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Simulazioni fluidodinamiche della cavitazione intorno a un profilo NACA0015 mediante l’utilizzo di OpenFOAM

Lo studio del fenomeno della cavitazione mediante simulazioni numeriche svolge un ruolo cruciale nella progettazione delle principali macchine idrauliche quali pompe, turbine ed eliche per applicazioni navali. In questo lavoro sono state condotte delle simulazioni numeriche su un profilo NACA0015 mediante l’utilizzo del software CFD open source OpenFOAM combinando diversi modelli di turbolenza (k-? SST e k-kl-?) e di trasporto di massa (Schnerr & Sauer, Kunz e Zwart).

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Tecnica 52 LA TERMOTECNICA DICEMBRE 2018 Macchine a Fluido INTRODUZIONE
La cavitazione un fenomeno che si verifica nelle turbomacchine, come
pompe, turbine e propulsori marini, quando la pressione statica scende
al di sotto del valore della tensione di vapore ed caratterizzato da
oscillazioni di pressione con specifiche ampiezze e frequenze. La cavi-
tazione causa anche di danneggiamenti superficiali e induce rumore
e vibrazioni che deteriorano le prestazioni delle macchine.
La regione interessata dalla cavitazione chiamata cavit. Le cavit
possono essere caratterizzate da un comportamento stazionario, ovve-
ro attaccate alla superficie, o non stazionario, separate dalla superficie
e trasportate a valle dal flusso verso regioni con valori di pressione pi
elevati dove collassano.
I principali tipi di cavitazione possono essere brevemente riassunti in:
cavitazione a bolle (bubble cavitation), cavitazione stratificata (sheet
cavitation), cavitazione a nuvola (cloud cavitation), super-cavitazione
(super cavitation) e cavitazione in presenza di vortici (vortex cavitation).
Ognuna di queste ha caratteristiche specifiche e si verifica a partire
da particolari condizioni operative (1, 9). Di conseguenza predire
correttamente la cavitazione pu aiutare a valutare quali regioni della
macchina sono maggiormente stressate.
La cavitazione include inoltre fenomeni complessi quali l'interazione
tra turbolenza e passaggio di fase, rapide variazioni di pressione e
propagazione delle onde di pressione le quali attivano fenomeni di
erosione superficiale.
Nel tempo sono stati sviluppati vari algoritmi numerici con lo scopo di
simulare flussi in regime di cavitazione. Molti di questi sono basati su
due tipi di approccio. Il primo utilizza un solutore comprimibile density
based con un modello di equilibrio che assume che le due fasi siano
in equilibrio termico e meccanico con la transizione di fase modellata
mediante un'equazione di stato della densit di miscela. Il modello di
equilibrio pi utilizzato quello di tipo barotropico. Anche se questo modello riproduce la fisica del problema richiede intervalli di calcolo
molto piccoli e, come spiegato da Gopalan et al. (12), trascura la vor-
ticit barotropica che cruciale nel calcolo della regione di chiusura
della cavitazione stratificata. Il secondo approccio basato su un
solutore incomprimibile bifasico che utilizza un modello di trasporto di
massa per modellare il passaggio di fase. Questo approccio considera
i due fluidi incomprimibili, isotermi ed immiscibili. A causa dell'ipotesi
di incomprimibilit il seguente modello non capace di descrivere le
onde di pressione ed i picchi di pressione che sono necessari nello stu-
dio dell'erosione, inoltre i modelli di trasferimento di massa includono
molteplici parametri di tipo empirico che devono essere tarati per par-
ticolari condizioni di flusso e geometrie mediante test sperimentali. No-
nostante questo, in confronto al modello precedente, richiedono tempi
di calcolo minori e garantiscono buoni risultati poich in molte delle
applicazioni ingegneristiche l'ipotesi di incomprimibilit accettabile.
Allo scopo di studiare flussi in regime di cavitazione che si verificano al
bordo di attacco delle pale delle macchine idrauliche sotto opportune
condizioni operative stata considerata una geometria semplificata.
La geometria selezionata il profilo idrodinamico NACA0015, che
rappresentativo del bordo di attacco di pale di macchine idrauliche e
del quale si conoscono i risultati di prove sperimentali (3).
Le simulazioni numeriche sono state svolte nelle condizioni descritte
dal parametro di cavitazione s=(p 8-pv)/(0.5'8 U8 2 )=1.5 e sono state realizzate per mezzo del software CFD open source OpenFOAM
risolvendo le equazioni della fluidodinamica mediante l'approccio
Reynolds-Average Navier-Stokes (RANS) 2D per flussi incomprimibili
con trasporto di massa.
Il pacchetto OpenFOAM un software open source scritto in C++ che
permette la modellazione di casi di fluidodinamica e di meccanica del
continuo. La sua discretizzazione spaziale basata sulla tecnica dei
volumi finiti (FV). Simulazioni fluidodinamiche della cavitazione intorno a
un profilo NACA0015 mediante l'utilizzo di OpenFOAM
Lo studio del fenomeno della cavitazione mediante simulazioni numeriche svolge un ruolo cruciale nella progettazione delle principali macchine
idrauliche quali pompe, turbine ed eliche per applicazioni navali. In questo lavoro sono state condotte delle simulazioni numeriche su un profilo
NACA0015 mediante l'utilizzo del software CFD open source OpenFOAM combinando diversi modelli di turbolenza (k-' SST e k-kl-') e di trasporto
di massa (Schnerr & Sauer, Kunz e Zwart). NUMERICAL INVESTIGATION OF CAVITATION ON A NACA0015 HYDROFOIL BY MEANS OF OPENFOAM
The prediction of cavitation phenomena plays an important role in the design of new hydraulic machines, being able to improve their operative range
and reliability. Hence, the flow past a symmetric NACA0015 hydrofoil is numerically investigated by means of the open source code OpenFOAM
in its multi-phase flow formulation testing several mass transfer functions and different turbulence models. Finally, the results are compared against
experimental data. Tommaso Capurso, Michele Lopez, Michele Lorusso, Marco Torresi, Giuseppe Pascazio,
Sergio Mario Camporeale, Bernardo Fortunato -
Politecnico di Bari di T. Capurso, M. Lopez, M. Lorusso, M. Torresi, G. Pascazio, S. M. Camporeale, B. Fortunato Tecnica LA TERMOTECNICA DICEMBRE 2018 53 Macchine a Fluido Il solutore bifasico incomprimibile presente in OpenFOAM permette
l'utilizzo di 3 diversi modelli di trasporto di massa basati sulle equa-
zioni proposte da Kunz et al. (5), Merkle et al. (6) e Schnerr e Sauer
(7). Inoltre, a causa del largo utilizzo in molti codici commerciali (per
esempio ANSYS CFX e Fluent), stato implementato e testato il modello
proposto da Zwart et al. (4).
In questo lavoro sono stati utilizzati due diversi modelli di turbolenza,
il modello k-' SST ed il modello k-kl-', senza alcuna modifica alle
equazioni della viscosit turbolenta. L'ultimo dei quali (k-kl-') molto
usato per modellare flussi con scambio termico e perdite (10, 11). In
questo tipo di applicazioni si verificano grandi variazioni del numero
di Reynolds (Re) quando la pressione scende al di sotto della tensione
di vapore, quindi il modello di turbolenza k-kl-' stato utilizzato
per verificare la sua capacit di predire la distribuzione di pressione
sull'estradosso del profilo idrodinamico in condizioni di transizione da
flusso laminare a turbolento. METODI NUMERICI
Per il calcolo del flusso in regime di cavitazione stratificata quasi-
stazionaria sono state utilizzate le equazioni RANS in forma non
stazionaria. Queste equazioni sono rappresentate in forma cartesiana
nella loro forma conservativa per flussi Newtoniani senza forze di
massa e flussi termici. In aggiunta vengono riportate anche le equazioni
di trasporto (Eq.1): I pedici (i, j, k) rappresentano le direzioni delle coordinate cartesiane.
I termini sorgente e nell'eq.1 rappresentano rispettivamente la
quota di condensazione e di evaporazione.
In OpenFOAM l'applicazione che permette di risolvere questo set di
equazioni chiamata InterPhaseChangeFoam. Questa basata sulla
tecnica del Volume of Fluid (VoF) e considera 2 fluidi incomprimibili,
isotermi e immiscibili e risolve un'equazione globale del momento della
quantit di moto e un'equazione di trasporto per ogni fluido mediante
l'applicazione dell'algoritmo PIMPLE.
Inoltre il solutore permette l'utilizzo delle seguenti tecniche: RANS, LES
(Large Eddy Simulation) e DNS (Direct Numerical Simulation).
Le equazioni di trasporto di massa, ovvero i modelli di cavitazione,
disponibili in OpenFOAM sono quelli proposti da Kunz (5), Merkle (6)
e Schnerr e Sauer (7). La loro struttura e i principali termini sorgente
verranno discussi nel prossimo paragrafo. MODELLI DI CAVITAZIONE
In questo lavoro tra i vari modelli disponibili in OpenFOAM sono
stati utilizzati i modelli di Kunz (5) e Schnerr e Sauer (7), mentre un terzo modello chiamato Zwart-Geber-Belamri (4) stato implementato
appositamente. Uno dei principali problemi nelle simulazioni di flussi
cavitanti mediante l'utilizzo dei modelli di equazione di trasporto (Tran-
sport Equation Model) la scelta dei coefficienti di passaggio di fase,
Cc e Cv. Questi coefficienti sono di natura empirica e rappresentano i
tempi caratteristici che il vapore e il liquido necessitano nel passaggio
da una fase all'altra.
Il primo modello presentato quello sviluppato da Kunz et al. (5). La
trasformazione da liquido a vapore (evaporazione), , descritta
come proporzionale alla frazione di liquido e alla differenza tra il
valore di pressione e la tensione di vapore (Eq.2). I coefficienti di condensazione (C c) ed evaporazione (Cv) sono due con- stanti empiriche e il loro valore di base in OpenFOAM pari a 100. Per
le simulazioni svolte sono stati scelti dei valori differenti cos da evitare
la presenza di picchi di pressione negativa alla fine delle simulazioni
numeriche (13). Quindi C c stato imposto pari a 100 e Cv pari a 5000. Questo modello richiede inoltre dei valori di riferimento per la velocit
(u 8) ed il tempo(t8) i quali sono stati posti pari alla velocit indisturbata a monte e pari alla lunghezza di riferimento diviso la velocit indisturbata
(t 8=Lref/U8). In questo caso la lunghezza di riferimento stata imposta pari alla lunghezza della corda del profilo (c).
Un altro modello usato nelle varie simulazioni quello di Schnerr e
Sauer (7) che basato sull'equazione di Rayleigh-Plesset: Il modello di Schnerr e Sauer assume la presenza all'interno del fluido
di bolle di vapore, chiamati nuclei, le quali agiscono come sorgenti
del cambiamento di fase. L'incipiente cavitazione si verifica proprio
dove sono localizzati questi nuclei ed dovuta alla loro attivazione.
Il numero, la dimensione e la distribuzione di queste bolle pu essere
determinata sperimentalmente mediante test sulla qualit dell'acqua.
Per semplificare il modello numerico si assume che i nuclei iniziali siano
equamente distribuiti per tutto il volume liquido e che essi abbiano la
stessa dimensione, corrispondente alla pi piccola dimensione che la
bolla di vapore pu assumere in quelle condizioni. Asnaghi (13) ha
dimostrato che diverse quantit dei nuclei e diverse dimensioni del
diametro delle bolle possono influenzare enormemente i risultati delle
simulazioni numeriche, quindi in accordo con (9) per queste simula-
zioni n e d nuc sono stati scelti pari a 1x10 12 and 1x10-5 m. Per questo caso C c e Cv sono stati scelti pari a 1. L'ultimo modello testato stato quello di Zwart-Geber-Belamri (4),
implementato appositamente da noi in OpenFOAM (15). Il modello
di Zwart, che incluso in vari codici commerciali quali ANSYS Fluent
e CFX, assume una densit di distribuzione dei nuclei di attivazione
costante all'interno del dominio. La crescita e il collasso degli agglo- (2) (1) (3) Tecnica 54 LA TERMOTECNICA DICEMBRE 2018 Macchine a Fluido merati di bolle governato da un'equazione semplificata di Rayleigh-
Plesset. Questo modello usato per la simulazione delle turbomacchine
idrauliche da molte aziende del settore descritta dall'equazione 4. I
coefficienti C c e Cv sono stati posti uguali ad 1. DOMINIO DI CALCOLO E CONDIZIONI AL CONTORNO
Il dominio di calcolo quello mostrato in Fig.1 e riproduce l'altezza
della sezione di test presente presso il Thermal Cavitation Tunnel del
Centrospazio, Pisa (3). L'estensione del dominio in lunghezza pari a
4 volte la corda del profilo a monte e a 6 volte il valore della corda a
valle del profilo idrodinamico (c = 0.115 m). Questo per permettere uno
sviluppo coerente del flusso a monte e a valle della zona dove posizio-
nato il profilo. La condizione di aderenza a parete stata imposta sulle
superfici del profilo e sulle superfici superiore e inferiore del dominio.
Per garantire il valore desiderato del parametro di cavitazione, s=(p 8- p v)/(0.5'8U8 2 ), stato imposto un valore specifico di pressione all'u- scita del dominio. Il valore di p 8 (pressione di riferimento) calcolato 100 mm a monte del profilo come spiegato in (3) e rappresentato in
Fig.1 con una linea tratteggiata. La velocit all'ingresso U uguale a 8
m/s e le propriet del fluido sono state assunte pari a ' l = 997 kg/m 3 e n l = 0.892x10 -6 m2/s, che corrispondono ad acqua pura a 25 C. La pressione di saturazione dell'acqua a 25 C pari a p v = 3170 Pa e la densit e la viscosit cinematica del vapore sono pari a ' v = 0.02305 kg/m3 e n v = 4.283x10 -4 m2/s. Inoltre per il test in oggetto stata con- siderata una intensit turbolenta in ingresso al dominio pari al 2% (8).
Tutte le simulazioni in regime di cavitazione sono state calcolate con
un intervallo di calcolo pari a Dt = 7.1875x10-7 s (Dt =t 8 /20000) per un tempo totale pari a 0.8625 s che corrisponde a 60 passaggi del
flusso sul profilo.
Il dominio di calcolo stato discretizzato per mezzo di una griglia
(Fig.2) costituita da 160 000 elementi con 20 elementi prismatici vicino
alle pareti del profilo per garantire un y+ = yU t /n = 1 dove y l'altezza della prima cella a parete e u t la velocit di frizione a parete. La regione al di fuori di questi elementi stata discretizzata per mezzo di
elementi tetraedrici. Un addensamento della griglia stato utilizzato in
prossimit del bordo di attacco e della coda del profilo (Fig.2).
La griglia stata generata mediante il software Pointwise Gridgen,
esportato in formato '.msh' e convertito con il comando fluentMeshTo-
Foam in OpenFOAM. Successivamente la qualit della griglia di cal-
colo stata verificata con il comando checkMesh al fine di verificare i
valori di aspect ratio, skewness e non ortogonalit delle celle.
Gli effetti dei modelli di turbolenza, del tipo di mesh e della densit di
celle sul calcolo del flusso in regime di cavitazione stato studiato in
dettaglio per il caso di un profilo NACA0015 inclinato di 5 rispetto
alla direzione del flusso in condizioni di flusso quasi stazionario e
cavitazione stratificata (s = 1.5 and Re = 2x105).
Le derivate spaziali sono state risolte con schemi numerici accurati al
secondo ordine upwind, mentre per le derivate nel tempo stato utiliz-
zato uno schema del tipo Euler accurato al secondo ordine backward. RISULTATI E DISCUSSIONI
Per primo sono stati effettuati dei calcoli su flusso in assenza di cavita-
zione allo scopo di validare l'adeguatezza della griglia e dei modelli
numerici. stato inoltre svolto uno studio di indipendenza della solu-
zione dalla finezza della griglia. Mediante l'applicazione simpleFoam
sono stati testati 3 tipi diversi di griglia con diversi livelli di infittimento
e diverso numero di elementi prismatici a parete in condizioni di flusso
stazionario. Quest'applicazione permette di risolvere le equazioni
di Navier-Stokes per flussi monofase con densit e viscosit costanti (4) FIGURA 1 - Principali dimensioni del dominio di calcolo
FIGURA 2 - Dettaglio della griglia
Tecnica LA TERMOTECNICA DICEMBRE 2018 55 Macchine a Fluido adottando l'algoritmo SIMPLE.
I risultati in termini di coefficiente di pressione, calcolato come
-C P=(p8-p)/(0.5p8U8 2 ), sono stati ricavati sull'estradosso del profilo per le diverse griglie come mostrato in Fig.3. Tra le varie griglie, quella
con 160 000 celle stata scelta per le simulazioni con flusso multifase
considerando che le deviazioni dei risultati numerici risultano marginali
rispetto ai valori sperimentali. La griglia selezionata richiede tempi di
calcolo inferiori rispetto a quella con 320 000 celle e presenta una
migliore risoluzione a parete rispetto alla griglia costituita da 140
000 elementi.
Alla fine stato calcolato il valore del coefficiente di pressione sulla gri-
glia con 160 000 celle utilizzando il solutore interPhaseChangeFoam
con valori di pressione tali da non attivare le equazioni di trasporto di
massa ( e ).
Tutte le simulazioni in regime transitorio sono state eseguite con un in-
tervallo di calcolo pari a 7.1875x10-7 s (Dt = t 8/20000) per una tempo totale di 0.8625 s che corrisponde a 60 passaggi del flusso sul profilo. I
risultati sono stati mediati su un intervallo di tempo pari a 20 volte il tempo
di riferimento (20 t 8). Il numero di Courant per tutte le simulazioni stato circa pari a 0.55.
I 3 modelli di trasporto di massa utilizzati sono: Kunz (5), Schnerr e Sauer
(7) e Zwart (4) ed i risultati sono rappresentati in Figg. 4a e 4b.
Le impostazioni del calcolo prevedono l'utilizzo di modelli di turbolenza
con un'intensit turbolenta all'ingresso pari a 2%, quindi per il modello k-'
SST i valori usati per la kinetic energy (k) e la specific dissipation rate (')
sono rispettivamente 0.0384 m2/s2 e 39.5 s-1.
All'interno della cavit (cavitazione stratificata) si verifica una riduzione
della densit e della velocit. Entrambe queste riduzioni contribuiscono alla
riduzione del numero di Reynolds (Re). A causa di questa ampia variazione
del numero di Reynolds si pensato di utilizzare un diverso modello di
turbolenza che permettesse di migliorare la modellazione della transizione
dello strato limite da laminare a turbolento, cos stato testato il modello
k-kl-' al posto del k-' SST (10, 11).
Per questo caso i valori di k e ' sono rimasti invariati rispetto al caso pre-
cedente mentre per il valore di kl, questo posto uguale a 1x10-6. I risultati
dei casi calcolati con il modello k-kl-' sono mostrati in Fig. 4b. Uno dei principali problemi nell'impostare questa tipologia di simulazioni
selezionare un valore di pressione nella sezione di uscita tale da garantire
la pressione desiderata in corrispondenza della sezione posta 100 mm a
monte del profilo cos da garantire un valore del parametro di cavitazione
pari a s = 1.5. Questo perch una volta che il valore di pressione stato
assegnato sul bordo si uscita del dominio, ogni modello di trasporto di mas-
sa ha una diversa influenza sul campo di pressione sviluppato nell'intorno
del profilo. Il metodo proposto per valutare quale, tra i vari modelli testati,
restituisce i risultati migliori in accordo con i dati sperimentali prevede
l'introduzione e la valutazione di due parametri. Il primo, definito come
|%c exp -%cnum|/%cexp descrive l'errore relativo nel valutare l'estensione del plateau dei modelli numerici rispetto al target point (rappresentato nelle
Figg. 4a e 4b dal quarto dato sperimentale misurato sul profilo a partire
dal bordo di attacco rappresentato da una croce rossa).
Il secondo parametro invece fornisce informazioni relativamente all'errore
commesso nel valutare il C p ed definito come |DCp|/Cp_exp. FIGURA 3 - Andamento del coefficiente di pressione
sull'estradosso del profilo NACA0015 con angolo di
incidenza
a = 5 per differenti tipi di griglie calcolati
sia con simpleFoam che con InterPhaseChangeFoam
confrontati con i valori sperimentali (3)
FIGURA 4 - Coefficiente di pressione sull'estradosso del profilo NACA0015 con incidenza a = 5 e parametro di
cavitazione pari a
s = 1.5, calcolato per differenti modelli di trasferimento di massa e con due diversi modelli di
turbolenza: k-
' (a) e k-kl-' (b), entrambi confrontati con i risultati sperimentali (3) Tecnica 56 LA TERMOTECNICA DICEMBRE 2018 Macchine a Fluido I parametri descritti sono stati calcolati per i vari casi e raccolti nella Tab.1,
nella quale possibile osservare che il miglior risultato stato ottenuto usan-
do il modello di trasporto di massa proposto da Zwart in combinazione con
il modello di turbolenza k-kl-'. Questo risultato conferma come gli effetti di
transizione low-Re sono rilevanti nei casi di flusso con cavitazione. Questo
aspetto tuttavia richiede ulteriori analisi che verranno svolte nei prossimi
lavori. Nelle simulazioni svolte, secondo quanto descritto da Brennen (2), in
presenza di cavitazione il coefficiente di pressione risulta pari al valore del
parametro di cavitazione (s=-C P,min=1.5) anche se ci non trova riscontro nei dati sperimentali (3), dove -C P,min=1.3. Queste differenze possono essere dovute a varie cause quali: presenza si
impurit nell'acqua utilizzata per i test sperimentali, calcolo della media
dei valori di pressione e temperatura nel tempo, ecc. Inoltre come mostrato
da Cervone et al. (3), gli effetti termici possono influenzare il recupero di
pressione e la lunghezza della cavit, ma a temperatura ambiente (T = 25
C) il rapporto tra le densit del liquido e del vapore cos elevato (da 997
a 0.02305 kg/m3) da poter considerare questi effetti termici trascurabili,
la cavitazione pu quindi essere considerata isoterma in accordo con il
modello numerico utilizzato. CONCLUSIONI
In questo lavoro stata validata l'applicabilit di tre diversi modelli di
trasporto di massa, due gi disponibili in OpenFOAM (Kunz e Schnerr e
Sauer) e uno implementato appositamente (Zwart), nel predire la cavita-
zione intorno ad un profilo NACA0015 testato nelle seguenti condizioni
operative: s=1.5 and Re = 2x105. I risultati numerici ottenuti sono quindi
stati confrontati con quelli sperimentali presentati da Cervone (3).
Le simulazioni del flusso monofase mostrano un buon accordo tra i valori
ottenuti mediante simulazioni numeriche e quelli sperimentali presenti in
letteratura (3). Sebbene l'accordo tra i risultati numerici e sperimentali per
il caso di flusso cavitante, in corrispondenza dell'estradosso del profilo,
mostrino un discreto accordo, sono presenti delle discrepanze. Le principali
differenze risiedono nell'ampiezza del plateau e nel valore di -C_ P,min, che nelle nostre simulazioni risulta coerente a s=1.5.
Un metodo proposto per valutare il miglior risultato tra i vari casi testati
prevede il confronto dei seguenti parametri |%c exp -%cnum|/%cexp e |DCp|/ C p_exp i quali forniscono informazioni circa l'altezza e l'ampiezza della zo- na di cavitazione sviluppata dai differenti modelli di trasporto di massa in
relazione ai risultati sperimentali. Questa analisi sottolinea come il modello
di Zwart in combinazione con il modello di turbolenza k-kl-' sia in grado
di restituire il miglior risultato.
Nei lavori futuri sono previste simulazioni dei modelli proposti da Kunz e
Zwart con l'introduzione di correzioni circa gli sforzi di taglio (9) e le equa-
zioni che modellano la eddy viscosity cos come proposto da Reboud (14).
Inoltre si propone uno studio parametrico dei vari modelli di cavitazione
al variare dei valori di C c e Cv. BIBLIOGRAFIA
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posium on Cavitation (CAV1998), Grenoble, France, 1998. 15. E. Roohi, M.R. Pendar, A. Rahimi 'Simulation of three-dimensional cavitation behind a disk using various turbulence and mass transfer
models' in Applied Mathematical Modelling, 2015. |%c exp -%cnum|/%cexp (%) |DC p|/Cp_exp (%) Schnerr and Sauer (k-') 73 15 Kunz et al. (k-') 53 15 Zwart er al. (k-') 30 23 Schnerr and Sauer (k-kl-') 110 15 Kunz et al. (k-kl-') 53 15 Zwart et al. (k-kl-') 10 15 TABELLA 1 - Valutazione dei due
parametri proposti per quantificare
lo scostamento delle prestazioni
dei diversi modelli testati dai dati
sperimentali


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