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Meccanica applicata - Quarta giornata di studio Ettore Funaioli

Questo volume raccoglie le memorie presentate nel corso dell Quarta giornata di Studio di Ettore Funaioli, svoltasi presso la facoltà di Ingegneria di Bologna.

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Articoli tecnico scientifici o articoli contenenti case history
inInterventi al convegno "Quarta giornata di studio Ettore Funaioli", Bologna 2010

Pubblicato
da Alessia De Giosa
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Estratto del testo
Quaderni del DIEM '' GMA Atti di giornate di studio '' 4



















A cura di:
U. Meneghetti , A. Maggiore , V. Parenti Castelli

Coordinatore di redazione:
Alessandro Zanarini DIEM
Dipartimento di Ingegneria delle
Costruzioni Meccaniche, Nucleari, Aeronautiche e di
Metallurgia
www.diem.unibo.it


GMA
Gruppo di Meccanica Applicata
http://wpage.unina.it/dellaval/GMA/GMA_home.htm Quarta giornata di studio Ettore Funaioli 16 luglio 2010










A cura di: Umberto Meneghetti, Alberto Maggiore e Vincenzo Parenti Castelli Proprietà letteraria riservata. © Copyright 2008 degli autori. Tutti i diritti riservati. Modellazione numerica del comportamento dinamico di gallerie superficiali in terreni argillosi / Angelo Amorosi, Daniela Boldini, Mauro Sasso. '' Bologna : Asterisco, 2008. '' p. 490 ; 23 cm. (Alma-DL. Rapporti di ricerca) ISBN 978-88-902128-6-4 Versione elettronica disponibile in AMS Acta alla pagina http://amsacta.cib.unibo.it/archive/00002392/ Il rapporto di ricerca è stato finanziato nell''ambito dei progetti: PRIN 2005 ''Monitoraggio e valutazione della sicurezza nelle dighe in terra e negli argini fluviali' Unità Politecnico di Bari
PRIN 2006 ''Effetti sismici sulle costruzioni in sotterraneo' Unità Politecnico di Bologna
RELUIS ''Rete dei Laboratori Universitari di Ingegneria Sismica' Unità Politecnico di Bari Stampa a richiesta eseguita da: Asterisco Snc Tipografia Digitale Via Belle Arti, 31 a/b '' 40126 Bologna Tel 051 236866 '' Fax 051 261105 mail: grafica@asteriscosnc.it www.asteriscosnc.it Quarta giornata di studio Ettore Funaioli - 16 luglio 2010 A cura di Umberto Meneghetti, Alberto Maggiore e Vincenzo Parenti Castelli Bologna : 2011 - p. 456; 17 cm. ISBN 978-88-965720-6-1 Versione elettronica disponibile alla pagina http://amsacta.cib.unibo.it/3043/ Stampa a richiesta eseguita da: Asterisco Snc Tipografia Digitale Via Belle Arti, 31 a/b '' 40126 Bologna Tel 051 236866 '' Fax 051 261105 mail: grafica@asteriscosnc.it www.asteriscosnc.it Proprietà letteraria riservata. © Copyright 2011 degli autori Tutti i diritti riservati INDICE Prefazione
A.Freddi 1 Ricordo del Prof. Gustavo Favretti a diciannove anni dalla morte
G. Catania, S. Sorrentino 3
A dynamic model of railway bridges crossed by travelling trains

A. Zanarini, M. Neumann, J. Wassermann 17 Full-field optical measurements for advanced structural dynamics: first outcomes

M. Cavallari, A. Montanari, E. Mucchi, G. Dalpiaz 33 Analysis of the evolution of the pressure forces in variable displacement vane pumps
using different approaches
R. Vertechy, A. Frisoli, M. Solazzi, A. Dettori, M. Bergamasco 57
Design and control of new robotic joints for rehabilitation exoskeletons

M. Troncossi, A.Rivola 73
Experimental tests of joint prototypes for upper limb powered prostheses

N. Sancisi, D. Zannoli, V. Parenti Castelli 83
Sensitivity analysis of 1-dof equivalent mechanisms for the kinematic modelling
of the human knee

U. Meneghetti 97
Applicazioni storiche delle camme

M. Mozaffari Foumashi, M. Troncossi, V. Parenti Castelli 113
A study on the rehabilitation hand exoskeletons

A. Chebbi, V. Parenti Castelli 127
Analysis of the internal torque and bending moment acting on the legs of the
3-UPU translational parallel manipulator

C. Innocenti 139
Synthesis of the spherical four-bar linkage function generator for six precision points

E. Prati, M Silvestri, A. Tasora, T. Marin 155
Influenza dell''attrito sullo stato di tensione e di deformazione in anelli di tenuta
in elastomero A.O. Andrisano, M. Faretra, F. Gherardini, A. Guerra,
F. Leali, M. Pellicciari, F. Pini, A.Vergnano 165
Metodi di progettazione integrata di sistemi automatici adattivi

A. Rossi, G. Rosati, S. Cenci, A. Carli, L. Zanotti, M. Mantovani, A. Foroni, V. G. Riello 181
La meccatronica per l''assemblaggio flessibile

E. Dragoni, W. J. Bagaria 193
Mechanical design of bimaterial helical springs with circular cross-section

G. Medri 205
Considerazioni sui criteri di resistenza

G. Nicoletto 219
Progettazione a fatica termomeccanica di getti in lega d''alluminio
per applicazioni motoristiche
A. Strozzi, L. Bertocchi, E. Campioni 231
Normalization of the stress concentrations at the interference fit
between a cylindrical shaft and a hub with rounded edges

A. Freddi 241
Sperimentare per progettare
M. Barbieri, F. Pellicano, A. O. Andrisano 259
Influence of dynamic effects on point EHL contacts in gear systems

G. Scirè Mammano, E. Dragoni 265
Fatica termomeccanica di fili a memoria di forma: apparato di prova e primi risultati

D. Castagnetti, A. Spaggiari, E. Dragoni 283
Effect of bondline thickness on the static strength of structural adhesives
under nearly-homogeneous shear stresses

G. Reggiani, M. Cocconcelli, R. Rubini, C. Borghi, A. Ferrari 303
Use of neural networks in cerebral palsied children: form recognition
by means of gait analysis

G. Scirè Mammano, M. Cocconcelli, R. Rubini, E. Dragoni 315
Accelerometri MEMS: caratterizzazione dinamica e confronto con i sensori piezoelettrici

A. Segatori, B. Reggiani, L. Donati, F. Bagagli, L.Tomesani 337 Investigation and prediction of charge welds in aluminum extruded profiles


A. Carminelli, G. Catania 359
Aggiornamento automatico di un modello ad elementi finiti B-spline
mediante rilievi sperimentali di funzioni di risposta in frequenza

I. Todaro, R. Squatrito, L. Ceschini, A. Morri, L. Tomesani 373 Effetto del contenuto di idrogeno e delle velocità di raffreddamento sulla microporosità
nella produzione per fusione di campioni a difettologia controllata per prove di fatica
G. Olmi, V. Dal Re 385
Analisi teorica e sperimentale delle sollecitazioni in esercizio su un anello rotante
di una macchina cellofanatrice

D. Croccolo, M. De Agostinis, N. Vincenzi 411
On shaft-hub hybrid couplings

G. Berselli, M. Piccinini, G. Vassura 429 Valutazione della cedevolezza selettiva in giunti elastici per applicazioni robotiche

M. Carricato 443
Under-constrained cable-driven parallel robots


Indice degli autori 455 Prefazione Questo volume raccoglie le memorie presentate nel corso della Quarta
Giornata di Studio Ettore Funaioli, svoltasi presso la Facoltà di Ingegneria di
Bologna il 16 luglio 2010. Dalla Prima alla Quarta Giornata di Studio Ettore
Funaioli si è passati da 13 a 31 memorie. La crescente adesione di amici ed
allievi '' di prima e di seconda generazione '' alle Giornate di Studio intitolate
a Ettore Funaioli, conferma l''alta considerazione per la sua figura sotto
l''aspetto umano e scientifico, e conferma altresì la diffusa volontà di ritrovarsi
fra colleghi ed amici che si stimano e si apprezzano, per fare tutti partecipi dei
risultati scientifici conseguiti e per discutere insieme dei comuni problemi che
incontriamo nella nostra attività quotidiana.
A tutti i partecipanti alla Quarta Giornata di Studio Ettore Funaioli va il nostro
più cordiale ringraziamento: a loro siamo debitori per il successo della
manifestazione.
' motivo di grande soddisfazione constatare ancora una volta il costante
impegno dei Ricercatori e l''elevata qualità dei lavori presentati, testimonianza
evidente della vitalità delle Discipline che riconoscono nella Meccanica la loro
radice comune. ' questo un buon auspicio anche per il nostro Paese, che
nell''Industria meccanica ha una delle principali fonti di benessere e di primato.
' da ricordare che la Giornata ha visto anche, alla presenza dei familiari, la
commemorazione del compianto Prof. Gustavo Favretti nel diciannovesimo
anniversario della scomparsa.
La Giornata ha potuto svolgersi grazie anche alla collaborazione della Facoltà
di Ingegneria dell''Alma Mater Studiorum Università di Bologna e del DIEM -
Dipartimento di Ingegneria delle Costruzioni meccaniche, nucleari,
aeronautiche e di Metallurgia. Ringraziamo vivamente il Preside della Facoltà,
Prof. Pier Paolo Diotallevi, e il Direttore del DIEM, Prof. Gianni Caligiana,
che hanno consentito queste collaborazioni ed hanno voluto aprire la Giornata
porgendo il loro saluto ai partecipanti.
Desideriamo infine ringraziare l''Ing. Alessandro Zanarini che ha cooperato
nel lavoro di organizzazione delle memorie raccolte in questo volume.

Bologna, 10 giugno 2011
Umberto Meneghetti '' Alberto Maggiore '' Vincenzo Parenti Castelli RICORDO DEL PROF. GUSTAVO FAVRETTI A DICIANNOVE ANNI DALLA MORTE Intervento del Prof. Alessandro Freddi Alla contemporanea conclusione dell''attività accademica di tre colleghi e amici del Prof.
Gustavo Favretti e a diciannove anni dalla Sua scomparsa è mio desiderio porgere questo
omaggio e ricordarLo in questa giornata, anche se la Sua persona rimarrà viva nella
nostra memoria. Quando i colleghi Umberto Meneghetti, Sergio Curioni e il sottoscritto entrarono negli
stessi anni nell''Istituto di Meccanica Applicata alle Macchine, i professori Ettore Funaioli,
Fausto Caboni e Gustavo Favretti erano i rappresentanti ufficiali dell''istituzione.
L''atmosfera che vi si respirava era espressione della loro personalità: tre gentiluomini
che, con rispetto reciproco, avevano creato il livello e la stima dell''Istituto e godevano di
grande considerazione tra i colleghi e tra gli studenti. Del Prof. Funaioli in più occasioni
sono state sottolineate le doti di scienza e di guida; il Prof. Caboni si distingueva per un
impegno didattico eccezionale e il Prof. Favretti era in particolare impegnato a creare le
basi della ricerca nella Costruzione di Macchine. Gustavo Favretti 1927 '' 1991 1 Il Prof. Favretti fu da me commemorato per le sue doti morali e professionali a Palermo
nel settembre 1991, a Forlì nel 1993 e dai suoi ex allievi, (allora già Professori Ordinari a
Modena - Reggio e Parma), in occasione del Convegno AIAS di Parma. Oggi vorrei
ricordarLo per alcune Sue specifiche doti umane. Già a Forlì, il Rettore dell''Università di Bologna di allora Prof. Fabio Roversi Monaco,
ebbe cura di mettere in luce, tra le altre, una Sua dote caratteristica ben nota: avere
operato per un ambiente di lavoro amichevole tra tutti i collaboratori; aspetto non
marginale di senso dell''istituzione. Ricordo in particolare, con molta simpatia, l''invito che Egli rivolse a me e al Prof.
Meneghetti il primo anno del mio contatto con l''Istituto, per un viaggio estivo in Francia,
viaggio che si sarebbe rivelato di formazione e di fondazione di un''amicizia. Continuammo
poi per tutti gli anni a venire a consolidarla, con l''aiuto prezioso della Signora Rema, che
nel frattempo era entrata nella Sua vita con forte comunione di spirito e condivisione
d''idee, di lì a poco Ordinario di Glottologia e Linguistica. Tra i tanti aspetti, voglio ricordare in particolare, un tratto caratteristico della personalità
del Prof. Favretti che sintetizzo in questo modo: egli affrontava la realtà sempre con
atteggiamento di persona colta. Aveva per esempio una grande cultura musicale, ben oltre
la passione del dilettante e sosteneva, con la franchezza che lo caratterizzava, che non era
interessato alla musica antica ma che ''si limitava' ad ascoltare la musica da Bach ai
contemporanei: al pari di un professore di Storia Moderna che, aldilà della sua cultura
personale, ha il compito istituzionale di approfondire il periodo di sua competenza. E quel
periodo era davvero approfondito. Era un esercizio di serietà intellettuale che non limitava
alla Sua disciplina, nella quale si distingueva peraltro per professionalità e ''integrità
scientifica' (nel senso di una famosa prolusione di Richard Feynmann), ma che estendeva
con innata modestia e riservatezza a ogni aspetto della realtà. Nello stesso modo, ogni Suo compito veniva svolto con precisione e tempestività. Le
relazioni ai Convegni preparate con cura, i contributi altrui seguiti tutti con attenzione e
interesse critico, così all''estero come ai Convegni nazionali AIAS e AIMETA, associazioni
scientifiche delle quali era stato co-fondatore. Dopo il Convegno, il tempo era dedicato a riflessioni generali se non allo studio (come in
Germania per seguire un Corso), a un concerto o a un''opera su cui si era documentato per
il luogo e il tempo; tutti questi aspetti erano da Lui intesi come elementi di naturale
formazione per uno studioso. Sono queste alcune caratteristiche del Suo spirito che voglio, assieme ai colleghi, ricordare
e testimoniare, specialmente a chi non ha avuto la fortuna di conoscerLo e di apprezzarLo.
2 A DYNAMIC MODEL OF RAILWAY BRIDGES CROSSED
BY TRAVELLING TRAINS


Giuseppe Catania
Department of Mechanical and Aeronautical Engineering,
University of Bologna, Italy
E-mail: giuseppe.catania@unibo.it

Silvio Sorrentino
Department of Mechanical and Aeronautical Engineering,
University of Bologna, Italy
E-mail: silvio.sorrentino@unibo.it


Abstract. This study investigates the dynamic behaviour of railway bridges crossed by
travelling trains. A simplified formulation was adopted in order to perform a direct
analysis of the effects of the parameters involved in the problem. The bridge is modelled as
a rectangular plate, while the trains are modelled as travelling inertial distributed loads.
The formulation is accomplished by the use of the Rayleigh-Ritz method, yielding a low
order model with time-dependent coefficients. Numerical examples are presented and
discussed, aimed at investigating the effects of each of the model-governing parameters.

Keywords: railway bridges, moving loads, Rayleigh-Ritz method.
1. INTRODUCTION
In the analysis of the dynamic effects of railway vehicles on bridges, simplified models are
suggested and usually used, taking into account only certain aspects, such as deterministic,
vertical effects, and the influence of moving forces and masses [1-2]. Inertial effects of
both bridge and vehicle can be influential, and not negligible, since the mass of the external
load introduces a coupling effect between the load and the structure. Other important
aspects, such as dynamic properties of travelling vehicles and track irregularities are not
considered in the present study. The railway bridge model most commonly used is a continuous Euler Bernoulli beam [2], or a Timoshenko beam [3], traversed by either concentrated [4] or distributed moving
loads [5]. Possible applications of lumped vibration absorbers have also been investigated
[6]. However in the present study a homogeneous Kirchhoff plate is considered, in order to
allow the analysis of lateral vibrations due to trains travelling on double-track bridges.
Structure damping is included in the model, as it may play an important role. The train is simply modelled by means of a continuous load in the form of a moving strip, an idealization which can be adopted when the span of the bridge is large in
comparison with the distance between axles [2]. Constant speed of motion of vehicles
along the bridge is assumed. The formulation is accomplished by the use of the Rayleigh-Ritz method [7], and the solution is expressed in terms of a linear combination of functions, which in the present 3 study are selected as tensor products of eigenfunctions of prismatic pinned-pinned and free-
free beams in flexural vibration. This approach yields a reduced order model with time-
dependent coefficients, allowing a parametric analysis of plates loaded by travelling
distributed masses [8]. Different example cases are presented and discussed in detail, analyzing the effects of velocity, mass and length of the train on the plate''s dynamic response with respect to the
mass, stiffness and damping of the plate itself. 2. THEORETICAL MODEL
A homogeneous isotropic Kirchhoff plate is considered, simply supported on two opposite
sides, free on the other two sides and crossed by a travelling distributed load. The load per
unit area p over the plate may be expressed as:
2 2 ( , , ) ( , , ) ( , ) , v t x d w x y t p x y t f y g x t dt ρ ξ ξ ' ' = '' + = '' ' ' ' ' (1)
where w is the vertical displacement of a point of the plate or of the load, ρt is the equivalent mass per unit area of the load, g is the gravity acceleration, vx is the travelling
speed in the x direction, ξ is a moving coordinate in the same direction [1] and f models the translating strip representing the instantaneous position of the load:

[ ][ ] ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t f y u L u u y u y l ξ ξ ξ δ δ = + '' '' '' '' '' (2) Note that within the present study ρt is assumed to be constant; however, piecewise- constant or other distributions ρt(ξ ) may be considered and adopted in the following developments. Equation 2 contains the unit step distribution u( ''), Lt and lt are the length and the width of the strip modelling the train, and δ is the distance between the side of the strip and the edge y = 0 of the plate, as shown in Fig. (1). The second term on the right-hand side
of Eqn. (1) describes the inertial action of the load. The total acceleration may be expressed
in the following general form:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v 2v v v 2v 2v a a x x y y x y x y d w w w w w w w w w x y x t y t x y dt t x y '' '' '' '' '' '' '' '' = + + + + + + + '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' (3)
where vx, vy, ax, ay express the velocities and accelerations of the travelling load in the x and y directions respectively [1]. Considering a train travelling at constant speed v in the x
direction, Eqn. (3) reduces to:
2 2 2 2 2 2 2 2 2v v d w w w w x t dt t x '' '' '' = + + '' '' '' '' (4) The first term of the right-hand side of Eqn. (4) expresses the influence of vertical acceleration of the moving load, the second term the influence of Coriolis acceleration, and
the third term the influence of track curvature [1]. 4 y x L t l t l b L b δ vx 0 Figure 1. Model scheme.
The functional of the total potential energy of the coupled system can be written as the sum of a term U due to the strain energy plus a term V representing the potential of all
applied loads (including the inertial forces):

U V Π = + (5) The potential of the strain energy can be written in terms of second order derivatives of the out-of-plane displacement w:
3 2 2 2 2 0 0 1 2 2(1 ) 2 12(1 ) b b l L xx yy xx yy xy Eh U D w w w w w dxdy D ν ν ν ' ' = + + + '' = ' ' '' ' ' (6)
where the subscripts denote differentiation with respect to the spatial variables and D is the
flexural stiffness of the plate, expressed as a function of Young''s modulus E, Poisson''s
ratio ν and thickness h [7]. In the adopted formulation the inertial forces are included in the potential of applied loads V as follows:
b 0 0 ( ) b b l L V ww wp dxdy ρ = '' ' '  (7)
where ρb is the mass per unit area of the plate and p is the load in Eqn. (1). The out-of-plane displacement w is expressed by means of a linear combination of shape functions, selected as
products of homogeneous uniform prismatic beam eigenfunctions ': 1 ( , ) N n n n w q w ' ξ η Τ = = '' = '' q ' (8)
where q is the generalized coordinate vector. Introducing the displacement expansion in the
quadratic functional Π, and imposing its stationarity, yields the following algebraic eigenproblem:
2 2 2 v 1 [ ] 2 αβ[ ] β [ α ] , , , β β t b b b b D r r r rg r L L ρ α ρ ρ + ' + ' + + ' = '' = = = M M q C q K K q f   (9) 5 In Eqn. (9) β is a frequency parameter and α is a dimensionless parameter depending on the speed v. The matrices in square brackets can be regarded as dimensionless
quantities, and they can be computed according to the following integrals:
1 1 0 0 1 1 0 0 T 0 0 0 0 4 T T T T T 0 0 2 T 0 0 ( ) , ( ) , ( ) [ ( ) 2(1 )( )] 2 ( ) , b b b b b b b b l L l l x x b x x x l L b xx xx yy yy xx yy yy xx xy xy l l x x b xx x x dxdy dxdy L dxdy L dxdy L dxdy dxdy ν ν Τ Τ = ' = ' = = + + + + '' ' = = ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' M M C K K f '' '' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' (10)
where the integration interval [x0, x1] is time-dependent. Introducing the ratio between the lengths Lt and Lb:
1 μ t b L L'' = (11)
then x0 and x1 vary according to Tab. (1). To model energy dissipation within the structure, a dimensionless damping matrix C may be defined by means of the plate modal matrix Φ (mass normalized) and eigenvalues 'n (computed from the M and K matrices), and considering a modal damping ratio ζ equal for all modes:

( ) ( ) T 1 1 T 1 1 2 2 β 2 β n n diag diag ζ ζ ' ζ' '' '' '' '' '' '' = = C Φ Φ Φ Φ (12) Introducing Eqn. (12) in Eqn. (9) yields:
2 2 [ ] 2β[ α ] β [ α ] r r r rg ζ + ' + + ' + + ' = '' M M q C C q K K q f   (13) Equation (13) is a reduced order discretized model with time-dependent coefficients, which can be solved numerically.
Table 1. Integration time-dependent interval. case μ 1 < case μ 1 = case μ 1 > 1 0 v 0 v 0 t x t t L x = ' ' < '' ' = ' 1 0 v 0 v 0 b x t t L x = ' ' < '' ' = ' 1 0 v 0 v 0 b x t t L x = ' ' < '' ' = ' 1 0 v v v t b t x t L t L x t L = ' ' < '' ' = '' ' 1 0 v 2 v b b b b x L L t L x t L = ' ' < '' ' = '' ' 1 0 v 0 b b t x L L t L x = ' ' < '' ' = ' 1 0 v v b b b t t x L L t L L x t L = ' ' < + '' ' = '' ' 1 0 v v b t t b t x L L t L L x t L = ' ' < + '' ' = '' ' 6 3. NUMERICAL RESULTS
Some numerical examples are presented for studying the dynamic behaviour of the model
described in section 2. The influence of parameters v, r, μ, β, ζ governing Eqn. (13) is highlighted by studying time responses w(t) and dynamic response functions H of the
dimensionless frequency α (playing the role of ''frequency response functions'') defined according to:
[ ] , ; max ( ) ( , ; ) w t s x y w t H x y α α = (14)
where ws is the static deflection due to the load centered in Lb/2 [8]. Numerical solutions of Eqn. (13) are computed by means of a Runge-Kutta algorithm, expanding the solution w of Eqn. (8) with 4 ' 2 beam eigenfunctions (4 pinned '' pinned eigenfunctions along the x direction and 2 free '' free eigenfunctions along the y direction). Realistic values for parameter β are computed by means of the empirical expression: 2 1 2 β b a L γ ' λ '' = (15)
based on large collections of experimental data [2], where a and γ are parameters depending on the kind of bridge considered, as reported in Tab. (2). The values (in Hz) of
the first natural frequency and of parameter β for different kinds of bridges are reported as functions of the length Lb in Figs. (2) and (3) respectively. Effect of the speed of the load
As a reference case study, the following values for the parameters are assumed:
Plate: Lb = 50 m, lb = 10 m, β = 5 rad/s, ζ = 0.05.
Moving load: μ = 1.4, r = 0.5, lt = 2.5 m, δ = 1.5 m. Time responses w(t) are computed at coordinate x = Lb/2, y = lb/2 with speed v varying from 30 m/s to 50 m/s (108 Km/h to 180 Km/h), as shown in Fig. (4).

Table 2. Parameters in Eqn. (15), as reported in [2]. Kind of bridge a γ General bridges (average case) 133 0.9 Steel truss bridges 307 1.1 Steel plate girder bridges with ballast 59 0.7 Steel plate girder bridges without ballast 208 1 Concrete bridges with ballast 190 1.1 Concrete bridges without ballast 225 1.2 7 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 5 10 15 20 25 L b [m] f 1 [H z] General bridges
Steel truss bridges
Steel plate girder bridges with ballast
Concrete bridges with ballast
Concrete bridges without ballast Figure 2. First natural frequency f1 [Hz] vs. length Lb for different kinds of bridges. 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 L b [m] β [r ad /s] General bridges
Steel truss bridges
Concrete bridges with ballast Figure 3. Frequency parameter β [rad/s] vs. length Lb for different kinds of bridges. Effect of the mass of the load
Parameter values are assumed as in the reference case with v = 40 m/s = 144 Km/h, varying
r from 0.1 to 1. Response functions w(t) and H( α) are computed in x = Lb/2, y = lb/2, as reported in Figs. (5) and (6) respectively. Functions H(x, y; α) show a peculiar undulating trend, which was found to be not significantly affected by the choice of coordinate x [8]. 8 0 1 2 3 4 5 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 x 10 -3 t [s] w [m ] v = 40 m/s
v = 50 m/s
v = 30 m/s Figure 4. Effect of parameter v on w(t).

0 1 2 3 4 5 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 x 10 -3 t [s] w [m ] r = 0.5
r = 1.0
r = 0.1 Figure 5. Effect of parameter r on w(t). 9 Effect of the length of the load
Parameter values are assumed as in the reference case with v = 40 m/s = 144 Km/h, varying
μ from 0.1 to 2. Response functions w(t) and H(α) are computed in x = Lb/2, y = lb/2, as
reported in Figs. (7) and (8) respectively. Parameter μ (related to Lt) is able to significantly affect the behaviour of H( α). Note that the plots of H(α) in the case μ ' 1 are superimposed. Effect of structure damping
Parameter values are assumed as in the reference case, varying ζ from 0 to 1. Response function H( α) is computed in x = Lb/2, y = lb/2, as reported in Fig. (9). Raising ζ reduces the amplitude of oscillation of H( α), until its behaviour becomes monotonic (however this is not the case for real bridge structures). On the contrary, varying the frequency parameter β within the range of real bridges scarcely affects the behaviour of H( α), since the plots are almost superimposed [8]. Effect of partially distributed load
Parameter values are assumed as in the reference case, with Lt = 24 m and v = 40 m/s = 144 Km/h. Different loading distributions are compared: the continuous one, as represented in
Fig. (1), and ''partial'' distributions consisting of two shorter sections in which the load is
distributed. The assumed ''partial'' distributions are given by:
0 and t t t t L L L L ξ ξ ' ' '' '' ' ' '' ' ' '' '' ' ' (16)
with ' < 0.5 (' = 0.5 yields the ''continuous'' distribution). Since for the continuously distributed load it is assumed r0 = 0.5, in the case of the ''partially distributed'' load
described by Eqn. (16) r0 increases to r = 1/(2') ' r0. Response functions w(t) and H(α) are
computed in x = Lb/2, y = lb/2 for different values of ' (1/6, 1/48, 1/480) as reported in Figs. (10) and (11). Load distribution variations such as that described in Eqn. (16) may
dramatically affect the behaviour of the response function H( α). Effect of time dependent matrices
Parameter values are assumed as in the reference case, with v = 40 m/s = 144 Km/h. The
effect of neglecting the time dependent matrices 'M, 'C, 'K on the solution w(t) is evaluated by introducing a relative error, according to:
[ ] M ( ) ( ) max ( ) t w t w t w t ε ' = '' = M 0 (17)
where [w(t)]'M = 0 refers to the solution computed assuming 'M = 0 in Eqn. (13). Similarly, εC and εK can be defined, considering 'C = 0 and 'K = 0. The error functions εM, εC and εK are plotted versus time in Fig. (12), where εTot represents the total error, assuming 'M, 'C and 'K equal to 0 at the same time. The smallest, and negligible contribution to the
error εTot appears to be εC, while the main contribution is due to εM. 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 1.05 1.1 1.15 α H r = 1.0
r = 0.8
r = 0.5
r = 0.1 Figure 6. Effect of parameter r on H( α).

0 1 2 3 4 5 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 x 10 -3 t [m] w [m ] μ = 0.2
μ = 0.6
μ = 1.0
μ = 1.4
μ = 1.8 Figure 7. Effect of parameter μ on w(t). 11 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 α H μ = 2.0
μ = 1.0
μ = 0.5
μ = 0.1 Figure 8. Effect of parameter μ on H(α).

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 α H ζ = 0
ζ = 0.01
ζ = 0.05
ζ = 0.10
ζ = 0.20
ζ = 1.00 Figure 9. Effect of parameter ζ on H(α). 12 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 x 10 -3 t [s] w [m ] ' = 1/480
' = 1/48
' = 1/6
' = 1/2 Figure 10. Effect of partially distributed load on w(t).

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 α H ' = 1/2
' = 1/6
' = 1/48
' = 1/480 Figure 11. Effect of partially distributed load on on H( α). 13 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 x 10 -3 t [s] ε ε C ε K ε M ε Tot Figure 12. Effect of neglecting time dependent matrices 'M, 'C, 'K on w(t).
4. DISCUSSION
Function H(x, y; α) appears to be an effective tool for studying the dynamic behaviour of a structure crossed by travelling loads with constant speed, in some way equivalent to a
''frequency response function'' for time-varying coefficient systems. This function shows
peculiar undulating trends, influenced by the parameters governing Eqn. (13). The response
can be evaluated at any coordinate point (x, y) of the plate, making it possible to study the
variation of structural deflection also along the y coordinate. Mass parameter r can produce important shifts in magnitude, but not in shape, as shown in Figs. (5) and (6). On the contrary, length parameter μ controls both shape and magnitude of H( α), but only in the case 0 < μ ' 1, as shown in Figs. (7) and (8). The damping parameter ζ has the effect of progressively smoothing the oscillation of H( α), until it becomes monotonic (though the latter limit case is not realistic for actual bridge structures): in general, the reduction in amplitude becomes particularly significant at
high speed, as shown in Fig. (9). Frequency parameter β, within the range of real bridges, scarcely affects the behaviour of H( α), so H may be considered independent from β [8]. Changes in the spatial distribution of the load can produce dramatic variations in H( α), shown in Figs. (10) and (11). This behaviour should highlight the importance of properly
modelling the ballast, directly influencing the load distribution on the actual structure. The contribution to the solution of the time dependent matrices 'M, 'C and 'K is globally not negligible, however the effect of 'C is usually very small in comparison with the contributions of 'K, and especially of 'M. 14 5. CONCLUSIONS
In this study, the dynamical behaviour of railway bridges crossed by travelling trains was
investigated by adopting a simplified model, i.e. a plate loaded by a travelling distributed
mass, solved by means of the Rayleigh-Ritz method. The effects of each of the model governing parameters was studied introducing a dynamic function of the travelling speed, equivalent to a ''frequency response function'' for
time-varying coefficient systems. This function can be an effective tool for studying the
dynamic behaviour of a structure crossed by travelling loads, since the travelling speed is
the most important parameter influencing the dynamic stresses in railway bridges, which in
general increase with increasing speed. In particular, it was shown how different spatial distributions of the load can deeply influence the dynamic response of the structure, highlighting the importance of properly
modelling the ballast. Future work will thus concern this significant problem. Acknowledgements
This study was developed within the INTERMECH laboratory with the contribution of the
Regione Emilia Romagna - Assessorato Attività Produttive, Sviluppo Economico, Piano
telematico, PRRIITT misura 3.4 azione A Obiettivo 2. REFERENCES [1] Fryba, L., 1999. Vibration of Solids and Structures under Moving Loads, 3rd edition, Telford. [2] Fryba, L., 1996. Dynamics of Railway bridges, Telford. [3] Lin, Y.H., 1994. ''Vibration analysis of Timoshenko beams traversed by moving loads'. Journal of Marine Science and Technology, 2 (4), pp. 25-35. [4] Stancioiu, D., Ouyang, H., Mottershead, J.E., 1999. ''Vibration of a continuous beam excited by a moving mass and experimental validation'. Journal of Physics, Conference series 181. [5] Adetunde, I.A., 2007. ''Dynamical Behavior of Euler-Bernoulli Beam Traversed by Uniform Partially Distributed Moving Masses'. Reasearch Journal of Applied Sciences 2 (4), pp. 476-
483. [6] Lin, Y.H., Cho, C.H., 1993. ''Vibration suppression of beam structures traversed by multiple moving loads using a damped absorber'. Journal of Marine Science and Technology, 1 (1), pp.
39-48. [7] Timoshenko, S., Young, D.H., Weaver, W., 1974. Vibration problems in engineering, 4th edition, Wiley. [8] Catania, G., Sorrentino, S., 2010. ''Dynamic analysis of railway bridges by means of the spectral method'. In Proceedings of Vibrations, Chocs & Bruits XVII, 2010 Lyon, France. 15 16 FULL-FIELD OPTICAL MEASUREMENTS
FOR ADVANCED STRUCTURAL DYNAMICS:
FIRST OUTCOMES
Alessandro Zanarini Department of Mechanical and Aeronautical Engineering, University of Bologna, Italy E-mail: a.zanarini@unibo.it Manfred Neumann Institute of Mechanics and Mechatronics, Vienna University of Technology, Austria E-mail: manfred.neumann@tuwien.ac.at Johann Wassermann Institute of Mechanics and Mechatronics, Vienna University of Technology, Austria E-mail: johann.wassermann@tuwien.ac.at Abstract. A growing activity of the first author on full-field vibration measurements and promising analyses on dynamic characterisation of components, on dynamic strain & stresses and on cumulative damage maps has drawn the attention of a foreign institution such as Vienna University of Technology up to offer full access to its Schwingungs- und Strukturanalyse / Optical Vibration Measurement Laboratory, equipped with state-of-the-art instruments implementing different & complementary approaches, in order to give the researcher the unique opportunity to extend the stream of researches in the strategic field of image-based measurement technologies. The early activity carried on in the frame of the settled Full-Field Optical Measurements for Advanced Structural Dynamics project is discussed in detail, showing the first achievements. Keywords: full-field optical measurements, SLDV, ESPI, DIC, vibration 1. INTRODUCTION The structural dynamics community has seen the advent of optical full-field techniques since the time of silver halide holography that, with pulsed or stroboscopic laser light, permitted the acquisition of complex displacement patterns in dynamic events. Holography required the development of chemical paper or recording compound, meaning that a whole dynamic analysis in a wide frequency range was not competitive with growing piezoelectric transduc- ers like accelerometers [1]. But at the same time, it gave a valuable insight of the shapes of the surfaces in the spatial-frequency domain, then of basic importance in determining the 17 best location of lumped sensors in challenging experiments. Later the spectrum analysers allowed multi-channel acquisitions [2], extending the number of transducers up to hundreds and coming back to sense spatial patterns by means of grids of lumped sensors, even if quite invasive when dealing with light structures. When the Laser Doppler Vibrometer reached scanning functionality (SLDV), this grid of sensing locations became fine, non-invasive and fully compatible with all the sampling and analysis techniques developed up to that point, shortly becoming a benchmark in structural dynamics for its ability of acquiring quantita- tive vibration patterns in a wide frequency range. But the enhancements in electronics and integrated circuits that permitted these milestones in measurements techniques were also im- plemented in computers, fast memories and CCD sensors, a grid of light sensitive devices (photosites) that could sample synchronously the field of view of an optical lens. The sil- ver halide layer was then substituted by the new light recording media, of inferior quality, but ready digital and with a fast processing. The Electronic Speckle Pattern Interferometry (ESPI), also known as Digital Holography [3], moved its first steps allowing displacement patterns also of moving objects, when frozen between two instants of their motion by means of a pulsed or stroboscopic laser light, even if the first CCD did not allow high speed record- ings, because with that lighting system any motion appeared as static de'ection to the camera reference. Then it was the time of stereoscopic full-field techniques, working on correlated digital images coming from two cameras pointing to the same field of view in white light, leading to a three-dimensional sensing of the surface, but also of its behaviour in successive acquisitions. While Digital Image Correlation (DIC) started to be applied on static defor- mation problems, it is full compatible with time histories of dynamic events, just limited by the performances of the electronics and calculation time in reconstructing the displacement fields. In this way, DIC can be seen as a spatially consistent and really simultaneous grid of sensors acquiring time-dependant signals. Image-based inquiries are then gaining interest in the structural dynamics community with their growing potentialities coming from the recent advancements of camera and com- puting electronics. Cameras that are more sensible to light and allow greater recording speeds and buffers are more and more progressively hitting the market, raising expectations on the developments that may come in sensing dynamic motions of surfaces. Nevertheless, the equipment that applies optical techniques to mechanical measurements still lacks a consoli- date background of practice & analysis procedures and comparative studies, especially in the area of dynamic measurements such as those for vibration patterns. Today the state-of-the- art of full-field technology can deliver displacement maps at relevant frequencies for dynamic ESPI or in time-histories at low-medium frame rates for Hi-Speed DIC, while SLDV reaches the target of addressing FRFs quantities with high spatial resolution. But from the high con- sistency of full-field displacement patterns can come relevant quantities like dynamic strain & stress maps, together with refined eigenvectors, once extracted from the huge amount of the full-field datasets. Full-field techniques, in spite of their potentialities, do not find an adequate implementation in noise & vibration studies or in challenging designs. The project Full-Field Optical Measurements for Advanced Structural Dynamics aims at closing the gap between the theoretical potentialities of full-field instruments and the actual quantities they can measure, with particular attention towards NVH and structural dynamics requirements. This project has its strength in a comparative approach between SLDV, ESPI and DIC. After having introduced the path that has brought to this challenge, the activity done at TU-Wien will be described with details and commented for the future developments. 18 Figure 1: Acquisition examples of complex-valued operative de'ection shapes of a vibrating brake disk at 16120Hz and of a plate at 948Hz 2. PREMISES Past research activities on full-field measurements
Due to lack of funds in supporting his research at Bologna University during 2004, Dr. Za- narini was forced to search for other research opportunities abroad. There came to his atten- tion the vacant post doctoral position in the European Commission - Marie Curie Industry Host Fellowship Speckle Interferometry for Industrial Needs project, held at Dantec Ette- meyer GmbH, Ulm (Germany), aiming at enhancing the vibration measurements in a full- field domain, by means of ESPI technologies. The past experiences on spatial sampling errors in structural testing during his European Doctorate on Sound and Vibration Studies at Katholieke Universiteit Leuven, Belgium, gave Dr. Zanarini the challenge that his work in the framework of the Speckle Interferometry for Industrial Needs project, by means of extensive measurements and analysis software, would bring to promising issues. After suc- cessfully obtaining the fellowship, from April 2004 to July 2005 there was the possibility for Dr. Zanarini to broaden his skills and competences on full-field technologies, like pulsed and stroboscopic ESPI and Shearography, and on analysis software, which joined the traditional NVH approaches with the high accuracy in spatial domain of the full-field measurements; these vibration measurements were focused on a damaged composite panel [ 4] and on a brake disk dynamic characterisation [5]. After the Marie Curie fellowship period, once returned to Bologna University, Dr. Za- narini developed the analyses of the acquired full-field vibration measurements, spreading the results thereof on complex-valued displacement fields in frequency domain as shown in Fig.(1), full-field frequency response functions and structural dynamics [ 6, 7], surface dy- namic strain & stress, cumulative damage maps and fatigue life assessment [8, 9, 10] as in Fig.(2). The invitation by TU-Wien and the project
In September 2008 Prof. Wassermann, from the Institute of Mechanics and Mechatronics, Machine Dynamics and Measurement Technologies, Vienna University of Technology, Aus- 19 Figure 2: Evaluated quantities on the vibrating plate: first principal dynamic strain map at 948Hz, Von Mises equivalent dynamic stress map at 948Hz, cumulative damage distribution for white noise excitation spectrum [9] tria, invited Dr. Zanarini to spend a research period abroad at the optical measurement lab- oratory of TU-Wien, thanks to the promising results shown in the presentation ESPI mea- surements in structural dynamics: fatigue life assessment [10]. The invitation consisted in offering full access to the well-equipped full-field vibration measurement lab in order to let Dr. Zanarini freely widen his research streams and analysis approaches. In December 2008 Dr. Zanarini obtained financial support from DIEM, Mechanical En- gineering Dept., University of Bologna - Marco Polo Program, for the first four months of the living expenses abroad, which enabled him to start the project in partnership with TU-Wien. On January 2009 Dr. Zanarini started the period as visiting professor (Gastprofessor) at TU-Wien on the project Full-Field Optical Measurements for Advanced Structural Dynamics, with the following research topics: ' comparison of different full-field technologies; ' complex valued full-field measurements, modal superposition, role of damping; ' dynamic strains and stresses, fatigue tests and predictions by means of stress and strain based approaches; ' damage detection by means of displacement field processing; ' full-field FRF for dynamic analysis, NVH and EMA; ' full-field model updating, vibro-acoustic modelling; ' feasibility studies on Experimental CMS and Full-Field Modal Analysis. 3. THE LABORATORY AT TU-WIEN Vienna University of Technology hosts a well-equipped laboratory for optical vibration mea- surements, with instrumentations at the state-of-the-art. The peculiarity of this lab resides not only in the measurement equipment, later reported, but also in the infrastructure itself. The measurement environment is located in a dedicated room with seismic 'oor to filter out the 20 Figure 3: The optical vibration measurement laboratory at TU-Wien building and ground in'uences, as shown in Fig.(3); plus, the set-up can be arranged on an air-spring anti-vibration optical table, to assure an inertial reference. Moreover, even if the laboratory is placed in the basement of the TU-Wien building, it is reachable in few seconds from the offices, which is a relevant matter in long and continuous measurement campaigns, meaning that facilities'' layout is of uttermost importance in competitive research. Mechani- cal and electronic workshops with competent technicians are at total disposal to complete the services offered to the researchers, and they both contributed to the success of the project, because machined parts were needed for the set-up and auxiliary electronics was made for the triggering of the acquisition systems. Traditional tools for vibration & modal analysis can be found at TU-Wien, like acqui- sition systems (an LMS-Scadas Mobile SCM05 16 channels acquisition unit was used, with its dedicated LMS Test.Lab software suite), power amplifiers, function generators, shakers, hammers, impedance heads, software, etc.. All these traditional tools were exploited at their best to set-up the experiments and to tune them for the best results. The optical vibration measurement equipment available at TU-Wien consisted in: ' 1D Scanner Laser Doppler Vibrometer (SLDV), Polytec PSV 300, with 1D (out-of- plane) scanning head OFV-056; ' 3D Electronic Speckle Pattern Interferometry (ESPI), Dantec Ettemeyer Q-500 Vi- broESPI with quantitative amplitude & phase analysis, high resolution camera sensor (1380 x 1035 pixels) and stroboscopic laser light system (5Watt cw - 532nm); ' 3D Hi-Speed Digital Image Correlation (DIC), Dantecdynamics Q-450 and hi-speed 21 Figure 4: A time-step sequence of membrane vibrations, animated by the prepared software cameras (Nanosense Mk III, 4 GB of memory - 1040 fps at 1280 x 1024 pixels maximal resolution) with hi-power & hi-frequency white light system. All these facilities made it possible to set-up a unique comparison of the 3 different optical technologies in full-field vibration measurements, and to design experiments that can support further research in modal analysis. 4. THE ACTIVITY AT TU-WIEN Learning new full-field measurement technologies
The past activity of Dr. Zanarini had provided relevant skills in dealing with the ESPI sys- tems, especially in stroboscopic light, for the sine stepped dynamic measurements. The set-up at TU-Wien was a chance to extend the measurements database with even more accurate mea- surements, by means of reduced frequency gap between acquisitions and more samples for the complex-valued representation. Extensive practice was made on the set-up to tune the restrains for the low frequency rigid body motions and the excitation source, in order to let ESPI system acquire data of enhanced quality with regards to those of the past. On SLDV and DIC technologies Dr. Zanarini had no previous experience, they being on the contrary new measurements technologies for him, and required extended & time- consuming practice to gain the necessary competence to proficiently exercise them to their best and to find the conditions under which to make the best compromise to run comparative tests between the different technologies possible. From a theoretical point of view, activity was spent to understand the principles and limits of each approach, and the needed acquisition parameter optimisation. From a lab-based point of view, in particular, relevant attention was put on the requirements of the DIC approach, in the terms of the random pattern to be applied by a spray paint coating on the object under test and of the calibration of the stereo camera system, to calculate all the intrinsic and extrinsic parameters of the lenses and perspective & point of view. The paint coating gave a rougher surface, which was perfect for ESPI by means of scattering light and speckles uniformly, and a compromise solution for SLDV, which in some location showed a lightly weaker signal quality, compared to the excellent signal acquired in most of the other parts of the surface. Relevant work was also done for 22 Figure 5: The common experimental set-up for vibration measurements by means of optical equipment the acquisition of random events, by means of automatically triggering signals from the set- up. On SLDV, different trials were made to understand the limits on the spatial accuracy as compromise with measurement time and repeatability of the dynamic behaviour of the sample, when this is sensible to the thermal conditions of the environment. In fact, along the day non-uniform thermal heating affected the room and this was probably the cause of unexpected results on SLDV. For the forecast future analysis, attention was paid to the possibility to read and elaborate the experimental results, by means of acquiring the knowledge in order to interface oneself with the dedicated software of the instruments and their proprietary file formats. Software was thus developed for data reading & representation, as can be seen in Fig.( 4) where a se- quence of hi-speed DIC displacement patterns is reported from the graphical interface devel- oped. This was the early version of the tools that will be developed for further enhancements in this stream of researches. Preparing a common experimental set-up
In a growing field, such as that of full-field optical measurement technologies, comparative studies become of uttermost importance in assessing the achieved quality and the consistency with previous approaches. Full-field optical instruments still need to demonstrate their poten- tialities and benchmarks are missing in dynamic measurements. It was quite a unique chance to have in the group of the available instruments at TU-Wien the SLDV, acknowledged as a reliable approach in structural dynamics [11] to spatially refine the vibration measurements of optically accessible surfaces. It was thus decided to set-up the experiments with the SLDV as common reference. Since the range of measurements can vary from one technology to the other, a linearity check was successfully performed on the test set-up that was prepared as common basis for the comparative studies. In fact, ESPI is the most sensitive of the three technologies, but limited in displacement range, and required minimal power in the input, while DIC is less sensitive and generally requires bigger displacements and hi-power in the input source; SLDV works in an intermediate range of displacements and input power. Another requirement for the set-up was that of showing a high modal density and close- ness of the eigenmodes in a frequency range common to all three optical techniques, to stress 23 the multi-input-many-output opportunity for extended analysis approaches [ 12,11] and to in- vestigate the independence of the vibration patterns from the specific excitation point. The conceived experiments can also be of relevant aid for further developments towards full-field modal analysis, extensive considerations on FRFs, dynamic strain-stress tensor modelling, and cumulative damage & fatigue life assessment. For these reasons, a thin aluminium plate with the shape of a nearly perfect square was adopted. It was restrained by thin wires glued on the back at the four corners and fixed to pillars on the anti-vibration optical table, as shown in Fig.(5). The system of restrains had only to suppress the low-frequency rigid body motions and leave the plate in a quasi-free- free condition, to let appreciate the behaviour of the borders in dynamic motion. Two shakers were attached to the back of the plate and driven by the acquisition systems. The tuning of the common experimental set-up was critical, especially in finding the right tension for the restraining wires, which were excited by so discrepant motions, from the sub-micron range while driving ESPI measurements to the sub-millimetre range in DIC. In spite of difficulties, the right adjustment was reached, to assure the wanted linear behaviour and avoid undesirable disturbing vibrations of the wires. The acquired data can be eventually compared also with those from ESPI measurements collected in 2005 [6]. All three measurement systems were placed in front of the plate, with acquisition di- rection orthogonal to the 'at surface and the centre of the plate as reference point for the alignment. The field of view was maximized in each system to retain the maximal spatial res- olution available, according to the dynamic requirements. Due to these latter, the DIC pixel resolution was reduced to let the hi-speed cameras run at higher frame-per-second rates. 5. FIRST OUTCOMES During this early part of the project Full-Field Optical Measurements for Advanced Struc- tural Dynamics, an intensive lab-based activity was carried out to extend the skills on full- field vibration measurements, regarding refined dynamic ESPI data acquisition, SLDV and Hi-Speed DIC new competences. The chance to have at TU-Wien different and complemen- tary technologies, like ESPI and SLDV in frequency/space- and hi-speed DIC in time/space- domains, gave the unique possibility to further develop sensing-approach-independent ideas on full-field measurements, disregarding the used technique. Consequently, the early version of new numerical tools was written for a deep data analysis, awaited in the near future. But in order to prepare the measurements for the next challenges, it was necessary to conceive and manage innovative & complex experiments, with a relevant work in the lab and on the computing facilities of TU-Wien, mixing the knowledge in experimental analy- sis [12,11] with the practice on the available optical techniques, pushed to their performance limits in terms of accuracy and repeatability of results. The conceived common set-up shown in Fig.(5) permitted the full-field vibration measurements, in a multi-input-many-output gen- eral scheme. The acquisitions were assured on the linearly behaving plate, in the same over- lapping frequency range of 20-1000Hz for all three techniques, with high frequency resolu- tion, below 1Hz where possible. ESPI lower frequency limit is set to 20Hz in the acquisition system electronics; the hi-speed cameras used for DIC could not go over 2000 fps, which was the sampling frequency in this image-based case. Further, for ESPI and SLDV the multi- input-many-output comparison was extended to higher frequencies up to 3kHz. At testing time the spatial resolution on the plate side was not made uniform for the three technologies, growing from SLDV (up to 60 dofs) to DIC (about 120 dofs) to ESPI (about 500 dofs). 24 a) measurements at: 214Hz, 323Hz, 437Hz, 633Hz b) measurements at: 708Hz, 1276Hz, 1425Hz, 1698Hz c) measurements at: 1852Hz, 1948Hz, 2228Hz, 2433Hz d) measurements at: 2663Hz, 2794Hz, 2841Hz, 2900Hz e) measurements at: 3056Hz, 3112Hz Figure 6: SLDV mobility measurements from input 1 25 a) measurements from input 1: 2615Hz, 2700Hz, 2900Hz, 3000Hz b) measurements from input 2: 2615Hz, 2700Hz, 2900Hz, 3000Hz Figure 7: ESPI displacement measurements from two different inputs SLDV gives the wanted measurements like well-known accelerometers, except that it measures surface velocity instead of acceleration, having the same requirements of time- per-location as a single lumped sensor, with regards to the desired frequency accuracy, thus requiring a lot of time in scanning the surface with high resolution (as quoted above, up to over 3000 scanned locations). Some mobility amplitude maps are shown in Fig.( 6) for SLDV at some frequency lines, with relatively low spatial accuracy. SLDV is not a native full-field technology, which acquires instead all the data together from each location: then it requires that the object under test behaves in steady-state conditions. But, since a full acquisition with high spatial resolution lasted also a few days, the cited room heating problems were faced in the tests, meaning that the non-synchronousmeasurements showed unexpected inconsistency on the spatial domain, like lost phase correlation or time delay occurred at specific time-steps, leading to mistaken bands / behaviours on the measurements, which needed to be rescanned. Other causes could be overheating and clock errors in the electronics of the whole system, due to the continuous work, but it was not possible to find a rapid solution. Each frequency step in ESPI measurements needed about 2 minutes to acquire and eval- uate the complex-valued displacement maps; this was repeated for all the frequency lines of interest. To assure the best quality of the resolvable fringe systems, with such a sensitive sys- tem as ESPI that works in the sub-micron range, a very low input force was calibrated & opti- mised at each narrow frequency interval of interest, in order to obtain the best signal-to-noise ratio and avoid unreadable areas in the fringe maps, coming from exceeding displacements where the fringes are no more clear and distinguishable in the interference patterns. Some de'ection shapes can be seen in Fig.(7), showing the high quality displacement amplitude fields induced by the two different input locations, which deserve further investigations. The acquisition of dynamic signals was very fast by DIC, like acquiring one measurement 26 Figure 8: DIC displacement measurements from input 1 at sequential frames in time domain, part I 27 Figure 9: DIC displacement measurements from input 1 at sequential frames in time domain, part II from a single lumped sensor such as a common accelerometer, but the off-line work was quite heavy: half an hour was required to download the DIC time series from the cameras, about 3 days to evaluate the corresponding displacement fields in the time domain. Strong power was needed by the shakers, due to the weaker sensibility to displacement of the DIC technology, compared to ESPI and SLDV. In fact, at TU-Wien DIC was intended for much larger displacements in the range of millimetres, but proved in this project to be able, once precisely calibrated, to sense quite small vibrations also in the sub-millimetre range. The quality obtained from the measurements is promising for next elaborations. In Fig.( 8,9) are shown in row order some full-field de'ection shapes from DIC at different & increasing time steps, with the time-dependent modal superposition result of the lower eigenmodes in evidence, highlighting the continuous mixing of the modal base vectors to generate complex displacement patterns with promising spatial consistency. The structural dynamics retained in the measurements seems again to play a relevant role in determining the complex shaped distribution of 'exural motion inside the surface area and re'ect that high modal density searched for at the time of the design of the experiment. All the measurement systems available worked in a single-input-many-output scheme, since it was not possible to drive the two shakers together and evaluate the transfer func- tions from a unique multi-input-many-output test, even if the LMS Test.Lab software suite & Scadas front-end could have generated the right inputs to both shakers. Thus, to overcome this limitation and have a real multi-input-many-output dataset, separate tests were run for each shaker input. There resulted a wide experimental dataset useful to investigate the in'uence of acquisi- tion parameters on the three different techniques and on the measurable quantities, based on 28 the comparison of different optical technologies on the same inquiry domain, also with the chance to draw statistical considerations. A broad band frequency analysis of the dynamic behaviour of the thin plate with full-field measurements and high spatial resolution will shortly come by means of receptance maps, to assess the potentialities of these spatially accurate measurements in extending the modelling consistency with real complex test rigs. The receptance maps permit the experimental mod- elling of the component as subjected to a unitary amplitude input force in a wide frequency domain. From high quality receptance maps can come the evaluation of the dynamic strain & stress tensor models and fatigue life estimations: these results will prove the advantages of having such complex instrumentation as that needed for full-field dynamic measurements. An increased experience about algorithms for full-field vibration analysis also followed, which can address the full-field datasets as sensing-system independent and further investi- gate the physics of the underneath mechanical system with more reliability. The technical exchange with Dantecdynamics GmbH, to refine their software in process- ing wide DIC datasets, extended the contacts with potential partners in applications of this stream of research. 6. TEACHING ABROAD The researches held at TU-Wien also gave the opportunity to attract Master and Doctorate stu- dents to the topics that stay behind the project Full-field optical measurements for advanced structural dynamics. Two optional courses in English were offered to determined classes of 5-7 students, also from other institutes and disciplines, and coordinated with the Institute of Mechanics and Mechatronics: the first about the traditional structural dynamics advanced approaches, like Component Mode Synthesis, the direct/indirect characterisation by means of the impedance coupling method (FRF-based Substructuring & Transfer Path Analysis), named Complementary approaches in structural dynamics and experimental modelling; the second about system identification techniques and traditional modal analysis approaches & algorithms, extended to vibro-acoustic domain, named Advanced techniques in applied modal analysis and vibro-acoustic modelling. They were a good chance to share with the audience the many aspects to be known in the theoretical background of the current researches, in or- der to be able to understand the decisions that brought to the specific set-up. The courses permitted also the transfer of knowledge towards the personnel of the division of Machine Dynamics and Measurement Techniques of the Institute of Mechanics and Mechatronics at TU-Wien. Future cooperative educational projects may come from this previous teaching activity, in the areas of Master and Doctorate studies, but also as seminar-based actions, with the aim of spreading the interest in advanced full-field experimental techniques in structural dynamics and advanced design procedures: students in the course on modal analysis techniques showed interest in cooperative education. There might come projects like Erasmus ones, between the institutions of this paper''s authors, or even with more partners involved. This teaching activity can be the occasion to tight together not only academia, but also industrial partners, in order to strengthen the full-field techniques community and let it have more chances to gain the attention and funds of the European Commission - Framework Programs. In this contest, the project Towards Experimental Full-Field Modal Analysis (acronym TEFFMA) has been submitted to obtain FP7-People-Marie Curie Action-Intra-European Fellowship funds. 29 7. CONCLUSIONS The invitation that started this relevant interdisciplinary joined research project is an impor- tant acknowledgementfrom a foreign institution for the researches carried out by Dr. Zanarini in his past career. But most of all, it offered the chance to broaden the inquiries on this basic research stream towards new challenging targets that only an extensive, broad, unique and promising experimental enquiry in a growing area can assure. The teaching opportunities on the research topics constitute thereby other ingredients in the fruitful spread of these advanced design and analysis themes. With respect to the past achievements [7], the project Full-Field Optical Measurements for Advanced Structural Dynamics has determined a consistent refinement of experimental and analysis techniques, some already faced (like dynamic ESPI and traditional vibration measurements), others of new practice (like SLDV and Hi-Speed DIC). Moreover, an inten- sive study of the algorithms of data & modal analysis was performed, with the aim of making a better experimental set-up, ready for further developments in the analysis stage. Promising qualitative comparison between different full-field technologies & complementary domains will be performed in the next stage of the project. While the first comparisons will be made on full-field FRF measurements, the conducted experiments will be of great value also in other advanced design procedures and in proposing refinements of well-established technologies and numerical approaches, also in suggesting the establishment of new quantities like dy- namic strain&stress tensor models and spectral full-field cumulative damage schemes. As further developments of this activity, quantitative comparisons of the acquired data fields are planned in the near future. The assessment of the potentialities of the different technologies for the traditional studies like NVH approaches, Full-Field FRFs, broad band vibration characterisation and complex design challenges is felt as of uttermost importance in increasing the interest towards these full-field technologies by structural analysts. During this work of quantitative comparison, advancements in the processing algorithms and approaches will be sought, together with international research opportunities (e.g. EC-FP7) and cooper- ative actions to spread these technological results in the structural dynamics community. Acknowledgements
Vienna University of Technology, in the person of Prof. Wassermann and his staff, are greatly acknowledged for the opportunity given to Dr. Zanarini to have full access to the Schwingungs- und Strukturanalyse / Optical Vibration Measurement Laboratory, during the basic research project Full-Field Optical Measurements for Advanced Structural Dynamics and teaching courses held in Vienna in 2009. Bologna University and its Mechanical En- gineering Department are acknowledged for the financial support of the early stage of this research abroad. Dantecdynamics GmbH (Ulm, Germany) is also acknowledged for the pre- cious technical support given. This work is intended to be part of the spreading of the results thereof. REFERENCES [1] Walter, P. L., 2007. The history of the accelerometer 1920s-1996 prologue and epilogue, 2006. Tech. rep., Sound and Vibration Magazine, www.SandV.com, January. 40th anniversary issue. [2] Deery, J., 2007. The real history of real-time spectrum analyzers a 50-year trip down memory lane. Tech. rep., Sound and Vibration Magazine, www.SandV.com, January. 40th anniversary issue. 30 [3] ´ A . F. Doval, 2000. ''A systematic approach to tv holography'. Measurement Science and Tech- nology, 11(1), pp. R1''R36. IOP Pub Ltd. [4] Zanarini, A., 2005. ''Damage location assessment in a composite panel by means of electronic speckle pattern interferometry measurements'. In Proceedings of the IDETC/CIE ASME Interna- tional Design Engineering Technical Conferences & Computers and Information in Engineering Conference, Long Beach, California, USA, September 24-28, ASME, pp. 1''8. Paper DETC2005- 84631. [5] Zanarini, A., 2005. ''Dynamic behaviour carachterization of a brake disc by means of electronic speckle pattern interferometry measurements'. In Proceedings of the IDETC/CIE ASME Interna- tional Design Engineering Technical Conferences & Computers and Information in Engineering Conference, Long Beach, California, USA, September 24-28, ASME, pp. 1''8. Paper DETC2005- 84630. [6] Zanarini, A., 2007. ''Full field espi measurements on a plate: challenging experimental modal analysis'. In Proceedings of the XXV IMAC, Orlando (FL) USA, Feb 19-22,, SEM. Paper s34p04. [7] Zanarini, 2009. ''Full-field espi techniques in structural dynamics'. In Atti del convegno Seconda giornata di studio Ettore Funaioli,18 luglio 2008, Bologna, Italy, Maggiore, Meneghetti, and Par- enti Castelli, eds., Quaderni di ricerca del DIEM, AMS Acta - Alm@DL Universit´a di Bologna, pp. 31''56. See also URL http://amsacta.cib.unibo.it/archive/00002552/. [8] Zanarini, A., 2008. ''Fatigue life assessment by means of full field espi vibration measurements'. In Proceedings of the ISMA2008 Conference, September 15-17, Leuven (Belgium), P. Sas, ed., KUL, pp. 1''15. Paper 326. [9] Zanarini, A., 2008. ''Full field espi vibration measurements to predict fatigue behaviour'. In Pro- ceedings of the IMECE2008 ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposi- tion, October 31- November 6, Boston (MA) USA, ASME, pp. 1''10. Paper imece2008-68727. [10] Zanarini, A., 2008. ''Espi measurements in structural dynamics: fatigue life assessment'. In Proceedings of the Dantec Dynamics 15th International Conference and User Meeting, Dantecdy- namics GmbH, pp. 1''20. [11] Ewins, D. J., 2000. Modal Testing - theory, practice and application, 2nd ed. Research Studies Press Ltd., Baldock, Hertfordshire, England. ISBN 978-0-86380-218-8. [12] Heylen, W., Lammens, S., and Sas, P., 1998. Modal Analysis Theory and Testing. Katholieke Universiteit Leuven, Leuven (Belgium). ISBN 90-73802-61-X. 31 32 ANALYSIS OF THE EVOLUTION OF THE PRESSURE
FORCES IN VARIABLE DISPLACEMENT VANE PUMPS
USING DIFFERENT APPROACHES
Marco Caval ari Engineering Department in Ferrara (EnDIF), University of Ferrara, Italy E-mail: marco.caval ari@unife.it Alessio Montanari Engineering Department in Ferrara (EnDIF), University of Ferrara, Italy E-mail: alessio.montanari@student.unife.it Emiliano Mucchi Engineering Department in Ferrara (EnDIF), University of Ferrara, Italy E-mail: emiliano.mucchi@unife.it Giorgio Dalpiaz Engineering Department in Ferrara (EnDIF), University of Ferrara, Italy E-mail: giorgio.dalpiaz@unife.it Abstract. Two models for the estimation of the pressure evolution in high pressure variable displacement vane pumps are proposed: a lumped parameter model and an empirical model. The former has ful physical meaning and al ows to simulate the behavior of a wide pump range, the lat er, based on experimental measurements, can be applied only to a single family of pumps. Both the models can simulate the pressure evolution around the rotor in working conditions and the variable forces acting on the pump body as wel . These results are important for the structural design of the pump. Moreover, these models are the first element of a combined model aimed at the dynamic simulation of this type of pump, as a tol for vibro''acoustical optimization. Keywords: lumped parameter model, vane pump, pressure evolution, variable forces, noise and vibration 1. INTRODUCTION This paper deals with high pressure variable displacement vane pumps and presents a work carried out by the Dept. of Engineering of the University of Ferrara, in co-operation with 33 BERARMA s.r.l. (Casalecchio di Reno, Bologna, Italy). This kind of volumetric pumps is widely used in machine tools and in hydraulic systems thanks to their control strategy. In fact the oil 'ow rate can be simply tuned accordingly to system and efficiency requirements. As a machine tool component, the pump being studied must provide low vibration and acoustic levels to ensure high working precision as wel as health and comfort of technicians. In this sight, an optimization process must be performed to reduce vibration levels and noise emissions. It is wel known that such a noise and vibration optimization can be a very expensive task, thus the use of models is suitable in order to simulate the dynamic behavior. In this context, this paper deals with different approaches for the simulation of pressure evolution and pressure forces in variable displacement vane pumps. In particular, two models are presented: firstly a Lumped Parameter model (LP model), able to give answers to complex design task, and secondly a simpler empirical model, able to give a fast solution for easier design problems. One of the problems a designer must solve in the frame of a noise and vibration opti- mization of such components is the reduction of pressure ripple, crucial y important because the pressure ripple generates variable forces and body vibrations. An at empt to minimize the ripple phenomena has been described by Hat ori et al. [1] and a prediction of the noise generated by a vane pump has been formulated in [2]. In a more general way, the proposed lumped parameter model uses an approach similar to [3''8], that are taken as a starting point for the development of this model. Another important step of the present work is the validation procedure based on the comparison with the pressure evolution measured in working conditions. A work dealing with this topic has been carried out by Bianchini et al. [9]. The goal of these models is the estimation of the variable forces acting on the pump casing. In this light a former work has been performed by Novi et al. [10] to study the wear phenomena inside the pump. As a mat er of fact, in this type of pumps the variable pressure forces are the main sources exciting casing vibration; these forces can be estimated through the presented models and the reduction of the amount and rate of force variation can general y involve a reduction of casing vibration and noise emissions. With respect to previous works in the field of pump modeling, here the estimation of the pressure evolution and the pressure forces is the first step in the perspective of developing a combined model for the simulation of casing vibrations as wel as noise propagation. In more detail, further work wil be needed in order to combine the pressure excitation forces and the structural frequency response functions of the pump casing. In this way the operational acceleration of the casing wil be obtained and used as input data for a noise propagation model. The organization of this paper is as fol ows. Section 2 presents the description of the variable displacement vane pump; in Section 3 the procedure for the experimental measure- ment of the pressure evolution is reported as wel as the experimental results. Section 4 deals with the lumped parameter model while Section 5 describes the empirical model; for both models the pressure evolution estimation is presented and discussed. Section 6 then reports the results of the force calculation for both models and final y Section 7 is dedicated to the concluding remarks. 34 Figure 1: Exploded view of pump PHV 05 with distribution ducts. 2. VARIABLE DISPLACEMENT VANE PUMP DESCRIPTION This work deals with high pressure vane pumps of the PHV series by BERARMA s.r.l. This kind of pumps can work in a pressure range from 20 to 250 bar. In particular TYPE 01 PHV 05, depicted in Fig. 1 and Fig. 2, and TYPE 01PHV 1 have been studied. The first has an actual displacement of 16 cm3, the former of 32 cm3, both take advantage of a double inlet/outlet port plate system in which each port is packed on the pressure ring by using a system based on hydrostatic compensation. The variable displacement vane pumps are a particular kind of rotating volumetric ma- chines widely used in hydraulic applications. In fact they al ow to regulate the lubricant 'ow rate, optimizing energy consumption. The variable displacement vane pump being studied is composed of a cast iron body, in which a one piece rotor shaft, a pressure ring and two port plates are located (see Fig. 1). The rotor presents radial grooves in which the vanes can slide. Hereafter, the volume delimited by two consecutive vanes, the pressure ring inner race, the rotor and the port plates is cal ed vane space, while the volume defined by the rotor groove, the bot om of a vane and the port plates is defined as hole. The port plates present the outlet and inlet ports, suitably designed to communicate both with the vane spaces and the holes. The pump can change its displacement in working conditions by varying the eccentricity between the rotor shaft and the pressure ring as it can be seen in Fig. 3. This operation is carried out by a control piston that moves the pressure ring, and by a bias piston that reports the pressure ring in the zero eccentricity condition when the desired pressure level is reached. The balancing screw depicted in Fig. 2 is used to compensate the resulting pressure force (see Section 6). This kind of pump can elaborate a ful 'ow rate (see Fig. 3a) til the desired pressure level is reached, or it can work in a 'zero 'ow condition' (see Fig. 3b), maintaining 35 Figure 2: Variable displacement vane pump PHV 05. (a) (b) Figure 3: The two extreme working conditions: ful 'ow (a) and zero 'ow (b) condition. a desired pressure and compensating hydraulic losses. The coordinate system of Fig. 1 wil be used to calculate the variable forces in Section 6 while the pressure evolution is referred to ' coordinate, taken as positive in anti''clockwise sense (see Figs. 2 and 7). 3. PRESSURE EVOLUTION MEASUREMENTS IN WORKING CONDITIONS Experimental tests on the pump have been carried out to validate the model results concerning pressure evolution and variable forces. The experimental rig (see Fig. 4) al ows to measure the pressure inside a vane space and inside a hole for a complete rotation of the shaft by two piezoelectric pressure transducers directly placed on the one piece rotor shaft. To do this, a suitably designed rotor shaft is used (see Fig. 5) where two meatus connect a vane space and a hole to the end of the shaft, where the transducers are placed. The pump cover must be modified as wel , to al ow the rotor shaft passage and final y, two measure chambers (one containing the lubricant at the vane space pressure and one at the hole pressure) are isolated by using O-ring gaskets. The pressure signals and the trigger are acquired and processed by LMS Scadas SC305 front end control ed by LMS Test.Lab software. The pressure sensor 36 Figure 4: Pump PHV 05 on the test bench. Figure 5: The modified rotor shaft used for the tests. being used is a piezoelectric transducer Kistler (model 6207), the proximity sensor used as trigger is a Bal uf BES 516324S4C. Al the results presented in this paper '' both experimental and simulation results '' concern operational pressure of 250 bar and rotational speed of 1500 rpm. With this set up the measure of the pressure inside a hole and a vane space can be ob- tained. The results are shown in Fig. 6, in which the pressure evolution is presented for a complete shaft rotation. More precisely, it deals with the pressure evolution in a vane space during the shaft rotation; the initial position of the pressure evolution corresponds to the position shown in Fig. 7 for vane space 1 and hole 12. The passage from the inlet to the out- let region can be immediately distinguished and the ripple phenomena for the high pressure region are captured as wel . 4. THE LUMPED-PARAMETER MODEL General description
Several researches have developed Lumped Parameter models (LP models) for vane pumps in order to obtain the pressure evolution around the rotor shaft. The lumped parameter approach used in this work is based on [11, 12]. These LP models are based on a Euler''s approach 37 ' [deg] p [b ar ] 0 50 100 150 200 250 300 350 0 50 100 150 200 250 Figure 6: Pressure evolution measured in a vane space (solid line) and in a hole (dash-dot line) for a complete shaft rotation (pump PHV 05). Ful 'ow condition. in which the pressure evolution during a rotation is studied by dividing the pump in several control volumes corresponding to vane spaces; nevertheless they were not able to capture the pressure ripple. Subsequent works can be found in the literature improving this first approach by increasing the number of control volumes to appreciate the pressure ripple in a vane space [5''8]. In these last models also the distribution ducts are treated as control volumes. The present work is based on the lat er approach but accounts also the pressure calculation in the holes. The pressure in this domain is very important in order to define the dynamical behavior of the rotor, but also to calculate the reaction forces between the vanes and the pressure ring. The first step in developing a lumped parameter model is the assumption of proper co- ordinate systems, as shown in Fig. 1 and Fig. 2. Then, the pump system must be divided in several control volumes. The present model is based on 26 control volumes: control volumes from V1 to V11 correspond to the vane spaces; control volumes from V12 to V22 correspond to holes, control volumes V23 and V25 correspond to the outlet ducts and control volumes V24 and V26 to the inlet ducts (see Figs. 1 and 7). In particular, control volume V23 (V24) is the outlet (inlet) control volume that directly communicates with the hydraulic system, while V25 (V26) is not directly linked with the plant, but through V23 (V24), as depicted in Fig. 1. It is now possible to apply the 'ow rate continuity equation to generic control volume i: each control volume is treated as an open thermodynamic system with mass transfer with its surroundings. The rate of change in 'uid pressure induced by the mass transfer and volume variation, being the 'uid characterized by its isothermal bulk modulus Boil, can be conve- niently expressed in terms of rotor shaft angular coordinate ', positive in the anti-clockwise (see Fig. 2) [3]: 38 Figure 7: Control volumes on the xy plane. dpi d' = Boil Vi'  ''Qi '' dVi d' '  (1) By using this relation, it is possible to determine the pressure variation inside control volume i caused by 'ow rate gain ''Qi and by the volume variation of dVi d' . In Eqn. (1), ' is the rotor angular speed, pi represents the pressure in control volume i, Vi is its volume and 'ow rate gain ''Qi is the balance between the 'ows coming in and out from control volume
i . Flow rates of different types are properly taken into account, depending on the considered control volume, as indicated below: laminar, drag, and turbulent 'ows (see Figs. 8a and 8b). The laminar 'ow rates (see Fig. 8b) take place in the vane 'ank meatus, from a vane space to the adjacent vane spaces (Qvf), from a vane space to the holes (Qvh), in the meatus between pressure ring and rotor (drainage 'ow rate Qvs) and in the meatus between the rotor and the port plates (drainage 'ow rate Qvd for the vane spaces, Qhd for the holes). Since the vane is supposed always in contact with the inner race of the pressure ring, the 'ow rate in correspondence of the vane head is not taken into account. Al these 'ow rates can be calculated as suggested by Eqn. (2), in which bi('), hi(') and li(') are respectively the meatus width, thickness and length, quantity µ represents the lubricant dynamic viscosity, pi is the pressure in the considered control volume and pj is the pressure in the control volume interested by the exchange: Qlam,i = bi(')hi(')3 12µli(') pj(') '' pi(')  (2) 39 (a) (b) Figure 8: Flow rates involved in the model: 'ows in z direction (a) and in the xy plane (b). The drag 'ow interests only the vane spaces and it is not dependent on the pressure field. It can be calculated as depicted in Eqn. (3), in which quantity hf,i represents the clearance between the vane 'ank and the distributor, Li(') is the distance between the rotor center and the pressure ring at angular coordinate ' and Li(' '' 'vp) represents the distance between the rotor center and the pressure ring at the coordinate ' '' 'vp, where 'vp is the at itude angle by a vane pitch (see Fig. 8b): Qdrag,i = hf,i ' 2 Li(') 2 '' Li(' '' 'vp)2 (3) The turbulent 'ow rates take place between the vane spaces and the distribution ducts (Qvt), between the holes and the distribution ducts (Qht) and between the ducts and the hydraulic system (Qinlet, Qoutlet) as shown in Figs. 1 and 8a. They can be calculated using Eqn. (4) in which k represents the 'ow coefficient, Ai(') is the exchange area from control volume i to control volume j, ρ is the lubricant density, pi is the pressure in the considered control volume and pj is the pressure in the control volume interested by the exchange: Qturb,i = kAi(') s 2|pj(') '' pi(')| ρ sign pj(') '' pi(')  (4) It is now clear that quantity ''Qi of Eqn. (1) depends on the pressure field so, applying Eqn. (1) to al the control volumes, a system of 26 differential equations (5) can be obtained and the unknown quantities, i.e. the pressure evolution in each control volume can be calcu- lated:                dp1(') d' = f1(p1, ..., p26) ... dp26(') d' = f26(p1, ..., p26) (5) where functions f1... f26 define the right side of continuity equation (1). 40 ' [deg] A 1 [m m 2 ] 0 50 100 150 200 250 300 350 0 5 10 15 20 25 30 35 Figure 9: Exchange area between the vane space corresponding to control volume 1 and the distribution ducts (pump PHV 05). Before integrating equation system (5), some auxiliary quantities must be calculated. For example, with reference to Eqn. (1), volume Vi and volume variation dVi d' must be calculated for each control volume. Looking at Eqn. (2), quantities bi('), hi('), li(') must be defined on the basis of the clearances inside the pump, as wel as quantity Li(') in Eqn. (3). Final y in Eqn. (4), exchange area Ai(') has to be ful y defined for the volumes of the vane spaces and of the holes. Al these preliminary calculation are solved by using subroutines in MATLAB. As an example the exchange area for a vane space as a function of the angular coordinate ' is depicted in Fig. 9. This quantity varies with angular coordinate ' but it is not in'uenced by the pressure ring eccentricity. Other quantities, such as volume Vi takes into account also such an in'uence by including the value of the eccentricity imposed by the control piston together with the eccentricity due to the rotor displacement in working conditions. To take into account the effect of the plant, the outlet 'ow rate Qoutlet (see Fig. 1) has been expressed as fol ows: Qoutlet = koutletAoutlet s 2|patm '' p23(')| ρ sign patm '' p23(')  (6) Equation (6) refers to the outlet duct control volume 23 which is the only outlet control volume that directly communicate with the hydraulic circuit. In Eqn. (6), quantity patm represents the constant atmospheric pressure and coefficient koutlet takes into account the plant losses and resistance. By using Eqn. (6) it is possible to estimate 'ow coefficient koutlet; in fact, assuming the experimental outlet 'ow rate Qexp as Qoutlet, the pressure in the outlet chamber as poutlet (constant value, equal to operational pressure). Coefficient koutlet is equal to 0.0058 in the ful 'ow condition and 4 · 10''9 in the zero 'ow condition, calculated as fol ows: 41 Table 1: Main parameters of pump PHV 05. Boil Lubricant bulk modulus 1.72 · 109 Pa µ Lubricant dynamic viscosity 0.014 Pa s ρ Lubricant density in std conditions 854 kg/m3 'vp Vane pitch 32.73 deg N Number of vanes 11 Ws Pressure ring width 20 mm rs Pressure ring inner radius 30 mm rr Rotor shaft radius 25 mm tvb Vane thickness at the base 2.2 mm tvh Vane thickness at the head 0.3 mm vm Vane mass 0.003 kg dw Inlet and outlet ducts width 3.5 mm koutlet = Qexp Aoutlet r ρ 2|patm '' poutlet| (7) Final y, once al the quantities underlined in the present section are preliminary calculated using as main input data the values contained in Tab. 1, it is possible to launch the integration iterative procedure for equation system (5). Since al the phenomena involved in the pump rotation are periodic with vane pitch 'vp, at constant operational speed the integration is done in the angular domain, from ' = 0 to ' = 'vp. An initial value of the pressure in the control volumes is required for each control vol- ume, then an iterative procedure can start by using as initial condition for the subsequent iteration the results of the previous iteration and after several cycles the solution for the pres- sure evolution is obtained. The integration procedure stops once the difference between the pressure forces calculated after two subsequent iterations is under a tolerance value a priori established. Then, the pressure evolution around the shaft is obtained by adding the pressure field of each control volume consecutively. Results and validation
Figures 10a and 10b depict the results in terms of pressure evolution for a complete shaft rotation in a vane space and in a hole respectively. Quantity p'' represents the normalized pressure (see Eqn. (8), poutlet is the constant operational pressure in the outlet chamber): p'' = p poutlet (8) Both the plots depict pump behavior in the ful 'ow rate condition.The pressure evolution are compared and validated with respect to measured data (see Fig. 6) by using Percentage of Good points index (PGP) [13]. Such an index assumes higher values when the curves tend to coincide. In practice, a tolerance range δ has to be defined a priori (in this case δ is equal to
3% ). Consequently, when a good resemblance between the measured data and the simulated one is obtained, a large part of the points of the lat er wil lie inside the tolerance area and the PGP wil assume values tending to 100%. The PGP for the pressure evolution in a vane space and in a hole are 71% for both the ful 'ow and zero 'ow condition. 42 ' [deg] p '' 0 50 100 150 200 250 300 350 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (a) ' [deg] p '' 0 50 100 150 200 250 300 350 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (b) Figure 10: Normalized pressure evolution for a complete shaft rotation in a vane space (a) and in a hole (b) referred to pump PHV 05: experimental (dash-dot line) and LP model results (solid line). Ful 'ow condition. 43 The simulated pressure shows a good concordance with the measured pressure and the PGP index gives evidence to this fact. Figs. 10a and 10b show that the simulated pressure evo- lutions capture the ripple phenomena. However a few mismatches between the experimental quantities and the simulated ones can be noticed, as the ripple shape, the peak amplitude in a vane space at the beginning of the high pressure zone and the instant when the pressure increases and decreases. 5. THE EMPIRICAL MODEL General description
The empirical model has been developed in order to predict the pressure evolution inside the pump by using an approach focused on industrial applications. In fact this model is fast to develop and easy to use. It is based on data obtained with the experimental measurements described in section 3 and for this reason its application should be limited to pumps belonging to families similar to those used during the test campaign. The experimental pressure evolution analysis performed on measured data from 50 up to 250 bar shows that the pressure trend strongly depends on geometrical parameters (displace- ment, port plate design) and operational parameters (shaft velocity and working pressure). In more detail, pressure evolution curve p(') can be subdivided into four regions (see Fig. 11): ' A region characterized by the inlet (atmospheric) pressure: before A and after D; ' A region where the pressure increases from the inlet to the outlet pressure: from A to
B ; ' A region at about the outlet pressure: from B to C; ' A region where the pressure decreases from the outlet to inlet pressure: from C to D. For the PHV series, several experimental pressure evolutions were analysed, obtained at different values of outlet pressure, shaft velocity, displacement, number of vanes and port plate geometry, both at the zero 'ow and ful 'ow condition. By using al these experimental plots as a data-base, the trend of the above-mentioned regions has been correlated to the operational and geometrical pump parameters, enabling to synthesize the analytical equation of each region of the pressure evolution curve. The first region (before A and after D) of the synthesized pressure curve has been always imposed to be equal to the atmospheric pressure, as in the measured curves. The second region consists in a transition from the inlet to the outlet pressure, starting and ending in defined angular coordinates that mainly depend on the port plate design. The peak at the end of this transition (''ppeak, see Fig. 11) is strongly in'uenced by the outlet pressure and the operational condition: the peak assumes larger amplitude in the ful 'ow condition than in the zero 'ow condition. Furthermore, the higher the displacement is, the largest the peak amplitude becomes. Therefore, this region has been synthesized with a cubic transition from the inlet to the outlet pressure, where the starting and ending positions ('1 and '1 +''' respectively) are governed by the port plate design and the peak amplitude is in'uenced by the operational condition, outlet pressure and displacement, as in the experimental data. The fourth region has been synthesized at the same manner as the second region, since they depend on the same pump parameters. 44 Figure 11: Empirical model: pressure evolution parameters. In the experimental pressure evolution plot, the third region presents the genuine ripple phenomenon around the outlet pressure. The amplitude of the ripple (''pripple) has been correlated to the operational condition, displacement and outlet pressure. With the aim of detecting the periodicity of this ripple (Tripple), an order analysis has been performed in the third region leading to the spectrum of Fig. 12, where the first order corresponds to the frequency equal to the shaft rotational frequency (the mean component has been neglected). As expected, the main order components occur in correspondence of the 11th, 22th and 33th harmonics, since the pump being studied has 11 vanes. Taking advantage of this analysis, this third region has been synthesized as a Fourier series, considering only such three high amplitude order harmonics (vane harmonics): p (t) = poutlet + 3 X k=1 akcos kN 't + 'k  (9) where the amplitude and phase of each term of the Fourier series (ak, 'k) have been corre- lated to a few pump parameters (operational condition, displacement, outlet pressure) while the periodicity depends on the vane number (N) and on the rotor angular speed ('). In this sight, the pressure evolution for a complete shaft rotation can be analytical y synthesized as a function of the main pump operational and geometrical parameters. As a summery, Tab. 2 col ects in the first column the parameters used for the pressure evolution synthesis and in the second column the relative physical pump parameters. Once the algorithm for the estimation of the pressure evolution has been developed, it can be used for the estimation of the pressure evolution of new prototypes of pumps with different displacements, belonging to families similar to those used during the test campaign. Results and prediction
The model results have been compared with the experimental tests results by using PGP index (see Section 4). A good concordance between predictions and the measured data is shown. In Figs. 13 and 14 the results for PHV 05 pump with an actual displacement of 16 cm3 and PHV 1 with an actual displacement of 32 cm3 are shown. In Tab. 3 the results 45 Orders Pr es su re am pl itu de [b ar ] 0 11 22 33 100 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Figure 12: Experimental pressure ripple spectrum (pump PHV 05, vane space, ful 'ow condition) computed from the pressure evolution of Fig. 6 in the range from 50 deg to 180 deg. Table 2: Pressure evolution parameters and correlations to pump parameters. Pressure evolution parameters Pump parameters ''' , '1, '2 Port plate geometry ''ppeak Operational condition and pressure, displacement ''pripple Operational condition and pressure, displacement Tripple Number of vanes for PGP index are listed: the models offers good results both in ful 'ow and in zero 'ow condition. Since the model gave good results for the pumps whose experimental measurements have been used as 'data-base', it has been used for the prediction of the pressure evolution of pump Type 01 PHV3. Such a pump belongs to a family similar to those used during the test campaign. The estimation depicted in Fig. 15 shows how the increment in displacement mainly affects the amplitude of ''ppeak, dramatical y increased with respect to the peak of the smal er pumps. Final y, the experimental evidence and model results show how the geometry, with reference to the port plate ducts, has a great in'uence on the pressure distribution, in particular on the transition regions (see '1 and '2 in Fig. 11). Going further, a proper design of the carvings at the beginning and at the end of the ducts can limit strong pressure variation in the transition regions, especial y at high working pressure. For the sake of completeness, the comparison of results obtained in the tests, by the LP model and by the empirical model at zero 'ow condition for a vane space and for a hole of
P HV 05 pump is reported in Fig. 16 and the good concordance between the three curves is quantitatively defined by the PGP indexes resumed in Tab. 3. 46 ' [deg] p '' 0 50 100 150 200 250 300 350 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figure 13: Normalized pressure in a vane space predicted by the empirical model (solid line) and measured pressure in working conditions (dash-dot line) for the pump PHV 05. Ful 'ow condition. Table 3: P GP index with tolerance range of 3% comparing the simulated and measured pressure evolutions. P HV 05 P HV 1 LP model vs test Empirical model vs test Empirical model vs test Ful 'ow 71% 87% 86% Zero 'ow 71% 77% 74% Some general observation about pressure evolutions can be final y done. It is possible to notice that the pressure starts to increase when the communication between inlet ducts and a vane space or a hole is interrupted (i.e. at 22.5 deg for the PHV 05 pressure evolution in a vane space). Hence, a peak is clearly visible in the vane space pressure evolution in ful 'ow condition (see Fig. 10a) once the outlet distribution groove (visible before the outlet duct, in Fig. 7) is completely passed (40 deg for the PHV 05); then the pressure evolution starts to decrease at the beginning of the inlet groove (200 deg for PHV 05) to final y reach the inlet pressure value when the inlet duct ful y communicates with the vane space or the hole (220 deg for the vane space pressure evolution in PHV 05 pump, see Fig. 10a). 6. DYNAMIC RADIAL FORCE Force calculation
The pressure distributions inside the vane spaces and inside the holes are used to determine the resulting force acting in the radial direction (xy plane). This force is very important for the definition of the dynamic behavior of the pump casing from a vibrational and acoustical point 47 ' [deg] p '' 0 50 100 150 200 250 300 350 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figure 14: Normalized pressure in a vane space predicted by the empirical model (solid line) and measured pressure in working conditions (dash-dot line) for the pump PHV 1. Ful 'ow condition. of view. In fact, these components are the forces that can excite casing vibration and produce noise. This force acting on the inner race of the pressure ring (Fstator) can be decomposed into two components (see Fig. 17): ' Fstator,x along x direction, it loads the balancing screw; ' Fstator,y along y direction, it loads the control piston. Both the components are variable with respect to angular coordinate ' with period 'vp; for this reason al the results presented hereafter are plot ed in this angular domain. In more de- tail, with reference to Fig. 18a, the pressure force acting on the pressure ring can be obtained by the contributions of the force due to pressure in vane space i, namely Fvs,i and the con- tact force between the vane and the inner race of the pressure ring, Fv,i. These components must be summed for al the vane spaces. Equation (10), in which N represents the number of control volumes involved in the force calculation (equal to the number of vanes), summa- rizes this procedure. Term Fvs,i can be approximately calculated as suggested in Eqn. (11), in which Ws represents the pressure ring width, ~ni defines the angle bisector of vane pitch i (see Fig. 18a) and the meaning of L(') is shown in Fig. 8b and Section 3. The integration of Eqn. (11) takes place for a complete vane pitch ('vp). Term Fv,i can be expanded as in Eqn. (12). ~ Fstator(') = N X i=1 ~ Fvs,i(') + ~ Fv,i(') (10) ~ Fvs,i(') = Ws Z 'vp/2 '''vp/2 picos'Li(')d' ! ~ ni (11) 48 ' [deg] p '' 0 50 100 150 200 250 300 350 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Figure 15: Normalized pressure in a vane space predicted by the empirical model for the pump PHV 3. Ful 'ow condition. ~ Fv,i(') = ~ Fhole,i(') + ~ Fcentr,i(') '' ~ Fhead,i(') (12) where Fhole,i represents the force component due to the pressure in holes, Fcentr,i is the centrifugal force and Fhead,i is the component due to the pressure evolution in vane spaces (see Fig. 18b). Results and comparison
As stated in Section 2, this kind of pumps can work at different 'ow conditions, from a 'zero 'ow' condition to a 'ful 'ow' condition. In the previous Sections, the experimental and simulation results for the pressure evolution have been shown for both ful 'ow and zero 'ow conditions. For the sake of brevity the results about pressure force wil be presented hereafter only for the zero 'ow condition. The radial pressure force evolution acting on a vane pitch is depicted in Fig. 20, comparing the force calculated by using the measured pressure evolution, the pressure evolution derived by the empirical model and by the lumped parameter model. The comparison between Fig. 20a and Fig. 20b shows that, nevertheless the force in y direction has lower mean value than in x direction, the most relevant variation is related to y direction; in particular, the LP model force exhibits a sudden variation of 1200 N at about
12 deg in y direction, while the corresponding sudden variation in x direction is about 400 N. This is important in the sight of noise and vibration optimization, since dynamic effects are mainly related to the amount and rate of force variation. It is final y possible to identify the event related to such sudden force variations in Figs. 20a and 20b. In Fig. 16 the pressure evolutions for holes and vane spaces in zero 'ow condition are depicted: the x axis has been divided into 11 parts, each one corresponding to a vane pitch. It is possible to notice that a strong variation in the pressure field occurs for vane spaces in the first part of the 7th vane pitch (see Fig. 16a, from 196.3 deg to 229.1 deg). 49 ' [deg] p '' [b ar ] Exp. Emp. mod. LP mod. 0 32,7 65,4 98,1 130,9 163,6 196,3 229,1 261,8 294,5 327,2 360 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (a) ' [deg] p '' [b ar ] Exp. Emp. mod. LP mod. 0 32,7 65,4 98,1 130,9 163,6 196,3 229,1 261,8 294,5 327,2 360 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (b) Figure 16: Comparison between measured pressures (blue line), pressures obtained by em- pirical model (red line) and pressures obtained by lumped parameter model (black line), for a vane space (a) and for a hole (b). Zero 'ow condition, PHV 05 pump. 50 Figure 17: Radial pressure forces acting on the pump casing. (a) (b) Figure 18: Radial forces acting on the pressure ring: contribution of the pressure evolution inside a vane space (a) and contribution of the vane head contact force (b). 51 Figure 19: Position corresponding to 12 deg after the initial position. Furthermore, pressure evolution simulated by the LP model shows more sudden changes with respect to the one predicted by the empirical model and the pressure evolution measured in working conditions, both for vane spaces and for holes. For this reason the force evolu- tions predicted by the LP model differ from the force evolutions predicted by the empirical model and the force evolution calculated from the pressure measured in working condition, especial y around 12 deg, corresponding to the angular region previously identified. At this angular coordinate the vane space control volume V7 and the hole control volume V19 start to communicate at the same time with inlet control volumes V24 and V26 (see Fig. 19). This fact involves the pressure drops depicted in Fig. 16, in correspondence of the 7th vane pitch and final y the force sudden variations depicted in Figs. 20a and 20b. 52 ' [deg] F s tat o r, x [N ] 0 5 10 15 20 25 30 3000 3100 3200 3300 3400 3500 3600 (a) ' [deg] F s tat o r, y [N ] 0 5 10 15 20 25 30 400 600 800 1000 1200 1400 (b) Figure 20: Radial pressure forces acting on the pressure ring over one vane pitch for the pump PHV 05: forces from measured data (solid line), forces from the empirical model (dash-dot line), forces from the LP model (dashed line), at zero 'ow condition, along x direction (a) and y direction (b). 53 7. CONCLUDING REMARKS This paper aims to describe an industrial research carried out in co-operation with BERARMA s.r.l. about their variable displacement vane pumps of the PHV series. The first target of this research is to develop a reliable tool for the designer who wants to investigate different solutions without employing long and expensive experimental tests. As a first answer an empirical model has been developed, based on a series of experimental measurements. This kind of model can give fast and good estimations of the pressure and force evolution only for a restricted family of pumps. At the same time a lumped parameter model has been developed whose analytical formulation al ows to take into account a wider range of design and operational parameters. In terms of accuracy, the empirical model gives bet er results both in ful 'ow and zero 'ow conditions: the PGP index for pressure evolution referred to the pump PHV 05 is 0.87 with respect to 0.71 obtained by the lumped parameter model in ful 'ow condition and 0.77 with respect to 0.71 in zero 'ow condition. The main discrepancy in the pressure evolution between LP model and tests is related to the region where the pressure decreases from the outlet to the inlet pressure (see Figs. 10 and 16). Both the models al ow to calculate the force distribution on the pressure ring matching the main periodicities. It has to be noticed that, while the empirical model gives a good estimation of forces, the lumped parameter model overestimates the force variation amplitude along the y direction and gives a force evolution in x direction characterized by a sudden variation not recognizable in the force evolution calculated from measured pressure data (Fig. 20). In this sight the LP model requires adjustments devoting at reducing the differences between simulated and measured quantities; however results in terms of forces can be considered promising and they can be used as input data for a noise and vibration optimization of the pump body. Acknowledgements
This work has been developed within the Laboratory of Advanced Mechanics (MechLav) of Ferrara Technopole, realized through the contribution of Regione Emilia Romagna '' As- sessorato At ivita'' Produt ive, Sviluppo Economico, Piano telematico '' POR '' FESR 2007-2013, Activity I.1.1. REFERENCES [1] Hat ori, K., Suzuki, H., and Hasegawa, J., 1987. ''Design method of a smal -ripple vane pump'. SAE International(871681). [2] Dickinson, A. L., Edge, K. A., and Johnston, D. N., 1993. ''Measurements and prediction of power steering vane pump 'uidborne noise'. Proceedings of the 1993 Noise and Vibration Conference. [3] Mucchi, E., Dalpiaz, G., and Fern`andez del Rinc`on, A., 2010. ''Elastodynamic analysis of a gear pump. part 1: Pressure distribution and gear eccentricity'. Mechanical Systems and Signal Processing, 24, pp. 2160''2179. [4] Mucchi, E., 2007. ''Dynamic analysis of external gear pumps by means of non linear models and experimental techniques'. PhD thesis, Universit`a degli Studi di Ferrara - Engineering Department in Ferrara, March. [5] Barbarel i, S., Bova, S., and Piccione, R., 2009. ''Zero-dimensional model and pressure data analysis of a variable-displacement lubricating vane pump'. SAE International(2009-01-1859). [6] Cantore, G., Paltrinieri, F., Toset i, F., and Milani, M., 2008. ''Lumped parameters numer- ical simulation of a variable displacement vane pump for high speed ice lubrification'. SAE International(2008-01-2445). 54 [7] Manc`o, S., Nervegna, N., Rundo, M., and Armenio, G., 2004. ''Modeling and simulation of variable displacement vane pumps for ic engine lubrication'. SAE International(2004-01-1601). [8] Milani, M., Paltrinieri, F., Toset i, F., Bianchini, A., Ferrara, G., and Ferrari, L., 2009. ''Design and optimization of a variable displacemet vane pump for high performance ic engine lubrication, part 2'. SAE International(2009-01-1064). [9] Bianchini, A., Ferrara, G., Ferrari, L., Paltrinieri, F., Toset i, F., and Milani, M., 2009. ''Design and optimization of a variable displacemet vane pump for high performance ic engine lubrication, part 1'. SAE International(2009-01-1045). [10] Novi, N., Squarcini, R., and Frendo, F., 2009. ''Dynamic and kinematic evaluation of automotive variable displacement vane pumps for reliability characterization'. SAE International(2009-01- 0191). [11] Fiebig, W., and Heisel, U., 1993. ''Comportamento dinamico di pompe a palet e a regolazione di pressione'. Oleodinamica-Pneumatica, September, pp. 122''131. [12] Borghi, M., Milani, M., and Valentini, A., 1999. ''Pompe a palet e - sperimentazione e calcolo'. Oleodinamica Pneumatica Lubrificazione, June, pp. 76''84. [13] Bussola, R., and Tiboni, M., 1999. Parametrical identification for a complex mathematical model of indexing cam mechanisms by means of genetic algorithm. Tech. rep., Eurogen, Jyv¨askyl¨a, Finland, May 30 - June 3. 55 56 DESIGN AND CONTROL OF NEW ROBOTIC JOINTS
FOR REHABILITATION EXOSKELETONS


Rocco Vertechy, Antonio Frisoli, Massimiliano Solazzi, Andrea Dettori,
Massimo Bergamasco
PERCRO Laboratory,
Scuola Superiore Sant''Anna, Italy
E-mail: {r.vertechy, a.frisoli, m.solazzi, a.dettori, m.bergamasco}@sssup.it


Abstract. A novel upper-limb exoskeleton has been developed at PERCRO laboratory for
the robotic rehabilitation of stroke patients. The exoskeleton architecture is modular and
based on custom-made flexible robotic joints, each comprising a geared transmission with
large reduction ratio and an integrated joint-torque sensor. The robotic joints are provided
with an original Linear-Quadratic-Gaussian regulator that makes it possible to overcome
the torque control issues associated to both joint flexibility and measurement noise. In this
paper, the architecture and the joint-torque controller of the developed exoskeleton are
presented along with some experimental results that validate the adopted design and
control solutions.

Keywords: exoskeletons, robotic rehabilitation, flexible joints, torque control.
1. INTRODUCTION The reduction in motor functionality of upper extremities is one of the most common
impairments resulting from spinal cord injuries, occupational and sport injuries, strokes and
other disease processes. In these cases, partial or full sensorimotor recovery can be
achieved through intense and constant rehabilitation protocols based on active and highly
repetitive exercises [1-3]. Traditional treatment methods rely on laborious manual
procedures carried out by highly skilled therapists. In the last decade, Robotic Assisted
(RA) and Virtual Reality Based (VRB) rehabilitation has been proposed [4] primarily for
improving treatment outcomes, but also for diminishing therapists'' workload and overall
healthcare expenses (for both patient and healthcare providers). Tangible features and benefits RA and VRB rehabilitation may provide are: ' Increased repeatability in the execution of the rehabilitative exercise;
' Delivered care less dependent on the skill, attention and fatigue level of the therapist; ' Real-time measurement and visualization of patient physiological data and performance indices; ' Immediate assessment of the rehabilitation progress by direct comparison of actually measured and previously stored physiological data and performance
indices; ' Provision of a more stimulating rehabilitation environment for the patient;
' Increased duration and frequency of the therapy sessions which are likely to improve therapy efficacy; 57 ' Possible execution of parallel therapy sessions under the surveillance of a single therapist (eventually located in a remote site). So far, pilot studies have already demonstrated that RA and VRB rehabilitation is beneficial for the recovery of upper limb function [5-9], and a number of robotic
rehabilitation devices have been developed that are either Cartesian or exoskeletric
(extensive surveys of such devices can be found in [9-13]). As compared to Cartesian devices, rehabilitation exoskeletons make it possible: a) To apply controlled forces at each joint or link of the patient upper extremity (e.g. arm, forearm, shoulder, elbow and wrist) and to modulate their magnitude
depending on patient deficiency and exercise type; b) To fully or partially compensate for the weight and the inertia of the patient upper extremity; c) To replicate most (roughly 70%) of the patient upper extremity healthy workspace; d) To prevent motor compensatory strategies frequently employed by impaired patients for circumventing their motor deficiencies; e) To be worn rather quickly;
f) To be fitted (relatively easily) to rather different patient limb sizes by adjusting the exoskeleton link lengths. On the basis of the experience gained at PERCRO laboratory during the clinical evaluation [9] of the L-EXOS [14], an exoskeleton prototype with flexible robotic joints,
hereafter called RehabExos, has been conceived for the rehabilitation of upper extremities.
In this paper, the architecture and the robotic-joint specifications of the recently developed
RehabExos are described together with a method for the torque-control of its flexible
robotic joints. 2. THE REHABHEXOS The user requirements for the RehabExos have been defined during the clinical evaluation
of the L-EXOS [9]. Besides the specifications indicated at points (a)-(f) of Section 1, the
RehabExos features: ' Exercisable force at the end-effector of 100 N, in every direction and in each point of the workspace; ' Redundant sensors for patient safety;
' Modular design for maintenance ease;
' Limited back-drivability of the system at motor power-off for safety and good transparency at motor power-on; ' Possibility of easily changing configuration for the right and left arm;
' Serial kinematics with 5 Degrees of Freedom (DoFs), the first 4 DoFs being actuated; ' Position sensor on each of the five DoFs;
' Isomorphism with the human arm kinematics. In the following sub-sections, the kinematic architecture and the robotic-joint specifications of the RehabExos are described in more details. 58 Figure 1. RehabExos: (a) CAD model worn by a mannequin; (b) Manufactured prototype worn by a human user; (c) CAD model showing the kinematic architecture. KINEMATIC ARCHITECTURE Figures (1.a) and (1.b) show the CAD model and the manufactured prototype of the
RehabExos worn by a mannequin and a human user respectively. In this system, the patient
can be constrained to the exoskeleton links at the middle of the arm and at the level of the
forearm. In addition, the patient can grab the robot end-effector, which is a handle with a 3-
axis force sensor. Due to the effectiveness demonstrated by the L-EXOS architecture in performing rehabilitative tasks [9], the same kinematics has been replicated on the RehabExos. That is,
as depicted in Fig. (1.c), the RehabExos has a shoulder joint which is fixed in space and
composed by three actuated joints J1, J2 and J3, an actuated elbow joint J4 and a passive
revolute joint J5 allowing for wrist pron/supin-ation. Referring to Fig. (1.c), the center of
the spherical motion of the shoulder coincides with the point of intersection of axes z1, z2
and z3, while the elbow rotation axis is identified with z4. The intersection between z3 and
z4 locates the elbow position. (a) (b) (c) 59 Figure 2. Actuation Group 1 (AG1): (a) CAD section exploded view with indication of the principal elements; (b) Manufactured prototype in its test-rig.
Different from the L-EXOS, the RehabExos forearm is composed by two links serially connected by a lockable passive prismatic pair. This design provides the RehabExos with
some degree of adaptation to different sizes of patient limbs. Consistent with the majority of the developed exoskeletons and with the successful rehabilitation protocols performed using the L-EXOS [9], also the RehabExos does not
explicitly compensate for the translations of the patient gleno-humeral joint, which are
possible in humans due to the presence of the closed-loop kinematic chain featuring the
sternum, the clavicle, the scapula and the thorax links, and the sterno-clavicular, the
acromio-clavicular and the scapulo-thoracic joints. In fact, owing to the limits of available
actuator technologies, accounting for gleno-humeral joint translations is not worth at
present. Note indeed that the potential increase in therapy benefits does not parallel the
consistent augment in costs, weight and control complexity, which are required to build
exoskeletons featuring such motion compensations. Because of the serial kinematic architecture, both the torque and the dynamic performance which are required by the different joints of the exoskeleton are not the same.
Even so, the RehabExos implements the same actuation group (hereafter called AG1) for
the three joints J1, J2 and J4, and uses a different solution (hereafter called AG2) for J3.
The choice of pursuing modularity has been made in order to reduce the mechanical
complexity and the costs of the exoskeleton prototype. In the following subsections a
detailed analysis of the robotic joints AG1 and AG2 is provided. Design of Actuation Group 1 As already described, the three degrees of freedom provided by joints J1, J2 and J4 are
motorized through identical robotic joints of type AG1. In order to comply with speed,
torque and safety requirements of typical rehabilitative applications, the AG1 design
specifications have been the following: ' 10rpm maximum output velocity;
' 120Nm nominal maximum output torque for actively sustaining exoskeleton links and patient limbs, and for generating the desired contact forces; ' Limited joint back-drivability at motor power-off for guaranteeing patient safety;
' Joint torque sensorization to derive forces at the exoskeleton-patient contact points, as well as torques in the patient joints; ' Redundant sensorization to monitor system integrity; (a) (b) 60 ' Limited mechanical complexity to ease maintenance and to reduce costs. The final design of AG1 is depicted in Fig. (2a). It consists of a custom-made frameless brushless torque motor integrating a Harmonic Drive (HD) component set, two
redundant optical encoders, two thin output shaft bearings, and a torque sensor consisting
of two fully balanced strain gauge bridges placed on different beams of a thin planar
sprocket hub. The sprocket hub is connected to the HD output at one side and to the AG1
output shaft at the other. This design makes the torque sensor insensitive to non-torsional
components of the external loads acting on the output shaft. It has to be mentioned that
joint torque could have been measured by placing the strain gauges directly on the HD
flexspline [15]. We preferred the addition of a sprocket hub since the chosen HD is very
compact, thus it is very difficult to be instrumented, and since HD-based torque sensing
inherently introduces significant measurement errors which require a large number of strain
gauges and appropriate filtering techniques to be compensated [16, 17]. The sprocket hub
is made of steel (AISI 630), while the motor housing and the non-commercial components
are made of aluminium alloy (Ergal 7075 T6). As for the component specifications, the motor has a maximum velocity of 1000rpm and a nominal stall torque of 2Nm; the HD has a very short axial length (50% of standard
HD), reduction ratio of 100 and a limiting average output-torque of 151Nm; the encoders
have 5000 pulses/revolution; the torque sensor has a measurement range of '120Nm (sprocket hub deformation is limited by mechanical stops); the overall joint stiffness (i.e.
the in-series stiffness of HD and sprocket hub) is 6.3kNm/rad. The overall weight of AG1
is 3.7Kg. The manufactured AG1 prototype embedded in a test-rig is shown in Fig. (2.b). The test-rig consists of a fixed frame attached to the motor stator, a rigid link attached to the
AG1 output shaft, and a handle. The rigid link inertia is chosen so as to simulate the
exoskeleton inertia in the most adverse configuration. The handle has a single axis force
sensor, which enables the measurement of the active forces (i.e. those producing
mechanical work) a user can exchange with the link. Design of Actuation Group 2 The exoskeleton joint J3 consists of a different actuation group (AG2). The subsystem
design specifications were: ' Remote exoskeleton axis of rotation to mimic the int/ext-ernal rotary motion of the patient shoulder and to provide the patient arm with a controlled torque along the
same axis; ' Easy accommodation of the patient arm;
' Limited joint back-drivability at motor power-off;
' Joint torque sensorization;
' 10rpm maximum output velocity;
' 80Nm nominal maximum output torque;
' Limited mechanical complexity to ease maintenance and reduce costs. The final design of AG2 is depicted in Fig. (3.a). It consists of a custom-designed open circular guide rail and a roller slider (using eight commercial rollers), a commercial geared
DC motor integrating an optical encoder, a cable drive transmission and a force sensor
consisting of a balanced strain gauge bridge placed on a parallelogram element. The motor 61 Figure 3. Actuation Group 2 (AG2): (a) CAD section exploded view with indication of the principal elements; (b) Manufactured prototype in its test-rig. stator is fixed to the roller slider, while the motor gear head output is connected to
the circular guide via the cable drive. The parallelogram element of the force sensor is
made of steel (AISI 630), while the non-commercial components are made of aluminium
alloy (Ergal 7075 T6). The guide rails are hard-anodized to provide wear resistance. As for the component specifications, the motor has a maximum velocity of 8000rpm and a nominal stall torque of 0.105Nm; the gearhead reduction ratio is 33, the cable drive
reduction ratio is 23; the force sensor makes it possible to measure a joint torque within the
range '80Nm (parallelogram element deformation is limited by a mechanical stop). The overall weight of AG2 is 2.2Kg. The manufactured AG2 prototype embedded in a test-rig is shown in Fig. (3.b). Experimental Validation and Characterization of the Actuation Groups The robotic joint prototypes AG1 and AG2 have been tested in properly predisposed test-
rigs (shown in Figures (2.b) and (3.b) respectively). The purpose of the experimental tests
was the evaluation of: ' The correct integration of the employed electrical and mechanical components;
' The energy efficiency of the employed mechanical transmissions;
' The overall friction losses;
' The effective inertia and gravity loads. Exact knowledge of the aforementioned information is fundamental for the performance maximization of the control system of the actuation groups and of the overall
exoskeleton. Figure 4. Motor current vs. output link position for different velocities of AG1: (a) with no external load; (b) with a 7.4Kg load applied to output link end. (a) (b) (a) (b) 62 Experimental results validated the design hypotheses. For the sake of conciseness, only the experimental data measured for AG1 are reported in the sequel. In particular, Figures
(4.a) and (4.b) report, for different output link speeds, the motor currents required to
maintain in uniform rotation the output link (whose length is 0.604m and weight is 4.15Kg)
with no external load and with a 7.4Kg load applied at the end of the output link
respectively. These data show that: ' The overall mechanical energy efficiency of AG1 varies between a minimum of 0.75 (for no external load) to a maximum of 0.85 (for the maximum external load); ' The friction losses of AG1 are nearly constant and independent of output link position and velocity and of external load magnitude. They can be compensated by
a constant motor current with sign equal to that of the motor rotor speed. 3. JOINT-TORQUE CONTROL OF REHABEXOS ACTUATION GROUPS As previously described, to enhance the interaction performance between RehabeExos and
its human wearer (i.e. superior force/torque and impedance modulation), the custom made
robotic joints AG1 and AG2 have been equipped with integrated Joint-Torque Sensors
(JTS). The availability of these internal sensors indeed enables: ' Closing a stable high-bandwidth torque inner loop around the joint which is scarcely affected by the robot link variable inertia [18, 19]; ' Suppressing the robot vibrations produced by the inherent transmission compliance [20-22]; ' Reducing internal disturbance torques caused by actuator and reducer (for instance friction losses, actuator torque ripples and gear teeth wedging actions [23]); ' Measuring externally applied forces/moments and complex nonlinear dynamic interactions between joint and other robot links [24]. However, JTS increases robot compliance (i.e. reduces its natural frequency) which asks for advanced control techniques to be compensated. To cope with this, we have
developed a Linear-Quadratic-Gaussian (LQG) Joint-Torque-Feedback (JTF) regulator
which is based on a state-space lumped-parameter model of flexible actuation groups. In
the following sub-sections, this LQG-JTF regulator is first described. Then, experimental
results acquired on the AG1 prototype are presented to show the good performances of this
LQG-JTF regulator in the torque control of flexible robotic joints. Model for Flexible Robotic Joints The design of a torque controller for a flexible robotic joint (alike those shown in Figures 2 and 3) requires an adequate model of the system dynamics. A possible lumped
parameter model is given in Fig. (5.a). k 'm 'l  m c  d l  g J m J l 'l ' sD l Jl g Figure 5. Flexible Robotic Joint: (a) Lumped parameter model; (b) Lumped parameter model of the flexible joint with JTF control. (a) (b) 63 Figure 6. Experimental open-loop response of AG1: joint sensor torque vs. motor torque command.
In the model, Jm and Jl are the overall moments of inertia of the elements which are fixed
with respect to motor rotor and joint output link, 'm and 'l are the angular positions of motor rotor and joint output link, m and d are the internal commanded and disturbance (which accounts for friction and ripple effects of both motor and harmonic drive) torques
acting directly on the motor rotor, g and l are the external torques acting directly on the joint output link which are due to the gravitational field and to the contact interaction with
the environment (for instance with a human user), k and c are the overall stiffness and
damping coefficients of the flexible joint (principally due to the harmonic drive and the
torque sensor). Owing to the presence of a mechanical transmission (i.e. the harmonic
drive), note that all the aforementioned quantities are considered as being reduced to the
same moving shaft, for instance the joint output link. The dynamics of the system depicted in Fig. (5.a) is governed by the following equations ' ' ' ' ' ' ' ' m m m d l m l m l l l g l m l m J k c J k c '   ' ' ' ' '   ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' (1) Assuming that the flexible joint is equipped with an internal torque sensor capable of
measuring the elastic torque s (hereafter called sensor torque), which acts between motor rotor and joint output link, i.e. s = k ('l '' 'm), and by considering its time derivatives, the sensor torque dynamics reads as
g s s s l d m l l m m c k k k k k J J J J J J        ' ' ' ' ' ' ' ' (2) where J = [Jm Jl / (Jm + Jl )]. With reference to the test-rig of AG1 depicted in Fig. (2.b), the
spectrum of the joint sensor torque s in response to the motor torque command m (both reduced to the output shaft of AG1) is reported in Fig. (6). This Bode magnitude plot is
obtained experimentally by commanding m with a chirp function. As Eqn. (2) predicts, the test-rig possesses a marked natural frequency at / / 2 17Hz k J  ' . From Fig. (6), use of the Half-Power Bandwidth method returns c = 11.8Nms/rad as the overall damping
coefficient of the flexible joint (this value has also been validated via the Logarithmic
Decrement method). 64 Joint Torque Feedback Control for Flexible Robotic Joints Environment interacting robots, in particular haptic and rehabilitation devices, are
machines which modulate the forces/torques they exchange with the surroundings, in
particular the human user. Referring to the one-degree-of-freedom flexible joint
schematized in Fig. (5.a), this reduces to the regulation of l by the action on m. Equation (2) highlights that while the dynamics of the sensor torque s can be shaped as desired by designing a proper feedback law for the commanded motor torque m, conversely the external torque l is not controllable via m. Besides, the availability of a stable, fast and accurate torque control loop on s (i.e. a JTF control) can enhance enormously the adjustment of the external torque l. Indeed, by forcing s ' sD and 0 s  ' ' , where sD is a desired sufficiently smooth-varying sensor torque, the second equation of Eqn. (1) tends to D l l l g s J '    ' ' ' ' , which reduces the dynamics of the flexible joint to that of a direct drive system (alike the model described in Fig. (5.b)) having the desired torque sD as command. Then, the design of sD as a well-behaved function of 'l (along with its time derivatives) and of g (which can be easily calculated as a function of 'l) enables the regulation of the interaction torque l as well as the contact impedance of the joint output link. For instance, if the angular acceleration of the output link is available (via either direct measurement or
an estimator), the adoption of a stable fast and accurate JTF control with ( ) D D s l g l l J    ' ' ' ' ' can be used to force l ' lD, where lD is the desired joint output link torque. In addition, whenever a direct measurement of l is available, a similar result (i.e. l ' l D) can be obtained by setting the JTF control with s D = [ l D + g + kl (l D '' l)], where kl is an appropriate feedback error gain of an outer torque loop. Note that for most haptic applications, and in particular for rehabilitation, which usually involve motions with
rather limited accelerations, the simple choice sD = (lD + g) suffices. State-Space Controller for Flexible Robotic Joints In this section, the design of a stable JTF controller that is capable of tracking s ' sD and 0 s  ' ' with great accuracy and responsiveness is performed via a state-space approach [25]. For the purpose of JTF control, Eqn. (2) is recast in the following state-space system 0 m  ' ' A E '  e e + B (3.1)
where m is the control input, 0 0 , , D lgd s s D s s      ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 0 ' '   e (3.2)
are the controllable and the uncontrollable (i.e. exogenous input) variables, lgd = [l + g '' d (Jl / Jm)], and
0 1 / / k J c J ' ' ' ' ' ' ' ' ' A , 0 / m k J ' ' ' ' ' ' ' ' B , 0 0 / / l k J k J ' ' ' ' ' ' ' ' E (3.3) 65 Note that Eqn. (3) assumes 0 D s  ' ' (i.e. sD is a sufficiently smooth-varying desired sensor torque). For more demanding applications, whenever D s ' is available, the controllable variable s e  ' ' ' can be replaced by D s s e   ' ' ' ' ' whilst E and  0 augmented to account D s ' as supplementary exogenous input variable. According to Eqn. (3), the following full-state
feedback law is obtained

' ' ,1 1 2 3 4 ' ' ' D D m m s s s lgd s k k k k        ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (4) where k1, k2, k3 and k4 are the controller gains, while 's  , ' s ' , ' lgd  and sD are the estimates of both controllable and exogenous state-space variables. Note that whenever a reliable
model 'd  is readily available for the motor disturbance d, Eqn. (4) can be replaced by
' ' ,2 1 2 3 4 ' ' ' ' D D m m s s s lg s d k k k k         ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (5)
where 'lg  is the estimate of the overall external torque lg = (l + g), which acts on the joint output link only. In principle, the appropriate choice of the controller gains makes it possible to shape at will the dynamic response of s to sD. In order to mediate between the exigencies of fast and accurate system response and the saturation limits of the control command m, the gains k 1, k2, k3 and k4 are selected in the framework of Linear-Quadratic (LQ) optimum control [25]. In particular, k1, k2, k3 and k4 are chosen as the steady-state gains that minimize the
following performance integral
' '2 2 2 2 2 1 2 T D s s s m t LQ q q dt     ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' (6)
where q1 and q2 are penalty parameters relative to the cost of control. As for their physical
significance, the choice of q1 influences directly the system tracking error e (i.e. larger q1
leads to smaller e), while the choice of the ratio q2/q1 influences directly system stability
and responsiveness (i.e. rising q2/q1 increases stability and reduces time-response).
Augmenting q1 and q2 enlarges controller effort. The practical mathematical procedure for
calculating k1, k2, k3 and k4 for a given system (i.e. equations (4) and (6)) and chosen
penalty parameters is detailed in [25]. As compared to the most popular JTF laws, the controller described by either Eqn. (4) or Eqn. (5) (hereafter called JTF1) differs from that described in [26, 27] (hereafter called
JTF2) since there k3 = 0 and k4 = (1 + Jm/Jl), and from that described in [28, 29] (hereafter
called JTF3) since there k3 = 0 and k4 = 1. That is, the controller proposed here can be
considered as a generalization of those given in [26-29]. Optimum Observer for Flexible Robotic Joints Beside the availability of sD, the JTF control scheme proposed in the previous section requires the knowledge of the state-space variable estimates 's  , ' s ' and ' lgd  (or ' lg  and ' d  if Eqn. (5) is used instead of Eqn. (4)). Here, a Kalman filter (optimum observer [25]) is 66 proposed to infer 's  , ' s ' and ' lgd  from a single noisy measurement sm, sm = (s + w), where w is the noise affecting the torque sensor embedded in the flexible joint (the major
contribution to w is usually the electrical noise excited by the motor driver switching
electronics). For the purpose of variable estimation (both controllable states and exogenous input), the dynamics governed by Eqn. (2) and Eqn. (4) can be described by the following meta-
system ,1 m m s v y w   ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' A '   '  + B C (7.1)
where =[ ] Τ s s lgd    '  is the meta-state vector, w and v are white noise processes with known variances W and V, C = [1 0 0] and
0 1 0 / / / 0 0 0 l k J c J k J '' ' ' ' ' ' ' ' ' A , 0 / 0 m k J ' ' ' ' ' ' ' ' ' B , 0
0
1 ' ' ' ' ' ' ' ' (7.2)
Note that in order for the Kalman filter to estimate the exogenous input lgd, the dynamics of such an unknown variable is assumed as the Wiener process (i.e. a non-stationary
random process) lgd v  ' ' , which, in practice, only forces lgd to be continuous and varying with independent increments. According to Eqn. (7), the following optimum observer is
obtained

' ' ,1 ' ' ' m y  ' ' ' ' ' A '    + B L C (8) where ' ' ' ' =[ ] Τ s s lgd    '  is the meta-state vector estimate and L is the steady-state Kalman gain vector. The practical mathematical procedure for calculating L for a given system (i.e.
once Eqn. (7) is known) and noise process variances (i.e. W and V) is detailed in [25]. In
this regard, note that the variance W is evaluated directly from the torque sensor measure,
while the ratio V/W is chosen so as to compromise between estimator accuracy and
precision (i.e. larger V/W leads to more accurate but less precise estimates). Note that when a reliable model 'd  is readily available for the motor disturbance d (such that Eqn. (5) is used instead of Eqn. (4) for JTF control), the substitution in Eqn. (8)
of m, 1 with ,2 ' ( ) m d   ' enables to find 'lg  instead of ' lgd  . It is worth to mention that the JTF implementations, which can be found in the literature for the torque control of flexible joints, do not consider the possibility of
reconstructing the exogenous variable lgd (or lg if Eqn. (5) is used instead of Eqn. (4)) from the measurement of the built-in joint-torque sensor. Indeed, just minimum order
observers for the estimation of d have only been devised and employed which require the additional measurement of either motor position 'm [27, 30, 31, 32] or motor velocity m '' [22]. Moreover, in these JTF implementations, the estimates 's  and ' s ' are obtained by simply feeding the torque sensor measurement y through basic low-pass and derivative
filters, instead of reconstructing them via the optimal observer given by Eqn. (8). This may 67 Figure 7. Comparison between different Joint Torque Feedback (JTF) laws (simulation results). degrade JTF control performance since built-in joint-torque sensors are usually affected by
noise w having significant variance. Simulation and Experimental Results The combination of Eqn. (4) (or Eqn. (5)) with Eqn. (8) gives a LQG torque regulator for
flexible robotic joints. In this sub-section, such a regulator is employed for the control of
the robotic joint AG1 depicted in Fig. (2.b). The properties of AG1 are (all quantities
reduced to the joint output shaft): motor shaft inertia Jm = 2.5Kgm 2; rigid link inertia Jl = 0.7Kgm2; overall joint torsional stiffness k = 6.3kNm/rad; overall joint torsional
damping c = 11.8Nms/rad; torque sensor variance W = 0.12Nm (measured with the motor
driver turned on). According to these properties, the choice V = 10 4 yields the following Kalman gain vector L = [199, 19854, 289] T, whereas the choice q 1 = 500 and q2 = 0.1 gives the controller gains k1 = ''18.3, k2 = ''0.33, k3 = ''2.81 and k4 = 3.62. The synthesized controller is first tested in simulation to verify the performance of the proposed novel control law JTF1 with respect to the existing JTF2 [26, 27] and JTF3
[28,29]. In the simulation, the following working conditions are considered: d = g = W = 0, sD = [20 sin(0.4t)]Nm (t being the elapsed time), 'l = [20 sin(2t)]deg
(that is, the controller attempts to track sD while the output link is moved according to a given trajectory; measurement errors are not considered here). Simulation results are
reported in Fig. (7), which highlights the better performance (i.e. smaller tracking error e,
see upper plot) of JTF1 with respect to both JTF2 and JTF3. In particular the tracking error
obtained with JTF1 is |e| ' 0.3Nm. Then, the proposed LQG regulator is assessed on the test-rig shown in Fig. (2.b). In the experiment, the joint axis is vertical so that g = 0. Moreover, disposing of the following experimentally determined analytical model for the motor friction torque ' [ 13.7 sign( )(1 tanh(| / 2 | 4)) / 2] d m m  ' ' ' ' '' ' ' ' ' Nm, the controller implements Eqn. (5) instead of Eqn. (4). Since g = 0, the Kalman filter makes it possible to get an estimate of the external torque l (i.e. ' l  ). In the experiment, the following desired torque is considered sD = [20 sin(0.4t)]Nm, while the end link is moved in the range 68 'l '' [-60,60]deg by a human user who acts on the sensorized handle of the test-rig (see
Fig. (2.b)). Experimental results are reported in Fig. (8), which highlight (third plot from
the top) that the proposed controller is able to keep the torque sensor tracking error e within
'0.5Nm (which is about the same value as that obtained in simulation and of the noise of
the joint-torque sensor measure). The effectiveness of the Kalman filter in the estimation of s and l is shown, respectively, in the first two diagrams where the estimates ' s  and ' l  are plotted over the raw measurements sm and lm (lm being measured via the force sensor placed at the test-rig handle). The significant difference (roughly '3Nm) between ' l  and lm, which is also evidenced in the third plot from the top, is only due to the imperfection of
the adopted friction model 'd  (in practice, ' l  depends on  l m but also on the error between the real and the modeled motor disturbance torque). Figure 8. Performance of the proposed Linear-Quadratic-Gaussian (LQG) torque regulator (experimental results) 69 The bottom graph plots the position and velocity of the output link together with the
commanded motor torque m. As shown, m is rather smooth and remains within '40Nm and does not exceed too much the maximum of the sum of desired sensor torque and motor
friction torque (i.e. ' max( ) 33.7 D s d   ' ' Nm). 4. CONCLUSIONS A novel exoskeleton design has been presented for the rehabilitation of upper extremities.
The exoskeleton is aimed at generating controlled contact forces not only at the
exoskeleton handle, but also at its intermediate links. The novel exoskeleton design is
modular and based on two different flexible robotic joints with integrated torque sensors,
which have been conceived to provide the exoskeleton with scarce back-drivability at
system power-off and accurate contact-force control when the system is on. To circumvent
the control issues that are inherent in flexible robotic joints, a novel Linear-Quadratic-
Gaussian regulator has been devised and implemented on each of the actuation groups the
exoskeleton if composed by. As compared to other available joint-torque-feedback
controllers, the proposed regulator makes it possible to overcome most of the issues that are
related to the presence of noise in the joint-torque sensor measure and to the lack of
knowledge of both the external and the internal torques acting on the robotic joint.
ACKNOWLEDGEMENTS This work has been financially supported by the Italian Fondazione Monte Paschi.
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Electronics Instrumentation and Control. 72 EXPERIMENTAL TESTS OF JOINT PROTOTYPES FOR
UPPER LIMB POWERED PROSTHESES
Marco Troncossi Department of Mechanical and Aeronautical Engineering, University of Bologna, Italy E-mail: marco.troncossi@unibo.it Alessandro Rivola Department of Mechanical and Aeronautical Engineering, University of Bologna, Italy E-mail: alessandro.rivola@unibo.it
Abstract . This paper deals with the campaign of experimental tests that has been designed to characterize the prototypes of powered prosthetic articulations developed by the University of Bologna in col aboration with the INAIL Prosthesis Center. In particular the test bench, the test procedures and the software developed to investigate the ef iciency and the vibro-acoustic behaviour of the mechanisms are presented.
Keywords : Upper limb prosthesis, Experimental characterization, Mechanical ef iciency, Noise emission, Mechanical vibrations 1. INTRODUCTION
The Department of Mechanical Engineering of the University of Bologna and the INAIL Prosthesis Center (Vigorso di Budrio, Bologna, Italy) have been col aborating for the development of new myoelectric upper limb prostheses addressed to patients with a high- level amputation. The research activity has produced a number of powered articulations so far, with the purpose of providing the patients having a high-level amputation with satisfactory solutions to significantly recover the functional autonomy in their everyday living (off-the-shelf components are indeed not adequate for the severest injuries [1]). Such as for the development of any given technological product, the experimental testing of the prosthesis prototypes is necessary to characterize the actual performances of the devices with respect to the expected technical specifications and to assess their overal quality. Thus, a test rig and ad-hoc test procedures have been set up to deeply analyse our prosthesis prototypes with the final purpose to understand if critical parts exist that need to be improved and to get specific guidelines about the possible revision of the design (and the manufacturing process as wel ). In particular, an experimental campaign focused on the objective assessment of the prosthetic articulations'' velocity, payload, current draining, efficiency, and vibro-acoustic emissions has been designed. These aspects are very important for the prosthetic systems and a poor response could entail the rejection of the product by the final users (i.e. the amputees). The tests that we have planned for measuring these aspects make it possible to objectively assess the prosthetic prototypes'' quality and to quantify the level of 73 improvement after possible modifications of the mechanisms (by comparing the values of the monitored parameters before and after the design modification). Moreover, the test procedures would al ow the definition of some acceptability criteria in order to assess the suitability of products acquired from external providers with respect to our own specifications. This paper il ustrates the set up of the test rig and the architecture of the software that was implemented to retrieve the experimental data, and final y explains the use of the measured data. The focus is placed on two main algorithms of the data processing, developed for quantifying the mechanical efficiency of the mechanisms and to monitor the noise and vibrations emissions. 2. THE PROSTHESIS PROTOTYPES
The prosthetic arm prototype that can be assembled at the INAIL Prosthesis Center laboratories [Fig. 1(a)] is composed of: commercial myoelectric hand and wrist rotator (that are not of interest in this study), the INAIL elbow EMEI-20 (a quite mature ''product' that has been already certified) [2], the prototype of an actuated shoulder articulation composed of two independent mechanisms [3], and '' although not introduced in the artificial limb yet '' the prototype of a powered humeral rotator [4] [Fig. 1(b, c)]. Figure 1. (a) Prosthesis prototype currently assembled at the INAIL Prosthesis Center laboratories. (b) Prototype of a new powered humeral rotator. (c) CAD model of the humeral rotator mechanism . 74 The devices that actuate our upper limb prosthesis are electromechanical mechanisms powered by smal DC electric motors. Due to the characteristics of these high-speed motors (Tab. 1), the power transmission chains of the devices must provide significant reduction ratios in order to have velocities and torques at the fol ower axes adequate for accomplishing the human manipulation tasks (Tab. 2). To this aim, many geared systems are used in the power transmission chains (ordinary stages, planetary gearheads, harmonic drives), which '' despite their wel known good qualities '' can present problems, such as noise and/or low mechanical efficiency. 3. TEST PROCEDURES
Bench tests were studied to measure the actual performances (in terms of maximum payload and velocities, current draining. .) of the single devices (tested one at a time) and to objectively quantify the prototypes quality. The definition of proper metrics to assess ''quality' (physical quantities and/or indices defined ad-hoc) can be used to compare different design solutions, i.e. to assess the suitability/incidence of possible modifications made on a prototype by checking the values of the target parameters before and after the design changes. In order to experimental y evaluate the overal structural quality of the prototype mechanisms, an energetic approach was chosen and the system efficiency was considered to be a good objective indicator to quantitatively assess the suitability of the mechanism design, the functional performance and the manufacturing accuracy. Two parameters were chosen, namely the mechanical efficiency of the power transmission chain (ηm) and the global efficiency of the whole electromechanical system (ηg), which takes into account also the contribution of the electric motor. Many details about this choice and the experimental determination of these parameters are reported in [5]. In the context of the present paper their operative definitions are sufficient in order to point out what should be measured for their quantitative evaluation: Mechanism Maximum Speed nfollower [deg/s] Maximum Torque Mfollower [Nm] Reduction Ratio ' [ - ] Elbow 40 6 1:984 Shoulder-1 35 2.5 1:1041 Shoulder-2 35 13 1:968* Humeral Rotator 45 6.5 1:480 * The transmission chain includes an articulated linkage: its transmission ratio is variable with the mechanism configuration and 1:968 is the mean value. Table 2. Main characteristics of the power transmission chains of the prosthetic prototypes. Mechanism Nominal Voltage V [Volt] Maximum Power P2 [W] No-load Speed n0 [rpm] Stall Torque MH [Nm] Torque Constant kM [Nm/A] Friction Torque kM [Nm] Terminal Resistance R [Ohm] Elbow 6 4.55 8200 0.021 0.00692 0.00020 1.94 Shoulder-1 6 4.55 8200 0.021 0.00692 0.00020 1.94 Shoulder-2 12 17.00 8100 0.080 0.01340 0.00100 1.90 Humeral Rotator 6 11.00 7100 0.059 0.00803 0.00028 0.81 Table 1. Main characteristics of the DC motors that drive the prosthetic mechanisms. 75 2 1 ( ) ( ) u g t t L v t i t dt η = '' '' ' (1) 2 1 * ( ) ( ) u m t el t L v t i t dt η η = '' '' '' ' (2) where v(t) and i(t) are respectively the instantaneous supply voltage [V] and the current [A] of the electric motor; Lu is the mechanical work output ed by the mechanism during the execution of a test trial (in the time interval [t1, t2]) and is theoretical y computable once proper information are available [5]. The quantity ηel* in the Eq. 2 is a sort of ''instantaneous electric efficiency' of the DC that depends on the working conditions and can be computed as: * 2 ( ) ( ( ) ) 60 ( ) ( ) ( ) 60 M R el M n t k i t M n t R i t k i t ' η ' '' '' '' '' = '' '' + '' '' (3) where n(t) is the motor shaft velocity [rpm], kM, MR and R are the torque constant [Nm/A], the friction torque [Nm] and the terminal resistance [Ohm] of the motor respectively, whose nominal values are provided by the product datasheet (and reported in Tab. 1 as wel ). Therefore the only variables to be measured at the test bench for the determination of the global and mechanical efficiencies are the supply voltage v(t), the current i(t) and the motor shaft velocity n(t) (note that the DC motors used in this application have a built-in incremental encoder). The energy efficiency is not the only feature associated with the system quality: also the noise level is an appropriate tool of assessment, especial y considering that a low noise is a fundamental requisite of prostheses, having the same importance '' for instance '' of payload and velocity. Therefore, we decided to quantify the noise emission of the prosthetic prototypes by acquiring the instantaneous air pressure-variation signals [p(t)] with a microphone and calculating the Sound Pressure Level Lp (that is the simplest and most popular metrics used to define the noise level): 10 20log rms p ref p L p   =       [dBA] (4) where pref is the reference sound pressure (i.e. 20 µPa, considered as the threshold of human hearing) and prms is the root mean square value of the sound pressure being measured during one test trial. In order to make the pressure signals be consistent with the human perception of noise, the acquired pressure signals are filtered by means of the so-cal ed A-Weighting Filter [6], and therefore the measurement unit associated with Lp is cal ed ''Decibel Adjusted' and indicated as dBA. Since the noise emission is often associated with the mechanical vibrations of some mechanism parts, a proper investigation of this aspect could help in understanding how the designer can intervene to reduce the noise. Therefore also the vibrations affecting the mechanisms are measured, in terms of acceleration a(t), by means of properly positioned transducers. The evaluation of both the efficiency and vibro-acoustic aspects is performed considering a simple reference test trial: the fol ower is driven from an initial position to a final different one 76 (b) Time [s] Acceleration Velocity Displacement (a) Figure 2. (a) Configuration of a prosthetic mechanism during a test trial, with the fol ower axis positioned in the horizontal direction, notwithstanding the real arrangement in the final artificial limb. (b) Qualitative trend of the motion law shapes. (with initial and final velocity equal to zero) with a mono-directional flow of the energy, i.e. the mechanism actuator works only as a motor to equilibrate the external load which always has a resistant role. The external load is provided by the gravity force (chosen as the cheapest solution) acting on additional masses properly fixed to the fol ower [Fig. 2(a)]. Despite this simplicity, for the soundness of the retrieved results a certain accuracy in the control of the fol ower motion is needed in order to guarantee the accomplishment of properly designed trajectories [Fig. 2(b)] (note that the implementation of closed-loop control schemes is possible thanks to the encoders embedded in the motors). A number of tests with different payload and velocity are performed for each mechanism. 4. TEST BENCH
This paragraph describes the test rig that was designed and the corresponding software architecture implemented for the motion control and data acquisition. Hardware
The experimental apparatus used for control ing the mechanism motion and acquiring the requested data is based on the National Instruments technology (Fig. 3). In particular, the fol owing components are present: - 1 Compact RIO NI cRIO 9022, with 8 slots CRIO-9114 - 1 Analog Input board NI 9234, with 4 channels (for the microphone and accelerometers) - 2 Analog Input board NI 9201, with 4 channels (for the voltage and current signals) - 1 Digital Input board NI 9425 board, with 32 channels (for the encoders'' signals) - 2 Digital Output board NI 9474, with 8 channels (for the generation of the PWM signals used for control ing the motors). An intermediate board (Shoulder Board in Fig. 3) hosts electronic components needed for control ing the motor (i.e. the motor driver VNH2SP30 by STMicroelectronics) and measuring the current (i.e. current-sense amplifier MAX472 by Maxim Inc.). The voltage signal is detectable on a specific pin of the Shoulder Board that is directly connected to the analog input module NI 9201. Other accessories are present for the correct functioning of the system, e.g. for supplying energy or for transforming voltage to proper levels (by means 77 Microphone Accelerometers Mechanism Motor Encoder Shoulder Board I/O Modules Compact RIO PC Load Figure 3. Layout of the experimental apparatus. of photocouplers). The sensors for the noise and vibration signals, placed respectively close to and on the mechanisms, are a piezoelectric pre-amplified microphone PCB 378B02 and three piezoelectric accelerometers Dytran 3145AG (with a bandwidth of 0.5''10000 Hz and nominal sensitivity 100 mV/g). Software
The software to run the National Instruments test bench is developed by the LabVIEW graphical environment. The main functions of the implemented algorithms are the control of the mechanism motion and the acquisition of the physical quantities: v(t), i(t), n(t), p(t), and a(t). In order to ful y exploit the potentialities of the Compact RIO platform, the software is structured in the three levels that characterize the platform architecture, namely the FPGA, Real Time and PC Host. The Field Programmable Gate Array (FPGA) is an integrated circuit connected to the I/O modules that operates extremely fast (computational velocity up to 40 MHz) but is not a very flexible tool, being able to perform basic operations only. On the opposite side, the PC Host level offers a good interface with the user since it is provided with a wide library of functions, but at the price of the incapability of being able to perform deterministic, real-time and control applications due to a significantly lower computation speed. At the intermediate level is the Real Time (RT) processor that al ows FPGA and PC Host to work in synergy. In this context, a proper organization of the algorithms makes it possible to optimize the software performance (in terms of accuracy and velocity). Relative to the main tasks of this application, the algorithms implemented at the FPGA level (Fig. 4) are responsible for: (1) the generation of the Pulse Width Modulation (PWM) signals needed to move the motor according to the desired trajectory (which is computed at the PC Host level, processed by the RT processor and final y stored in the RAM memory of FPGA); (2) the implementation of the close-loop control scheme based on a popular PID control er; (3) the acquisition of the sensors'' data. The experimental signals are gathered in three groups according to their nature or the required sampling frequency: - data from the encoder (digital signals) - data from the current-sense and voltage sensors (analog low-frequency signals needed for the calculation of the global and mechanical efficiencies) - data from the accelerometers and the microphone (analog high-frequency signals required for the vibro-acoustic analysis). 78 Figure 4. Front Panel of the algorithm implemented in the FPGA unit.
Figure 5. Front Panel of one menu available as user interface at the PC Host level. 79 Each group of signals is writ en, sample by sample, on a FIFO DMA (First-In-First-Out Direct- Memory-Access) and sent to the RT level. The codes implemented in the RT processor are responsible for the processing of the information provided by the user at the PC Host level (e.g. reference trajectories, PID gains, data acquisition parameters. .) for the correct execution of the tests. Also the conversion of the input coming from the PC Host into a format suitable for the FPGA unit and the efficient management of the acquired data coming from the FPGA and directed to the PC Host are important functions implemented at the RT level. The user interface is implemented at the PC Host level, where a series of menus (see as an example Fig. 5) al ows the configuration of the parameters needed for the motion control (e.g. reference trajectory, PID gains, encoder resolution, mechanism reduction ratio. .) and the data acquisition (e.g. sets of data, sampling frequency. .). At this level a number of charts are available that make it possible to check the accuracy of the actual trajectory with respect to the reference one, and to visualize the raw experimental data to verify the soundness of the performed trial. The post processing algorithms, whose definition is in progress, wil be available at this level in the near future. 5. DISCUSSION
At the time of writing this paper, some results of the first application of the presented testing procedure are available. In particular the global and mechanical efficiencies of the Elbow, Shoulder-1 and Shoulder-2 mechanisms were determined and deeply discussed in [5]. In this context it is enough noting that the Elbow, which is a product rather ''mature', exhibits for al the test trials (having different payload and velocities) higher values of efficiency with respect to the two shoulder prototypes. As far as the vibro-acoustic characterization is concerned, only preliminary results were retrieved (and actual y were used for the set up of the test rig and the definition of the vibro- acoustic test procedures and algorithms). The noise level of the three mentioned prototypes was calculated (by placing the sensor 0.35 m far from the tested mechanism, consistently with the distance of the human ear from the prosthetic devices mounted on the artificial arm worn by the amputees) and are reported in Tab. 3. The data confirm that the shoulder prototypes are more noisy than the Elbow, whose higher quality is detectable also considering this aspect. An advanced study of the vibro-acoustic data is foreseen in the next future. In particular the spectral analysis of the sound signals wil be performed by computing the 1/3-octave band spectrum (that is the most popular method to investigate the sound energy distribution in the frequency domain) in order to link the noise perception to mechanical phenomena associated with the mechanisms'' functioning. To enforce this analysis and bet er understand its results, the analysis of mechanical vibrations wil be performed as wel . Apart from the statistical investigation of the acceleration signals in the time domain (Fig. 6 shows that the vibrations measured on Shoulder-2 are more severe than those of Shoulder-1, consistently with what may be concluded from Tab. 3), the spectral analysis of the data wil be carried Ground Noise Elbow Shoulder-1 Shoulder-2 Humeral Rotator Lp [dBA] 38 48 55 64 N/A Table 3. Sound Pressure Level of the prosthetic devices. 80 Shoulder-1 Shoulder-2 Figure 6. Acceleration signals picked-up on Shoulder-1 (left) and Shoulder-2 (right) mechanisms. out in order to get a diagnostic tool based on the vibration frequency content [7]. Indeed, the behaviour of many mechanical components (in particular of gear systems) can be deeply investigated by associating their vibrational signatures with given mechanical phenomena, thus al owing engineers to understand how to improve the functioning of the device. For instance, in the case of gear eccentricity, the analyst can detect the fault by inspecting the spectrum of the acceleration signal (retrieved from a transducer placed close to the gear shaft bearings); in particular, this kind of fault causes modulation of the gear meshing frequency at 1x revolution of the eccentric gear (the gear meshing frequency and its harmonics are surrounded by sidebands spaced at the rotational frequency of the eccentric gear). It could be the case that the detected defect is contributing to the global sound level of the mechanism (and this could be verified by correlating the vibration spectrum to the 1/3-octave band spectrum of the noise signals). As a consequence, the design of the device (and/or the accuracy of its manufacturing/assembling) should be improved in order to guarantee the correct support of the shaft and to avoid the undesired eccentricity. The lowering of the noise level and the improvement of the mechanical and global efficiencies are expected as a final result of this procedure. 6. CONCLUSIONS
This paper presented the campaign of experimental tests designed to measure the efficiency and to investigate the vibro-acoustic behaviour of prototypes of prosthetic articulations for myoelectric artificial upper limbs. The test bench, the test procedures and the software architecture are described, and the motivations of this activity is presented. The work is stil in progress: in particular, the implementation of the algorithms for the vibro-acoustic data processing (both in the time and the frequency domains) is at its final step. The application of this procedure for the complete experimental characterization of four prototypes (namely the Elbow, Shoulder-1, Shoulder-2, and the Humeral Rotator joints) wil be the fol owing phase. 81 Acknowledgements
The INAIL Prosthesis Center is grateful y acknowledged for financial support, the use of facilities and technical col aboration.
REFERENCES [1] Weir, R.F.ff., 2003. ''Design of artificial arms and hands for prosthetic applications'. In Standard Handbook of Biomedical Engineering and Design. Kutz, M. Editor, Mc Graw-Hil , New York (USA), Chapter 32, pp. 32.1 '' 32.60
[2] ht p:/ www.inail-starter.org/Downloads.html
[3] Troncossi M., Gruppioni E., Chiossi M., Cut i A.G., Daval i A., Parenti-Castel i V., 2009. ''A Novel Electromechanical Shoulder Articulation for Upper-Limb Prostheses: from the Design to the First Clinical Application'. Journal of Prosthetics and Orthotics, 21(2), pp. 79 '' 90
[4] Caminati R., 2009. ''Feasibility Study, Design and Prototype Manufacturing of a New Powered Humeral Rotator for Upper Limb Myoelectric Prostheses', Ph.D. Dissertation (writ en in Italian), University of Bologna (Italy)
[5] Troncossi M., Parenti-Castel i V., Chiossi M., Daval i A., 2007. ''Experimental characterization of prosthetic mechanisms with one-degree of freedom', Proceedings of XVIII AIMETA Congress, September 11-14 2007, Brescia (Italy)
[6] International standard IEC 61672:2003: Electroacoustics - Sound level meters.
[7] Wowk V., 1991, Machinery Vibration: Measurements and Analysis. Mc Graw-Hil Inc., New York (USA). 82 SENSITIVITY ANALYSIS OF 1-DOF EQUIVALENT
MECHANISMS FOR THE KINEMATIC MODELLING OF
THE HUMAN KNEE


Nicola Sancisi
Department of Mechanical and Aeronautical Engineering,
University of Bologna, Italy
E-mail: nicola.sancisi@unibo.it

Diego Zannoli
Department of Mechanical and Aeronautical Engineering,
University of Bologna, Italy
E-mail: diego.zannoli2@unibo.it

Vincenzo Parenti Castelli
Department of Mechanical and Aeronautical Engineering,
University of Bologna, Italy
E-mail: vincenzo.parenti@unibo.it


Abstract. Prosthesis and orthosis design requires mathematical models that simulate the
motion of human joints. These models should be topologically simple, should reproduce the
anatomical motion with high accuracy and should have a high numerical stability. As for
the knee joint, one-degree-of-freedom mechanisms have been formerly proposed in order to
achieve this target; in particular, two mechanisms proved to be interesting, both of them
having their own peculiarities. The first one replicates the anatomical motion very well and
the second one is very simple from a mechanical point of view, although slightly less
accurate. Moreover, the large difference between the time required by the identification
procedure of the two mechanisms and the different number of singularity problems led to
suppose that the second model could also have a higher numerical stability than the first
one. In this context, high numerical stability is associated with three different properties of
mechanisms: low sensitivity to geometrical parameter variation, low disposition to
generate singularity problems and high regularity of motion. The numerical stability of
both mechanisms is quantitatively assessed in this paper to verify the preliminary
supposition, by analyzing the three properties mentioned above. The results proved that, as
hypothesized, the second model performs better than the first one from this point of view.
This characteristic, combined with the mechanical simplicity and the acceptable accuracy,
makes the second model very interesting in many practical applications, such as
exoskeleton, prosthesis and orthosis design.
Keywords:
Knee, equivalent mechanisms, numerical stability, sensitivity, singularities 83 1. INTRODUCTION The knee is one of the most studied joints of the human body because of its importance in
daily life and because of the high number of injuries and diseases involving this joint. In
particular, in rehabilitation field, it is very important to have mathematical models that
replicate the anatomical motion of the knee. These models can be used in fact as tools to
design prostheses and orthoses that replicate the natural motion of the joint with high
accuracy. Two approaches have been proposed in the literature for joint modelling: a
simultaneous and a sequential approach as evidenced in [1]. According to the former [2''6],
the joint is modelled as a set of elastic and dumping elements whose parameters are
computed all at once: in this way, kinematic and static analyses are performed at the same
time, by solving motion and force equations together. According to the latter [1, 7''11], the
static and the kinematic problems are solved sequentially, by considering the motion of the
knee in virtually unloaded conditions (passive motion) at first, for the static and dynamic
problems to be solved afterwards. The sequential approach is based on the experimental
evidence that the passive motion of the knee is guided by few anatomical elements, it
exhibits one degree of freedom (1DOF) [1, 9''11] and can be reproduced by a
corresponding equivalent rigid spatial mechanism (ESM) [10''14]. Thus, the kinematic
problem can be solved at a first step, by considering the articular structures that guide the
joint passive motion and by defining the ESM that reproduces this motion. Then, at
subsequent steps, the elements of this model, that have been considered as rigid until this
point, are considered elastic and the remaining articular structures are added to the model,
thus allowing static and dynamic problems to be solved. This approach proved to be very
efficient and provides a procedure that, step by step, generates models with different grades
of accuracy, thus applicable in different fields.
Several ESMs that replicate the passive motion of the knee have been proposed [10'' 14]. In particular, two of them proved to be interesting from different points of view. The
first one [12], hereinafter called ESM2 for consistency with the previous literature [11], is
based on this anatomical evidence: one fibre within the anterior cruciate (ACL), one within
the posterior cruciate (PCL) and one within the medial collateral (MCL) ligaments are
almost isometric during passive motion [15''17] and thus are modelled as binary links of
constant length which are connected at their end to the femur and to the tibia through
spherical pairs. Moreover, both the medial and lateral condyles are almost spherical and
thus are modelled as two spheres (one on the femur, the other on the tibia) that are
constrained to remain in contact throughout the flexion arc. The second model, which is a
spherical parallel mechanism (SPM) [14], is based both on anatomical and kinematic
evidence. Indeed, since the instantaneous screw axes of the femur and tibia relative motion
pass all near a single point (hereinafter called pivot point) [18, 19], this motion can be
considered approximately spherical. According to this hypothesis, the femur and tibia were
connected by a spherical pair centred at the pivot point. Moreover one fibre within the ACL
and one fibre within the PCL are considered isometric and are modelled as binary links of
constant length as in the previous case. 84 The ESM2 model proved to be very accurate in reproducing the experimental passive motion; the SPM model was slightly less accurate but it is equally interesting for practical
applications because of its mechanical simplicity [14]. In this study, numerical stability was
estimated for both models and for four relevant specimens, and the results are here
presented and discussed. In this context, a high numerical stability is associated with three
different properties of mechanisms: low sensitivity to geometrical parameter variation, low
disposition to generate singularity problems and high regularity of motion. These
characteristics, if correctly assessed and verified, would contribute to make the SPM model
very interesting in practical applications like musculo-skeletal modelling and exoskeleton,
prosthesis and orthosis design. 2. METHODS Kinematic Models The equivalent 1DOF mechanism ESM2 was defined as reported in [11, 12]. The femur
and tibia were represented as rigid bodies connected by five rigid binary links through ten
spherical pairs, as depicted in Fig. (1a). Three links respectively identify the ACL, PCL and
MCL. The other two links replace the two pairs of spheres which approximate the condylar
surfaces and are constrained to remain in contact during motion. One anatomical reference
frame, Sf, was embedded in the femur, another one, St, in the tibia, to describe the relative motion between these two bones. The closure equations of the mechanism may be
represented by the following five equations: '' '' R '' '' = L i = 1, . . . ,5, (1) where  i = 1, . . . ,5 is the connection point, represented in St, between the tibia and the i-th rigid link;  i = 1, . . . ,5 is the connection point, represented in Sf, between the (a) The ESM2 model (b) The SPM model Figure 1. The two kinematic models of the knee joint. The geometrical parameters are also represented. 85 femur and the i-th rigid link; L i = 1, . . . ,5 is the length of the i-th rigid link; R is the 3x3 rotation matrix that transforms vector components from Sf to St; P is the position vector of the origin of Sf in St. This model is defined by 35 independent geometrical parameters. For each value assumed by the independent variable, i.e. the flexion angle, Eqn. (1) produces
corresponding values of the other pose variables, namely three displacements and two
rotations, hereinafter called secondary variables.
The equivalent 1DOF mechanism SPM was defined as reported in [14]. The femur and tibia were represented as rigid bodies connected to each other by a spherical pair; moreover,
the two bones are also interconnected through two binary links via spherical pairs (Fig.
(1b)). The two rigid binary links model the ACL and PCL. The centre of the spherical pair
connecting the femur and tibia is represented by the point C in St and by the point D in Sf.
The closure equations of this mechanism can be written as follows:
'' '' R '' '' = L i = 1, 2  '' R ''  =   , (2) where  i = 1, 2 is the centre of the spherical pair, represented in St, connecting the tibia and the i-th binary rigid link;  i = 1, 2 is the centre of the spherical pair represented in Sf, connecting the femur and the i-th binary rigid link; L i = 1, 2 is the length of the i-th rigid link; R and P have the same meaning as in Eqn. (1). This model is defined by 20 geometrical parameters, even though only 16 are independent. As in the previous case, for
each value assumed by the flexion angle, Eqn. (2) produces corresponding values of
secondary variables. Data Acquisition and Pre-processing Reference geometric and kinematic data for the definition of ESM2 and SPM models were
obtained from four fresh-frozen lower limbs, by following a standard experimental
procedure [11]. Substantially, for each specimen, two reference frames (defined by trackers
fixed to the bones) were defined , the first one in the femur, the second one in the tibia, and
the experimental passive motion of the joint was recorded and digitized. The motion was
obtained as a set of poses, each representing the position and orientation of the two trackers
with respect to a laboratory reference frame. The joint was then disarticulated and the
anatomical surfaces were also digitized, together with the ligament insertion areas.
Four SPM models and four ESM2 models, each relevant to a particular specimen, were obtained from these experimental data and then were identified by an optimization
procedure. The two anatomical reference frames Sf and St were defined according to [11, 14]. These reference frames had the x axis oriented anteriorly, the y axis oriented
proximally and the z axis oriented from left to right. The origin of St was the centre of the tibial plateau, i.e. the deepest point in the sulcus between the medial and lateral tibial
intercondylar tubercles; the origin of Sf was the mid-point between the two epicondyles. Relative knee joint rotations, i.e. flexion(+)/extension(-), ab(+)/adduction(-), in(+)/external(-) rotations, were determined according to [20], resulting in angles α, β and γ 86 respectively. Offsets were added so that all these angles were equal to zero at full extension.
Relative translations of the femur with respect to the tibia were measured by the
displacements of a point embedded in Sf, that at full extension was coincident with the origin of St. In particular, displacement along the x, y, z axes of St resulted respectively in anterior(+)/posterior(-), proximal(+)/distal(-), lateral(+)/medial(-) displacements and were
equal to zero at full extension.
A first estimate of geometrical parameters was obtained by processing the anatomical surfaces which were digitized during the experimental procedure. In particular, the points
Ai and Bi (i=1,2,3) of each ESM2 model and Ai and Bi (i=1,2) of each SPM model were
chosen as the pair of points in the relevant ligament insertion areas whose mutual distance
had the smallest variation during motion. Furthermore, the first estimate of the points C and D in SPM coincided with the pivot point of the motion, calculated by means of a standard
least-square procedure [21] as the point featuring the minimum mean distance from the
instantaneous screw axes of the femur and tibia relative motion. Finally, the points Ai and
Bi (i=4,5) that defines the condylar surfaces in ESM2 were obtained by approximating the
condyles by best-fitting spheres.
The geometrical parameter first estimate was refined by means of an optimization procedure in order to calculate the parameters which best approximate the experimental
data. An objective function that estimates the error between the calculated and the
experimental motion was defined as follows:
f = '' '' ''! " #" if closure succeeded , -. / 0-. f = X otherwise  (3) where q0 and q ij '' are the calculated and the experimental values of the j-th secondary variable ( j=1,...,5) at the i-th flexion angle (i=1,...,n) respectively, n is the number of flexion angles, qjd is the excursion of the j-th secondary variable; if the closure equations could not be solved at all flexion angles, an arbitrary high value X was assigned to the objective function. This function was hence minimized by the Newton-Raphson algorithm: the
minimum identifies the particular set of geometrical parameters which define the optimum
mechanism. The optimization domain was properly bounded in order to synthesize a final
geometry not too different from the first estimate. At the end of this procedure, four
optimized SPM models and four optimized ESM2 models were obtained. Numerical Stability Analysis Numerical stability of the defined mechanisms was analyzed in several respects. Firstly,
sensitivity to infinitesimal variation of geometrical parameters was evaluated. The closure
equations can be written in the form

6 7, α, 9 = , (4) 87 where g are the closure equations, α is the flexion angle (the independent variable); q and p
are vectors containing the secondary variables and the geometrical parameters respectively.
The length m of p is different for the two models, but the same symbol is used for the
ESM2 and SPM models, in order to simplify the notation. If the flexion angle α is fixed,
differentiation of Eqn. (4) yields

Mδ7 + Nδ9 = , (5) where δ 9 represents a general infinitesimal variation of the geometrical parameters, δ7 represents the respective variation of the secondary variables, M and N are matrices containing partial derivatives of g with respect to the secondary variables and to the
geometrical parameters respectively. Both M and N depend on α. If M is not singular, Eqn. (5) yields

δ7 = ''M>.Nδ9 = Hδ9, (6) where H is a 5xm matrix that relates the infinitesimal variation of geometrical parameters to the corresponding variation of the secondary variables [22]. In particular, each element hjk of H is the partial derivative of the j-th secondary variable with respect to the k-th geometrical parameter ( k=1,..,m). Matrix H was computed at all flexion angles for each optimized model.
The analysis of elements hjk makes it possible to determine the sensitivity of each secondary variable to a small variation of each geometrical parameter at the given flexion
angles. However, it is extremely useful and convenient to define an index which describes
the sensitivity of a mechanism from a global point of view. Several properties of matrix
singular values can be used to achieve this target. Firstly, matrix H was made dimensionally homogeneous by dividing each element hjk by the excursion of the corresponding j-th secondary variable. In other words, each row j of H was divided by the corresponding value qjd. In this way, a new matrix H@ was obtained which satisfies the relation
δ7@ = HAδ9, (7) where δ7@ is a vector that collects the relative variations of secondary variables with respect to their corresponding excursions. The elements of δ 7@ will be called secondary variables in the following for the sake of clarity and brevity. Matrix H@, like all rectangular matrices, can take the form

H@ = UƩV, (8)
where U and V are respectively a 5x5 and a mxm unitary matrix and Ʃ is a 5xm diagonal matrix, with nonnegative elements on the diagonal. Such a factorization is the singular 88 value decomposition of H@ and the elements on the diagonal of matrix Ʃ are known as the singular values of H@. The linear transformation identified by matrix H@ can be thus decomposed in a series of three sub-transformations: a rotation V in the m-dimensional space of geometrical parameter variations, a pure dilatation Ʃ that transforms from this m- dimensional space to the 5-dimensional space of secondary variable variations and a pure
rotation U in this 5-dimensional space. Each singular value of matrix H@ is thus the ratio between the modulus of the vector δ7@ and the modulus of the vector δ9 along a particular main direction of the transformation identified by matrix H@, i.e. s0 = ''E7F'' ''E9'' , (9) where s0 (j=1,...,5) is the j-th singular value of matrix H@. For ''δ9'' = 1, Eqn. (9) can be written as
s0 = ''5H EFI"JEF""JEFK"JEFL"JEFM" / . (10) Accordingly, along each principal direction, the relevant singular value is proportional to
the root mean square variation of the secondary variables.
In particular, the maximum singular value s0NOP is proportional to the maximum root mean square variation of the secondary variables caused by a unit error vector δ9 of geometrical parameters. Thus, s0NOP provides an important information about the sensitivity of the mechanism and was used as a first global sensitivity index I1. However, the other singular values also have an important role in describing sensitivity because they
refer to the other principal directions of H@. Another global sensitivity index, hereinafter called I2, was hence defined as the product of the five singular values. This index is proportional to the volume of the ellipsoid in the 5-dimensional space of secondary variable
variations, that is the transformed of a unitary radius sphere in the m-dimensional space of
geometrical parameter variations. These indices provide complementary information about
the sensitivity of a mechanism: I1 describes the maximum sensitivity of the mechanism, while I2 describes the average sensitivity by considering all principal directions. Indices I1 and I2 were evaluated for each optimized model and at all flexion angles. Sensitivity to relatively large variations of geometrical parameters was also analyzed. For each optimized model, geometrical parameters were modified by a random error chosen
in a way that modified insertion points and lengths were distant no more than 1 mm from
the optimal ones. For this modified mechanisms, the closure equations were solved at all
flexion angles and the corresponding secondary variables were computed. If the closure
equations could not be solved at all flexion angles, another random modification of
geometrical parameters was produced. This procedure was repeated 3000 times for each 89 optimized model. Thus, 3000 mechanisms affected by random geometrical errors were
obtained on the whole for each optimized mechanism, and the global mean square error of
the secondary variables was calculated as follows:
e = . QRRR''/'', '' '' '' T ' >VWX! " #" , -. / 0-. QRRR Y-. , (11) where qY0' and q0 Z[\ are the values of the j-th secondary variable at the i-th flexion angle obtained respectively from the l-th mechanism affected by error and from the corresponding optimized mechanism. The total number v of mechanisms for which the closure did not succeed at all flexion angles was also computed and was used as an index to
estimate the tendency of a model to generate singularity problems.
Finally, the first derivatives of the secondary variables with respect to the flexion angle α were computed for the 3000 mechanisms affected by random errors and were compared
with the corresponding derivatives evaluated for the optimized mechanisms. This
comparison was carried out by a mean square error eder defined like in Eqn. (11) by replacing the secondary variables with their derivatives. This index provides further
information regarding the sensitivity of equivalent mechanisms since it quantifies how the
derivatives of secondary variables are sensitive to large geometrical parameter variations.
This aspect is directly related to the regularity of motion when geometrical errors affect the
mechanism. 3. RESULTS AND DISCUSSION The optimization procedure was carried out on a standard platform with a 2.8 GHz
processor and 6 GB of RAM; it took about one hour for ESM2 model and about five
minutes for SPM model for each specimen. The pre-optimization process that was required
to overcome singularity problems took several hours for ESM2 model and about five
minutes for SPM model. This high difference between the two mechanisms is due to the
greater mechanical simplicity of the SPM model with respect to the ESM2 model.
Accuracy analysis and relevant results of both ESM2 and SPM were presented in previous investigations [11, 12, 14] and are not reported here. In summary, model ESM2
replicates the experimental motion very well. Model SPM is slightly less accurate but the
results still remain within the range of acceptance for many application fields such as
exoskeleton, prosthesis and orthosis design, and musculo-skeletal modelling.
In this paper, numerical stability was evaluated and the results are here reported. The elements of the 5xm matrix H@ are shown in Fig. (2) for one representative specimen. Similar results were obtained for the other specimens. The left column refers to ESM2
model and the right column refers to SPM model while the j-th row (j=1,',5) reports hjk ( k=1,',m) elements of HN versus the flexion angle α; each colour refers to a different geometrical parameter k. This figure shows that the sensitivity to infinitesimal geometrical 90 parameter variations is much higher in the ESM2 model than in the SPM model.
Furthermore, both global sensitivity indices I1 and I2 are represented in Fig. (3) for the same specimen of Fig. (2). In particular, the first row shows the index I1 in thick blue line. The other four singular values of matrix H@ are reported in thin lines for completeness. The second row shows the index I2 versus the flexion angle α. These indices confirm the higher sensitivity of the ESM2 model with respect to the SPM model. In particular, for the
specimen considered in the figures, the index I1 is much higher for ESM2 model in the first half of the flexion arc and has about the same value for both models in the second half. The
index I2 instead is much higher for ESM2 model throughout the flexion arc, and the difference still increases in the first half of the motion. The fact that these indices confirm
the trend that has been shown in Fig. (2) is a partial verification of their capacity to
represent and summarize the mechanism sensitivity to geometrical parameter variation.
The results that correspond to large variations of geometrical parameters are shown in Fig. (4) for the same specimen of the previous figures. As before, the left column refers to
the ESM2 model, the right column refers to the SPM model and the j-th row shows the j-th secondary variable patterns versus the flexion angle α. The thick red lines represent the secondary variable patterns of the optimized mechanism, the thin blue lines represent the
same patterns of the 3000 random modified mechanisms, the thick green line is the mean
value of the 3000 blue lines and the thick green dashed lines define the relevant standard
deviation. The higher dispersion of the blue lines and the corresponding higher standard
deviation computed from ESM2 model confirm its higher sensitivity with respect to SPM
model even in the presence of large geometrical parameter variations. Moreover, for the
SPM model, the mean value of each secondary variable (green lines) coincides
approximately with the corresponding value of the optimized mechanism (red lines); on the ESM2 SPM Figure 2. Sensitivity to small variations of the geometrical parameters of ESM2 and SPM models. 91 contrary, this does not occur for the ESM2 model, for which these values are very different.
This fact shows the strong nonlinearity of the ESM2 model with respect to the SPM model.
Furthermore, the bifurcations in blue patterns of the ESM2 model indicate its tendency to
converge to different closure configurations; this aspect reveals the higher tendency of the
ESM2 model to generate singularity problems.
The global weighted mean square error e, as defined in Eqn. (11), the corresponding error eder related to the derivatives of secondary variables, and the total number v of mechanisms for which the closure did not succeed at all flexion angles are reported in Tab.
(1) for both models and for all specimens. These indices are always higher for the ESM2
model than for the SPM model. This evidence confirms the higher numerical stability of
SPM with respect to ESM2: SPM generates a more stable and regular motion and has a
lower tendency to generate singularity problems. ESM2 SPM Figure 3. Global sensitivity indices I1 and I2 evaluated for ESM2 and SPM models. Table 1. Global error indices applied to the secondary coordinate patterns (e) and to their first derivative (eder ), and the total number v of mechanisms for which closure did not succeed at all flexion angles. Specimen 1 Specimen 2 Specimen 3 Specimen 4 e ESM2 0.1075 16.9209 2.3964 3.1947 SPM 0.0861 0.0620 0.2955 0.5259 eder ESM2 0.0488 4.1510 0.0350 0.4054 SPM 0.0045 0.0049 0.0152 0.0451 v ESM2 172 2430 12235 8557 SPM 0 0 854 0 92 4. CONCLUSIONS Mathematical models that simulate the passive motion of human joints are very useful in
rehabilitation field and prosthesis and orthosis design. These models should be
topologically simple, should be accurate in describing anatomical motion and should have a
high numerical stability.
In this paper, the numerical stability of two classes of mechanisms for the kinematic modelling of the knee joint (ESM2 and SPM models) was analyzed. The model accuracy
was studied in previous papers: ESM2 reproduces the experimental motion very well; the
SPM is slightly less accurate but, despite its grater mechanical simplicity, it has a good
accuracy for many practical applications. According to the results of this paper, the SPM
model proves also to have a higher numerical stability than the ESM2, showing a lower
sensitivity to geometrical parameter variations, a lower disposition to generate singularity
problems and a higher regularity of motion. Thus, good accuracy, mechanical simplicity
and high numerical stability make the SPM model very interesting in practical applications
like exoskeleton, prosthesis and orthosis design, and musculo-skeletal modelling. Acknowledgements The financial support of AERTECH-LAB project, funded by Regione Emilia-Romagna,
and MIUR is gratefully acknowledged. The authors also thank Dr. Alberto Leardini for the
facilities an Dr. Claudio Belvedere for the support during experimental sessions.


ESM2 SPM Figure 4. Sensitivity to large variations of the geometrical parameters of ESM2 and SPM models. 93 REFERENCES [1] V. Parenti-Castelli, A. Leardini, R. Di Gregorio, and J. J. O''Connor, 2004. ''On the modeling of
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September 24''28, pp. 1''9. 95 96 APPLICAZIONI STORICHE DELLE CAMME


Umberto Meneghetti
DIEM '' Dipartimento di Ingegneria delle Costruzioni meccaniche, nucleari, aeronautiche
e di Metallugia,
Università di Bologna, Italia
E-mail: umberto.meneghetti@mail.ing.unibo.it


Sommario. Le camme sono organi meccanici ben noti e sono oggi largamente impiegate,
per esempio nei motori a combustione interna, nelle macchine confezionatrici e in molti al-
tri campi. Anche nel passato esse ebbero molte interessanti applicazioni, svolgendo un
ruolo fondamentale nello sviluppo di settori quali la siderurgia, la metallurgia, l''industria
della carta, l''industria tessile, e così via. Semplici alberi a camme, sotto forma di rulli o ci-
lindri a perni, si trovano impiegati per azionare strumenti musicali quali gli organi mecca-
nici e le scatole musicali, mentre il funzionamento degli automi del Settecento si basa
sull''impiego di camme molto evolute e sofisticate. Esempi più recenti, ma ormai storici, di
applicazioni delle camme si trovano nelle macchine da scrivere, nei calcolatori analogici,
nei servomeccanismi, nei torni automatici.
Questo lavoro illustra brevemente alcune delle applicazioni sopra citate.

Parole chiave: alberi a camme, applicazioni storiche, automi, camme
1. INTRODUZIONE Secondo il Dizionario della Lingua italiana Devoto-Oli, il termina camma deriva dal francese
came, e secondo il Dizionario Francese Larousse, questo dal tedesco Kamm, cioè cresta. L''aspetto dei primi alberi a camme giustifica pienamente questa etimologia. Si tratta, infatti, di alberi muniti di grossolane sporgenze destinate ad imprimere un moto alterno ad
un membro traslante od oscillante, per azionare macchine quali mantici, pompe, seghe, ma-
gli, pile e simili. La forma delle camme non evidenzia un particolare interesse per la legge
di moto impressa al cedente, che deve semplicemente essere spostato da una posizione di
partenza ad una di arrivo; il ritorno viene poi ottenuto per azione di una molla o, più comu-
nemente, per effetto del peso dello stesso cedente. Queste applicazioni sono proseguite,
senza modifiche essenziali, almeno fino a tutto il XIX secolo. Anche le interessanti applicazioni ai carillon, agli organi meccanici e alle scatole musicali fanno ricorso a camme sostanzialmente simili a quelle sopra menzionate, con solo qualche pic-
cola ulteriore caratterizzazione suggerita dal tipo di applicazione. Nella seconda metà del XVIII
secolo, invece, fanno la loro comparsa camme analoghe a quelle impiegato nelle attuali appli-
cazioni industriali, cioè camme destinate ad imprimere al cedente sofisticate leggi di moto. Da
queste camme hanno preso le mosse quelle impiegate nelle macchine automatiche, nei servo-
meccanismi e nelle altre complesse applicazioni che si incontrano dal XX secolo fino ai nostri
giorni. Questo lavoro si propone di illustrare brevemente le principali applicazioni storiche delle camme, senza entrare nel merito delle specifiche storie dei molti, importanti settori in cui tali
applicazioni si sono sviluppate. 97 Figura 1. Sega idraulica azionata da un albero a camme, dal ''Livre de portaiture' di Vil- lard de Honnecourt, XIII secolo [1]. 2. I PRIMITIVI ALBERI A CAMME Tralasciando possibili applicazioni più antiche, come quelle di epoca ellenistica '' per le
quali si hanno descrizioni letterarie, ma non rappresentazioni grafiche contemporanee '', si
ritiene comunemente che la prima raffigurazione di un albero a camme sia quella relativa
alla sega idraulica presentata nel suo taccuino di appunti da Villard de Honnecourt [1], in-
gegnere-architetto francese del XIII secolo. Villard ha rappresentato lo schizzo di una sega
alternativa, mossa da una ruota idraulica che trascina un albero a camme: queste impongo-
no uno spostamento ad un membro di un sistema articolato che, a sua volta, muove la sega
in un verso; il ritorno, cioè il movimento della sega nel verso opposto, è prodotto da un ra-
mo fissato al terreno e funzionante da molla, v. Fig. 1. Da notare che Villard non ha inventato la sega che rappresenta nel suo taccuino, ma si è limitato ad annotare una cosa che ha visto nei suoi viaggi e che gli è parsa interessante.
Possiamo quindi presumere che applicazioni del genere '' forse di derivazione araba -, per
quanto non comunissime, fossero diffuse da tempo in Europa. In effetti, si hanno notizie di mulini a camme per la follatura della lana presenti in In- ghilterra e in Spagna già nel XII secolo. Un''applicazione storicamente accertata è comunque quella della pila di Fabriano [2], v. Fig. 2, risalente al XIII secolo: si tratta di un albero a camme impiegato per sollevare i pestelli
della pila, o mulino, in cui gli stracci venivano ridotti in poltiglia, successivamente impiegata
per la fabbricazione della carta. Proprio all''impiego di questo dispositivo meccanico viene at-
tribuita gran parte del merito della superiore qualità della carta prodotta a Fabriano. Successivamente, e per tutto il Rinascimento e oltre, si incontrano numerosissime rap- presentazioni di alberi a camme [3], [4], [5], [6], [7]. Molte di queste rappresentazioni si ri-
feriscono ad applicazioni reali, o almeno possibili, v. Figg. 3, 5, mentre altre appaiono solo 98
Figura 2. Pila o Mulino di Fabriano. Vecchio albero a camme (sopra) e ricostruzione moderna della pila a magli multipli (sotto). esercizi di fantasia, spesso, peraltro, non privi di interesse, come nel caso della camma a
comando positivo rappresentata da Agostino Ramelli, v. Fig. 4. Gli alberi a camme, nella forma primitiva della pila di Fabriano o in forme poco più evolute, sono stati sicuramente impiegati almeno fino al XIX secolo, per es., in industrie
tessili, metallurgiche e siderurgiche, in pile da riso, e altro [8], [9], come attestano per es.
varie rappresentazioni in manuali ed enciclopedie, v. Fig. 6. 99
Figura 3. Esempi di alberi a camme. Sopra: Mantici, disegno del Taccola (Mariano di Jaco- po), 1382-1453 circa [3]; sotto: Pompa da miniera di Giorgio Agricola, 1563 [5]. 100 Figura 4. A sinistra: ''Machina per far montare l''acqua' di Agostino Ramelli, 1588 [6]; a destra: Particolare della camma a comando positivo. Il piolo del cedente si impegna nei sol- chi di due camme affacciate.

Figura 5.
Gualchiera, dal ''Theatrum Machinarum Novum' di Andreas Böckler, 1661 [7]. 101 Figura 6. Fucinatura dei lingotti in un''officina del XVIII secolo. Enciclopédie Diderot, moulinafer.free.fr. 3. CARILLON, SCATOLE MUSICALI, ORGANI MECCANICI Carillon di campane In Occidente, il più antico carillon di campane di cui si ha notizia pare sia quello della Catte-
drale di Strasburgo del 1352; un altro importante carillon è quello costruito nel 1554 da P. van
den Ghey: le parti sopravvissute di questo carillon sono ora al Rijkmuseum di Amsterdam. La massima diffusione dei carillon si ebbe però dal ''600 al ''900, soprattutto in Belgio, in Olanda e nel Nord della Francia, ma anche in molte altre parti d''Europa [10]. I tamburi dei carillon, come quelli delle scatole musicali e degli organi meccanici, si pos- sono considerare derivati direttamente dai primitivi alberi a camme. Questi tamburi portano in-

Figura 7. A sinistra: Schema dell''azionamento di una campana di carillon; a destra: Tam- buro del grande carillon di Ghent, 1659 [10]. 102
Figura 8. Particolare di tamburo di carillon e inserimento di un nuovo motivo (www. msu.edu).
fatti delle file di pioli disposti su una circonferenza: ogni fila aziona il meccanismo del batac-
chio di una campana, v. Fig. 7. Anche in questo caso le camme, cioè i pioli, devono imprimere
al cedente solo un determinato spostamento, e non una particolare legge di moto. I carillon possono essere programmabili, è cioè possibile cambiare il motivo musicale: in questo caso, il tamburo porta semplicemente dei fori, entro i quali i pioli che costituisco-
no le camme possono essere disposti in vario modo, v. Fig. 8. Scatole musicali Analoghi a quelli dei carillon sono i tamburi delle scatole musicali [11], che hanno avuto larga
diffusione soprattutto dal Settecento in poi. Le scatole musicali sono peraltro sostan-
zialmente più semplici dei carillon di campane, perché i perni del tamburo agiscono di- Figura 9. Scatola musicale. 103 rettamente sulle laminette sonore che, accordate sulle varie note, emettono i suoni richiesti,
v. Fig. 9. Affinché sia possibile cambiare il motivo musicale, si deve poter sostituire il tam-
buro con un altro, diversamente programmato. Organi meccanici Gli organi meccanici sembra abbiano avuto illustri antenati nell''antichità: viene infatti cita-
to un organo a vento di Erone, di epoca ellenistica, del quale sono state tentate anche mo-
derne ricostruzioni grafiche in base alle descrizioni pervenuteci. Qui però considereremo
solo gli organi meccanici diffusi e documentati in epoca moderna. Come nei carillon di campane, anche negli organi meccanici [11] i tasti sono azionati da un tamburo, v. Fig. 10; qui, però, è possibile variare la durata delle note, per cui le sporgenze
non sono dei semplici pioli, ma possono avere lunghezze differenti. Poiché l''organo richiede
dei mantici per creare aria compressa da inviare nelle camme, sono stati realizzati anche
organi idraulici, nei quali sono azionati idraulicamente sia il tamburo, sia i mantici. Da rilevare che nel passato sono state costruite delle macchine musicali molto complesse, vere e proprie ''orchestre meccaniche', in grado di produrre le voci di molti
strumenti, sia a percussione sia a fiato e a corda. Veri precursori del grammofono e del juke-box, queste macchine musicali venivano utilizzate sia in luoghi di intrattenimento
pubblico, sia in case private. 4. AUTOMI Un notevole precursore dei successivi automi meccanici realizzati in Europa nel Settecento
è il dispositivo descritto da al-Jazari nel 1276 [12], che è contemporaneamente un automa
e una scatola musicale programmabile, v. Fig. 11. In questo' battello da tavola', destinato
ad allietare i banchetti, un albero a camme fa muovere quattro suonatori; cambiando le
camme, si può cambiare il motivo suonato. Figura 10. Organo meccanico [11]. 104
Figura 11 '' Battello di al-Jazari, 1206. La ruota idraulica trascina l''albero a camme, e que- ste fanno muovere i quattro suonatori visibili sulla sinistra del disegno.
Nel battello di al-Jazari le camme sono ancora del tipo primitivo. Come abbiamo visto, nei secoli successivi, qualche piccolo progresso era stato compiuto in alcuni settori, per e-
sempio con l''impiego di camme di lunghezza variabile negli organi meccanici o con la
camma a comando positivo del Ramelli, peraltro solo ideata. Nella seconda metà del Sette-
cento, invece, le camme fecero un improvviso e straordinario salto di qualità, per opera di
alcuni costruttori di automi, quali Vaucanson, Kintzing, i Jaquet-Droz, Maillardet. Il grande successo degli automi va probabilmente inquadrato nella particolare temperie culturale dell''Epoca dei lumi: l''automa, infatti, fu considerato un simbolo della capacità
dell''uomo di dominare la natura, di imitarla alla perfezione e addirittura '' con qualche pa-
lese esagerazione '' di diventarne egli stesso creatore. Uno dei primi e più significativi esempi è l''automa musicale noto come ''La joueuse de tympanon' [13] o suonatrice di dulcimero, realizzata nel 1784 da Kintzing per la regina
Maria Antonietta. In questo automa, delle camme complesse, analoghe a quelle delle mo-
derne macchine automatiche, imprimono i movimenti al corpo e alle membra della piccola
suonatrice, mentre il movimento di battuta dei martelletti è ottenuto per mezzo di pioli di-
sposti su un tamburo. La scelta di suonare un semplice strumento a percussione permette di
evitare l''esigenza di modificare la durata e l''intensità delle note, mentre per cambiare il
motivo basta spostare assialmente il rullo, sul quale le camme corrispondenti ai diversi mo-
tivi sono disposte su circonferenze parallele.
105 Figura 12. ''La joueuse de tympanon', realizzata nel 1784 da Kintzing e Roentgen, in grado di suonare otto diversi motivi musicali. ©Musée des arts et Métiers, Parigi. Figura 13. Lo scrivano dei Jaquet-Droz [15]. Nella figura di destra sono evidenziati i not- tolini per la programmazione dei caratteri da scrivere. 106 Figura 14. A sinistra: l''automa di Maillardet, ora al Franklin Institute di Philadelphia; a destra: la scritta e i disegni che l''automa è in grado di tracciare [14]. Gli automi meccanici più famosi sono senz''altro i tre Androidi [14], [15] costruiti tra il 1768 e il 1771 dall''orologiaio svizzero Pierre Jaquet-Droz, da suo figlio Henri-Louis e dal lo-
ro aiutante Jean-Frederic Leschot. Lo Scrivano, la Musicista e il Disegnatore sono automi
davvero straordinari. Numerose camme imprimono alle loro membra, al busto, alla testa, agli
occhi movimenti ed atteggiamenti che imitano alla perfezione quelli umani; ed è proprio muo-
vendo le braccia e le mani che scrivono, suonano, disegnano: come esseri umani, appunto. La Musicista, per es., suona un organo, e le camme che la azionano permettono di mo- dulare la durata del contatto fra le dita ed i tasti, cioè la durata della nota. Il più complesso degli Androidi è però lo Scrivano, v. Fig. 13, dotato di un dispositivo per programmare il carattere da scrivere e, quindi, la successione dei caratteri e delle pause,
per cui la frase da scrivere può essere cambiata senza cambiare le camme. Molto complesso è anche l''automa costruito da Henri Maillardet [16], ex collaboratore dei Jaquet-Droz: un disegnatore-scrivano ora al Franklin Institute di Philadelphia, USA.
Questo automa è in grado di disegnare e di scrivere, v. Fig. 14; si ritiene che esso possieda
la più ampia memoria meccanica di tutte le macchine simili mai costruite. Automi meccanici più o meno complessi sono stati costruiti anche in seguito, ma non hanno più raggiunto la perfezione e la magia di questi primi esempi.
5. CALCOLO ANALOGICO E SERVOMECCANISMI Gli Androidi e gli altri Automi dimostrano che nella seconda metà del Settecento si possede-
vano conoscenze tecniche sufficienti per risolvere i problemi fondamentali della Cinematica
geometrica. Le camme avrebbero dunque potuto essere impiegate già allora per risolvere pro-
blemi di calcolo analogico o per costruire macchine automatiche: questi problemi, evidente-
mente, non erano però ancora maturi, e non furono affrontati che molto più tardi. 107 Figura 15. Camme per la generazione di funzioni [17]. Figura 16. Schema di calcolatore meccanico analogico per risolvere la relazione 2 2 a c b = '' [17]. 108 Figura 17. Il Computer MARK 1 della Ford Instrument Company, Long Island City, New York. Come parte del sistema MARK 37, era impiegato nei sistemi di puntamento dei can- noni calibro 5"/38, 5"/54, 6"/47, e 8"/55 per obiettivi di terra e di aria [18]. I primi impieghi pratici delle camme per i problemi sopra citati sembrano infatti risalire al periodo fra le due guerre. Nella Fig. 15 sono riportati esempi di camme per la generazione di funzioni [17], utilizzate nei calcolatori analogici, nei servomeccanismi e nelle macchine automatiche, mentre nella Fig.
16 è rappresentato lo schema di un calcolatore analogico da utilizzare per ricavare la lunghez-
za di un cateto di un triangolo rettangolo, note quelle dell''ipotenusa e dell''altro cateto [17]. Figura 18. Torretta, slitte e camme di un tornio automatico Index [19]. Nei torni automatici le camme sono impiegate come generatori di funzioni. 109 Figura 19. Schema di un interruttore elettrico di potenza della GE [20]. Dispositivi di questo tipo, basati peraltro sull''impiego sia di camme, sia di sistemi arti- colati, furono largamente impiegati nei servomeccanismi utilizzati per applicazioni militari.
Un esempio è il MARK 1 [18], un computer analogico elettromeccanico usato dalla Marina
Militare americana su portaerei, corazzate, incrociatori e cacciatorpediniere durante la se-
conda guerra mondiale, v. Fig. 17. Figura 20. Meccanismo di macchina da scrivere elettrica IBM e suo schema cinemati- co [21]. 110 6. ALTRE APPLICAZIONI Nei primi tre quarti del secolo scorso le camme hanno avuto molte applicazioni: alcune so-
no ancora attuali e non vi è indizio che stiano per essere abbandonate, ma in altre si preferi-
scono ora soluzioni elettroniche, più efficaci e '' soprattutto '' molto più flessibili. Citiamo, a titolo di esempio, i torni automatici [19], v. Fig. 18, gli interruttori elettrici di potenza [20], v. Fig. 19, e le macchine da scrivere [21], v. Fig. 20. 7. CONCLUSIONI Le camme sono organi meccanici molto raffinati, che trovano oggi largo impiego in molte
applicazioni, le più note e importanti delle quali sono senza dubbio le macchine confezio-
natrici automatiche e i motori a combustione interna. Nel passato, esse sono risultate essenziali nello sviluppo di settori industriali di prima- ria importanza, quali la siderurgia, l''industria della carta, l''industria tessile e altri. Sono i-
noltre presenti in campi affascinanti come la musica meccanica e gli incantevoli automi del
Settecento. Lo studio delle loro applicazioni storiche costituisce dunque un viaggio estremamente interessante nella storia della tecnica e della cultura. BIBLIOGRAFIA [1] http://classes.bnf.fr/villard/feuillet/index.htm Folio 44. [2] Castagnaro G. (a cura di), 1990. Contributi italiani alla diffusione della carta in Occidente tra XIV e XV secolo. Fabriano, Pia Università dei cartai. [3] Taccola (Mariano di Jacopo detto il), 1433. Liber tertius de ingeneis ac edifitiis non usitatis. Ri- produzione in facsimile del ms. P.766 della B.N.C. di Firenze. A cura di J. Beck, Edizioni Il Po-
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112 A STUDY ON THE REHABILITATION HAND
EXOSKELETONS
Mohammad Mozaffari Foumashi Department of Mechanical and Aeronautical Engineering, University of Bologna, Italy E-mail: mohammad.mozaf ari2@unibo.it Marco Troncossi Department of Mechanical and Aeronautical Engineering, University of Bologna, Italy E-mail: marco.troncossi@unibo.it Vincenzo Parenti Castel i Department of Mechanical and Aeronautical Engineering, University of Bologna, Italy E-mail: vincenzo.parenti@ unibo.it
Abstract . Within the frame of BRAVO (a project that aims at the development of an advanced robotic system for the rehabilitation of post-stroke patients with diseases at the upper limb), the authors are directly involved in the design of a hand exoskeleton (or active hand orthosis) intended to restore the patient''s ability to grasp objects as a fundamental step for the rehabilitation of functional autonomy in the everyday living. The analysis of the state-of-art is the first step of our activity, preceding the design phase. This paper proposes a systematic classification of the reviewed systems based on two main key issues, namely the degrees of freedom of a finger exoskeleton and the number of contact points with the human finger phalanges. This classification is helpful to understand the reason of proposing certain solutions for the dif erent applications and the advantages and drawbacks of the dif erent designs proposed in the literature.
Keywords : Rehabilitation Robotics, Hand Exoskeleton, Finger Classification 1. INTRODUCTION
The hand is an organ of grasp as wel as of sensation, fine discrimination and exquisite dexterity. Unfortunately hand injuries are very common and the number of people suffering from that is increasing nowadays [1]. The injuries include traumatic injuries, problems related to the ageing (e.g. arthritic conditions), congenital deformities and the problems of a weak control of movement and force due to neurological diseases. The corresponding malfunctioning of the hand results in limitation in activities of daily living. The importance of having a normal y functioning hand for an independent and active life needs no emphasis. At the rehabilitation phase, the recovery of hand functioning is general y assisted by physical therapists that make the patients perform some exercises. These exercises are mainly concentrated on basic gross mobility skil s such as moving specific joints and 113 strengthening specific muscles. Further exercises, more complicated, can possibly be executed in order to al ow the patient to recover the ability in activities of daily living (ADLs). A few months are required quite often to achieve acceptable improvement in finger movement and autonomous control. So the rehabilitation procedure is general y time consuming and with high cost. A way to solve part of this problem is doing rehabilitation and therapy exercises at home. Although it could be a positive solution, it should be noted that no monitoring and no systematic control on the therapy practices is a problem. Lack of motivation of patients to perform exercises at home can be also another problem. With focus on the literature of the last decades, there has been a growing interest and research activities to explore the use of robotic systems in the area of rehabilitation purposes to solve (in part) the mentioned problems. In particular, a number of hand exoskeletons (HEs), also known as active hand orthoses, have been proposed as robotic aids for substituting or assisting the therapists in the rehabilitation process [1-15]. The main issue that must be taken into account in the use of hand rehabilitation robotic systems is the factor "Assistance-as-needed". In a few words, the exoskeleton should provide as much force/movement assistance as needed to accomplish the task, whereas it should enable the patient who does not need power assistance to move autonomously. In this lat er case, the machine should not contrast the finger ''free' movement. According to various types of hand problems, different rehabilitation protocols and HEs have been proposed. Obviously, also the design of the robotic systems strictly depends on the functions to be accomplished and the rehabilitation procedure to be implemented. Considering the implications on the exoskeleton design issues, three aspects of the rehabilitation protocols could be pointed out that can lead to completely different solutions: ' global complexity of exercises: basic movements of the finger joints vs. execution of ADLs. The basic movements of the finger joints consist of simple exercises intended to improve the finger mobility and strengthen the muscles. Performing manipulation tasks related to ADLs (e.g. grasping a bot le and pouring liquid into a glass) involve cognitive aspects as wel and is intended to restore also the ability to control autonomously one''s hand movements; ' complexity of the hand movements: gross motion of al the fingers (e.g. for a cylindrical grasp) vs. single finger dexterity. Rehabilitation of power grasping (in which al fingers are actuated simultaneously) is one of the main features that must be rehabilitated, whereas the rehabilitation of the finger dexterity is slightly harder objective, requiring the capacity of the brain to perform the so-cal ed ''fractionation' that is the ability to move the fingers independently (and this could be a problem for patients with brain injuries); ' rehabilitation environment: real environment vs. virtual reality. When performing exercises of ADLs, rehabilitating a patient in a virtual environment is closer to what he/she wil do out of the rehabilitation procedure. On the other side, the great advantages of virtual reality is that a simulator software can create many different environments and quickly switch between them without any set-up time. In addition, it makes motivation to the patient to do the exercises because it looks like playing a game. It is worth mentioning that with respect to other kinds of robotic hands, a HE is directly at ached to the human hand so that the movements of the two ''systems' are coupled while '' from the dual point of view '' forces/moments are exchanged. In the design of such machines, and starting from the specific tasks that must be performed, a number of critical 114 issues are therefore to be considered, e.g. the control of the transmit ed forces is mandatory for safety reasons, the motion of the HE links must be consistent with that of the human fingers and so on. As for the design of every new technological products, the analysis of the state-of-art may help in defining some key issues and related solutions, by observing the existent products/prototypes that have been proposed so far. In a thorough review of the literature, a systematic approach would greatly help to understand the close relation among the different key factors and aspects of designing. In this perspective, the present paper proposes a systematic classification, focusing on the kinematics of the system, based on two main key issues: number of degrees of freedom (DOFs) and number of contact points (or connections) between human finger phalanges and the HE. This classification is helpful to understand both the reason of proposing certain solutions for the different applications and the advantages and drawbacks of the different designs proposed in the literature. This activity was carried out in order to obtain useful guidelines for the design of new HEs. 2. THE REHABILITATION HEs
From a kinematic point of view and according to a popular model, the human hand has 20 degrees of freedom (DOFs) [16]: indeed each finger has 3 joints and 4 DOFs each. In particular, for the index, middle, ring and lit le fingers the joints are cal ed (starting from the distal end) distal interphalangeal (DIP), proximal interphalangeal (PIP), and metacarpophalangeal (MCP) joints. The DIP and PIP joints have flexion/extension DOF, while the MCP joint has both flexion/extension and abduction/adduction DOFs. For the thumb the terminology is slightly different: from the distal end there are the interphalangeal (IP), the metacarpohalangeal (MCP) and the Carpometacarpal (CMC) joints. The IP and MCP joints have flexion/extension DOF, whereas CMC joint has both flexion/extension and abduction/adduction DOFs. Depending on the applications, different HEs present different kinematic characteristics, in terms of both actuated DOFs and transmission chain layout. General y speaking, HEs control the movement of fingers by means of a series of links which could be placed above the fingers, beside the fingers or inside the palm. Each solution contains some advantages and drawbacks according to their placement. First critical problem that must be solved for those devices that are placed above the fingers is the mechanical interference between the links and the anatomical parts. A number of devices use different kind of Remote Centre of Motion (RCM) mechanisms, such as gear-rack and slider mechanism, to make the mechanism centre of motion coincide with the human joint axis while avoiding mechanical interference. Other devices that are placed above the fingers do not exploit any RCM mechanisms and use simpler solutions (such as 4-bar mechanisms) to transmit motion and avoid interference. The exoskeletons that are placed beside the fingers do not need any RCM mechanisms [17], because their center of rotation is coincident with the center of rotation of the human finger. It looks great benefit, but this solution needs space beside the fingers that are not always available (e.g. between index and middle, middle and ring fingers). The exoskeletons that are placed inside the palm do not need any RCM mechanisms [18] as wel . They could be very simple and light weight. The main disadvantage of these HEs is that their placement wil decrease the workspace of the exoskeleton and makes complete grasping impossible. Apart from the kinematic scheme of the device, another discriminating characteristic of different HE solutions is the choice of actuators and transmission systems. The 115 rehabilitation HEs typical y use pneumatic actuators or electric actuators (whereas no hydraulic systems were found in the literature). The HEs that use pneumatic actuators could be more lightweight than those using electric actuators. But, in general, they need a big external compressor which is a major drawback. In order to keep the weight of the exoskeletons limited, the actuator parts are usual y far from the exoskeleton (e.g. placed on a frame fixed to the user''s forearm). The power is transmit ed to the exoskeleton at ached to the fingers by means of different transmission systems such as wire-driven mechanisms or linkage mechanisms. It is worth mentioning that in some devices the use of very lightweight electric motors (ultrasonic motors) makes it possible to place the actuator directly above the fingers [19]. The control of a HE is general y in charge of the wearer, who must generate proper input signals (basical y depending on the application for which the system is designed) to control the HE finger functions, e.g. EMG-signals gained from human muscles [2, 8, 20, 21] or the movements measured on the other hand (using the so-cal ed self motion control, [6]) or the force exerted on the HE itself [22]. In addition to the input command sensors, exoskeletons need some position sensors and force sensors to implement proper motion control strategies (typical y position control or force control or a combination of both). For position control ing, most exoskeletons use incremental encoders integrated in the electric motors and the joint angles are calculated by means of the kinematic scheme of the mechanism. Some exoskeletons use sensors (e.g. potentiometers, Hal effect sensors, absolute encoders) directly placed on joints to measure the relative angular position of the connected links. Also the force sensors can be placed in different parts of the exoskeleton, depending on their characteristics and working principle. In some devices, they are directly placed between the HE and the human fingers to measure the contact force. Unfortunately, in this arrangement the sensors do not distinguish between forces exerted by the user and external forces. Thus, during contact with the environment, it becomes impossible to recognize the user's intention. Additional force sensors at every possible contact surface could detect external forces, but would trigger losing direct contact. In other cases, strain gages are placed on some components (e.g. to measure the tension of cables in wire-driven mechanisms) and the grasping force is calculated based on the retrieved data. Final y in some systems, the force exerted to the human fingers is computed and control ed by measuring and control ing the current draining of the electric motors. Unfortunately, modeling or measuring the force lost by friction (that contributes to the amount of the motor driving torque) is a very difficult task, so that the systems that exploit this strategy are general y not very accurate in force control. In the fol owing, we briefly describe the architecture, the systems'' kinematics and the control schemes of 4 different rehabilitation HEs that are considered particularly significant (in their different design solutions) among the systems that were found in the scientific literature [1-15, 20-22]. Berlin University Hand
The device was designed with focus on support of the rehabilitation process after hand injuries or stroke [2, 21, 22]. The control method exploits Electromyography (EMG) sensors located on palmer and dorsal side of the forearm. This HE control the movement of a hand in 20 DOFs. Each finger is supported in 4 DOFs: flexion/extension in MCP, PIP and DIP joints; abduction/ adduction in MCP joint. 116 Pulleys Figure 1. Scheme of one finger exoskeleton, based on a four-bar mechanism. The thumb can also be moved in 4 DOFs. The CMC joint is supported in flexion/extension and in abduction/adduction movement, whereas the MCP and IP joints are supported in their flexion movement. The exoskeleton moves finger by means of 3 four-bar mechanisms. The joints are driven through wire-driven mechanism. One actuator unit consists of 4 DC motors for actuating 1 finger, so that five actuator units are required for a hand. Each four-bar mechanism contains 2 external links and 2 human finger links. Further, it contains 3 external joints (2 Free joints and 1 actuated pul ey) and 1 human joint (DIP or PIP or MCP joints , as represented in Fig 1. Each four-bar mechanism is freedom 1-DOF system which could be control ed via an actuator directly or indirectly such as through wire- driven mechanism, connected linkage mechanism etc. The system is equipped with 5 different kinds of sensors: 2 angular measurement sensors, 1 force sensor, 1 Electromyograph sensor and 1 electrical current sensor. Electromyography electrodes measure the electronic activity at the skin up to 16 muscles, which is used as input for control ing the machine. To provide angular position measurements, the angle between 2 external links in each four-bar mechanism is measured by Hal sensors which are evaluated by integrated circuits. On the other side, optical quadrature encoders are used to measure the position of the motor axes. Three force sensors are placed between the human finger at achments and the exoskeleton. Motors are control ed by PWM-control ers. The actual current of the motor deviate from the values set by the control system. By these current, the torques at the motor axes are computed as wel . Together with this torque and mechanics of linkages, the force exerted to the phalanges could be evaluated. This HE uses two different paral el sensors for position analysis and two different paral el sensors for force analysis. It is possible to detect mechanical failure by comparing values gained by each sensor and correct them. Detailed information about the control procedures are explained in [22]. HWARD The device was designed to support the rehabilitation process after hand injuries [3]. The exoskeleton is pneumatical y actuated and supports repetitive power grasping and releasing movements of the human hand. 117 The device controls the movement of fingers in 2 DOFs and the wrist in 1 DOF. The combination of 4 fingers is control ed in 1 DOF for the flexion/extension about the MCP and PIP joints. The device is at ached to the combination of 4 fingers along the dorsal side of the fingers by a link. This link is fastened to middle phalanges of 4 fingers by looping a soft strap around the 4 fingers. Movement of this link causes the movement of middle phalanges of combination of 4 fingers about the MCP and PIP joints. The movement of middle phalanges causes the movement of MCP and PIP joints because of internal DOFs among human joints. Distal phalanges and DIP joints of fingers are kept free. Similarly to the group of the 4 fingers, the thumb is actuated in 1 DOF for the flexion/extension about the CMC and MCP joints. The device is at ached to the thumb along the dorsal side of it by a link. This link is fastened to the proximal phalange of thumb by a soft strap. Movement of this link causes the movement of the thumb about the CMC and MCP joints. Distal phalange and IP joint of the thumb are kept free. Robot joint movement is achieved using a lever design. Each air cylinder and limb interface are mounted on opposite ends of the lever, with a revolute joint between them. Air pressure causes the movement of limb interface that causes the movement of levers connected to the human fingers. The system is actuated by 2 double-actuating air cylinders that can provide up to 122.8 [N] of force, but air pressure is regulated so that the air cylinders produce roughly 4-15 [N], the estimated level necessary to assist movement. The system is equipped with 2 kinds of force sensors (pneumatic solenoid valve and micro structure pressure sensors) and 1 kind of position sensor (rotary potentiometers). The pressure of air injected into the cylinders is control ed by means of pneumatic solenoid valves and micro structure pressure sensors that are mounted on both sides of each air cylinder. The forces applied by the robot can be computed from data gained from these pressure sensors. In addition to pressure control, inline flow control valve adjust the rate of air injected to the cylinders. Rotary potentiometers measure the fingers, wrist and thumb joint angles. The control procedure is only based on position control ing and the main focus is on rehabilitation of power grasping. Pittsburgh University Hand The device was designed with focus on the rehabilitation of natural pinching [4, 20]. The control method exploits EMG signals to control the movement of the index finger. The exoskeleton controls the movement of the index finger in 2 DOFs. The flexion/extension movement of PIP and DID are coupled and actuated via a pneumatic piston and the flexion/extension movement of MCP joint is actuated via another pneumatic piston. The index finger has another passive DOF in the abduction/adduction movement. Pinching motion is performed via flexion of index finger against a fixed thumb. The frame of the exoskeleton consists of an aluminum anchoring plate mounted to the back of the hand and three aluminum bands, one for each phalanx. The flexion of the PIP and DIP joints is produced by a steel cable running along the front of each finger band and through to the backside of the hand. This cable is pul ed by a pneumatic cylinder acting in compression. The extension movement of the PIP and DIP joints are produced by 2 springs as shown in Fig. XX. The MCP flexion is achieved by a linkage mechanism: a floating link is mounted between the finger band closest to the base plate and a second pneumatic actuator. When this pneumatic piston pushes the link mechanism forward (distal), the MCP joint is flexed. The extension movement of the MCP joint is produced by a spring (Fig. 2). To achieve 118 Figure 2. The schematic model of HE. smooth repeatable motion and the passive abduction/adduction motion, the flexible coupling added between the base-plate and first finger band is made of a canvas-like cloth material. The exoskeleton movements are control ed by the users biceps EMG signals. The pistons are equipped with variable pressure pneumatic valves to control the maximum forces exerted to the finger phalanges. The system uses two main algorithms to control the output of pneumatic cylinders: binary control algorithm and variable control algorithm. The algorithm is cal ed a binary control when the output to the pneumatic valves are set either off (0V) or on (10V). The output binary value was determined by the EMG signal. When the EMG signal was above a specified EMG threshold value, the output was ''on', and when it was below, the output was ''off'. The force exerted by the exoskeleton is fixed before the rehabilitation procedure with a calibration trial. The algorithm is cal ed a variable control when the output to the pneumatic valves are set in 3 situations: off, minimum pressure level (20 psi), maximum pressure level (120 psi). The EMG signal is filtered in this algorithm. If it is at 15% of the maximum muscle contraction level, minimum pressure level (20 psi) are set and if it is at 70% of the maximum muscle contraction level, maximum pressure level (120 psi) are set on output of pneumatic valves. The system is mainly focus on repeatedly movement of index finger in pinching. The system does not equipped with any position sensors. So, there is not any control on position of the finger joints. HANDEXOS The device was designed with the purpose of supporting the rehabilitation process after stroke [5]. The exoskeleton uses an under-actuated mechanism that enables the hand to passively adapt each finger to the generic shape of the grasped object (self-adaptation). The 5 fingers HE controls the movement of a hand in 5 DOFs. Each finger is supported in 1 DOF: the flexion/extension of DIP, PIP and MCP joints are actuated by means of a single DC motor and the abduction/adduction movement of MCP is supported passively. A crucial aspect must be explained in the architecture of these kind of exoskeleton, which is placed over an operator finger. To mimic the motion of the operator, the rotation centers of the exoskeleton machine should coincide with the rotation centers of the operator fingers to avoid mechanical interference. Through avoiding this interference, many kinds of Remote Center of Motions mechanisms (RCMs) can be used. RCMs are mechanisms that are able to implement the rotation of a body around a fixed axis that is remotely located from the structure of the joint. This HE exploits 2 different strategies to make the exoskeleton joint axes coincide with those of the human finger. For DIP and PIP joints, 4 pul eys, 2 for each joints (one for actuating the flexion and one for extension), are placed on both sides of HANDEXOS finger at the level of the wearer's finger joint. For the MCP joint, 2 pul eys are placed above the human MCP joint to actuate flexion/extension 119 movement of finger. These pul eys are connected to the first phalanx by a passive prismatic joint. By using this slider-crack mechanism, the length of the link could be adjusted passively to avoid interference between exoskeleton and human finger during the flexion movement of MCP joint. The actuator unit consists of 1 DC motor that is used to extend the coupled DIP, PIP and MCP joints. The extension movement of each finger is actuated by a cable running across idle pul ey placed in each finger joints and fixed to the distal phalanx through a cable stop. The cable is pul ed through a linear slider by a DC motor placed extrinsical y. The flexion movement of the finger is passively obtained by means of a set of three (one for each joint) antagonist cables running across the pul eys placed on the other side of the finger, connected to three extrinsic linear compression springs whose elastic torques cause the finger to flex. The main advantages of the under-actuated mechanism that is used in this HE is its capability of self-adaptation. Indeed, the finger is enabled to passively adapt each finger to the shape of the grasped object (it is worth recal ing that the flexion movement is provided by the elastic force of springs). 3. CLASSIFICATION
According to different applications and various kind of rehabilitation protocols, different rehabilitation HEs has been proposed in the literature. As it can be concluded by analyzing the four rehabilitation HEs mentioned in Section 2, one can find HEs that are completely different in their kinematic schemes, in particular with reference to the number of DOFs (actuated or not) and number and type of connections with the human fingers. In this perspective, some main questions can arise: which structure is suitable for a particular purpose', how many DOFs or contact points are suitable for a particular HE' These questions are stil widely open, in part because a systematic review of the different rehabilitation HEs is total y lacking. Thus, for bet er understanding the proposed design solutions, a systematic classification of al HEs could be helpful. Here, one possible kind of classification of one exoskeleton finger (considered as the basic unit to analyze) is introduced based on two principles, i.e. number of DOFs and number of contact points (CPs) with the human finger, selected as discriminating characteristics for distinguishing a number of proposed solutions. Indeed these two aspects mainly determine the kinematic scheme of the device and its architecture, and are strictly connected to the system targeted application. This classification is helpful to understand the reason of proposing different solutions in different rehabilitation HEs and the advantages and drawbacks of a given solution. Number of DOFs Firstly it should be noted that the abduction/adduction movement of MCP joints is not considered in the analysis of the finger kinematics because the most interesting differences among the HEs regard the flexion/extension movements and most HEs do not actuate the abduction/adduction movement because in the rehabilitation process the efforts are concentrated in the flexion/extension. With this restriction, a human finger has 3 DOFs, so that a HE can provide a human finger with ful mobility and versatility of movements only if it has 3 actuated DOFs. On the other side, it should be taken into account that the resulting device could be very heavy (basical y due to the weight of the actuators) and the control procedure very complex. Thus alternative solutions can be obtained by accepting a 120 worsening of the system versatility and supporting the finger in less DOFs (1 or 2), thus making the global weight and the complexity of the system be limited. In this case, it is necessary to couple the movement of different joints or use under-actuated mechanisms and it should be noted that this choice can complicate the design of the transmission chain. Based on these considerations we can identify three different groups of rehabilitation HEs, namely with 1, 2 or 3 DOFs per finger (flexion/extension movement of DIP, PIP or MCP joints), and compare the solutions proposed in the literature. With reference to the hands described in Section 2, the Berlin University Hand is extremely flexible as it controls 20 DOFs of the hand motion (4 DOFs per finger), but it is very complex and heavy. In our analysis, the finger of this HE is considered as having 3 DOFs. On the opposite side of the Berlin University Hand, the HWARD controls the movement of the combination of four fingers in 1 DOF. The Pit sburgh University Hand controls the movement of the index finger in 2 DOFs. The flexion/extension movement of PIP and DID are coupled and actuated by 1 actuator and the flexion/extension movement of MCP joint is actuated by another actuator. Final y, the HANDEXOS uses an under-actuated mechanism to actuate each finger in 1 DOF: the flexion/extension of DIP, PIP and MCP joints are in fact actuated by means of a single actuator but there is no rigid coupling among the joints. Number of CPs The rehabilitation HEs needs to be connected to the human finger phalanges to control the movement of fingers and exert force on them (Fig. 3). The exoskeleton is at ached to the finger by different methods. Usual y it is at ached by looping a strap or rigid ring around the finger phalanges [1-9, 13, 15] or using a cap fixed to the human fingertip [12]. In some HEs [10, 14], the user wears a glove and the rehabilitation HE is connected to the glove. In both cases, the exoskeleton and the finger phalanges do not move relatively one from the other. In a particular case [11], the device is at ached to the finger by means of two rol ers (above and beneath each phalange) that can move relatively to the finger phalanges. By using this relative movement, the exoskeleton does not need any RCM to make the mechanism centre of motion coincide with the human joint axis. Based on the number of CPs, we can identified three different groups: 1, 2 or 3 CPs per finger. MCP PIP DIP Human Finger Exoskeleton Finger Mechanical connection * * * * * * 3 DOFs '' 3 CPs 3 DOFs '' 1 CP Figure 3. Schematic models of exoskeleton fingers connected to a human finger. The star symbols represent the presence of an actuator. 121 Number of CPs could be equal or greater than the number of DOFs in rehabilitation HEs. It should be taken into account that there is a close relation between the two different classification principles and selecting a certain combination of DOFs and CPs should be careful y based on a number of design criteria required by the specific application of the resulting HE. For instance, in Berlin University hand, the device is at ached to the human finger phalanges in three points. Since the device controls 3 DOFs of the finger , the forces exerted on al the three phalanges are control able. Also in the Pit sburgh University Hand, the exoskeleton finger is at ached to the human finger phalanges in three points, but the device controls 2 DOFs of a finger only (being the DIP and PIP joints coupled). So, in this case, the force exerted to the distal and middle phalanges are not control able separately. According to these two classification principles, al rehabilitations HEs can be systematical y arranged as shown in Tab. 1. 4. DISCUSSION AND CONCLUSION The literature proposes a large number of HEs that general y present some common characteristics and many special peculiarities concerning their mechanics, electronics (control) and working principle. One of the main aspects that must be taken into account in designing new rehabilitation HEs '' probably the first choice to be done '' is relative to the kinematics of the system. Indeed, the designer must choose: - the number of DOFs of the mechanism which guides the functions of a single finger (recal ing that the human finger has 3 DOFs related to the phalanges'' flexion/extension and 1 DOF for the MCP adduction/abduction); - which joint movements must possibly be coupled (e.g. for a finger having 2 DOFs for flexion/extension, the coupling should occur between the DIP and PIP joints or between the PIP and MCP joints'); - whether providing a number of actuators to control al the DOFs of the finger exoskeleton or designing an under-actuated mechanism (i.e. one or more DOFs are not directly control ed); - how many CPs are needed to control the movement of the finger exoskeleton;
- how many finger mechanisms wil form the overal HEs, and how many of them must be control ed independently. 1 CP 2 CPs 3 CPs 1 DOF - HWARD [3] - Milan University Hand [8] - Harbin Institute of Technology Hand [1] - HANDEXOS [5] 2 DOFs - Gifu University Hand [10] - Gentle/G Hand [7] - University of Tokyo Hand [6] - Pit sburgh University Hand [4] 3 DOFs - Berlin University Hand [2] - AFX Hand [11] - Beihang University Hand [9] Table 1. Classification of rehabilitation HEs . 122 The different HEs proposed in the literature use different number of DOFs and CPs according to their applications, design constraints or characteristics. There is a device that controls 20 DOFs of the hand (complete movement of al fingers to replicate the overal human hand movements) [2]. Other devices use different coupling mechanisms to couple the movement of human finger joints and other systems leave some joints free (i.e. uncontrol ed). Coupling between the joints of a single finger is done by means of different mechanical solutions such as cables and pul eys or rigid linkage mechanisms. In addition to the mentioned coupling in a single finger, some HEs move the combination of some fingers together (for instance, the 2nd, 3rd, 4th and 5th fingers are control ed by means of one actuator) [3, 8]. It is worth noting that in some HEs special under-actuated mechanisms are proposed as simple solution to approximately control the finger movement [5]. The study of rehabilitation HEs having significantly different characteristics was the motivation to do a systematic classification. One possible kind of classification based on two main characteristics that distinguish one system from another is introduced: number of DOFs and number of CPs. Based on these two principles, the rehabilitation HEs were systematical y analyzed and classified (as shown in Tab. 1). But some questions are stil remaining: - How this classification could be helpful to understand the reason of proposing particular solution in alternative rehabilitation HEs' - What is the difference among the solution found in the cel of Tab. 1 with 3 DOFs, 1 CP and the other cel with 3 DOFs and 3 CPs' - Why some combination of DOFs and CPs are empty (i.e. no devices were proposed in the literature)' Each solution (combination of DOFs and CPs) strictly depends on the target application of HEs, e.g. the kind of rehabilitation protocols to be implemented and exercises that must be performed (Section 1). The links between the proposed classification and existing rehabilitation systems (mainly focused on the HEs that are presented in Section 2) are here discussed. For instance, if the main aim of the device is the rehabilitation of the power grasping and the focus is on assisting repetitive grasping and releasing movements, the best suitable solution is likely given by the combination of 1 DOF and 1 CP. More DOFs and CPs could trigger complexity of the system while the main aim of the device is rehabilitating the basic cylindrical grasping and the consequent releasing movement. Additional y, since the power grasp can be thought of as a 1 DOF task, it looks logical to combine the movement of four fingers (index, middle, ring and lit le) by means of a link and actuated them simultaneously (as it has been proposed in both devices in this cel [3,8]). On the other side, let us consider a system whose main goal is training a safe extension/flexion movement of a single finger with focus placed on basic movement and single finger dexterity. Based on this goal, a good candidate solution is the one that combines 1 DOF and 3CPs. This is because we require the training on basic movements (simple extension and flexion) of a single finger so that 1 DOF is enough for this application (a significant versatility to perform every possible trajectory of a finger is not required). Additional y, with 3 CPs, we can guide al the phalanges of a single finger to reach a target configuration, as required by the rehabilitation exercise. In this case, the global force exerted to the finger phalanges is control able which is enough for the goal of 123 the system (i.e. the independent control of the forces exerted by the HE on the 3 CPs is not necessary). Final y, let us consider another rehabilitation protocols which focuses on the rehabilitation of a single finger not only for basic movement of the finger joints but also for the execution of a number of ADLs. For this application, the ful versatility of the finger is required to accomplish the different trajectories required by the given ADLs. Therefore the exoskeleton must control the finger phalanges in 3 DOFs and 3 CPs. In this case, the forces exerted to the finger phalanges are ful y control able. By analyzing the existing devices with this classification, and considering the real systems versus al the theoretical possibilities, it seems that some combinations of DOFs and CPs are not feasible (particularly when the number of CPs is lower than the DOFs). For instance it is possible to control 3 DOFs of a human finger and at aching the HE to the human finger in 1 CP only. This combination makes it possible to ful y control the position and orientation of the driven phalange (typical y the human fingertip), but it is not logical in rehabilitation HEs, where for the safety of the injured hand (the wearer shows some diseases and is not able to autonomously control the hand) the motion of the human joints should be ful y guided. On the other side, it is worth mentioning that this combination is quite popular in haptic device applications. Final y, it should be taken into account that a given decision on each principle contains some advantages and drawbacks and also it can have effects on other aspects of designing. In a few words, there is a close relation among the different key factors, and selecting a given specific solution can solve a group of problems related to one aspect of designing, but it could trigger other kinds of problems or limitations in other aspects. In conclusion, this paper presents a review of the rehabilitation hand exoskeletons that are presented in the scientific literature, analyzing them by a classification that considers their kinematic schemes. In particular the number of DOFs of a single exoskeleton finger and the connection points with the human finger are considered as fundamental issues strictly related to the specific application of the resulting orthosis. Acknowledgements
The research is performed in the framework of the project titled BRAVO ''Brain computer interfaces for Robotic enhanced Action in Visuo-motOr tasks'. The support of the Italian Institute of Technology (Genova, Italy) is grateful y acknowledged.
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BENDING MOMENT ACTING ON THE LEGS OF THE
3-UPU TRANSLATIONAL PARALLEL MANIPULATOR


Ahmed Hachem Chebbi
Department of Mechanical and Aeronautical Engineering,
University of Bologna, Italy
E-mail: ahmed.chebbi@mail.ing.unibo.it

Vincenzo Parenti Castelli
Department of Mechanical and Aeronautical Engineering,
University of Bologna, Italy
E-mail: vincenzo.parenticastelli@mail.ing.unibo.it


Abstract. The 3-UPU Translational parallel manipulator, where U and P are for universal
and prismatic pair respectively, is a very well known manipulator that has been a
benchmark for many issues. Many studies have been reported in the literature on
singularities, workspace and joint clearance influence on the platform accuracy of this
manipulator. However, thorough studies on its stiffness are still lacking. The stiffness of
this manipulator that mainly depend on torsion and flexion of the limbs(legs) connecting
the base with the movable platform of the manipulator. Much work has still to be done on
the variation of torsion and flexion in the workspace of the manipulator. This paper
investigates the distribution of torsion and flexion of the legs in the workspace and a
procedure is presented in order to find the best location of a given trajectory in the
manipulator workspace that is characterized by the highest stiffness.

Keywords: torque, bending moment, torsion, flexion, parallel manipulator
1. INTRODUCTION
Parallel manipulators (PMs) have focused a great attention in the last decades for their
complementary characteristics with respect to the serial manipulators. Indeed, they are
characterised by high rigidity, high payload to the manipulator weight ratio, high dynamic
performance versus a limited workspace and a low manipulability. Six degrees of freedom
(DOF) parallel manipulators have been extensively studied. Moreover, recently great
attention has been devoted to 3-DOF PMs since many applications need only three DOF.
This family of manipulators can provide pure rotational [1], pure translational [2], and a
mixed rotational-translational motion of the platform with respect to the base [3]. An
interesting 3-DOF PMs is the 3-UPU translational parallel manipulator that provides a pure
translational motion of the platform with respect to the base: It was presented by Tsai in [4]
and later used as a benchmark to investigate many important issues related to singularities,
workspace analysis, and joint clearance influence on the platform accuracy. Hereafter this
mechanism will be called 3-UPU TPM. One of the most important characteristics of parallel manipulators is the stiffness, which 127 is strictly related with positioning accuracy and payload capability. Since the stiffness of
the 3-UPU TPM (for a given configuration of the manipulator) depends on the moment
applied by the platform to the legs, and this moment can be decomposed in two moments,
namely a torque around the direction of the leg and a bending moment around a direction
orthogonal to the direction of the leg itself, it is interesting to study the variation of these
moments in the whole workspace in order to select the best location of a given trajectory
that is characterized by the highest stiffness of the manipulator. A few authors have studied
the stiffness of the 3-UPU TPM. In [5], the stiffness of four 3-DOF TPM architectures are
compared, under the assumption that the manipulator compliance is due to the actuator
compliance. For instance, the RUU architecture with rotational actuators is stiffer than the
UPU architecture with linear actuators. However, if the manipulator compliance is due to link
elasticity, Goldsmith [6] demonstrated that the 3-UPU TPM architecture with linear actuators is stiffer than that with revolute joints. This paper will focus on 3-UPU TPM shown in Fig.1. The distribution of the torsion and the flexion on the legs of the manipulator in the workspace is investigated and a
procedure for finding the best location of a given trajectory in the manipulator workspace is
presented. The paper is organized as follows: section 2 recalls, by referring to a previous paper of the authors [7], the kinetostatic analysis of the 3-UPU manipulator. Section 3 presents an
analysis of the torsion and the flexion of the legs in the whole workspace, while section 4
reports a case study. Finally some conclusions are reported. 2. KINETOSTATIC ANALYSIS OF THE 3-UPU TPM
A schematic of a 3-UPU TPM is shown in Fig. 2. It features a moving 3-DOF translational
platform connected to a fixed base by three extensible legs of type UPU, where U and P are
for universal and actuated prismatic pair respectively. Each U joint comprises two revolute
pairs with intersecting and perpendicular axes, centered at point Bi, i=1,2,3, in the base and at point Ai, i=1,2,3, in the platform. In order to have a pure translational motion of the platform, two conditions have to be fulfilled for each leg [4,8,9]:
2 A 1 B 3 B 3 A 2 B 1 A p S b S 1 s 2 s 3 s 1 u 2 u 3 u Figure 1. The 3-UPU Translational Parallel Manipulator. 128 1 B 3 B 2 B 1 A 3 A 3 f 3 m 1 m 1 f m 2 A 2 f 2 m f U U P p O b O x y z Figure 2. Different forces and moments applied on the platform.
- the axes of the two intermediate revolute pairs must be parallel to each other,
- the axes of the two ending revolute pairs must be parallel to each other.
The geometry studied in this paper of the manipulator is the following:
- the axes of the revolute pairs in the base/platform two- by-two intersect at three points,
- points Ai and Bi, i=1,2,3, form an equilateral triangle respectively. With reference to Fig. 2, a system Sb (Ob,x,y,z) fixed to the base with origin Ob (the centre of the circle with radius b defined by the points Bi, i=1,2,3) is chosen. Axes x and y are on the plane defined by points Bi, i=1,2,3, with x axis through point B1. z pointing from the base to the platform and y axis is taken according to the right hand rule. The balance of the platform involves the following wrenches:
- 'ext = {f,m}, the wrench of the external load applied on the platform at point Op (the centre of the circle with radius p defined by the points Ai, i=1,2,3).
- 'ai = {fi,mi}, the wrenches provided by each of the i-th leg expressed at point Ai. The wrench provided by the i-th leg to the platform is defined by the following equations [7]:
i i i i i i i 1, 2,3 f m = ' = ' = ' f s m u (1)
where si is a unit vector of the direction of the i-th leg and ui is a unit vector orthogonal to the cross of the universal joint as shown in Fig. 1. The equilibrium of the platform expressed at point Op is given in the following matrix form [7]: 129 1 2 1 2 3 3 p1 1 p 2 2 p3 3 1 2 3 1 2 3 f f f m m m ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' = ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' s s s 0 0 0 f r s r s r s u u u m (2)
where:

pi p i O A i 1, 2,3 = = r JJJJJG (3) When the manipulator is far from singularity, i.e., the determinant of the Jacobian matrix (6x6) defined by Eqn. (2) is different from zero, the module of the moment applied
on the i-th leg, mi can be computed as: 1 1 1 1 2 3 m m m '' '' '' ' ' ' ' ' ' ' ' = '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' f U RS U m (4)
where S, R and U are 3x3 matrices defined as follow :

[ ] 1 2 3 = S s s s (5) p1 1 p 2 2 p3 3 ' ' = ' ' ' ' ' R r s r s r s (6) [ ] 1 2 3 = U u u u (7) 3. TORSION AND FLEXION OF THE LEGS OF THE 3-UPU TPM
In this section, the torsion and flexion of the legs of the manipulator due to the torque and
the bending moment respectively are determined. The platform, the base and the universal
joints are considered as rigid body. The total moment mi, i=1,2,3, applied by the platform to the i-th leg which is already computed by Eqn. (4) can be decomposed in two moments, mti, the torque about si and mbi,
the bending moment about a direction bi orthogonal to the plane defined by the vectors si
and ui as shown in Fig. 3.
i i ti i bi i i 1, 2,3 m m m = + = u s b (8) where the torque mti and the bending moment mbi can be expressed as follow:
ti i i cos i 1, 2,3 m m = ' = (9) bi i i sin i 1, 2,3 m m = ' = (10)
where 'i is the angle defined by the unit vectors si and ui as shown in Fig. 3. 130 ti i s m Platform i ' Base b S bi i b m i i u m p S Figure 3. Moments applied on the i-th leg of the 3-UPU TPM.
According to Eqs. (9,10), the rate between the bending moment and the torque applied on the i-th leg, which does not depend to the module of the moment mi, (it does not depend to the wrench of the external load applied on the platform), is given by:
bi i ti i sin i 1, 2,3 cos m m ' = = ' (11) By computing the bending moment/torque rate, in the workspace, three special sections S1, S2 and S3 (they are defined geometrically by the help of Fig. 4) of the working space are found:

S1: mb1 = 0; mb2/mt2 =mb3/mt3 (12) S2: mb2 = 0; mb1/mt1 =mb3/mt3 (13) S3: mb3 = 0; mb1/mt1 =mb2/mt2 (14) Figure 4 presents a view from the top of the manipulator (only the revolute pairs on the base and the platform are represented for clarity) and the three section defined above. The
intersection of the sections S1, S2 and S3 with the plane (x,y) corresponds to three lines LS1,
LS2 and LS3 respectively. 131 Figure 4. View from the top of the 3-UPU TPM and the three section S1, S2 and S3.
These sections are used because of their properties (they are a plane of symmetry and the flexion is null in one of the three leg as given in Eqs. (12,13,14)), to find the location
(best position of the platform) where the torque and the bending moments have the lowest
values. In other words, where the leg torsion and leg flexion are the lowest. Torsion of the legs
In this section, the analytic expression of the torsion of the legs of the 3-UPU TPM is
presented. This expression is used in order to find the best position of the platform which
corresponds to the lowest torsion of the legs. According to Eqs. (4,9), the relation between the wrench of the external load applied on the reference point of the platform Op and the torques applied on the legs is the following: t1 t 2 1 t 3 m m m ' ' ' ' ' ' = ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' f H m (15)
where H1 is a 3x6 matrix which depends on the position of the reference point Op of the platform and the geometry of the manipulator. The torsion θi of the i-th leg (not considering the elasticity of the joints) is given by: i t i i 0 i 1, 2,3 GI l m θ = = (16) where I0, G and li are respectively the polar moment, the Coulomb module and the length of the i-th leg. Equation (16), taking into account Eqn. (15), and extended to the three legs, becomes: 132 1 2 1 3 θ ' ' ' ' ' ' θ = ' ' ' ' ' ' ' ' θ ' ' f C m (17)
where:
1 1 1 = ' ' ' ' C ' T (18) In Eqn. (18), K1 and T1 are a 3x3 matrices which represent respectively the influence of the external forces and the external moments on the torsion of the legs. In order to compute the torsion of the legs when the point Op moves on the section S1, S2 and S3, the maximum or the minimum or the product of the singular values of the matrix
C1 can be taken as criterion . However, the components of this matrix does not have the same units [10]. To solve the problem, some authors used a concept of the characteristic
length which is related to the size of the platform [11]. Thus, Eqn. (17) is re-defined as
follow:
1 2 1 1 3 1
L θ ' ' ' ' ' ' ' ' θ = ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' θ ' ' f ' T m (19)
where L is the characteristic length that is taken equal the radius p of the circle that belongs
the center of the universal joint connected to the platform Ai, i=1,2,3. If the wrench of the external load corresponds only to a forces , Eqn. (19) becomes: 1 2 1 3 1
L θ ' ' ' ' θ = ' ' ' ' θ ' ' ' f (20) In general, the determinant of (K1/L) is different from zero. In other words, where the three components of the external force f applied to the platform, F1, F2 and F3 respectively along x, y and z axes of Sb belongs to a unit sphere, the torsions of the three legs θ1, θ2 and θ3 belong to an ellipsoid. For the chosen geometry of the manipulator, we found that the determinant of (K1/L) is equal to zero in all the workspace. Thus, the ellipsoid becomes to an ellipse as shown in
Fig. 5, i.e., there are two out of the three torsions that are dependent in all the workspace.
This can be an advantage of this geometry of the manipulator. For example, in order to
minimize three torsions, it is sufficient to minimize only two of them. If the reference point Op of the platform belongs the section S1 defined above, and the components F2 is equal zero, it can be obtained:
t1 0 m = (21) t 2 t 3 m m = '' (22) 133 Unit sphere Ellipse ( ) 1 det K 3 θ 2 θ 1 θ 3 F 2 F 1 F Figure 5. Shape of the distribution of the torsions θ1 and θ2 versus the torsion θ3.
According to Eqs. (21,22), the best position of the point Op in the section S1 is obtained where the torsion of the second leg is the lowest. By symmetry, the best position of the
point Op in the sections S2 and S3 is obtained where the torsion of the first and second leg is the lowest. Flexion of the legs
In this section, the analytic expression of the flexion of the legs of the 3-UPU TPM is
presented. This expression is used in order to find the best position of the platform which
corresponds to the lowest flexion of the legs. According to Eqs. (4,10), the relation between the wrench of the external load applied on the point Op of the platform and the bending moments applied by the platform to the legs is given by:
b1 b2 2 b3 m m m ' ' ' ' ' ' = ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' f H m (23)
where H2 is a 3x6 matrix which depends to the position of the point Op and on the geometry of the manipulator. The bending moment mbi is constant for all the sections of the i-th leg (the shear stress is zero). Thus, the flexion 'i of the i-th leg can be written as: i bi i i 1, 2,3 EI l m ' = = (24)
where E and I are respectively the Young modulus and the moment of inertia of the section
of the i-th leg. Equation (24), taking into account Eqn. (23), extended to the three legs and with the introduction of the characteristic length L, becomes: 134 1 2 2 3 ' ' ' ' ' ' ' ' = ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' f C m (25)
where:
2 2 2 1
L ' ' = ' ' ' ' C ' T (26) In Eqn. (26), K2 and T2 are 3x3 matrices which represent respectively the influence of the external force and the external moment on the flexion of the legs. In order to compute the flexion of the legs when the point Op moves on the section S1, S2 and S3, the maximum or the minimum or the product of the singular values of the matrix
C2 can be taken as criterion. However, where the point Op belongs to the sections S1, the bending moment applied to the first leg is equal to zero:

b1 0 m = (27) Thus, the best position of the reference point Op in the section S1 is obtained where the flexion of the second and the third leg are the lowest. As a general result, the best location of the reference point of the platform in the section S1 is found by satisfying the following conditions: - the torsion of the second leg is the lowest. - the flexion of the second and the third leg are the lowest. 4. CASE STUDY
This section reports the distribution of the flexions and the torsion of the three legs of the
3-UPU translational parallel manipulator in the section S1 of the workspace in order to find their lowest values. The given data are: - the radii of the two circles that belong the centers of the universal joint connected respectively to the base and to the platform respectively: b = 261 mm, p = 45 mm. - The wrench of the external load corresponds only to an external forces. For each leg (circular section): - the external radius Rext = 8 mm; the internal radius Rint = 5.5 mm; - Young modulus E and Coulomb modulus of the Aluminium G are respectively E = 69000 N/mm2; G = 26000 N/mm2. The distribution of the torsion and the flexion of the legs of the manipulator in the section S1 is shown in Fig. 6.a,b. The lines shown in Fig. 6.a and 6.b represent a trajectories in the section S1 which have the same value of the torsion and the flexion respectively. 135 (a) (b) Figure 6. Distribution of the torsion and the flexion of the legs in the section S1.
According to these figures, it is easy to select the best position of the platform in the section S1 which correspond to the lowest torsion and flexion of the second leg and the lowest flexion of the third legs. 5. CONCLUSION
An investigation has been presented to show the distribution of the torsion and the flexion
on the legs of the 3-UPU translational manipulator in a section of its workspace. The best
location of a given trajectory in the manipulator workspace, that is where torsion and
flexion of the legs is the lowest, corresponds to the lowest value of the z coordinate of the
reference point of the platform. The presented procedure can be used, for instance, for the
design of the manipulator with given stiffness properties and the selection of the best
positioning of a given trajectory in the manipulator workspace. Acknowledgements
The financial support of MIUR, INAIL, and AERTECH-Lab is gratefully acknowledged.
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Algorithms, 2nd ed., Springer-Verlag, New York. 137 138 SYNTHESIS OF THE SPHERICAL FOUR-BAR LINKAGE
FUNCTION GENERATOR FOR SIX PRECISION POINTS
Carlo Innocenti Department of Mechanical and Civil Engineering, University of Modena and Reggio Emilia, Italy E-mail: carlo.innocenti@unimore.it
Abstract . A procedure is presented to solve the dimensional synthesis of the spherical four- bar linkage function generator, once six precision points are specified. Al feasible linkages result from solving a univariate seventh-order algebraic equation. Dif erently from existing techniques, the proposed approach does not introduce extraneous solutions, i.e., any of the resulting spherical four-bar linkages can be assembled at al six prescribed precision points. A numerical example shows application of the presented procedure to a case study.
Keywords : dimensional synthesis, spherical mechanism, function generator 1. INTRODUCTION
The dimensional synthesis of function generators is a classical topic in kinematics [1]. A function generator is a one-degree-of-freedom linkage that exhibits a prescribed relationship (the input-output relationship) between the absolute positions of two links directly connected to the frame (the input and output links). Different types of requirements can be imposed on a function generator: if the input-output relationships involves an infinite set of positions for the input and output links, then there general y exist only approximate solutions, which result from optimization processes. Conversely, when a linkage has to comply with a finite set of position pairs (the so-cal ed precision points) for the input and output links, then an exact solution might exist depending on the type of linkage at hand, the number of precision points, and their actual values. Obviously, complex contraptions are potential y less appealing as function generators than structural y simple linkages such as, for instance, the planar and spherical four-bar linkages. The lat er, in particular, is suitable to connect two concurrent-axis shafts, which are themselves the input and output links of the function generator. The dimensional synthesis of the spherical four-bar linkage function generator (S4BLFG) has been dealt with in the technical literature for a number of different tasks. Exact solutions have been proposed for different numbers of precision points: three [1-2], four [2-4], five [4-7], and six [4, 8-10]. Optimized solutions have been presented in [11-13]. It is worth observing that, when the angle between the connected shafts is a free design parameter too, a S4BLFG is defined by six parameters, as many as the links of the linkage, plus two offset angles. Therefore, six is the maximum number of arbitrarily chosen precision points that can be specified for a S4BLFG. With regard to the dimensional synthesis of the S4BLFG for six precision points, an algorithm has been recently proposed in [10] that is a step forward with respect to the previously known techniques. According to [10], the dimensional synthesis of a S4BLFG 139 can be carried out by solving a tenth-order polynomial equation and, for any of its real roots, second-order polynomial equations. Therefore, a maximum number of twenty candidate solutions can be determined. Unfortunately, not al of them are acceptable, because the solving procedure described in [10] introduces extraneous solutions, i.e., solutions that do not satisfy the prescribed precision points. Al candidate solutions must then be scrutinized a posteriori in order to discard the extraneous ones (there are thirteen of them). This paper presents a new procedure to solve the dimensional synthesis of the spherical four-bar linkage function generator for six precision points. The proposed procedure does not introduce extraneous solutions. It leads to a seventh-order algebraic equation that is pivotal in determining al possible answers to the considered dimensional synthesis problem. For any real root of this algebraic equation, if al dimensional parameters of the corresponding spherical four-bar linkage turn out to be real, then a real linkage exists that can be assembled at al prescribed precision points. Although the proposed algorithm yields prospective linkages that comply with the specified precision points, this does not necessarily imply that any of such linkages can satisfactorily perform as a function generator. Further input data and inspection are needed in order to rule out chances of circuit, branch, and order defects [14]. Nevertheless, these issues are beyond the scope of this paper. A numeric examples shows application of the proposed procedure to a case study. 2. NOMENCLATURE
With reference to a spherical four-bar linkage function generator (S4BLFG), the axes of the revolute pairs that connect the input and output links to the frame meet at point O, the center of the spherical linkage (see Fig. (1)). The distinction between input and output links is not relevant for the present study. Therefore, these two links wil be arbitrarily identified by labels 1 and 2, irrespective of their roles. Furthermore, label 0 and 3 wil denote, in the order, the frame and coupler of the S4BLFG. The direction of the axis of the revolute pair between link i (i=1,2) and the frame is defined by unit vector mi, whose orientation is '1 '2 k m 1 m 2 a 1 a 2 b 1 b 2 α0 O 0 1 2 Figure 1. The input and output links of the S4BLFG. 140 consistent with the arbitrarily chosen direction of the positive rotations of link i relative to the frame (see Fig. (1)). By assuming that m1 and m2 are not paral el, a unit vector k is introduced as defined by 1 2 1 2 ' = ' m m k m m (1) The angle α0 between unit vectors m1 and m2 '' an unknown design parameter of the S4BLFG '' is indirectly provided by 0 1 2 0 1 2 cos ; sin α = '' α = ' '' m m m m k (2) Angle α0 can take any value in the range ]0, '[. Unit vectors ai (i=1,2) fixed to the frame are now considered as defined by ( ) 1,2 i i i = ' = a k m (3) A unit vector bi orthogonal to unit vector mi is then at ached to link i (i=1,2; see Fig. (1)). The angular position of link i relative to the frame is provided by the angle 'i between ai and bi. More precisely, angle 'i (''' <'i'') is indirectly defined by ( ) cos ; sin 1,2 i i i i i i i i ' = '' ' = ' '' = a b a b m (4) Figure (2) shows a schematic of the S4BLFG. A unit vector ni is introduced paral el to the axis of the revolute pair between link i (i=1,2) and the coupler 3. The orientation of ni is '2 '1 '1 '2 α0 α1 α2 α3 m 1 m 2 n 1 n 2 O 0 1 2 3 Figure 2. The S4BLFG. 141 such as to make the angle αi between vectors mi and ni fal into interval [0, '/2]; therefore its sine is non-negative and its cosine '' non-negative too '' is provided by ( ) cos 1,2 i i i i α = '' = m n (5) The plane that contains the axes of the revolute pairs that connect link i (i=1,2) to the frame and the coupler is not necessarily paral el to unit vector bi. The offset angle 'i is therefore introduced to account for this possibility. Angles 'i (i=1,2) are unknown design parameters of the S4BLFG. They can take any value in the interval ]''', ']. If 'i+'i were equal to zero, then unit vector ni would be paral el to the plane defined by unit vectors m1 and m2, with a non-negative component along k'mi. The only kinematical y-relevant dimension of the coupler of the S4BLFG is angle α3 (see Fig. (2)). It is the last unknown parameter of the S4BLFG. Angle α3 can always be considered as non-negative, with a magnitude smal er than ' radians. It is indirectly defined by 3 1 2 cosα = '' n n (6) Col ectively there are six design parameters for the considered dimensional synthesis problem regarding the S4BLFG: they are the link angular dimensions αi (i=0,. ,3), together with offset angles 'i (i=1,2). As already mentioned, the value of angle α0 is conventional y bound to interval ]0, '[, angles α1 and α2 are restricted to interval [0, '/2], whereas angle α3 is confined to interval [0, '[. No such limitations exist for angles 'i (i=1,2), which can range throughout interval ]''', ']. These restrictions do not prevent any possible solution of the dimensional synthesis problem to be found. Actual y, they conveniently rule out the chance of counting the same solution more than once since, without them, the same S4BLFG could be described by more than one set of angles αi (i=0,. ,3) and 'i (i=1,2). 3. THE COMPATIBILITY EQUATIONS
In order to determine the six design parameters of the S4BLFG, six equations are writ en, one for each of the prescribed precision points. Figure (3) shows the S4BLFG at the configuration that corresponds to the j-th precision point (j=1,. ,6), which in turn is provided by the values '1j and '2j for angles '1 and '2 respectively. A Cartesian reference frame Oxyz is introduced with origin at the center O of the spherical linkage, x-axis with the same direction and orientation as unit vector m1, z-axis with the same direction and orientation as unit vector k. At the j-th precision point (j=1,. ,6), the components of unit vector n1 in reference frame Oxyz are given by ( ) 1 1 1 1 1 0 j x j u v       = ' + '       n R (7) 142 In this equation Rx is a 3'3 orthogonal matrix that depends on angle '1+'1j. For a generic angle ξ, matrix Rx(ξ) is given by ( ) 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos x       ξ = ξ '' ξ     ξ ξ   R (8) The components of the vector on the right-hand side of Eqn. (7) stem from the ensuing shorthand notation for the cosine and sine of angles αi (i=0,. ,3) ( ) cos ; sin 0,. ,3 i i i i u v i = α = α = (9) Similarly, at the j-th precision point the components of unit vector n2 in reference frame Oxyz are given by ( ) ( ) 2 2 0 2 2 2 0 j z x j u v       = α ' + '       n R R (10) Matrix Rz(α0) on the right-hand side of this equation is the 3'3 orthogonal matrix defined by '2j '1j '1 '2 α0 α1 α2 α3 x y z O n 1 n 2 m 1 m 2 k Figure 3. The S4BLFG at a generic precision point. 143 ( ) 0 0 0 0 0 cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 z α '' α       α = α α       R (11) The six compatibility equations for the dimensional synthesis problem here considered are concisely given by ( ) 1 2 3 1,. .,6 j j u j '' = = n n (12) By adopting the additional shorthand notations ( ) cos ; sin 1,2 i i i i c s i = ' = ' = (13) ( ) cos ; sin 1,2; 1,. ,6 ij ij ij ij E F i j = ' = ' = = (14) Eqn. (12) is re-writ en in extended form as fol ows ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 2 2 1 0 2 2 2 1 0 2 1 1 2 0 1 1 1 2 0 1 0 1 2 3 1,. .,6 j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j F F c c v v E F s c v v F E c s v v E E s s v v E E c c u v v F E s c u v v E F c s u v v F F s s u v v
E c u v v F s u v v E c u v v F s u v v u u u u j + + + + '' '' + '' + + '' + = = (15) The next section wil show a procedure to solve the six equations (15) for the six unknowns αi (i=0,. ,3) and 'i (i=1,2), which in turn appear in Eqn. (15) through their elementary trigonometric functions (see Eqns. (9) and (13)). 4. EQUATION SOLUTION
Elimination of unknown α3 from the six-equation set (15) is straightforwardly carried out by subtracting the sixth equation from the previous five. The resulting five equations are ( ) 1,. ,3 1,. ,4 0 1,. ,5 ijk ij i j G g k = = = = '' (16) Constant coefficients Gijk (i=1,. ,3; j=1,. ,4; k=1,. ,5) in Eqn. (16) depend on the problem data only; their expressions '' here omit ed for the sake of brevity '' simply result from the coefficients on the left-hand side of Eqn. (15). Quantities gij (i=1,. ,3; j=1,. ,4) are functional terms col ectively defined by the ensuing matrix relation ( ) ( ) ( ) ( ) 11 12 13 14 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 21 22 23 24 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 31 32 33 34 2 1 0 2 2 1 0 2 1 2 0 1 1 2 0 1 g g g g c c v v s c v v c s v v s s v v g g g g c c u v v s c u v v c s u v v s s u v v g g g g c u v v s u v v c u v v s u v v             =             (17) The five unknowns in Eqn. (16) are αi (i=0,. ,2) and 'i (i=1,2). 144 Replacement of Some Unknowns
On the bot om row of the 3'4 matrix on the right-hand side of Eqn. (17) some terms have been enclosed within parentheses. Now these terms are replaced by the ensuing expressions 1 0 1 1 1 2 0 2 2 2 ; u v w c v u v w c v = = (18) Consequently, Eqn. (16) is re-writ en as ( ) 1,. ,3 1,. ,4 0 1,. ,5 ijk ij i j G h k = = = = '' (19) with 11 12 13 14 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 21 22 23 24 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 31 32 33 34 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 h h h h c c v v s c v v c s v v s s v v h h h h c c u v v s c u v v c s u v v s s u v v h h h h w c c v v w c s v v w c c v v w s c v v             =             (20) Since angles α1 and α2 are supposed to belong to interval [0, '/2], the product v1v2 cannot vanish (see Eqn. (9)). Therefore Eqn. (19) can be divided by v1v2, thus obtaining
( ) 1,. ,3 1,. ,4 0 1,. ,5 ijk ij i j G p k = = = = '' (21) with 11 12 13 14 1 2 1 2 1 2 1 2 21 22 23 24 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 31 32 33 34 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 p p p p c c s c c s s s p p p p c c u s c u c s u s s u p p p p w c c w c s w c c w s c             =             (22) The five equations in equation set (21) stil contain five unknowns, i.e., α0, wi (i=1,2), and 'i (i=1,2). Elimination of unknowns w1 and w2
Four of the five equations in equation set (21) are now linearly solved for the functional terms p3k (k=1,. ,4), which are the only functional terms that contain unknowns w1 and w2. This step results into ( ) 3 1,2 1,. ,4 1,. ,4 k ijk ij i j p H p k = = = = '' (23) The values of constant coefficients Hijk (i=1,2; j=1,. ,4; k=1,. ,4) in Eqn. (23) depend exclusively on constant coefficients Gijk (i=1,. ,3; j=1,. ,4; k=1,. ,5) of Eqn. (21), in turn defined by the problem data only. 145 The expressions in Eqn. (23) for p3k (k=1,. ,4) are now inserted into the equation of set (21) that has not been exploited to obtain Eqn. (23). The ensuing equation is thus obtained , , 1,2 0 ijk i j k i j k L U X Y = = '' (24) In this equation, quantities Lijk (i,j,k=1,2) are constant coefficients that depend exclusively on coefficients Gijk. Moreover, quantities Ui, Xj, and Yj (i,j,k=1,2) are the components of the ensuing vectors 1 2 0 1 2 1 ; ; c c u s s             = = =             U X Y (25) Equation (24) is a first condition that does not contain unknowns w1 and w2. Other two of such conditions can be obtained by the exploiting the definition of quantities p3k (k=1,. ,4) (see Eqn. (22)) 31 2 32 2 33 1 34 1 0 0 p s p c p s p c '' =   '' =  (26) If expressions in Eqn. (23) for p3k (k=1,. ,4) are inserted into Eqn. (26), the ensuing conditions are obtained , , , 1,2 0 ijkr i j k r i j k r M U X Y Y = = '' (27) , , , 1,2 0 ijkr i j k r i j k r N U X X Y = = '' (28) Coefficients Mijkr and Nijkr (i,j,k,r=1,2) in Eqns. (27)-(28) are constant quantities that depend on the problem data only. Equations (24), (27), and (28) together form a set of three equations that contain α0, '1, and '2 as only unknowns. Elimination of unknowns α0 and '2
The three equations in three unknowns derived in the previous subsection are now further manipulated in order to obtain a univariate equation in the unknown '1. By assuming c2'0 (i,e., '2''/2), Eqns. (24), (27), and (28) are divided, respectively, by c2, c22, and c2, thus obtaining
, , 1,2 0 ijk i j k i j k L U X T = = '' (29) 146 , , , 1,2 0 ijkr i j k r i j k r M U X T T = = '' (30) , , , 1,2 0 ijkr i j k r i j k r N U X X T = = '' (31) Quantities Tk (k=1,2) in Eqn. (29)-(31) are the components of the ensuing vector 2 1 t     =     T (32) with 2 2 tan t = ' (33) Equations (29)-(31) are now regarded as three equations in the unknowns u0 and t2, with coefficients that depend on '1. They are respectively re-writ en as fol ows
0 2 0,1 0,1 0 i j ij i j P u t = = = '' (34) 0 2 0,1 0,2 0 i j ij i j Q u t = = = '' (35) 0 2 0,1 0,1 0 i j ij i j R u t = = = '' (36) In these equations, quantities Pij (i,j=0,1) and Qij (i=0,1; j=0,2) depend linearly on c1 and s1 (see Eqn. (13)), whereas Rij (i,j=0,1) depends quadratical y on c1 and s1. More specifical y, Pij and Qij are sums of terms that depend linearly either on c1 or s1, whereas Rij is a sum of terms that depend linearly on only one of the ensuing functional quantities: c12, c1s1, s12. At this point a set of eight auxiliary equations is formed. The first three of such equations are obtained by multiplying Eqn. (34) by 1, t2, and t22. The subsequent two auxiliary equations derive from multiplying Eqn. (35) by 1 and t2. Final y, the last three auxiliary equations result from multiplication of Eqn. (36) by 1, t2, and t22. The set of eight auxiliary equations is writ en in matrix form as fol ows = K f 0 (37) Quantity K in Eqn. (37) is the ensuing 8'8 matrix 147 00 01 10 11 00 01 10 11 00 01 10 11 00 01 02 10 11 12 00 01 02 10 11 12 00 01 10 11 00 01 10 11 00 01 10 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 P P P P P P P P P P P P Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q R R R R R R R R R R R R                 =                 K (38) whereas f is the eight-component vector defined by ( ) 2 3 2 3 2 2 2 0 0 2 0 2 0 2 1 T t t t u u t u t u t = f (39) Since the first component of vector f is different from zero, Eqn. (37) cannot be satisfied by a vanishing vector f, which in turn means that matrix K has to be singular, i.e. det 0 = K (40) This equation is the result of eliminating unknowns α0 and '2 from the three-equation set formed by Eqns. (24), (27), and (28). The Univariate Polynomial Equation
The dependence on c1 and s1 is linear for the first five rows of matrix K, quadratic for the remaining three rows. This assertion simply ensues from the already-established dependence of quantities Pij, Qij, and Rij on c1 and s1. Therefore the left-hand side of Eqn. (40) is a linear combination '' through known, constant coefficients '' of terms the like of s1ic1j, with i'0, j'0, i+j=11. If in Eqn. (40) any power of c1 greater than one is replaced by one of the ensuing expressions ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ; 1 ( 1,. .,5) i i i i c s c c s i + '' '' '' '' = (41) then Eqn. (40) takes the ensuing form ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 0 A s s B s c + = (42) In this equation, A(s12) and B(s12) are polynomials in s12 whose coefficients depend exclusively on the problem data. Based on the mentioned dependence of Eqn. (40) on c1 and s1, the maximum power of s12 in the expressions of A(s12) and B(s12) should not exceed five. Actual computation shows that of A(s12) and B(s12) are third-order polynomials in s12. Equation (42) is now multiplied by c1 148 ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 0 s A s c B s c + = (43) Then, in Eqn. (43), c12 is replaced with the expression provided by the first of Eqn. (41) for i=1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 s B s s A s c '' + = (44) Equations (44) and (42) are now re-writ en together as fol ows ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 s B s s A s c s A s B s   ''     =        0 (45) Equation (45) is satisfied only if the 2'2 matrix on its left-hand side is singular, i.e. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 0 s B s s A s     '' '' =     (46) Based on the order of polynomials A(s12) and B(s12), Eqn. (46) is of degree seven in s12. It can be re-writ en in the ensuing form 7 2 1 0 0 i i i C s = = '' (47) Coefficients Ci (i=0,. ,7) in Eqn. (47) are constant quantities that depend exclusively on the data of the dimensional synthesis problem. In the complex domain, Eqn. (47) is satisfied by seven values of s12, which can be numerical y computed with the desired approximation. Back Substitution
The spherical four-bar linkage function generators that comply with the prescribed six precision points can only originate from the real roots of Eqn. (48) that fal into interval [0, 1]. For the generic of these roots the value s1 is yielded by 2 1 1 s s = (49) The corresponding value of c1 stems from Eqn. (42) ( )
( ) 2 1 1 1 2 1 A s c s B s = '' (50) Based on s1 and c1, the value of offset angle '1 '' one of the six design parameters of the S4BLFG '' can be determined in the range [0, '[. The already-found values of s1 and c1 make matrix K defined by Eqn. (38) become singular. Seven out of the eight scalar equations in Eqn. (37) can be therefore linearly 149 solved for the last seven components of vector f (see Eqn. (39)). As a by-product of this process, the numeric values of u0 and t2 become available too. If u0 fal s outside interval [''1,1], no real S4BLFG can be found for the considered root of Eqn. (47). Otherwise the value of design parameter α0 can be determined in the range ]0, '[ (see the first relation in Eqn. (9), for i=0). Thanks to Eqn. (33), the value of t2 al ows determination of design parameter '2 in the range ]'''/2, '/2]. In order to compute design parameters α1 and α2, the definitions in Eqn. (22) of p31 and p33 are preliminarily considered together with Eqn. (18). Elimination of quantities wi (i=1,2) from Eqns. (18) and (22) yields the ensuing relations 0 2 0 1 1 2 31 33 tan ; tan v c v c p p α = α = (51) Once quantities p31 and p33 have been computed by Eqn. (23), Eqn. (51) al ows determination of α1 and α2 in the range ]'''/2, '/2]. Final y, any of the six conditions in Eqn. (15) yields the value of u3. If the absolute value of u3 is not greater than one, design parameter α3 can be determined in the range [0, '[ (see the first relation in Eqn. (9), for i=3). Normalization of the Design Parameters
Whenever the procedure outlined in the previous subsection can be adhered to up to its ending point, a S4BLFG is found. Such a S4BLFG is identified by angles αi (i=0,. ,3) and 'i (i=1,2), which fal into the intervals specified in the previous subsection and summarized in the second column of Tab. (1). The choice of these intervals is somehow arbitrary. For instance, in computing '2 based on its tangent t2, it would have been possible to select '2 in the interval ]'/2, 3'/2[ rather than ]'''/2, '/2[. The question also arises on whether, for a given t2, both values for '2 over interval ]''', '] should be considered in order not to neglect possible S4BLFGs. Table 1. Ranges of the design parameters (rad). Parameter α0 α1 α2 α3 '1 '2 From back substitution ] [ 0,' , 2 2 ' '   ''     , 2 2 ' '   ''     [ [ 0,' [ [ 0,' , 2 2 ' '   ''     After normalization ] [ 0,' 0, 2 '       0, 2 '       [ [ 0,' ] ] , ''' ' ] ] , ''' ' 150 If design parameters αi (i=0,. ,3) and 'i (i=1,2) were al let free to take values over interval ]''', '], there would be multiple sets of these parameters that correspond to one root of the seventh-order univariate algebraic equation (Eqn. (47)) and satisfy the compatibility equations (Eqs. (15)). Nevertheless, al these sets correspond to the same S4BLFG. As already stated in Section 2, the reason is traceable to the fact that the same S4BLFG can be identified by more than one set of design parameters. The correspondence between sets of parameters and S4BLFGs becomes one-to-one if the range of some design parameters is suitably restricted. A possible choice of range restriction has been mentioned in Section 2; it is summarized in the third column of Tab. (1). The back-substitution process described in the previous subsection does not ensure that every design parameter is within the corresponding desired range. It is therefore convenient '' though not mandatory '' to normalize these parameters, i.e., to replace them by an equivalent set that complies with the intervals listed in the third column of Tab. (1). The normalization process, which involves parameters αi (i=1,2) and 'i (i=1,2) only, is straightforward: if αi is negative, its sign has to be switched and ' added to 'i. Subsequently, it might be necessary to subtract 2' from 'i, in order to make it fal within interval ]''', ']. 5. NUMERICAL EXAMPLE
The procedure explained in the previous sections has been employed to solve the dimensional synthesis of a S4FBLFG that has to comply with the six precision points listed in Tab. (2). The values of angles 'i (i=1,2), expressed in degrees, are reported in Tab. (2) without truncation or round-off errors (i.e., they are exactly expressed by the shown digits). For the considered set of precision points, the seven roots of Eqn. (47) are al real, positive, and smal er than one. Back substitution yields a S4FBLFG for six of these roots. For the remaining root, the value of u0 is bigger than one, which means that some design parameters of the corresponding S4FBLFG '' and the S4FBLFG itself '' are complex. The six design parameters of the six real S4FBLFGs, expressed in degrees, are reported in Tab. (3) in the normalized form defined by Tab. (1). Each numeric result in Tab. (3), Table 2. The set of precision points (deg). # '1 '2 1 0. 0. 2 145.09 ''121.30 3 ''88.00 ''150.31 4 ''94.70 78.94 5 75.71 123.08 6 116.10 ''174.69 151 though necessarily truncated, is endowed with a rather long mantissa in order to make it easier for the reader to check its correctness. It has been verified that the computed S4FBLFGs '' the six real and the one complex '' al satisfy the compatibility equations (Eqn. (15)). Therefore no extraneous solution has been introduced by the presented procedure. As already pointed out, despite the six real S4FBLFGs can be assembled in al of the six configurations that correspond to the precision points listed in Tab. (2), further scrutiny is mandatory before selecting any of them as a function generator. 6. CONCLUSIONS
A new procedure to determine al spherical four-bar linkages that comply with six arbitrarily chosen precision points has been presented. Differently from the algorithms available in the literature, the proposed procedure does not introduce extraneous solutions. It results into a seventh-order polynomial equation whose roots are conducive to as many function generators in the complex domain. A numerical example has shown application of the proposed procedure to a case study.
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'2 50.781238414294 55.310339711106 33.339711881030 70.598420832348 157.012644242471 147.701582226003 17.271967163613 33.069758962978 15.073096888218 36.133544110469 146.412865146337 124.500277290821 61.840954313895 63.659497120744 47.741409833391 78.544453432015 35.547278547488 ''70.138148618823 α 0 α 1 α 2 α 3 '1
'2 27.398660171286 55.701013460318 28.414725048153 55.034544373069 54.772625720135 ''24.067838148969 29.780839203761 67.674709378883 34.597029704164 62.131100835442 80.619961069095 18.627280058304 88.361919930879 61.072883724685 76.862717994887 69.661832055085 84.255609204148 48.483626372627

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153 154 INFLUENZA DELL''ATTRITO SULLO STATO DI TENSIONE E DI DEFORMAZIONE
IN ANELLI DI TENUTA IN ELASTOMERO
Edzeario Prati Dipartimento di Ingegneria Industriale Università di Parma E-mail: prati@ied.unipr.it Marco Silvestri Dipartimento di Ingegneria Industriale Università di Parma E-mail: silve@ied.unipr.it Alessandro Tasora Dipartimento di Ingegneria Industriale Università di Parma E-mail: tasora@ied.unipr.it Tito Marin Dipartimento di Ingegneria Industriale Università di Parma E-mail: marin@ied.unipr.it
Sommario . Questo lavoro presenta alcuni aspet i di rilevante interesse ingegneristico relativi al contat o tra metal o e tenute in elastomero, sia in termini di at rito che di stato tensionale nel e tenute stesse. Sono mostrati due esempi di anel i di tenuta, ciascuno con le sue peculiarità ma anche con alcuni trat i comuni; entrambi sono analizzati con simulazioni ad elementi finiti. Sono poi sviluppate considerazioni circa la stima del 'at rito e come questo influenzi lo stato tensionale e infine sono proposte riflessioni sul e procedure impiegate.
Parole chiave : at rito, contat o, tenute, elastomeri 1. INTRODUZIONE
Da diversi decenni ormai gomme ed elastomeri fanno parte dei materiali a disposizione degli ingegneri per impieghi nei più svariati campi. Questi materiali posseggono tipicamente una strut ura amorfa, diversamente da quel a cristal ina dei metal i e del e ceramiche, e ciò influenza e determina le proprietà meccaniche (resistenza, rigidezza, resilienza) e tribologiche, ma anche la loro dipendenza da fat ori quali la temperatura e la velocità con cui è impressa una deformazione. Di particolare interesse è l''at rito che si genera nel contat o di un corpo con un altro in elastomero, esempi comuni sono gli pneumatici, le 155 cinghie, le tenute, ecc. L''at rito degli elastomeri differisce da quel o più noto dei materiali metal ici, sia in termini di valori tipici del coefficiente di at rito sia nel a natura stessa del fenomeno [1]. Le ragioni di ciò risiedono nuovamente nel a microstrut ura del materiale (lunghe catene polimeriche intrecciate) da cui segue una scarsa rigidezza e un elevato at rito interno [2]. Quest''ultimo d''altro canto determina l''apprezzata capacità di agire come smorzatore di vibrazioni o di dissipare energia dovuta ad impat i. La sostanziale differenza tra l''at rito di un metal o e di un elastomero è da imputarsi al tipo di deformazione locale nei punti di contat o. Nel primo caso infat i tale deformazione è di tipo plastico, mentre nel secondo essa è di natura puramente elastica con l'elastomero che, essendo molto cedevole, si adat a al e asperità del a superficie del 'altro corpo con un effet o net o di un contat o locale molto più esteso e quindi un coefficiente di at rito tipicamente più elevato. In presenza di olio interposto tra i corpi, diversi regimi di lubrificazione, con carat eristiche assai diverse, sono poi raggiungibili e ciò modifica ulteriormente lo scenario e il concet o stesso di at rito [3]. In questo lavoro vengono considerati due casi che pur essendo apparentemente piut osto diversi tra loro presentano in realtà alcuni trat i comuni. Entrambi sono affrontati con simulazioni ad elementi finiti. Il primo riguarda una tenuta radiale a labbro per alberi rotanti in presenza di olio lubrificante, il secondo riguarda invece una tenuta a sezione quadrata, quindi con ampia superficie di contat o, nel caso di spostamento assiale del ''albero. Vengono discussi in entrambi i casi la deformazione e lo stato tensionale nel e tenuta così come le tensioni (normali e tangenziali) che si sviluppano nel e zone di contat o. Considerazioni riguardo al ''at rito sono presentate nel e varie sezioni fino ad una breve discussione finale nel e conclusioni. 2. TENUTA RADIALE A LABBRO
In questa Sezione si presentano alcuni risultati relativi ad una tenuta radiale a labbro avente dimensioni 70x110x12 mm in elastomero a base nitrilica (NBR). Si trat a di una tenuta commerciale, destinata ad impieghi con alberi rotanti e in condizioni di lubrificazione, generalmente con oli minerali. Lo studio si è focalizzato sul a distribuzione del a pressione di contat o, nel 'interfaccia albero-tenuta, dovuta al 'interferenza di montaggio e al a presenza di olio in pressione. Il model o ad elementi finiti ha sfrut ato l'assialsimmetria del a geometria e del carico perciò la mesh si è ridot a ad una sezione piana del a tenuta model ata con elementi assialsimmetrici. La geometria del a tenuta è stata ricostruita basandosi su immagini digitali ad elevato ingrandimento di una tenuta (nuova e non usurata) sezionata radialmente. La porzione del a tenuta in NBR è stata model ata come materiale iperelastico e incomprimibile, la parte metal ica come lineare elastico, mentre l'albero è stato semplificato con una superficie rigida. La mol a è schematizzata con un materiale fit izio avente rigidezza equivalente. Non è specificato alcun at rito al 'interfaccia albero-tenuta così come non è considerato la presenza di lubrificante. Maggiori det agli sul a procedura sono reperibili in [4]. In Fig. 1 è mostrata la deformata del a tenuta in tre diverse configurazioni: sola interferenza di montaggio (pari a 1.5 mm sul diametro), interferenza più pressione del 'olio pari a 0.3 MPa e 0.6 MPa. Il lamierino metal ico, inglobato nel corpo del ''anel o di tenuta e con funzione di irrigidimento del a tenuta stessa, non è mostrato per semplicità. 156 Figura 1. Model o ad elementi finiti del a tenuta radiale, a) interferenza di montaggio, b) pressione del 'olio pari a 0.3 MPa, c) pressione del 'olio pari a 0.6 MPa. Scala del a deformata x1, la mappa riporta la distribuzione del a tensione di V.Mises. Concentrazioni di tensione sono evidenti nel a zona di contat o e in quel e con elevata flessione. Ad elevata pressione del 'olio si nota la tendenza del a tenuta a schiacciarsi sul 'albero aumentando l'area di contat o. Quando questa deformazione diventa eccessiva si ha perdita di funzionalità del a tenuta (dal catalogo del a tenuta in esame si scopre un limite pari a 0.5 MPa, ben giustificato dal 'eccessiva deformazione di Fig. 1c). La distribuzione del a pressione di contat o al 'interfaccia albero-tenuta è proposta in forma grafica in Fig. 2 per alcuni valori di pressione nel lato olio. L'ascissa riporta la coordinata assiale (z) la quale, per favorire la leggibilità dei risultati, è stata traslata, per ciascun valore di pressione, in modo da avere lo zero sempre in corrispondenza del primo nodo del a tenuta che è andato a contat o con l'albero. L'interpretazione di queste curve è, al a luce del e deformate in Fig. 1, evidente: la pressione del 'olio influenza fortemente la geometria del a tenuta nel suo insieme, ma anche la zona di contat o locale con l'albero. Questo grafico può essere rielaborato per estrarre in forma condensata alcune grandezze che ben sintetizzano l'evoluzione del contat o. Ciò è presentato in Fig. 3 dove la larghezza di contat o (b) la pressione media (pm) e quel a massima (pmax) di contat o sono plot ate nel range di pressione nel lato olio qui considerato. La pressione massima è il picco di tensione normale al 'interfaccia, riscontrato sul 'intera porzione di tenuta effet ivamente a contat o con l'albero. Si nota che questo valore prima cresce nel 'interval o di pressione del 'olio 0- 0.3 MPa per poi diminuire. Anche la pressione media (pm) ha un andamento parzialmente simile anche se il picco è raggiunto quando la pressione del 'olio è prossimo a 0.1 MPa. Dopo circa 0.35 MPa di pressione del 'olio si vede che la pressione media scende sot o al valore che si ha con sola interferenza di montaggio. L'unico parametro che è crescente, in modo nonlineare, con la pressione del 'olio è la larghezza di contat o (b). Questa passa da circa 70 µm con sola interferenza di montaggio a circa 2.2 mm con massima pressione del 'olio. La diminuzione del a pressione media si spiega quindi con l'incremento del 'area di contat o ossia la forza totale scambiata si distribuisce progressivamente su una superficie maggiore. La pressione di contat o integrata su tut a la superficie cilindrica di contat o determina la forza radiale Fr complessiva esercitata dal 'olio, tramite la tenuta, sul 'albero. L'andamento di Fr, riportato in Fig. 3b, è monotono e crescente in modo circa lineare con la pressione del 'olio. a) b) c) 157 Figura 2 . Distribuzione del a pressione di contat o, in direzione assiale, al variare del a pressione nel lato olio (p). Figura 3 . a) Pressiome massima, media e larghezza di contat o in funzione del a pressione del 'olio; b) forza radiale risultante in funzione del a pressione nel lato olio. Data la forza radiale risultante (Fr) calcolata con questa analisi statica e dato un coefficiente di at rito (f), si potrebbe stimare una forza tangenziale (Ft=Fr*f) e da questa un momento resistente (Mr=Ft*R, con R raggio del 'albero) interpretabile in primissima approssimazione come un momento resistente di primo distacco. a) b) Lato
olio Lato
aria 158 Figura 4. Tipico andamento, misurato sperimentalmente, del a coppia di spunto in un albero con tenuta radiale a labbro e presenza di olio lubrificante. La linea trat eggiata è una polinomiale di quarto grado che ben rappresenta l''andamento sperimentale. Sperimentalmente si osserva che l'andamento del a coppia di spunto, per questa tenuta e in condizioni di temperatura ambiente, è quel o mostrato in Fig. 4 [4]. Questa curva ha sì un andamento monotono crescente, ma non è sovrapponibile a quel o di Fr in Fig. 3b. Si evince da ciò che il coefficiente di at rito non può essere assunto costante ma che esso deve essere funzione dei diversi parametri in gioco tra i quali, se si escludono per semplicità i fenomeni legati al a lubrificazione al 'interfaccia, principalmente la pressione locale di contat o. In sostanza, relazioni fenomenologiche, tipo la legge di Coulomb, non sono applicabili in casi come quel o discusso in questa Sezione. Ciò ci riporta a quanto det o nel 'introduzione, il contat o in presenza di uno o più corpi deformabili ha un comportamento diverso da quel o più semplice e più noto di contat o tra corpi rigidi (metal ici). Si possono indicare almeno tre fat ori che influenzano l'at rito (secco) negli elastomeri: la pressione, la temperatura e la velocità di scorrimento relativa tra le superfici. Nel caso più complesso di presenza di lubrificante occorre aggiungere al a lista anche la viscosità. Rimandando al e let eratura [1] per una più det agliata descrizione, si ricorda qui solo un aspet o notevole del 'at rito negli elastomeri, cioè la variazione del coefficiente di at rito con la pressione di contat o. Questa variazione si manifesta solitamente con una riduzione del coefficiente di at rito con la pressione f(p), come documentato fin dai classici lavori di Thirion [5] e Schal amach [6]. In let eratura la dipendenza f(p) è riscontrabile come leggi empiriche o semi-empiriche e la sperimentazione diret a rimane per lo più lo strumento principale per carat erizzarla. Al a luce del e considerazioni appena espresse, si è applicata una di queste relazioni trat a da [7] per rielaborare i risultati del 'analisi ad elementi finiti del a tenuta radiale. La procedura, che è stata ripetuta per ogni condizione di carico (cioè per i diversi valori del a pressione del 'olio), è molto semplice, e per questo appetibile dal punto di vista del tecnico che cerca metodi sicuri e di immediata applicabilità, e consiste nei passaggi di seguito 159 Figura 5. a) Coefficiente di at rito [7] e tensione tangenziale in funzione del a pressione di contat o, b) momento resistente al variare del a pressione del 'olio. descrit i. In primo luogo, data la distribuzione di pressione di contat o (p) si è calcolata una tensione tangenziale ('), nodo per nodo, come il prodot o del a pressione per il coefficiente di at rito locale (cioè dipendente dal a pressione di contat o in quel punto). Successivamente si è integrata la distribuzione di pressione tangenziale su tut a la superficie di contat o tenuta-albero per ot enere la forza tangenziale risultante (Ft). Infine da questa si è ot enuta la coppia resistente moltiplicandola per il raggio del 'albero (R). La rappresentazione grafica di quanto esposto è riportata in Fig. 5. Questa procedura ha diverse criticità: la relazione f(p) trat a dal a let eratura era stata ricavata per una geometria molto diversa e in condizioni di assenza di lubrificante; l'at rito è introdot o solo dopo che la distribuzione di pressione normale era stata ot enuta con una simulazione senza at rito (la deformata del a tenuta non è perciò influenzata dal 'at rito tenuta-albero); l'effet o del velo di lubrificante al 'interfaccia è totalmente escluso a priori dal calcolo. Ciononostante si è ritenuto che fosse comunque istrut ivo verificare se ciò avrebbe aiutato ad ot enere una miglior correlazione con i risultati sperimentali. Dal confronto di Fig. 5b con Fig. 4 si evidenzia invece che, nonostante gli ordini di grandezza siano decisamente comparabili e che i valori del a coppia resistente siano verosimili, questa procedura non porta alcun vantaggio riguardo al 'andamento del a curva Mr in funzione del a pressione del 'olio. Lo studio del e tenute radiali a labbro con presenza di olio e in condizioni di spunto non è quindi affrontabile appieno con le procedure sopra esposte (coefficiente di at rito costante, coefficiente di at rito in funzione del a pressione locale di contat o) ma richiedono strumenti più sofisticati. Si ritiene inoltre che non si possa prescindere dal film d'olio al 'interfaccia albero-tenuta e perciò la metodologia di simulazione deve tener conto sia del a deformabilità del a tenuta che del 'effet o di sostentamento possibilmente indot o dal lubrificante. In un precedente lavoro [8] gli autori hanno però mostrato come, con albero a) b) 160 rotante e in condizioni di regime, con un metodo simile basato su una simulazione ad elementi finiti, sia possibile studiare la coppia di at rito. In [8] era stato inoltre proposto una Figura 6. a) Fase di montaggio con interferenza del a tenuta, simulata mediante uno spostamento radiale del a sede; b) scorrimento assiale del o stelo ed eventuale trascinamento del a tenuta, per at rito, contro la bat uta laterale. procedura sperimentale per la misura del a coppia di at rito in presenza di eccentricità dinamica. 3. TENUTA A SEZIONE QUADRATA
L'esempio proposto concerne una tenuta di sezione quadrata (con vertici arrotondati) interposta tra uno stelo cilindrico e una sede. La simulazione ha riguardato due condizioni, la prima data dal solo montaggio con interferenza, la seconda da un movimento assiale del o stelo. Il sistema assialsimmetrico è schematizzato in Fig. 6. Il materiale elastomerico è model ato come iperelastico con le medesime proprietà di quel o usato nel a Sezione precedente. Lo stelo ha un diametro di 70 mm, la sezione del a tenuta ha una dimensione radiale pari a 2 mm in condizioni indeformate la quale passa a 1.6 mm in seguito al montaggio con interferenza (la deformazione radiale nominale è perciò del 20%). Stelo e sede sono state model ate come superfici rigide. Al 'interfaccia tra la tenuta e le parti metal iche è stato definito un contat o con at rito che, per semplicità, segue una legge di tipo coulombiano con coefficiente costante. Diversi valori del coefficiente di at rito sono stati usati, qui si riportano i risultati relativi a tre casi: f=0.1, 0.3, 0.5. La distribuzione di pressione e di tensione tangenziale nel e due zone di contat o (stelo- tenuta, tenuta-sede) al termine del a fase di montaggio sono mostrate in Fig. 7b. L'ascissa del grafico corrisponde al a posizione dei nodi del a mesh lungo il perimetro del a tenuta. Per quanto riguarda la pressione sia la distribuzione in A che quel a in B sono simmetriche come ci si at ende. Le curve in B sono leggermente più basse di quel e in A poiché, a parità di forza radiale risultante scambiata, il contat o in B avviene su una superficie cilindrica più ampia. Gli andamenti del a pressione sono uguali per f=0.3 e f=0.5 mentre per il caso f=0.1 le curve hanno valori inferiori ma ciò è compensato dal ''incremento nel ''ampiezza del contat o. Vi sono picchi al e estremità del e zone di contat o con valori circa 1.5 più elevati rispet o al a zona centrale, ciò si rispecchia anche nel a distribuzione di tensione come a) b) 161 mostrato in Fig. 7a. La tensione tangenziale ha andamenti antisimmetrici (con risultante net a nul a) e mostra una più marcata differenziazione tra i casi f=0.3-0.5 e il caso f=0.1. Figura 7. Fase di montaggio per interferenza del a tenuta al 'interno del a propria sede; a) deformata del a tenuta e tensione di Von Mises; b) pressione normale e tensione tangenziale di contat o lungo il perimetro del a tenuta. Per elevati valori di f l''andamento è tipo onda triangolare, per bassi valori è tipo onda quadra. Pressione normale e tensione tangenziale modificano radicalmente gli andamenti quando viene applicata una traslazione assiale del o stelo. Vi è una fase iniziale nel a quale la tensione tangenziale al ''interfaccia rimane mediamente inferiore a quel a critica, ossia a quel a necessaria ad indurre il moto relativo (che nel caso di at rito coulombiano è proporzionale, punto per punto, al a pressione locale di contat o moltiplicata per il coefficiente di at rito) e si ha perciò trascinamento del a tenuta fino a che questa non tocca, nel punto C, la bat uta del a sede. In tale condizione, per f=0.1 e f=0.3 la tensione tangenziale in A supera quel a critica e si ha scorrimento del o stelo. Per f=0.5, invece, ciò avviene solo dopo che lo stelo si è trascinato parte del a tenuta nel ''interstizio stelo-sede, a questo punto però la mesh si distorce troppo e la soluzione non raggiunge più convergenza. La Fig. 8 riporta le condizioni di tensione di Von Mises, pressione normale e tensione tangenziale nei contat i a seguito di un scorrimento del o stelo pari a 0.75 mm. Questo rappresenta circa il momento in cui, per il caso f=0.1, si abbandona il trascinamento ed inizia lo scorrimento del o stelo sul a tenuta nel punto A. La zona maggiormente sol ecitata a) b) 162 è una striscia di materiale che percorre circa diagonalmente la sezione, la massima tensione di Von Mises, così come la massima deformazione principale, si hanno per f=0.5, quel e Figura 8. Fase di scorrimento assiale in direzione verticale del o stelo; a) deformata del a tenuta e tensione di Von Mises; b) pressione normale e tensione tangenziale di contat o lungo il perimetro del a tenuta. minime per f=0.1. Si nota come la diagonale di materiale più sol ecitato parta e termini circa in corrispondenza dei due picchi di pressione normale e tensione tangenziale di contat o nel e zone A e B. Il movimento assiale del o stelo distorce gli andamenti del a pressione normale (ora non più simmetrici) e di quel a tangenziale (ora non più antisimmetrici). Inoltre la risultante del a tensione tangenziale di contat o (in direzione assiale) è ora diversa da zero ed pari al a forza assiale necessaria a muovere lo stelo. 4. DISCUSSIONE E CONCLUSIONI
I due casi descrit i hanno evidenziato alcune del e problematiche tipiche nel contat o tra metal o e tenute in elastomero, in presenza di lubrificante e non. Nel primo esempio si è discussa la dipendenza del coefficiente di at rito da svariati parametri tra cui la pressione locale di contat o. L'applicazione di una relazione f(p) empirica non ha migliorato la correlazione tra il momento resistente calcolato e la coppia di spunto misurata sperimentalmente. Si è inoltre a) b) 163 visto come al 'aumentare del a pressione del 'olio il contat o tra tenuta ed albero passi da alcune decine di micrometri a circa 2 mm. In queste condizioni di contat o esteso si ha una somiglianza con il secondo caso, quel o del a tenuta a sezione quadra. In quest'ultimo esempio poi il contat o è stato studiato, oltre che in condizioni di sola interferenza stelo-tenuta, anche in condizioni di spostamento assiale del o stelo, con forte deformazione indot a nel 'elastomero. Per bassi coefficienti di at rito si determina l'eventuale perdita di aderenza e lo scorrimento del o stelo sul a tenuta. Si è mostrato come il valore del coefficiente di at rito influenzi, sia la distribuzione del e pressione normale e del a tensione tangenziale di contat o, che il campo tensionale nel a tenuta. Entrambi i casi sono stati analizzati con simulazioni statiche col metodo degli elementi finiti. Diversi limiti sono emersi e sono principalmente legati al a definizione del e condizioni di at rito al 'interfaccia. Sebbene sia nel a sua fase iniziale, questo studio presenta diverse considerazioni di base per la comprensione dei fenomeni di deformazione e at rito nel contat o tra elastomero e metal o, in particolare per la comunissima applicazione del e tenute radiali a labbro con elevate pressioni del ''olio.
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164 METODI DI PROGETTAZIONE INTEGRATA DI SISTEMI AUTOMATICI ADATTIVI Angelo O. Andrisano, Marco Faretra, Francesco Gherardini, Alessandro Guerra, Francesco Leali, Marcel o Pel icciari, Fabio Pini, Alberto Vergnano Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Civile, Università di Modena e Reggio Emilia E-mail: angelo.andrisano@unimore.it
Sommario . Le prestazioni dei moderni sistemi automatici di assemblaggio derivano sempre più dal ''integrazione di apparati meccanici con at uatori programmabili, sensori, sistemi di elaborazione dati e complesse logiche di control o. La disponibilità di tali tecnologie permet e di af rontare nuove sfide tecniche ma comporta una rivoluzione nel modo di concepire meccanismi e macchine. I tradizionali model i di proget azione, orientati al a definizione per funzioni degli apparati e strut urati con l''intervento sequenziale del e diverse aree di conoscenza del ''ingegneria, non permet ono di sfrut are tut e le potenzialità del e diverse tecnologie coinvolte e di proget are comportamenti adat ivi. ' dunque necessario costruire nuovi metodi di proget azione che consentano di produrre sistemi in grado di interagire con l''ambiente circostante, di adat are autonomamente il proprio comportamento e di massimizzare e/o ot imizzare le prestazioni. Il presente lavoro descrive un metodo per la proget azione integrata di sistemi automatici adat ivi at raverso la model azione e la prototipazione virtuale dei comportamenti. Il metodo segue un approccio sistematico e considera, a diversi livel i di det aglio, l''evoluzione dinamica dei comportamenti sia tempo-continua che guidata da eventi discreti. L''integrazione del e conoscenze e del e tecnologie in un ambiente virtuale può portare al ''evoluzione in nuovi principi risolutivi, al a creazione del e basi di conoscenza su cui sono basate le logiche adat ive, ad avanzate strategie di sensorizzazione ed at uazione, al ''ot imizzazione complessiva del sistema ed al a compressione dei tempi di sviluppo. Questa memoria riporta infine l''applicazione del metodo proposto nel a proget azione di un sistema di assemblaggio automatico.
Parole chiave : proget azione integrata, sistemi automatici, comportamenti adat ivi, prototipazione virtuale 1. INTRODUZIONE
Le tecnologie oggi disponibili nel set ore del ''automazione industriale consentono l''implementazione di complessi model i di ot imizzazione del comportamento del e macchine e di interazione con l''ambiente operativo at raverso opportune strategie di sensorizzazione ed at uazione. L''evoluzione di queste tecnologie abilita spesso innovazioni radicali tanto nel e operazioni eseguite quanto nel e stesse architet ure funzionali del e macchine, proget ate non solo per essere flessibili, ma anche per offrire una reale adat ività dei comportamenti al e variazioni del e condizioni operative. La flessibilità è definita in let eratura come la capacità di un sistema di modificare alcune variabili o assumere diversi stati in risposta a variazioni dei requisiti con una 165 contenuta perdita in termini di tempo, costi o prestazioni, [1, 2]. Questa definizione non esclude la flessibilità o la riconfigurabilità a seguito di intervento manuale degli utilizzatori, anche a sistema fermo. Un sistema adat ivo è invece un sistema capace di modificare autonomamente il proprio comportamento per perseguire i propri obiet ivi anche in presenza di variazioni del e condizioni operative. La let eratura di riferimento trat a ampiamente i diversi aspet i e declinazioni del ''adat ività dei sistemi. Se da un lato questo tema è ampiamente sviluppato nel ''ingegneria del software, l''ingegneria meccanica incorpora l''adat ività in un approccio più ampio, consistente nel a proget azione di sistemi capaci di adat arsi a diversi tipi di incertezze, [3, 4]. I sistemi adat ivi possono quindi essere considerati un sot oinsieme dei sistemi flessibili. Per i sistemi adat ivi in senso stret o inoltre si fa spesso riferimento al concet o di adat ività rispet o al e variazioni prevedibili o (in una certa misura) imprevedibili dei parametri di lavoro interni ed esterni al sistema stesso, aspet o questo non propriamente considerato dai sistemi flessibili. L''architet ura dei sistemi produt ivi adat ivi è generalmente concepita in modo modulare, sia dal punto di vista meccanico che del a logica di comportamento, aspet o, quest''ultimo, di grande interesse scientifico. I sistemi adat ivi più avanzati, infat i, sono composti di agenti isolati ma interagenti in una rete di comunicazione, mentre realizzano il comportamento adat ivo autonomamente o in modo parzialmente guidato dai livel i di control o gerarchicamente superiori. Tale comportamento adat ivo si traduce, generalmente, in tre diverse azioni [5]: osservazione del e variabili interne e del ''ambiente esterno, ot imizzazione degli obiet ivi in relazione a certe leggi di risposta e adat amento del ''azione di risposta per conseguire l''obiet ivo ot imizzato. I comportamenti adat ivi possono variare dal a modifica online dei parametri, [6], fino al ''adat ività strut urale, [7]. In let eratura, così come nel a realtà industriale, l''adat ività è solitamente guidata dal ''ingegneria del software, [8, 9], che deve pertanto essere integrata nel e at ività di proget azione meccanica per sviluppare ed ot imizzare i comportamenti, risultanti dal ''integrazione degli apparati meccanici ed elet ronici e del software. 2. APPROCCIO TRADIZIONALE ALLA PROGETTAZIONE
I flussi di proget azione possono essere suddivisi a seconda del a direzione di proget azione in Top-Down e Bot om-Up: dal generale al particolare, o viceversa. In let eratura si ritiene più promet ente il primo, [10], anche se alcune fasi di proget azione dovranno per forza essere eseguite con un flusso Bot om-Up, come per l''introduzione di componentistica e moduli meccatronici programmabili o nel riutilizzo di blocchi funzionali software. I principali vantaggi di questo approccio al a proget azione sono l''individuazione anticipata di errori e punti deboli del sistema, la risoluzione anticipata dei requisiti in conflit o, l''orientamento a minimizzare le incertezze ed i tempi di sviluppo contrapposto al a pratica del trial and error, la facilitazione di redazione di una documentazione esaustiva del ''architet ura del sistema da proget are. Tra i possibili metodi di proget azione Top-Down si può considerare come riferimento, per efficacia e diffusione, un metodo sistematico articolato nel e seguenti quat ro fasi, [10]: 1. Formalizzazione delle specifiche: analisi e definizione del e proprietà da conseguire con l''at ività di proget azione del sistema con l''obiet ivo di redigere una lista di requisiti, o specifiche di proget o. 2. Progettazione concettuale: scomposizione funzionale del e specifiche in problemi, per i quali si ricercano, si valutano e si selezionano i possibili principi risolutivi. 166 3. Progettazione esecutiva: sviluppo dei principi risolutivi in soluzioni tecniche opportunamente dimensionate, verifica del e prestazioni e del ''effet iva realizzabilità tecnica ed economica, ot imizzazione del ''intero sistema. 4. Progettazione di dettaglio: definizione di tut e le carat eristiche necessarie per la realizzazione fisica del sistema, redazione dei disegni e dei documenti di produzione. Questo metodo di proget azione sistematica si sviluppa in fasi successive di analisi e sintesi at raverso la scomposizione funzionale del e specifiche e la proget azione degli apparati necessari per assolvere le diverse funzioni, per giungere, infine, al ''integrazione di tali apparati nel sistema complessivo. Questo approccio non tiene efficacemente conto del ''evoluzione del sistema nel dominio del tempo poiché mira spesso a determinare il miglior compromesso tra effet i contrapposti in condizioni nominali (costi/prestazioni, rigidezza/massa, lead time /dimensioni magazzino, etc.). Nel caso di sistemi dinamici, però, il comportamento può essere descrit o matematicamente con leggi fortemente nonlineari sovrapposte a model azioni ad eventi discreti, [11], che possono integrarsi, compensarsi o contrapporsi con effet i ben diversi dal comportamento nominale considerato in sede di scomposizione funzionale, specialmente in presenza di variazioni del e condizioni operative. Questo approccio di proget azione di apparati per funzioni deve essere quindi superato con una proget azione di comportamenti nel dominio del tempo, da valutare mediante simulazioni di model i comportamentali. La proget azione dei sistemi automatici è un processo molto complesso in cui spesso si rilevano inefficienze nel ''integrazione tra le diverse aree disciplinari del ''ingegneria. Gli ingegneri meccanici, responsabili del know-how di prodot o e processo, guidano le fasi iniziali del o sviluppo, definendo rigidamente le soluzioni tecniche. Si proget ano quindi gli schemi elet rici e l''hardware per il control o degli apparati, che vengono poi fisicamente costruiti ed instal ati. A questo punto possono intervenire i programmatori per sviluppare il software per il control o dei comportamenti nominali e adat ivi, i cicli di funzionamento, nonché tut e le procedure di avviamento, di arresto e di gestione del e situazioni anomale. Le reali logiche di control o vengono quindi spesso proget ate in det aglio solo durante la messa in servizio finale, [12, 13], mentre i comportamenti vengono ideati a monte dal ''ingegneria meccanica. La pratica comune, inoltre, dimostra spesso inefficienze nel a comunicazione di informazioni tra l''ingegneria meccanica e quel a del software, che porta a ritardi di tempo e a comportamenti non ot imizzati e l''ingegneria del software ha spesso ridot e possibilità di introdurre cambiamenti e migliorie al sistema complessivo, [14, 15]. Occorre, in definitiva, passare da una proget azione di apparati per funzioni in configurazioni statiche e con una scarsa integrazione tra le diverse tecnologie coinvolte ad un metodo basato sul a proget azione integrata di comportamenti adat ivi e cicli di lavorazione e sul a proget azione e valutazione tramite model i virtuali nel dominio del tempo. 3. METODO DI PROGETTAZIONE MEDIANTE PROTOTIPAZIONE VIRTUALE
In questa sezione si descrive un metodo di proget azione basato sul ''utilizzo del a prototipazione virtuale nel e diverse fasi di sviluppo Top-Down di un sistema di assemblaggio automatico. 167 Formalizzazione delle specifiche
Nel a formalizzazione del e specifiche per un sistema adat ivo di assemblaggio automatico occorre considerare che non tut o il sistema sarà adat ivo ma solamente alcune sue parti e non sarà inoltre possibile monitorare qualunque grandezza. Vi saranno poi parametri prestazionali da ot enere indipendentemente dal e variazioni del ''ambiente operativo mentre per altri sarà accet abile una maggiore flessibilità, [8, 16]. In questa fase occorre analizzare il dominio di conoscenza utilizzato per riferirsi ad un determinato contesto operativo, [17], raccogliendo model i e descrizioni nei diversi standard di formalizzazione utilizzati dal e discipline ingegneristiche. L''esperienza dei proget isti di prodot o e di processo, arricchita da simulazioni virtuali CAE, definisce un insieme di dati e regole per le ontologie su cui fondare lo sviluppo dei comportamenti del sistema. Grazie a prototipi virtuali CAE avanzati è possibile prevedere le variazioni del e prestazioni dei prodot i realizzati ammissibili per l''utente finale. Risultano inoltre fondamentali in questa fase le informazioni sul numero di operazioni da eseguire senza variazioni di set-up, sul mix di prodot o al ''interno di una piat aforma, sul a variabilità del a domanda di mercato e sul tempo accet abile per la consegna del prodot o ed infine sul livel o di automatizzazione richiesto per l''at uazione dei comportamenti adat ivi. La formalizzazione del e specifiche per i sistemi adat ivi deve intrinsecamente trat are l''incertezza, l''incompletezza, la variabilità e la stocasticità, spostando il livel o del discorso da prescrit ivo a flessibile. In particolare non tut e le specifiche sono esprimibili quantitativamente sin dal e prime fasi e vengono rifinite man mano che si procede con le fasi di proget azione, mentre la stessa lista del e specifiche costituisce un importante strumento di validazione e verifica dei model i virtuali che supporterà tut a l''at ività di proget azione tramite prototipi virtuali. Progettazione concettuale
La proget azione concet uale inizia con l''identificazione astrat a dei problemi da risolvere, stabilendo un''architet ura per i comportamenti del sistema. In particolare i comportamenti adat ivi possono essere descrit i secondo quat ro dimensioni di model azione, [18]: compiti e risultati at esi dal sistema (obiet ivi del sistema), leggi e range di variabilità a cui il sistema deve rispondere (cause di adat ività), modalità di at uazione di una risposta adat iva (meccanismi per l''adat ività) ed efficacia e velocità di risposta at ese e flessibilità consentita per il meccanismo adat ivo (ef et i sul sistema). Si devono poi individuare le soluzioni tecniche concet uali preposte al conseguimento dei comportamenti adat ivi. Tali soluzioni, definite principi risolutivi, devono essere combinate per conseguire i compiti del sistema complessivo. Le diverse possibili strut ure organizzative devono essere rapidamente valutate per eliminare scelte tecniche chiaramente non promet enti per gli scopi, i costi o i tempi utili per l''iniziativa aziendale. Superata la prima fase di scrematura si procede al a prototipazione virtuale del e soluzioni concet uali con un approccio integrato, [19]. Nel caso specifico di sistemi automatici di assemblaggio la model azione comportamentale risulta più difficile, dovendo trat are variabili logiche e numeriche di diversi formati (booleane, stringhe, reali, intere, etc.). Nel a fase di proget azione concet uale è spesso sufficiente realizzare model i cinematici dei meccanismi, per quanto riguarda la meccanica, ed eseguire blocchi funzionali solamente per il comportamento nominale per quanto riguarda il software, in quanto in fase di proget azione concet uale non è necessaria una model azione det agliata. Possono anche essere omessi tut i i cicli ausiliari volti a trat are situazioni di funzionamento 168 anomale, diagnostica, emergenza e riavvio a caldo o a freddo. In fase di proget azione concet uale molti comportamenti, o addirit ura interi moduli o macchine, possono essere efficacemente model ati con blocchi funzionali software dotati di opportune interfacce input /output, realizzando model i det agliati solo per i moduli più critici. Questa fase si conclude con la definizione di una combinazione di principi risolutivi che, integrando soluzioni meccaniche e software concet uali, realizzi i comportamenti necessari per il sistema adat ivo di assemblaggio automatico. Progettazione esecutiva
Nel a fase di proget azione esecutiva si dimensionano o si proget ano accuratamente gli apparati meccanici e si definiscono in det aglio le relative strut ure hardware e software di control o. Si realizzano prototipi virtuali ad un sempre maggiore livel o di det aglio per la verifica e l''ot imizzazione del e combinazioni di soluzioni tecniche individuate nel a precedente fase di proget azione concet uale. La sperimentazione virtuale dovrà essere accuratamente validata, [20], per arrivare ad uno stato di avanzamento del proget o che sia il più possibile privo di errori, dal momento che nel a successiva fase di proget azione di det aglio sarà più difficile introdurre modifiche. In questa fase sono molto importanti gli strumenti di analisi e visualizzazione grafica offerti dagli ambienti CAD 3D, per verificare i comportamenti proget ati. In questa fase si devono simulare una grande quantità di diversi scenari virtuali, coinvolgendo tut e le diverse tecnologie. Nel caso del software, ad esempio, la stessa in fase di debug può essere vista come una sorta di model azione, dal momento che il software reso eseguibile con la compilazione non sarà più comprensibile al proget ista. La sequenza ed i risultati del a simulazione (continua o step by step) sono normalmente visualizzati in un debugger, che mostra lo stato corrente di avanzamento nel codice appena sviluppato ed i risultati a monitor. In certi casi si preferisce introdurre i comportamenti reali con un approccio di tipo Hardware in the Loop, [21, 22], connet endo al a simulazione uno o più control ori reali ed eventualmente anche i drive degli azionamenti. Questo approccio consente analisi ad un elevato livel o di det aglio del sistema, dal momento che il comportamento del componente reale utilizzato non è in alcun modo semplificato dal processo di prototipazione virtuale. Si trat a comunque di una tecnica che deve intervenire in una fase avanzata del processo di proget azione. Progettazione di dettaglio In questa fase finale si definiscono gli ultimi det agli del sistema automatico adat ivo fino al completamento del e distinte base di tut i gli elementi meccanici, elet rici ed elet ronici ed al a redazione del a documentazione tecnica del sistema. Sul a base del e simulazioni virtuali i proget isti meccanici devono completare l''ot imizzazione del sistema, gli ultimi det agli del layout generale, la scelta del a componentistica commerciale, dei materiali, del e proprietà superficiali e del e tol eranze. L''ingegneria del software in quest''ultima fase provvede al commissioning del software di control o del ''intero sistema, proget ando e verificando tut i i cicli ausiliari di diagnostica, di avviamento a caldo e a freddo e di arresto e le funzioni di comunicazione tra i diversi apparati col egati in rete. Nel a proget azione di det aglio le diverse aree disciplinari devono lavorare con strumenti separati dal momento che questi sono stati perfezionati in decenni di sviluppo. In questa fase si deve quindi ricorrere ad una simulazione di tipo Hardware in the Loop. Mentre da un lato il software di control o viene valutato nel suo reale comportamento, la 169 meccanica rimane definita, prima del a messa in servizio e del col audo finale, solo nel ''ambiente virtuale di simulazione. Le simulazioni virtuali del comportamento meccanico possono però essere raffinate, se necessario, mediate l''introduzione di parametri di funzionamento più accurati, ot enuti anche tramite sperimentazione reale. 4. STRUMENTI DI PROGETTAZIONE INTEGRATA
L''integrazione di simulazioni meccaniche, elet riche ed elet roniche e del e logiche di control o è stata ampiamente studiata nel a proget azione di macchine, [21, 23], mentre un minor numero di applicazioni hanno come ogget o i sistemi automatici di assemblaggio. Nonostante la crescente diffusione del a simulazione e programmazione off-line di sistemi robotizzati, [24], la programmazione e la validazione off-line dei PLC è ancora limitata a proget i pilota, tut i basati sul a tecnologia del Virtual Commissioning (VC), [12, 25]. In questo lavoro sono stati scelti gli strumenti del VC perchè efficientemente organizzati in ambienti interdisciplinari in cui le aree meccanica, elet ro-meccanica e software possono comunicare e scambiare informazioni, creare moduli funzionali integrati e formalizzare basi di conoscenza interdisciplinari. Vi sono due possibili approcci per la realizzazione di un prototipo di un intero sistema automatico con gli strumenti del VC. L''approccio più semplice consiste nel realizzare una simulazione completa in un ambiente virtuale, come mostrato in Fig. 1, in cui vengono integrati i comportamenti degli apparati meccanici ed elet ronici e del software di control o. La simulazione del comportamento integrato di un sistema può così essere realizzata su un comune PC e consente di adot are tempi di simulazione perfet amente sincronizzati tra model i anche molto complessi. Gli ambienti di simulazione sono molto aperti e permet ono un elevato grado di flessibilità nel a definizione di model i a diversi livel i di det aglio, per quanto riguarda la meccanica degli azionamenti, gli schemi elet rici, i circuiti pneumatici ed idraulici ed i sensori. D''altra parte questo si riflet e in lunghi tempi di sviluppo, per cui risulta fondamentale la creazione di database di librerie di model i parametrici, da riutilizzare velocemente ed integrare in nuove simulazioni, così come normalmente realizzato dal ''ingegneria del software. Il limite principale di questo approccio è la necessità di sviluppare il software di control o in ambienti con funzionalità semplificate Figura 1. Simulazione in ambiente virtuale. 170 rispet o agli strumenti di sviluppo proprietari dei costrut ori di control ori industriali. La difficoltà di traduzione verso gli ambienti proprietari da cui eseguire infine il download del ''applicazione su un control ore fa si che sia conveniente sviluppare solamente una parte del software reale, e tipicamente un comportamento privo dei cicli ausiliari di avviamento e freddo, di emergenza e di restart e di diagnostica. Il secondo approccio consiste nel realizzare una simulazione Hardware in the Loop, [21], come mostrato in Fig. 2, in cui solo una parte del sistema viene simulato, mentre una o più parti vengono eseguite tramite l''hardware che equipaggerà il sistema reale. In generale si trat a del e apparecchiature hardware e software reali di control o, and esempio PLC. Questo approccio consente di utilizzare gli ambienti di sviluppo proprietari del e diverse tecnologie, conservando per intero la base di conoscenza costituita dal e librerie software, nonchè tut i gli strumenti di configurazione hardware e di diagnostica. Se da un lato con questo approccio si ha il grande vantaggio di utilizzare il software così come verrà realmente eseguito, dal ''altro la simulazione integrata risente del e prestazioni del sistema di comunicazione tra control ore reale ed ambiente di simulazione. Questi infat i possono non essere perfet amente sincronizzati a causa del a comunicazione tramite un server OPC (OLE '' Object Linking and Embedding '' for Process Control), che regola le comunicazioni dei segnali del ''ambiente di simulazione con i dispositivi di control o di diversi produt ori, inclusi i sistemi HMI (Human Machine Interface). Questi strumenti consentono quindi di colmare la separazione tra le diverse aree del ''ingegneria con la ricerca, la valutazione, ed infine la verifica dei risultati di sinergie interdisciplinari, a pat o che vengano opportunamente guidati da un nuovo metodo di proget azione. Figura 2. Simulazione Hardware in the Loop. 171 5. PROGETTAZIONE INTEGRATA DI UN SISTEMA ADATTIVO DI ASSEMBLAGGIO DI SENSORI AUTOMOTIVE La prototipazione virtuale è stata adot ata come strumento di sviluppo di alcune soluzioni tecniche adat ive proget ate per produrre ed assemblare sensori di pressione automotive, [26]. Il principio di funzionamento del sensore, come mostrato in Fig. 3, è basato su una roset a calibrata su cui agisce una mol a a tazza: l''area del a corona circolare del a roset a è sogget a al a pressione differenziale tra l''aria al ''interno del o pneumatico e quel a esterna e la forza risultante deve essere controbilanciata dal a mol a a tazza. La mol a è proget ata per avere una carat eristica fortemente nonlineare, con bassi valori di costante elastica in prossimità del carico di at ivazione desiderato per il sensore. Al a pressione di at ivazione, rilevata con un''ot ima precisione, il sensore at iva un segnale visivo che indica lo stato di pressione effet iva del o pneumatico. Il modulo riproget ato in questo case study è responsabile del ''assemblaggio del a mol a a tazza e del a roset a calibrata. La variabilità dei parametri produt ivi ritenuti più critici è stata accuratamente analizzata e model ata sin dal e prime fasi di definizione del e specifiche e proget azione concet uale del sistema di assemblaggio. La model azione degli effet i di tali variabilità sul e prestazioni finali del sensore di pressione ha evidenziato alcune criticità. In particolare è necessario variare frequentemente il diametro del a roset a calibrata, a causa del a richiesta di frequenti cambi di lot o di produzione (ogni lot o ha un valore diverso del a soglia di pressione, e quindi un diametro diverso del a roset a), richiedendo lo svuotamento manuale ed il nuovo riempimento degli alimentatori vibranti con tempi di set up molto lunghi. L''analisi FEM sul a mol a a tazza ha inoltre mostrato come la curva elastica nonlineare cambi con il cubo del o spessore (del ''ordine di 0.1mm). Poichè il processo di tranciatura del e mol e è difficile da control are a costi accet abili e comporta in definitiva grandi variazioni del a curva elastica del a mol a, è stato necessario intervenire a val e, proget ando un sistema adat ivo rispet o al a variazione del a carat eristica elastica del a mol a. I comportamenti del sistema sono stati via via model ati tramite prototipi virtuali con il software Delmia Automation del a Dassault Systèmes. In questo ambiente virtuale si sviluppano i model i meccanici CAD 3D, i relativi vincoli cinematici e le logiche di comportamento. Una volta integrati con tali logiche i prototipi virtuali diventano smart devices, ovvero moduli intel igenti in grado di comunicare tra di loro e con il control ore tramite porte di IOs, come mostrato in Fig. 4. Questi prototipi virtuali dei sistemi elet ro- meccanici e pneumatici vengono inoltre integrati grazie a specifici strumenti di model azione con at uatori programmabili, altre comunicazioni tramite IOs, sensori digitali e analogici, HMI, control ori e logiche di control o. Figura 3. Principio di funzionamento del sensore di pressione. 172 Nel presente lavoro l''utilizzo degli strumenti di prototipazione virtuale è stato anticipato al e prime fasi di sviluppo del sistema. L''ambiente è stato utilizzato in paral elo da ingegneri meccanici e da proget isti software e la stessa logica comportamentale degli apparati meccanici è stata definita tramite i linguaggi del o standard IEC 61131-3, per una migliore integrazione tra le diverse aree di conoscenza In particolare i comportamenti dinamici dei sistemi meccanici e degli at uatori programmabili sono stati model ati con il linguaggio FBD (Function Block Diagram), mentre per i comportamenti logici, tipici di una descrizione a stati discreti, è stato utilizzato il linguaggio SFC+ (Sequential Function Chart). In Fig. 5 si mostra un esempio di model azione tramite FBD del control o PID di un at uatore programmabile, utilizzato nel a valutazione concet uale di soluzioni at uate elet ricamente. Un FBD è un diagramma composto da blocchi funzionali che descrivono relazioni logiche, algebriche o ausiliarie (ad esempio cambio di formato) tra variabili di input e di output (IOs). Le porte IOs di blocchi diversi sono connesse da linee orientate da sinistra verso destra, sostituibili da etichet e per chiarezza di rappresentazione. Due porte connesse tra di loro devono essere del o stesso formato. Una porta di input può essere col egata ad un solo output, mentre una porta di output può essere col egata a più input. Figura 4. Comunicazione di uno smart device tramite porte IOs. Figura 5. Model o FBD di un regolatore PID. 173 Il model o del regolatore PID comprende blocchi per il processamento del e variabili IOs, i blocchi proporzionale, integrale e derivativo ed una funzione di memorizzazione del o stato e degli stati precedenti. La dinamica del ''at uatore control ato è stata anch''essa model ata tramite un FBD. Il model o parametrico è completamente configurabile con i parametri cinematici (corsa, posizioni iniziale e finale), dinamici (inerzie), elet rici (parametri del motore) e di control o (trasdut ore di posizione). Nel o stesso FBD la dinamica del sistema è governata da blocchi funzionali algebrici, mentre altre condizioni, come le condizioni iniziali e l''arresto ai fine-corsa viene gestito da blocchi logici di confronto. Le funzioni inserite nei blocchi sono state scrit e completamente oppure importate da funzioni definite in Matlab con un linguaggio simbolico. In Fig. 6 si mostra un esempio di model azione tramite SFC+ di un cilindro pneumatico di un''unità pick and place, soluzione poi adot ata come modulo standard in molte soluzioni del sistema di assemblaggio. L''SFC+ è un linguaggio di programmazione grafica concet ualmente simile al GRAFCET e al e reti di Petri e risulta molto efficiente nel a model azione di comportamenti descrivibili con sequenze (in serie, in paral elo o alternative) di stati discreti. Ad ogni stato possono essere associate del e azioni da eseguire, a loro volta definite con assegnazioni, equazioni e condizioni logiche di confronto. Gli stati sono connessi tra di loro mediante transizioni, at ivabili con la verifica di opportune condizioni. Anche il model o comportamentale SFC+ del ''at uatore pneumatico, Fig. 6 (a), è completamente parametrico ma i movimenti sono vincolati ad eseguire profili di velocità trapezoidali o triangolari. Questo model o virtuale comprende anche la model azione dei sensori di prossimità per i finecorsa, Fig. 6 (b), per cui è possibile configurare il tipo, la posizione e la distanza di let ura. Questo tipo di model azione è molto aperta e consente un gran numero di prove virtuali per la validazione del comportamento complessivo del a) b) Figura 6. Model o SFC+ di un at uatore pneumatico sensorizzato. 174 sistema, includendo la replica di un gran numero di scenari ipotetici di guasto, a cui il sistema deve reagire opportunamente. I model i parametrici così costruiti sono disponibili in file XML o nativi Delmia e quindi facilmente riutilizzabili per successive at ività di proget azione o instanziabili più volte al ''interno del a stessa simulazione, anche con parametri diversi. Le diverse stazioni operative, di volta in volta definite a livel o concet uale e disposte nel layout con una certa approssimazione, sono state inizialmente model ate semplicemente con blocchi funzionali software e con schematizzazioni CAD 3D per definirne gli ingombri nel o spazio. I model i sono stati quindi man mano definiti ad un livel o maggiore di det aglio, a partire da quel i più critici per conseguire le specifiche del sistema. Per ogni smart device simulato in ambiente virtuale sono state definite le necessarie interfacce IOs per il trasferimento di materia, energia ed informazioni sia a livel o hardware (con i moduli confinanti e con le HMI) che software (con il control ore virtuale). Per comprimere i tempi di sviluppo sono stati riutilizzati ampiamente i model i precedentemente sviluppati e disponibili in libreria, con le rispet ive informazioni sul e reali prestazioni ot enibili. Anche i blocchi funzionali PLC del e logiche di control o sono stati riutilizzati e modificati per valutare rapidamente la fat ibilità di ogni soluzione o variante di proget o e per verificare i comportamenti integrati di meccanica e software. I model i concet uali del e diverse soluzioni tecniche sono stati assemblati in un model o di sistema complessivo, via via integrato con i comportamenti adat ivi ad un sempre maggiore livel o di det aglio. Il sistema adat ivo è stato quindi sviluppato progressivamente con un approccio Top-Down tramite l''introduzione di tut i i necessari dispositivi meccanici, i sensori ed i sistemi meccatronici programmabili, con le necessarie capacità di acquisizione, processamento e comunicazione di informazioni. L''architet ura del sistema adat ivo è stata definita secondo il criterio di separazione degli apparati responsabili del comportamento adat ivo dal sistema principale. Sono stati quindi proget ati due diversi anel i di trasporto. L''utilizzo di due anel i con velocità di avanzamento differenti consente di ot imizzare il sistema principale senza risentire del e problematiche e del e eventuali inefficienze legate ai comportamenti adat ivi. I due anel i di trasporto sono poi stati interfacciati con alcune stazioni pick and place, come mostrato in Fig. 7. Visti i punti deboli del sistema precedentemente evidenziati, si è deciso di testare in linea ogni singola mol a nel ''anel o adat ivo, per poter ot imizzare l''area superficiale del a roset a accoppiata in funzione del a curva elastica registrata. Per questo comportamento adat ivo sono stati definite, come in [5], le at ività di environment sensing, goal modification e behaviour adaptation. E'' stata introdot a una stazione di test in cui si acquisisce la curva elastica per ogni singola mol a (environment sensing). Le mol e a tazza sono testate una ad una per cinque volte, per formare, compatibilmente con i tempi ciclo richiesti, una minima base statistica per la successiva elaborazione. Quindi la logica di control o determina una curva di carico media in funzione del a compressione e di conseguenza calcola il diametro (goal modification) con cui tagliare la roset a (dal diametro dipende l''area di azione del a pressione) per ot enere la specifica soglia di at ivazione prevista per il lot o in lavorazione. Infine le roset e grezze sono alimentate da un alimentatore a tazza vibrante in una stazione laser in cui vengono singolarmente tagliate a misura (behaviour adaptation). Un opportuno sistema di traking dei pal et e di memorizzazione del e operazioni assicura che per ogni sensore vengano assemblati corret amente la mol a e la roset a appositamente adat ata. Mentre la posizione dei singoli sot oassiemi (sensori parzialmente 175 assemblati) è seguita lungo le varie stazioni operative, il laser taglia precisamente a misura una roset a sul a base del a soglia di pressione prevista per il lot o in lavorazione e del a curva elastica misurata per la specifica mol a a tazza. Per il control o CN del laser è inoltre previsto un ciclo opportuno per recuperare i giochi ed ot enere una maggiore ripetibilità di taglio. La prototipazione virtuale dei sistemi di trasferimento asincroni a pal et liberi è stata particolarmente accurata sia dal punto di vista meccanico che software. Con questo sistema, mostrato in Fig. 8, i pal et vengono fat i continuamente avanzare fino a che non vengono ostacolati da un pal et precedente o dai fermi control ati dal PLC. In corrispondenza di ogni stazione vi sono due fermi in successione ed un sistema di bloccaggio e riferimento del pal et. Mentre la stazione operatrice esegue le operazioni sul pal et bloccato precisamente, il fermo a monte impedisce che i pal et in arrivo col idano col pal et in lavorazione, generando spostamenti o vibrazioni impreviste. Per la model azione virtuale di questi comportamenti nel e diverse condizioni di lavoro sono stati accoppiati blocchi FBD ed SFC+. La prototipazione di questi sistemi ha richiesto un''elevata modularizzazione per consentire di inserire i diversi pal et come elementi indipendenti ma interagenti tra di loro Figura 8. Sistema di trasporto asincrono a pal et liberi. Figura 7. Sincronizzazione dei diversi anel i di trasporto tramite unità pick and place. 176 da un punto di vista puramente fisico. La prototipazione virtuale del sistema di trasporto ha consentito di ot imizzare lo spazio libero tra diverse stazioni, in cui si accumulano buffer di pal et in at esa, ed il numero stesso dei pal et in circolazione. In genere infat i l''efficienza del sistema può diminuire sia per un numero di pal et troppo scarso che troppo elevato. Un numero ot imale di pal et al contrario consente di saturare i col i di bot iglia del sistema. Il comportamento del sistema adat ivo è stato infine completamente implementato in un prototipo virtuale integrato con tut i gli smart devices e logiche di control o. Per eseguire il debug del software e per validare e verificare le prestazioni dei sistemi implementati sono state utilizzate sia simulazioni continue nel tempo che step-by-step (Fig. 9). In questo modo è stato possibile valutare i movimenti, le col isioni, il flusso del e operazioni, il funzionamento del a strategia di sensorizzazione ed il valore dei segnali nel tempo. I comportamenti sono stati rapidamente ot imizzati grazie al ''interazione dei proget isti con l''ambiente di simulazione virtuale. 6. CONCLUSIONI
In questo lavoro sono state studiate le diverse fasi di proget azione dei sistemi adat ivi di assemblaggio automatico per individuare metodi e tecniche finalizzati a superare alcuni limiti del a tradizionale proget azione sistematica e ad integrare le diverse aree disciplinari. L''approccio descrit o è basato sul ''utilizzo del a prototipazione virtuale come vero e proprio strumento di proget azione. In tut e le fasi di sviluppo sistematico i comportamenti adat ivi vengono proget ati integrando le diverse aree tecnologiche coinvolte. I prototipi virtuali comprendono quindi i model i CAD 3D, i comportamenti meccanici, elet rici e pneumatici, i processi fisici, le diverse tipologie di sensori, l''hardware ed il software di control o, le interfacce uomo macchina e qualunque altro tipo di model azione funzionale al a simulazione. I model i si scambiano flussi di materia, energia ed informazioni mediante porte IOs di diversi formati, supportando così efficaci strategie di modularizzazione. Figura 9. Simulazione virtuale mediante Delmia Automation. 177 Il metodo, le tecniche e gli strumenti descrit i sono stati valutati su diversi casi studio, tra i quali è stata descrit a la proget azione di un sistema automatico per la produzione e l''assemblaggio di sensori automotive. In questo caso studio, la definizione iniziale del e specifiche prestazionali del prodot o da assemblare è stata integrata con informazioni sul a variabilità dei parametri di lavoro. Alcuni prototipi concet uali sono stati utilizzati per valutazioni preliminari e per individuare i punti deboli del sistema da superare con soluzioni adat ive. Grazie al a sperimentazione virtuale del ''evoluzione dei comportamenti nel tempo è stato possibile definire le logiche comportamentali e le strategie di sensorizzazione ed at uazione necessarie per la loro implementazione. L''at ività ha portato ad un notevole incremento del e prestazioni del sistema in termini di qualità ot enuta, capacità produt iva (grazie soprat ut o al ''eliminazione dei fermi macchina), autonomia, riduzione del ''intervento umano e flessibilità produt iva. Infine la simulazione complessiva del sistema adat ivo ha mostrato come sia possibile sviluppare in tempi molto rapidi un prototipo virtuale molto complesso, grazie anche al a creazione di librerie di model i virtuali integrati. Grazie al metodo di proget azione basato sul a prototipazione virtuale è stato possibile migliorare la qualità del software ed al tempo stesso ridurre notevolmente i tempi di messa a punto. Questi risultati, in linea con altre recenti ricerche, sono ot enuti grazie al a possibilità di eseguire test intensivi, anche nel e più critici scenari operativi, che spesso non potrebbero essere ricreati nel a realtà senza il rischio di danneggiare i macchinari. L''at ività di ricerca futura prevede l''approfondimento dei model i matematici con cui sono creati i moduli parametrici dei sistemi e la connessione con altri software di model azione ed ot imizzazione di sistemi automatici. Si dovranno poi approfondire le metodologie del ''ingegneria meccanica nel a definizione ai diversi livel i di det aglio dei comportamenti adat ivi, a partire dal a definizione del e specifiche con nuovi linguaggi di formalizzazione capaci di descrivere l''incertezza del e condizioni operative, fino al a proget azione vera e propria con un approccio sintetico e sistemico. RINGRAZIAMENTI
Questo proget o è stato realizzato grazie al supporto del e strut ure operative del laboratorio regionale del ''Emilia Romagna per l''Alta Meccanica INTERMECH-SIMECH, oggi Centro Interdipartimentale per la Meccanica Avanzata e la Motoristica INTERMECH-Mo.Re. del ''Università di Modena e Reggio Emilia.
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Parole Chiave : Assemblaggio Automatico, Cel a Robotizzata Flessibile, End-Ef ector, Sistema di Visione. 1. INTRODUZIONE
L''at uale tendenza del mercato di richiedere prodot i personalizzabili e in lot i limitati, per via del loro ridot o ciclo di vita, pone numerosi problemi nel ''automatizzare le fasi di un ciclo produt ivo. Bisogna senz''altro sot olineare che, mentre le tecnologie di produzione tradizionali oggi sono dotate di un elevato livel o di automazione, questa, seppur presente, rimane inferiore nel a fase di assemblaggio. Si può inoltre evidenziare che la razionalizzazione del ''assemblaggio ha at ualmente acquistato una grande importanza, se non altro perché la sua quota relativa ai tempi e ai costi di produzione rappresenta una parte ragguardevole con tendenze sempre più rilevanti [1]. I sistemi di assemblaggio automatico devono possedere un livel o di flessibilità correlato ai quantitativi di produzione richiesti, al ''ampiezza dei lot i, al numero dei model i di prodot o, del e loro varianti e del a loro complessità [2]. Lo sviluppo di questi sistemi è stato posteriore a quel o verificatosi nel campo del a lavorazione di macchina anche in relazione al a maggiore complessità del problema [3, 4, 5, 6, 7, 8]. Il ciclo produt ivo tradizionale dei prodot i prevede diverse fasi di assemblaggio tut e eseguite da operatori manuali. L''assemblaggio così realizzato si basa su risorse assolutamente flessibili, quali sono gli operai assemblatori, ma carat erizzate da limitata 182 ripetibilità e discrezionalità nel a valutazione di parametri qualitativi. L''idea di introdurre un impianto automatico di montaggio, oltre a garantire un determinato tempo ciclo, la standardizzazione del livel o qualitativo [9, 10], la certificazione e la tracciabilità del prodot o realizzato, consente d''altra parte di prelevare personale da quel e at ività ripetitive e noiose per destinarlo a mansioni maggiormente valorizzanti. Questo aspet o inoltre concorda con l'at uale esigenza di ridurre l'incidenza del costo del a manodopera sul costo finale del prodot o. Il proget o e la successiva realizzazione del a cel a robotizzata sono il risultato di un lavoro che è partito dal ''analisi del prodot o e del suo ciclo di fabbricazione, potendo in questo modo definire le specifiche necessarie in termini di sot osistemi presenti, disposizione planimetrica, performance, integrazione con il ciclo fabbrica e grado di flessibilità. Dopo avere valutato la fat ibilità economica del proget o e la sua convenienza si è passati al a proget azione dei sot osistemi che costituiscono l''impianto automatico. In particolare si è studiata la modalità con cui alimentare i componenti da assemblare, si è definito il sistema di carico/scarico e staffatura dei prodot i durante la fase di montaggio, si è operata la scelta del a tipologia e del e carat eristiche del robot industriale presente nel ''impianto. Paral elamente ci si è dedicati al proget o degli end-effector e del loro magazzino di deposito, oltre al a definizione del sistema di visione, con la scelta dei suoi componenti e del e loro carat eristiche [11, 12]. Un aspet o rilevante è stato quel o relativo al a programmazione del software di gestione del a cel a, il quale si interfaccia con il sistema di visione, con il control ore del robot e con il gestionale del o stabilimento produt ivo. La fase di proget o è stata seguita da una fase di prototipazione del a cel a, durante la quale ci si è avvalsi di macchina FDM per il rapid prototyping e quindi la veloce realizzazione del ''end-effector e del sistema di alimentazione. Avendo realizzato il prototipo è stato possibile eseguire i test per verificare e ot imizzare le performance del sistema. Infine l''impianto automatico è stato realizzato e col audato presso lo stabilimento di un''azienda leader nel set ore. 2. LA CELLA ROBOTIZZATA DI ASSEMBLAGGIO
La cel a di lavoro robotizzata ha il compito di assemblare in maniera autonoma, intel igente e automaticamente riconfigurabile, gli elementi curva sui tubi costituenti il circuito idraulico dei prodot i, chiudendo così il percorso previsto per il fluido primario. La cel a robotizzata è rappresentabile come un sistema che ha come input il prodot o da assemblare e i relativi disegni CAD, contenenti le specifiche di assemblaggio, e come output il prodot o assemblato con una serie di dati relativi al 'operazione di assemblaggio avvenuta. Tra questi dati vi sono del e informazioni statistiche relative al tipo e numero di prodot i assemblati e non assemblati, a causa di difet i rilevati dal sistema di visione, quali e quanti di questi difet i sono stati rilevati e la gestione degli ordini. Specifiche dell''impianto automatico di assemblaggio delle curve
L'operazione del ciclo produt ivo che si vuole automatizzare è quel a di inserimento del e curve con anel i nei tubi di un circuito idraulico. Al a luce del e at uali tendenze del mercato, che richiede la produzione di lot i di prodot i anche di bassa numerosità, dovendo quindi l'impianto avere la massima di versatilità e rapidità di riconfigurazione, si è deciso di 183 proget are una cel a robotizzata di assemblaggio. Infat i il mix produt ivo è tale da non giustificare la costruzione di una macchina automatica speciale. Anche effet uando considerazioni sul e varianti dei prodot i da assemblare e sul e carat eristiche di flessibilità richieste al 'impianto, nonché valutazioni relative al a complessità del prodot o ed al e dimensioni dei lot i, si è indirizzati verso la proget azione di una cel a robotizzata. In una cel a robotizzata destinata ad operare questo tipo di assemblaggio è essenziale avere un sistema di visione industriale che permet a di conoscere la posizione dei tubi nei quali deve entrare la curva. Ulteriori specifiche fondamentali di proget o individuate per l''impianto automatico sono tempo di inserimento del a singola curva e l''accuratezza del posizionamento, stabilita in fase di proget o preliminare in ±0.1 mm. La cel a al o studio, inoltre, per poter operare in maniera efficiente al 'interno del a linea di produzione, deve soddisfare alcuni requisiti prestazionali e alcune necessità di produzione: ' Interfacciamento: la cel a di lavoro deve utilizzare come elemento in ingresso il disegno CAD del prodot o da assemblare già presente nei sistemi informativi aziendali, provvedendo in maniera automatizzata al ''acquisizione del e carat eristiche geometriche del prodot o ed al a generazione del relativo ciclo di assemblaggio, senza richiedere intervento alcuno da parte del ''operatore. ' Velocità: l'operazione eseguita al 'interno del a cel a deve risultare più veloce del a corrispondente lavorazione manuale. Tale requisito implica un'acquisizione ed un'elaborazione del e immagini ot imizzate e una pianificazione del e traiet orie di inserimento per il robot specifica per ogni prodot o. ' Rilevazione difet i: al a cel a si richiede non solo di inserire corret amente e velocemente le curve nei tubi, ma al tempo stesso di individuare e quantificare eventuali difet i presenti al e imboccature dei tubi. Questo requisito ha almeno tre funzionalità. La prima è legata al 'inserimento del e curve: in presenza di un difet o grave al 'imboccatura di un tubo, l'identificazione del 'anomalia permet e di evitare danneggiamenti al 'organo terminale del robot ed alil prodot o. Questo tipo di riconoscimento consente inoltre un'eventuale riparazione nel a zona difet osa prima del e lavorazioni successive. Infine, le informazioni ricavate possono essere utili per un'analisi statistica sul a distribuzione dei difet i. Architettura della cella robotizzata
Lo scopo del a pianificazione del layout consiste nel disporre opportunamente la cel a di assemblaggio, per quanto riguarda il flusso dei prodot i e la messa a disposizione del e curve da assemblare, in funzione del o spazio presente e rispet ando le esigenze del personale in servizio. L'intera disposizione deve essere proget ata in modo che il flusso dei semilavorati nel a cel a possa essere integrato nel o svolgimento complessivo del a fabbricazione. Devono inoltre essere considerati la modalità di messa a disposizione del e curve da assemblare ed i relativi percorsi. In particolare, la messa a disposizione mediante sistemi automatici voluminosi, se possibile, dovrebbe essere effet uata da un solo lato. Infine devono essere soddisfat e tut e le prescrizioni indicate nel e diret ive di sicurezza per i luoghi di lavoro. 184 Figura 1. Layout del a cel a robotizzata. Dal a vista in pianta è possibile individuare le parti fondamentali che costituiscono la cel a robotizzata: ' recinzione perimetrale di sicurezza con porte sensorizzate d''accesso al a cel a e barriera a fotocel ule per consentire l''accesso al a tavola rotante; ' tavola rotante è a due postazioni, viene comandata dal control ore del robot e permet e di portare il prodot o, caricato dal 'operatore, al 'interno del 'area di lavoro del robot; presenta del e maschere di fissaggio velocemente riconfigurabili per la staffatura dei prodot i durante l''assemblaggio; ' magazzino utensili: permet e l'al oggiamento dei diversi organi terminali per il robot ed è diret amente connesso al sistema di alimentazione del e curve; ' sistema di alimentazione del e curve: è costituito da una serie di vibroalimentatori orbitali a gradini; permet e il riempimento automatico, in tempo mascherato, dei caricatori degli end-effector depositati a magazzino; ' robot SCARA con relativo control ore e cambio utensile pneumatico; ' end-effector: utensile speciale per il robot realizzato per manipolare ed inserire le curve nel circuito idraulico; ' sistema di visione costituito da una telecamera a matrice e relativo sistema di il uminazione; ' work station per l''utilizzo del software di gestione del a cel a robotizzata e per la comunicazione con il control ore robot, con il sistema di visione e con il software gestionale del o stabilimento. 185 Figura 2. Model o CAD 3D di alcuni sot osistemi del ''impianto. Figura 3. Schema di comunicazione tra i sot osistemi del a cel a di lavoro. Progettazione dell''end-effector per il robot
L'end-effector da realizzare, essendo un dispositivo speciale, dedicato al 'esecuzione di una particolare applicazione, ha determinate carat eristiche note fin dai primi stadi del proget o. Basandosi sul fat o che il robot non deve realizzare un montaggio del e curve mediante un'operazione di pick-and-place, poiché si è voluto che il percorso che il manipolatore 186 compie nel 'esecuzione del 'assemblaggio fosse tale da rendere minimo il tempo di montaggio, si è posta la specifica iniziale che l'end-effector dovesse possedere un caricatore integrato, da alimentare automaticamente, che consentisse di avere a disposizione lungo tut o il percorso le curve da inserire. Studiando le carat eristiche del e curve si è arrivati a definire la modalità e l'orientazione con cui queste possono essere alimentate nel dispositivo di estremità. Al a luce di questi studi, si è pervenuti a definire la strut ura di un caricatore verticale che deve essere riempito dal 'alto e al cui interno si trova una guida, di forma opportuna, su cui scorrono per gravità le curve da assemblare, man mano che quel e sot ostanti vengono montate sul prodot o. Nel a fase di proget o si sono studiati anche i meccanismi necessari perché le curve vengano portate dal 'orientamento con cui sono caricate, fino a quel o con cui è possibile inserirle. La curva infat i, per le carat eristiche del sistema automatico di alimentazione, entra nel caricatore disponendosi con gli assi dei tubi orizzontali. Per poter essere assemblata sul prodot o, invece, essa dovrà avere gli assi dei tubi verticali e la parte esterna del a curvatura rivolta verso l'alto. Inoltre la curva, a causa del a sua forma tubolare piegata ad U, è un ogget o difficile da manipolare, si è quindi studiato un sistema in cui la curva è spinta al 'interno di una sede, denominata cul a, che presenta una cavità del a forma del a curva. Una volta presa nel a cul a, la curva è mossa, orientata e trasportata fino al punto di assemblaggio. L'end-effector, inoltre, dovrà svolgere anche la funzione di singolarizzazione del e curve prima di prenderle dal a pila presente nel caricatore, in quanto la scarsa precisione del ''impilaggio non consente di estrarre l'ultima curva dal a pila senza averla preventivamente separata dal e altre. Perciò l'end-effector realizzato possiede: ' un caricatore in grado di contenere le curve da inserire in un prodot o, il quale è in grado inoltre di potersi ben interfacciare con il sistema di alimentazione automatico; ' un meccanismo di singolarizzazione del 'ultima curva; ' un sistema di presa del a curva nel a cul a; ' un sistema di orientazione che permet e di portare la curva con gli assi dei tubi verticali e curvatura verso l'alto; ' un at uatore che permet e un movimento di inserimento verticale. Figura 4. Operazioni di singolarizzazione, orientazione ed inserimento richieste al 'end-effector. 187 Inoltre, accanto a queste carat eristiche che riguardano il suo funzionamento, l'end- effector realizzato è carat erizzato da: ' at uatori compat i, leggeri e veloci che permet ono di inserire la curva in un tempo estremamente ridot o; ' permet ere di portare la curva da inserire nel a giusta orientazione e posizione, rispet ando la tol eranza di posizionamento dei tubi nel o schema del prodot o; ' avere una strut ura che permet a di realizzare un end-effector per ogni tipologia di curva da inserire, cambiando il minor numero possibile di componenti; ' essere dotato di una femmina per il sistema cambio utensile. Il funzionamento del 'end-effector, come accennato, prevede di far ruotare la cul a, contenente la curva, senza che questa si stacchi dal a prima per effet o centrifugo. La rotazione del a cul a infat i è veloce e il ruolo di contenimento del a cul a può non essere adeguato a mantenere aderente la curva al a cul a nel caso il meccanismo di rotazione non sia ben proget ato. Il meccanismo prevede un accoppiamento di forma tra la spina in acciaio al oggiata nel a cul a e due camme a corsia, poste affacciate e simmetriche rispet o al a cul a, per rendere simmetrico il meccanismo ed evitare flessioni, che compromet erebbero il buon orientamento del a curva da inserire. Le formule utilizzate per calcolare la traiet oria del centro del a spina di acciaio, che costituisce con la camma l'accoppiamento di forma, definiscono i vet ori di posizione xp e yp i quali, disegnati in un grafico 2D, portano ad ot enere il profilo del a camma. Variando i parametri del e formule utilizzate, si è ot enuto un profilo che rende contenuti i valori del e accelerazioni e quindi del e forze d'inerzia. L''end-effector proget ato è stato dapprima realizzato mediante prototipazione rapida, per mezzo di tecnologia FDM, e testato per verificare sincronismo e tempistiche dei meccanismi. Successivamente è stato realizzato un prototipo in materiale metal ico, che è stato sot oposto ad analisi mediante lo studio dei filmati del ''assemblaggio a 120 fps. In questo modo è stato possibile ot imizzare le tempistiche ed effet uare alcune modifiche al design, ot enendo una ulteriore riduzione dei tempi di inserimento del e curve. Per poter eseguire corret amente l'operazione di inserimento di una curva in una determinata locazione è necessario conoscere la posizione e l'orientazione del 'end-effector utilizzato rispet o al sistema di riferimento del robot. A questo scopo si è studiato una metodologia di calibrazione degli organi terminali, ricorrendo ad opportuni utensili, gestita dal software di control o del a cel a robotizzata. 188 Figura 5. Proget o del meccanismo a camma per la rotazione del a curva. Figura 6. Ot imizzazione del e tempistiche di movimentazione del a curva. 189 Sistema di visione e software di gestione dell''impianto
Il prodot o, una volta posizionato sot o al dispositivo di acquisizione del e immagini, costituito da una telecamera b/n a matrice, viene fotografato al ''inizio del ciclo di assemblaggio. Il software di elaborazione del e immagini provvede per prima cosa al riconoscimento del model o del o schema, sul a base del e informazioni relative ai model i presenti nel database. Nel caso in cui risultino già presenti alcune curve inserite, viene verificato il loro corret o inserimento. Se questa prima verifica iniziale è superata con successo, il software di visione procede ad un'analisi più approfondita di ogni tubo. Vengono rilevate con precisione le coordinate del centro tubo nel sistema di riferimento del robot e valutati eventuali difet i, quali tagli o altre irregolarità nel a sommità del tubo che possono compromet ere il corret o assemblaggio del prodot o. Figura 7. Acquisizione ed elaborazione del 'immagine. Per definire una corrispondenza tra le coordinate dei centri dei tubi rilevate dal sistema di visione, espresse nel sistema di riferimento bidimensionale del 'immagine, e quel e effet ive definite nel sistema di riferimento del robot, si richiede di determinare una trasformazione tra i due sistemi di riferimento. Questa trasformazione viene determinata mediante la procedura di calibrazione del a telecamera, sviluppata ad hoc per l''applicazione in esame. L'operazione di calibrazione oltre a definire la corrispondenza tra i due sistemi, permet e di compensare tut e le distorsioni prospet iche che carat erizzano questi sistemi, effet uando una mappatura completa del piano di assemblaggio. Il software di control o del a cel a robotizzata è gestito tramite un'interfaccia grafica, che consente di comandare e visualizzare tut e le principali operazioni del a cel a. A partire dal 'interfaccia principale è possibile richiamare altre routine, tra cui il riconoscimento del o schema di montaggio dai file CAD, la gestione degli schemi di lavorazione in corso e il database schemi. Nel 'interfaccia principale è possibile seguire diret amente e monitorare l'evoluzione del 'assemblaggio, interagendo con il control o del robot richiedendo fermi macchina e riat ivazioni del ciclo di lavoro. Inoltre è disponibile la visualizzazione di statistiche che rappresentano l'andamento qualitativo del e operazioni di assemblaggio. Si gestiscono e si visualizzano eventuali al armi associabili a situazione anomale nel cambio utensile, nel robot o nel prodot o. Per quanto riguarda il robot, la sequenza di movimentazione, generata mediante un algoritmo di percorso a tempo minimo di assemblaggio, viene calcolata dal software di gestione, che comunica al control ore del 190 robot (tramite rete ethernet) le coordinate di movimentazione ed il relativo sot oprogramma da eseguire. Il control ore del robot, oltre a comandare il manipolatore, gestisce fisicamente anche gli input e gli output del a cel a. Figura 8. Prototipo del a cel a robotizzata. 3. CONCLUSIONI
In questo lavoro è stata seguita una procedura metodologica in grado di prendere in considerazione l''insieme del e dinamiche che si presentano nel a proget azione esecutiva di un impianto automatico di assemblaggio con alto grado di autonomia e riconfigurabilità. In base ai test svolti e al col audo effet uato, la cel a robotizzata costruita è in grado di assemblare i prodot i con il medesimo tempo-ciclo rispet o al a lavorazione manuale, e necessita di un solo operatore a bordo del ''impianto per il carico/scarico del prodot o e l''alimentazione dei bowl-feeders con le curve da assemblare. ' possibile perciò affermare che la cel a robotizzata risulta competitiva in termini di tempi e costi di produzione. L''assemblaggio con la cel a robotizzata permet e inoltre una produzione flessibile, il monitoraggio dei difet i dovuti al e operazioni produt ive precedenti, la tracciabilità e la certificazione del a qualità dei prodot i ot enuti. BIBLIOGRAFIA [1] K. Feldmann, H. Rot bauer, N. Roth, 1996. ''Relevance of assembly in global manufacturing'. CIRP Annals-Manufacturing Technology, v 45, n 2, pp. 545-552.
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[12] V. G. Riel o, A. Foroni, S. Cenci, G. Rosati and A. Rossi. ''Apparato per l''inserimento di curve nei tubi per fluido di uno scambiatore di calore'. Brevet o di invenzione industriale, CCIAA di Milano, Feb-22nd 2010. MI2010A000267. 192 MECHANICAL DESIGN OF BIMATERIAL HELICAL
SPRINGS WITH CIRCULAR CROSS-SECTION


Eugenio Dragoni
Dipartimento di Scienze e Metodi dell''Ingegneria,
Università di Modena e Reggio Emilia, Italia
E-mail: eugenio.dragoni@unimore.it

William J. Bagaria
Aerospace Engineering Department,
United States Naval Academy
E-mail: gfwjb207@verizon.net


Abstract. This paper presents an exact mechanical model for helical springs with circular
cross-section formed by a inner elastic core encased in an outer annulus of dissimilar
elastic properties. Closed-form equations are developed for stresses and deflection in the
spring undergoing either bending or axial end loads. For both loading conditions, the
model takes into account the stress concentrations arising in the cross-section due to
curvature of the spring axis. The disclosed equations are specialized for bimaterial springs
with polymer core and thin nanometal cladding, a solution reflecting a unique technology
recently brought into the market by a leading polymer manufacturer. In this special case,
the cladding behaves as an efficient thin-walled tube under torsion with the soft core
preventing the danger of wall instability. A design procedure is exemplified, showing that
this construction leads to lighter and smaller springs than all-metal or all-polymer
counterparts.

Keywords: mechanical design, helical springs, circular section, bimaterial construction.
1. INTRODUCTION Analysis and design equations are available for helical springs in many shapes and
materials. For the most common solid sections and homogeneous materials the classical
theory developed by Wahl [1] applies. The advantages of hollow-section helical springs
were first pointed out by Bagaria [2] and his results were included by Spinella and Dragoni
[3] in a theory for hollow shape memory springs. In [4] Gobbi and Mastinu developed a
general theory for tubular composite springs with anisotropic material behaviour. Recently, a proprietary material process [5] has been disclosed which strengthens and stiffens polymer parts by means of a thin cladding (0.1-0.3 mm) of nanometals deposited
on the outer surface (Figure 1). The remarkable mechanical properties of typical cladding
alloys are listed in Table 1. The new technology can be applied to helical springs by
coating a polymer blank produced either by rapid prototyping or, for simpler geometries,
by high-volume manufacturing techniques such as extrusion. The high-performance
nanometal cladding works very efficiently in round-section helical springs because it is
ideally placed to resist torsion. Lightweight and compact springs, well suited for light- and 193 medium-duty service (biomedical devices, electrical equipment, automotive interiors),
result from this advantage. Table 1: Mechanical properties of NiFe nanometals compared with spring steels Property Unit Nano NiFe (alloy A) Nano NiFe (alloy B) High-strength steel Stainless steel Tensile strength MPa 1 710 1 440 2 300 1 000 Yield strength MPa 1 180 950 2 200 870 Yield shear strength MPa 680 548 1 270 502 Young''s modulus GPa 147 141 206 195 Shear modulus GPa 56 54 79 75 Elongation to failure % 5 8 6 6 Mass density kg/dm 3 8.6 8.6 7.9 7.9

No theory exists for helical springs based on this hybrid construction. By ignoring the polymer core, the theory for hollow springs [3] can be applied but the contribution of the
core to strength and stiffness is lost, at times with appreciable errors. This paper develops
an exact theory for bimaterial helical springs with circular cross-section undergoing either
end axial forces or end bending moments (Figure 2). Equations are presented for stress and
deflection which generalize the corresponding expressions of the classical theory for
homogeneous springs. The disclosed general theory is specialized for bimaterial springs with polymer core and thin nanometal cladding, for which case the equations become very simple. It is to be
noted that for a hollow spring, the spring cross-section, if too thin, can collapse [3].
Adding a polymer core to a thin cladding will prevent this collapse. By means of a
numerical example, a design procedure is presented for this particular spring construction.
The procedure starts from specifications on load and deflection and supplies manufacturing
spring data (material, section and coil diameters, number of coils) together with spring
properties (solid length, mass). Length and mass of the nanometal-cladded spring are
compared with the corresponding properties of a conventional steel spring subjected to the
same design requirements. Figure 1. Hybrid system formed by nanometal cladding on polymer substrate Figure 2. Section of bimaterial helical spring with design variables and load conditions. Polymer substrate Nanometal cladding D di do n P M 194 (a) (b) Figure 3. Dimensions and elastic properties of the bimaterial cross-section: general case (a); limit case for very thin cladding (b). 2. EQUIVALENT SECTION PROPERTIES The general properties and dimensions of the bimaterial cross-section are given in
Figure 3a, with pedix ''i' referring to the inner core and pedix ''o' referring to the outer
cladding. Since core and cladding are connected together, the torsional and the bending
stiffness of the section are calculated as the sum of the individual stiffnesses of the two
parts [6]. The equivalent torsional stiffness becomes:
( ) { } 4 4 4 32 p i i o o i G J G d G d d = + '' ' (1) The equivalent bending stiffness is given by: ( ) { } 4 4 4 64 i i o o i E J E d E d d = + '' ' (2) For core and cladding with equal Poisson''s ratio, ν, combination of (1) and (2) gives: ( ) 1 p E J G J = + ν (3) 3. SPRING UNDER END BENDING MOMENT Shear Stresses The cross-sections of the spring in the plane of bending (Figure 2) develop torsional shear stresses. The nominal shear stress at the outside of the cladding is obtained by do Eo, Go , νo di Ei, Gi , νi t << d d Eo, Go Ei << Eo Gi << Go 195 dividing the applied moment by the torsional stiffness (1) and multiplying by the product
Go do / 2 [6] between the shear modulus and the outer radius of the cladding:
( ) { } 4 4 4 16 2 o o o M nom o p i i o o i d MG d M G G J G d G d d = = + '' ' ' (4) Because of the curvature of the spring, the shear stress is greater at the points of the cladding surface facing the spring axis. The maximum stress at this point is calculated by
applying to (4) a curvature stress concentration factor:
( ) { } 4 4 4 16 o o M max M M nom M i i o o i MG d K K G d G d d = = + '' ' ' ' (5)
with KM given by:
( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 2 2 4 1 1 4 1 1 M c b b b b K c b b '' + '' + '' = '' '' + ' ' ' (6)
where c = D/do is the spring index, b = di/do is the cladding aspect ratio and ' = Gi/Go is the
core to cladding stiffness ratio. Factor KM is plotted in Figure 4 as a function of c for the
limit cases of homogeneous solid section (b = 0, solid line) and infinitely thin hollow
section (b = 1, ' = 0, dashed line). For 0 < b < 1 and 0 < ' <1, factor K M assumes values falling between the two curves in Figure 4.
Figure 4. Plot of the curvature stress concentration factor KM for solid and hollow sections. Figure 5. Plot of the curvature stress concentration factors KP for solid and hollow sections. Spring index, c T o rsional str ess concentr ation f actor K M Homogeneous solid section Thin-walled hollow section Spring index, c Overall stress concentration factor K P Thin-walled hollow section Homogeneous solid section 196 Normal Stresses The cross-sections at right angle with the plane of bending develop bending normal
stresses. The maximum bending stress at the outside of the cladding is obtained by dividing
the applied moment by the bending stiffness (2) and multiplying by the product Eo do / 2
[6] between the Young''s modulus and the outer radius of the cladding:
( ) { } 4 4 4 32 2 o o o M max o i i o o i d ME d M E E J E d E d d = = + '' ' ' (7) There is no curvature correction for the bending stress because the plane of curvature of the spring is at right angle with the plane of bending. Deflection Timoshenko [7] gives the end rotation α of a homogeneous helical spring under bending moment in terms of torsional and bending stiffnesses of the cross-section. For the
bimaterial spring, the end rotation is obtained from Timoshenko''s expression by referring
to the equivalent stiffnesses:
1 1 2 p MDn E J G J '' '' '' '' = + '' '' ' ' ' α (8) Assuming the same Poisson''s ratio, ν, for core and cladding, from (1)-(3) equation (8) becomes
( ) ( ) 4 4 4 32 2 i i o o i MDn E d E d d + = + '' ν α (9) 4. SPRING UNDER END AXIAL FORCE Shear Stresses The axial end load P in Figure 2 produces shear stresses in the cross-section due to
torsional and transverse shear contributions. The torsional contribution can be calculated
from (5) by letting M = PD/2. Following [8], the maximum transverse shear stress in the
cladding can be written as:
( ) { } 4 4 4 8 o o P max P i i o o i PDG d K G d G d d ' ' = + '' ' ' (10) Assuming the same Poisson''s ratio, ν, for core and cladding [8], the curvature factor P K ' is given by: 197 ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) ( ) { } 2 2 2 4 2 2 1 1 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 1 1 1 P b b b b K c b b '' + + + + + '' + + ' = '' + '' + + ν ν ' ν ν ν ' (11) Letting M = PD/2 in (5) and adding the resulting expression to (10), the maximum total shear stress in the cladding is obtained as:
( ) { } 4 4 4 8 o o P max P i i o o i PDG d K G d G d d = + '' ' ' (12)
where P M P K K K ' = + . Using (6) and (11), KP expands to: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) ( ) { } 2 2 4 4 2 2 2 2 2 4 2 2 4 1 1 4 1 1 1 1 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 1 1 1 P c b b b b K c b b b b b b c b b '' + '' + '' = + '' '' + '' + + + + + '' + + + '' + '' + + ' ' ' ν ν ' ν ν ν ' (13) Factor KP is plotted in Figure 5 as a function of c for the limit cases of homogeneous solid section (b = 0, solid line) and infinitely thin hollow section (b = 1, ' = 0, dashed line). Again, for 0 < b < 1 and 0 < ' <1, the values of K P fall between the two curves in Figure 5. Deflection The spring under load P in Figure 2 can be likened to a straight rod of length L = ' nD, where n is the number of active coils. The angular twist β of the end sections under torsional moment T = PD/2 is β = TL/ p G J . Combining these expressions with (1) gives the axial deflection δ = β D/2 as: ( ) 3 4 4 4 8 i i o o i PD n G d G d d = + '' δ (14) 5. DESIGN EQUATIONS FOR NANOMETAL CLADDING The particular case of a bimaterial section with polymer core and nanometal cladding
(Table 1) is illustrated in Figure 3b. The section is identified by mean diameter, d, and thickness, t, of the cladding, with t << d. The elastic properties of the polymer core are also much lower than those of the cladding. Under these assumptions, the response of the spring
can be obtained from the general equations developed in Sections 3 and 4 by letting 198 do '' di '' d, do '' di '' 2 t, 4 4 3 8 o i d d td '' '' , Gi '' 0 and Ei '' 0. The following subsections show the final results. Spring under End Bending Moment Expression (5) for the maximum shear stress becomes:
3 16 0.125 M max M M K t d d '' '' = '''' '' ' ' ' ' (15)
where M K is the limit value for b = di/do = 1 and ' = Gi/Go = 0 of the curvature stress concentration factor (6), which becomes (dashed curve in Figure 4):
( ) 2 1 2 1 M c K c '' = '' (16) Likewise, the maximum bending stress (7) becomes: 3 32 0.125 M max M t d d '' '' = '''' '' ' ' ' ' (17) Finally, the end rotation (9) simplifies to: ( ) 4 32 2 0.125 o MDn t d E d + '' '' = '''' '' ' ' ν α (18) Spring under End Axial Force The maximum shear stress (12) becomes:
3 8 0.125 P max P PD K t d d '' '' = '''' '' ' ' ' ' (19) with P K , limit case for b = di/do = 1, ' = Gi/Go = 0 and ν = 0.3 of the curvature stress concentration factor (13), given by (dashed curve in Figure 5): ( ) 2 1 2 2 1 P c K c c '' = + '' (20) The deflection (14) can be written: 199 3 4 8 0.125 o PD n t d G d '' '' = '''' '' ' ' δ (21) It is seen that equations (15), (17), (18), (19) and (21), giving the properties of the spring, all contain function ' defined as: 0.125 t d = ' (22) Function ' is plotted in Figure 6 against the ratio t/d in the range 0.04''0.2 . Figure 6: Plot of function ' used in equations (15)''(21). Design Example Using the equations developed in Section 5.2, let''s design a bimaterial spring with nylon
(PA66) core and nanometal cladding subjected to a maximum axial force P = 150 N and maximum deflection δ = 15 mm. Choosing nanoalloy A from Table 1, the following material properties are identified for the cladding: yield strength ' = 680 MPa, shear modulus Go = 56 000 MPa, mass density ρo = 8.6 kg/dm 3 = 8.6 '10 ''3 g/mm3. Assuming a spring index c = 7, the stress concentration factor P K = 1.37 is calculated from (20). Assuming t = 0.30 mm and letting P max = ' ' , the mean diameter of the cladding is calculated from (19) as:
t/d ' 200 8 0.125 8 150 0.125 1.37 7 2.2 680 0.30 P P D d K d t ' '' '' '' '' = '' '' = ' ' ' '' '' '' '' '' ' ' ' ' ' '' ' mm (23)
giving a mean coil diameter D = c d = 7 '2.2 = 15.4 mm and an outside coil diameter Do = D + d = 15.4 + 2.2 = 17.6 mm. Finally, for = δ δ , equation (21) gives the number of active coils:
3 3 3 3 15 56 000 2.2 0.30 4.9 0.125 0.125 8 8 150 15.4 o G d t n PD ' ' '' '' = '' = ' '' '' '' ' ' ' ' δ (24) Assuming n0 = 2 dead turns, the total number of turns becomes nT = n + n0 = 4.9 + 2 = 6.9, giving a solid length H = nT d = 6.9'2.2 = 15.2 mm and a total ''wire' length L = ' D n T = ' '15.4'6.9 '' 334 mm. The volume of the core is Vi = L' (d '' t ) 2/4 = 334 ' ''(2.2 '' 0.3)2/4 = 947 mm3, which, for a mass density ρ i = 1.1'10 ''3 g/mm 3, gives the mass mi = ρiVi = 1.1'10 ''3'947 '' 1.0 g. The cladding has a volume V o = L' d t = 334 ' ''2.2'0.3 = 693 mm3, with a mass m o = ρoVo = 8.6'10 ''3'693 '' 6.0 g. The total mass of the bimaterial spring is m = mi + mo = 1.0 + 6.0 = 7.0 g. Using textbook equations [9], a solid steel spring with the same yield stress as the cladding, subjected to the same load, undergoing the same deflection and wound with the
same spring index as the bimaterial spring is readily designed. The following
characteristics are found: wire diameter d = 2.2 mm, mean coil diameter D = 15.4 mm,
outside coil diameter Do = 17.6 mm, number of active coils n = 6.3, solid height H = 18.3 mm and total mass m = 11.9 g (for n0 = 2 dead turns). Likewise, a glass-
reinforced solid nylon spring with yield strength ' = 120 MPa, shear modulus Gi = 5 770 MPa, mass density ρi = 1.6'10 ''3 g/mm 3 and spring index c = 4 (the value giving the lowest mass) would have the following characteristics: wire diameter
d = 4.2 mm, mean coil diameter D = 16.8 mm, outside coil diameter Do = 21.0 mm, number
of active coils n = 4.7, solid height H = 28.1 mm and total mass m = 7.9 g (for n0 = 2 dead turns). 6. DISCUSSION It is easily verified that for di = 0 the equations for stresses (including curvature factors) and deflections developed in Sections 3 and 4 reduce to the well known results for the
homogeneous solid spring [1]. Similarly, when Gi = 0, the general equations coincide with
those developed in [3] for hollow springs. Figure 4 shows that the curvature stress concentration factor under pure torsion, KM, is always higher for the solid spring (solid line) than for the thin-walled hollow spring
(dashed line). The ratio between the dashed curve and the solid curve decreases with the
spring index c, achieving the minimum value 0.87 for c = 2. By contrast, when the overall
stress concentration factor KP is considered (Figure 5), this behaviour is reversed. Now the overall factor of the thin-walled hollow spring (dashed line) exceeds that of the solid spring
(solid line). The ratio between the dashed curve and the solid curve increases for
decreasing c and stabilizes at the upper value 1.22 for c ' 3. For truly bimaterial sections defined by any b = di/do ratio between 0 and 1 and stiffness ratio ' = Gi/Go greater than 201 zero, the curvature factors lie between the dashed and solid curves in Figures 4 and 5. The
exact values can be calculated using equations (6) for KM and (13) for KP. Function ' defined in (22) and plotted in Figure 6 has an important physical meaning. Disregarding the slight difference in the curvature factors KM and KP between solid section and thin hollow section, function ' represents the ratio between any property (stress or deflection) of the thin-cladded polymer spring and the corresponding property of the all-
nanometal solid spring. When t/d = 0.125, the thin-cladded spring and the all-nanometal
spring have equal properties ( ' = 1). This means that a cladding as thin as t = 0.3 mm with average section diameter d = 0.3/0.125 = 2.4 mm would produce the same maximum stress and deflection of an all-nanometal solid section with the same diameter d. This example gives an idea of the efficiency of the cladding in this torsional application. The efficiency of the cladding is further confirmed by the design example in Section 5.3, with the cladded nylol spring being 41% lighter than the steel spring and 14%
lighter than the glass-reinforced nylon spring. The bimaterial spring is also shorter than the
steel spring (17% lesser solid length) and of the nylon spring (less 46%). Although the
outside diameter of the cladded spring is equal to the steel spring''s, it is 16% lower than the
nylon spring''s. These values correspond to spring configurations that minimize the mass
for given load and deflection. If the spring parameters of homogeneous steel and nylon
springs are changed (for instance by changing the spring index c), some properties of the
spring can slightly improve (solid length or outside diameter) but only at great expense of
the mass. 7. CONCLUSIONS An exact mechanical model for helical springs with bimaterial circular cross-section has
been developed. The model leads to closed-form equations for stresses and deflection when
the spring undergoes either bending or axial end loads. In both loading cases, the theory
incorporates the stress concentrations arising in the cross-section due to curvature of the
spring axis. The disclosed equations are specialized for bimaterial springs with polymer
core and thin nanometal cladding, a new technology recently introduced by a leading
polymer manufacturer. In this special case, the cladding behaves as an efficient thin-walled
tube under torsion with the soft core preventing wall instability that would occur in a
hollow spring. A numerical example shows the benefits of this construction in terms of
reduced mass and overall dimensions with respect to all-metal or all-polymer springs.
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Uno dei tanti problemi che si pongono al proget ista meccanico nel a fase del ''embodiment è l''individuazione, prima qualitativa e poi quantitativa, del ''indicatore del livel o di sol ecitazione del a strut ura. Questo indicatore deve risultare inferiore, in confronti deterministici (coefficienti di sicurezza) o stocastici (analisi probabilistiche di resistenza), al a resistenza del materiale nel punto considerato nel pezzo reale, generalmente individuata da 'R (tensione normale di col asso: rot ura, snervamento o cedimento strut urale in senso lato). Il campo tensionale è identificato dal e tre tensioni principali '''1, '2, '3' (convenzionalmente '1 ha il valore più elevato in senso algebrico etc.) e dal e relative direzioni nel o spazio. Molto rozzamente (e anche scorret amente, da un punto di vista rigorosamente teorico) si può affermare che il problema di cui si trat a nasce dal fat o che, per semplicità tecnica e scientifica (sostanzialmente per evitare una spaventosa messe di prove sperimentali), la resistenza del materiale è individuata da un solo ''numero' (il valore di 'R) mentre il livel o di sol ecitazione nel corpo è quantificato da sei numeri e per trasformare sei numeri in un unico indicatore occorre elaborare del e teorie. Quindi, mentre per identificare la generica resistenza dei materiali strut urali è sufficiente fare prove esaurienti di rot ura (usualmente abbastanza semplici), l''indicatore del a sol ecitazione è ot enuto ipotizzando le modalità di rot ura (teoria o ipotesi di rottura ) del materiale in esame e riformulando il model o fisico in termini di tensioni, fino ad ot enere un ''numero' (' ideale) da confrontare con 'R (Rs o Rm), generando un criterio di resistenza . Oramai le teorie di rot ura, e i relativi criteri di resistenza, sono talmente entrate sot o la pel e di generazioni d''ingegneri e di ricercatori che spesso si tende a banalizzare la scelta del a ''' ideale' senza più tenere conto del e approssimazioni e imprecisioni, implicite in ognuno di questi criteri, che sono ben note agli studiosi ma spesso molto meno agli utilizzatori (perché dimenticate o non considerate interessanti dal punto di vista pratico). I codici di calcolo FEM offrono solitamente le mappe degli indicatori, come opzioni di 205 output, almeno del Criterio del Lavoro di Distorsione. E'' un gran sol ievo per il calcolatore, ma può al ontanare e offuscare la parte più conscia del a proget azione, perché alcuni materiali e alcune situazioni di carico non sono bene rappresentate da questo particolare model o. Inoltre la tecnologia informatica Knowledge Based Design impiega pacchet i applicativi dove i criteri di analisi strut urale sono talmente stratificati "in profondità" che risulta difficile un'analisi critica dei risultati ot enuti dal loro impiego. Sono notissimi i diagrammi che confrontano i campi di sicurezza ot enibili applicando vari criteri di resistenza in un piano convenzionale '1-'2 (in let eratura sono at ribuiti a Westergaard), ipotizzando nul a la terza tensione principale ('3'). Questi diagrammi, di valenza prevalentemente didat ica, mostrano che i vari criteri di resistenza si differenziano nel risultato pratico del e analisi strut urali permet endo, così, di giungere al a conclusione che alcuni di essi sono meno ''conservativi' di altri (Fig. 1) per l''ampiezza relativa del e zone di resistenza. In questa sede si tralasciano le ''imperfezioni' del a rappresentazione (solo uno dei semispazi identificato dal a biset rice dei quadranti I e III è di interesse - l''altro è simmetrico '' e non è rispet ato l''ordine del e tensioni principali) per concentrare l''at enzione sui Criteri. In Fig. 1 (per comportamento dut ile) sono rappresentati: il Criterio del a Massima Tensione Normale (quadrato a trat ini, Rs = '1 o -Rs = '3), il Criterio del a Massima Tensione Tangenziale (esagono ''inclinato' a trat i, Rs = '1 - '3) e il Criterio del a Massima Energia di Distorsione (el isse a trat i e punti, Rs2 = [('1 - '2)2+('1 - '3)2+('2 - '3)2]/2). E'' sot aciuto che, in certe zone del o spazio '''1-'2-'3', alcuni criteri presentano carenze sensibili di model azione, o prevedono comportamenti non accet abili perfino ''a buon senso'. Questo fat o è certamente più grave di un ot imismo quantitativo di model azione, perché non esiste coefficiente di sicurezza che possa proteggere da un model o non fisico. Figura 1. Campi di resistenza '2 '1 '3 = 0 I II III IV 206 Il problema, infat i, nasce dal a constatazione che nei diagrammi del tipo di quel i di Fig. 1 il campo di resistenza è rappresentato come chiuso e questo può spingere qualche utilizzatore a pensare che ognuno di questi criteri preveda limiti oggettivi sicuri e ben precisi a livel o tensionale per ogni tipo di sol ecitazione applicabile. Ma, ovviamente, questa è solo un''impressione grafica: in alcune configurazioni del o stato tensionale, che nei diagrammi di Fig. 1 non possono essere rappresentate, non esiste un limite ogget ivo al a sol ecitazione ma rimane solo il limite sul a ' ideale (artificiosamente) creato dal ''ipotesi di rot ura specifica. Si potrebbe pensare che, in fondo, è solo questo che ci si aspet a da un criterio di resistenza. Invece no! Il criterio di resistenza deve approssimare il comportamento reale del materiale al meglio, e non viceversa. Non è ''fisico' che in certe situazioni il model o del materiale resista indefinitamente al ''incremento di sol ecitazione; inoltre ciò che si può accet are in compressione non è, usualmente, altret anto accet abile in trazione. La rappresentazione in un piano genericamente identificato come '''1-'2' è, quindi, incapace di evidenziare questi ''buchi', anche per l''equivoca etichet atura del e tensioni principali (la terza tensione è assunta nul a), e la sua vera utilità è confinata al campo meramente didat ico (e di basso livel o). L''ipotesi di stato piano di tensione, che è al a base di queste rappresentazioni, è applicabile con buoni o ot imi risultati a molte situazioni strut urali critiche ma non a tut e! Purtroppo, spesso il proget ista non ha il tempo di approfondire il problema proposto, la cui analisi in realtà non è molto complessa, ma richiede solo un at imo di at enzione ai model i e al e ipotesi al a base del a proget azione. Per questo l''autore ritiene che valga la pena tracciarne uno sviluppo a scopo puramente esemplificativo e con esplicita esclusione di ogni riferimento a sol ecitazioni affaticanti. L''analisi che segue è limitata a model i per materiali isotropi. 2. LIMITI DI RESISTENZA NEL PIANO '1-'3
Per meglio valutare i model i di rot ura, e relativi criteri di resistenza, è più funzionale il piano '1-'3, con le tensioni principali ordinate secondo il pedice come usuale nel a Meccanica dei Continui. Per evitare di analizzare il problema in 3D, eventualmente utile solo in un caso ben specifico, conviene escludere '2. Rispet o ai diagrammi classici questo è solo un accorgimento tecnico (e, d''altra parte, non vuole essere niente di più) che però permet e una visione più ogget iva del a situazione tensionale. In questa rappresentazione, la situazione presa come riferimento nei diagrammi di Westergaard (stato piano di tensione) è contenuta nel II quadrante del diagramma ('1 positiva e '3 negativa) e nei suoi confini. In tut i i diagrammi possibili di questo tipo, la zona di resistenza è compresa tra la biset rice del I e III quadrante (nel diagramma proposto questa ret a separa il campo NON FISICO '' in alto a sinistra '' dal campo FISICO '' in basso a destra - e rappresenta il luogo degli stati idrostatici di tensione dove '1='2='3) e le linee limite dei singoli criteri. La verifica di resistenza nel diagramma proposto può impiegare il concet o del a ret a di carico: dal ''origine degli assi (stato a tensioni nul e) si traccia la ret a con coefficiente angolare pari al rapporto tra '1 e '3 nel o stato tensionale di interesse. L''intersezione tra la ret a di carico e il confine di resistenza individua la situazione di col asso per il sistema di sol ecitazioni ipotizzato e permet e di valutare il coefficiente di sicurezza come rapporto tra una tensione di col asso e la sua omologa di riferimento in esercizio. Ragionando dal punto di vista puramente (e intuitivamente) fisico, ipotizzando per ogni 207 materiale l''esistenza di una tensione (normale) ''limite di rot ura per distacco' '*, situazione di rottura fragile , e di una tensione (tangenziale) ''limite di rot ura per scorrimento' '*, situazione di rottura duttile, si può costruire il diagramma di Fig. 2, dove sono riportati tre casi notevoli di coppie di valori di '* e '*. La linea ret a verticale a trat i rappresenta il limite di resistenza a trazione su '1 ('*) mentre le linee a trat i inclinate a 45° individuano il limite di resistenza '1 - '3 = 2'*. La biset rice del II quadrante rappresenta stati tensionali in cui '1 = -'3 (sol ecitazioni di taglio puro nel piano del e due tensioni), mentre la parte positiva del ''asse del e '1 ''contiene' le sol ecitazioni di trazione uniassiale (non solo quel e, ovviamente). Figura 2. Rot ure per distacco e per scorrimento nel piano '1-'3. '1 '3 NON FISICO ' * I II - 2'*I - 2'*II III - 2'*III 208 Sono state evidenziate le situazioni di col asso prevedibili sul a base di questa semplicistica approssimazione al a rot ura dei materiali: il materiale generico può esibire comportamenti dut ili sia a trazione uniassiale sia a torsione (I caso), comportamento dut ile a torsione e fragile a trazione uniassiale (II caso) e comportamento fragile sia a trazione uniassiale sia a torsione (III caso). A compressione uniassiale (contenuta nel a parte negativa del ''asse del e ordinate) il comportamento risulterebbe sempre dut ile (a parte possibili rot ure fragili per effet o Poisson, con piano di separazione paral elo al a direzione di compressione). Per stati tensionali tendenzialmente idrostatici di compressione la resistenza tende ad aumentare senza limiti. Già in base a questo semplice esempio si vedono comportamenti del materiale non usualmente contemplati dal proget ista medio. Nel a versione più semplice del Criterio di Resistenza della Massima Tensione Normale (indicatore di pericolosità '1) la rappresentazione si ricava da Fig. 2 cancel ando le ret e inclinate a 45° del comportamento dut ile: rimane il solo limite '*= 'R (Fig. 3). In questo caso, la resistenza a compressione uniassiale risulterebbe infinita se non s''introducesse anche un limite sul a '3. Questo limite può essere giustificato dal ''esistenza di una '* (come riportato in figura, linea a trat ini inclinata a 45°), per quanto alta sia, oppure legato al e deformazioni trasversali in al ungamento per effet o Poisson (e quindi ricol egato al a '* ad esempio con il desueto Criterio del a Massima Deformazione, come indicato in Fig. 3). Figura 3. Criterio del a Massima Tensione Normale. '1 '3 NON FISICO ' * - 2'* - '*/ν 209 In ogni caso, questo diagramma rivela l''incerta funzionalità di questo criterio quando vi siano tensioni di compressione non trascurabili. Il risultato non è tanto eclatante in quanto è già noto a sufficienza (o almeno dovrebbe esserlo) e per questa ragione, usualmente, l''applicazione di questo criterio è riservata ai materiali ''fragili' che hanno problemi sostanziali molto più grossi nel e zone in trazione. Passando al Criterio di Tresca (limitazione del a 'MAX, per comportamento dut ile), la rappresentazione proposta in Fig. 4 mostra alcuni problemi di model azione del comportamento fisico del materiale per stati tensionali di trazione a basso valore del a 'MAX. La linea trat eggiata che individua il criterio non limita il valore del e tensioni genericamente massime di trazione o compressione, model ando un comportamento francamente poco fisico, soprat ut o dal lato del a trazione, nei quadranti I e III. Per quanto riguarda, infine, il Criterio di Von Mises (o del Lavoro di Distorsione), in Fig. 5 le ret e I e II, trat eggiate paral ele e inclinate di 45° rispet o agli assi, sono rispet ivamente i limiti del a zona ''resistente' I) per '2 coincidente con '1 o con '3, II) per
'2 = ('1+'3 )/2. La curva a trat ini nel II quadrante rappresenta il confine di resistenza per tensione piana ('2 = 0); anche i segmenti AB e A''B'' contengono le situazioni di col asso in caso di tensione piana (rispet ivamente per '3 = 0 e per '1 = 0). Figura 4. Criterio del a Massima Tensione Tangenziale. '1 '3 NON FISICO 2'*=Rs - 2'* 210 Figura 5. Criterio del Lavoro di Distorsione. Per questo criterio l''uso del a ret a di carico è più complesso che nei casi precedenti, perché l''intersezione con la linea limite è determinata in riferimento anche al valore del a
'2. In ogni caso, però, i confini di resistenza per i possibili valori di '2 (che per definizione è la tensione principale con valore intermedio) sono compresi nel a porzione di spazio delimitata dal e ret e I e II. La tensione di col asso a trazione uniassiale, identificata con Rs, è individuata dal ''intersezione del a ret a I con l''asse del e ascisse (sul quale 0 = '3 ' '2 '
'1); l''intersezione del a ret a II con l''asse del e ascisse è in '1 = 2Rs/''3 = 1.155Rs e si riferisce ad uno stato tensionale carat erizzato da '2 = '1/2 e '3 = 0. I riscontri sperimentali riportati in let eratura confermano la validità del Criterio per sol ecitazioni di tensione piana. Nel a rappresentazione classica dei dati sperimentali riportata in Fig. 6 (SC = Rs), ripresa da [1] per due tipi di acciaio (cerchi), due leghe leggere (quadrati) e una ghisa (triangolo), si può notare che: 1. I dati sperimentali sopra la biset rice del I e III quadrante (linea a trat o e punto aggiunta in questa sede) sono ''inutili' per la carat erizzazione perché la situazione è perfet amente simmetrica dal punto di vista tensionale, con lo scambio del e tensioni principali (nel I quadrante '1 di Fig. 6 diventa '2 - tensione principale '1 '3 NON FISICO I II Rs 2Rs/''3 A B A'' B'' C 211 intermedia del o stato tensionale '' e viceversa). 2. In conseguenza di quanto precedentemente det o i dati sperimentali del I quadrante sono orientativamente riferiti (a parte leggere oscil azioni) a una tensione variabile
'2(1) = 0 ÷ '1(2), una fissa ('3 = 0) e una leggermente variabile ('1(2) '' 'R intesa come sol ecitazione di col asso '' Rs per dut ile e Rm per fragile). Questa situazione nel diagramma di Fig. 5 è individuata dal segmento AB e non descrive stati tensionali nel I quadrante di detto diagramma . 3. Il II quadrante di Fig. 6 si ''riversa' nel II quadrante di Fig. 5 con la trasformazione di '2 nel a terza tensione principale. Si notano le situazioni di taglio puro (sul a biset rice del quadrante, linea a trat i aggiunta in questa sede) e il diverso comportamento dei materiali dut ili e del a ghisa che verificano la congruità dei criteri rappresentati per confronto. 4. I dati sperimentali riportati nel diagramma '1-'3 indicano una carenza qualitativa di descrizione del comportamento dei materiali (giustificabile anche da difficoltà tecnologiche) non parimenti evidenziata dal diagramma classico (si veda Fig. 6bis, derivata dal a 6 con il cambio di assi, con i quadranti I e III desolatamente vuoti!). Figura 6. Dati sperimentali [1] (riproduzione da Fig. 7.11 pag. 257 di [2]). 212 Figura 6bis. Dati sperimentali da Fig. 6 su diagramma '1-'3 normalizzato a Rs. In conclusione, risalta una specifica carenza di model azione dei comportamenti per stati tensionali a sensibile componente idrostatica. In particolare, per tensioni principali positive e livel o distorsivo calante (ad esempio in stato di deformazione piana o campi di tensioni termiche) il model o comportamentale dut ile potrebbe perdere di precisione qualitativa (e quindi quantitativa) perché il materiale tende ad assumere comportamenti fragili se lo snervamento è impedito. Ne consegue una sostanziale sot ostima del a pericolosità da parte del ''indicatore del Lavoro di Distorsione che consiglia un''analisi incrociata dei dati riferiti al e tensioni ideali con quel i relativi al e tensioni principali, specialmente per i risultati FEM. Ad una prima sommaria verifica con la rappresentazione proposta, il Criterio di Mohr (Fig. 7, in versione ''fragile', ma applicabile anche a comportamenti dut ili) risulta pragmaticamente il meglio configurato di quel i presentati (fat o da tempo riconosciuto). Nel a Fig. 7 sono riportate due diverse applicazioni del Criterio di Mohr: - limiti di resistenza identificati dal a spezzata a trat i ABCDE (il solo trat o CD è verificato sperimentalmente!). 213 '1 '3 NON FISICO 'RT 'RC B A D C E Figura 7. Criterio di Mohr per materiali a comportamento fragile. - limiti di resistenza identificati dal a spezzata a trat i ABDE ('RC potrebbe coincidere con -'*/ν in riferimento al Criterio del a Massima Deformazione). E'' abbastanza ovvio che un criterio fenomenologico (quale, in sostanza, è quel o di Mohr) si adat i meglio a model are un comportamento fisico, con una decente precisione sia dal punto di vista qualitativo che quantitativo qualora l''ampiezza del a sperimentazione effet uata per la individuazione del a formulazione del a ''legge' (non solo, quindi, per la determinazione del e costanti del materiale) sia congrua con il campo di applicazione del a stessa. La carat eristica fenomenologica e marcatamente grafica (che sembra complicare i calcoli matematici) portano a scartare questo criterio in campo applicativo. In verità, un criterio di tipo puramente fenomenologico, derivato concet ualmente dal Criterio di Mohr si potrebbe basare sul diagramma di Fig. 8, dove il pedice R identifica situazioni di col asso di frat ura per comportamenti fragili e di snervamento per comportamenti dut ili dei materiali e tut e le carat eristiche di resistenza indicate vanno determinate sperimentalmente in relazione agli effet i di '2 (in condizione restrit iva). Le linee a pal ini identificano restrizioni conservative del campo di resistenza. Si ricorda per completezza un criterio proposto (ma non ancora convalidato) per il campo dei materiali elastomerici (che hanno comportamento tendenzialmente fragile): il Criterio della Massima Tensione Idrostatica (di trazione, vedi Fig. 9); esso fu ''spinto' dal fat o che, in alcune situazioni e per campi tensionali nel I quadrante, si sono riscontrate 214 Figura 8. Criterio fenomenologico. Figura 9. Criterio del a Massima Tensione Idrostatica. '1 '3 NON FISICO 'RT 'RTI 'RC 'R '1 '3 NON FISICO 'RTI ='RT/3 'RT 'RTE='RT/2 I II I '' '1 = '2 II '' '3 = '2 215 rot ure non giustificabili con i Criteri tradizionali. Nel e materie plastiche o elastomeriche si ot engono facilmente stati di trazione idrostatica (o quasi idrostatica), ad esempio con il pocker-chip test. Nel pocker-chip test un sot ile strato di materiale ad elevata cedevolezza (e coefficiente di Poisson vicino a 0.5) viene inglobato tra due elementi di materiale rigido e sol ecitato a trazione perpendicolarmente al suo piano medio (generando uno stato di deformazione nul a nel piano del o strato). Questo permet e l''identificazione del a tensione di rot ura in situazioni quasi-idrostatiche ('RTI), e il Criterio del a Massima Tensione Idrostatica assume come indicatore di col asso la 'TI = ('1+'2+'3)/3,. La 'RTI si ricava anche da prove di trazione uniassiale ('RTI = 'RT/3) o equibiassiale ('RTI = 2'RTE/3). I segmenti che rappresentano i confini di resistenza sono compresi tra i trat i I e II al variare di '2 tra '1 e
'3. Questo criterio non appare adat o ai materiali metal ici: infat i nei dati sperimentali riportati in Fig. 6 al ''aumentare del a tensione media non diminuisce la tensione massima di col asso. 3. SCELTA DEL CRITERIO DI RESISTENZA
La dizione ''scelta del criterio di resistenza' individua due azioni apparentemente simili ma molto diverse per metodica e scopi immediati: 1. scelta del criterio in sede di proget o/verifica strut urale avendo a disposizione esclusivamente dati di let eratura sul materiale e conoscendo lo stato tensionale del a strut ura sot o analisi con buona precisione (almeno qualitativa); 2. identificazione del criterio più adeguato per un dato materiale, per il quale sia possibile effet uare una carat erizzazione sperimentale dal punto di vista del a resistenza meccanica. Nel primo caso si devono individuare i campi più sol ecitati del corpo e i quadranti interessati dei diagrammi nel piano '1-'3. Note le carat eristiche dichiarate del materiale (fragile o dut ile) e i dati sui carichi di rot ura che vengono, poi, riportati sul diagramma è possibile valutare quale criterio risulta più adat o (cioè più preciso o, in alternativa, più conservativo) al a situazione tensionale, che può essere rappresentata con ret e di carico. Nel secondo caso deve essere pianificata un''adeguata campagna di prove per riuscire a discriminare, in base ai risultati degli esperimenti, tra i criteri utilizzabili. E'' evidente dai diagrammi mostrati che nel II quadrante del piano '1-'3 alcuni criteri di resistenza sono praticamente equivalenti, mentre la zona critica è la parte ''fisica' del I quadrante. Ciò significa che le semplici prove tecnologiche standard (a trazione uniassiale, a compressione uniassiale, a flessione e a taglio o torsione) non sono sufficienti a discriminare tra i model i offerti perché non met ono in luce cosa accada al materiale in questo quadrante. Il model o di resistenza meccanica nel quadrante I è, quindi, costruito in base ad una ''estrapolazione' e non con ''interpolazioni'. La '3 (di trazione) ''fa la differenza': incrementare il solo valore di prova del a '2 è praticamente inutile per i fini di cui si parla, perché sposta il punto di col asso da A a B (e poi da B ad A) di Fig. 5 per il criterio di Von Mises e non genera alcun effet o per gli altri criteri tradizionali (a parte il Criterio del a Massima Tensione Idrostatica). In pratica un effet o misurabile e statisticamente certo del a '2 (a '3 ' 0) permet e solo di convalidare model i di Von Mises in riferimento al II quadrante. Per i materiali metal ici, prove a '3 positiva (per approfondire e affinare il model o di rot ura) sono ritenute giustificabili solo 216 quando la '1 nel componente superi una soglia di sicurezza definita in relazione a Rs e contemporaneamente l''indicatore relativo al criterio ne sia sensibilmente inferiore. 4. CONCLUSIONI
Ogni verifica di resistenza effet uata con un qualsivoglia criterio di resistenza è affet a da imprecisioni quantitative di natura concet uale legate al criterio stesso e non generalmente identificabili con facilità o per default, oltreché dal e imprecisioni esclusivamente quantitative carat eristiche di tut e le model azioni. Valori elevati degli indicatori di sol ecitazione (cioè vicini al ''indicatore di resistenza del materiale) sono sicuramente pericolosi, qualunque sia il criterio. Valori bassi degli indicatori nei criteri di Tresca e Von Mises quando sia '3 > 0, non rappresentano una situazione conservativa in sé e per sé e suggeriscono un control o con il Criterio del a Massima Tensione. I criteri disponibili attualmente sono verificati sperimentalmente solo per stato piano di tensione . Inoltre, la scelta del criterio da usare non può essere automatica (un certo materiale non richiede necessariamente ''quel' determinato criterio) né univoca (a seconda degli stati tensionali alcuni criteri sono più accurati, e quindi sicuri, di altri). BIBLIOGRAFIA
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DI GETTI IN LEGA D''ALLUMINIO PER APPLICAZIONI
MOTORISTICHE
Gianni Nicolet o Dipartimento di Ingegneria Industriale Università degli Studi di Parma 43100 Parma E-mail: gianni.nicolet o@unipr.it DEDICA Questo lavoro è dedicato al prof. Gustavo Favret i sot o la cui tutela ho iniziato la mia carriera e che ricordo per la grande umanità e per il rigore nel ''adempiere al ruolo accademico.
Sommario . Viene presentata una innovativa metodologia di proget azione di componenti motore ottenuti per colata di lega d''alluminio sollecitati termomeccanicamente. La particolarità del a metodologia sta nel a forte integrazione degli aspet i proget uali/strutturali, metallurgici e tecnologici e nel ''uso intensivo di strumenti di calcolo e di simulazione di processo.
Parole chiave : proget azione a fatica, teste motore, elementi finiti, leghe Al-Si, get i 1. INTRODUZIONE
La tendenza nel o sviluppo dei motori moderni evidenzia incrementi di potenza a parità di cilindrata e contenimento o riduzione del peso unitario per ridurre i consumi ( i.e. crescente potenza specifica data dal rapporto potenza/massa o kW/kg). Si osserva per questo un uso diffuso di leghe d''al uminio anche per la realizzazione degli elementi strutturali più critici quali teste e basamenti motore, vedi Fig. 1. L''adozione del e leghe d''al uminio nel a costruzione di parti motore e trasmissione al posto dei tradizionali materiali ferrosi contribuisce a riduzioni di peso del 50% con un risparmio anche di 70kg per unità. Siccome le condizioni di lavoro di parti motore sono molto severe (i.e. elevate temperature e sol ecitazioni), vi è però una maggiore probabilità di riscontrare problemi d''affidabilità rispet o al a fatica termo meccanica in fase di verifica su prototipo oltre che in esercizio. Non essendo disponibili criteri di proget azione a fatica termo meccanica universalmente accet ati, i proget isti industriali tendono a utilizzare approcci basati sull''esperienza per gestire la complessità del problema termo meccanico, confidando su una sperimentazione a banco come fase di verifica imprescindibile del proget o. Di conseguenza è frequente l''al ungamento indesiderato del a fase di delibera di un nuovo motore con un impat o molto negativo anche dal punto di vista economico. 219 Figura 1 . Riduzioni di peso a seguito del ''adozione di leghe d''al uminio per la realizzazione di parti di autoveicolo e livel o di diffusione nel mercato. [1] La crescente competizione nel mercato globalizzato spinge però verso la riduzione del tempo di delibera di un nuovo motore. La riduzione dei tempi di sviluppo complessivo passa at raverso un trasformazione del processo di sviluppo del e singole parti e del motore complessivamente da sequenziale ad integrato secondo le schematizzazioni di Fig. 2 Tradizionalmente le diverse fasi funzionale, termo strutturale e tecnologica del a proget azione si sviluppano in modo indipendente e sequenziale. La proget azione del processo realizzativo di una pezzo prende il via dal disegno costruttivo del pezzo finito e si concentra prevalentemente sulla verifica del a sua producibilità e qualità macroscopica. Problemi di natura produttiva e/o affidabilistica richiedono quindi correzioni con costose iterazioni. Un approccio integrato carat erizzato dal dialogo tra proget azione e fabbricazione fin da inizio proget o consente di sviluppare da subito e ai vari livel i soluzioni condivise, minimizzando la necessità di iterazioni. Il dialogo è favorito da una elevata integrazione di competenze e di strumenti di proget azione come il CAD, FEA e i simulatori di processo. a) b) Figura 2 . a) processo sequenziale di sviluppo di parti fuse b) processo integrato di sviluppo 220 Per velocizzare la delibera di un nuovo motore è fondamentale anche ridurre il numero e il tempo dei test a banco. Un contributo significativo è apportato dal a capacità predit iva dal punto di vista del ''affidabilità dei componenti critici, come ad esempio un metodo di calcolo a fatica termo meccanica di teste motore. L''approccio ideale al a proget azione a fatica termo meccanica si basa sul confronto tra resistenza locale del materiale e le sol ecitazioni locali di origine termo meccanica imposte dal ''utilizzo potendo individuare così eventuali punti critici in base a criteri di accumulo del danno. Un''implementazione di questo approccio deve però affrontare una serie di ostacoli: i) difficoltà di carat erizzare sperimentalmente il comportamento termo meccanico dei materiali mediante campioni rappresentativi del e proprietà del componente; i ) complessità del e condizioni al contorno per le analisi termo meccaniche e difficoltà di validare l''accuratezza del calcolo; i i) elevata specializzazione del e competenze e difficoltà di interazione tra tecnici analisti e materialisti/tecnologi; iv) difficoltà nel validare sperimentalmente nuove procedure di calcolo. Questo lavoro sintetizza una nuova procedura di proget azione di una testa motore sviluppata nel ''ambito di un proget o finanziato nel 'ambito HI-MECH F.A.R tra l''azienda Ferrari di Maranel o (MO) leader nel a produzione di autovet ure sportive e di motori ad elevate prestazioni ed un gruppo di ricerca multidisciplinare. Maggiori det agli sono riportati in [2-4]. 2. PROGETTAZIONE STRUTTURALE DI UNA TESTA MOTORE
Il proget o ha preso in esame lo sviluppo del a testa di un motore 8 cilindri, perché è il componente più critico sia in termini di complessità tecnologico-realizzativa sia come sol ecitazioni termo strutturali affaticanti. Le funzioni di una testa motore sono varie e sono evidenti dal a complessità geometrica: garantire la tenuta del a camera di combustione, guidare le valvole, immet ere ed espel ere aria e gas di scarico, posizionare il sistema di iniezione. La complessità del a geometria, il numero di parti da produrre e gli obiet ivi di leggerezza motivano una produzione per colata in conchiglia. Il materiale tradizionalmente utilizzato è la lega di al uminio da fonderia A356 (G-AlSi7Mg0,3). Il get o è sot oposto al trat amento di tempra di soluzione con invecchiamento artificiale T6 per conseguire la prestazione meccanica ot imale. Le successive lavorazioni meccaniche garantiscono i necessari accoppiamenti e fissaggi degli organi in fase di assemblaggio motore. La testa motore durante il funzionamento è sot oposta a condizioni di sol ecitazione complesse: il precarico dato dai tiranti al ''at o del ''assemblaggio motore, le dilatazioni differenziali a seguito dei cicli accensione/spegnimento, i cicli termici variabili in funzione del tipo di utilizzo, le sol ecitazioni dinamiche nel a camera di combustione. La proget azione di una testa motore, oltre al e considerazioni funzionali e tecnologiche, deve garantire l''affidabilità strutturale, cioè un''adeguata resistenza al e sol ecitazioni termo meccaniche affaticanti in servizio. Due sono le principali tipologie di criticità termo meccanica riscontrabili in una testa motore mostrate in Fig. 3 assieme ai rispet ivi fat ori di influenza: i) fatica termica e i ) fatica ad alta temperatura ed alto numero di cicli. Quest''ultima è stata la criticità di particolare interesse per il proget o. 221 Figura 3 . Possibili criticità e fat ori di influenza legate al a fatica termo meccanica del e teste motore La nuova metodologia di proget azione integrata di parti motore sviluppata in questo proget o è definita nel o schema di Fig. 4. Essa si differenzia dal processo tradizionale per l''introduzione di alcune fasi (i.e. blocchi a contorno trat eggiato) che col egano ed integrano le at ività di simulazione di processo con l''at ività di calcolo termo strutturale. Pertanto la definizione del a geometria del a testa basata su considerazioni funzionali dà il via al a proget azione del get o e la simulazione del a colata fornisce anche informazioni su microstruttura e difet i at esi nel e diverse parti del get o stesso. L''analisi del e sol ecitazioni termo meccaniche col metodo FEM è poi integrata da informazioni sulle proprietà meccaniche locali arrivando ad un calcolo a fatica in tutti gli elementi del model o del a testa motore in base ad un criterio predit ivo del a durata che combina sol ecitazioni locali, temperatura e resistenza locale del materiale in presenza di difet i di entità stimata dal processo di simulazione. Figura 4 . Processo innovativo di sviluppo di get i in lega d''al uminio per applicazioni motoristiche. 222 Il proget o ha richiesto una partecipazione multidisciplinare per l''interconnessione del e competenze specialistiche che spaziano dal a proget azione /strutturale, metal urgia e tecnologia fusoria ed ha portato al o sviluppo di una serie di at ività mirate a: i) la definizione di affidabili criteri di verifica termo meccanica, i ) la disponibilità di una base di dati sperimentali specifici per la lega d''al uminio d''interesse, i i) lo studio del ''interazione tra microstruttura e proprietà meccaniche, con particolare riferimento al ruolo svolto dai difet i di solidificazione nel fenomeno del a fatica termo meccanica, iv) la capacità di proget are la colata per simulazione, ot enendo informazioni sulla microstruttura del materiale, tipicamente variabile da zona a zona in un get o di forma complessa. In questo lavoro si delineano i principali aspet i esaminati e si presenta una procedura di validazione metodologica. 3. SOLLECITAZIONI TERMOMECCANICHE DI UNA TESTA MOTORE
Il principale sistema di calcolo del e sol ecitazioni termo meccaniche in componenti strutturali complessi è metodo degli elementi finiti (FEM). L''applicazione al caso di interesse inizia con la generazione del model o FEM del a testa e degli elementi ad essa col egati. Quindi la metodologia richiede un calcolo preliminare che fornisca il campo termico del a testata. Per la determinazione del campo termico cui è sogget a la testa durante il funzionamento si è model ata la testa, la guarnizione, le sedi valvole, le guide valvole, i prigionieri e i dadi di serraggio. Ot enuto il campo termico, è necessario impostare il model o meccanico, immet endo tutti i carichi che i vari componenti scambiano con la testa. L''escursione termica cui la testa va sogget a nel ciclo di accensione-spegnimento è fonte di sol ecitazione a bassa frequenza, che può dar luogo a danneggiamento a fatica termica. Nel funzionamento del motore a regime si deve tener conto del e sol ecitazioni di tipo termo meccanico dovute ai transitori termici e agli scoppi in camera combustione con cicli di sol ecitazione ad frequenza più elevata. La Fig. 5 evidenzia che la model azione FEM non ha considerato l''intera testa del a testa bensì un modulo delimitato da due piani di simmetria geometrica per ridurre i tempi di calcolo. E'' poi mostrato il campo di temperature raggiunte dal a testa a condizione di regime con riferimento al e prove al banco a seguito del ''analisi termica. La zona del a testa vicina al piat o fiamma si trova a lavorare a temperature (i.e. 250 °C) elevate per la lega d''al uminio con cui è realizzata, mentre al ontanandosi dal piat o fiamma, superando ad esempio il giro acqua superiore, le temperature di lavoro scendono sot o i 150 °C. La model azione FEM termo strutturale per valutazioni di fatica termica (cfr. Fig. 3) richiede un model o costitutivo del materiale dipendente dal a temperatura. La lega A356 utilizzata al o stato T6 ha carat eristiche meccaniche variabili con la temperatura ed il tempo di esposizione ad alta temperatura, con un comportamento elasto-plastico ben riprodot o dal model o di Chaboche. Il software FEM utilizzato consente di inserire la dipendenza dei parametri del model o in funzione del a temperatura. Per simulare diret amente una dipendenza dal tempo e dal a temperatura di invecchiamento cui è sogget o il componente sono state sviluppate specifiche subroutines che correlano tensione di snervamento e durezza Brinel a seguito di specifica sperimentazione, [3]. Si è verificato così che il meccanismo al a base del e rot ure che carat erizzano la zona del piat o fiamma del e teste motore è la fatica termica (i.e. elastoplastica a basso numero di cicli). 223 Figura 5 . Potenziali criticità identificate con la simulazione FEM termo meccanica, [2] Nel a Fig. 5 si mostra la distribuzione del ''indice di danneggiamento, calcolato dal a subroutine al termine del calcolo. Si nota come esso sia massimo in corrispondenza dei ponticel i tra le valvole, dove si registrano le massime temperature e dove il valore del a tensione di snervamento è minima; in queste zone si registrano le plasticizzazioni maggiori. La fatica termica si differenzia da quel a classica (in campo elastico ed ad alto numero di cicli) perché utilizza specifici parametri di danneggiamento quale l''energia di deformazione specifica dissipata localmente (i.e. la somma del e aree dei cicli di isteresi del e curve tensione-deformazione). La Fig.5 mostra vi sono altre zone, ad esempio interne al a testa come evidenziato dal a sezione del model o FEM che presentano condizioni di sol ecitazione di potenziale criticità per fatica ad alto numero di cicli soprat utto se accoppiate al a presenza di difet i quali pori di dimensioni significative. Nel a sezione si evidenzia che il valore del a tensione di Von Mises è at orno ai 100 MPa con indice di danneggiamento significativamente elevato. 4. CARATTERIZZAZIONE A FATICA DELLA LEGA PER GETTI
Le proprietà meccaniche di componenti in lega di al uminio da fonderia sono influenzate dal e carat eristiche microstrutturali puntuali e soprat utto dai difet i di solidificazione quali porosità da gas (a forma tendenzialmente sferica), cavità di ritiro (di forma irregolare ramificata) e film di ossido. Nel caso del comportamento a fatica di get i in lega A356 è noto sperimentalmente che sono le porosità ad avere il ruolo più significativo, in quanto discontinuità che fungono da concentratori di tensioni, favorendo la nucleazione e quindi propagazione del e cricche. E'' stato inoltre evidenziato come la loro forma, dimensione nonché col ocazione al ''interno del get o, abbiano influenza, più o meno 224 marcata, sulla corrispondente vita a fatica, il che conduce ad una notevole dispersione dei dati. Al fine di quantificare: i) il ruolo dei pori sulla resistenza del materiale, i ) la qualità dei processi di produzione, i i) la capacità predit iva di model i di fatica basati sulla meccanica dei difet i, si sono condot e molte campagne sperimentali con prove a fatica ad alto numero di cicli (stair-case ridot i con interruzione del e prove a 107 cicli). Le prove sono state condot e in buona parte a temperatura ambiente perché nel e teste motore si possono verificare rot ure per fatica ad alto numero di cicli in zone sogget e a temperatura non molto elevata (i.e. < 130°C). La modalità di sol ecitazione sperimentale prescelta è stata la flessione rotante (a 50 Hz). Prove di confronto utilizzando sol ecitazioni di trazione-compressione hanno rivelato resistenze inferiori di ca. 15% rispet o al caso del a flessione rotante. I provini di fatica sono stati ot enuti sia per colata diret a in conchiglia di materiali che avevano subito modifiche di lega, sia per estrazione da parti motore ot enute industrialmente e da piastre colate in condizioni control ate, cfr Fig. 6. Come esempio del a dispersione del a durata a fatica per presenza di porosità in provini di A356 ot enuti per colata in conchiglia in Fig.6 viene presentato un diagramma S/N (ampiezza di tensione vs. numero di cicli a rot ura) con i dati di prove flessione rotante e trazione/compressione. Utilizzando l''approccio stair-case ridot o, la resistenza fatica a 107 cicli a temperatura ambiente è risultata variare nel campo 40-60 MPa. Il ruolo centrale del e porosità sulla resistenza a fatica è stato confermato dal ''esame del e superfici di frat ura dei campioni di fatica. Si è notato così che le rot ure hanno avuto sempre inizio da porosità (da gas o cavità di ritiro) come quel a di Fig. 7. Sulla superficie si identifica la tipica morfologia di frat ura per fatica con innesco in corrispondenza di un poro vicino al a superficie che ha un profilo ovviamente irregolare. Figura 6 . Carat erizzazione a fatica del materiale mediante provini estrat i da teste motore o colati a parte 225 Figura 7 . Carat erizzazione a fatica del materiale mediante provini estrat i da teste motore o colati a parte Vi è quindi la zona di propagazione stabile a fatica che si espander dal poro verso l''interno del provino, assumendo progressivamente una configurazione semiel it ica, Fig. 7. Raggiunta una profondità critica, dipendente dal livel o di sol ecitazione e dal a tenacità del materiale, si ha la zona di rot ura di schianto finale. I molti dati del e prove di fatica dimostrano chiaramente una forte influenza del a dimensione del poro critico, []. L''evidenza sperimentale è interpretata utilizzando approcci di meccanica del a frat ura che considerano un poro equivalente ad una fessura e trascurando la fase di innesco del a fessura di fatica al bordo poro. In alternativa si può i) stimare la vita a fatica quale numero di cicli richiesto per far propagare la fessura dal a sua dimensione iniziale ad una dimensione finale carat eristica del materiale impiegando leggi di propagazione di tipo Paris e sue varianti specifiche per il materiale i ) stimare la resistenza a fatica in base al a sol ecitazione locale calcolata, al a dimensione at esa del difet o critico e al fat ore di
'' K di soglia, ''Kth. L''applicazione di questa seconda metodologia al calcolo a fatica di un get o complesso è più agevole e si realizza determinando le sol ecitazioni locali al suo interno col FEM, utilizzando un valore di ''Kth rappresentativo del a lega utilizzata e ot enendo per simulazione del processo di colata una stima del a dimensione massima del poro. 5. SIMULAZIONE DELLA MICROSTRUTTURA DELLA TESTA
Gli obiet ivi di questa fase del ''at ività sono chiariti dal a Fig. 8 in cui si evidenzia come dal a simulazione del processo di riempimento del a cavità con metal o fuso si possano identificare le diverse carat eristiche microstrutturali del get o a seguito del e condizioni locali di raffreddamento e solidificazione. 226 Figura 8 . Simulazione del riempimento di uno stampo per colata di lega d''al uminio fusa e mappa del o SDAS. A SDAS minori corrispondono difet i di dimensioni minori. Al e diverse microstrutture locali si at ribuiscono specifiche difet ologie, come mostrato qualitativamente in Fig. 8, utilizzando criteri messi a punto durate la sperimentazione su materiali, fatica e difet i descrit a nel a sezione precedente. Le analisi di riempimento del ''at rezzatura di colata sono state messe a punto e validate mediante osservazione diret a del fenomeno e mediante confronto con dati di processo, con particolare riferimento ai tempi di colata. La successiva analisi del processo di solidificazione è stata portata a termine tramite un fase di aggiustamento dei parametri di simulazione, in particolare dei coefficienti di scambio termico per ot enere una convergenza con i valori di temperatura monitorati in alcuni punti del ''at rezzatura durante il processo. Le carat eristiche microstrutturali locali sono state quindi determinate sfruttando le note correlazioni tra la velocità locale di raffreddamento e la distanza dei rami interdendritici secondari (SDAS). La messa a punto del sistema previsionale del a formazione di porosità nei get i è un tema di grande complessità ed ancora in fase di sviluppo anche per i codici più avanzati. I parametri di nucleazione richiedono una specifica messa a punto per cui si è proget ato un get o che consentisse di ot enere una correlazione fra parametri di processo e la porosità. I livel i locali di porosità percentuale nel get o sono stati calcolati mediante un model o previsionale e confrontati sui valori misurati nei get i reali. Da questi get i sperimentali sono stati poi estrat i anche campioni per prove di fatica. Per supportare questo sviluppo metodologico sono state det agliate analisi microstrutturali su sezioni di una testa motore. Dai campioni metal ografici esaminati con un microscopio ot ico ed un sistema di analisi d''immagine si sono ot enute mappe di vari parametri quali l''area percentuale dei difet i (Area %), lo SDAS) e l''area del e particel e 227 di silicio eutet ico, [3]. L''elevato indice di correlazione fra i valori di SDAS sperimentali e simulati e la coerenza del e curve sperimentali e simulate in tutte le fasi del ''analisi, ha dimostrato l''accuratezza del a determinazione dei coefficienti di scambio e l''adeguatezza del e strategie risolutive adot ate. Con una mappatura del a durezza Brinel e con prove di trazione su provini estrat i diret amente da teste si è avuta ulteriore informazione sulle carat eristiche meccaniche locali al ''interno di una testa. 6. METODOLOGIA DI VALIDAZIONE
In questa sezione viene presentato l''approccio adot ato per validare la metodologia innovativa di proget azione a fatica termo meccanica. Esso fa ricorso al ''identificazione di un simulacro rappresentativo del a condizioni realizzative del a testa motore che sia però più semplice ed economico da produrre e da provare sperimentalmente a fatica. In Fig. 9 viene mostrata una sezione del a testa motore con evidenziato un set o separatore tra canali di raffreddamento con un foro di passaggio. Per effet o del e sol ecitazioni termo meccaniche del a testa questo set o è potenzialmente critico. Pertanto per il simulacro si è utilizzata la configurazione geometrica locale del set o con l''aggiunta di due estremità piane che consentono un agevole afferraggio da parte di una macchina di prova materiali disponibile in laboratorio. Per la realizzazione del simulacro è stato proget ata una at rezzatura per la fonderia che consente la colata simultanea di un elemento da cui si possono estrarre tre parti, cfr. Fig. 9. Il processo di colata del simulacro è stato simulato determinando la mappa del e carat eristiche microstrutturali at ese che sono state poi verificate mediante analisi metal ografica. La mappa di Fig. 9 evidenzia carat eristiche del materiale, associate ai diversi colori, variabili al ''interno di un singolo simulacro e tra un simulacro e l''altro. Figura 9 . Sviluppo di un simulacro 228 Figura 10. Schema concet uale di validazione del a metodologia di calcolo a fatica. Sulla base del e sol ecitazioni ot enute a calcolo FEM che evidenziano specifici punti di concentrazione del e sol ecitazioni e del a mappa del a qualità del materiale (intesa come SDAS e, conseguentemente, la dimensione massima di poro) al ''interno del simulacro, cfr. Fig. 10, si è impostata una sperimentazione con test di fatica di ampiezza costante a diversi rapporti di carico che hanno portato al a rot ura di vari simulacri. Il confronto tra le condizioni di rot ura osservate (i.e. ampiezza del a forza applicate e numero di cicli) e quanto prevedibile con il metodo di calcolo messo a punto conferma le potenzialità del a nuova metodologia di proget azione integrata termo strutturale. 7. CONCLUSIONI
Si è presentata un''evoluta metodologia di calcolo a fatica termo meccanica di teste motore. La metodologia si carat erizza per l''integrazione dei risultati del a simulazione del processo fusorio con quel i del a simulazione termo meccanica per migliorare ed accelerare il processo di sviluppo. Una prima introduzione del a metodologia in ambito industriale è avvenuta grazie ad un proget o con col aborazione multiset oriale. RINGRAZIAMENTI
Si ringraziano doverosamente l''ing. Gianluca Pivet i di Ferrari ed i col eghi Lorel a Ceschini, Antonio Strozzi e Luca Tomesani ed i rispet ivi col aboratori nel e diverse sedi universitarie per aver partecipato al proget o FAR qui sintetizzato. BIBLIOGRAFIA [1] Anon. 2007, Aluminium in cars, European Aluminium Association 229 [2] Nicolet o G. et al. 2010, ''Proget azione integrata di componenti motore in lega di al uminio ot enuti per fusione e sol ecitati a fatica ad alta temperatura', Procs. I° Convegno Nazionale del Coordinamento del a Meccanica Italiana, Palermo, Paper No. 47, 12 pp.
[3] Ceschini L. et al. 2010, ''Influenza del a microstruttura di solidificazione sulla resistenza a fatica di leghe Al-Si-Mg da fonderia', Procs. I° Convegno Nazionale del Coordinamento del a Meccanica Italiana, Palermo, Paper No. 46, 10 pp
[4] Tomesani L. et al. 2010, ''Model azione di processo e previsione del a microstruttura nel a colata in conchiglia di testate motore in al uminio', Procs. I° Convegno Nazionale del Coordinamento del a Meccanica Italiana, Palermo, Paper No. 44, 12 pp
230 NORMALIZATION OF THE STRESS
CONCENTRATIONS AT THE INTERFERENCE FIT
BETWEEN A CYLINDRICAL SHAFT AND A HUB WITH
ROUNDED EDGES
Antonio Strozzi Department of Mechanical and Civil Engineering, University of Modena and Reggio Emilia, Italy E-mail: antonio.strozzi@unimore.it Luca Bertocchi Department of Mechanical and Civil Engineering, University of Modena and Reggio Emilia, Italy E-mail:luca.bertocchi@unimore.it Eleonora Campioni Department of Mechanical and Civil Engineering, University of Modena and Reggio Emilia, Italy E-mail: eleonora.campioni@unimore.it
Abstract . This paper concerns the stress field at the extremities of a press-fit connection between a shaft and a hub, in which the indentation is mitigated by the presence of a fil eted edge. Although the classical interference-fit Lamé solution accurately predicts the stress field as soon as the end-ef ect perturbation decays - and holds in average, more detailed analyses are required in order to evaluate the stress concentrations at the rounded edge. Derived from analytical considerations, a normalizing parameter is proposed that accounts for the combined ef ect of various geometric and material parameters, thus making the compilation of FEM derived design charts viable. The configuration in which an infinitely long solid shaft is press-fit ed within a hol ow hub is considered in detail, and a stress concentration diagram for various inner-to-outer radi ratios is provided. This diagram supports the designer in the selection of the correct fil et radius.
Keywords : contact mechanics, interference-fit, stress concentration factor 1. INTRODUCTION
Interference fits are widely employed to connect gears, pul eys, flanges, wheels, and similar mechanical components, to a shaft. When a cylindrical shaft of infinite length is press-fit ed into a cylindrical hub of finite length, stress concentrations take place at the hub-shaft contact extremities, whereas the contact stresses remain reasonably constant along the central portion of the contact, e.g. references [1-5]. If the edges of the hub bore are sharp, 231 the elastic pressure peaks are mathematical y infinite, whereas they become finite when the corners are rounded. To introduce fil ets at the hub bore edges is therefore a practical y relevant means for reducing the hub stress peaks. Additional methods adopted to relieve the pressure peaks consist in introducing a shoulder in the shaft, and in adopting a grooved hub or shaft, see e.g. references [1,6,7]. While the stress state at the hub sizeable central zone may be confidently evaluated by model ing the press-fit problem as plane and by employing the Lame equations for thick- wal ed cylinders, e.g. references [1,7], the localised pressure peaks are not amenable to a simple analytical evaluation, e.g. references [2,5]. Consequently, the transmit able torque may be reliably estimated by resorting to the Lame-based plane solution, that is valid along the majority of the contact axial length; conversely, a detailed, specific three-dimensional analysis is needed to evaluate the local stress peaks and to assess the strength of the hub. In the fol owing, it is assumed that the rounded edges of the hub are described by a quarter of circumference, so that the fil et radius ful y describes the geometry of the mating surfaces at the hub-shaft contact extremities. Fig. (1) depicts the reference assembly, showing the two al owed configurations of a shaft-hub press-fit: in (1a) an infinite shaft is completely inserted within a finite length hub, whereas in (1b) configuration a semi-infinite shaft is partial y inserted within a semi-infinite or infinite hub. It is also noted that the contact pressure peaks depend on the shaft radius ri, the hub outer radius ro, the fil et radius r, the diametrical interference I, and the hub and shaft Young's moduli, which are supposed equal for the sake of simplicity. Instead, the hub axial length is general y hardly relevant, provided that the hub is sufficiently long to produce, in it, central part, a uniform stress state in the axial direction; this situation implies that the two pressure peaks at the contact extremities do not interact among each other. The normalised contact pressure peaks would depend on the previous radi normalised over a reference radius, but even so the number of variables seems to be too high to al ow design charts to be compiled, that can cover a wide range of hub-shaft geometries and of materials adopted. In this paper a viable way to compile design charts addressing the stress peaks is presented for an infinitely long, solid cylindrical shaft, press-fit ed into a cylindrical hub of finite axial thickness with rounded edges. In particular, it is shown in this study that, for a prescribed ratio between the hub inner and outer radi , the normalised stress, peaks in the presence of radiussed edges of the hub bore depend upon a parameter that comprises and summarises the simultaneous effects of a reference radius for the shaft-hub press-ht, the fil et radius, the interference, and the Young's modulus. For a prescribed hub radial aspect ratio. it is therefore now possible to prepare design charts in which the normalised von Mises stress peaks are diagrammatical y Figure 1. Infinitely long shaft (a), and partial y inserted shaft (b). 232 presented versus the above normalising parameter. 2. NORMALIZING PARAMETER RATIONALE
It is assumed in this study that the hub-shaft contact is frictionless, since the coefficient al friction is low in this kind of applications, and the direction of the shear stresses acting at the hub-shaft contact in the axial direction is often undefined, since it depends on the assembly procedure. Consequently, fret ing fatigue aspects, e.g. reference [8], are not examined in this study. The materials of the hub and shaft are assumed to exhibit the same Young's modulus. Final y, the contact problem is assumed as elastic, and yielding of the materials is not considered. In this paper the above normalising parameter is determined by fol owing the same approach successful y adopted in references [9,10], referring to a pin-in-plate contact problem, and to a press-fit problem, respectively. To normalise the integral equation, the initial clearance/overlapping must be approximated, as closely as possible, by a function formed by the product of a shape function by a representative variable. This is a key point of this approach, see e.g. references [9,11]. To this aim, the contact problem is formal y expressed in terms of the integral equation
( ) ( ) ' + '' '' '' + '' = a x r r I dy y p y x k 2 2 2 , (1) where the total elastic radial deformation due to shaft contraction and hub expansion is set equal to the interference pointwise value, within the contact area. The known term of the integral equation represents the initial clearance and the overlapping between the two undeformed mating profiles of the hub and shaft. It appears convenient to simplify the right-hand side of Eqn. (1) by employing a parabolic approximation for the circular arc, and hence obtaining
( ) ( ) ' + '' '' '' = a r x I dy y p y x k 2 2 , 2 (2) Provided that the edge rouding is considered as a contact profile correction only, and its influence on the hub stiffness is neglected, the problem is cylindrical in nature and the Green function k is expected to depend only on the radial aspect ratio ri/ro. Figure 2. Original and deformed shape. 233 Therefore we have
( )       = i i r y r x E k y x k , , (3) where the kernel is normalised with respect to the Young's modulus and a radius. A further step in normalizing requires the definition of a reference interference pressure, which can be taken as the unperturbed value far from the terminals; such p0 value can be expressed according to [16] as       = '' + + = o i i o i o i i r r f r EI r r r r r EI p 2 2 2 2 0 1 1 2 (4) Final y, the normalized form for (2) can be writ en as                       ''       =                   ' + '' '' rI r r x r r f r y d p r y p r y r x k i i o i i i r a i i i 2 2 0 1 2 1 , (5) from which it appears evident that if two press-fit problems possess the same ri/ro radi aspect ratio and the sam adimensional ratio
2 i r rI = ' (6) they share the same normalized solution for the contact problem. The normalizing parameter ' summarizes the simultaneous effect of the fil et radius, r, of the shaft radius, ri, and of the interference I. The Young modulus appears in the p0 definition only. The formulation of the title problem in terms of an integral equation serves to define the normalizing parameter '; however, since the integral equation is quite complex, e.g. references [2,5], stress field is more conveniently evaluated by the finite element method, e.g. reference [12], by varying the normalising parameter within an interval covering practical y significant shaft-hub press-fit configurations, e.g. reference [13]. The introduction of a normalising parameter al ows the stress forecasts to be presented in a way that is both more compact and of ample validity, with respect to papers analysing specific problems, e.g. references [14,15]. 3. NUMERICAL CALCULATIONS FOR DESIGN CURVE RETRIEVAL
Calculations have been performed with the commercial FE package MSC.Marc/Mentat 2010; an axisymmetric model has been used in order to concentrate the computational effort toward finer meshes, since very high local stress gradients are predicted in the vicinity of the rounded edge. Linear triangular elements are used for a bet er compliance with the 234 Figure 4. Pressure profile for the test case (scale in MPa). Fig. 3. Detail view of the FE model discretization. Figure 5. Equivalent von Mises stress map for the test case (scale in MPa) 235 contact algorithm, and an element edge length varying from 0.00025'r to 0.001'r along the area of interest. A sample discretization is shown in Fig. (3). Being the problem non-linear due to the contact area variation, the coupling is model ed as neat-fit at the initial condition, whilst a simulated radial thermal expansion of the shaft is used to obtain a growing interference value. The axial component of a fictitiously orthotropic thermal expansion relation is profitably exploited in order to reduce the discretization misalignment at the reciprocal surfaces, which is due to the Poisson effect. An example FE output result (test case: ri=20mm, r=1mm, I=0.1mm, ri/ro=0.5) is presented in Fig. (4) in terms of contact pressure profile; the related von Mises equivalent stress is shown in Fig. (5). It can be noted that in similarity with the Hertz theory the equivalent stress reaches a maximum at a subsurface point. 4. DESIGN CURVES
In Fig. (6), a preliminary design diagram is presented that express the normalised stress concentration factor versus the above normalising parameter for a selection of hub radial aspect ratios; such concentration factor is defined as the maximum von Mises in the hub divided by the reference pressure p0. The curves appears wel approximated by a power law regression formula b t a K '' = ' (7) where a and b are parameters which depend on inner-to-outer radi ratios ri/ro, as in Tab. (1). Such diagram assist the designer in selecting the correct radius for the rounded edge of the hub, or in assessing the hub stress level in the shaft-hub press-fit. Figure 6. Bilogarithmic diagram of Kt for various ri/ro rati . 236 Table 1. Numerical parameters for Kt interpolation curves ri/ro a b error, ' 0.3 0.567 0.279 -43 ÷ +24 0.4 0.614 0.274 -44 ÷ +24 0.5 0.680 0.2686 -44 ÷ +35 0.6 0.804 0.258 -51 ÷ +33 0.7 1.041 0.242 -59 ÷ +53 5. NOTES ON THE HOOP STRESS NATURE IN THE HUB
The hoop stress in the hub, sampled at the point in which the equivalent stress in maximum, switches from tensile to compressive depending on the ' parameter. The classical interference fit theory predicts tensile hoop stresses, which are observed in the higher ' range, i.e. large interference values and large fil et radiuses and therefore larger contact areas along the rounding. However, in the lower ' range, compressive hoop stresses have been obtained beneath the pressure peak, where the von Mises stress is maximum. Such unexpected behaviour can be rationalized considering that for the smal er fil et radi the singular pressure condition is approached, in which the radial stress is minus infinite; the hoop stress has to approach minus infinite too in order to maintain the circumferential strain finite, according to
( ) ( a r E r u ' ' ν ' ε θ θ + '' = = 1 (8) and being the axial stress negligible. Moreover, as depicted in Fig. (7), the material beneath the pressure peak is constrained in expansion by the underlying understressed zones, and approaches an in-plane hydrostatic stress condition similar to a rubber ring within an axial y unrestricted housing. Figure 7. Rationalization of the compressive hub stress condition in low ' models 237 6. CONCLUSIONS
A normalizing parameter ' has been defined that summarizes the simultaneous effects of the fil et radius, shaft radius, interference, and Young's modulus. The parameter ' al ows compact diagrams to be prepared that assist the designer in evaluating the stress concentrations in a shaft-hub press-fit.
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Sommario . Il proget o, attività centrale e distintiva dell''ingegnere, richiede lo sviluppo di strumenti di carat ere logico-matematico e sperimentale, necessari per af rontarne gli aspet i pragmatici, sintattici e semantici. In particolare sono essenziali strumenti per la modellazione matematica dei dati e strumenti logici per la chiarificazione dell''informazione che è di natura empirica, ot enuta diret amente dall''utente o indiret amente dal mercato. In questo modo l''invenzione e la scelta delle soluzioni progettuali sono correttamente guidate. Nel presente lavoro si pongono in luce in particolare, le fasi che si avvalgono del a sperimentazione per interpretare i requisiti e il contesto, cioè gli aspetti pragmatici e per ottimizzare le scelte strut urali, cioè gli aspetti sintat ici.
Parole chiave : la progettazione ingegneristica, gli strumenti logico-matematici, il metodo sperimentale. 1. INTRODUZIONE
Il lavoro seguente prende avvio da tre considerazioni: ' La progettazione è strumento d''innovazione,
' La progettazione è attività caratterizzante dell''ingegneria,
' La progettazione si avvale del metodo sperimentale. Tali affermazioni sembrano ovvie ma in realtà la scienza dell''ingegneria si è mossa
prevalentemente in altre direzioni e non sempre si considera l''attività e l''apprendimento
della progettazione come distintiva rispetto alle scienze pure. Oggi si assiste a un interesse
accademico prevalente sul versante delle scienze analitiche sia nella ricerca che nella
formazione, rispetto agli aspetti sintetici tipici della progettazione.
Non solo: troppo spesso il progetto è legittimato solo quando è espresso in termini di analisi, come si rileva dalle espressioni che rientrano nei libri di progettazione: ' Analisi dei materiali
' Analisi di fatica
' Analisi di meccanica della frattura
' Analisi di affidabilistica
' ecc. Queste analisi sono molto importanti ma non mettono in luce e danno per scontati i contenuti compositivi/sintetici della progettazione.
Inoltre il progetto è visto a volte come processo di sviluppo di un sistema mentre altre volte identifica il risultato di questo processo che si realizza in un artefatto, spesso frutto di
un notevole lavoro intellettuale e pratico, raramente considerato di valore scientifico perché
non è formalizzato in modo matematico. L''attività di progettazione è quindi vista come
poco rigorosa e frutto più di un''esperienza come una espressione artistica, che di una ricerca
scientifica, [1]. Con questo pregiudizio, imparare a progettare si può solo acquisire 241 progettando, cioè con un''attività pratica. Questo crea anche un divario crescente tra gli
interessi dell''Accademia e quelli industriali.
In realtà il progetto è un processo che richiede operazioni combinate di analisi e di sintesi, come recita il testo seguente, che definisce il progetto secondo l''Ente di
Accreditamento degli ingegneri negli Stati Uniti, [2]:
'' Design is the process of devising a system, component, or process to meet desired needs.
It is a decision making process (often iterative), in which the basic sciences, mathematics,
and engineering sciences are applied to convert resources optimally to meet a stated
objective. Among the fundamental elements of the design process are: the establishment of
objectives and criteria, synthesis, analysis, construction, testing and evaluation'...'
La grande difficoltà del progetto risiede nel fatto che esso possiede più dimensioni che si estendono a diverse competenze e specializzazioni, individuate, già nell''antichità, nelle
tre categorie: ''Utilitas, Firmitas, Venustas' [3], le quali possono pensarsi attinenti
rispettivamente alla pragmatica, alla sintassi e alla semantica, cioè alla funzione, alla
struttura e alla forma del prodotto.
Il presente lavoro si propone di rilevare un contributo di scientificità anche in quelle fasi del processo di progettazione che vengono generalmente considerate frutto
dell''esperienza e quindi di scarso valore scientifico. Si vuole mostrare come, almeno per gli
aspetti funzionali e strutturali, si debba applicare il metodo sperimentale che oltre ad essere
il fondamento delle scienze analitiche, assolve a questo compito anche per gli aspetti
sintetici della progettazione. Per gli aspetti formali ed estetici occorre infine ricordare che i
canoni dell''estetica sono di natura descrittiva e non prescrittiva e quindi possono solo essere
acquisiti con un''educazione critica che faccia riferimento a principi generali [22]. Per il metodo sperimentale vale quanto espresso sinteticamente nell''affermazione seguente, [4]: ''Fin dalla nascita della scienza sia l''ipotesi come la verifica sperimentale
dell''ipotesi hanno carattere matematico. [Infatti] sia nell''ipotesi sia nell''esperimento la
realtà è espressa matematicamente, in quanto ridotta ad un insieme di grandezze fisiche
misurabili (non qualitative)...' Questa osservazione evidenzia il contenuto matematico della sperimentazione che, come verrà dimostrato, non va confusa con una mera anche se accurata, collezione di dati
empirici, cioè di ''prove'. 2. IL METODO DI PROGETTAZIONE
I metodi di progettazione trovano il loro fondamento nel metodo cartesiano. E'' interessante
notare che a questa conclusione, gli studiosi sono pervenuti in modo indipendente, sia per la
progettazione ingegneristica, [5], sia per il ''Design' industriale [6]. Schematizzando, il processo di progettazione si può immaginare articolato in fasi che rispecchiano i punti salienti del ''Discorso sul metodo' cartesiano [7]. La sequenza sintetica,
(circolare come proiezione di una struttura elicoidale del processo che riproduce l''aspetto
iterativo della progettazione ), è descritta in Fig. (1) nei punti seguenti:
Definizione del compito: ' Individuare opportunità e pianificare il prodotto
' Chiarificare il compito e verificare la fattibilità di nuove tecnologie
' Specificare i requisiti tecnici Sviluppo del progetto concettuale: ' Concepire nuove soluzioni Sviluppo del progetto costruttivo: ' Dimensionare, cioè dare corpo alle soluzioni concettuali 242 Figura 1. Uno schema a otto fasi rappresentativo del processo di progettazione.
' Eseguire prove sul prototipo e completare il progetto di dettaglio Sviluppo del progetto produttivo: ' Organizzare e sviluppare la produzione
' Controllare il prodotto nel suo ciclo di vita. Linguaggio comune e linguaggio tecnico
Una volta pianificato il prodotto, si enumerano i requisiti che esso deve avere. Le esigenze e
i requisiti del potenziale utilizzatore sono espressi nel linguaggio comune e quindi sono in
genere aggregati e interrelati, cioè confusi. Il primo compito è quindi di chiarificazione, per
tradurli in parametri tecnici misurabili cioè in variabili matematiche.
Le interrelazioni dei requisiti sono spesso rappresentate con diagrammi a blocchi puramente descrittivi che non evidenziano il livello di dipendenza tra i requisiti stessi, né il
livello d''importanza relativa. In termini cartesiani si può affermare che essi non
costituiscono un repertorio d''idee chiare e distinte, perché essi esprimono spesso concetti
confusi e ambigui, Fig. (2). Nell'' esempio di Fig. (2) è riportata l''analisi delle esigenze espresse da potenziali utenti per la definizione delle caratteristiche di un motociclo. Esse sono espresse in modo
confuso e interrelato cioè non sono ''chiare e distinte'. Secondo un autorevole parere, l''acquisizione e l''uso di strumenti di chiarificazione sarà proprio uno dei compiti principali dell''ingegnere del futuro che non dovrà essere
preparato solo al trattamento di problemi algoritmici, già chiari nelle variabili in gioco, nei
quali la soluzione certamente esiste anche se non nota [8]. 243 Figura 2. Le esigenze come emergono da analisi di mercato per il progetto di un motociclo. 3. COME SPERIMENTARE LA 'UTILITAS'
Le funzioni di ''utilitas' di un sistema cioè i requisiti formalizzati matematicamente, una
volta chiariti, vengono trattati con i noti metodi matematici di tipo analitico. Nel problema
di natura meccanica essi riguardano generalmente gli aspetti cinematici e dinamici. Esiste però un problema che in parte precede l''analisi funzionale del sistema, presente però anche lungo fasi successive, che richiede il trattamento e la classificazione di dati
empirici con modelli logico-matematici e quindi impiega strumenti che si inquadrano
pienamente per quanto detto, nel metodo sperimentale.
Tali strumenti servono a risolvere problemi di interpretazione, quali: ' Valutazione logica delle dipendenze
' Valutazione delle criticità dei punti più deboli
' Valutazione statistica delle interrelazioni. Essi servono rispettivamente nella fase di sviluppo del progetto e di guida nelle scelte di tutti
i parametri che lo costituiscono, precisamente: ' Per il trattamento e la chiarificazione del flusso d''informazioni
' Per l''eliminazione o, almeno, la riduzione delle criticità e dei malfunzionamenti
' Per lo sviluppo di progetti di esperimenti sul sistema. Valutazione logica delle interrelazioni tra i dati empirici
Si fa riferimento alle matrici logiche d''interrelazione e di relazione che servono a tradurre i
requisiti dell''utente nei requisiti tecnici ovvero nei parametri di specifica tecnica. Per esempio, con matrici d''interrelazione si mettono in relazione i requisiti (le esigenze espresse e non espresse) dell''utilizzatore con loro stessi, disponendoli secondo le righe e
secondo le colonne e interpretando i requisiti in colonna come cause e gli stessi di riga come
effetti. La dipendenza fra i requisiti può essere nulla, debole, media, forte e può essere
quantificata, ad esempio, rispettivamente con valori convenzionali 0, 1,3,9.
L''aspetto interessante del metodo consiste nel fatto che esso fa emergere i pochi, in generale, requisiti di colonna che hanno influenza predominante e, dalle somme per colonna,
quelli più importanti, (ossia i reali requisiti che hanno influenza prevalente sugli altri) e, per
riga, i requisiti che, viceversa, hanno una forte dipendenza dai primi, Fig. (3). 244 Figura 3. La matrice d''interrelazione.
Viceversa le matrici di relazione pongono in relazione i requisiti più importanti così selezionati, con i parametri tecnici che appartengono viceversa al patrimonio conoscitivo dei
tecnici. Esse differiscono da quelle d''interrelazione perché con le matrici di relazione
vengono poste a confronto le esigenze ricavate da analisi del mercato (o dal potenziale
utilizzatore del prodotto), ordinate secondo i criteri di massima influenza o di massima
dipendenza rispetto alle altre, con i parametri tecnici che soddisfano quelle esigenze assieme
ai loro valori numerici. Le matrici d''interrelazione sono quindi principalmente uno
strumento di marketing mentre le matrici di relazione sono strumenti di 'ingegneria'.
Il metodo che sintetizza i risultati di queste elaborazioni, noto con l''acronimo QFD (Quality Function Deployment), è in grado di chiarire tutti gli aspetti di un progetto
ottimale. Il termine ''qualità' non deve trarre in inganno: non rappresenta un valore aggiunto
perché ogni processo di progettazione deve porsi la meta di un risultato di qualità. Lo
strumento si articola nella composizione di matrici d''interrelazione e di relazione che
fissano i ''paletti' di una corretta progettazione che consentono di tenere conto di ciascun
elemento importante.
Lo strumento QFD fu proposto con l''ambizione di condurre in modo molto formalizzato tutto il processo di progettazione; questa estensione non corrisponde
all''esperienza e al pensiero dell''autore, specialmente nella progettazione normale che
riguarda lo sviluppo di soluzioni adattative o di variante e molto raramente (forse di un caso
su cento) di soluzioni totalmente originali. La forma che assume il complesso delle matrici
viene denominata col termine: ''Casa della Qualità' Fig. (4), con un manifesto riferimento
all''origine culturale giapponese del diagramma e del metodo. Il quadro chiarisce le
informazioni su: ' esigenze dell'' utente classificate in ordine di importanza (righe)
' confronto tra le esigenze e i parametri tecnici necessari per soddisfarle
' confronto con la concorrenza dal punto di vista dell''utente
' confronto con la concorrenza dal punto di vista delle soluzioni tecniche
' direzioni delle scelte per innovare le soluzioni. E'' quindi un metodo ideale per preparare la fase di concezione vera e propria del progetto. Questo è il senso di uno strumento che a buon motivo può essere classificato come B è la più dipendente A dipende meno dalle altre ma influenza maggiormente le altre: costituisce un parametro di controllo. A è la meno dipendente 63 3 13 9 10 28 Totale 18 9 9 E 12 3 9 D 11 1 9 1 C 18 9 9 B 4 3 1 A Totale E D C B A Cause Effetti 245 Figura 4. La casa della qualità. strumento di sintesi, basato sulla logica e su ampie analisi di dati empirici, [9]. Il metodo ha anche un valore aggiunto perché s''inquadra nella filosofia organizzativa del progetto indicata con il nome d''ingegneria concorrente. Essa si propone l''applicazione
di un metodo sistematico di progettazione di prodotto che prenda in considerazione tutti gli
elementi del ciclo di vita, dalla fase di concezione a quella di uso, con definizione
simultanea del prodotto, dei processi di fabbricazione e di tutte le fasi connesse con il suo
ciclo di vita. In coerenza con il metodo QFD, l''ingegneria concorrente mette in conto tutte le
caratteristiche desiderate nella fase iniziale del processo, per produrre un progetto più
'robusto', cioè in grado di sopportare le variazioni del processo produttivo e dell''uso, a
costo inferiore del processo sequenziale. Valutazione delle modalità di danno
Sempre nella stessa prospettiva, lo strumento che raccoglie, in uno schema logico, i dati
sperimentali ricavati dall''analisi del nuovo progetto come dall''esperienza su progetti simili,
è la FMEA (Failure Mode and Effect Analysis)
La FMEA è una tecnica di analisi preventiva utilizzabile per il progetto di un prodotto o di un processo, al fine di assicurarsi che, per quanto possibile, tutti i punti deboli, cioè tutte
le potenziali modalità di guasto siano prese in considerazione e sia valutato il rischio
relativo, sulla base della gravità delle conseguenze, della frequenza delle cause e 246 dell''efficacia delle azioni di controllo e siano poste in essere misure per contenerle in limiti
accettabili.
Si può considerare come un''applicazione marginale del metodo sperimentale in quanto elabora dati empirici per costruire modelli logici, in modo concettualmente simile al metodo
della QFD. A differenza dell''albero dei guasti, che è uno strumento solo logico, la FMEA (o
FMECA come viene indicata in una variante tale strumento di controllo del rischio),
richiede il trattamento anche di dati empirici, legati all''esperienza dei tecnici e può essere
impiegata nella fase concettuale e nella fase costruttiva, [9]. Il Progetto dell''esperimento (DOE) e le superfici di risposta
Questo strumento indicato, in lingua inglese, con il termine ''Design of Experiment' (DOE),
è basato sulla pianificazione statistica di esperimenti mirati e offre l''inquadramento ideale di
ogni tipo di sperimentazione che intenda fare chiarezza su un processo e su un prodotto.
In particolare nelle fasi di progettazione concettuale e costruttiva, il metodo è utile per la ricerca dei valori ottimali delle variabili che influenzano il comportamento del sistema,
cioè dei parametri di controllo, in quanto con questo metodo si identificano quali di tali
parametri, detti ''fattori' e quali loro combinazioni, ottimizzano il risultato del processo in
termini di affidabilità, di riduzione dei costi o di qualsiasi altro ''indice di qualità'.
La Fig. (5) mostra lo schema di un processo con variabili di controllo all''ingresso, variabili in uscita (indici di qualità) e variabili di disturbo che rappresentano l''influenza
dell''ambiente assieme alle variabili non prese in considerazione. Nella Fig. (6) a sinistra è
mostrato un esempio di risultato dell''esperimento. Sul piano orizzontale è riportato il
dominio di definizione dei fattori di controllo in forma normalizzata tra i valori -1, +1. Le
quattro ordinate corrispondenti sono i valori sperimentali della risposta del sistema. Quando
le variabili sono continue, anche la risposta varia in modo continuo e si rappresenta con una
superficie che interpola i quattro valori. Essa è detta superficie di risposta. Naturalmente per
un numero di fattori superore a due è una superficie a più dimensioni che non può essere
rappresentata. L''esempio di sinistra mostra una superficie di risposta con effetto d''interazione, cioè di non linearità, (la superficie che interpola i punti sperimentali si distacca da quella piana che
rappresenta un comportamento lineare tra i fattori). Sulla destra è mostrato un esempio di
superficie di risposta con forti effetti d''interazione, [10]. In questo caso i punti sperimentati,
cioè i valori dei fattori, sono i quattro corrispondenti agli spigoli del dominio più i quattro
punti a metà dei lati più il punto centrale del dominio. Figura 5. Lo schema del progetto dell''esperimento 247
Figura 6.
Le superfici matematiche interpretano i rilievi sperimentali ma offrono la risposta
del sistema su tutto il dominio delle variabili.
4. COME SPERIMENTARE LA ''FIRMITAS' DELLE STRUTTURE
Con riferimento al progetto strutturale, la sperimentazione sulla resistenza rappresenta il
campo più noto di applicazione del metodo sperimentale al progetto. Come si è detto
nell''introduzione, esso è uno dei settori d''interesse prevalente della ricerca e della
formazione. Anche se più noti, vale tuttavia la pena discutere la particolare tipologia dei problemi strutturali che si avvalgono di dati sperimentali perché pongono il concetto molto importante
di problema mal posto. Il fondamento dell''analisi strutturale è riposto nella nota
formulazione della legge di Hooke: "Ut Tensio, sic Uis" (come l''estensione, così la forza)
che, a una variabile o a più variabili, come oggi viene estensivamente applicata con i metodi
numerici agli elementi finiti, si presenta secondo il formalismo delle (1) per il problema
diretto e per il problema inverso e lo schema matriciale di Fig. (7).
(1) Il problema, risolto in modo diretto procedendo dalle forze x note alle ''estensioni'' (deformazioni) y incognite, presume la conoscenza del sistema A e si avvale dei metodi
numerici di risoluzione, idonei a strutture complesse.
Figura 7. La legge di Hooke per problemi strutturali lineari elastici a una o più variabili. Ad
una variabile x e y sono numeri, a più variabili x e y sono vettori. ! y = A" x e x = A#1 " y 248 Figura 8. Gli elementi finiti riducono i corpi di forma complessa a un insieme di elementi
semplici, per i quali si può scrivere una relazione matriciale del tipo indicato nella Fig. (7).


L''esempio della Fig. (8) illustra una estensione della legge di Hooke; un caso con migliaia di variabili [11] per la descrizione del comportamento strutturale di un braccio di
gru. Raramente però il problema si presenta in questi termini nei casi reali: in genere o le
forze in gioco o i parametri del sistema non sono noti e la soluzione procede dalla misura
delle deformazioni alle variabili incognite. E'' quindi un problema inverso.
E'' importante osservare che la sperimentazione genera sempre un problema inverso [12] [13], che richiede un modello matematico per interpretare i dati di misura e quindi
determinare le incognite, Fig. (9).
I problemi inversi possono essere di due tipi: ' dati gli effetti y e date le cause x si cercano i parametri del sistema A (incognite) oppure:
' dati gli effetti y e dati i parametri del sistema A si cercano le cause x (incognite) Esistono tre tipologie di problemi inversi, a seconda che il numero degli effetti sia uguale,
superiore o inferiore al numero delle cause. I problemi risultano rispettivamente determinati
sovra e sotto determinati, con metodi di soluzione appropriati.
Figura 9. Problemi diretti e problemi inversi, [14]. 249 N. degli effetti è uguale al N. delle
cause m=n (soluz. unica) N. degli effetti è > N.
delle cause (problema
sovra determinato con m>n (matrice ''magra') N. degli effetti è inferiore al N.
delle cause con m<n (matrice
''grassa'): più soluzioni.
Figura 10. Cause (UIS) ed effetti (TENSIO).

Ricordando il significato di problema mal condizionato, cioè quando piccole variazioni sui dati danno grandi variazioni sulle stime delle incognite, è bene ricordare dalla trattazione
teorica che sia i problemi diretti sia gli inversi possono essere mal condizionati.
In particolare per i problemi inversi accade quanto descritto nella Fig. (10):
' un problema determinato può essere o meno mal condizionato
' un problema sovra determinato può essere o meno mal condizionato
' un problema sotto determinato è sempre mal condizionato. I problemi sovradimensionati e sottodimensionati possono essere risolti in modo approssimato. Infatti la matrice del sistema non è quadrata e non possiede in termini rigorosi
una matrice inversa. Può essere invertita in modo approssimato. Come si vedrà dagli
esempi, è necessario introdurre il concetto di matrice pseudo inversa. Esempi di applicazione di problemi strutturali inversi
Si faccia riferimento al più comune tra i metodi di analisi sperimentale dei materiali e delle
strutture, basati su analogie fisiche mostrati sinteticamente nella Fig. (11), che è il metodo
estensimetrico.

Correlazione
digitale
d''immagine

Figura 11.
Metodi sperimentali basati sulla misura dell''energia elettrica al posto
dell''energia meccanica e sulla misura delle proprietà ottiche al posto di quelle meccaniche.
Le prime due immagini a sinistra rappresentano due tipi diversi di estensimetri elettrici,
resistivi e piezoresistivi.
250 Progetto di un telaio motociclistico [15]. Sia considerato noto il sistema con un primo
dimensionamento del telaio e siano incognite le forze applicate. Il progetto è articolato nelle
seguenti fasi: ' La taratura di un elemento (ammortizzatore) per la misura delle forze trasmesse
mediante l''applicazione di deformazioni imposte, (primo problema inverso). ' La misura con prove ''in campo' delle reali forze in gioco, per un protocollo di
missione stabilito, (secondo problema inverso). ' La determinazione delle reali deformazioni del telaio dovute a queste forze,
(problema diretto). ' L''ottimizzazione della forma con la ripetizione del calcolo diretto su più casi (non
presentata in questo articolo), per portare il valore delle deformazioni in tutte le
parti del telaio a valori corretti. Il primo punto richiede la ''regolarizzazione' dei dati sperimentali ottenuti da misure con estensimetri elettrici sullo stelo dell''ammortizzatore, che collega al telaio la forcella
posteriore Fig. (12) al centro, condotte in laboratorio con una macchina universale di prova.
L''andamento regolare e crescente della nube dei dati sperimentali Fig. (12) a destra, (il
problema è sovra determinato), suggerisce l''impiego di un modello lineare tra forze e
deformazioni nello stelo che, con il metodo dei minimi quadrati viene adattato ai dati. Nella
relazione lineare seguente sono i parametri a e b di A le incognite approssimate: ' y = A '' x (2) Il secondo punto è illustrato nella Fig. (13). In questo caso il problema inverso è determinato e l''equazione seguente dà la relazione tra le deformazioni misurate nello stelo e
le forze in gioco, essendo già stati determinati i parametri lineari del sistema
''ammortizzatore'. (3) Figura 12. La calibrazione di un elemento di misura delle forze (dinamometro) mediante la
conoscenza di deformazioni imposte. Al centro lo stelo strumentato, a sinistra il rilievo. !2 =
0.94 ' J(a,b) = ymeas '' A'' x 2 = yimeas '' a ''bxi ' i ' ' ' ' ' ' i '' 2 ' '' J(a,b) '' a = 0 '' J(a,b) '' b = 0 ! xstim = A"g # ymis 251 Figura 13. Confronto tra deformazioni nello stelo dell''ammortizzatore e forze trasmesse
dalla forcella (cioè dalla ruota), al telaio e, in basso, andamento delle deformazioni nel telaio
dovute alle forze così determinate.

In questo caso la matrice è una matrice inversa esatta, non pseudo inversa. Nella Fig. (13) in alto sono posti a confronto gli andamenti delle deformazioni misurate e delle forze
corrispondenti, ottenute per il percorso su una pista con ostacoli definiti. Le deformazioni nel telaio sono determinate infine dalle forze ricavate in precedenza e dalla conoscenza dei parametri del sistema ''telaio' fissati mediante un dimensionamento di
tentativo, con la soluzione di un problema diretto. L''immagine della Fig. (13) in basso
mostra il quadro riassuntivo dell''andamento delle deformazioni nella forma di aree di
livello. Come è stato anticipato, la forma ottimale del telaio è stata ottenuta con una serie di
calcoli diretti [15], con un andamento simmetrico delle deformazioni nei due lati del telaio,
distribuzione considerata ottimale, stante la presenza di un solo ammortizzatore. Problema inverso determinato ben condizionato [16]. La costruzione di una cella di carico a sei gradi di libertà presentata in Fig. (14) è un esempio di applicazione di un
problema sperimentale inverso per la determinazione dei sei parametri di forza e di
momento trasmessi dallo sci allo scarpone. La prima soluzione è ottenuta con un numero
d''incognite pari al numero di misure, come si evince nello schema a destra che riporta, per
chiarezza, solo i quattro anteriori dei sei trasduttori di forza. Il problema è quindi
determinato ben condizionato e non ha generato nessun problema d''interpretazione dei dati. 252 Figura 14. Cella di carico a sei gradi di libertà con sei incognite e sei misure. Problema
inverso determinato ben condizionato.

Problema inverso sovradeterminato con il metodo dei minimi quadrati. Viceversa una seconda soluzione, nata per motivi di sicurezza con una struttura iperstatica con sei
incognite e otto misure sperimentali, è riportata nella Fig. (15). Il modello matematico seguito è il seguente; data l''espressione generale dei minimi quadrati:
(4) dalla condizione di minimo: (5) si ricava il sistema di equazioni normali seguenti: (6) dalle quali si ottiene l''espressione della matrice pseudoinversa mal condizionata (7):


Figura 15. Cella di carico a sei gradi di libertà con otto misure sperimentali ! J = ymeas " A# x 2 = min ! " J " x = 0 # AT (ymeas # Ax) = 0 ! AT ymeas = AT Axestim 253 (7)
In questo caso la soluzione adottata ha creato alcune difficoltà connesse con il mal condizionamento della matrice del sistema e ha finito per essere scartata nell''applicazione
pratica a favore della prima che ha rivelato un eccellente comportamento durante tutte le
prove. Problemi inversi sotto determinati (m<n) (sempre mal condizionati)
Il problema indeterminato è più raro nella meccanica strutturale classica. Esso deriva p. e. da
problemi di manutenzione e di analisi di degrado di grandi manufatti nei quali il numero dei
dati sperimentali misurabili difficilmente può pareggiare o superare il numero delle
incognite, costituite in questo caso dai numerosi parametri del sistema o dalle forze in gioco,
[12]. Il problema ammette infinite soluzioni. Per renderlo determinato esistono più modi. Soluzione di lunghezza minima. La funzione da minimizzare è un funzionale composto da due parti, legate da un moltiplicatore di Lagrange: una prima che seleziona tra
le infinite soluzioni quella a distanza minima dall''origine e una seconda che rappresenta la
condizione di minima distanza tra i dati misurati e il modello teorico. Dalla condizione di
minimo del funzionale globale si ricava l''espressione (8) della pseudo matrice inversa.
(8)



(9)
Figura 16.
Matrice pseudo inversa per un problema inverso sotto determinato. Condizione
di lunghezza minima.

! A"g = (AT A)"1 # AT ! xstim = A"g # ymis ' A''g = AT (A'' AT )''1 ' J = xT '' x +λT ''(ymeas '' Ax) = min ! a1x1 + a2x2 = ymeas ! xstim = A"g # ymis 254 Metodo di regolarizzazione di Tikhonov-Tjhung-Miller. Un altro metodo, utile anche per problemi determinati ma mal posti, consiste nel comporre, con la condizione di
minimo classica, una condizione di regolarizzazione ottenuta con l''introduzione di una
matrice di numeri che è basata su proprietà di tipo teorico della soluzione attesa. Oltre alla
matrice di regolarizzazione si aggiunge un coefficiente numerico o una seconda matrice di
numeri α che dà ulteriori gradi di libertà nella scelta della soluzione ottimale, [12], [13]. Un esempio di problema determinato ma mal posto che richiede questo tipo di regolarizzazione è il seguente, nel quale le misure di deformazione con tre estensimetri
elettrici, intendono rilevare le tensioni residue agenti in un corpo che abbia per es. subito un
trattamento termico, quando queste tensioni interne vengono rilassate con un''operazione
meccanica come quella di foratura, [17].
Il problema è complesso e sicuramente mal condizionato, perché si vuole determinare la distribuzione di tensione lungo tutto lo spessore di foratura ma l''effetto di questa tensione
''liberata' sui sensori disposti sulla superficie strumentata, diventa sempre più debole
all''approfondire del foro. L''espressione della funzione da minimizzare è la seguente nella
quale sono indicate le deformazioni e le tensioni con simbologia evidente: (10) Per definire R occorrono considerazioni di natura teorica sulla soluzione, [12]: se p.e., la variazione locale di ' (tensione residua) può essere approssimata con una retta, si ha un
minimo sulla derivata seconda, il che porta ad una espressione di R come nella (12)
seguente:

(12) La matrice R è tridiagonale con il numero delle righe pari al numero dei passi di foratura e il/i fattore/i α controllano l''entità della regolarizzazione. Nella Fig. (17), oltre allo
schema della misura, sono riportate le espressioni della relazione che lega le misure alle
incognite e l''espressione della matrice pseudo inversa ottenuta con la minimizzzazione del
funzionale J.
(11) Figura 17. Metodo ASTM: Misura delle tensioni residue lungo lo spessore, misurate
mediante rilassamento ottenuto con un foro cieco, [17]. ! J = "meas # A$% 2 + & R$% 2 = min ! " estim = A#g $%meas ! " (#) linear in # : min $ 2" $# 2 % & ' ( ) * ! 0 0 0 0 0 " 1 2 "1 0 0 0 "1 2 "1 0
0 0 "1 2 "1
0 0 0 0 0 255 Minimi quadrati per il caso più generale di combinazioni lineari
Per il caso più generale di combinazioni lineari di funzioni di x si ha, [13]: (13) Le funzioni ' base possono essere, p.e.: (14) Quindi y è un polinomio di grado M-1. Le funzioni base potrebbero essere costituite da seni
e coseni, nel qual caso avremmo una serie armonica. Si può mostrare che la serie di Fourier
è una curva dei minimi quadrati di una funzione del tipo:

(15) Problemi non lineari
Senza entrare in questo caso che richiede trattazione specifica, un modello nel caso di un
problema non lineare è il seguente: (16) Il sistema deve essere linearizzato, p.e. con l''algoritmo di Newton ''Kantorovich. Il vantaggio dei dati regolarizzati
Si è visto come la sperimentazione generi sempre problemi inversi che richiedono un
modello matematico col quale regolarizzare i dati di misura. Questo è il significato ingegneristico del principio ricordato nell''introduzione: ''Sia nell''ipotesi sia nell''esperimento la realtà è espressa matematicamente, in quanto
ridotta ad un insieme di grandezze fisiche misurabili (non qualitative)...'
L''ingegneria non ricerca leggi rigorose. E'' sufficiente una legge pressappoco vera basata su rilievi pressappoco veri, [18]. Queste leggi sperimentali sono sufficienti per una
previsione ragionevole del comportamento del sistema,
'''..poiché ciò che interessa in ultima analisi non è la conoscenza dello stato di tensione,
ma una attendibile previsione, sulla base di questa informazione, del comportamento
dell''elemento strutturale....'.[19] Nei termini più moderni del problema, tale previsione può essere fatta solo con un inquadramento statistico. Solo un modello statistico ricavato dalla sperimentazione consente
la stima delle distribuzioni dei parametri critici e, come conseguenza, la stima
dell''affidabilità strutturale del sistema, [20]. 5. CONCLUSIONI
E'' stata presentata l''applicazione della sperimentazione nelle varie fasi di sviluppo del
processo di progettazione. Essa serve specialmente nella fase di chiarificazione del compito
prima della progettazione concettuale per tradurre le esigenze del potenziale utilizzatore del
prodotto in precisi requisiti tecnici. ! ymis = ak"k k # (x) ' A(x)'' x '' ymis. = 0 ' J = ymis '' akΦk k '' (x) 2 = min ! 1,x,x2,......xM"1 256 Altri strumenti di valutazione dei punti più deboli o di selezione dei parametri più importanti sulla base dell''influenza che essi hanno sugli altri parametri del sistema, possono
inoltre essere visti come modelli probabilistici e statistici di fenomeni empirici e quindi
rientrano a buon diritto nei metodi sperimentali e, più in generale, nel metodo scientifico. La sperimentazione sulle strutture introduce infine un altro aspetto interessante: i problemi sperimentali sono sempre problemi inversi, spesso mal-posti. Esistono soluzioni
teoriche integrate da informazioni di natura euristica per risolvere queste difficoltà, ma il
valore concettuale di essi risiede proprio nella loro particolare natura che prepara il
progettista alla valutazione di problemi mal-strutturati nei quali le informazioni non sono
mai sufficienti per determinare una soluzione. Essi costituiscono la regola nella
progettazione. Concludendo, la sperimentazione è una buona maestra per formare i progettisti. La pratica del laboratorio è concettualmente simile alla pratica della progettazione. La
sperimentazione tuttavia ha una forte penalizzazione che oggi emerge drammaticamente: ''Modern science is fast-moving and no laboratory can exist for long with a program based on old facilities. Innovation and renewal are required to keep a laboratory on the
frontiers of science and only if it remains on the frontiers will it have a long-term future.
....... It is important that these resources be made available even in times of tight budgets.
Starving the future to feed the present is a mistake - it leads to obsòlescence and
stagnation.....' [21]. BIBLIOGRAFIA [1] C. L. Dym, 1994. Engineering Design, Cambridge University Press [2] Report 1988, ABET. Accreditation Board for Engineering and Technology , N. Y. [3] Marcus Vitruvius Pollio, (70 a.C. '' 15), De Architectura. [4] E. Severino, 1970. Storia della Filosofia- Rizzoli Ed. [5] G. Pahl & W. Beitz., 1999. Konstruktion Lehre, Springer Verlag, Berlin, Editor in inglese K.
Wallace: 1997 Engineering Design a Systematic Approach, Springer Verlag. [6] ICSID, 2000. International Council of Societies of Industrial Design www.icsid.org. [7] R. Descartes , 1938. Discorso del Metodo (a cura di N. Abbagnano), A. Morano Editore, Napoli. [8] K. Keniston, 2003.''La crisi dell''algoritmo degli ingegneri', Massachusetts Institute of
Technology. Comunicazione privata. [9] A. Freddi, 2004. Imparare a progettare: Principi e metodi del progetto concettuale. (pp. 428).
ISBN: 88-371-1512-1. Il testo è in corso di traduzione in lingua spagnola. Bologna: Pitagora Editrice
(Italy). [10] D. Croccolo, L. Cristofolini, A. Freddi, M. Bandini, 2002. "Fatigue strength of shot-peened
nitrided steel "Fatigue Fract. Eng. M, 25, pp. 695-707. [11] M. Comandini, 2008. ''Progettazione con Metodologie Avanzate di Organi di Macchine sollecitati
a Fatica, Corpi non Saintvenantiani' Tesi di Dottorato. DIEM, Fac. Ingegneria, Università di Bologna. [12] K.-H. Laermann, 2008. Inverse Problems on Experimental Structural Mechanics, Shaker Verlag
Aachen ,G.R. [13] J.F. Doyle, 2008. Modern Experimental Stress Analysis J. Wiley 2004; see also by the same
Authors: Hybrid Methods in: Experimental Mechanics Handbook, Springer Verlag, 2008. 257 [14] Liu X. Han, 2003. Computational Inverse Techniques In Nondestructive Evaluation, Crc Press,
Boca Raton, London, New York. ISBN 0-8493-1523-9. [15] G. Olmi, A. Freddi, D. Croccolo, 2007. ''In field measurement of forces and deformations
at the rear part of a motorcycle and structural optimization', Proceedings of the 13th International
Conference on Experimental Mechanics, Alexandroupolis, Greece, July 1-6, 2007. (vol. 1, pp. 435 -
436). ISBN: 978-1-4020-6238-4. DORDRECT: E.E. Gdoutos (NETHERLANDS). [16] A. Freddi, G. Olmi, D. Croccolo, 2002. "Ein neuer Aufnehmer zur direkten Messung der von
einem Skifahrer auf die Skier Uebertragenen Kraefte und Momente" MTBMesstechnische Briefe,
Ausgabe 1/2002, n. , pp. 3-10 [17] C. Casavola C. Pappalettere, F. Tursi, ''Non-uniform residual stress fields on sintered materials',
9th Youth Symposium on Experimental Solid Mechanics, Trieste, Italy, July 7-10, 2010, 132-137 [18] E. Boncinelli, U. Bottazzini, 2000. La serva padrona Ed. Scienze e Idee [19] Prolusione del Prof. Lucio Lazzarino al III Convegno AIAS, 1975. Bologna [20] G. Olmi, A. Freddi 2010. ''Fatica oligociclica su cappe e rotori di turboalternatori' Terza giornata
di studio Ettore Funaioli , Bologna,-16 luglio 2009. [21] B. Richter, Premio Nobel in Fisica, 1976. Autobiografia, Sito Internet a suo nome. [22] W. Lidwell, K. Holden, J. Butler, 2010. ''Universal Principles of Design' Rockport Publisher,
Beverly, Massachusetts. 258 INFLUENCE OF DYNAMIC EFFECTS ON POINT EHL
CONTACTS IN GEAR SYSTEMS
Marco Barbieri
Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Civile DIMeC,
Universit`a di Modena e Reggio Emilia, Italy
E-mail: mark@unimore.it Francesco Pellicano
Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Civile DIMeC,
Universit`a di Modena e Reggio Emilia, Italy
E-mail: francesco.pellicano@unimore.it Angelo Oreste Andrisano
Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Civile DIMeC,
Universit`a di Modena e Reggio Emilia, Italy
E-mail: angelooreste.andrisano@unimore.it Abstract. In this paper, the effect of vibrations on the elastohydrodynamical lubrication in
spur gear pairs will be described. The relevance of inertial effects on film fluid lubrication
is clarified by means of comparisons with static formulations. The multilevel technique is
used to solve the transient EHL problem for elliptical contacts. Coupling with load balance
equation and with different equations of motion is studied.
A new model describing the dynamic behavior of two coupled transient EHL elliptical
contacts is developed and applied to characterize the dynamics of a spur gear pair. Keywords: Gear dynamics, Transient EHL 1. INTRODUCTION Many models have been proposed in the past in order to describe the dynamic behavior of a
spur gear pair, which is necessary to understand how vibration and noise is generated inside
gearboxes. Many of these models are based on the work by Kahraman et al. [1], in which a
one degree of freedom model is used to characterize the dynamic of the gear system. This
model is depicted in Fig. 1(a). It includes a time varying stiffness, which is estimated by
means of Finite Element Method static analyses, and a viscous damper, which value is deter-
mined only by means of experimental fitting. Some analyses performed on this model [2],
showed that the results are strongly dependent on the dimensionless damping coefficient:
Amplitude-Frequency diagram in Fig. 1(b) shows that for high viscous damping (ζ = 0.1),
the system behaves like a linear system, because there in no detachment of the contacting
teeth. Due to this reason, it is important to clarify the influence of the lubricant in changing 259 θg2(t) Tg2 θg1(t) T g1 R b1 R b2 I g1 I g2 e g(t) k g(t) c g(t) (a) Lumped parameter model for spur gear dynamics 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Amplitude t m /t gn (b) Amplitude-frequency diagram for different val-
ues of the non-dimensional damping coefficient (0.01
black, 0.05 red, 0.1 blue) Figure 1: Model and results of conventional gear dynamic analysis the damping effect. The lubrication regime between mating gear teeth was proven to be elastohydrodynamic since the very earliest works on EHL, like those of Grubin [3]. Transient numerical analyses
on gear lubrication were conducted by Larsson [4] and, more recently, by Wang et al. [5].
These works assume a given time dependent formula to describe the force transmitted by
each mating tooth pair, either a square wave, for the first paper, or a trapezoidal one, for
the second. Indeed, during dynamic meshing of the tooth pair, the contact force is strongly
influenced by the inertial effects in the contacting bodies, as can be computed using the 1 dof
proposed by Kaharaman, so that the results obtained using static approximations of the load
are incorrect. The purpose of this paper is to propose a new model to describe the dynamic
behavior of a spur gear pair including the effects of the lubrication. 2. TRANSIENT EHL FORMULATION The problem of transient EHL will be solved for the point contact. This choice, although
more computationally costly than studying line contacts, will allow to keep into account the
effect of gear crowning and to extend the model to other kinds of gears. Transient Reynolds
equation reads: '' ''x  ρh3 12η ''p ''x  + '' ''y  ρh3 12η ''p ''y  '' um '' ''x (ρh) '' '' ''t (ρh) = 0 (1) where um is the mean velocity of the mating profiles and varies linearly during tooth contact.
Film thickness is computed as follows: h = h0 + x2 2Rx + y2 2Ry + 2 'E0 Z '' '''' Z '' '''' p (x0, y0, t) dx0dy0 q (x '' x0) 2 + (y '' y0)2 (2) where Rx is the equivalent radius of curvature in the profile direction and Ry along the face
width. Ry is constant during tooth meshing, while Rx is varying with quadratic law. Figure 2 260 a b x y Ry Rx FAC E W IDTH TOOT H P ROF ILE Figure 2: Contact ellipse and sketch of the equivalent tooth profile explains the meaning of these parameters; note that equivalent radii are referred to a contact
between a parabolic surface and a plane: the relationship among the true radii of curvature
and the equivalent ones is the same as in standard Hertz''s theory. Roelands pressure-viscosity
relationship and Dowson and Higginson density-pressure formula are used to compute the
dynamic viscosity η and density ρ. The equations are made dimensionless with respect to
the hertian point contact solution. Here, since many parameters change during meshing, a
reference position for the gear system is to be chosen: the pitch point is the natural choice.
Dimensionless P is defined dividing by the maximum hertian pressure ph at the pitch point,
X and Y are divided by the minor half axis a'' of the hertian contact ellipse, so the non-
dimensionalization is as in the following: X = x a'' ; Y = y a'' ; H = Rx a'' 2 h ; P = p p'' h ¯ η = η η0 ; ¯ ρ = ρ ρ0 ; Um = t '' a'' um ; T = t t'' (3) where t'' is to be defined so that the number of parameters is reduced to a minimum. The
best choice is to obtain equal coefficients for the Couette and the Squeeze term inside the
Reynolds equation. The resulting dimensionless equations are: '' ''X ¯ ξ ''P ''X  + '' ''Y ¯ ξ ''P
''Y  '' '' ''X ( ¯ ρH) '' '' ''T ( ¯ ρH) = 0 ¯ ξ = ¯ ρH 3 ¯ λ ¯ η where ¯ λ = 12umη0R 2
x a'' 3 p'' h H = H0 + 1 ¯ Rx X 2 2 + D'' Y 2 2 + 2 '2 'p ''
h R '' '''' R '' '''' p (X 0 ,Y 0,T )dX0dY 0 '' (X''X0) 2 +(Y ''Y 0)2 (4) where 'p'' h is a correction for the elliptical case and requires the numerical or approximated computation of elliptical integrals (see Ref. [2]). Rx is the ratio between the radius of cur-
vature along the profile in a given position and the value at the pitch point; D'' is the ratio
between R''x and Ry at the pitch point. 3. DYNAMIC MODEL The model described in [1] has been modified here in order to include the effect of the EHL
lubrication film. The contact between the two gears is shared by two lubricated contacts.
Since the main purpose of this model is to describe damping, there is no need, at first, to
consider the true deflection of the teeth under load, so the wheels in contact can be considered 261 θg2(t) Tg2 θg1(t) T g1 R b1 R b2 I g1 I g2 EH L 2 EH L 1 Figure 3: Full model for gear dynamics under EHL as indefinitely extended elastic bodies. With such hypothesis, elastic deformations can be be
computed as in (2). It is to stress that the proposed model is an approximation of the physical
system, but it is no more a lumped parameter model. The equation of motion is the following: mge d2h0 dt2 = Z '' '''' Z '' '''' P1 (x, y, t) dxdy + Z '' '''' Z '' '''' P2 (x, y, t) dxdy + Tg1 Rb1 (5) If two contacts share the load, it is possible to assume that the load they support is the same. This way a single contact can be studied: mge d2h0 dt2 = 1 f (t) Z '' '''' Z '' '''' P (x, y, t) dxdy + Tg1 Rb1 (6) where f (t) is a square wave function describing the time varying load on a single contact. In
order to make both the equations non dimensional, it is useful to introduce the dimensionless
inertia: I = mge R'' xt ''2 p'' h = 2'meu '' 2 m 3R'' xw '' 1 κ'' (7) Eq. (6) becomes: I d2H0 dT 2 = 1 f (T ) Z '' '''' Z '' '''' P (X 0, Y 0, T ) dX0dY 0 '' 2' 3κ'' (8) 4. RESULTS Three different kinds of simulations are compared in the present section. The first analysis
considers equation (6) with zero equivalent mass, so that the results are comparable to the
literature [4] and [5]. Data of the gear pair under analysis are collected in Tab. '': the analysis
is performed on a spur gear pair, nevertheless the elliptical EHL model allows to keep into
account the effect of crowning. The contact ratio of the gear pair is between 1 and 2, so that
the maximum number of mating tooth pairs is two. The variation of the relative speed and of
the equivalent curvature during meshing is taken into account. Figure 4(a) displays in blue the
minimum Hm and central Hc dimensionless film thickness together with the central pressure
Pc for the analysis without inertial effects. Close to the abrupt change of the load, there is
a strong bump both in the central film thickness and in the central pressure; the minimum 262 Table 1: Data of the case study Data Symbol Pinion Gear Number of teeth Z 28 43 Normal module [mm] m 3.00 3.00 Pressure angle [Deg] α 20.00 20.00 Base radius [mm] Rb 39.467 60.610 Thickness at the pitch circle [mm] sp 6.1151 6.7128 Outer diameter [mm] Ra 93.1 139.7 Crowning magnitude [mm] magc 0.020 0.020 Face width [mm] Fw 20.00 20.00 Inertia [kg mm2] Ig 8.076 47.762 Young''s modulus [M P a] E 206000 206000 Poisson''s coefficient ν 0.30 0.30 Center distance [mm] a0 g 111.00 Backlash on the line of action [mm] jn 0.312 Transmission ratio ' 0.6511 Contact ratio εα 1.2856 Torque at pinion [N mm] Tg1 470000 film thickness changes even faster, because the position of the minimum changes inside the
computational domain. If the inertial effects are taken into account, here a simulation at a
pinion speed of 12500 RPM is performed, the elastic oscillation is dominant and the squeeze
effect is negligible to determine the dynamic behavior of the system. The main issues of the
proposed approach are that the analysis cannot continue after the exit of a tooth pair contact
and it is highly sensitive to the initial conditions: here stationary EHL film fluid at the entering
is assumed, which is pretty unphysical, as the film fluid needs to build up before having true
stationary conditions. In order to overcome this limitation, an analysis considering the coupling between two EHL contacts is performed. Initial conditions are set up assuming stationary EHL film at the
pitch point for one contact. Since at the pitch point only one pair is in contact, the analysis on
the second contact starts with the same approach h0 as the first contact, which is still active
up to the exit. The solution oscillates due to the initial condition, so some transient mesh
cycles must be thrown in order to have a stationary solution. Figure 4(b) shows the behavior
after 200 mesh periods: the entering of each contact produces some oscillation in the film
thickness as it was for the static case, but they are smoothed by the inertia in the contacting
bodies. 5. CONCLUSIONS A new method to describe the Elastohydrodynamic lubrication in a spur gear pair has been
proposed. The method takes into account the dynamic load inside a single tooth pair and the
coupling between two different pairs. Results on a real case study are shown: if the dynamic
load is neglected, there is a fast variation both in the pressure distribution and in the film
thickness when the number of mating tooth pair changes. If the inertia of the contacting
bodies is considered, as is the present work, the transition is by far smoother. 263 0 2 4 6 8 10 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 T H c H m 0 2 4 6 8 10 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 T P c (a) Single contact: blue - static analysis; red - dynamic analysis 190 200 210 220 230 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T H c H m 190 200 210 220 230 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 T P c (b) Full model: blue - contact 1; red - contact 2 Figure 4: Results of the EHL-based models REFERENCES [1] Kahraman, A., Singh, R., 1990, ''Non-linear Dynamics of a Spur Gear Pair', Journal of Sound and Vibrations , 142 (1), pp. 49-75. [2] Barbieri, M., 2010, ''Gear Dynamics Under EHL Conditions', PhD Thesis, Universit`a di Modena e Reggio Emilia, Modena, Italy. [3] Grubin A.N., 1949, Fundamentals of the Hydrodynamic Theory of Lubrication of Heavily Loaded Cylindrical Surfaces , Moscow: TsNIITMASh, Book 30 (Engl. transl.). [4] Larsson, R., 1997, ''Transient non-Newtonian Elastohydrodynamic Lubrication Analysis of an Involute Spur Gear', Wear, 207, 67-73. [5] Wang, T., Li H., Tong, J., Yang, P., 2004, ''Transient Thermoelastohydrodynamic Lubrication Analysis of an Involute Spur Gear', Tribology International, 37. 264 FATICA TERMOMECCANICA DI FILI A MEMORIA DI
FORMA: APPARATO DI PROVA E PRIMI RISULTATI


Giovanni Scire'' Mammano
Department of Scienze e Metodi dell''Ingegneria,
University of Modena and Reggio Emilia, Italy
E-mail: giovanni.sciremammano@unimore.it

Eugenio Dragoni
Department of Scienze e Metodi dell''Ingegneria,
University of Modena and Reggio Emilia, Italy
E-mail: eugenio.dragoni@unimore.it


Sommario. Il lavoro riguarda la fatica termomeccanica, nota anche come fatica
funzionale, di fili commerciali a memoria di forma. Da un''analisi della letteratura
disponibile emerge come la caratterizzazione a fatica di questi fili si limiti quasi
esclusivamente alla condizione di isotensione, peraltro poco riconducibile alle reali
condizioni di utilizzo dei fili negli attuatori. La presente ricerca cerca di colmare questa
lacuna individuando 4 tipi di caratterizzazione più aderenti alla realtà applicativa: prove
in isotensione, isodeformazione, isotensione con deformazione limitata, ciclo di tensione
con deformazione limitata. Nel presente lavoro si espongono nel dettaglio le modalità di
prova e la macchina messa a punto per la loro implementazione sperimentale. Infine si
presentano i risultati della prove in isotensione, prima fase della campagna sperimentale.

Parole chiave: fili SMA, fatica termomeccanica, fatica funzionale, isotensione,
isodeformazione
1. INTRODUZIONE I materiali a memoria di forma (SMA = Shape Memory Alloys) sono sempre più utilizzati
per la realizzazione di semplici attuatori allo stato solido, caratterizzati dall''elevata densità
di potenza. La progettazione di questi attuatori richiede la conoscenza del comportamento a
fatica della lega SMA utilizzata [1]. Negli attuatori l''attivazione del materiale è sempre di
tipo termico, per cui si parla in genere di fatica termomeccanica, chiamata anche fatica
funzionale. Con questo termine si indica il funzionamento del materiale sotto l''azione
combinata di un ciclo termico e di uno meccanico. Il primo ciclo indispensabile per attivare
la lega provoca l''insorgere di un ciclo di lavoro meccanico dovuto al carico applicato
all''elemento SMA. In letteratura, il fenomeno della fatica funzionale non è trattato estesamente come quello della fatica meccanica classica, per la quale sono a disposizione un vasto numero di
pubblicazioni. Il motivo principale è che ad oggi l''utilizzo dei materiali a memoria di
forma, ed in particolare del Nitinol, è molto sbilanciato su applicazioni che sfruttano le
proprietà superelastiche e non l''effetto memoria di forma. Inoltre i pochi lavori disponibili,
pubblicati sia da enti di ricerca che da aziende produttrici, sono limitati principalmente alla 265 condizione di tensione costante applicata al materiale (Isotensione) e presentano risultati di
prove con numero di cicli limitato. In [2-3] viene effettuata una caratterizzazione a fatica di
fili commerciali SAES Getters ® SmartFlex®. La modalità di prova proposta prevede di caricare il filo in condizioni di isotensione e di variare la deflessione recuperata
interrompendo l''alimentazione elettrica al filo al raggiungimento della corsa voluta
(trasformazione parziale). Il risultato sintetico delle prove [2] è un grafico deformazione-
tensione sul quale sono indicate zone di funzionamento caratterizzate da una vita minima
garantita. In [4] viene analizzato il comportamento a fatica a tensione costante di fili a
memoria di forma analizzando anche l''interazione di un''eventuale corrosione superficiale
dei fili stessi. In [5] Eggeler sottopone delle molle a memoria di forma a prove di fatica a
carico costante, evidenziando come all''accumularsi del numero di cicli vi sia un
allungamento permanente ma al contempo un aumento della corsa prodotta. Lagoudas [6]
caratterizza il comportamento a fatica termomeccanica di fili SMA NiTiCu. In particolare
studia l''influenza del trattamento termico di ricottura (annealing) sulla resistenza a fatica
del materiale e individua un trattamento ottimale. Nel lavoro si riportano anche i risultati
dell''influenza, sulla resistenza a fatica, della completa o parziale trasformazione di fase
indotta dal riscaldamento. Secondo gli autori, i principali fattori che influenzano il
comportamento a fatica sono la tensione meccanica applicata, il grado di trasformazione e
il processo subito dal materiale. In [7] Bigeon e Morin confrontano il comportamento a
fatica di due leghe commerciali: TiNi e CuZnAl. Nel lavoro si mette in evidenza come
l''effetto di memoria di forma sia influenzato sia dal carico applicato che dall''accumularsi
del numero di cicli. In particolare questa seconda dipendenza ha un effetto benefico
(training) ed è maggiormente significativo per la lega CuZnAL. In [8] i due autori
riprendono l''analisi della fatica termomeccanica sulle due leghe. Dal lavoro emerge come
esista una relazione diretta tra SATWME (Stress Assisted Two Way Memory Effect) e
carico applicato e che il massimo effetto di recupero di forma si ottiene, nel caso di lega
TiNi per un carico applicato di circa 200MPa. In [9] uno studio analogo è proposto per fili
in TiNiCu per i quali si presenta anche una curva di Wohler per la previsione della vita. Altre tipologie di prova, differenti da quella in isotensione sono proposte in [10] e [11]. Mertmann et all. [10] studiano la stabilità del''effetto memoria di forma nel caso di recupero
di forma vincolato, ossia nel caso di isodeformazione. Dalle prove emerge la scarsa
attitudine del materiale a lavorare in questa modalità che si traduce all''accumularsi dei cicli
effettuati in perdita della memoria (''amnesia') e allungamento del provino. Demers et al.
[11] studiano la resistenza a fatica termomeccanica di una lega Ni-Ti, al variare di
differenti trattamenti termomeccanici di allenamento. Per la valutazione dell''efficacia dei
trattamenti suggeriscono un''interessante metodologia che si articola su tre differenti prove:
recupero libero (''Stress-free shape recovery), recupero vincolato o isodeformazione
(''Constrained stress recovery') e recupero a carico costante o isotensione (''Assisted two-
way shape memory effect ATWSME'). La difficoltà che il progettista incontra nel dimensionamento di un dispositivo basato su elementi a memoria di forma è dovuta principalmente a due motivi. In primo luogo la
mancanza di dati direttamente utilizzabili sulla resistenza a fatica dello specifico materiale
commerciale con cui si realizzerà il dispositivo, come ad esempio curve di Wohler. In
secondo luogo la scarsa affinità delle prove isotensione, pressoché le uniche disponibili
come visto, con il reale funzionamento degli attuatori SMA. Gli attuatori industriali sono infatti quasi sempre contrastati da elementi elastici convenzionali (molle) o da altri elementi SMA contrapposti. In entrambi i casi la 266 condizione di carico a cui l''elemento SMA è sottoposto è molto differente rispetto alla
condizione di tensione costante realizzata nelle prove di laboratorio e questo porta a
modelli di attuatore non ottimali e alla pressoché impossibilità di previsione della vita.
Questo lavoro si propone di colmare il divario tra sperimentazione e realtà. In quest''ottica
sono state ideate 4 modalità di prova differenti che si avvicinano alla maggior parte delle
reali situazioni di funzionamento dei fili SMA: carico costante (isotensione), deformazione
costante (isodeformazione), carico costante con deformazione limitata, ciclo di tensione
con deformazione limitata. Il filo utilizzato nelle prove è un filo commerciale SAES
Getters ®, tipo Smartflex® 150, di diametro 0.15mm, consigliato per la realizzazione di attuatori. Nell''articolo si presenta l'apparato sperimentale progettato specificamente per
attuare le quattro condizioni di prova. Inoltre si presentano i risultati completi delle prove
in isotensione. 2. MATERIALI E METODO Tipologie di prova Come ben noto un attuatore a memoria di forma è costituito da un elemento attivo, ad
esempio un filo, e da un sistema di contrasto capace di deformarlo quando questo si trova
nello stato disattivato. Il carico a cui l''elemento è sottoposto dipende quindi dal sistema di
contrasto e dal carico esterno ad esso applicato. Se si esclude il caso di contrasto mediante
grave e carico esterno costante o assente, la sollecitazione a cui l''elemento attivo è
sottoposto non è costante durante il ciclo di attivazione-disattivazione, ma variabile tra un
massimo e minimo, da valutare caso per caso. Qualora l''attuatore sia dotato di finecorsa meccanici, il carico risulta essere ancora variabile, ma la deformazione a cui è sottoposto il filo risulta limitata inferiormente,
superiormente, o in entrambi i versi. Ultimo caso è quello in cui l''elemento attivo compia la
trasformazione essendo vincolato: in questo caso la tensione è ancora variabile ma la
deformazione è fissa. Diversamente da quanto riportato in [11], il caso di recupero di forma vincolato non si verifica solo per attuatori funzionanti come generatori di forza statici. Il recupero vincolato
può infatti verificarsi per qualsiasi attuatore qualora sia utilizzato per movimentare o organi
di presa o carichi fortemente inerziali con dinamiche elevate. Nel primo caso l''evento si
verifica qualora l''organo di presa afferri un oggetto di dimensioni al limite delle sue
capacità [10]. Il secondo caso si verifica invece quando la costante di tempo di
riscaldamento dell''elemento SMA sia inferiore alla costante di tempo del carico meccanico
applicato all''attuatore, dipendente dalla sua inerzia. Dal punto di vista pratico questo
avviene tutte le volte che si riscalda molto rapidamente il materiale SMA [12] e/o l''inerzia
del carico è elevata. Di fatto il filo completa la sua trasformazione sotto l''azione di un
vincolo virtuale che non ne permette la deformazione. Infine non va dimenticata la
condizione di bloccaggio dell''attuatore per cause anche esterne dell''attuatore stesso. Anche
in tali situazioni si verifica un recupero di forma vincolato ed è auspicabile che l''attuatore
sia intrinsecamente robusto di fronte ad eventi di questo tipo. Alla luce delle condizioni di sollecitazioni dei fili SMA nella realizzazione di attuatori si propongono quattro modalità di prova utili ad ottenere informazioni più vicine alle reali
condizioni di utilizzo. La prima modalità di prova è la classica prova in ''Isotensione', in cui al filo SMA è applicato un carico gravitazionale costante. La curva di lavoro del filo nel piano tensione'' 267 (a) (b) (c) (d) Figura 1. Ciclo tensione-deformazione applicato al filo nelle differenti modalità di prova proposte: a) Isotensione , b) Isodeformazione, c) Isotensione con deformazione limitata, d) ciclo di tensione con deformazione limitata
deformazione è una retta orizzontale (Fig. 1a). L''implementazione di questa modalità di
prova è molto semplice in quanto è sufficiente contrastare il filo con un grave di massa
opportuna. La prova risulta caratterizzata da un solo parametro: la tensione nel filo. La seconda modalità è la prova in ''Isodeformazione'. In questa modalità il filo effettua la trasformazione cristallina senza poter variare la sua forma. La curva di lavoro nel piano
tensione-deformazione è una retta verticale (Fig. 1b). Per realizzare questa prova è
sufficiente vincolare il filo ad ambo gli estremi imponendogli un allungamento tale da
realizzare il livello di deformazione voluta. Anche in questa prova si agisce su un solo
parametro: la deformazione del filo. La terza modalità di prova è la prova in ''Isotensione
con deformazione limitata': questa prova è ancora una prova in isotensione, ma 268 (a) (b) Figura 2. Macchina realizzata per l''esecuzione delle prove di fatica su fili SMA secondo le 4 modalità di prova proposte: a)lato destro, b)lato sinistro

caratterizzata dal fatto che la deformazione massima che il filo può raggiungere è limitata
ad un valore prefissato. In questo modo è possibile far lavorare il filo a tensioni molto
maggiori di quelle implementabili con la prova in isotensione classica, senza al contempo
raggiungere deformazioni che porterebbero il filo a danneggiarsi o a rompersi in pochi
cicli. La curva di lavoro nel piano tensione-deformazione è ancora una retta orizzontale, ma
limitata a destra al valore di deformazione massima (Fig. 1c). Questa tipologia di prova fa
sperimentare al filo un ciclo di lavoro più simile a quello che avrebbe nel caso di utilizzo in
un attuatore genericamente contrastato e dotato di finecorsa meccanici. La prova è
caratterizzata da due parametri: la tensione applicata e la deformazione massima. Per
implementare questa prova è sufficiente aggiungere all''apparato della prova in isotensione
un sistema che consenta di limitare lo spostamento massimo del grave. L''ultima modalità di
prova è invece la prova a ''Ciclo di tensione con deformazione limitata'. In questa prova il
filo sperimenta due differenti valori di tensione: durante la fase di recupero della forma il
filo deve vincere una tensione maggiore della tensione che lo deforma nella successiva fase
di deformazione. Inoltre la deformazione massima che il filo può raggiungere è ancora
limitata ad un valore prefissato. La curva di lavoro risultante è un rettangolo (Fig. 1d).
Questa tipologia di prova consente di implementare nei fili dei cicli di lavoro molto simili a
quelli che sperimentano negli attuatori, dove i carichi esterni (non conservativi) che
l''attuatore deve vincere contrastano sia la fase di recupero che la fase di deformazione. Una
possibile realizzazione di questa modalità di prova prevede di affiancare al grave,
nell''azione di contrasto del filo, un elemento dissipativo ad attrito. Questo elemento
genererà una forza in direzione opposta al moto del grave stesso che quindi si sommerà al Load Cell Wire Power Supply Position sensor SMA Wire Rolling linear guide Cooling fan Frame Chassis 269

peso nella fase di recupero di forma e si sottrarrà nella fase di deformazione. Variando in
modo oculato l''intensità della forza di attrito e la massa del grave è possibile generare
qualsiasi combinazioni dei due livelli di tensione. Analogamente alla prova in isotensione
con deformazione limitata deve essere presente un apparato che consenta di limitare lo
spostamento massimo del grave. Questa prova è caratterizzata da tre parametri: i due livelli
di tensione del ciclo e la deformazione massima. Apparato sperimentale Al fine di implementare le quattro modalità di prove precedentemente esposte è stata
progettata e realizzata una macchina per la caratterizzazione a fatica di fili a memoria di
forma. La macchina, visibile in Fig. 2a e 2b, è costituita da un telaio a traliccio in
alluminio. Alle colonne verticali del telaio è fissato un telaio in materiale plastico che
accoglie sulla parte superiore una cella di carico, alla quale è possibile fissare, mediante un
serraggio a vite, un estremo del filo SMA in prova. La cella di carico ha lo scopo di
misurare la forza esercitata dal filo. Il banco è predisposto per l''allestimento di due
differenti celle diversificate per portata: una cella per prove a basso carico (isotensione) di
portata 3kgf e una per prove ad alto carico (isodeformazione) di portata 25kgf. L''altro estremo del filo è collegato sempre mediante un serraggio a vite ad un perno (differenziato a seconda del tipo di prova), guidato verticalmente da una guida lineare a
ricircolo di sfere. Il perno presenta nell''estremità inferiore un disco ferromagnetico che si
affaccia sulla superficie di misura di un sensore di posizione induttivo, capace di misurare
gli spostamenti del perno stesso fino ad una distanza massima di 15mm. Il raffreddamento del filo a convenzione forzata è garantito da una ventola di raffreddamento, il cui numero di giri è regolabile mediante l''utilizzo di un alimentatore da
laboratorio. Nella configurazione attuale la macchina è predisposta per l''esecuzione delle
prove in isotensione, isodeformazione e isotensione con deformazione limitata. (a) (b) (c) Figura 3. Accessori per l''esecuzione delle prove in: a) Isotensione, b) Isodeformazione, c) Isotensione con deformazione limitata A 270 Nel caso di prove in isotensione si utilizza il sistema visibile in Fig. 3a, costituito da un perno liscio in alluminio recante all''estremità il disco in materiale ferromagnetico
indispensabile per il rilevamento della posizione dell''apparato mobile da parte del sensore
di posizione. Il disco stesso funge inoltre da supporto per il cestello portapesi. Per garantire
un''ottima risoluzione del carico desiderato, il cestello viene riempito con pesetti di piombo
di massa 0.3 grammi. La massa del perno e del cestello vuoto, corrispondente al minimo
carico applicabile, è di soli 15 grammi. Per l''esecuzione delle prove in isodeformazione invece è necessario smontare il perno liscio con cestello e montare il sistema di pretensionamento del filo illustrato in Fig. 3b. Il
sistema è costituito da un perno parzialmente filettato inserito con gioco nel foro centrale di
una piastrina orizzontale in acciaio, vincolata alla frame mediante due viti. Sul perno sono
inseriti due dadi esagonali ribassati, uno sopra e uno sotto la piastrina. Regolando la
posizione del dado inferiore è possibile regolare la deflessione imposta al filo, che viene
quindi congelata mediante serraggio del controdado superiore. Sfruttando la lettura della
posizione fornita dal sensore induttivo è possibile regolare con ottima precisione l''entità
della deflessione del filo e conseguentemente, nota la lunghezza del filo stesso, la
deformazione imposta. Il peso del perno e del disco ferromagnetico per le prove in
isotensione è di 18 grammi. Nel caso di prove in isotensione a deformazione limitata, la macchina viene accessoriata con il sistema della prova in isotensione classica. L''unica differenza risiede
nell''aggiungere un elemento distanziatore fra la testa di misura del sensore e il disco
ferromagnetico posto all''estremità del perno. Il distanziatore ''A' visibile in Fig. 3c è
costituito da un disco in materiale elastomerico ad alta durezza, ed è appoggiato sulla
superficie di misura del sensore induttivo. Essendo in materiale polimerico, il disco non
viene rilevato e non altera la misura del sensore. Il suo scopo è duplice: in primo luogo ha
la funzione di bloccare la discesa del cestello, limitando quindi la deformazione massima
del filo; in secondo luogo la sua interposizione fra sensore e disco consente di assicurare
sempre la distanza minima sensore-disco ferromagnetico indispensabile per ottenere una
risposta lineare del sensore stesso. Noto lo spessore del disco elastomerico è possibile
regolare l''entità della deformazione massima agendo sulla posizione del sensore e
sfruttando la lettura di posizione del sensore. Una scheda elettronica appositamente realizzata fornisce l''alimentazione del filo SMA. La scheda sfrutta un regolatore lineare di tensione (Linear LT3080) retroazionato sulla
corrente che circola sul filo. Il riferimento di corrente è fornito alla scheda mediante un
segnale in tensione proporzionale all''intensità di corrente desiderata. Tutti i sensori e
trasduttori con cui la macchina è equipaggiata (cella di carico, sensore di posizione, sensore
di corrente sul filo SMA, sensore temperatura aria di raffreddamento) sono acquisiti
mediante una scheda DAQ della National Instruments ® (USB 6251) e visualizzati e memorizzati su personal computer grazie ad un applicativo appositamente realizzato in
ambiente LabView®. L''applicativo, congiuntamente alla scheda DAQ, si occupa anche
alla generazione del segnale di tensione che comanda la corrente erogata dalla scheda
elettronica. In Fig. 4 è visibile l''interfaccia di comando LabView ® della macchina realizzata. Il programma ha bisogno dei dati essenziali del filo, come diametro e lunghezza
allo stato indeformato oltre al tipo e alla caratteristiche del ciclo di corrente che si vuole
imporre al filo. Tra i tipi di cicli è possibile scegliere fra forma d''onda sinusoidale,
triangolare, dente di sega, quadra. Relativamente ai parametri è possibile fissare il valor
medio dell''onda, l''ampiezza, la frequenza e nel caso di onda quadra il duty cycle. 271 Figura 4. Interfaccia del programma di controllo e gestione della macchina di prova

Riguardo alla memorizzazione dei dati sperimentali il programma esegue due politiche di salvataggio. In primo luogo memorizza su un file, ad ogni ciclo, i valori massimi e
minimi delle grandezze acquisite. Inoltre ad intervalli progressivi (ciclo 10, 20, 30, ', 100,
200, 300, ', 1000, 2000, ') salva per un ciclo completo del filo tutte le grandezze
acquisite ad una frequenza impostabile dall''operatore, solitamente fissata a 5kHz. In tempo
reale poi il programma permette di vedere i tracciati di forza, tensione meccanica,
spostamento, deformazione e corrente elettrica, oltre a visualizzare i valori di massimo e
minimo delle grandezze al ciclo precedente. L''applicativo si occupa anche dell''azzeramento dei sensori a inizio prova e dell''ausilio all''operatore nelle fasi di allestimento della prova (caricamento e posizionamento). Protocollo della prova isotensione Il protocollo messo a punto per la corretta esecuzione delle prove in isotensione prevede tre
fasi. Nella prima fase si stabiliscono, mediante prove preliminari, i parametri del ciclo di alimentazione elettrica del filo SMA e l''entità del raffreddamento forzato del filo.
L''obiettivo è quello massimizzare la frequenza di ciclo e conseguentemente ridurre il
tempo di prova, garantendo al contempo la correttezza della prova. In particolare è
necessario garantire che le trasformazioni martensite '' austenite e viceversa siano
complete, che siano evitati surriscaldamenti del filo e che la tensione meccanica a cui il filo
è soggetto sia costante durante l''intero ciclo. Sebbene infatti il filo sia caricato con un peso
costante, la tensione subisce inevitabili variazioni a causa sia dell''attrito della guida lineare
che delle forze di inerzia dovute alle accelerazioni e decelerazioni del cestello. Il protocollo
prevede che l''oscillazione di tensione reale non superi il 5% della tensione nominale 272 Tabella 1. Caratteristiche del filo Saes Smartflex ® (Dati forniti da SAES Getters) Prova isteresi @ 200MPa, 1°C/min Stroke 4.8% As 86°C Af 94°C Ms 65°C Mf 57°C Fatica @ 3.5% 170MPa 0.6A N° Cicli >100.000 Deriva 0.17%
applicata. Tutte le prove del presente studio sono state eseguite imponendo al filo un ciclo
di corrente elettrica di tipo sinusoidale con valore minimo nullo e conseguentemente valore
medio della sinusoide pari alla metà della corrente massima. La seconda fase prevede l''allestimento e la preparazione della macchina per la specifica prova. Innanzi tutto, uno degli estremi del filo SMA in prova viene fissato ad uno
dei due afferraggi. Successivamente si riscalda il filo per effetto Joule fino alla completa
trasformazione del materiale allo stato austenitico, in modo da essere certi che il filo sia alla
lunghezza memorizzata. Quindi, dopo aver serrato anche l''altro estremo, si riscalda
nuovamente il filo in stato austenitico e in questa configurazione si esegue l''azzeramento
del sensore di posizione e del sensore di forza. Al termine dell''azzeramento, il software
LabView aggiunge in automatico al segnale di forza della cella di carico il peso noto del
perno-cestello. Il programma inizia quindi la visualizzazione in tempo reale della grandezze
acquisite, assecondando l''operatore nell''azione di caricamento del cestello con i pesetti di
piombo fino al raggiungimento del livello di tensione meccanica  stabilito. Terminato il caricamento del cestello l''operatore può avviare la terza ed ultima fase del protocollo ossia
la prova in isotensione. A questo punto la macchina è completamente indipendente e fa
ciclare il filo SMA fino al raggiungimento della rottura del filo, evento rilevato in
automatico dalla macchina mediante un controllo sulla corrente realmente circolante e
comunicato all''operatore mediante un messaggio di posta elettronica. In alternativa, la
prova può terminare a seguito di un intervento manuale dell''operatore, che può in qualsiasi
momento interrompere l''esperimento. Materiale SMA utilizzato L''obiettivo primario della presente attività di ricerca è quello di investigare la resistenza a
fatica delle leghe SMA idonee allo sviluppo di attuatori. In particolare l''attenzione è rivolta
alle leghe già disponibili sul mercato e quindi direttamente utilizzabili dalle imprese per lo
sviluppo di applicazioni concrete. La quasi totalità della letteratura sulla fatica delle leghe
SMA è invece basata su prove relative a leghe sperimentali, o per composizione o per
trattamenti termomeccanici di allenamento. Con l''intento di valutare differenti fili di diversi produttori il protagonista di questa campagna di prove è un filo della SAES Getters®, indicato dalla stessa azienda come
idoneo allo sviluppo di attuatori. Il filo, di diametro 0.150mm, ha denominazione
commerciale Smartflex® 150, NiTi/54/W/0.150/T150-01. 273 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0  (MPa )(%) Austenite Martensite 0 50 100 150 200 250 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0  (M Pa )(%) Martensite (a) (b) Figura 5. Diagramma sperimentale di trazione del filo Smartflex ® di Saes Getters da 0.150mm utilizzato nelle prove: a) fase austenitica (riscaldamento a 0.5A) e martensitica b) Ingrandimento del comportamento in stato martensitico

Le caratteristiche fisico-meccaniche fornite dal produttore sono riassunte in Tab 1. In Fig. 5a si riporta il diagramma tensione '' deformazione del materiale. La curva superiore
(pallini vuoti) è riferita allo stato austenitico (T > Af ), ottenuto mediante riscaldamento per
effetto Joule in convezione naturale con una corrente di alimentazione di 500mA. La curva
inferiore (pallini pieni) è invece relativa allo stato martensitico (T < Mf) ed è visibile anche
in scala ingrandita in Fig. 5b. Le prove sono state condotte con un dinamometro
elettromeccanico Galdabini SUN 500 ad una velocità di deformazione di 1.67'10 -4 s-1. Pianificazione prove sperimentali isotensione Obiettivo primario delle prove in isotensione è quello di ricavare la curva di Wohler ''N del materiale. La procedura di prova adottata è aderente allo standard giapponese ''Standard
Method of Statistical Fatigue Testing, JSME 002-1981' [13]. Questo metodo permette di
definire i livelli di tensione e fornisce i metodi per l''elaborazione statistica dei risultati delle
prove di fatica. Il metodo identifica la curva di Wohler del materiale mediante 14 prove, 8
utilizzate per la determinazione della parte inclinata e 6 per la parte orizzontale della curva
(limite di fatica). I dati ottenuti dalle prove relative alla parte inclinata della curva sono
utilizzati per ottenere il corretto passo delle successive prove per la valutazione della parte
orizzontale della curva, basate su un metodo ''staircase' ridotto. Il metodo JSME
suggerisce di eseguire alcune prove preliminari di fatica utili per definire i livelli di
tensione da applicare. In particolare richiede di conoscere la tensione meccanica che porta
alla durata di 5x10 4 e 1x107. A seguito di alcune prove preliminari sul filo SMA in esame, queste durate sono risultate troppo elevate per il materiale. Per questo motivo si è deciso di
utilizzare il metodo ponendo come durata inferiore e come durata limite di fatica i valori
5x10 3 e 5x105, per i quali i livelli di tensione sono risultati 175MPa e 100MPa rispettivamente. 274 Tabella 2. Livelli di tensione applicata al filo stabiliti secondo il metodo JSME Livello Tensione (MPa) S0+3 225
S0+2 200
S0+1 175 S0 150 S0-1 125
S0-2 100
S0-3 75 Noti questi valori il metodo fornisce una serie di livelli di prova riportati in Tab. 2. Le prove cominciano dal livello S0 e proseguono scendendo di livello fino a quando si arriva
ad una non rottura. Successivamente si risale di livello fino a completare il piano di prove
in modo da ottenere 2 ripetizioni per ciascuno dei 4 livelli superiori a quello in cui si è
registrata la rottura. Come detto si è deciso di considerare come non rottura una prova che
superasse i 5x10 5 cicli. Terminate le prove relative al tratto inclinato, il metodo utilizza la deviazione standard del tratto inclinato come passo della successiva procedura di staircase per l''individuazione
del limite di fatica del materiale. Il metodo è strutturato in modo tale che il livello di
confidenza dei due tratti della curva di Wohler, tratto inclinato e tratto orizzontale, sia il
50%. Dai risultati ottenuti nelle prove di fatica relative al tratto inclinato è risultato un
passo di staircase di 11MPa. In Tab. 3 sono riassunte in ordine cronologico, tutte le 14
prove effettuate per la determinazione della curva di Wohler secondo il metodo JSME,
completo dell''impostazioni utilizzate per l''alimentazione del filo SMA.

Tabella 3. Successione delle 14 prove in isotensione con indicazione dei parametri di alimentazione del filo Prova Livello Tensione (MPa) Frequenza (Hz) Imax (A) 1 S0 150 0.35 1 2 S0-1 125 0.4 0.96 3 S0-2 100 0.42 0.85 4 S0+1 175 0.33 1.04 5 S0+2 200 0.31 1.06 6 S0 -1 125 0.4 0.96 7 S0 150 0.35 1 8 S0+1 175 0.33 1.04 9 S0+2 200 0.31 1.06 10 S0-2+'S 111 0.41 0.92 11 S0-2 100 0.42 0.85 12 S0-2+'S 111 0.41 0.92 13 S0 100 0.42 0.85 14 S0-2-'S 89 0.42 0.83
275 Elaborazione risultati sperimentali isotensione Come detto, il metodo JSME fornisce la procedura per l''elaborazione statistica dei risultati
ottenuti dalle prove di fatica. La procedura proposta consente anche di calcolare le due rette
della curva di Wohler in scala semilogaritmica con circa lo stesso livello di confidenza, pari
al 50% di sopravvivenza. Per il tratto inclinato della curva, note le coppie tensione applicata '' numero di cicli il metodo consente di ricavare i parametri della retta interpolante: ' ' 1 1 ' ' log N    ' ' (1)
dove N è il numero di cicli e  è la tensione applicata al filo SMA. Inoltre è possibile ricavare anche la stima della deviazione standard della vita a fatica logaritmica, dev(log N),
e della tensione, dev( ). Per il tratto orizzontale della curva di Wohler il metodo fornisce il livello di tensione limite di fatica a 5x10 5 cicli come la media dei livelli di tensione delle prove staircase. La confidenza del dato che si ricava è al 50%. 3. RISULTATI In Tab. 4 sono riassunti i risultati sintetici delle prove di fatica in isotensione, per ognuno
dei 14 livelli di carico sperimentati. La tabella, oltre a riportare il numero di cicli compiuti
dal filo a rottura o al momento della sospensione della prova, riporta anche le principali
grandezze meccaniche (variazione tensione meccanica, deformazione austenitica e
martensitica, recupero) relative al ciclo 5 e al ciclo precedente il termine della prova. In Fig. 6 si riporta la curva di Wohler ricavata secondo il metodo JSME (paragrafo Pianificazione prove sperimentali isotensione) sovrapposta ai punti sperimentali. Sul
diagramma sono inoltre indicate le equazioni matematiche  '' N dei due tratti.
Tabella 4. Risultati sintetici ottenuti dalle prove in isotensione Ciclo 5 Ciclo (rottura/fine prova '' 1) Prova  (MPa) Nf ' (%)  min (%)  max (%) SME (%) ' (%)  min (%)  max (%) SME (%) 1 150 9,688 3.8 0.50 4.93 4.43 4.4 1.01 5.39 4.38 2 125 25,901 4.4 0.47 4.64 4.17 4.5 0.72 4.84 4.12 3 100 606,214* 2.7 0.50 4.51 4.01 3.2 0.95 4.61 3.65 4 175 5,783 3.6 0.60 5.15 4.55 4.4 1.48 5.96 4.49 5 200 4,940 4.5 0.79 5.47 4.68 4.0 2.34 6.92 4.58 6 125 22,449 4.3 0.71 4.94 4.23 4.0 0.97 5.15 4.18 7 150 7,731 3.7 0.56 5.03 4.47 4.5 1.01 5.39 4.39 8 175 5,354 5.7 0.81 5.33 4.52 4.3 1.70 6.17 4.47 9 200 3,509 5.4 0.68 5.29 4.61 3.8 2.59 7.06 4.47 10 111 51,802 3.8 0.41 4.47 4.06 4.0 0.63 4.61 3.98 11 100 507,873* 4.6 0.60 4.54 3.94 3.0 1.02 4.64 3.62 12 111 32,923 4.1 0.36 4.49 4.13 4.3 0.53 4.50 3.97 13 100 389,614 3.2 0.47 4.40 3.93 3.4 0.84 4.45 3.61 14 89 507,176* 5.7 0.43 4.41 3.98 2.5 0.74 4.39 3.65 *Prova terminata senza rottura del filo 276 0 50 100 150 200 250 1.0E+03 1.0E+04 1.0E+05 1.0E+06 St re s s , (MP a ) Cycles, N Failure Survived log(N)=5.53 - 9.919x10-3 ·   w=101.8 MPa Figura 6. Curva di Wohler ricavata secondo il metodo JSME, completa delle equazioni individuate per i due tratti inclinato e orizzontale
La relazione tra tensione applicata al filo e deformazione (austenitica, martensitica, recupero) è visibile in Fig. 7a e 7b, relative rispettivamente al ciclo 5 e al ciclo precedente
il termine della prova. Per alcuni livelli di tensione (100MPa, 125MPa, 150MPa, 200MPa) si riporta in Fig. 8 la variazione delle deformazioni in funzione del numeri di cicli effettuati dal filo. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 50 100 150 200 250 ' (% ) '(MPa) eA eM SME 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 50 100 150 200 250  (% ) '(MPa) eA eM SME (a) (b) Figura 7. Deformazione in stato austenitico, martensitico e recupero in funzione della tensione di prova: a) al ciclo 5, b) al penultimo ciclo di prova  A
 M
SME  A
 M
SME Ciclo (rottura/fine prova ''1) Ciclo 5 277 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 125000 250000 375000 500000  (% ) ' eA eM SME 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 5000 10000 15000 20000 25000  (% ) ' eA eM SME (a) (b) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 2500 5000 7500 10000  (% ) ' eA eM SME 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1250 2500 3750 5000  (% ) ' eA eM SME (c) (d) Figura 8. Evoluzione della deformazione in stato austenitico, martensitico e del recupero di deformazione per differenti valori di tensione applicata: a) 100MPa, b) 125MPa, c) 150MPa, d) 200MPa

Infine, in Fig. 9 è graficata la deriva di lunghezza del filo, intesa come la differenza fra la deformazione martensitica al ciclo N e la stessa deformazione registrata al ciclo 5.
Questa grandezza, seppur non sia propriamente la deformazione plastica accumulata dal
filo, ne è un surrogato ben rappresentativo. 4. DISCUSSIONE Le prove in isotensione sono state condotte seguendo il metodo proposto dalla normativa
giapponese [13], utilizzando la macchina di prova sviluppata. Per tutti i 14 livelli suggeriti
dalla normativa si sono condotte prove preliminari atte all''individuazione dei parametri
ottimali di alimentazione del filo, che garantissero la rapidità di esecuzione,  M  A  M  A  M  A  M  A S=100MPa S=125MPa S=150MPa S=200MPa 278 -0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0 125000 250000 375000 500000 D ri ft (% ) ' 89MPa 100MPa 111MPa -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 0 5000 10000 15000 20000 25000 Dr if t (%) ' 125MPa 150MPa 175MPa 200MPa (a) (b) Figura 9. Evoluzione dell''allungamento del filo (Drift) durante le prove: a) bassi carichi, b) alti carichi
la completezza delle trasformazioni cristalline, impedissero il sovrariscaldamento del filo e
garantissero la condizione di isotensione (Tab. 3). Da una verifica a fine prova dei dati
acquisiti tutti questi obiettivi sono stati raggiunti, a garanzia dell''attendibilità dei risultati.
In particolare, è stato raggiunto per tutti i cicli di tutte le prove l''obiettivo di limitare la
variazione di tensione meccanica ' nel ciclo a circa il 5% della tensione nominale (Tab 4). Tutte le prove hanno fatto registrare rotture del filo nella zona centrale del filo o comunque ad una distanza mai inferiore ai 10mm dagli afferraggi. Come si può osservare in Tab. 4 il valore più alto di tensione al quale non si è registrato la rottura del filo è stato 100MPa. A questo livello si è registrata anche una
rottura del filo a circa 389.000 e una non rottura fino a 606.000. Da un analisi della curva di Wohler e dei punti sperimentali (Fig. 6) si può osservare come la curva presenta un tratto inclinato molto pendente, a testimonianza che aumentando
la tensione applicata la durata del filo decresce velocemente. Si nota inoltre dallo
scostamento dalla retta inclinata dei punti a 125MPa che l''interpolazione lineare non è
ottimale. L''equazione della retta interpolante mostra una pendenza /ln(N) di circa 101 MPa (con deviazione standard 11MPa), prossima alla pendenza di 117 MPa individuata da
Araujo et al. [9] per una lega Ti.45.0Ni-5Cu(%at). Il limite di fatica individuato vale circa
101.8MPa. Tale valore è riferito ad una criterio di superamento prova di 500.000 cicli e ha
una confidenza del 50%. Osservando i punti sperimentali del grafico di Fig. 6 si nota bene
come l''ipotesi che il materiale presenti un limite di fatica è più che probabile. Per avallare
questa tesi si pensa in futuro di riattivare le prove in cui il filo non ha subito rotture. Se si
esaminano le durate ottenute con quelle dichiarate dal produttore del filo (Tab. 1) emerge
una discrepanza considerevole. I dati disponibili, relativi ad una tensione applicata 170MPa
(Tab. 1), forniscono una durata maggiore di 100.000 cicli e una deriva di 0.17%, contro i
circa 10.000 cicli (Tab. 4) e lo 0.45% di deriva (Fig. 9b) ottenuti nella prova a 150MPa.
Escludendo che vi possano essere differenze di prestazioni così marcate fra lotti di
produzione differenti l''unica spiegazione può risiedere nella differente modalità di prova. I 279 dati forniti da SAES Getters ® si riferiscono ad una modalità di prova che non prevede la trasformazione completa del filo, bensì una trasformazione martensite '' austenite parziale,
fino ad arrivare ad corsa attuata del 3.5%. Le prove da noi effettuate sono invece relative ad
una trasformazione completa, che nel caso del livello 150MPa porta ad una corsa di circa il
4.4%. Per fili in condizioni di isotensione, il beneficio della trasformazione parziale sulla
durata del filo è già stato studiato e confermato da altri autori [4],[6]. Va sottolineato però
che in questi lavori la trasformazione parziale è ottenuta facendo lavorare il materiale
sempre all''interno della zona di isteresi, senza arrivare mai ad una completa trasformazione
di fase. Sarebbe molto interessante studiare l''influenza, oltre che del grado di
trasformazione, anche della posizione della trasformazione all''interno della zona di isteresi. In Fig 7a sono visibili le deformazioni in stato austenitico, martensitico e la deformazione recuperata al ciclo 5. Si osserva come tutti i punti relativi alla deformazioni
in stato austenitico  A siano interpolabili ottimamente con una retta, circostanza spiegabile per il fatto che il materiale in questo stato ha un comportamento pressoché perfettamente
elastico (Fig. 5a). Anche i punti relativi alla deformazioni in stato martensitico  M sono ben interpolabili con una retta, conseguenza del fatto che nell''intervallo fra 100 e 200 MPa il
materiale ha un comportamento abbastanza lineare (Fig. 5b). Ne consegue che anche la
deformazione recuperata SME aumenti in modo lineare con la tensione applicata anche se
risulta evidente che tra 175Mpa e 200Mpa l''incremento del recupero sia molto esiguo.
Questo potrebbe essere spiegabile con il fenomeno riscontrato da Bigeon et all. in [8], ossia
che il valore massimo dell''effetto memoria di forma per una lega NiTi si raggiunge per una
tensione di circa 200Mpa. Con l''accumularsi dei cicli, il comportamento della lega cambia notevolmente. Facendo riferimento a Fig. 7b, relativa al penultimo ciclo di prova, si osserva un calo
sensibile della deformazione recuperata SME per le prove a basso carico (fino al livello
110MPa), mentre per quelle ad alto carico (da 125MPa) la diminuzione della prestazione è
più contenuta. Per contro, ad alti carichi il filo subisce allungamenti e quindi deformazioni
decisamente importanti (Fig. 9b) dovuti all''accumulo di deformazioni plastiche permanenti.
Per i punti a basso carico invece l''aumento della deformazione in stato martensitico è
modesta e conseguentemente l''accumulo di deformazione permanenti è limitato (Fig. 9a).
Ciò significa che la diminuzione della deformazione recuperabile prima osservata è
imputabile ad una perdita di efficienza dell''effetto memoria di forma. Da un punto di vista
puramente funzionale, è come se il modulo elastico austenitico diminuisse con il passare
dei cicli. Questa osservazione è corroborata anche dal tracciato di Fig. 8a, relativo
all''andamento delle tensioni in funzione del numero di cicli effettuati per un carico
applicato di 100MPa: la deformazione martensitica è infatti pressoché costante, mentre la
deformazione austenitica cresce linearmente, facendo calare con il medesimo andamento la
deformazione recuperata. A carichi più alti (Fig. 8b,c,d), l''andamento in funzione dei cicli
effettuati della deformazione martensitica ed austenitica è molto più simile e la
deformazione recuperata è pressoché costante. La deriva del filo, intesa come la differenza fra la deformazione martensitica al ciclo N e la stessa deformazione registrata al ciclo 5, al variare del numero di cicli accumulati
presenta un andamento abbastanza singolare, almeno a carichi medio-bassi. Si nota infatti
(Fig. 9a) come ad inizio prova la deriva sia negativa, ossia la deformazione massima
martensitica cala rispetto al ciclo 5 man mano che il filo accumula cicli. Questo potrebbe
essere spiegabile come un assestamento del filo dopo i trattamenti termo meccanici subiti 280 nelle fasi training. Nel caso di alti carichi invece (Fig. 9b), questo fenomeno non si
evidenzia. 5. CONCLUSIONI Il lavoro illustra una nuova metodologia di prove per la caratterizzazione a fatica di fili a memoria di forma, con l''obiettivo di ricavare dati più aderenti alle reali condizioni di
funzionamento dei fili negli attuatori. Il metodo prevede di effettuare prove di fatica secondo quattro differenti modalità di prova: isotensione, isodeformazione, isotensione con deformazione limitata, ciclo di
tensione con deformazione limitata. Una campagna sperimentale in linea con il metodo, compiuta su un filo commerciale, è attualmente in corso. I risultati fino ad ora ottenuti, ricavati con la macchina di prova
appositamente realizzata, sono relativi alla condizione di isotensione. Dall''analisi statistica dei risultati, eseguita secondo il metodo giapponese JSME, emerge come la curva di Wohler del materiale abbia un tratto inclinato a pendenza elevata.
Dalle analisi condotte considerando un obiettivo di fine prova di 500.000 cicli, il materiale
sembra presentare un limite di fatica di circa 100MPa. Rispetto ai dati forniti dal produttore del filo, i risultati ottenuti sono in generale meno ottimistici. La discrepanza è quasi sicuramente imputabile al fatto che le prove qui
effettuate sono relative ad una trasformazione cristallina completa, mentre nel caso del
produttore le prove sono state eseguite con una trasformazione martensite-austenite
parziale. Attualmente sono in corso di svolgimento le prove in isodeformazione. BIBLIOGRAFIA [1] Spinella I, Dragoni E., 2009. ''Design equations for binary shape memory actuators under dissipative forces', Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of
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pp 59''69. 282 EFFECT OF BONDLINE THICKNESS ON THE STATIC
STRENGTH OF STRUCTURAL ADHESIVES UNDER
NEARLY-HOMOGENEOUS SHEAR STRESSES


Davide Castagnetti
Department of Engineering Sciences and Methods,
University of Modena and Reggio Emilia, Italy
E-mail: davide.castagnetti@unimore.it

Andrea Spaggiari
Department of Engineering Sciences and Methods,
University of Modena and Reggio Emilia, Italy
E-mail:andrea.spaggiari@unimore.it

Eugenio Dragoni
Department of Engineering Sciences and Methods,
University of Modena and Reggio Emilia, Italy
E-mail: eugenio.dragoni@unimore.it



Abstract. A usual experimental observation retrieved in the technical literature is that the
strength of an adhesive joint decreases by increasing the adhesive layer thickness. This
well known behaviour is still not completely understood. All the surveys found in literature
consider a complex stress state in the adhesive with mode mixing, stress concentrations on
the midplane and stress singularities at the interface occurring at the same time. This
paper aims at estimating the effect of the adhesive thickness on its intrinsic static shear
strength and evaluate if this strength can explain the behaviour of a real bonded joint. A
nearly-uniform shear stress distribution is obtained through an ad-hoc tubular butt joint
subject to pure torsion. A standard single lap joint is considered as benchmark, due to its
complex and singular stress field into the adhesive. The experimental campaign is focused
on two adhesives: a modified methacrylate and high strength epoxy. Four levels and three
levels of the adhesive thickness were considered in the tubular butt joint and in the single
lap joint respectively, all in the range between 0.05 and 0.4 mm. The effect of the adhesive
thickness on the static strength of the adhesive is investigated by considering the type of
failure and by comparing the structural stresses in the tubular butt joint with the ones on
the midplane of the adhesive layer in the single lap joint. Moreover, the stress intensity
factor in the single lap joint is calculated.

Keywords: structural adhesive, bondline thickness, static strength, shear stresses



283 1. INTRODUCTION This paper deals with the analysis of stresses in quasi-static loaded bonded joints. In
particular, the aim of the work is to assess the effect of the adhesive thickness on the static
shear strength of the adhesive under a nearly-uniform stress distribution. In addition, the
work investigates if this intrinsic shear strength can explain the decrease in the strength
experimentally observed in a real bonded joint when the adhesive thickness increases. The
technical literature reports contrasting theories about the relation between the theoretical
adhesive stress distribution and the experimental strength. Dolev et al [1], on the basis of
experimental tests on Napkin Ring specimens, show a modest effect of the adhesive layer
thickness on the static shear strength. Crocombe [2] proves that, in single lap joints (SLJs),
the strength decreases as the adhesive thickness increases, in particular when plasticity of
the adhesive is considered. On the contrary, elastic analyses testify that a more uniform
stress distribution is obtained along the bondline with increasing adhesive thickness [2].
Still, for SLJs, computational analyses provide higher interface stresses as the adhesive
thickness increases, as found by Gleich et al [3]. Thus, a failure criterion relying on
interface stresses is suggested in case of high adhesive thickness. The experimental tests on
SLJs reported by Da Silva et al [4] testify increasing shear strength as the adhesive
thickness decreases. Goglio et al. [5-7] show that the interface stresses increase as the
adhesive layer thickness increases, so that the strength decreases. In a former theory,
Adams and Peppiant [8] ascribe the smaller strength of the thicker adhesive to the higher
probability of defects such as voids or micro-fractures inside the bondline. Adnan and Sun
[9], dealing with joints subject to normal or shear stresses, impute to a better chemical and
molecular behaviour the significant increase of the failure strength as the adhesive
thickness decreases. Hence, from the examined literature, it is possible to perceive both an elasto- mechanical and a chemical explanation of the decreasing strength as the adhesive thickness
increases. The first links a thicker adhesive layer with higher interface stresses and
therefore to a lower strength of the joint [2-7]. The second correlates a thinner adhesive
layer to a better polymerization of the adhesive itself and therefore to stronger molecular
bonds [4, 9]. A common limitation of the cited literature is to consider a complex stress state in the adhesive with mode mixing, stress concentrations on the midplane and stress singularities
at the interface occurring at the same time. This work aims to overcome these drawbacks
by measuring the adhesive shear strength as a function of the thickness, under a nearly-
regular stress distribution. The nearly-uniform and singularity free shear stress distribution
is obtained exploiting ad-hoc tubular butt joint (TBJ) geometry subject to torsional loading
[10-11]. A systematic experimental campaign compares the static strength in the TBJ with
the one in a SLJ assumed as benchmark configuration. Two structural adhesives (Loctite
Multibond 330 [12] and Loctite Hysol 9514 [13]) are examined by considering four levels
of the adhesive thickness in the TBJs and three levels, ranging in the same interval, in the
SLJs. The TBJ is loaded in pure torsion while the SLJ is loaded under axial load, until
failure occurs. Multibond 330 adhesive exhibited a typical cohesive failure in both the
joints. By contrast, Hysol 9514 failed close to the interface. The torsional tests on the TBJ show a significant effect of the adhesive thickness on the static strength of Multibond 330, while the Hysol 9514 adhesive exhibits a nearly constant
static strength. With regard to the SLJ, both the structural stresses on the mid-plane of the
adhesive and the stress intensity factor (SIF) linked to the stress concentrations on the 284 adherend-adhesive interface were examined. The results show that in the case of Multibond
330 the intrinsic shear strength in the TBJ can explain the decreasing strength in the SLJ as
the adhesive thickness increases. By contrast, in the case of Hysol 9514 only the mean
shear stress in the SLJ shows a good agreement with the one in the TBJ, while the
structural stresses exhibit a noticeable discrepancy. The SIF in the SLJ has an opposite
trend with respect to the experimental strength, thus it does not support the observation of a
decreasing strength as the adhesive thickness increases. 2. MATERIALS AND METHODS The work is organized in two steps. The first step describes the design of an ad-hoc joint
specimen. The second step deals with the design, execution and analysis of the
experimental tests. Joint Design The design of the tubular joint pursues two different aims. First, the TBJ originates a nearly
uniform and singularity-free shear stress field in the adhesive, in order to clearly assess the
effect of the adhesive thickness on its static strength. Second, the TBJ ensures the
execution of different levels of the adhesive thickness, with both accuracy and simplicity.
This second aim deals with the need of a simple to manufacture and inexpensive specimen,
which allows the adhesive thickness to be easily set up. Figure 1a displays a three-dimensional exploded view of the proposed joint, which is made up by two tubular adherends (A and B) having a different wall thickness. A Teflon
(PTFE) insert (T) is used to connect the adherends. The thickness of the bonded region
(Fig. 1b) is controlled by the length of the top of the insert (T) (Fig. 1b). Moreover, the
Teflon insert ensures that the adherends are respectively co-axial and prevents the adhesive
to flow into the joint. The insert (T) is made of Teflon due to its remarkable anti-adherent
properties, in order to guarantee that adhesion occur only at the upper and lower adherend-
adhesive interface. To assess the anti-adherent properties of Teflon with the adhesives here
used, preliminary experimental tests were performed on TBJs completely made of Teflon.
The results, not reported here for the sake of brevity, have confirmed this hypothesis.
Therefore, any type of perturbation of the stress distribution in the adhesive layer is
prevented. The transversal holes in the adherends are needed to fix the joint to the testing
machine. A peculiarity of the proposed joint is the good accuracy of the adhesive layer
thickness, achieved by minimizing the chain of tolerances involved in its manufacture (Fig.
1b). The desired adhesive thickness is obtained simply by combining two dimensions: the
height of the top of the insert (T), and the depth of the hole in adherend A which is constant
for all the joints. In particular, the dimension X in the Teflon insert (Fig. 1b) is the nominal
value of the adhesive thickness. The uniformity of the stress distribution in the adhesive layer for a completely symmetric TBJ configuration has been proved by different authors [10-11]. Since the
proposed configuration has a different wall thickness between the adherends and the torque
load is applied through the holes for the fixture, uniformity of the stress state is not assured.
Therefore a FE analysis was performed which reproduced in details the three-dimensional
geometry of the TBJ (Fig. 1a) with a thickness of the adhesive layer equal to 0.2 mm. Two
layers of linear, hexahedral, solid elements with a cubic shape described the adhesive layer.
The same element type was adopted for the adherends. 285 (a) (b) Figure 1. Exploded view (a) and technical drawing (b) of the proposed TBJ.

In particular, the same dimension of the elements as in the adhesive was chosen near the adhesive interface. Moving far from the adhesive, the element dimension was gradually
increased and tetrahedral elements were adopted. A mild steel was assumed for the
adherends having a Young''s modulus of 210000 MPa and a Poisson''s ratio of 0.3. A
Young''s modulus of 1700 MPa, and a Poisson ratio of 0.4 were assumed for the adhesive.
These represent the typical elastic properties of structural adhesive. Both the constraints and the torque load were applied to the transverse holes in the adherends, in order to resemble the actual test conditions. On the one hand, the constraints
prevented rigid rotations of the joint by fixing two opposite surfaces of the holes on the
bottom adherends. On the other hand, the torque load was obtained by applying an
equivalent pressure to opposite surfaces of the transverse hole in the top adherend. The
analysis was performed in the elastic field. The model, implemented in the ABAQUS 6.8
software [14], was run on a machine equipped with a dual-processor (Xeon 3.2GHz) and
4GB of RAM. Experimental Campaign A systematic experimental campaign was performed which examined two structural
adhesives in two different joints (Tab. 1). The two adhesives considered in this work were
all supplied by Henkel (formerly Loctite). 286 Table 1 Factors and factor levels of the systematic experimental campaign. Adhesive layer thickness (mm) Adhesive Multibond 330 Hysol 9514 Joint TBJ 0.05 , 0.1 , 0.2 , 0.4 SLJ 0.05 , 0.15 , 0.4
They are chemically different, the first is the Multibond 330 [12], a two-part modified methacrylate ester and the second is the Hysol 9514, a heat-curing, single-component
epoxy [13]. The TBJ proposed in Section 2.1, and a SLJ conform to ASTM D1002-01 were
adopted. The SLJ was chosen as benchmark due to its highly irregular stress field in the
adhesive where both stress concentrations (on the mid-plane) and stress singularities (on
the adherend-adhesive interface) arise. On the one hand, in the TBJ, four different values of the adhesive thickness were examined, corresponding to the X dimension in Fig. 1b: 0.05, 0.1, 0.2, and 0.4 mm. The
thickness of 0.05 is the result of the adherends roughness, while the other thickness values
were enforced by the X dimension of the Teflon insert. On the other hand, in the SLJ, only
three thickness values (0.05, 0.15 and 0.4 mm) were considered. With exception of the 0.05
mm thickness, the remaining values were enforced introducing three short calibrated wires
in the center of the overlap region. These values were chosen in the typical range of
application for structural adhesives. The adherends of the TBJ were made of quenched steel
39NiCrMo3 (EN 10083-3 [15]), while the thin sheet adherends for single-lap joints were
made of standard low carbon, cold-rolled steel complying with ASTM A-109 [16]. For
each of the joint configurations, five replicates were performed giving a total of 50 tests on
TBJs and 30 tests on SLJs. All the tubular adherends and Teflon inserts, needed for the experimental campaign, were manufactured by turning. The depth of the cavity in the adherends and the calibrated
height of the Teflon inserts (X in Fig. 1b) were measured with an altimeter (Mitutoyo 570-
302, resolution 0.01 mm). Then the optimal precision of the thickness of the adhesive layer
was obtained by combining the parts in order to minimize the error on this chain of
tolerances. The joints execution was organized as follows. The surface preparation of the
adherends was performed manually with sandpaper (P100) following a crossed path, in
order to increase the adhesion properties of the bonding surfaces. The surface roughness
was measured with an electronic rugosimeter Hommelwerke T-500 on a representative
sample of 2 adherends for each adhesive thickness for each type of joint. In order to
remove all the micro particles produced by the surface preparation and also to degrease the
surfaces before the application of the adhesive, the adherends were finally cleaned with
Loctite 7063. The assembly of the joint was performed carefully in order to avoid air
inclusions in the adhesive layer. The excess of adhesive, squeezed out on the external side,
was removed in order to obtain a straight and smooth lateral surface, with no fillets. The
joints bonded with Multibond 330 adhesive were cured for 5 days at room temperature,
while the joints bonded with Hysol 9514 were cured for 90 minutes in the oven at 175°C.
Both the batches of TBJs and also the SLJs were executed in a randomized order. 287 (a) (b) Figure 2. Set up of TBJs (a) and of SLJs (b) on the electro-hydraulic testing machine.

Quasi-static failure tests were performed by applying a torque load (0.1°/sec) to the TBJs and an axial load (1 mm/min) to the single-lap joints. The torque-angle curve and the
traction-force curve up to failure were registered respectively. Figure 2a and b show the
setup of the TBJ and of the SLJ respectively, on the electro-hydraulic testing machine
(MTS MiniBionix 858) controlled by a PC equipped with proprietary data acquisition
software. 3. RESULTS Joint Design The diagram in Fig. 3 shows, for the examined configuration of the joint (Section 2.1), a comparison between the computational (symbols) and analytical (solid line) shear stress
in the adhesive layer as a function of the radius of the tubular adherend. The analytical
stresses are calculated with the following formula: ' ' p t J r M r '' '  (1) where Mt represents the torque on the joint, r is the generic radius and Jp is the polar inertia
moment of the annular section. 288 Figure 3. Analytical versus computational shear stress distribution along the radius of the annular section of the adhesive layer, in the TBJ.
The diagram provides the computational shear stresses both on the adherend-adhesive interfaces (crosses and empty circles on the top and bottom interface respectively) and on
the mid-plane of the adhesive layer (empty triangles). These values correspond to an
applied torque load equal to 200 Nm. Experimental Campaign Table 2 presents a summary of the adherends roughness in terms of the average roughness, Ra, of the average of the maximum roughness, Rz, and of the maximum
roughness, Rmax, accordingly to UNI ISO 4287. The standard deviation is provided for each
value. Table 3 displays the adhesive layer thickness and the corresponding standard
deviation and relative error, between the actual and nominal value, for each joint. The
values were measured as described in Section 2.2.
Table 2 - Surface roughness of the bonding surfaces of the adherends after grit blasting. Ra (μm) Rz (μm) Rmax (μm) Average roughness 0.72 4.41 5.89 Standard deviation 0.25 1.38 1.78
Table 3 - Measured adhesive layer thickness in the TBJs. Nominal adhesive thickness 0.05 0.1 0.2 0.4 Average measured thickness (mm) - 0.111 0.206 0.406 Standard deviation (mm) - 0.00212 0.00152 0.00187 Relative error (%) - +11.0 +3.0 +1.5 289 Figure 4 shows a detail of the surface of the joints at failure. Figure 4a shows two joints bonded with Multibond 330 adhesive, having a thickness of the adhesive layer equal
to 0.05 mm (on the bottom) and 0.4 mm (on the top) respectively. By keeping the same
layout and adhesive layer thicknesses, Fig. 4b shows two joints bonded with Hysol 9514. Figure 5 presents the diagrams of the experimental torque-angle curves for the TBJs bonded with Multibond 330, for all the four levels of the adhesive thickness. Five curves
are presented for each diagram, corresponding to the replicates performed for each joint
configuration. Similarly, Fig. 6 presents the same diagrams (starting from a preload torque
of 20Nm) for the TBJs bonded with Hysol 9514. Table 4 collects the peak torques retrieved from the experimental curves in the diagrams in Fig. 5 and 6 for all the TBJs tested in the experimental campaign. The points in
Fig. 7 show the average value of the maximum shear stresses retrieved through equation
(1) on the tubular adherends, calculated from the peak torques in Tab. 4. The empty circles
indicate the average stress value for Multibond 330 adhesive, and the solid triangles
represent the average value for the Hysol 9514 adhesive. The vertical lines in the diagram
represent the confidence interval (plus or minus one standard deviation) of each average
value. Figure 8 presents the diagrams of the experimental force-displacement curves for the SLJs bonded with Multibond 330 and Hysol 9514 adhesive, for all the three levels of the
adhesive thickness. For both the adhesives the curves starts from a preload of 1000N. Table
5 collects the experimental peak forces retrieved from the experimental curves in the
diagrams in Fig. 8.
(a) (b) Figure 4. View of the failure surfaces of the adhesives for two joints bonded with Multibond 330 (a) and for two joints bonded with Hysol 9514 (b), both of them for the same values of the adhesive thickness. 290 (a) (b) (c) (d) Figure 5. Torque-angle diagrams of the experimental tests on the TBJs bonded with the Multibond 330 adhesive, for the adhesive layer thickness 0.05mm (a), 0.1mm (b), 0.2mm (c) and 0.4mm (d).

The points in Fig. 9 display the average values of the peak equivalent stresses corresponding to the peak forces in Tab. 5, as a function of the adhesive layer thickness.
The peak stresses were calculated (as explained in the following) on the midplane of the
adhesive layer for all the SLJ configurations. The Rankine equivalent stress criterion was
chosen for both the adhesive due to their brittle constitutive behaviour as documented by
Goglio et al. [6] for Multibond 330, and by Peroni et al. [17] for Hysol 9514. The symbols
here adopted are the same as in the previous diagrams. The vertical lines straddling each
average value represent its confidence interval (plus or minus one standard deviation). 291 (a) (b) (c) (d) Figure 6. Torque-angle diagrams of the experimental tests on the TBJs bonded with the Hysol 9514 adhesive, for the adhesive layer thickness 0.05mm (a), 0.1mm (b), 0.2mm (c) and 0.4mm (d).
Due to the yielding of the adherends, which occurred in the experimental tests on SLJs, the Rankine equivalent stress was evaluated with a finite element analysis. An efficient
finite element model was adopted to describe the examined joint configurations. This
model conforms in all details to the technique proposed by the authors in [18] for the
elastic analysis of thin walled bonded structures, and then extended to the failure analysis
of T-peel joints [19-20]. Therefore, for the sake of brevity, the computational model is not
described in the present paper.
292 0 10 20 30 40 50 60 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Ma xi m u m sh e a r str e ss ( M P a ) Adhesive thickness (mm) 330 9514 Figure 7. Average maximum analytical shear stress in the TBJs at failure, both for Multibond 330 (empty circles), and for Hysol 9514 (solid triangles) on the midplane of the adhesive layer.
Figure 10 compare the stresses in the SLJ with the ones in the TBJ as a function of the adhesive thickness, for the Multibond 330 adhesive. The diagram in Fig. 10a shows the
mean shear stresses at failure: for the TBJ it was calculated according to Eqn. (1), by
assuming r equal to the average radius of the annular section of the adhesive layer. For the
SLJ the average shear stress was calculated as the ratio of the peak force to the overlap area
of the joint. The diagram in Fig. 10b presents the maximum shear stresses at failure and the
diagram in Fig. 10c displays the maximum Rankine stresses at failure. In the case of the
TBJ the stress values in Fig. 11b and c were calculated analytically through Eqn. (1), while
for the SLJ all these stress values were retrieved from the computational analyses.
Similarly, Fig. 11 presents the same diagrams for the Hysol 9514 adhesive. Table 6 collects the stress intensity factor (SIF) at the adherends-adhesive interface in the SLJs for both adhesives. This parameter was calculated as proposed by Wang et al. [21]
according to the following expression: ' ' ' ' '       t B A K '' ' '' ' * * (2) where * and * are the peel and shear stresses evaluated by means of the structural solution, t is the adhesive thickness, A( ) and B() are combination coefficients (functions of the adhesive Poisson''s ratio only) given by the following equations: ' '
' ' 3 2 3 2 6 . 37 1 . 40 8 . 15 12 . 3 64 . 9 29 . 6 23 . 2 836 . 0         ' ' ' ' ' ' ' ' B A (3) 293 Table 4 - Experimental peak torques in the TBJs. Thickness (mm) 0.05 0.1 0.2 0.4 Multibond 330 Peak torque (Nm) 73.0 61.6 42.7 30.0
98.3 80.6 21.0 15.8
78.9 73.7 35.9 22.4
65.2 63.9 46.7 20.2
67.8 65.6 48.9 27.6 Average peak torque (Nm) 76.6 69.1 39.1 23.2 Standard deviation (Nm) 13.2 7.9 11.2 5.7 Hysol 9514 Peak torque (Nm) 189.7 194.7 186.9 172.1
171.7 185.8 190.3 176.3
180.8 203.7 182.4 161.9
199.0 187.2 200.5 176.6
166.1 203.8 190.0 184.1 Average peak torque (Nm) 181.5 195.0 190.0 174.2 Standard deviation (Nm) 13.3 8.6 6.7 8.1
Table 5 - Experimental peak forces in the SLJs. Thickness (mm) 0.05 0.15 0.4 Multibond 330 Peak force (N) 5395.8 6033.4 3498.8
6104.2 5325.8 4350.0
6036.2 5336.2 3993.5
5648.8 5761.4 4549.7
6579.5 5695.7 5353.0 Average peak force (N) 5952.9 5630.5 4349.0 Standard deviation (N) 454.2 301.3 688 Hysol 9514 Peak force (N) 12434.4 10247.9 9358.6 12018.9 11677.5 10024.3 10578.6 11775.7 9025.7 11275.2 12536.6 9276.0 10986.0 11328.2 9159.7 Average peak force (N) 11458.6 11513.2 9368.9 Standard deviation (N) 757.9 833.5 387.3

Finally, the singularity order  has been calculated as the root of the following equation, given in [21] for a square-edged adhesive layer: ' ' ' ' ' ' ' 5 12 8 1 2 1 cos 4 3 2 2 ' ' ' ' ' ' '       (4)

294 (a) (d) (b) (e) (c) (f) Figure 8. Force-displacement diagrams of the experimental tests on the SLJs bonded with the Multibond 330 adhesive,(a-b-c) and with Hysol 9514 (d-e-f) for the adhesive layer thickness 0.05mm, 0.15mm and 0.4mm.
295 Table 6 - Stress intensity factor K for the SLJs at failure. Stress intensity factor, K Thickness (mm) 0.05 0.15 0.4 Multibond 330 55.9 43.1 31.7 Hysol 9514 57.0 52.6 47.4
4. DISCUSSION Joint Design From the diagram in Fig. 3 it appears that the proposed TBJ, loaded by torque, originates a nearly-uniform shear stress distribution in the adhesive. In accordance with
equation (1), solid line in the diagram, the shear stress depends linearly on the radius of the
joint and is constant through the adhesive thickness. The same values originates both on the
midplane of the adhesive layer (empty triangles) and on the adhesive-adherend interfaces
(crosses and empty circles). Experimental Campaign As reported in Tab. 2 the average roughness of the bonding surfaces was quite constant and uniform between the specimens. The data about the thickness of the adhesive layer
(Tab. 3) show a great accuracy and repeatability in the execution of the joints. The relative
error between the actual and nominal thickness ranges from 11% for 0.1 mm up to a
minimum of 1.5% for 0.4 mm.
0 50 100 150 200 250 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Av erage m a x im um R a nk ine s tres s (M P a) Adhesive thickness (mm) 330 9514 Figure 9. Average maximum Rankine equivalent stress in the SLJs at failure both for Multibond 330 (empty circles), and for Hysol 9514 (solid triangles) on the midplane of the adhesive layer. 296 0 20 40 60 80 100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Me a n sh e a r str e ss a t f a il u re ( M P a ) Adhesive thickness (mm) Single-Lap Tubolar butt joint (a) 0 20 40 60 80 100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 M a x im u m s hear s tres s at f a ilu re (M Pa) Adhesive thickness (mm) Single-Lap Tubolar butt joint (b) 0 20 40 60 80 100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Ma xi mu m Ra n k in e s tr e ss a t fa ilu re ( M P a ) Adhesive thickness (mm) Single-Lap Tubolar butt joint (c) Figure 10. Comparison between the structural stresses in the TBJs and in the SLJs for Multibond 330: average shear stress (a), average maximum shear stress (b), and average maximum Rankine stress (c) on the midplane of the adhesive layer. 297 0 50 100 150 200 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 M e a n sh e a r st re ss a t fa ilu re ( M P a ) Adhesive thickness (mm) Single-Lap Tubolar butt joint (a) 0 50 100 150 200 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 M a x im u m s h ea r s tre s s at f a ilu re (M Pa ) Adhesive thickness (mm) Single-Lap Tubolar butt joint (b) 0 50 100 150 200 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Ma xi m u m R a n k in e str e s s a t fa ilu re ( M P a ) Adhesive thickness (mm) Single-Lap Tubolar butt joint (c) Figure 11. Comparison between the structural stresses in the TBJs and in the SLJs for Hysol 9514: average shear stress (a), average maximum shear stress (b), and average maximum Rankine stress (c) on the midplane of the adhesive layer. 298 By examining the surface of the TBJs at failure (Fig. 4) a different behaviour can be observed between the adhesives. Figure 4a shows a typical cohesive failure for the
Multibond 330 adhesive, with a failure surface approximately on the midplane of the
adhesive. In the case of the Hysol 9514 adhesive (Fig. 4b), failure occurs close to an
interface and the failure surface crosses the adhesive layer many times, from one interface
to the opposite, following a zigzag path. A quite similar failure behaviour of the adhesives,
which is described also by Pirondi et al. in [22], was observed also in the SLJs, not
reported here for the sake of brevity. Figure 5 shows for the TBJs with Multibond 330 that the repeatability of the torque- angle curves slightly decreases as the thickness increases. Moreover, the curves highlight a
remarkable decrease in the stiffness and strength of Multibond 330, as the adhesive
thickness increases. The stiffness decrease may be attributed to the increase in the adhesive
thickness. However, a more accurate measure of the strains occurring in the adhesive layer
would be needed to assess this hypothesis. On the contrary, the strength decrease is
probably imputable to lower mechanical properties of the adhesive itself. By contrast,
Hysol 9514 (Fig. 6) shows a higher stiffness and peak torque, which are nearly constant in
the examined range of thickness. Also in this case, a more accurate measure of the strains
in the adhesive would be needed to investigate effect on the stiffness. With regard to the
strength, this constant response is probably imputable to the almost-interfacial failure of
these adhesive. The data reported in Tab. 4 point out that the peak torque of the Hysol 9514
is twice the maximum peak torque of Multibond 330 with a lower standard deviation. By examining the static shear strength of the adhesives in Fig. 7 two observations can be drawn. On the one hand, Multibond 330 exhibits a remarkable decrease as the thickness
increases: from a maximum of about 20 MPa for a thickness below 0.1 mm, the strength
decreases down to about 6 MPa at 0.4 mm. On the other hand, Hysol 9514 provides nearly
constant shear strength in the whole range of thicknesses, as can be deduced by the
overlapping error bars. Since a nearly-uniform and singularity-free stress field occurs in the
TBJ and cohesive failure is observed in Multibond 330, its decreasing strength by
increasing thickness may be attributed to a lower mechanical property of the adhesive
itself. By contrast, the nearly-constant strength observed for the Hysol 9514 can be
attributed to its almost-interfacial failure, which causes breaking of the chemical bonding
between the adherends and the adhesive. Therefore, the thickness cannot play a significant
role. The experimental curves in Fig. 8 show a lower repeatability of the SLJs in comparison with TBJs. Similarly to the TBJs, Multibond 330 provides, in the SLJs, stiffness about one
half the one of Hysol 9514 and lower peak loads. Table 5 points out that the average peak
forces for Multibond 330 are about one half the ones for Hysol 9514 and a quite similar
standard deviation is obtained. On the whole, these results are in accordance with the data
provided by the manufacturer [12-13] both with regard to the stiffness and to the strength
of the adhesives. The maximum Rankine stress at failure in the SLJs (Fig. 9) highlights two main differences with respect to the one in the TBJs (Fig. 7). First, the failure stresses in the SLJs
are many times higher than in the TBJs for both adhesives. Second, a remarkable decrease
of the peak Rankine stress is evident not only for Multibond 330 but also for Hysol 9514.
On the one hand, the higher failure stress that the SLJ can withstand can be attributed to its
localization in a small amount of adhesive, due to their high gradient [23]. On the other
hand, since a nearly-interface failure occurs with Hysol 9514, the failure of the SLJs 299 probably cannot be attributed to the structural stresses acting on the midplane of the
adhesive. Figure 10 and 11 provide a clear comparison between the peak stresses in the TBJs and the SLJs. Figure 10a (Multibond 330) and 11a (Hysol 9514) evidence a similar trend in the
mean shear stresses at failure that originates in the joints, but a main difference appears.
Multibond 330 (Fig. 10a) reaches higher shear stresses in the SLJ than in the TBJ, while
Hysol 9514 (Fig. 11a) exhibits an opposite behaviour. This may be imputable to the higher
ratio of the Young''s modulus of the adherends to the one of the adhesive, occurring for
Multibond 330. Figure 10b and 11b depict a slightly different behaviour between the
adhesives with regard to the maximum shear stresses at failure. In the SLJ, Multibond 330
(Fig. 10b) exhibits a peak shear stress which is approximately twice the one in the TBJ, in
the whole range of adhesive thickness. Hysol 9514 (Fig. 11b) shows the same ratio
between the stresses as Multibond 330 only at the lower adhesive thickness, and then a
noticeable disagreement between the trends is evident. By examining the maximum
Rankine stresses at failure (Fig. 10c and 11c) similar observations can be drawn. In the
SLJ, Multibond 330 (Fig. 10c) yields a Rankine stress about four times the one in the TBJ,
in the whole range of adhesive thickness. The same ratio is obtained with Hysol 9514 (Fig.
11c), but only at the lower adhesive thickness. In the whole, the disagreement between the
structural stresses in the TBJ and in the SLJ for the Hysol 9514 (Fig. 11b and c) supports
the previous observation about the non applicability of such stresses to predict the failure of
the SLJ. By observing Tab. 6 it appears that the SIF is in substantial disagreement with the experimental static strength. The lower SIF at increasing thickness of the adhesive, in
particular for Multibond 330, do not support the experimental lower strength registered in
the SLJs. This marked contrast can be attributed to two main reasons. First, the noticeable
yielding of the adherends observed in the experimental tests. Second, the small value of the
adhesive layer thickness. As clearly described by Akisanya et al. [24], these conditions
make the SIF approach not applicable to the examined configurations. On the whole, when cohesive failure occurs, the proposed TBJ provides intrinsic static shear strength of the adhesive, coherent with the strength-thickness dependence
experimentally observed in a SLJ. Regardless of the type of failure of the adhesive, the
mean shear stress at failure (either torque over polar section modulus or force over area)
appears to exhibit a good agreement between the TBJ and the SLJ. 5. CONCLUSIONS This paper evaluates the effect of the adhesive thickness on the intrinsic static shear
strength of the adhesive. Furthermore, the intrinsic strength, measured with an ad-hoc
tubular butt joint (TBJ), is compared with the critical stresses at failure in a real bonded
joint. The experimental tests compared the TBJ with a standard single lap joint (SLJ) by
considering a range of the adhesive thicknesses from 0.05 mm to 0.4 mm. A modified
methacrylate (Multibond 330), which exhibits a cohesive failure, and a high strength epoxy
(Hysol 9514), which mainly fails close to the interface, are examined. Four observations
can be drawn from the results presented in the work. First, a significant increase in the
intrinsic static strength of the adhesive, as the adhesive thickness decreases, is observed
when cohesive failure occurs (Multibond 330). By contrast, the strength is nearly
independent of the adhesive thickness when interface failure occurs (Hysol 9514). Second,
when cohesive failure occurs, the decreasing intrinsic shear strength as the adhesive 300 thickness increases is able to explain the decreasing strength experimentally observed in
the SLJ for increasing adhesive thickness. Third, regardless of the type of failure, the
average shear stress in the adhesive appears to exhibit a good agreement between the TBJ
and the SLJ. Fourth, due to the yielding of the adherends and to the small thickness, the
stress intensity factor cannot be applied to explain the experimental lower strength
registered in the SLJs for increasing adhesive thickness.
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CHILDREN: FORM RECOGNITION BY MEANS OF
GAIT ANALYSIS

Giacomo Reggiani Department of Science and Engineering Methods, University of Modena and Reggio Emilia,Italy E-mail: 60345@studenti.unimore.it Marco Cocconcel i InterMech MoRE, Department of Science and Engineering Methods, University of Modena and Reggio Emilia,Italy E-mail: marco.cocconcel i@studenti.unimore.it Riccardo Rubini Department of Science and Engineering Methods, University of Modena and Reggio Emilia,Italy E-mail: riccardo.rubini@studenti.unimore.it Corrado Borghi Department of Mechanical and Aeronautical Engineering, University of Bologna,Italy E-mail: corrado.borghi@gmail.com Alberto Ferrari LAMBDA gait analysis laboratory, Azienda Ospedaliera Arcispedale S. Maria Nuova, Reggio Emilia, Italy E-mail: alberto.ferrari8@gmail.com
Abstract: The classification systems for cerebral palsy (CP) need to be continuously updated, according to specific objectives and to significant changes observed over the years in the panorama of CP. Ferrari et al. [1], recently proposed a classification system that aimed at subdividing the diplegic children into four main clinical sub-forms, on the base of their walking pat ern. This preliminary study deals with the classification of the diplegic children af ected by CP and it is based on the walking pat ern classification system proposed by Ferrari and utilized in LAMBDA motion analysis laboratory at S. Maria Nuova Hospital of Reggio Emilia. Using kinematics data recorded by means of an optoelectronic system on children af ected by CP, an Artificial Neural Network (ANN) was implemented to al ow an automatic recognition of the form of the palsy. The ANN proposed correlates a set of suitable statistical parameters of the kinematics of walking with the type of diplegic clinical form. The ef ectiveness of the resulting neural network has been proved on a control set of data. Keywords: Artificial Neural Networks, Cerebral palsy, Gait analysis 303 1. INTRODUCTION
This study aims at supporting the work of clinical specialists (i.e. physicians and physical therapists) caring for children affected by Cerebral Palsy (CP). This disorder is characterized by chronic impairment of posture and movement due to an early occurrence of a stable lesion to the brain [1]. Several classifications of the forms of CP have been historical y proposed. The importance of a classification system stays in the description that it can give to the disorder. A good classification al ows the operators to hypothesize the ''natural history' a young patient is going to fol ow along his/her growth on the base of other patients with similar clinical signs, therefore to declare a priori the site and the measure of the modifiability of his/her adaptive functions [1] and the best result reachable from therapy. In other words to define the functional limits imposed by the lesion and to predict the evolution of the motor abilities on the base of the disorder. A good classification system is unequivocal y necessary to orient and optimize the therapy. This work is based on the walking pat ern classification system proposed by Ferrari et al. [1] and used in LAMBDA motion analysis laboratory at S. Maria Nuova Hospital of Reggio Emilia, and aimed at defining a method to perform automatical y and objectively this classification system. In particular, the classification system proposed by Ferrari, separates the macro category ''diplegia' into four main subgroups, or forms. The assignment of a patient to a form is currently obtained by visual observation from expert operators. In order to demonstrate the reliability of the classification and to spread its use al over the world, in S. Maria Nuova Hospital specific technical tools were adopted and a gait analysis (GA) laboratory was set up (see paragraph ''Gait analysis data' for more details). The goal of this work is to define an automatic method based on data col ected from GA to objectively classify a patient according to the Ferrari classification. One of the most reliable methods applied in computer science to automatical y classify cluster of data is artificial intel igence and in particular Supervised Learning Approaches. In this field Artificial Neural Networks (ANN) have been proficiently used to solve many problems especial y thanks to their capability in managing a large number of input variables [4-6]. In particular, ANN have been successful y applied in mechanics, in order to diagnose machines usury status by means of vibrational signals [7], and in the automotive sector, dor road recognition systems [8-9]. ANN have been also already applied in medicine for diagnostic purposes, for cancer in particular. In medicine the diagnostic activity, indeed, often cannot be reduced to a linear problem and requires a wide spectrum of input variables. For example ANN are suitable to classify a tumor both benign or malignant, on the base of cel scansion gathered by microscopic examination, or to predict cholesterol levels (ldl, hdl and vldl), on the base of 21 different spectral components. Furthermore, it is also possible to use ANN to detect diabetes, exploiting daily life physiologic data [10]. For what concern human kinematics, Bayesian networks have been recently used to classify the walking pat ern of C.P. children and have predictive value on the degree of crouch and stiff knee [11]. In this paper a new application of ANN is proposed. The method is based on the use of statistical parameters col ected from the gait kinematics of the patient as recorded by means of a GA exam with the aim of identifying the affiliation to one of the four diplegic forms as described in [1]. From the raw kinematics data of the walking pre-processing algorithms were applied in order to obtain variables meaningful for the classification, that is to 304 translate in objective parameters the clinical signs used by medical doctors to perform the classification. These variables and parameters were then used in order to train different structures of ANN. In this paper it is first described how GA can be used for pat ern classification purposes, then the protocol used to reproduce automatical y the classification of Ferrari. Subsequently, the pre-processing of signals and the organization of the parameters required by the ANN are reported. Final y the main results obtained on the base of the cluster of patients acquired so far in the laboratory of Reggio Emilia are showed. 2. THE FOUR MAIN CLINICAL FORMS OF CP
The treatment of the CP is considered as the ''core problem' for the whole field of the pediatric rehabilitation. The reason why this pathology has such a primary role, can be ascribed to two main aspects. First of al CP is the form of disability most frequent in childhood (one new case per 500 birth alive, [1]), secondarily the functional recovery of the ''spastic' child is, historical y, the clinical field in which the majority of the therapeutic methods and techniques (physiotherapy, orthotic, pharmacologic, orthopedic-surgical, neurosurgical) were first applied and tested. The currently accepted definition of CP '' Group of disorders of the development of movement and posture causing activity limitation [2] '' is the result of a recent update by the World Health Organization to the language of the International Classification of Functioning Disability and Health, from the original proposal of Ingram '' A persistent but not unchangeable disorder of posture and movement '' dated 1955 [3]. This definition considers CP as a permanent ailment, i.e. a ''fixed' condition, that however can be modified both functional y and structural y by means of child spontaneous evolution and treatments carried out during childhood. The lesion that causes the palsy, happens in a structural y immature brain in the pre-, peri- or post-birth period (but only during the first months of life). The lesion, whether focused or spread over the nervous system, impairs the whole functioning of the Central Nervous System. As a consequence, it affects the construction of the adaptive functions [4], first of al posture control, locomotion and manipulation. However, in the scientific and clinic community no common classification system of CP has so far been universal y accepted. Besides, no standard operative method or technique have been acknowledged to effectively assess the different disabilities and impairments exhibited by children with CP. CP is stil ''an artificial concept, comprising several causes and clinical syndromes that have been grouped together for a convenience of management' [5]. Studying for more than twenty years the development of adaptive functions from a huge sample of CP children, coming from al over Italy and distributed over a wide range of age (from a few months to adulthood), the group leaded by Ferrari Adriano operating in S. Maria Nuova Hospital in Reggio Emilia has been able to identify and classify the recurrent pathognomic motor pat erns characterizing the status of the motor disabilities expressed by children with diplegic CP. These pathognomic signs are therefore currently favorably used to classify CP in different forms in the centre of Reggio Emilia and many others across Italy. The CP classification system proposed by Ferrari et al. [1], divides the spastic forms of diplegia according to the architecture of a guiding function: the walking. Indeed, the architecture of walking contemporarily provides the guiding criterion for the diagnosis of clinical form and many useful indications for prognosis and therapeutic decisions. Moreover walking represents for diplegic CP children, since they have different pat erns 305 and are not always achievable spontaneously or maintainable during the adulthood, the activity to which the main therapeutic engagement (physiotherapy, orthosis, drugs, functional surgery) is directed. The classification separates the macro category ''diplegia' into four main subgroups, in which the architecture of walking function shows meaningful clinical and prognostic differences. In practice the fol owing main elements, or signs, are considered:  use of the upper limbs and walking aids;  at itude of head and trunk;  pendular movements of the trunk in sagit al and frontal planes;  movements of the pelvis;  mechanism of progression;  sequence of strike and foot off. Table (1) summarizes the different pat erns and pathognomic signs exhibited by the four different forms. The subdivision from a generic group into homogeneous clusters drives the operators during the clinical decision making process in designing an accurate and patient-oriented rehabilitation plan. In order to spread the use of this classification system in other clinical centers and to increase its robustness, instruments able to measure the gait pat ern could be used. In particular, the most promising tool that can be applied to perform the classification is definitely the technique known as gait analysis. 3. GAIT ANALYSIS
Analysis of human posture and movement is a fast-growing biomedical sector and mat er of great interest from the clinical point of view. Since the ''80s, instruments specifical y oriented to the analysis of the human movement have been advantageously designed and applied in the context of CP with the aim of measuring motor deficits and, especial y, gait deviations. The GA technique has been increasingly used over the years to assess, analyze, classify, and support the process of clinical decisions making, al owing for a complete investigation of gait with an increased temporal and spatial resolution. Table 1. Forms and their main signs. I form ''forward leaning propulsion' II form ''tight skirt' III form ''tightrope walker' IV form ''dare devils' Trunk bending forward vertical bending forward vertical Pendulum sagit al sagit al - frontal frontal counter shoulders/pelvis Progression rotation with respect to the hip flexion with respect to the knee foot pivot hip intrarotation Feet contact equinus contact equinus / clubfoot starting/ pushing equinus starting/ pushing equinus 306 GA has provided a basis for improving the outcome of surgical and nonsurgical treatments and for introducing a new modus operandi in the identification of defects and functional adaptations to the musculoskeletal disorders. A widespread application of reliable instruments and techniques able to objectively evaluate both the form of the palsy (diagnosis) and the efficacy of the treatments provided (prognosis), constitutes a valuable method able to validate care protocols, establish the efficacy of classification systems and assess the validity of definitions. The laboratory of S. Maria Nuova Hospital (LAMBDA, Laboratorio di Analisi del Movimento del Bambino Disabile) utilized for this study is equipped with the fol owing instruments: optoelectronic system, environmental cameras, force platforms, electromiographic (EMG) system. The optoelectronic system detects the three-dimensional (3D) coordinates of reflective markers fixed to the body of the subject. The markers are il uminated by infra-red light. Each of the eight cameras of the laboratory identify the markers reflexes on a 2D camera reference frame. These data, conveniently processed, permit to identify the position of the markers on the 3D laboratory reference frame. This system is therefore able to reconstruct the walking kinematics of the subject, in particular the angles of flexion-extension, ab- adduction and in-external rotation at the main joints of the lower limbs: hip, knee and ankle. Two environmental cameras generate movies for the visual observation of the subject after the acquisition. Two force platforms, positioned at the floor level, measure torques and forces that the subject exerts to the ground. Coupling this measure and the kinematics data makes it possible to calculate moments and powers at the joints level. The EMG system final y assess the muscles activation pat ern during the gait. A view of the LAMBDA laboratory is shown in Fig. (1). 4. DESCRIPTION OF THE PROBLEM
The raw data col ected from an optical system, as the one instal ed in LAMBDA, consist in trajectories of markers positioned in particular points of the body. By means of the use of a biomechanical model specifical y designed to obtain relevant kinematic information, is possible from the trajectories of the markers to represent the walking kinematics as joint angles and joint moments, and effectively report defects and compensations of a pathological scheme by showing these variables as function of a gait cycle. These data refers both to the upper and lower part of the body. The biomechanical model simply foreseen to position the markers in a priori established relevant anatomical points, known as landmarks. In order to obtain the clinical relevant parameters used by operators during the classification of the diplegic forms process, pre-processing computations were performed especial y based on the dynamic of particular distances between different parts of segments of the body. In fact this relative displacements represent the variation of position of anatomical joints during walking. The evaluated forms and their representative characteristics are reported in Tab. (1). Due to the fact that the technology and the protocols used in the context of rehabilitation of children with CP are usual y standard and aligned with the one used in LAMBDA, the ANN developed is feasible to be instal ed as separate plug-in into many others laboratories of gait analysis. 307 Figure 1. LAMBDA laboratory with its equipment. 5. PRE-PROCESSING OF THE KINEMATICS
Experimental tests supplied 57 patients not equal y divided into the four forms of CP. Each patient was request to repeat several trials in order to increase the number of recording. Because of the differences in the height of the patients and the speed of the walking performed, the number of gait cycles for each trial is different varying from 2 to 4. The total amount of trials, consisting in walks of 2-4 gait cycles, is 283. Patients of the third and fourth form, that show the highest motor abilities, are able to execute more steps in the same trial compared to those of first and second forms. In order to standardize the data sets, only three cycles of steps were considered for each trial recording. Because of different possible direction of walk, in order to refer parameters just with respect to the frontal and the sagit al plane of the patient, the least square line of the marker positioned on L5, which easily represent the walking direction, was calculated for each trial acquisition. The total amount of records, obtained by the described cut ing procedure, was separately processed to extrapolate mechanical and, secondarily, statistical parameters. The first ones evaluate instantaneous information about patient kinematics that are then used in order to derive the statistical values linked to the global properties of the form. Mechanical data consists of many distances between particular anatomical points of the upper and lower part of the body calculated along the three cycles of steps and normalized with respect to the length of the segment joint registered during a static acquisition with the subject standing in upright posture. In particular, the upper and lower limbs were normalized with respect to the legs length. Each anatomical position considered was analyzed in the laboratory reference coordinate system that sets a XY plane for the floor and Z axis for the vertical direction. The upper limbs landmark considered were acromion (xA), radius epicondyle (xEP) and ulna (xUL) of each arm (x represents the right or left side). Then the distances from acromion to ulna (xA '' xUL) were calculated separating the components in the XY plane and in the Z direction. The trunk was represented by the distance from the 7th cervical vertebra (C7) to the 5th lumbar vertebra (L5) calculated along the direction of walking and perpendicularly to that line. 308 To detect the kinematic of the pelvis we estimated the distance between asis (xASIS) and the lateral epicondyle of the knee, measured in the vertical direction. The lower limbs were schematize by the length from the great trochanter (xGT) to the lateral mal eolus of the ankle (xLM) for the entire leg, considered along the Z axis, while the position of feet referred to the leg is represented by the distance between the tibial tuberosity (xTT) and the 1st metatarsal (xFM) on the XY plane. The exact position of markers considered is reported in Fig. (2), while the kinematics signal are summarized in Tab. (2). Because of huge dimension of the input vector al the distances calculated were summarized with four statistical parameters in order to facilitate the task for the network. The firsts statistical operators selected as input parameters for the network are the mean value and the variance of the distance kinematic signals, that summarize the kinematics information in one number representative of the order of magnitude and describe the main tendency of the displacements of the markers respect to the mean value. In addiction we also use the skewness and kurtosis that measure the deviation from the normal distribution. Therefore each acquisition is represented by an input vector made up of 48 elements: 4 statistical parameters of the twelve distances considered. For each input array, a binary output is joined to relate the CP''s form to the correspondent patient kinematics: the 4 typologies are identified by an array constituted by 4 binary elements. Figure 2. Schematic representation of markers position and laboratory reference system (Red, Green and Blue vectors corresponds to X, Y and Z axis) 309 Table 2. Main distances (''x' means the left or right side of the body). SEGMENTS DISTANCES UPPER LIMBS (xA '' xUL) Z direction XY plane TRUNK (C7 '' L5) Direction of walking Perpendicular to the direction of walking PELVIS (xASIS - xLE) Z direction BOTTOM LIMBS (xGT '' xLM) Z direction FEET (xTT '' xFM) XY plane Part of the total set of records was assigned to validate the neural network, in order to highlight its performance. For this reason, a test campaign was managed with different amount of training records respect to the global acquisitions: 100/283, 154/283 and 199/283. The data used for validation was not in common with the ones used for training, and the results of the consequent network simulations were then compared to the target output from the clinical assessmen. So we reserved a part of the data of each form for the performance estimation only. Since the output array is included between 0 and 1while the target is a binary array, the elements of the output array are normalized with respect to the maximum value and then rounded to the floor. 6. RESULTS
The neural network used is a Feed-Forward architecture which is the most used in the Pat ern Recognition problems [11-13]. The neural network is implemented with the dedicated Matlab toolbox: since the input array size is greater than the output one, the possible architectures are convergent and divergent-convergent; as a mat er of fact, the network configuration depends on the number of neurons of the intermediate layers. A number of hidden layers included between 1 and 3 was tested, with several different numbers of neurons for each layer. Al the architectures were trained with the three different subdivision of data set: 100 acquisition reserved for the training procedure, 154 and 199. Each configuration was going to be analyzed varying some parameters of the Neural Network such as the transferring function or the training function. Evaluated transferring functions were tansig and logsig, while only the training functions suitable for the problems of pat ern recognition were considered: the algorithm of resilient back-propagation (trainrp), the algorithm of Levenberg-Marquardt (trainlm) and the algorithm of scaled conjugate gradient (trainscg). Al the mentioned transferring functions and training functions were implemented in Matlab Neural Network Toolbox [10]. The difference between transferring functions tansig and logsig is showed in Fig. (3). Tansig output lies in the interval [-1; +1], while the logsig output in [0; +1]. For further information about training functions refer to [13]. 310 Figure 3. Transferring functions in Matlab Neural Network Toolbox In order to find the more effective set ing parameters and to estimate the robustness of the network, only one parameter at a time was modified. Ten simulations per type of network were executed and statistical y managed regarding in particular the error percentage. Table (3) reports the error percentage for the best type of neural network considered versus the number of acquisitions using during the training fase. The configuration chosen as reference one has the fol owing characteristics:  Training function: trainrp  Transfer function: tansig The best performance is highlighted in yel ow. Analyzing the results obtained after the above mentioned simulations, it is possible to suggest which architecture can further improve the network performances:  divergent-convergent architecture  high number of hidden layers  high number of neurons  transferring function tansig  training function trainscg The optimum tested architecture is constituted by 3 hidden layers, with respectively 4, 8 and 6 neurons, transferring function tansig, learning function trainscg and a an amount of learning data equal to 199 records of the total acquired, whose schematic representation is proposed in Fig. (4). These set ings provide a neural network with a percentage of correct input recognition equal to 63%, i.e. 53 samples were perfectly recognized over 83 proposed to the network. Table 3. Percentage of errors changing the amount of input vector in the training. ERROR PERCENTAGE Data Subdivision ARCHITECTURE 100/283 154/283 199/283 3 Layers 4/8/6 57% 49% 37% 311 Figure 4. Schematic representation of the best network architecture 7. CONCLUSIONS
In this study kinematic signals representative of the gait pat ern col ected from 57 CP patients belonging to one of the four clinical forms described by Ferrari et al. [1], were registered by an optoelectronic system in the tridimensional space of the LAMBDA laboratory. An automatic ANN algorithm able to classify patients in the four different forms was developed and tested. The mean value, variance, skewness, and kurtosis from relevant kinematic variables were calculated on the base of the raw data represented by the distances between specific anatomical landmarks. The resulting cluster of data for the ANN was of 283 input vectors constituted by 48 elements. Test vectors were composed by 4 element of zero values and one unitary element determining the diplegic form. Many convergent and divergent''convergent architectures, with different number of neurons and hidden layers, were tested dividing the data set in different amounts of acquisitions (100/183, 154/129, 199/84): the first part was used for training the neural network, the second for testing the results. This type of subdivision al ows to estimate the performance of the network regardless of data used for training, giving more accurate results. The most reliable and efficient architecture was tested also changing the neuronal transferring function and the training function of the general network. Despite the success rate is far from acceptable values of the methodology in the clinical results are encouraging. It is wel known from literature that the performance increases with the number of training samples for the network. To have reliable results, the average number of samples should be four times higher than the current database available in LAMBDA laboratory. Future developments and modifications of the kinematical and statistical parameters used as input to the network are needed in order to improve performance and usability of the algorithm. This work is object of a future journal article. 312 Acknowledgements This paper is supported by the Tecnopolo InterMech-MoRE, Italy. REFERENCES [1] Leardini, A, Sawacha, Z, Paolini, G, Ingrosso, S, Nativo, R, and Benedet i, MG., 2007, ''A new anatomical y based protocol for gait analysis in children', Gait Posture, 26(4), Oct, pp. 560-571.
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Abstract. Gli accelerometri di tipo piezoelet rico sono probabilmente i più dif usi sensori di accelerazione at ualmente in commercio per l''ambito industriale. Hanno infat i un''ampia banda dinamica di linearità,sono influenzati in modo trascurabile da rumore e temperatura, e possono misurare elevati valori di accelerazione. Negli ultimi anni sono stati proposti sul mercato dei nuovi tipi di accelerometri di tipo MEMS (Micro Electro- Mechanical Systems) che hanno la carat eristica di essere molto meno costosi dei piezoelet rici sia per i materiali impiegati sia per il processo di fabbricazione di massa. Se fino a poco tempo fa la qualità degli accelerometri MEMS non era paragonabile a quel a dei piezoelet rici, la continua evoluzione tecnologica ha estremamente ridot o le dif erenze tra le due tipologie di sensori. Lo scopo di questo articolo è di confrontare le prestazioni dinamiche di alcuni accelerometri di tipo piezoelet rico e di tipo MEMS, per valutarne le dif erenze, qualità e difet i, e fornire un''introduzione al e problematiche che nascono nel passaggio da una tecnologia al ''altra.
Keywords: Accelerometri MEMS, Accelerometri piezoelet rici, Dinamica 1. INTRODUZIONE
In ambiente industriale il monitoraggio del e macchine è utile al fine di salvaguardare l''integrità strut urale del e macchine stesse o di un insieme di componenti quali ad esempio ingranaggi e cuscinet i. L''individuazione di difet i meccanici, che sono la principale causa 315 di rot ura, è possibile grazie al ''acquisizione di segnali vibratori da parte di accelerometri. At ualmente gli accelerometri piezoelet rici sono probabilmente i sensori più diffusi per la misura del e vibrazioni in quanto possono essere utilizzati in campi di frequenze molto ampi mantenendo una buona linearità e accuratezza anche in condizioni ambientali gravose a fronte di un costo del sensore che ne limita l''impiego. Negli ultimi anni è stata proposta sul mercato una nuova tipologia di accelerometri sviluppati grazie al a tecnologia MEMS (Micro Electro Mechanical System). Questi innovativi accelerometri sono di dimensioni e peso ridot i e poiché possono essere fabbricati in grandi quantità risultano essere a basso costo. Richiedono un limitato consumo di potenza e consentono un elevato livel o di integrazione tra parte meccanica ed elet ronica ovvero in un unico processore convivono sia il sensore di misura sia il circuito elet ronico di condizionamento del segnale. Il recente successo degli accelerometri MEMS è dovuto al loro impiego in prodot i di largo consumo come cel ulari, airbag, GPS e control er di videogiochi, in realtà è sin dagli anni novanta sono in at o studi approfonditi per la loro applicazione. Ad esempio la NASA ha pensato per prima al a possibilità di inserirli in programmi spaziali per ridurre i costi del e missioni. Alcuni studi dimostrano che la robustezza meccanica di questi accelerometri è adeguata per la maggior parte del e applicazioni aerospaziali [1]. Il presente studio si propone di valutare le reali capacità degli accelerometri MEMS limitatamente al campo del a diagnostica del e macchine. Lo scopo del o studio è capire se gli accelerometri MEMS sono in grado di effet uare misure di vibrazioni affidabili come quel e degli accelerometri piezoelet rici per una banda di frequenze di interesse per il monitoraggio dei componenti meccanici. Obiet ivo del a ricerca è ot enere misure di accelerazione corret e utilizzando sensori a basso costo. L''articolo è strut urato in quat ro paragrafi: nel primo vengono presentate le tipologie di sensori, le loro principali carat eristiche e i principi di funzionamento; in quel o successivo l''at rezzatura sperimentale, le carat eristiche da catalogo degli accelerometri utilizzati e le prove eseguite per carat erizzarli dinamicamente. Nel terzo paragrafo gli accelerometri vengono utilizzati per effet uare l''analisi modale di una lamina piana e testare quindi sperimentalmente il loro impiego. L''ultima parte include i commenti e le conclusioni del ''at ività svolta. 2. TIPOLOGIE DI ACCELEROMETRI
Gli accelerometri possono essere classificati in base al a loro differente tipologia costrut iva che può essere [2]: - Piezoresistiva - Capacitiva - Piezoelet rica In questo articolo trat eremo le due tipologie più utilizzate che sono quel a capacitiva per la produzione di accelerometri MEMS e la tipologia piezoelet rica., del e quali verranno descrit i i principi di funzionamento. Accelerometri Capacitivi La maggior parte dei dispositivi MEMS sono fabbricati utilizzando la tipologia costrut iva capacitiva che permet e una elevata sensibilità del sensore e una sostanziale indipendenza del valore del a temperatura. 316 Figura 1. Accelerometro MEMS di tipo capacitivo e relativo schema elet rico. I sensori capacitivi offrono eccel enti prestazioni per quanto riguarda il rapporto segnale/rumore e richiedono bassa potenza. Al o stato di sviluppo tecnologico at uale gli accelerometri MEMS capacitivi operano in un campo di accelerazione di centinaia di g e con frequenze fino a 1kHz [3]. La tecnologia capacitiva si basa sul a misura del a variazione di capacità a fronte di un movimento meccanico. La Fig. (1a) riporta un accelerometro MEMS, in cui una massa a sbalzo viene a costituire il polo centrale oscil ante comune a due condensatori. L''accelerazione è dedot a misurando la variazione di capacità tra la massa mobile e il package. In particolare tra il ''wafer' di copertura e la massa è possibile individuare due capacità (C1 e C2) come mostrato dal o schema elet rico in Fig (1b, 1c) esse variano il loro valore a seconda del movimento del a massa. Il valore del a capacità di un condensatore a lamine paral ele si può esprimere come segue: 0 A A C r d d ε ε ε = = (1) dove A indica l''area delle lamine, d la distanza tra esse, r ε la costante dielettrica relativa del mezzo interposto tra le lamine e 0 ε la costante dielettrica del vuoto. A causa del movimento della massa sottoposta ad accelerazione il valore istantaneo delle capacità è:
1 0 1 A A C C C x d x ε ε = = = '' '' + (2)
2 0 2 A A C C C x d x ε ε = = = + '' '' (3) 317 dove 0 A C d ε = è il valore delle capacità quando la massa è ferma; d è la distanza tra i piatti delle capacità quando la massa è ferma; x è lo spostamento della massa, ovvero lo spostamento dei piatti dalla posizione assunta quando la massa è ferma. Se l''accelerazione è nulla, la massa non oscilla e x vale zero. In questo caso le capacità C1 e C2 sono uguali. In caso contrario lo spostamento della massa è pari ad x e la differenza tra le capacità è:
2 2 2 1 2 2 x C C C A d x ε '' = '' = '' (4) Questa può essere riscritta come:
0 2 2 = '' '' '' + '' '' Cd x A x C ε (5)
Per piccoli spostamenti di x il termine di secondo grado 2 x C '' '' è trascurabile. La soluzione diviene: 2 0 Cd C x d A C ε '' '' '' = (6) La formula met e in luce che lo spostamento x è proporzionale al a variazione di capacità C '' . Il segnale deve essere prelevato da un circuito elet ronico: una tipica configurazione è quel a rappresentata in Fig (2) (ponte di Wheatstone capacitivo). Poiché sul ramo sinistro del ponte vi sono due capacità di riferimento identiche di valore pari a 0 C la tensione V1 vale: 1 2 Vin V = (7) La tensione V2 vale invece: 2 2 1 2 C V Vin C C = + (8) La tensione misurata in uscita è:
2 1 2 x V V V V out in d = '' = (9) 318 Figura 2. Ponte di Wheatstone capacitivo. Grazie a questa configurazione la tensione in uscita è una funzione lineare del o spostamento x. Il principio su cui si basa la tecnologia capacitiva è semplice ma spesso non è banale effet uare una misura del ''accelerazione in quanto la variazione di capacità è estremamente piccola. Ad esempio per accelerometri mostrati in Fig. (1) la variazione di capacità si at esta sui femtofarad per accelerazioni di un mil i-g. [4]. Accelerometri Piezoelettrici Questi sensori basano il loro funzionamento sul principio fisico noto come piezoelet ricità secondo il quale alcuni materiali generano un campo elet rico se sot oposti ad una deformazione meccanica. La tipologia costrut iva piezoelet rica mostra il vantaggio di essere self-generating in quanto, a differenza di quel a capacitiva, non necessita di potenza elet rica esterna per effet uare la misura. Lo svantaggio risiede invece nel produrre un campo elet rico proporzionale al a variazione di deformazione. Questo significa che gli accelerometri piezoelet rici possono misurare solo variazioni di accelerazione e non accelerazioni statiche (ossia a frequenza nul a). Gli accelerometri piezoelet rici sono largamente riconosciuti come la miglior scelta per la misura assoluta del e vibrazioni. Il loro largo impiego è giustificato dal e seguenti proprietà che possono raggiungere: - ampia banda dinamica: sono in grado di effet uare corret amente misure di accelerazione partendo da vibrazioni impercet ibili (bassi g) fino ad arrivare ad alti shock (alti g). - eccel ente linearità su tut a la banda dinamica - ampia banda frequenziale: sono in grado di effet uare misure di accelerazione ad elevata frequenza. - trasdut ori at ivi: non richiedono alimentazione esterna. - buona accuratezza anche in condizioni ambientali difficili - estrema robustezza e ingombro contenuto. - ampia banda di temperatura: sono in grado di effet uare misure anche con temperature maggiori di 120°C. Da un punto di vista costrut ivo esistono due tipi di accelerometri piezoelet rici: - funzionanti a compressione - funzionanti a taglio 319 Figura 3. Accelerometri piezoelet rici a compressione (a) e a taglio (b). Il primo tipo è il ustrato in Fig. (3a). Il sistema massa-elemento piezoelet rico è fissato tramite un perno cilindrico centrale al a base del ''accelerometro. Ogni deformazione del a base, dovuta a flessione o variazioni termiche, induce sol ecitazioni nel ''elemento piezoelet rico introducendo un errore nel segnale in uscita. Per evitare questo fenomeno di disturbo si adot a la versione a taglio mostrata in Fig. (3b). In questo caso la massa sismica è fissata al ''elemento sensibile in modo da esercitare un carico di taglio su di esso. In figura tre masse e tre cristal i piezoelet rici sono montati secondo le facce di un prisma a sezione triangolare ad un supporto centrale. Queste masse sono mantenute in posizione da un anel o che esercita una azione di precarico che assicura una elevata linearità. La carica che si sviluppa ai capi di un materiale piezoelet rico sot oposto a deformazione è proporzionale al a forza meccanica applicata: P d' = (10) in cui P è la densità di carica [C/m2] e' è la forza applicata per unità di area [N/m2]. Il coefficiente di proporzionalità d è chiamato costante piezoelet rica [C/N]. Osservando la Fig. (4) supponiamo di sot oporre un materiale piezoelet rico presente in un accelerometro ad una forza Fx. Questa forza sia paral ela al ''asse X e agente sul e due facce di area A (elet rodi su cui si accumula la carica quando il materiale subisce la deformazione). La carica che si accumula sugli elet rodi è: Fx q AP Ad Ad dFx A ' = = = = (11) La carica è proporzionale al a forza applicata perciò, in accordo con la legge di Newton F ma = , è proporzionale anche al a massa e al ''accelerazione. Questo dimostra come la sensibilità del ''accelerometro diminuisca al diminuire del a massa. 320 Figura 4. Elemento piezoelet rico sot oposto a deformazione. Gli accelerometri piezoelet rici possono essere classificati in due categorie [5]: - Accelerometri di carica (Charge Mode Accelerometers) - Accelerometri IEPE (Internal Electronic Piezo-Electric) I primi contengono solamente l''elemento sensibile senza elet ronica I secondi contengono internamente, oltre al ''elemento sensibile, circuiti elet rici per il condizionamento del segnale. Gli accelerometri piezoelet rici di carica generano segnali di uscita in termini di carica del ''ordine dei picocoulombs. Questi segnali sono carat erizzati da elevata impedenza e perciò il rischio di corruzione del a loro integrità da parte del ''ambiente esterno non è da sot ovalutare. Per effet uare misure corret e è necessario trasformarli in segnali in tensione a bassa impedenza. Per operare questa trasformazione si utilizza uno schema circuitale noto come amplificatore di carica (Fig. (5)) [6]. Questo schema permet e di ot enere una sensibilità del o strumento indipendente dal a capacità dei cavi di col egamento. La capacità del sensore piezoelet rico è indicata con C. La capacità del filo che col ega il sensore al ''amplificatore di carica è indicato con Cc. La resistenza e la capacità di retroazione sono indicate rispet ivamente con Rf e Cf . Si supponga per semplicità che l''amplificatore operazionale sia ideale. In questo caso il nodo A è a massa e questo implica che la tensione sul a Cc vale zero. Al ''ingresso invertente non entra corrente perciò la legge di Kirchhoff del e correnti applicata al nodo A diventa: Figura 5. Amplificatore di carica. 321 0 0 0 v dv dq C f dt R dt f + + = (12) dove q è la carica generata dal ''accelerometro e 0 v è la tensione di uscita. Operando la trasformata di Laplace l''equazione può essere riscrit a come funzione di trasferimento del sistema: ( ) ( ) 1 R S V S f o Q s R C S f f = '' + (13) La formula appena scritta indica una chiara dipendenza tra la tensione di uscita e la carica in ingresso. Ricordando che S = j' si nota che per ' = 0 (frequenza zero) l''uscita assume valore nul o. In pratica un accelerometro piezoelet rico non può essere usato per misurare segnali costanti. Ad alte frequenze invece la funzione di trasferimento diventa:
( ) 1 ( ) V S o Q s C f = '' (14) La tensione di uscita dipende solo dal a carica e dal a capacità di retroazione. Gli accelerometri dotati di una elet ronica interna di condizionamento del segnale in grado di convertire il segnale in carica ad alta impedenza (generato dal ''elemento sensibile) in un segnale in tensione a bassa impedenza, prendono il nome di accelerometri IEPE. Sebbene il segnale così ot enuto permet a di superare ostacoli legati al a catena di misura, ad esempio essere trasmesso at raverso lunghi fili condut ori con una minima degradazione, permangono alcuni limiti legati al a presenza del ''elettronica interna, ad esempio non possono essere impiegati sopra una certa temperatura di lavoro. L''elet ronica al ''interno degli accelerometri IEPE richiede di essere alimentata tramite un generatore di tensione DC regolato a corrente costante. 3. PROVE SPERIMENTALI
In questo capitolo si riportano le prove sperimentali effet uate presso il laboratorio di Dianmica del e Macchine ''F.Lombardini' del Dipartimento di Scienze e Metodi del ''Ingegneria (DISMI) del ''Università di Modena e Reggio Emilia. Si sono individuati e confrontati fra loro ot o diversi accelerometri di cui quat ro di tipo MEMS capacitivo e quat ro di tipo piezoelet rico. Per ciascuna tipologia si sono scelti un accelerometro triassiale e tre di tipo monoassiale. In Tabel a (1) riportano l''elenco degli accelerometri utilizzati con l''indicazione dei rispet ivi produt ori La scelta degli accelerometri MEMS è stata effet uata tra i model i che avessero un fat ore di forma di tipo SOIC che ha permesso una più facile saldatura tra il componente e la scheda di condizionamento del segnale. 322 Tabella 1. Accoppiamento tra accelerometri MEMS e piezoelet rici. Tipologia Modello Produttore Assi di misura Tipologia Modello Produttore MEMS MMA1211EG Freescale 1 PIEZO KS94B100 XXX MMA1200EG 1 352C41 PCB MMA1270EG 1 333B33 LIS3L02AS4 Analog Device 3 356A01 Per ciascun accelerometro MEMS è stato proget ato e realizzato un circuito per il condizionamento e una più agevole acquisizione del segnale. Inoltre su ciascuna scheda è stato ricavato uno spazio in cui poter incol are il corrispondente accelerometro piezoelet rico come mostrato in Fig. (6). Operativamente le prove si sono svolte utilizzando uno shaker Data Physics Signal Force, capace di raggiungere i 3 kHz di vibrazione, per poter sol ecitare in maniera opportuna gli accelerometri. Per garantire le stesse condizioni di sol ecitazione a tut i gli accelerometri si è utilizzata una piastra metal ica, avvitata al ''expander del o shaker e sul a quale sono stati incol ati i sensori, mediante col a a base di cianoacrilato. La Tabel a (2) riporta anche gli accoppiamenti tra le due tipologie di accelerometri che sono stati imposti per la comparazione durante le prove sperimentali. Ad esempio l''accelerometro MEMS MMA1211EG è stato affiancato al ''accelerometro piezoelet rico KS94B100, ecc' Le prove sono state suddivise in: - prove statiche (MEMS) - prove dinamiche (MEMS, PIEZO) Le prove statiche sono state effet uate solo sugli accelerometri MEMS in quanto i piezoelet rici non sono in grado, come descrit o nel capitolo precedente, di misurare una componente statica. Le prove statiche sono di fondamentale importanza per definire due carat eristiche dei sensori che descriveremo in seguito: lo zero-g level e la sensibilità. Tabella 2. Accoppiamento tra accelerometri MEMS e piezoelet rici. MEMS Range g Sensibilità (mV/g) Assi di misura Piezoelettrico Range g Sensibilità (mV/g) MMA1200EG ±250g 8 1 352C41 ±500g 10 MMA1211EG ±150g 13,33 1 KS94B.100 ±60g 100,9 MMA1270EG ±2,5g 750 1 333B33 ±50g 100 LIS3L02AS4 ±2g 660 3 356A01 ±1000g 5 323 Figura 6. Accelerometri sul o shaker.
Prove Statiche L''esigenza di eseguire del e prove statiche è nata dal a considerazione che gli accelerometri MEMS hanno valori di sensibilità e zero-g level definiti al ''interno di una banda (stabilita da catalogo). Le motivazioni sono legate ai quantitativi di accelerometri prodot i. Infat i la produzione in larga scala dei MEMS ha probabilmente reso più conveniente definire una banda di conformità del sensori piut osto che realizzare una taratura di ciascuno di essi. Per una corret a let ura del a misura è quindi necessario stabilire per ogni dispositivo sensibilità e zero-g. La sensibilità rappresenta il coefficiente di proporzionalità che permet e di tradurre la misura di tensione fat a ai capi del sensore in unità di accelerazione, normalmente in g. Lo zero-g level è la tensione misurata ai capi del sensori quando su di esso agisce un''accelerazione pari a zero g. Per sot olineare l''importanza del a definizione preliminare di questi due parametri, riportiamo per l''accelerometro MMA1200, una tabel a (Tab. (3)) in cui le colonne riportano i valori minimi, tipici e massimi del a sensibilità come da catalogo, e le righe riportano i valori minimi , tipici e massimi del o zero-g level. Tabella 3. Carat erizzazione dei MEMS. MMA 1200 (+/-250g) Accelerazione +1g Sensibilità (mV/g) Min Tip Max 7,6 8 8,4 Ze ro -g ( V ) M in 2,35 -17,8g -17,75g -17,7g Ti p 2,5 0,95g 1g 1,05g M a x 2,65 19,7g 19,75g 19,8g MEMS Piezoelettrico 324 Se si misurasse un''accelerazione di 1 g dando per scontato che entrambi i parametri abbiano i valori tipici, la Tab. (3) mostra le corrispondenti misurazioni nel caso in cui i valori reali dovessero spostarsi verso gli estremi degli interval i ammissibili. Ad esempio se l''accelerometro acquistato avesse un valore di zero-g di 2,65 V anziché 2,5 V (valore tipico), ipotizzando che la sensibilità reale sia coincidente con quel a tipica, la let ura del sensore porterebbe a leggere un''accelerazione di 19,75 g anziché di 1 g! Naturalmente l''effet o di una non corret a stima del o zero-g è più gravosa poiché si trat a di una grandezza in Volt, mentre la sensibilità opera nel campo dei mil ivolt. Calcolo di sensibilità e zero-g Per calcolare con esat ezza la sensibilità e lo zero-g degli accelerometri MEMS sono state eseguite le seguenti prove. La piastra metal ica su cui giacevano le schede elet roniche è stata posizionata in modo che i MEMS fossero rivolti verso l''alto e verso il basso con acquisizione dei dati in entrambe le posizioni. In questo modo è stato possibile applicare ai sensori ±1 g di accelerazione. L''acquisizione dei dati (in tensione) è durata alcuni secondi con un periodo di campionamento di 50 kHz; è stato quindi possibile fare una valutazione statistica calcolando, per ogni accelerometro, il valore medio del e misure effet uate. Gli accelerometri piezoelet rici normalmente non necessitano di una prova di sensibilità, poiché per ognuno di essi viene rilasciato un foglio di calibrazione da parte del ''azienda produt rice. Per calcolare la sensibilità (in mV/g) di ognuno dei MEMS lungo l''asse di misura si è fat o uso del a seguente formula: . . maggiore minore 1000 2 Val medio Val medio Sensibilità ''     = ''     (15) dove con Val.mediomaggiore e Val.mediominore si sono indicati i valori medi del e misure effet uate rispet ivamente a +1g e a ''1g. Per il calcolo del o zero-g la formula utilizzata è: . . maggiore minore Zero-g 2 Val medio Val medio +     =     (16) Di seguito sono riassunti i valori ot enuti nel e Tab. (4-5). L''ultima colonna del a Tab. (5), denominata zero-g of set, riporta la differenza tra il valore nominale del o zero-g ed il valore calcolato. E'' stata effet uata un''ulteriore prova per confermare i valori di zero-g calcolati analiticamente con la Eq. (16). La piastra con i sensori è stata posizionata in verticale. Per garantire con precisione la perpendicolarità rispet o al piano di lavoro si è utilizzata una squadret a calibrata. In questa posizione l''asse di misura dei MEMS formava un angolo di 90° gradi rispet o al a direzione del a gravita e la misura risultate era zero g. Le misurazioni effet uate hanno confermato la validità dei valori precedentemente calcolati. 325 Tabella 4. Sensibilità degli accelerometri MEMS. Sensibilità catalogo (mV/g) Prova statica (accelerazione di gravità) Accelerometri MEMS Min Tip Max Sensibilità (mV/g) monoassiali asse z MMA1200 7,6 8 8,4 7,5 MMA1211 12,66 13,33 14 12,8 MMA1270 712,5 750 787,5 771,9 triassiale (+/-2g) LIS3L02AS4(z) 594 660 726 581,9 Tabella 5. Zero g e zero g offset degli accelerometri MEMS. Zero-g catalogo (V) Prova statica (accelerazione di gravità) Accelerometri MEMS Min Tip Max Zero g (V) Zero g offset (mV) monoassiali asse z MMA1200 2,35 2,5 2,65 2,4973 2,7 MMA1211 2,35 2,5 2,65 2,4864 13,6 MMA1270 2,25 2,5 2,75 2,4421 57,9 triassiale (+/-2g) LIS3L02AS4(z) 1,485 1,65 1,815 1,5279 122,1
Prove Dinamiche Le prove dinamiche sono state eseguite per comprendere il comportamento dei MEMS a fronte di ingressi differenti valutandone qualitativamente e quantitativamente le prestazioni rispet o ai rispet ivi sensori piezoelet rici. E'' stato utilizzato uno shaker Data Physics Signal Force e un sistema di acquisizione National Instruments costituito da una base NI-cACQ 9172 e dai moduli NI-9239 (per l''acquisizione dei MEMS) e NI-9234 (per l''acquisizione dei piezoelet rici). Nel corso del e prove è stata sol ecitata ogni coppia di accelerometri con un ingresso sinusoidale a diversa frequenza. Le prove sono state articolate nel seguente modo: - MMA1200-352C41: accelerazione sinusoidale 30g a frequenze di 100Hz, 200Hz, 300Hz, 400Hz. La prova a 100 Hz è stata ripetuta 3 volte interval ata da un ingresso random del o shaker. 326 Tabella 6. Deviazione standard media per ogni accelerometro al e diverse frequenze di esercizio. Frequenza (Hz) Deviazione standard media (g) Frequenza (Hz) Deviazione standard media (g) LIS3L02AS4 2g sin 10 0,00753 MMA1270 2,5g sin 10 0,00640 10_random 1 0.00710 10_random1 0,00690 10_random 2 0,00720 10_random1 0,00650 50 0,01950 20 0,00980 100 0,03650 30 0,01340 400 0,13100 40 0,01540 356A01 2g sin 10 0,06375 333B33
2,5g sin
10 0,05010 10_random 1 0,06370 10_random1 0,05030 10_random 2 0,06300 10_random1 0,05060 50 0,14040 20 0,05240 100 0,20650 30 0,06790 400 0,21150 40 0,08880 Frequenza (Hz) Deviazione standard media (g) Frequenza (Hz) Deviazione standard media (g) MMA1211 30g sin 100 0,58330 MMA1200 30g sin 100 0,61190 100_random1 0,58530 100_random1 0,60920 100_random2 0,58650 100_random2 0,61090 200 1,04400 200 1,12830 300 1,43050 300 1,52320 400 1,57620 400 1,68930 KS94B
30g sin
100 2,63360 352C41 30g sin 100 3,33080 100_random1 3,42220 100_random1 3,77490 100_random2 3,51760 100_random2 3,74020 200 4,92520 200 5,48690 300 6,11790 300 6,74960 400 7,37150 400 8,75810 - MMA1211-KS94B: accelerazione sinusoidale 30g a frequenze di 100Hz, 200Hz, 300Hz, 400Hz. La prova a 100 Hz è stata ripetuta 3 volte interval ata da un ingresso random del o shaker. 327 - MMA1270-333B33: accelerazione sinusoidale 2,5g a frequenze di 10Hz, 20Hz, 30Hz, 40Hz. La prova a 10 Hz è stata ripetuta 3 volte interval ata da un ingresso random del o shaker. - LIS3L02AS4-356A01: accelerazione sinusoidale 2g a frequenze di 10Hz, 50Hz, 100Hz, 400Hz. La prova a 10 Hz è stata ripetuta 3 volte interval ata da un ingresso random del o shaker. Si noti che a seconda dei range di accelerazione degli strumenti è stata cambiata l''accelerazione in ingresso. Sono state fornite accelerazioni elevate agli accelerometri in grado di riceverle, nel limite fisico del o shaker. Al o stesso modo la frequenza di esercizio è stata variata tenendo conto del a banda di linearità di ogni dispositivo. Per valutare la precisione dei sensori è stata fornita per tre volte la stessa eccitazione interval ata da segnali random.
Discussione In considerazione del a precedente Tab. (6) è possibile affermare che: - La deviazione standard dei MEMS è sempre minore di quel a dei piezoelet rici. - La deviazione standard aumenta al ''aumentare del a frequenza di lavoro. - La deviazione standard assume valori simili quando si effet uano prove ripetute ad una stessa frequenza interval ate da un ingresso random. Questo indica che lo strumento mantiene la stessa precisione ad ogni acquisizione. Nel a maggior parte del e prove la forma sinusoidale in ingresso è stata misurata corret amente sia dagli accelerometri MEMS che dai piezoelet rici. In Fig. (7) sono messi a confronto come esempio gli andamenti sinusoidali medi degli accelerometri MMA1211 e KS94B. Si noti che il piezoelet rico ha una curva più frastagliata rispet o a quel a del MEMS.: in condizioni di prova si sommano al a sinusoide in ingresso del e accelerazioni spurie ad alta frequenza '' probabilmente indot e dal ''apparato sperimentale '' che vengono rilevate solo dal piezoelet rico in quanto il sensore MEMS è dotato di un filtro passa-basso RC nel circuito di condizionamento del segnale. La deviazione standard media è per tut i i dispositivi MEMS minore rispet o al a deviazione standard media misurata nei risultati dei piezoelet rici. Probabilmente questo è imputabile al fat o che il piezoelet rico ha un segnale di misura molto frastagliato come riportato in Fig. (8). Le differenze riportate per i segnali nel dominio del tempo si confermano confrontando i corrispondenti spet ri in frequenza. Le Figure (9 '' 11) evidenziano come lo spet ro dei MEMS mantenga un livel o di rumore più elevato in tut o il campo del o spet ro. Tut avia vi sono state prove che hanno mostrato un rumore maggiore nei piezoelet rici. E'' il caso rappresentato in Fig. (11). Entrambi i dispositivi hanno l''armonica fondamentale a 300 Hz ma il piezoelet rico risente di maggiore rumore. Il motivo potrebbe risiedere nel a maggiore capacità di misurare vibrazioni ad alta frequenza da parte del piezoelet rico. 328 Figura 7. Segnali sinusoidali acquisiti da MMA1211 e KS94B a 100 Hz. Figura 8. Banda di ampiezza che include il 99% del e misure per i dispositivi MMA1211 e KS94B a 100Hz. 329 Figura 9. Ingrandimento del o spet ro per gli accelerometri MMA1211 e KS94B a 100Hz. Figura 10. Rumore nel ''intorno del a fondamentale per i dispositivi MMA1211 e KS94B. 330 Figura 11. Rumore per MMA1211 e KS94B a 300Hz.
4. APPLICAZIONE PRATICA
In questa parte si riportano i risultati ot enuti utilizzando gli accelerometri per l''analisi modale di una lamina metal ica. Per lo sviluppo di questa applicazione la piastra che ospitava gli accelerometri è stata fissata al ''estremità del piat o del o shaker assumendo la configurazione di una trave a sbalzo (Fig. (12)). Successivamente la parte sporgente del a piastra è stata sol ecitata utilizzando un martel o strumentato e la vibrazione è stata acquisita dai differenti accelerometri. Per ogni accelerometro sono state calcolate la funzione di risposta in frequenza (FRF) e la funzione densità spet rale incrociata adimensionalizzata. La FRF è la funzione di trasferimento che correla l''ingresso imposto (impulso) al ''uscita (accelerazione misurata). Figura 12. Piastra in configurazione a sbalzo. 331 La funzione densità spet rale incrociata adimensionlizzata è un parametro che stima il grado di coerenza tra ingresso ed uscita del sistema, essa restituisce per ciascuna linea spet rale, un valore compreso tra 0 e 1 , che corrispondono rispet ivamente al a minima ed al a massima correlazione tra eccitazione e risposta. Di seguito (Fig. (13-20)) sono riportatati i grafici di coerenza e FRF per ogni accelerometro Figura 13. Coerenza e FRF per MMA1200. Figura 14. Coerenza e FRF per 352C41 332 Figura 15. Coerenza e FRF per MMA1211. Figura 16. Coerenza e FRF per KS94B. Figura 17. Coerenza e FRF per MMA1270. 333 Figura 18. Coerenza e FRF per 333B33. Figura 19. Coerenza e FRF per LIS3L02AS4. Figura 20. Coerenza e FRF per 356A01.
Confrontando l''accelerometro MMA1200 con il piezoelet rico 352C41 si nota che entrambi restituiscono i medesimi auto valori. I picchi prossimi ai 150 Hz e 400 Hz vengono valutati da entrambi gli accelerometri come realmente associati al ''ingresso 334 fornito, in quanto la coerenza corrispondente è prossima a uno. A differenza del sensore piezoelet rico la coerenza valutata per il MEMS è inferiore a uno per le basse frequenze. Quanto det o è valido anche per il MEMS MMA1211 e il relativo accelerometro piezoelet rico KS94B. Il piezoelet rico 333B33, a differenza del MEMS MMA1270, riconosce al e alte frequenze una risonanza a cui corrisponde una coerenza prossima al ''unità. La funzione di coerenza dei due sensori è comunque simile. La coerenza del MEMS triassiale è molte differente se confrontata con il relativo piezoelet rico triassiale. I principali picchi vengono riconosciuti da entrambi i trasdut ori e per questi il valore di coerenza è comunque simile. Nel ''intorno dei 150 Hz il MEMS misura due picchi molto vicini tra loro in modo equivalente al piezoelet rico. Inoltre localizza picchi di ampiezza ridot a lungo tut a la banda in frequenza non individuati dal piezoelet rico. La FRF è definita anche per valori di frequenza maggiori del a banda degli accelerometri (il caso più evidente è il dispositivo MMA1270 che ha un banda di 50Hz). I picchi che si trovano in questa banda di frequenze forniscono solamente informazioni qualitative sul a risposta del sistema. Infat i al di fuori di tale banda gli accelerometri non hanno un comportamento lineare. 5. CONCLUSIONI
In questo articolo vengono messi a confronto accelerometri MEMS capacitivi e accelerometri piezoelet rici. E'' noto che i sensori piezoelet rici rivestono un ruolo di eccel enza in ambito industriale, ove diviene strategico decrementare i costi a parità di prestazioni. Lo scopo del a ricerca è stato la valutazione del e effet ive potenzialità dei sensori a basso costo MEMS paragonate a quel e note dei piezoelet rici. Durante lo svolgimento del lavoro i dati acquisiti dagli accelerometri piezoelet rici sono stati presi come riferimento per valutare le prestazioni dei MEMS. Per poter utilizzare corret amente entrambi i tipi di accelerometri è stato necessario valutare due parametri carat erizzanti il sensore: la sensibilità e lo zero-g level. Questi sono ben definiti nel caso di accelerometri piezoelet rici mentre si trovano al ''interno di una banda per i MEMS. Per questa tipologia di accelerometri si è verificato che l''errore di misura che si commet e quando non si conosce lo zero-g è maggiore del ''errore che si commet e quando non si conosce la sensibilità del sensore, ed è stato dimostrato sperimentalmente come l''utente non possa esimersi dal a loro carat erizzazione prima di poter effet uare del e misure. Queste misure sono meno rilevanti per i piezoelet rici i quali hanno un valore zero-g prossimo al o zero e la cui sensibilità è normalmente riportata sul foglio di calibrazione fornito dal produt ore. Un''importante indicazione a favore del a tecnologia MEMS è stata ot enuta dal e prove dinamiche eseguite mediante l''impiego di uno shaker. In particolare è stata eseguita un''analisi modale di una piastra metal ica sul a quale sono stati applicati gli accelerometri. I dati di accelerazione sono stati elaborati ot enendo la funzione di coerenza e la FRF. I risultati ot enuti mostrano come i MEMS siano in grado di riconoscere nel a maggior parte dei casi le risonanze del sistema con un indice di certezza prossimo a quel o dei piezoelet rici. La prova permet e di valutare la tecnologia MEMS come una valida alternativa al a tecnologia piezoelet rica. 335 Ringraziamenti Si ringrazia l''ing. Guido Pedrini per il contributo dato durante l''at ività sperimentale e per le scambio di idee e suggerimenti. Questo lavoro è supportato dal tecnopolo InterMech-MoRE. BIBLIOGRAFIA [1] Kaajakari, V., 2009, Practical MEMS, Smal Gear Publishing, pp. 1-5.
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WELDS IN ALUMINUM EXTRUDED PROFILES
Antonio Segatori Department of Mechanical and Aeronautical Engineering, University of Bologna, Italy E-mail: antonio.segatori2@unibo.it Barbara Reggiani Department of Mechanical and Aeronautical Engineering, University of Bologna, Italy E-mail: barbara.reggiani@mail.ing.unibo.it Lorenzo Donati Department of Mechanical and Aeronautical Engineering, University of Bologna, Italy E-mail l.donati@unibo.it Floriano Bagagli Alutitan, Repubblica di San Marino, E-mail: florianobagagli@alutitan.com Luca Tomesani Department of Mechanical and Aeronautical Engineering, University of Bologna, Italy E-mail: luca.tomesani@unibo.it
Abstract . The direct aluminum extrusion can be considered as a continue process although the bil ets are discretely loaded into the press. Indeed, inside the die, the high hydrostatic pressure field produces the joining of the material into a single bar so as to consider the production as continue. However the mechanical proprieties of the profile are lower in the welded region compared to the adjacent ones thus requiring the scrapping of the welded segment. The extension of the segment is primarily af ected by the interaction of seam and charge welding phenomena. The bil et skin inclusion on the profile has to be accounted for as an additional contaminating ef ect . The computation and localization of the segment to be discarded is a complex mat er that actual y involves approximate empirical relations or labor intensive analyses. Aim of the paper is to investigate the interaction between the dif erent welding phenomena inside an industrial multi-profile die, in order to determine the exact position and the minimal profile length to be discarded. The extrusion of four hol ow profiles made of AA6060 al oy through a multi-hole die has been initial y monitored in an industrial press: process loads, temperatures and speeds were accurately recorded during the process. The four profiles were sectioned starting from the ''stop mark'' then grinded and etched in order to investigate the location and the dimension of the zone to be 337 ridded. Finite element simulations of the process were then carried out by means of the commercial code Altair® HyperXtrude®. Numerical predictions were then compared to experimental data with a particular focus on the computation of charge weld evolution. The simulated data accurately predicts the evolution of the phenomenon and the dimension of the profiles to be discarded. As conclusion, the codes resulted as a reliable tool for the localization and determination of the scraps, in particular if new die design strategies has to be evaluated also in term of reduction of the zone extension.
Keywords : extrusion, charge weld, seam weld, finite element model ing 1. INTRODUCTION
Aluminum extruded profiles are today extensively used in several type of applications like buildings and construction, engineering, transport, up to airplane primary structures. The proprieties and quality of the profiles are strictly related to their final application: if for aesthetical applications (i.e. windows frames or interior design structures) the surface aspect is of primary importance, in more severe loaded conditions (like automotive or aerospace) the mechanical proprieties of the profiles remains of critical importance. Parson, Hankin and Bryant [1] classified and described the most common extrusion defects: pick-up, blistering, streaks and back end defects play a primary role on the surface aspects while in term of mechanical proprieties the most critical problems are incorrect heat treatment, seam welds failure and presence of charge welds inside the profile. Such defects often mutual y interact but the studies available in literature usual y analyze each one singularly. Back end defect. It is also often cal ed contamination by bil et skin. In the direct hot extrusion of aluminum profiles a complex material flow is generated in the container and in the die in relation to the high friction conditions generated at the aluminum-steel interface. The friction produces an imbalanced material flow that on one side positively affects the process (reduction of contamination by bil et skin) but on the other side generates dead metal zones and complex material flow inside the die. The skin of the bil et usual y is different from the inner material; this difference can be the results of an altered chemical composition (as consequence of cooling from casting) or of a contamination due to impurities (oxides, dust, oil, etc) during bil et shipping, pre-heating and loading in the press. The key parameter used for control ing the bil et skin contamination is the dimension of the discarded but : a longer but al ows holding more bil et skin and consequently it guarantees a contaminated free profile, while shorter but s represent a profit because less material is discarded. Figure 1 shows the evolution of the bil et skin during a typical un-lubricated hot extrusion processing of an aluminum al oys: in relation to the high friction factor with the container the bil et skin is accumulated in proximity of the ram and, if an adequate but length is used, it is entirely discarded (Fig. 1a), while, if a too short but is used, the bil et skin can flow inside the die up to the welding chambers and eventual y also in the profile (Fig. 1b). The phenomenon has been extensively investigated in literature [2, 3, 4]. In order to understand if the but length is adequate microstructure analysis of the profiles in proximity of the stop mark has to be done. When the ram is stopped the profile stick to the bearing zones thus creating a very evident mark on the profile surface cal ed ''stop mark': if the bil et skin overcome the stop mark the contaminated part of the profile has to be cut and discarded, while if the skin remains inside the die (eventual y up to the welding chamber) 338 the profile is considered skin free.In the industrial environment this type of analysis is performed by cut ing several slices of profile on the right and left side of the stop mark, grind and etch them in order to verify the complete absence of skin contamination. Seam weld. When hol ow profiles are required, the die is split into two parts, the mandrel and the die (Fig. 2). The mandrel realizes the shape of inner cavities while the die the outer shape. The bil et is initial y divided around the mandrel legs then it rejoins in the welding chamber thus realizing a solid state welding al along the profile length; such weld is cal ed ''seam or longitudinal weld'. The seam weld usual y is marked by high mechanical proprieties because it is a solid state junction generated at high hydrostatic pressure under oxide-free conditions. Charge weld. The material flow becomes even more complex when multiple bil ets are consecutively loaded into the press, as usual y happens during continuous extrusion. In these conditions, a welds is generated at the interface between the old and the new bil et; it is the so cal ed ''charge or transverse weld' (Fig. 3). The charge weld is also generated at high hydrostatic pressure, but differently from seam welds, it usual y carries contamination of oxides, dust or lubricant consequently the loading into the press. As consequence, the charge weld has to be discarded from the final profile because it performs lower mechanical proprieties. Figure 1. Bil et skin contamination in the extrusion of a tube (schematic): a) long but , b) short but . Figure 2. Schematic representation of mandrel die and seam weld localization. 339 Figure 3. Sequence of a charge weld formation in a longitudinal and transverse views . The three aforementioned phenomena have a deep interaction on the defect magnitude and extent. As a consequence, a wide segment of the final profiles has to be discarded due to lower mechanical proprieties. In industrial practice, the determination of the zone to be discarded is usual y performed by means of rule of thumb or, in more critical applications, by labor intensive microstructure investigations at the beginning and end of each extruded lots. These results in a sensible process inefficiency since either large quantities of profile has to be discharged or great amount of time have to be spent for scrap minimization. In addition, it is often not taken into account the possibility to reduce this defect through a dedicated die design. Nowadays, these defects are general y separately described and analyzed in literature. Finite element model ing (FEM) is a powerful tool currently used as support for many product and process optimization activities thus avoiding expensive and time-consuming trial-and-error experimental procedures. In the last decade, in a number of works in literature the extrusion process of aluminum profiles has been simulated by means of FE codes [5]. The common effort is to improve the computational tools in order to limit the role of expensive experimental campaign. In the extrusion context while the seam welds evolution has already been model ed by means of a number of numerical models [9, 10, 11, 12, 13], to the knowledge of the authors, no previous studies report the numerical validation of the charge weld evolution. 340 Aim of the present study was to investigate the interaction between the different welding phenomena inside an industrial multi-profile die, in order to determine the exact position and the minimal profile length to be discarded. Finite element simulations of the process were then carried out by means of the commercial code Altair® HyperXtrude® to evaluate the numerical code capabilities for a real industrial application. Numerical predictions were then compared to experimental data with a particular focus on the computation of charge weld evolution. 2. EXPERIMENTAL INVESTIGATION Experimental set-up
The benchmark experiment was performed at the Alutitan s.p.a in San Marino, Italy, by means of a 1600 tons extrusion press. The profile was selected among a number of different designs available for the experiment on the basis of two main constraints. On one end, the presence of a thick, massive, part was required to ease the charge weld localization. On the other hand, the absence of too smal details like tips, tongues, brush paths guaranteed the model ability of the profile with a reasonable number of finite elements and, at the same time, reduced the risk of a premature failure of the die. The final die consisted of 4 L- shaped holes to produce semi-hol ow profiles as shown in Fig. 4. The minimum profile thickness was 1 mm, compatible with the requirement of an easy meshable component. The area of each profile was 135 mm2 and the maximum bearing length 11 mm. Figure 4. (a) The die used in the experimental design with the profile label ing, (b) shape and dimensions of the profile and (c) position of the bridge with respect to the profile geometry for the seam weld formation. A B D C (a) (b) (c) 341 Table 1 . Initial temperatures and geometries of the bil ets and tools involved in the experimental set-up. Temperature [°C] Lenght [mm] Diameter [mm] Bil ets 478 500 178.0 Die 468 Container 410 1150 186.0 Ram 450 150 185.5 The presence of multiple holes al owed to investigate, within the same experiment, the influence of even smal differences in the aluminium flow stress on the charge weld evolution due to the asymmetric position of profiles A and D with respect to B and C. Four bil ets made of a AA6060 al oy were consecutively extruded during the experimental investigation. The temperature of the container was 410°C ; that of the ram 450°C. The die and the bil et were preheated at 468 °C and 478 °C respectively. In Tab. 1 are reported the initial thermal and geometrical conditions of the experimental set-up. For the first three bil ets, only the temperature of the profile A was recorded at different times by means of a thermocouple manual y kept at 2.5 m distance from the die exit. Additional y, the temperature of the same profile was traced al over the extrusion time with a pirometer placed at 1 m form the die exit. Indeed, for the last bil et the temperature of al the four profiles was acquired. The extrusion load, ram speed and profile velocity were registered as wel . The starting reference point was the stop mark, showed in Fig. 5b, a very evident mark on the profile surface due to the sticking of the material on the bearing zones when the ram is stopped. In Fig. 5 are also showed the four extruded profiles and the label ing method used to track the sections of the profiles. The transition between the first two bil ets was chosen to explore the welding phenomena interaction in order to limit the interference of previous bil et material deposits. The extruded profiles were then analyzed by cut ing several slices spaced of 5 cm on the die side from the stop mark for welds investigation. Each specimen was then grinded and etched (HF 10%) to be observed at the optical microscope. For each slice, the percentage area of the new bil et was computed by means of a dedicated tool included in the microscope software. The analysis was carried out til complete exhausting of charge welds. Analogous activity was performed on the other side of the profile from the stop mark to evaluate back end defects. Experimental results In Tab. 2 are reported the process parameters that were monitored during the experiment for the four extruded bil ets. The lower ram speed for the recording point 1.1 was due to the acceleration gradient of the ram. Since the profiles were supported by a pul er, the speed was stable and only the first recording was performed with free profile prior to tip cut ing. 342 Figure 5. (a) The four extruded profiles, (b) the stop mark evidence in two of the extruded profiles and (c) the experimental sample label ing. This resulted in a different profile speed only for the first recording even if with a higher ram speed. Similarly the extrusion load of the first bil et was stil influenced by the initial thermal transient when the die is at a lower temperature and therefore increase the flow stress of the material. The pyrometer temperature at recording point 1.2 was not considered as reliable and simply at ributed to a disturbed recording. At first it was investigated the trend and quality of the seam weld. For this activity the tips of each profile were sliced and analyzed from 50mm out from the tip. The welds were wel evident has a dark line (Fig. 6). They were localized, as expected, close to the two bridges although not perfectly straight and a bit shifted toward the thinner part of the profile. Figure 7 shows their position in respect to the bridges axes. This effect is most likely to be associated to a faster flow in the more massive part, also in good agreement with the results of the charge welds shown below. (a) (b) (c) 343 Table 2. Process parameters monitored during the experimental campaign. Bil et Recording point Profile Speed [mm/s] Temperature [°C]* Extrusion load [tonn] Ram Profile Thermocouple Pyrometer 1 1.1 A 5.3 440 530 529 1299 1.2 A 6.3 340 560 666 1299 2 2.1 A 6.1 320 520 570 1183 2.2 A 6.4 320 560 538 1023 3 3.1 A 560 524 4 4.1 A 6.2 320 520 536 1183 4.2 A 6.1 320 555 520 1048 4.3 A 496 B 530 C 560 D 560 The weld visibility, caused by impurities, ended within 150-250mm from the tip, after which no line or inhomogeneous grain structure were visible. The investigations of back end defect did not reveal any contamination of the bil et skin in the profile. Both the profile section before and after the stop mark did not show the typical variation in microstructure color (mostly lighter) associated with oxide or carbide contamination. a b Figure 6. (a) Left seam weld for profile A at 200mm from tip '' bright field, (b) right seam weld for profile A at 200mm from tip '' bright field. 344 Figure 7. Seam weld location (solid line) compared to bridge axes (interrupted line) that divides the material into flowes: X the massive part and Y the thinner one. The analysis of the charge weld produced micrographs as the one shown in Fig. 8, were multiple micrographs have been composed to recreate a complete view of the weld over the profile section. Once the image was composed, it was then possible to carry out a measure of the area enclosed by the weld line and therefore the percentage of new material at a specified point of the profile, that is, the exhausting of the old bil et material. Along with this activity the starting and ending point were looked for. With both this information it was possible to retrieve extent, position, and trend of charge weld for each of the four profiles. Table 2 reports different section analyzed profile A with the weld line highlighted. Figure (a) wel shows the starting point of the charge weld which appears always as a closed loop merging to surface. Fol owing pictures in the table show the weld with the increase of distance. It is wel evident in Fig. (e) as the new material has completely fil ed the upper part of the profile and the weld tend to arrange over the seam weld path. Less than 100mm further, Fig. (f), there is no trace of charge weld in the upper part of the profile -i.e. it has been completely fil ed with the new bil et material- while the lower flux charge weld tip is visible in the thicker part of the lower section. Further images show the fil ing of the lower part. Two results are of immediate evidence: first, the lower -i.e. thinner part- flux presents a longer charge weld extent; second, the fil ing of the two part of the profile by the new bil et material is completely disjoined, that is, there is no overlapping of charge weld for the two fluxes, thus increasing the final extent of the charge weld. Figure 8. Composition of complete micrographical profile section X Y 345 Table 2. Micrographics of the extruded profile with the charge weld mark. (a) 565 (b) 600 (c) 700 (d) 750 (e) 950 (f) 1090 (g) 1150 (h) 1300 (i) 1600 (l) 1750 (m) 1900 346 0 20 40 60 80 100 400 700 1000 1300 1600 1900 2200 P e rc e n ta g e o f n e w b il le t [% ] Stop mark distance [mm] Profile A x
y 0 20 40 60 80 100 400 700 1000 1300 1600 1900 2200 P e rc e n ta g e o f n e w b il le t [% ] Stop mark distance [mm] Profile B x
y 0 20 40 60 80 100 400 700 1000 1300 1600 1900 2200 P e rc e n ta g e o f n e w b il le t [% ] Stop mark distance [mm] Profile C x
y 0 20 40 60 80 100 400 700 1000 1300 1600 1900 2200 P e rc e n ta g e o f n e w b il le t [% ] Stop mark distance [mm] Profile D x
y Figure 9. Percentage of new bil et material, divided for X and Y flows, in the profiles over stop mark distance. 347 As can been observed, the replacement of the old bil et with the new one (that is included within the dot ed line in Fig. 8) firstly involved the thicker part of the profile (X), due to the combination of a more massive flow and proximity to the centre of the bil et where the material flowed faster, and then the thinner part (Y). This is emphasized in Figure 9 where the percentage of the new bil et over the stop mark distance for the X and Y parts of the profiles is shown. Graph representation al ows an immediate overview of the charge weld over a single profile as wel as between profiles. It is notable how for al the profiles the charge weld starts about at the same point (550mm) and always at the more massive part, which reach almost the whole fil ing with the new bil et material before the charge weld in the Y flow is visible. Table 3 reports the precise starting and ending measurements of the charge weld. The data are also reported for the each of the two flows. As can be observed, only for profiles B and C (Fig. 10) there is a contemporary presence of the charge weld in the two flows, viceversa for profiles A and D, which show about 100 mm between the exhausting of the upper weld and the onset of the lower one. This is also in good agreement with the sensibly longer extent of weld for this two profiles, that are located in the upper part of the die. The location of the profiles on the die, together with their orientation, can therefore magnify the velocity unbalance effect, which has to be account for the charge weld extent and onset differences. Table 3. Charge weld starting and ending points. Profile Start-stop [mm] X [mm] Y [mm] A 1950-565 1000-565 1950-1090 B 1600-500 1000-500 1600-900 C 1550-400 1150-400 1550-950 D 2100-500 1000-400 2100-1080 3. NUMERICAL ANALYSES FE model
The evolution of the transverse welds in the investigated extruded profiles was simulated by means of a purposely developed tool included in Altair HyperXrude® (Altair Engineering, Inc., Italy). It is a powerful commercial FE simulation code for the analysis and design of extrusion process and dies based on a fluid dynamic approach for model ing incompressible flows, including complex non-Newtonian fluid behaviour (Reddy et al. (1991)). According to this type of model ing technique, the model of the aluminium bil et had to copy the final shape of the extruded profile. It was therefore derived as the Boolean subtraction between a cylinder and the 3D CAD model of the die (Fig. 11a). The bearing lines were extracted by the 3D CAD model of the die and then projected on the bil et surfaces (Fig. 11b). 348 Figure 10. (top) Micrographical map of profile B at 1000mm and (bot om) of profile C at 950 mm from stop mark. Due to the symmetry of the profile, only half of the model was simulated including profiles A and B. The resulting model was divided in 4 components to due the different boundary conditions involved: bil et, porthole, that included the welding chamber, bearing and profile (Fig. 12). The computation of the transverse welds evolution did not require the simulation of the tools that were not included in the model. However, the heat exchange at the tool-bil et interfaces was accounted for by set ing proper values of the convective coefficients and reference temperatures for a third kind of boundary conditions for the heat diffusion equation at the surfaces. 349 (a) (b) Figure 11. (a) 3D CAD model of the bil et as required by HyperXrude®; (b) enlargement of the bearing curves definition. Figure 12. 3D FE model of the bil et with the components definition. The bil et and porthole components were free meshed with 3D tetrahedral 4-noded elements. Due to the higher accuracy required in the bearing and profile regions, 3D prismatic 6-noded elements were used for these regions. The final model consisted of 1323583 elements and 538026 nodes. 350 The temperature of the bil et at the exit of the preheating oven was set as the initial values in the FE simulation (i.e. 478°C). Among the four extruded bil ets, the first set of process parameters of the last bil et recorded during the experimental campaign were used as the reference values for the ram speed set ing and the results comparison (i.e. recording point 5.1 in Tab. 2). At the four exits, zero normal stress boundary conditions were specified. This amounts to specifying zero pressure at the exits. A ful sticking condition was set at the bil et surfaces that, in the experimental set-up, were in contact with the container and die (porthole and welding chamber). For these, a convective coefficient of 3000 W/m^2C° was used; the references values for the heat equation were the respective initial temperatures of the tools (Tab. 1). Heat flux was set equal to zero for the free surface condition at the profile surfaces while in the bearing components a viscoplastic friction model with a coefficient value of 0.3 was used accounting for the material sliding that occur in these regions. The ram speed was imposed by applying the prescribed velocity of 6.2 mm/s at the bil et back. The scheme of the applied boundary conditions is reported in Fig. 13.
Figure 13 . The boundary conditions applied to the 3D FE model of the extruded bil et. 351 The flow of aluminum at elevated temperature exhibits a viscoplastic behaviour and is thus non-Newtonian. The effective flow stress of the AA6060 al oy was expressed by the Sel ars-Tegart inverse sine hyperbolic model (Sel ars et al. (1972)) then modified by Sheppard and Wright (Sheppard et al. (1979)) to yield the steady-state effective deviatoric flow stress:                       '' '' =                       = '' '' '' n n RT Q A A Z 1 1 1 1 exp 1 sinh 1 sinh 1 ε α α ' (1) in which Z is the Zener-Hol omon parameter (Zener et al. (1944)) n=3.515, Q=144000J/mol, A=5.91052''109s-1, R=8.314 J/(K°''mol), α=3.464''10-8 m2/N and T is expressed in K°. The properties used for the AA6060 al oy are reported in Tab. 4: Table 4. Physic, thermal and mechanical properties of the AA6060 used in the present study. Density (Kg/m3) 2685 Specific heat (J/Kg''K) 878 Conductivity (W/m''K) 200 Coefficient of thermal expansion (1/K) 1e-5 Young modulus (MPa) 40000 Poisson ratio 0.35 The scrap (weld length) calculation was performed by means of a transient analysis with moving boundaries. In this type of problem, the boundary conditions for the flow and heat transfer equations are treated as time-dependant and the position of the bil et back and of the bil et-container interface tracked during the simulation time. The mesh in the profile, bearing, porthole and welding chamber remain fixed, but in the bil et region the elements scale down linearly in the extrusion direction at each time step. Altair HyperXrude® uses an Arbitrary Lagrange-Eulerian description of motion in problems with moving boundaries since it coalesces a good numerical stability and convergence properties with a robust mesh moving technique. A variable decreasing number of time steps was defined starting from the first 10 seconds, in which the transverse welds were supposed to evolve and the velocity and thermal fields to reach the regime values, to the remaining 70 sec of simulation, used to evaluate the load-stroke history. The maximum number of nonlinear iteration was set equal to 25 with a convergence tolerances on velocities taken to be 10-3. Even the tolerance for iterative equation solvers was set at 10-3 for velocities. A 90% of the deforming work was considered to be converted in heat. Numerical results The total simulation time was 132 hours. In Fig. 14 is shown the evolution of the transition between the new (grey) and the old (black) bil ets for the two profiles. As can been observed, the FE code correctly predicted the replacement of the bil et that first involved the massive part (X) of the profile (steps 12 to 14) and then the thinner part (Y). 352 Figure 14 . Evolution of the transverse weld at various subsequent time steps. In addition, as experimental y observed, the code was found able to capture the faster fil ing of new material in the thicker part for the profile A than in B and the contrary for the thinner part. In Figure 15 shows the percentage of the new bil et as a function of the stop mark distance with the detail of the replacement of the new to the old bil et for four simulation steps. Minimal differences were observed between the prediction of the profiles A and B charge weld evolution, especial y at the beginning of the replacement (Fig. 16). 4. DISCUSSION
A good agreement was found between the experimental results and numerical prediction in terms of profile exit velocity with a peak error at the steady state was less than 3% (Fig. 17a). A similarly accordance was observed for the profile exit temperature after the initial experimental thermal transient. Indeed, after the first 40 sec of extrusion, the peak difference was 7.8% (Fig. 17b). 353 0 20 40 60 80 100 400 700 1000 1300 1600 1900 2200 Stop mark distance [mm] P e rc e n ta g e o f n e w b il le t [% ] Profile A 0 20 40 60 80 100 400 700 1000 1300 1600 1900 2200 Stop mark distance [mm] Profile A 100% OLD BILLET 100% NEW BILLET Figure 15 . Simulated percentage of new material over stop mark distance Figure 16. Comparison of the computed percentage of the new material history for the profiles A and B. 354 0 50 100 150 200 250 300 350 0 10 20 30 40 50 60 70 80 P ro fi le e x it v e lo ci ty [ m m /s ] Simulation time [sec] experimental Numerical 0 100 200 300 400 500 600 700 0 10 20 30 40 50 60 70 80 T e m p e ra tu re [ C °] Simulation time [sec] experimental Numerical Figure 17. Comparison of the experimental vs. numerical results for the profile A in terms of exit velocity (left) and temperature (right). A more detailed analysis over the charge weld evolution showed a very good agreement on the trend of profile fil ing by the new material. Figure 18 reports a comparison of numerical and experimental results for profiles A and B. The discrepancy of 200 mm between the experimental and numerical curves could be explained with the upset ing of the bil et that is not computed by the FE code, or with the fact that the percentage of new material is computed at the final surface of the profile placed 50 mm after the die exit. However, more investigations are required in this direction. In addition, Fig. 14 evidences how the numerical model was able to predict the faster fil ing of the material for massive part as experimental y observed (Tab. 2). It was also possible to highlight the overlapping of the weld for the two flows X and Y in profile B and the corresponding delay in profile A (step 15 of Figure 14). Even in this case the code predictions were in agreement with the experimental observation. With the results showed above and a comparison with the industrial process parameters, it was possible to perform an evaluation of the die-process efficiency. First, the company was scrapping 2000mm by rule of thumb after the stop mark for weld contamination, which is a 8.7% of bil et material. Above results showed that 2100mm is the extent that grant complete weld scrap, that is a 9.1%. 355 0 20 40 60 80 100 400 700 1000 1300 1600 1900 2200 P e rc e n ta g e o f n e w b il le t [% ] Stop mark distance [mm] Profile A experimental numerical 0 20 40 60 80 100 400 700 1000 1300 1600 1900 2200 P e rc e n ta g e o f n e w b il le t [% ] Stop mark distance [mm] Profile B experimental numerical Figure 18 . Comparison of the experimental vs. numerical results for percentage of new material over the stop mark distance for profile A (left) and B (right). Moreover, it was normal y scrapped 1000mm of profile before the charge weld for skin contamination while keeping a but of 20mm; these adding up to 8.7% of bil et material. Experimental y no trace of skin contamination was found in the profiles nether before than after the stop mark, thus suggesting that no scrap was necessary before the stop mark and that but length could be reduced to 12mm, hence reducing the material waste to 2.6% of bil et material. Adding up the above results, the company process scrap index of 17.4% could be lowered to the die-process efficiency index of 11.7% (retrieved by experimental activities). 5. CONCLUSIONS
Three typical extrusion problems have been investigated for a multi-hole die in a industrial environment. Most of the at ention was directed to the charge weld as the seam weld would disappear within 250mm. The charge weld was investigated by means of microscopical analysis both in terms of extent, onset and evolution trend thus comparing the different die hole influence. Aside welds investigation, skin and but defect were also inquired. In 356 addition, a numerical model was generated by means of the FE code HyperXrude® with the aim to evaluate the code capability to predict the charge weld evolution. The comparison between experimental and numerical results showed a good agreement both in terms of general trend and exhausting points of the percentage of new material over the stop mark distance. This encourage the extension of the work in order to include the back end as the seam weld computation within the FE model. Final y, a synthetic index was defined to give a measure of the die and process efficiency in terms of reduced profile scraps. This can be used to compare two different die designs and theoretical and practical process parameters (e.g. but and scraps length). Acknowledgments
The authors would like to thank Eng. Floriano Bagagli of Alutitan s.p.a. San Marino, Italy for the interest, support and for his help to perform the experiments. REFERENCES [1] N.C. Parson, J.D. Hankin, A.J. Bryant, 1992. ''The metal urgical background to Problems Occurring During the Extrusion of 6XXX al oys' Proceedings of 5th International Aluminum Extrusion Technology Seminar, Chicago, USA, vol II, pp.13-24; [2] M. Lefsta, O. Reiso, V. Johnsen, 1992. ''Flow of the bil et Surface in Aluminum Extrusion' Proceedings of 5th International Aluminum Extrusion Technology Seminar, Chicago, USA, vol II, pp.503-518; [3] H. Valberg 1988, ''Physical Simulation of Metal Extrusion by Means of Model Materials' Proceedings of 4th International Aluminum Extrusion Technology Seminar, Chicago, USA, vol II, pp.321-328; [4] H. Valberg, 2010. ''Understanding Metal Flow In Aluminium Extrusion By Means Of Emptying Diagrams', International Journal of Material Forming, Vol. 3, issue 1, pp. 391-394; [5] B. Reggiani, L. Donati, L. Tomesani, 2010. Effect of different FE simulation codes in the stress analysis of extrusion dies. In the Proc. of the 13th International ESAFORM Conference on Material Forming, University of Brescia, Brescia, Italy, 7-9 April 2010. [6] L. Tomesani, B. Reggiani, L. Donati, N. B. Khalifa, A. E. Tekkaya, 2010. Experimental evaluation and numerical analysis of speed-related effects in aluminium extrusion. In the Proceedings of the 60th CIRP, Accademia Internazionale di Ingegneria del a Produzione (ht p:/ www.cirp.net), 22nd-28th August, Pisa, Italy. [7] J. Zhou, 2003. ''3D FEM simulation of the whole cycle of aluminium extrusion throughout the transient state and the steady state using the updated Lagrangian approach', J. Mater. Proc. Technol., 134, pp. 383-397. [8] C. Sommitsch, R. Sievert, T. Wlanis, B. Günther and V. Wieser, 2007 ''Model ing of creep-fatigue in containers during aluminium and copper extrusion', Computational Materials Science, 39, pp. 55''64. [9] B. Bourqui, A. Huber, C. Moulin, A. Bunet i, 2002. "Improved weld seam quality using 3D FEM simulations in correlation with practice", in: Proceedings of the First EAA, European Aluminum Association Vol. 27-2 - Ed. Metal urgical Science and Technology 29 Extruders Division, Brescia, Italy. 357 [10] L. Donati, L. Tomesani, 2004. "The prediction of seam welds quality in aluminum extrusion". Journal of Materials Processing Technology, 153''154, pp. 366''373. [11] L. Donati, L. Tomesani, 2005. "The effect of die design on the production and seam weld quality of extruded aluminum profiles". Journal of Materials Processing Technology, 164''165, pp.1025''1031; [12] L. Donati, L. Tomesani, G. Minak, 2007. "Characterization of seam weld quality in AA6082 extruded profiles". Journal of Materials Processing Technology, 191, pp. 127'' 131. [13] G. Liu, J. Zhou, J. Duszczyk, 2008. "FE analysis of metal flow and weld seam formation in a porthole die during the extrusion of a magnesium al oy into a square tube and the effect of ram speed on weld strength", J. Mater. Process. Technol., 200,185 '' 198. [14] Reddy, M.P., Reddy, J.N., Akay, H.U., 1991. "A 3-D penalty finite element model of forming processes. Adavances in Finite Element Analysis in Fluid Dynamics", ASME, 123, pp. 61-76 [15] Sel ars, C.M., Tegart, W.J.McG., 1972. "Hot workability", International Metal urgical Reviews, 17(1), pp. 1-24 [16] Sheppard, T., Wright, D., 1979. "Deformation of flow stress: Part 1 constitutive equation for aluminium al oys at elevated temperature". Metals Technology, 6, pp. 215-223. [17] Zener, C., Hol omon, J.H., 1994. "Effect of stran-rate upon plastic flow of steel". Journal of Applied Physics, 15, pp. 22-32 358 AGGIORNAMENTO AUTOMATICO DI UN MODELLO
AD ELEMENTI FINITI B-SPLINE MEDIANTE RILIEVI
SPERIMENTALI DI FUNZIONI DI RISPOSTA IN
FREQUENZA


Antonio Carminelli
Dipartimento di Ingegneria delle Costruzioni Meccaniche, Nucleari, Aeronautiche e di
Metallurgia (DIEM),
Università di Bologna, Italia
E-mail: antonio.carminelli@unibo.it

Giuseppe Catania
Dipartimento di Ingegneria delle Costruzioni Meccaniche, Nucleari, Aeronautiche e di
Metallurgia (DIEM),
Università di Bologna, Italia
E-mail: giuseppe.catania@unibo.it

Sommario . Viene presentata una procedura di aggiornamento di un model o ad Elementi Finiti (EF) di componenti in parete sottile basata su funzioni di forma B-spline, utilizzando Funzioni di Risposta in Frequenza (FRF) come dati di ingresso. La procedura si basa sulla minimizzazione di una funzione obiet ivo definita mediante la somma dei quadrati del a dif erenza tra la risposta del model o e quel a misurata sperimentalmente alla stessa frequenza. I parametri ottimizzati sono i coef icienti dei model i di vincolo e di smorzamento, entrambi descrit i facendo uso di funzioni B-spline. L''incompatibilità tra i gdl misurati e quel i del model o EF è stata risolta mediante una trasformazione di coordinate che fa uso del e stesse funzioni di forma del model o EF. La corret ezza del a procedura è stata testata tramite un esempio numerico relativo ad una piastra quadrata vincolata su di un lato. Le FRF utilizzate come dati di ingresso del a procedura sono state generate numericamente. I risultati sono presentati e discussi.
Keywords: updating, B-spline, elementi finiti, FRF, vincoli, smorzamento.
1. INTRODUZIONE I modelli ad EF possono essere utilizzati per simulare la risposta di una struttura o di un
componente meccanico in modo accurato. Recentemente sono stati pubblicati diversi
lavori sull''utilizzo di funzioni di tipo spline come funzioni di forma per modelli EF di tipo
tridimensionale [1], bidimensionale [2] e monodimensionale [3]. In [4] è stato mostrato
come tali modelli ad EF possano mostrare una maggiore accuratezza, rispetto ai classici
modelli ad EF impieganti funzioni polinomiali, soprattutto per ciò che riguarda la
simulazione della risposta vibratoria. Tuttavia, avendo a che fare con modelli teorici, è
necessario considerare le incertezze del modello quali, ad esempio, quelle legate alla
modellazione di vincoli e giunti, alle proprietà del materiale o al modello di smorzamento. 359 Nonostante la letteratura riguardante le tecniche di aggiornamento (o updating) [5-10] di
modelli ad EF sia vasta, alcune tematiche sono ancora irrisolte. L''utilizzo di parametri
modali, di FRF oppure di altre tipologie di risposte come dati d''ingresso della procedura di
updating è un argomento dibattuto. La tecnica di parametrizzazione è una problematica
rilevante che deve essere trattata per evitare il mal-condizionamento delle equazioni: è
importante che i parametri di updating siano in grado di modellare la risposta del sistema
evitando al contempo soluzioni non fisiche. Inoltre l''aggiornamento dei modelli delle
condizioni di vincolo [6] e dello smorzamento strutturale [9], a conoscenza degli scriventi,
sono argomenti non estesamente trattati in letteratura. Infine, l''incompatibilità tra i gradi
di libertà (gdl) di misura e i gdl del modello EF è una problematica ricorrente, e tecniche
di espansione o riduzione sono generalmente utilizzate per risolvere tale tipologia di
problema [5]. Un approccio più generale, tuttavia, dovrebbe prendere in considerazione
anche l''utilizzo di diverse tipologie di gdl nei due modelli [12]. In questo lavoro vengono utilizzate FRF come dati di ingresso di una procedura di updating di un modello ad EF per componenti in parete sottile basato su funzioni di forma
B-spline. La procedura si basa sulla minimizzazione di una funzione obiettivo definita
dalla somma dei quadrati dei residui, definiti come la differenza tra la risposta del modello
e quella misurata sperimentalmente alla stessa frequenza. I parametri ottimizzati sono i
coefficienti dei modelli di vincolo e di smorzamento, entrambi descritti facendo uso di
funzioni B-spline. Il modello di smorzamento è definito su un intervallo di frequenza più
esteso della banda in cui sono disponibili le misure, al fine di considerare anche l''effetto di
eventuali modi prossimi all''intervallo di frequenza misurato. L''incompatibilità tra i gdl
misurati e quelli del modello ad EF è stata risolta mediante una trasformazione di
coordinate che fa uso delle stesse funzioni di forma del modello ad EF. La procedura è stata testata utilizzando il modello di una piastra quadrata con i modelli di vincolo e smorzamento proposti. Le FRF sono state generate numericamente
utilizzando lo stesso modello di piastra ma con differenti modelli di vincolo e
smorzamento. I risultati vengono presentati e discussi. 2. ELEMENTO FINITO GUSCIO B-SPLINE Modello guscio B-spline
La geometria di un componente in parete sottile con superficie media a doppia curvatura
può essere efficacemente descritta utilizzando una mappa dallo spazio parametrico , , 0 , , 1 allo spazio Euclideo tridimensionale (x,y,z). Il vettore posizione della superficie media di un componente in parete sottile, in un sistema di riferimento
cartesiano fisso O{x,y,z}, può essere definito per mezzo del prodotto tensoriale di funzioni
B-spline [13]: 1 1 ( , ) ( ) ( ) x m n p q y i j i j z r
r B B r ij r P (1) dove: 360 Pij sono m n punti di controllo (pdc) che descrivono la superficie media B-spline; p i B (e rispettivamente qj B ) è la i-esima (j-esima) funzione B-spline normalizzata di grado p (q) definita rispetto alla coordinata curvilinea ( ) per mezzo del vettore dei nodi 1 , ..., r U ( 1 , ..., r V ). L''elemento finito noto come guscio degenere è utilizzato in molti software commerciali per la sua semplicità. Il vettore posizione dell''elemento guscio degenere può
essere espresso come:
1 1 1 ( , , ) ( ) ( ) 2 m n p q i j ij i j B B t ij 3 ij s P v (2)
dove i vettori ij 3 v e i coefficienti ijt possono essere calcolati seguendo la tecnica di interpolazione definita in [14]. La funzione di spostamento può essere definita seguendo l''approccio isoparametrico [15]:
1 1 1 0 0 1 ( , , ) ( ) ( ) 0 1 0 [ ] 2 0 0 1 , ij ij m n p q ij i j ij ij ij i j ij ij u v w B B t 2 1 u v w d -v v N N δ N δ N (3) dove è il vettore contenente 5 N m n gdl generalizzati: 11 11 11 11 11 T mn mn mn mn mn u v w u v w δ , (4) uij, vij e wij sono gdl associati alla modellazione della traslazione, ij e ij sono gdl associati alla modellazione della rotazione, 1 2 3 ij ij ij v , v , v è una terna ortonormale definita su Pij a partire dal vettore 3
ij v [14]. Le equazioni del moto possono essere ottenute utilizzando il principio di minimo dell''energia potenziale totale [15]:
min U W (5)
dove U è il potenziale interno del sistema e W è il potenziale delle forze esterne, 361 includendo quello delle forze d''inerzia. Seguendo la trattazione esposta in [12] si
ottengono le equazioni del moto:
f M δ K δ F (6) dove M è la matrice di massa, Kf è la matrice di rigidezza del sistema non vincolato e F è
il vettore delle forze esterne applicate.

Modello dei vincoli
I vincoli sono stati imposti considerando nel funzionale dell''energia potenziale totale anche l''energia potenziale 'W delle forze vincolari per unità di superficie C Φ , considerate applicate sulla superficie esterna dell''elemento guscio:
1 1 'W ( ) 2 2 T S S dS dS T T C d Φ δ N R N δ (7) con: C Φ = R d , (8) dove R è una matrice 3x3 che contiene i coefficienti di rigidezza rab (a,b=1,2,3) del
modello di vincolo elastico distribuito, descritto utilizzando delle funzioni B-spline: ij 1 1 ab ab ab ab m n p q ab ab i j i j r B B (9) dove ab p i B e ab q j B sono funzioni B-spline monovariate normalizzate, definite sui vettori dei nodi U ab e Vab . Includendo l''energia potenziale 'W delle forze vincolari (Eqn. (7)) nell'' espressione dell''energia potenziale totale e imponendone la stazionarietà [12], le equazioni del moto diventano: f M δ δ F K 'K , (10)
dove la matrice di rigidezza delle forze vincolari è:
S dS T 'K N R N . (11) Modello dello smorzamento Per strutture poco smorzate può essere lecito utilizzare l''ipotesi di smorzamento reale
(autovettori reali). L''ipotesi di smorzamento reale è stata imposta considerando un termine
viscoso nelle equazioni del moto:
f M δ C δ δ F K 'K (12)
dove la matrice di smorzamento C è: 362 1 T d C Φ C Φ (13) e 1 1 2 2 2 0 0 0 2 0 0 0 2 N N d C , (14) dove Φ è la matrice degli autovettori Φ i ottenuti risolvendo l''autoproblema generalizzato 2 i i K M Φ = 0 , (15) 2 i è l''i-esimo autovalore dell''Eqn. (15). i è l''i-esimo fattore di smorzamento modale che può essere valutato tramite la seguente formula: 2 i i i f , (16)
dove lo smorzamento in funzione della frequenza f è descritto come combinazione lineare dei coefficienti di controllo z e delle funzioni B-spline z B definite su un vettore di nodi uniformemente spaziato: 1 ( ) ; ; , 0,1 z n z z ST FI ST z f f u B u f f u f f u (17) dove fST e fFI sono, rispettivamente, il limite inferiore e superiore dell''intervallo di
frequenze sul quale il modello di smorzamento è definito. Al di fuori di tale intervallo di
frequenze, per il calcolo della matrice C del modello ad elementi finiti, è stato considerato
un valore costante per i fattori di smorzamento. Inoltre, per poter considerare l''effetto dei
modi al di fuori dell''intervallo di frequenza misurato, è stato imposto FI MAX f c f (con c>1), dove con MAX f si è indicato il valore della frequenza massima presente nei dati acquisiti. Indicando con ~ ( ) l''operatore di trasformazione secondo Fourier, l''equazione di equilibrio dinamico nel dominio della frequenza è: 2 1 j f M C K 'K δ Z δ H δ F , (18) dove Z è la matrice di impedenza dinamica e 1 H Z è la matrice delle ricettanze. 3. TECNICA DI UPDATING La procedura di updating utilizza direttamente FRF come dati di ingresso e si basa sulla
minimizzazione ai minimi quadrati dei residui, definiti come la differenza tra la FRF del
modello e quella misurata sperimentalmente considerate alla stessa frequenza. I parametri 363 ottimizzati simultaneamente sono i coefficienti dei modelli di vincolo e di smorzamento
introdotti nelle sezioni precedenti. Le FRF X b H , con b=1,', , utilizzate come dati di ingresso, sono state raccolte nel vettore hX : 1 X X X H H h . (19) Nessun elemento del vettore X h può essere direttamente confrontato con uno degli elementi della matrice H , perché il vettore δ contiene gdl non fisici. Le FRF corrispondenti ai gdl fisici del modello possono essere ricavate utilizzando le funzioni di
forma del modello ad EF: se si considera la forza applicata nel punto ( , , ) i P s i i i lungo la direzione ' e la risposta misurata nel punto ( , , ) r P s r r r lungo la direzione ' , la FRF analitica corrispondente è: , , ( , , ) ( , , ) r i T r r r i i i H ' ' ' ' N H N , (20) dove ' e ' possono assumere un valore tra u, v or w (Eqn. (3)). Associando ad ogni FRF presente nel vettore X h la corrispondenza , , , ' ' i r , è possibile ricavare le relative FRF analitiche che possono essere raccolte ordinatamente nel
vettore , a h p : , , , , , , , r i t H H ' ' a θ ' p h p p , (21) dove 1 p p T n p p è il vettore che contiene i parametri pk da ottimizzare. Si noti che nessun limite è stato imposto sul numero di punti di misura o di applicazione della
forzante. In generale le FRF analitiche presenti nel vettore , a h p sono funzioni che dipendono non-linearmente dai parametri pk. Tale dipendenza è stata linearizzata, fissata la pulsazione i, mediante espansione in serie di Taylor troncata nell''intorno di p=p0:
1 , , p n i i k i k k p p a o a o x h p h p h , (22)
dove la sensibilità delle FRF , , ' ' r i H rispetto al generico parametro k p è: 364 , , , , ( , , ) ( , , ) , ( , , ) ( , , ) , , r i T r r r i i i k k T r r r i i i k H p p p ' ' ' ' ' ' p H p N N Z p N H H N p p . (23) L''Eqn.(22) può essere espressa come: 1 1 , , , , , ,..., , i i i k i i k np np p p p p p p a o a o a o x a o h p h p h p h h p (24) o in maniera compatta: i i S 'p 'h , (25) dove i S è la matrice delle sensibilità calcolata in corrispondenza della pulsazione i-esima i e 'p è il vettore delle variazioni dei parametri. Utilizzando i dati delle FRF per nf valori della pulsazione i, è possibile ottenere una stima ai minimi quadrati delle np variazioni kp definendo la funzione errore e: 1 , f n f p i i i n n e S 'p 'h , (26) e minimizzando la funzione quadratica g: g min T e e . (27) Il sistema di equazioni che ne deriva può essere mal-condizionato poichè le FRF possono avere sensibilità molto diverse a seconda del parametro pk che si considera. Per limitare tale problema è stata utilizzata una normalizzazione delle variabili di updating. '
stata inoltre utilizzata una trasformazione delle variabili per vincolare i valori dei
parametri ottimizzati in intervalli compatti predefiniti senza l''utilizzo di ulteriori
parametri [12]. La tecnica è iterativa e prevede ad ogni passo l''approssimazione del primo ordine effettuata nell''Eqn.(22). 4. SIMULAZIONI NUMERICHE Viene presentato un esempio numerico relativo al modello di una piastra quadrata
incastrata su un lato. Sia la geometria che il campo di spostamento sono descritti con
funzioni B-spline di terzo grado e una griglia di 15x11 punti di controllo. 365 Figura 1. Modello ad EF della piastra quadrata con 15x11 pdc (in blu) e 6 gdl di misura (in rosso). I vincoli sono applicati sul lato x=0.

Il modello ad EF della piastra quadrata (lato L=0.4 m) è rappresentato in Fig.1. Il materiale è omogeneo ed isotropo con le seguenti proprietà:
11 3 12 2.1 10 , 0.3, 7850 / E Pa Kg m (28) Simulazione delle FRF misurate Per testare la correttezza della procedura di updating sono state utilizzate FRF generate
numericamente con lo stesso modello di guscio, ma utilizzando una diversa descrizione
per il modello di vincolo e per quello di smorzamento. I vincoli sono stati imposti su di un
lato della piastra quadrata (x=0). I gdl di traslazione secondo gli assi x e y sono stati eliminati sul lato vincolato. I restanti gdl (traslazioni secondo l''asse z e rotazioni) sono stati vincolati utilizzando delle rigidezze distribuite, agenti sul lato inferiore della piastra
( 0 ), descritte mediante il modello proposto nel presente lavoro, dove gli elementi della matrice R sono tutti nulli tranne r33, per il quale valgono (Eqn.(9)):
m 33=7 n 33=1 p 33=2 q 33=0 33 9 3 3 3 ij 10 10 1 1 10 1 1 10 I fattori di smorzamento modali i utilizzati per generare la matrice C sono riportati in Fig.2. Con tali valori sono state generate le FRF, nell''intervallo di frequenza [0, 800]
Hz, assumendo che la forzante sia applicata in corrispondenza del gdl 1 (quadrato rosso
''1'' in Fig.1) lungo la direzione z e simulando la risposta in corrispondenza di sei gdl
(spostamento w in corrispondenza dei sei quadrati rossi in Fig.1). 366 0 200 400 600 800 1000 1200 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065 f i [Hz] i Figura 2. I fattori di smorzamento modali i utilizzati per generare le FRF utilizzate come input della procedura di updating. 0 100 200 300 400 500 600 700 800 -1 0 1 x 10 -9 fr [Hz] R e a l ( H 2 ,1 ) [N /m ] 0 100 200 300 400 500 600 700 800 -20 -10 0 x 10 -10 fr [Hz] Im a g ( H 2 ,1 ) [N /m ] MODELLO
DATI Figura 3. Confronto delle FRF (ingresso gdl 1, uscita gdl 2) prima della procedura di updating: dati di ingresso (linea blu punteggiata) e
modello (linea rossa continua). Risultati della procedura di updating I parametri coinvolti nella procedura di updating sono i coefficienti del modello di vincolo 33 ij ( m33=7, p33=2, n33=1, q33=0 in Eqn.(9)) e quelli del modello di smorzamento z (funzioni B-spline quadratiche con n z=7, fST=0 Hz e fFI=1.2·800=960 Hz). 367 La procedura è inizializzata ponendo tutti i coefficienti 33 11 ij 1 10 e tutti i coefficienti di smorzamento 0.01 z . Tutte le sei FRF sono state considerate. In Fig.3-4 sono presentate alcune FRF utilizzate come ingresso della procedura di updating, con le
corrispondenti FRF generate dal modello con i parametri di partenza. La Fig.5 permette di paragonare i fattori di smorzamento modali utilizzati per simulare le misure e quelli identificati tramite la procedura proposta. Il confronto tra le
FRF utilizzate come ingresso e quelle ottenute dopo la procedura di updating sono visibili
nelle Fig.6-7. La Tabella 1 presenta le prime nove frequenze naturali del modello
utilizzato per generare le FRF di input, e del modello prima e dopo la procedura di
updating.
Tabella 1. Confronto delle prime nove frequenze naturali del modello utilizzato per generare le FRF di input ( fMIS), e del modello prima ( fIN) e dopo (fFIN) la procedura di updating. fMIS Hz fIN Hz fFIN Hz 24.91 15.82 26.64 89.58 85.56 89.72 208.66 196.87 211.13 326.68 323.20 326.55 332.74 323.67 333.71 625.24 609.24 621.41 657.54 642.69 662.19 751.36 741.62 755.71 818.43 810.12 816.24 0 100 200 300 400 500 600 700 800 -4 -2 0 2 4 x 10 -7 fr [Hz] R e a l ( H 6 ,1 ) [N /m ] MODELLO
DATI 0 100 200 300 400 500 600 700 800 -2 0 2 4 6 x 10 -7 fr [Hz] Im a g ( H 6 ,1 ) [N /m ] Figura 4. Confronto delle FRF (ingresso gdl 1, uscita gdl 6) prima della procedura di updating: dati di ingresso (linea blu punteggiata) e modello (linea rossa
continua). 368 0 200 400 600 800 1000 1200 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 fr [Hz] Poligono di
controllo (f) identificato i di input Figura 5. Confronto dei fattori di smorzamento modali i (quadrati in rosso) utilizzati per generare le FRF di input (nell''intervallo [0,800] Hz) e
funzione ( ) f identificata (linea continua nera; la linea tratteggiata verde è il poligono formato dai pdc). Il modello di smorzamento è
definito sull''intervallo [0,960] Hz.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 -5 0 5 x 10 -10 fr [Hz] R e a l ( H 2 ,1 ) [N /m ] MODELLO
DATI 0 100 200 300 400 500 600 700 800 -15 -10 -5 0 5 x 10 -10 fr [Hz] Im a g ( H 2 ,1 ) [N /m ] Figura 6. Confronto delle FRF (ingresso gdl 1, uscita gdl 2) dopo la procedura di updating: dati di ingresso (linea blu punteggiata) e modello (linea
rossa continua). 369 0 100 200 300 400 500 600 700 800 -2 0 2 x 10 -7 fr [Hz] R e a l ( H 6 ,1 ) [N /m ] MODELLO
DATI 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 2 4 x 10 -7 fr [Hz] Im a g ( H 6 ,1 ) [N /m ] Figura 7. Confronto delle FRF (ingresso gdl 1, uscita gdl 6) dopo la procedura di updating: dati di ingresso (linea blu punteggiata) e modello (linea
rossa continua). 5. CONCLUSIONI ' stata presentata una procedura di updating di un modello ad EF basato su funzioni di
forma di tipo B-spline utilizzando FRF come dati di ingresso. La procedura prevede la
minimizzazione la somma dei quadrati dei residui considerati a varie frequenze, e ha
condotto ad un sistema di equazioni sovra-determinato che è stato risolto ai minimi
quadrati. I parametri ottimizzati sono i coefficienti dei modelli di vincolo distribuito e di
smorzamento proposti. Entrambi i modelli sono stati descritti mediante l''utilizzazione di
funzioni B-spline. L''incompatibilità tra i gdl di misura e quelli del modello è stata risolta
utilizzando le stesse funzioni di forma del modello ad EF, con un piccolo costo
computazionale aggiuntivo. ' stato presentato un esempio di applicazione della procedura
di updating riguardante una piastra quadrata sottile incastrata su un lato. Le quattro FRF
usate come ingresso della procedura sono state simulate utilizzando lo stesso modello di
piastra ma utilizzando un diverso modello di vincolo e di smorzamento. I risultati
numerici mostrano una buona corrispondenza con le FRF di ingresso. Le
parametrizzazioni proposte permettono un efficiente adattamento dei modelli di vincolo di
smorzamento al sistema da rappresentare indipendentemente dal numero di gdl del
modello FE. ' necessario verificare l''approccio usando dati realmente misurati come
ingresso, al fine di esaminare l''effetto degli errori di modello e di misura. Ricerche future
saranno dirette sulla scelta ottimale delle frequenze da considerare nella procedura di
updating. Ringraziamenti Il presente studio è stato realizzato all''interno del CIRI-MAM, con il contributo della
Regione Emilia-Romagna, Progetto Tecnopoli. 370 RIFERIMENTI
[1] Hughes, T.J.R., Cottrell, J.A. and Bazilevs, Y., 2005. ''Isogeometric analysis: CAD, finite elements, NURBS, exact geometry, and mesh refinement''. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 194, pp. 4135''4195. [2] Kagan, P., Fischer, A., and Bar-Yoseph, P. Z., 2003. ''Mechanically based models: Adaptive refinement for B-spline finite element''. Int. J. Numer. Meth. Engng., 57, pp. 1145''1175 [3] Debabrata, R., 2003.''c-Type method of unified CAMG and FEA. Part 1: Beam and arch mega-elements''3D linear and 2D non-linear''. Int. J. Numer. Meth. Engng., 58, pp.1297'' 1320. [4] Hughes, T.J.R., Reali, A., and Sangalli, G., 2009. ''Isogeometric methods in structural dynamics and wave propagation''. In Proceedings of COMPDYN 2009-Computational
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371 372

EFFETTO DEL CONTENUTO DI IDROGENO E DELLE
VELOCITA''
DI RAFFREDDAMENTO SULLA MICROPOROSITA'' NELLA PRODUZIONE PER FUSIONE DI CAMPIONI A DIFETTOLOGIA CONTROLLATA PER PROVE DI FATICA Ivan Todaro DIEM Università di Bologna E-mail: ivan.todaro@mail.ing.unibo.it Rosario Squatrito DIEM Università di Bologna E-mail: Rosario.Squatrito@unibo.it Lorel a Ceschini SMETEC Università di Bologna E-mail: ceschini@bomet.fci.unibo.it Andrea Morri SMETEC Università di Bologna E-mail: a.morri@unibo.it Luca Tomesani DIEM Università di Bologna E-mail: luca.tomesani@unibo.it
Sommario . La produzione di un numero statisticamente rilevante di provini consistentemente simili in termini di microstrut ura e difet ologia da utilizzare in prove di fatica, richiede un control o molto spinto del a conduzione del e at rezzature di colata e del e condizioni di processo. In questo lavoro si presenta un esperimento per la produzione, tramite processi di colata in conchiglia per gravità, di provini in lega di al uminio a carat eristiche microstrut urali e difet ologiche control ate. I principali parametri di processo sot oposti a control o sono stati le velocità di raf reddamento imposte al get o e la quantità di idrogeno nel bagno fusorio. Si è inoltre 373 tentato un control o del a quantità di ossidi nel bagno, che agendo come siti di nucleazione del e porosità, possono influire sul loro numero e dimensione. Si è valutata la distribuzione di alcune grandezze rilevanti nei get i prodot i (SDAS, Area % del e Porosita ecc.) al o scopo di validare i criteri di proget azione del o stampo e del a conduzione del ''esperimento.
Parole Chiave : colata in conchiglia, leghe di al uminio, provini, fatic, microporosità 1. INTRODUZIONE
Le leghe di Al uminio del a serie A356/A357 trovano largo impiego nel set ore automotive grazie ad eccel enti carat eristiche di colabilità, resistenza a corrosione e specialmente al ''ot imo rapporto fra carat eriche meccaniche e densità. I processi di formatura da liquido introducono inevitabilmente difet i peculiari che possono abbat ere le carat eristiche meccaniche del e leghe in termini di al ungamento percentuale e soprat ut o di vita a fatica. I difet i che maggiormente incidono sul e prestazioni a fatica di un get o sono le porosità da ritiro e da gas [1]. Solo quando le porosità sono trascurabili, gli effet i di altri difet i divengono apprezzabili [2-3] Per valutare l''effet o di tali difet i ed altre carat eristiche microstrut urali sul a resistenza a fatica, è fondamentale produrre provini a difet ologia e microstrut ura control ate. A tale scopo è necessario svolgere uno studio approfondito sul ''at rezzatura di produzione e sul a conduzione di tut o il processo di colata, a partire dai protocol i di trat amento del a lega liquida, di riempimento del o stampo, fino al e modalità di condizionamento del raffreddamento del get o. In tut o lo studio, la simulazione numerica del processo riveste un ruolo fondamentale. 2. DESCRIZIONE DELL''ESPERIMENTO
Gli scopi del a sperimentazione sono stati: 1. Studiare una geometria semplice per i get i in modo da rendere possibile, per ciascuno di essi, l''estrazione di set di campioni sostanzialmente identici in termini di microstrut ura e distribuzione dei difet i 2. Differenziare i get i fra di loro per microstrut ura e porosità 3. Produrre un gradiente di microstrut ura e porosità nel a sezione di ciascun get o
Progettazione della conchiglia I requisiti generali per la proget azione del a conchiglia sono stati: 1. Possibilità di variare le velocità di raffreddamento per ciascuna colata 2. Forzare la direzione del Flusso di Calore durante la solidificazione per indurre superfici isoterme planari, in modo da ot enere un gradiente di microstrut ura nel a sezione del get o 3. Condizioni di riempimento tali da evitare turbolenze ed intrappolamento di ossidi Questi requisiti si sono concretizzati nel a geometria presentata in Fig.1. Si trat a di una conchiglia conforme al a pratica del a fusione in conchiglia per gravità, basata su un bastone di colata convergente, una curva di 90° ad ampio raggio di raccordo, seguita da un condot o orizzontale ed un at acco di colata singolo nel a parte inferiore del get o in modo da ot enere un riempimento ''in sorgente'. 374 Figura 1. Disegno del a conchiglia Il get o è una semplice lastra verticale di spessore 30 mm, 300 mm in altezza e 250 mm in larghezza. La conchiglia è composta da due elementi (A e B in Fig.1) ricavati per asportazione di truciolo a partire da due blocchi in acciao da costruzione C40. Per control are le velocità di raffreddamento dei get i l''elemento denominato (A), è stato dotato di un sistema di canali posizionati a 20 mm dal ''interfaccia get o/stampo, alimentabili con portate note di aria o acqua. L''elemento (A) è inoltre riscaldabile at raverso torce a metano. Una lastra di materiale refrat ario spessa 30 mm (C), è stata al oggiata in una tasca ricavata nel ''elemento (B) per inibire il raffreddammento del get o da una del e due superfici maggiori, al o scopo di ot enere un gradiente del e velocità di raffreddamento nel get o. Per valutare la distribuzione e l''evoluzione del e temperature nel a conchiglia, ot o termocoppie di tipo ''K' da 0.5 mm di diametro sono state disposte a 5 mm e 10 mm dal a superficie get o/stampo. Per definire le sezioni notevoli del sistema di alimentazione, è stata imposta una velocità massima di 0.5 m/s, pari al a velocità critica indicata in let erarura come limite per evitare difet i tipici del riempimento di un get o [4-5] Il dimensionamento dei canali di colata è stato at entamente studiato per mezzo di simulazioni numeriche utilizzando il software commerciale PROCast V.2008 al o scopo di garantire un flusso per quanto possibile privo di turbolenze, evitare ingressi prematuri del fuso nel a figura e garantire le giuste velocità di riempimento. Per ot enere tali scopi il sistema di colata è stato dotato di: A B C 375 1. Uno swirler cilindrico, posizionato sopra al filtro (disposto orizzontalmente) per assorbire picchi di pressione dovuti al transitorio di riempimento del a tazza e del bastone di colata 2. Una trappola al a fine del canale di alimentazione orizzontale, per evitare l''ingresso nel a figura degli ossidi che si formano sul fronte di avanzamento del metal o Le prime analisi numeriche di riempimento del a conchiglia hanno mostrato un ampio ricircolo nel piano verticale del get o che potrebbe forzare l''innesco di moti convet ivi del fuso durante la solidificazione. Per limitare tale effet o si è proceduto al dimensionamento degli at acchi di colata cercando di minimizzare il momento del a quantita di moto del ricircolo. Campagne successive di simulazione hanno dimostrato come il rapporto fra il primo tempo di solidificazione (sot o la Tliq) ed il tempo di insorgenza del flusso convet ivo implicassero limitate differenze di temperatura nel get o al a fine del riempimento. L''analisi numerica del a solidificazione (Fig.2) ha mostrato una stratificazione del e isoterme di raffreddamento un gradiente del e velocità di solidificazione, il cui fronte planare procede dal a zona ''fredda' del get o verso quel a a contat o con la lastra di materiale refrat ario. Tale osservazione conforta la possibilità di estrarre da ogni get o almeno un set di campioni carat erizzati da condizioni di raffreddamento pressochè identiche. Figura 2. Analisi numerica del a solidificazione: è possibile notare una stratificazione planare del e isoterme di raffreddamento nel a sezione longitudinale del get o 376 Trattamento del bagno fusorio
Per differenziare i livel i di microporosità si può agire sul e modalità di alimentazione del get o (per promuovere o inibire la creazione di porosità da ritiro) o sul a quantità di idrogeno disciolto nel bagno di fusione, onde generare porosità da gas. Dato che il control o del e porosità da ritiro non è agevole da realizzare ed è fortemente condizionato da fat ori geometrici, si è scelto come ''driver' del e porosità il tenore di idrogeno nel bagno di fusione. Per ot enere livel i diversificati e control ati di idrogeno in soluzione nel bagno fusorio si sono messe a punto apposite at rezzature ed un opportuno disciplinare del e at ività di trat amento del bagno di fusione. Per partire sempre dal e medesime condizioni si è scelto di sot oporre ognuna del e cariche di lega fusa nel forno di at esa, al o stesso trat amento preliminare consistente di: 1. Un at ento processo di scorifica 2. Uno o più cicli di degasaggio mediante lancia rotante ad argon (Fig. 3) 3. Misurazione, mediante sonda Foseco Alspek-H (Fig. 3), del livel o di idrogeno nel bagno. Il livel o target è di 0.08-0.10 ml H2 /100g lega A partire da tale trat amento preliminare è stato possibile raggiungere i livel i di idrogeno desiderati (Tab.1) facendo gorgogliare nel bagno una miscela al 10% di Idrogeno in Argon; come apparato di gorgogliamento è stata utilizzata la lancia di degasaggio (Fig. 3). Figura 3. Lancia rotante e sonda per la misurazione del a quantità di idrogeno nel bagno (Foseco Alspek-H) 377 Tabella 1 . Livel i di Idrogeno Livel o di Idrogeno (HL) HL0 '' Molto Basso HL1 - Basso HL2 -Medio HL3-Alto Val. (mlH2/100g) 0.08 0.13-0.16 0.23-0.24 0.30-0.33 Tabella 2 . Livel i di ossidazione Livel i di ossidazione (OL) OL0 OL1 OL2 OL3 Val (minuti) 0 1 3 5 Un ulteriore scopo del a sperimentazione è stato studiare l''effet o del a quantità di ossidi presenti nel bagno sul processo di nucleazione del e porosità. Si è implementato a tale scopo un sistema di insufflaggio di quantità crescenti di aria nel bagno. A causa del ''ossigeno presente nel ''aria insufflata, il gorgogliamento provoca la parziale ossidazione del ''al uminio e l''intimo rimescolamento degli ossidi in seno al bagno fusorio. Il livel o di ossidazione è stato determinato in funzione del tempo di insufflaggio (Tab.2). Analisi microstrutturale e difettologica
Per valutare la corrispondenza fra gli obiet ivi prefissi e la realtà sperimentale sono state svolte una serie di misurazioni metal ografiche in corrispondenza del a zona di estrazione dei provini. Le analisi metal ografiche sono state eseguite nel a zona centrale del Campione Metal ografico 0 indicato in Fig. 5, per ognuno dei get i prodot i. Le porzioni di materiale sono state estrat e, inglobate e preparate per l''osservazione secondo le consuete tecniche di preparazione metal ografica [6]. L''osservazione del a microstrut ura e del a microporosità è stata svolta al microscopio ot ico a riflessione e le immagini acquisite sono state elaborate mediante l''utilizzo di software per l''analisi di immagine. I dati acquisiti sono stati poi elaborati statisticamente mediante l''ausilio di fogli di calcolo commerciali per la valutazione di: 1. Distanza fra i bracci secondari del e dendriti (SDAS [µm]) 2. Area Percentuale dei difet i (DAF%) 3. Numero dei difet i per cm-2 (Nd [cm-2]) 4. Massimo diametro di Feret (dimensione maggiore del ret angolo che inscrive il difet o [µm]) 5. ''Roundness' R, definito come: (1) Dove R=1 per pori perfet amente circolari, mentre valori maggiori di 1 indicano morfologie dei difet i più complesse. 378 Figura 4. Zona di estrazione del campione metal ografico sot oposto ad analisi 3. RISULTATI E DISCUSSIONE
Per l''analisi del o SDAS si presentano i risultati relativi ad alcune piastre carat erizzate dal a stessa temperatura di partenza del a conchiglia, in quanto rappresentative del ''intera esperienza. Come è possibile notare da Tab. 3 e da Fig. 5 esiste una chiara tendenza del o SDAS spostandosi dal lato del get o a contat o con la conchiglia (il lato da cui l''estrazione del calore è stata più vigorosa) verso il lato ''caldo' del get o, quel o cioè a contat o con la lastra di materiale coibente. La variazione di SDAS risulta inoltre sufficientemente consistente, essendo lo scarto medio di ogni misurazione rispet o al a media misurata nel o stesso punto per tut i i get i, raccolto in un interval o di 5 µm al massimo. La produzione di porosità (Tab. 4 e Fig. 6) è estremamente sensibile al contenuto iniziale di idrogeno nel a lega. Si riesce quindi ad at ingere valori medi di porosità sufficientemente differenti, agendo su questo parametro. ' inoltre possibile notare una variazione del ''entità del a porosità percentuale nel a sezione, spostandosi dal a parte del get o a contat o con la conchiglia verso la parte a contat o col materiale coibente, concordemente con la diminuzione del e velocità di raffreddamento del get o. 379 Tabella 3 . Misurazioni puntuali del o SDAS per quat ro dei get i prodot i: valori puntuali nel a sezione Distanza dal a conchiglia (Lato Freddo) [mm] Get o 1 (SDAS) [mm] Get o 2 (SDAS) [mm] Get o 3 (SDAS) [mm] Get o 4 (SDAS) [mm] 1.9 41 39 38 38 5.9 44 43 42 41 9.9 46 48 42 43 13.9 50 49 46 48 17.9 51 53 49 47 21.9 51 55 54 51 25.9 53 57 54 53 29 50 50 47 47 Figura 5. Andamento medio del o SDAS per le quat ro lastre selezionate nel a sezione sot oposta ad indagini metal ografiche. 380 Tabella 4 . Porosità medie nel e famiglie di get i a contenuto iniziale di idrogeno differenziato: valori puntuali nel a sezione Idrogenazione HL0 [ml/100g] Idrogenazione HL1 [ml/100g] Idrogenazione HL2 [ml/100g] Idrogenazione HL3 [ml/100g] Distanza dal a conchiglia (Lato Freddo) [mm] Porosità % Porosità % Porosità % Porosità % 1.90 0.03 0.04 0.52 1.26 5.90 0.00 0.06 0.53 1.45 9.90 0.00 0.20 0.50 1.25 13.90 0.00 0.27 0.57 1.14 17.90 0.00 0.39 0.71 1.61 21.90 0.07 0.32 0.82 1.88 25.90 0.01 0.79 0.94 1.63 29.00 0.16 0.70 0.73 1.87 Figura 6 . Comparazione degli andamenti del e porosità nel e famiglie di get i a contenuto iniziale di idrogeno differenziato, nel a sezione sot oposta ad indagini metal ografiche. 381 Figura 7. Effet o del contenuto di idrogeno sul numero di difet i per unità di superficie Figura 8. Effet o del contenuto di idrogeno sul a dimensione dei difet i espressa in termini di Feret massimo 382 Figura 9. Effet o del contenuto di idrogeno sul a forma del difet i, espresso in termini di Roundness Il numero di difet i per unità di superficie tende ad aumentare con il livel o di idrogeno nel bagno (Fig.7). Tale tendenza rimane valida indipendentemente dal tipo di raffreddamento del a conchiglia durante la solidificazione del get o. Concordemente al e at ese, il livel o di idrogeno ha un impat o anche sul e dimensioni medie dei difet i, espresse in termini di Feret massimo (Fig. 8). I get i raffreddati ad aria inoltre presentano dimensioni del e porosità maggiori (circa 40 µm) rispet o a quel i raffreddati ad acqua: ciò conferma l''influenza del e velocità di raffreddamento sul processo di accrescimento dei difet i. Come si nota da Fig. 9, la quantità di idrogeno nel bagno influenza anche la morfologia dei pori: al ''aumentare del a quantità di gas disciolto corrispondono valori di Roundness inferiori, a testimonianza di una transizione verso forme più arrotondate dei difet i. Al ''at uale stato degli studi, l''analisi del e porosità non ha evidenziato un chiaro impat o del livel o di ossidazione del fuso sul e carat eristiche dei difet i. L''osservazione diret a del e at ività sperimentali ha dimostrato come l''insufflaggio di aria in bol e estremamente fini e disperse, tipica del processo di rotary degassing, ha sortito l''effet o di abbat ere il tenore di idrogeno del bagno e promuovere la risalita in superficie, per flocculazione inversa, degli ossidi generati. In sostanza è possibile affermare che l''insufflaggio di aria tramite lancia rotante non è un metodo efficiente per creare ossidi che rimangano dispersi nel bagno. Non è quindi stato possibile studiare in maniera rigorosa l''effet o del ''aggiunta di fasi nucleanti per le porosità nel bagno. 383 4. CONCLUSIONI
In questo lavoro è stata proposta una procedura sperimentale il cui scopo è quel o di creare materiale a distribuzione nota e control ata di porosità e carat eristiche microstrut urali, per la produzione di provini a fatica. La geometria scelta per l''at rezzatura e le modalità di conduzione del ''esperimento hanno consentito di generare famiglie di get i da cui estrarre provini per prove di carat erizzazione a fatica con una distribuzione di microstrut ura e difet osità adeguatamente control ate. Il control o del ''ossidazione del bagno per lo studio degli effet i sul a nucleazione del e porosità si è dimostrato invece di difficile esecuzione.
Ringraziamenti Si desidera ringraziare: Ferrari SpA, nel a persona del ''Ing. Gianluca Pivet i, per aver concretizzato la possibilità di eseguire le at ività sperimentali descrit e; L''Ing. Lorenzo Pivet i e i Sigg. Stefano Calcaterra e Giuseppe Arcadipane, di Fonderia Scacchet i, per aver fornito l''ospitalità per l''esecuzione del e prove e la competenza per la conduzione del e stesse; FOSECO Italia per aver fonito le at rezzature di misura; Franco Iorio (Model eria CPC) per la produzione del a conchiglia.
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SOLLECITAZIONI IN ESERCIZIO SU UN ANELLO
ROTANTE DI UNA MACCHINA CELLOFANATRICE
Giorgio Olmi Dip. di Ing. del e Costruzioni Meccaniche, Nucleari, Aeronautiche e di Metal urgia, Università degli Studi di Bologna, Italia E-mail: giorgio.olmi@unibo.it Vincenzo Dal Re Dip. di Ing. del e Costruzioni Meccaniche, Nucleari, Aeronautiche e di Metal urgia, Università degli Studi di Bologna, Italia E-mail: vincenzo.dalre@unibo.it
Sommario . Il presente lavoro verte sul a realizzazione di un model o analitico per l''analisi strut urale di un anel o rotante, presente su una macchina impacchet atrice. Dopo un breve excursus sul e carat eristiche architet oniche e dimensionali del a macchina in studio, vengono il ustrate la matematica del model o e i risultati raggiunti, nei termini del e reazioni vincolari iperstatiche, del e carat eristiche del a sol ecitazione e del e tensioni e deformazioni. Mirando ad una validazione sperimentale, gli stessi risultati analitici sono stati impiegati per pianificare prove estensimetriche, successivamente eseguite tramite la strumentazione del ''anel o rotante, con accorgimenti particolari per la trasmissione del segnale. Il confronto fra i dati sperimentali ed analitici ha rilevato degli errori di pochi punti percentuali imputabili al model o, che è quindi risultato validato, aprendo le porte ad un suo uso in ambito proget uale e di definizione dei parametri di esercizio del a macchina.
Parole chiave : anel o rotante, model o strut urale analitico, estensimetria 1. INTRODUZIONE La pratica di fare uso di film plastici trasparenti nel confezionamento dei prodot i iniziò a diffondersi negli anni venti. Le prime applicazioni si riscontrarono negli Stati Uniti e nel ''Europa Occidentale, dove i primi esemplari di macchine automatiche vennero proget ati e costruiti, per operare su film plastici in Cel ofan. Tali macchine erano in grado di stampare un''immagine o una scrit a sul ''incarto e quindi di realizzare il processo di confezionamento del prodot o. Interessanti applicazioni iniziarono quindi a farsi strada nel set ore alimentare ed in quel o del tabacco, nel a realizzazione di incarti, che prendessero la forma del prodot o, nel caso del pacchet o di sigaret e o dei piccoli snack. Successivamente, si poneva il problema di realizzare l''imbal aggio per il trasporto dei prodot i verso il magazzino o il centro di distribuzione. Al o scopo, la stecca di sigaret e o il pal et, nel caso di altri prodot i, dovevano essere rivestiti di film plastico, per preservarne l''integrità. La realizzazione di macchine che realizzassero questo processo ha permesso, a livel o commerciale, il passaggio da una rete formata da piccoli negozi ad una più vasta, costituita da più ampi magazzini e centri di distribuzione. Paral elamente, si sono sviluppate macchine automatiche sempre più veloci ed affidabili, che permet essero un rapido e 385 rigoroso impacchet amento. Questo era necessario anche al a luce anche del a principale finalità di un buon incarto, che doveva garantire un''adeguata barriera contro gli agenti bat erici, l''umidità, i grassi, gli odori. A sua volta, il miglioramento degli aspet i tecnici e l''utilizzo di macchine sempre più sofisticate, richiedevano l''impiego di film dotati di adeguate carat eristiche meccanico-fisiche, quali la trasparenza, la rigidezza, la resistenza al calore, la saldabilità, la scorrevolezza sul e guide [1]. Successivamente, altri passaggi delicati sono stati legati al ''introduzione di nuovi materiali per l''imbal aggio, quali il polipropilene a doppia orientazione o il PVC. Questo ha richiesto in molti casi un aggiornamento del e macchine disponibili nel set ore del packaging, affinché fossero rese in grado di operare con i nuovi materiali, aventi talvolta carat eristiche meccaniche differenti [1]. Oggigiorno, i materiali più utilizzati nel confezionamento sono prodot i di derivazione petrolchimica, quali il Polietilene Tereftalato (meglio noto come PET), il Polivinilcloride (PVC), il polietilene, il polipropilene, il polistirene ed il poliammide [2]. Dal punto di vista tecnico, il presente lavoro focalizza la sua at enzione sul e macchine cel ofanatrici, ossia sul e macchine che risultano in grado di rivestire con un film plastico pezzi di forma oblunga (ad esempio cilindrica o di paral elepipedo), quali carichi pal et izzati, con altezza del ''ordine del mezzo metro. La tipica architet ura di tali macchine è costituita da un telaio che supporta un grande anel o rotante. Quest''ultimo è a sua volta solidale con il gruppo che contiene la bobina del film, oltre ai dispositivi che ne conferiscono l''adeguato tensionamento. Il pezzo da avvolgere nel film plastico è quindi posto al centro del a pianta del ''anel o. Al ''inizio del e operazioni un lembo del film viene fissato al pezzo da rivestire, successivamente, un apposito sistema di movimentazione pone in rotazione l''anel o ad una velocità solitamente fino a 70-80 rpm. Il film può così essere rapidamente avvolto, operando il numero di giri richiesto, per conferire al ''imbal aggio le adeguate carat eristiche di resistenza meccanica, e se necessario, soprat ut o nel caso del ''industria alimentare, per isolare il prodot o dagli agenti esterni. Le due configurazioni possibili possono prevedere una rotazione del ''anel o at orno ad un asse verticale o at orno ad uno orizzontale, la più frequente risulta la prima ivi menzionata. In tal caso, l''architet ura può variare a seconda del a rigidezza del telaio, che può prevedere due o quat ro montanti verticali, ed una strut ura aperta o chiusa tramite traverse ad andamento laterale. In corrispondenza dei montanti sono poi realizzati gli appoggi per l''anel o rotante, che quindi possono essere in numero diverso a seconda del e configurazioni. E'' chiaro che un maggior numero di montanti conferisce al ''intera macchina una maggiore rigidezza, inoltre la presenza di molteplici punti d''appoggio rende la strut ura del ''anel o fortemente iperstatica, con conseguente diminuzione del e sol ecitazioni e del e deformazioni in esercizio. Sul ''entità di tali frecce agisce chiaramente anche la geometria del ''anel o, in particolare le sue dimensioni e la forma del a sezione. Solitamente, l''anel o viene ricavato saldando insieme due metà, ricavate per calandratura di tubi. Le sezioni più frequentemente utilizzate sono la classica anulare e quel a quadrata o ret angolare cava, quest''ultima se adeguatamente dimensionata, porta solitamente ai migliori benefici in termini di maggiore rigidezza a parità di massa in movimento. Le macchine con maggiore rigidezza sono quel e solitamente di qualità superiore, potendo garantire un lavoro di imbal aggio accurato e la massima affidabilità, anche nel caso di uso continuativo al a massima velocità consentita. E'' chiaro che queste maggiori prerogative comportano costi di produzione più elevati, che in ambito di mercato si traducono in prezzi di listino più alti. La Fig. (1) mostra alcuni esempi di macchine ad asse rotante verticale ed orizzontale, con diverse carat eristiche di rigidezza. 386 Figura 1. Esempi di macchine avvolgitrici ad asse verticale a 4 montanti (a) [3], ad asse verticale, con due montanti con sbalzo (b, c) [3-4] ed ad asse orizzontale per imbal aggi di piccole (d) e grandi dimensioni (e) [5]. Il presente lavoro si focalizza su una moderna macchina cel ofanatrice, del tipo ad anel o rotante at orno ad un asse verticale, i cui det agli costrut ivi e dimensionali saranno il ustrati nel Par. 2. Tale macchina si col oca in una fascia alta del mercato e intende differenziarsi dal a concorrenza per la presenza di numerosi accorgimenti brevet ati, che migliorano l''accuratezza del ''imbal aggio, unitamente ad un''elevata rigidezza, dovuta al a strut ura chiusa del telaio ed al vincolamento del ''anel o su ot o punti, sia in direzione verticale che in direzione radiale, quindi con una forte iperstaticità. La massima accuratezza nel ''esercizio deve essere solitamente abbinata al a massima affidabilità, la quale risulta legata al o stato di sol ecitazione che si raggiunge nel componente più caricato: l''anel o. Tale sol ecitazione può variare sensibilmente nel e differenti condizioni di esercizio, a seconda del a velocità di rotazione, o del a massa dei gruppi trasportati, at i al ''avvolgimento e tensionamento del film plastico. Il cosiddet o ''problema del ''anel o caricato' è molto comune nel a meccanica, con diversi esempi riportati in [6]. La ricerca del a massima rigidezza, con conseguente iper- vincolamento, rende però la strut ura presente sul a macchina in studio particolarmente unica e non è possibile riscontrare in let eratura model i di tipo analitico, che permet ano di (a) (b) (c) (d) (e) 387 valutarne le sol ecitazioni in funzione dei diversi parametri dimensionali e di esercizio. Il problema potrebbe chiaramente essere affrontato per via numerica, ma un model o agli elementi finiti, se da un lato rappresenterebbe l''approccio più semplice per fornire lo stato di sol ecitazione corrente, sarebbe inadat o per compiere analisi comparative del tipo ''What' if'', volendo cioè determinare rapidamente quanto la variazione di un parametro possa influenzare lo stato di sol ecitazione. L''analisi del a let eratura mostra inoltre come ben raramente si siano effet uati studi sperimentali su anel i rotanti, con acquisizione in tempo reale dei segnali deformativi, così da comprendere che tipo di oscil azioni essi subiscano al e diverse velocità o se vi siano effet i dinamici al ''avviamento od al ''arresto. Tali prove sono solitamente complicate dal a necessità di acquisire segnali da un corpo in movimento, il che richiede l''adozione di tecnologie wireless o con contat i striscianti. Gli obiet ivi del presente lavoro, a fronte del e motivazioni sopra riferite, sono pertanto i seguenti: ' Valutare lo stato tensionale e deformativo del ''anel o per via analitica, in funzione di tut i i parametri geometrico-dimensionali e di esercizio, con particolare riferimento al a velocità di rotazione. ' Effet uare una stima sperimentale del e sol ecitazioni in esercizio, considerando diverse velocità nel ''abituale campo di lavoro del a macchina. ' Validare il model o analitico, tramite confronto qualitativo e quantitativo degli andamenti riscontrati rispet o ai dati sperimentali. ' Prevedere la sicurezza nel caso di un eventuale aumento del a velocità massima di rotazione. 2. LA MACCHINA IN STUDIO E L''ANELLO ROTANTE Un complessivo del a macchina in studio è mostrato in Fig. (2). Come si può notare, essa si sviluppa in verticale, utilizzando un telaio a quat ro montanti: la strut ura è ulteriormente irrigidita at raverso l''inserzione di travi ad andamento trasversale. Questo accorgimento è reso necessario anche dal e elevate dimensioni del a macchina, avente quote d''ingombro di 2,4 m x 2,4 m x 4,2 m, per una massa complessiva di 3500 kg. Tali elevate dimensioni permet ono di processare anche imbal aggi voluminosi. In corrispondenza dei quat ro montanti sono col ocati i sostegni per l''anel o rotante. In particolare, i vincoli sono costituiti da ruote gommate che agiscono diret amente sul ''anel o, entro opportune guide, per impedire spostamenti verticali e radiali. Il det aglio del ''anel o è il ustrato nel a Fig. (3). Si può osservare (Fig. (3a)) come, in corrispondenza dei quat ro angoli, ognuno dei vincoli sia sdoppiato e realizzato con una coppia di ruote gommate poste ad una distanza angolare di 28° l''una dal ''altra. Si hanno pertanto quat ro coppie di ruote gommate nel a direzione radiale ed altre quat ro in quel a verticale, per un totale di ot o ruote in ambo le direzioni. L''anel o presenta un diametro (linea media) di 2640 mm e sostiene un carrel o porta-bobina, in grado di accogliere un rotolo del diametro di 250 mm e del ''altezza di 500 mm, ed un gruppo pre-stiro. La massa complessiva di tali componenti è pari a 150 kg: si trat a quindi di una massa che va ad insistere, con leggera distribuzione, su un punto preciso lungo la periferia del ''anel o. Al ''estremità diametrale opposta è col ocato un contrappeso, di identica massa, che permet e di bilanciare la componente centrifuga. 388 Figura 2. Un complessivo del a macchina cel ofanatrice in studio. In alcuni model i il contrappeso può essere sostituito da un''altra stazione contenente carrel o porta-bobina e gruppo pre-stiro, analoga a quel a precedentemente descrit a. In tale caso, si ha il doppio vantaggio di una naturale compensazione del e forze centrifughe e del a possibilità di poter svolgere contemporaneamente due bobine di film, o di poterne montare una come riserva, per farla entrare in azione, nel momento in cui la prima si esaurisce. L''anel o viene mosso con l''ausilio di un motore elet rico solidale con il telaio. Questo trasmet e il moto ad una cinghia, che a sua volta si va ad impegnare su una guida lungo la periferia del ''anel o. Sul a cinghia stessa scorrono anche le ruote gommate, che vincolano radialmente l''anel o. La Fig. (3 b-c) mostra un det aglio del a guida e del a cinghia che agisce su di essa, mentre viene riportata anche una vista del a sezione con gli al eggerimenti relativi al a guida laterale prima citata ed al a guida sul a faccia inferiore, in corrispondenza del a quale scorrono le ruote gommate per il vincolamento verticale. La Fig. (3 c) mostra anche le quote geometriche che intervengono nel proget o ed in funzione del e quali è stato sviluppato il model o analitico. La velocità può essere regolata fino ad un massimo di 53 rpm, che rappresenta il valore, che nel presente lavoro è stato preso a riferimento per la determinazione dei carichi centrifughi massimi. 389 Figura 3. Det aglio del ''anel o rotante e dei componenti ivi presenti (a), particolare del sistema di movimentazione, del a cinghia e dei vincoli (b) e disegno del a sezione resistente con relative quote geometriche (c). Contrappeso Carrel o porta- bobina e gruppo pre-stiro (8 x) vincoli radiali (8 x) vincoli verticali 28° Asse motore Cinghia Sede laterale 62° Vincoli in direzione radiale e verticale Sede laterale Sede inferiore (a) (b) (c) 390 Sul ''anel o agiscono pertanto quat ro tipologie di forze: ' Due forze centrifughe concentrate in corrispondenza del carrel o porta-bobina e gruppo-pre-stiro e del contrappeso (o del ''altro carrel o porta-bobina e gruppo-pre-stiro). Tali forze si possono supporre applicate in corrispondenza dei rispet ivi baricentri del e masse concentrate. ' Due forze peso concentrate nei punti diametralmente opposti citati al a voce precedente. ' La forza centrifuga uniformemente distribuita dovuta al a massa propria del ''anel o, realizzato in acciaio Fe510, stimata in 135 kg. ' La forza peso uniformemente distribuita, anch''essa relativa al a massa del ''anel o. 3. SVILUPPO DEL MODELLO ANALITICO Il primo passo nel o sviluppo di tale model o è consistito nel ''individuazione del a configurazione maggiormente sol ecitata, in corrispondenza del a quale avviare la schematizzazione. Appare ragionevole supporre che il massimo del carico si raggiunga quando le masse concentrate si trovano al centro del a campata più lunga, ossia quando l''anel o è orientato come nel a Fig. (3 a). In relazione al e quat ro tipologie di forze evidenziate al paragrafo precedente, si è quindi proceduto nel calcolo dei relativi valori, dipendenti dal e carat eristiche geometriche e dal e condizioni di esercizio. Questo calcolo è risultato immediato nel caso del e azioni concentrate, mentre ha richiesto la valutazione di carichi equivalenti per unità di lunghezza circonferenziale nel caso del e azioni distribuite. Si rimarcano i seguenti aspet i. ' Le forze concentrate dovute al ''azione centrifuga ed al peso proprio sono indicate rispet ivamente con F e con P. ' Si tiene conto del a forza centrifuga distribuita, mediante la pressione uniforme p, calcolata nel seguente modo (Fig. (4), Eq. (1)) [6]. Figura 4. Determinazione del a pressione p sul a superficie circonferenziale, equivalente al a forza centrifuga distribuita. p θ dθ R R dm = ρdV = ρAdx = ρARdθ dx dFc Fc p R θ 391 ( ) A R R F p pR F A R d Asen R F Ad R Adx R dV R Rdm dF c c c c ρ ' ρ ' θ θ ρ ' θ ρ ' ρ ' ρ ' ' ' 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = '' = = = = = = = ' (1) Nel a precedente equazione dm e dV indicano rispet ivamente massa e volume del ''elemento infinitesimo, mentre A è la sezione trasversale del ''anel o e ρ la massa volumica del materiale del ''anel o. Si indica con Fc la risultante su metà anel o del a forza centrifuga distribuita. ' Infine, si è valutata una forza per unità di lunghezza per tenere conto del peso proprio del ''anel o. Tale forza, indicata con q, è facilmente valutabile, dividendo il peso complessivo per la lunghezza del a circonferenza media del ''anel o. Nei paragrafi che seguono verrà affrontato il problema del a determinazione del e incognite iperstatiche sul a strut ura del ''anel o. Per fare questo, si utilizzerà il principio di sovrapposizione degli effet i, considerando separatamente le componenti radiali e verticali. Valutazione delle reazioni sull''anello in direzione radiale
La Fig. (5) mostra la pianta del ''anel o, con evidenziazione degli ot o punti di vincolo e del e componenti di carico, le forze centrifughe distribuite e concentrate. Si trat a di una strut ura chiusa, il cui studio risulta in prima bat uta alquanto complesso; si può tut avia osservare come vi sia una piena simmetria, geometrica e di carico, rispet o agli assi orizzontale e verticale. Proprio la presenza di questa simmetria permet e di passare al e configurazioni semplificate il ustrate nel a stessa figura, spezzando prima l''anel o in corrispondenza del ''asse orizzontale e quindi lungo quel o verticale. L''ultimo schema mostrato nel ''il ustrazione rappresenta la strut ura effet ivamente studiata per via analitica. Si nota che essa è costituita da un trat o di trave curva, corrispondente ad un quarto di circonferenza, che risulta vincolato in modo iperstatico. I vincoli considerati impediscono lo spostamento radiale in corrispondenza del e ruote gommate e gli spostamenti angolari ed assiali al e estremità. Questi ultimi vincoli nascono dal ''imposizione del a simmetria e dal a necessità di impedire che al ''interno del ''anel o si possano verificare del e compenetrazioni o dei distacchi, o che la deformata possa presentare dei punti angolosi. La strut ura iperstatica è stata risolta tramite il cosiddet o ''metodo del e forze', riportato ad esempio in [7]: nel a stessa figura ora citata sono indicate le incognite iperstatiche X, Y e Z. Risulta al contempo evidente quale sia la strut ura isostatica equivalente, per cui si sono scrit e le equazioni di congruenza in Eq. (2), in funzione del a coordinata angolare θ. La valutazione di tali spostamenti richiede la determinazione del a linea elastica del a strut ura, in funzione, oltre che dal a coordinata angolare, anche di tut e le componenti di forza e momento agenti. Tale linea elastica è determinabile, risolvendo il sistema del e tre equazioni differenziali mostrato in Eq. (3): le tre componenti di spostamento che intervengono fanno riferimento al o scorrimento angolare ', al o spostamento radiale η ed a quel o in senso tangenziale u. 392 Figura 5. Schematizzazione del a pianta del ''anel o e determinazione per simmetria del a strut ura iperstatica effet ivamente risolta. ( )          =       = =       = = = 0 180 62 0 180 28 0 0 ' θ η ' θ η θ ' (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )           + = = '' = θ η θ θ θ θ η θ θ ' θ ' θ θ EA R N u d d d d R d d EI R M G G y G y (3) Con E si indica il modulo elastico del materiale (assunto pari a 210 GPa), mentre con A ed Iy si indicano rispet ivamente la sezione trasversale del ''anel o (evidenziata in Fig. (3 c)) e il suo momento d''inerzia di area, calcolato rispet o ad un asse verticale baricentrico. Il simbolo RG indica il raggio baricentrico del ''anel o, come mostrato anche in Fig. (5). Nel sistema in Eq. (3) My(θ) ed N(θ) rappresentano rispet ivamente il momento flet ente F p RG F F p RG F/2 X Y Z p θ HB VA TA RG 393 (positivo se tende le fibre interne) e lo sforzo normale in direzione tangenziale (positivo se di trazione) in funzione del a posizione angolare θ. Questi ultimi, indicati rispet ivamente con My(θ) e N(θ) sono così esprimibili, Eqq. (4-9): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) θ ' θ ' θ θ cos 1 180 62 cos 1 180 28 2 ''       '' + ''       '' '' = G G G y ZR sen YR sen X sen R F M per 0 < θ ' ' 180 28 (4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       '' + ''       '' + ''       '' + '' = ' θ θ ' θ ' θ θ 180 28 cos 1 180 62 cos 1 180 28 2 sen YR ZR sen YR sen X sen R F M G G G G y per ' 180 28 < θ ' ' 180 62 (5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       '' +       '' + + ''       '' + ''       '' '' = ' θ ' θ θ ' θ ' θ θ 180 62 180 28 cos 1 180 62 cos 1 180 28 2 sen ZR sen YR ZR sen YR sen X sen R F M G G G G G y per ' 180 62 < θ ' 2 ' (6) ( ) ( ) ( ) ( ) θ ' θ ' θ θ cos 180 62 cos 180 28 2 Z sen Y sen pR sen F N G       +       + + + = per 0 < θ ' ' 180 28 (7) ( ) ( ) ( ) ( )       '' +       + +       + + = ' θ θ ' θ ' θ θ 180 28 cos 180 62 cos 180 28 2 Ysen Z sen Y sen pR sen F N G per ' 180 28 < θ ' ' 180 62 (8) ( ) ( ) ( ) ( )       '' +       '' + +       + +       + + = ' θ ' θ θ ' θ ' θ θ 180 62 180 28 cos 180 62 cos 180 28 2 Zsen Ysen Z sen Y sen pR sen F N G per ' 180 62 < θ ' 2 ' (9) 394 Il sistema in Eq. (3) è costituito da equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti: pertanto esso ammet e una soluzione in forma chiusa. Questa può essere determinata in maniera completa, nei termini degli spostamenti angolare, radiale e tangenziale ', η ed u, in funzione del a coordinata polare θ, imponendo le condizioni al contorno. Queste sono relative al a congruenza del a strut ura isostatica equivalente rispet o ai vincoli esterni. Nel a fat ispecie, occorre imporre che lo spostamento tangenziale sia nul o agli estremi e così pure che sia pari a zero la rotazione per θ = '/2, oltre al e condizioni di continuità su tut i gli spostamenti internamente al a strut ura. Un''apposita ruotine in Matlab (Versione 7.9.0.529 (R2009b)) è stata sviluppata per presiedere al ''integrazione del e equazioni differenziali (Eq. (3), tenendo conto del e espressioni nel e Eqq. (4-9)), al ''imposizione del e condizioni al contorno con relativa determinazione del e costanti di integrazione e per la scrit ura del e equazioni di congruenza (Eq. (2)). Queste ultime vengono quindi risolte per la valutazione del e incognite iperstatiche, mentre semplici considerazioni di equilibrio conducono al a stima del e altre reazioni vincolari HB, VA e TA. Valutazione delle reazioni sull''anello in direzione verticale
Le forze in gioco, dovute al peso proprio del ''anel o ed al e masse concentrate agiscono ortogonalmente rispet o al o sviluppo circonferenziale del ''anel o stesso. Nel a Fig. (6) viene pertanto mostrato lo sviluppo in piano per tut a l''estensione del ''anel o. Anche in questo caso, come già discusso al paragrafo precedente la simmetria geometrica e di carico permet e di passare gradualmente a configurazioni semplificate, sezionando l''anel o lungo i piani di simmetria. In ultima analisi, può essere considerato anche in questo caso solo un quarto di anel o. Tale strut ura è stata studiata per la determinazione del sistema reat ivo. Essa risulta due volte iperstatica: per la sua risoluzione si è adot ato il ''metodo del e forze' [7], assumendo come incognite iperstatiche i due momenti S e W. Le relative equazioni di congruenza sono mostrate in Eq. (10): anche in questo per esplicitarle, occorre ricavare l''equazione del a linea elastica. Questa può essere valutata risolvendo il sistema di equazioni differenziali il ustrato in Eq. (11), applicando le condizioni al contorno di continuità sugli spostamenti fra i tre tronchi di trave e di abbassamento nul o in corrispondenza degli appoggi. Si indicano rispet ivamente con ' la rotazione e con v lo spostamento verticale. Per comodità, le equazioni differenziali in Eq. (11) sono espresse nel a coordinata polare θ, che individua la posizione angolare lungo la porzione di anel o. ( )      =       = = = 0 2 0 0 ' θ ' θ ' (10) ( ) ( ) ( ) ( )  
    = '' = θ θ θ ' θ ' θ θ v d d R d d EI R M G x G x (11) 395 Figura 6. Sviluppo in piano del prospet o del ''anel o e determinazione per simmetria del a strut ura iperstatica effet ivamente risolta. In Eq. (11) il termine Ix indica il momento inerziale di area del a sezione, valutato rispet o ad un asse orizzontale baricentrico. Con Mx(θ) si indica il momento flet ente dovuto al e forze verticali (assunto positivo quando tende le fibre inferiori): esso risulta così esprimibile, Eqq. (12-14): ( ) 2 2 2 2θ θ θ G G x qR R P W M '' '' = per 0 < θ ' ' 180 28 (12) ( )       '' + + ''       '' + + ''       '' + +       '' '' = ' θ ' θ ' θ θ ' θ ' ' θ ' θ 180 28 4 2 180 28 17 31 2 2 180 28 180 34 180 28 180 34 2 2 2 G G G G x qR qR R P R P S W W M per ' 180 28 < θ ' ' 180 62 (13) ( )       '' + +       '' + '' = ' θ ' ' θ ' θ θ 180 62 4 180 28 4 2 2 2 2 2 G G G x qR qR qR S M per ' 180 62 < θ ' 2 ' (14) Anche in questo caso è stata sviluppata espressamente una routine in Matlab, che permet e di integrare le equazioni differenziali di Eq. (11), tenendo conto del e espressioni in Eqq. (12-14), di imporre le condizioni al contorno e di determinare le costanti di P q ' RG/2 P q ' RG/2 ' RG/2 ' RG/2 2'RG P q ' RG/2 ' RG/2 ' RG W P/2 q S VC VD RGθ ' 180 34 ' 180 28 ' 180 28 396 integrazione. Segue quindi la scrit ura e risoluzione del sistema del e equazioni di congruenza (Eq. (10)) e la determinazione dei momenti incogniti W ed S. Ulteriori considerazioni di equilibrio portano infine al calcolo del e reazioni sui carrel i VC e VD. Valutazione delle caratteristiche della sollecitazione sull''anello e determinazione dello
stato tensionale e deformativo
Una volta risolte le strut ure iperstatiche, tramite gli approcci analitici mostrati ai paragrafi precedenti, è possibile valutare le carat eristiche del a sol ecitazione sul quarto di anel o. Sul a base infat i di tut e le componenti reat ive precedentemente calcolate, è possibile esprimere gli andamenti dei momenti flet enti lungo le direzioni x e y (Mx ed My) e del o sforzo normale (N), anche sul a scorta del e rispet ive espressioni analitiche, contenute rispet ivamente nel e Eqq. (12-14), Eqq. (4-6) ed Eqq. (7-9). La presente trat azione prescinde dal e componenti di taglio, che danno un contributo trascurabile al a sol ecitazione del a strut ura: i rispet ivi andamenti non sono quindi presi in considerazione. Un''altra semplificazione ha portato a trascurare la leggera torsione del ''anel o in corrispondenza del ''applicazione dei carichi concentrati. Tale momento torcente è dovuto al disassamento fra il baricentro del e masse e la linea d''asse tangenziale del ''anel o. Il valore contenuto di questo disassamento, molto minore rispet o al diametro del ''anel o, ha autorizzato a trascurare questa ulteriore componente di sol ecitazione. La conoscenza del e tre carat eristiche di momento flet ente nel e direzioni orizzontale e verticale e di sforzo normale ha quindi permesso di impostare il calcolo del a tensione che si sviluppa lungo la linea d''asse tangenziale del ''anel o stesso. Per il calcolo di questa, si è applicata l''Eq. (15) con riferimento al a Fig. (7), che raccoglie le informazioni sul e carat eristiche geometriche del ''anel o e sul e sol ecitazioni ivi presenti. Si può osservare che si trat a del classico model o a tre termini per la flessione deviata composta, che è stato però corret o, per tenere conto del fat o che il momento flet ente lungo l''asse y fa inflet ere l''anel o come trave ad asse curvilineo. e x R e x eA M y I M A N N y x x + + + '' + = ' (15) In tale relazione i termini A ed Ix assumono il significato già noto, mentre RN indica il raggio che individua la posizione del ''asse neutro. Il termine e si riferisce al a cosiddet a eccentricità, ossia al a differenza fra il raggio baricentrico RG di Fig. (5) ed il raggio RN (si veda anche la Fig. (7)). Tale raggio, tenendo conto del a trat azione classica per le travi ad asse curvo, può essere così calcolato (si trascura la lavorazione in corrispondenza del a guida inferiore):       '' '' ''           '' + '' '' '' ''       '' = = ' s R R h L L R L L R L R R L A r dA A R est est est est est est est A N . . . int . . int . int . . . int . int . . lg 2 2 lg lg (16) 397 Figura 7. Sezione del ''anel o, con indicazione del e quote carat eristiche e del e sol ecitazioni. Nel ''Eq. (16) dA indica il differenziale del a sezione A, mentre r rappresenta la coordinata radiale generica. Gli altri simboli hanno il significato chiarito nel a Fig. (7). La trat azione è completata dal a determinazione del ''equazione del a linea neutra, che in tal caso risulta essere una curva con andamento comunque molto prossimo a quel o lineare. Tale equazione è ot enibile eguagliando a zero l''espressione di Eq. (15) ed è esplicitata in Eq. (17).       + + + + '' = e x R e x eA M A N M I y N y x x (17) 4. RISULTATI DEL MODELLO ANALITICO Il model o descrit o nel Par. 3 è stato più volte applicato per determinare le carat eristiche del a sol ecitazione e, successivamente, gli stati di tensione e deformazione nel a sezione del ''anel o. Nel e immagini nel a Fig. (8) sono mostrati gli andamenti dei momenti flet enti e del o sforzo normale, in funzione del a coordinata angolare θ. E'' da notare che il momento lungo l''asse y My e lo sforzo normale N dipendono dal e componenti centrifughe e di conseguenza dal a velocità angolare del ''anel o. Il model o analitico è stato quindi utilizzato in cascata, considerando diverse velocità angolari, le stesse cui sono state eseguite le prove sperimentali, che saranno descrit e nei Parr. 6 e 7. I risultati mostrati si riferiscono al a velocità angolare massima, pari a 53 rpm. Il calcolo del e tensioni è stato preceduto dal a valutazione del ''andamento del ''asse neutro, in accordo con l''Eq. (17). Stante la configurazione del e Figg. (5-6), si sono intesi come punti notevoli quel i in corrispondenza del ''applicazione dei carichi concentrati (θ = 0°), degli appoggi (θ = 28° e θ = 62°) ed infine il punto in quadratura rispet o al primo, anch''esso al centro del a campata più lunga (θ = 90°). 398 Figura 8. Andamento di Mx, My e N in funzione di θ. Figura 9. Disposizione del ''asse neutro e zone in trazione ed in compressione a diversi valori di θ. 0 2000 4000 6000 0 30 60 90 Fase [°] F o rz a n o rm a le [ N ] [ ] ° θ [ ] N N (c) -1.E+06 -8.E+05 -4.E+05 0.E+00 4.E+05 8.E+05 0 30 60 90 Fase [°] M o m e n to [ N m m ] [ ] ° θ [ ] Nmm M y -4.E+05 -2.E+05 0.E+00 2.E+05 4.E+05 0 30 60 90 Fase [°] M o m e n to [ N m m ] [ ] ° θ [ ] Nmm M x (a) (b) 399 Figura 10. Valori massimi di tensione in trazione e compressione per diversi valori di θ. La Fig. (9) mostra gli andamenti del e linee neutre per le sezioni appena evidenziate. I simboli (+) e (-) indicano i punti maggiormente sol ecitati a trazione e compressione rispet ivamente. I valori quantitativi corrispondenti sono infine mostrati nel a Fig. (10). 5. DISCUSSIONE E PREPARAZIONE ALLE PROVE SPERIMENTALI Sul a base dei risultati ot enuti dal model o analitico, sia dal punto di vista qualitativo del a distribuzione degli sforzi, che da quel o quantitativo del ''intensità degli stessi, è stato possibile trarre una serie di considerazioni, che hanno rappresentato il preludio al ''at ività sperimentale. Una volta stabilite le posizioni di applicazione degli estensimetri, il model o analitico è stato ulteriormente migliorato, per cercare di prevedere i risultati del e prove sperimentali. Discussione dei risultati del modello analitico
L''analisi dei risultati nel e Figg. (8-10) porta ad una serie di osservazioni che sono così riassumibili. ' La Fig. (9), relativa agli andamenti degli assi neutri, mostra come questi abbiano un''inclinazione quasi verticale, o comunque più vicina al a verticalità che non al ''orizzontalità. Questo indica che la componente prevalente è quel a dovuta ai carichi centrifughi. ' L''analisi del a Fig. (8 a-b), oltre che del a Fig. (10), mostra come le sol ecitazioni, i momenti flet enti e le tensioni normali che ne derivano, siano net amente superiori al a posizione angolare θ = 0°, ossia in corrispondenza dei carichi concentrati radiali e verticali. La tensione nel punto in quadratura (θ = 90°), pure esso al centro del a campata più lunga, ma sogget o solo ai carichi distribuiti, anch''essi radiali e verticali, è molto minore. Considerando anche l''osservazione del punto precedente, si è portati a ritenere che, del e quat ro tipologie di carico il ustrate al Par. 2, il carico concentrato centrifugo rappresenti la componente più gravosa. -40 -20 0 20 40 0° 28° 62° 90° Fase T e n s io n i [M P a ] Trazione
Compressione [ ] ° θ Te ns io ni [M P a] 400 Figura 11. Andamento qualitativo di tensioni e deformazioni a θ = 0° e posizioni scelte per l''applicazione degli estensimetri elet rici. ' Dal punto di vista quantitativo il picco di tensione stimato è intorno ai 36 MPa: tale valore corrisponde ad una deformazione stimata in circa 170 µε: si trat a quindi di un valore che è rilevabile anche per via sperimentale, tramite la conduzione di prove estensimetriche. L''indicazione che deriva quindi dai risultati del model o analitico è quel a di disporre estensimetri elet rici in corrispondenza del a sezione dove agiscono i carichi concentrati (θ = 0°), o comunque, ove possibile, in prossimità di questa. La Fig. (11) mostra, a livel o qualitativo, la distribuzione del e tensioni e del e deformazioni in corrispondenza di tale sezione e si nota che tut a la parte esterna risulta in trazione con il picco di tensione in corrispondenza del vertice inferiore. Sul a base di questa osservazione, si sono individuate quat ro posizioni per l''incol aggio di estensimetri a resistenza, prevedendo l''impiego di sensori monogriglia, disposti in direzione tangenziale. Dal e posizioni possibili si sono dovute stralciare quel e in corrispondenza dei raccordi, dove si ha una doppia curvatura, e quel e in corrispondenza del e guide laterale ed inferiore, dove agiscono le ruote gommate. Modello agli elementi finiti
Per avere un''ulteriore conferma sul ''efficacia del ''applicazione di estensimetri elet rici nel e posizioni indicate, e per meglio rendersi conto del gradiente di tensione al passare dal bordo esterno inferiore a quel o superiore del ''anel o, è stato messo a punto un model o agli elementi finiti. Va anche sot olineato che il model o analitico trascurava alcuni aspet i, quali il momento torcente in corrispondenza dei carichi concentrati e gli sforzi di taglio. Il model o agli elementi finiti è stato realizzato tramite il software Ansys (Versione 12.0), a partire da un model o solido costruito tramite il software SolidEdge (Versione 18.00.00.69). Su di esso sono state applicate le quat ro tipologie di carico, discusse al Par. 2, tenendo conto del ''effet iva posizione dei baricentri del e masse concentrate. Si è proceduto quindi al vincolamento in ot o punti, con vincoli in direzione radiale e verticale. La strut ura è stata quindi discretizzata, tramite elementi tetraedrici, per un totale di 76.348 elementi e 151.540 nodi. Griglia 1 Griglia 2 Griglia 3 Griglia 4 (+) (-) 401 Figura 12. Distribuzione del e deformazioni principali nel ''anel o secondo il model o FEM al a massima velocità di rotazione. Il risultato del a simulazione (operata per la massima velocità di rotazione) è mostrato in Fig. (12), con riferimento al e deformazioni principali massime ed un det aglio sul e locazioni degli estensimetri elet rici chiamati a misurare tali deformazioni. La distribuzione risulta coerente a quel a mostrata in Fig. (11), con un valore di picco al bordo inferiore di circa 130 µε, mentre al bordo superiore si ha una deformazione di circa 80 µε, comunque ben misurabile con estensimetri convenzionali. La porzione di anel o in quadratura rispet o a tale sezione risulta invece praticamente scarica, coerentemente con quanto prima osservato. Si può ravvisare che il model o analitico precedentemente descrit o si presenta più conservativo, portando a valori leggermente maggiori rispet o a quel i che scaturiscono dal a simulazione agli elementi finiti. Questo è tra l''altro dovuto al fat o che i carichi concentrati sono nel a realtà e nel model o numerico leggermente distribuiti at orno al punto di applicazione nominale. Aggiornamento del modello analitico per poter prevedere le letture estensimetriche
Una volta stabilite le posizioni di applicazione degli estensimetri e previsto, come verrà esposto nel det aglio al Par. 6, di effet uare le misurazioni durante più giri completi del ''anel o, si è cercato di sviluppare, sul a scorta di quel o esposto al Par. 3, una nuova versione del model o analitico. Visto che l''obiet ivo finale era quel o di validare il model o, tramite confronto con i risultati sperimentali, è sembrato opportuno modificarlo, in modo tale che potesse prevedere a calcolo le deformazioni let e da ciascun estensimetro durante una rotazione completa del a strut ura. In tale modo sarebbe stato molto più immediato procedere al confronto qualitativo e quantitativo del e grandezze rilevate e stimarne lo scostamento percentuale. L''idea di fondo è stata quel a di iterare il procedimento descrit o nel Par. 3 per numerosi passi angolari, corrispondenti al o spostamento γ durante la rotazione, valutando ad ogni passo le carat eristiche del a sol ecitazione del a strut ura e tensioni e deformazioni in corrispondenza del a sezione di applicazione degli estensimetri. 402 Figura 13. Determinazione del e strut ure equivalenti nel model o analitico aggiornato per diversi valori del ''angolo di rotazione γ. p, q RG F, P F, P γ generico γ RG p, q F/2, P/2 γ (c) RG p, q F/2, P/2 γ p, q RG F, P F, P γ = 45° γ (b) p, q RG F, P F, P γ = 0° RG p, q F/2, P/2 (a) 403 Figura 14. Previsione sugli andamenti del e deformazioni misurate dagli estensimetri in posizioni estreme secondo il model o analitico aggiornato. La Fig. (13) mostra come ad ogni passo angolare venga considerata una nuova strut ura equivalente, corrispondente ad un quarto di anel o, che viene studiata, ripercorrendo quanto esposto nel Par. 3. Guardando la stessa figura, si nota che il passaggio dal a strut ura completa chiusa a quel a semplificata è rigoroso per γ = 0° (carichi concentrati verticale e radiale al centro del a campata massima, Fig. (13 a), si trat a del caso già esaminato nel Par. 3), per γ = 45° (carichi concentrati al centro del a campata più piccola, fra due appoggi, Fig. (13 b)), e così via con una periodicità di 45°. In corrispondenza di queste posizioni angolari considerazioni di simmetria permet ono di semplificare la strut ura: si trat a del e posizioni più significative, in quanto è in esse che si registrano i massimi relativi ed assoluti per le tensioni e deformazioni sul a sezione strumentata. In tut e le altre posizioni angolari, per γ generici (Fig. (13 c)), non si ha una perfet a simmetria, il che a rigore non permet erebbe la semplificazione del a strut ura, complicando fortemente la trat azione analitica. In ragione del fat o che i valori di picco sono corret amente individuati e che al passaggio dei carichi concentrati in corrispondenza degli appoggi la sol ecitazione è ragionevolmente molto bassa, è parso ragionevole, in corrispondenza di tali posizioni, ricavare la strut ura equivalente in maniera semplificata. Nel a fat ispecie si è supposto che in corrispondenza dei carichi concentrati la rotazione (angoli ' e ' secondo la notazione precedentemente introdot a) sia trascurabile: di conseguenza in questi punti si è posto un vincolo a doppio pendolo, che impedisce le rotazioni. Altri casi particolari si hanno quando i carichi concentrati si trovano ad insistere proprio in corrispondenza degli appoggi (ad esempio per
γ = 28° e γ = 62°): secondo la schematizzazione scelta, in tali punti vengono poste combinazioni di appoggi e doppi pendoli, ossia degli incastri, su cui si scaricano diret amente i carichi concentrati. La schematizzazione appare coerente, dato che nel a realtà i carichi si scaricano effet ivamente sul e ruote gommate, che impediscono ogni spostamento in direzione verticale e trasversale, mentre eventuali rotazioni potrebbero essere dovute al ''influsso dei carichi distribuiti. Essendo però tali carichi di entità piut osto limitata, come già ravvisato precedentemente, le rotazioni saranno verosimilmente praticamente nul e. La Fig. (14) mostra l''andamento previsto per le deformazioni rilevate dagli estensimetri nel e posizioni estreme (numeri del e griglie 1 e 4), quel o sul bordo esterno inferiore, che fornisce la let ura maggiore e quel o al bordo superiore. L''immagine si riferisce al a velocità angolare più elevata del a macchina, 53 rpm, ma ulteriori elaborazioni sono state effet uate anche per velocità minori. Osservando l''andamento da un punto di -40 0 40 80 120 160 200 0 60 120 180 240 300 360 Fase [°] D ef orm az io ne [µε] [ ] ° γ 404 vista qualitativo, si notano anche dei trat i distintivi, che saranno ravvisati anche dal ''esame dei dati sperimentali. Si riscontrano dei picchi in corrispondenza del centro del a campata più lunga, successivamente si hanno due minimi vicini al transito sugli appoggi, in cui tensione e deformazione sono quasi nul e, e si ha infine un piccolo picco a separare questi due minimi, in corrispondenza del centro del a campata minore. 6. PROCEDURA SPERIMENTALE Le prove sperimentali sul campo sono state effet uate sul a macchina rappresentata nel e Figg. (2-3), dopo la strumentazione del ''anel o rotante. Tale strumentazione è avvenuta, secondo quanto riportato nel Par. 5, in corrispondenza del a sezione dove sono posti i carichi concentrati, ossia dove si trovano il carrel o porta-bobina ed il gruppo pre-stiro. Nel e fasi preparatorie al e prove sono stati applicati (Fig. (15 a)) quat ro estensimetri elet rici monogriglia (CEA-XX-125-UW-120, Produt ore: Vishay, Malvern, PA, Stati Uniti) nel e posizioni indicate in Fig. (11) con orientazione longitudinale lungo la direzione tangenziale. Per quanto riguarda il sistema di acquisizione, la principale difficoltà era data dal a necessità di acquisire le let ure estensimetriche da un organo in movimento, rotante ad una velocità non trascurabile. In questi casi esistono dispositivi a contat o strisciante per la trasmissione del segnale, che però, se non adeguatamente schermati, possono comportare l''ingresso di rumore sul segnale acquisito. In più, questi strumenti sono solitamente poco flessibili: sviluppati essenzialmente per le misure di coppia su alberi rotanti (realizzazione di torsiometri), sono poco adat abili ad applicazioni diverse, come quel a in studio, a meno di non costruire appositamente at rezzature aggiuntive non commerciali. Nel presente caso si è preferito ricorrere ad una centralina per la trasmissione wireless (NI WLS-9237 IEEE 802.11b/g, Produt ore: National Instruments, Austin, TX, Stati Uniti). Tale centralina è stata bloccata con l''ausilio di fascet e in corrispondenza di un montante solidale con l''anel o rotante (Fig. (15 c)). A questa sono stati col egati 4 cavi, uno per canale, ossia per estensimetro, a loro volta connessi a piat aforme NI 9945 (Produt ore: National Instruments), specifiche per la realizzazione di circuiti a quarto di ponte di Wheatstone (Fig. (15 b)). A questo punto, un''ulteriore difficoltà è stata data dal a necessità di col egare i terminali elet rici degli estensimetri con tali piat aforme, che erano fissate sul lato interno del ''anel o, in prossimità del a sua superficie superiore. Infat i, osservando la Fig. (11), si può comprendere che, mentre i sensori posti superiormente potevano essere agevolmente col egati, i fili di col egamento degli altri due sarebbero dovuti forzatamente transitare per una del e due guide del ''anel o, rischiando di interferire con il passaggio sul e ruote di appoggio. Per minimizzare questi rischi, si sono utilizzati fili in rame pre-isolati, con spessore particolarmente ridot o (del ''ordine del decimo di mm), che at raversano la guida inferiore e sono qui bloccati con opportuno adesivo (Fig. (15 a). Sono quindi saldati ad una baset a intermedia, da cui su dipartono ordinari cavi a quat ro poli fino al e piat aforme. L''impiego di tali fili ha rappresentato un buon compromesso fra la necessità di un col egamento sicuro ed affidabile dal punto di vista del a qualità del segnale acquisito e quel a di non interferire sul regolare funzionamento del a macchina. Visto il loro basso spessore, essi possono infat i essere calpestati dal e ruote senza particolari inconvenienti né a livel o funzionale, né a livel o di accuratezza sul a misura. 405 Figura 15. Catena di misura per le prove sperimentali. La Fig. (15) mostra in sequenza i componenti del a catena di misura appena descrit i. La centralina si col ega in rete con il computer portatile, deputato al ''acquisizione e memorizzazione dei dati. Per coordinare le operazioni sperimentali, si è costruito espressamente un programma LabView, tramite il quale si possono comandare l''inizio del ''acquisizione e il salvataggio dei dati, monitorando in tempo reale i segnali elet rici acquisiti, automaticamente convertiti in segnali di deformazione. Le prove sono state effet uate al e velocità di 53 rpm, 43, 33, 23, 13, 0,5, facendo compiere diversi giri al ''anel o. Per ragioni di rilevanza statistica dei risultati, ogni prova, a ciascun livel o di velocità, è stata ripetuta per tre volte. 7. RISULTATI SPERIMENTALI In ognuna del e prove effet uate sono state misurate le deformazioni in corrispondenza degli estensimetri, campionando i segnali al a frequenza di 50 Hz, sufficiente per una buona descrizione del ''andamento del e grandezze indagate nel corso del a rotazione. Successivamente, tut i i risultati sono stati elaborati per la stima del livel o di tensione nel a sezione considerata: al o scopo si è utilizzata la legge di Hooke, supponendo il valore di 210 GPa per il modulo elastico, già utilizzato anche nel a redazione del model o analitico (Par. 3). La Fig. (16) si riferisce ad un''acquisizione a 53 rpm, i colori si riferiscono ai quat ro canali di misura, ognuno dei quali è relativo al e griglie estensimetriche schematizzate in Fig. (11). Si nota come in essa siano riscontrabili gli stessi carat eri distintivi, già evidenziati nel Par. 5, a proposito dei risultati analitici. Come evidenziato nel a stessa figura, si hanno i picchi più alti in corrispondenza del transito per il centro del a campata più lunga, coppie di minimi al passaggio sugli appoggi e picchi di minore entità nel a breve campata fra le coppie di appoggi. Si rimarca inoltre il fat o che l''andamento dei segnali acquisiti appare regolare: non compaiono cioè discontinuità, che possano essere imputabili a disturbi sul a catena di misura. Inoltre, in nessuna prova si sono osservati effet i dinamici nei transitori al ''avviamento o al a fermata. I diagrammi in Fig. (17) riportano le elaborazioni in termini di tensioni al e due velocità più alte (53 rpm, Fig. (17 a) e 43 rpm, Fig. (17 b)). (a) (b) (c) 406 Figura 16. Andamento del e deformazioni durante la rotazione del ''anel o a 53 rpm. Figura 17. Andamento del e tensioni durante la rotazione del ''anel o a 53 rpm (a) ed a 43 rpm (b). 8. VALIDAZIONE DEL MODELLO ANALITICO Nel presente lavoro sono stati presentati due model i analitici: il primo permet e di valutare lo stato tensionale e deformativo del ''anel o, quando questo di trova nel a posizione più critica (carichi concentrati al centro del e campate più lunghe), il secondo, evoluzione del primo, si focalizza sul o stato tensionale e deformativo in corrispondenza dei carichi concentrati e monitora la sua evoluzione durante un giro completo del ''anel o. Entrambi i 0 40 80 120 160 200 43 43.5 44 44.5 45 Tempo [s] D ef or m az io ne Griglia 1
Griglia 2
Griglia 3
Griglia 4 [µε] D ef or m az io ne 0° 90° 180° 270° 360° 45° 135° 225° 315° Campata Appoggi 0 10 20 30 40 50 43 43.5 44 44.5 45 Tempo [s] Te ns io ne [M P a] Griglia 1
Griglia 2
Griglia 3
Griglia 4 0 10 20 30 40 40.5 41 41.5 42 Tempo [s] Te ns io ne [M P a] Griglia 1
Griglia 2
Griglia 3
Griglia 4 (a) (b) 407 model i sono tra loro legati, i risultati del secondo per γ = 0° (ad inizio rotazione) sono gli stessi del primo per θ = 0°. Pertanto, si è validato il secondo, intendendo con questo validato conseguentemente anche il primo. Il confronto è stato operato fra gli andamenti, sperimentale e simulato, del e tensioni e deformazioni rilevate dagli estensimetri. Successivamente, si sono comparati anche i valori di picco (quel i al centro del a campata) tramite un diagramma di verità. L''acquisizione è stata effet uata solo sui quat ro canali di sol ecitazione e non si è potuto prevedere un ulteriore segnale per monitorare la posizione angolare del ''anel o rotante. I diagrammi sperimentali e simulati, hanno comunque potuto essere fasati e sovrapposti, portando a coincidere gli elementi distintivi, in particolare i picchi massimi, prima evidenziati. Si mostrano in Fig. (18) i confronti degli andamenti del e deformazioni al e due velocità maggiori, 53 (Fig. (18 a)) e 43 (Fig. (18 b)) rpm. I diagrammi si riferiscono al punto strumentato, in cui su registra la massima sol ecitazione nel a sezione (griglia 1). Si nota una buona corrispondenza, soprat ut o per quanto riguarda i picchi massimi al centro del a campata, oltre che sul ''andamento globale. Il confronto fra i picchi massimi è approfondito nel diagramma di verità in Fig. (19), che pone a confronto diret o la massima deformazione rilevata e la massima stimata per via analitica. Come si può vedere, le differenze sono minime con un errore mediamente di pochi punti percentuali. Figura 18. Confronto fra le deformazioni nel punto più sol ecitato ricavate per via analitica e rilevate sperimentalmente. 0 40 80 120 160 0 100 200 300 400 Fase [°] D ef or m az io ne 4 Sper.
4 Teor. [µε] D ef orm az io ne 0 50 100 150 200 0 100 200 300 400 Fase [°] D ef orm az io ne 4 Sper.
4 Teor. [µε] De fo rm az io ne (a) (b) [ ] ° γ [ ] ° γ 408 Figura 19. Diagramma di verità per porre a confronto le deformazioni di picco, valutate per via analitica e sperimentale. 9. CONCLUSIONI A seguito degli studi, teorici e sperimentali ivi descrit i, si può rimarcare quanto segue. ' L''analisi del o stato del ''arte ha mostrato come le macchine cel ofanatrici possano assumere diverse configurazioni (ad asse orizzontale o verticale, a due o quat ro montanti), ma che la carat eristica comune resta legata al a presenza del ''anel o rotante, che realizza materialmente l''imbal aggio. Nonostante l''importanza di questo organo, non si riscontrano in let eratura studi teorico-analitici, che mirino al a sua model azione, tenendo conto di tut i i carichi e vincoli presenti. ' Concentrandosi su una macchina ad elevata produt ività, che, per conferire maggiore rigidezza al ''anel o, utilizza una strut ura fortemente iperstatica, si è sviluppato un model o analitico, che ha condot o al a valutazione del e reazioni iperstatiche, a quel a del e carat eristiche del a sol ecitazione ed al a stima dei livel i di tensione e deformazione nel a sezione più sol ecitata. ' I risultati analitici hanno mostrato come le sol ecitazioni centrifughe, soprat ut o se concentrate, abbiano un impat o maggiore rispet o a quel e gravitazionali. Questo ha permesso di individuare le posizioni in cui applicare sensori di deformazione per una validazione del model o sul campo. L''entità del a deformazione stimata, intorno ai 170 µε al a massima velocità, ha indot o verso la scelta del a tecnica estensimetrica. ' Lo stesso model o è stato ulteriormente perfezionato, per renderlo in grado di prevedere a calcolo le let ure estensimetriche nel ''arco di una rotazione completa del ''anel o. ' Le prove sperimentali sono state eseguite, acquisendo le deformazioni di quat ro estensimetri elet rici posti sul a sezione più critica del ''anel o. Le principali difficoltà sono state legate al a trasmissione wireless del segnale fra le postazioni rotorica (anel o in moto) e statorica (calcolatore per l''elaborazione dei dati), ed al a realizzazione del cablaggio degli estensimetri, per cui si è fat o ricorso ad una soluzione innovativa ed originale. ' I risultati del e prove, rapportati a quel i analitici, hanno evidenziato un ot imo accordo, sia dal punto di vista qualitativo che quantitativo, con errori di pochi punti percentuali (mediamente intorno al 4%). 0 40 80 120 160 200 0 50 100 150 200 Deformazione sperimentale D ef or m az io ne te or ic a [µε] [µε] 409 Figura 20. Legame fra tensione massima nel ''anel o e velocità di rotazione. ' Il model o validato potrà essere impiegato a supporto del ''at ività proget uale e per eventualmente ridefinire i parametri di funzionamento, con particolare riferimento al a velocità angolare di rotazione. La Fig. (20) mostra come al a velocità di 53 rpm le tensioni massime siano ancora molto limitate rispet o al limite al o snervamento del ''anel o (355 MPa, [8]). Di conseguenza, la velocità può essere ragionevolmente aumentata, almeno fino a valori intorno ai 70-80 rpm, già raggiunti da macchine di carat eristiche simili [9], mantenendo un coefficiente di sicurezza (CS) molto elevato. Ulteriori incrementi con CS sufficientemente alti potrebbero essere possibili, anche se dovranno essere at entamente indagati, per evitare fenomeni di risonanza previsti al e velocità particolarmente alte. Ringraziamenti
Gli autori ringraziano l''Ing. Paolo Proli del a Seconda Facoltà di Ingegneria del ''Università degli Studi di Bologna ed il personale del a Dit a Mecwrap (ht p:/ www.mecwrap.com) per il supporto nel ''esecuzione del e prove sperimentali.
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[9] ht p:/ www.atlantastretch.com/ita/omega.php 0 50 100 150 200 250 0 20 40 60 80 100 120 140 Velocità angolare [rpm] Te ns io ne [M P a] CS > 4 CS = 2 CS = 3 53 410 ON SHAFT-HUB HYBRID COUPLINGS Dario Croccolo Department of Mechanical and Aeronautical Engineering, University of Bologna, Italy E-mail: dario.croccolo@unibo.it Massimiliano De Agostinis Department of Mechanical and Aeronautical Engineering, University of Bologna, Italy E-mail: m.deagostinis@unibo.it Nicolò Vincenzi Department of Mechanical and Aeronautical Engineering, University of Bologna, Italy E-mail: nicolo.vincenzi@unibo.it Abstract. Press-fit ed and adhesively bonded joints (Hybrid Joints) are increasingly used as an alternative way to traditional structural joining techniques. The main achievable benefits can be summarized in the possibility of maximizing the load transfer (torque or axial) and reducing both the weight and the stress field of the components, by taking advantage of the adhesive strength. Hybrid joints studies can be found in technical literature mainly on steel-steel components (Steel Hybrid Joints). The aim of this paper is to provide some relevant information on the static and fatigue strength properties in the case of steel-aluminium components (Mixed Hybrid Joints), from the experimental tests performed on a high strength, single-component adhesive, which cures anaerobically. The use of the adhesive increases the press-fit ed joint performances, with respect to its release force: the adhesive static shear strength is about 9MPa, whereas the adhesive endurance limit is about 6MPa, in presence of a stress ratio R=0.1. Keywords: anaerobic adhesive, aluminium, joint design, fatigue, bonding. List of symbols:
A coupling surface [mm2] Dext,H external hub diameter [mm] Dint,H internal hub diameter [mm] DC coupling diameter [mm] Dext,S external shaft diameter [mm] Dint,S internal shaft diameter [mm] E Young''s modulus (shaft ES, hub EH) [MPa] Fint,ad interference, adhesive contribution to the axial release force of the joint [N] Fcoupling force to join shaft and hub in press-fit [N] LC coupling length [mm] pC coupling pressure [MPa] QS,H ratio between the internal and external shaft, hub diameters [mm] Rz,a surface roughness [µm] U, Z nominal, actual interference [mm] 411 !" hoop strain µA axial static coefficient of friction # Poisson''s ratio (shaft #S, hub #H) [MPa] $ad adhesive static shear strength [MPa] 1. INTRODUCTION
Press-fitted and adhesively bonded joints (Hybrid Joints - HJ) are increasingly used as an alternative way to traditional structural joining techniques. The main benefits provided by the use of HJ can be summarized in the possibility of maximizing the load transfer (torque or axial) and reducing both the weight and the stress field in the components, by taking advantage of the adhesive strength: the adhesive can either replace traditional joining techniques (i.e. keys, pins, interference-fits, bolted joints') or can actually improve the overall performances if used in combination with traditional techniques. As a matter of fact, dry press-fitted couplings achieve only 20-30% of nominal surface contact (metal to metal), whereas the adhesive presence is able to fill the voids (air), reaching 100% of contact area [1]. However, the strength of HJ must be evaluated accurately, since it is affected by various factors, such as the coupling pressure [2], the type and the way of assembling [3,4], the type of materials in contact [5,6], the surface roughness [7], the curing type and the curing methodology [8], the operating temperature [9] and the loading type [10]. Most of technical literature about HJ is mainly focused on steel-steel components (Steel Hybrid Joints '' SHJ) [2-5,11,12] and on their verification technique (non-destructive testing) [13,14]. The use of different materials implies the diffusion of new joining technologies. For example, the automotive industry is strongly developing lightweight and energy efficient vehicles [15-17]: efforts are mainly directed towards the substitution of steel by aluminium or other lightweight materials. Therefore, this paper aims at providing some relevant information on static and fatigue strength properties in case of steel-aluminium components (Mixed Hybrid Joints - MHJ) which are press-fitted and bonded via a high strength, single-component adhesive that cures in absence of oxygen (Loctite 648 [18]). MHJ can be realized by an aluminium shaft coupled with a steel hub (aluminium-steel), or by a steel shaft coupled with an aluminium hub (steel-aluminium). The external forces (coupling, release or fatigue loads) are always applied to the shaft. Figure 1. Geometrical dimensions of the specimens in millimeters: shaft made of steel (left) and hub made of aluminium (right). 412 2. MATERIALS AND METHOD
Experimental tests were performed on steel shafts made of 39NiCrMo3 [19] and aluminium hubs made of EN AW-6082T6 [20]. An example of the components and their geometrical dimensions is reported in Fig. 1, while their material properties, obtained by direct testing according to UNI-EN 10002, are reported in Tab. (1); specimens were obtained by means of a CNC lathe (T120 Meccanica Cortini, Forlì, ITALY). The fundamental design parameter of press-fitted couplings is the axial release force Fint [N], reported in Eqn. (1), which depends on the axial static friction coefficient µA, coupling pressure pC [MPa] and the contact surface A [mm2]. Fint = µA ! pC ! A (1) The axial static friction coefficient µA strictly depends on the coupled materials and the surface conditions of the components: µA is usually within the range 0.04-0.7 [21]. Thus, it must be accurately evaluated in order to reduce the variation in the Fint calculation. The coupling pressure pC, which is generated by the actual interference Z [mm] between the shaft and the hub, is a function of the stiffness of the coupled components, as highlighted in Eqn. (2) [22,23]. pC = Z DC 1 EH " 1 + QH2 1 # QH2 + $ H %
& ' (
) * + 1 ES " 1 + QS2 1 # QS2 # $S %
& ' (
) * (2) DC [mm] is the coupling diameter, equal to the mean of the external shaft Dext, S [mm] and the internal hub Dint, H [mm] diameters, E [MPa] and ! are the Young''s modulus and the Poisson''s ratio, respectively (hub: EH, #H; shaft: ES, #S) and Q is the ratio between the internal and external diameters of the hub (QH=Dint,H/Dext, H) and of the shaft (QS=Dint,S/Dext,S). The actual interference Z [mm] is lower than the nominal one U [mm] when the assembly is realised by means of a hydraulic press with the shaft press-fitted into the hub and both set at the same temperature. If the stiffness of the parts has a similar value (for example, in case of the same material type), the difference between U and Z can be related to the surface roughness Ra or Rz [mm] of the components (hub: Ra-z,H; shaft: Ra-z,S), as proposed in [24,25] and reported in Eqn. (3). ( ) ( ) ( ) ( ) ! " # + $ % % + $ % % = S a H a H S ext S z H z H S ext R R D D R R D D Z , , int, , , , int, , 3 8 . 0 (3) The relationships reported in Eqn. (3) have been obtained empirically from several tests performed on steel-steel assemblies. In order to evaluate the actual coupling pressure accurately, especially in presence of different coupled materials, it is advisable to apply a strain gage on the external surface of the hub, which is able to provide the external hoop strain !", as reported in Fig. 2. In light of this, !" can be related to pC by applying the thick walled cylindrical theory reported in Eqn. (4), and well demonstrated by Croccolo et al. [26]. 413 Table 1 Material properties of the specimens used as evaluated according to UNI EN 10002 MATERIAL E [GPa] Young''s modulus ! Poisson''s ratio SY [MPa] Yield stress SU [MPa] Ultimate stress A% Elongation Steel 39NiCrMo3 207 0.29 900 1050 3 Aluminium 6082 T6 69 0.33 304 343 9 Figure 2. Example of the joint coupling phase with the strain gage applied on the external surface of the hub (quarter-bridge connection in Wheatstone circuit). pC = EH "# $ " 1 % Q H 2 ( ) 2"QH2 (4) Finally, the contact surface A is a function of the coupling diameter DC and of the coupling length LC [mm]: A = %!DC!LC. The production of HJ begins with the spreading of the adhesive on the female component (the hub), followed by the assembly operation performed with the same procedure as used for press-fitted couplings. The mechanical interference and the adhesive strength act as parallel connected springs [12] and, therefore, the axial release force of HJ can be evaluated by applying the superposition of these effects, as shown in Eqn. (5): the two contributions (interference and adhesive) can be calculated separately as described in the next sections. 414 Table 2 Summary of results for steel-aluminium joints purely press-fitted
Ftot = Fint + Fad = µA " pC +#ad ( )" A (5) The friction coefficient µA is considered constant, both in presence and in absence of adhesive, because metals remain in contact (without any adhesive interposition) in the peaks of the roughness whereas the liquid adhesive fills the voids of all depressions [3]. The adhesive contribution Fad [N] depends on the coupling surface A and the mean adhesive static strength $ad [MPa], which must be accurately calculated. 3. RESULTS Mixed hybrid joints (MHJ): static strength
Three sets of tests were performed statically in order to evaluate MHJ performances in comparison to purely press-fitted joints: (i) dry press-fitted, (ii) adhesively bonded slip- fitted and (iii) adhesively bonded press-fitted. Dry press-fitted joints. First, 8 different coupling and release tests were performed on a 100 kN hydraulic press with the purpose of evaluating the static strength (axial release force, Fint) of the pure press-fitted steel-aluminium joints (Fig. 1). The amount of nominal interference U is governed by the ISO system of limits and fits [27]: the tolerance amount
!20H6/r5 (Fig. 1) is able to provide the range Umin-max=0.013''0.037 mm. The actual coupling pressure pC was evaluated according to Eqn. (4). Finally, the axial static friction coefficient µA was calculated by applying Eqn. (6), in which Fint is given by the load cell of the hydraulic press at the initial release (movement) of the specimens, and the coupling surface A is equal to 1.257 mm2. Results are reported in Tab. (2). µA = Fint pC " A (6) Purely press-fitted joints U [mm] pC [MPa] Ra,H before [µm] Ra,S before [µm] Ra,H after [µm] Ra,S after [µm] Fcoupling [kN] Fint [kN] µA 1 0.026 40.0 2.44 0.99 0.30 1.03 26.50 26.00 0.52 2 0.016 26.1 2.44 0.92 0.34 1.05 16.50 14.00 0.43 3 0.016 27.2 2.44 0.89 0.69 0.90 17.90 15.00 0.44 4 0.019 35.5 2.44 1.00 0.51 1.15 23.00 21.00 0.47 5 0.016 25.3 2.45 0.97 0.40 1.10 15.50 13.00 0.41 6 0.018 32.1 2.44 0.91 0.37 1.01 22.00 19.50 0.48 7 0.021 33.9 2.44 0.95 0.32 0.97 22.60 20.00 0.47 8 0.024 38.1 2.45 0.94 0.34 1.02 26.60 23.50 0.49 Mean value 0.020 32.3 2.44 0.95 0.41 1.03 21.30 19.00 0.46 415 (a,1) (a,2) (b,1) (b,2) Figure 3. Pictures of shaft surfaces before coupling (a) and after release (b) operations: (1) 1x magnification, (2) 25x magnification. Figure 4. Example of sliding test: experimental evaluation of friction angle & between the shaft and hub materials. Magnified region Magnified region 416 It is possible to highlight that the actual interference Z depends only on the surface roughness variation of the aluminium hub, before (Ra,H before) and after (Ra,H after) the coupling. Examples of shaft surfaces, before and after the coupling, are shown in Fig. 3. It is possible to identify some regions where aluminium dust has been transferred from the hub to the shaft. This occurrence is magnified by the different stiffness of coupled materials (aluminium and steel), which produces a high wear of aluminium during the press-fit operation [28]. As a matter of fact, the axial force needed to join the parts (Fcoupling) is always higher than the release one (Fint). The mean value of the axial static friction coefficient µA is equal to 0.46, with a standard deviation equal to 0.03. Some further sliding tests, on the same studied materials, performed on a skew plane have confirmed such value (Fig. 4). Adhesively bonded slip-fitted joints. A second set of 8 tests was performed on slip- fitted couplings, which had a clearance between the steel shaft and the aluminium hub. These tests allow evaluating the mean strength of the purely anaerobic adhesive ($ad), without the interference contribution. The clearance value (difference between diameters) was realised in the range 0.02-0.05 mm since this value is associated with the maximum strength for SHJ, as showed by Sekercioglu et al. [4]. Specimens were cleaned with Loctite 7061, which is a general purpose cleaner for preparing surfaces to be bonded with adhesive, then, specimens were cured for 24 h at 40°C. All tested specimens showed an adhesion failure, like that reported in Fig. 5. The adhesive always remained on the steel adherend. This occurrence is mainly due to the lower value of surface energy of aluminium (wettability) with respect to steel, as well demonstrated by Borsellino et al. [29] and Comyn [30] by the determination of the contact angles at solid/liquid interfaces. The mean shear strength $ad of the adhesive for slip-fitted steel-aluminium joints was 9.6 MPa with a standard deviation equal to 0.2 MPa. Results are reported in Tab. (3). A comparison between slip-fitted steel-steel joints [4] and slip-fitted aluminium-steel joints is reported in Fig. 6. Adhesively bonded press-fitted joints. Finally, a third set of 20 different tests was performed on press-fitted and adhesively bonded steel-aluminium joints, with the purpose of evaluating the total strength of MHJ, compared to the previous ones. The results plotted in Fig. 7 highlight the increase in scatter for MHJ with respect to the two previous sets of tests. The static strength of the adhesive Fad and the adhesive mean shear strength $ad were derived from Eqn. (7), in which the interference contribution (Fint) is given by applying Eqn. (1), and the total axial decoupling force (Ftot) is given by the force transducer (load cell 661 MTS, Eden Prairie MN, USA) of the hydraulic press. (7) Since the coupling is realized by a press-fit, the variation of release force (Fig. 7) can be attributed to the amount of adhesive that actually remains at the interface of coupled surfaces. Accordingly, the frictional contribution was considered constant. Fad = Ftot " Fint # $ad = Ftot " Fint A = Ftot A " µA % pC 417 Figure 5. Example of adhesive failure in slip-fitted aluminium-steel joint: the adhesive is nearly absent on the aluminium surface. Figure 6. Mean adhesive shear strength in case of slip-fitted joints (steel-steel data from [4], steel-aluminium data from the present work). 418 Table 3 Summary of results for steel-aluminium adhesively bonded slip-fitted joints Figure 7. Comparison between purely press-fitted and MHJ: axial release force and interface mean strength as a function of the coupling pressure. The overall performance of the joint increases both in case of SHJ, as demonstrated in [1-8,12-14,26], and in case of MHJ as highlighted in this work. The axial release force and the interface mean strength are plotted in Fig. 7 as a function of the actual coupling pressure. In the case of purely press-fitted joints, the interface mean strength is equal to µA"pC whereas in case of HJ it is equal to µA"pC+$ad. The adhesive mean strength $ad is within the range of 6-12MPa, while its average value is equal to 9.2MPa with a standard deviation of 1.9MPa. Results are reported in Tab. (4). The average value of $ad in press- fitted and adhesively bonded joints is very close to that found for slip-fitted joints (9.6 MPa), even if the standard deviation increases (1.9 MPa vs 0.2 MPa). An example of the force trend plotted as a function of the displacement during the release phase is reported in Fig. 8. Values, for both SHJ [26] (Fig. 8a) and for MHJ (Fig. 8b), have been conveniently Adheisvely bonded slip-fitted joints Dext,S [mm] Dint,H [MPa] Gap [mm] LC [mm] Fad [kN] !ad [MPa] 1 20.02 19.97 0.05 20 12.20 9.7 2 20.01 19.96 0.05 20 11.80 9.4 3 20.02 19.97 0.05 20 12.20 9.7 4 20.00 19.95 0.05 20 11.70 9.3 5 20.01 19.96 0.05 20 12.10 9.6 6 20.01 19.96 0.05 20 12.30 9.8 7 20.02 19.97 0.05 20 11.90 9.5 8 20.00 19.95 0.05 20 12.30 9.8 Mean value 20.01 19.96 0.05 20.00 12.06 9.6 419 made dimensionless by normalizing them to the interference release force (Fint) and to the coupling length (Lc). In case of MHJ, the total and the adhesive strengths have been noticed to be strictly related to the maximum assembly force (coupling force) as reported in Fig. 9 and in Fig. 10, respectively. In the light of this, it is possible to define two constants, K1 and K2, calculated by the ratio between the total strength and the coupling load, and by the ratio between the adhesive strength and the coupling load, respectively (Eqn. 8). Their trends are reported in Fig. 11, as a function of the coupling pressure. (a) (b) Figure 8. Release forces for HJ compared to the purely press-fitted ones: (a) SHJ [26] and (b) MHJ. 420 Table 4 Summary of results for steel-aluminium press-fitted adhesively bonded joints Figure 9. Total strength Ftot = Fint + Fad plotted as a function of the coupling force. Adheisvely bonded press- fitted joints U [mm] Fcoupling [kN] Ftot [kN] Fad [kN] !ad [MPa] 1 0.018 25.00 31.30 12.87 10.2 2 0.015 22.30 28.30 12.30 9.8 3 0.015 19.00 26.00 10.69 8.5 4 0.016 26.90 29.80 13.10 10.4 5 0.018 33.00 36.00 15.01 11.9 6 0.019 28.00 35.00 14.96 11.9 7 0.016 15.60 21.60 8.55 6.8 8 0.020 29.10 31.90 11.04 8.8 9 0.016 22.50 27.00 10.65 8.5 10 0.017 23.00 26.40 8.61 6.8 11 0.020 31.00 33.50 12.96 10.3 12 0.019 30.60 34.20 14.71 11.7 13 0.017 17.50 26.00 8.60 6.8 14 0.018 25.00 31.10 11.96 9.5 15 0.018 26.00 28.50 10.05 8.0 16 0.017 21.00 26.00 8.75 7.0 17 0.015 18.00 23.50 8.02 6.4 18 0.020 25.80 32.20 11.67 9.3 19 0.017 30.20 34.50 14.30 11.4 20 0.020 25.30 32.50 11.26 9.0 Mean value 0.017 24.66 29.77 11.50 9.2 421 Figure 10. Adhesive strength contribution Fad plotted as a function of the coupling force. Figure 11. K1 and K2 trends as a function of the coupling pressure. 422 Figure 12. Example of fracture surfaces in MHJ (press-fitted and adhesively bonded): aluminium hub cut in halves and steel shaft. Figure 13. S-N diagram for slip-fitted steel-aluminium joints (stress ratio R=0.1). (8) K1 = Ftot Fcoupling = Fint + Fad Fcoupling " 1.23 K2 = Fad Fcoupling " 0.47 # $ % % & % % 423 Finally, an example of fracture surfaces for press-fitted and adhesively bonded steel- aluminium joints is reported in Fig. 12: the different aspect of the adhesive here, with respect to Fig. 5, is due to the interference (coupling pressure) between the components, in place of clearance (gap). Mixed hybrid joints (MHJ): fatigue strength
A total of 15 fatigue tests based on stress-life (S-N) approach were performed on slip-fitted joints, with the purpose of evaluating the purely anaerobic adhesive fatigue strength [31]. The stress ratio R was set equal to 0.1 (nearly ''pulsating tension' condition) while the test frequency f was set equal to 20 Hz. The shear stress range '$ [MPa], dimensionless with respect to the static shear stress (9.6 MPa for slip-fitted steel-aluminium joints) is reported in Fig. 13, as a function of the number of cycles N. The ratio between the shear stress range and the static shear strength at 106 cycles results equal to 0.62 ('$( " 0.62!$ad). Then, fatigue results determined for slip-fitted steel-aluminium joints were applied to 6 different press-fitted steel-aluminium ones (with coupling pressures in the same range as of the ones tested statically), in order to verify the S-N curve applicability (Fig. 13) to press- fitted joints. Remembering that the interference contribution (Fint = µA"pC"A) is constant with respect to fatigue, 3 joints were loaded as ( ) ( ) ! " # $ $ + $ = $ % + $ = $ = & A p A p F F F ad C A C A ' µ ' µ 62 . 0 1 . 0 max max min (9) While other 3 joints as ( ) ! " # $ $ + $ = $ = % A p F F F C A & µ 3 . 1 1 . 0 max max min (10) This test method was used because the coupling pressure cannot be exactly constant, due to the tolerance differences in the interference values. Specimens loaded by the fatigue cycle reported in Eqn. (9) reached 106 cycles, without disengaging, whereas specimens stressed by the fatigue cycle reported in Eqn. (10), beyond the expected fatigue limit, lasted between 350,000 and 550,000 cycles. The S-N curve reported in Fig. 13 is, therefore, suitable also for the fatigue strength prediction of the adhesive contribution in press-fitted and adhesively bonded steel-aluminium joints. 4. DISCUSSION
MHJ with aluminium shaft and steel hub (aluminium-steel) had several problems due to the high elastic deformation of aluminium that modifies the radial interference when loaded both in tension and in compression [26]. In tension, the actual interference decreases and a peel stress occurs on the adhesive, so that the joint performances decrease dramatically; whereas in compression the actual interference increases, resulting in an overestimation of the joint strength. MHJ with steel shaft and aluminium hub (steel-aluminium) are, on the contrary, able to overcome the aforementioned issues and, therefore, they are the most suitable to be used. 424 Figure 14. Comparison of total interface mean strength between SHJ [26] and MHJ: interference contribution (µA"pC) vs adhesive contribution ($ad). The anaerobic adhesive increases the joint performances both in SHJ and in MHJ with steel shaft and aluminium hub. In press-fitted joints, by considering pC within the 20-40 MPa range (standard coupling pressure values), the adhesive contribution in SHJ is higher than the interference contribution (up to 250%) [26], whereas the adhesive contribution in MHJ is lower than the interference contribution (about 40%); therefore, the effectiveness of anaerobic adhesive decreases in presence of the aluminium adherend. However, the same coupling pressure produces a similar total strength of the joint, since the friction coefficient in MHJ (µA = 0.46) is nearly 220% the SHJ one (µA = 0.21 [26]). This occurrence is shown in Fig. 14: in SHJ the adhesive is responsible for about 65% of the total strength (interference produces only 35%), while in the MHJ the percentages are swapped (interference 64%, adhesive 36%). K1 and K2 are very useful parameters to predict the MHJ static strength and its endurance limit, once the maximum coupling load is known (for instance derived by the load cell of the hydraulic press during the assembly phase). Finally, the fatigue tests performed on MHJ (nearly pulsating tension, R = 0.1) highlighted that in presence of a shear stress range equal to 62% of the static shear strength, the number of cycles equal to 106 can be reached, for both slip-fitted and press-fitted hybrid joints. In short, in order to reach 106 cycles, the adhesive can be stressed up to 6 MPa, with a pulsating tension. In steel-steel press-fitted and adhesively bonded joints, Croccolo et al. [26] found that 106 cycles correspond to a shear stress range equal to 35% of the static shear strength ($ad " 18MPa). Therefore, the value of 6 MPa, regardless of the adherend involved, seems to be the endurance limit for the anaerobic adhesive studied (106 cycles, R = 0.1, according to [31]). In brief, the adhesive static shear strength changes with the coupled materials (SHJ and MHJ) because of the change in the type of failure, whereas the adhesive endurance limit remains the same. 425 5. CONCLUSIONS
Static and fatigue strength properties of mixed hybrid joints (steel-aluminium) were evaluated by performing several experimental tests on a high strength, single-component adhesive, which cures anaerobically. The adhesive contribution with respect to the total strength is restricted by the weak bonding forces between aluminium and adhesive, leading to adhesion failures. However, if coupling pressures of about 40 MPa (a standard value for interference-fit joints) are realized, steel-aluminium and steel-steel joints produce a similar total strength. In fact, the presence of higher friction coefficients is balanced by lower static adhesive strengths in steel-aluminium joints with respect to steel-steel ones. Furthermore, the endurance limit of mixed hybrid joints is also very close to that calculated for steel hybrid ones, at least within the analyzed ranges of pressure and in the presence of a high strength anaerobic adhesive. The good relationship between the maximum coupling force and the static adhesive strength has to be investigated in more detail in the future and, we believe, will be confirmed for different interference amounts and adhesive types. Acknowledgements
The technical assistance of Eng. Paolo Proli (Director of Mechanical Engineering Laboratory) is gratefully acknowledged. A special acknowledgement is due to Dr. Piero Mauri, Henkel Loctite Italy, for his kind cooperation.
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GIUNTI ELASTICI PER APPLICAZIONI ROBOTICHE
Giovanni Berselli
Dipartimento di Ingegneria delle Costruzioni Meccaniche, Nucleari, Aeronautiche e di Me-
tallurgia.
Universit`a di Bologna.
E-mail: giovanni.berselli@unibo.it Marco Piccinini
Dipartimento di Ingegneria delle Costruzioni Meccaniche, Nucleari, Aeronautiche e di Me-
tallurgia.
Universit`a di Bologna.
E-mail: marco.piccinini@mail.ing.unibo.it Gabriele Vassura
Dipartimento di Ingegneria delle Costruzioni Meccaniche, Nucleari, Aeronautiche e di Me-
tallurgia.
Universit`a di Bologna.
E-mail: gabriele.vassura@unibo.it Sommario. Si presenta una metodologia per quantificare le prestazioni di giunti elastici
per applicazioni robotiche. In particolare, si considerano le caratteristiche di ''cedevolezza
selettiva', riguardanti la capacit`a del giunto di fornire bassi valori di rigidezza lungo una
direzione desiderata conservando elevata rigidezza in ogni altra direzione. In quest''ambito,
si propongono indici di qualit`a utili a stabilire quale soluzione progettuale soddisfi al meglio
i requisiti di una data applicazione. L''approccio `e validato comparando quattro morfologie
di giunto adatte a grandi spostamenti. Parole chiave: giunti elastici per grandi spostamenti, applicazioni robotiche. 1. INTRODUZIONE Si definisce Giunto Elastico (GE) un tratto flessibile che collega due parti rigide e, defor-
mandosi, ne consente il moto relativo. In accordo con [1], i GE possono essere utilizzati per
sostituire le coppie cinematiche tradizionali (formate, ad esempio, mediante interposizione
di cuscinetti volventi) all''interno di meccanismi a membri rigidi. Le strutture articolate cos`ı
ottenute vengono denominate Meccanismi Compliant (Cedevoli) a cedevolezza concentrata
(MC) e sono caratterizzati, come sottolineato dalla terminologia, da parti altamente deforma-
bili concentrate in piccole regioni di spazio (nodi). I benefici dei GE, se comparati con le
suddette coppie tradizionali, includono l''assenza di usure, giochi e attriti, nonch`e possibili 429 F z F x F y M z M x M y u z u x u y θ z θ x θ y x y z x y z O O (destra). riduzioni di pesi ed ingombri. Inoltre, l''avvento di nuovi materiali, nuove tecnologie (e.g. la
prototipazione rapida) e nuovi campi di applicazione (e.g. i dispositivi MEMS), ha incenti-
vato lo sviluppo di GE di classe superiore (e.g. [2, 3]). In ambito robotico, l''introduzione di GE in sistemi articolati, come mani antropomorfe e protesi, pu`o consentire la realizzazione di meccanismi snelli e leggeri che meglio si adat-
tano all''ambizioso obiettivo di riprodurre le strutture biologiche di riferimento (e.g. [4, 5]).
Tuttavia, questo tipo di applicazioni richiede l''utilizzo di GE compatibili con grandi sposta-
menti nonch`e elevate cedevolezze selettive, cio`e bassa rigidezza lungo la direzione desiderata
di movimento ed alte rigidezze lungo le altre direzioni [6, 7]. I vari tipi di GE proposti in letteratura sono classificabili in termini di entit`a di sposta- mento consentito (''piccoli spostamenti' [8] o ''grandi spostamenti' [9]), numero e tipologia
dei gradi di libert`a (g.d.l.) (rotoidale o prismatico) [10], materiali utilizzati (multi- [4, 11, 12]
o mono- materiale [13, 14]) e morfologia (e.g., GE di tipo ''notch' o GE di tipo ''leaf spring'
[15]). Con riferimento ai GE per grandi spostamenti, gli unici di reale interesse per le appli- cazioni di macro robotica, esistono diversi lavori recenti in cui si affronta il progetto e la
modellazione di MC per mezzo di metodi agli elementi finiti (FEA) (e.g. [3]) o Modelli
Pseudo-Rigidi (MPR) [9]. In quest''ultimo caso, il GE `e modellato da una coppia rotoidale
posta in parallelo ad una molla torsionale, in modo da semplificare la cinematica del giunto
ad una rotazione nel piano. Con riferimento ai GE di forma '' semplice', come le travi snelle, sono note soluzioni analitiche in forma chiusa per spostamenti relativamente ampi [16''18] in grado di catturare
gli effetti di svergolamento dovuti a carichi laterali. D''altro canto, il giunto ottimale per
una determinata applicazione pu`o essere caratterizzato da morfologie non banali, tali da non
ammettere un trattazione mediante la teoria della trave. In generale, la scelta di quale GE possa soddisfare al meglio la specifica applicazione dipende da numerosi fattori. Tuttavia, `e possibile individuare alcune linee guida che possono
indirizzare il processo di selezione di un generico GE, senza alcuna restrizione in termini di
morfologia e tecniche di produzione del giunto stesso. Giunti elastici per grandi spostamenti: concetti base La maggior parte delle applicazioni richiede GE progettati per fornire un singolo g.d.l.. In
questo caso, il GE `e concepito per consentire uno spostamento principale lungo una direzione Figura 1. Carichi principali e secondari (sinistra) e spostamenti principali e secondari 430 di riferimento, qualora sottoposto ad un carico principale (coppia o forza), agente lungo la
stessa direzione. Per esempio, la Fig. (1) mostra un corner-filleted flexural hinge (trave snella
a sezione rettangolare con raccordi [8]), ovvero una struttura elastica che pu`o agire come
coppia rotoidale generando uno spostamento principale di rotazione θy sotto l''azione di un
carico principale My. L''asse y `e detto asse compliant [19, 20] ed il rapporto tra θy e My `e
chiamato cedevolezza principale. Spostamenti secondari (anche chiamati effetti parassitici in [8]) lungo le altre direzioni di riferimento possono avere luogo nelle applicazioni reali per due ragioni: 1) presenza di
carichi secondari agenti lungo le suddette direzioni; 2) presenza di spostamenti dell''asse
compliant. In questo secondo caso, durante la deformazione del GE, l''asse compliant `e
soggetto a moto spaziale anche in assenza di un carico secondario. Il rapporto tra un qualsiasi
spostamento secondario ed un qualsiasi carico viene definito cedevolezza secondaria. E'' bene notare che la presenza di carichi secondari `e di solito difficilmente prevedibile poich`e il MC potrebbe interagire con ambienti non strutturati. D''altro canto, le deformazioni
dovute al carico principale (di solito fornito dal sistema di attuazione) possono essere valutate
a priori tramite simulazione e considerate nel processo di design del dispositivo robotico. In
ogni caso, trattandosi di moti indesiderati, gli spostamenti secondari devono essere evitati o,
per quanto possibile, minimizzati. Da questo punto di vista, per carichi dati, l''entit`a degli spostamenti secondari `e stretta- mente dipendente dalla morfologia del GE: giunti che si comportano similmente, per quanto
riguarda gli spostamenti principali, possono avere comportamenti piuttosto differenti in ter-
mini di spostamenti secondari. In particolare, come precedentemente riportato, la capacit`a di
un GE di mantenere un''elevata cedevolezza lungo l''asse compliant ed un''elevata rigidezza
lungo ogni altra direzione `e definita cedevolezza selettiva [8]. Per esempio, si considerino i
GE per grandi spostamenti mostrati in Fig. (2). Tali GE sono caratterizzati da: ' Stesso intervallo di spostamenti (cio`e una rotazione di ±45') al limite di snervamento; ' Stesso spostamento principale sotto l''applicazione dello stesso carico principale (cio`e stessa cedevolezza principale, CθyMy); ' Stesso materiale (i.e., stesso rapporto E/Y 1) e stessa tecnologia produttiva. Un confronto critico di questi quattro GE consente di affermare che il giunto JR (trave a sezione rettangolare, Fig. (2b)) `e preferibile in applicazioni ad un singolo g.d.l. se con-
frontato con il giunto JC , (trave a sezione circolare, Fig. (2a)), che `e usualmente impiegato
in MC spaziali [21]. Allo stesso modo, si pu`o facilmente affermare che i giunti JC e JR
hanno morfologie pi`u semplici e dimensioni complessive maggiori se confrontati col giunto
a spirale, SPIR (Fig. (2c)), e con il giunto elicoidale, HEL (Fig. (2d)), entrambe preferibili
in termini di dimensioni qualora la complessit`a morfologica non sia un problema (per esem-
pio, se il GE viene prodotto per mezzo di stereolitografia). Allo stesso modo, pu`o essere
difficoltoso scegliere tra SPIR e HEL senza uno studio approfondito del loro comportamento
rispetto agli spostamenti secondari. In risposta a tali quesiti, questa memoria propone un metodo di confronto per valutare la cedevolezza selettiva del GE sulla base di indici locali e globali. Il metodo `e validato
comparando i due GE la cui soluzione analitica `e nota da letteratura, e cio`e il giunto JC ed il 1E indica il modulo di Young del materiale, Y indica la tensione di snervamento. 431 x y z l O a JC , trave snella a sezione cir-
colare x y z l O b JR, trave snella a sezione ret-
tangolare x y z l O c SPIR, giunto a spirale x y z l O d HEL, giunto elicoidale giunto JR. Infine, il metodo `e testato confrontando i giunti SPIR e HEL. In definitiva, si pu`o
affermare che il giunto SPIR `e preferibile. 2. DESCRIZIONE DEL METODO Allo scopo di confrontare differenti GE `e necessario comprendere come i GE stessi reagi-
scano a carichi esterni. Nell''ambito di validit`a del principio di sovrapposizione degli effetti
(materiali elastici lineari e piccole deformazioni), il comportamento cinematico di un GE
nello spazio 3D pu`o essere dedotto attraverso l''analisi della sua matrice di cedevolezza C:
dato il vettore dei carichi agenti in un punto (per esempio, il punto O in Fig. (1)), il vettore
degli spostamenti lungo le direzioni di riferimento x, y, z `e espresso da Eq. 1. ''u = C · ''f (1) ''u = [ ''ux ''uy ''uz ''θx ''θy ''θz ]t ''f = [ ''fx ''fy ''fz ''mx ''my ''mz ]t Figura 2. Giunti elastici di rotazione adatti a grandi spostamenti. 432 C =  





 C11 C12 C13 C14 C15 C16 C21 C22 C23 C24 C25 C26 C31 C32 C33 C34 C35 C36 C41 C42 C43 C44 C45 C46 C51 C52 C53 C54 C55 C56 C61 C62 C63 C64 C65 C66  





 ove ''u `e un vettore di spostamenti incrementali composti da 3 traslazioni incrementali(''ux, ''uy, ''uz) e altrettante rotazioni incrementali (''θx, ''θy, ''θz), ''f `e una forza generaliz-
zata ''di disturbo' composta da tre forze incrementali ( ''fx, ''fy, ''fz) e altrettante coppie incrementali ( ''mx, ''my, ''mz). Di conseguenza, C ' Cij `e una matrice 6x6 con elementi di dimensioni fisiche non uniformi. Una coppia rotoidale ideale, in grado di generare una rotazione pura anche in presenza di carichi secondari, presenter`a una matrice C in cui il solo termine C55 = CθyMy, corrispon-
dente alla rotazione lungo l''asse principale y sotto l''azione del carico principale My, `e finito,
essendo nulli gli altri termini. Al contrario un GE reale sar`a caratterizzato da valori finiti dei
coefficienti anche lungo le altre direzioni. In Fig. (3), viene mostrata una rappresentazione
grafica qualitativa di matrici di cedevolezza C per coppie rotoidali ideali e reali. Tuttavia, essendo un operatore differenziale [22], la matrice di cedevolezza misura una propriet`a locale che dipende dalla configurazione del GE. Pertanto, `e chiaro che C non pu`o
essere direttamente utilizzata come elemento di comparazione; in primis, poich`e un''unica
matrice non `e sufficiente per descrivere globalmente il comportamento di un GE per grandi
spostamenti. Secondariamente, poich`e l''elevato numero di elementi che compongono C non
permette un confronto semplice ed intuitivo di differenti GE. Pertanto, al fine di definire una metodologia di confronto, vengono proposti i seguenti passaggi concettuali: 1. Definizione e discretizzazione dello spazio di lavoro del GE; 2. Valutazione e normalizzazione della matrice di cedevolezza in ogni configurazione del giunto; C indice i indice j a Giunti ideale C indice i indice j b Giunto reale Indice i per le righe e indice j per le colonne. Figura 3. Rappresentazione grafica di matrici di cedevolezza per GE ideale (a) e reale (b). 433 m 1 m k m N α k a O k z k x k z x A b 3. Definizione e valutazione di Indici di Qualit`a Locale (IQL), che caratterizzano la qualit`a del GE in termini di cedevolezza selettiva; 4. Definizione e valutazione di Indici di Qualit`a Globale (IQG) che riassumono la qualit`a complessiva del GE. Definizione dello spazio di lavoro del giunto Come detto, solo i GE caratterizzati da geometrie ''semplici', come le travi snelle sotto par-
ticolari condizioni di carico, possono essere studiati analiticamente nell''ipotesi di grandi
spostamenti [16''18]. Pertanto, i GE caratterizzati da morfologie complesse (come SPIR o
HEL) vengono analizzati per mezzo dei metodi FEA. Si supponga che l''analisi di un numero finito di configurazioni del giunto, all''interno del suo stesso spazio di lavoro, sia sufficiente per ottenere una stima del comportamento
del GE stesso rispetto alle propriet`a di cedevolezza. Lo spazio di lavoro del GE, Ws, `e
dunque definito come l''intervallo di spostamenti principali che pu`o essere conseguito dal
giunto prima di giungere a snervamento, qualora il GE sia soggetto unicamente ad un carico
principale di intensit`a adeguata. Lo spazio di lavoro `e poi suddiviso in un insieme finito, N ,
di configurazioni del GE. Per comprendere meglio questo approccio si pu`o considerare il seguente esempio. In Fig. (4a) `e rappresentato un GE a trave snella. Si definisca un sistema di riferimento iner-
ziale con origine nel punto A ed un sistema di riferimento mobile con origine nel punto
O1 (Fig. (4b)). Riguardo alla definizione precedente, se il GE pu`o fornire una rotazione di
αN = 45' all''estremit`a libera in condizioni limite di snervamento, qualora sottoposto ad un
momento flettente adeguato m, allora α '' [±45'] coincide con lo spazio di lavoro Ws. Tale spazio di lavoro viene, in seguito, discretizzato in un numero finito N di posizioni angolari
αk (dove k = 1, · · · , N). Ovviamente, ad una data suddivisione di Ws corrisponde una ben definita discretizzazione dei carichi. Ad esempio, la posizione iniziale definita dal punto O1
per α1 = 0, una qualsiasi posizione intermedia definita dal punto Oi per αi e la posizione
finale ON per αN = 45' sono raggiunte qualora m1 = 0, 0 < mk < mN e mN = m rispet-
tivamente. In pratica, si suppone che il GE sia sottoposto a grandi spostamenti principali ma
a piccoli spostamenti secondari. Figura 4. Discretizzazione dello spazio di lavoro (a) e sistemi di riferimento (b). 434 Valutazione di matrici di cedevolezza normalizzate Una volta definita una discretizzazone dello spazio di lavoro, si propone di valutare una ma-
trice di cedevolezza locale Ck per ogni configurazione del giunto. Come detto, Ck presenta
elementi di dimensioni fisiche non uniformi. Pertanto, per potere considerare quantit`a adi-
mensionali, si definisce un momento di inerzia equivalente: I'' = l/ECθyMy (2) dove CθyMy indica la cedevolezza principale del GE. Similmente, come suggerito in [16], gli spostamenti e le lunghezze vengono normalizzati rispetto alla lunghezza totale del giunto l (si faccia riferimento a Fig. (2)), le forze rispetto a
EI''/l2, ed i momenti rispetto a EI''/l, cosicch`e la cedevolezza principale risulta e CθyMy = 1. Ogni matrice e Ck `e poi calcolata attraverso i seguenti passaggi concettuali: ' Si applica una frazione del carico principale massimo m, in modo da raggiungere la k-esima configurazione, dove k = 1, .., N . ' Si applica una piccola variazione ad un carico secondario mantenendo il carico prin- cipale imposto precedentemente. Si misurano quindi gli spostamenti generati ''u (3 traslazioni e 3 rotazioni). Tali spostamenti sono utilizzati per il calcolo delle sei com-
ponenti di e Ck relative alla particolare condizione di carico in esame (i.e. k-esima configurazione). Si definisce ''piccola', una variazione di carico che genera un piccolo
spostamento [23]. ' Si ripete la procedura per ogni componente di carico secondario, in modo da calcolare l''intera matrice di cedevolezza relativa alla k-esima configurazione. La matrice di cedevolezza locale normalizzata `e divisa in due sotto-matrici, e CRk e e CTk, contenenti rispettivamente i coefficienti relativi a spostamenti angolari e a spostamenti line-
ari, lungo le direzioni di riferimento. [ e C ]k = [ e CRk e CT k ] (3) [ e C ]Rk = e Ci,j, i = 1, .., 3; j = 1, .., 6. [ e C ]Rk = e Ci,j, i = 3, .., 6; j = 1, .., 6. La stessa procedura viene utilizzata per le N suddivisioni dello spazio di lavoro. Si noti che: 1) `e possibile ottenere una migliore accuratezza solo con un numero elevato N di
configurazioni di giunto; 2) la scelta del sistema di riferimento rispetto al quale sono calcolate
le Ck deve essere congruente ed invariante durante l''intero processo di valutazione [22, 24].
Come esempio, la Fig. (5a) mostra la configurazione deformata (rotazione principale di 45') del giunto SPIR se sottoposto unicamente a carico principale, mentre la Fig. (5b) mostra la
configurazione deformata dello stesso giunto SPIR qualora soggetto a carico principale e a
coppia (secondaria) lungo la direzione x (sistema di riferimento mostrato in Fig. (2c)). 435 a b di un carico (coppia) principale (a) oppure di un carico (coppia) principale + una coppia mx
(b). Allo scopo di ridurre il costo computazionale, il modello FEA del giunto non include le aree in cui la deformazione risulta trascurabile. Definizione e valutazione di indici di qualit `a locale e globale Qualora si sia valutata la matrice di cedevolezza locale e Ck per ognuna delle configurazioni in esame, si possono definire una serie di IQL utili nella valutazione di differenti GE. Gli indici
proposti sono basati sulla norma matriciale di Frobenius, cio`e: ||A||F ' v
u
u
t 1 n m '' i =1 n '' j =1 |aij|2 (4) che, intuitivamente, indica l''ampiezza degli elementi di una generica matrice A m ' n. Nello specifico, si definiscono un IQL rotazionale Ir ed un IQL transazionale It come: IRk = ' e CRk 'F IT k = ' e CTk 'F (5) Un minor IQL indica un migliore comportamento locale del GE.
La fase finale dell''approccio comparativo consiste nella definizione e nella valutazione di indici di qualit`a globale (IQG) che riassumano la qualit`a complessiva del giunto in termini
di cedevolezza selettiva all''interno dello spazio di lavoro Ws: IRg = ''N i =1 IRk N IT g = ''N i =1 IT k N (6) Un minor IQG indica un migliore comportamento globale del GE.
Si noti che: 1) piccole rotazioni secondarie a livello del giunto possono essere notevol- mente amplificate al termine di catene articolate seriali, pertanto la valutazione di IRg `e di
solito pi`u significativa; 2) la definizione di indici globali `e apprezzabile in termini di sintesi
del metodo. Nonostante ci`o, un''analisi dell''andamento degli IQL, all''interno dello spazio di
lavoro, pu`o far emergere effetti pericolosi (ad esempio effetti di load stiffening) non eviden-
ziabili dalla sola analisi degli IQG. Figura 5. Esempio di FEA sul giunto SPIR. Configurazione deformate sotto l''applicazione 436 a b 3. VALIDAZIONE DEL METODO Per testare l''utilit`a della procedura proposta, si effettua una valutazione comparativa dei GE
per applicazioni robotiche riportati in Fig. (2). I giunti JC e JR sono semplici travi snelle a sezione circolare e rettangolare rispettiva- mente. In questo contesto, sono entrambe trattati come GE rotoidali (ad un singolo g.d.l.).
Ovviamente, il comportamento di JR `e migliore in termini di cedevolezza selettiva se com-
parato a JC , utilizzabile, infatti, come GE sferico [8]. I giunti SPIR e HEL sono stati progettati per essere utilizzati in dita robotiche articolate, avendo dimensioni comparabili con le articolazioni delle dita umane. Il giunto SPIR `e basato
su una coppia di molle planari con geometria a spirale, mentre il giunto HEL `e basato su
una coppia di molle elicoidali aventi l''asse dell''elica parallelo alla direzione principale di
spostamento (asse compliant). Il confronto `e stato realizzato mediante FEA, utilizzando il software ANSYS Release 12.0. Il materiale utilizzato nelle simulazioni, denominato Fullcure 720, `e utilizzato in stam-
panti 3D per la prototipazione rapida e presenta un modulo di Young E = 2870M P a ed un coefficiente di Poisson ν = 0.33. L''elemento scelto per questa analisi `e SOLID187. Questo elemento a 10 nodi ben si adatta a modellare mesh irregolari. In riferimento alle tecniche di
controllo della soluzione, `e stata realizzata un''analisi statica. Lo spazio di lavoro dei GE `e
stato suddiviso in N = 5 configurazioni: ''45', ''22.5', 0' (configurazione indeformata), +22.5', +45' (il segno positivo si riferisce alla rotazione in senso orario, Fig. (6)). Gli IQG ottenuti dall''analisi sono riportati in Tabella 1, mentre l''andamento degli IQL `e riportato in Fig. (7). Con riferimento al confronto tra JR e JC , la Tabella 1 evidenzia valori pi`u bassi degli IQG correlati a JR. In aggiunta, la Fig. (7) mostra l''andamento degli IQL all''interno dello Table 1: Indici globali per i giunti SPIR e HEL. IT g IRg IT g IRg JC 1.2736 1.1880 SPIR 0.2749 0.4596 JR 0.8911 0.8041 HEL 0.3467 0.5786 Figura 6. Discretizzazione dello spazio di lavoro: SPIR (a) e HEL (b) rispettivamente. 437 spazio di lavoro del giunto, confermando che JC `e caratterizzato da una cedevolezza selettiva
pi`u bassa. Con riferimento al confronto tra i quattro GE, i valori di tutti gli IQG mostrano
prestazioni migliori per il giunto SPIR. Questo risultato viene confermato dall''analisi dell''andamento degli IQL presentata in Fig. (7). L''analisi `e stata limitata ad un intervallo di rotazione di ±45'. Tuttavia, come mostrato in Fig. (8), i giunti SPIR e HEL sono in grado di ruotare di 90' in senso orario e di 45' in senso antiorario. Le tipologie di GE presentate in questa memoria sono state utilizzate
per produrre il dito robotico mono-pezzo mostrato in Fig. (9). ''50 0 50 0 0.5 1 1.5 2 Spostamento principale IQL rotazionale SPIR HEL JR JC a Andamento dell''IQL IRk per SPIR e HEL. ''50 0 50 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 SPIR HEL JR JC Spostamento principale IQL rotazionale b Andamento dell''IQL IT k per SPIR e HEL. ` and (2d)). a b Figura 7. Andamento degli indici di qualita locale (IQL) per i giunti SPIR e HEL (Fig. (2c) Figura 8. GE deformati: SPIR (a), HEL (b). 438 4. DISCUSSIONE E CONCLUSIONI I GE comunemente adottati nei svariati ambiti della tecnica sono in grado di fornire pic-
coli spostamenti. Per contro, molte strutture robotiche necessitano di spostamenti molto pi`u
ampi. Ad esempio, l''applicazione di GE in dita robotiche richiede l''utilizzo di morfologie di
giunto capaci di rotazioni di circa 90', dieci volte superiori rispetto alle rotazioni di cui sono passibili i comuni GE. Generalmente, giunti adatti a grandi spostamenti si possono ottenere
incrementando l''estensione della regione di spazio occupata da materiale elastico sottoposto
a deformazioni imposte (e.g. utilizzo di travi snelle ad elevata lunghezza). Tuttavia, tale
soluzione incrementa inevitabilmente la suscettibilit`a a spostamenti secondari. Questo incon-
veniente rappresenta un fattore critico a sfavore dell''applicazione di GE in strutture robotiche
articolate ove piccoli spostamenti secondari, a livello di giunto, possono essere enormemente
amplificati al termine di una catena seriale (specialmente nel caso in cui siano presenti nu-
merosi link di elevata lunghezza). In pratica, le evidenti difficolt`a nel progetto e nella valutazione del giunto, nonch`e le ele- vate sensibilit`a ai carichi secondari, porterebbero a sconsigliare l''utilizzo di GE in robotica. Queste considerazioni possono, tuttavia, essere rilette in una prospettiva pi`u ampia che includa i concetti di economicit`a globale di sistema e di ammissibilit`a di errori pi`u o meno ri-
levanti. Infatti, esistono casi in cui la presenza di spostamenti indesiderati pu`o essere limitata
ed, in ogni caso, non compromette la capacit`a di svolgere con successo i compiti preposti.
Considerando, per esempio, mani robotiche e protesiche con dita articolate, durante la traiet-
toria di avvicinamento all''oggetto, le dita stesse si comportano come catene seriali indipen-
denti e soggette a carichi molto limitati; in questa fase, gli errori di traiettoria dovuti a sposta-
menti secondari risultano limitati ed accettabili. A seguito della presa e dell''applicazione dei
contatti tra mano e oggetto, il sistema oggetto-dita pu`o essere concepito come una struttura
parallela [25] nella quale le dita contribuiscono alla stabilit`a ed alla robustezza della presa,
mitigando gli effetti degli spostamenti secondari dovuti al singolo giunto. Queste osservazioni qualitative sottolineano l''importanza, nella pratica, dei metodi di confronto presentati in questa memoria ed atti a stabilire quale GE meglio si adatti ai re-
quisiti di una data applicazione. In conclusione, il criterio proposto `e basato sulla valu-
tazione di indici di qualit`a locali e globali che quantificano la cedevolezza selettiva del giunto.
L''approccio `e stato validato comparando due GE la cui soluzione analitica `e nota da lettera-
tura e due GE di morfologia non banale. In particolare, i giunti SPIR e HEL sono stati ideati
per utilizzo su dita robotiche, ove l''inconveniente degli effetti parassiti pu`o essere accettato a
fronte di una minore complessit`a costruttiva. Figura 9. Dito robotico mono-pezzo. Utilizzo di giunti elastici piani a spirale. 439 Ringraziamenti Questa ricerca `e stata finanziata da EC Seventh Framework Programme (FP7) all''interno del
progetto DEXMART (progetto n. 216239) e dal MIUR all''interno del PRIN2007CCRNFA-
004 (SICURA project). Si ringraziano: Prof. Claudio Melchiorri, Ing. Gianluca Palli e Ing.
Gianni Borhgesan. BIBLIOGRAFIA [1] Ananthasuresh, G., and Kota, S., 1995. ''Designing compliant mechanisms.'. Mech. Eng., 117, p. 936. [2] Berselli, G., Piccinini, M., and Vassura, G., 2011. ''Comparative evaluation of the selective com- pliance in elastic joints for robotic structures'. In Proc. IEEE Int. Conf. on Robotics and Automa-
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PARALLEL ROBOTS
Marco Carricato DIEM - Dept. of Mechanical, Nuclear, Aviation and Metallurgical Engineering, University of Bologna, Italy E-mail: marco.carricato@unibo.it Abstract. This paper studies cable-driven parallel robots with less than six cables, in crane configuration. A major challenge in the study of these manipulators is the intrinsic coupling between kinematics and statics, which must be dealt with simultaneously. A geometrico-static model is provided, together with a general procedure aimed at effectively solving the inverse and direct position problems. The stability of equilibrium is assessed within the framework of a constrained optimization problem, for which a purely algebraic formulation is provided. A spatial robot with three cables is studied as an application example. Keywords: Cable-driven parallel robots, underactuated robots, kinematic analysis, static analysis, stability analysis. 1. INTRODUCTION Cable-driven parallel robots (CDPRs) strengthen classic advantages characterizing closed- chain architectures versus serial ones, like reduced masses and inertias, a larger payload to robot weight ratio, high dynamic performances, improved motor efficiency, etc., while pro- viding peculiar advantages, such as a larger workspace, reduced manufacturing and mainte- nance costs, ease of assembly and disassembly, high transportability, superior modularity and reconfigurability. CDPRs are ordinarily referred to as fully-constrained or under-constrained, depending on whether all six degrees of freedom (dofs) of the moving platform are controlled or not [1]. It is well known that, in the general case, fully-constrained CDPRs require at least seven cables, and only six in crane configuration, namely when gravity acts as an additional cable. The employ of under-constrained CDPRs with less than six cables is justified in sev- eral applications (such as, for instance, rescue, service or rehabilitation operations), in which the task to be performed requires a limited number of controlled freedoms (only n dofs of the end-effector may be governed by n cables) or a limitation of dexterity is acceptable in order to decrease complexity, cost, set-up time, likelihood of cable interference, etc. Furthermore, a theoretically fully-constrained CDPR may operate, in appreciable parts of its geometric workspace, as an under-constrained robot, namely when a full restraint of the end-effector may not be achieved because it would require a negative tension in one or more cables. Even though the above considerations motivate a careful study of under-constrained CD- 443 PRs, little research has been dedicated to them [2''7], whereas a much richer literature ex- ists concerning fully-constrained robots [1, 8''35]. A major challenge in the study of under- constrained CDPRs consists in the intrinsic coupling between kinematics and statics (or dy- namics). When a fully-constrained CDPR operates in the portion of its workspace in which the required set of output wrenches is guaranteed to be applicable with purely tensile cable forces, the posture of the end-effector is determined, in a purely geometrical way, by assign- ing cable lengths. Conversely, for an under-constrained CDPR, when the actuators are locked and the cable lengths are assigned, the end-effector is still movable, so that the actual con- figuration is determined by the applied forces. As a consequence, the end-effector posture depends on both cable lengths and equilibrium equations. The necessity to deal with kine- matics and statics simultaneously increases the complexity of position problems, which are aimed at determining the overall robot configuration when a set of n variables is assigned. The solution of these problems is significantly more difficult than analogous tasks concerning rigid-link parallel manipulators. Moreover, as the end-effector pose depends on the applied load, it may change due to external disturbances, so that it is fundamental to investigate equi- librium stability. An equilibrium configuration is, actually, feasible only if both cable tensions are positive and the configuration is stable. This paper presents a preliminary study of the kinematics and statics of under-constrained nn -CDPRs, namely parallel robots in which a fixed base and a mobile platform are connected to each other by n cables, with n ' 5 and the anchor points on the base and the platform being generally distinct. A geometrico-static model is presented, together with a general procedure aimed at effectively solving the inverse and direct position problems. These consist in determining the overall robot configuration and cable tensions when, respectively, a set of n platform posture coordinates or the n cable lengths are assigned. The problem of equilibrium stability is formulated as a constrained optimization problem, and a purely algebraic method is provided that rules out the need of differentiation. The geometrico-static study of a general
33 -CDPR is outlined as an application example. 2. GEOMETRICO-STATIC MODEL Let a mobile platform be connected to a fixed base by n cables, with 2 ' n ' 5. Ai and Bi are, respectively, the exit point on the base and the anchor point on the platform, and si = Bi '' Ai (Fig. 1). The set C of geometrical constraints imposed on the platform comprises the relations |si| = '' si · si = ρi, i = 1 . . . n, (1) where ρi is the length of the ith-cable, which is assumed, for apparent practical reasons, strictly positive (as a consequence, Bi 6' Ai). Since only n geometrical constraints are enforced, the platform preserves 6 '' n degrees of freedom, with its posture being determined by equilibrium laws. If Q$e, with Q > 0, is an arbitrary external wrench acting on the platform (including inertia forces, in case of dynamic conditions) and ('i/ρi) $i is the force exerted by the ith cable ($e and $i/ρi are assumed to be unit screws), then n X i=1 'i ρi $i + Q$e = 0, (2) with 'i ' 0, i = 1 . . . n. (3) 444 x y u 1 s 1 B1 B2 B3 s 2 s 3 u 2 u 3 a 3 a 2 x r 1 r 3 G y' x' z' Q$e 2 2 2 ' ρ $ 1 1 1 ' ρ $ A1 ' O k ' e z A2 A3 Figure 1: Geometric model of a cable-driven parallel robot with three cables. Equations (1)-(2) amount to 6 + n scalar relations involving 6 + 2n variables, namely, the cable tensions and lengths, and the variables used to parameterize the platform posture. In general, a finite set of system configurations may be determined if n of such variables are assigned. In this paper, only static equilibrium is considered and Q$e is assumed to be a constant force applied on a point G of the platform (e.g., the platform weight acting through its center of mass). Hence, Eqs. (1)-(2) are algebraic, or may be easily rendered so. If Eq. (2) is written as  $1 · · · $n $e  | {z } M  


 ('1/ρ1) ... ('n/ρn) Q  


 = 0, (4) M is a 6'(n+1) matrix only depending on the platform posture and equilibrium is possible only if rank(M) ' n, (5) namely, if the cables and the line of action of $e span the same n-dimensional system of lines. Within the domain of rigid-body mechanics, the problem is statically determinate if the equality holds, indeterminate otherwise. In the former case, it is always possible to re- place Eq. (4) with 6 '' n scalar relations that do not contain the unknowns 'i, i = 1 . . . n. In 445 fact, the linear dependence of $1, . . . , $n and $e is a purely geometrical condition. A most straightforward strategy consists in computing cable tensions by way of n linearly indepen- dent relations chosen within Eq. (4), and then substituting them back into the remaining ones. A more convenient strategy consists in setting all (n + 1) ' (n + 1) minors of M equal to zero, which amounts to 6 n+1  scalar relations, among which 6 '' n independent ones may be suitably chosen (the most appropriate choice depends on the specific problem at hand). Such an approach provides a wider set of linearly independent equations and it offers a better insight into their structure. Furthermore, since these relations do not comprise cable lengths, a partial decoupling of the system equations is achieved, with cable lengths only appearing in Eq. (1). Such an approach may also be applied when the problem is statically indeterminate. Depending on the variables designated as input, one may tackle an inverse geometrico- static problem (IGP), if n variables concerning the platform posture are assigned, or a direct one (DGP), if cable lengths are given. The IGP takes particular advantage of the partial decoupling of the system equations, since, in this case, the 6 '' n configuration variables that are needed to fully determine the platform pose may be directly computed by way of (a minimum of 6 '' n) relations emerging from Eq. (5). Subsequently, cable lengths may be directly computed by Eq. (1) and cable tensions may be obtained by a suitable set of linear independent relations chosen within Eq. (4). The set of feasible configurations consists of those for which cable tensions are non-negative (cf. Eq. (3)) and the platform equilibrium is stable (cf. §3.). The DGP poses remarkably more complex mathematical problems, since in this case the platform configuration must be determined by simultaneously solving both the relations emerging from Eq. (5) and the n relations in Eq. (1). It must be said that Eq. (1) represents a set of theoretical constraints, since the actual constraint imposed by a generic cable consists in that |si| = '' si · si ' ρi. (6) The above refinement causes no concern when the IGP is dealt with, for in this case the theo- retical values of cable lengths are conveniently computed by Eq. (1), after the platform pos- ture has been established. Conversely, when the DGP is tackled, cable lengths are assigned as inputs, and, a priori, nothing assures that all cables are called upon to sustain the load. Indeed, if a subset W of cable indexes exists such that card(W) < n and $e '' span ($j, j '' W), equilibrium configurations possibly exist such that |sk| < ρk and thus 'k = 0, for all k 6'' W. These are legitimate solutions of the problem at hand. It follows that the overall solution set is obtained by solving the DGP for all possible constraint sets {|sj| = ρj, j '' W}, with
W '' {1 . . . n} and card(W) ' n, and by retaining, for each corresponding solution set, the solutions for which |sk| < ρk, k 6'' W, and Eq. (3) is verified. In general, this amounts to solving Pn''1 h=0 n n''h  DGPs. A caveat is worth being mentioned. Equation (5) is a necessary, but not sufficient, con- dition for equilibrium. In very special conditions, it may happen that equilibrium is not possible, in spite of Eq. (5) being fulfilled and irrespective of the sign of cable tensions. In particular, this occurs if M loses its full rank because a subset of its n first columns becomes linearly dependent, i.e. if the rank loss is ''concentrated'' among the set of screws associated with the cable lines. In this situation, the rank of the block1 M1...6,1...n is, at the most, equal to n '' 1 and Eq. (2) may be satisfied only if rank(M) ' n '' 1, since, at the equilibrium, 1The notation M hij,klm denotes the block matrix obtained from rows h, i and j, and columns k, l and m, of M . When all columns of M are used, the corresponding subscripts are omitted. 446 the external wrench must, in any case, belong to the subspace generated by the cable lines. Events like these must be separately studied and dealt with. For this reason, a check of the rank of M1...6,1...n is advisable before attempting to solve for cable tensions. Throughout the text, the following notation is adopted (Fig. 1). Oxyz is a Cartesian coordinate frame fixed to the base, with i, j and k being unit vectors along the coordinate axes. Gx'y'z' is a Cartesian frame attached to the platform. e is a unit vector directed as $e,
x = G '' O , ai = Ai '' O, ri = Bi '' G, si = Bi '' Ai = x + ri '' ai, ui = (Ai '' Bi)/ρi = ''si/ρi and rij = ri '' rj, with i, j = 1 . . . n, i 6= j. Without loss of generality, O is chosen to coincide with A1 (so that a1 = 0) and k = e. Furthermore, if bi is the projection of Bi '' G on Gx'y'z', Φ is the array grouping the variables parameterizing the platform orientation with respect to the fixed frame, and R(Φ) is the corresponding rotation matrix, then ri = R (Φ) bi. Finally, the platform posture is described by the array X = [x; Φ], with the components of x in Oxyz being denoted, for the sake of brevity, as x, y and z. If O is chosen as the reduction pole of moments, $i and $e may be respectively expressed, in axis coordinates, as $i = '' [si; ai ' si] and $e = [e; x ' e]. Accordingly, M becomes M =  '' (x + r1) · · · ai '' (x + ri) · · · e 0 · · · ''ai ' (x + ri) · · · x ' e  , (7) or, equivalently, by elementary column transformations, M' =  x + r1 · · · ri1 '' ai · · · e 0 · · · ai ' (x + ri) · · · x ' e  . (8) 3. STABILITY OF EQUILIBRIUM Let an equilibrium configuration ¯X, ¯ρ1 . . . ¯ρm be considered, with m being the number of active constraints (i.e. the number of cables contributing to supporting the platform). By a convenient reordering of indexes, taut cables may be assumed to be the first m, with m ' n. Since the platform preserves 6 '' m dofs, it may displace under the effect of a change in the external force acting on it, while cable lengths remain unvaried (for the sake of simplicity, it is assumed that the number of cables in tension does not change because of the perturbation, which is reasonable, but not necessarily true). The problem of assessing equilibrium stability is in order. In particular, G may generally move within a closed region of R3 (in some cases, a surface or a curve). If g is the frontier of this region, the equilibrium is stable any time the potential energy U associated with the external force Q$e, namely ''Qe · x, is at a minimum on g. Loosely speaking, the platform is at rest in all points ¯ G of g in which the variety tangent to g is perpendicular to e, with the equilibrium being stable if and only if a neighborhood W ¯ G of ¯ G exists such that (P '' ¯ G ) · e < 0 , for all P '' (g ' W ¯ G). In such a condition, when the platform displaces under the effect of a perturbation, the original configuration is restored if the perturbation ceases. Figure 2 helps to depict this concept. The figure shows the locus g of the positions that G may assume for an exemplifying 22-CDPR, under the constraints (1) and with m = n = 2. If the platform is thought of as the coupler of a four-bar linkage whose grounded links are the cables (with assigned lengths), g is the coupler curve of G, namely a bicursal sextic. The stationary configurations of G are the points of g in which the tangent line is perpendicular to e, with U being at a minimum in ¯ G2 and ¯ G4 . These are the stable equilibrium poses. Of course, since cable tensions are negative in the configurations lying 447 G ¯ 1 x 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 z 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 G ¯ 2 G ¯ 3 G ¯ 4 A1 A2 B1 B2 g g Figure 2: Equilibrium configurations of a 22-CDPR with: a2 = [10; 0; ''2] , b1 = [''0.5; 0; ''0.5], b2 = [3; 0; 0], and ρ1 = ρ2 = 7. above the base and positive otherwise, ¯ G4 is de facto the only feasible configuration for the example at hand. Finding the minima of a constrained function is a classical issue in optimization theory. An efficient algorithmic formalization is presented in the following. At equilibrium, the variation of the potential energy of the platform due to a virtual displacement of it must be zero. Such a variation is the opposite of the work carried out by all forces acting on the platform, namely δL = '' m X i=1 'iui · δBi '' Qe · δG = 0. (9) If δx and δ' are, respectively, the virtual displacement of G and the virtual rotation of the platform, then δG = δx and δBi = δsi = δx + δ' ' ri, and thus δL = '' m X i=1 'iui + Qe ! · δx '' m X i=1 'iri ' ui ! · δ' = f · δx + m · δ' = 0. (10) Equation (10), from which f and m are inferred to be zero, is clearly equivalent to Eq. (2), by letting n = m. Since, for ρi = ¯ρi, δ (|si| '' ρi) = δ|si| and δ |si| = si · δsi ρi = si · δx + ri ' si · δ' ρi = '' (ui · δx + ri ' ui · δ') , (11) δL may be written as δL = ''Qe · δx + m X i=1 'iδ (|si| '' ρi), (12) 448 i.e., as the virtual variation of the Lagrange function L = ''Qe · x + m X i=1 'i (|si| '' ρi). (13) The Lagrange multipliers in L coincide with the cable tensions, namely, with the forces nec- essary to impose the geometrical constraints [36].2 The above observation is useful, since it allows the stability characteristics of the equilibrium to be assessed by evaluating the defi- niteness of the reduced Hessian Hr of L, namely, the Hessian of L taken with respect to the configuration variables, further projected on the tangent space of the constraints C [37]. An algebraic expression of Hr is derived hereafter. The second-order variation of δL is given by δ2L = ''Qe · δ2x + m X i=1 'i δsi · δsi ρi + m X i=1 'i si · δ 2si ρi , (14) with δ2si = δ 2x + δ2' ' ri + δ' ' (δ' ' ri) . (15) Substituting Eq. (15) in Eq. (14), and enforcing f = m = 0, yields δ2L = m X i=1 'i ρi {δx · δx '' 2δx · (ri ' δ') '' (ri ' δ') · [(x '' ai) ' δ']} (16) or, in matrix notation, δ2L = m X i=1 'i ρi h δxT δx '' 2δxT 'r' + δ' T 'ri ('x '' 'ai) δ' i , (17) where 'n denotes, for a generic vector n, the skew-symmetric matrix expressing the operator
n ' . δ2L is a bilinear form in the twist space of the platform. If the platform virtual displace- ment is expressed, in ray coordinates, as δt = [δx; δ'], and I3 denotes the 3 ' 3 identity matrix, the symmetric matrix associated with this form is Hp = m X i=1 'i ρi  I3 '''ri 'ri 1
2 [' ri (' x '' ' ai) + (' x '' ' ai) 'ri]  , (18) which represents the pseudo-Hessian of L (Hp is not a true and proper Hessian, since δ' is not generally integrable). The tangent space of C is obtained by setting Eq. (11) equal to zero for all values of i. In matrix notation, this amounts to Jt =  
sT 1 (r1 ' s1) T ... ... sT m (rm ' sm) T  
  δx δ'  = 0, (19) 2Notice that Eq. (9) plus the relations {' i > 0, |si| = ρi} for i = 1 . . . m and {'i = 0, |si| < ρi} for i = m+1 . . . n are equivalent to the Karush-Kuhn-Tucker conditions for the minimization of L under the constraints (6), provided that $1, . . . , $m are linearly independent. 449 where the ith row of Jp coincides with ''$i, expressed in axis coordinates and assuming G as the moment pole. Jp is the pseudo-Jacobian of the constraint equations. If Np is any 6'(6''m) matrix whose columns generate the null space of Jp, the reduced Hessian of C is the following (6 '' m) ' (6 '' m) matrix: Hr = N T p HpNp. (20) A sufficient condition for the equilibrium to be stable consists in Hr being positive definite. It is worth remarking that, if E3 is the matrix such that δ' = EΦ, the Hessian and the Jacobian derived by differentiating L and C with respect to x and Φ are equal, respectively, to
H = ET6 HpE6 and J = JpE6, where E6 = [I3, 03; 03, E3] and 03 is the 3 ' 3 zero matrix. If the null space of J is generated by N = E''1 6 Np, then Hr = N T p HpNp = N T HN . The method proposed in [7] differs from the one presented here in that it determines the stability of equilibrium by looking at the Hessian of an unconstrained potential, explicitly expressed as a function of m independent coordinates. Such a mapping, however, is gen- erally very difficult to obtain (indeed, Michael et al. [7] apply important simplifications on the geometry of the robot) and extensive differential symbolic computation is needed. The advantage of the method described here consists in that Hr is computed in a purely algebraic way, with no need to perform any differentiation, and it may be very simply applied to the most general cases. 4. APPLICATION EXAMPLE: THE 33-CDPR Due to space limitations, only a brief outline of the IGP and the DGP of the 33-CDPR is sketched hereafter. Technical details and convenient discussions will be provided in future papers, as well as the study of the cases n = 2, 4, 5. When n = 3, Eq. (5) is satisfied and rank(M) = 3 only if $1, $2, $3 and $e belong to the same tridimensional subspace of lines [38]. Letting all 4 ' 4 minors of M' vanish leads to 15 polynomial equations in x and Φ of the form pj = 0. We look for the variety V of the ideal generated by such equations. If three configuration variables are known (as in the IGP), any three pj, say pl, ph, pk, may be chosen and a corresponding (generally zero-dimensional) variety Vlhk is obtained. V is the intersection of the five varieties that may be generated this way. Clearly, a primary objective of the solving algorithm consists in limiting the number of varieties to be computed to the lowest possible value, possibly to just one. It is useful observing that letting Bi ' Ai causes the ith column of M to vanish (since si = ai ' si = 0 ) and, thus, it causes all 4 ' 4 minors of M (and thus of M') to be zero. It follows that, when a configuration for which Bi ' Ai is compatible with the assigned constraints, it necessarily belongs to V : we call it a trivial solution and we need to discard it (cf. §2.). This observation is particularly important for the IGP with assigned orientation. In this case, in fact, it is always possible to displace the platform (with a given orientation) so as to superimpose Bi onto Ai. Consequently, all varieties Vlhk necessarily contain the trivial solutions corresponding to Bi ' Ai, namely ¯xi = ai '' ri, i = 1 . . . 3. 450 Inverse geometrico-static problem
When the orientation is assigned, all vectors ri, i = 1 . . . 3, are known. If the equations p1 := det M'1236 = 0, (21a) p2 := det M'1235 = 0, (21b) p3 := det M'1234 = 0, (21c) are considered, it may be proven that V ' V123. Such equations comprise the lowest-degree polynomials among all minors of M'. In particular, p1 is quadratic in x and y, whereas p2 and
p3 are quadratic in x, y and z. By eliminating z and y from Eq. (21), a 4th-degree polynomial equation in x may be obtained, i.e. p123 = 0. Since three roots of p123 necessarily correspond to trivial solutions, the fourth root is real and it may be computed by Vieta''s formulas in closed form. The problem admits, thus, a single solution. Of course, it is feasible only if the corresponding cable tensions are nonnegative and the equilibrium is stable. When the position x is assigned, r1, r2 and r3 are unknown. If the Rodrigues parameters e1 , e2 and e3 are chosen to describe the platform orientation, the relations in Eq. (21) assume a particularly favorable structure. Indeed, after letting ri = Rbi, i = 1 . . . 3, p1, p2 and p3 become quartic polynomials in e1, e2 and e3. Quartic polynomials in the Rodrigues param- eters also emerge from the minors det M' 1245, det M ' 1246 and det M ' 1256, but they linearly depend on p1, p2 and p3, so that they may be discarded. A further quartic emerges by setting
det M'j456 = 0 for j = 1 . . . 3, so that (x + r1) det M' 456,234  = 0 . The variety defined by the above equation comprises, other than the trivial solution x = ''r1, also the set of configurations for which p8 := det M'456,234 = 0. (22) Equation (22) has, indeed, degree 4 in e1, e2 and e3. All minors of M' not considered so far, namely det M' 1345, det M ' 1346, det M ' 1356, det M ' 2345, det M ' 2346 and det M ' 2356, yield, instead, sextic equations in the Rodrigues parameters. It is known that three polynomial equations of the same total degree always admit a Sylvester-type resultant free from extraneous polynomial factors [39]. For the case of three quartics, such a resultant is a 64th-degree polynomial in one of the unknowns. This poly- nomial may be obtained, in the present case, from p8 and any two between p1, p2 and p3 (the resultant of p1, p2 and p3 is identically nought). However, it is possible to show that the varieties V128, V138 and V238 only have 48 solutions in common and only 24 of them actu- ally satisfy the aforementioned sextics, thus belonging to V . An effective strategy in order to obtain a univariate 24th-degree polynomial in one of the unknowns consists in deriving a larger set of linearly independent quartics. This may be accomplished by choosing suitable moment poles different from O in the computation of M, thus deriving additional minors that are linearly independent from the ones emerging from Eqs. (7)-(8). Among them, seven more quartics in the Rodrigues parameters, indeed, exist. By applying Sylvester''s dialytic method to the eleven quartics which are altogether available, a univariate 24th-degree polynomial in one of the unknowns, e.g. e3, may be finally obtained. Details will be provided in a future paper. Direct geometrico-static problem
When cable lengths are assigned, the platform configuration has to be determined. Equa- tion (5) provides up to 15 (non-independent) polynomial equations in the platform posture 451 variables. Among them, Eqs. (21) and (22) are of degree four in e1, e2 and e3 and degree two in x, y, z. Equation (1) provides three further relations in the platform posture variables. In partic- ular, one may conveniently consider q1 := |s1| 2 '' ρ2 1 = 0, (23a) q2 := |s2| 2 '' ρ2 2 '' |s1| 2 + ρ2 1 = 0, (23b) q3 := |s3| 2 '' ρ2 3 '' |s1| 2 + ρ2 1 = 0, (23c) which, after clearing the denominator 1 + e2 1 + e 2 2 + e 2 3, are quadratic in e1, e2 and e3. q1 is also quadratic in the elements of x, whereas q2 and q3 are linear in these variables. The point-to-point distance relations in Eq. (23) represent the typical constraints govern- ing the forward kinematics of parallel manipulators with telescoping legs connected to the base and the platform by ball-and-socket joints. In particular, the direct position problem of the general Gough-Stewart manipulator depends on six equations of this sort, one of which is equivalent to Eq. (23a) and five more to Eqs. (23b)-(23c). This problem is known to be very difficult and it has attracted the interest of researchers for several years [40, 41]. The DGP of the 33-CDPR appears to be even more complex. In fact, three equations analogous to Eqs. (23b)-(23c), namely linear in the components of x and quadratic in the components of
Φ , are replaced by relationships that are, at least, quadratic in the components of x and quar- tic in the components of Φ (cf. Eqs. (21) and (22)). The problem appears to be a daunting task and it will be the subject of future research. 5. CONCLUSIONS This paper studied the kinematics and statics of under-constrained cable-driven parallel robots with less than six cables, in crane configuration. In these robots, kinematics and statics are in- trinsically coupled and they must be dealt with simultaneously. This poses major challenges. A geometrico-static model was presented, together with an original and general procedure aimed at effectively solving the inverse and direct position problems. A purely algebraic method, based on a constrained optimization formulation, was provided for the assessment of equilibrium stability. A spatial robot with three cables was considered as a case study, in order to show the feasibility of the presented approach. REFERENCES [1] Ming, A., and Higuchi, T., 1994. ''Study on multiple degree-of-freedom positioning mechanism using wires''part 1: Concept, design and control'. Int. Journal of the Japan Society for Precision Engineering, 28(2), pp. 131''138. [2] Arai, T., and Osumi, H., 1992. ''Three wire suspension robot'. Industrial Robot, 19(4), pp. 17''22.
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[41] Sommese, A. J., and Wampler, C. W., 2005. The numerical solution of systems of polynomials arising in engineering and science. World Scientific Publishing, Singapore. 454 INDICE DEGLI AUTORI Andrisano Angelo Oreste 165, 259 Bagagli Floriano 337 Bagaria William J. 193 Barbieri Marco 259 Bergamasco Massimo 57 Berselli Giovanni 429 Bertocchi Luca 231 Borghi Corrado 303 Campioni Eleonora 231 Carli Andrea 181 Carminelli Antonio 359 Carricato Marco 443 Castagnetti Davide 283 Catania Giuseppe 3, 359 Cavallari Marco 33 Cenci Stefano 181 Ceschini Lorella 373 Chebbi Ahmed Hachem 127 Cocconcelli Marco 303, 315 Croccolo Dario 411 Dalpiaz Giorgio 33 Dal Re Vincenzo 385 De Agostinis Massimiliano 411 Dettori Andrea 57 Donati Lorenzo 337 Dragoni Eugenio 193, 265, 283, 315 Faretra Marco 165 Ferrari Alberto 303 Foroni Alberto 181 Freddi Alessandro 1, 241 Frisoli Antonio 57 Gherardini Francesco 165 Guerra Alessandro 165 Innocenti Carlo 139 Leali Francesco 165 Mantovani Massimo 181 Marin Tito 155 Medri Gianluca 205 Meneghetti Umberto 97 455 Montanari Alessio 33 Morri Andrea 373 Mozaffari Foumashi Mohammad 113 Mucchi Emiliano 33 Neumann Manfred 17 Nicoletto Gianni 219 Olmi Giorgio 385 Parenti Castelli Vincenzo 83, 113, 127 Pellicano Francesco 259 Pellicciari Marcello 165 Piccinini Marco 429 Pini Fabio 165 Prati Edzeario 155 Reggiani Barbara 337 Reggiani Giacomo 303 Riello Valerio Giordano 181 Rivola Alessandro 73 Rosati Giulio 181 Rossi Aldo 181 Rubini Riccardo 303, 315 Sancisi Nicola 83 Scirè Mammano Giovanni 265, 315 Segatori Antonio 337 Silvestri Marco 155 Solazzi Massimiliano 57 Sorrentino Silvio 3 Spaggiari Andrea 283 Squatrito Rosario 373 Strozzi Antonio 231 Tasora Alessandro 155 Todaro Ivan 373 Tomesani Luca 337, 373 Troncossi Marco 73, 113 Vassura Gabriele 429 Vergnano Alberto 165 Vertechy Rocco 57 Vincenzi Nicolò 411 Wassermann Johann 17 Zanarini Alessandro 17 Zannoli Diego 83 Zanotti Luca 181 456

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01-FREDDI_Gustavo_GEF_2010 02-Catania G., S. Sorrentino_GEF_2010 03-ZANARINI_GEF_2010 INTRODUCTION PREMISES THE LABORATORY AT TU-WIEN THE ACTIVITY AT TU-WIEN FIRST OUTCOMES TEACHING ABROAD CONCLUSIONS 04-Cavallari_Dalpiaz_GEF_2010 05-VERTECHY e Altri_GEF_2010 06-TRONCOSSI-Rivola_GEF_2010 07-SANCISI_Parenti_GEF_2010 08-MENEGHETTI_GEF_2010 09_Mozaffari-TRONCOSSI-ParentiCastelli_GEF_2010 10-Chebbi_Parenti_GEF_2010 11-INNOCENTI _GEF_ 2010 12-Prati_Silvestri_Tasora_MARIN_GEF_2010 13-Andrisano_Vergnano_GEF_2010 14-Rossi_ROSATI_Ecc_GEF__2010 15-DRAGONI_Bagaria_GEF_2010 16-MEDRI_GEF_2010 17-NICOLETTO_GEF_2010 18-Strozzi-BERTOCCHI_GEF_2010 19-FREDDI_GEF_2010 20-BARBIERI_Pellicano_Andrisano_GEF_2010 21-Dragoni_SCIRE_GEF_2010 22-Castagnetti_Spaggiari_Dragoni_GEF_2010 23-Reg_COCCONCELLI_Rub_Bor_Fer_GEF_2010 24-SCIRE MAMMANO_Cocc_Rub_Drag_GEF_2010 25-SEGATORI_TOMESANI_GEF_2010 26-CARMINELLI_Catania_GEF_2010 27-TODARO_Tomesani_GEF_2010 28-OLMI_Dalre_GEF_2010 29-CROCCOLO_De Agostinis_Vincenzi_GEF_2010 30-Berselli_Vassura_GEF_2010 31-CARRICATO_GEF_2010


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