B ' ¢¤ (4.3.16) 44 5 Meto do on approssimazione di T a ylor L'an titrasforma z io ne di (2.2.10) e (2.3.4) è resa di oltosa, ome si è visto, dalla omples- sità del denominatore, he non tro v a orrisp o ndenze on le an titrasforma te notev oli dell'ap- p endi e B. ' quindi le ito hiedersi se non esista un mo do p er approssima r e il denominatore e sempli are l'an titrasformaz io ne. In questo apitolo si v edrà ome lo svilupp o in serie di T a ylor, sp esso usato in am bito ingegneristi o, onsen ta tutto questo. In parti olar e renderà il denominatore di (2.2.10) e (2.3.4) di tip o razionale algebri o e quindi an titrasforma bile on i meto di lassi i. P er on tro, tutto il meto do sarà riferito ad un'espressione approssima ta , quindi i si do vrebb e asp ettare una pre isione inferiore risp etto al meto do Ghizzetti - Ossi ini. La basi matemati he di questo apitolo sono fornite in B.2.1; esse sono onsultabili su n umerosi testi: qui in parti olar e i si riferis e alla trattazione presen te in [9 '' e [26 ''. 5.1 Riassun to del meto do matemati o on approssimazione di T a ylor Si rip ortano in seguito p er omo dità, ris ritte p er il aso sp e i o he si sta analizzando, le espressioni del paragr a fo B.2.1. La form ula implemen tata nel meto do on approssima z io ne di T a ylor è la (B.2.5) leggermen te mo di ata 8 va(t) = n X k =1 R(sk) , in ui on sk indi hiamo tutti i p oli ( io è pun ti di singolar ità , v edi A.3) di estVa(s) e on R(sk) i residui (v edi A.4) di estVa(s) nei p oli sk . Si v ede ome il problema osì imp ostato risulti del tutto analogo a quello visto al apitolo 4: la dierenza sostanziale sta nell'espressione di Va(s) he v errà approssima ta , sotto opp ortune ip otesi, median te lo svilupp o in serie di T a ylor A.1.3. In parti olar e si appli herà la (A.1.4) al denominatore D(s) di Va(s) : D(s) = n X i =0 Di(s0) i! (s '' s0) i + o(n) s '' s0 . La natura di D(s) , dop o quest'approssima z io ne, non sarà più tras enden te ma di tip o razionale algebri o 9 . Questo risultato onsen te an he di utilizzare la (B.2.7) , R(sk) = e skt N (sk) D'(sk) , in ui N (sk) è il n umeratore di Va(s) e D '(s) la deriv ata prima del denominatore, en tram bi al olati nel p olo sk . Le questioni da aron tare saranno sempre due: 8 In parti olare , p er non rear e onfusione on la notazione usata al paragra fo B.2.1, si fa presen te he è iden ti o onsiderar e la somm atoria P n
k=1 R(sk ), on R(sk ) residui di e st Va(s) , e la somm atoria P n
k=1 e st R(sk) , on R (sk) residui solo di Va (s) : qui si è s elta la prima espressione p er meglio evidenziare l'analogia tra i tre meto di. 9 Lo svilupp o in serie di T a ylor è infatti una somm atoria su i di monomi di grado i resen t e no ad n , moltipli ati p er un o e ien te he è la deriv ata i -esima: il risultato è un p olinomio razionale di grado n del tip o P (x) = anx n + an ''1x n''1 + . . . + a1x + a0 . 45 ' al olo dei p oli, he sarà aron tato nella su essiv a sezione 5.2; risulterà più snello e v elo e di quan to visto in 4.2 proprio grazie alla natura razionale algebri a di D(s) ; ' al olo dei r esidui, he sarà aron tato nella sezione 5.3; si nota subito ome la form ula (B.2.7) sia molto sempli e p oi hé p ermette di arriv a r e in un solo passagg io ad un'espres- sione del residuo, a dierenza dei lunghi e ompli ati passagg i ne essari p er le espressioni (4.3.4) e (4.3.12) viste ai paragr a  4.3.1 e 4.3.2. Sin dall'inizio si imp osterà l'analisi nel aso generale di svilupp o di ordine n , fa ilmen te imple- men tabile in un linguaggio di progra mma z io ne, las iando osì la p ossibilità di s egliere la pre- isione della soluzione e non vin olandosi a uno svilupp o determinato, he p eraltro risulterebb e an he in utilmen te omplesso se reso totalmen te espli ito. 5.2 Cal olo dei p oli 5.2.1 Caso ideale - non omp ensato Come già fatto notare, il termine est può non essere analizzato nel al olo dei p oli, p oi hé è immediato v eri are he ne è priv o. Lo studio dunque v errà aron tato in maniera distin ta solo p er i già noti asi di p oli del la line a e p oli del l'ingr esso . Poli del la line a Si inizia al olando gli sviluppi asin toti i di seno e oseno ip erb oli o. Si ri orda he le deriv ate prime v algono d ds [cosh(s)] ¯
¯
¯
¯s=0 = sinh(s)|s=0 = 0 , (5.2.1) d ds [sinh(s)] ¯
¯
¯
¯s=0 = cosh(s)|s=0 = 1 , (5.2.2) Si prenda ora ad esempio la deriv ata se onda del oseno ip erb oli o d2 ds2 [cosh(s)] ¯
¯
¯
¯s=0 = d ds [sinh(s)] ¯
¯
¯
¯s=0 = 1 , he essendo funzione di (5.2.2) è div ersa da 0 . Dis orso analogo è p ossibile fare p er la deriv ata se onda del seno ip erb oli o d2 ds2 [sinh(s)] ¯
¯
¯
¯s=0 = d ds [cosh(s)] ¯
¯
¯
¯s=0 = 0 , he essendo funzione di ( 5.2.1) è uguale a 0 . Il pro edimen to è rip etibile in mo do ri orsiv o e si può fa ilmen te estendere al aso generi o di deriv ate n '' esime , visto he è sempre p ossibile esprimere la deriv ata (n + 1) '' esima di una ome funzione dell' n '' esima dell'altra in una forma del tip o: f n +1(s)¯ ¯s=0 = g n(s)| s =0 , (5.2.3) g n +1(s)¯ ¯s=0 = f n(s)| s =0 , on f '(0) = 1 , g'(0) = 0 . (5.2.4) Esiste quindi una su essione logi a delle deriv ate: 46 ' il oseno ip erb oli o ha solo deriv ate di ordine pari, p er hé ri ondu ibili a funzioni di (5.2.2) he è div erso da 0 ; ' il seno ip erb oli o ha solo deriv ate di ordine dispari, p er hé ri ondu ibili a funzioni di (5.2.1) he è div erso da 0 . In questo aso parti olar e si dev e tener on to he l'argomen to è la ostan te ' moltipli ata p er la v ariabile s , p er ui le (5.2.3) e (5.2.4) div en tano più propriamen te: f n +1(s')¯ ¯s=0 = g n(s')| s =0 ' , (5.2.5) g n +1(s')¯ ¯s=0 = f n(s')| s =0 ' , on f '(0) = ' , g'(0) = 0 . (5.2.6) Quan to detto risulterà più hiaro se si fa riferimen to al seguen te pi olo esempio di ordine 4 : d4 ds4 [cosh(s' )] ¯
¯
¯
¯s=0 = d3 ds3 [sinh(s' )] ¯
¯
¯
¯s=0 · ' = = d2 ds2 [cosh(s' )] ¯
¯
¯
¯s=0 · ' 2 = = d ds [cosh(s' )] ¯
¯
¯
¯s=0 · ' 3 = = ' 4 . Usando le form ule (5.2.5) e (5.2.6) in (A.1.4) si ottengono gli sviluppi asin toti i di ordine n di seno e oseno ip erb oli o on argomen to s' nel pun to s = 0 : cosh(s' ) = 1 + (0) · (s) + (' 2) · (s2) 2! + (0) · (s3) 3! + (' 4) · (s4) 4! + . . . + o(n) = = n X i =0 (' 2i)(s2i) 2i! + o(n) , (5.2.7) sinh(s' ) = 0 + (' ) · (s) + (0) · (s2) 2! + (' 3) · (s3) 3! + (0) · (s4) 4! + . . . + o(n) = = n X i =0 (' 2i+1)(s2i+1) (2i + 1)! + o(n) . (5.2.8) Si può adesso pro edere alla sostituzione di (5.2.7) e (5.2.8) nel denominatore D(s) di 47 0 1 2 3 4 5 6 x 10 4 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Im[D(s)] |D(s)| Modulo del denominatore D(s) di V a (s) D(s) approssimato (parte reale = 0)
D(s) approssimato (parte reale = 4000)
D(s) approssimato (parte reale = 4724.2)
D(s) esatto Figura 5.1: Mo dulo del denominatore D(s) di Va(s) in funzione della parte immaginaria di s e parametrizza to p er al uni v alori della parte reale di s , nel aso esatto ed approssima to (2.2.10) , sT1 sinh(s' ) + cosh(s' ) '' '' sT1 · n X i =0 (' 2i+1)(s2i+1) (2i + 1)! + n X i =0 (' 2i)(s2i) 2i! + o(n) = sT1 · n X i =1 (' 2i '' 1)(s2i''1) (2i '' 1)! + n X i =0 (' 2i)(s2i) 2i! + o(n) = n X i =1 T1(' 2 i'' 1)(s2i) (2i '' 1)! + 1 + n X i =1 (' 2i)(s2i) 2i! + o(n) = 1 + n X i =1 · T1(' 2i '' 1) (2i '' 1)! + (' 2i) 2i! ¸ (s2 i) + o(n) . (5.2.9) P er ottenere una forma ompatta si è imp osto he il termine di ordine maggior e sia quello del oseno ip erb oli o e si è p ortato fuori il termine (' 2i)(s2i) 2i! ¯
¯
¯i=0 = 1 dalla sommatoria : osì è p ossibile p ortare tutto den tro un uni o sim b olo di sommatoria e ra og lier e un fattore s2i . La (5.2.9) è un p olinomio algebri o di ordine n : se eguagliata a 0 , div en ta un'equazione algebri a e le sue radi i sono ri a v abili da un qualsiasi al olator e automati o senza tropp e di oltà. Espressioni analiti he si p otrebb ero ri a v ar e p er n di ordine 2 , 3 o 4 , ma non si otterrebb ero om unque risultati pre isi nè signi ativi a liv ello teori o. A questo pun to risulta utile un onfron to on l'espressione esatta del denominatore D(s) p er v edere he approssima z io ni si stanno in tro du endo. Si onsideri uno svilupp o di ordine 40 ; on riferimen to alla gura 5.1, si può notare ome l'approssimaz io ne di T a ylor ( urv a blu on tin ua) sia adeguatamen te aderen te alla form ulazione esatta ( urv a blu tratteggiata ) no ad ordini elev ati della parte immaginaria; da lì in p oi essa div erge e il mo dulo tende a innito. I pun ti in ui il mo dulo di D(s) si ann ulla iden ti ano i p oli di D(s) : la pre isione è su ien te, soprattutto se si onsidera he la parte immaginaria si amen te rappresen ta una pulsazione e 48 he il on tributo di ampiezza dei termini di (B.2.5) de res e molto al suo aumen tare, quindi l'error e he si ommette è atten uato. I pun ti di passagg io p er lo 0 sono in questo aso 6, he orrisp o ndo no a 12 radi i (dato he i p oli sono omplessi e oniugati); è p erò noto he un p olinomio di ordine n dà luogo ad n soluzioni, quindi è le ito domandarsi do v e siano le altre 28 . La risp osta arriv a se si parametrizza il denominatore on la parte reale di s : in gura 5.1 sono rip ortate in rosso e aran ione le urv e he tendono al primo p olo on parte reale div ersa da 0 . Nella realtà si sa he, data l'ip otesi di linea ideale, le radi i dev ono essere tutte puramen te immaginarie; di onseguenza tutte quelle he non so ddisfano a quest'ip otesi dev ono essere tras urate, p oi hé frutto solo dell'approssimazio ne e priv e di un ris on tro si o: esse non sarebb ero infatti presen ti se si usasse D(s) esatto. Sarà ompito del progra mma di al olo automati o, a ui v errà fornito il p olinomio approssima to di ordine n , al olar ne le radi i e tenere solo i risultati a ettabili. Poli del l'ingr esso P er i p oli dell'ingresso n ulla am bia, visto he i si p one nel aso p eggiore di ingresso osin usoidale he presen ta un uni o p olo in µIN = ' . 5.2.2 Caso ideale - omp ensato Poli del la line a Riprendendo le onsiderazio ni app ena viste al paragr a fo 5.2.1, si può brev emen te passare già alla sostituzione di (5.2.7) e (5.2.8) nel denominatore D(s) di (2.3.4) : A cosh(s' ) + sinh(s' ) µ B s + sC ¶ '' '' A · n X i =0 (' 2i)(s2i) 2i! + µ B s + sC ¶ · n X i =0 (' 2i+1)(s2i+1) (2i + 1)! + o(n) = A · n X i =0 (' 2i)(s2i) 2i! + B · n X i =0 (' 2i+1)(s2i) (2i + 1)! + sC · n X i =1 (' 2i '' 1)(s2i''1) (2i '' 1)! + o(n) = s2 i · n X i =0 · A (' 2i) 2i! + B (' 2i+1) (2i + 1)! ¸ + n X i =1 C (' 2i '' 1)(s2i) (2i '' 1)! + o(n) = (A + B' ) + s2 i · " n X i =1 A (' 2i) 2i! + B (' 2i+1) (2i + 1)! + C (' 2i '' 1)(s2i) (2i '' 1)! # + o(n) . (5.2.10) Una v olta ostruito il p olinomio approssima to sarà ompito del al olator e tro v arne le radi i; i riteri di a ettabilità delle stesse e le approssima z io ni he questo in tro du e sono le stesse del paragr a fo 5.2.1. Poli del l'ingr esso P er i p oli dell'ingresso n ulla am bia, visto he i si p one nel aso p eggiore di ingresso osin usoidale he presen ta un uni o p olo in µIN = ' . 49 5.3 Cal olo dei residui 5.3.1 Caso ideale - non omp ensato Con le approssima z io ni in tro dotte si è arriv a ti ad una forma della tensione trasformata del tip o Va(s) = N (s) Dapprox(s) . Si sa dal paragr a fo 4.2.1 he i p oli di D(s) sono tutti immaginari e distin ti l'uno dall'altro, ome si v ede an he nelle gure 4.1 e 5.1. In questo aso parti olar e , ome spiegato meglio in app endi e B.2.1, p er al olar e i residui di estVa(s) si può appli are la (B.2.7) , he div en ta R(sk) = e skt N (sk) D'approx(sk) . A v endo ostruito il denominatore ome un p olinomio razionale di ordine n , on n v ariabile in base alla pre isione v oluta, è fa ile al olar ne la deriv ata in mo do automatizzato. P er quan to detto al paragr a fo 5.2.1 i residui andranno al olati solo su quei p oli on parte reale n ulla, in base all'ip otesi fatta di linea ideale. L'espressione del residuo sarà uguale sia nel aso dei p oli della linea he di quelli dell'ingresso. 5.3.2 Caso ideale - omp ensato P er il aso omp ensato v ale il dis orso fatto al pre eden te paragr a fo 5.3.1: l'uni a dierenza sarà nell'espressione di D(s) e nei div ersi v alori di pulsazione he si tro v eranno duran te il al olo dei p oli. 50 6 Meto do Benato Proseguendo la ri er a di n uo vi algoritmi p er l'analisi delle so vratensio ni in terne, è v en uto alla lu e un meto do he ha un'ideale on tin uità on quello approssima to di T a ylor. Esso trae origine dagli studi eseguiti dal grupp o di ri er a di Sistemi Elettri i p er l'Energia dell'Univ ersità di P ado v a sotto la sup ervisione del prof. Benato sull' analisi multi onduttor e (Multi ondu tor Cell Analysis, in seguito MCA). Questa tip ologia di appro io ai sistemi elettri i di trasmissione dell'energia è stata sviluppata p er tener on to nella sua in terezza delle aratteristi he del sistema (dissimmetrie, presenza di altri onduttori passivi ome s hermi e guaine) e ra og lier e maggior i informazioni risp etto ad un'analisi ondotta su s hemi monofasi equiv alen ti, p er loro natura approssima ti. Il meto do si basa sulla matri e alle ammettenze, he tiene on to delle disimmetrie e della presenza di altri onduttori, relativ a a una ella elemen tare di lunghezza ''l mo dellata ome un doppio bip olo a ' : op erando una as ata di queste matri i si ries ono ad ottenere, p er ondizioni di regime o di guasto, i v alori di tensione p er ogni elemen to della linea e in una qualsiasi ella. Quello he viene presen tato di seguito è un ten tativ o di estendere la pro edura dai regimi p ermanen ti a quelli transitori. P er restare in linea an he on il la v oro esp osto nei pre eden ti apitoli si tratterà es lusiv amen te una linea ideale e simmetri a, non sfruttando quindi i prin i- pali v an taggi he ore l'MCA, ma questa p otrà essere una v alida base di partenza p er su essivi la v ori: a parere di hi s riv e, l'estensione del meto do al aso di linea reale e su essiv amen te a sistemi m ulti onduttore non do vrebb e risultare e essiv amen te ompli ato. Dato he l'in tuizione iniziale e la gestione del grupp o di ri er a sono del prof. Benato, questo meto do è a lui dedi ato. 6.1 Matri i di trasmissi one 6.1.1 Matri e di trasmiss i o ne della linea Si sa he una linea può essere rappresen tata attra v ers o una matri e di trasmissione a partire dal sistema di equazioni (2.1.26) [8 '': T = " A B C D # = " cosh[xk(s)] Zc sinh[xk(s)] sinh[xk(s)] Zc cosh[(xk(s)] # ; (6.1.1) nel aso in esame di linea ideale è p ossibile sostituire s' a xk(s) ed utilizzare solo l'elemen to A della matri e p er al olar e la tensione, p er hé la linea è a vuoto. Si è inoltre visto al apitolo 5 ome sia p ossibile utilizzare gli sviluppi asin toti i di seno e oseno ip erb oli o ottenendo om unque una buona pre isione dei risultati. Si prenda ora in onsiderazio ne un mo dello della linea a ostan ti on en trate ome mostrato in gura 6.1; è p ossibile ostruire la matri e del doppio bip olo ostituito da Z e Y T'' = " 1 + ZY Z Y 1 # (6.1.2) 51 Z = z · d
2 Z = z · d
2 Y = y · d
2 Y = y · d
2 T'' Figura 6.1: Rappresen tazione di una linea ome as ata di due doppi bip oli a parametri on en trati e, ri ordando he Z = z · d
2 (6.1.3) Y = y · d
2 , (6.1.4) on z e y risp ettiv amen te imp edenza e ammettenze hilometri he della linea, si ottiene sosti- tuendo in (6.1.2) T'' = " 1 + zy · d 2 4 z · d
2 y · d
2 1 # = " 1 + zy · d 2 4 z · d
2 y · d
2 1 # . (6.1.5) La matri e di trasmissione dell'in tera linea è o vviamen te T = T'' 2 . (6.1.6) Si al oli il solo elemen to A di T p er i motivi visti in pre edenza, ri ordando he zy = k : A = 1 + 3 zy 4 d2 + (zy)2 16 d4 = 1 + 3 (kd)2 4 + (kd)4 16 . (6.1.7) Si può p ensare di aumen tare il n umero di doppi bip oli in as ata onsiderando n tratti di linea sempre più brevi di lunghezza ''l , tali he n · ''l = d : si arriv a a ostruire osì una osiddetta s ala di doppi bip oli. La matri e di trasmissione totale sarà ora data da T = T'' n , (6.1.8) in analogia on (6.1.6) . Implemen tando on il pa hetto di al olo sim b oli o di Matlab il al olo di T e tron ando p er sempli ità l'espressione ai termini di quarto grado 10 , si ottiene la tab ella 6.1.1. Si analizzi ora il termine on (dk)2 : si v ede he il suo o e ien te moltipli ativ o 10 Quest'approssimazione è p ossibile se si onsidera he zy = k 2 è molto pi olo, dell'ordine di ir a 10'' 6 . 52 T ab ella 4: Primo elemen to A della matri e di trasmissione T , equiv alen te alla serie di n matri i T'' , al olato p er div ersi v alori di n on Matlab. n umero di elle elemen to A di T 3 1 + (dk)2 6 9 + (dk) 4 5 81 + . . . 4 1 + (dk)2 10 16 + (dk) 4 15 256 + . . . 5 1 + (dk)2 15 25 + (dk) 4 35 625 + . . . 6 1 + (dk)2 21 36 + (dk) 4 70 1296 + . . . segue una sequenza n umeri a al res ere del n umero di elle n , riassumibile ome 6
9 , 10
16 , 15
25 , 21
36 , 28
36 , . . . , 1
2 (n 2 + n)
n2 . Eseguendo il limite p er n he tende a innito si ottiene lim n'''' 1
2 (n 2 + n)
n2 = 1
2 , (6.1.9) he è proprio il o e ien te del termine di se ondo grado dello svilupp o di T a ylor (5.2.7) del oseno ip erb oli o. Analoghe onsiderazio ni p ossono essere fatte p er i termini di ordine sup eriore. Abbiamo quindi dimostrato ome, ostruendo una sempli e matri e di trasmissione T'' p er una p orzione su ien temen te pi ola di linea ''l , si ries a a ri a v ar e la matri e di tra- smissione T dell'in tera linea ome sempli e elev amen to a p otenza di T'' , ri ondu ibile al aso già studiato e riten uto pre iso dell'approssimazio ne in serie di T a ylor. Quest'appro io p erò è molto più sempli e dal pun to di vista formale e più essibile: esso infatti non è ne essaria men te legato a una data ongurazio ne di linea, essendo su ien te in tro durre le opp ortune matri i di mo dellizzazione degli altri elemen ti, ome si andrà adesso a v edere. 6.1.2 Matri e di trasmiss i o ne dell'i m p e de nza del generatore equiv alen te Il aso studiato in quest'arti olo ha sempre fatto riferimen to a una linea ideale alimen tata da un generator e equiv alen te di tensione. P er tenerne on to an he in questo meto do sarà su ien te reare la matri e del doppio bip olo degenere asso ia to a un'imp edenza serie, ome in gura 6.2 Talim = " 1 Zalim 0 1 # . (6.1.10) Questa andrà p oi moltipli ata p er la matri e di trasmissione della linea deriv an te dalla s ala di doppi bip oli. 53 Zalim Talim Figura 6.2: Imp edenza serie equiv alen te all'imp edenza della rete di alimen tazione Ysr Tsr Figura 6.3: Ammettenza parallelo equiv alen te all'ammettenza del reattore di omp ensazione 6.1.3 Matri e di trasmiss i o ne dello sh un t rea tor Nel aso di linea omp ensata è su ien te moltipli are la matri e di trasmissione della linea p er la matri e di trasmissione del doppio bip olo degenere asso ia to a un'imp edenza in deriv azione, ome in gura 6.3 Tsr = " 1 0 Ysr 1 # . (6.1.11) Ovviamen te la matri e T v a moltipli ata p er Tsr all'inizio e alla ne, o om unque nel pun to in ui lo sh un t rea tor viene inserito, dato he p er il pro dotto tra matri i non v ale la proprietà omm utativ a. 6.1.4 P arallelo di doppi bip oli A v endo asso ia to alla linea la sua matri e di trasmissione T , si può p ensare di v alutare il omp ortamen to on più linee in parallelo. P er farlo basta seguire le indi azioni fornite in [8 '' e 54 qui rip ortate: Ap = A1B2 + A2B1 B1 + B2 Bp = B1B2 B1 + B2 Cp = C1 + C2 + (A1 '' A2)(D1 '' D2) B1 + B2 Dp = D1B2 + D2B1 B1 + B2 . (6.1.12) Nel aso in ui le linee siano iden ti he e quindi si abbia l'uguaglianza T1 = T2 le (6.1.12) si sempli ano in Ap = A1 Bp = B1 2 Cp = 2C1 Dp = D1 . (6.1.13) 6.2 An titr asformazi one omputazionale della matri e di trasmissi one Una v olta denite le matri i T'' , Talim ed ev en tualmen te Tsr , basta omp orle in mo do adeguato. Con riferimen to al ir uito equiv alen te non omp ensato di gura 2.2 si ottiene la seguen te matri e totale di trasmissione Ttot = Talim · T'' n ; (6.2.1) on riferimen to in v e e al ir uito equiv alen te omp ensato di gura 2.3 si ottiene la seguen te matri e totale di trasmissione Ttot = Talim · Tsr · T'' n · Tsr . (6.2.2) Della matri e Ttot in teressa solo il primo elemen to Atot , p er hé la linea è a vuoto. Atot è un p olinomio algebri o an titrasformabile on meto di elemen tari: dato p erò l'elev ato n umero di elemen ti ne essari p er ottenere una pre isione su ien te ( n dev e tendere all'innito, quindi molto grande) sarebb e di oltoso an titrasforma r lo analiti amen te. Si sfrutteranno le apa i- tà di al olo automati he dell'elab orato r e p er sv olgere questo ompito: il risultato sarà una sommatoria di mo di eskt moltipli ati p er opp ortune ostan ti R(sk) . L'utilizzo di queste nomen lature è v oluto p er evidenziare la p erfetta analogia on ( B.2.5) e on i residui di estVa(s)11 , a ui si è an ora una v olta giun ti pur p er orr e ndo una strada div ersa. 11 Si v eda an he nota 8 a pag. 45. 55 56 7 V eri a dei mo delli on EMTP Si vuole ora v eri are la orrettezza dei mo delli prop osti ai apitoli 4, 5 e 6 eseguendo dei on trolli in ro iati tra di essi e onsiderando an he un mo dello esterno in EMTP ostruito ome des ritto in 3.3. Come si a vrà mo do di appurare, la loro v alidità sarà ottima, almeno nel primo p erio do di transitorio he p erò è an he quello di maggior in teresse, p oi hé presen ta le so vratensio ni più elev ate. Inne v engono presen tati an he al uni in teressan ti onfron ti in termini di prestazioni. 7.1 V eri a del meto do Ghizzetti - Ossi ini A v endo a disp osizione en tram bi i mo delli, si è reata una subroutine in Matlab he op eri automati amen te il onfron to gra o. 7.1.1 Linea non omp ensata I risultati sono presen tati in gura 7.1 e più in dettaglio in gura 7.2. Dalla prima si v ede innanzitutto ome la pulsazione fondamen tale del termine transitorio sia la stessa nel aso del al olo in Matlab e in EMTP . Essendo la pulsazione legata alle soluzioni di (4.2.2) , si può dedurre he il meto do iterativ o di Newton - Raphson on ui sono al olate on v erge v erso un v alore orretto. Analizzando la forma d'onda più a fondo, ome nella se onda gura, si v ede he an he le su essiv e pulsazioni sono al olate in mo do esatto, p er hé la deformazione dell'onda fondamen tale he esse p ortano è prati amen te oin iden te a quella al olata on EMTP . Si nota p oi ome an he le ampiezze dei due asi siano quasi oin iden ti, il he p orta ad esser erti della b on tà dei al oli dei residui (4.3.4) e (4.3.5) . Le leggere dis repanze sono imputabili ai m utui a oppiamen ti magneti i tra fasi e s hermi, tras urati in v e e nel meto do Ghizzetti - Ossi ini: in parti olar e il pi o al olato da EMTP risulta essere più sm ussato. Con il proseguir e del temp o l'ampiezza della urv a di EMTP tende a de res ere in forma esp onenziale: iò è imputabile allo smorzamen to in tro dotto dalle resistenze, an ora una v olta tras urato nella pro edura Matlab. Estendendo la sim ulazione si a vrebb e quindi he il meto do Ghizzetti - Ossi ini os illerebb e p ermanen temen te (in o erenza on il aso ip otizzato di linea ideale) men tre EMTP tenderebb e gradualmen te a una situazione di regime p ermanen te. Si è om unque in grado di al olar e on il meto do Ghizzetti - Ossi ini la forma d'onda della tensione a regime: si ri orda, infatti, he la forma d'onda della tensione all'arriv o è ri a v ata ome somma di una parte transitoria , ri a v ata dai residui della linea (4.3.4) , e di una p ermanen te, legata ai residui dell'ingresso (4.3.5) . In parti olar e essa è più elev ata della tensione nominale di ir a il 10% , risultato ompatibile on quan to si sa sulla teoria delle linee a vuoto e l'eetto F erran ti. Inne si on lude he le impre isioni viste p o o inuenzano il al olo della so vratensio ne massima: essa è di 1.743 p.u. on il meto do Ghizzetti - Ossi ini e di 1.734 p.u. on EMTP , on una dierenza p er en tuale dello 0.52% , ad ogni mo do on un'approssimazio ne a fa v ore della si urezza. In teressan te an he notare ome la stima di massima di so vratensio ne di hiusura su linea a vuoto di ir a 2 p.u. he si tro v a in letteratura [8 '' sia prudenziale ma tendenzialmen te orretta. 57 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 ''2 ''1.5 ''1 ''0.5 0 0.5 1 1.5 2 Transitorio di chiusura '' linea IDEALE, NON COMPENSATA, 30 km '' confronto tra modello EMTP e MATLAB '' 20 ms t [s] v receiveng end [V] 1.743 '' '' 1.734 v Ghiz''Oss v EMTP v perm Figura 7.1: T ransitorio di hiusura nei primi 20 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , non omp ensata, d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do Ghizzetti - Ossi ini e EMTP 58 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 ''0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Transitorio di chiusura '' linea IDEALE, NON COMPENSATA, 30 km '' confronto tra modello EMTP e MATLAB '' 5 ms t [ms] v receiveng end [V] 1.743 '' '' 1.734 v Ghiz''Oss v EMTP v perm Figura 7.2: T ransitorio di hiusura nei primi 5 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , non omp ensata, d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do Ghizzetti - Ossi ini e EMTP 59 Come pi ola aggiun ta, si p orga attenzione al tratto iniziale del gra o in ui la tensione si man tiene n ulla: esso oin ide on il temp o di p er orr e nza della linea, stimato in (3.2.17) ome ' = 3.485 · 10 '' 4 s , io è l'estremità della linea resta a rip oso p er tutto quel temp o in ui l'onda viaggia dal pun to iniziale a quello nale, iniziando p oi a riettersi e reando le so vratensio ni n qui dis usse. 7.1.2 Linea omp ensata I risultati sono presen tati in gura 7.3 e più in dettaglio in gura 7.4. Le onsiderazio ni sulla pre isione del meto do sono analoghe a quelle del aso non om- p ensato. In parti olar e si nota an ora he le soluzioni di (4.2.7) sono orrette in quan to le pulsazioni, fondamen tale e di ordine sup eriore, oin idono e danno origine alla stessa forma d'onda. I residui sono al olati in mo do orretto, dato he le ampiezze delle due urv e oin idono. Il mo dello EMTP presen ta andamen to smorzato a ausa della presenza delle resistenza dei onduttori e tende quindi a una ondizione di regime, men tre il meto do Ghizzetti - Ossi ini os illa in mo do p ermanen te. Queste impre isioni non in iano il al olo della so vratensio ne massima, he nel aso del meto do Ghizzetti - Ossi ini risulta di 1.703 p.u. men tre on EMTP di 1.683 p.u. , on una dierenza dell' 1.18% , ad ogni mo do on un'approssimazio ne a fa v ore della si urezza. La so- vratensione a regime p er eetto F erran ti, evidenziata dalla urv a a tratteggio rosso no, è inferiore al aso non omp ensato, ome i si asp etta v a in tro du endo gli sh un t rea tor a inizio e ne linea. An he la so vratensio ne massima ne trae b ene io, alando del 2.94% ; il ruolo degli sh un t rea tor è quindi p ositiv o an he se non determinan te nella riduzione delle so vratensio ni, ome onfermato an he in [16 ''. 60 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 ''2 ''1.5 ''1 ''0.5 0 0.5 1 1.5 2 Transitorio di chiusura '' linea IDEALE, COMPENSATA, 30 km '' confronto tra modello EMTP e MATLAB '' 20 ms t [s] v receiveng end [V] 1.703 '' '' 1.683 v Ghiz''Oss v EMTP v perm Figura 7.3: T ransitorio di hiusura nei primi 20 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , omp ensata on ξ = 0.55 , d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do Ghizzetti - Ossi ini e EMTP 61 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 ''0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Transitorio di chiusura '' linea IDEALE, COMPENSATA, 30 km '' confronto tra modello EMTP e MATLAB '' 5 ms t [ms] v receiveng end [V] 1.703 '' '' 1.683 v Ghiz''Oss v EMTP v perm Figura 7.4: T ransitorio di hiusura nei primi 5 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , omp ensata on ξ = 0.55 , d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do Ghizzetti - Ossi ini e EMTP 62 7.2 V eri a del meto do on approssimazione di T a ylor Il meto do on approssima z io ne di T a ylor è stato messo a onfron to on EMTP e on il meto do Ghizzetti - Ossi ini, visto he era a disp osizione, an he p er v edere di quan to si dis osta v a. 7.2.1 Linea non omp ensata I risultati sono presen tati in gura 7.5 e più in dettaglio in gura 7.6. Come si v ede da en tram b e le gure, ma in parti olar e dalla se onda, il meto do on appros- simazione di T a ylor ri al a esattamen te la urv a al olata on il meto do Ghizzetti - Ossi ini: le onsiderazio ni fatte in 7.1 nel aso di linea non omp ensata sono quindi iden ti he e dal pun to di vista della pre isione i due si equiv algono . Ciò è an he in teressan te dal pun to di vista teori o p er hé, partendo dalle stesse basi e p er orr e ndo strade div erse, si è giun ti al medesimo risultato. 7.2.2 Linea omp ensata I risultati sono presen tati in gura 7.7 e più in dettaglio in gura 7.8. Si v ede an ora ome il meto do on approssima z io ne di T a ylor oin ida on il Ghizzetti - Ossi ini: p er il onfron to on EMTP v algono sempre le osserv a z io ni fatte in 7.1 nel aso di linea omp ensata. 7.3 V eri a del meto do Benato Il meto do Benato è stato messo a onfron to on EMTP e on il meto do Ghizzetti - Ossi ini, he ome si è visto oin ide on quello on approssima z io ne di T a ylor. 7.3.1 Linea non omp ensata I risultati sono presen tati in gura 7.9 e più in dettaglio in gura 7.10. Il meto do Benato si s osta, seppur di p o o, dai risultati ri a v ati in pre edenza. In parti- olare si v ede he la pulsazione fondamen tale non è pre isa ome negli altri asi, p er hé v erso i 20 ms tende ad an ti ipare le altre urv e. V a p erò ten uto presen te he ai ni dello studio delle so vratensio ni in teressano solo il primi istan ti di transitorio e in quel p erio do l'error e sulla pulsazione è de isamen te tras urabile. Esso v a imputato allo svilupp o approssima to di T a ylor a ui tende la as ata di elle rappresen tan ti la linea: aumen tando in mo do onsiderev ole il n umero di elle la urv a del meto do Benato tenderebb e a so vrapp o r s i alle altre. D'altro an to, l'imp egno omputazionale sarebb e di gran lunga maggior e e in ogni aso p o o utile. Si v ede infatti he la forma d'onda nella se onda gura, pur dis ostandosi dalle altre, p ermette di ri a v ar e in maniera esatta il v alore della so vratensio ne. Esso oin ide on i due asi pre eden ti e quindi v algono le stesse pre isioni risp etto a EMTP . 7.3.2 Linea omp ensata I risultati sono presen tati in gura 7.11 e più in dettaglio in gura 7.12. 63 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 ''2 ''1.5 ''1 ''0.5 0 0.5 1 1.5 2 Transitorio di chiusura '' linea IDEALE, NON COMPENSATA, 30 km '' confronto tra modello EMTP e MATLAB '' 20 ms t [s] v receiveng end [V] 1.744 '' '' 1.734 v Taylor v EMTP v Ghiz''Oss v perm Figura 7.5: T ransitorio di hiusura nei primi 20 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , non omp ensata, d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do on approssima z io ne di T a ylor e EMTP 64 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 ''0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 t [ms] v receiveng end [V] 1.744 '' '' 1.734 Transitorio di chiusura '' linea IDEALE, NON COMPENSATA, 30 km '' confronto tra modello EMTP e MATLAB '' 5 ms v Taylor v EMTP v Ghiz''Oss v perm Figura 7.6: T ransitorio di hiusura nei primi 5 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , non omp ensata, d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do on approssima z io ne di T a ylor e EMTP 65 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 ''2 ''1.5 ''1 ''0.5 0 0.5 1 1.5 2 Transitorio di chiusura '' linea IDEALE, COMPENSATA, 30 km confronto tra modello EMTP e MATLAB '' 20 ms t [s] v receiveng end [V] 1.702 '' '' 1.683 v Taylor v EMTP v Ghiz''Oss v perm Figura 7.7: T ransitorio di hiusura nei primi 20 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , omp ensata on ξ = 0.55 , d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do on approssima z io ne di T a ylor e EMTP 66 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 ''0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Transitorio di chiusura '' linea IDEALE, COMPENSATA, 30 km '' confronto tra modello EMTP e MATLAB '' 5 ms t [ms] v receiveng end [V] 1.702 '' '' 1.683 v Taylor v EMTP v Ghiz''Oss v perm Figura 7.8: T ransitorio di hiusura nei primi 5 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , omp ensata on ξ = 0.55 , d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do on approssima z io ne di T a ylor e EMTP 67 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 ''2 ''1.5 ''1 ''0.5 0 0.5 1 1.5 2 Transitorio di chiusura '' linea IDEALE, NON COMPENSATA, 30 km '' confronto tra modello EMTP e MATLAB '' 20 ms t [s] v receiveng end [V] 1.743 '' '' 1.734 v Benato v EMTP v Ghiz''Oss v perm Figura 7.9: T ransitorio di hiusura nei primi 20 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , non omp ensata, d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do on approssima z io ne Benato e EMTP 68 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 ''0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Transitorio di chiusura '' linea IDEALE, NON COMPENSATA, 30 km '' confronto tra modello EMTP e MATLAB '' 5 ms t [ms] v receiveng end [V] 1.743 '' '' 1.734 v Benato v EMTP v Ghiz''Oss v perm Figura 7.10: T ransitorio di hiusura nei primi 5 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , non omp ensata, d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do Benato e EMTP 69 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 ''2 ''1.5 ''1 ''0.5 0 0.5 1 1.5 2 Transitorio di chiusura '' linea IDEALE, COMPENSATA, 30 km '' confronto tra modello EMTP e MATLAB '' 20 ms t [s] v receiveng end [V] 1.701 '' '' 1.683 v Benato v EMTP v Ghiz''Oss v perm Figura 7.11: T ransitorio di hiusura nei primi 20 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , omp ensata on ξ = 0.55 , d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do on approssima z io ne Benato e EMTP 70 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 ''0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Transitorio di chiusura '' linea IDEALE, COMPENSATA, 30 km '' confronto tra modello EMTP e MATLAB '' 5 ms t [ms] v receiveng end [V] 1.701 '' '' 1.683 v Benato v EMTP v Ghiz''Oss v perm Figura 7.12: T ransitorio di hiusura nei primi 5 ms dop o la mano vra dell'in terruttore su linea in a v o XLPE 2500 mm2 a 400 kV , omp ensata on ξ = 0.55 , d = 30 km , xcc = 24.143 ' ; onfron to fra il meto do Benato e EMTP 71 Si ra vvisa lo stesso liv ello basso di impre isione messo in lu e al paragr a fo pre eden te, on onseguenze minime sulla pre isione dei risultati. Sui v alori massimi delle so vratensio ni v algono le stesse iden ti he onsiderazio ni fatte in 7.1 nel aso di linea omp ensata. 72 7.4 Prestazioni Si riassumono inne in tab ella 7.4 le prestazioni dei v ari meto di, non solo in termini di pre- isione ma an he di omplessità del o di e, tempi di al olo e essibilità in tesa ome asisti he implemen tabili (già adesso o attra v ers o sviluppi futuri, ome l'estensione al aso non ideale o a sistemi m ulti onduttore). Pr e isione Come più v olte spiegato, EMTP è stato assun to ome aso esatto p er hé più vi ino alle ip otesi reali: le pre isioni dei meto di sono quindi ad esso riferite e ome si è visto nelle sezioni pre eden ti p ossono tutte onsiderar s i ottime pur nelle ip otesi di idealità della linea. Il meto do he più si dis osta dagli altri è il Benato. T empi di al olo Andando a v edere i tempi di al olo (dato fornito direttamen te da EMTP o utilizzando i omandi ti e to in Matlab) si hanno dei v alori sorprenden ti: infatti tutti i meto di prop osti hanno tempi di al olo inferiori risp etto al soft w are ommer iale, sia nel aso omp ensato he non omp ensato. In parti olar e il meto do Ghizzetti - Ossi ini risulta il più rapido, p er hé tutte le form ule sono state inserite nel o di e e non si domanda al progra mma di eseguire nessun al olo automati o (men tre nel aso di T a ylor il progra mma dev e al olar e la deriv ata del denominatore e nel aso del Benato la sua an titrasforma ta di Lapla e). Complessità del o di e La rapidità di ompilazione del o di e è opp osta p erò alla sua omplessità: se infatti nel meto do Ghizzetti - Ossi ini si las iano p o hi ompiti al progra mma , la sua stesura ha ri hiesto molto temp o e an he formalmen te div ersi passagg i matemati i; esso ra hiude due routine, una p er il al olo dei p oli e una p er il al olo dei residui, p er nien te banali. Il meto do on approssima z io ne di T a ylor e Benato sono in v e e più snelli: l'ultimo in parti olar e , a vv alendos i delle notazioni matri iali, ha ri hiesto v eramen te p o he righe di o di e p er ottenere gli stessi risultati degli altri. Flessibilità Lo studio ondotto si è limitato, p er motivi di temp o, ad un aso sempli ato ideale. Ciò non es lude p erò he in futuro si p ossano riprendere i v ari meto di e ten tare di estenderli. Il meto do Ghizzetti - Ossi ini, proprio p er ome è strutturato, non sarebb e ri a v abile nel aso di linea non ideale, in parti olar e on elemen ti dissipativi: le radi i del denominatore a vrebb ero infatti parti reali oltre he immaginarie e la stessa v ariabile di Lapla e omparirebb e nell'argomen to di seno e oseno ip erb oli o sotto radi e quadra, rendendo la via analiti a alquan to imp er orribile. Il meto do in serie di T a ylor può in v e e prev edere di sviluppare il denominatore nel aso di linea non ideale: rius endo a al olar ne lo svilupp o e ri ondu endosi quindi a una forma p olinomiale, non si a vrebb ero p oi problemi ad utilizzare i meto di di in v ersione già prop osti nel aso di funzioni razionali. Le di oltà analiti he appaiono p erò an ora abbastanza elev ate. Il meto do Benato è quello he meglio si addi e allo svilupp o: esso infatti non parte da un'equazione elettri a, ma da una rappresen tazio ne matri iale della linea. Se in questa si inseris ono i v alori di resistenza e onduttanza hilometri he, il risultato è direttamen te un p olinomio, he ome si è visto oin ide on lo svilupp o in serie di T a ylor p er un n umero innito di elle e quindi resta v alido. L'in v ersione è adata al progra mma e trattandosi sempre di una funzione razionale non do vrebb e presen tare gross e di oltà. I tempi di sim ulazione restano inoltre omp etitivi on EMTP , essendo ir a la metà. Non 73 ultimo, resta il fatto he sfruttando la notazione matri iale esso è fa ilmen te estendibile a sistemi m ulti onduttore: sarebb e auspi abile quindi he la ri er a proseguiss e e si giungesse ad un utilizzo dell'MCA non solo a asi di regime o disimmetri i di guasto, ma an he a quelli a regime v ariabile. 74 T ab ella 5: Confron to tra le prestazioni dei meto di e EMTP meto do pre isione tempi di al olo omplessità del o di e essibilità EMTP ottima assun ta ome riferime n t o non omp.: 5.02323 s omp.: 4.83603 s - molto essibile Ghizzetti Ossi ini ottima ma inferiore a EMTP non omp.: 0.304772 s omp.: 0.89339 s molto omplesso non essibile T a ylor ottima ma inferiore a EMTP non omp.: 4.197614 s omp.: 3.509490 s normale essibile (non ideale) Benato ottima ma inferiore a tutti non omp.: 2.037856 s omp.: 3.103200 s molto sempli e molto essibile (non ideale, MCA) 75 76 8 F orm ula approssimata p er il al olo delle so vratensioni di mano vra Con questo la v oro di ri er a si è en trati in p ossesso di n uo v e form ule apa i di esprimere analiti amen te le so vratensio ni nei a vi p er altissima tensione; esse sono state implemen tate al al olator e ottenendo, ome si è visto, buoni risultati. Si vuole ora ompletare lo studio indagando se da questi risultati si p ossono ri a v ar e delle utili espressioni te ni he, appli abili a asi reali di installazione. Sarebb e da questo pun to di vista in teressan te rius ire a v alutare la so vratensio ne massima he si p otrebb e presen tare sul a v o ollegato a una rete di p otenza di orto ir uito nota in funzione della lunghezza del a v o stesso; in letteratura non si tro v ano an ora riferimen ti in merito. Si dimostrerà ome questo sia in v e e p ossibile utilizzando, on opp ortune sempli azioni, quan to ri a v ato al apitolo 4: il risultato sarà una form ula v olutamen te sempli e dal pun to di vista formale, on pre isioni su ien ti nel normale range di lunghezze di installazione dei a vi in altissima tensione. Le ip otesi sotto ui v arra nno le seguen ti onsiderazio ni sono le stesse fatte dall'inizio di quest'arti olo e riassun te al paragr a fo 2.1.1: esse sono eettiv amen te limitativ e, quindi la form ula he v errà prop osta ne risen tirà a sua v olta. Essa può tutta via dare delle indi azioni di massima sull'en tità delle so vratensio ni, p er il ui al olo pre iso si rimanda o ad uno dei meto di omputazionali qui prop osti o a soft w are sp e i i. Nulla es lude he altre form ule approssima te p ossano essere ri a v ate in futuro dagli altri meto di o on n uo vi appro i. 8.1 Cal olo della form ula approssimata Si riprendano le form ule 4.3.6 e 4.3.16: se ondo quan to già fatto notare esse sono la somma di due omp onen ti, una transitoria di innite pulsazioni µi e una p ermanen te di pulsazione ' . Inoltre la parte immaginaria dell'esp onenziale omplesso si elimina, las iando solo la parte reale he oin ide on il oseno del suo argomen to. Considerando p er sempli ità la sola pulsazione fonamen tale del termine trasnitorio (quella ad ampiezza maggior e ), le (4.3.6) e (4.3.16) p ossono essere sin teti amen te ris ritte ome va,NC(t) = TNC cos(µt) + PNC cos('t) , (8.1.1) va,C(t) = TC cos(µt) + PC cos('t) , (8.1.2) formalmen te uguali una all'altra. La dierenza sta eviden temen te nei div ersi v alori dei o e- ien ti qui p er hiarezza rip ortati: TNC = 2µi sin(µi' )['2(T1 + ' ) '' µ2i(3T1 + ')] + µi cos(µi')[T1'('2 '' µ 2 i ) '' 2] , (8.1.3) PNC = 1 [cos('' ) '' T1' sin('')] , (8.1.4) TC = 2µi cos(µi' )Kcos '' sin(µi')Ksin , (8.1.5) PC = 1 £A cos('' ) '' sin('') ¡'C '' B ' ¢¤ ; (8.1.6) 77 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 ''2 ''1.5 ''1 ''0.5 0 0.5 1 1.5 2 Confronto tra formula esatta e formula approssimata t [s] v receiveng end [V] v trans v reale v perm v lin v trans + v lin θ max θ min Figura 8.1: T ensione all'arriv o esatta, somma del termine p ermanen te e transitorio , e tensione all'arriv o approssima ta , somma del termine lineare e transitorio P er gli sviluppi dettagliati di Kcos , Ksin , A , B , e C si v eda 4.3.2. Nel seguito quindi non si farà più distinzione tra aso omp ensato e non omp ensato, p er hé essi p otranno essere aron tati allo stesso mo do a v endo ura di utilizzare i o e ien ti ad essi relativi. Il aso generale sarà quindi va(t) = T cos(µt) + P cos('t) . (8.1.7) La ri er a del massimo e del relativ o istan te di massimo di (8.1.7) non è fattibile analiti- amen te: essa p orta sempre ad un'equazione tras enden te a ausa dei div ersi argomen ti µ e ' del oseno. Il massimo della parte transitoria non oin ide on il massimo assoluto, p er hé il on tributo dato dalla parte p ermanen te non è tras urabile. Come si può notare dalle urv e di vreale e vtrans di gura 8.1 l'istan te di massimo ade nella zona in ui il termine p ermanen te sta alando dal suo v alore massimo a 0 : il suo on tributo p orterà quindi il massimo assoluto ad essere inferiore al massimo della parte transitoria . Si osservi he la parte p ermanen te si ann ulla all'istan te t '' = '
4 = 1 4f = 1 4 ' 2' = ' 2' (8.1.8) e he la p endenza del termine p ermanen te in quel pun to v ale m '' = '''P sin('t'') = '''P . (8.1.9) Si è dunque de iso di linearizzar e questo tratto di funzione onsiderando la parte p erma- nen te ome una retta passan te p er il pun to t '' on p endenza m '' ; l'espressione della tensione div en ta quindi va(t) '' T cos(µt) + 'P(t '' '' t) . (8.1.10) 78 θmin = µtmin θmax = µtmax sin θmin = sin θmax Figura 8.2: Cir onferenza goniometri a in ui sono evidenziati i due pun ti stazionari tmin e tmax , di v alore div erso ma il ui seno, he ann ulla la deriv ata della funzione, oin ide La (8.1.10) è un'equazione lineare di ui può essere al olato il pun to di massimo imp onendo la deriv ata prima uguale a zero dva(t) dt = ''µT sin(µt) '' 'P = 0 '' sin(µt) = '' 'P
µT . (8.1.11) Prima di pro edere all'in v ersione di (8.1.11) , è utile ragiona r e sull'andamen to del termine transitorio di va(t) : on le ip otesi fatte esso sarà os illan te in mo do p ermanen te, men tre nella realtà sarà os illatorio smorzato. Il pi o di tensione si a vrà dunque nel primo p erio do, men tre ev en tuali pi hi p er istan ti maggior i sono da tras urar e , dato he non a vranno luogo si amen te. Come si nota inoltre da gura 8.1, nel primo p erio do i sono due pun ti stazionari he so ddisfano l'equazione (8.1.11) , uno he orrisp o nde a un minimo relativ o e l'altro a uno di massimo assoluto, he è quello he si sta er ando di al olar e . Se il pun to di minimo si ha in un istan te tmin tale he la fase sia θmin = µtmin , il pun to di massimo si a vrà in un istan te tmax tale he la fase sia θmax = µtmax = ' '' θmin = ' '' µtmin , p er hé osì sin θmin = sin θmax , ome s hematizzato in gura 8.1. Questo v a ten uto in onsiderazio ne p er hé la funzione in v ersa ar oseno é denita solo da '' ' 2 a ' 2 e, appli andola on leggerezza, fornirebbe il valore tmin. A v endo app ena visto ome ri ondursi a tmax si può inne s riv ere: tmin = 1 µ arcsin µ '' 'P
µT ¶ (8.1.12) tmax = θmax µ = ' '' θmin µ = '
µ '' arcsin µ '' 'P
µT ¶ . (8.1.13) La (8.1.13) è l'espressione approssima ta dell'istan te di massimo di va(t) . Inserendola in 79 (8.1.10) si ottiene l'espressione analiti a del v alore massimo va,max(tmax) '' T cos(µtmax) + 'P(t '' '' tmax) = ''T q 1 '' sin 2(µtmax) + 'P ³ ' 2' '' tmax ´ = ''T s 1 '' µ 'P µT ¶2 + P · ' 2 '' ' ' µ + ' µ arcsin µ '' 'P
µT ¶¸ (8.1.14) do v e tra le due radi i p ossibili di cos(µtmax) in funzione di sin(µtmax) si è ten uto on to he esso ha v alore negativ o, ome b en visibile in gura 8.1. Si ra olg a in (8.1.14) il termine P : ome si v edrà, dal pun to di vista della pre isione, non ha parti olar e inuenza approssima r e il rapp orto ome T
P '' ''1 . Le (8.1.13) e (8.1.14) p ossono essere ridotte alle più ompatte e immediate tmax '' '
µ '' arcsin µ '' ' µ ¶ . (8.1.15) va,max(tmax) '' P    s 1 '' µ ' µ ¶2 + ' µ · arcsin µ '' ' µ ¶ '' ' ¸ + ' 2    , (8.1.16) su ui si p ossono fare al une in teressan ti osserv a z io ni. Innanzitutto si v ede ome il v alore massimo della tensione dip enda onsiderev olmen te dal rapp orto fra le due pulsazioni ' e µ , risp ettiv amen te pulsazione della grandezza in ingresso e pulsazione naturale della linea di ordine maggior e . In se ondo luogo, si ri orda ome il termine P oin ida on la so vratensio ne di regime p er eetto F erran ti ed è al olabile p er linee brevi ome [11 '' P = 1 1 '' '2cd ¡Lcc + l 2 d ¢ . (8.1.17) Inne è utile sp endere al une parole sul al olo di µ . Come si è visto in 4.2 e 5.2 esso è sempre stato fatto utilizzando meto di n umeri i o al al olator e , ome Newton - Raphson o la risoluzione automati a delle radi i di un p olinomio. Se si do v esse ri orr e r e a questi meto di v errebb e meno l'utilità della form ula, p er hé a quel pun to sarebb e più sempli e utilizzare direttamen te uno dei meto di prop osti in quest'arti olo, on maggior e pre isione. Si è de iso quindi di presen tare il al olo di µ ri orr e ndo all'appross ima z io ne a ostan ti on en trate della linea, ome p eraltro prop osto in [8 '' e di immediata appli azione. Considerando v alida la µ = 1 pLeqCeq (8.1.18) restano da determinare i parametri on en trati equiv alen ti a se onda della ongurazio ne del sistema. Nel aso di singola terna alimen tata da una rete mo dellizzabile da un generator e equiv alen te di tensione si a vrà Leq = Lcc + Les , (8.1.19) Ceq = Ces , (8.1.20) 80 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ''15 ''10 ''5 0 5 10 d [km] ε [%] Sovratensioni di manovra massime al variare di d confronto tra simulazione MATLAB e formula approssimata ε tens ε tempo ε mu Figura 8.3: Confron to tra la form ula approssima ta e il meto do Ghizzetti - Ossi ini, utilizzando i termini T e P esatti e µ al olata n umeri amen te men tre nel aso di linee in parallelo Leq = Lcc + Les 2 , (8.1.21) Ceq = 2Ces . (8.1.22) Si v edrà nella sezione su essiv a he impre isioni questo al olo sempli ato omp orta. 8.2 V eri a della form ula approssimata Resta ora da stabilire la b on tà delle approssima z io ni eettuate e gli ev en tuali ampi di appli azione della form ula, in base alle tolleranze di pre isione ammesse. Le sim ulazioni sono state sv olte prendendo ome aso sempre quello rip ortato al apitolo 3 e utilizzato in tutto l'arti olo. Il meto do onsiderato esatto è il Ghizzetti - Ossi ini. Ogni sim ulazione prev ede il lan io del progra mma n umeri o, da ui si ri a v a l'elemen to di v alore massimo del v ettore tensione d'us ita a ui è asso ia to an he un pre iso istan te. Implemen tando le form ule (8.1.15) e (8.1.16) si al ola lo s arto relativ o p er en tuale; inoltre, viene presen tato il aso signi ativ o on il al olo di µ approssima ta . 8.2.1 V eri a on T e P esatti, µ esatta Il primo aso onsidera o vviamen te se l'approssima z io ne lineare è da ritenersi v alida, senza la quale non si sarebb e rius iti a tro v ar e la form ula. Il rapp orto tra i o e ien ti T e P non è approssima to e µ è al olata usando il meto do di Newton - Raphson. Come si v ede in gura 8.3 l'error e sull'istan te di massimo si man tiene in un range del ±10% p er distanze an he molto elev ate; l'andamen to a den te di sega è imputabile al fatto he nella form ulazione approssima ta si è onsiderato una sola pulsazione µ , men tre nella realtà il termine transitorio è dato da una sommatoria innita di termini os illator i. Questi ultimi reano 81 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ''15 ''10 ''5 0 5 10 d [km] ε [%] Sovratensioni di manovra massime al variare di d confronto tra simulazione MATLAB e formula approssimata ε tens ε tempo ε mu Figura 8.4: Confron to tra la form ula approssima ta e il meto do Ghizzetti - Ossi ini, utilizzando l'approssimaz io ne a ''1 del rapp orto tra i termini T e P e µ al olata n umeri amen te un'impre isione denibile ome un disturb o p erio di o he si so vrapp o ne alla fondamen tale del termine transitorio . V a p erò ten uto in on to he queste os illazioni nella realtà sono smorzate dalla resistenza del a v o qui tras urata . L'error e sul v alore massimo è limitato a qual he p er en to an he p er lunghe distanze, ma res e molto p er quelle brevi. In parti olar e p er d < 15 km esso de res e molto rapidamen te v erso v alori negativi, he p orterebb ero a so vras tima r e la so vratensio ne nel a v o. Ciò è do vuto al v enir meno della v alidità dell'approssimazio ne lineare del termine p ermanen te: p er brevi distanze infatti il pun to di massimo tende sempre più a sp ostarsi v erso i primi istan ti del transitorio . In quei pun ti il oseno dell'ingresso è an ora nell'in torno del suo pun to di massimo, piuttosto piatto he de res en te in mo do lineare, ome visibile in gura 8.1. 8.2.2 V eri a on T e P approssim ati, µ esatta Viene ora prop osto il aso in ui il rapp orto tra T e P sia approssima to pari a ''1 . Come si v ede in gura 8.4 gli andamen ti degli error i non v engono molto mo di ati: restano infatti gli stessi range di tolleranza visti al paragr a fo pre eden te. A fron te della notev ole sempli azione di al olo, quest'approssima z io ne è stata quindi riten uta utile e v alida. 8.2.3 V eri a on T e P approssim ati, µ approssim ata Il aso on lusiv o è quello he riv este an he il maggior in teresse: è stata qui infatti implemen tata la form ula ri orr e ndo al al olo analiti o di µ se ondo ( 8.1.18) e (8.1.21) . Come si v ede da gura 8.5, all'aumen tare della distanza d l'errore relativ o ommesso su µ res e linearmen te. Correla ndo questa n uo v a ausa di impre isione agli altri error i relativi, si nota ome essa p esi notev olmen te, p oi hé p er lunghe distanze p orta l'error e sul v alore massimo a div ergere. Non si è rius iti a tro v ar e un mo do più pre iso p er al olar e il v alore di µ : se si onsiderano a ettabili tolleranze del ±5% , la form ula (8.1.16) presen tata e utilizzata on 82 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ''15 ''10 ''5 0 5 10 15 20 25 d [km] ε [%] Sovratensioni di manovra massime al variare di d confronto tra simulazione MATLAB e formula approssimata ε tens ε tempo ε mu Figura 8.5: Confron to tra la form ula approssima ta e il meto do Ghizzetti - Ossi ini, utilizzando l'approssimaz io ne a ''1 del rapp orto tra i termini T e P e µ al olata analiti amen te (8.1.18) ha v alidità en tro un range di distanze tra 15 e 50 km , ome evidenziato in gura 8.5 nel rettangolo v erde. 83 84 9 Con lusioni Il la v oro di ri er a presen tato in questo do umen to è rilev an te p oi hé fornis e delle utili basi p er ' v alidare mo delli reati on EMTP-R V; ' reare n uo v e pro edure self - made nel aso di linee reali e m ulti onduttore. P er quan to riguarda il primo pun to, si ha sp esso la ne essità di v eri are se i dati del mo dello immessi in EMTP-R V om ba iano on quelli he si hanno e se esso risp e hia la situazione da sim ulare. A v ere più di un meto do disp onibile p er una v eri a, on p ossibilità di inserire man ualmen te i parametri elettri i della linea, onsen te di svin olars i dalle routine in terne al progra mma e mette al riparo da erronee on lusioni. Di fatto, tropp o sp esso risultati non o eren ti on la realtà sono do vuti ai lassi i error i umani di reazione del mo dello o a ip otesi di partenza non v alide, piuttosto he a impre isioni del progra mma . P er quan to riguarda il se ondo pun to, si è visto ome il meto do Benato b en si presti ad essere ulteriormen te in v estigato e sviluppato. Essendo l'MCA uno dei pun ti di forza delle o dierne analisi sui sistemi elettri i, appare aas inan te l'ip otesi di estenderlo dai asi di regime di guasto ai regimi transitori. Ha inoltre v alenza teori a l'esser rius iti ad an titrasformar e in b en tre mo di div ersi una funzione nel dominio di Lapla e senza ri orr e r e a meto di di al olo n umeri o. La sempre più grande apa ità di al olo degli elab orato r i p orta infatti a non in v estire molto risorse sull'ot- timizzazione delle op erazio ni da eseguire, nè tan tomeno alla reazione di algoritmi dedi ati; la ris op erta di meto di noti da de enni, ma mai utilizzati, ha in v e e dimostrato he si p ossono ottenere non solo buoni risultati, ma an he in tempi minori risp etto alle soluzioni ommer iali. In più, a partire dal meto do Ghizzetti - Ossi ini, si è rius iti a ri a v ar e una form ula appros- simata, on un range di appli azione dai 15 ai 50 km en tro error i del ±5% , he può tornare utile p er v alutazioni preliminari su l'installazione di linee in a v o in un parti olar e pun to della rete. 85 86 10 Ringraziamen ti V orrei ringrazia r e on alore e aetto i miei genitori, Rob erto e Angelisa, he hanno fati ato silenziosamen te gara n tendomi disp onibilità e temp o p er p ortare a termine i miei studi, senza mai farmelo presen te e dandomi sempre grande so ddisfazione quando onseguiv o i miei risultati. Con amore ringrazio an he la mia danzata Chiara, he mi ha sosten uto e pazien temen te asp ettato quando i miei imp egni mi p orta v ano via da lei, rius endo a farmi sorrider e nei momen ti di s orag g ia men to ed ansia. Ringrazio il prof. Rob erto Benato, p er a v ermi seguito in questi mesi e mostrato ome i si può en tusiasmare di fron te alla ri er a s ien ti a; non a vrei p otuto risolv ere molti problemi tro v ati nel orso del la v oro di tesi senza il prezioso aiuto di F abio e Sebastian, he non si sono mai riutati di risp ondere ai miei dubbi più banali o a quelli più imp egnativi. Inne ringrazio tutti i miei ami i, hi ompagno di Corso, hi ompagno di stanza, hi en tram b e le ose: questi inque anni sarebb ero stati più grigi e erte sde meno aron tabili senza la v ostra presenza. Certe impr ese ne essitano di p ersone on ui p arlar e, onfr ontarsi e app o gg i a rsi p er esser e sup er ate: hiunque mi sia stato vi ino, sappia he sar à p er sempr e le gato nei miei ri or di a quest'esp erienza b el lissima he si hiama Università. 87 88 Riferimen ti bibliogra i [1'' W G 21/2 2 - 0 1 , Compariso n of Ov erhead Lines And Underground Cables F or Ele tri it y T ransmission , CIGR' 1996 [2'' D. 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A.1 Deriv ata omplessa e rappresen tazioni in serie Si denis e prima di tutto la deriv ata omple s s a di una funzione: Def A.1.1: Sia f (z) una funzione denita in un insieme ap erto ontenente il punto z0 ; si denis e derivata omplessa di f nel punto z0 il limite lim z''z0 f (z) '' f(z0) z '' z0 = f '(z0) . (A.1.1) Esistono p oi v ari meto di di rappresen tazio ne in serie di una funzione in un pun to; uno fra questi lo svilupp o in serie di Lauren t: Def A.1.2: Data una funzione f (z), z '' C onnesso, essa è svilupp abi l e in serie di L aur ent in un amp o ir olar e C0 ome f (z) = '' X k ='''' Ck(z '' z0) k = '' X r =1 C''r (z '' z0)r + '' X s =0 Cs(z '' z0) s , (A.1.2) on Ck detti o e ienti del la serie di L aur ent e al ola b i l i usando Ck = 1 2'ı Z γ f (z) (z '' z0)k+1 dz , (A.1.3) ove γ è una qualsiasi ir onfer enza di entr o z0 e ontenuta in C0 . Un aso parti olar e dello svilupp o in serie di Lauren t è lo svilupp o in serie di T a ylor , he onsidera termini Ck on solo k > 0 : Def A.1.3: Data una funzione f (z), z '' C onnesso, essa è svilupp abi l e in serie di T aylor ome f (z) = '' X k =0 Ck(z '' z0) k , (A.1.4) on Ck detti o e ienti del la serie di T aylor e al ola b i l i usando Ck = 1 2'ı Z γ f (z) (z '' z0)k+1 dz = f (k)(z0) k! . (A.1.5) Se z0 fosse un pun to regola r e allora la serie di Lauren t oin iderebb e on quella di T a ylor. 91 A.2 Classi di funzioni Le funzioni omplesse p ossono essere funzioni analiti he se v ale il seguen te teorema: Teo A.2.1: Una funzione è analiti a se e solo se, pr eso omunque un punto app ar- tenente al dominio del la funzione, esiste un suo intorno in ui la funzione oin ide ol suo svilupp o in serie di T aylor (A.1.4). Alle funzioni analiti he appartiene una prima lasse di funzioni omplesse, le funzioni olom o rfe : Def A.2.1: Sia f (z) una funzione denita in un insieme onnesso C ; essa si di e olomorfa in C se è derivabi l e se ondo la denizione A.1.1 in o gni punto z0 '' C . Una se onda lasse di funzioni omplesse sono le funzioni merom o rfe , denite se ondo Def A.2.2: Si di e he una funzione f (z), z '' C onnesso, è mer omorfa in D '' C se f (z) è olomorfa in D '' {z1, z2, . . .} , on z1, z2, . . . punti singolari non essenziali. Un aso parti olar e di funzioni meromorfe sono le funzioni razionali, aratterizza te da un n umero di singolar ità nito; aso più in teressan te sono quelle funzioni meromorfe he hanno un innito n umero di singolar ità . A.3 Pun ti singolari Si inizia dando la denizione di una singolarità isolata: Def A.3.1: Si di e singolarità isolata un punto isolato in ui una funzione olomorfa non è denita, mentr e risulta denita in o gni altr o punto vi ino. I pun ti singolar i isolati p ossono essere distin ti in elim i nabi l i , p oli o essenziali ; p er i nostri s opi in teressano in parti olar e gli ultimi due tipi. La denizione A.1.2, ed in parti olar e la form ula (A.1.3) , sono ne essarie p er denire un generi o p olo di ordine m Def A.3.2: Si di e p olo di or dine m un punto tale he il o e iente m-esimo del la serie di L aur ent sia C''n 6= 0, C''(n+1) = C''(n+2) = . . . = 0 , e un pun to essenziale Def A.3.3: Si di e punto essenziale un punto tale he esistono inniti o e ienti del la serie di L aur ent diversi da 0: C''1 = C''2 = . . . 6= 0 . 92 P er stabilire la natura di un pun to singolar e non è p erò ne essario appli are letteralmen te le pre eden ti denizioni, dato he è p ossibile utilizzare il seguen te teorema A.3.1: Teo A.3.1: Se z0 è una singolarità isolata di f (z) al lor a si può dir e he z0 è: ' eliminabile '' limz''z 0 f (z) = '' < '' ; ' p olo '' limz''z 0 f (z) = '' ; ' p olo di or dine m '' limz''z 0 f (z)(z '' z0) m = '' < '' ; ' essenziale '' '' limz''z 0 f (z) . A.4 T eorema dei residui Def A.4.1: Si denis e r esiduo R(z0) nel punto z0 il o e iente del la serie di L au- r ent C''1 , al ola to se ondo (A.1.3) . Nel aso p arti ola r e in ui z0 sia un p olo del primo or dine risulta an he C''1 = lim z''z0 (z '' z0)f(z) . (A.4.1) La onos enza di questo on etto risulta utile p er esprimere un parti olar e tip o di in tegrale, sotto opp ortune ip otesi, median te somma di più termini, se ondo il teorema A.4.1: Teo A.4.1: Sia f (z), z '' C onnesso, una funzione denita in D '' C he abbia un insieme di punti di singolarità {z1, z2, . . . , zn} '' D , e la fr ontier a ''D sia ostituita da un numer o nito di ar hi di urva e non ada su nessuno dei punti singolari z1, z2, . . . , zn ; al lor a si può dir e he 1 2'ı Z ''D f (z)dz = R(z1) + R(z2) + . . . + R(zn) . (A.4.2) 93 94 App endi e B: T rasformata e an titrasformata di Lapla e B.1 T rasformata di Lapla e Def B.1.1: Siano t una variabi l e r e ale, f (t) una funzione denita p er t ' 0 , s = a + ıb una variabi l e omplessa; si hiama tr asformata di L apla e unilater a del la f (t) la funzione F (s) denita formalmente da F (s) = Z +'' 0 e ''stf(t)dt ; (B.1.1) si hiama inve e tr asformata di L apla e bilater a del la f (t) la funzione F (s) denita formalmente da F (s) = Z +'' '''' e ''stf(t)dt . (B.1.2) La (B.1.2) onsidera quei asi in ui f (t) è denita an he p er t < 0 . P er denire propriamen te la trasformata i due in tegrali (B.1.1) e (B.1.2) dev ono on v erger e in un semipiano ''(s) > ρ (nel aso di (B.1.1) ) o in una stris ia ρ < ''(s) < ' (nel aso di (B.1.2) ). B.2 An titr asformata di Lapla e Teo B.2.1: Se la tr asformata di L apla e è pr opria mente denita ome des ritto al apitolo B.1, al lor a vale la formula d'inversio ne F (s) = 1 2'ı Z x +ı'' x''ı'' e stF (s)ds (B.2.1) in o gni punto t in ui la f (t) sia ontinua oppur e pr esenti dis ontinuità di prima sp e ie; il valor e di x può esser e arbitr ariamente ssato nel l'interval lo (ρ, ') . Appli ando il teorema B.2.1 si p ossono al olar e al une trasformate notev oli, le più note delle quali sono rip ortate in tab ella B.2. P er una lista di 170 trasformate analiti he di Lapla e, prati amen te omprensiv a di ogni aso in materia, si rimanda a [26 ''. B.2.1 An titrasformazione di funzioni razionali Nel aso in ui la funzione nella v ariabile s sia razionale propria, io è on grado del n ume- ratore minore del grado del denominatore, è p ossibile al olar e l'an titrasformata sfruttando meto dologie di base, utili an he p er un appro io sistemi o al problema. Si prenda una funzione razionale propria, p er ip otesi irridu ibile, F (s) = '(s)
'(s) = a0s m + a1sm '' 1 + . . . + am b0sn + b1sn '' 1 + . . . + bn , (B.2.2) on '(s) p olinomio del n umeratore di grado m , '(s) p olinomio del denominatore di grado n , 0 ' m < n , a0 6= 0 e b0 6= 0 . Siano s1, s2, . . . , sr le radi i del denominatore e ν1, ν2, . . . , νr 95 T ab ella 6: T rasforma te notev oli di Lapla e nei asi più sempli i n ' f (t) F (s) 1 eαt 1 s''α 2 1 1
s 3 cos(αt) s s2 +α2 4 sin(αt) α s2 +α2 5 e ''αt cos(αt) s +α (s+α)2+β2 6 e ''αt sin(αt) β (s+α)2+β2 7 cosh(αt) s s2''α2 8 sinh(αt) α s2''α2 9 tn n ! sn+1 10 tneβt n ! (s''β)n+1 le loro risp ettiv e moltepli ità; è p ossibile pro edere alla de omp osizione di F (s) in frazioni parziali se ondo la form ula F (s) = r X k =1 νk X h =1 Rh(sk) (s '' sk)h , (B.2.3) on Rh(sk) ostan ti da determinare dette residui di F (s) nel p olo sk . Allora, grazie all'utilizzo della tab ella B.2, risulta immediato dire he f (t) = r X k =1 νk X h =1 Rh(sk) th '' 1 (h '' 1)! e skt . (B.2.4) Se le radi i s1, s2, . . . , sr sono sempli i, io è hanno moltepli ità νk = 1 '' k '' [1, r] , la (B.2.4) si sempli a in f (t) = n X k =1 R(sk)e skt , (B.2.5) on r = n dato he il n umero di radi i dev'essere uguale al grado massimo del p olinomio e tutte sono distin te fra loro. Inoltre, essendo i p oli del primo ordine, si può appli are la (A.4.1) alla (B.2.2) : R(sk) = lim s''sk (s '' sk) '(s)
'(s) ; (B.2.6) fa endo presen te he '(s) = '(s) '' '(sk) p er hé '(sk) = 0 e appli ando la denizione di 96 '' '' x0 s1 s2 si sn sn+1 sn+2 ıyn ''ıyn Cn D . . . . . . Figura B.1: P oli si all'in terno del dominio D , in azzurro; in grass e tto, una urv a appartenen te alla su essione Cn , on estremi in x0 ± ıyn e il relativ o segmen to di as issa x0 ed estremi ±ıyn deriv ata omplessa A.1.1, si ri a v a he i residui R(sk) si p ossono al olar e ome R(sk) = lim s''sk (s '' sk) '(s) '(s) '' '(sk) = = lim s''sk '(s) ' (s)'''(sk) (s''sk) = = '(sk) ''(sk) (B.2.7) B.2.2 An titrasformazione di funzioni non razionali Nel aso in ui l'an titrasformata non sia al olabile se ondo i meto di des ritti al paragr a fo pre eden te, si può ri orr e r e all'appli azione della form ula di in v ersione (B.2.1) ; questo al olo non è aatto sempli e e generalmen te do vrà essere risolto p er via n umeri a. Esiste p erò un altro meto do appli abile se si supp one di onos ere F (s) non solo nel semipiano ''(s) > 0 , ma in tutto il suo amp o di esistenza. Si prenda una funzione F (s) meromorfa, he non ri ada nel aso di funzione razionale già aron tato al paragr a fo pre eden te. F (s) a vrà inniti p oli nel semipiano ''(s) ' 0 he indi heremo on s1, s2, . . . supp onendo |s1| ' |s2| ' . . . . Sia {Cn}n=1,2,... una su essione di urv e situate nel semipiano ''(s) ' x0 on gli estremi nei pun ti x0 '' ıyn, x0 + ıyn della retta ''(s) = x0 , essendo |y1| < |y2| < . . . e limn'''' yn = +'' . Sia inoltre il dominio D ra hiuso da Cn e dalla retta x = ''(s) = x0 in mo do tale da on tenere al suo in terno i p oli s1, s2, . . . , sn 97 e las i all'esterno i p oli rimanen ti sn+1, sn+2, . . . (si v eda la gura B.2.2). Allora, p osto he il residuo di etsF (s) nel p olo sk sia R(sk) ( al olato se ondo (A.4.1) ), l'appli azione della form ula del teorema dei residui (A.4.2) p orta a: 1 2'ı Z ''D e stF (s)ds = 1 2'ı Z x0+ıyn x0''ıyn e stF (s)ds + 1 2'ı Z Cn e stF (s)ds = n X k =1 R(sk) (B.2.8) Se si ries ono a s egliere le urv e Cn in mo do he risulti: lim n'''' 1 2'ı Z Cn e stF (s)ds = 0 (B.2.9) si può ri a v ar e , passando (B.2.8) al limite p er n '' '' , he p er ogni pun to t > 0 in ui l'an titrasformata (B.2.1) esista nita, la serie Pn k =1 R(sk) ries e onvergente e si ha: f (t) = '' X k =1 R(sk) (B.2.10) Le denizioni e i teoremi matemati i qui rip ortati i hanno p ermesso di arriv a r e ad una form ulazione he non si in on tra sp esso dell'an titrasformata di Lapla e; da un pun to di vista più si o si può p ensare he, una v olta noti i mo di o pulsazioni naturali del sistema ( io è i suoi p oli), l'an titrasformata nel temp o può essere ri a v ata ome una somma innita di termini os illator i di pulsazione e ampiezza div ersa, in analogia on la b en nota trasformata di F ourier. La teoria sopra esp osta i onsen te di v alutare le ip otesi sotto ui è p ossibile appli are questo meto do e i di e inoltre he i o e ien ti della serie oin idono on i residui della funzione al olati nel p olo, osa he non era immediatamen te dedu ibile da un appro io più deduttiv o e meno rigoro s o . 98


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