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Tecniche di ranging su sistemi wireless UWB e Wired PLC

Analisi di due tipi di comunicazioni differenti che effettuano misure di
distanze in condizioni di lavoro reali; nello specifico si sono studiati i segnali
di tipo UWB e le PLC. I primi perchè posseggono una banda molto
ampia che consente di raggiungere precisioni molto elevate, i secondi perchè
sono dei segnali ideali per la comunicazione nelle cosiddette Smart Grid,
necessitano di misure di distanza tra i nodi della rete per ottimizzare i
costi di distribuzione dell’energia.

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Tesi di Laurea, Università di Padova, Anno Accademico 2010- 2011

Pubblicato
da Alessia De Giosa




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Estratto del testo
Tecniche di Ranging su Sistemi Wireless UWB e Wired PLC Corso di Laurea
Magistrale in
Ingegneria delle
Telecomunicazioni Laureando:
Francesco Lorenzon Relatore:
Prof. Tomaso Erseghe Data di Laurea:
12 Luglio 2011 Anno Accademico
2010 - 2011 2 Indice 1 Introduzione al ranging 7 1.1 Tecniche di ranging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Time-based ranging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Received Signal Strength-Based Ranging . . . . . . . . 9 1.2 Ranging nei sistemi UWB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Ranging nelle smart micro grids . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Ottimizzazione delle reti Micro-Grid . . . . . . . . . . 11 2 Modello di canale Powerline Communications 17 2.1 Effetti della propagazione del segnale nel mezzo . . . . . . . . 17 2.2 Modello di canale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 Modello di canale usato nelle simulazioni Matlab . . . 21 3 Modello di canale Ultra-Wide Band 23 3.1 Modello statistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.1 Path-loss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1.2 Shadowing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.3 Power delay profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.4 Small-scale fading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1.5 Parametri usati nelle simulazioni Matlab . . . . . . . . 28 4 Fonti di errore nelle tecniche di ranging time-based 33 4.1 Propagazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2 Clock drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3 Il limite di Cram´ er-Rao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3.1 Limite teorico in condizioni di propagazione ideale . . 39 4.3.2 Limite teorico in presenza di multipath . . . . . . . . 42 5 Algoritmi di stima del TOA 45 5.1 Modello di sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2 Stimatore ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.2.1 Metodi di ricerca ricerca del picco . . . . . . . . . . . 48 5.2.2 Teoria sulla ricerca del cammino minimo con l''algorit-
mo ricerca e sottrai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3 5.2.3 Secondo modello di ricerca . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.3 Stimatore a soglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6 Simulazioni e risultati 55 6.1 Algoritmo ricerca e sottrai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.1.1 Canale UWB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.1.2 Canale PLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.2 Algoritmo ricerca e sottrai con ottimo . . . . . . . . . . . . . 60 6.2.1 Canale UWB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6.2.2 Canale PLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.3 Algoritmo a soglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.3.1 Canale UWB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.3.2 Canale PLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7 Estrazione del modello probabilistico tramite Gaussian mix-
ture 73 7.1 Trattazione teorica dell''algoritmo EM . . . . . . . . . . . . . 73 7.2 L''algoritmo EM per il modello Gaussian Mixture . . . . . . . 76 7.3 Estrazione del modello in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4 Introduzione Il ranging, ovvero la stima di distanza, ` e l''argomento portante di questa tesi che qui mi accingo ad illustrare. Il lavoro svolto ha lo scopo di valutare la
capacit` a che due tipi di comunicazioni differenti hanno di effettuare misure di distanze in condizioni di lavoro reali; nello specifico si sono studiati i segnali
di tipo Ultra Wide Band (UWB) e le Power Line Communication (PLC)
per due motivi molto semplici: i primi perch´ e posseggono una banda molto ampia che consente di raggiungere precisioni molto elevate, i secondi perch´ e sono dei segnali ideali per la comunicazione nelle cosiddette Smart Grid, che
come vedremo nel prosieguo della tesi, necessitano di misure di distanza tra
i nodi della rete per ottimizzare i costi di distribuzione dell''energia. Nel Capitolo 1, verranno presentati i concetti base del ranging, alcuni semplici algoritmi che permetteranno di capire quali sono i problemi che si
affrontano quando ` e necessario eseguire una stima della distanza; inoltre in questo capitolo verranno espressi in modo pi` u dettagliato le ragioni che por- tano alla localizzazione con sistemi wireless UWB e wired PLC. Nei Capitoli
2 e 3 saranno approfondite le tematiche riguardanti i canali rispettivamente
PLC ed UWB; verranno quindi studiate le caratteristiche dei due segnali in
modo da poter essere cos`ı riprodotti in ambiente Matlab nel modo pi` u fedele possibile. Il Capitolo 4 ha lo scopo di porre l''accento sulle problematiche in
essere di qualsiasi algoritmo atto alla stima della distanza, infatti saranno
approfonditi problemi come la ricerca del cammino minimo, sia per le PLC
che per segnali UWB; inoltre verr` a trattato l''argomento del limite inferiore di Cram´ er-Rao, al fine di capire quale siano le prestazioni teoriche massime di un algoritmo di stima. Il Capitolo 5 ` e dedicato all''approfondimento degli algoritmi che sono stati implementati in ambiente Matlab; sostanzialmente
gli algoritmi trattati saranno di due tipologie, uno ` e il cosiddetto ''ricerca e sottrai', mentre il secondo ` e di tipo a soglia, il primo di questi algoritmi ` e stato trattato dettagliatamente dal punto di vista matematico ed ` e stato implementato un metodo per giungere ad una soluzione ottimizzata. Il Capi-
tolo 6 ` e dedicato ai risultati ottenuti dall''implementazione in Matlab degli algoritmi di stima della distanza; i grafici con l''andamento dei parametri
presi in esame saranno commentati al fine di capire l''effettiva valenza dei
metodi usati. Infine il Capitolo 7 sar` a volto alla spiegazione dell''algoritmo ''Expectation Maximization' applicato al modello Gaussian Mixture; tale 5 metodo ha lo scopo di estrarre un modello di distribuzione probabilistica
dei risultati ottenuti dagli algoritmi di stima. 6 Capitolo 1 Introduzione al ranging Il ranging, ovvero la capacit` a di ottenere informazioni accurate sulla po- sizione di un dispositivo, oggigiorno ha assunto una notevole importanza in
applicazioni commerciali, di sicurezza pubblica o in ambito militare. Dispos-
itivi in grado di ottenere, o far ottenere informazioni di posizione sono ormai
quasi onnipresenti nella societ` a moderna, basti pensare all''integrazione nei telefoni cellulari del Global Positioning System (GPS) coniugato con sistemi
di localizzazione Wi-Fi. Nei prossimi anni si vedr` a l''emergere di applicazioni denominate High-Definition Situation Aware (HDSA), ovvero in grado di
operare in ambienti dove normalmente il GPS fallisce, cio` e in luoghi come l''interno di edifici o all''interno di cave. In tali contesti per` o cambiano an- che le aspettative che l''utilizzatore richiede al sistema, ovvero la precisione
deve necessariamente scendere sotto il metro. In queste condizioni localiz-
zazioni affidabili sono un fattore chiave per diversi tipi di applicazioni come:
logistica, security tracking (ovvero il monitoraggio autorizzato di persone
in zone ad alta sicurezza), servizi medici come il monitoraggio di pazienti,
operazioni di ricerca e salvataggio ad esempio comunizioni tra pompieri o
la localizzazione di dispersi in disastri naturali, sistemi militari o un vasto
insieme di diverse reti di sensori wireless. Vi sono inoltre applicazioni come
protocolli di rete che ricavano dei vantaggi prestazionali dalla conoscen-
za di informazioni di posizione per eseguire il routing (georouting), oppure
tecniche di interference avoidance nelle cosiddette cognitive radios. Lo scopo della localizzazione ` e quello di ricavare la posizione di no- di partendo da un insieme di misurazioni; per fare ci` o ` e necessario de- cidere la tipologia di misurazioni da effetture che sostanzialmente possiamo
riassumere nei seguenti tre tipi di misure basate su: 1. stima della distanza; 2. stima degli angoli che si formano tra i nodi; 3. stima cosiddetta di prossimit` a. 7 Tra le tre tipologie appena elencate la prima basata sulla distanza ` e quella che permette la maggiore precisione, soprattutto quando ` e possibile usare dispositivi a bassa complessit` a. 1.1 Tecniche di ranging Le tecniche di ranging hanno un impatto fondamentale sulla precisione della
localizzazione, la complessit` a del sistema ed anche sul suo costo. In questo paragrafo saranno analizzati due tra i pi` u usati metodi di ranging, quelli basati sulla misurazione del tempo di arrivo e quelli basati sulla misura
della potenza del segnale ricevuto. 1.1.1 Time-based ranging Informazioni di distanza tra un nodo A ed un nodo B, possono essere ricavate
dalla misurazione del tempo di propagazione di un segnale che viaggia per
esempio da A verso B. Possimo qiundi definire 'p = d/c il tempo che il
segnale impiega a coprire la distanza esistente tra i due nodi d, dove con
c = 3 · 108 [m/s] si intende la velocit` a della luce. Tutto ci` o pu` o essere svolto usando tre tecniche: one-way TOA (Time Of Arrival), two-way TOA
o TDOA (Time Difference Of Arrival). One-way TOA La tecnica ` e molto semplice e consiste in questo: al tempo t1, il nodo A trasmette al nodo B un pacchetto con all''interno un timestamp con indicato
l''istante di spedizione, ovvero t1; il nodo B riceve il pacchetto al tempo t2, se
i timer di entrambi i nodi sono sincronizzati, allora diviene semplice calcolare
il tempo di propagazione come 'p = t1 '' t2 e da questo ricavare quindi la
distanza. ` E facile capire come in questa tecnica l''errore di sincronizzazione sia un fattore fondamentale per la qualit` a della stima effettuata. Two-way TOA In questa tecnica il sistema stima la distanza non attraverso un tempo co-
mune ai nodi ma attraverso il calcolo del round-trip time (RTT). Il nodo
A trasmette un pacchetto al nodo B, il quale lo elabora in un tempo 'd e
risponde al mittente con un pacchetto di acknowledgment. In tal modo, sup-
ponendo 'd noto, `e facile calcolare il round-trip time come 'RT T = 2'p + 'd,
dal quale pu` o essere estratta la distanza agevolmente. Attraverso l''uso di questa tecnica l''errore di sincronizzazione dei clock viene evitato, ma vi pos-
sono essere errori dovuti alla precisione nel tempo dei clock, in un ambiente
come il ranging indoor nel quale la precisione deve essere spinta sino ai nano
secondi, questi possono avere effetti significativi sulla qualit` a della stima, 8 infatti il tempo di propagazione ` e dell''ordine dei nano secondi, mentre il ritardo di risposta pu` o essere anche di alcuni micro secondi, dovuto al fatto che il nodo deve effettuare una stima di canale ed una sincronizzazione di
bit; cos`ı anche un offset di clock piccolo pu` o diventare significativo sulla stima, dovuto all''accumulazione dell''errore su 'd. TDOA Nei sistemi di localizzazione che si basano su questa tecnica, non ci si affida
alla stima della distanza che intercorre tra due nodi; questi sistemi tipica-
mente si affidano ad uno dei seguenti schemi: nel primo diversi segnali sono
spediti in broadcast da un nodo fisso e sincronizzato detto ancora, situato
in una posizione nota, nodi denominati agenti misureranno cos`ı i vari tempi
di arrivo ed anche le differenze tra loro (TDOA); nel secondo schema, un
segnale di riferimento ` e spedito in broadcast da un nodo ancora e ricevuto da diversi nodi di tipo agente, quest''ultimi condividono i loro tempi di ar-
rivo in modo da poter calcolare le varie differenze e sono sincronizzati tra
loro da una rete cablata di connessione. Per arrivare a calcolare univoca-
mente la posizione di un nodo agente sono necessari almeno tre nodi ancora
e due TDOA, nel piano, mentre nello spazio tridimensionale servono almeno
quattro nodi ancora e tre TDOA 1.1.2 Received Signal Strength-Based Ranging Il principio di questa tecnica ` e che se un segnale viene lanciato con una certa potenza, l''intensit` a del segnale ricevuto sar` a tanto pi` u bassa quanto maggiore sar` a la distanza che intercorrer` a fra trasmettitore e ricevitore. Tale tecnica ` e usata in sistemi a basso costo come le reti di sensosori wireless, perch` e i costi dell''hardware necessario si attestano notevolmente sotto a quelli per tecniche basate sulla misurazione del tempo. Nei sistemi in esame
un nodo B che riceve un segnale inviato da un nodo A, stima la distanza
che intercorre tra i due nodi misurando la potenza del segnale ricevuto e
sfruttando un modello semplificato della propagazione di segnali nello spazio
in funzione della distanza Pr(d) = P0 '' 10γ log10 d + S (1.1) dove Pr (dBm) `e la potenza ricevuta al nodo B, P0 (dBm) `e la potenza
ricevuta alla distanza di riferimento di un metro, d (metri) ` e la distanza che separa A da B, S (dB), rappresenta la variazione di fading su larga scala
(shadowing), solitamente per modellare S viene usata una variabile aleatoria
Gaussiana con media nulla e deviazione standard 'S [8], infine γ rappresenta
il fattore di path-loss, il quale tipicamente assume valori compresi tra 2 e 6
[9]. 9 L''inconveniente primario delle tecniche basate sull''intensit` a del segnale ricevuto st` a nel fatto che in ambienti densi di ostacoli che causano rifrazioni del segnale originario e assorbimenti di potenza, la forza con cui il segnale
arriva al ricevitore risulta scarsamente correlata alla distanza e quindi dando
luogo a stime altamente affette da errore. 1.2 Ranging nei sistemi UWB Ultra-Wide Band (UWB) ` e una tecnologia sviluppata per trasmittere e rice- vere informazioni in una banda di frequenza molto ampia, da 500 MHz a
circa 10 GHz, che sotto le dovute premesse dovrebbe essere in grado di
condividere tale ampio spettro con altri utenti. La comunicazione avviene
attraverso brevissimi impulsi radio con durata temporale variabile da poche
decine di pico-secondi a qualche nano-secondo, grazie appunto alla durata
estremamente ridotta l''impulso visualizzato in frequenza si estende su di un
ampio spettro e la densit` a spettrale di potenza ad esso associata, ''spalmata' sulla banda, risulta essere molto bassa, il che permette di avere due vantag-
gi fondamentali: la capacit` a di non interferire in linea di principio con altri sistemi di comunicazione ed inoltre consente di essere vista da sistemi es-
terni come una sorta di rumore di fondo, quindi difficilmente intercettabile;
inoltre la potenza ridotta permette di realizzare dispositi a basso consumo
energetico. La tecnologia Ultra-Wide Band permette di raggiungere performance di localizzazione molto elevate attraverso tecniche di stima TOA (Time Of
Arrival), anche in ambienti in cui la propagazione ` e resa difficoltosa [2] e [3], grazie all''abilit` a di risoluzione del problema del multipath e di pene- trare gli ostacoli. Lo standard IEEE 802.15.4a fu il primo protocollo basato
sul sistema UWB per bassi bit rate in Wireless Personal Area Networks
(WPANs) con capacit` a di localizzazione, nel quale la precisione si attesta nell''ordine del metro o inferiore nel 90% dei casi. Le tecniche di ranging
che si basano sul TOA sono affette da una serie di problematiche quali il
rumore, le componenti multipath, le interferenze ed il clock drift [4]; in am-
bienti con problematiche di multipath molto consistenti il primo impulso in
arrivo al ricevitore non ` e necessariamente il pi` u forte, ci` o rende il problema di localizzazione complesso [5]. 1.3 Ranging nelle smart micro grids Le micro grids stanno diventando realt` a al giorno d''oggi con la sempre mag- gior diffusione di piccole sorgenti di energia per uso residenziale ma non solo,
come pannelli fotovoltaici, micro turbine o pale eoliche possibilmente inte-
grati con dispositivi capaci di immagazzinare energia. Tali reti di generatori
di energia distribuiti possono essere ottimizzate al fine di ridurre al minimo 10 i costi di distribuzione e produzione di energia, mantenendo comunque i vin-
coli imposti dal sistema. Gli obiettivi appena citati possono essere raggiunti
soltanto se su tali reti ` e implementato un sistema di controllo e misura, cio` e significa realizzare quello che viene comunemente denominata una smart mi-
cro grid. In questo contesto, ` e possibile agire sulla fase e sull''ampiezza delle correnti immesse dai generatori locali, per ottimizzare le perdite di linea e
soddisfare le richieste degli eventuali utilizzatori, in tal modo si riducono i
costi ed ` e anche possibile migliorare il dimensionamento della linea stessa. In [6] viene proposta una soluzione basata su un approccio di tipo token
ring, nella quale i generatori locali lasciano circolare nella rete un token,
il generatore che lo possiede ha la facolt` a di aggiustare la corrente immes- sa nella smart micro grid. In [7] viene dimostrato che l''approccio token
ring risulta essere il migliore sotto il punto di vista prestazionale, inoltre ` e mostrato come, assumendo che l''impedenza per unit` a di lunghezza sia la stessa in tutti i percorsi, un controllo ottimale viene raggiunto quando tutti
generatori locali conoscono la topologia della rete, in particolare la distanza
con i loro rispettivi vicini. Nel nostro caso il problema di stima della dis-
tanza tra generatori locali di una smart micro grid, ` e affrontato utilizzando le cosiddette Power Line Communications (PLC). Questo tipo di comuni-
cazione rappresenta l''ottimo per raggiungere entrambi gli obiettivi fissati,
cio` e l''implementazione di un''infrastruttura di comunicazione, necessaria per l''ottimizzazione di controllo e la realizzazione di un sistema di misura per
stimare i parametri di rete. 1.3.1 Ottimizzazione delle reti Micro-Grid Come gi` a accennato nell''introduzione del ranging nelle micro-grid attraverso le Power Line Communication, la conoscenza topologica della rete da parte
dei nodi diviene fondamentale nell''ottimizzazione dei costi di produzione e
distribuzione dell''energia in una rete che presenta al suo interno dei piccoli
generatori di corrente elettrica. In questo capitolo si vogliono approfondire
le motivazioni teoriche che portano alla mappatura della rete attraverso
tecniche di ranging. Nelle micro-grid, le sorgenti locali sono interfacciate alla rete attraverso dei processori elettronici di potenza; se tali sorgenti riescono a lavorare in
modo cooperativo, ` e possibile riuscire a raggiungere lo sfruttamento com- pleto dei generatori locali, ridurre le perdite di distribuzione e stabilizzare
la tensione. Il modello preso in esame da [7] ` e risultato essere la soluzione ottima, nel quale si affronta il problema attraverso la mappatura dinamica
della rete e l''utilizzo della tecnica del token ring. Dimostriamo ora come attraverso la tecnica di controllo token ring in tutti i nodi attivi della rete (cio` e nodi dove le sorgenti locali si interfacciano alla rete attraverso dei processori di potenza), sia possibile raggiungere l''-
operativit` a ottima delle micro-grid. Quando un processore elettronico di 11 Figura 1.1: Nodi attivi ''vicini' in una micro-grid. potenza riceve il token, entra nella fase cosiddetta di controllo, l''abilitazione
avviene fisicamente tramite la ricezione di un segnale di enable associato ad
un pacchetto dati. Durante la fase di controllo il processore, in accordo con
l''algoritmo ottimo di controllo, va ad agire sulla corrente in uscita dal proprio
generatore, dopodich´ e passa il token ad un altro processore. Nel tempo che intercorre tra due fasi di controllo la corrente in uscita dalla sorgente viene
mantenuta inalterata, cio` e il processore lavora come una sorgente costante di corrente alternata; questa operazione ` e molto utile in quanto permette di evitare interazioni e stabilizza l''impedenza vista da ogni processore nella
fase di controllo. L''algoritmo di controllo ` e scelto in modo tale da soddisfare due requisiti fondamentali del sistema: 1. la regolazione sulla corrente attiva, che ` e necessaria al fine di massimiz- zare lo sfruttamento delle sorgenti di energia locali, in particolare nel
caso di sorgenti di energia rinnovabili lo scopo da raggiungere ` e quello di estrarre la maggior potenza possibile, mentre per quanto riguarda le
unit` a di stoccaggio, l''energia ` e presa o data, aseconda delle necessit` a della rete; 2. la regolazione sulla corrente reattiva, che permette di contyrollare la tensione e minimizzare le perdite di distribuzione. Considerando la sezione di rete raffigurata in Figura 1.1, si pu` o notare che il nodo N ha un insieme di nodi attivi adiacenti N1, . . . , NK, essi sono
collegati ad N tramite i rispettivi tratti di linea L1, . . . , LK. Sia UN il
voltaggio del nodo attivo N ed U1, . . . , UK le rispettive tensioni dei nodi
sopra citati. ` E possibile dimostrare che le perdite dovute alla distribuzione dell''energia prodotta dalle sorgenti locali possono essere minimizzate se la 12 tensione al nodo N, UN , `e regolata in arrordo con la seguente relazione U opt N = K X k=1 Uk
Zk , K X k=1 1 Zk , (1.2) dove Zk `e l''impedenza associata al percorso Lk. Se il valore di impedenza
per unit` a di lunghezza ` e la stessa per tutti i percorsi, la 1.2 diventa U opt N = K X k=1 Uk dk , K X k=1 1 dk , (1.3) dove dk `e la lunghezza associata al percorso Lk. La configurazione di corrente ottima che permette alla tensione al nodo N di raggiungere il valore U opt N , ` e facilmente determinata osservando che, se la corrente al nodo N , IN , ha una variazione ''IN , la tensione diventa UN = U 0 N + Zeq ''IN = U 0 N + Zeq (''I 0 N + j''IN 00 ), (1.4) dove U 0 N ` e la tensione iniziale, che assumiamo costante, mentre Zeq = Req + jXeq `e l''impedenza equivalente vista dal nodo N , la quale pu` o es- sere ricavata damisurazioni sulla linea. Le variazioni di corrente attiva e
reattiva si esprimono nel seguente modo ''I 0 N = h Req(U 0 ref '' U 0 N ) + Xeq U 00 ref i Z2 eq (1.5) ''I 00 N = h ReqU 00 ref '' Xeq (U 0 ref '' U 0 N ) i Z2 eq (1.6) esse sono necessarie al fine della minimizzazione della differenza tra UN ed
U opt N . Nella pratica, solo la variazione di corrente reattiva ''I 00 N pu` o essere scelta in maniera indipendente, mentre la variazione di corrente attiva deve
soddisfare le condizioni flussi di potenza richiesti. Ad ogni modo un controllo
ottimale della corrente reattiva ai nodi avr` a come conseguenza una grossa diminuzione delle perdite di distribuzione e la stabilizzazione delle tensioni
nell''intera rete. Per realizzare il controllo ottimo descritto in precedenza ` e necessario soddisfare due condizioni: ' i nodi ''vicini' devono essere identificati e la loro distanza misurata (mappatura della rete); ' i nodi ''vicini' devono comunicare tra loro e scambiarsi dati sulle misurazioni di tensione. Tali condizioni possono essere soddisfatte se tutti i nodi attivi della rete
sono dotati di PLC (PowerLine Communication); inoltre assumiamo che
ogni nodo sia univocamente riconoscibile grazie ad un codice (indirizzo), 13 che i nodi attivi condividano un tempo di riferimento e che si scambino
informazioni di tensione tramite fasori. Con il termine mappatura dinamica della rete si intende che ogni nodo che possiede il token, quindi quando si trova nella sua fase di controllo,
operi un''identificazione in tempo reale dei propri vicini; questa operazione
si svolge in due semplici fasi: 1. il nodo in fase di controllo spedisce una richiesta di informazioni via PLC, analizza le risposte salvando il loro indirizzo, tutti i nodi che
rispondono alla richiesta vengono chiamati corrispondenti; 2. grazie alla tecnica di ranging utilizzata, stima le distanze di ogni nodo della rete e le associa ai vari indirizzi, viene cos`ı costruita una tabella
delle distanze di tutti i nodi attivi in rete. I nodi vicini vengono identificati identificati facilmente grazie ad un semplice
algoritmo, infatti due nodi n e k si possono definire vicini se la distanza tra
loro dkn, soddisfa la seguente condizione: d k
n < d `
n + d `
k , ` = 1, . . . , L, (1.7) dove ` = 1, . . . , L sono tutti i nodi corrispondenti sia con n che con k. La
mappatura della rete pu` o essere aggiornata periodicamente per dare un idea dell''evoluzione dinamica della rete stessa. Applicabilit` a delle tecniche TOA ai sistemi PLC In uno scenario di canale ideale, ovvero senza distorsione e LOS, ` e noto che le prestazioni delle tecniche di stima di tipo time of arrival decrescono
linearmente al calare del rapporto segnale su disturbo, per quanto riguarda
invece degli scenari meno ideali, ` e altrettanto noto che le prestazioni dipen- dono dalla larghezza di banda dei segnali. Nello specifico, se la banda ha un
valore B ed il periodo di campionamento T ` e espresso come T = 1 B , (1.8) allora ponendoci nel caso di usare la tecnica di ranging ''two-way' (vedi
Sezione 1.1.1), nella quale la distanza tra un nodo A ed uno B ` e espressa come d = c ('RT T ) '' 'd 2 , (1.9) possiamo ricavare facilmente un valore di errore quadratico medio sotto
radice (RMSE) associato alla stima della distanza b d RM SE( b d '' d) ' T · c '' 2 , (1.10) 14 Tabella 1.1: Precisione del ranging per vari standard PLC in condizioni di
canale LOS. nel calcolo del quale abbiamo assunto indipendeti le varianze del TOA sia
per 'RT T che per la stima del tempo di propagazione 'p. L''equazione (1.10)
inoltre spiega il perch` e i sistemi UWB siano i preferiti nella stima del tempo di arrivo, data la presenza al numeratore del tempo di campionamento, che
in tali sistemi ` e ovviamente molto piccolo. Le performance attese delle tecniche di ranging basate sulla stima del tempo di arrivo per gli standard PLC e tecniche [31], [32], sono mostrate
nella Tabella 1.1, dove nel calcolo dell''RMSE approssimato abbiamo usato
(1.10) con c = 2 · 108 [m/s]. L''accuratezza del ranging nei sistemi PLC ` e dell''ordine di qualche metro, il che conferma la validit` a del sistema usato. 15 16 Capitolo 2 Modello di canale Powerline
Communications Le reti Powerline differiscono considerevolmente dai mezzi di comunicazione
tradizionali come cavi coassiali, doppino telefonico o fibre ottiche, in base
alla topologia, alla struttura ed alle propriet` a fisiche. La strategia utilizzata per descrivere il modello di canale in [10] ` e di tipo top-down, considera il canale come una scatola e si descrive l''equazione caratteristica H(f ) in
frequenza in un range compreso tra 500 KHz e 20 MHz. La struttura del
modello ` e basata su un gran numero di misurazioni effettuate su vari canali fisici. 2.1 Effetti della propagazione del segnale nel mez-
zo In questa sezione verr` a innanzitutto descritta la topologia principale della rete considerata ed in seguito si analizzeranno la propagazione multipath di
un segnale e le perdite dovute ai cavi di connessione. Un tipico collegamento tra un utilizzatore ed una substation ` e costituito da uno o pi` u cavi di distribuzione e da cavi che arrivano all''utenza finale, entrambi i tipi di cavo posseggono una determinata impedenza con valore
reale ZL. I cavi che arrivano all''utenza terminano in un box di connes-
sione, dal quale escono i cavi interni dell''utilizzatore i quali possono essere
modellati, dal punto di vista della rete d''accesso, come un impedenza comp-
lessa ZH (f ). L''impedenza del punto di connessione alla casa `e generalmente
bassa, questo ` e dovuto ai numerosi cavi che da questo punto partono e si diffondo all''interno dell''utenza. Molte riflessioni sono causate dai punti di
collegamento tra i cavi necessari per il servizio dell''utilizzatore, dai box di
connessione e dai cavi di distribuzione con diversa impedenza caratteristica. La propagazione del segnale non avviene soltanto lungo il percorso di- retto tra il trasmettitore ed il ricevitore ma in questo tipo di comunicazioni 17 Figura 2.1: Effetto eco. ` e necessario prendere in considerazione il cosiddetto effetto eco, il risultato ` e quindi uno scenario di tipo multipath con fading selettivo in frequenza.
La propagazione multipath si pu` o analizzare guardando la Figura 2.1, nel- la quale ` e rappresentato un collegamento con un solo braccio, raffigurato dai segmenti (1), (2) e (3) con rispettive lunghezze l1, l2 ed l3 ed impedenze
caratteristiche ZL1, ZL2 e ZL3. Assumiamo ora che i nodi A e C abbiano im-
pedenze caratteristiche uguali rispettivamente ai tratti 1 e 2, cio` e ZL1 = ZA e ZL2 = ZC, questo significa che nei suddetti nodi non vi saranno riflessioni,
mentre nei nodi B e D sono presenti i fattori di riflessione r1B, r3D, r3B ed
i fattori di trasmissione t1B e t3B. Con questo tipo di configurazione sono
possibili un numero infinito di percorsi che un segnale pu` o seguire. Defini- amo ora dei pesi da attribuire ai vari percorsi, quindi per il cammino i-esimo
il fattore di peso gi si calcola moltiplicando tra loro i fattori di trasmissione
e riflessioni incontrati lungo il percorso. Tutti i fattori, sia di riflessione che
di trasmissione sono al pi` u uguali ad uno, questo ` e dovuto al fatto che la trasmissione avviene soltanto nei giunti tra due o pi` u bracci in parallelo con carichi sempre inferiori rispetto al braccio di propagazione, per questo si pu` o scrivere la seguente equazione gi ' 1 ''i; (2.1) inoltre pi` u il cammino sar` a denso di trasmissioni e riflessioni pi` u il fattore di peso sar` a piccolo. I segnali prodotti dal non adattamento delle impedenze caratteristiche pi` u spazio percorrono propagandosi pi` u si attenuano, quindi al ricevitore essi saranno meno significativi rispetto al segnale di origine.
In base a tali ragionamenti ` e corretto tener conto solo di un numero N di cammini dominanti, dove N si tender` a a far risultare il pi` u piccolo possibile. 18 Il ritardo del cammino i-esimo 'i si scriver` a come 'i = di '' εr C0 = di vP , (2.2) dove εr rappresenta la costante dielettrica del materiale isolante, C0 `e la
velocit` a della luce, mentre le di sono le varie lunghezze dei cavi. Le perdite nei cavi causano un''attenuazione A(f, d) che si incrementa con la distanza percorsa dal segnale e con la frequenza. In questo contesto
la risposta in frequenza da A a C si esprime come H(f ) = N X i=1 gi · A(f, di) · e ''j2'f 'i . (2.3) In un generico contesto di linea perfettamente adattata possiamo an- dare a riscrivere la risposta in frequenza H(f ) attraverso la costante di
propagazione complessa γ = p (R0 + j'L0)(G0 + j'C0) = α + jβ, (2.4) che dipende dai parametri della linea: R0 che ` e una resistenza per unit` a di lunghezza, L0 induttanza per unit` a di lunghezza, C0 capacit` a per unit` a di lunghezza e G0 che ` e la conduttanza sempre per unit` a di lunghezza; quindi la risposta in frequenza possiamo scriverla come H(f ) = U (x = l) U (x = 0) = e ''γ·l = e''α(f)·le''jβ(f)·l (2.5) dove U (x) rappresenta la tensione in funzione della distanza x. I parametri
L0 e C0 possono essere grossolanamente determinati dalle dimensioni ge-
ometriche e da alcune propriet` a dei materiali; il fattore R0 ` e dipendente dalla frequenza e se consideriamo frequenze nell''ordine dei mega Hertz allo-
ra si pu` o considerare direttamente proforzionale a '' f . La conduttanza per unit` a di lunghezza G0 ` e dipendente dal fattore di dissipazione del materiale dielettrico, quindi essa sar` a proporzionale ad f . In un contesto generico usualmente valgono le seguenti disuguaglianze R 0  'L0, G 0  'C0, (2.6) nell''intervallo di frequenze di interesse, cos`ı una linea che presenta una im-
pedenza caratteristica reale si pu` o considerare con deboli perdite. Un altro modo di rappresentare la costante di propagazione complessa che metta in
evidenza la dipendenza di essa dalla frequenza ` e il seguente γ = k1 p f + k2f | {z } <(γ)=α +j k3f |{z} =(γ)=β (2.7) 19 con k1, k2 e k3 costanti che rappresentano le caratteristiche geometriche
e le propriet` a dei materiali. La parte reale del fattore di propagazione, cio` e il fattore di attenuazione α, come ` e facile notare dall''equazione (2.7), cresce all''aumentare della frequenza, ma la dipendenza esatta tra α ed f ` e dipendente dalla dominanza o meno di k1 o k2 rispetto all''altro. Basandosi
su tali ragionamenti ed attraverso una serie di misurazioni pratiche, ` e stato possibile approssimare ragionevolmente il fattore di attenuzione come α(f ) = a0 + a1f k , (2.8) la quale ` e in grado di caratterizzare il fattore di attenuazione usando sola- mente tre parametri, i quali si possono facilmente derivare dalla misurazione
della funzione di trasferimento. I paramentri a0 e a1 sono detti di attenu-
azione, mentre k ` e una costante generalmente compresa tra 0.5 ed 1. ` E pos- sibile riscrivere attraverso (2.5) e (2.8) l''attenuzione per un cavo utilizzato
per le comunicazioni di tipo powerline A(f, d) = e ''α(f )·d = e''(a0+a1f k )·d. (2.9) 2.2 Modello di canale Combinando la propagazione multipath descritta dall''equazione (2.3) e l''at-
tenuazione del segnale nel mezzo dipendente da frezenza e lunghezza data
da (2.9), ` e possibile riscrivere la funzione di trasferimento nel seguente modo H(f ) = N X i=1 |gi(f )|e 'g i (f ) | {z } fattore di peso e ''(a0+a1f k)di | {z } attenuazione e ''j2'f 'i | {z } ritardo , (2.10) la quale descrive la propagazione di un segnale lungo un cammino, la cui
attenuazione aumenta con la distanza percorsa e la frequenza (caratteristica
di tipo passa-basso). I fattori gi sono il risultato del prodotto tra fattori
di trasmissione e riflessione che il segnale incontra lungo il percorso, dato
che in generale i punti di riflessione possono essere complessi e dipendenti
dalla frequenza, i gi sono stati scritti in (2.10) sotto forma di modulo e fase
dipendenti da f . Attraverso campagne di misurazione siamo in grado di poter dire che ` e possibile assumere i fattori di peso gi complessi, ma non dipendenti dalla
frequenza, inoltre in molti casi di interesse pratico tali fattori si possono con-
siderare reali e costanti in frequenza. Per tali motivi ` e possibile riformulare la (2.10) in modo semplificato H(f ) = N X i=1 gie ''(a0+a1f k)di e ''j2'f ( vP di ) (2.11) 20 nella quale si ` e messa in evidenza la dipendenza dalla distanza nell''ultimo esponenziale sfruttando (2.2). Quest''ultima equazione rappresenta un mod-
ello paramentrico che descrive la risposta in frequenza complessa di un tipico
canale PLC, nel quale si tiene conto di tutti gli effetti pi` u importanti che caratterizzano la funzione di trasferimento in un range di frequenze compre-
so tra i 500 KHz ed i 20 MHz, attraverso un ristretto insieme di parametri
che possono essere calcolati da misurazioni di canali fisici. 2.2.1 Modello di canale usato nelle simulazioni Matlab Il modello di canale usato in Matlab sul quale sono stati implementati gli
algoritmi di ranging analizzati, ricalca quello descritto nel Paragrafo 2.2.
Andiamo ora nello specifico del programma usato, ponendo l''accento sugli
elementi di differenza tra la teoria esposta pocanzi e la pratica usata nelle
simulazioni. I dati di input di cui necessita il programma sono cinque: ' frequenza massima in Hertz, posta a 30 MHz, mentre la minima ` e posta a zero (range di frequenza diverso da quello considerato); ' parametri dell''attenuazione dipendente dalla frequenza, a0 ed a1, ai quali sono stati posti rispettivamente i valori 10''5 e 0, mentre il
paramentro k che compare nella formula (2.8) ` e posto ad uno; ' lambda, ovvero il valore che diamo all''intensit` a del processo di Poisson con cui vengono generati gli arrivi, ` e stato posto uguale a 1/15 metri; ' la distanza massima in metri sino a cui si considerano validi gli arrivi generati con il processo di Poisson di cui sopra. Oltre a questi paramentri che vengono passati come input del programma
ce ne sono altri posti nel programma stesso, come la suddetta frequenza
minima posta a 0, il tempo di campionamento che ` e dato dalla seguente espressione Tc = 1 2 · frequenza massima , (2.12) la costante dielettrica del materiale isolante εr = 1 e la velocit` a della luce c ha il valore consueto di 3 · 108 m/s. I fattori di peso gi sono delle variabili
uniformi tra [''1, 1]. Gli output che il programma fornisce sono due vettori di pari lunghezza, uno da i valori del canale nel tempo e l''altro fornisce appunto i tempi dei
campioni. In questo modo ` e possibile caratterizzare l''andamento del canale rispetto al tempo, sul quale ` e possibile applicare gli algoritmi di stima del tempo di arrivo. Un esempio di canale PLC ` e dato dalla Figura 2.2. 21 Figura 2.2: Canale PLC. 22 Capitolo 3 Modello di canale
Ultra-Wide Band Negli ultimi anni le Wireless Personal Area Networks (WPANs) hanno rice-
vuto un considerevole grado di attenzione dovuta al fatto che esse sono in
grado di fornire un servizio di networking ad-hoc con mezzi a basso costo
e basso consumo. La tecnologia Ultra Wide Band (UWB) applicata alle
WPANs ha fatto nascere gli standard IEEE 802.15.3a e 802.15.4a, il primo
pu` o supportare alti bit rate su piccole distanze (fino a 110 Mbps a 10 metri e fino a 480 Mbps a distanze inferiori), mentre il secondo ha bassi bit rate su
distanze maggiori (fino a 1 Mbps a 30 metri) e viene usato nel campo della
localizzazione. Proprio a tal scopo ` e necessario studiare a fondo il canale UWB e riuscire a creare un modello il pi` u accurato possibile. Qui di seguito verr` a presentato un modello di canale multipath statistico UWB sviluppato per simulare ambienti di tipo indoor residenziale, il quale ` e usato nello stan- dard IEEE 802.15.4a. Il modello ` e derivato da varie misurazioni di sistemi ultra-wide band in differenti scenari di propagazione, le quali hanno mostra-
to che le componenti multipath tendono a formare dei cluster o gruppi nel
dominio del tempo; tale fenomeno pu` o avere un impatto significativo sulla capacit` a del canale, perci` o un modello di canale affidabile necessita di tener conto di tale fenomeno per non sovrastimare la capacit` a. 3.1 Modello statistico Il modello statistico analizzato ed usato nelle simulazioni Matlab ` e preso da [11], nel quale vengono analizzate le problematiche in trasmissione e
ricezione del segnale UWB; qui di seguito sar` a svolta un''analisi sul path-loss, lo swadowing, il power delay e sul fading su piccola scala. 23 3.1.1 Path-loss Il path-loss nei sistemi di tipo narrowband ` e convenzionalmente espresso nel seguente modo P L(d) = E{PRX (d, fc)} PT X , (3.1) dove PRX e PT X sono rispettivamente la potenza in ricezione e trasmissione,
d indica la distanza fra trasmettitore e ricevitore ed infine fc indica la fre-
quenza centrale di trasmissione. Considerando la dipendenza in frequenza
degli effetti della propagazione in un canale UWB, la descrizione del path-
loss sull''intera banda ` e una funzione della distanza e della frequenza stessa come indicato dalla seguente espressione P L(f, d) = E ( Z f +Mf /2 f ''Mf /2 |H( ' f , d)| 2d ' f ) , (3.2) dove H(f, d) ` e la funzione di trasferimento da connettore di antenna a con- nettore di antenna, mentre Mf `e preso abbastanza piccolo da considerare
coefficienti dielettrici e di diffrazione delle semplici costanti. Per semplifi-
care il computo totale assumiamo la funzione di path-loss dipendente sia
dalla frequenza che dalla distanza come prodotto di due funzioni P L(f, d) = P L(f )P L(d), (3.3) dove P L(f ) si pu` o descrivere nel seguente modo P L(f ) ' f ''κ, (3.4) con κ coefficiente di dipendenza in frequenza del path-loss. La funzione di path-loss espressa in dB dipendente dalla distanza si esprime come P L(d) = P L0 + 10n log10  d d0  , (3.5) dove la distanza di riferimento d0 `e posta a 1 metro e P L0 `e il path-loss a
tale distanza, infine n rappresenta l''esponente del path-loss, il quale varia
a seconda dell''ambiente in cui ` e in atto la comunicazione e rispetto al fatto che esista o meno un cammino diretto (LOS) fra trasmettitore e ricevitore. Ora consideriamo il path-loss in modo differente rispetto a quanto fat- to finora; il modello analizzato include gli effetti delle antenne in ricezione
e trasmissione, descrivendo il path-loss come un rapporto tra potenza in
ricezione e potenza in trasmissione. Qui di seguito verr` a introdotto un mod- ello che descrive solamente il canale, escludendo gli effetti dei parametri
di antenna, inoltre lo scopo sar` a di esplicitare la dipendenza in frequenza dell''efficienza dell''antenna e di mettere in evidenza invece la non dipenden-
za dalla direzione, il che implica l''impossibilit` a di tener conto nel computo totale del guadagno d''antenna. 24 Il calcolo della potenza in ricezione si snoda attraverso una successione di piccoli passi che verr` a ora analizzata. Per prima cosa ` e necessario descrivere lo spettro della potenza trasmessa ''on air' Pt(f ) = PT X-amp(f ) · ηT X-ant(f ), (3.6) dove PT X-amp(f ) `e lo spettro in uscita dall''amplificatore in trasmissione
mentre ηT X-ant(f ) `e l''efficienza dell''antenna in frequenza. Nel secondo passo
andiamo a calcolare la densit` a di potenza alla distanza d dipendente dalla frequenza come b P (f, d) = K0 Pt(f ) 4'd2 0  d d0 ''n  f fc ''2κ , (3.7) dove la costante di normalizzazione K0 sar` a determinata in seguito. Il ter- zo passo consiste nel determinare la potenza in ricezione dipendente dal-
la frequenza, moltiplicando la densit` a di potenza al ricevitore con l''area dell''antenna in ricezione ARX (f ) espressa come ARX (f ) = λ2 4' GRX (f ), (3.8) dove GRX (f ) `e il guadagno d''antenna in ricezione ed inoltre moltiplicando
per l''efficienza di antenna ηRX-ant(f ). Sino a qui, stiamo assumendo che la
radiazione sia mediata su tutti gli angoli di incidenza, il guadagno di anten-
na, mediato su tutte le direzioni, ` e considerato unitario, indipendentemente dalla frequenza considerata. La potenza ricevuta in funzione della frequenza
e della distanza si scrive come Pr(f, d) = K0PT X-amp(f ) · ηant(f ) · c2 (4'd0fc)2 · 1 (d/d0)n(f /fc)2κ+2 , (3.9) dove c ` e la velocit` a della luce, mentre con ηant(f ) viene rappresentata l''effi- cienza totale ηant(f ) = ηT X-ant(f ) · ηRX-ant(f ). (3.10) La costante di normalizzazione K0 deve essere scelta in modo che l''at- tenuazione alla distanza di riferimento d0 ed alla frequenza centrale fc =5
GHz, sia uguale al valore di P L0 espresso in seguito nelle tabelle, sotto l''as-
sunzione di un antenna isotropica ideale. Il concetto espresso poc''anzi ` e qui di seguito espresso in equazioni Pr(d0, fc) PT X-amp(fc) = P L0 = K0 c2 (4'd0fc)2 . (3.11) Quindi, invertendo l''equazione, K0 risulta K0 = (4'd0fc) 2 c2 P L0. (3.12) 25 Terminiamo la nostra analisi andando a valutare gli effetti della presen- za di una persona nelle vicinanze di un''antenna; ` e stato dimostrato come in questa situazione si verifichi un''attenuazione del segnale in ricezione, di
valori intermedi tra 1 e 10 dB dipendente dall''utente; tale processo ` e in- oltre stocastico. Ad ogni modo, per semplicit` a, terremo conto di questo effetto attraverso il fattore di attenuazione d''antenna, il quale con buona
approssimazione ` e stato posto costante ed uguale ad 1/2. ` E ora possibile scrivere l''espressione finale del path-loss nel seguente modo P L(f ) = Pr(f ) PT X-amp(f ) = 1 2 P L0ηant(f ) (f /fc) ''2(κ+1) (d/d0)n . (3.13) 3.1.2 Shadowing Il fading su larga scala, o shadowing, ` e la variazione locale media attorno al valore di path-loss, inoltre questo processo ` e abbastanza simile al fading nei sistemi narrowband, quindi il path-loss, mediato sul fading a piccola scala,
pu` o essere scritto come segue P L(d) = P L0 + 10n log10  d d0  + S, (3.14) dove S ` e una variabile aleatoria Gaussiana distribuita, con media zero e deviazione standard 'S. 3.1.3 Power delay profile Il modello statistico in esame [11] si basa sullo studio dell''effetto di raggrup-
pamento delle componenti multipath descritto nell''introduzione di questo
capitolo e sul modello convenzionale Saleh-Valenzuela(S-V) [1]. La risposta
impulsiva del canale pu` o essere espresso dalla seguente espressione h(t) = L X l=0 Kl X k=0 ak,lδ(t '' Tl '' 'k,l), (3.15) dove δ(·) ` e la funzione delta di Dirac, L ` e il numero di cluster e Kl `e il numero di componenti multipath all''interno dell'' l-esimo cluster, ak,l `e un
coefficiente di guadagno della componente k-esima nell'' l-esimo cluster, Tl ` e il ritardo del cluster l-esimo valutato come il tempo di arrivo della prima
componente multipath, infine 'k,l `e il ritardo della componente multipath
k-esima del cluster l-esimo. Il modello di canale proposto nella (3.15) ` e basato su due tipi di parametri, quelli definiti inter-cluster ed i parametri intra-cluster, i quali caratterizzano
rispettivavente cluster e componenti multipath, {L, Tl} sono i valori inter-
cluster mentre {Kl, ak,l, 'k,l} sono di tipo intra-cluster. Le distribuzioni che 26 caratterizzano gli arrivi dei cluster (Tl) e gli arrivi dei singoli raggi ('k,l) sono
entrambe date da due processi di Poisson, quindi le densit` a di probabilit` a degli inter-arrivi e degli intra-arrivi sono indipendenti l''una dall''altra e si
possono descrivere nelle due seguenti espressioni p(Tl|Tl''1) = 'e '''(Tl''Tl''1), l > 0 (3.16) p('k,l|'(k''1),l) = βλ1e ''λ1('k,l'''(k''1),l) + (1 '' β)λ2e ''λ2('k,l'''(k''1),l), k > 0, (3.17) dove ' ` e la media dei tempi di arrivo dei cluster, β ` e un valore di probabilit` a mentre λ1 e λ2 sono le medie dei tempi di arrivo dei vari raggi all''interno
dei cluster e vi sono due valori per tenere conto di pi` u situazioni ambientali; tipicamente quindi λi  ' come `e facile intuire. L''andamento medio della potenza sia dei cluster sia delle componen- ti multipath ` e assunto come un decadimento esponenziale, il power delay profile ` e quindi anch''esso esponenziale all''interno di ogni cluster E{a 2
k,l} = 'l 1 γl[(1 '' β)λ1 + βλ2 + 1] e '''k,l/γl , (3.18) dove 'l `e l''energia connessa all''l-esimo cluster e γl `e la costante di decadi-
mento temporale delle componenti multipath dell''l-esimo cluster. Questa
costante dipende linearmente dai tempi di arrivo dei cluster come indicato
nella seguente espressione γl ' kγTl + γ0, (3.19) dove kγ `e una costante che descrive l''incremento della costante di decadi-
mento con il tempo. Come detto in precedenza anche l''energia associata
ai cluster ha un andamento esponenziale, questo pu` o essere rappresentato attraverso l''espressione 10 log10('l) = 10 log10  e ''Tl/'  + Mcluster, (3.20) dove Mcluster `e una variabile aleatoria Gaussiana con media zero e deviazione
standard 'cluster, ' invece `e la costante di decadimento temporale dei cluster. Nel modello di canale S-V originale, i coeffienti di guadagno multipath sono delle variabili complesse casuali con distribuzioni statisticamente in-
dipendenti di Rayleigh, con ampiezze e fasi ('' [0, 2']) uniformemente dis-
tribuite e statisticamente indipendenti. Il modello di fading Rayleigh ` e il risultato di interazioni coerenti tra segnali sinusoidali, date dai diversi cam-
mini ad un certo ritardo temporale, che perci` o sono irrisolvibili per il fatto che la banda del sistema non consente risoluzioni temporali adeguate. Nei
sistemi UWB ` e possibile invece avere una risoluzione temporale elevata, in virt` u dell''ampiezza della banda usata. Per tale motivo la distribuzione delle ampiezze differisce rispetto al modello di fading Rayleigh nel convenzionale
sistema a banda stretta. 27 3.1.4 Small-scale fading La distribuzione del fading su piccola scala segue la seguente distribuzione
di Nakagami pdf (x) = 2 '(m)  m ' m x 2m''1e''(m/')x 2 , (3.21) dove m ' 1/2 ` e il fattore di Nakagami, '(m) ` e la funzione Gamma ed ' ` e il valore quadratico medio di ampiezza e corrisponde anche al valore medio
di potenza. Volendo passare da tale distribuzione ad una di Rice possiamo
servirci delle seguenti due equazioni di conversione m = (Kr + 1) 2 (2Kr + 1) , (3.22) Kr = '' m2 '' m m '' '' m2 '' m , (3.23) dove Kr `e il fattore di Rice. Il fattore di Nakagami m, `e modellato come una
variabile aleatoria con distribuzione log-normale, il cui logaritmo ha media
µm e deviazione standard 'm; entrambi i valori hanno dipendenza temporale µm(' ) = m0 '' km', (3.24) 'm(' ) = b m0 '' b km'. (3.25) Per la prima componente di ogni cluster il fattore di Nakagami ` e model- lato differentemente dagli altri, infatti viene assunto deterministico ed in-
dipendente dal ritardo m = e m0. (3.26) 3.1.5 Parametri usati nelle simulazioni Matlab Nel corso delle varie simulazioni effettute in ambiente Matlab, si ` e deciso di utilizzare il canale UWB precedentemente descritto con l''aggiunta di un
rumore bianco a diverse varianze; il canale ` e stato generato nella modalit` a ''indoor residential LOS'. Pu` o essere utile fare un piccolo riassunto dei vari parametri con i rispettivi significati: ' P L0, path-loss alla distanza di riferimento di un metro; ' n, esponente di path-loss; ' 'S, deviazione standard dello shadowing; ' Aant, attenuazione d''antenna; ' κ, fattore di dipendenza in frequenza del path-loss; ' L, numero medio di cluster; 28 ' ', media dei tempi di arrivo dei cluster; ' λ1, λ2, β, parametri del modello degli arrivi di Poisson delle compo- nenti multipath; ' ', costante di decadimento temporale dei cluster; ' kγ, γ0, parametri di decadimento temporale delle componenti multi- path; ' 'cluster, deviazione standard dello shadowing nei cluster; ' m0, km, fattori di Nakagami per il calcolo della media; ' b m0, b fm, fattori di Nakagami per il calcolo della varianza; ' e m0, fattore di Nakagami delle componenti ad alta energia. La seguente parametrizzazione ` e stata basata su misure che non coprono l''effettivo range di frequenze a disposizione dei sistemi UWB, ma vanno da
2 a 10 MHz, da un punto di vista scentifico quindi, tale parametrizzazione
vale soltantato nel range di frequenze adottato dalle misurazioni. Ad ogni
modo i parametri estratti vengo comunque usati per tutto lo spettro delle
comunicazioni UWB. I valori mostrati nella Tabella 3.1 sono stati estratti
da misurazioni per distanze comprese tra 7 e 20 metri. Nella Figura 3.1 ` e riportato un esempio di canale UWB generato con Matlab senza rumore bianco. 29 Tabella 3.1: Parametri per la creazione di un canale UWB di tipo indoor
residential e LOS. 30 Figura 3.1: Esempio di un canale UWB generato da una simulazione in
ambiente Matlab. 31 32 Capitolo 4 Fonti di errore nelle tecniche
di ranging time-based La qualit` a della localizzazione ` e chiaramente influenzata dalla bont` a del ranging eseguito, per questa ragione ` e fondamentale capire quali errori pos- sono degradare la precisione del ranging. In questo capitolo saranno anal-
izzate le problematiche che posso peggiorare in maniera significativa le pre-
stazioni delle tecniche di ranging basate sulla misura del tempo. Infatti gli
algoritmi sviluppati in questa tesi appartengono alla suddetta famiglia. Per prima cosa introduciamo dei termini per definire vari tipi di trasmis- sione, con riferimento alla Figura 4.1, diremo che un collegamento ` e DP (Direct Path) quando il segnale che viaggia in linea retta dal trasmettitore
al ricevitore attraversa uno o pi` u mezzi con permittivit` a nota e costante, come nel caso T X '' RX1. Nel caso T X '' RX2 il DP c''`e ma `e ostacola-
to dal muro che indebolisce e rallenta il segnale, mentre nell''ultimo caso
T X '' RX3 il DP `e completamente interrotto dagli ostacoli trovati lungo il
cammino. Una comunicazione line-of-sight (LOS) avviene quando il primo
arrivo coincide con il cammino diretto, mentre una comunicazione non-LOS
(NLOS) si verifica quando DP ` e completamente bloccato, quindi il primo ar- rivo deriva da riflessioni, oppure quando DP subisce un ritardo, cio` e quando attraversa un materiale con permittivit` a diversa come un muro. Nelle comunicazioni wired come le Power Line Communication, non vi sono ovviamente i problemi appena descritti, ma una serie di altri incon-
venienti intervengono e rendono la stima del tempo di arrivo un problema
non facile da risolvere. Come gi` a visto nel Capito 2 le riflessioni all''inter- no della rete producono il cosiddetto effetto ''eco' che rende il canale PLC
multipath, tali riflessioni sono dovute a carichi con impedenza caratteristica
non adattata in modo ottimale, le cui cause non si possono trascurare. Un
altro inconveniente, sono le interferenze che si creano con altri sistemi di
comunicazione che operano sulle stesse bande delle Power Line, i cavi pos-
sono assorbire il campo elettrico di apparecchiature di interferenza e quindi 33 Figura 4.1: Tre possibili tipi di trasmissione di segnale; TX-RX1 ` e LOS, TX-RX2 ` e NLOS con DP mentre TX-RX3 ` e NLOS con DP interrotto. introdurre distorsione dei segnali trasmessi. Nelle sezioni successive saranno presi in considerazione tre problematiche che affliggono le tecniche di ranging time-based ed infine verr` a analizzato il limite inferiore teorico di precisione denominato di Cram´ er-Rao, il quale sar` a utile per trarre delle conclusioni sulle performance degli algoritmi sviluppati. 4.1 Propagazione Nella propagazione di un segnale in ambienti wireless o wired le prob-
lematiche principali sono tre: il multipath, ritardi del DP, bloccaggio del
DP. 1. Multipath: il fading dato dal multipath ` e causato da interferenze costruttive e distruttive dovute ad arrivi di segnali al ricevitore at-
traverso percorsi differenti. Quando sistemi di tipo narrowband ven-
gono usati in ambienti wireless densi di ostacoli o ambienti wired con
molte connessioni, genericamente diventanta impossibile risolvere i vari
arrivi con cammini differenti, tutto ci` o sfocia nelle interferenze costrut- tive e distruttive di segnali, che rendono la ricerca del DP, se esiste,
impresa ardua. I segnali di tipo UWB sono in grado di risolvere il
problema delle componenti multipath [12] [13], ad ogni modo il grande
numero di componenti multipath in ambienti densi di ostacoli rendono
la ricerca del DP non banale. 34 Consideriamo uno scenario nel quale un impulso p(t) con energia uni-
taria e durata Tp `e trasmesso in un canale affetto da multipath e
rumore termico. Il segnale ricevuto pu` o essere scritto come r(t) = s(t) + n(t), (4.1) dove s(t) ` e la risposta del canale all''impulso p(t) mentre n(t) ` e un rumore bianco Gaussiano (AWGN) con media zero e densit` a spettrale di potenza N0/2. Consideriamo ora il canale con fading selettivo in
frequenza, quindi s(t) = pEp L X l=1 αlp(t '' 'l) + n(t), (4.2) dove L ` e il numero di componenti multipath ricevute, mentre αl e 'l sono rispettivamente ampiezza e ritardo dell''l-esimo raggio, con la
normalizzazione L X l=1 αl = 1, (4.3) infine Ep rappresenta l''energia media ricevuta dell''impulso p(t). Il fine ` e quello di arrivare a stimare il tempo di arrivo (TOA) ' = '1, cio`e il
tempo di arrivo del primo raggio osservando il segnale ricevuto r(t),
questo pu` o essere arduo a causa della presenza del rumore termico e delle componenti multipath. 2. Ritardi del DP: un''altra fonte di errore dei sitemi di ranging time-based ` e il ritardo che il cammino diretto accumula, nel caso wireless, quan-
do nel percorso attraversa ostacoli come muri o altro che rallentano
la velocit` a dell''impulso. Il tempo di propagazione di questi segnali quindi non dipende solo dalla distanza percorsa ma anche dai mezzi
incontrati lungo il tragitto; considerando il fatto che la propagazione
di onde elettromagnetiche ` e pi` u lenta in alcuni materiali rispetto a quella nell''aria, tutto ci` o introduce un ritardo inatteso che va ad in- crementare il valore di distanza stimata. Questo tipo di errore pu` o essere caratterizzato come segue: la velocit` a dell''onda elettomagneti- ca che viaggia in un materiale omogeneo ` e ridotta di un fattore '' r, con riferimento alla velocit` a della luce c, dove r `e la permittivit` a elet- trica relativa del materiale attraversato; il ritardo introdotto per uno
spessore di materiale dW sar` a rappresentato come 4' = ( '' r '' 1) dW c . (4.4) Empiricamente ` e stato dimostrato come questo ritardo, in ambien- ti comuni come degli uffici, possa incidere significativamente nella 35 precisione della stima della distanza in sistemi UWB. Campagne di
misurazione hanno dimostrato come la media dell''errore abbia una
relazione diretta con lo spessore di materia attraversata dai segnali
[14]. 3. Bloccaggio del DP: in ambienti wireless quando il cammino diretto ` e completamente bloccato, il ricevitore pu` o solamente osservare le com- ponenti NLOS di una trasmissione, il che ha come conseguenza una dis-
tanza stimata sicuramente maggiore rispetto a quella reale. Un''osser-
vazione elementare ` e che sia il bloccaggio del cammino diretto che l''attraversamento dello stesso di mezzi a diversa costante di permit-
tivit` a da come effetto una stima di distanza maggiore; tali problemi si verificano in condizioni di NLOS ed ` e importante l''identificazione del- la situazione per adottare l''algoritmo di ranging pi` u adatto. Vi sono varie tecniche, una volta identificata la situazione NLOS, da adottare
per migliorare la qualit` a del rangig, ad esempio si possono ignorare le informazioni date dalle misurazioni NLOS come in [15], anche se in
[16], [17] e [18] ` e mostrato come tali misurazioni possano essere utili per migliorare la precisione. Approcci con programmazione quadrati-
ca e lineare sono stati ustati per mitigare gli effetti del NLOS in [19] e
[20] rispettivamente. La conoscenza a priori dell''ambiente o la cooper-
azione tra nodi sono altri modi per migliorare le stime come mostrato
in [21], [22] e [23]. L''effetto della propagazione NLOS pu` o anche essere attenuato attraverso l''introduzione di memoria nel sistema con l''uso
per esempio di filtri di Bayes, [24] , [25] e [26]. 4.2 Clock drift Le tecniche di ranging basate sulla misurazione del tempo necessitano chiara-
mente di una risoluzione temporale notevole (errori nell''ordine di 1 ns o
minore quando la precisione di stima ` e nell''ordine dei centimetri), a questo scopo i nodi sono dotati di oscillatori i quali permettono la misurazione del
tempo. Per numerose cause fisiche la frequenza di tali oscillatori tende a
non rimanere costante nel tempo causando la cosiddetta deriva del clock,
dall''inglese ''clock drift', essa ha quindi come effetto una stima erronea del
tempo di arrivo tanto pi` u grande tanto meno elevata ` e la qualit` a degli os- cillatori. L''andamento del tempo in un nodo che possiede un oscillatore si
pu` o esprimere come C(t), dove t ` e il tempo reale, quindi in un clock ideale si ha che C(t) = t, perci` o nella realt` a sar` a possibile avere solo una stima del tempo reale C(t) = ' t. Per un piccolo intervallo temporale possiamo scrivere C(t) = (1 + δ)t + µ (4.5) dove δ ` e il coefficiente di deriva, mentre µ rappresenta l''offset del clock; si pu` o notare da questa formula che l''incremento temporale infinitesimo 36 dC(t)/dt ` e pari ad uno nel caso δ = 0. L''effetto del clock drift influenza la stima del tempo di un intervallo, in particolare se un nodo desidera misurare
l''intervallo ' = t2 '' t1, ci` o che stimer` a si pu` o scrivere nel seguente modo ' ' = C(t2) '' C(t1) = (1 + δ)'. (4.6) Quando invece un nodo vuole generare un ritardo temporale 'd, in realt` a generer` a un ritardo dato dalla seguente formula ' 'd = 'd (1 + δ) . (4.7) Per rendere pi` u chiari gli effetti della deriva del clock sar` a fatta una breve analisi di due protocolli di stima, one-way e two-way ranging, nei quali il
nodo A ed il nodo B hanno δA e δB come coefficienti di deriva, µA e µB
come offset rispettivamente. One-way ranging In questo sistema i nodi sono sincronizzati tra loro, per esempio attraverso
un protocollo di sincronizzazione di rete; in questo caso µA e µB sono il
residuo offset di sincronizzazione assumendo, senza perdita di generalit` a, che il tempo nel quale sia avvenuta l''ultima sincronizzazione di rete sia t = 0.
Per capire gli effetti del clock drift in questo protocollo ci poniamo nel caso
che al tempo locale CA(t1) il nodo A trasmette un pacchetto al nodo B, il
quale lo riceve al tempo locale CB(t2); il nodo B a questo punto calcola la
stima del tempo di propagazione come ' 'p = CB(t2) '' CA(t1) = 'p + δBt2 '' δAt1 + µB '' µA. (4.8) L''equazione (4.8) fa capire bene come questo protocollo sia affetto sia da problemi di clock drift, sia da clock offset. Ad ogni modo l''offset di
clock pu` o essere dell''ordine di alcuni µs, quindi la precisione del ranging dipende fortemente dalle caratteristiche della rete di sincronizzazione, per
questo motivo il protocollo one-way necessita di una rete con prestazioni
molto elevate che non sempre ` e possibile implementare in un sistema di comunicazione. Two-way ranging In questo protocollo sia la generazione di ritardo che la misura del tempo
debbono essere il pi` u accurate possibili al fine di una stima di ranging il pi` u veritiera possibile. In accordo con l''equazione (4.7), l''effettivo valore del tempo di risposta ' 'd al nodo B in presenza di clock drift δB, `e dato da 37 Figura 4.2: Errore nella stima del tempo di volo dovuto all''offset di clock
relativo con δA = 10 ''5 e ' p = 100 ns. ' 'd = 'd/(1 + δB), mentre il valore stimato per il RTT, visto al nodo A si
calcola nel seguente modo ' 'RT T = 2'p(1 + δA) + 'd(1 + δA) (1 + δB) . (4.9) In assenza di altre informazioni, il nodo A pu` o stimare il tempo di propagazione ' 'p, mettendo a sistema l''equazione (4.9) con il tempo di round- trip supposto, cio` e 2' 'p + 'd, dove il secondo membro non ha il cappello perch` e si suppone che il tempo di risposta sia noto al nodo A; a questo punto possiamo scrivere la seguente equazione ' 'p = 'p(1 + δA) + ε'd 2(1 + δA '' ε) , (4.10) dove ε = δA '' δB rappresenta un offset di clock relativo. Per dare l''idea di come l''offset relativo influisca sulle prestazioni del ranging possiamo analizzare la Figura 4.2, dove ` e mostrato l''errore sulla stima del tempo di volo (TOF), inteso come ' 'p '' 'p, in funzione di ε per diversi tempi di risposta, usando un valore tipico di coefficiente di deriva al
nodo A, δA = 10 ''5 (10 ppm) ed un tempo di propagazione reale ' p = 100 ns. La Figura 4.2 mostra come sia l''offset di clock relativo, sia il tempo di
risposta influiscano pesantemente sulla precisione della stima. Per esempio,
se si desidera avere un errore sul tempo di volo non pi` u grande di 33 ps (circa 38 1 cm), affinch` e tale vincolo sia rispettato con ε non pi` u grande di 10''5 il ritardo di risposta 'd deve necessariamente attestarsi sotto i 10 µs, oppure
con un offset relativo meno pessimistico ε = 10''6, il vincolo su 'd pu` o essere rilassato sino a valori di circa 100 µs. ` E possibile migliorare le prestazioni nella misurazione del RTT per esem- pio adottando oscillatori di qualit` a elevata, soluzione che per` o non si sposa bene in un ottica low-cost, qual''` e quella delle Sensor Networks. Un''alter- nativa ` e quella di adottare delle tecniche di sincronizzazione rapida a livello fisico come mostrato in [27], [28] e [29]. Infine un''altra opzione ` e quella di generare i pacchetti di risposta al livello MAC (Medium Access Control) per
evitare i grossi ritardi prodotti nella generazione ai livelli superiori. 4.3 Il limite di Cram´ er-Rao Nelle sezioni passate si ` e visto come gli algoritmi di ranging di tipo time- based si fondino sulla misura del tempo di arrivo del primo raggio, perci` o capire i limiti teorici della stima del TOA gioca un ruolo importantissimo
nella progettazione di stimatori. Il problema viene qui di seguito riassunto
in tre punti: ' lo scopo ` e di stimare il tempo di arrivo ' = '1 del cammino diret- to osservando il segnale ricevuto r(t) per un tempo di osservazione
compreso nell''intervallo [0, Toss); ' consideriamo ' una variabile aleatoria uniformente distribuita nell''in- tervallo [0, Ta), il quale rappresenta l''incertezza iniziale sul tempo di
arrivo del cammino diretto, con Ta < Toss, cos`ı tutte le componenti
multipath cadranno nell''intervallo di osservazione; ' in accordo con le equazioni (4.1) e (4.2), il segnale ricevuto dipende da un insieme di parametri ''rumorosi' denominati U = {'2, '3, . . . , 'L, α1, α2, . . . , αL}, (4.11) i quali grazie a rumore e fading possono fortemente influenzare la stima
del TOA; l''insieme completo di parametri sconosciuti del canale viene
indicata come V = {'1, '1, . . . , 'L, α1, α2, . . . , αL}. (4.12) 4.3.1 Limite teorico in condizioni di propagazione ideale Lo scopo di questa trattazione ` e quello di capire i limiti della stima del tempo di arrivo in condizioni di canale AWGN, per determinare quali sono
i parametri fondamentali del sistema che pi` u influiscono sulla precisione del 39 Figura 4.3: Ricevitore per la stima del TOA basato su MF. ranging. In un canale AWGN ed in assenza di altre fonti di errore, il segnale
ricevuto pu` o essere scritto come r(t) = pEpp(t '' ') + n(t). (4.13) In un modello come questo, la stima del TOA diventa un problema non
lineare di stima di paramtri, con una soluzione basata sull''utilizzo di un
ricevitore con filtro matched (MF), il qui diagramma a blocchi ` e raffigurato nella Figura 4.3. Secondo tale schema, il segnale ricevuto r(t), viene in
primo luogo processato da un filtro matched, il quale ` e cos`ı chiamato perch` e la sua risposta impulsiva ` e uguale alla forma d''onda p(t) presente nel segnale ricevuto. La stima del TOA ` e data dall''osservazione dell''istante temporale nel quale ` e presente il massimo assoluto del segnale v(t) con rifererimento alla Figura 4.3, tale schema ` e chiamato in letteratura con il nome di stimatore a massima verosimiglianza (Maximum Likelihood), il quale ` e defenito come asintoticamente efficiente, cio` e raggiunge il limite di Cram´ er-Rao (CRB) per rapporti di segnale su disturbo molto alti. L''errore quadratico medio (Mean Square Error) per ogni stima assoluta b ' di ' pu` o essere delimitata inferiormente da V{ b ' } = E{ξ 2} ' CRB, (4.14) dove ξ = b ' '' ' ` e l''errore di stima e CRB = N0/2 (2')2Epβ2 = 1 8'2β2SN R , (4.15) ` e il Cram´ er-Rao Bound; nel contesto in esame SN R = Ep/N0, mentre β rappresenta la larghezza di banda effettiva dello spettro P (f ) di p(t), oppure
β2 ` e definito come momento del secondo ordine, che per definizione si esprime con la seguente espressione β 2 = R '' '''' f 2|P (f )|2df R '' '''' |P (f )| 2df . (4.16) 40 In questo modo la migliore precisione raggiungibile nella stima della distanza b d derivata dalla stima del tempo di arrivo soddisfa la seguente disuguaglianza V{ b d} ' c2 8'2β2SN R , (4.17) nella quale si pu` o notare che il limite inferiore decresce sia per alti SN R e sia per alti valori della costante β2, la quale dipende dalla forma dell''impulso.
Questo rivela che segnali ad alta potenza ed ampia larghezza di banda sono
particolarmente adatti ad essere sfruttati in sistemi di ranging; infatti se
analizziamo il limite inferiore di Cram´ er-Rao per la stima della distanza b d nelle tecniche di ranging basate sulla potenza del segnale ricevuto, con
riferimento alla (1.1), possiamo scrivere che V{ b d} '  ln 10 10 'S γ d 2 , (4.18) dove si pu` o notare che il limite non dipende dalla forma dell''impulso come nelle tecniche di ranging di tipo time-based. Per le tecniche di ranging basate sulla misurazione del tempo la foma dell''impulso e quindi la larghezza di banda, giocano un ruolo importante
nella precisione del ranging; tipicamente l''n-esima derivata di un impulso
Gaussiano standard p0(t) = e ''2't2 ' 2 p , (4.19) ` e adottata nei sistemi UWB per descrivere la forma d''onda dell''impulso in
trasmissione p(t), la cui espressione ` e descritta come p(t) = p (n)
0 (t) s (n '' 1)! (2n '' 1)!'n' (1''2n) p per n > 0, (4.20) dove 'p `e un parametro che interviene nella larghezza di banda dell''impulso,
p (n)
0 (t) ` e la derivata n-esima di p0(t) rispetto al tempo t. ` E facile vedere come il segnale p(t) abbia energia unitaria, inoltre la banda effettiva β(n) ` e data da β (n) = s 2n + 1 2'' 2 p , (4.21) nella quale possiamo osservare che un CRB inferiore nella stima del TOA
si pu` o raggiungere aumentando n o decrementando 'p. In alternativa, lo standard IEEE 802.15.4a suggerisce l''uso del seguente impulso in banda
passante con frequenza centrale f0 ed inviluppo del tipo a radice di coseno
rialzato p(t) = 4ν '' 2 ' '' 'p cos((1 + ν)'t/'p) + sin((1''ν)'t/'p) 4νt/'p 1 '' (4νt/'p)2 cos(2'f0t), (4.22) 41 dove il parametro 'p ed il fattore di roll-off ν, determinano la larghezza di
banda W = (1 + ν)/'p. Anche nel caso delle comunicazioni Power Line `e
possibile utilizzare la forma d''onda espressa nella (4.22) inquanto il modello
di segnale ricevuto ha le stesse caratteristiche del segnale UWB. 4.3.2 Limite teorico in presenza di multipath Gli stimatori del tempo di arrivo, che operano in presenza di multipath e
canale rumoroso (AWGN), sono principalmente affetti da uno dei seguenti
due tipi di errore dipendenti dal rapporto segnale su disturbo: ' errori globali, si verificano per valori di SNR bassi, quando l''uscita del MF, progettato solo per un canale AWGN (che non ` e pi` u la scelta ottma in un canale con multipath), da come risultato dei picchi adia-
centi al raggio del cammino diretto con ampiezza comparabile, questo
genera ambiguit` a nella scelta del picco corretto (vedi v(t) nella Figu- ra 4.3), perci` o le prestazioni della stima sono dominate da errori di ampiezza maggiore della larghezza dell''impulso, questo fatto ha come
conseguenza una stima del TOA nella quale il MSE tender` a a salire drasticamente per valori di SNR decrescenti al di sotto di una certa
soglia; ' errori locali, avvengono quando un sistema opera in condizioni di SNR elevati e gli effetti del multipath possono essere trascurabili, per-
ci` o in queste condizioni le prestazioni di stima sono dominate da er- rori di ampiezza limitata dell''ordine della larghezza dell''impulso in
trasmissione. In presenza di multipath, la funzione di log-likelihood, per l''insieme di parametri V, assume la seguente formulazione L(V) = 1 N0 Z Toss 0



r(t) '' pEp L X l=1 αlp(t '' 'l)



2 dt, (4.23) dalla quale il CRB su ' pu` o essere derivato calcolando la corrispondente matrice di Fisher. Come mostrato in [30], tale matrice pu` o essere espressa nel seguente modo  J1,1 B BT C  (4.24) dove J1,1 `e l''informazione di Fisher corrispondente al caso di singolo percor-
so, mentre le sottomatrici B e C dipendono dai parametri di multipath. Il
limite di Cram´ er-Rao pu` o essere valutato usando (4.24) nel seguente modo CRB = (J1,1 '' BC ''1BT )''1. (4.25) 42 Quando il multipath pu` o essere risolto, cio` e quando siamo nella condizione in cui |'i '' 'j| ' Tp ''i 6= j, allora la matrice B diventa nulla, cos`ı (4.25), si
riscrive come CRB = N0 8'2Epα 2 1β 2 . (4.26) Tale equazione ha la stessa forma dell''equazione (4.15) nella sezione precedente in cui, nel calcolo del CRB, si teneva solamente conto del canale
AWGN; la (4.26) quindi da credito alla supposizione che la stima del primo
cammino sia disaccoppiata dalle altre componenti in un canale multipath.
A ogni modo, la stima pratica del primo cammino pu` o essere dipendente anche dagli altri raggi, anche se il canale ` e risolvibile, nelle condizioni di SNR intermedi o bassi. 43 44 Capitolo 5 Algoritmi di stima del TOA 5.1 Modello di sistema Consideriamo un canale multipath con una forma d''onda impulsiva data da c(t) = N X k=1 Akδ(t '' 'k), (5.1) dove Ak e 'k sono rispettivamente le ampiezze ed i ritardi temporali degli
N cammini di propagazione. In questo caso il segnale ricevuto pu` o essere espresso come r(t) = N X k=1 Akw(t '' 'k) + n(t), (5.2) nella quale w(t) ` e l''impulso ideale ricevuto di durata pari a Tp, mentre n(t) ` e il rumore Gaussiano con media zero e densit` a spettrale N0/2. Il nostro obiettivo ` e quello di riuscire a stimare il ritardo '1, che corrisponde al percorso diretto, se esiste. Tale risultato ` e perseguito tramite l''osservazione del segnale ricevuto nello spazio temporale [0, T ]. La presenza di percorsi
multipli implica la dipendenza della forma d''onda ricevuta da una serie
di parametri denominati U = [A, ' ] dove A = {A1, A2, ..., AN } T e ' = {'1, '2, ..., 'N }T . Il segnale trasmesso ed il ricevuto sono rispettivamente
composti da Z ed M campioni (Z < M ), alla frequenza di campionamento
di 1/Ts cos`ı da ottenere T = M · Ts e Tp = Z · Ts. In questa situazione il
segnale ricevuto pu` o essere scritto come r = W(' )A + n, (5.3) dove ` e possibile esprimere W(' ) come W(' ) = [w (D1), w(D2), ..., w(DN)]. (5.4) Definiamo ora gli elementi w(Dk) nel seguente modo w (Dk) = [0 Dk , w, 0M ''Z''Dk ] T per k = 1, 2, ..., N (5.5) 45 dove il vettore w ha elementi wi = w(iTs) per i = 1, 2, ...Z, mentre il vettore
0D k ` e inteso come 0D k = [0, ..., 0 | {z } Dk ]. (5.6) Il valore Dk rappresenta la quantizzazione del ritardo 'k, cio`e `e possibile scrivere che 'k ' Dk · Ts. Tutto il suddetto sistema rappresenta L colonne
della matrice W(' ), le quali non sono nient''altro che le versioni campionate
della forma d''onda w(t) e ritardate dei fattori 'k con k = 1, 2, ..., N dove
0 < '1 < '2 < ... < 'N ed il maxk{'k} ' T '' Tp. 5.2 Stimatore ML Quando il rumore osservato ` e di tipo Gaussiano il criterio Maximum Likeli- hood (ML), ` e equivalente al criterio Minimum Mean Square Error (MMSE). Perci` o dato un segnale r, l''applicazione del metodo ML equivale alla ricerca dei vettori ' e A, rispettivamente ritardi ed ampiezze, che minimizzano il
seguente errore quadratico medio S(' , A) = 1 M M X i=1 |ri '' b ri| 2, (5.7) dove b ri = b r(iTs) = N X k=1 Akw(iTs '' 'k) per i = 1, 2, ..., M (5.8) ` e il segnale ricostruito a tempo discreto con i parametri U . Si pu` o dimostrare che l''applicazione del criterio ML da come risultato i vettori ' ed A espressi
in valori discreti nel seguente modo b ' = arg max ' {'T (' )R''1 w (' )'(' )} b A = R ''1
w (b ' )'( b ' ), (5.9) dove '(' ) = W T (' )r = [w(D1) T r, w (D2) T r, ..., w (DN ) T r], (5.10) ` e la correlazione tra il segnale ricevuto e le varie versioni ritardate di w(t),
mentre Rw(' ) = W T (' )W(' ) =  



 w(D1) T w(D1) w(D1) T w(D2) · · · w(D1) T w(DN ) w(D2) T w(D1) w(D2) T w(D2) · · · w(D2) T w(DN ) .. . .. . .. . .. . w(DN ) T w(D1) w(DN ) T w(D2) · · · w(DN ) T w(DN )  



 (5.11) ` e la matrice di autocorrelazione di w(t). 46 Quando il canale ` e detto non separabile, cio` e |'i '' 'j| < Tp per alcuni valori i 6= j, (5.12) possiamo notare dalle equazioni (5.9) che il tempo di arrivo del primo cam-
mino non dipende fortemente dalla stima degli altri parametri del canale. La
diretta ottimizzazione delle formule (5.9) ` e computazionalmente molto com- plesso, in quanto per ogni ipotetico vettore b ' ` e necessario massimizzare una funzione non lineare multidimensionale che presente diversi massimi locali. D''altro canto, quando il canale ` e separabile, ovvero quando |'i '' 'j| ' Tp ''i 6= j, (5.13) le espressioni (5.9) possono essere semplificate nelle sequenti formulazioni b ' = arg max 'k ( N X k=1 ['('k)] 2 Rw(0) ) = arg max 'k ( N X k=1 [w(Dk) T r]2 Ew ) (5.14) b A = '( b ' ) Rw(0) = W T ( b ' )r Ew (5.15) dove Rw(0) = Ew `e l''energia di w(t). In questo caso la stima del tempo di
arrivo del percorso diretto ` e disaccoppiato dalla stima degli altri parametri del canale, cio` e l''ottimizzazione in (5.14) pu` o essere raggiunta attraverso la massimizzazione di ogni singolo termine della somma in modo indipendente.
Possiamo notare dalla (5.10) che il sistema pu` o essere implementato con la versione discretizzata di filtri matched (MF). Come risultato la (5.10)
pu` o essere ottenuta come uscita dei MF a determinati istanti. La risposta impulsiva dei MF ` e esprimibile come h = [w(ZTs), w((Z '' 1)Ts), . . . , w(Ts)] T , (5.16) e l''uscita campionata dei MF si pu` o esprimere come convoluzione tra la risposta impulsiva dei filtri (h) ed il segnale ricevuto (r) come risulta dalle
seguenti formule y = h '' r con elementi (5.17) yi = Z X j=1 hjri''j+1 con i = Z, Z + 1, . . . , M. (5.18) Considerando un impulso trasmesso senza lobi laterali ed in assenza di rumore, i valori 'k per k = 1, 2, . . . , N possono essere facilmente calcolati
attraverso la misura dei tempi tk dei picchi del segnale in uscita ai MF,
possiamo scrivere 'k = tk '' Tp. In presenza di rumore e di lobi laterali non trascurabili dell''impulso in ingresso, cio` e in una situazione molto realistica, il riconoscimento dei picchi nel segnale d''uscita dei MF diventa molto pi` u arduo. Nella prossima sezione saranno analizzati due modi differenti per risolvere tale problema ed ottenere
le prestazioni migliori. 47 5.2.1 Metodi di ricerca ricerca del picco Saranno considerati ora tre algoritmi basati sulla rilevazione di picco, essi
sono: ricerca singola, ricerca e sottrai e ricerca, sottrai e riaggiusta. Tali
algoritmi si basano sulla ricerca dei Q picchi maggiori sia positivi che negativi
del segnale in uscita dai MF, dove Q ` e il numero di percorsi considerato nella ricerca; ad ogni percorso ` e associato un tempo tk 1 , tk2 , . . . , tkQ . I tre algoritmi danno risultati identici quando il canale ` e separabile, i risultati invece differiscono nel caso opposto in quanto nei due ultimi algoritmi questo
effetto ` e preso in cosiderazione. Ricerca singola I vettori dei ritardi e delle ampiezze sono stimati con una singola ricerca: 1. calcolare l''uscita dei MF usando la (5.18); 2. dato il valore assoluto v = |y| dell''uscita dei MF, ricerca Q campioni vk i con i = 1, 2, . . . , Q, corrispondenti ai maggiori picchi, sia positivi che negativi, del segnale y; 3. convertire gli indici ki nei valori temporali tk i = ki · Ts dei picchi e da questi derivare il ritardo stimato b 'k i = tk i '' Tp, successivamente trovare il minimo dei { b 'k i } Q
i=1 e porlo uguale a b '1 il quale rappresenta il tempo d''arrivo del percorso diretto. Ricerca e sottrai Questo algoritmo fornisce un modo per determinare parametri di un canale
multi percorso e non separabile grazie ai seguenti passi: 1. calcolare l''uscita dei MF con (5.18); 2. trovare il campione vk 1 corrispondente al picco maggiore del valore assoluto di y, convertire l''indice nel corrispondente ritardo temporale
tk 1 = k1 · Ts e successivamente derivare il ritardo stimato come b 'k 1 = tk 1 '' Tp, il quale coincide con il cammino a potenza maggiore, che non necessariamente ` e anche il cammino diretto; 3. calcolare l''ampiezza del cammino a potenza maggiore risolvendo la seconda equazione delle (5.9), che pu` o essere riscritta nel seguente modo b Ak 1 = (w (k1) T w (k1))''1w(k1) T r; (5.19) 4. con il coefficiente calcolato al punto precedente, ` e possibile eliminare il picco pi` u grande dal segnale ricevuto r, secondo la seguente formula: r0 = r '' b Ak 1 w (k1); 48 5. ricalcolare la convoluzione y0 = h '' r0, andiamo a cercare ora il nuovo massimo v0 k2 corrispondente al picco del nuovo segnale r 0, successiva- mente convertire l''indice nella locazione temporale tk 2 = k2 · Ts ed in seguito ricavare il ritardo b 'k 2 = tk2 '' Tp; 6. ricalcolare l''ampiezza del cammino a potenza maggiore seguendo l''e- quazione: b Ak 2 = (w (k2) T w (k2))''1w(k2) T r 0; (5.20) 7. come al punto 4 sottraiamo il valore di picco attuale moltiplicato per l''impulso ritardato per poi sottrarlo al segnale r0:
r00 = r0 '' b Ak 2 w (k2); 8. ripetere il procedimento sopra descritto fino a trovare il Q-esimo valore b 'k, successivamente trovare il minimo dei { b 'k i } Q
i=1 e porlo uguale a b '1, cio` e il tempo di arrivo del cammino diretto. Ricerca, sottrai e riaggiusta 1. calcolare l''uscita dei MF con (5.18); 2. trovare il campione vk 1 corrispondente al picco maggiore del valore assoluto di y, convertire l''indice nel corrispondente ritardo temporale
tk 1 = k1 · Ts e successivamente derivare il ritardo stimato come b 'k 1 = tk 1 '' Tp, il quale coincide con il cammino a potenza maggiore; 3. calcolare l''ampiezza del cammino a potenza maggiore tramite (5.19); 4. con il coefficiente calcolato al punto precedente, ` e possibile eliminare il picco pi` u grande dal segnale ricevuto r, secondo la seguente formula: r0 = r '' b Ak 1 w (k1); 5. ricalcolare la convoluzione y0 = h '' r0, andiamo a cercare ora il nuovo massimo v0 k2 corrispondente al picco del nuovo segnale r 0, successiva- mente convertire l''indice nella locazione temporale tk 2 = k2 · Ts ed in seguito ricavare il ritardo b 'k 2 = tk2 '' Tp; 6. dati b 'k 1 e b 'k 2 , stimare la corrispondente ampiezza dei cammini a poten- za maggiore del segnale ricevuto. Questo passo pu` o essere compiuto attraverso la risoluzione della sequente equazione: " b Ak 1 b Ak 2 # =  [w (k1), w(k2)]T [w(k1), w(k2)] ''1 '[w(k1), w(k2)]T  
 r1 .. . rM  
 ; (5.21) 49 7. sottrarre i due percorsi stimati ad r, nel modo indicato nella seguente formula: r00 = r '' b Ak 1 w (k1) '' b Ak 2 w (k2); 8. ripetere il procedimento sopra descritto fino a trovare il Q-esimo valore b 'k, successivamente trovare il minimo dei { b 'k i } Q
i=1 e porlo uguale a b '1, cio` e il tempo di arrivo del cammino diretto. Conclusioni Nei tre algoritmi sopra descritti il parametro Q necessita di essere stimato
attraverso un processo di ottimizzazione, il quale deve tenere in consider-
azione che tale scelta influenzer` a anche la complessit` a computazionale degli algoritmi; in particolare sia il secondo che il terzo algoritmo necessitano di
una inversione matriciale per ogni ritardo temporale che si desidera calcolare. L''algoritmo scelto per le simulazioni pratiche in ambiente Matlab ` e il sec- ondo, in quanto dai risultati ottenuti in [33] si evince che tale algoritmo ` e un buon compromesso tra semplitit` a del codice e precisione della stima ottenu- ta. Successivamente tale algoritmo ` e stato ottimizzato al fine di studiare il massimo livello di precisione che si pu` o ottenere attraverso un localizzatore basato sulla ricerca del picco del segnale ricevuto. La teoria matematica che
sta alla base dell''algoritmo ricerca e sottrai ` e stata analizzata nel dettaglio nella sezione 5.2.2, mentre l''ottimizzazione di questo algoritmo di ricerca
verr` a trattata nella sezione 5.2.3. 5.2.2 Teoria sulla ricerca del cammino minimo con l''algorit-
mo ricerca e sottrai In questa sezione verr` a analizzato l''algoritmo sopra citato chiamato ricer- ca e sottrai. In particolare saranno analizzati i passaggi matemetici che
porteranno alla stesura dell''algoritmo nel linguaggio Matlab. In primo luo-
go vedremo l''algoritmo nella sua forma base, ovvero come ` e stato presentato poc''anzi, successivamente studieremo un metodo di ottimizzazione dei risul-
tati che l''algoritmo da nella sua forma classica; infatti dai valori di b ' stimati ` e possibile operare un''ottimizzazione che porter` a ad un risultato sub-ottimo di stima (data la non convessit` a delle funzioni da minizzare per arrivare all''ottimo). Primo modello di ricerca Il primo modello di ricerca di cammino minimo ` e basato sulla minimizzazione della seguente norma: kr(t) '' b Aw(t '' b ' )k 2 (5.22) questa equazione rappresenta il modello di ricerca denominato ricerca e sot-
trai, dove r(t) rappresenta il segnale ricevuto, w(t) ` e la forma d''onda che si sottrae al segnale ricevuto per eliminare il picco maggiore al tempo ' , quindi 50 b A e b ' sono rispettivamente l''ampiezza ed il tempo di arrivo stimati del picco pi` u alto di r(t). Analizzando (5.22) si pu` o notare, attraverso alcuni passaggi matematici quale sia effettivamente il termine da minimizzare kr(t) '' b Aw(t '' b ' )k 2 = Z [(r(t) '' b Aw(t '' b ' )) · (r ''(t) '' b A ''w''(t '' b ' ))]dt = Z |r(t)|2dt + | b A| 2 Z |w(t '' b ' )| 2dt '' ''2<  b A Z r(t)w ''(t '' b ' )dt  (5.23) arg min b A, b ' | b A| 2E w '' 2<  b A Z r(t)w ''(t '' b ' )dt  . (5.24) Attraverso una proiezione ortogonale su < w(t'' b ' ) > si riesce ad ottenere il valore stimato per A; indichiamo una base ortogonale per < w(t '' b ' ) > u(t) = w(t '' b ' ) '' Ew (5.25) dove b ' rappresenta la stima di ' cio` e il tempo di arrivo del picco pi` u elevato di r(t), calcolato nel seguente modo b ' = arg max t |r '' w''''(t)|, (5.26) mentre Ew rappresenta l''energia del filtro w(t) calcolata come Ew = Z |w(t)|2dt. (5.27) Scriviamo ora l''espressione della proiezione p(a) = Z r(t)u ''(t)dt, (5.28) quindi la ricostruzione pu` o essere espressa esplicitamente come prodotto di u e p come si vede dalla (5.29), nella quale si mette in evidenza il valore di b A u(t)p(a) = w(t '' b ' ) R r(t)w(t '' b ' )dt Ew | {z } b A (5.29) 51 5.2.3 Secondo modello di ricerca Il secondo modello di ricerca di seguito esplicitato, si basa su una prece-
dente ricerca dei valori 'k, cio`e gli istanti di arrivo degli implulsi (picchi) del
segnale ricevuto r(t), che verranno ottimizzati attraverso l''algoritmo che ora
andiamo ad illustrare. Partimo anche in questo caso da una norma quadrata
di una differenza che andr` a minimizzata kr(t) '' Q X k=1 Akw(t '' 'k)k 2 = Z |r(t)|2dt + + Q X l,k=1 Akw(t '' 'k)A ''
l w ''(t '' ' l)dt '' ''2< " Z r(t) Q X k=1 A ''
k w ''(t '' ' k ) ! dt # dove Ak sono le ampiezze dei picchi al tempo 'k, Q `e il numero di istanti
di arrivo stimati precedentemente mentre w(t) ` e la forma d''onda che si sottrae al segnale ricevuto. Al secondo membro dell''equazione andiamo a
minimizzare gli ultimi due addendi che riscriviamo nel seguente modo arg min Ak,'k Q X l,k=1 AkA ''
l Cw ('l '' 'k ) '' 2< " Q X k=1 A ''
k (r '' w '' ''('k)) # , (5.30) dove si ` e introdotto Cw(t) il quale rappresenta il segnale di autocorrelazione di w. Passiamo ora in forma matriciale per riuscire a risolvere il problema
della minimizzazione. Introduciamo quindi le seguenti matrici che saranno
utilizzate per riscrivere la (5.30) R(' ) = [Cw('l '' 'k)] l, k = 1, . . . , Q (5.31) p(' ) = r '' w'' ''('k)  k = 1, . . . , Q (5.32) A =  
 A1 .. . AQ  
 ' =  
 '1 .. . 'Q  
 . (5.33) Ora sostituiamo queste matrici alla (5.30) arg min A,' A ''R(' )A '' 2< [A''p(' )] (5.34) andiamo quindi ad esplicitare alcuni passaggi matematici che consentiranno,
partendo dalla (5.34), di riscrivere ulteriormente il problema A ''R(' )A '' 2< [A''p(' )] = A''R(' )A '' A''p(' ) '' p''(' )A (5.35) 52 A ''R1/2(' ) R1/2(' )A | {z } Y ''A''R1/2(' ) R''1/2(' )p(' ) | {z } Z ''p''(' )R''1/2(' )R1/2(' )A (5.36) Y ''Y '' Y''Z '' Z''Y = kY '' Zk2 '' kZk2. (5.37) A questo punto siamo in grado di scrivere una prima equazione che ci possa far ricavare i valori stimati di A e ' ( b A, b ' ) = arg min A,' kR1/2(' )A '' R''1/2(' )p(' )k2 '' kR''1/2(' )p(' )k2, (5.38) la prima norma dell''equazione (5.38) si azzera se e solo se R 1/2(' )A = R''1/2(' )p(' ) A = R ''1(' )p(' ) b A(' ) = R ''1(' )p(' ) (5.39) quindi (5.38) si pu` o riformulare nel seguente modo b ' = arg min ' ''kR''1/2(' )p(' )k2 = arg min ' ''p''(' )R''1(' )p(' ) (5.40) perci` o concludendo riscriviamo le equazioni (5.39) ed (5.40) sotto forma di sistema, utilizzabile per ottimizzare b ' attraverso una ricerca di un minimo locale sulla funzione ''p''(' )R ''1(' )p(' ) ed b A come indicato in (5.39)  b ' = arg min' ''p ''(' )R''1(' )p(' ) b A( b ' ) = R ''1( b ' )p( b ' ) (5.41) 5.3 Stimatore a soglia In questa sezione analizzeremo uno stimatore a soglia. L''algoritmo in esame ` e stato usato nelle simulazioni Matlab ed ` e l''algoritmo pi` u semplice im- plementato in questa tesi; andiamo ora ad elencare i semplici passaggi che
compongono lo stimatore analizzato: 1. per il calcolo del segnale in uscita dal MF si usa la (5.18); 2. ricavare il valore assoluto dal segnale in uscita dal MF ed eseguirne il quadrato; 3. filtrare il segnale con un filtro ''rect' centrato nell''origine e di lunghez- za variabile L = {0, 5Ts, 10Ts} ed ampiezza unitaria; 53 4. chiamando il segnale in uscita dalla finestra di durata variabile s(·), andiamo a calcolare massimo e minimo di tale segnale, smin ed sMAX ,
i cui valori saranno usati come parametri nella seguente formula s(nTs) '' smin sMAX '' smin ' λ, (5.42) dove λ ` e la soglia oltre la quale il campione di segnale s(nTs) viene salvato e dal quale verr` a estratto il valore di ritardo temporale cor- rispondente t = n · Ts e successivamente sar` a derivato il ritardo sti- mato come b ' = t '' Tp, i valori di soglia presi in esame sono i seguenti {0.04, 0.06, 0.08, 0.1, 0.2}. Tra gli algoritmi trattati, come gi` a detto, esso ` e sicuramente il pi` u sem- plice, computazionalmente parlando, nonostante nelle simulazioni venisse
fatta variare sia la durata della finestra, sia il valore di soglia λ; quest''ul-
timo ` e molto importante che sia dimensionato correttamente al fine di una stima il pi` u precisa possibile, infatti se il suo valore dovesse essere molto basso, si rischierebbe di selezionare come b ' un valore temporale corrispon- dente a del rumore e quindi dare una stima di distanza inferiore alla realt` a. Oppure con una soglia troppo elevata il rischio ` e quello di perdere il picco corrispondente al cammino diretto e quindi stimare una distanza maggiore
della realt` a. Al fine di ottenere una stima quanto pi` u veritiera possibile, ` e quindi stata fatta una statistica con vari valori di λ e ne sono stati selezionati
solamente i cinque pi` u significativi. 54 Capitolo 6 Simulazioni e risultati In questo capitolo saranno analizzati nel dettaglio i risultati che sono stati
prodotti dalle simulazioni in ambiente Matlab, in particolare porremo l''ac-
cento sui valori di errore quadratico medio di stima in funzione dell''SNR e
sulle curve di distribuzione prodotte da tali valori di errore; a seconda del-
l''algoritmo usato saranno inoltre presi in considerazione il numero ottimo
di ricerche di picco (ricerca e sottrai), oppure il valore di lambda ottimale
(soglia). 6.1 Algoritmo ricerca e sottrai L''algoritmo ricerca e sottrai, come gi` a spiegato, si basa sulla ricerca del massimo del segnale ricevuto e filtrato dal MF, dal quale ` e possibile ricavarne l''istante temporale b '1, successivamente si esegue una stima dell''ampiezza del picco b A1; i due valori serviranno per costruire un impulso con ritardo e ed ampiezza uguali a quelli del picco, il quale verr` a sottratto al segnale d''origine come illustrato in Figura 6.1. A questo punto si riesegue la procedura appena
spiegata e di volta in volta i valori di b 'n verranno salvati. L''algoritmo prevede di continuare la ricerca del massimo sino ad un valore N di ricerche,
il quale differisce a seconda del canale in cui si fa girare l''algoritmo. Quando
le ricerche sono completate saranno stati salvati N valori di ritardi stimati, a
questo punto ` e quindi necessario eseguire un''operazione di ricerca del minimo ' = min n ('n), (6.1) dove con ' si ` e voluto indicare il ritardo del cammino minimo. 6.1.1 Canale UWB L''algoritmo ricerca e sottrai applicato al canale UWB consente di raggiun-
gere risultati significativi in termini di errore quadratico medio; come possi-
amo notare dalla Figura 6.2 per 10 ricerche di massimo del segnale Cr(t) gi` a 55 Figura 6.1: Schema dell''algoritmo ricerca e sottrai. 56 Figura 6.2: Grafici relativi all''errore di stima ed alle funzioni di distribuzione
per canali UWB (ricerca e sottrai). 57 Figura 6.3: Grafico relativo all''andamento del numero ottimo di ricerche di
picco per canali UWB (ricerca e sottrai). a 31 dB arriviamo ad un valore di RMSE prossimo a 10''1; inoltre guadando
le curve di distribuzione sempre della Figura 6.2 notiamo che gi` a per valori bassi di SNR (15 dB) abbiamo un errore di stima inferiore al metro per oltre
70 casi su 100; se consideriamo invece rapporti di segnale su disturbo elevati
invece la precisione si attesta sempre o quasi attorno ai 50 cm, tutto ci` o dovuto al fatto che i segnali UWB posseggono una banda molto elevata e di
conseguenza anche la precisione potr` a essere alta. Consideriamo ora la Figura 6.3, essa rappresenta il valore di ricerche migliore al fine di ottenere un errore quadratico medio di stima il pi` u basso possibile. L''andamento del valore ottimo del numero di ricerche si attesta
per bassi SNR sempre a 25 unit` a, infatti 25 ` e il numero N di ricerche massime effettuate nel programma matlab, questo accade perch` e il rumore sovrasta quasi completamente il segnale trasmesso quindi l''algoritmo compie grossi
errori, non dipendenti dal valore imposto ad N . Successivamente intorno ai
15 dB la curva decade rapidamente e raggiunge il suo minimo poco dopo a 17
dB, per poi salire ed attestarsi sulle 10 unit` a, quindi nonostante la presenza di rumore e di un canale multipath il numero di ricerche ottimali in situazioni
di SNR accettabili non ` e molto elevato permettendo quindi all''algoritmo di non essere eccessivamente lento computazionalmente parlando. 58 Figura 6.4: Grafici relativi all''errore di stima ed alle funzioni di distribuzione
per canali PLC (ricerca e sottrai). 6.1.2 Canale PLC L''algoritmo ricerca e sottrai applicato al canale PLC, come possiamo vedere
in Figura 6.4, non consente di raggiungere risultati simili al canale UWB,
infatti i valori pi` u bassi di RMSE sono poco inferiori a 10, quindi ben lontani dal 10''1 raggiunto con l''altro canale. Ad ogni modo questi valori di errore
quadratico medio sono in linea con quelli attesi e dato il fatto che il ranging
nelle smart grid non necessita precisioni molto elevate, ` e possibile dire che i risultati ottenuti soddisfano lo scopo prefisso. Analizzando ora il grafico
riguardante le curve di distribuzione in Figura 6.4, notiamo, confrontandolo
con quello in Figura 6.2 la netta perdita di precisione per quanto riguarda il
canale PLC il quale riesce ad avere un errore inferiore al metro per neanche
il 60 per cento delle volte, a 45 dB. Questa perdita di prestazione ` e sicura- mente dovuta alla minor banda utilizzata dalle comunicazioni PLC ed alle
caratteristiche stesse del canale. Nella Figura 6.5 viene raffigurato l''andamento del numero ottimo di ricerche da effettuare al fine di minimizzare l''errore quadratico medio, come
possiamo notare, al contrario della curva raffigurata nella 6.3, essa per valori
piccoli di SNR ha valori bassi di Nopt e con l''aumentare del rapporto segnale
su disturbo cresce linearmente sino a raggiungere le 28 unit` a, questa differen- 59 Figura 6.5: Grafico relativo all''andamento del numero ottimo di ricerche di
picco per canali PLC (ricerca e sottrai). za sostanziale nelle due curve ` e dovuta alle caratteristiche del canale PLC, nel quale i picchi in ampiezza dovuti ai vari cammini hanno tutti ampiezze
confrontabili, al contrario del canale UWB dove vi sono differenze enormi
tra i vari picchi. 6.2 Algoritmo ricerca e sottrai con ottimo L''algoritmo in questione, ` e suddiviso sostanzialmente in due fasi, la prima ricalca passo passo l''algoritmo ricerca e sottrai illustrato poc''anzi, mentre la
seconda consiste nell''elaborazione dei ritardi acquisiti al fine di una ottimiz-
zazione degli stessi. La Figura 6.6 vuole riassumere brevemente la procedura
secondo la quale si ottengono i valori di ritardo ottimizzati. In realt` a l''algo- ritmo non arriva sempre al valore ottimo, infatti la funzione da minimizzare,
presente sempre in Figura 6.6, ` e di tipo non convessa, il che significa che il minimo che verr` a trovato dall''algoritmo non sar` a con assoluta certezza un minimo assoluto, ma sar` a quindi locale. Per quanto riguarda la complessit` a computazionale il metodo in questione ` e chiaramente molto pi` u lento del- l''algoritmo ricerca e sottrai, perci` o ` e necessario analizzare i risultati ottenuti per capire se la strada dell''ottimizzazione dia dei grossi vantaggi o meno. 60 Figura 6.6: Schema di massima del procedimento per estrarre la stima
ottima. Figura 6.7: Grafici relativi all''errore di stima ed alle funzioni di distribuzione
per canali UWB, con 8 ricerche di picco (ricerca e sottrai con ottimo). 6.2.1 Canale UWB L''algoritmo ricerca e sottrai con stima ottima eseguita sul canale UWB non
da vantaggi apprezzabili rispetto al metodo classico. Come si pu` o notare dalla Figura 6.7 le curve che danno l''andamento dell''errore quadratico medio
per l''algoritmo ricerca e sottrai e per l''ottimo sono quasi sovrapponibili;
tali curve sono state eseguite con un numero di ricerche N = 8, ma il
risultato non varia con un numero di ricerche differente. Anche le curve
di distribuzione sono ovviamente sovrapposte, quindi in sostanza nel canale
UWB l''ottimizzazione dei ritardi non da migliorie degne di nota quindi si
pu` o affermare che la massima precisione si raggiunge sostanzialmente gi` a con l''algoritmo classico. 61 Figura 6.8: Grafici relativi all''errore di stima ed alle funzioni di distribuzione
per canali PLC, con 20 ricerche di picco (ricerca e sottrai con ottimo). 6.2.2 Canale PLC Nel canale PLC l''algoritmo ricerca e sottrai con stima ottima dei tempi di
arrivo permette, al contrario del canale UWB, un significativo incremento
delle prestazioni. Analizzando la Figura 6.8 possiamo notare l''incremento
di prestazioni netto che sussiste utilizzando questo algoritmo, infatti l''errore
quadratico medio dell''ottimo raggiunge il minimo circa 8 dB prima di quanto
non faccia il metodo normale, per poi stabilizzarsi poco al di sotto del valore
10. Dal grafico sulle funzioni di distribuzione notiamo che 90 volte su cento
l''errore si attesta poco oltre i 5 metri, che ` e un valore congruo con le stime fatte nella Tabella 1.1, mentre l''algoritmo normale ha un errore di circa
10 metri alla medesima percentuale di casi. Concludendo quindi l''analisi
dell''algoritmo in questione, esso ` e utile nelle Power Line Communication, ma il costo computazionale che esso richiede non ` e irrilevante, inoltre, a differenza del canale UWB, il numero di ricerche nell''ottimo si attesta sulle
20 unit` a, cio` e pi` u del doppio delle ricerche UWB, per il semplice motivo che nelle PLC il numero ottimo di ricerche ` e decisamente maggiore. 6.3 Algoritmo a soglia L''algoritmo a soglia ` e senza dubbio il pi` u veloce, computazionalmente par- lando, esso non richiede N ricerche di massimi del segnale ricevuto ma so-
lamente un confronto tra la soglia prescelta ed il segnale in ingresso. La
Figura 6.9 descrive con lo schema a blocchi dell''algoritmo, in primo luogo il 62 segnale ricevuto r(t) viene filtrato da un matched filter, del segnale che ne
esce, Cr(t), viene preso il modulo e successivamente elevato al quadrato, a
questo punto l''algoritmo esegue un secondo filtraggio, questa volta con un
filtro h(t) = rect(t/K), dove con K si indica la durata temporale, variabile
tra 0 e 10. Il segnale uscente s(t) viene infine processato secondo la seguente
espressione al fine di ricavare un valore stimato di tempo di arrivo s(t) '' Smin SMAX '' Smin ' λ, (6.2) dove con Smin ed SMAX sono indicati rispettivamente il minimo ed il mas-
simo del segnale s(t). Nel primo istante temporale in cui l''equazione non
viene pi` u soddisfatta allora l''algoritmo porr` a b ' = t. (6.3) Nell''algoritmo sviluppato in ambiente Matlab λ pu` o assumere 5 valori: λ = {0.04, 0.06, 0.08, 0.1, 0.2}. (6.4) K = {0, 5, 10}. (6.5) La stima eseguita in tale modo risulta chiaramente molto veloce, ma allo
stesso tempo anche pi` u imprecisa rispetto ai precedenti metodi di ricerca, ma in determinati contesti pu` o essere usato con risultati apprezzabili come si vedr` a nelle sezioni successive. 6.3.1 Canale UWB I risultati che si ottengono con l''algoritmo a soglia applicato a segnali UWB
non si discostano moltissimo dai risultati ottenuti nell''algoritmo ricerca
e sottrai, infatti per alti valori del rapporto segnale su disturbo l''errore
quadratico medio si attesta a met` a (in scala logaritmica) tra 10 e 10''1, come ` e possibile vedere nelle Figure 6.10, 6.11 e 6.12. Nelle stesse figure si pu` o inoltre notare come, variando la durata K, del filtro h(·), la soglia dell''SNR, per la quale le prestazioni migliorano rapidamente, si abbassi pro-
gressivamente con l''aumentare della durata del filtro, senza per` o riuscire ad ottenere prestazioni migliori (in termini di RMSE) per alti SNR. Analizzan-
do invece le curve di distribuzione possiamo notare come la diversa durata
del filtro h(·), non vada a modificare molto tali curve. le distribuzioni raf-
figurate nelle 6.10, 6.11 e 6.12 sono tutte a 45 dB e si pu` o notare quindi che per valori di SNR elevati le prestazioni di questo algoritmo possono essere
rilevanti, infatti 90 volte su cento l''errore di stima si attesta al di sotto dei 30
cm circa. Per tali motivi la scelta di algoritmi semplici come quello proposto
pu` o risultare ottima facendo un compromesso tra complessit` a del metodo di stima e precisione ottenuta. 63 Figura 6.9: Schema dell''algoritmo a soglia. 64 Figura 6.10: Grafici relativi all''errore di stima ed alle funzioni di distribuzione per canali UWB, con finestra K=0 (soglia). Il significato dei grafici che rappresentano i valori ottimali di λ, ` e il medesimo delle curve del numero di ricerche ottime viste in precedenza,
infatti per tali valori l''errore quadratico medio risulta il minore tra quelli
ottenuti per i diversi valori di λ. Andando ad analizzare le Figure 6.13, 6.14
e 6.15, si nota che con l''aumentare della durata K del filtro h(·) le curve
decrescono ad SNR sempre minori per andare a toccare il limite inferiore a
0.06. Tale andamento era facilmente ipotizzabile dai grafici che descrivevano
l''errore quadratico medio, infatti, per come ` e implementato l''algoritmo, per SNR elevati la stima risulter` a sempre migliore per valori di λ elevati, mentre quando il rumore ` e basso la soglia si andr` a a stabilizzare su valori pi` u piccoli. 6.3.2 Canale PLC L''algoritmo a soglia applicato a segnali PLC produce risultati decisamente
peggiori, in termini di errore quadratico medio, rispetto a quello applicato a
segnali UWB. Come si pu` o notare dalle Figure 6.16, 6.17 e 6.18 l''andamento dell''RMSE rispecchia quello appena visto per il canale UWB, ovvero le curve
tendono ad abbassarsi per SNR sempre minori al crescere della durata del
filtro h(·), raggiungendo un valore minimo di circa 10. Anche per quanto
riguarda le curve di distribuzione vi ` e un''analogia con il caso UWB, infatti rimangono quasi inalterate rispetto ai vari valori di K, ci` o che si differenzia ` e il fatto che a 45 dB e per λ = 0.08, con tutti e tre i valori di K, 90 volte
su 100 l''errore di stima ` e sempre minore o uguale a 10 metri, un valore decisamente maggiore rispetto ai segnali UWB. 65 Figura 6.11: Grafici relativi all''errore di stima ed alle funzioni di distribuzione per canali UWB, con finestra K=5 (soglia). Figura 6.12: Grafici relativi all''errore di stima ed alle funzioni di distribuzione per canali UWB, con finestra K=10 (soglia). 66 Figura 6.13: Grafico relativo all''andamento del valore di lambda ottimo per
canali UWB, con finestra K=0 (soglia). Figura 6.14: Grafico relativo all''andamento del valore di lambda ottimo per
canali UWB, con finestra K=5 (soglia). 67 Figura 6.15: Grafico relativo all''andamento del valore di lambda ottimo per
canali UWB, con finestra K=10 (soglia). Le Figure 6.19, 6.20 e 6.21 mostrano l''andamento delle curve dei valori di λ ottimi al fine di minimizzare l''errore quadratico medio. Come ` e facile attendersi, teli curve ricalcano l''andamento di quelle che si ottengono per
segnali UWB e come per essi, anche in questo caso, il valore di λ migliore
per SNR alti ` e pari a 0.06. 68 Figura 6.16: Grafici relativi all''errore di stima ed alle funzioni di distribuzione per canali PLC, con finestra K=0 (soglia). Figura 6.17: Grafici relativi all''errore di stima ed alle funzioni di distribuzione per canali PLC, con finestra K=5 (soglia). 69 Figura 6.18: Grafici relativi all''errore di stima ed alle funzioni di distribuzione per canali PLC, con finestra K=10 (soglia). Figura 6.19: Grafico relativo all''andamento del valore di lambda ottimo per
canali PLC, con finestra K=0 (soglia). 70 Figura 6.20: Grafico relativo all''andamento del valore di lambda ottimo per
canali PLC, con finestra K=5 (soglia). Figura 6.21: Grafico relativo all''andamento del valore di lambda ottimo per
canali PLC, con finestra K=10 (soglia). 71 72 Capitolo 7 Estrazione del modello
probabilistico tramite
Gaussian mixture 7.1 Trattazione teorica dell''algoritmo EM L''algoritmo di ottimizzazione iterativa Expectation Maximization ` e una tec- nica specificatamente ideata per i modelli probabilistici; esso usa una strate-
gia differente rispetto al gradiente o al metodo di Newton e qualche volta
porta a convergenza in maniera pi` u rapida. Ad ogni modo, questa ` e una tecnica che porta a risultati locali, quindi ` e suscettibile a problemi di minimi o massimi locali. La differenza tra EM ed il metodo del gradiente ` e ben rappresentata in Figura 7.1, cominciando dal primo punto di stima denominato current
guess, il gradiente traccia un''approsimazione lineare alla funzione obiettivo,
poi si passa al new guess; sfortunatamente non sappiamo a priori quanto
buona sia l''approssimazione lineare, perci` o non vi ` e modo di sapere dove prendere il nuovo punto di stima (new guess). Il metodo EM fa invece un''approssimazione locale chiamata in Figura 7.1 lower bound alla funzione
obiettivo. La funzione lower bound pu` o avere qualsiasi forma in principio e deve sempre essere minore della funzione da approssimare; prendendo un
nuovo punto di stima per massimizzare il lower bound, vi sar` a sempre una miglioria rispetto al punto precedente sino ad arrivare ad un punto in cui
il gradiente della funzione obiettivo sar` a nullo. Perci` o l''idea ` e quella di alternare due fasi, quella di computazione del lower bound (E-step) e quella
di massimizzazione dello stesso (M-step), fino al punto in cui il gradiente
non si annulla. La stima MAP (Maximum-A-Posteriori) ha lo scopo di massimizzare la funzione f (θ) = p(X, θ), (7.1) 73 Figura 7.1: Massimizzazione di una funzione con l''approssimazione lower-
bound contro l''approssimazione lineare. dove X ` e la matrice dei dati osservati. Se f (θ) ` e una funzione semplice allora il suo massimo ` e spesso possibile trovarlo analiticamente, mettendo a sistema con il suo gradiente uguale a zero. Ad ogni modo accade spesso che
la funzione da massimizzare sia un insieme di funzioni semplici f (θ) = p(X, θ) = Z h p(X, h, θ)dh. (7.2) Questa ` e la situazione in cui ` e possibile applicare l''algoritmo EM. Data una prima stima di θ, l''idea ` e quella di delimitare inferiormente la funzione f (θ) con una funzione g(θ, q(h)), parametrizzata dalle variabili q(h) f (θ) = Z h p(X, h, θ) q(h) q(h)dh ' g(θ, q(h)) = Y h  p(X, h, θ) q(h) q(h) (7.3) Z h q(h)dh = 1. (7.4) L''equazione (7.4), indica che q(h) ` e una distribuzione di probabilit` a val- ida per h. Definiamo ora la variabile G come il logaritmo del limite inferiore
g G(θ, q) = log g(θ, q) = Z h [q(h) log p(X, h, θ) '' q(h) log q(h)]dh. (7.5) La disequazione (7.3) ` e vera per qualsiasi q, ma vogliamo anche che la funzione g tocchi la funzione obiettivo nel punto current guess per il 74 valore dato di θ, perci` o prendere una q tale da massimizzare G; questa operazione permette al lower bound in Figura 7.1 di toccare la funzione
obiettivo. Aggiungendo un moltiplicatore di Lagrange come vincolo su q
risulta G(θ, q) = λ(1 '' Z h q(h)dh) + Z h [q(h) log p(X, h, θ) '' q(h) log q(h)]dh (7.6) ''G ''q(h) = ''λ '' 1 + log p(X, h, θ) '' log q(h) = 0 (7.7) q(h) = p(X, h, θ) R h p(X, h, θ) = p(h|X, θ); (7.8) per la scelta di q il limite diventa g(θ, q) = Y h  p(X, h, θ) p(h|X, θ) q(h) = Y h (p(X, θ)) q(h) = p(X, θ)( R h q(h)dh) = p(X, θ), (7.9) in questo modo si vede che effettivamente g tocca la funzione obiettivo f (θ)
al punto di stima corrente per θ. Un altro modo per vedere questo risultato ` e di riscrivere G(θ, q) nel seguente modo G(θ, q) = Eq(h)  log p(X, h, θ) q(h)  = ''Eq(h)  log q(h) p(h|X, θ)  + log p(X, θ) = ''D(q(h)kp(h|X, θ)) + log p(X, θ), (7.10) dove D(qkp) indica l''entropia relativa e rappresenta la misura di distanza
tra le distribuzioni q e p. Inoltre G(θ, q) ` e massimizzata su q, quando la distanza tra le due funzioni ` e nulla, quindi per q(h) = p(h|X, θ), (7.11) perci` o come conseguenza si ha che la (7.10) diventa G(θ, q) = log p(X, θ). (7.12) L''operazione appena eseguita della ricerca di q per avere un buon limite inferiore ` e il cosiddetto ''E-step' dell''algoritmo EM. Il passo successivo, come ` e facile intuire, ` e il ''M-step', nel quale il limite viene massimizzato su θ. Il termine rilevante di G ` e quindi il seguente Z h q(h) log p(X, h, θ)dh = Eq(h) [log p(X, h, θ)] . (7.13) 75 Da questo punto in poi la trattazione teorica risulta dipendente dal prob- lema specifico al quale si applica l''algoritmo iterativo. La soluzione trattata
nella prossima sezione sar` a basata su Gaussian Mixture. 7.2 L''algoritmo EM per il modello Gaussian Mix-
ture Il modello Gaussian Mixture rappresenta l''approssimazione di un fenomeno
osservato, attraverso una sommatoria di gaussiane mediate da valori di prob-
abilit` a dati da una variabile aleatoria. Il modello appena descritto pu` o essere espresso matematicamente dalla seguente espressione px(a) = M X i=1 λi 1 q 2''2 i e '' 1 2  xa''µi 'i  2 , (7.14) dove con x si ` e indicato il fenomeno osservato, xn n = 1, . . . , N con N numero di campioni, λi sono dei valori di probabilit` a dati dalla variabile aleatoria h nel seguente modo P[hn = i] = λi, (7.15) infine µi e 'i sono rispettivamente medie e varianza delle M variabili gaus-
siane usate nel modello. A questo punto possiamo andare a scrivere la densit` a di propabilt` a di x dati i valori θ = {µi, 'i, λi} per i = 1, . . . , M , nel seguente modo p(x; θ) = M X i=1 p(x|hi; θ)p(hi; θ), (7.16) perci` o se p(x|hi; θ) `e una variabile aleatoria Gaussiana allora p(x; θ) `e una somma pesata di M Gaussiane. Seguendo lo schema teorico dato dalla Sezione 7.1 cerchiamo di estrarre la soluzione dell''algoritmo EM per un modello Gaussian Mixture. Nelle
condizioni in cui ci siamo posti ` e possibile scrivere la seguente espressione p(xn, hn; θ) = p(xn|hn; θ)p(hn; θ) =   1 q 2''2 hn e '' 1 2  xn''µhn 'hn  2   [λh n ], (7.17) dove con µh n , 'hn e λh n si rappresentano rispettivamente medie, varianze e valori di probabilit` a come in precedenza, ma si ` e voluto sottolineare la dipendenza di questi dalla variabile h. ` E semplice a questo punto scrivere l''equazione p(x, h; θ) = N Y n=1 p(xn, hn; θ), (7.18) 76 quindi andando a riprendere l''equazione (7.8) ` e possibile arrivare al cosid- detto ''E-step' q(h) = p(x, h; θ) P M
i=1 p(x, h, θ) , (7.19) perci` o i singoli punti della funzione q(h) sono qn(i) = p(xn, i; θ) P M
i=1 p(xn, i; θ) . (7.20) Il passo successivo, ''M-step', prevede la massimizzazione secondo θ della funzione G(θ, q) (vedi equazione 7.5) max θ X h q(h) log p(x, h; θ) (7.21) dato M X i=1 λi = 1, (7.22) perci` o attraverso una serie di passaggi matematici qui brevemente elencati si arriva ad una formulazione che ci permetter` a di massimizzare secondo λ, µ e '2 = max θ N X K=1   X hk qk(hk) log p(xk, hk; θ)   (7.23) = max θ N X k=1 M X i=1 qk(i)[F(k, i)], ! , (7.24) dove con F(k, i) si ` e voluto indicare F (k, i) = '' 1 2 log(2') | {z }  

 trascurabile nella massimizzazione  

 '' 1 2 log(' 2 i ) '' (xk '' µi) 2 2'2 i + log λi. (7.25) ` E possibile a questo punto svolgere le tre singole massimizzazioni, com- inciando da λ A = max λi M X i=1 N X k=1 qk(i) ! log λi '' ν M X i=1 λi '' 1 ! , (7.26) dove con ν indica il coefficiente di Laplace, che nel nostro caso ` e uguale a ν = N X k=1 M X i=1 qk(i) ! = N ; (7.27) 77 per cercare il massimo sui vari λi eseguiamo quindi l''operazione di derivata
in λi e ne poniamo a zero il risultato ''A ''λi = N X k=1 qk(i) ! 1 λi '' ν = 0, (7.28) a questo punto ` e possibile dare la definizione esplicita di λi come λi = P N
k=1 qk (i) N . (7.29) Partendo ancora dall''equazione (7.24), possiamo ora andare ad eseguire la massimizzazione su µi come mostrato nella seguente espressione B = max µi N X k=1 qk(i)  '' (xk '' µi) 2 2'2 i  ; (7.30) anche in questo caso eseguiamo una derivata (in µi) e la poniamo a zero ai
fini della massimizzazione ''B ''µi = N X k=1 qk(i) xk '' µi '2 i = 0, (7.31) attraverso semplici passaggi matematici si riesce ad estrarre µi, che risulta µi = P N
k=1 qk (i)xk P N
k=1 qk (i) . (7.32) Partendo sempre dall''equazione (7.24) andiamo ora ad effettuare l''ultima
massimizzazione, ovvero quella su '2 i , come indicato nell''espressione seguente C = max '2 i N X k=1 qk(i)  '' 1 2 log ' 2 i '' (xk '' µi) 2 2'2 i  , (7.33) eseguiamo la derivata in '2 i e la poniamo a zero ''C ''('2 i ) = N X k=1 qk(i)  '' 1 2'2 i + (xk '' µi) 2 2('2 i ) 2  = 0, (7.34) dalla quale si estrae la soluzione finale ' 2 i = P N
k=1 qk (i)(xk '' µi) 2 P N
k=1 qk (i) . (7.35) I risultati appena ottenuti sono da intendere in un contesto di un al- goritmo iterativo, infatti come gi` a detto l''algoritmo inizia attribuendo dei 78 valori iniziali al vettore θini = {λ (1)
i , µ (1)
i , ('2 i ) (1)} e calcolando come primo parametro la funzione a posteriori q (t) k (i), successivamente si possono trovare i nuovi parametri di θ λ (t)
i = P N
k=1 q (t) k (i) N (7.36) µ (t)
i = P N
k=1 q (t) k (i)xk P N
k=1 q (t) k (i) (7.37) (' 2 i ) (t) = P N
k=1 q (t) k (i)(xk '' µ (t)
i )2 P N
k=1 q (t) k (i) . (7.38) Continuando ad iterare l''algoritmo appena illustrato si arriva a conver- genza quando i valori di θ si assestano. 7.3 Estrazione del modello in Matlab Attraverso l''utilizzo di Matlab, si ` e cercato, in un primo momento, di im- plementare le equazioni iterative (7.37), (7.38) e (7.38). Per fare questo ` e stato necessario risolvere alcuni problemi pratici come il numero di iterazioni
necessarie per far convergere i valori di λ, µ e '2 e la scelta dei loro valori
iniziali. Il primo problema ` e stato risolto empiricamente, cio` e mettendo su dei grafici gli andamenti dei parametri ed andando ad analizzare quando lo
scostamento dei valori da un''iterazione all''altra era sufficientemente piccolo
da poter fermare l''algoritmo. Per quanto riguarda invece i valori iniziali da
attribuire ai parametri λ, µ e '2, ` e stato deciso di assegnare come media e varianza iniziali rispettivamente media e varianza della curva di distribuzione
che si sta cercando di riprodurre, mentre il coefficiente λ ` e stato inizializzato dando maggiore peso al primo coefficiente λ1 = 1 '' q λi = q/M i = 1, . . . , M (7.39) dove q = 0.3. Al fine di ottimizzare l''algoritmo e di dare una misura di quanto il fitting sia buono, viene calcolata una differenza punto a punto tra la funzione di
distribuzione originale e quelle che di volta in volta si creano cambiando il
numero delle gaussiane che compongono la funzione di fitting. Nella Figu-
ra 7.2 vi ` e un esempio del funzionamento dell''algoritmo, che crea funzioni di distribuzione con un numero di Gaussiane che varia da una a 5, da questo
grafico ` e facile intuire come nasca il vettore delle differenze citato poc''anzi e rappresentato graficamente nella Figura 7.3 per 10 funzioni di distribuzioni
create con un numero crescente di Gaussiane, in alto a sinistra vi ` e l''errore di fitting dato dalla stima con una Gaussiana, mentre in basso a destra la
stima ` e fatta con 10. Si nota chiaramente come l''errore diventi molto piccolo 79 Figura 7.2: Illustrazione del funzionamento dell''algoritmo EM applicato su
Gaussian Mixture). gi` a con 5-6 Gaussiane ed i miglioramenti da questo punto in poi diventino abbastanza marginali. La fase successiva del lavoro in Matlab ` e stata quella di applicare l''algo- ritmo ai dati ottenuti dal ranging con i vari algoritmi di ricerca del cammino
minimo e di mediare i risultati ottenuti sui valori del rapporto segnale su
disturbo, in questo modo sono stati creati dei grafici che danno l''andamento
dei paramentri λ, µ, '2 e dell''errore di fitting, al variare dell''SNR. Nelle Fig-
ure 7.4 e 7.5 sono rappresentati i suddetti andamenti per il fitting sui dati
ottenuti dall''algoritmo ricerca e sottrai. Si pu` o notare come gli andamenti dei parametri µ e '2 non siano affatto lineari, ma entrambi hanno la ten-
denza ad abbassare i propri valori con l''aumentare del rapporto segnale su
disturbo come era lecito attendersi. Per quanto riguarda invece i coefficienti
λ invece non vi sembrano grosse correlazioni con l''SNR, se non per il fatto
che per bassi dB il coefficiente a maggior peso ` e sempre il primo. Infine, l''andamento dell''errore di fitting ad una prima analisi pu` o sembrare erra- to, in quanto esso aumenta proporzionalmente con l''aumentare del rapporto
segnale su disturbo, in realt` a ` e un andamento atteso per il semplice motivo che le curve di distribuzione che si producono da stime a bassi SNR, hanno la
caratteristica di essere molto simili a delle funzioni di distribuzione prodotte
da delle Gaussiane, quindi il fitting risulta assai preciso, al contrario, per
alti SNR le curve di distribuzione perdono gradualmente la loro somiglianza
con una funzione di distribuzione prodotta da una o pi` u Gaussiane, perci` o l''errore risulta pi` u elevato. 80 Figura 7.3: Grafici relativi all''andamento degli errori tra distribuzione originale e ricostruita tramite Gaussian Mixture. 81 Figura 7.4: Grafici relativi all''andamento dei coefficienti di varianza e media
con 10 gaussiane. 82 Figura 7.5: Grafici relativi all''andamento dei coefficienti lambda e dell''errore
medio con 10 gaussiane. 83 84 Bibliografia [1] A. A. M. Saleh and R. A. Valenzuela, ''A statisticar model
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of Arrival Estimation for UWB Localizers in Realistic
Environments', April 2006. 88 Riconoscimenti In questo spazio desidero ringraziare innanzitutto la mia famiglia, che mi ha
sempre sostenuto e rincuorato durante questi lunghi anni universitari pieni
di difficolt` a, senza di loro tutto questo non sarebbe mai potuto accadere e perc`ı` o il ringrziamento maggiore spetta a pap` a Danillo, mamma Flora e Giovanni. Un altro ringraziamento per me molto importante va a Monica,
che mi ha sopportato per quasi quattro anni di studio, capendomi e dandomi
forza per proseguire ogni giorno il lungo percorso sin qui compiuto. Un
grazie molto sentito va ai ''compari di merende' Alberto e David, che hanno
allietato i primi anni di questo viaggio con la loro simpatia ed amicizia e
con i quali ho spesso dimenticato i pensieri che ogni tanto mi affliggevano
la mente. Una persona che mi ` e vicina dalla nascita ` e l''amico, confidente, mentore, nonch´ e cugino Tommaso, con il quale ho condiviso molti momenti felici e non della mia vita e che mi ha sempre sostenuto nel mio percorso.
Un grazie va anche ad un altro cugino, Leonardo, dispensatore di consigli e
di utilissime nozioni di ogni genere senza del quale la fatica per arrivare fino
a qui sarebbe stata senza dubbio maggiore. Un grazie particolare va anche
all''amico, collega e confidente Pippo, al quale mi sono sempre aggrappato
quando non capivo un accidente e con il quale sono sempre riuscito a fare due
risate. Grazie di cuore ai colleghi ed amici Luchino, Carlu, Da Lio, Sandro,
Diego, Federico, Ballarin, Bacco e Luca, i quali hanno avuto la pazienza
di sopportarmi e mi hanno dato sempre una mano a studiare quando ne ho
avuto bisogno ed infine un grazie all''amico e collega Fi` e, ''amico di trenitalia' come me, al quale mi sono sempre rivolto ogni volta che Latex mi faceva
impazzire. Un grazie va inoltre a tutti gli amici che hanno contribuito ad
allietare questi anni di universit` a con le numerose uscite in loro compagnia. Infine, un ultimo ma non meno importante rigraziamento al mio relatore, il
Prof. Tomaso Erseghe, che con la sua gentilezza e le sue enormi propriet` a di divulgatore, ` e riuscito a farmi svolgere questa tesi nel migliore dei modi possibili. 89


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