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Meccanica applicata - Quinta giornata di studio Ettore Funaioli

Questo volume raccoglie le memorie presentate nel corso della Quinta giornata di Studio Ettore Funaioli, svoltasi presso la facoltà di Ingegneria di Bologna.

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Articoli tecnico scientifici o articoli contenenti case history
Intervento al convegno "Quinta giornata di studio Ettore Funaioli " Bologna 2011

Pubblicato
da Alessia De Giosa
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Estratto del testo
Giornata di studio in onore di Ettore Funaioli 18 luglio 2007 A cura di Umberto Meneghetti, Alberto Maggiore e Vincenzo Parenti Castelli In questo volume sono raccolte le memorie presentate in
occasione della ''Giornata di studio in onore di Ettore Funaioli',
che si è tenuta il 18 luglio 2007 presso la Facoltà di Ingegneria
dell''Alma Mater Studiorum - Università di Bologna.
La giornata è stata organizzata dagli ex allievi del Prof. Funaioli
con la collaborazione del DIEM, Dipartimento di Ingegneria delle
costruzioni meccaniche, nucleari, aeronautiche e di Metallurgia
dell''Alma Mater Studiorum '' Università di Bologna e con il
patrocinio del GMA '' Gruppo di Meccanica Applicata.
L''incontro scienti co è stato preceduto da una cerimonia
commemorativa svoltasi nell''Aula Magna della Facoltà di
Ingegneria, alla presenza dei familiari del Prof. Funaioli, del
rappresentante del Preside della Facoltà e del Direttore del
DIEM. Quaderni di ricerca Giornata di studio in onore di Ettore Funaioli - 18 luglio 2007 Alma-DL è la Biblioteca Digitale dell''Alma Mater Studiorum Università di
Bologna. Gestita e coordinata dal CIB, Centro Inter-bibliotecario di Ateneo,
Alma-DL ospita al suo interno gli archivi Open Access AMS Acta, AMS
Campus e AMS Miscellanea che rendono pubblicamente disponibili i con-
tributi derivanti dalle attività di ricerca, didattiche e culturali dell''ateneo
bolognese. Alma-DL attua così i principi del movimento internazionale
a sostegno dell''accesso aperto alla letteratura scienti ca, sottoscritti
dall''Università di Bologna assieme a molte altre istituzioni accademiche,
di ricerca e di cultura, italiane e straniere.
http://almadl.cib.unibo.it
ISBN 978-88-902128-9-5 DIEM
GMA
Quaderni di ricerca Alm DL Giornata di studio in onore di Ettore Funaioli 18 luglio 2007 A cura di Umberto Meneghetti, Alberto Maggiore e Vincenzo Parenti Castelli In questo volume sono raccolte le memorie presentate in
occasione della ''Giornata di studio in onore di Ettore Funaioli',
che si è tenuta il 18 luglio 2007 presso la Facoltà di Ingegneria
dell''Alma Mater Studiorum - Università di Bologna.
La giornata è stata organizzata dagli ex allievi del Prof. Funaioli
con la collaborazione del DIEM, Dipartimento di Ingegneria delle
costruzioni meccaniche, nucleari, aeronautiche e di Metallurgia
dell''Alma Mater Studiorum '' Università di Bologna e con il
patrocinio del GMA '' Gruppo di Meccanica Applicata.
L''incontro scienti co è stato preceduto da una cerimonia
commemorativa svoltasi nell''Aula Magna della Facoltà di
Ingegneria, alla presenza dei familiari del Prof. Funaioli, del
rappresentante del Preside della Facoltà e del Direttore del
DIEM. Quaderni di ricerca Giornata di studio in onore di Ettore Funaioli - 18 luglio 2007 Alma-DL è la Biblioteca Digitale dell''Alma Mater Studiorum Università di
Bologna. Gestita e coordinata dal CIB, Centro Inter-bibliotecario di Ateneo,
Alma-DL ospita al suo interno gli archivi Open Access AMS Acta, AMS
Campus e AMS Miscellanea che rendono pubblicamente disponibili i con-
tributi derivanti dalle attività di ricerca, didattiche e culturali dell''ateneo
bolognese. Alma-DL attua così i principi del movimento internazionale
a sostegno dell''accesso aperto alla letteratura scienti ca, sottoscritti
dall''Università di Bologna assieme a molte altre istituzioni accademiche,
di ricerca e di cultura, italiane e straniere.
http://almadl.cib.unibo.it
ISBN 978-88-902128-9-5 DIEM
GMA
Quaderni di ricerca Alm DL Quinta giornata di studio Ettore Funaioli 15 luglio 2011 A cura di Umberto Meneghetti, Alberto Maggiore e Vincenzo Parenti Castelli DIEM GMA In questo volume sono raccolte le memorie presentate in occa- sione del a ''Quinta Giornata di studio Ettore Funaioli', che si è tenuta il 15 luglio 2011 presso la Facoltà di Ingegneria del ''Alma Mater Studiorum '' Università di Bologna. La giornata è stata organizzata dagli ex allievi del Prof. Funaioli con la col aborazione del DIEM '' Dipartimento di Ingegneria delle Costruzioni Meccaniche, Nucleari, Aeronautiche e di Met- al urgia del ''Alma Mater Studiorum '' Università di Bologna e con il patrocinio del GMA '' Gruppo di Meccanica Applicata. Questo volume è stato stampato con il contributo di G.D S.p.A. Alma-DL è la Biblioteca Digitale dell''Alma Mater Studiorum Univer-
sità di Bologna. Gestita e coordinata dal CIB, Centro Interbibliotecario
di Ateneo, Alma-DL ospita al suo interno gli archivi Open Access che
rendono pubblicamente disponibili i contributi derivanti dalle attività
di ricerca, didattiche e culturali dell''Ateneo bolognese. Alma-DL attua
così i principi del movimento internazionale a sostegno dell''accesso
assieme a molte altre istituzioni accademiche, di ricerca e di cultura,
italiane e straniere.
http://almadl.cib.unibo.it Quinta giornata di studio Ettore Funaioli - 15 luglio 201 1 Quaderni di ricerca Quaderni di ricerca ISBN 978-88-7488-516-9 ISBN 978-88-7488-516-9 Copertina.indd 1 28/06/2012 09:15:27 Quaderni del DIEM '' GMA Atti di giornate di studio '' 5



















A cura di:
U. Meneghetti , A. Maggiore , V. Parenti Castelli

Coordinatore di redazione:
Alessandro Zanarini DIEM
Dipartimento di Ingegneria delle
Costruzioni Meccaniche, Nucleari, Aeronautiche e di
Metallurgia
www.diem.unibo.it


GMA
Gruppo di Meccanica Applicata
http://wpage.unina.it/dellaval/GMA/GMA_home.htm Quinta giornata di studio Ettore Funaioli 15 luglio 2011










A cura di: Umberto Meneghetti, Alberto Maggiore e Vincenzo Parenti Castelli Proprietà letteraria riservata.
© Copyright 2012 degli autori
Tutti i diritti riservati


Quinta giornata di studio Ettore Funaioli - 15 luglio 2011 / A cura di
Umberto Meneghetti, Alberto Maggiore e Vincenzo Parenti Castelli
Bologna : 2012 - p. 374; 17 cm.


ISBN 978-88-7488-516-9


Versione elettronica disponibile alla pagina
http://amsacta.unibo.it/3310/





















Stampa a richiesta eseguita da: 40131 Bologna - Via U. Terracini 30 - Tel. 051-63.40.113 - Fax 051-63.41.136 www.editrice-esculapio.it INDICE


Prefazione
P. G. Molari 1 Quirico Filopanti professore di Meccanica applicata e il corso di Meccanica
applicata da lui tenuto nell''Università di Bologna dal 1848 al 1850 e dal 1862 al
1864 (nei 150 anni dell''Unità d''Italia)
A. Zanarini, A. Cavallini 23 Experiencing rotor and fluid film bearing dynamics

E. Mucchi, A. Agazzi, G. D''Elia, G. Dalpiaz 39 Assessment of the lubrication regime in variable displacement vane pumps

E. Prati, A. Tasora, T. Marin 61 Determinazione numerica della forza radiale esercitata da anelli di tenuta in
elastomero
P. G. Molari, M. Maraldi, G. Angelini, S. Bignami, G. Lionello 71 La ricostruzione della balista di Vitruvio

A. O. Andrisano, M. Ansaloni, F. Gherardini, F. Leali, M. Pellicciari, F. Pini,
A. Vergnano 97 Una metodologia innovativa di progettazione integrata per l''analisi e la
caratterizzazione della sensitività delle performance
A. Freddi 115 Design between science and humanities: select bibliography

G. Olmi 143 L''importanza della procedura di regolarizzazione nella calibrazione di una cella di
carico a sei gradi di libertà sovradeterminata
A. Rossi, A. Persona, G. Rosati, M. Faccio, S. Cenci, A. Carli, C. Finetto 165 Sistemi di assemblaggio industriale ad elevata flessibilità

D. Zannoli, N. Sancisi, V. Parenti Castelli 181 A simple rig for precise measurements of the knee and ankle joint motion under
static loading conditions
G. Sciré Mammano, E. Dragoni 197 Compensazione elastica di attuatori a memoria di forma mediante meccanismi
cedevoli
G. Berselli, R. Vertechy, G. Vassura, V. Parenti Castelli 217 Modellazione mediante bond graphs di un attuatore a forza costante basato su
elastomeri dielettrici
A. Spaggiari, D. Castagnetti 233 Resistenza in modo misto di adesivo in strato sottile: caratterizzazione
sperimentale attraverso un nuovo provino tubolare
E. Dragoni, W. J. Bagaria 247 Numerical and experimental validation of a theory for bimaterial helical springs

D. Croccolo, M. De Agostinis, N. Vincenzi 259 Push out force assessment in steel-composite interference-fitted and adhesively
bonded connections
A. Strozzi, A. Baldini, M. Giacopini, E. Bertocchi, E. Campioni, S. Mantovani 275 A contribution to the Legendre series solution of the mechanical analysis of
cylindrical problems
G. Medri 289 Valutazione della dissipazione energetica in componenti realizzati con polimeri

A. O. Andrisano, F. Pellicano, M. Strozzi 297 Effect of the boundary conditions on the vibrations of functionally graded shells

G. Catania, S. Sorrentino 313 Analysis of friction in transient pipe flow using non-conventional models

R. Cipollini, A. Rivola 323 Flexible multibody modelling of a motorbike timing system as a tool for the
engine design optimization
M. Cocconcelli, A. Spaggiari, R. Rubini, E. Dragoni 333 Experimental characterization of the dynamic response of accelerometers
mounted with structural adhesives
A. Carminelli, U. Meneghetti, A. Maggiore 345 Structural damage identification by sensitivity analysis

B. Reggiani, L. Donati, L. Tomesani 363 A survey on the predictability of the die deflection in aluminum extrusion by
means of experimental investigation and numerical analyses
Indice degli autori 373 Prefazione




Dalla prima ''Giornata di studio Ettore Funaioli" del 18 luglio 2007 alla
quinta del 15 luglio 2011, le memorie presentate sono passate da 13 a 25 ''
anche se in questa raccolta, per alcune difficoltà organizzative, ne compaiono
solo 23. A tutti i partecipanti va il nostro più vivo ringraziamento: a loro si
deve il successo della manifestazione, che è peraltro segno anche dell''alta
considerazione per la figura del Prof. Ettore Funaioli sotto l''aspetto sia
scientifico, sia umano.
La crescente adesione di amici ed allievi '' di prima e di seconda generazione
'' a queste Giornate di Studio, conferma anche l''apprezzamento dei
partecipanti per l''occasione che esse offrono di ritrovarsi fra colleghi che si
stimano e si apprezzano, per fare tutti partecipi dei risultati scientifici ottenuti
e per discutere amichevolmente dei comuni problemi che si incontrano
nell''attività quotidiana.
' motivo di grande soddisfazione constatare la qualità scientifica dei lavori
presentati e il costante impegno dei Ricercatori di Meccanica che hanno
voluto partecipare alla Quinta Giornata: il buon seme sparso dai nostri
Maestri ha trovato buona terra e dà buon frutto.
La Giornata ha potuto svolgersi grazie anche alla collaborazione della
Facoltà di Ingegneria dell''Alma Mater Studiorum e del DIEM - Dipartimento
di Ingegneria delle Costruzioni meccaniche, nucleari, Aeronautiche e di
Metallurgia. Ringraziamo vivamente il Preside della Facoltà, Prof. Pier
Paolo Diotallevi, e il Direttore del DIEM, Prof. Gianni Caligiana, che hanno
consentito queste collaborazioni ed hanno voluto aprire la Giornata
porgendo il loro saluto ai partecipanti.
Desideriamo infine ringraziare l''Ing. Alessandro Zanarini che ci ha assistito
nel compito di raccogliere ed organizzare le memorie per questo volume.


Bologna, 19 giugno 2012


Umberto Meneghetti '' Alberto Maggiore '' Vincenzo Parenti Castelli QUIRICO FILOPANTI PROFESSORE DI MECCANICA
APPLICATA E IL CORSO DI MECCANICA APPLICATA
DA LUI TENUTO NELL''UNIVERSITA'' DI BOLOGNA
DAL 1848 AL 1850 E DAL 1862 AL 1864
(nei 150 anni dell''unità d''Italia)


Pier Gabriele Molari
Università di Bologna, Italia
E-mail: piergabriele.molari@unibo.it



Riassunto Il professore Giuseppe Barilli (n. Budrio 1812- m. Bologna 1894), più noto
come Quirico Filopanti, come decise di farsi chiamare dal 1835, è molto conosciuto per la
sua attività politica nel periodo Risorgimentale; minori attenzioni sono state rivolte alla
sua attività di docente all''Università di Bologna.
Una ricerca condotta direttamente sui documenti originali permette di conoscere i
contenuti e le modalità con le quali teneva il Corso di Meccanica applicata. Questo
insegnamento appare, in largo anticipo sui tempi, come un vero corso di ingegneria dato
che coniuga il rigore scientifico al proposito costruttivo.
Si passano rapidamente in rassegna alcuni lavori descrivendoli, per quanto possibile,
attraverso le sue parole.
Il lavoro termina con un elenco completo delle sue opere a stampa..

Keywords: Quirico Filopanti, Storia della Meccanica applicata, Università di Bologna
1. PREMESSA: L''UNIVERSIT' DI ALLORA A BOLOGNA 1 L''organizzazione dell''Università a metà del 1800 era fondata sulla enciclica di Leone XII
quod divina sapientia e si articolava in 4 facoltà: teologia, diritto, medicina, filosofia
(lettere, cioè filologia, era aggregata a diritto), rispettivamente con: 6, 12, 14, 8/9 cattedre 2 La facoltà di filosofia era fondata sugli insegnamenti: Logica-matematica, Elementi di algebra e geometria, Etica, Introduzione al calcolo sublime (Calcolo differenziale ed
integrale) . 3 Spesso e volentieri gli insegnamenti erano tenuti da ripetitori, sostituti, supplenti. , Calcolo sublime, Fisica sperimentale, Meccanica e idraulica, Ottica e astronomia, Logica metafisica e etica. Ormai lontani dagli ''anni d''oro', il numero degli studenti era paragonabile a quello dei professori.
1 Le indicazioni bibliografiche [ ], si riferiscono all''elenco dei lavori di Q.F. riportati al
paragrafo 8. 2 Gasnault F., La cattedra, l''altare, la nazione '' Carriere universitarie nell''Ateneo di
Bologna 1803-1859, CLUEB ed, Bologna, 2001; - F. nel 1888 in [47] scrive di quattro
facoltà: Legge, Teologia, Medicina e Belle Lettere 3 Q.F., [27] pag. 45 (lezione terza). 1 La Scuola di applicazione per ingegneri venne istituita a Bologna con regio decreto nel 1875 ed iniziò ad operare nel 18774 2. LE TAPPE DELLA CARRIERA ACCADEMICA DI QURICO FILOPANTI (FIG.1) . Scelto a pieni voti, il 20 marzo 1848, come professore di Meccanica e Idraulica dal
Collegio matematico e dai Conservatori del Municipio di Bologna con concorso scritto e
orale, lesse a Bologna fino al 1849, chiese di essere sostituito da Sante Ramenghi
nell''incarico ricevuto, per poter seguire i moti del 1848 (nel 1849 prese parte attiva nel
senso liberale e nazionale) e partecipare alla Repubblica Romana. Fu destituito il 24
gennaio 1850 dal ''suburbano' di Portici insieme ai professori Gherardi, Ercolani, Pizzoli,
Marticalli e Carini. Costretto all''esilio prima in America e poi a Londra, ritornò in Italia nel
1860. Venne nominato ordinario di Meccanica Applicata il 20 maggio 1860; la nomina
venne revocata il 7 novembre 1860 e fu nominato ''straordinario' in giorno successivo;
tenne questo insegnamento fino al 30 ottobre 1864 quando si allontanò per solidarietà con
colleghi al rifiuto di giurare fedeltà al re d''Italia. Il suo insegnamento proseguì con lezioni
''pubbliche' tenute nelle principali città d''Italia. 3. IL SUO INSEGNAMENTO
I ''principia', il metodo, la scelta degli argomenti e i consigli agli allievi
Lo stesso Filopanti descrive i suoi ''principia' e le sue convinzioni sull''insegnamento: '.i più riflessivi non sgradiranno, io spero, di ascoltare o leggere ciò che ne pensa un uomo avvezzo a cercar sempre con amore la verità, come ad esprimerla senza ufficiali
esagerazioni, e senza ufficiali reticenze. [47] Io seguiterò a prendere con filosofia il mondo qual è! E a dirgli la verità, per tentare di renderlo un poco meno stolto, o un poco men tristo. [47] ..ma ognuno sa che il valore principale di un maestro non dipende tanto dalle sue opere scritte, quanto dalla sua eloquenza, e dall''amore ed entusiasmo che egli sa ispirare
a'' suoi allievi per lo studio. [47] Un''idea del modo di insegnare di Filopanti si può ricavare dalla domanda che inviò nel 1860 al Ministro per ottenere materiale da mostrare agli studenti. E'' impossibile dare agli studenti una chiara idea dei complicati organismi delle macchine senza che gli occhi ne abbiano davanti un''effettiva esecuzione, od un buon
modello, od almeno un accurato disegno. La creazione di un gabinetto sufficientemente completo di macchine e modelli annesso alla scuola di Meccanica applicata sarebbe cosa desiderabile, una opera assai lunga, e che
costerebbe milioni. In mancanza di tale gabinetto la prego:
-nel far eseguire dei disegni di macchine in dimensioni abastantemente grandi per potersi distinguere dagli studenti durante le lezioni -a compensare, quando sia richiesto, dei proprietari di macchine perché prestino l''uso delle medesime, o di parti di esse per le occorrenze delle lezioni di Meccanica applicata. -per pagare dei facchini per trasporto delle macchine, e di pezzi di esse, e degli operai macchinisti che le mettono in azione, 4 Regia Scuola d''applicazione per gli Ingegneri, Commentari dell''organizzazione di un
trentennio e Annuario, Stabilimento Poligrafico Emiliano, Bologna, 1909. 2 -per mantenere in qualche ordine e sistema i disegni che si verranno eseguendo in servigio delle lezioni. Nel 1861 il Ministro negò ancora la possibilità di costruire un Gabinetto di Meccanica applicata e allora chiese all''esistente gabinetto di Fisica di ottenere in prestito le macchine
da utilizzare per le sue lezioni. Impossibilitato a ''portare' le macchine ai suoi studenti, allora ''porta' gli studenti alle macchine e infatti sono documentate visite alle grandi opere e direttamente agli
stabilimenti, infatti nel 1862 visita con gli studenti la locomozione dell''Italia Centrale-
movimento della strada ferrata Centrale Bologna e nel 1863 visita il ponte di ferro a
Piacenza e Lodi, l''opificio riparazioni delle Ferrovie dell''Italia Centrale, e le macchine per
l''estenguimento degli incendi. Il metodo si può trarre dalle sue parole per descrivere le sue lezioni ''pubbliche': le lezioni furono da me date all''aria aperta '. Tutte le lezioni furono più o meno
improvvisate in quanto alla dicitura; metodo più favorevole della lettura a tenere sveglia
l''attenzione degli uditori; ma erano diligentemente preparate e studiate quanto alla
materia '.[27, dal Proemio ] In quanto alla scelta della materia trattata: -In ogni tempo i filosofi, i poeti, gli artisti, gli uomini tutti di eletto ingegno, di fervida
immaginazione, o di squisito sentire, consacrarono al sublime spettacolo della Natura il
loro studio, od almeno la loro attenzione. Indi nacque la scienza che aveva il ministero di
espor la natura nelle diverse sue parti e sotto i suoi differenti aspetti. La quale scienza
perciò, sino ab antico, fu chiamata Fisica, che è quanto dire, conformemente alla greca
origine di quella parola, Scienza della Natura. [39, pag. 45] -Mentre all''intero Universo, nella sua immensità, spetta necessariamente una specie di immobilità assoluta, tutte le sue parti, le e più grandi come le più piccole, sono in continuo
movimento; ed il loro movimento consiste principalmente in una specie di vibrazione
attorno al punto di equilibrio. Questo moto vibratorio si verifica in certo modo, ancora
nelle cose morali ed intellettuali. L''allontanamento dalla media e giusta posizione di una
direzione in una direzione è susseguito da un riavvicinamento al punto di equilibrio; ma
questo punto di equilibrio, appena raggiunto in un istante, viene oltrepassato, ed il mobile
se ne allontana di nuovo nella direzione opposta alla prima, per farvi un nuovo ritorno con
perenne vicenda. Insomma, in Fisica come in morale, ogni eccesso suol generare un
eccesso contrario. [27, pag. 5] '. L''insieme di tutte le cose esistenti, checché, o comunque
elle siano, insomma compreso Dio, se c''è, io lo chiamo Universo. [27, pag. 14] -Poiché sarebbe impossibile, in poche lezioni, dare pieno sviluppo a tutte indistintamente le parti di questo programma, né sarebbe utile trattarle tutte con eguale
ristrettezza, alcune parti saranno probabilmente trattate a fondo; di altre non farò che
succintamente accennare le cose più importanti a sapersi in proposito. [dal programma
depositato delle lezioni-Archivio dell''Università] -Io mi terrò pago di imitare, sul vastissimo terreno della scienza e della storia, ciò che fa la picciola ape in mezzo ai fiori. Essa vola liberamente di pianta in pianta, ora
posandosi presso il suolo sopra il giglio o la lavanda, or sollevandosi sino agli arbusti del
limone o dell''arancio, e talora poggiando ancor più in alto, sino ai vertici del cipresso o
della palma. Lungi però da lei sta il pensiero di visitare ad una ad una tutte le erbe e tutti
gli alberi, a guisa di dotto botanico intento a compilare il catalogo. L''industre verginetta
non si cura d''altro che di delibare dal talamo dei fiori il polline ed il succo, acconci ad
elaborare l''odorosa, plastica, illuminante cera, ed il dolce, aromatico e nutriente miele. 3 Io pure aspiro ad apprestarvi, o lettori, luce ad un tempo e cibo: voglio dire un''istruzione intellettuale, che non riesca noiosa, se è possibile, ma che ad ogni modo e
sopra tutto sia sana ed utile. Vorrei sollevar sulle spalle dei miei contemporanei una parte
almeno di quella montagna di errori e pregiudizii di nuovo stampo, che son venuti nontanto
a surrogarsi quanto a sovrapporsi alla montagna degli errori e pregiudizii antichi. Più
specialmente ancora io vorrei rafforzare, nell''animo della presente e delle future
generazioni, un sentimento il quale è necessario in tutti i tempi ed in tutti i luoghi, ma che
ora versa più che mai in una miseranda e minacciosa decadenza, cioè il sacro e salutare
sentimento del DOVERE. E conciossiaacchè la più forte e sicura base del sentimento del Dovere è la credenza in un invisibile e superiore Ordine di cose, io studierommi di far chiaramente comprendere
che le più luminose conquiste delle scienze convergono a dimostrare l''esistenza di un Figura 1. Un ritratto di Quirico Filopanti, nato a Budrio nel 1812 e deceduto a Bologna nel 1894. 4
Essere supremo, Padre e protettore della vera scienza, Padre e protettore di una ben ordinata libertà civile dei popoli. [39, pag. 2-3 ] -Il vero si è che lo spirito umano, al di fuori delle Matematiche pure, le quali sono tutta luce, tutta verità, tutta esattezza, è tanto atto a passare da verità in verità, quanto da una
ad altra inesattezza. Fortunatamente però l''inesattezza odierna suol sempre esser minore
di quella di ieri, e possedere una maggiore proposizione di verità. [39, pag. 83 ] I consigli per gli studenti in generale e per l''apprendimento:
-Ma la turba dei dotti mediocri suol commettere in ogni tempo tre peccati: dapprima essi combattono col silenzio, indi col ridicolo, e più tardi coi cavilli, la nascente scoperta;
appena però questa ha chiaramente alzato il capo, essi ne esagerano l''importanza in due
modi; screditano le conquiste della scienza precedente, quasi che avesser perduto ogni
valore, e proclamano, implicitamente od esplicitamente, che dopo la nuova scoperta nulla
più rimane da scoprire. [39, pag. 84] Ma lo studente nell''apprendere deve poter diventare il Felix qui potuit rerum cognoscere causas di Virgilio che F. esprime a proposito dei teoremi della geometria: sono
dimostrati con bello e luminoso metodo di ragionamento, che porta la più piena
convinzione nell''animo, ed insieme un purissimo e nobilissimo diletto; .. [27, pag. 62,
lezione quarta] Riguardo a come applicarsi per apprendere:
Tutte le cose che io sono testè venuto dicendo si possono comprendere perfettamente anche da quelli che non han fatto dei precedenti studii di matematica, purchè vi applichino
un''abbastanza intensa attenzione, e vi tornino sopra per riconsiderarle pazientemente ad
una ad una. Ascoltate e lette rapidamente una volta sola, è certo che per molti esse
riescieranno come un indistinto e vano rumore. [27 pag. 51, lezione terza] E ancora ..
.. bisognerebbe che il lettore non passasse l''occhio rapidamente e svogliatamente sulle pagine, ma facesse anche di più che leggerle con attenzione; bisognerebbe che facesse di
tempo in tempo delle pause, per ponderare e considerare fra sé e sé, le più importanti fra le
cose lette, le più necessarie a stamparsi nella memoria. Lancerò la bomba: bisognerebbe
che le leggeste anche più di una volta. Eh! Credete forse che la scienza non sia qualche
cosa di più serio che un romanzo' O pretendereste di imparare una scienza con una
semplice e fugace lettura' [27, pag.75 lezione sesta] Lo schema delle sue lezioni Le sue lezioni possono essere in gran parte ricondotte al seguente schema: ' osservazione del fenomeno, ' aneddoti per catturare l''attenzione degli allievi/uditori, ' proposizione corretta e scientifica dell''essenza del fenomeno mettendo in evidenza gli errori commessi, fino alla possibilità della sua interpretazione corretta tramite un
modello, ' misura a grandi linee del fenomeno, ' enunciato dei teoremi che imbrigliano il fenomeno stesso, ' misura e previsione del fenomeno con varie unità di misura, ' (quando è il caso) utilità che se ne possono avere per alleviare o migliorare le condizioni umane, ' passaggio al limite dell''infinitamente grande o dell''infinitamente piccolo per arrivare alla necessità di postulare un ordine superiore e quindi ammettere l''esistenza di un 5 Essere superiore (Dio) dal quale fa derivare il Dovere dell''uomo pensante a sentirsi
immerso nel suo ruolo. 4. I PROGRAMMI E I TEMI DEI CORSI
Nella scelta degli argomenti delle sue lezioni accademiche Filopanti porta la sua esperienza
e le cose che ritiene possano suscitare l''interesse degli studenti a costo di discostarsi dalla
materia classica e dallo sviluppo logico di esse. Ecco la trascrizione dei suoi programmi:
Programma delle lezioni di Meccanica applicata nell''Università di Bologna per l''anno scolastico 1862-63 I. Dei motori in genere, e più specialmente delle forze animali.
I. Delle forze vive.
III. Cenni sull''arte militare, Strategia,
Tattica, Balistica, Poliorcetica, Castrametazione.
IV. Delle resistenze passive.
V. Cinematica, e specialmente delle ruote
dentate.
VI. Delle macchine a vapore con e senza condensazione.
VII. Strade ferrate.
VIII. Strade ordinarie.
Quirico Filopanti.
Programma delle lezioni di Meccanica applicata per l''anno scolastico 1863-64
Il corso di Meccanica applicata è diviso in due anni, trattandosi alternativamente in un
anno la Meccanica applicata propriamente detta, nell''altro l''Idraulica. Il presente anno scolastico è consacrato alla prima . Le macchine a vapore hanno una speciale attinenza tanto all''Idraulica, che alla Meccanica strettamente presa. Non vi essendo però stato tempo di trattarne nello scorso, tratterassene nel presente anno. Così il corso di lezioni del corrente anno si dividerà, per summa capita, come segue:
Idraulica
Essendo la Meccanica la scienza dell''equilibrio e del moto de'' corpi, dividesi in Meccanica propriamente detta, che tratta dell''equilibrio e movimento de'' corpi solidi, ed
in Idraulica, la quale tratta dell''equilibrio e del moto de'' corpi liquidi ed aeriformi:
Oggetto speciale delle lezioni mie nel presente anno scolastico sarà l''Idraulica applicata. I. Idrostatica
Si richiamano le teorie fondamentali dell''Idrostatica che i giovani debbono aver appresa dalla Meccanica razionale. Applicazioni alla livellazione ordinaria e barometrica.
Torchio idraulico di Bramah. Superficie d''equilibrio de'' mari
Cagioni eccezionali che determinano il dislivello reciproco del Mediterraneo e del Mar rosso. Pressione atmosferica, e suoi principali effetti.
Gravità specifica. Regole per la grossezza da darsi ai tubi idraulici, ed agli argini de'' fiumi. Aerostati. II. Riassunto de'' principi generali
dell''Idrodinamica. 6 Dell''efflusso, e della modificazione che arreca al principio di Torricelli il fenomeno della vena contratta. Efflusso per tubi addizionali. Scaricatori a fior d''acqua. Della resistenza de'' fluidi al moto de'' corpi che vi sono immersi. Nozioni fondamentali di Nautica.
III. Delle correnti
Moto dell''acqua e dei gas pei tubi. Moto sott''acqua per gli alvei in generale. Della scala delle velocità, e della portata de'' fiumi. Modi di determinarla approssimatamente coi reometri. Di un nuovo istrumento idrometrico. Dello stabilimento degli alvei. Dei ripari opposti all''urto delle correnti. Usi
idraulici della tela. Della presa delle rotte de'' fiumi. Effetti delle confluenze. Nuove inalveazioni.
IV. Idrografia
Sistema idraulico della provincia di Bologna.
Sistema idraulico dell''Italia in generale Immissione del Reno in Po. Idrografia dell''Europa, e delle altre parti del Mondo. V. Canali di scolo e di navigazione.
Sistema ordinario di scolo superficiale. Bacini motori. Canali di navigazione.
VI. Macchine idrovore.
Trombe aspiranti, trombe prementi, e trombe aspiranti e prementi. Trombe a stantuffo tuffante. Tromba a forza centrifuga. Coclea d''Archimede, Rosario, Noria.
VII. Macchine idrauliche motrici
Ruote idrauliche a palette piane. Ruote alla Poncelet. Ruote di fianco, e ruote a cassette. Ruote a catino. Turbini. Mulini ad acqua. Mulini a vento. VIII. Macchine a vapore
Storia delle macchine a vapore. Macchine a bassa pressione. Condensatore. Macchine di Woolf. Vantaggi dell''espansione del vapore. Macchine ad alta pressione. Macchine a
bilanciere, e ad azione diretta. Locomobili. Locomotive. Macchine ad aria compressa. Macchine ad aria riscaldata. ==
N.B. Poiché sarebbe impossibile, in poche lezioni, dare pieno sviluppo a tutte indistintamente le parti di questo programma, né sarebbe utile trattarle tutte con eguale
ristrettezza, alcune parti saranno probabilmente trattate a fondo; di altre non farò che
succintamente accennare le cose più importanti a sapersi in proposito. Barilli Filopanti.
Temi per gli esami speciali di Idraulica nell''anno 1863 I. Idrografia dell''Italia, ed in particolare della
Provincia di Bologna.
II. Leggi dell''equilibrio dei fluidi. Torchio idraulico
Aerostati.
III. Valore numerico della gravità specifica
dei principali materiali di costruzione, non che
dei principali liquidi e fluidi aeriformi.
IV. Cenni di architettura navale e di navigazione.
V. Fermezza de'' tubi idraulici, degli argini di terra,
ed in muratura.
VI. Degli efflussi. 7 VII. Illuminazione a gas
VIII. Resistenza dei fluidi.
IX. Istrumenti idrometrici
X. Formole che collegano la pendenza, va-
riazione e velocità delle acque correnti.
XI. Dell''immissione del Reno nel Po.
XII. Dei ponti, e specialmente del nuovo
metodo di fondazione dei medesimi col
sussidio dell''aria compressa.
XIII. Difesa delle ripe de'' fiumi, e presa delle rotte.
XIV. Macchine idrovore
XV. Ruote idrauliche motrici.
Filopanti.
5. LO SFERZANTE GIUDIZIO SULLO STIPENDIO DEI PROFESSORI UNIVERSITARI, SUI COLLEGHI, SUL NUMERO DELLE UNIVERSITA'' E
SU QUELLO DEGLI STUDENTI
Ecco cosa F. scrive sullo stipendio e sui Colleghi dell''università: Lo stipendio di cinquemila lire italiane ' non adegua ' quello dei professori di Parigi e di Berlino; ma è sufficiente, anzi al di là della giusta proporzione, in un povero
paese come il nostro, dove gli agricoltori, i quali sono più utili che taluni professori, hanno
il misero salario di una lira al giorno, o meno. [47] Se la natura li dotò del sublime dono del genio, faranno delle capitali scoperte anche con mediocri strumenti come fecero Galileo, Torricelli, Newton, Malpighi, Galvani, Volta.
Se mancano di genio, non ne faranno neppure con un milione di lire sterline. Tutto al più
faranno eseguire ai loro aiutanti delle dozzinali esperienze, da comunicare in loro proprio
nome alle Accademie, e buscarsi una facile messe di croci di cavaliere e di commendatore. Vero è che se godono di lauti stipendi avranno mezzi di pubblicare le piccole ma numerose memorie, o le mediocri ma voluminose opere loro, benché per lo più ameran
meglio di risparmiarsi quella spesa, stampandole negli atti delle Accademie. Le loro
elucubrazioni saranno stimate, proclamate e laudate, non solo dalla Società di mutua
incensazione, ma altresì dalla stampa letteraria e politica, alla stregua, incirca, delle loro
rendite pecuniarie. [47] L''Italia ha un soverchio numero di Università. Sarebbe desiderabile il ridurlo incirca alla metà, dotando quelle che rimarranno di più perfetti mezzi di apprendimento.. Le
Università italiane son ben ventuna; ed il numero totale dei loro studenti nello scorso anno
fu di 15.307. Sarebbe forse a desiderasi anche la riduzione del numero degli studenti,
limitandolo ai giovani di più alto ingegno, ed astenendosi gli altri dallo accrescere la
sventurata classe degli spostati. [47] All''Università non cambia proprio nulla, tutto sembra essersi fermato dall''inizio del 1600 quando Robert Buton dal Christ Church College di Oxford, facendo l''esempio di una
nostra Università italiana di grande tradizione, scrisse: Accipiamus pecuniam, dimittamus
asinum, ut apud Patavinos Itali.
8 6. I BREVETTI E ALCUNE PUBBLICAZIONI
L''istrumento idrometrico
(Fig. 2)
La parte di lui principale è un ordigno' che per certa analogia di forma, e per comodità
di indicazione chiameremo la navicella. Esso è formato di latta o altra lastra metallica a
sufficienza robusta od armata per sostener le pressioni cui l'esporrà l'uso pel quale è
costrutto. La sua conformazione in ogni parte vuol essere cosiffatta, che discendendo o
salendo lentamente in direzione rettilinea dalla superficie della corrente al fondo
dell'alveo, e viceversa, in modo che la lunghezza ' sia sempre incirca parallela alla
direzione della corrente, succeda la minor possibile alterazione nel corso dell' acqua'.
Perciò, primieramente, la sua lunghezza.. è considerabilmente maggiore delle altre sue
dimensioni, e la sezione massima trasversale non deve eccedere uno o due decimetri
quadri, inoltre la prora è a foggia d' acuta cuspide, tale che non solo venga stendendosi
molto più in lungo che in alto, secondo che mostra il profilo, ma ancora la dimensione di
larghezza si mantenga notabilmente minore dell' altezza, almeno per un certo non piccol
tratto. Sarebbe utile che la parte superiore (perciocché va coperta) e l' inferiore della
navicella fossero alquanto cuneate a cresta, per minorare la resistenza per sé picciola del
lento discendere e risalire. Il fianco .. debb' essere piano, se non che verso l' estremità .. egli e il rimanente della parete della prora, dolcemente assecondandosi con comune rotondeggiare, vanno a
formare un picciolo cono tronco, il cui troncamento è uno stretto orifizio circolare, la luce
del quale è perpendicolare al piano del fianco ... In questo è praticato un altro foro
circolare .., eguale al primo. Nella parte interna più capace sono due recipienti parallelepipedi eguali .., dei quali il primo per interior condotto riceve l' acqua entrante pel foro.. opposto direttamente alla
corrente , e l'' altro riceve quella che entra per ...
Figura 2. Una tavola dell''istrumento idrometrico. 9 L'aria interna ha libera comunicazione coli' esterna per un picciolo tubo .., che ascende ad altezza maggiore di quella delle maggiori piene lungo la spranga dentata ...
Questa è destinata a comunicare il movimento di ascesa o discesa alla navicella . Nella sua lunghezza è segnata una scala metrica , il cui zero dev'essere al punto ove ella
verrebbe tagliata da un piano condotto .. normalmente al piano .. . E scorrevole fra due
validi sostegni .. nei quali è incastrata. [6] Dalla misura della quantità di acqua entrata nei due serbatoi con aperture una opposta alla corrente e l''altra laterale, Filopanti risale per integrazione alla misura della portata di
un fiume. Si tratta in sostanza di un ''tubo di Pitot' nel quale le misure di pressione, allora
di difficile rilevazione, vengono trasformate in misure di volume. Da un commento di un contemporaneo:
Il Prof. D. Vaccolini in Giornale arcadico, tomo 87° pagg.45-50, Roma 1841
Filopanti ha pensato uno stromento misuratore della portata e della velocità dell''acqua, che non dipenda dalla mentovata teoria della resistenza de'' fludi: ed ha portato
in questa materia sì l''esattezza possibile, si quella fecondità di conseguenze, sì quella
lucidezza dell''ordine nell''ideale, nell'' esperimentare, nel dedurre, che sono proprie di chi
coll''uso delle matematiche si avvezzi al rigore ed alla chiarezza del ragionare'.. ''.
Quindi è chiaro che il Filopanti può esser lieto di questa sua memoria, che mostra ciò che nelle scienze dicesi genio, accompagnato dall''amore costante allo studio ed alla fatica,
ed alla gloria altresì: che sono guide a maggiore e più onorato trionfo nel campo delle
matematiche. Ben era degno, che la memoria stessa fosse letta in compendio nell''adunanza
de'' dotti il 26 settembre 1840.
Figura 3. Le tavole che illustrano il termometro metallico. 10 Il termometro metallico Filopanti (Fig. 3)
Più che un brevetto, del quale non è stata trovata traccia, le tavole sembrano riportare un
esercizio da mostrare agli studenti su come amplificare la dilatazione termica di una
colonna per via puramente meccanica Fig. 3. Esiste un prototipo al museo del
Risorgimento. In questo nuovo istrumento la parte essenziale è la Colonnetta la quale sarà di zinco con sottile parete, vuota, e traforata, per seguire la temperatura dell''aria ambiente. Il telaio rettangolare ed il piastrello centrale, formato di due parti, come vedesi dalla pianta, a sostegno dei perni delle leve sarà d''acciaio fine. Le leve, le quattro staffe di
giunzione e l''ingranaggio possono essere di acciaio con stima ma anche in ottone per
l''effetto ornamentale Il circolo graduato di smalto sarà fissato dopo aver fatto la
graduazione provvisoria, con l''immersione prima nell''acqua di neve, e trarre poscia
nell''acqua bollente a pressione normale. Il piedistallo potrà essere di marmo ovvero di bronzo.
Le ruote guernite (Fig. 4)
' d''aumentare il lavoro utile delle ruote idrauliche ad asse orizzontale, rivestendone le
estremità con delle striscie di tela, od altra flessibile materia.. potranno dare, nelle
circostanze più favorevoli, un effetto utile sino all''84% dell''effetto assoluto.

La paltelata (Fig. 5)
Allorchè parecchi anni sono, mostrai dapprima con pubbliche esperienze e memorie
stampate, la possibilità, il vantaggio, la prontezza e le regole teorico-pratiche della chiusa
delle rotte de'' fiumi colle paltelate, ossia colla tela addossata ai pali, dichiarai di non
volerne reclamare alcun privilegio legale, affinché un metodo la di cui principale
raccomandazione è la sollecitudine del provvedimento contro ad una pubblica calamità, in
paragone del vecchio metodo empirico, non avesse a soffrire ritardo od inciampo per
cagione della privativa.
Figura 4. Un disegno del brevetto della ruota guernita. 11 Figura 5. Un disegno schematico della paltelata.
' Il concetto che sin da principio mi formai nella mente, e a cui ho coordinato le mie esperienze, si fu di conficcare una fila di pali nel luogo ov''era l''argine distrutto dalla
violenza della piena del fiume; a questi pali adattare una tela a bastanza grande dalla
parte interna del fiume: è chiaro che se ciò riesce, le acque tostamente si rimarranno da
innondare la campagna, riprendendo il debito corso per l''antico lor letto; e nulla osterà
poscia a ristabilire per di dietro della tela l''argine di terra. Per un dimensionamento corretto, da buon ingegnere, Filopanti esegue una serie di esperimenti sulla resistenza della tela e dei pali e sul loro interramento ed è bello leggere
come Filopanti gioisca nel confrontare la realtà con quanto progettato. Quando l''acqua è scolata dalla parte di dietro, vedesi la tela rigonfia per la pressione dell''acqua che rimane tutta al di là; la forma di questa curvatura della tela è veramente
quella che la teorica ha determinato cioè circolare, ed è spettacolo di una certa vaghezza e
curioso anzichennò il vedere la tela tra palo e palo in aspetto di tanti cilindri verticali, con
una tal quale somiglianza di grandi canne da organo. [12] anche in [27, pag. 230-255 lez.
ventesima]

Motori marini a flusso e riflusso (1878)
Con il brevetto dal titolo: Motore marino a flusso e riflusso, Filopanti intuisce la grande
necessità di poter disporre di energia e pensa di poterla produrre a basso costo sfruttando il
salto provocato dalle maree. Ipotizza quindi di poter riempire durante l''alta marea grandi
invasi e di poterne generare energia mediante turbine, durante il riflusso. Rendendosi conto
della impossibilità di utilizzare questa energia meccanica in prossimità delle macchine
generatrici, intuisce poi la enorme potenzialità dell''energia elettrica, per trasportare energia
dove serve. ' e questa medesima elettricità, col mezzo di un lungo filo metallico conduttore, potrà rapidamente trasportarsi a qualche distante luogo. [39, pag. 62] idea già espressa in [21]. 12 Figura 6. L''aratura a vapore: disposizione delle macchine.
Aratura a vapore
Dopo aver proposto un contratto per l''applicazione del vapore ai veicoli ed alla macchina
cucitrice, Filopanti vede nell''uso della macchina a vapore la possibilità di alleviare le
fatiche dell''aratura. Prendendo spunto dal modo impiegato per effettuare solchi nelle risaie,
posa ai lati del campo da arare due binari sui quali fa avanzare due carrelli che, attraverso
un giro di funi, bozzelli fissi e mobili, fanno spostare trasversalmente l''utensile, anch''esso
carrellato (aratura funicolare). Su uno dei due binari è posta la macchina a vapore che
fornisce potenza all''argano. Un sistema di controventature rende i carrelli stabili durante la
singola operazione Fig.6. Il sistema viene realizzato; Filopanti acquista due macchine a vapore per le prove. La macchinosità del sistema, la grande potenza richiesta, la scarsa dimestichezza con le
macchine a vapore del personale impiegato nella dimostrazione, fanno fallire il tentativo. Le geuranie e le isemerie E'' questa la parte più filosofica e più difficile da capire del lavoro di Filopanti. Se non può bene intendersi la storia senza la Geografia, molto meno ella può intendersi senza la cronologia, la quale riferisce con esattezza gli avvenimenti istorici alle
loro rispettive epoche. Ma per apprezzare debitamente un fatto storico, non basta sempre il
sapere in qual secolo ed in qual anno egli avvenne: spesso è necessario ancora conoscere
il giorno preciso, od approssimato, non solo per giudicare delle relazioni di quel fatto cogli
altri fatti che da vicino lo precedettero o seguirono, ma ancora per poter comprendere
l''influenza materiale cui esercitarono il clima e la stagione sul fatto medesimo, o sopra gli
antecedenti di esso, sopra le sue circostanze concomitanti, sopra le sue conseguenze. 13 Figura 7. Il planisfero geuranico.
F. determina così in base alle testimonianze di scrittori e in base ai calendari esistenti, varie coincidenze che lo portano a definire una serie di numeri associati ai giorni dell''anno. Chiama numeri della Sibilla i numeri: 8, 9, 12, 14, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 29, 32, 33, 34, 43, 48, 49, 76, 88, 89. F. mette poi in relazione questi numeri a due serie di date, che chiama isemerie della prima classe:
9/2, 24/2, 21/3, 20/4, 21/4, 29/6, 21/7, 8/8, 14/9, 22/9, 24/11, 21/12;
ed isemerie della seconda classe dette isemerie della Sibilla:
21/1, 5/2, 8/2, 22/2, 25/3, 19/4, 25/4, 5/5, 24/6, 4/7, 14/7, 29/7, 8/9, 20/9, 21/9, 20/10,
29710, 4/12, 8/12, 25/12, 29/12. F. nel secondo libro di Miranda!, chiamato I Numeri, passa in rassegna le date più importanti della storia dopo averle, per così dire normalizzate, riducendole cioè allo stesso
calendario e trova inaspettate coincidenze. Mette poi in relazione questi eventi storici con particolari simmetrie cosmiche e particolari allineamenti fra pianeti e fra stelle Fig. 7. Questa parte lo impegna durante il suo esilio: deve essere pertanto considerata un meraviglioso esercizio logico per tenere sveglia la mente e fare passare tempo.

I Fusi orari
Durante il suoi anni di esilio si rende conto del disagio che provoca l''ora solare.
Spostandosi per esempio lungo un parallelo terreste, si possono incontrare varie località e in
ognuna ''ritrovare', per esempio, il mezzogiorno ' Ipotizza così di suddividere il globo 14 terrestre in settori lungo i meridiani e assegnare a ciascun settore il ''tempo' definito dal
meridiano che passa per la mezzeria del settore stesso Fig. 8. Definisce così la linea di
inizio del giorno e quella del cambio di data e considera come meridiano di riferimento
quello che passa per il Campidoglio di Roma, ma è meglio leggere direttamente le sue
parole: Resta da fare anche una riforma nell''uso delle ore di tempo medio, la quale sarebbe domandata sin d''ora evidentemente dalle crescenti relazioni internazionali, e lo sarà
sempre più in avvenire. L''adozione di una medesima ora per le varie provincie di un
medesimo stato, contandole secondo il meridiano della capitale, o di altra illustre località
dello stato, è un passo sulla buona via. Le ore di un paese mancano di una ragionata e
comoda coincidenza con quelle degli altri paesi: converrebbe stabilire un sistema di
coincidenza con quelle degli altri paesi'un sistema che fosse semplice e bello'utile e
comodo per i viaggiatori, e pei telegrafi, e che servisse ancora al nobile ed elevato intento
di ricordare agli uomini, che '. Non debbono considerarsi come attendati in campi rivali
ed ostili, ma quali membri di una sola grande famiglia. .. dividete la superficie del globo, per mezzo di meridiani, in 24 eguali fusi, o regioni longitudinali, larghe quindici gradi per ciascheduna, ed estese da polo a polo:
imperciocchè quindici gradi di differenza in longitudine portano esattamente la differenza
di un''ora di tempo vero locale. La prima di queste 24 regioni longitudinali avrà per asse,
ossia nel mezzo, il meridiano del Campidoglio. '. Per tutto questo fuso dunque il tempo locale sarà identico al tempo universale; val a dire il giorno civile incomincerà colla mezzanotte di tempo medio ordinario del meridiano
del Campidoglio. Per tutto il secondo fuso, che si assumerà procedendo verso l''ovest, o nel
senso del moto apparente del sole, il giorno civile avrà principio ad un''ora di tempo
universale; nel terzo fuso avrà principio alle due di tempo universale; e via dicendo. Con
questo espediente semplicissimo il tempo universale ed i tempi locali non differiranno fra
loro che di un numero intero di ore, e sarà facilissima la reciproca riduzione. Tutti gli orologi, fuori di quelli della prima regione, avranno due sfere delle ore ad angolo fisso fra loro, una portante la lettera U, per indicare il tempo universale; l''altra
Figura 8. La divisione del globo in fusi orari. 15 portante la lettera L, pel tempo locale. Le sfere dei minuti e secondi servono egualmente ed
esattamente per l''uno e l''altro tempo. Così, a cagion d''esempio, saremo certi che quando sono le tre ore di tempo medio locale, nel pomeriggio, a Londra, saranno esattamente le tre anche ad Edimburgo, a
Dublino, a Parigi, a Lione, a Brusselles' insomma sopra tutta la vasta estensione di tutto
il secondo fuso, o regione longitudinale. Avremo egual certezza che saranno le quattro di
tempo universale dappertutto, e di tempo locale nelle celebri città di Roma, Napoli,
Siracusa, Firenze' [27, pag. 534-538, lez. Trentaseiesima]
La bonifica del Tevere
Sempre assillato dai disagi della povera gente, pensa a come liberarli dalle malattie che
derivano dai luoghi paludosi. Progetta così di incanalare e deviare in qualche tratto il
Tevere per bonificare i luoghi paludosi che circondavano Roma Fig. 9 . Il progetto viene presentato insieme a Giuseppe Garibaldi. Filopanti ne espone i vantaggi in varie città d''Italia. Le spese connesse sono molto ingenti e il governo preferisce
aumentare la lunghezza della rete ferroviaria. Filopanti vede la salute dell''uomo come prioritaria e si accanisce contro questi investimenti che vede come mezzo per elargire danaro a pochi ''potenti'.

Le diastemìe
L''argomento ..non manca però d''importanza, ed è nuovo'.. La parola greca diastema vuole dire distanza. Da essa io derivo la novella parola diastemia, o somma delle distanze, ed apro la via ad un piccolo e nuovo ramo di
Matematica, che tratti della somma delle distanze, e della distanza media da un punto a
molti altri punti dati. Figura 9. Pianta della bonifica del Tevere. 16 Tutti sanno che quando è da stabilire un luogo di comune ritrovo per molte persone, si dee possibilmente preferire un punto centrale rispetto alle loro diverse dimore; più
esattamente, interessa di fissare per luogo di convegno un punto che necessiti la minor
somma possibile di viaggi per quelli che vi si debbono recare. [27, pag. 65 lez. quinta] Immaginate che da ogni punto di una superficie piana si conduca una linea retta ad un dato punto, come a comune foco: la somma di tutte queste linee è ciò che io chiamo la
somma diastematica di quella superficie riferita a quel punto. Questa somma, divisa per la
superficie, o pel numero totale di punti di essa, è ciò che io chiamo, e devesi effettivamente
chiamare, la distanza media di quella superficie da quel punto. [27, pag. 66 lez. quinta] Avremmo un caso disperato alle mani se dovessimo fare un calcolo a parte per tutti gl''innumerevoli punti di una data superficie. Per fortuna ci viene in sussidio il calcolo
integrale. Il centro diastemico dell''Italia, non è fra Bologna e Firenze, ma piuttosto fra Firenze e Roma; più vicino però a Firenze che a Roma; per esempio vicino a Siena della gentil
favella.[27, pag. 71 lez. quinta] Un bell''esempio di ''logistica' del 1872 !
Una nomenclatura per la Chimica
La Filosofia delle nomenclature vuole che si assegnino i più brevi nomi alle cose che si
devono nominare più di frequente [l''Universo pag 99]. Così F. propone un nuovo sistema di nomenclatura chimica, fondato sul principio non meno semplice nel suo concetto che facile nella esecuzione.. Il principio consiste nel dare,
in certi casi determinati, a ciascuna lettera dell''alfabeto un significato ideografico intero:
l''esecuzione consiste nell''esprimere con siffatto mezzo la formula chimica. I nomi dei quattro elementi biogeni occorrono frequentissimamente ' perciò li rappresenteremo nel modo più semplice e comodo che sia umanamente possibile di trovare,
cioè con una vocale per ciascuno. Perciò assegneremo la prima vocale, a, all''idrogeno'
Daremo la seconda vocale, e, all''ossigeno,..
le vocali i, o all''azoto e al carbonio'
Gli altri corpi, i non biogeni, saranno rappresentati con quattro lettere: la prima sarà sempre la vocale u, seguiranno le due consonanti più spiccate del nome latino, infine una
vocale indicante l''atomicità.. Per esempio: ucra, il cloro; upsa il potassio, urga l''argento: tutti elementi monoatomici: ucle il calcio'. '
Bèca l''acqua liquida;
Bèaca il vapore
Bècà la neve
Cabè il ghiaccio

F. espone il metodo ai chimici dell''Università e ne ottiene un favorevole rapporto datato 17 gennaio 1871: Invitato dal nostro egregio professor Quirico Filopanti ad esporre il nostro parere sopra il progetto da lui ideato di una nuova nomenclatura chimica, .. concordi nel
giudicarla degna della considerazione dei dotti e aggiungiamo: '. 5. facilissimo è il modo di comporre i nomi nuovi per tutti i corpi semplici o composti che possono venire trovati. .. 17 7. E'' così semplice e facile il sistema di questa nomenclatura che in breve può essere appresa.. .. Con tutto ciò non saranno poche né lievi (a nostro avviso) le difficoltà di rendere usuale la proposta nomenclatura'. [27, pag. 383 lez. ventottesima]
Gli acquedotti economici per le tre provincie di Ferrara, Ravenna e Bologna [45]
Quasi al pari della luce, dell''aria e del cibo è necessaria l''acqua potabile alla vita del
genere Umano ' Potabile è l''acqua di pioggia ' potabile pure ' è l''acqua dei fiumi .. più comodi sono i pozzi, benché le loro acque non godano mai di un''assoluta purezza chimica.. però nelle
città troppo di frequente sono impure e cattive, per la viziosa loro vicinanza e
comunicazione coi pozzi neri .. Operati i prosciugamenti cessa la malaria, ma rimane la
cattiva acqua. Il terreno asciutto si può mettere a coltura, la malaria scompare, se non in
quanto è portata dai venti che spirano dai terreni tuttora paludosi, ma l''antica palude
lascia delle funeste reliquie, perché rimane la cattiva acqua dei pozzi. Chiara è dunque la necessità di condurre delle sane acque potabili da sostituirsi a quelle dei pozzi nei luoghi tuttora palustri, o che lo furono nei precedenti secoli. Tale è il
caso di tutta intera la provincia di Ferrara, tale il caso per la parte più bassa della
provincia di Bologna; e tale è parimenti in più della metà della provincia di Ravenna. Alle considerazioni tecniche sui fabbisogni e sul dimensionamento delle condotte Filopanti fa seguire considerazioni economiche e il calcolo del capitale occorrente per un
totale, nel 1885, di Lire 3.330.000. [40, 45, 46] 7. CONCLUSIONI
Filopanti é una persona di grande cultura e di grande curiosità ed anche un vero ingegnere
(chiama gli ingegneri miei confratelli [36 pag. 93] e si firma di professione ingegnere in un
registro di arruolamento del 1866), dato che cerca di capire le cause che legano gli eventi
fra loro, ne mette a nudo le essenzialità per lavorare su di uno schema semplice, e con
questo schema ''costruisce ingegni' per il bene comune, cercando poi di comunicare agli
altri la gioia della scoperta e di realizzarli. Egli arriva quindi direttamente alla sintesi di questa professione che nel nome stesso ingegneria racchiude l''ingegno oggetto e ingegno soggetto. Sa anteporre la gioia del
ragionamento limpido alle difficoltà di realizzazione, mantenendo chiarissimi gli impieghi. Per quanto bella e ragionata sia un''invenzione nel suo concetto fondamentale, l''applicazione intoppa sempre in un gran numero di difficoltà pratiche, le quali poi
ordinariamente si possono superare a forza di ingegno e di perseveranza. [36 pag. 84] Come tutti i precursori crede che la forza delle idee possa superare le difficoltà ma sa bene che i precursori sono destinati a soccombere e che questo è il prezzo che viene chiesto
per progredire: Troppo son facili li uomini a denigrare il non riuscimento, ed in ispecie le rivoluzioni apparentemente fallite. Dico apparentemente, perchè quantunque fatali per lo più a chi le
tenta, purchè abbiano uno scopo giusto, giovan sempre più o meno agli altri. In primo
luogo la non riuscita è un previo tributo che la inesorabil fortuna suole esigere in prezzo
del susseguente riuscimento'.[22, pag.15-16] 18 8. SCRITTI DI QUIRICO FILOPANTI, IN ORDINE CRONOLOGICO
[1] G. Barilli, Dell''influenza delle arti e delle scienze sulla civiltà e di questa sul migliore
stato della società: orazione recitata a Budrio il giorno 15/10/ 1835 per solenne
distribuzione dei premi agli alunni delle pubbliche scuole, Firenze, Ed. Federigo Bencini,
1835
[2] G. Barilli, Dell''influenza delle arti e delle scienze sull''incivilimento e di questo sul
migliore stato della società, I Ed. Faenza, Tip. Montanari e Marabini, 1836, II Ed. Faenza,
Tip. Montanari e Marabini, 1837
[3] Q. Filopanti, Longevità comparata degli antichi e dei moderni-Dissertazione, Bologna,
Tip. Del Nobili e C, 1840
[4] Q. Filopanti, Memoria sui fuochi fatui, Bologna, Nuovi annali delle scienze naturali,
tomo 5, 21 maggio 1840.
[5] Q. Filopanti, Proposta di un mezzo di tentare la dotazione del congresso degli
scienziati italiani, Bologna, Tip. Sassi, 1841
[6] Q. Filopanti, Di un nuovo istrumento idrometrico, Nuovi Annali delle scienze naturali,
marzo, 1841 pagg. 165-235 + 236-240 discussione + 2 tavole ed Errata Corrige
Bologna, Tip. Marsigli, 1841
[7] Q. Filopanti, All''inclito pubblico Bolognese- Annuncio libro Nuove idee di architettura
Idraulica segnatamente sulla presa delle rotte, Bologna, Tip. ', 1841 '
[8] Q. Filopanti, Notizie popolari di fisica e idee di architettura idraulica, Bologna, Tip.
Delle Muse, 1841
[9] Q. Filopanti, Bartolini e la Cerrito ossia dell''onorare e premiare gli artisti, Bologna,
Tip. Delle Muse, 1845
[10] Q. Filopanti, Notizie di Fisica esposte da quirico Filopanti in servigio degl''italiani
amanti di facile istruzione e per introduzione alle sue idee di architettura idraulica,
Bologna, Tip. Delle Muse, 1845
[11] Q. Filopanti, Del numero probabile delle persone che intervennero alle feste
dell''amnistia in Bologna ed in Roma, Bologna, Pei tipi delle Muse Capra, 1846
[12] Q. Filopanti, Degli usi idraulici della tela :memoria letta all''Accademia delle scienze
26/11/186, Estratto Nuovi Annali delle scienze naturali di Bologna Fasc. Aprile 1847
Bologna, Tip.Sassi, 1847
[13] Q. Filopanti, Al Consiglio comunitativo di Bologna l''adunanza straordinaria del
popolo bolognese, Bologna dalla residenza del Circolo popolare 31/12/1848
[14] Q. Filopanti, Magnanimo pubblico romano/Q.F. Presidente del Circolo universitario
di Bologna, Roma, Tip. Delle Muse, 1849
[15] Q. Filopanti (manifesti e opuscolo), Istruzione popolare per la difesa dei Paesi dello
Stato, Roma, dalla Tipografia Governativa, 1849
[16] Q. Filopanti, Miranda ! A book on WONDERS hitherto unheeded, London, James
Morgan Ed, 1858
[17] Q. Filopanti, Miranda : a book on divided in three parts entitled Souls, Numbers,
Stars, on the neo-Christian religion: with confirmation of the old and new doctrines of
Christ etc., Seconda edizione, ridotta Ed, 1860
[18] Q. Filopanti, Sunto delle memorie sulle Geuranie ossia di alcune singolari relazioni
cosmiche della terra e del cielo, Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani, 1862
[19] Q. Filopanti, Discorso inaugurale del prof. Filopanti Presidente della società operaia
di Bologna, pronunciato nel giorno 10/1/1864 contenente il programma del novello
Consiglio direttivo, Bologna, Ti. Vitali, 1864 19 [20] Q. Filopanti, Lo studente alla guerra, ossia nozioni fondamentali di arte militare:
lezioni 6, Bologna, Società editrice della storia, 1866
[21] Q. Filopanti, Intorno alla necessità e ai mezzi di promuovere l''industria meccanica in
Italia, Estratto Memoria Giornale d''Agricoltura del Regno d''Italia 3, 1866
Bologna, Tipogr. Del Giornale d''Agricoltura del Regno d''Italia detta degli Agrofili Italiani,
1866
[22] Q. Filopanti, Sulla reciproca influenza della libertà politica e dell''industria meccanica
dei popoli: prolusione recitata nell''Università di Bologna dal professore Filopanti già
membro della Costituente Romana, Tip. Pietro Agnelli, 1866
[23] Q. Filopanti, Intorno al sito del Rubicone ed al giorno in cui fu passato da Giulio
Cesare, Estratto Memoria dell''Accademia delle scienze serie II vol.6, Bologna, Tip.
Gamberini e Parmeggiani, 1866
[24] Q. Filopanti, Inno nazionale, Bologna, Stab. Monti, 1866
[25] Q. Filopanti, Intorno alla fontana di Cento: lettera all''ingegnere Luigi Bonomi,
Bologna, Compositori, 1870
[26] Q. Filopanti, Alcuni misteri di chimica popolarmente spiegati e nuova nomenclatura
proposta da Q.F., Bologna, Compositori, 1871
[27] Q. Filopanti, L''Universo-Lezioni popolari- date nelle principali città di Italia, Si tratta
di 10 fascicoli separati contenenti 100 lezioni, Fascicoli 1(1-17),2(18-29),3(30-40),4(41-
50),5(51-60),6(61-67),7 (68-77),8 (78-88),9 (89-91),10 (93-100), Bologna, Tip. Giacomo
Monti, 1871-1872, I primi sei fascicoli sono stati riuniti in due volumi.
Vol.I 1872- Lez:1-39; Vol. II 1872 Lez:40-67; Bologna, Tip. Giacomo Monti, 1872 (stessa
edizione)
[28] Q. Filopanti, Presa delle rotte colle tele / nota di Quirico Filopanti, Bologna : Tip. dei
Compositori, 1872
[29] Q. Filopanti, L''Universo, Bologna, Zanichelli, 1873
[30] Q. Filopanti, Ruote guernite : perfezionamento delle ruote idrauliche ad asse
orizzontale / ideato dal prof. Q.F., Milano, Prem. litog. e tipog. degli ingegneri, 1875
anche in L''Industriale 30 giugno 1875 pagg. 89-91 tav. XVI
[31] Q. Filopanti, Sulle bonifiche romane proposte dal generale Giuseppe Garibaldi ''
Considerazioni di Q.F., Roma, Tip.Romana, 1875
[32] Q. Filopanti, Indication de quelques nouvelles ideas scientifiques espostes dans son
ouvrages L''Universo, Bologne, Imprimerie royale, 1875
[33] Q. Filopanti, Il Tevere e la campagna di Roma: conferenza tenuta nel teatro Dal
Verme di Milano il 4/7/1875, con un''appendice contenente gli estratti, Milano, Treves 1875
[34] Q. Filopanti, Lezioni popolari di Astronomia, Bologna, Tip.Bortolotti,1876
[35] Q. Filopanti, Lezioni di Astronomia, II Ed rifusa dall''Autore Bologna,
Tip.Bortolotti,1876, Tip.Bortolotti, 1877
[36] Q. Filopanti, Parere di Q.F.circa i lavori intrapresi o da intraprendersi per accrescere
l''acqua ed il reddito del canale di Budrio, Bologna, Tip.Mareggiani, 1877
[37] Q. Filopanti, Aratura a vapore '' sistema Filopanti Lettere al generale Garibaldi in
Giornale di agricoltura, Industria e Commercio, Bologna Tip.del Giornale d''agricoltura del
Regno d''Italia detta degli Agrofili Italiani, 1878
[38] Q. Filopanti, Dio liberale-Sintesi scientifica ed istorica, Bologna, Zanichelli, 1879,
1880
[39] Q. Filopanti, Dio esiste -sintesi enciclopedica, Milano, Flli Treves, 1881
[40] Q. Filopanti, L''acquedotto ferrarese urbano e rurale proposto dal prof. Q.F., Ferrara,
Stab. Brescaini, 1881 20 [41] Q. Filopanti, Sintesi della storia universale specialmente della storia d''Italia dagli
antichissimi tempi sino all''anno 1882, Bologna, Soc.Tip.Guidi, 1882
[42] Q. Filopanti, Lezioni popolari di Astronomia, II Ed rifusa dall''Autore Bologna,
Tip.Bortolotti,1876, 1877
[43] Q. Filopanti, Storia d''Italia dagli antichissimi tempi sino all''anno 1870 compendiata
da Quirico Filopanti, Bologna, Soc.Tip.Azzoguidi, 1883
[44] Q. Filopanti, Storia d''Italia dagli antichissimi tempi sino all''anno 1882 compendiata
da Quirico Filopanti, Bologna, Soc.Tip.Azzoguidi, 1884
[45] Q. Filopanti, Acquedotti economici per le tre provincie di Ferrara, Ravenna e Bologna
'' Rapporto di Q.F. all''onorevole Commissione per gli studi sui predetti acquedotti,
Bologna, Tip.Monti, 1885
[46] Q. Filopanti, Acquedotti economici: lettera ai sindaci delle comuni rurali di Ferrara,
Ferrara, Tip.Sociale, 1886
[47] Q. Filopanti, Festival o commemorazione festiva, impropriamente detta centenario
della fondazione dell''università di Bologna, 12 giugno 1888, Bologna, Tip.Azzoguidi,
1888
[48] Q. Filopanti, Giordano Bruno ed il lento progresso delle idee, Rugatino in dialetto
romanesco, 9/6/1889, A3 n. 147
[49] Q. Filopanti, Rivoluzioni e misteri, cioè della rivoluzione Francese e di Napoleone
desunta dalla sintesi di Storia Universale di Filopanti, Bologna, Tip.Zamorani e Albertazzi,
1889
[50] Q. Filopanti, Storia di un secolo dal 1789 ai nostri giorni, Fasc. I 1798-1821, Fasc, II
1821.1858, Fasc, III 1859-1865, Fasc IV 1866-1889, Milano, Sonzogno ed, 1891
[51] Q. Filopanti, La bibbia sociale I edizione, Bologna, Ed. Zamorani e Albertazzi, 1894
La bibbia sociale II edizione, Roma, Tipografia delle Mantellate, 1894

N.B. Si concorda con gli argomenti riportati dalla prof. Fedora Servetti Donati in [9.
Scritti su Filopanti -11] nel ritenere che i libri:
[1] G. Barilli, Miscellanea di poesie, Bologna, Tip. Dell''Ancora, 1855
[2] G. Barilli, Veglie piacevoli ossia favole fantastiche, tolte la maggior parte dal dialetto
bolognese/traduzione libera in sesta rima per Giuseppe Barilli 378 pp., Firenze, M.Cellini
Ed, 1858
non siano del nostro Quirico ma di un omonimo Giuseppe Barilli, figlio di Luigi e non di
Francesco, al contrario di quanto scritto anche in [9. Scritti su Filopanti -16] 9. SCRITTI SU FILOPANTI
[1] In morte di Quirico Filopanti , [Bologna : s. n.], 1894
[2] Per Quirico Filopanti, [Bologna : s. n.], 1894
[3] Quirico Filopanti, [Bologna : s. n.], 1894
[4] Discorsi e scritti in onore di Quirico Filopanti (1894 1897) / pubblicazione del
Comitato esecutivo per un ricordo monumentale a Quirico Filopanti, Budrio : [s.n.], 1898
(Bologna : Tip. A. Garagnani e Figli)
[5] A Quirico Filopanti : pubblicazione a cura dell'Unione Repubblicana bolognese, 15
giugno 1913, Bologna : Unione Repubblicana bolognese, 1913
[6] Cantoni, Fulvio, Lettere inedite di Garibaldi e di illustri patrioti a Filopanti aggiuntevi
alcune lettere inedite di questo dall'esilio / Fulvio Cantoni, Bologna : Stab. tip. riuniti, 1929
[7] Rava, Luigi, Giuseppe Garibaldi a Roma e Alfredo Baccarini per la sistemazione del
Tevere urbano e la bonifica dell'Agro romano / Luigi Rava ; con 24 lettere inedite di 21 Garibaldi ad Alfredo Baccarini e altre di A. Baccarini, di A. Depretis e Q. Filopanti, Roma
: Proja, 1932
[8] Franzoni Gamberini, Lucetta, Quirico Filopanti rappresentante e difensore della
Repubblica Romana (da documenti inediti) / Lucetta Franzoni Gamberini, Bologna : Tip.
Vighi & Rizzoli, 1959
[9] Maioli, Giovanni, Quirico Filopanti e la sua corrispondenza col Carducci / Giovanni
Maioli, Bologna : Tipografia Vighi & Rizzoli, 1960
[10] Pucci I., Vita e pensiero sociale di Quirico Filopanti (Giuseppe Barilli), Bollettino del
Museo del Risorgimento. Anno VI, Bologna, Tipografia Vighi e Rizzoli, 1961, in-8, br., pp.
275
[11] Servetti Donati Fedora, Movimenti e associazioni a Budrio dopo l''unità, Tamari Ed.
Bologna 1974
[12] AA. VV., Quirico Filopanti, studi e ricerche, Comune di Budrio, Budrio Bo, 1979
[13] AA. VV., Quirico Filopanti ed il suo tempo, Comune di Budrio, Budrio Bo, 1995
[14] Bònoli F., Parmeggiani G., Q.F.: una singolare figura di astronomo nella Bologna
dell''Ottocento, Mem. S.A.It, 1995 ''vol 66 -4 pagg.861-870
[15] Preti A., Un democratico del Risorgimento: Q.F., Il Mulino, Temi e discussioni,
Bologna 1997
[16] Lotti L., Barilli, Giuseppe , in Dizionario biografico degli Italiani pagg. 373-376,
Istituto dell''enciclopedia Italiana, Roma
[17] Faeti, Ghigliano, Q.F. Un professore all''aria aperta, BUP, Bologna 2011 10. RIEDIZIONI [1] Miranda VI, Kessinger Publishing. LLC 2009-3-01
[2] Q.Filopanti, Storia di un secolo dal 1789 ai nostri giorni Fasc. I 1798-1821, Fasc, II
1821.1858, Fasc, III 1859-1865, Fasc IV 1866-1889, Milano, Sonzogno ed, 1891 ora in
rete su Liber Liber 11. SCRITTI DI ENRICA GOTTI (MOGLIE DI QUIRICO FILOPANTI) [1] Gotti Filopanti, Enrica, Prolusioni al Corso di Lingua e letteratura Inglese e poesie
inglesi / di Enrica Gotti ved. Filopanti, Bologna, Nicola Zanichelli, 1900
[2] Filopanti, Enrica, Gismunda Redditi Menarini
[3] Filopanti, Enrica, Ad Emma Gotti che va sposa all'egregio signore Cav. Giuliano
Cacciaguerra gli zii dottor Lodovico Gotti ed Enrica Gotti ved. Filopanti esultanti offrono,
Bologna, Succ. Monti, 18'' 12. LUOGHI NEI QUALI SI TROVANO GRAN PARTE DELLE CARTE DI
QUIRICO FILOPANTI
Biblioteca Comunale di Bologna, Carte di Filopanti
Archivio del Comune di Budrio
Museo civico del Risorgimento, Bologna
Archivio di stato, Bologna
Archivio Universitario, Bologna. 22 EXPERIENCING ROTOR AND FLUID FILM BEARING DYNAMICS Alessandro Zanarini Department of Mechanical and Aeronautical Engineering,
University of Bologna, Italy
E-mail: a.zanarini@unibo.it Andrea Cavallini Department of Electrical Engineering,
University of Bologna, Italy
E-mail: andrea.cavallini@unibo.it Abstract. Starting from fruitful past experiences on rolling bearing diagnostics, the research activity here presented has aimed since the beginning to investigate the physical phenomena
that are at the base of experimental rotor dynamics, when fluid bearings are involved. An
appropriate test bench was designed and a prototype assembled. The peculiarities of the
test bench are the wide range of rotational speeds, the slender shaft with a massive inertia
(like the Jeffcott rotor model), the adjustable resonance frequency, the motor-joint-rotor
misalignment, and the chance to supply static pressure to the oil film in the bearings. An
extended monitoring software was developed, which allows the tracking of flexible shaft
orbit, in orthogonal sections, along its axis, which transforms the orbit signals into spectral
contributions and does appropriate filtering. The main whirl and whip phenomena, together
with misalignment, mass/inertia imbalances and resonant behaviour are thus investigated
in detail. In particular, orbit shape and spectral content coming from a broad experimental
campaign are reported and commented in details. Keywords: rotor dynamics, fluid bearings, whirl, whip, unbalance, misalignment, resonances, diagnostics 1. INTRODUCTION
This research activity finds its place on the path to an integrated diagnostics of electrical machines taking into account both electrical & mechanical breakout potential issues, from partial discharges (PD) in the conductors to cracks or rub on the rotor shaft. Past experiences on rolling bearing diagnostics were made by the authors by means of statistic markers from time-domain signal processing and of advanced analysis in frequency domain with signal envelope processing and speed model of the bearing elements [1]. This brought to set up a bench on which to run tests for educational purposes (2 dissertation for B.A. and M.A. were made from the bench experimental data) and for acquiring expertise on the field, together with PD detection and analysis. 23 The step forward in this research path aims at gaining experience on another type of shaft supports that are present in most of the electrical machines of big sizes, the film bearings with fluid dynamic sustaining pressure, and all the characteristics they bring in the machine behaviour. Also, in order to analyse a wider spectrum of applications, structurally flexible machines were taken into account. The interaction between a real shaft and its fluid film bearings was mainly approached from the experimental point of view to understand which phenomena are simplified in litera- ture models and to gain direct expertise on the orbits that the centre of the shaft can make in presence of fluid dynamic instabilities. From a theoretical point of view were drawn the constraints to design a new test rig for high speed rotors on fluid film bearings, and give the measurements the opportunity to have a rich content underneath, made of those phenomena that characterise much bigger and real life rotating machines. The test rig was used in junction with a software, written for this purpose, to acquire the data and make proper signal processing on time histories and orbits. With the results analysed by this software it is possible to follow the machine behaviour throughout all the speeds of the shaft, highlighting the misalignment issues, the transitions over the resonance, the whirl and whip phenomena. The preparation of the experiments and their results are reported and discussed in details. 2. MATHEMATICAL MODEL FOR SIMPLE ROTOR DYNAMICS
The modelling of the rotor dynamics here adopted is based on a modified version of the clas- sical Jeffcott model, which adopts a modal approach for retaining the flexible dynamics of the lowest lateral bending modeshape of the isotropic shaft, the bearings anisotropic compli- ance and damping, a forcing function that can represent the synchronous mass unbalance or non-synchronous rotating excitations of any origin [2]. No gyroscopic effects were taken into consideration, due to the symmetry of the supports in relation to the massive disk positioned on the centre of the shaft (see next section). The x-axis is the horizontal direction, the y-axis is the vertical one, as can be seen in Fig.(1). If anisotropic properties are kept on the supporting bearings, the resulting stiffness and damping parameters are summed in serial layout as Kx = 1 1/Krotor + 1/Kbearing x , Ky = 1 1/Krotor + 1/Kbearing y (1) and Cx = 1 1/Crotor + 1/Cbearing x , Cy = 1 1/Crotor + 1/Cbearing y (2) The following system of motion equations can be written: M ¨ x + Cx 'x + Kxx = F cos('t) (3) M ¨ y + Cy 'y + Kyy = F sin('t) (4) These equations are already decoupled and the motion of the centre of the disk as forced solution of Eqn.4 can be represented by an ellipse on a reference with orthogonal axes to the shaft undeformed line: x = Axcos('t '' 'x), y = Aysin('t '' 'y) (5) 24 Figure 1. Test bench and its main parts. where Ax = F ! (Kx '' M'2)2 + (Cx')2 , Ay = F ! (Ky '' M'2)2 + (Cy')2 , (6) 'x = arctan Cx' Kx '' M'2 , 'y = arctan Cy' Ky '' M'2 (7) The dimensions of the shaft and massive disk were thus obtained to have only the first flexible mode shape in the speed range of the bench motor and keep the upper modes fairly outside that working conditions not to have any mismatch or influence on the orbit shape & spectra. 3. THE TEST BENCH
Hardware
In Fig.(1) the prototype of the arranged test bench is depicted. It can clearly be seen the rotor, with its slender shaft and central massive disk, the rigid joint and the electrical motor to drive the speed of the whole machine. The electrical motor is a 3-phase a.c. servomotor, driven by an inverter and a potentiometer. The shaft is supported on two fluid film bearings, which can also receive fluid in pressure from a static pump, positioned outside from the field of view. There are also three safety supports that retain the shaft when it deflects excessively, but allow free rotation when the orbit is constrained inside the lag in the safety support holes. The measurement devices are eddy current probes, with driver and extension cable, to allow the high quality sensing of small displacements up to 3 mm. The signals are sampled and converted by means of a National Instrument 9229 card (4 simultaneous channels, 24bit ADC resolution and 50kS/s sampling rate). 25 Figure 2. Effects of a wrong positioning of the proximity sensors. Figure 3. Same orbit acquired in a rotating reference frame by means of rotating the the proximities on the bench arch. Controls
The motor can be driven in open-loop chain up to 12000 rpm, with a hyperbolic decreasing torque curve, after a constant torque region at lower speeds. A potentiometer is used to rapidly tune the wanted speed, with 0.3Hz accuracy along the speed range and respecting the safety constraints for the motor/inverter coupling. The motor has an embedded encoder, which has 1024 pins, and can be used also in the software to read the actual speed in a very accurate way. The bearing and safety supports can be translated along the rails in the base, letting the tuning of the lowest bending mode of the shaft. The probes are inserted in two separate supports that can be turned on an arch rail, as can be seen in Fig.(1). Tuning the bench
The aim of the measurements is to assess the motion of the centre of the shaft in a reference frame that is orthogonal to the undeformed turning axis. It is thus assumed that during the 26 Figure 4. Effects of misalignment in rotor-shaft coupling. bending of the shaft the section does not change its shape and the displacement measured by means of the probes can be interpreted as true motion of the shaft axis. But in order to work under this assumption the right alignment of the probes must be pursued: the axes of the proximity probes must intersect with the undeformed shaft axis, otherwise the measured orbit is heavily distorted, since the probes can not sense the displacement in the orthogonal direction towards the perpendicular to the surface of the shaft. In Fig.(2) are presented the or- bits taken with misaligned probes, which are far from the ellipse shape at any speed, showing how it is important to set up the bench before any further processing of the measurement. On the other side, when the probes'' axes are properly intersected with the undeformed shaft axis, the rotation of the probe supports (kept with 90' between each other) causes the rotation of the orbit in the new references (which are turning regarding the real orbit, instead fixed in the ground reference), but does not affect the shape of the orbit. In Fig.(3) the probes'' reference frame is rotated in 10' steps, from 0' to 90' towards the horizontal line, showing the same elliptical orbit at constant rotational speed; the little variability on the shape is due to the tolerance in intersecting the probes'' axes with the undeformed shaft axis. The motor support allows the correction of the misalignment regarding the coupling joint and the shaft. The higher harmonics induced by the misalignment can alter considerably the shape of the orbit. In Fig.(4) are shown the orbits when there is misalignment (left) and when it has been considerably corrected, as should be done before any measurement campaign on rotor dynamics. 4. THE ACQUISITION AND PROCESSING SOFTWARE
The software suite was developed in the programming environment of National Instrument LabView, which can easily drive the NI-9229 acquisition card. It consists of different modules for the many task it has to fulfil, from the acquisition of the electrical signals of the probes to the advanced processing. Acquisition module
The first task done by the software is reading and recording the sampled digital data in time- voltage domain from the acquisition card, after selecting the sampling frequency and time length of the acquisition. By means of calibration constants, which characterize the linear behaviour of the probes in the measurement range, the voltage signals are converted to engi- 27 Figure 5. Software suite with time & frequency domain diagrams from the proximities'' signals and orbit representation. neering units data. Calibration of each probe was made prior to insert them on the arch sup- port at the wanted measuring position, tough a recalibration can be considered on the bench itself with proper sequence of measurements at known distances from the shaft surface. The software is programmed to evaluate automatically the constants needed. The results of the ac- quisition modules are discrete amplitude-time domain histories; together with the proximities signal, also the encoder or tachometer signal can be recorded. First-level processing
Many operations are done on the raw data obtained from the acquisition module. Time-domain. The first level of data processing takes place in the time domain, showing the amplitudes of the single probe measurements and the speed. This step can help in detect- ing the influence of electrical noise in the environment and the effect of higher harmonics or non-synchronous phenomena on the shape of the single channel wave from the proximities, which should generally be a sine wave but, due to some disturbances, can show some ripple, chaotic little spikes superimposed or deviations from the perfect shape. Frequency-domain. The time-domain data can be transformed by means of FFT algo- rithms into frequency domain to better understand the frequency content of the data and show up the raising of non-synchronous phenomena. Following the evolution of the spectra along 28 with the shaft speed is of uttermost importance in finding relations between non-synchronous phenomena and orbit shape. Orbit. The time-domain measurements from the two orthogonal probes can be joined in a spatial domain graph showing the travelling made by the centre of the shaft section (orbit) during the time lapse of the measurement. As said before and as it will be shown later in the measurement descriptions, changes in orbits and spectra are relevant for instabilities induced by fluid dynamic behaviours of the bearings. Filtering. In order to isolate the frequency content in the signals, a filtering feature can act on the acquired data, in all the processing modules just described. This allows to highlight the contribution of each synchronous harmonic, especially in misalignment problems. Advanced processing
An advanced processing can take advantage from the spatial position of the probes, relating the two orthogonal measurement to better asses peculiar characteristics of the orbit shape. Complex valued signals for orbit analysis. At any instant the shaft centre position can be described in the complex plane by joining the measurements of the two orthogonal trans- ducers. The complex valued displacement z = x + iy can thus be constructed as follows: z = x + iy = A 2 eiαei't + B 2 eiβe''i't (8) where A and α are the amplitude and the phase lag of the forward component, while B and β are the amplitude and the phase lag of the backward component, counter rotating at the same frequency of the forward component. Full spectrum. The parameters in Eq.(8) can be obtained by transforming the complex valued displacement z = x+iy constructed from the time-domain histories of the transducers signals. The FFT of a complex time-domain signal is spread over negative (backward) and positive (forward) frequencies, with potentially asymmetric distribution of amplitude and phase. In Fig.(6a) these complete spectra are proposed during a long lasting run-down of the test bench, from its maximal speed to the final stop, arranged in step-frequency-amplitude colour maps and cascade diagrams, obtained by transforming sections of the long record; it can be clearly seen that the distribution of the parameters is completely asymmetric. In Fig.(6b) the complete spectrum of the whole record is depicted. Synthesised single frequency orbit. In Eqn.(8) at each frequency an elliptical orbit can be reconstructed from the parameters. The major axis of the orbit is (A + B)/2 long, the minor axis is (A '' B)/2 long, and the inclination of the major axis is (α + β)/2. It can be also noticed that the orbit in Eqn.(8) is composed of two circular traces, the forward component of diameter A and the backward component of diameter B; at time instant t = 0 the different inclination of the ray that locates the starting point of the circles determines the
α and β angles. In Fig.(6b) the orbit at a single frequency of interest is thus reconstructed in thick yellow line from the full-spectrum parameters, acting as a extremely narrow band-pass 29 Figure 6. Diagrams obtained from complex valued signal processing: a) asymmetric spec- trum in amplitude colour maps & waterfall plots, b) in amplitude & phase representation and single frequency synthesised orbit. filter, or single frequency filter depending on the full spectrum resolution; in red it can be recognised the forward circle and in green the backward circle. Thresholds range and norms for health monitoring
In the software also the quantities proposed by the ISO-7919 standard [3''7] are evaluated.
Therefore the S(p''p)max = " S2 (p ''p)X + S 2 (p ''p)Y is calculated, where S(p''p)X and S(p''p)Y are the peak-to-peak amplitudes from the time-domain data of the two orthogonal proximity transducers; S(p''p)max is then compared with boundary displacement values, typical of the machine type, to assess the risk of the undergoing orbital motion of the shaft and the severity of the working condition; the S(p''p)max indicator can be seen in Fig.(5). 5. MEASUREMENTS
The test bench and the software were used to broadly experience the dynamics of the shaft when supported by journal bearings, with their fluid dynamic instability issues. As is shown in Fig.(1), the probes'' support is close to the massive disk at the centre of the supported shaft, meaning that the orbits are amplified by the bending part of the shaft that separates the probes from the closest bearing; also, in extremely severe conditions, such as resonance and whip phenomena, the gap in the safety supports can become null, limiting the maximal diameter of the orbits. Furthermore, some remaining electrical noise was detected in the room due to the inverter, thus the quite thick orbit in the diagrams with spurious little spikes around. The measurement campaign can be divided in two main parts: stationary and transient inquiries. In the first group were taken into account the low speed issues like unbalance and misalignment phenomena, when the rotor can still be consider as a rigid shaft, and the behaviour around the resonance (the only one present due to design constraints), plus the rise of whirl issues that developed into whip-type oscillations up to the maximum speed given by 30 Figure 7. Sub-critical orbits, unbalance & misalignment problems (10Hz, 20Hz, 30Hz). Figure 8. Orbits in the transition from sub-critical to critical and to super-critical rotational speeds (40Hz, 63Hz, 67Hz). the motor, when the flexible dynamics of the supported shaft is predominant. In the second group were taken into account the recordings of the transient behaviour of the rotor in run-up and run-down dynamics. The single issues are discussed below with examples of the results processed. Unbalance & misalignment phenomena
The imperfect mass distribution that remains in every rotor is the cause of a rotating force, proportional to the squared rotational speed, able to deflect the position of the geometrical shaft centre due to the compliance of the bearing fluid film supports, also when the shaft can be considered as a rigid body. The stiffness of the bearing itself is non-linear and it increases rapidly with the outward travelling of the shaft centre up to the direct contact to the hole wall, meaning that the bearing stiffness in vertical direction is higher than that in horizontal direction, where no gravitational force pre-loads the support; also, some stiffening effects [8] are induced by the static pressure that can be provided to the oil chamber of the bearings by means of the external pump, checked by the manometers in series before the bearings. All this means that with lower speed the rotating force is less than the gravitational vertical force, thus the orbit has a marked flat elliptical shape due to the difference between the bearing stiffness (Ky > Kx) along the orthogonal directions. The unbalance is thus the main synchronous issue that affects the rotating machinery. But a wrong alignment in the coupling of the rotor to the motor shaft can introduce higher harmonics of the unbalance forcing [2], leading to a distortion of the orbit shape from the simpler ellipse. In Fig.(7) up to the eight harmonic leaves a trace in the spectra of the probes'' measurements and the orbit presents many curvature changes due to these higher harmonics, which have a shorter spatial wave-length. With increasing rotational speed of the unbalance, the higher harmonics amplify their frequency and lower their amplitude & effectiveness on 31 Figure 9. Starting whirl at super-critical speeds (85Hz, 89Hz, 90Hz). Figure 10. Pure whirl at super-critical speeds (91Hz, 92Hz, 92.8Hz). the orbit distortion, as can be seen in Fig.(7) passing from 10Hz to 30Hz in sub-critical speeds and from 70 to 100 microns in orbit maximal diameter. As the rotational speed approaches the resonance (around 65Hz), the stronger unbalance finds a more compliant system (made of the bearings & flexible shaft), increasing the orbit diameter: at 40Hz it is around 160 microns, while close to the resonance it reaches 1.6 mm at 63Hz, probably sliding (without bouncing) on the safety restraints and giving a much rounder shape to the orbit, since in resonance the dynamic force is much higher than the gravitational one and the bearings'' stiffness is much more isotropic, due to the relevant outward travelling of the shaft section, which reduces the fluid film thickness, but increases its stiffness. As soon as the resonance is overtaken, the orbit amplitude drops to 280 microns at 67Hz and the major axis of the ellipse continues to complete the rotation started slightly before the resonance. In Fig.(8) are reported the examples of the orbits and relative spectra at the quoted frequencies. Whirl phenomenon
After the resonance, as can also be checked in Eqn.(7), the deflection of the shaft is very close to the eccentricity of the centroid towards the geometric centre of the massive disk, meaning also that the centroid of the shaft is located fairly on the rotational axis, with a Figure 11. Fading whirl at super-critical speeds (93.8Hz, 94.6Hz, 97Hz). 32 Figure 12. Whirl is leaking some energy into resonance at super-critical speeds (103.5Hz, 104Hz, 105Hz). Figure 13. Whirl is transferring more energy into resonance at super-critical speeds (106.9Hz, 110Hz, 111Hz). strong reduction of the forces on the bearings. But this is the best situation to let the whirl phenomenon raise [2]; furthermore, the design of the bench has pursued the presence of no other resonance in the operative range of the motor, meaning that the unbalance forces will be kept low by the auto-centring behaviour of the shaft over the resonance. The trace of the orbit is the first to be affected by the birth of the whirl, even before that something is clearly visible in the spectra of the proximity channels: the orbit remains within a 140-160 microns diameter range, but gets thicker in the diagrams of Fig.(9) that plot the whole record, meaning that during the revolutions the orbit is changing its path, due to the precession motion given by whirl fluid dynamic instability. It can be explained also by the superposition of the main circular motion (about same amplitude in both the directions) with the much smaller one, which has nearly half of the frequency, meaning that, apart from a fixed phase difference, there are instants in which the superposition is constructive (and orbits are enlarged by roughly summing the amplitudes of the components) and others in which it is destructive (subtracting the lower component from the higher one), when the lower frequency component has rotated by about ' radians. The successive orbits leave an even thicker trace on the diagrams with slightly increasing speed from 91Hz to 92.8Hz, as can be seen in Fig.(10) where a more defined complex orbit can be seen, suggesting that the whirl phenomenon is evidently established. It is interesting to notice how it takes around two shaft revolutions to complete the whole path induced by the whirl, which is known to have nearly half of the rotational speed. The further increase of rotational speed sees the fading of the whirl phenomenon, which repeats the steps of the raising in the reverse order of Fig.(11), so leaving the clear intersection of the path for the thicker trace when the whirl is less strong up to the ending of the pure whirl at 97Hz. This does not mean that the whirl will not affect the bench behaviour at higher speeds, but clearly shows how it is not stable and predominant at every speed. 33 Figure 14. Growing whirl energy comparable with unbalance at super-critical speeds (112Hz, 113.4Hz, 114Hz). Figure 15. Grown whirl is more than unbalance at super-critical speeds (116Hz, 117Hz, 117.6Hz). Whip phenomenon
It must be reminded that the fluid instability affects a bunch of frequency lines and not just a single one, with its energy content spread over a limited, but not null, frequency range. This sounds important in following the birth of the whip instability, since at a greater rotational speed this signal energy overflow might also increase: at over 100Hz of rotational speed of the shaft the whirl frequency is close to 45Hz, but there starts to be some energy leak also toward the resonance region, where the system is known to be excessively compliant and unable to restrain the motion induced even by very weak forces. Even the faded (but still present) whirl effect on the orbit in this condition can receive strength from the energy absorbed close to the resonance, inducing a self-excited oscillation. It is what can be seen in Fig.(12), where at 103.5Hz the energy of the imperceptible whirl is spread from about 42Hz to 60hz, but already at 104Hz the whirl energy zone is stretched from 38Hz to 65Hz, with a marked increment of the orbit complexity and two little peaks in the spectra, the first close to a whirl frequency, the other to the resonance range of the shaft. At 105Hz the strength of the whirl, which receives support from the resonant motion, is getting stronger, being around 1/3 in amplitude regarding the synchronous component; it can also be noted that in y-direction the ratio between whirl and resonance amplitude is lower than in x-direction, connected to a more pronounced deployment of the tracks'' group in the x-direction, on which no pre-load in the bearings is made by the weight of the shaft. The amplitude in resonance has the superposition effect of moving vertically the round orbits. With the speed increase the stationary behaviour of the system sees an even more pro- nounced displacement of the orbits in x-direction, like in Fig.(13), where the whirl-related amplitude in the spectra is approaching that of unbalance. As can be roughly considered in the tracks of the pure whirl at 92.8Hz in Fig.(10), the inner loop has a diameter that can be obtained by subtracting the whirl-related amplitude from the unbalance-related limit ampli- 34 Figure 16. Fully developed whip at super-critical speeds (118Hz, 125Hz, 140.3Hz). tude; while the outer is obtained by summing the amplitudes of the components, so driven by the whirl. The dimension of the outer series of curves is growing with the increase of relevance of the whirl regarding the unbalance forcing, while the inner loops are decreasing in size. Even if from 105Hz to 114hz the roll of orbit traces remains in the diameter range of 220 microns, it must be noted that in Fig.(14) the travelling of the shaft centre due to the whirl is getting close to that due to the unbalance. As soon as the amplitude of component related to the fluid dynamic instability in the x- spectrum overtakes the unbalance one, the outer loop gets much more expanded than the inner one, as can be seen at 116Hz in Fig.(15) with a diameter of about 280 microns. At 117Hz in the y-spectrum the whirl component is equivalent with the unbalance one, and the roll of traces presents a kind of aligned pattern on the major axis. At 117.6Hz even the y-direction amplitude of the whirl-related component is greater than that of the unbalance, leading to the opening of the roll of traces and putting in evidence the absolute relevance of the whirl when it is getting close to a resonance of the system, with a maximum diameter approaching 400 microns. In Fig.(16) the speed of the shaft is even more increased till the region where the whirl phenomenon finds no restrains to the induced oscillation, because of the resonance of the sys- tem; the self-excited motion of the shaft becomes absolutely predominant over the unbalance and the diameter of the roll of orbits jumps to 1.6 mm, restrained only by the safety supports, which prevent the structural breakdown of the bench. When the whirl enters into resonance the whip is fully established. The combination of fluid dynamic instability with the weak- ness of the system in the resonance region let the self-excited vibration of the whip drain a relevant amount of energy from the diving motor, which finds more resistance in accelerating the shaft to higher speeds. Further, once the whip is started, on the bench there is no manner to stop or decrease it, even running the shaft at over three times the speed than that of the resonance, at 200Hz. After it is established, the whip holds its position in the spectra, while the unbalance retain its synchronous correlation with the accelerating shaft. While the static pressure from the external pump can vary (slightly, few Hz) the frequency of the whirl, the tests confirmed [8] that there was no chance to avoid the whip self-excited oscillations: only an accurate design that prevents resonances from being close to whirl induced phenomena in the system can help in avoiding uncontrolled (or also catastrophic) flexible motion of the rotating machines. Full spectra & run-down transients
While the run-up transient, due to the manual regulation of the inverter, could not be repeti- tively undertaken (also due to the safety restrains of the motor, which can not have too steep 35 velocity ramps), the run-down from maximal speed (12000 rpm) gave many interesting re- sults. As depicted in Fig.(6a), the run-down lasted about 60 seconds; this long record can be divided in sequential sub-traces to be processed as full spectra; in the cascade or colormap plot of the full-spectra, where the speed at t = 0 is about 12000rpm and at t = 60 the shaft is closed to be stopped, there can be clearly seen the synchronous components (in forward and backward frequencies) of the unbalance forming a quite straight (the deceleration is rather constant) diagonal line, with very low amplitude at maximal speed and maximum amplitude around the resonance in the forward direction; also some feeble higher and fractional harmon- ics of the unbalance can be seen. The whip phenomenon is the strongest at higher speeds, with its (much lower) harmonics, but it is also clear that it has a constant frequency with the decreasing speed of the shaft and that it is limited to a speed range that ends at about 125Hz. The whirl phenomenon, which was enhanced by a fine tuning & slow increment of the speed in the stationary measurements, is not so relevant in the run-down, except at the ending of the whip, where it has a limited life with a varying frequency, linked to that of the shaft. In the quite fast run-down sequence the resonant behaviour is the most severe on the bench, while in the fine tuning of the accelerating shaft where the whirl was searched for and the whirl accurately triggered, the whip showed to be the most relevant issue. Careful attention must then be paid for the acceleration rates in run-up & run-down, due to the shown influence on the trigger of whirl & whip phenomena. 6. CONCLUSIONS
This work, with the related design of the test bench prototype and acquisition & processing software, has permitted a broad study and experimental campaign on the flexible dynamics of a rotating shaft supported by fluid dynamic bearings, with accurate recordings on how whirl phenomena turn into extremely severe whip behaviour of the machine. The expertise gained can be the basis for developing diagnostic tools that detect the whirl phenomenon before it enters into whip uncontrollable & self-excited vibration. Beside this, the set-up and control of a real rotating machine can gain advantage from the work done. Acknowledgements
The LIMAT laboratory (Lab of Materials Engineering and High Voltages) and TechImp firm are acknowledged for their precious help during this project and research path. Mr. Davide Pontara is also acknowledged for his work on the bench during his master thesis preparation. REFERENCES
[1] Harris, T. A., 2001. Rolling bearing analysis, 4th edition ed. John Wiley & Sons. ISBN 0-471- 35457-0. [2] Muszynska, A., 2005. Rotordynamics. Mechanical engineering : 188. CRC Press - Taylor & Francis Group. ISBN 0-8247-2399-6. [3] ISO, 1996. ISO 7919-1:1996 Mechanical vibration of non-reciprocating machines '' Measure- ments on rotating shafts and evaluation criteria '' Part 1: General guidelines. ISO - International
Organisation for Standardization. [4] ISO, 2009. ISO 7919-2:2009 Mechanical vibration '' Evaluation of machine vibration by measure- ments on rotating shafts '' Part 2: Land-based steam turbines and generators in excess of 50 MW
with normal operating speeds of 1 500 r/min, 1 800 r/min, 3 000 r/min and 3 600 r/min. ISO -
International Organisation for Standardization. 36 [5] ISO, 2009. ISO 7919-3:2009 Mechanical vibration '' Evaluation of machine vibration by measure- ments on rotating shafts '' Part 3: Coupled industrial machines. ISO - International Organisation
for Standardization. [6] ISO, 2009. ISO 7919-4:2009 Mechanical vibration '' Evaluation of machine vibration by measure- ments on rotating shafts '' Part 4: Gas turbine sets with fluid-film bearings. ISO - International
Organisation for Standardization. [7] ISO, 2005. ISO 7919-5:2005 Mechanical vibration '' Evaluation of machine vibration by measure- ments on rotating shafts '' Part 5: Machine sets in hydraulic power generating and pumping plants.
ISO - International Organisation for Standardization. [8] Bently D. E., Goldman P., E. T., 2001. ''The death of whirl - what the sfcb can do for the stability of rotating machinery'. ORBIT(1Q), pp. 10''13. 37 38 ASSESSMENT OF THE LUBRICATION REGIME IN
VARIABLE DISPLACEMENT VANE PUMPS


Emiliano Mucchi
Engineering Department in Ferrara(EnDIF),
University of Ferrara, Italy
E-mail: emiliano.mucchi@ unife.it

Alessandro Agazzi
Engineering Department in Ferrara(EnDIF),
University of Ferrara, Italy
E-mail: alessandro.agazzi@.unife.it

Gianluca  D''Elia
Engineering Department in Ferrara(EnDIF),
University of Ferrara, Italy
E-mail: gianluca.delia@unife.it

Giorgio Dalpiaz
Engineering Department in Ferrara(EnDIF),
University of Ferrara, Italy
E-mail: giorgio.dalpiaz@unife.it


Abstract. This paper proposes a combined numerical-experimental methodology for the
analysis of the lubrication regime and wear that occur between vanes and pressure ring in
variable displacement vane pumps. The knowledge of the lubrication regime is essential for
the improvement of the performance of high pressure vane pumps by reducing wear,
increasing the volumetric efficiency and decreasing maintenance costs. Tests using
pressure rings of different materials were carried out in order to identify the best material
in terms of wear and friction. The proposed methodology is based on Archard''s   law and
takes advantage of wear experimental measurements, an empirical model for the estimation
of contact pressure forces and hardness standard tests. The results of the analysis state that
low wear and reduced friction can be obtained if elasto-hydrodynamic lubrication between
vanes and pressure ring is established. Results have been also verified by analytical elasto-
hydrodynamic models.

Keywords: vane pumps, wear, elasto-hydrodynamic lubrication.
1. INTRODUCTION
In high pressure variable displacement vane pumps, evidence of wear tracks was found on
the internal surface of the pressure ring as well as on the top of the vanes, as a consequence
of the sliding contact between pressure ring and vanes (see Fig.1). The wear phenomenon is
a rather difficult topic to be understood, especially if all of the possible physical and
chemical influence parameters are taken into account. 39 In the manufacturing sector, energy costs continue to rise, and companies are being asked to improve profitability through greater cost control. The reduction of energy
consumption has become a key component in cost control, especially at manufacturing
facilities with higher energy costs. Nowadays the target of the designer consists in the
development and implementation of the best ways to make the manufacturing sector,
specifically of pumping systems, as energy efficient as possible. In order to help designers
to improve the performance of high pressure vane pumps by reducing the wear. increasing
the volumetric efficiency and decreasing the maintenance cost, it is necessary to know what
kind of lubrication regime exists in the vane-pressure ring contact, Fig.2. Thus, the
selection of the adequate materials and suitable design methodologies is desired, in order to
achieve optimized wear. For example, wear reduction can be achieved by improving
surface material performance if boundary lubrication regime exists or by modifying the
surface geometry in case of hydrodynamic lubrication regime. This paper deals with high pressure variable displacement vane pumps and presents a work carried out by the Dept. of Engineering of the University of Ferrara in co-operation
with BERARMA s.r.l (Casalecchio di Reno, Bologna, Italy). This kind of volumetric
pumps (see Fig.2) is widely used in machine tools and in hydraulic systems, thanks to their
control strategy. As a matter of fact, the oil flow rate can be tuned according to system and
efficiency requirements. Vane pumps operate through the use of a number of vanes that
slide into or out of slots in the pump rotor when the pump is rotating. The sliding vanes
move outward from the rotor and ride against the inner bore of the pump casing and form
pumping chambers. As the rotor revolves, fluid enters into the pumping chambers from the
suction port. The fluid is transported around the pump casing until it reaches the discharge
port, where it is forced throughout the discharge piping. This type of design virtually
eliminates slippage, meaning that high volumetric efficiency of the pump is maintained.
The self-adjusting sliding vanes continuously adjust for wear. The vanes simply slide
farther out of the rotor slots and continue to follow the ring contour; in this way, sliding
vane pumps are able to maintain near-original efficiency and capacity throughout the entire
life of the pump. In the literature, many approaches have been adopted in order to estimate wear in kinematic joints. The main equations of the wear models use the methods of solid
mechanics, most include material properties, thermodynamics quantities and other
engineering variables. H.C Meng and K.C Ludema in [1] describe how wear models have
been improved over years. The first wear equations were developed in Europe by German
authors as Toon [2], Holm [3] and by Russian authors as Kruschov and Barbichev [4]. A
big step in the wear equation enhancement has been done in 1957 with the fatigue theory,
which takes into account the contact roughness [5]. Since 1957, it is possible to define four
eras of modeling. In the first era up to 1970, the wear equations were derived using data
taken from experimental tests [6,7]. From 1970 to 1980, wear equations were based on
Young''s modulus and hardness of kinematic joint materials like   Archard''s   equation   [8].
Specifically for vane pumps, the works in [9,10] regards the wear prediction in the contact
between  vanes  and  stator  by  means  of  an  analytical  model  based  on  Archard''s  equation  and  
the relative comparison with experimental data. Then, till the 1997 several authors develop
wear models that included new material phenomena like dislocation mechanisms, fatigue
brittle-fracture and corrosion properties [11-14]. Nowadays, FE method takes advantage of
a number of wear equations. In this context, the first simulation of mild wear in spur gears
has been referred to Anderson and Flodin in [15]. Specifically for vane pumps, Concerning
the prediction of lubrication regime in kinematic joints, experimental methods based on 40 optical interferometry in the contact region of sliding/rolling point contact can be found in
[16-19]. In particular, by such a methodology the geometry of the lubricant meatus can be
fully estimated. A different experimental approach concerns the electrical resistance
technique, which has been used to aid the identification of the lubrication regime [20].
Furthermore, several analytical methods based on elasto-hydrodynamic (EHD) empirical
equations obtained by experimental data have been deduced. They calculate the minimum
film thickness and they prediction the lubrication regime by comparison with surface
roughness [21]. In this work Archard''s   model   is   used   for   the   prediction   of   the   wear   volume   in   the   sliding contact between vanes and pressure ring for vane pumps. The wear hypothesis of
Archard is based upon that, the ratio of the wear volume and the sliding distance and the
ratio of the normal contact force and the surface hardness are related by a non-dimensional
constant namely generalized wear coefficient. In general this simple method gives a good
correspondence with experimental data. The originality of this paper consists in the estimation of the lubrication regime in the joint between vanes and pressure ring by using a combined numerical-experimental
methodology based  on  Archard''s  model. The results of this research activity has been also
verified by the use of analytical elasto-hydrodynamic models. The organization of this paper is as follows. Section 2 describes the variable displacement vane pump; Section 3 deals with the method used for the evaluation of the
lubrication regime in the sliding contact between vane and pressure ring; Section 4 reports
the results in terms of generalized wear coefficient, wear internal profile of pressure stator
ring and lubrication regime; in Section 5 the results are compared with mathematical
models of elasto-hydrodynamic lubrication; eventually, Section 6 is dedicated to
concluding remarks.
Figure 1. Evidence of wear tracks in the vane surface (A is the left side of the vane tip, B is the centre and C is the right side) and in the pressure ring internal surface (D). 41 Figure 2. Sketch of the pressure ring (stator), rotor, vanes and holes.
Figure 3. Exploded view of PHV 01 vane pump with distribution ducts. 2. VARIABLE DISPALECEMENT VANE PUMP DESCRIPTION
High-pressure vane pumps of the PHV series can work in a pressure range from 20 to 250
bar. In particular, the PHV 01 model, depicted in Fig.3, has been studied. The pump has an
actual displacement of 32 cm 3, taking advantage of a double inlet/outlet port plate system in which each port is packed on the pressure ring by using a hydrostatic compensation-based
system. The variable displacement vane pumps are a particular kind of rotating volumetric
machines widely used in hydraulic applications. In fact, they allow regulation of the
lubricant flow rate, optimizing energy consumption. The variable displacement vane pump
being studied is composed of a cast iron body, in which a one piece rotor shaft, a pressure
ring and two port plates are located (see Fig.3). The rotor presents radial grooves in which 42 the vanes can slide. Hereafter, the volume delimited by two consecutive vanes, the pressure
ring inner race, the rotor and the port plates is called vane space, while the volume defined
by the rotor groove, the bottom of a vane and the port plates is defined as hole. The port
plates present the outlet and inlet ports, suitably designed to communicate both with the
vane spaces and the holes. The pump can change its displacement in working conditions by
varying the eccentricity between the rotor shaft and the pressure ring. This operation is
carried out by a control piston that moves the pressure ring and a bias piston that brings the
pressure ring back in the zero eccentricity condition when the desired pressure level is
reached. The balancing screw is used to compensate the resulting pressure force. This kind
of pump can elaborate a full flow rate until the desired pressure level is reached, or it can
work in a "zero flow condition", maintaining a desired pressure and compensating
hydraulic losses.
3. METHOD
The methodology uses for the identification of the lubrication regime between vanes and
pressure ring will be propose in this section. It is well know that the Archard''s   wear   model   correlates   the   wear   volume   with   the hardness of the sliding bodies, the applied normal load and the sliding distance. When
Archard''s  wear  approach  is  concerned,  it  should  be  highlighted  that  this  linear  wear   model
was firstly possessed by Holm [3],  although  it  has  been  usually  named  as  Archard''s  wear  
equation.  Archard''s  wear  equation  represents  a  macroscopic  model,  since  the  microscopic  
effects like asperities deformations and materials tearing are not directly taken into account.
This model was developed and based on experimental test and it states that [22]:
N K F s V H (1) where V is the wear volume [m 3] concerning one of the surfaces, s is the sliding distance [m], K is the dimensionless generalized wear coefficient, FN represents the normal contact
force [N], and H is the material penetration hardness [N/m 2] of the surface which is wearing away. The generalized wear coefficient depends on the lubrication regime as shown in
Tab.1. High values of such a coefficient correspond to unlubricated joints, whilst low
values to hydrodynamic lubrication, Squeeze [23] film or elasto-hydrodynamic
lubrication[24] (see Tab.1 and reference [25]). In   this   work,   the   Archard''s   wear   equation   is   used   to   estimate   the   generalized   wear   coefficient in order to define the lubrication regime that is established in the sliding contact
between vanes and pressure ring. In particular the Archard''s  equation  parameters  (excluded  
K) have been calculated or experimentally measured: surface material hardness H was
measured by hardness test, sliding distance s was determined by the knowledge of the rotor
angular velocity and the test duration, FN was obtained by an empirical model and wear
volume V was measured with high resolution measuring machine. In this research, vane
pumps of the PHV series were tested at output pressure of 230 bar, rotational speed of 1500
rpm for a duration of 40 h with pump supplied full flow of 50 l/min, by using commercial
Shell Tellus ST46 as pumping oil. These conditions were very stressful for pump
components, so it was possible to assess the vane and pressure ring wear within a short
operational time. Furthermore, three different typologies of pressure ring were tested that 43 differ in the surface coating type: the first was made by using a 41CrAlMo7-10 nitriding
steel. The nitriding steel pressure ring was subjected to an isothermal annealing to confer
3000HB (Brinnell Hardness); then a hardening and tempering treatment to give ultimate
tensile strength of 1200÷1300N/mm 2; lastly, a nitriding treatment to obtain 1100÷1200HV (Vickers Hardness). The second typology of pressure ring was made of TiN-coated steel,
obtained through a physical vapour deposition, which places a thin coating (3µm thick) on
the working area of the pressure ring; the hardness of this material is about 2300HV. The
third typology used a DLC-coated steel; DLC (diamond-like carbon) coating is a
structurally amorphous low friction carbon-hydrogen based film. This PA-CVD (Plasma
Assisted Chemical Vapour deposition) is exceptionally dense (3 µm) and inert; moreover,
this process enables the film a hardness of 1300HV. The material of the vane was the same
for each test: the vanes were made by HS6-5-2C high speed steel, quenched and tempered
to 63 HRC (Rockwell C Hardness). In the following lines, the method used for the estimation of the physical parameters of Archard''s equation is given.

Archard''s  parameters  evaluation
The normal contact force (FN) has been calculated by an empirical model [26]. This empirical model has been developed in order to predict the pressure evolution inside the
pump by using an approach focused on industrial applications. It is based on data obtained
with the experimental measurements and for this reason its application should be limited to
pumps belonging to families used during the test campaign. The experimental pressure
evolution analysis performed on measured data from 50 up to 250 bar shows that the
pressure trend for holes and vane space, strongly depends on geometrical parameters
(displacement, port plate design, see Fig.4a) and operational parameters (shaft velocity and
working pressure). In more detail, pressure evolution curve (e.g for vane space, see Fig. 5)
p(') can be subdivided into four regions (see Fig.4b): ' Inlet region (I), characterized by the atmospheric pressure; ' Inlet-Outlet Transition region (I-O), where the pressure increases from inlet to outlet pressure; ' Outlet region (O), characterized by the outlet pressure; ' Outlet-Inlet transition region (O-I), where the pressure decreases from outlet pressure to inlet pressure. Table 1. Generalized wear coefficient K as a function of the lubrication regime (see also reference [25]). Type of lubrication Range of wear coefficient K Hydrodynamic <10 -13 Squeeze film <10 -13 Elasto-hydrodynamic 10 -9÷10-13 Boundary (commercial lubricant) 10 -6÷10-10 Solid film lubricant 10 -6 Dry bearing material 10 -2÷10-7 Unlubricated 10 -2÷10-4 44 For the pump being studied, the first region (from 140° to 256°, namely I) is characterized by a low contact normal force, since the inlet pressure acts on both surfaces
(the vane tip and vane base). The second region (from 256° to 309°, namely I-O) has a high
contact normal force; in this region the pressure rapidly change from the inlet to the outlet
pressure, where the former acts on the tip vane, while the latter acts on the vane base. The
third region (from 309° to 113°, namely O) has a lower value than the second region, since
the outlet pressure acts on the tip and on the vane base. The last region (from 113° to 140°,
namely O-I), being a transition between outlet and inlet pressure, has a higher contact
normal force. For the PHV series, several experimental pressure evolutions were analysed; they were obtained at different values of outlet pressure, shaft velocity, displacement, number of
vanes and port plate geometry, both at the zero flow and full flow condition. By using all
these experimental plots as a data base, the trend of the above-mentioned regions has been
correlated to the operational and geometrical pumps parameters, enabling to synthesize the
analytical equation of each region of the pressure evolution curve for holes and pumping
chambers. The inlet region of the synthesized pressure curve has been always imposed to be
equal to the atmospheric pressure as in the measured curves. The second region consists in
a transition from the inlet to the outlet pressure, starting and ending in defined angular
coordinates that mainly depend on the port place design. The peak at the end of this
transition ('ppeak, see Fig.5) is strongly influenced by the outlet pressure and the operational
condition: the peak assumes larger amplitude in the full flow condition than in the zero flow
condition. Furthermore, the higher the displacement is, the largest the peak amplitude
becomes. Therefore, this region has been synthesized with a cubic transition from the inlet
to the outlet pressure, where the starting and ending position ('2 and '2+'' respectively)
are governed by the port plate design. The peak amplitude is influenced by the operational
condition, outlet pressure and displacement, as in the experimental data. Transition region
O-I has been synthesized at the same manner as the second region, since it depends on the
same pump parameters. In the experimental pressure evolution plot, the outlet region
presents the genuine ripple phenomenon around the outlet pressure. The amplitude of the
ripple ('pripple) has been correlated to the operational condition, displacement and outlet
pressure. With the aim of detecting the periodicity of this ripple (Tripple), an order tracking
analysis has been performed in the third region leading to the spectrum of Fig.6, where the
first order corresponds to the frequency equal to the shaft rotational frequency (the mean
component has been neglected). As expected, the main order components occur in
correspondence of the 11 th, 22nd and 33rd harmonics, since the pump being studied has 11 vanes. Taking advantage of this analysis, the third region has been synthesized as a Fourier
series, considering only such three high amplitude order harmonics (vane harmonics): 3 1 ( ) cos( ) outlet k k k p t p a kN t (2)
where the amplitude and phase of each term of the Fourier series (ak, 'k) have been
correlated to a few pump parameters (operational condition, displacement, outlet pressure)
while the periodicity depends on vane number N and  on  rotor  angular  speed  '; moreover
poutlet is the mean value of the outlet pressure. In this sight, the pressure evolution for a
complete shaft rotation can be analytically synthesized as a function of the main pump
operational and geometrical parameters both for the vane spaces and for the holes. As a 45 summery, in the first column of Tab.2 are collected the parameters used for the pressure
evolution synthesis and in the second column the relative physical pump parameters, while
Fig.7 reports the pressure evolution for vane space and holes at the operational pressure of
230 bar for the pump being studied in the full flow condition. Once the algorithm for the
estimation of the pressure evolution has been developed, it can be used for the estimation of
the pressure evolution of new prototypes of pumps with different displacements, belonging
to families similar to those used during test campaign. Figure 4. a) Empirical model parameters. b) Regions of the pressure ring considered for  the  estimation  of  the  Archard''s  parameters. Figure 5. Empirical model: pressure evolution parameters. O I O-I I-O 46 Figure 6. Experimental pressure ripple spectrum, computed from the pressure evolution of Fig.4 in the range from 2 to 1 . Figure 7. Pressure evolution in the full flow condition in a vane space (solid line) and in a hole (dash-dot line) obtained by the empirical model.
Table 2. Pressure evolution parameters and correlations to pump parameters. Pressure evolution parameters Pump parameters '',  '1,  '2 Port plate geometry 'ppeak Operational condition and pressure, displacement 'pripple Operational condition and pressure, displacement Tripple Number of vanes
0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 50 100 150 200 250 300 Angle [deg] p [bar ] holes pressure
vane space pressure 47 Figure 8. Normal contact force between pressure ring internal surface and vane computed by empirical model (solid line) and the simplified one (dash-dot line).
Taking advantage of the pressure evolution estimated above, the calculation of the normal contact force can be performed. The value of normal contact force (FN-C) is obtained
as the difference between the force due to the pressure in the hole (FV-B) and the force due
to the pressure acting on the tip of the vane (FV-T); for this calculation the inertial force of
the vane is negligible.
N C V B V T F F F (3) with ( ) V B H F p bw force acting on vane base ( )( ) V T V S F p b t w force acting on vane tip
where: pH(') is the hole pressure acting on the vane  base  at  angular  reference  ';; pV-S (') is
the pressure of the vane space acting on the vane tip, w and b and are width and thickness
of the vane, respectively and t is the thickness of the vane tip (see Fig. 2). The estimated
force evolution for a complete revolution of the pump (Fig.8) shows that the force is not
constant and it varies in intensity during the rotation. However, for this research a
simplification can be accepted: the average contact normal force for each of the four
regions (Fig 4b) has been used, (see dash-dot line in Fig.8).The computed values are also
shown in Tab.3. The second parameter to be evaluated is the wear volumes of the four regions. Measurements were made by Mitutoyo LEGEX9106 coordinate measure machines, which
has the maximum measurable volume of 1005'905'605mm, resolution of 0.01µm and
maximum permissible error of length measured (MPEE index) MPEE=(0.48+L/1000) where
L is the measured length in mm. The internal profile of each pressure ring has been 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 Fo rc e [N ] Angle[deg] Model
Average 48 measured before and after the pump operational test described in Section 3; then the
average value of wear volume for each region (inlet, inlet-outlet transition, outlet and
outlet-inlet transition) has been calculated. In order to increase the robustness of the results,
for each type of pressure ring (41CrAlMo7-10 nitriding, TiN, DLC), two specimens were
tested and for each specimen wear measurements were evaluated on three sections of the
pressure ring internal profile, namelyL1, L2 and L3; L1 section was positioned at a quarter
of the pressure ring length (8mm), the L2 section in the middle (15mm) and the last section
(L3) at three quarters of the pressure ring length (22mm). Then, average values between the
sections and between the specimens belonging to the same pressure ring typology were
considered. Table 4 shows the average wear volume for each typology of pressure ring in the four circumferential regions, while Fig.9 Fig10 and Fig.11 show the wear profile comparison
(where r is the internal radius of the measured profile) before and after the pump
operational test, for the three different pressure rings being studied. Measurement uncertainties about wear volumes have been accounted. The wear volume values concerning the Inlet and Outlet-Inlet regions are similar to the measurement
uncertainties, computed by the MPEE index and considering the error propagation. On the
one hand, in the Inlet region the contact force has low intensity leading to small wear
volume values; on the other hand, in the Outlet-Inlet region, high contact forces acts but for
a short sliding length leading to small wear volume values with the same order magnitude
of measured uncertainty. Eventually, the measurement uncertainty analysis provides
reliable and robust results for the Inlet-Outlet and Outlet regions, where high wear volume
occurs. Table 3. Average contact forces between pressure ring internal surface and the vane and sliding distance in the different regions. Region Average Contact Force Sliding distance Transition Inlet-Outlet 1511 N 1365 km Outlet 207 N 4241 km Transition Outlet-Inlet 853 N 704 km Inlet 3 N 3019 km
Table 4. Average values concerning wear volume. Material
Region
Nitriding steel (0.4÷0.6mm) TiN coated (3µm) DLC coated (3µm) Transition Inlet-Outlet 1.140·10 -9 m3 1.109·10 -9 m3 2.5·10 -9 m3 Outlet 5.195·10 -10 m3 2.661·10 -9 m3 4.398·10 -9 m3 Transition Outlet -Inlet 1.474·10 -10 m3 1.956·10 -10 m3 4.481·10 -10 m3 Inlet 2.651·10 -10 m3 8.219·10 -10 m3 8.86·10 -10 m3

49 Figure 9. Internal profile of the steel nitriding pressure ring in reference section L1 before and after the pump operational test.
Figure 10. Profile comparison for TiN coated pressure ring in section L2 before and after the pump operational test.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 37.555 37.556 37.557 37.558 37.559 37.56 37.561 37.562 37.563 37.564 37.565 Angle[deg] r[ m m ] before
after 0 50 100 150 200 250 300 350 400 37.549 37.55 37.551 37.552 37.553 37.554 37.555 37.556 37.557 37.558 37.559 Angle[deg] r[ m m ] before
after 50 Figure 11. Profile comparison for DLC coated pressure ring in section L3 before and after the pump operational test. The sliding distance was obtained for each region by the subdivision of the sliding circumference. The total sliding distance (stotal) is obtained by multiplying the value of
sliding velocity (vsliding) for the test duration of 40 h (ttest) and the number of vanes (nvanes):
0,00589 11 40 3600 9326 total sliding vanes test s v n t km (4) It has to be specified that pump operational tests have been made in full flow condition with a maximum eccentricity between pressure ring and rotor, so in this case the sliding
velocity is different during rotation. However, because of the low value of eccentricity
between pressure ring and rotor axis, equal to 4mm, the assumption of constant sliding
velocity is acceptable. The considered value of sliding average velocity is 5.89 m/s (vsliding),
which is the sliding velocity in zero flow condition without eccentricity. The sliding
distance for each region is calculated and collected in Tab.3. The sliding distance of the
Inlet region is 30.37% of total distance, for Inlet-Outlet Transition it is 14.64%, for the
Outlet region it is 45.48% and for the Outlet-Inlet Transition region it is 7.51%. Finally Vickers hardness tests have been used in order to measure the hardness of the internal profile of the three typologies of pressure ring being tested. The results are
collected in Tab.5. 4. RESULTS
The values of the wear coefficients have been calculated using the above data. The results
are shown in Tab.6, where the lubrication regime for each value is reported, as well. A few 0 50 100 150 200 250 300 350 400 37.544 37.546 37.548 37.55 37.552 37.554 37.556 37.558 37.56 Angle[deg] r[ m m ] before
after 51 comments can be drawn. The pressure ring with DLC coating has the higher values of wear
coefficient for each region of sliding circumference leading to a boundary lubrication
regime. The 41AlCrMo7-10 steel pressure ring has the lower wear coefficient; furthermore,
in the Inlet-Outlet region the wear coefficients assume values correlated to elasto-
hydrodynamic lubrication (EHD) and boundary lubrication. In the Inlet-Outlet region, with
the TiN-coated pressure ring, the elasto-hydrodynamic lubrication regime does not
establish; this evidence can be justified by the high hardness of the surface, which admits
lower deformation than the other coating treatments. The wear coefficient for the vane related to each particular pressure ring has been computed in order to assess the lubrication regime calculated above. The methodology used
is the same described in Section 3. In particular, the wear volume has been experimentally
obtained starting from the wear profile measurement on the vane by the Mitutoyo LEGEX
9106 coordinate measure machine. The material hardness has been obtained by Vickers
hardness tests. The product FN·s, which appears   in   Archard''s   equations   (Eqn.1) has been
calculated as follows: N Inlet Inlet Inl Out Inl Out Outlet Outlet Out Inl Out Inl F s F s F s F s F s (5)
where the total distance (s) has been subdivided into the four regions of sliding
circumference: sInlet is the sliding distance of the inlet region, sInl-Out is sliding distance in the
Inlet-Outlet region and sOutlet, sOut-Inl are the sliding distances of the Outlet and Inlet-Outlet
region, respectively. Thus, each distance referring to a region was multiplied by the relative
average normal contact force acting in each region: FInlet in the Inlet region, FInl-Out in the
Inlet-Outlet region and FOutlet, FOut-Inl in the Outlet and Outlet-Inlet region, respectively. The
wear coefficient of the vane concerning each of the three typologies of pressure ring being
tested are collected in Tab.7. Furthermore, Tab.7 collects the average values of the wear
coefficient for the pressure ring obtained by averaging the wear coefficient referring to each
circumferential region. The wear coefficient concerning the vane indicates that the
lubrication regime in the steel nitriding pressure ring is intermediate between boundary
lubrication and elasto-hydrodynamic lubrication. For the other two typologies, the
lubrication regime nears the boundary lubrication. This results concerning the vane are in
agreement with the results concerning the pressure ring. 5. APPLICATION OF EHD MODELS
Two analytical models based on elasto-hydrodynamic lubrication (EHD) have been used in
order to estimate the minimum lubricant film thickness (h0) established between the vane
and the pressure ring in operational conditions.
Table 5. Hardness concerning the different material types being studied. Material Hardness Steel nitriding pressure ring 1.1÷1.2·10 10 N/m2 TiN coated pressure ring 2.3·10 10 N/m2 DLC coated pressure ring 1.3·10 10 N/m2 High speed steel vane 7.38÷8.4·10 9 N/m2
52 Table 6. Generalized wear coefficients K for pressure ring internal surfaces Material
Region
Nitriding steel (0.4÷0.6mm) TiN coated (3µm) DLC coated (3µm) Transition Inlet-Outlet 6.62·10 -9 (Boundary-EHL) 1.25·10 -8 (Boundary) 2.28·10 -8 (Boundary) Outlet 7.08·10 -9 (Boundary-EHL) 6.93·10 -8 (Boundary) 1.15·10 -7 (Boundary) Transition Outlet -Inlet 3.38·10 -9 (Boundary-EHL) 7.54·10 -9 (Boundary-EHL) 1.97·10 -8 (Boundary) Inlet 3.51·10 -7 (Boundary) 1.77·10 -6 (Boundary) 2.25·10 -6 (Boundary) Table 7. Average of generalized wear coefficients K for the pressure ring internal surfaces and vanes Pressure ring material Average K of pressure ring Average K of vane Nitriding steel 7.15·10 -9 5.76·10 -9 TiN coated pressure ring 3.10·10 -8 1.39·10 -7 DLC coated pressure ring 2.94·10 -8 9.65·10 -9 The minimum film thickness together with the roughness of the surfaces in contact (Ra1 and Ra2) was used for the  estimation  of  λ  parameter [27]:
0 2 2 1 2 a a h R R (6) In the literature, λ   parameter   is   correlated to the typology of EHD lubrication. In particular,   λ values lower than 1 indicate direct contact between surface asperities, so
surface smearing or deformation accompanied by wear may occur. This is the typical
situation of boundary lubrication. Values of  λ  between  1  and  3  indicate   that  a   lubricating  
film separates the surfaces, but some contacts between the surface asperities are allowed.
This type of lubrication is considered in the literature as mixed or partial EHD lubrication.
Finally   when   λ   values   overtake   3,   full   separation   of   the   surfaces   by   EHD   film   can   be  
expected. The roughness of two surfaces has been measured: the roughness of the tip vane
is 0.0001 mm and 0.00011 mm for the inner surface of the pressure ring. Firstly, the minimum film thickness is obtained by the model proposed by Hamrock and Dowson [28,29]. This model is widely used for the extended applicability to multiple
cases. The formulae derived by Hamrock and Dowson can be applied to several kinds of
contact, such as punctual, linear or elliptical. The Hamrock-Dowson''s   relations   can   be  
applied for many different material combinations and till a maximum pressure of 4 GPa.
The Hamrock-Dowson model resumes the simplified Grubin''s model [30] which defines
the film geometry and pressure distribution under the hypotheses of one-dimensional
lubrication (the pressure gradient depends on a single coordinate), cylindrical surface
contact with body of the same material, parallelism between surfaces in the elastically
deformed region (where the film thickness is constant) and Hertzian pressure distribution in
the elastically deformed region. Furthermore, the Hamrock-Dowson model subdivides the
elasto-viscous region into two zones: the first zone, where the film has a constant thickness 53 and the surfaces are parallel; the second zone, near the outlet, where a meatus of fluid
converging-diverging with the resulting peak pressure. The film lubricant pressure
increases in the constant film thickness region till the peak, then decreases in the outlet
region to the ambient pressure. The negative pressure gradient causes a reduction of the oil
viscosity that follows the exponential Barus law; these phenomena cause the reduction of
the film thickness (to guarantee the mass continuity equation) and of the peak pressure in
the outlet region:
0 p p e (7)
where µp is the lubricant viscosity at pressure p and operational temperature, µ0 is the
viscosity at atmospheric pressure and operational temperature and α   is   the   pressure-
viscosity coefficient. The   value   of   α   was taken 0.6, while µ0 was taken equal to 0.02037
Pa·s, accordingly with oil datasheet, considering an operational temperature of 60°C.
The numerically derived formula for the minimum film thickness has the following form:
0.68 0.073 0.49 ' 0.68 0 0 ' ' ' ' '2 3.63 1 0.61 k h u P E e R E R E R (8)
where h0 is the minimum film thickness [m], , u=uA+uB (the subscripts A and B refer to the
velocities of vane and pressure ring, respectively), µ0 is the viscosity at the atmospheric
pressure of the lubricant [Pa·s], E'' is  the  reduced  Young''s modulus [Pa], R''  is the reduced
radius of curvature [m], α is the pressure-viscosity coefficient [m 2/N], P is the contact load [N], k is the ellipticity parameter defined as k=a/b, where a is the semi-axis of the contact
ellipse in the transverse direction [m] and b is the semi-axis in the direction of motion [m].
Parameters E'', R'' and k are related to the Hertzian contact depending on the contact
geometry. In our case, the geometry can be compared to the contact between two parallel
cylinders (Fig.12); hence Hertzian contact parameters E'', R'' assume the following form:
' A B A B R R R R R (9) 1 2 2 ' 1 1 1
2 A B A B E E E (10) where νA is  Poisson''s  ratio  of  the  vane  material, νB is  Poisson''s  ratio of the pressure ring
material, EA and EB are   the   Young''s   modulus   of   vane   material   and   pressure   ring   [Pa]  
respectively, k for this kind of contact is infinite. Therefore, the three non-dimensional
groups of Eqn.9 become: - Non-dimensional speed parameter 11 0 ' ' 2.60 10 u U E R - Non-dimensional materials parameter ' 3896 G E 54 - Non-dimensional load parameter 5 ' '2 6.71 10 P W E R The variation of the non-dimensional parameters causes variation of the EHD film thickness and pressures, as demonstrated in [23, 24, 28, 29]. In particular, load parameter W
is subjected to a variation of three orders of magnitude from the Inlet-Outlet transition
region to the Inlet region, leading to a strong effect on film thickness; the effect of the load
parameter on film pressure distribution and on film thickness is effective and in agreement
with the Hertzian pressure distribution. The increase of the load parameter does not
influence the peak amplitude. The increase of the contact force causes an increase of the
film thickness between the inlet and outlet of the meatus, but it is evident that the minimum
film thickness does not decline significantly with increased load. These remarks have led to
compute the minimum film thickness only in the maximum loaded regions, which are the
transition regions between Inlet and Outlet and between Outlet and Inlet. A second EHD lubrication model, the well known line contact model [30], has been used in order to estimate the minimum film thickness. The line contact formula uses a
similar expression for the estimation of the minimum film thickness with respect to the
Hamrock and Dowson model. The main differences consist in the definition of the non-
dimensional load parameter and in the value of the coefficients of the exponents. This
model considers load parameters W and the minimum film thickness as follows: 0.1 0.69 0.56 * 0 ' 1.93 h U G W R (11) with * ' ' 2 P W E R l (12) where 2l is the contact length (see Fig.11). Figure 13 shows the influence of oil temperature T and tip vane radius RA on the minimum film thickness h0 for the Hamrock-Dowson and line contact model; the response
surfaces of the figure have essentially the same trend and inform of the relevance of the oil
temperature, with respect to the minimum film thickness, in particular at higher values of
tip vane radius. Maintaining constant the vane tip radius, the minimum film thickness
increases if the oil temperature decreases. The values of U, W and G parameters were included in the typical range of the Hamrock and Dowson model, leading to obtain parameter λ  equal  to  1.75.  This  means  that  
a lubrication condition between elasto-hydrodynamic and boundary is stabled as confirmed
by results reported by the methodology described in Sections 3 and 4. Eventually,   the   λ  
value computed by the line contact method is 1.88. It has to be underlined that a constant
oil temperature of 60°C, equal to the oil drainage temperature, has been used for calculation
of  λ.
55 Figure 12. Schematic of the contact model between two cylindrical surfaces (concave and convex). 6. CONCLUDING REMACKS
This paper addresses an industrial research carried out in co-operation with BERARMA s.r.l.
about their PHV series variable displacement vane pumps. A combined numerical-
experimental method has been used in order to identify the lubrication regime which
supports   the   contact   between   vane   and   pressure   ring.   The   method   is   based   on   Archard''s  
wear model. It uses experimental data obtained through a test campaign, and empirical
models for the estimation of the pressure evolution in high-pressure variable displacement
pumps. The results of the combined numerical-experimental method were then compared
with the outcomes obtained from EHD lubrication models in order to evaluate the film
thickness and the lubrication regime. The most important concluding remarks are given
below: -The best performance in terms of wear and friction is given by the 41CrMo7-10 steel pressure ring, which allows the establishment of the partial elasto-hydrodynamic lubrication
in the high load region (Inlet Outlet). -Coated pressure rings (TiN, DLC) guarantee a low friction in dry condition but, in the vane-pressure ring joint, they have shown higher wear volume than the 41CrMo7-10 steel,
due to the different lubrication regime. The higher hardness of the coated pressure rings
caused a wide wear volume on the vanes not acceptable for costumers. The coated pressure
rings suffer a greater wear due to the establishment of boundary lubrication. -The results experienced for the TiN coating pressure ring may be due to the high hardness of the coating and the high roughness of the surface. - The results experienced for the DLC coating pressure ring may be due to the high percentage of graphite and the low cohesion between coating and base material. -The two EHD models used in this research give similar results: a lubrication condition between elasto-hydrodynamic and boundary is established in the sliding contact 56 between vanes and pressure ring, in agreement with the results of the combined numerical-
experimental method. Although these quantitative results concern a particular vane pump, the proposed methodology about the estimation of the lubrication regime in sliding contact has a general
meaning from the qualitative point of view: it can be applied to a large variety of vane
pumps and gives useful guidelines for similar applications. Figure 13. Response surface concerning lubricant temperature, minimum film thickness and vane radius for a) Hamrock-Dowson mode and b) Line contact model 57 Acknowledgements
This work has been developed within the Advanced Mechanics Laboratory (MechLav) of
Ferrara Technopole, realized through the contribution of Regione Emilia-Romagna -
Assessorato Attività Produttive, Sviluppo Economico, Piano telematico '' POR-FESR 2007-
2013, Actività I.1.1. The authors wish to thank Berarma s.r.l. for active co-operation during
the course of this research.
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Universit`a di Parma E-mail: prati@ied.unipr.it Alessandro Tasora Dipartimento di Ingegneria Industriale,
Universit`a di Parma E-mail: tasora@ied.unipr.it Tito Marin Dipartimento di Ingegneria Industriale,
Universit`a di Parma E-mail: marin@ied.unipr.it Sommario. Si presentano i risultati di simulazioni agli elementi finiti relative a tenute radiali a labbro in elastomero. L''obiettivo consiste nel valutare le forze in gioco nel
contato albero-tenuta, in caso statico, per diversi valori dell''interferenza di montaggio e
dell''eccentricit`a dell''albero rispetto alla tenuta. Si discutono le implicazioni dei risultati e l''utilit`a di prove sperimentali mirate a misurare tali forze. Parole chiave: tenute radiali, contatto, elementi finiti 1. INTRODUZIONE
Le tenute a labbro sono un dispositivo ampiamente utilizzato nell''industria in presenza di alberi rotanti. Esistono molteplici varianti di tenute che si differenziano per la geometria, il materiale e il campo di applicazione. Il principio di funzionamento per`o `e sostanzialmente uno e si basa sull''azione di compressione esercitata sulla superficie dell''albero dallo spigolo del labbro [1, 2]. Tale azione mantiene in contatto la tenuta sull''albero e crea le condizioni per cui il lubrificante non fuoriesca dal lato olio e, al contempo, non vi entrino le impurit`a eventualmente presenti nel lato aria. Alla buona riuscita di questi obiettivi, sia in caso di albero perfettamente centrato sia in caso di eventuale eccentricit`a statica o dinamica, contri- buiscono la particolare geometria della tenuta (labbro a sbalzo, angoli della parte a contatto) la presenza della molla, della lamina metallica di rinforzo, di eventuali altri speciali accorgi- menti e infine il materiale impiegato. Quest''ultimo `e in genere di tipo elastomerico e avente un comportamento viscoelastico. 61 L''indagine sperimentale rappresenta un prezioso strumento per valutare le prestazioni delle tenute in termini di affidabilit`a, durata, coppia resistente, condizioni di temperatura e velocit`a di funzionamento, risposta in presenza di eccentricit`a. Ad esempio lo studio della coppia di spunto al variare della pressione nel lato olio `e stato affrontato in [3], mentre in [4] nel caso di tenuta a labbro con disco di supporto. Quando l''attenzione si focalizza sulla lubrificazione all''interfaccia tra l''estremit`a del lab- bro e la superficie dell''albero, `e fondamentale conoscere la distribuzione di pressione che si determina nel contatto. Tale pressione, infatti, rappresenta una delle condizioni al contorno per analisi numeriche del meato. L''effettiva distribuzione della pressione, sia nella direzione circonferenziale che in quella assiale, `e difficile da ottenere sperimentalmente, cos`ı come non `e agevole neppure misurare la sua risultante su tutta la superficie di contatto. Distribuzione di pressione e forza risultante variano poi in funzione delle condizioni di utilizzo (velocit`a, temperatura, pressione dell''olio, eventuale eccentricit`a, stato di usura del labbro, ecc.). Con simulazioni agli elementi finiti (FEM) si pu`o per`o calcolare tale distribuzione di pressione e la sua risultante per determinate condizioni. Nel presente lavoro si affronta questo problema per una specifica guarnizione a labbro per alberi rotanti (dimensioni: 70x110x12 mm, materiale: gomma nitrilica NBR), inoltre si valuta il legame tra la risultante delle pressioni di contatto e la forza necessaria a imporre una determinata eccentricit`a statica. 2. FORZE NEL CONTATTO ALBERO-TENUTA
La rappresentazione 3D del sistema albero-tenuta `e mostrato in Fig.1a. E'' stato anticipato nell''introduzione il concetto di risultante delle pressioni di contatto p all''interfaccia albero- tenuta; se ne fornisce ora la definizione formale. Dato un campo di pressione di contatto p tra labbro e albero, in generale funzione della posizione assiale z e della posizione angolare ', la forza risultante Fp sull''area di contatto Ac `e data da: Fp = Z Ac p(z, ')dA. (1) Questa forza Fp `e originata quindi dall''interazione tra l''albero e la tenuta ed `e sempre maggiore di zero allorch`e vi sia contatto (la pressione p `e infatti sempre positiva dove esiste). Si sottolinea che la Fp `e uno scalare con le dimensioni di una forza (se la superficie di contatto fosse sviluppata in un piano Fp avrebbe come direzione la normale al piano e come verso quello delle pressioni p). Inoltre in Fp non vi `e direttamente il contributo delle componenti tangenziali della tensione di contatto, l''effetto dell''attrito all''interfaccia influenza per`o la distribuzione di p. La dipendenza da z `e dovuta al fatto che la distribuzione della pressione non `e uniforme ma presenta un picco, il quale, per avere un funzionamento corretto della tenuta, `e solitamente spostato verso il lato olio. La dipendenza dalla posizione angolare ' si manifesta quando l''albero `e in posizione eccentrica rispetto alla tenuta. Dati Fp e Ac si pu`o inoltre definire una pressione media di contatto pm = Fp/Ac. Con Fr si indica il modulo della forza radiale a cui corrisponde uno spostamento radiale ur a partire dalla condizione di albero centrato nella tenuta. Questa forza, con una retta di azione e una direzione ben definite, `e data dalla somma vettoriale delle forze di contatto (escludendo le componenti assiali). Infine la Fr a differenza della Fp, contiene direttamente gli effetti della tensione tangenziale all''interfaccia albero-tenuta, come evidente nei risultati 62 Figura 1: a) Rappresentazione 3D del sistema completo albero-tenuta dopo il montaggio con interferenza. Geometria semplificata impiegata nelle simulazioni FEM: b) fase di montaggio, c) fase di spostamento radiale dell''albero. numerici presentati in [5]. Lo spostamento radiale ur `e, un''eccentricit`a statica dell''albero rispetto alla tenuta. E'' evidente che Fr e Fp sono scalari tra loro diversi. La forza Fr `e presente solo quando l''albero si sposta dalla posizione centrata, mentre la forza Fp `e maggiore di 0 anche per eccentricit`a statica nulla e deriva dall''interferenza creatasi nell''installazione della tenuta. Il legame Fr(ur) `e misurabile sperimentalmente in modo semplice mentre quello Fp(ur) non lo `e. Tramite simulazioni numeriche si possono ricavare sia Fp che Fr per diversi valori di
ur e ci`o `e affrontato nel proseguio del lavoro. 3. SIMULAZIONI FEM
L''analisi numerica svolta si basa sull''impiego del metodo degli elementi finiti e del codice commerciale Abaqus. Il sistema albero-tenuta `e stato modellato in 3D applicando una serie di semplificazioni e assunzioni. La metodologia di analisi `e sostanzialmente quella riportata in [5] dove, oltre al confronto tra risultati sperimentali e numerici si `e anche svolta l''analisi dell''influenza di alcuni dei parametri del modello FEM (caratteristiche materiale e attrito), qui si ricordano solo i punti principali. La geometria della tenuta `e stata semplificata rimuo- vendo la parte a contatto con la sede (Fig.1b-c) e sostituendola con vincoli tipo incastro. La forma della sezione `e invece fedele a quella effettiva ad eccezione dell''estremit`a del labbro a contatto con l''albero, la quale `e stata schematizzata con un raccordo avente raggio 0.1 mm. In questo modo si riduce il carico computazione senza discostarsi eccessivamente dalla con- dizione reale. Gli elementi utilizzati sono brick a 8 nodi, il modello di materiale per la tenuta `e iperelastico di tipo Mooney-Rivlin con parametri ricavati da [6] per NBR. La molla `e mo- dellata con elementi shell e usando un materiale elastico fittizio tale per cui la rigidezza in direzione circonferenziale `e pari a quella reale. L''albero, che ha rigidezza ben maggiore della tenuta, `e schematizzato con una superficie rigida indeformabile, come evidente in Fig.1b-c. 63 Figura 2: Esempio di risultati dalle simulazione FEM per il caso I=0.75 mm: a) mappa degli spostamenti a seguito di uno spostamento verticale verso il basso dell''albero pari a ur=0.2 mm; c) dettaglio della mesh nei pressi dell''apice del labbro. Il contatto albero-tenuta `e di tipo coulombiano con coefficiente di attrito f costante pari a 0.15. Il valore non irrisorio rispecchia il fatto che non vi `e lubrificazione all''interfaccia e, come mostrato in [5], tale attrito `e necessario per una buona correlazione con valori speri- mentali. Con questa combinazione di parametri del materiale e del coefficiente di attrito si ottiene una ragionevole correlazione con risultati sperimentali svolti a temperatura ambien- te [5]. La simulazione prevede due momenti principali, nel primo si ha l''installazione della tenuta nell''albero con assenza di eccentricit`a (Fig.1b), nel successivo si ha lo spostamento incrementale dell''albero in direzione radiale verso il basso (Fig.1c). Per facilitare la conver- genza della prima fase, l''albero presenta un tratto conico che si raccorda dolcemente al tratto principale cilindrico. Per ovvie ragioni di simmetria solo met`a del sistema `e effettivamente modellato, nelle figure 1 e 2 la parte mancante `e specchiata per chiarezza. Le simulazioni sono statiche e con nonlinearit`a geometrica attivata per tenere in adeguato conto le grandi deformazioni della tenuta. Lo spostamento radiale massimo ur, nella seconda fase, `e stato assunto pari a 1 mm. Questo valore `e indubbiamente maggiore di quello atteso nelle usuali condizioni di funzio- namento della tenuta, anche in caso di forte eccentricit`a. Ciononostante si `e ritenuto utile indagare uno spettro pi`u ampio per meglio analizzare la riposta del sistema albero-tenuta. In condizioni nominali l''albero ha raggio R = 35 mm e, date le dimensioni della tenuta, si ha un''interferenza I = 0.75 mm (riferita al raggio). Si `e voluto investigare anche l''effet- to dell''interferenza iniziale sul legame Fr(Fp) perci`o sono state simulate condizioni in cui l''albero aveva, nella parte cilindrica, valori del raggio inferiori a quello nominale. Il range di interferenze considerato `e da 0.25 a 0.75 mm con diversi stadi intermedi. 64 Figura 3: Evoluzione della forza Fr in funzione dello spostamento ur per diversi valori dell''interferenza iniziale I albero-tenuta. Figura 4: Distribuzione delle forze di contatto normali alla superficie ai nodi della tenuta. Caso relativo all''interferenza massima I=0.75 mm per diversi spostamenti radiali dell''albero verso il basso: a) ur=0 mm, b) ur=0.25 mm, c) ur=0.5 mm, d) ur=0.75 mm, e) ur=1 mm. 4. RISULTATI E DISCUSSIONE
In questa sezione si riportano e si commentano i risultati principali delle simulazioni effet- tuate. Nei modelli FEM la superficie sul diametro pi`u esterno della tenuta `e vincolata a non muoversi e all''albero `e imposto uno spostamento radiale, perci`o Fr `e ricavata in modo immediato valutando la reazione vincolare in direzione radiale sull''albero stesso. I grafici in Fig.3 mostrano l''andamento della forza Fr in funzione dello spostamento radiale ur per diverse condizioni di interferenza iniziale I. Queste curve sono ricavabili anche sperimen- talmente, come fatto ad esempio in [5], caricando radialmente un disco inserito nella tenuta e misurandone contemporaneamente lo spostamento. Ci`o rappresenta un importante fonte di informazioni per poter tarare il modello numerico. Le curve alle varie interferenze mo- strano andamenti con tratti simili, ci si riferisce in particolare ai cambi di pendenza anche 65 Figura 5: Evoluzione della forza Fp in funzione dello spostamento ur per diversi valori dell''interferenza iniziale I albero-tenuta. Figura 6: Variazione di Fp in funzione di I in assenza di eccentricit`a (ur=0). se questi avvengono in corrispondenza di ur diversi. A partire dalla condizione di albero centrato (ur=0) si osserva un primo tratto piuttosto ripido fino a circa ur=0.05 mm; ad esso contribuisce sensibilimente l''attrito tra il labbro e l''albero [5]. Segue un tratto circa lineare fino al punto in cui l''albero, nel movimento radiale verso il basso, si stacca dalla tenuta nella parte superiore. Tale separazione avviene per valori di ur vicini a quelli dell''interferenza I iniziale che si ha a seguito dell''installazione della tenuta. Da questo punto in poi si nota una diminuzione della pendenza e ancora un andamento quasi lineare. In termini di pressione di contatto si pu`o osservare in Fig.4 come dalla distribuzione as- sialsimmetrica, che si ha in condizione di albero centrato, si passi, all''aumentare di ur, a distribuzioni che presentano un massimo nella parte inferiore e un minimo nella parte su- 66 Figura 7: Area di contatto Ac e pressione media di contatto pm in funzione dello spostamento radiale ur per il caso I=0.75 mm. periore. Questo rispecchia ovviamente l''effetto della posizione eccentrica dell''albero sulla risposta elastica della tenuta. Si noti in Fig.4 che per elevati ur la separazione dell''albero dalla tenuta nella parte superiore `e testimoniata dall''assenza di pressione di contatto. Tornando alla Fig.3 si osserva che per un dato ur le curve sono abbastanza vicine nel primo e secondo tratto mentre sono pi`u separate nel terzo. Nel secondo tratto le curve hanno pendenza simile ma non uguale perci`o non risultano parallele; si osserva che per basse inter- ferenze il sistema `e leggermente pi`u rigido (cio`e pendenza Fr(ur) pi`u elevata) dei casi con elevata I iniziale. Nel terzo tratto invece le curve risultano circa parallele. Da simulazioni effettuate eliminando la molla della tenuta, si ricava che nelle tre zone discusse il contribu- to della molla influisce solo nel secondo e nel terzo mentre nel tratto iniziale `e l''attrito a dominare la risposta. La Fig.5 riporta le curve Fp(ur) per le varie interferenze considerate. Innanzitutto si osserva che per albero centrato (ur=0) la forza Fp cresce in modo proporzionale all''interfe- renza I con una legge blandamente quadratica; sebbene prossima alla linearit`a vi sono per`o gli effetti non lineari dovuti al materiale iperelastico e alla geometria del labbro che subisce spostamenti e rotazioni non trascurabili. La curva Fp(I) in assenza di eccentricit`a statica `e mostrata in Fig.6. Tornando alla Fig.5 e analizzando ora i casi di I maggiori di zero si ve- de come si passi da un valore di Fp pari a circa 8 N nel caso I=0.25 mm a circa 25 N per
I =0.75 mm. All''aumentare di ur si individuano, come discusso in precedenza, tre zone con andamenti distinti. Queste zone sono inoltre in corrispondenza degli stessi ur registrati per
Fr, perci`o sono governate dai medesimi fenomeni. Ad eccezione della prima zona, dove Fp cresce con ur, si osserva che Fp `e abbastanza costante nelle condizioni dove la tenuta `e in contatto sull''albero lungo tutta la circonferenza. Questo conferma una della caratteristiche richieste a questo tipo di organi, cio`e di essere in grado di mantenere la continuit`a del contatto albero-tenuta anche in condizioni di forte eccentricit`a e di farlo senza alterare eccessivamen- te Fp. Il fatto che Fp sia circa costante non implica per`o che anche la pressione locale lo sia, come evidente in Fig.4 la quale fornisce indicazioni circa la variazione, in funzione della posizione angolare, delle azioni di contatto. Ci si deve attendere per`o, come gi`a anticipato, 67 Figura 8: Evoluzione di Fp in funzione di Fr per diversi valori dell''interferenza iniziale I albero-tenuta. anche una variazione assiale la quale dipende da ur. Dopo che la tenuta si `e separata dal- l''albero a causa dell''elevato ur (rispetto a I), si nota un incremento di Fp, nella figura ci`o `e particolarmente evidente per basse interferenze I. E'' interessante valutare come l''area di contatto Ac sia influenzata dall''entit`a dello spo- stamento radiale, questo `e proposto in Fig.7 per il caso I=0.75 mm. Il contatto si sviluppa su un''area di circa 10 mm2 in assenza di eccentricit`a, tale valore cresce di circa 1 mm2 per
ur maggiore di 0.2 mm e poi, quando la tenuta si stacca dalla parte superiore dell''albero, ridiscende a valori prossimi a quello iniziale. La pressione di contatto media pm, anch''essa mostrata in Fig.7, vale circa 2.5 MPa per ur=0 e raggiunge un picco di massimo pari a 2.7 MPa per ur=1 mm. Nel tratto centrale del grafico pm non si discosta eccessivamente dal valore iniziale, solo per elevati ur torna a crescere. Dai grafici nelle figure 3 e 5 `e possibile ottenere la relazione Fp(Fr) per i diversi valori dell''interferenza I come riportato in Fig.8. Le curve assomigliano parzialmente a quelle di Fig.5 ma lo scostamento deriva dalla non linearit`a del legame Fr(ur). La forza Fp non varia in modo sempre monotono con Fr, cos`ı come non lo faceva in Fig.5 con ur, perci`o la stima di Fp da misurazioni di Fr o ur `e possibile solo entro certi limiti che dipendono anche dall''interferenza I. Solo per bassissime interferenze la pendenza della curva Fp(Fr) (o Fp(ur)) `e sempre positiva e quindi esiste un legame univoco tra Fp e Fr (o ur). Per il caso di interferenza nominale della tenuta commerciale in oggetto (I=0.75 mm) tale stima `e possibile, secondo questo modello FEM, fino ad un''eccentricit`a statica di circa 0.2 mm, la quale rappresenta per altro un valore ormai prossimo a quello comunemente tollerato per questo tipo di dispositivi. 5. CONCLUSIONI
In questo lavoro sono stati presentati i risultati di analisi agli elementi finiti su tenute radiali a labbro in caso statico e senza lubrificazione. La risultante della pressione di contatto al- l''interfaccia tra albero e tenuta Fp `e stata correlata al modulo della risultante Fr delle forze di contatto agenti nel piano ortogonale all''asse dell''albero. Entrambe sono state esaminate 68 per diverse condizioni di eccentricit`a, ossia ur, e di interferenza iniziale I. La forza Fr `e fortemente influenzata da ur mentre Fp lo `e in modo molto meno marcato. L''interferenza iniziale I invece ha un effetto su entrambe le forze ma in particolare su Fp. All''aumentare di ur si hanno variazioni anche nella distribuzione della pressione e nell''area effettiva in cui albero e labbro della tenuta sono in contatto. Sperimentalmente il legame Fr(ur) pu`o essere determinato senza particolare difficiolt`a, mentre quello Fp(ur) `e indubbiamente pi`u complesso. Se fosse possibile calibrare un mo- dello FEM della tenuta tale per cui la risposta Fr(ur) `e colta con accuratezza allora ci`o consentirebbe di ottenere una correlazione univoca tra i valori dell''interferenza I e dell''ec- centricit`a statica ur con la forza Fp (ma anche, ad esempio, con la pressione media pm). Questo permetterebbe quindi di stimare indirettamente Fp tramite semplici test sperimentali coadiuvati da simulazioni FEM. Con i parametri usati nel modello FEM presentato in questo lavoro si `e per`o visto che solo entro certi intervalli tale correlazione `e veramente univoca. BIBLIOGRAFIA
[1] Flitney, R. K., 2007. ''Seals and sealing handbook (5th ed.)'. Elsevier Science.
[2] Horve, L. A., 1996. ''Shaft seals for dynamic applications'. CRC Press.
[3] Silvestri, M., Prati, E., Tasora, A., and Marin, T., 2010. ''Frictional behaviour of radial lip seals on varying exerted pressure'. In Proceedings of the NordTrib Conference - Lulea (Sweden). [4] Silvestri, M., Prati, E., Tasora, A., and Marin, T., 2010. ''Elastomeric seals behavior with oil pres- sure and lip support'. In Proceedings of the 16th ISC International Sealing Conference - Stuttgart
(Germany). [5] Prati, E., Tasora, A., and Marin, T., 2011. ''Influence of the temperature on the radial load in elastomeric seals'. In Atti del XX Congresso AIMETA - Bologna. [6] Stakenborg, M. J. L., and van Leeuwen, H. J., 1990. ''Visco-elastohydrodinamic (VEHD) lubrica- tion in radial lip seals: Part 1 - steady state dynamic viscoelastic seal behavior'. ASME Journal of
Tribology, 112, pp. 578''583. 69 70 LA RICOSTRUZIONE DELLA BALISTA 1 DI VITRUVIO2





Pier Gabriele Molari
Università di Bologna
E-mail: piergabriele.molari@unibo.it

Mirko Maraldi
Università di Bologna
E-mail: mirko.maraldi@unibo.it

Guido Angelini,
Stefano Bignami,
Giacomo Lionello
Università di Bologna


Riassunto. Viene riportato il lavoro svolto durante le esercitazioni del primo anno
dell''insegnamento Laboratorio di storia dell''ingegneria meccanica, tenuto presso la
Facoltà di Ingegneria dell''Università di Bologna.
La descrizione della balista di Vitruvio offre un esempio di progettazione modulare basato
sul valore del diametro degli elementi elastici. La lettura critica del testo a noi pervenuto
porta ad esaminare i disegni del Valturio, quelli di Fra Giocondo e le conclusioni del
Barbaro, anche in relazione alle macchine scolpite sulla colonna Traiana.
La funzione che interpola i dati di Vitruvio garantisce che macchine di diversa taglia,
sollecitate nello stesso modo, a parità di alzo, abbiano la stessa gittata e quindi che il
proietto abbia uguale velocità iniziale. Si trova anche che la palla da lanciare può essere
usata come calibro per i fori per i quali passa la matassa elastica.
Si tenta una argomentata ricostruzione della macchina, basandosi su calcoli, prove sui
materiali e disegni.
La struttura della macchina viene confrontata con quella di recenti ricostruzioni
rintracciate in rete ed in letteratura.
Si passa quindi allo ''studio', al disegno del complessivo e ai disegni costruttivi.
In attesa della costruzione reale ' si simulano le prove di lancio.
Parole chiave: balista, Vitruvio, armi romane

1 Per la macchina qui descritta, il vocabolo balista viene preferito ai vocaboli balestra e
catapulta perché si ritiene che balestra sia più proprio delle armi che abbiano come
elemento elastico appunto una molla a balestra, mentre si lascia il termine catapulta alla
macchina che trasforma una energia potenziale dovuta alla posizione di una massa in
energia cinetica del proietto. 2 dalle esercitazioni dell''insegnamento ''Laboratorio di Storia dell''Ingegneria Meccanica'
tenuto da P.G. Molari nell'' a.a. 2010-2011 71 1. LA DESCRIZIONE DELLA MACCHINA DI VITRUVIO COME ESEMPIO DI
PROGETTAZIONE A MODULO E LETTURA CRITICA DEL TESTO A NOI
PERVENUTO.
La lettura della traduzione del capitolo X del testo De Architectura di Vitruvio (80-23 a.C.)
[1] dalla trascrizione, (databile 1390) ritrovata da Poggio Bracciolini nella biblioteca del
Monastero di Cassino nel 1414, offre l''occasione per mettere a fuoco come il concetto di
modulo possa essere efficace nella costruzione di una macchina [2]. Si scopre che Vitruvio identifica quale elemento cardine per il dimensionamento della balista il diametro dell''elemento elastico e come questo diametro venga definito in
relazione alla massa del proietto da lanciare. Si ha così modo di paragonare il modulo
impiegato in architettura, definito come il raggio di base della colonna del tempio, ed
impiegato soprattutto all''interno di canoni estetici [3], con il modulo di questa costruzione
''meccanica' nella quale questo elemento riveste un ruolo essenziale per assicurare la
resistenza strutturale e coprire con il proietto la distanza voluta. E'' bello notare come Vitruvio, quasi scusandosi di usare per una macchina una sorta di concetto sacro, giustifichi l''uso del modulo con la necessità di riprendere dai greci le
dimensioni classiche [4] [5] ma, soprattutto, di allestire la macchina in tempi brevi, dato
che serve per le guerre (e ovviamente queste non vengono programmate per tempo). Per comodità si riporta la traduzione in italiano del testo latino [1]:
IX. La Balista 1.Ho spiegato il sistema di funzionamento della catapulta illustrando le parti che la compongono e specificando le loro proporzioni. Per quanto riguarda le baliste ve ne sono
di vari e differenti tipi, pur mirando tutte a un unico scopo. Alcune infatti vengono caricate
mediante un sistema di leve e verricelli, altre per mezzo di carrucole, altre ancora per
mezzo di argani e talune tramite un sistema a tamburo. Tutte comunque vengono costruite
secondo determinate dimensioni che sono calcolate in rapporto al peso del proiettile da
scagliare. Non tutti sono in grado di fare questi calcoli, ma solo chi possiede buone
cognizioni di geometria e di matematica. 2. Infatti i fori praticati nella traversa per dove vengono tese le funi (realizzate con capelli di donna o in budello ritorto) vanno calcolati in base al peso del sasso da lanciare.
Ed è in ragione del carico che vengono fissate le proporzioni, come nella catapulta dove
esse sono determinate dalla lunghezza della freccia. Ora affinché in caso di guerra
incombente il problema del calcolo non costituisca un ostacolo per chi non possiede
cognizioni di geometria, presenterò uno schema di massima desunto in parte dalla mia
esperienza personale, in parte da quanto mi hanno insegnato i miei maestri. Fornirò
inoltre un quadro del rapporto esistente tra peso e unità di misura all''interno del sistema
greco e la relativa corrispondenza col nostro sistema. 3. Quindi una balista che debba scagliare un sasso di due libbre avrà nella traversa un foro di cinque pollici; se di quattro libbre il foro sarà di sei pollici; <se di sei libbre>, sette
pollici; dieci libbre otto pollici; venti libbre, dieci pollici; quaranta libbre, dodici pollici e
tre quarti; sessanta libbre, tredici pollici e un ottavo; ottanta libbre, quindici pollici;
centoventi libbre, un piede e un pollice e mezzo; centosessanta libbre, un piede e un quarto;
centottanta libbre, un piede e cinque pollici; duecento libbre, un piede e sei pollici;
duecentoquaranta libbre, un piede e sette pollici; trecentosessanta libbre un piede e mezzo. 4. Stabilita la grandezza del foro si disegnerà un piccolo scudo romboidale detto in greco 'ερι'ρε'οζ con una lunghezza pari al diametro di due fori e tre quarti e una larghezza di due e mezzo. Tale figura deve essere poi divisa per metà e i suoi bordi esterni 72 devono essere ristretti in modo da ottenere una figura obliqua il cui rapporto tra lunghezza
e larghezza sia di sei a quattro. Là dove c'è la curvatura e dove convergono i vertici degli
angoli, bisognerà orientare l'asse dei fori con una riduzione della larghezza interna pari ad
un sesto del totale. L'apertura avrà quindi una forma ellittica proporzionata allo spessore
del cavicchio di tensione e di allentamento (epizygis). Completata la figura si rifiniranno i
bordi esterni tutt''attorno così da ottenerne una curvatura uniforme. 5. Lo spessore dello scudo deve essere pari al diametro di un foro. La lunghezza dei piccoli cilindri sarà pari a due moduli mentre la larghezza sarà di uno e cinque dodicesimi
e lo spessore, esclusa la parte inserita nel foro, sarà pari a tre quarti di modulo. La
larghezza del bordo esterno sarà di un mezzo modulo. I montanti laterali saranno lunghi
cinque moduli e tre sedicesimi, l' incavatura sarà di un mezzo modulo, con uno spessore di
undici diciottesimi. Si aumenti inoltre la lunghezza media di una misura pari a quella
fissata per l''incavatura, e infine avremo una fascia di lunghezza e spessore pari a un
quinto di modulo e di altezza pari ad un quarto. 6. La lunghezza dei regoli sulla tavola sarà di otto moduli mentre larghezza e spessore saranno di mezzo modulo . I cardini misureranno due moduli in lunghezza e avranno uno
spessore di un quarto di modulo. La curvatura dei regoli sarà di tre quarti di modulo. Il
regolo esterno avrà uguali larghezza e spessore, mentre la lunghezza sarà ricavata in
funzione dell'angolo di curvatura e della lunghezza del montante alla curvatura. I regoli
superiori avranno le stesse dimensioni di quelli inferiori mentre le traverse della tavola
saranno pari a un quarto di modulo. 7. L''asta della scaletta avrà una lunghezza di diciannove moduli e il suo spessore sarà di un quarto di modulo. Lo spazio intermedio avrà un modulo e un quarto in larghezza e
uno e un ottavo in profondità. La parte anteriore della scaletta che è vicina ai bracci e
unita alla tavola sarà divisa per tutta la sua lunghezza in cinque parti. Due di esse saranno
destinate a quell'elemento che i Greci chiamano chlhn; la sua larghezza è di un modulo e
tre sedicesimi, lo spessore di un quarto di modulo e la lunghezza di undici e mezzo. La
proiezione dei bracci (chelae) deve essere di un mezzo modulo, lo spessore dell''ala di un
quarto. La parte che va dai bracci all''asse detta frons transversarius sarà di tre moduli. 8. La larghezza dei regoli interni deve essere di cinque sedicesimi e il loro spessore di tre sedicesimi. Il telaio o copertura della chele è incastrato a coda di rondine nel fusto
della scaletta ed ha una larghezza di un quarto e lo spessore di un dodicesimo di modulo.
Lo spessore del telaio quadrato che è vicino alla scaletta sarà all''estremità pari a un
quarto di modulo. Il diametro dell''asse rotondo deve essere uguale a quello della chele ma
là dove sono i cardini misurerà sette sedicesimi. 9. La lunghezza dei supporti sarà di tre moduli e un quarto, la larghezza nella parte inferiore sarà di mezzo modulo e lo spessore nella parte superiore di tre sedicesimi. La
base principale detta chlhn in greco, misurerà otto moduli in lunghezza, la contro base
anteriore quattro, mentre avranno entrambi uno spessore e una larghezza pari a un
modulo. A mezza altezza vanno saldamente fissate le colonne ciascuna con uno spessore e
una larghezza pari a mezzo modulo. La loro altezza invece non sarà determinata in base a
queste proporzioni ma varierà secondo esigenze pratiche. La lunghezza del braccio deve
essere di sei moduli, lo spessore alla base di cinque ottavi mentre all''estremità sarà di tre
ottavi. 10. Ho così presentato il sistema di proporzioni più pratico per le baliste e per le catapulte. Non tralascerò comunque di spiegare, nei limiti consentiti da una trattazione
scritta, il modo di regolare questi congegni attraverso la tensione delle funi di budello
ritorto o di capelli. . . . 73 XII Allestimento di catapulte e baliste Si prendano due travi di legno molto lunghe e vi si fissino degli anelli dove andranno incastrati i naspi. Nella parte centrale saranno praticati degli intacchi e degli incastri,
entro cui andranno collocate le travi trasversali della catapulta ben incuneate in maniera
da evitare che durante le operazioni di tensione e regolazione delle corde possano
muoversi. Si fissino quindi in queste traverse dei piccoli tamburi di bronzo dove verranno
infilate delle biette di ferro che i Greci chiamano! epizngidez.. Si inseriscano poi i capi delle funi facendoli passare per i fori delle traverse e uscire dall''altro lato per riunirli e avvolgerli attorno ai naspi. Così quando le funi verranno
messe in tensione tramite i verricelli azionati dalle leve, al tocco della mano emetteranno
da ambo le parti un identico suono. Le funi vengano infine bloccate dentro i fori per mezzo
di cunei a evitare che si allentino. Anche dall''altro lato si procederà con la stessa
operazione di farle passare attraverso i fori e di tenderle per mezzo dei naspi e delle leve
fino ad ottenere un identico suono. Ecco come, serrando le funi per mezzo di cunei e
facendo una verifica acustica, si regolano con precisione le catapulte. Questo è quanto
sono in grado di dire su tale argomento. Mi resta ora da parlare delle macchine d''assedio
cioè di quegli ordigni che consentono ai comandanti militare di conquistare la vittoria o di
difendere le città. Figura1. La balista di Vitruvio secondo Fra Giocondo (M. Vitruvius per Iocundum solito castigatior factus, cum figuri set tabula ut iam legi et intelligi possit, 1511, Venezia [6]). 74 2. I DISEGNI DI FRA GIOCONDO, LE CONCLUSIONI DEL BARBARO.
CONFRONTI CON I DISEGNI DI VALTURIO E CON LE IMMAGINI SULLA
COLONNA TRAIANA
Si è riportata la trascrizione per accentuare come il manoscritto sia stato ritrovato privo
delle tavole di corredo alla descrizione a parole. Nel Corso si è cercato di immedesimarsi
nello spirito dei dotti del rinascimento che, affascinati dalla riscoperta dei testi greci e latini,
cercavano di ricostruire queste macchine ormai andate in disuso. Non ci si deve stupire, quindi, se le migliori menti di allora si siano cimentate nella ricostruzione delle tavole mancanti e che varie edizioni del testo di Vitruvio si siano
succedute nel tempo anche con varie vulgate [6] [7]. Nella bella edizione del 1567 [8]
Daniele Barbaro scriveva sulla impossibilità di disegnare la macchina nella forma nota a
Vitruvio, ma metteva in evidenza la grande utilità del concetto di modulo nel
dimensionamento delle macchine per poter mettere in relazione la forma con la causa e,
nella forma, fissare i rapporti fondamentali:
Qui bisogno è bene che Iddio ci aiuti, percioche né la scittura di Vitr, né disegno d''alcuno, né forma antica si trova di queste macchine; io dico al modo da Vitr. descritto; et
lo ingegnarsi è pericoloso, imperoche molto bene discorrendo si potrebbe fare alcuno di
quelli strumenti, per tirare sassi, o saette, ma che fussero a punto come Vitr. ci descrive,
sarebbe cosa grande, oltra che le ragioni de i medesimi strumenti col tempo dopo Vitr. si
sono mutati, perche la prova, et l''uso nelle cose della guerra, come in molte altre fa mutar
le forme degli strumenti, et a nostri giorni quelle macchine sono del tutto poste in disuso,
però io credo che io sarò degno di escusatione, se io non entrerò in fantasia di esponer
quelle cose, che per la difficoltà loro, anzi per la impossibilità sono tali, che hanno fatto
levare da questa impresa huomini di piu alto ingegno, et di maggiore esperienza che non
ho io. ''.' però dalla natura del peso si dà la proporzione della grandezza a tutte le parti dello instrumento: dunque il modulo, che nelle fabriche si piglia sarà considerato anco nella
parte delle macchine, et pero la simmetria, et l''ordine si richiede anco in questa parte, et
similmente la disposizione, il decoro, et la bellezza dello aspetto, et l''altre cose poste da
Vitr. nel Primo libro. Dalla lunghezza dunque della saetta, o dal peso della pietra con
ragione si deve pigliar la misura di queste macchine, come anco da peso della palla si
forma il pezzo, si dà la caratura, et si tempra l''artigliaria de nostri tempi, perche è
necessario, che ci sia proporzione tra quello, che muove, et la cosa, che è mossa, la dove
chiaramente si prova, che né una pagliuzza, né uno smisurato peso può esser da un''huomo
senz''altro instrumento tirato, perche in quello c''è il meno, in questo il piu senza
proporzione tra il movente, et la cosa, che è mossa: perche la saetta, et la pietra deve esser
accomodata ad alcuna parte, però se gli fa il suo letto, et il suo canale: et perche la fine, il
nervo, ò altro, che spigne la saetta deve esser con ragione steso et tirato, et annodato a
qualche cosa, et quella similmente ad altra parte, che la costringa, et quella ferma esser
deve, et unita con altre parti ad un''effetto, acciò se le convegna la diffinitione della
macchina, però ci nasce la necessità di tutte le parti de tali strumenti come sono i traversi,
le erte, le chiavette, le tavole, i perni, i cardini, i canali, i regoli, o naspi, le leve, le
orecchie, le braccia, i capitelli, i fori, le bocchette, et altre cose che Vitr. dice, le misure
delle quali in esso per il tempo, et per la negligentia di molti sono andate, benche la
ragione, et il perche di esse ci resti pigliandosi il tutto dalla ragione della Leva, et della
Bilancia. [8, pagg.473-474] 75 Figura 2. La balista di Valturio [9] De Re Militari - manoscritto (22 es. codice D, f. 139 v.) 1450 circa
La novità della macchina, che tanto ha turbato i dotti del 1400, consiste nell''impiego di un elemento elastico sollecitato globalmente a torsione.
[10] riporta una macchina per lanciare
una matassa elastica così sollecitata. Senza considerare i testi greci, q
riferimento temporalmente più vicino a Vitruvio
fatto che Valturio non potesse avere le competenze necessarie
militare e che possa aver
(n.30, m.103 circa d.C) andato perduto. Il legame diretto con i evidenza anche nell''introduzione al
Sigismondo Malatesti di Rimini chiamandolo
romano, ruolo e titolo che Sigismondo cercava
Costantinopoli. I dotti di allora non sembra fossero a conoscenza che sulla colonna Traiana fossero scolpite alcune baliste. Nelle Figg. 4 e 5 si possono notare il telaio, la traversa e i due
elementi elastici racchiu
servivano per chiudere le forze assiali di tiro, per mantenere lubrificati gli elementi elastici
(capelli di donna e budelli ritorti) e per proteggerli dall''umidità e dai roditori. La balista di Valturio [9] manoscritto (22 es. codice D, f. 139 v.) 1450 circa. Figura 3. Dal De Re Militari Valturio, Edizione a stampa 1472 [ simile a f. 158 r. codice B La novità della macchina, che tanto ha turbato i dotti del 1400, consiste nell''impiego di un elemento elastico sollecitato globalmente a torsione. Solo Valturio nel De Re Militari riporta una macchina per lanciare frecce dall''alto di una torre Figg. 2,3 così sollecitata. Senza considerare i testi greci, questo può essere il oralmente più vicino a Vitruvio. Un dubbio fondato infatti consiste nel potesse avere le competenze necessarie per scrivere un libro di arte possa aver ripreso, essendo archivista a Roma, un vecchio libro di Frontino (n.30, m.103 circa d.C) andato perduto. l legame diretto con i romana stratagemata e le immagini di Valturio viene messo in nell''introduzione al De Re Militari, dove l''Autore dedica il manoscritto a Sigismondo Malatesti di Rimini chiamandolo Imperator, con riferimento all'' titolo che Sigismondo cercava disperatamente di riportare in occidente da I dotti di allora non sembra fossero a conoscenza che sulla colonna Traiana fossero scolpite alcune baliste. Nelle Figg. 4 e 5 si possono notare il telaio, la traversa e i due
elementi elastici racchiusi in astucci cilindrici, verosimilmente in metallo, che quindi
servivano per chiudere le forze assiali di tiro, per mantenere lubrificati gli elementi elastici
(capelli di donna e budelli ritorti) e per proteggerli dall''umidità e dai roditori. De Re Militari di Valturio, Edizione a stampa 1472 [10] simile a f. 158 r. codice B. La novità della macchina, che tanto ha turbato i dotti del 1400, consiste nell''impiego di De Re Militari [9] e dall''alto di una torre Figg. 2,3 che impiega uesto può essere il Un dubbio fondato infatti consiste nel per scrivere un libro di arte ripreso, essendo archivista a Roma, un vecchio libro di Frontino ni di Valturio viene messo in manoscritto a ll''imperatore di riportare in occidente da I dotti di allora non sembra fossero a conoscenza che sulla colonna Traiana fossero scolpite alcune baliste. Nelle Figg. 4 e 5 si possono notare il telaio, la traversa e i due si in astucci cilindrici, verosimilmente in metallo, che quindi servivano per chiudere le forze assiali di tiro, per mantenere lubrificati gli elementi elastici 76 Anche reperti archeologici, provenienti da Hatra, confermano la forma di alcuni elementi della macchina [11]. Molto interessante è la ricostruzione della leggera e potente
balista di Erone riportata in [11]. Nel presente lavoro si fa tuttavia riferimento alla
descrizione di Vitruvio. Figura 4. Una balista in postazione fissa (colonna Traiana, LXVI, 166). Figura 5. Una balista durante il trasporto (colonna Traiana, LXVI, 164). 77 3. UNA ARGOMENTATA RICOSTRUZIONE, ILLUSTRATA CON CALCOLI,
PROVE SUI MATERIALI, CONFRONTI E DISEGNI.
Si ritrovano le unità di lunghezza e di peso impiegate a Roma nel periodo di Cesare:
1 pollice = 18,5 mm; 1 libbra = 0,322 kg, e tenendo conto che 1 piede = 4 palmi = 16
pollici, si riportano e si convertono i dati di Vitruvio nelle attuali unità di misura:
Massa lb Massa kg Diam. Pollici Diam. mm 2 0,644 5 92,5 4 1,289 6 111 6 1,933 7 129,5 10 3.222 8 148 20 6.444 10 185 40 12,888 12,75 235,9 60 19,333 13,125 242,8 80 25,778 15 277,5 120 38,666 17,5 323,8 160 51,555 20 370 180 58,000 21 388,5 200 64,444 22 407 240 77,333 23 425,5 360 115,999 24 444 Figura 6. Grafico con i valori definiti da Vitruvio; in ascisse la massa m da lanciare in kg, in ordinate il modulo D in mm. 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0 20 40 60 80 100 120 140 78 I valori di Vitruvio in pollici e libbre possono essere interpolati con la funzione 3: " # 3,6 ' '') * (1) funzione che, per i valori nelle nostre unità di misura (mm e kg), diventa: " # 96 ' '') * (1-bis) Questa relazione garantisce che macchine di diversa taglia, sollecitate nello stesso
modo, abbiano la stessa gittata, dato che impone che il proietto abbia uguale velocità
iniziale.
Infatti uguagliando l''energia cinetica del proietto a quella di torsione delle matasse, con
l''ipotesi che tutta e solo l''energia delle matasse si trasferisca alla massa da lanciare, detta ,- la coppia di torsione, .- il momento torcente che agisce sulle due parti di ogni matassa, / l''angolo di torsione, 0- la rigidezza di ogni parte della singola matassa, " il modulo elastico tangenziale apparente, #$ la sollecitazione media, dato che, Fig. 7, % & 3.5 * +, e che ,- & .-/2 , si ottiene: 1
2 3 4$2 & 4 1
2 ,-6 & 2 789 8 (2) con ;- & !"", 1 #/2 , +$% ,- & !"#$, +&% e quindi 34$2 ' % ()
(* (3) porta a 3 ' +& ovvero + ' ''3 H (4)
Entrando più specificatamente nella scelta progettuale, occorre esaminare cosa capita ai
singoli fili che compongono la matassa. Per questi fili occorre valutare la loro deformabilità
per calcolare, sia l''energia che possono accumulare, sia il carico massimo che i fili più
esterni possono sopportare. Trascurando gli attriti e la strizione della matassa si considera che i fili si dispongono Figura 7. Lo schema della matassa elastica.
3 La funzione (1) riportata in [4] è + & 1,1 * ''3 * 100 H ottenuta interpolando i dati di Erone (+ era misurato in dattili e 3 in mine). Per esempio + & 14 dattili per lanciare un proietto di 3 & 20 mine (1 dattilo=19,3 mm ; 1 mina = 0,436 kg) 79 Figura 8. Un filo di una matassa ad un raggio generico . , sviluppato su di un piano
secondo eliche avvolte su cilindri. In Fig 8 si riporta lo sviluppo su piano delle singole
eliche esterne partendo dalla situazione indeformata con filo disposto secondo una
generatrice del cilindro.
Per una rotazione generica / della matassa, ad un raggio generico ., si ha che la lunghezza della fibra della semimatassa, inizialmente pari ad / 3 # 4/2 , diventa: / # 0/3 8 1 " R6%2 (5) e quindi 3 & 04596" 78%9945 45 (6) i fili presentano una tensione # & :3, considerando che ; sia l''area del singolo filo e considerando anche il filo
simmetrico, si ottiene una forza circonferenziale: < & 2#; * =>'@ & 2:; 04596"78%9 945 45 * A8 04596"78%9 (7) da cui: < & 2 BC 45 * D 1 E 45 04596"78%9 F * .6 & 4 BC # * G 1 E # H#96$"78%9 I * .6 (8)
Questa forza produce una coppia, Fig. 7, pari a: .- & 4 BC # * G 1 E # H#96$"78%9 I * .26 (9) ed una energia: J"., 6% & $
2 BC # * G 1 E # H#96$"78%9 I * .262 (10)
Per sommare i contributi degli K L 2 * M * .N/O (11) fili che sono disposti su KP-QR-S & TKU" (9(592V ''&*V 1 1% (12) strati, si definisce il raggio .N & (56V 2 1 V''& 2 W (13) 80 Figura 9. Disposizione dei fili nella matassa. del generico strato W e si estende la somma a tutti gli strati variando W da W & 0 ad W & KP-QR-S E 1 (14) dato che i fili si accostano fra loro, come in Fig. 9, con passo radiale Z & V*''& 2 (15) su di un''anima centrale pensata di diametro +$ L +/3 . ,-"/% # '' 2 * M * $BC V*# * G 1 E # H#96$"7\8%9 I * .N&6 N]" ^_8`a8b91% N]$ (16) Considerando entrambe le matasse si calcola così una energia: Jcdc"6% & '' 8M * BC V*# * G 1 E # H#96$"7\8%9 I * .N&62 N]" ^_8`a8b91% N]$ (17) Il numero totale dei fili sarà: Kcdc & '' 2 * M * Af V N]"^_8`a8b91% N]$ (18)
Con una prova a trazione sul filo, si può determinare il modulo elastico e il carico al limite elastico e quindi si può dimensionare la matassa con fili diversi da quelli di capelli di
donna e di budelli ritorti del tempo di Vitruvio. Sono stati considerati alcuni fili di materiale polimerico usati nelle macchine tagliaerba e nelle racchette da tennis Fig.10. ' Filo-1 - (sez. circolare, diametro 2.45 mm) rosso ' Filo-2 - (sez. circolare, diametro 2.45 mm) verde ' Filo-3 - (sez. circolare, diametro 3.00 mm) giallo
Il filo può essere fatto lavorare in campo elastico lineare, fra una tensione di precarico pari a 20 Mpa e ad una massima di 90 MPa, rispettivamente con una dilatazione 3 dell''
1,5% e del 6,8 %.
81 Figura 10. Caratteristiche meccaniche di alcuni fili di materiale polimerico. Prove sperimentali 4 Con i dati sopra elencati si può calcolare il modulo elastico per il filo di tipo 2 Fig. 10 (avente O # 2,45 33). : & ''h ''i & j$92$ "k,l91,m%% L 1320 ,op (19) Dopo queste prove si può passare alla scelta delle dimensioni. Fissata la gittata, che per questo tipo di macchine viene valutata sui 180 m, Fig. 11, si sceglie di lanciare una massa
di 0.644 kg alla quale corrisponde un diametro della matassa di 92,5 mm con 1121 fili per
il tipo di filo scelto, considerando un''anima centrale di 30 mm di diametro. L''altezza della
matassa, senza considerare i due spessori delle traverse nei quali si suppone che la matassa
sia tanto compressa che ne venga impedita la rotazione, si calcola in % & 3.5 * + & 324 33. Per realizzare una gittata di 180 m lanciando un proietto con una certa velocità iniziale su di una pista di lancio inclinata di 45° sull''orizzontale, trascurando la resistenza dell''aria,
integrando le equazioni del moto di un punto materiale dato che q & r59 s & 180 3 (20) si ottiene 4$ & 42 3/ sec & 151 w3/% , e quindi occorre fornire alla nostra palla una
energia di: 1
2 3 4$2 & 0.644 * $29 2 & 568 joule. (21) 4 Si ringrazia l''ing. Piero Morelli per le prove sui fili 82 Figura 11. Le gittate delle varie armi [R-1]: per la balista 180 m. Sapendo il valore dell''energia che deve essere fornita, considerando un assegnato allungamento sulla fibra esterna per garantire un certo valore del precarico al quale
corrisponde un angolo /xQyz (angolo del quale deve ruotare il manubrio esterno,
mantenendo i braccetti in posizione di riscontro con il montante esterno), si può
determinare l''angolo al quale si deve portare il braccetto prima del lancio (partendo sempre
dalla posizione di riscontro dei braccetti). Conosciuto il limite elastico del materiale, si può
anche determinare il valore massimo dell''angolo al quale si possono portare i braccetti
senza portare a rottura i fili esterni della matassa (sempre partendo dalla posizione di
riscontro dei braccetti). Considerando quindi un allungamento del filo esterno in condizioni di precarico pari ad { # 1,5 % , con la (6) si calcola: 1,5% & 0"1k2%96" $k,&*8|`}~%991k2 1k2 e quindi 6xQyz L 0,63 'pO ' 36°.
Calcolando la differenza fra l''energia per -l''angolo di precarico sommato all''angolo di
lancio- e -l''angolo di precarico- e ponendo questa energia uguale a quella necessaria per il
lancio già calcolata in (21): Jcdc"6xQyz 1 6'RNzS'% E Jcdc"6xQyz% & 568 '>'/' , risolvendo numericamente per l''incognita 6'RNzS' , si ottiene: 6'RNzS' L 0,71 'pO ' L 41°. I fili più esterni rimangono in campo elastico lineare fino a { L 6,8 % , quindi ancora
con la (6), partendo dalla posizione di riferimento dei braccetti, si calcola l''angolo massimo
rispetto alla posizione di riscontro dei braccetti : 67Cà L 0,73 'pO ' L 42° . Quindi la nostra balista, per le caratteristiche dei fili scelti, lavora, su di una gittata di
180 m, strettamente entro i limiti di progetto definiti.
La massa da lanciare di 0,644 kg si ottiene con una sfera di materiale lapideo 5 avente un diametro di circa 92,5 mm, cioè ancora con il valore del modulo. In questo calcolo si scopre
così che, senza chiedersi come si potessero estrarre allora le radici cubiche [4], la palla può
essere il calibro del foro in cui va alloggiata la matassa, infatti esplicitando la massa in
funzione del volume, convertendo nelle opportune unità di misura, dalla "1-bis) si ritrova la
stessa legge cubica che lega la massa al modulo tramite la densità ρ ' 2,16 kg/dm&, infatti D ' 96 0ρ $
& '( í 9 )& : da cui ρ ' &>l>@A) jk:>î>$ ' 2,16 kg/dm& (22) 5 La palla di pietra può essere sostituita da una sfera di alluminio, dato che l''alluminio ha
circa la stessa densità della pietra. 83 4. CONFRONTI CON ALTRE
Su rete si trovano alcuni disegni e alcune ricostruzioni della balista, alcune di notevoli
dimensioni Figg. 12, 13, 14

Figura CONFRONTI CON ALTRE RECENTI RICOSTRUZIONI Su rete si trovano alcuni disegni e alcune ricostruzioni della balista, alcune di notevoli , 14. ura 12. Disegni di ricostruzioni di baliste [R-2] [5] Su rete si trovano alcuni disegni e alcune ricostruzioni della balista, alcune di notevol 84 Figura 13. Disegni e prototipi di baliste in ordine [R-3 - R-6].

In [4] viene descritto un progetto comune (1971-72) fra le facoltà di Lettere e di Ingegneria dell''Università di Reading per la ricostruzione di una balista. Nella Fig. 13 l''immagine in alto a destra si riferisce alla balista di Erone, molto leggera e con ampia rotazione dei braccetti [11].
Questi braccetti vengono armati ruotandoli in senso orario (rispetto alla posizione del
lanciatore) quello di destra ed in senso antiorario quello di sinistra a differenza delle altre
macchine nelle quali i versi di rotazione si scambiano. Sembra quindi spontaneo riferirsi
per la balista di Vitruvio ad una evoluzione dell''arco, mentre per quella di Erone alla
evoluzione della fionda ad elastico. 85
Figura 14. Altri prototipi di baliste [R-7][R-8] Figura 15. Lo schema di riferimento [4]. 5. IL PROGETTO
Dopo aver preso in considerazione vari sistemi Figg. 12, 13, 14, averne analizzato pregi e
difetti, facendo riferimento a pezzi dell''epoca recentemente rinvenuti e agli schemi riportati
nelle Figg. 14, 15, si fissano le caratteristiche fondamentali riprendendole sostanzialmente
da [4], soprattutto per quanto riguarda la struttura portante. Si variano solo alcuni rapporti,
dato che la figura si riferisce ad una macchina per il lancio di frecce e non di palle di pietra.
Particolare attenzione viene posta alla chiusura delle forze che sollecitano la matassa,
mantenendo tuttavia sfalsati i montanti per permettere un''ampia rotazione delle leve.
Durante il progetto si cerca di rendere essenziali i particolari, così si discutono altre
soluzioni e si fa anche riferimento a particolari di alcune macchine esposte nei musei della
civiltà contadina Fig. 17, pensando che in alcuni strumenti agricoli si siano usati gli stessi
accorgimenti usati nelle armi, dato che dovevano essere già ben collaudati. 86 Dopo aver analizzato altre soluzioni costruttive Figg. 18, 19, si progetta un particolare sistema di precarico con un manubrio esterno che si inserisce in spezzoni di tubo impiegati
per contenere la matassa elastica e si progetta un particolare sistema di protezione con
ritegno mediante nottolini Fig. 20. Il blocco del sistema di precarico è ottenuto, come nella
descrizione di Vitruvio, utilizzando la differenza di passo angolare fra i fori di
alloggiamento di una spina di ritegno, realizzati nei due elementi di ancoraggio.
Figura 16. Il sistema di ritegno e posizionamento della matassa [4].
Figura 17. Particolari da vecchi carri agricoli. 87 Figura 18. La matassa, il quadro per il precarico e il nottolino di arresto in un prototipo [R-9]. Figura 19. Particolare per lo sgancio, Ist. Tecnico Ind.le ''E. Fermi', Lucca [R-10].


La slitta viene armata tramite un argano. L''interposizione di una taglia multipla rende particolarmente agevole l''operazione di ricaricamento. La slitta viene protetta mediante un
sistema automatico di ritegno realizzato sempre con nottolini. Il sistema di sgancio viene
definito dopo aver discusso soluzioni, note come quelle riportate nelle Fig. 13, 19. Viene infine progettato un telaio di sostegno con regolazione dell''alzo Fig. 21 e fissaggio a terra della macchina Fig. 23 con l''impiego di zavorra, facendo riferimento ai
disegni di Taccola [12] e di Francesco di Giorgio [13] [14]. Nelle Figure 20-26 si riportano schemi, particolari costruttivi e disegni della macchina.
88 Figura 20. La balista in vista assonometrica.




Figura 21. La balista con il telaio di sostegno. 89




Figura 22. Il particolare con lo sgancio e il particolare con per il fissaggio e l''arresto della matassa. 90
Figura 23. Come precaricare la matassa mediante un manubrio, dopo aver sostenuto adeguatamente la macchina. 91
Figura 24. Alcune immagini del progetto. 92 Figura 25. Un esploso della macchina. Figura 26. Alcune tavole con i disegni costruttivi di particolari.
In attesa di poter costruire un prototipo, è stato realizzato un breve filmato con la
simulazione del lancio. Il filmato è consultabile in rete all''indirizzo (2-2-2012):
http://www.youtube.com/watch'v=PH1bdoiLNdo ; http://vimeo.com/34914581 . 93 6. CONCLUSIONI
La ricostruzione della balista di Vitruvio si è dimostrata una piacevole esperienza che ha
molto coinvolto gli studenti frequentanti il Corso. Il lavoro ha permesso di riflettere sul
concetto di modulo, di legare la lettura dei testi originali con il progetto e la costruzione. Il
progetto ha richiesto di immedesimarsi nella tecnologia e nella realtà dell''epoca, avendo
ben sempre presente il parallelo dell''ingegno pensiero e dell''ingegno oggetto/macchina,
cioè dell''ingegneria. Il presente lavoro ha portato anche a riflettere, pensando ai nostri progettisti di macchine automatiche che frequentano con profitto le esposizioni di macchine agricole alla
continua ricerca di soluzioni semplici e poco costose, come ci si possa anche rivolgere,
forse in modo più piacevole, indietro nel tempo .. dicendo con Plutarco temprava lo spirito
leggendo i classici. BIBLIOGRAFIA
[1] Marco Vitruvio Pollione, 1990, De Architectura - Libri X , trad. L. Migotto, Ed. Studio Tesi, Pordenone. [2] Guzzomi A. L., Maraldi M., Molari P.G., 2012, A historical review of the modulus concept and its relevance to mechanical engineering design today, Mechanism and Machine Theory, 50 (2012)
1''14. [3] G. Barozzi da Vignola, 1562, Regola delli cinque ordini d'architettura di Iacomo Barozzio da Vignola, in: P. Cattaneo, G. Barozzi da Vignola (Eds.), Trattati, Ed. Il Polifilo, Milano, 1985. [4] Landels J.C., 1878, Engineering in the ancient world, University of California Press, Berkeley & Los Angeles, cap 5 - Catapults.. [5] Soedel W., Foley V., 1979, Ancient Catapults, Scientific American, March. [6] M.P. Vitruvius, 1511, De Architectura, Venetiis Ioannis de Tridino alias Tacuino 1511, http://penelope.unichicago.edu/Thayer/E/hom.html. [7] M.Vitruvio, 1521, Di Lucio Vitruvio Pollione De architectura libri dece traducti de latino in vulgare affigurati: commentati: & con mirando ordine insigniti: per il quale facilmente potrai
trouare la multitudine de li abstrusi & reconditi vocabuli a li soi loci & in epsa tabula con summo
studio expositi & enucleati ad immensa utilitate de ciascuno studioso & benivolo di epsa opera.
Trad. Cesare Cesariano, Ed. Gottardo da Ponte, impressa nel amoena ... citate de Como : per
magistro Gotardo da Ponte citadino milanese, 1521. 15. mensis Iulii. [8] M. Vitruvio, 1567, I dieci libri dell''architettura di M. Vitruvio -Tradotti & commentati da Mons. Daniel Barbaro eletto Patriarca d''Aquileia, da lui riveduti & ampliati; & hora in piu commoda
forma ridotti., Venezia, Ed. Francesco de'' Franceschi senese, 1567, Facsimile Bardi ed., Roma,
2006. [9] Valturio Roberto, 1472, De re militari / Roberto Valturio (Contiene, in ripr. facs. digitale: A, De re militari. Verona, Giovanni di Nicolò, 1472. Biblioteca civica di Verona, inc. 1084; B, De re
militari. Verona, Giovanni di Nicolò, 1472. Biblioteca civica Gambalunga, Rimini, 4.S.IV.11; C,
De re militari, trad. it. di Paolo Ramusio. Verona, Bonini, 1483. Biblioteca civica di Verona, inc.
1020; D, De re militari. Biblioteca Apostolica Vaticana, ms. Urb. lat. 281, 1462), Ed. Guaraldi
Rimini ; Y press, Milano, 2006. (N.B. In questa edizione manca il manoscritto, ora conservato alla
Ambrosiana di Milano, bellissimo per le illustrazioni, che Sigismondo inviò in dono a Maometto II
e che fu intercettato durante il viaggio dai Veneziani). [10] Valturio Roberto, 1485, DE RE MILITARI libris XII .. anno 1485 .. Parisiis, Christianum Wechelum, 1535. 94 [11] Russo Flavio, Russo Ferruccio, 2011, Piccola, potente e maneggevole, Archeo, n 311, gennaio. [12] Mariano Taccola, '', De Ingeneis 2 voll., facsimile,. Reichert Verlag, Wiesbaden 1984. [13] Francesco di Giorgio, '', Trattati di architettura ingegneria e arte militare voll.2, Ed Polifilo, Milano, 1967. [14] Francesco di Giorgio, '', Il codice Ashburnham 361 della Biblioteca Laurenziana di Firenze con frammento della Biblioteca municipale di Reggio Emilia, Ed fac-simile Giunti Barbèra, 1979/1994. Riferimenti di rete (3-2-2012) per alcune figure [R-1] Fig. 11
http://4.bp.blogspot.com/_umhSvWEgx2c/TKX9udi9zEI/AAAAAAAAGro/NhOALQXKtak/s1600/1 174261134.jpg
[R-2] Fig. 12 in alto
http://it.wikipedia.org/wiki/File:Ballista_%28PSF%29.png

[R-3] Fig. 13, immagine in alto a sinistra
http://www.megghy.com/ciurma/Immagini/balista.jpg

[R-4] Fig. 13, immagine in alto a destra
http://members.multimania.nl/onager/cheiroballista.html

[R-5] Fig. 13, immagine in basso a sinistra
http://olivieromurru.blogspot.com/2011/01/balista-rcs-scuola-fi2010.html

[R-6] Fig. 13, immagine in basso a destra
http://www.icastelli.org/principi/armi/baliste/baliste.htm

[R-7] Fig.14, immagine a sinistra:
http://www.carpenteroakandwoodland.com/media/42769/ballista-5.jpg

[R-8] Fig.14, a destra:
http://www.siege-engine.com/MistaBallista.shtml

[R-9] Fig.18
http://wattsunique.com/blog/wp-content/uploads/balista211.jpg

[R-10] Fig.19
http://www.provincia.lucca.it/istruzione/collezioni_didattiche_scuola_collezione.php'id=83

Altri riferimenti di rete http://www.roma-victrix.com/armamentarium/img/tormenta_balista.htm http://www.roma-victrix.com/armamentarium/tormenta_balistapal.htm 95 96 UNA METODOLOGIA INNOVATIVA DI
PROGETTAZIONE  INTEGRATA  PER  L''ANALISI  E  LA  
CARATTERIZZAZIONE DELLA SENSITIVITÁ DELLE
PERFORMANCE


Angelo Oreste Andrisano
Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Civile,
Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia, Italia
E-mail: angelooreste.andrisano@unimore.it

Matteo Ansaloni
Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Civile,
Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia, Italia
E-mail: matteo.ansaloni@unimore.it

Francesco Gherardini
Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Civile,
Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia, Italia
E-mail: francesco.gherardini@unimore.it

Francesco Leali
Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Civile,
Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia, Italia
E-mail: francesco.leali@unimore.it

Marcello Pellicciari
Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Civile,
Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia, Italia
E-mail: marcello.pellicciari@unimore.it

Fabio Pini
Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Civile,
Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia, Italia
E-mail: fabio.pini@unimore.it

Alberto Vergnano
Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Civile,
Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia, Italia
E-mail: alberto.vergnano@unimore.it


Abstract. Il presente lavoro è volto  all''analisi  e  alla  caratterizzazione  della  sensitività  delle  
performance dei processi tecnologici. Le tradizionali tecniche di Robust Design utilizzate
per   l''analisi   e   l''ottimizzazione   di   processi   e   prodotti   non   sono   mirate   all''analisi   della  
sensitività, pertanto un nuovo approccio è proposto. Il metodo presentato integra, ed 97 estende ai processi tecnologici, la teoria della distribuzione della sensitività delle
performance  (PSD),  originariamente  proposta  nell''ambito  dell''analisi  dei  meccanismi,  in  
particolare  nell''analisi  dei  manipolatori.
Questo nuovo approccio, nominato PSD specializzato, parte dalla definizione del problema
della sensitività delle performance definendo i parametri chiave, ovvero le Variabili di
Progetto (DVs), i Parametri di Progetto (DPs) e le Funzioni di Performance (PF). In
accordo con la teoria PSD la sensitività delle PF è espressa in termini delle deviazioni dei
DVs e DPs, ed è geometricamente descritta da un iperellissoide nello spazio delle
deviazioni. Indici di sensitività sono successivamente introdotti per valutare la sensitività
delle funzioni di performance rispetto ai valori nominali dei DVs e DPs. Mediante    l''analisi  
di regressione si ottiene una descrizione matematica delle PF, così che l''approccio PSD
risulti applicabile   nell''analisi dei processi manifatturieri. Un caso di stampaggio ad
iniezione di un provino è riportato per la validazione del metodo proposto. Questo lavoro propone una specializzazione della teoria PSD per l''analisi  di  processi  di
produzione, estendendo il suo campo originario di applicazione grazie ad un nuovo
approccio nell'espressione analitica delle FP. Il metodo proposto può essere facilmente
inserito  all''interno  di  un  processo  di  progettazione integrata, utile per la caratterizzazione
delle performance,specialmente nelle prime fasi di sviluppo di prodotti e processi.

Keywords: Analisi di Sensitività, Metodi di Progettazione Integrata, Stampaggio ad
iniezione.
1. INTRODUZIONE
I sistemi meccanici e i processi tecnologici sono comunemente descritti attraverso
parametri progettuali che determinano, con i loro valori e le loro deviazioni, le performance
finali o la qualità del processo o prodotto [1, 2]. A causa della complessità dei processi
ingegneristici non è sempre possibile, o economicamente conveniente, poter controllare e
verificare tutti i parametri di processo. In  quest''ottica  le  Key Characteristics (KC) devono
essere identificate e indagate [3-4]. La gestione e l''analisi delle KC ha bisogno di metodi di
progettazione integrata che possano portate ad una gestione globale delle KCs [5, 6]. I metodi di Robust Design sono ampiamente adottati per individuare le relazioni analitiche tra prestazioni finali e le KC, permettendo di indagare i valori nominali che
consentono di ottenere prestazioni ottimizzate. Esempi ben noti sono i metodi Taguchi,
Response Surface Method, le reti neurali, i metodi Fuzzy Regression e i metodi Desirability
Function [7, 8]. Tali metodi sono prestazionali per essere utilizzati in un approccio integrato
di progettazione, ma non sono direttamente focalizzati sulla sensitività delle prestazioni,
ovvero la misura della variazione delle prestazioni causata dalla deviazione delle KC. La robustezza di un sistema aumenta quando la sua sensitività diminuisce: in quest''ottica, l'analisi di sensitività è particolarmente importante in caso di valori di
prestazione risultino vicini ai limiti di specificazione. Tali limiti possono essere facilmente
superati da variazioni causate da piccole deviazioni dei parametri in condizioni operative e i
requisiti di progettazione possono non risultare soddisfatti [9-11]. Data la sua importanza
nella determinazione della qualità finale, l''analisi di sensitività dovrebbe essere inclusa nel
workflow tipico del processo integrato di progettazione. Il presente lavoro propone l'integrazione e l'estensione della teoria PSD, originariamente proposto da [8], al fine di caratterizzare la sensitività delle prestazioni dei
processi tecnologici, quali, ad esempio, lo stampaggio ad iniezione. 98 La tradizionale analisi di sensitività delle prestazioni di un processo tecnologico viene effettuata attraverso la differenziazione delle singole funzioni di performance che
modellizzano il processo. Questo metodo non permette di definire la sensitività globale
delle performance di un processo, inoltre non permette di stabilire dei limiti alle variazioni
dei parametri di processo che consentano di rispettare i vincoli imposti sulla variabilità
delle performance. Sviluppata nel campo della robotica, per valutare la sensitività dei meccanismi articolati rispetto alla loro variabilità dimensionale [16], la teoria PSD si mostra
promettente per una sua ulteriore applicazione  all''analisi  della  sensitività  delle  prestazioni  
dei processi manifatturieri, permettendo di risolvere i problemi sopra descritti [17-20]. Il workflow del metodo specializzato è mostrato in Fig. (1). Inizialmente è proposta una descrizione del problema di sensibilità; successivamente attraverso   l''analisi di
regressione vengono ricavate le funzioni di performance del processo che vengono
successivamente  utilizzate  per  la  conduzione  dell''analisi  di  sensitività. Figura 1. Workflow del metodo specializzato
99 Figura 2. Iperellissoide nello spazio delle variazioni (n=3).
Il presente lavoro è strutturato in 4 sezioni: nella sottosezione 1.1 vengono descritti i fondamenti della teoria PSD e il suo successivo sviluppo; la sezione 2 delinea il tipico
problema  di  sensitività  presentato  e  la  successiva  specializzazione  della  teoria  per  l''analisi  
di processi tecnologici;. la  sezione  3  presenta  l''applicazione  della  teoria  ad  un  caso  pratico  
di stampaggio ad iniezione di un provino e, infine, nella sezione 4 sono presentate le
conclusioni. 1.1 Evoluzione della Teoria PSD

Originariamente il concetto di sensitività è nato come descrizione delle variazioni di un
sistema meccanico in funzione delle tolleranze di produzione considerate come variabili
interne. Parkinson ha analizzato il problema di determinare le dimensioni nominali ottime per i componenti di un assieme meccanico soggetti a tolleranze dimensionali. In [9] è proposta
un''ottimizzazione   deterministica   che   permette   di   calcolare   le   dimensioni   nominali   dei  
componenti  di  un  assieme  che  minimizzano  l''effetto  deviatorio  delle  tolleranze.  Il  processo  
poteva anche essere utilizzato in direzione inversa per calcolare il set ottimale di tolleranze
date  le  specifiche  funzionali  sull''assieme. Zhu e Ting hanno introdotto la teoria PSD della distribuzione della sensitività delle performance che permette la descrizione geometrico-analitica della sensitività nello spazio
delle variazioni, ovvero lo spazio descritto dalle variazioni dei parametri di processo,
attraverso un iperellissoide [8]. In Fig.(2) è rappresentata la conica uno spazio delle variazioni tridimensionale. La forma, l''orientamento  e  le  dimensioni  della  conica  vengono  descritte  da  opportuni  indici  di  
sensitività che dipendono dai valori nominali dei parametri di progetto. Inoltre, in [8] è
descritto il concetto di Design Characteristic Matrix. Caro et al. applicano la teoria PSD per lo sviluppo di un metodo di sintesi delle tolleranze per meccanismi. In [21] è presentato un esempio di ottimizzazione del volume
interno del Tolerance Box. Nello stesso contributo vengono analizzati diversi indici di
sensitività e vengono comparati attraverso opportuni casi applicativi. Gli autori propongono
anche   l''utilizzo,   come   indice   di   sensitività,   del   massimo   valore   singolare   della  
Characteristic Matrix. Gli autori presentano due esempi di sintesi delle tolleranze per
meccanismi. 100 Lu e Li integrano   l''approccio   PSD   e lo utilizzano nella progettazione di sistemi dinamici robusti rispetto alla variazione di parametri interni. Inoltre propongono un metodo
di  progettazione  basato  sull''allocazione degli autovalori della Characteristic Matrix [17]. In un lavoro più recente, gli stessi autori considerano la progettazione di sistemi dinamici in cui il modello del sistema presenti elementi di incertezza o di variabilità.
L''approccio   proposto   prevede   due   diversi   step   di   ottimizzazione.   Il   primo   mira alla
minimizzazione degli effetti legati alle incertezze sul modello, attraverso metodi della
perturbazione di matrici applicati alla Characteristic Matrix. Il secondo minimizza  l''effetto
della variazione dei parametri. Infine diversi casi di studio sono presentati. Seguendo  l''approccio  PSD,  Al-Widyan e Angeles descrivono la relazione tra parametri ambientali e performance del sistema [16]. Essi si focalizzano in particolare sulla natura
stocastica di tali parametri e propongono un framework basato sulla formulazione
probabilistica della Characteristic Matrix per descrivere le performance come variabili
aleatorie normalmente distribuite. Si evidenzia infine come il metodo PSD viene
specializzato per considerare sistemi caratterizzati da forti non linearità [19, 20]. Dall''analisi   della   letteratura   appare   come   la   teoria   PSD   e   le   sue   varianti   siano   state   applicate   all''analisi   e   alla   caratterizzazione   della   sensitività   dei   meccanismi.   Al   fine   di  
estendere tale teoria alla caratterizzazione dei processi è necessario trovare una descrizione
analitica  delle  funzioni  di  performance,  specializzando  la  teoria  proposta  da  [8].  L''analisi di
regressione fornisce tali strumenti e permette di integrare il metodo rendendolo adatto alla
caratterizzazione della sensitività dei processi manifatturieri. Seguendo questo approccio è
possibile determinare e caratterizzare la sensitività globale delle performance di un
processo. 2. SPECIALIZZAZIONE DEL METODO PSD Questa sezione fornisce la descrizione analitica necessaria a specializzare la teoria PSD per
effettuare l'analisi di sensitività delle performance di processi tecnologici. Nella
sottosezione 2.1 è delineato il problema di sensitività, nel quale si distingue tra variabili di
progetto (DVs), parametri di progetto (DP) e funzioni di performance (FP).
Successivamente viene presentata la descrizione geometrica dello sensitività e nella
sottosezione 2.2 alcuni criteri topologici, basati sul concetto di iperellissoide, vengono
proposti per   eseguire   la   caratterizzazione   e   l''analisi di sensitività. Nella sottosezione 2.3
viene presentato la specializzazione del modello e il modello di regressione che si propone
di descrivere la relazione tra FP e DVS in un generico processo tecnologico. 2.1 Descrizione del Problema di Sensitività

Nell''analisi di sensitività è possibile distinguere tra fattori che possono essere controllati
durante il processo (DVs) e fattori di disturbo per il processo (DPs), che generalmente
vengono considerati come influenze esterne ma che non possono essere controllati dal
progettista. I DVs e DPs possono essere rispettivamente inseriti in un vettore n-
dimensionale q = [q , ' , q ] e in un vettore l-dimensionale p = [p , ' , p ] . Analogamente le funzioni di performance possono essere inserite in un vettore m-
dimensionale f' = [f , ' , f ] . La relazione funzionale tra le PFs e i DPs e DVs è f' = f'(q, p). 101 La variazione delle PF causata dalla variazione dei DVs e DPs può essere approssimata dall''espansione  lineare:
' = J  J   dq     dp   = J  dx (1) Nella Formula (1), J rappresenta la matrice '' per (' + '') Jacobiana del sistema calcolato per un insieme preciso di valori per i DVs e DPs, cioè, nello specifico, i loro valori nominali.
Tale matrice è composta da due parti: ''' = 𝝏'' 𝝏'' ' è la sottomatrice  '' per '' dei DVs e ''' = 𝝏'' 𝝏'' ' è la matrice '' per ' dei DPs. In questo modo la matrice J descrive matematicamente la sensitività del sistema e contiene le variazioni dei DVs ( dq ) e dei DPs ( dp ). Inoltre è necessario sottolineare come la linearizzazione sia valida sotto determinate condizioni legate alla variazione dei parametri che deve essere contenuta entro il 3%÷5% del
loro valore nominale [9]. Lo spazio descritto dai vettori dei DVs e DPs è detto Spazio delle
variazioni. In accordo con la letteratura scientifica, per una prima analisi è possibile
trascurare i valori dei DPs in quanto generalmente associati a parametri che non vengono
presi in considerazione nella progettazione delle performance finali, nella quale ci si
concentra sui valori dei DVs. Un tipico esempio di DP per il processo di stampaggio ad
iniezione  è  rappresentato  dall''umidità  esterna  [21].   La norma del vettore '' permette di definire dei vincoli alla variazione delle performance in accordo con gli obiettivi del progetto: ''''' = [J  dX  ] [J  dX] = '' '' (2)
All''interno   dell''equazione   (2)   vengono   legate   le   variazioni   dovute   alle   singole   componenti del vettore delle performance alle tolleranze sui DVs. Detta A la Characteristic
Design Matrix, A = J J, l''equazione  (2)  diventa: ''''' = [  dX  ] A[dX] (2.1) Attraverso le Equazioni (2) e (2.1) è possibile osservare come la matrice A sia semidefinita positiva, pertanto esistono n autovalori non negativi e n autovettori
ortonormali. Il numero di autovalori positivi è pari al rango della matrice A. Gli autovettori
di A definiscono forma, dimensione e orientamento di un iperellissoide entro una famiglia
dipendente dal valore scalare '' ''' . Le lunghezze dei semiassi sono inversamente proporzionali ai valori degli autovalori di A. In questo modo le performance sono meno
sensibili nella direzione dell''autovalore   più   grande   e   meno   sensibili   nella   direzione  
dell''autovalore   più  piccolo;;  inoltre, quando alcuni degli autovalori assumono valori nulli,
l''iperellissoide degenera in un cilindroide. L''analisi  di  sensitività  nasce  dalla  valutazione  di  diversi  insiemi  di  valori  per  i  DVs, detti anche   Design   Candidates.   Questa   valutazione   impone   l''imposizione   di   vincoli   sulle  
performance, ad esempio definendo delle tolleranze sulle lunghezze, attraverso i quali poter
scegliere un iperellissoide dalla famiglia. Questi vincoli devono essere imposti sulla base dei
requisiti di progetto. Detta ''' la singola tolleranza sulle performance, i vincoli globali sulle tolleranze sono espressi dalla relazione '''''' ' '' '''' = '' (3) 102 Attraverso   l''equazione   (3) è possibile individuare una regione di spazio interna all''iperelissoide,  detta  Feasible  Space,  i  cui  punti  rappresentano le variazioni concesse ai DVs
che permettono di ottenere il rispetto delle tolleranze sulle deviazioni delle performance. In
altri  termini  è   possibile  definire   il  Feasible   Space   come   quella   regione   di  spazio  all''interno  
della quale le deviazioni delle performance globali del processo sono accettabili. Quando uno degli autovalori è nullo, e il Feasible Space è descritto da un cilindroide, allora una direzione diventa non limitata. In letteratura, e.g. [8], si ricorre ad una ridefinizione
degli autovalori, che porta il cilindroide a diventare un elissoide modificato, in modo da poter
eseguire  l''analisi  di  sensitività.   L''algoritmo presentato (4) è tale per cui la direzione degli assi, per i quali si hanno autovalori nulli, rimanga invariata. λ = max λ , ''  '' '' (4) In (4), λ rappresenta  l''i-esimo autovalore della Characteristic Design Matrix, la quantità ''q'' = '' q è la norma del vettore dei DVs e k è il coefficiente che viene scelto tra [0,03÷0,05] per  soddisfare  i  requisiti  di  linearità  dell''equazione (1). 2.2 Criteri  Topologici  per  l''analisi  di  Sensitività L''iperelissoide   precedentemente   definito   permette   la   costruzione   di   criteri   topologici   per  
effettuare  l''analisi  di  sensitività.  In  Fig.( 3) è rappresentato un caso applicativo in cui n=2:
l''area   rettangolare   contenuta   all''interno   dell''ellisse   rappresenta   il   Feasible   Space,   mentre  
l''ulteriore  area  che  è  possibile  individuare  all''interno  dello  stesso  rappresenta  il  Tolerance  
Box che definisce le variazioni concesse ai parametri che permettono il rispetto delle
tolleranze sulle performance.
Figura 3. Esempio di Feasible Space e Tolerance Box (n=2) [21].
103 La robustezza del sistema è massimizzata quando la sua sensibilità è ridotta al minimo, cioè quando il volume del Feasible Space risulta massimo e il Tolerance Box può coprire la
maggior parte possibile del Feasible Space, senza superare i limiti imposti dall'ellisse. I valori
che   cadono   all''esterno   dell''ellisse   rappresentano   deviazioni   che   causano una degradazione
delle performance finali maggiore delle tolleranze consentite alle stesse. Dalla geometria del
problema  si  vede  come  l''orientazione,  dipendente  dagli  autovalori  della  matrice   A, oltre che
il volume, contribuiscano al valore del rapporto tra il volume del Tolerance Box e il volume
dell''iperellissoide.   2.3 Specializzazione PSD Gli  indici  di  sensitività,  il  cui  scopo  è   valutare   la   forma   e   l''orientazione   dell''iperellissoide,
permettono di caratterizzare la sensitività delle performance del processo attraverso una loro
valutazione per diversi Design Candidates. Presentati in ordine di importanza gli indici sono: - Minimo valore per il massimo autovalore della matrice A (λ ); - Massimo volume del Feasible Space (V ); - Minimo valore del rapporto tra il volume del Feasible Space e il volume del Tolerance
Box (β ).
' importante osservare come la complessità del problema non porti necessariamente un preciso Design Candidate ad assumere contemporaneamente tutti i valori minimi o massimi
degli indici. Si rivela spesso necessario operare delle scelte: differenti esempi di trade-off
sono presentati in letteratura. Per applicare la teoria PSD per la caratterizzazione dei processi industriali, un modello analitico del processo deve essere definito al fine di ottenere il vettore delle PF. Tale modello
non può essere descritto da una relazione puramente lineare. Attraverso   l''analisi di
regressione è poi possibile specializzare la teoria PSD all''analisi di sensitività dei processi. In
particolare, le PF per un processo possono essere matematicamente modellate da un modello
quadratico costituito da un polinomio del secondo ordine:

 f (q) = α + β q + q Q q i=1,..,m (5)
dove gli scalari α , il vettore β e la matrice Q rappresentano i coefficienti di regressione. L''ordine   del   modello   comporta   un   numero   di ( 10 '' m) coefficienti, 10 per ciascuna PF. In accordo  con  l''equazione  (5)  è  possibile  ottenere  la  seguente  espressione  per  lo  Jacobiano  del  
processo:

   J (q) = β + 2Q q (6) Da cui:
J(q) = [  J ,  J , ' ,  J ] (7) La Design Characteristic Matrix può essere calcolata per ciascun DV, successivamente gli indici di sensitività possono essere calcolati per caratterizzare la
sensitività. 104 3. CARATTERIZZAZIONE DI UN PROCESSO DI STAMPAGGIO AD INIEZIONE
La presente sezione affronta l'analisi di sensitività di un processo di stampaggio ad iniezione
di un provino rettangolare di plastica. L'obiettivo è la selezione dei Design Candidates che
riducono al minimo la sensitività delle performance del processo, simulato attraverso il
software di simulazione CAE Moldex3D di CoreTech System Co. Ltd. Il provino rettangolare misura 60x30mm e ha uno spessore di 3mm. Il materiale è polifenilsulfone (PPSU), un polimero termoplastico ad alte prestazioni utilizzato
principalmente per applicazioni nei settori automotive e biomedicale [22]. Seguendo la
definizione del problema presentata in 2.2 i DVs sono: la temperatura dello stampo (MoT, q ),
la temperatura di fusione (MeT,  q ) e il tempo di impaccamento (Pat,  q ) che sono inseriti nel
vettore q '' ' .Ciascun parametro appartiene ad un range specifico, come riportato in Tabella
1. Le FP sono rappresentate dallo Shrinkage (f ) e dalla Flatness (f ),, che costituiscono il vettore f' '' ' . I valori dello Shrinkage vengono forniti direttamente dalla simulazione CAE,
mentre la planarità viene calcolata considerando lo spostamento di alcuni punti di misura
rispetto alla loro posizione iniziale [23]. I dati necessari per costruire il modello quadratico
sono ottenuti attraverso metodi di Design of Experiments, specificatamente un piano definito
Circumscribed Central Composite Design , Fig.(4). La Tab. (3) mostra i valori di performance dati dal processo di simulazione CAE. L'analisi di regressione è quindi eseguita
per definire la FP per il processo di stampaggio ad iniezione. Tabella 1. Range di variazione specifica per i DV. 105 Figura 4. Punti simulati.
Tabella 2. Coefficienti del modello di regressione 106 Tabella 3. Risultati della simulazione Attraverso i risultati delle simulazioni è possibile calcolare le superfici di risposta per le performance del processo a differenti temperature per lo Shrinkage (da Figura 4a a 4d) e per
la Flatness (da 5a a 5d).

Figura 4(a). Shrinkage RS per MeT of 340,0°C. 107 Figura 4(b). Shrinkage RS per MeT of 333,4 °C.
Figura 4(c). Shrinkage RS per MeT of 327,0 °C.
Figura 4(d). Shrinkage RS per MeT of 320,0 °C. 108 Figura 5(a). Flatness RS per MeT of 340,0°C.
Figura. 5(b). Flatness RS per MeT of 333,4 °C.
Figura 5(c). Flatness RS per MeT of 326,7 °C. 109 Figura 5(d). Flatness RS per MeT of 320,0 °C.

Il valore del coefficiente   k  nell''equazione  (4)   è assunto pari a 0,035. Con questo valore l''equazione  (3) fornisce una tolleranza globale  ''   pari a 0,502. Nella tabella 4 sono indicati i valori dei Design Candidates scelti casualmente in accordo con i dati sul materiale; infine gli
indici di sensitività sono riportati in tabella 5. Il Design Candidate n° 12 presenta la miglior
combinazione di indici di sensitività pertanto è scelto come insieme di valori nominali per le
DVs. Tabella 4. Design Candidates.

110 Tabella 5. Indici di sensitività.
4. CONCLUSIONI

Le tecniche di Robust Design sono molto efficaci per l'ottimizzazione di prodotto e
processo, ma non sono ugualmente efficaci per effettuare analisi di sensitività. La teoria
PSD è stata principalmente sviluppata per fornire una descrizione analitica e geometrica di
sensibilità delle prestazioni per meccanismi, soprattutto nel campo della robotica, ma essa
presenta la potenzialità per poter essere estesa alla caratterizzazione della sensitività delle
prestazioni di un processo manifatturiero. Il lavoro presenta una specializzazione della
teoria PSD per effettuare la caratterizzazione della sensibilità di processi tecnologici e, nel
contempo, indagare lo spazio delle variazioni dei DVs. In particolare, le limitazioni del
PSD, dovute al fatto che è necessario avere un modello analitico, sono state superate
attraverso l'adozione di tecniche di regressione. La descrizione delle prestazioni in termini
di variabili di processo rappresenta il criterio chiave per l'applicabilità del metodo
presentato, quindi la sua efficacia dipende dalla precisione del modello di regressione
stesso. Al momento è stato adottato un modello di regressione del secondo ordine, ma
ulteriori studi stanno investigando l'uso di diversi modelli, al fine di considerare anche gli
effetti di interazione superiori al secondo ordine. L'integrazione della metodologia in un
software CAE potrebbe rivelarsi molto utile per fornire al progettista un efficace strumento
ingegneristico nella progettazione integrata, soprattutto nelle fasi iniziali di progettazione.
Un caso di studio semplice, basato sullo stampaggio a iniezione di un campione
rettangolare in materiale polimerico, è stato infine presentato così da validare il metodo 111 Specializzato PSD, portando alla definizione del valore del Design Candidate che
minimizza la sensibilità per il ritiro e la planarità del manufatto.

RINGRAZIAMENTI

Gli autori vogliono ricordare che il presente lavoro è stato supportato dal "Centro
Interdipartimentale per la Ricerca Applicata e Servizi nel Settore della Meccanica Avanzata
e della Motoristica - INTERMECH-MO.RE", grazie ai fondi europei POR FESR 2007-
2013 della Regione Emilia-Romagna.

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characteristics'. International Journal of Heat and Mass Transfer, 51(25), pp. 5828''5837. [21]S.  Caro,  F.  Bennis  and  P.  Wenger,  2005.  ''Tolerance Synthesis of Mechanisms: A Robust Design Approach'. ASME Journal of Mechanical Design, 127(1), pp. 86''94. [22]BASFWebsite, 2011. URL: http://www.plasticsportal.net/wa/EU~pl_PL/Catalog/ePlastics/pi/BASF/prodline/ultrason
accessed 15 Jan 2011. [23] ISO/TS 12781-1:2003, Geometrical Product Specifications (GPS), Flatness , Part 1: Vocabulary and parameters of flatness.
113 114 DESIGN BETWEEN SCIENCE AND HUMANITIES: SELECT BIBLIOGRAPHY Alessandro Freddi Department of Mechanical and Aeronautical Engineering,
University of Bologna, Italy
E-mail: alessandro.freddi@unibo.it Abstract. Design is a complex concept that defies fixed definitions: it is a notion as broad as theory or method. Even by restricting its meaning to the design of human artefacts and
systems, it is common to hear expressions such as engineering design, industrial design,
conceptual design, packaging design, interior design, service design, but also design
management, corporate design, to name but a few compounds testifying to the breadth
of its scope. Specialized literature confirms that the very definition of the word has been
problematic from its emergence. The assumption is that both definitions and contents have
changed, varying according to the society they belong to, and so has the profession of
the people involved. For the same reasons, it is impossible to present a basic literature
that defines its boundaries. The aim of this work is to offer a primer bibliography, limited
to books on design, published in English and some in Italian, available at Cambridge
University Library (UK). This is deemed enough to demonstrate the need for a joint
humanistic and scientific approach for founding modern design methodology(-ies). Some
periodicals are reported only as titles and URLs. For books on design published in German,
the bibliography in the book by Pahl & Beitz (for citation, see below), remains the most
authoritative source of information. Keywords: Engineering Design-Industrial Design Interaction, Design Multi-Dimensions, Design Literacy, Books on Design 1. INTRODUCTION
Design is a human activity that can hardly be considered a one type-activity. The multi- dimensionality of Design was clearly understood by ancient authors such as, for example, the Roman architect and engineer Marcus Pollio Vitruvius in this treatise on architecture, where he considers the three categories of a good design: ''Utilitas, Firmitas and Venustas', i.e., Function, Structure and Aesthetics.1 It is possible to expand these concepts to Prag- matics, which is concerned with function, Syntax, which focuses on the organisational and combinatorial aspects, and Semantics, i.e., symbolic meanings. 1Aesthetics not only with the meaning of the branch of philosophy dealing with beauty, art and taste, but more broadly understood as critical reflection on culture and nature. From this point of view, all modern theories of sensitivity and psychology are, by right, relevant to principles of design. 115 2. DESIGN AND INVENTION
A brilliant definition of the Designer can be found in this famous quote: [....] I shall only observe, therefore, that the invention of all those machines [..], seems to have been origi-
nally owing to the division of labour. [..] Men are much more likely to discover easier and
readier methods of attaining any object when the whole attention of their minds is directed
towards that single object than when it is dissipated among a great variety of things. But in
consequence of the division of labour, the whole of every man''s attention comes naturally to
be directed towards some one very simple object. It is naturally to be expected, therefore,
that some one or other of those who are employed in each particular branch of labour should
soon find out easier and readier methods of performing their own particular work, wherever
the nature of it admits of such improvement. [...] All the improvements in machinery, how-
ever, have by no means been the inventions of those who had occasion to use the machines.
Many improvements have been made by the ingenuity of the makers of the machines, when to
make them became the business of a peculiar trade, and some by that of those who are called
philosophers or men of speculation, whose trade it is not to do anything, but to observe ev-
erything; and who, upon that account, are often capable of combining together the powers
of the most distant and dissimilar objects. In the progress of society, philosophy or specu-
lation becomes, like every other employment, the principal or sole trade and occupation of
a particular class of citizens.2 This is probably the best definition of what a designer is: a man of speculation. Therefore, the term refers to an individual who practices an intellectual profession, and not simply a trade or a service for enterprises. who is capable of combining the powers of the most distant and dissimilar objects. The interdisciplinary character and the transversality of his task is emphasized, in spite of the divorce between Technicians and Artists that took place during the Age of Reason, when the applied sciences were established and art and science were placed on opposite sides. With the industrial revolution and large- scale production the profession of the Designer started and so did the separation between the one responsible for the first draft of the project, that is, the humanist-Designer, and the one who actually produces it, namely the technician-Engineer. Nevertheless, Engineers and De- signers, though embodying one or the other of the two cultures, share some major ideological concerns. Engineers as well as Industrial Designers agree that Design is a creative activity whose aim is to establish the multi-faceted qualities of objects, processes, services and sys- tems in whole life-cycles and both consider it a central factor in the innovative humanization of technologies and a crucial propeller to cultural and economic exchange. 3. DESIGN AND ETHICS
The story of the term Design is significant for understanding its meaning: it is an English word derived from the Latin/Italian word designare, which means to indicate exactly, i.e. the definition of a piece of work. Depending on the context, the word has taken on different meanings: the idea at the root of a work, the development of a process, the final result of a process, the aesthetic content, etc. Today Design refers to a multidisciplinary activity for promoting human wellbeing, by taking into account anthropological needs and ecological constraints. The various definitions of Industrial Design offered over the years by ICSID the International Council of Societies of Industrial Design, 3 are a significant index in order to follow the evolution of its meaning: in 1959 it restricts its scope to the aesthetic function: 2From Adam Smith, The Wealth of Nations, Book 1, Chapter 1, 1776. 3www.icsid.org 116 Industrial Design is a design activity for determining the formal properties of the objects
industrially produced. But some years later, the definition is much deeper: A process of aesthetic formation that, collaborating with science, technology and engineering and other
disciplines, is integrated in the preparation and development of products, with the aim of
obtaining optimal use-values, according to the aesthetic and cultural needs of society.4 The last definition expanded towards a global ethic meaning: Design seeks to discover and assess structural, organizational, functional, expressive and economic relationships, with
the task of enhancing global sustainability and environmental protection (global ethics), giv-
ing benefits and freedom to the entire human community, individual and collective final users,
producers and market protagonists (social ethics), supporting cultural diversity despite the
globalization of the world (cultural ethics) giving products, services and systems those forms
that are expressive of (semiology) and coherent with (aesthetics) their own complexity. Thus,
design is an activity involving a wide spectrum of professions in which products, services,
graphics, interiors and architecture all take part. Together, these activities should further
enhance '' in a choral way with other related professions '' the value of life. On the other side of Engineering Science, a parallel evolution takes place 5 In this case, Design contents move from a pure technically oriented approach, summarized with the syn- thetic Kesselring''s Principles: ' minimum production cost
' minimum space requirement
' minimum weight
' minimum losses
' optimum handling to a humanistic perspective oriented to user needs: ' Design for Cost
' Design for Reliability
' Design for Ergonomics
' Design for Assembly
' Design X . . . .Properties The American Society ABET 6 states: Design is the process of devising a system, compo- nent, or process to meet desired needs. It is a decision making process (often iterative), in
which the basic sciences, mathematics, and engineering sciences are applied to convert re-
sources optimally to meet a stated objective. Among the fundamental elements of the design
process are: the establishment of objectives and criteria, synthesis, analysis, construction,
testing and evaluation. The Design component of a curriculum must include development
of student creativity, use of open ended problems, development and use of design methodol-
ogy, formation of design problem statements and specifications, consideration of alternative
solutions, feasibility considerations, and detailed system descriptions. Furthermore, it is es-
sential to include a variety of realistic constraints such as economic factors, safety, reliability,
aesthetics, ethics, and social impact. 4Bonsiepe G.: Teoria e pratica del Disegno Industriale.1994 Feltrinelli Ed. 5 Pahl G. & Beitz W.: Konstruktion Lehre, Springer Verlag, Berlin, 1999, with an edition translated in English by Wallace K., Cambridge: Engineering Design, a Systematic Approach, Springer Verlag 1997. 6 Accreditation Board for Engineering and Technology, http://www.me.unlv.edu/Undergraduate/ coursenotes/meg497/ABETdefinition.htm 117 4. DESIGN AND COGNITION
The previous definitions show a tendency to find a new interference between the two cultures. The teaching of design is faced with the crisis of traditional education and the problem seems without solutions: a double apprenticeship of the students in the design schools appears an arduous target, due to the necessity of a strong training in both the humanistic and scientific disciplines, in constant hectic development. Theoretically, a modern approach for the train- ing of the new generations in this field should offer undergraduate and graduate programs in Product and Service Design jointly with Art and Philosophy, combining emphasis on creativ- ity, technology and design methodology with a concern for human values and the real needs of society. In the author''s opinion a practical way of reaching some positive results in this multidisciplinary interaction is to be found in establishing and sharing common methods. But a question arises: can a methodical approach respect the synthetic content of design' Criti- cism of any form of methodology for approaching the multi-contents of design derives from the holistic character of it. An attractive interdisciplinary method about Design is offered by the work of B. Munari, artist, designer and writer who in fact embodied the two cultures and in his books on the issue of method is shown a perspective on a solution. 7. The following Fig.1 shows the conclusive sequence of a series of steps, which empha- sizes the fact that design is not finding new solutions in an abstract way, but rather it is the outcome of a rigorous method, where experience, (i.e. memory), rationality, (i.e. science) and imagination (i.e. fantasy) interact towards the solution to a problem. But there is a more subtle issue that arises from cognition theory: a method is always a consequence of an experience and no aprioristic position. As a matter of fact, any method derives from a memory reflection on existing solutions and needs a rationalization of intuitive ideas. When the optimal solution to a problem is found, if retrospectively analyzed, an unavoidable need to move towards it becomes evident. Only at the end of the journey of discovery can this trip become a method (i.e., literally, meta-odos = the road through which), in a way that takes the shape of inevitability. After this rational journey has been completed, it seems, in fact, that the path found by trial and error is the only right one. 8 In this complex development of the design process lies the difficulty to communicate to other people the story of a new design and to publish design results in a way that can be appreciated by the scientific community, too often dismissing as irrelevant those papers which do not contain mathematical tools. In order to support this idea from the point of view of the engineering design, (that a method is the consequence of an experience), let us consider the following example of design of a new equipment for oil tube testing for applying axial as well as bending moment to sample tubes up to 700 mm diameter.9 The requirements were clear; the machine must allow two types of actions: a first loading system must be applied to a long sample of a large tube and a second loading system must apply a transverse bending. Design of this apparatus started from an existing experience in this field: essentially, two variants of these machines were on the market. 7Munari B.: Da cosa nasce cosa, Laterza Ed., Roma-Bari 2006 and other quoted in the final bibliography 8Bodei Remo, Felici di fare conoscenza http://www.ilsole24ore.com/art/cultura/ 2011-11-13 9Curioni S., Freddi A.: A new 1000 tons Machine for Testing of Tubular Products and Threaded connections in Oilfield. Proc. of VII International Congress on Experimental Mechanics. SEM, Las Vegas June 8-11, 1992. 118 Figure 1. The Synthesis of Munari''s method for the solution of a design problem. ' The V ariant 1, Fig.2 (a) has a single high capacity cylinder for the axial loading plus two hydraulic cylinders for bending and a prismatic guide for the specimen (without any hinges) in a fixed rigid rectangular frame. ' The V ariant 2, Fig.2 (b) has two cylinders working in parallel connecting two moving cross-heads, realizing directly the frame. In this case, one more hydraulic cylinder generates bending and two hinges allow for the transverse rotation of the specimen. A comparative value-analysis demonstrated the advantages and the disadvantages of the two solutions: in V ariant 1 one cylinder of great dimension (over 1 m of diameter) is the easiest conceptual solution but not the easiest to be manufactured by standard workshop, while V ariant 2 is a machine with ad-hoc specialized cylinders. The functional analysis on both solutions is a powerful method for being driven towards the new solutions but it applies better to existing solutions and it becomes too abstract and not very fruitful if applied in an aprioristic way without any solution in mind, (compare the alternative position of the quoted Pahl & Beitz book). The new type (V ariant 3) Fig. 3 (a) (b) was selected for utilizing four standard commer- cial oil cylinders of common manufacturing and low prize. In this solution every cylinder is connected to the cross heads by spherical hinges for uncoupling statically the four cylinders 119 (a) V ariant 1: only one big cylinder on a monolitic frame. (b) V ariant 2: with two special cylinders be- tween the two cross-head. (c) Functional diagram valid for both V ariant1 and 2. Figure 2. Comparison between the two Variants of Testing Machine of Tubular Products and Threaded connections and the relative functional analysis. from the cross-head. This choice needs a mobile cross-head, mounted on two guides. In spite of the most complex conceptual idea it results in a lower cost architecture, totally built with commercial and low-cost components, even with a higher number of parts. A new layout, V ariant 4, could be advantageous and this solution that merges V ariant 1 and 2 was in fact developed at a later time, in front of the availability of manufacturer of big cylinders, Fig. 3 (c) and (d). This example shows that the ideal solution does not exist in abstract way, but only the most suitable solution that fits requirements and constraints at the best, in the context of the market and in a given timeframe. 5. CONCLUSIONS
These remarks clarify some cognitive aspects of the design process. Concerning the concept of social impact, understanding how users experience designed products plays an important role in modern society. Generally users derive from the form given to a product the meaning of the product itself. In this sense, we speak of the semantics of a product, referring to all 120 (a) V ariant 3: a mobile cross-head with two guides. This variant was selected and built for a 10 MN machine. (b) V ariant 3: the final solution (consulting Engi- neers: Curioni S., Freddi A.), Manufacturer: Giuliani Co. Forlì. (c) V ariant 4: the one-cylinder solution with hinges.This variant was selected and built for a 25 M N machine (d) V ariant 4: the one-cylinder solution with hinges.(Consulting Engineers: Freddi A., Olmi G.), Manufacturer: Giuliani Co. Forlì Figure 3. Two new designs of a Machine as the result of a functional and value-analyses of several solutions. properties of usability, efficiency and other categories such as simplicity, clarity, coherence, lightness, identity, unity, etc. Moreover, in a paper by J. Runde, 10 it is argued that techno- logical objects are social entities. From this perspective, the design of an object is a question of social ontology. In some cases, objects designed with one purpose in the designer''s mind subsequently become used for another. ...Although manufacturers have close and lengthy engagements with the technological objects they produce, users, in contrast, typically have
a narrower and relatively more intimate involvement with their use as a means of achieving
particular ends. These observations introduce an important point on the users'' engagement in the objects of design. In the past, users and manufacturers constituted one community: development of new functions was the task of a community: ....We have laid too much em- phasis on these well known inventors and too little on those, who, by adding one tiny device
to another, or modifying this or that process, prepared the way for such men.11 . A possible future in this field is the development of models that respect users'' active and knowing engagement with designed products.12. A modern speculation suggests the adapta- 10Faulkner P., Runde J. On the identity of technological objects and users innovations in function. To appear in Academy of Management Review. 11 Ashton T.S., An Economic History of England: The 18th Century 12Crilly N. (2011). Do users know what designer are up to' Product experiences and persuasive intentions. 121 tion of standard methods used in design and marketing researches to study users inferences on the designer''s intentions. In other words, it is not enough to know how users experience products but also how they might discover or infer the intentions of designers and manufac- tures behind the product. This method has been developed through experimental work based on interviews to users (see Tab.1 of the quoted paper). 6. SELECT BIBLIOGRAPHY
In this section, a list of books and related materials on Design in chronological order is presented, which testifies to the variety of design concepts and studies. The keywords classi- fication essentially refers to the following items: ' The social construction of a technical reality
' User-driven versus Designer''driven Design
' Design versus art
' Design and evolution processes
' Organisms and artefacts: how nature designs
' Philosophy of engineering sciences
' Success through failure.
' The organizational environment and the hierarchy of design decisions.
' Cognitive and psychological dimensions of Design MONOGRAPHIES AND COLLECTED VOLUMES 1. Materials and their application to engineering design: by E. A. Allcut and E. Miller; with frontispiece and 221 illustrations. Main author: Allcut, Edgar Alfred, 1888- Published: London: C. Griffin & company, limited, 1923. 2. Introduction to engineering design [by] Thomas T. Woodson. Main author: Woodson, Thomas T. Published: New York, McGraw-Hill[1966] Description: viii, 434 p. illus., maps. 25 cm. Notes: Includes bibliographies. Subjects: Engineering design. 3. Introduction to engineering design [by] John E. Gibson. Main author: Gibson, John E. Published: New York, Holt, Rinehart and Winston [1968] Description: ix, 214 p. illus. 24 cm. Notes: Bibliography: p. 195-207. Subjects: Engineering design. 4. Design as art /Bruno Munari; translated by Patrick Creagh. Main author: Munari, Bruno. Title: Design as art /Bruno Munari; translated by Patrick Creagh. Uniform Title: Arte come mestiere. English International Journal of Design 5(3), 1-15. 122 Published: London: Penguin, 2008. Description: 223 p.: ill.; 18 cm. ISBN: 9780141035819 (pbk.): 0141035811 (pbk.) Series: Penguin modern classics Notes: Originally published: 1971. Translated from the Italian. Subjects: Design Philosophy. Art and design. 5. Zeichen und Design; Main author: Bense, Max, 1910-1990. Title: Zeichen und Design; semiotische Aesthetik. Published: Baden-Baden, Agis-Verlag [c1971] Description: 123 p. illus. 21 cm. Series: Internationale Reihe Kybernetik und Information, Bd. 5 Notes: Bibliography: p. 120-121. Subjects: Information theory in aesthetics. Semantics (Philosophy) Signs and symbols. 6. A primer in theory construction. Main author: Reynolds, Paul D.(Paul Davidson), 1938- Title: A primer in theory construction. Published: Indianapolis, Bobbs-Merrill[1971] Description: x, 184 p. ill. 21 cm. Notes: Bibliography: p. 173-176. Subjects: Social sciences. Philosophy. Research Design. 7. Engineering design by geometric programming /[by] Clarence Zener. Main author: Zener, Clarence, 1905- Title: Engineering design by geometric programming /[by] Clarence Zener. Published: New York: Wiley-Interscience, [1971] Description: viii, 98 p.: ill.; 23 cm. ISBN: 0471982008 Notes: Bibliography: p. 93-95. Subjects: Engineering design. Geometric programming. 8. Engineering design interfaces: Charles H. Flurscheim. Main author: Flurscheim, Charles H.(Charles Harald), 1906- Title: Engineering design interfaces: a management philosophy /Charles H. Flurscheim. Published: London: Design Council, 1977. Description: 138p: ill; 23cm. ISBN: 0850720516 Subjects: Engineering design Management. 9. Engineering design: Main author: Faupel, Joseph H.(Joseph Herman), 1916- Title: Engineering design: a synthesis of stress analysis and materials engineering. Other Entries: Fisher, Franklin E., 1933- Edition: 2nd ed. /Joseph H. Faupel, Franklin E. Fisher. 123 Published: New York; Chichester: Wiley, c1981. Description: xiv, 1056p; 24cm. ISBN: 0471033812 Subject: Stress analysis in Engineering Design 10. Da cosa nasce cosa; Main author: Munari, Bruno. Title: Da cosa nasce cosa. Appunti per una metodologia progettuale Published: Giuseppe Laterza & figli Spa , Bari 1981, iX Ed.: 2006 Description: 385 p.: ill, 20 cm ISBN: 88-420-5117-9 Notes: Italian language Subjects: Design Philosophy. Art and de- sign. 11. Engineering design /G. Pahl, W. Beitz; edited by Ken Wallace. Main author: Pahl, G.(Gerhard), 1925- Original Title: Konstruktionslehre. Other Entries: Beitz, Wolfgang. Wallace, Ken. Published: London: Design Council, 1984. Description: xv, 450p; 25cm. ISBN: 0850721245 Notes: Translation in English Subjects: Engineering design. 12. Engineering design: edited by Reuven R. Levary; associate editors, Ignacio E. Gross- mann... [et al.]. Title: Engineering design: better results through operations research methods /edited by Reuven R. Levary; associate editors, Ignacio E. Grossmann... [et al.]. Other Entries: Levary, Reuven R. Grossmann, Ignacio E. Published: New York; Amsterdam: North-Holland, c1988. Description: xv, 713p; 24cm. ISBN: 0444012028 Series: Publications in operations research series; vol. 8 Subjects: Engineering design. Operations research. 13. The role of design in international competitiveness /D.O. Ughanwa and M.J. Baker. Main author: Ughanwa, D. O. (Davidson Oyemeka), 1945- Title: The role of design in international competitiveness /D.O. Ughanwa and M.J. Baker. Other Entries: Baker, Michael John. Published: London: Routledge, 1989. Description: 375p; 22cm. ISBN: 0415000130 Subjects: Industrial design Great Britain, Engineering design Great Britain, Competition, International, Exports Great Britain, Industries Great Britain. 14. Engineering design: George E. Dieter. Main author: Dieter, George Ellwood. Edition: 2nd ed. Published: New York; London: McGraw-Hill, c1991. McGraw-Hill series in mechanical engineering Notes: "McGraw-Hill international editions". 124 15. The social construction of a technical reality: Scott L. Minneman. Main author: Minneman, Scott L.(Scott Lester) Title: The social construction of a technical reality: empirical studies of group engineering design practice /Scott L. Minneman. Other Entries: Stanford University.Dept. of Mechanical Engineering. Xerox Corporation.Palo Alto Research Center. Published: Palo Alto, Calif.: Xerox Corporation, Palo Alto Research Center, 1991. Description: xiv, 218 p.; 28 cm. Notes: "SSL-91-22". "This report reproduces a dissertation submitted to the Department of Mechanical Engineering at Stanford University '' Stanford University, 1991. Includes bibliographical reference (p. 205-217) Subjects: Engineering design. Engineering design, Case studies. 16. Form, structure and mechanism /Michael French. Main author: French, M. J. Title: Form, structure and mechanism /Michael French. Published: Basingstoke: Macmillan, 1992. Description: xi, 226 p.: ill.; 25 cm. ISBN: 0333518861 (pbk.) Notes: Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering design. 17. The art of the structural engineer /Bill Addis. Main author: Addis, William, 1949- Title: The art of the structural engineer /Bill Addis. Published: London: Artemis, 1994. Description: 144 p.: ill.; 28 cm. ISBN: 376088430x 1874056412 Notes: Includes bibliography. Subjects: Structural engineering. 18. Invention by Design Title: Invention by Design. How Engineers get from thought to thing Main author: Petroski, Henry. Published: Harvard University Press Description: 56 pages 6-1/8 x 9-1/4 inches 30 halftones, 60 line illustrations ISBN: 0-674-46368-4(pbk.: alk. paper) Notes: Include bibliographic references and index Publication: September 1998 Subjects: Design Philosophy, Engineering Design, Social Aspects, Political Aspects, Case Studies. 19. The engineering design process /Atila Ertas, Jesse C. Jones. Main author: Ertas, Atila, 1944- Title: The engineering design process /Atila Ertas, Jesse C. Jones. Other Entries: Jones, Jesse C. Edition: 2nd ed. Published: New York; Chichester: Wiley, c1996. Description: x, 614 p.: ill.; 26 cm. 125 ISBN: 0471136999 Notes: Previous ed.: 1993. Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering design. 20. The shape of things: Vilém Flusser. Main author: Flusser, Vilém, 1920-1991. Title: The shape of things: a philosophy of design /Vilém Flusser. Published: London: Reaktion, 1999. Description: 126 p.; 20 cm. ISBN: 1861890559 Notes: Includes bibliographical references.Translated from the German. Subjects: Design (Philosophy) 21. Conceptual design for engineers /Michael French. Main author: French, M. J. Title: Conceptual design for engineers /Michael French. Edition: 3rd ed. Published: London: Springer, c1999. Description: xix, 252 p.: ill.; 25 cm. ISBN: 1852330279 Notes: Previous ed.: London: Design Council, 1985.Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering design. 22. Learner-centered design: Wayne Reeves. Main author: Reeves, Wayne W. Title: Learner-centered design: a cognitive view of managing complexity in product, in- formation, and environmental design Published: London: Sage Publications, c1999. Description: xv, 199 p; 23cm. ISBN: 0761907270 0761907262 (cased) Notes: Includes bibliographical references and index. Subjects: Learning, Psychology of Complexity (Philosophy), Human information pro- cessing, Cognitive science, Categorization (Psychology). 23. Engineering design: Clive L. Dym, Patrick Little. Main author: Dym, Clive L. Title: Engineering design: a project-based introduction /Clive L. Dym, Patrick Little. Published: New York; Chichester: John Wiley, c2000. Description: xxi, 278 p.: ill., maps; 24 cm. ISBN: 0471282960 24. Instructor''s manual to accompany Engineering design: Clive L. Dym, Patrick Little. Main author: Dym, Clive L. Title: Instructor''s manual to accompany Engineering design: a project-based introduction /Clive L. Dym, Patrick Little. Other Entries: Little, Patrick. Dym, Clive L.Engineering design. Published: New York; Chichester: Wiley, c2000. Description: [60] p.; 28 cm. 126 ISBN: 0471354139 Subjects: Engineering design, Study and teaching (Higher) United States. 25. Probability, reliability, and statistical methods in engineering design /Achintya Haldar, Sankaran Mahadevan. Main author: Haldar, Achintya. Title: Probability, reliability, and statistical methods in engineering design /Achintya Hal- dar, Sankaran Mahadevan. Other Entries: Mahadevan, Sankaran. Published: New York; Chichester: Wiley, c2000. Description: xvi, 304 p.: ill.; 25 cm. ISBN: 0471331198 Notes: Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering design Statistical methods, Reliability (Engineering), Statistical methods, Probabilities 26. The engineering design of systems: Dennis M. Buede. Main author: Buede, Dennis M. Title: The engineering design of systems: models and methods /Dennis M. Buede. Published: New York; Chichester: Wiley, c2000. Description: xx, 462 p.: ill.; 25 cm. ISBN: 0471282251 Series: Wiley series in systems engineering Notes: "A Wiley-Interscience publication."Includes bibliographical references and index. Subjects: Systems engineering, Engineering design, System design. 27. Introduction to engineering design optimization /Chinyere Onwubiko. Main author: Onwubiko, Chinyere Okechi. Title: Introduction to engineering design optimization /Chinyere Onwubiko. Published: Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall; LondonPrentice-Hall International, c2000. Description: vii, 312 p.: ill.; 25 cm. ISBN: 0201476738 Notes: Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering design, Mathematical models. Mathematical optimization. 28. Engineering design communication: Shawna D. Lockhart, Cindy M. Johnson. Main author: Lockhart, Shawna D., 1957- Title: Engineering design communication: conveying design through graphics /Shawna D. Lockhart, Cindy M. Johnson. Other Entries: Johnson, Cindy M. Published: Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall; London: Prentice-Hall International, c2000. Description: xxiii, 719 p.: ill.; 25 cm. ISBN: 0201331519 Notes: Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering design Graphic methods. Engineering graphics. 127 29. Aircraft conceptual design synthesis /by Denis Howe. Main author: Howe, Denis. Title: Aircraft conceptual design synthesis /by Denis Howe. Published: London: Professional Engineering Publishing, 2000. Description: xxxii, 448p: ill.; 24cm +1 computer disk (3.5in). ISBN: 1860583016 Notes: Includes index. Subjects: Airplanes Design and construction, Engineering design. 30. Internet-based engineering: edited by Daizhong Su. Title: Internet-based engineering: applications and case studies /edited by Daizhong Su. Other Entries: Su, Daizhong.Nottingham Trent University. Published: Nottingham: Nottingham Trent University in association with Professional Engineering Publishing, 2000. Description: vi, 170p: ill; 24cm. ISBN: 1842330217 Notes: Includes bibliographical references. Subjects: Internet. 31. Shape and structure, from engineering to nature /Adrian Bejan. Main author: Bejan, Adrian, 1948- Title: Shape and structure, from engineering to nature /Adrian Bejan. Published: Cambridge: Cambridge University Press, 2000. Description: xix, 324 p.: ill. (some col.); 26 cm. ISBN: 0521790492 (hb) 0521793882 (pbk.) Notes: Includes bibliographical references and indexes. Subjects: Systems engineering. Engineering design. System analysis. Flow charts. 32. Product design: Lesley Cresswell ... [et al.]. Title: Product design: resistant materials technology /Lesley Cresswell ... [et al.].Resistant materials technology. Portion of Title: Resistant materials technology. Other Entries: Cresswell, Lesley. Published: Oxford: Heinemann, 2000. Description: v, 346 p.: ill.; 27 cm. ISBN: 0435757709 Series: Advanced design and technology for Ed excel Advanced Notes: Includes index. Subjects: Industrial design Problems, Engineering design Problems, exercises, etc. 33. Product design and development /Karl T. Ulrich, Steven D. Eppinger. Main author: Ulrich, Karl T. Title: Product design and development /Karl T. Ulrich, Steven D. Eppinger. Other Entries: Eppinger, Steven D. Edition: 2nd ed. Published: Boston; London: Irwin McGraw-Hill, c2000. Description: xxvi, 358 p.: ill.; 25 cm. 128 ISBN: 007229647X 0071169938 (International ed.) Notes: Previous ed.: 1995. Includes bibliographical references and index. Subjects: Industrial management, New products Management. 34. Engineering design communication: Shawna D. Lockhart, Cindy M. Johnson. Main author: Lockhart, Shawna D., 1957- Title: Engineering design communication: conveying design through graphics /Shawna D. Lockhart, Cindy M. Johnson. Other Entries: Johnson, Cindy M. Published: Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall; London: Prentice-Hall International, c2000. Description: xxiii, 719 p.: ill.; 25 cm. ISBN: 0201331519 Notes: Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering designGraphic methods. Engineering graphics. 35. Engineering Design Methods: Nigel Cross. Main author: Cross N. 2000 Title: Engineering Design Methods: Strategies for Product Design Published: john Wiley and Sons Litd, c2000 Desription: xi, 212p.: ill.; 24 cm. ISBN: 0471872504 Notes: Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering design Methods. 36. Tools and tactics of design /Peter G. Dominick ... [et al.]. Title: Tools and tactics of design /Peter G. Dominick ... [et al.]. Other Entries: Dominick, Peter G. Published: New York; Chichester: Wiley, c2001. Description: xii, 221 p.: ill.; 24 cm. ISBN: 0471386480 Notes: Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering design. 37. Design engineering /Harry Cather ... [et al.]. Title: Design engineering /Harry Cather ... [et al.]. Other Entries: Cather, Harry. Published: Oxford: Butterworth-Heinemann, 2001. Description: vi, 355 p.: ill.; 27 cm. ISBN: 075065211X Series: IIE textbook series Notes: Includes index. Subjects: Engineering design, Design Problems and exercises, Engineering Design Math- ematics. 38. Innovative conceptual design: Ehud Kroll, Sridhar S. Condoor, David G. Jansson. Main author: Kroll, Ehud, 1956- Title: Innovative conceptual design: theory and application of parameter analysis /Ehud 129 Kroll, Sridhar S. Condoor, David G. Jansson. Other Entries: Condoor, Sridhar S., 1967- Jansson, David G. Published: Cambridge University Press, 2001. Description: xiv, 232p: ill.; 25cm. ISBN: 0521770912 0521778484 (pbk) Notes: Includes bibliographical references and index. Subjects: Industrial design, Engineering design. 39. Product design: Kevin N. Otto, Kristen L. Wood. Main author: Otto, Kevin N. Title: Product design: techniques in reverse engineering and new product development /Kevin N. Otto, Kristen L. Wood. Other Entries: Wood, Kristin L. Published: Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, c2001. Description: xxi, 1071 p.: ill.; 25 cm. ISBN: 0130212717 Notes: Includes bibliographical references and index. Subjects: Industrial design, New products, Product management. 40. Design knowing and learning: edited by Charles M. Eastman, et alii Title: Design knowing and learning: cognition in design education Other Entries: Eastman, Charles M., 1940- McCracken, W. Michael, Newstetter, Wendy C./ Cognition in design education. Published: Oxford: Elsevier Science, 2001. Description: x, 318p: ill.; 25cm. ISBN: 0080438687 Notes: Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering design Study and teaching. 41. Introduction to structural analysis & design /S.D. Rajan. Main author: Rajan, Subramaniam D. Title: Introduction to structural analysis & design /S.D. Rajan. Published: New York; Chichester: John Wiley, c2001. Description: xvi, 700p: ill.; 26cm +1 computer optical disc (4.75in). ISBN: 047131997X Notes: Includes index. System requirements for disc: Windows 95/98 or Windows NT; Pentium 100 or equiv; 16 MB of RAM (32 MB for Windows NT); 6 MB of h. disk space. Subjects: Structural analysis & Structural design. 42. Engineering design synthesis: Amaresh Chakrabarti (ed). Title: Engineering design synthesis: understanding, approaches and tools Amaresh Chakrabarti (ed). Published: London: Springer, c2002. Description: xxviii, 356 p.: ill.; 25 cm. ISBN: 1852334924 Notes: include bibliographic references and index Subjects: Engineering design. 130 43. Where stuff comes from: Harvey Molotch. Main author: Molotch, Harvey Luskin. Title: Where stuff comes from: how toasters, toilets, cars, computers, and many others things come to be as they are /Harvey Molotch. Published: New York, NY; London: Routledge, 2003. Description: xii, 324 p.: ill; 24 cm. ISBN: 0415944007 9780415950428 (pbk.) 0415950422 (pbk.) Notes: Includes biblio- graphical references and index. Subjects: Engineering Popular works, Industrial design, Engineering design Social as- pects. 44. Engineering design in the multi-discipline era: by Paul R. Wiese and Philip John. Main author: Wiese, Paul R. Title: Engineering design in the multi-discipline era: a systems approach /by Paul R. Wiese and Philip John. Other Entries: John, Philip. Published: London: Professional Engineering Publishing, 2003. Description: xviii, 116 p.: ill., ports.; 24 cm. ISBN: 1860583474 Notes: Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering design. Systems engineering. 45. Industrial design of plastics products /M. Joseph Gordon. Main author: Gordon, Joseph (M. Joseph) Title: Industrial design of plastics products /M. Joseph Gordon. Published: Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, c2003. Description: xxv, 565 p.: ill.; 24 cm. ISBN: 0471231517 Subjects: Plastics. Engineering design. 46. Universal principles of design/ W. Lidwell, K. Holden, J. Butler Title: Universal Principles of Design, Revised and Updated 125 Ways to Enhance Us- ability, Influence Perception, Increase Appeal, Make Better Design Decisions, and Teach through Design Main author: William Lidwell Other Entries: Kritina Holden, Jill Butler Description: Paperback, 272 Pages, ill. Item: 158942 Published: Rockport Publishers 2003 ISBN: 9781592535873 Notes: Universal Principles of Design, Revised and Updated it pairs clear explanations of every design concept. Subjects: Principles of Design, encyclopedia of design, visual examples, 47. Design, engineering and technology. Title: Design, engineering and technology (Learning and Teaching Scotland) Published: Dundee: Learning and Teaching Scotland, 2003- Description: v.; 30 cm. 131 Series: National qualifications curriculum support. Subjects: Education, Secondary Curricula Scotland. 48. Engineering design in the multi-discipline era: by Paul R. Wiese and Philip John. Main author: Wiese, Paul R. Title: Engineering design in the multi-discipline era: a systems approach /by Paul R. Wiese and Philip John. Other Entries: John, Philip. Published: London: Professional Engineering Publishing, 2003. Description: xviii, 116 p.: ill., ports.; 24 cm. ISBN: 1860583474 Notes: Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering design, Systems engineering. 49. Inclusive design: edited by John Clarkson [et al.]. Title: Inclusive design: design for the whole population /edited by John Clarkson ... [et al.]. Other Entries: Clarkson, John, 1961- Published: London, New York: Springer, 2003. Description: 608 p.: ill.; 25 cm. ISBN: 1852337001 Notes: Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering design, People with disabilities, Barrier-free design, Universal de- sign, Architecture Philosophy. 50. Organisms and artifacts: Tim Lewens. Main author: Lewens, Tim. Title: Organisms and artifacts: design in nature and elsewhere /Tim Lewens. Published: Cambridge, Mass.; London: MIT Press, 2004. Description: xi, 183 p.: ill.; 24 cm. ISBN: 0262122618 Series: Life and mind: philosophical issues in biology and psychology Notes: Includes bibliography (p.[167]-176) and index. Subjects: Biology Philosophy. 51. An introduction to design engineering /M. A. Parameswaran. Main author: Parameswaran, M. A. Title: An introduction to design engineering /M. A. Parameswaran. Published: Pangbourne: Alpha Science International, c2004. Description: [xxi], 207 p.: ill.; 25 cm. ISBN: 9781842651742 1842651749 Notes: Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering design. 52. Materials selection in mechanical design/ Michael F. Ashby. Main author: Ashby, M. F. Title: Materials selection in mechanical design Michael F. Ashby. Other Entries: MyiLibrary. Edition: 3rd ed. 132 Published: Amsterdam; Boston: Butterworth-Heinemann, 2005. Description: xiv, 603 p.: ill.; 25 cm. ISBN: 9786610754472 Notes: Title from e-book title screen (viewed October 15, 2007). Includes bibliographical references and index. Electronic reproduction.UK: MyiLibrary, 2007 Available via World Wide Web. Access may be limited to MIL affiliated libraries. Subjects: Design, Materials. 53. Practical fracture mechanics in design. Main author: Shukla, A.(Arun) Title: Practical fracture mechanics in design. Other Entries: Blake, Alexander. Practical fracture mechanics in design. Edition: 2nd ed., rev. and expanded /Arun Shukla. Published: New York: Marcel Dekker, c2005. Description: xiv, 525 p.; 24 cm. ISBN: 0824758854 Series: Mechanical engineering; 183Mechanical engineering (Marcel Dekker, Inc.); 183. Notes: Previous ed.: / Alexander Blake, c1996. Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering design. Fracture mechanics. 54. What things do: Peter-Paul Verbeek; translated by Robert P. Crease. Main author: Verbeek, Peter-Paul, 1970- Title: What things do: philosophical reflections on technology, agency, and design /Peter-Paul Verbeek; translated by Robert P. Crease. Uniform Title: De daadkracht der Dingen.English Published: University Park, PA: Pennsylvania State University Press, 2005. Description: viii, 249 p.: ill.; 24 cm. ISBN: 0271025395 Notes: Includes bibliographical references (p. [237]-242) and index. Subjects: Technology Philosophy. 55. Advances in design /Hoda A. ElMaraghy and Waguih H. ElMaraghy (eds.) Title: Advances in design /Hoda A. ElMaraghy and Waguih H. ElMaraghy (eds.) Other Entries: ElMaraghy, Hoda A. Elmaraghy, W. H. Published: London: Springer, c2006. Description: xxii, 576 p.: ill.; 24 cm. ISBN: 9781846280047 1846280044 Series: Springer series in advanced manufacturing Notes: Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering design. 56. Exploring engineering: P.G. Kosky ... [et al.]. Title: Exploring engineering: an introduc- tion for freshman [i.e. freshmen] to engineering and to the design process /P.G. Kosky ... [et al.]. Other Entries: Kosky, P. G.(Philip G.) Published: Burlington. Ma.; London: Academic Press, 2006. 133 Description: xvii, 413 p.: ill.; 25 cm. ISBN: 9780123694058: 0123694051: Notes: Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering Textbooks, Engineering design. 57. The semantic turn: Klaus Krippendorff. Main author: Krippendorff, Klaus. Title: The semantic turn: a new foundation for design /Klaus Krippendorff. Published: Boca Raton, Fla.; London: CRC, 2006. Description: 349 p.: ill.; 25 cm. ISBN: 0415322200 (hbk.) Notes: Formerly CIP.Includes bibliographical references (p. 323-334) and index. Subjects: Design Philosophy. Industrial design, Social aspects. 58. Doing things with things: edited by Alan Costall and Ole Dreier. Title: Doing things with things: the design and use of everyday objects /edited by Alan Costall and Ole Dreier. Other Entries: Costall, Alan. Dreier, Ole. Published: Aldershot: Ashgate, 2006. Description: ix, 242 p.: ill.; 24 cm. ISBN: 0754646564 (hbk.): Series: Ethnoscapes Notes: Formerly CIP.Includes bibliographical references and index. Subjects: Material culture Philosophy, Technology Social aspects, Knowledge, Theory of, Knowledge, Theory of, in children. 59. Success through failure: Henry Petroski. Main author: Petroski, Henry. Title: Success through failure: the paradox of design /Henry Petroski. Published: Princeton, N.J.; Woodstock: Princeton University Press, 2006. Description: xii, 235 p.: ill.; 22 cm. ISBN: 9780691122250 (Hbk) 0691122253 (Hbk) 9780691136424 (pbk.): 0691136424 (pbk.): Notes: Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering design Case studies. System failures (Engineering) Case studies. 60. The language of things /Deyan Sudjic. Main author: Sudjic, Deyan. Title: The language of things /Deyan Sudjic. Published: London: Allen Lane, 2008. Description: 223 p.: ill.; 21 cm. ISBN: 9781846140051 (hbk.) 1846140056 (hbk.) Notes: Includes bibliographical refer- ences and index. Subjects: Design History 20th century, Design Philosophy, Design Social aspects. 61. Design engineering: W. Ernst Eder, Stanislav Hosnedl. Main author: Eder, W. E.(Wolfgang Ernst) Title: Design engineering: a manual for enhanced creativity /W. Ernst Eder, Stanislav 134 Hosnedl. Other Entries: Hosnedl, Stanislav. Published: Boca Raton, Fla.; London: CRC Press, c2008. Description: xl, 588 p.: ill.; 25 cm. ISBN: 9781420047653 - 1420047655 Notes: Includes bibliographical references (p. 551-577) and index. Subjects: Engineering design Handbooks. 62. Planning and design of engineering systems. Title: Planning and design of engineering systems. Other Entries: Dandy, G. C. Edition: 2nd ed. /Graeme Dandy ... [et al.]. Published: London: Taylor & Francis, 2008. Description: x, 403 p.: ill.; 24 cm. ISBN: 9780415405515 (cased) 0415405513 (cased) 9780415405522 (pbk.) 0415405521 (pbk.) Notes: Original ed.: / G. C. Dandy, R. F. Warner. London: Unwin Hyman, 1989.Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering, Engineering design. 63. Handbook of design research methods in education: edited by Anthony E. Kelly, Richard A. Lesh, John Y. Baek. Main author: Kelly, Anthony E. Title: Handbook of design research methods in education: innovations in science, tech- nology, engineering, and mathematics /edited by Anthony E. Kelly, Richard A. Lesh, John Y. Baek. Other Entries: Baek, John Y. Lesh, Richard A. Published: New York; London: Routledge, c2008. Description: xvii, 539 p.: ill.; 28 cm. ISBN: 0805860592 (pbk.): 9781410617941 (ebk.): 1410617947 (ebk.) Notes: Formerly CIP.Includes bibliographical references and index. Subjects: Education Research Methodology, Experimental design. 64. DRM, a design research methodology /Lucienne T. M. Blessing, Amaresh Chakrabarti. Main author: Blessing, Lucienne T. M. Title: DRM, a design research methodology /Lucienne T. M. Blessing, Amaresh Chakrabarti. Published: London: Springer, c2009. Description: xvii, 397 p.: ill.; 25 cm. ISBN: 9781848825864 1848825862 Notes: Includes bibliographical references (p. [383]-392) and index. Subjects: Engineering design, Research Methodology. 65. The genius of design /Penny Sparke. Main author: Sparke, Penny. Title: The genius of design /Penny Sparke. Published: London: Quadrille, 2009. Description: 256 p.: ill. (chiefly col.), ports. (some col.); 26 cm. ISBN: 9781844007530 (hbk.): 135 Notes: Formerly CIP.Includes bibliographical references and index. Subjects: Design, Design History, Design Philosophy, Industrial design. 66. Design concepts for engineers /Mark N. Horenstein. Main author: Horenstein, Mark N. Title: Design concepts for engineers /Mark N. Horenstein. Edition: 4th ed. Published: Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall; [London: Pearson Education, distrib- utor], 2010. Description: xiii, 285 p.: ill., charts; 26 cm. ISBN: 9780136069553 (pbk.): 013606955X (pbk.): Notes: Previous ed.: 2006. Formerly CIP. Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering design. 67. The design of design: Frederick P. Brooks. Main author: Brooks, Frederick P.(Frederick Phillips) Title: The design of design: essays from a computer scientist /Frederick P. Brooks. Published: Boston, Mass.; London: Addison-Wesley, 2010. Description: xv, 421 p.: ill.; 24 cm. ISBN: 9780201362985 (pbk.): 0201362988 (pbk.): Notes: Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering design, Software engineering, Design Case studies. COLLECTED PAPERS AND DESIGN SOCIETIES 1. Engineering design and manufacture: Main author: Duncan, James Playford. Title: Engineering design and manufacture: Inaugural lecture delivered 7th May 1958. Other Entries: University of Sheffield. Published: [Sheffield]: University of Sheffield, 1958. 2. Engineering Design Conference ''98: edited by S. Sivaloganathan, T.M.M. Shahin. Title: Engineering Design Conference ''98: design reuse /edited by S. Sivaloganathan, T.M.M. Shahin. Design reuse Other Entries: Sivaloganathan, S.(Sangarappillai) Shahin, T. M. M.Brunel University. Published: Bury St Edmunds: Professional Engineering Pub., 1998. Description: 732 p.: ill.; 25 cm. ISBN: 1860581323 Notes: ''Collected papers from the Engineering Design Conference ''98 held at Brunel University, UK, 23-25 June 1998.'' - - Prelims. On cover: Brunel University.Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering design Congresses, Modularity (Engineering) 3. Integrating design education beyond 2000: edited by P. R. N. Childs and E. K. Brodhurst. Conference Name: SEED Design Conference(22nd: 2000: Brighton University, Sussex) Title: Integrating design education beyond 2000: Proceedings of the 22nd SEED An- nual Design Conference and 7th National Conference on Product Design Education 6-7 September 2000, University of Sussex, Brighton, UK /edited by P. R. N. Childs and E. K. 136 Brodhurst. Other Entries: Childs, Peter R. N. Brodhurst, E. K.(Elizabeth K.) National Conference on Product Design Education(7th: 2000: University of Sussex, Brighton) Published: Bury St. Edmunds: Professional Engineering Pub., 2000. Description: viii, 328 p.: ill.; 24 cm. ISBN: 1860582656 Notes: Includes bibliographical references and index. Subjects: Industrial design Study and teaching Congresses. New products Congresses. 4. Evolutionary design and manufacture: I.C. Parmee (ed.). Conference Name: ACDM 00 (2000: University of Plymouth) Title: Evolutionary design and manufacture: selected papers from ACDM ''00 /I.C. Parmee (ed.). Other Entries: Parmee, I. C.(Ian C.), 1954- Published: London: Springer, c2000. Description: xi, 370 p.: ill.; 24 cm. ISBN: 1852333006 Notes: Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering design Congresses. Manufacturing processes Congresses. Evolutionary programming (Computer science) Congresses. 5. Engineering Design Conference 2000: edited by S. Sivaloganathan, P.T.J. Andrews. Conference Name: Engineering Design Conference (2000: Brunel University) Title: Engineering Design Conference 2000: design for excellence /edited by S. Sivaloga- nathan, P.T.J. Andrews.Design for excellence Spine Title Design for excellence Other Entries: Sivaloganathan, S.(Sangarappillai Andrews, P. T. J.(Peter T. J.) Published: Bury St Edmunds: Professional Engineering Pub., 2000. Description: xix, 843 p.: ill., port.; 24 cm. ISBN: 1860582591 Notes: ''Collected papers from the Engineering Design Conference 2000 held at Brunel University, UK, 27-29 June 2000'' '' Prelims.Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering design Congresses. 6. Design applications in industry and education: organized by the Institution of Mechanical Engineers (IMechE); [editors: S Culley ... [et al.]]. Conference Name: International Conference on Engineering Design (13th: 2001: Glas- gow, Scotland) Title: Design applications in industry and education: 13th International Conference on Engineering Design - ICED 01: 21-23 August 2001, Scottish Exhibiton and Coference Centre, Glasgow, UK /organized by the Institution of Mechanical Engineers (IMechE); [editors: S Culley ... [et al.]]. Other Entries: Culley, Steve.Institution of Mechanical Engineers (Great Britain) WDK, Workshop Design''Konstruktion. Published: Bury St Edmunds: Professional Engineering Publishing for the Institution of Mechanical Engineers, 2001. Description: xiii, 481p: ill.; 24cm. 137 ISBN: 1860583571 Series: WDK; 28WDK; 28. Notes: One of four books resulting from the contributions to the conference.Includes bib- liographical references and index. Subjects: Industrial designStudy and teachingCongresses. Engineering design Study and teaching Congresses. 7. Design sensitivity analysis: Lisa G. Stanley, Dawn L. Stewart. Main author: Stanley, Lisa Gayle Davis. Title: Design sensitivity analysis: computational issues of sensitivity equation methods /Lisa G. Stanley, Dawn L. Stewart. Other Entries: Stewart, Dawn L.Society for Industrial and Applied Mathematics. Published: Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, c2002. Description: xxi, 139 p.: ill. (some col.); 27 cm. ISBN: 0898715245 Series: Frontiers in applied mathematics; Notes: Includes bibliographical references (p. 135-138) and index. Subjects: Engineering design Mathematical models. Mathematical optimization. 8. Design & nature : editors A. Carpi & C. A. Brebbia. Conference Name: International Conference on Design and Nature(5th: 2010: University of Pisa) Title: Design & nature : comparing design in nature with science and engineering /editors A. Carpi & C. A. Brebbia.Design & nature 9. The ICED Conferences http://www.iced11.org/About_ICED/Previous_ICED_Conferences.aspx
Notes: The ICED conference is a traveling conference series. The conference is now a biannual meeting. Design Society members can access all papers from this conference series by logging in to the members area of http://www.designsociety.org/ 10. The ASME International Design Engineering Technical Conferences (IDETC) includes the following conferences in 2012: 1st Biennial International Conference on Dynamics for Design (DFD) 9th International Conference on Design Education (DEC) 24th International Conference on Design Theory and Methodology (DTM) 17th Design for Manufacturing and the Life Cycle Conference (DFMLC) 14th International Conference on Advanced Vehicle Technologies (AVT) Notes: The Design Theory and Methodology conference promotes research, dissemina- tion of knowledge, and debate in topics including scientific theories of design, creativity and innovation in design, formal design methods, product modeling, design pedagogy, and design management. 11. The International Conference on Design Creativity (ICDC) Notes: ICDC provides a forum to discuss the nature and potential of design creativity from theoretical, methodological and practical viewpoints. It will include panel discussions on the directions for design creativity research, and is an official conference promoted by the Design Creativity Special Interest Group (SIG) of the Design Society. 138 SPECIAL ARTICLES AND DESIGN JOURNALS 1. Title: Applied design: Design Engineering handbook of applied design. 1971, edited by John Dancy. Also Titled Design engineering. Other Authors Dancy, John. Published West Wickham: Morgan Grampian (Kent), 1970. Physical Description iii-viii, 318, [12]p: illus, port; 30cm + Pbk. Subjects Engineering design '' Periodicals. Language English ISBN 0900865601 Libraries Australia ID 48014255, Contributed by Libraries Australia. 2. Career opportunities.Teaching design and technology. Title: Career opportunities.Teaching design and technology. Other Entries: Design and Technology Association. Published: Wellesbourne: Design and Technology Association, [2001]- Description: v.: ill.; 30 cm.Annual Notes: Description based on: 2001/2002. Subjects: Engineering design Study and teaching Great Britain Periodicals. TechnologyStudy and teachingGreat Britain Periodicals. Teachers Training of Great Britain Periodicals. 3. Journal of engineering design Published: [Abingdon, Oxfordshire, England]: Carfax International PublishersPrint began with vol. 1, no. 1, published in 1990. Description: Text (electronic journal).Six issues yearly, 2004-Quarterly, 1990-2003 ISSN: 1466-1837 Notes: Published: Taylor & Francis, <2003->Access restricted to authorised University of Cambridge usersMode of access: World Wide Web. Subjects: Engineering designPeriodicals. Classmark: Online
http://www.tandf.co.uk/journals/tf/09544828.html 4. International journal of design engineering. Title: International journal of design engi- neering. Published: Genève: Inderscience Enterprises, [2007]-Vol. 1, no. 1 (2007)- Description: v.; 24 cm.Quarterly ISSN: 1751-5874 Subjects: Engineering designPeriodi- cals.
http://www.inderscience.com/browse/index.php'journalCODE=ijde 5. Design and culture. Title: Design and culture: the journal of the Design Studies Forum.Design & culture Other Entries: Design Studies Forum. Published: Biggleswade: Berg Publishers, Began with vol. 1, issue 1 (Mar. 2009). Description: v.: ill.; 25 cm.3 issues a year ISSN: 1754-7075 Notes: Description based on: Vol. 2, issue 1 (Mar. 2010). Subjects: Design Philosophy Periodicals. DesignSocial aspectsPeriodicals.
http://www.designandculture.org/index.php/dc 139 6. Journal of engineering, design and technology. Title: Journal of engineering, design and technology. Published: Bradford: Emerald Group, Description: v.: ill.; 24 cm. ISSN: 1726-0531 Notes: Description based on: v.5, no. 1 (2007) Subjects: EngineeringPeriodicals. Design and technologyPeriodicals.
http://www.emeraldinsight.com/products/journals/journals.htm'
id=JEDT 7. International journal of organisational design and engineering. Title: International journal of organisational design and engineering. Published: [Olney]: Inderscience Enterprises Ltd., 2010-Vol. 1, no. 1/2 (2010)- Description: v.; 25 cm. ISSN: 1758-9797 Subjects: Industrial organizationPeriodicals
http://www.inderscience.com/browse/index.php'journalID=344&year=
2010&vol=1&issue=1/2 8. International Journal of Design Title: Do Users Know What Designers Are Up To' Product Experience and the Inference of Persuasive Intentions Author: Nathan Crilly Vol 5, No 3 (2011) ISSN: 1994-036X (online); 1991-3761 (print) Notes: The International Journal of Design is a peer-reviewed, open-access journal de- voted to publishing research papers in all fields of design. It aims to provide an inter- national forum for the exchange of ideas and findings from researchers across different cultures and encourages research on the impact of cultural factors on design theory and practice.
http://www.ijdesign.org/ojs/index.php/IJDesign/ 9. Journal of mechanical design American Society of Mechanical Engineers Periodical: 7 versions: 1900-2011 Subjects: Engineering design- Periodicals. Mechanical engineering - Periodicals.
http://asmedl.org/MechanicalDesign/ 10. Design Issues Bruce Brown, Richard Buchanan, Dennis P. Doordan and Victor Margolin, Editors Published: Quarterly (Winter, Spring, Summer, Autumn) Description: 112 pp. per issue 7 x 10, illustrated Founded: 1984 ISSN 0747-9360 E-ISSN 1531-4790 Notes: The first American academic journal that provokes inquiry into the cultural and intellectual issues surrounding design. Regular features include theoretical and critical ar- ticles by professional and scholarly contributors, extensive book reviews, and illustrations. 140 Subject: Design history, theory, and criticism.
http://www.mitpressjournals.org/loi/desi 11. The Design Journal Editor Rachel Cooper, Lancaster University, UK Associate Editor: Paul Atkinson, Sheffield Hallam University, UK Print ISSN: 1460-6925 Online ISSN: 1756-3062 Published: 4 times per year from 2011 Notes: Established in 1998, The Design Journal is an international refereed journal cover- ing all aspects of design. Official journal of the European Academy of Design
http://www.bergpublishers.com/JournalsHomepage/TheDesignJournal 12. http://machinedesign.com/ 13. http://www.springer.com/engineering/mechanical+eng/journal/163 14. http://www.springer.com/materials/mechanics/journal/10999 OTHER PUBLICATIONS 1. Engineering design and artificial intelligence: George Rzevski. Main author: Rzevski, G.(George) Title: Engineering design and artificial intelligence: the text of an inaugural lecture deliv- ered at the Open University on 29 May 1990 /George Rzevski. Other Entries: Open University. Published: Milton Keynes: Open University, c1990. Subjects: Artificial intelligence. Engineering design. 2. Theory and design in the second machine age /Martin Pawley. Main author: Pawley, Martin. Title: Theory and design in the second machine age /Martin Pawley. Published: Oxford: Blackwell, 1990. Description: xii, 189p; 26cm. ISBN: 0631158286 Subjects: ArchitecturePhilosophy. Architectural design. Architecture England. Architecture, Modern20th century England. Architecture England Technologiocal innovations. 3. Introduction to engineering design optimization /Chinyere Onwubiko. Main author: On- wubiko, Chinyere Okechi. Title: Introduction to engineering design optimization /Chinyere Onwubiko. Published: Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall; London Prentice-Hall International, c2000. Description: vii, 312 p.: ill.; 25 cm. ISBN: 0201476738 Notes: Includes bibliographical references and index. Subjects: Engineering designMathematical models. Mathematical optimization. 141 4. Wonders of the ancient world: Justin Pollard. Main author: Pollard, Justin, 1968- Title: Wonders of the ancient world: antiquity''s greatest feats of design and engineering /Justin Pollard. Published: London: Quercus, 2008. Description: 191 p.: col. ill.; 29 cm. ISBN: 9781847248909 (hbk.): 184724890X (hbk.): Notes: Bibliography: p. 190. - Includes index. Subjects: Archaeology, Antiquities, Technology and civilization, Engineering History To 1500, Design History To 1500. 5. Philosophy of technology and engineering sciences /edited by Anthonie Meijers. Title: Philosophy of technology and engineering sciences /edited by Anthonie Meijers. Other Entries: Meijers, Anthonie. Published: Amsterdam; London: Elsevier, 2009. Description: xvii, 1453 p.: ill.; 25 cm. ISBN: 9780444516671: 0444516670: Series: Handbook of the philosophy of science; v. 9 Notes: Formerly CIP.Includes bibliographical references and index. Subjects: Technology Philosophy, Engineering design Philosophy. 6. Strategy without design: Robert C. H. Chia and Robin Holt. Main author: Chia, Robert C. H., 1949- Title: Strategy without design: the silent efficacy of indirect action /Robert C. H. Chia and Robin Holt. Other Entries: Holt, Robin, 1966- Published: Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Description: xii, 248 p.; 24 cm. ISBN: 9780521895507 (hbk.): 0521895502 (hbk.): Notes: Includes bibliographical references and index. Subjects: Strategic planning Social aspects. PlanningSocial aspects, Strategy (Philoso- phy). 142 L''IMPORTANZA DELLA PROCEDURA DI
REGOLARIZZAZIONE NELLA CALIBRAZIONE DI UNA
CELLA DI CARICO A SEI GRADI DI LIBERTA'' SOVRA-
DETERMINATA


Giorgio Olmi
Dip. di Ing. delle Costruzioni Meccaniche, Nucleari, Aeronautiche e di Metallurgia,
Università degli Studi di Bologna, Italia
E-mail: giorgio.olmi@unibo.it


Sommario. La costruzione di celle di carico a sei gradi di libertà, in grado di misurare le
azioni trasmesse dallo scarpone allo sci, ha subito un particolare impulso in questi ultimi
anni. La principale motivazione è legata alla conduzione di studi biomeccanici ed alle
campagne di prove su attrezzature sciistiche in vista dello sviluppo di nuovi prototipi. In
questo contesto è stata sviluppata una cella di carico basata sull''utilizzo di quattro
elementi sensibili, montati fra due piastre, strumentati tramite estensimetri elettrici. Le sei
azioni vengono misurate tramite otto canali estensimetrici. Vengono presentati i dettagli
sulla calibrazione sperimentale e successivamente sulle prove condotte per valutare la
bontà delle misure. L''esito di queste prove ha indicato un comportamento non
sufficientemente accurato e preciso, cui si è fatto fronte, attuando la procedura di
regolarizzazione secondo Tikhonov-Phillips. Il presente lavoro entra nei dettagli
metodologici, che hanno portato alla stima del valore ottimale del coefficiente di
smorzamento, parametro chiave su cui si basa la regolarizzazione in discorso. La
rivisitazione dei risultati alla luce della regolarizzazione ha mostrato un comportamento
della cella di carico nettamente più accurato e particolarmente robusto anche a seguito di
disturbi sul rilievo sperimentale. Il lavoro, oltre a risultati pratici, presenta spunti
metodologici generalizzabili anche ad altri strumenti di misura.

Parole chiave: cella di carico a sei gradi di libertà, regolarizzazione, Tikhonov-Phillips
1. INTRODUZIONE Il progetto e la costruzione di una cella di carico a sei gradi di libertà, in grado di rilevare le
tre componenti di forza e le tre componenti di momento, rappresenta un''attività spesso
complessa, per la presenza di diverse variabili in gioco e la possibile insorgenza di diverse
criticità. Un primo aspetto riguarda i carichi, che possono essere di tipo statico, ciclico o
impulsivo, applicati in corrispondenza di un volume ristretto, o distribuiti su una zona più
ampia, con la possibilità che il rispettivo punto di applicazione possa mutare la sua
posizione. In secondo luogo va valutata la tecnica più idonea per misurare tali azioni: la
cella deve essere sensibile anche ai valori più bassi delle componenti applicate e non deve
cedere in presenza delle sollecitazioni più elevate. E'' chiaro che queste esigenze sono
spesso conflittuali fra loro: un compromesso deve essere ricercato, anche scegliendo
opportunamente la tipologia di sensori da utilizzare. Ulteriori elementi su cui riflettere in
cascata sono legati allo sviluppo o alla scelta di un idoneo sistema di acquisizione multi- 143 canale: tale scelta è influenzata dalla tecnologia di sensori adottata, dal numero di azioni e
canali di misura in gioco e dalle modalità di somministrazione dei carichi. La presenza di
carichi dinamici richiede solitamente una frequenza di campionamento elevata ed un
software in grado di processare i dati rapidamente. La misura delle azioni viene operata,
elaborando i rilievi sperimentali e combinandoli e confrontandoli con i risultati ottenuti in
sede di calibrazione. Tale operazione, in particolare per le celle di carico a più assi, presenta
alcune criticità: la prima è di carattere operativo ed è legata alla difficoltà nell''applicazione
disaccoppiata dei carichi di forza e momento, il che spesso richiede l''espressa realizzazione
di opportune attrezzature. Dal punto di vista dell''elaborazione numerica dei dati, la
procedura di calibrazione permette di determinare una matrice di cedevolezza, detta
''compliance matrix', che lega i segnali in uscita dai canali di misura, ad esempio le letture
dei ponti di Wheatstone estensimetrici, alle azioni meccaniche in studio. Tale matrice deve
essere opportunamente invertita, per permettere di ricavare le azioni a partire dai dati
sperimentali. Solitamente, l''operazione di inversione è matematicamente possibile e si può
affermare che la matrice è non degenere. Il mancato soddisfacimento di tale condizione
pone di fronte ad una seria problematica, che va sotto il nome di mal condizionamento della
cella di carico. Inconvenienti legati al mal condizionamento possono insorgere, qualora la
cella non sia ben progettata ed in particolare gli organi sensibili non risultino ben collocati
in relazione alle azioni che debbono rilevare. Altrimenti, possono manifestarsi in presenza
di una sovra-determinazione, quando cioè il numero di canali di misura risulta superiore a
quello delle azioni incognite. Qualora ci si trovi in questa condizione, subentrano una serie
di tecniche, che permettono di operare comunque l''inversione della matrice e di correggere
matematicamente il mal condizionamento del sistema di misura. Fra queste tecniche si
annoverano quelle di pseudo-inversione e di regolarizzazione tramite i metodi di Tikhonov-
Phillips e di Tikhonov-Miller [1-3]. Uno dei settori, in cui si è sentita la necessità di sviluppare celle di carico a sei gradi di libertà per una completa misura delle azioni in gioco, ed in cui tale attività di ricerca ha
rappresentato spesso un''ardua sfida per la presenza di alcune delle criticità sopra riportate,
è quello delle attrezzature sportive. Fra queste, si possono in particolare citare quelle
utilizzate in ambito sciistico: gli sci e gli scarponi sono organi soggetti ad azioni piuttosto
forti nelle diverse fasi del loro impiego. L''esecuzione di curve o salti, i movimenti tipici
della sciata con frequenti cambi della posizione anatomica dello sciatore. ed anche le
operazioni di aggancio tramite gli attacchi o di rilascio improvviso determinano azioni
dinamiche rilevanti. Campagne di misura focalizzate sulle azioni trasmesse all''interfaccia fra sci e scarpone possono fornire informazioni di tipo biomeccanico, utili per la piena comprensione del
meccanismo della sciata o per lo sviluppo di nuove attrezzature. Esempi di prove sul campo
con sci strumentati sono riportati in [4-7], mentre in [8] viene documentato l''uso di sensori
di pressione posti sulla lamina sinistra di uno sci, nel monitoraggio del peso trasmesso al
terreno durante una discesa. I risultati sono posti in relazione con i tracciati percorsi,
rettilinei o con curve a destra ed a sinistra. L''analisi dei rilievi, combinati anche con dati
cinematici, ha permesso di ricavare curve che illustrano la diversa ripartizione del peso a
seconda della manovra compiuta dallo sciatore. Prove analoghe sono state compiute anche
in [9], in cui celle di carico estensimetriche sono state utilizzate per monitorare i parametri
dinamici tipici di una sciata, valutando l''influenza della massa dello sciatore, quella della
pendenza della pista, e quella dello stile nell''affrontare le curve.
144 Figura 1. Elemento sensibile strumentato (a), i quattro sensori montati sulle piastre inferiori collegate allo sci (b), dettaglio del collegamento fra sensore e piastra superiore (c).
In altri casi, celle di carico estensimetriche sono state impiegate nello studio del controllo del movimento di atleti professionisti, abbinando i rilievi di natura meccanica alla
misurazione di segnali elettromiografici. Studi di questo tipo permettono di monitorare le
contrazioni ed i rilasci dei fasci muscolari durante le fasi della sciata, valutando infine il
lavoro muscolare complessivo al fine del miglioramento delle prestazioni dell''atleta [10-
11]. In [9] vengono inoltre evidenziati ulteriori impieghi di celle di carico fra sci e
scarpone, finalizzati allo sviluppo preliminare di innovativi sistemi di attacco, integrati
nello sci o nello scarpone, e caratterizzati da una maggiore compattezza, da una maggiore
comodità per lo sciatore e da elevati parametri di sicurezza. Il progetto di una cella di carico a sei gradi di liberta, per utilizzo su uno sci fu l''oggetto della tesi di laurea dello scrivente [12]. Le caratteristiche principali di tale studio
possono essere così riassunte: gli elementi sensibili sono posti fra due piastre, delle quali
l''una collegata allo sci e l''altra allo scarpone mediante il meccanismo di attacco. Tali
elementi, nel numero di quattro ed uguali fra loro, presentano zone sensibili alle forze
longitudinale, trasversale e verticale. Nella Fig. (1 a, b) sono mostrati il dettaglio di un
sensore ed il complessivo, con i quattro elementi montati sulle piastre inferiori, prima
dell''assemblaggio di quelle superiori. In Fig. (1 c) è riportato un particolare relativo al
collegamento di ciascun sensore con la piastra superiore. Tale collegamento è operato
mediante una vite, con utilizzo di molle a tazza come distanziali, che permettono di ottenere
il giusto compromesso fra rigidezza e cedevolezza, per la saldezza del collegamento e la
corretta deformazione dell''organo sensibile. Ulteriori dettagli in proposito sono riportati in
[12-13]. (a) (b) (c) 145 Figura 2. Vista in pianta dei quattro sensori con indicazione delle localizzazioni degli estensimetri e dei relativi collegamenti a ponte di Wheatstone.
Ciascuno dei sensori è strumentato con estensimetri elettrici, posti nelle zone sensibili prima evidenziate: la rispettiva collocazione è mostrata nelle Figg. (1-2). Questi sono a loro
volta collegati a formare mezzi ponti e ponti interi di Wheatstone per un totale di otto
canali: in altre parole le informazioni sulle sei azioni, tre forze e tre momenti, trasmesse
all''interfaccia fra sci e scarpone, sono elaborate processando gli otto segnali in uscita,
relativi ai suddetti collegamenti. Maggiori ragguagli in proposito sono forniti nel Par. (2).
Va rilevato che una tale soluzione nasceva dall''evoluzione di un precedente dispositivo
[14], caratterizzato dall''essere meccanicamente isostatico: ogni azione era equilibrata da un
unico elemento strumentato, scaricandosi su piccole e semplici strutture che lavoravano a
flessione come travi a mensola caricate ad un''estremità. Caratteristica del presente dispositivo è invece la sua natura iperstatica, che ne conferisce una maggiore sicurezza, nel caso del cedimento di uno degli elementi sensibili e
strutturali. Per contro, tale natura e la conseguente sovra-determinazione nel rapporto fra
segnali in uscita ed azioni misurate determinano dei problemi di mal condizionamento, che
saranno dettagliatamente illustrati e discussi nel Par. (2). Altre soluzioni sono state presentate in seguito da [10], soluzioni che risultano migliorative dal punto di vista della compattezza, del minore effetto di rinforzo della cella e
della minore massa impiegata. Va rilevato che tali soluzioni riprendono gli stessi concetti
già precedentemente riportati con riferimento a [12-13], in particolare l''utilizzo di due
piastre, superiore ed inferiore, e l''impiego di corpi sensibili collocati fra di esse ed
opportunamente strumentati con estensimetri. Il problema della sovra-determinazione e
conseguente mal condizionamento è stato in tal caso affrontato, utilizzando un approccio
semplificato. Si sono tarate separatamente la parte anteriore e posteriore della cella,
rimandando il calcolo delle sollecitazioni complessive ad un successivo post-processing dei
dati. E'' da rilevare che un approccio simile era stato tentato anche nella fase preliminare del
presente studio, in cui si era eseguita una taratura sensore per sensore [12]: tuttavia non era
parso percorribile, stante la scarsa accuratezza dei risultati. Direzione di avanzamento Canale 1 V '' ε1 Canale 2 V '' ε2 Canale 3 V '' ε3 Canale 4 V '' ε4 Canale 5 V '' ε5 Canale 6 V '' ε6 Canale 7 V '' ε7 Canale 8 V '' ε8 146 Tale risultanza ha rafforzato l''interesse nei confronti del procedimento di regolarizzazione secondo Tikhonov-Phillips suggerito in [1-2]. Questo si riconduce alla
determinazione di un parametro detto ''damping factor', fattore di smorzamento, che va
stimato, ricercando il giusto equilibrio fra la regolarizzazione e l''accuratezza della
soluzione. Va però osservato che in letteratura non vengono presentati metodi pratici per
arrivare alla determinazione ottimale di tale valore. Un interessante contributo in tal senso,
anche se in un campo piuttosto diverso, è fornito da [15]: tuttavia l''aspetto metodologico
resta ancora sullo sfondo, inoltre, non è possibile apprezzare i vantaggi dell''opera di
regolarizzazione. Obiettivo del presente lavoro è quindi quello di illustrare la procedura di calibrazione [16] della cella di carico qui presentata [12-13], evidenziandone il metodo e le criticità
presentatesi. Successivamente, ci si propone di illustrare la procedura di regolarizzazione,
che è stata posta in atto per far fronte al cattivo condizionamento. In particolare, vengono
evidenziati i seguenti punti cardine:
' Valutazione degli effetti del mal condizionamento.
' Fondamenti del metodo di regolarizzazione secondo Tikhonov-Phillips.
' Determinazione pratica del valore ottimale del coefficiente di smorzamento.
' Impatto della regolarizzazione sui risultati. 2. CELLA DI CARICO E CALIBRAZIONE La Fig. (2) mostra una vista di pianta del dispositivo di misura con l''indicazione dei quattro
sensori, delle localizzazioni degli estensimetri e dei relativi orientamenti. Gli estensimetri
numerati da 1 ad 8 intervengono nel rilievo della forza lungo l''asse longitudinale e sono
posizionati solamente sui sensori anteriori. Sono incollati in corrispondenza di superfici
verticali, la cui sezione è stata opportunamente ridotta, per aumentare la sensibilità. Di tali
estensimetri, quelli con numeri dispari sono posti lungo l''asse longitudinale, mentre i
restanti sono orientati trasversalmente. Dal punto di vista operativo, si è fatto uso di rosette
a due griglie con le seguenti caratteristiche: codice: CEA-06-125UT-350, costruttore:
Micro-Measurements, Raleigh, North Carolina, U.S.A.. Come risulta dalla Fig. (2), gli
estensimetri succitati sono collegati a formare due ponti interi di Wheatstone, realizzando
un collegamento tipico per la misura della sollecitazione lungo l''asse. Gli estensimetri
indicati con i numeri da 9 a 12 sono posti su superfici verticali dei sensori anteriori, con
orientamento longitudinale. Tali estensimetri intervengono nel rilievo delle azioni
trasversali. Il collegamento è ancora a ponte intero: nella sua realizzazione gli estensimetri
posti sullo stesso fianco delle superfici verticali sono collegati su rami opposti del ponte.
Questo è dovuto al fatto che, in presenza delle azioni succitate, è ragionevole pensare che
tali estensimetri siano soggetti a deformazioni aventi lo stesso segno. Analoghe
considerazioni valgono per quelli indicati con i numeri da 17 a 20, posti sui sensori
posteriori. Gli estensimetri indicati con i numeri da 13 a 16 sono posti, superiormente ed
inferiormente, su superfici orizzontali dei sensori anteriori. Tali estensimetri risultano
sollecitati a flessione dalle azioni verticali. Il collegamento elettrico è operato tramite due
mezzi ponte di Wheatstone, in cui gli estensimetri posti sulle superfici inferiore e superiore
sono collocati su rami adiacenti. Tale collegamento, tipicamente utilizzato per valutare
sollecitazioni flessionali, parte dalla supposizione che, in presenza delle azioni succitate, le
deformazioni sulle coppie di estensimetri collegati siano uguali ed opposte. Anche in tale
caso, argomentazioni analoghe valgono per gli estensimetri posti sui sensori posteriori, con
numeri da 21 a 24. Tutti gli estensimetri numerati da 9 a 24 sono da intendersi come mono-
griglia con il seguente codice: C 980 204-E, costruttore: Micro-Measurements. 147 Figura 3. Sistema sci-scarpone e sistema di riferimento considerato.
Nel progetto della cella di carico si è cercato di porre una particolare attenzione al disaccoppiamento dei segnali. Tale disaccoppiamento si riscontra innanzitutto su due
livelli, ossia nel progetto del sensore e nella scelta dei collegamenti. Come già rilevato, i
sensori sono stati studiati in modo tale che si potessero in essi individuare delle zone
particolarmente sensibili alle azioni longitudinale, trasversale e verticale. Gli estensimetri
sono posti in corrispondenza di tali zone e sono collegati in maniera tale da massimizzare la
risoluzione nella misura delle sollecitazioni di interesse, operando d''altra parte la
cancellazione delle altre componenti. Il terzo livello ancora da discutere è quello della
calibrazione, aspetto che verrà descritto nel seguito. Metodo di calibrazione e procedura sperimentale L''intero dispositivo è stato calibrato applicando rampe di carico disaccoppiate. Per ciascuna
delle componenti [Fx; Fy; Fz; Mx; My; Mz] T, il carico è stato gradualmente aumentato, secondo step opportuni, sino al valore di fondo scala. Ad ogni passo di carico sono state
rilevate le letture in corrispondenza di ognuno degli otto canali. La Fig. (3) mostra il
sistema di riferimento adottato, mentre la Tab. (1) illustra il dettaglio dei carichi misurati,
con indicazione del rispettivo valore massimo. Una volta raggiunto tale valore, l''intensità della componente applicata è stata via via diminuita, secondo gli step di carico seguiti durante la rampa ascendente, continuando il
rilievo e la memorizzazione delle letture su ciascuno dei canali. Una volta raggiunto il
valore nullo, laddove previsto, il carico è stato invertito (si veda la Tab. (1)) e via via
nuovamente aumentato fino al suo valore massimo nel verso opposto. Raggiunto anche tale
valore massimo, il carico è stato diminuito di intensità fino a ritornare a zero. Il
raggiungimento del valore nullo al termine delle descritte rampe ascendenti e discendenti
ha segnato la fine di una serie di carico. Per ogni componente si sono eseguite tre serie di
carico secondo le modalità presentate, per conferire rilievo statistico ai dati.
x Fx Mx z Mz Fz y My Fy 148 Tabella 1. Carichi misurati e relativi valori di fondo scala. Azione Forza di spinta Carico laterale Carico verticale Momento di rollio Momento di beccheggio Momento torcente Indicativo Fx Fy Fz Mx My Mz Valore massimo +200 N ±235 N ±981 N ±18,5 Nm ±172 Nm ±34 Nm
Figura 4. Attrezzatura per la calibrazione: sistemi di carico e vincolo nell''applicazione dei momenti Mx (a) ed My (b).
Dal punto di vista operativo, si ponevano, come illustrato nell''introduzione, diverse problematiche legate all''applicazione delle componenti di forza e momento in maniera
disaccoppiata ed alla creazione di un sistema di carichi e vincoli, che riproducesse quello
per cui la cella era stata progettata. Si è proceduto pertanto con la progettazione e (a) (b) 149 costruzione di un''opportuna attrezzatura in grado di bloccare le piastre superiori della cella
di carico (quelle su cui normalmente vengono applicati gli attacchi) e di applicare carichi
opportuni su uno sci, preventivamente collegato alle piastre inferiori. I carichi sono stati
applicati, tramite l''utilizzo di pesi calibrati agganciati a funi; nel caso dei momenti, la
coppia di forze è stata realizzata tramite l''applicazione diretta del carico da un lato e
l''applicazione tramite carrucola di un carico uguale ed opposto dall''altro. Alcuni dettagli
dell''attrezzatura e del suo impiego in sede di calibrazione sono mostrati in Fig. (4) con
riferimento ai dispositivi di vincolo e carico nell''applicazione dei momenti puri Mx ed My. Una volta determinate tutte le caratteristiche lineari interpolate per ogni componente di carico e per ogni canale di uscita, si è quindi ricavata la ''compliance matrix' B. Tale
matrice, inserita nell''Eq. (1), genera ad un sistema di otto equazioni in sei incognite,
rappresentate dalle sei componenti di carico succitate. Come illustrato in [3], tale sistema è
teoricamente impossibile, può però essere risolto in via approssimata, tramite il
procedimento della pseudo-inversione ai minimi quadrati [1-2]. L''Eq. (2) mostra l''ipotesi
che permette la sua risoluzione ed il risultato finale, con il vettore delle forze espresso in
funzione di quello delle letture sperimentali, attraverso la matrice pseudo-inversa B -g. L''Eq. (3) mostra infine l''equazione simbolica, che permette di risolvere il problema in studio,
ossia la determinazione di un qualsiasi vettore di forze e momenti, sulla base dei dati
sperimentali rilevati. La matrice di calibrazione C raccoglie in sé tutti i dati sulla risposta
della cella di carico, dal punto di vista meccanico e sensoristico. [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]                    '' =                           '' '' = Nm M Nm M Nm M N F N F N F B F B z y x z y x µε ε µε ε µε ε µε ε µε ε µε ε µε ε µε ε ε 8 7 6 5 4 3 2 1 (1) ( ) ε ε ε g T T B B B B F F B '' '' = '' = '' = '' '' 1 2 . min (2) ε '' = '' = '' C F C B g (3) Risultati della calibrazione La prima matrice ad essere ottenuta è stata la ''compliance matrix' B, nella quale la (j-
esima) colonna contiene gli otto coefficienti angolari, corrispondenti alle pendenze delle
caratteristiche lineari interpolate, con riferimento alla j-esima componente. L''Eq. (4) riporta
i risultati numerici in relazione a tale matrice. Successivamente, si è operata la pseudo-inversione, secondo le ipotesi e le modalità indicate in Eq. (2): il risultato finale, nei termini della matrice di calibrazione C definita in
Eq. (3), è mostrato in Eq. (5).
150                           = 3,176 - 7,232 - 52,826 1,566 - 1,608 - 1,023 3,890 6,357 - 55,589 - 1,767 - 1,633 0,971 39,848 - 0,371 - 3,405 0,032 10,155 - 0,242 3,723 6,582 44,590 1,695 - 1,341 - 0,736 - 3,004 - 6,158 50,103 - 1,492 - 1,546 0,344 - 39,562 0,564 1,361 0,150 9,633 - 0,143 0,638 - 0,026 - 3,709 0,024 0,008 - 0,773 0,476 - 0,046 - 0,020 - 0,016 0,441 0,273 B (4)                     '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' = '' '' '' '' 4 4 4 5 10 2 001 , 0 012 , 0 10 9 002 , 0 013 , 0 10 2 10 4 049 , 0 118 , 0 014 , 0 046 , 0 147 , 0 020 , 0 087 , 0 275 , 0 007 , 0 007 , 0 002 , 0 003 , 0 002 , 0 001 , 0 002 , 0 0,006 057 , 0 234 , 0 018 , 0 262 , 0 029 , 0 025 , 0 090 , 0 0,280 017 , 0 019 , 0 053 , 0 017 , 0 019 , 0 047 , 0 017 , 0 0,052 746 , 0 701 , 0 121 , 0 748 , 0 949 , 0 176 , 0 743 , 0 2,352 C (5) Prove di validazione e discussione Una volta determinata la matrice di calibrazione, si sono effettuate delle prove di
validazione, anche utilizzando le attrezzature messe a punto in fase di taratura. In
particolare, si sono applicati dei carichi combinati, tramite l''applicazione contemporanea di
forze e momenti su più assi. Tali carichi risultavano di entità note, essendo generati da pesi
calibrati, opportunamente collegati allo sci (direttamente o tramite carrucole
nell''applicazione dei momenti puri). I carichi sono stati applicati staticamente con
contestuale lettura dei segnali in uscita di ciascuno degli otto ponti di Wheatstone: come
suggerito dall''Eq. (1), tali segnali vanno intesi come le somme algebriche delle
deformazioni degli estensimetri coinvolti (Fig. (2)), espresse in µε. Successivamente, applicando l''Eq. (3) e considerando l''Eq. (5), si è valutato il vettore dei carichi formato
dalle sei componenti. I valori ottenuti sono stati ovviamente confrontati con quelli
effettivamente applicati. Le prove effettuate presentano la caratteristica comune di vedere coinvolte tutte le sei componenti, prevedendo forze e momenti, portati fino anche al valore di fondo scala, sia in
campo positivo, che in campo negativo. Alcuni dei risultati sono riportati nelle Figg. (5-6).
In particolare, la Fig. (5) si riferisce ad una prova in cui sono stati applicati i seguenti valori
per le sei componenti, con riferimento al sistema d''assi in Fig. (3): [Fx; Fy; Fz; Mx; My; Mz] T = [147 N; -39,2 N; 785 N; -18,1 Nm; -137 Nm; 27,5 Nm] T. Negli istogrammi vengono confrontati i valori misurati dalla cella di carico e quelli effettivi. Si può osservare che, se
da un lato appaiono accettabili gli errori nella stima di Fy, Fz, Mx ed Mz, dall''altro si ha uno
scostamento del 16% nella valutazione di My ed un errore addirittura del 110% in quella di
Fx. In particolare, tale azione, quella di spinta orizzontale, si è rivelata la più problematica
da misurare, ossia quella condizionata dai maggiori errori. 151 Figura 5. Risultato di una prova di validazione sotto carico multi-assiale.
Figura 6. Risultato di un''altra prova di validazione con azioni al rispettivo valore massimo. -400 0 400 800 1200 Fx Fy Fz Fo rz e [ N ] Misurato
Applicato Fx Fy Fz -200 -100 0 100 Mx My Mz Mo me n ti [ N m ] Misurato
Applicato Mo me n ti [ N m] Mx My Mz 0 400 800 1200 Fx Fy Fz Fo rz e [ N ] Misurato
Applicato Fx Fy Fz 0 100 200 Mx My Mz Mo me n ti [ N m] Misurato
Applicato Mo me n ti [ N m] Mx My Mz 152 Questo è evidente anche dalla risultanza della successiva prova con riferimento alla Fig. (6). In tal caso, i carichi combinati applicati vedevano tutte le sei azioni pari ai
rispettivi valori di fondo scala in campo positivo, indicati in Tab. (1). L''analisi degli
istogrammi mostra valori accettabili per Fy, Fz, Mx ed Mz, ma ancora una scarsa accuratezza
nelle stime del momento di beccheggio e della forza di spinta. Nel primo caso lo
scostamento è dell''ordine dell''11%, nel secondo arriva a sfiorare il 100%. I risultati fino ad ora mostrati sono, come si diceva, ottenuti tramite applicazione statica dei carichi in un contesto di laboratorio. Questa affermazione evoca alcune affermazioni di
Taguchi [17], parte integrante della sua celebre teoria nell''ambito del progetto
dell''esperimento. Un dispositivo viene normalmente costruito e messo a punto in
laboratorio, tuttavia esso è destinato ad essere utilizzato al di fuori di un ambiente
rigidamente controllato, quale è quello di prova. La cella di carico in discorso ad esempio è
destinata principalmente a prove sul campo, in cui i carichi sono applicati dinamicamente,
sia durante prove su pista, che nel corso di test di aggancio e sgancio. Da questo segue il
concetto di ''progetto robusto': se il dispositivo è ben progettato, le sue prestazioni non
devono degradare in presenza di disturbi, che possono essere presenti nell''ambente esterno.
Nella fattispecie, nelle condizioni di uso dinamico, è possibile che le deformazioni indotte
sugli estensimetri e rilevate in corrispondenza degli otto canali risultino alterate rispetto a
quelle che si avrebbero, a parità di carichi, a seguito di una loro applicazione statica in
laboratorio. Affinché il progetto sia robusto, è essenziale che piccole alterazioni dei segnali
rispetto a quelli di riferimento in condizioni di taratura non si traducano in errori abnormi
nel rilievo delle azioni.

Figura 7. Risposta del trasduttore nel caso di una perturbazione del 5% sui segnali letti. -400 0 400 800 1200 Fx Fy Fz Fo rz e [ N ] Misurato
Applicato Fx Fy Fz -200 -100 0 100 Mx My Mz Mo me n ti [ N m ] Misurato
Applicato Mo me n ti [ N m] Mx My Mz 153 Per tale ragione si è provato ad alterare di una piccola entità (il 5%) le letture rilevate nella prova cui fa riferimento la Fig. (5). I relativi istogrammi di confronto sono mostrati in
Fig. (7). Si nota che i problemi precedentemente evidenziati sono ingigantiti: se prima gli
errori si avevano sostanzialmente solo nelle misure di Fx ed My, ora se ne riscontrano nei
rilievi di tutte e sei le azioni. Nel caso di Fx, l''errore sale al 120%, mentre errori dal 15 al
13% sono presenti sulle stime delle azioni Fy, Fz, Mx ed My. Quanto rilevato indica un
ulteriore inconveniente della cella calibrata secondo la tradizionale procedura ivi descritta:
la scarsa robustezza. In sintesi, gli inconvenienti rilevati, sui quali si è intervenuto successivamente con la rielaborazione dei risultati e regolarizzazione sono i seguenti:
' Scarsa accuratezza nel rilievo delle sei azioni, con particolare riferimento ad Fx ed My.
' Scarsa robustezza e quindi bassa precisione: lievi disturbi sulle letture determinano grandi scostamenti sulle stime: visto che i disturbi possono verificarsi in maniera
casuale, i risultati sono potenzialmente poco ripetibili. 3. RIVISITAZIONE DEI RISULTATI E REGOLARIZZAZIONE I risultati sopra esposti hanno indotto ad una maggiore riflessione, volta a comprendere
prima di tutto le cause delle criticità presentatesi, e successivamente a individuare alcuni
rimedi. Ci si è soffermati inizialmente sul problema di scarsa accuratezza nel rilievo di
alcuni segnali. Nel Par. (2) si è illustrato come la cella di carico in discorso fosse stata
progettata e costruita secondo principi di disaccoppiamento del segnale. In sostanza, la
conformazione degli organi sensibili, la collocazione degli estensimetri ed il loro
collegamento erano stati scelti in modo tale che i segnali di uscita riferibili ad ogni canale
fossero riconducibili a particolari sollecitazioni ed il più possibile insensibili alle altre. Si
tratta di una linea progettuale che è molte volte raccomandata nello sviluppo di celle di
carico a più assi, come indicato in [18-22], in quanto facilita l''elaborazione numerica della
matrice di taratura e assicura sul fatto di essere in grado di rilevare tutte le sollecitazioni in
studio. Tuttavia, analizzando i risultati delle calibrazioni, si è potuto osservare come quelli che in teoria avrebbero dovuto restituire un segnale nullo, presentavano in realtà una risposta,
che spesso presentava un andamento alquanto irregolare. In particolare, tale risposta, pur
ripetitiva nell''arco delle tre prove effettuate e di scarsa entità in termini assoluti (soprattutto
se rapportata alle risposte sui canali deputati alla valutazione della sollecitazione corrente),
risultava di difficile interpolazione lineare. La Fig. (8) riporta ad esempio le risposte
riscontrate in corrispondenza dei canali 1 e 2 (Fig. (2)) a seguito dell''applicazione di un
momento di beccheggio My. I canali appena citati sono deputati alla misura della forza di
spinta e dovrebbero in teoria essere insensibili alle sollecitazioni in tal caso indotte
sull''elemento sensibile. Le letture appaiono tutte minori di 15 µε e ben ripetitive (con deviazione standard pari mediamente a 1 µε), tuttavia si nota un diverso comportamento, a seconda del segno della sollecitazione applicata. Questo fenomeno appare attribuibile ad
una leggera isteresi associabile al comportamento meccanico delle molle a tazza poste
all''interfaccia fra la vite di collegamento con l''elemento sensibile e la piastra superore. Nei
grafici della Fig. (8) appare anche che le rette interpolanti non passano per l''origine: è cioè
presente un leggero offset, che appare comunque ragionevolmente trascurabile. 154 Figura 8. Andamento irregolare delle letture dei canali 1 e 2 sotto l''azione di My.
Figura 9. Caratteristiche sotto l''azione di Fy: andamento lineare con offset per i canali 4, 5, 7 ed 8 (a) e lineare privo di offset con ottima sensibilità per i canali dedicati 3 e 6 (b). -20 -10 0 10 20 -300 -200 -100 0 100 200 300 Momento My [Nm] Canale 1
Canale 2 Let tu re [m ic rode fo rm az io ni ] Momento My [Nm] -600 -300 0 300 600 -300 -200 -100 0 100 200 300 Forza Fy [N] Le tt u re [ mi c ro d e fo rma z io n i] Canale 4 Canale 7 Canale 5
Canale 8 Forza Fy [N] -3000 -1500 0 1500 3000 -300 -200 -100 0 100 200 300 Forza Fy [N] Le tt u re [ mi c ro d e fo rma z io n i] Canale 3
Canale 6 Forza Fy [N] Canali 4-5-7-8 (a) (b) 155 Le risultanze sperimentali, tuttavia appaiono diverse, se si considerano le caratteristiche di Fig. (9 a). In tal caso sono mostrate le risposte dei canali 4, 5, 7 ed 8 all''applicazione
della sollecitazione Fy. Tali canali, che in teoria intervengono nel rilievo delle azioni Fz, Mx
ed My, presentano letture, che appaiono ben ripetibili nello sviluppo delle tre repliche
(deviazione standard media pari a 12 µε) e anche ben distribuite linearmente, ma sono condizionate da un offset, che nel caso del canale 4, arriva a 45 µε. Anche in tal caso tale offset appare legato al problema di isteresi prima evidenziato. La Fig. (9 b) mostra invece,
con riferimento alla medesima componente, le risposte sui canali 3 e 6, ossia quelli deputati
al suo rilievo. In tal caso si osservano un''elevata sensibilità (a fini di una comparazione, le
risposte sui canali 4, 5, 7 ed 8 prima indagate sono riportate anche nel presente grafico) e
ripetibilità (deviazione standard media pari a 8 µε), oltre ad una distribuzione lineare non condizionata da offset. L''analisi comparativa delle caratteristiche sperimentali rilevati sugli
otto canali per ognuna delle sei componenti di carico ha mostrato come fossero i canali 4, 5,
7 ed 8 (Fig. (9 a)) i più soggetti a problemi di offset. La presenza di questi termini costanti
era stata inizialmente trascurata nella procedura descritta al Par. (2), di conseguenza anche i
risultati descritti in tale paragrafo risultavano condizionati da questa semplificazione. La
prima idea è stata pertanto quella di re-intervenire sull''elaborazione dei dati di calibrazione
per tenere conto, dal punto di vista matematico, degli offset rilevati. In Eq. (6) viene
illustrato come si è determinato un vettore, indicato con ε0, che tiene conto degli offset sugli otto canali per effetto delle sei componenti di carico. Nella stessa equazione i pedici relativi
alle sei azioni di Tab. (1) indicano i contributi parziali attribuibili a ciascuna componente.
L''Eq. (7) mostra quindi come si possa ottenere una relazione analoga a quella di Eq. (1),
detraendo il termine di offset dal vettore delle letture sperimentali ε. Tale equazione può quindi essere invertita, Eq. (8), per la determinazione della matrice di calibrazione C.
Questo calcolo può essere operato tramite l''algoritmo di pseudo-inversione descritto nel
Par. (2), integrabile con la procedura di regolarizzazione oggetto del paragrafo successivo.
0 0 0 0 0 0 0 ε ε ε ε ε ε ε ε ε + '' = '' '' + + + + + + '' = F B F B z y x z y x M M M F F F (6) F B '' = '' = 0 ' ε ε ε (7) ' ε '' = C F (8) Metodi di regolarizzazione secondo Tikhonov-Phillips Nel paragrafo introduttivo si è discusso delle criticità nel progetto e nella realizzazione di
celle di carico a più assi. In particolare, si è sottolineato quanto sia importante scegliere
correttamente la forma da dare agli organi sensibili, nonché la collocazione ed il
collegamento degli estensimetri elettrici. Qualora non si rispettino giusti criteri, una prima
contropartita è data dal fatto che la matrice ottenuta in calibrazione, la ''compliance matrix',
anche se quadrata, tende ad essere degenere, ossia presenta un determinante piuttosto basso.
Visto che comunque il determinante è solitamente non esattamente uguale a zero, la
''compliance matrix' risulta invertibile e permette di ricavare la matrice di calibrazione. In
linea di principio, l''applicazione di tale matrice consente di risolvere il problema di misura
affrontato, ossia di effettuare la stima delle azoni per cui la cella è progettata. A livello
operativo si rileva però un comportamento che di fatto compromette l''utilizzabilità del
dinamometro, ossia il fatto che la misura delle azioni sia fortemente condizionata 156 dall''incertezza nel rilievo sperimentale. In altre parole, il comportamento della cella di
carico risulta instabile: piccoli errori nell''acquisizione degli segnali estensimetrici si
traducono in grandi errori sul rilievo delle azioni. Una cella di carico con le caratteristiche
sopra dette, determinante tendente a zero e comportamento instabile in sede di misura viene
abitualmente indicata come mal condizionata. Si osserva facilmente che il comportamento operativo descritto coincide con quello rilevato a proposito della cella di carico in studio. Anche il problema di scarsa robustezza e
precisione evidenziato al termine del Par. (2) può quindi essere fatto rientrare in un quadro
di mal condizionamento. D''altra parte, anche in [3] viene rilevato che l''utilizzo di un
numero di dati sperimentali in sovrannumero rispetto alle grandezze da misurare rientra
nella formulazione di un problema sovra-determinato e quindi mal condizionato. Per
raggiungere una buona soluzione a tale problema, che eviti gli inconvenienti prima
evidenziati, occorre adottare un''opportuna procedura di regolarizzazione all''atto
dell''inversione della matrice rettangolare. Nel presente caso trova applicazione quella
introdotta da Tikhonov-Phillips [1-2], che può essere descritta come nelle Eqq. (9-10), dove
Id indica la matrice Identità di dimensioni 6 ' 6. . min ' 2 2 = + '' '' F F B α ε (9) ( ) ' 1 ε α T T B Id B B F '' '' + = (10) L''Eq. (9) mostra la condizione sulla quale si fonda la procedura di regolarizzazione. Confrontando l''Eq. (9) con l''Eq. (2), si nota che l''espressione da minimizzare contiene
anche un ulteriore termine α, detto ''damping factor', coefficiente di smorzamento. La soluzione del problema di minimo è illustrata nell''Eq. (10), che mostra il risultato
dell''operazione di pseudo-inversione della matrice rettangolare nella definizione del legame
fra dati sperimentali ed azioni incognite. Il punto critico sta nella determinazione opportuna
del parametro di regolarizzazione α: in [2] viene osservato che il valore che esso deve assumere deve essere sufficientemente grande per poter superare i problemi di mal
condizionamento. Tuttavia, un valore troppo grande, se da un lato renderebbe il sistema più
preciso, dall''altra farebbe perdere l''accuratezza della soluzione. In altre parole, occorre
raggiungere una stima di compromesso: come evidenziato in [2], il valore ottimale di α è il più piccolo possibile che sia appena sufficiente per ovviare al cattivo condizionamento. Procedura di determinazione del coefficiente di smorzamento La procedura in discorso ha richiesto preliminarmente la messa a punto di due semplici
strumenti numerici: un simulatore dell''incertezza sperimentale nei rilievi estensimetrici ed
uno stimatore dell''errore sulla misura delle sei azioni. Le motivazioni di tale approccio
stanno nel fatto che si voleva trovare il migliore valore di α, tale per cui, a fronte di un disturbo sul rilievo sperimentale, la misura fosse la più accurata possibile, e di conseguenza
l''errore il minimo possibile. Si è fatto riferimento a letture campione effettuate in
laboratorio sotto carichi combinati, nell''ambito delle stesse prove già citate nel Par. (2). Per
poter simulare la presenza di disturbi sulla misura, si è pensato di associare a ciascuna delle
otto letture una distribuzione probabilistica di tipo normale. 157 Figura 10. Generazione di segnali random tramite calcolatore nella simulazione di un disturbo sull''acquisizione.
Il valore medio è stato posto pari al valore rilevato in lettura, mentre la deviazione standard è stata stimata intorno al 10% di esso, tenendo conto dei tipici errori che possono
affliggere le misure estensimetriche per disturbi lungo la catena di misura. Lo schema in
Fig. (10) aiuta a comprendere la procedura seguita: dopo aver determinato le otto
distribuzioni, una per ciascuna lettura, si sono estratti dei valori random, utilizzando una
semplice routine implementata in Matlab (Versione 7.9.0.529, R2009b). La stessa
procedura è stata attuata su dieci diverse di letture campione. Va notato che il seme della
randomizzazione risultava diverso al passaggio da una componente all''altra: in altre parole
ogni componente era libera di variare in modo casuale indipendentemente dalle altre. Il secondo punto era, come si diceva, quello relativo alla stima dell''errore. L''approccio tipicamente utilizzato consiste nella valutazione della norma del vettore dato dalla
differenza fra quello delle azioni misurate (Fm) e quello delle azioni applicate (Fa), Eq. (11).
Tuttavia, tale procedimento presenta il difetto che lo scostamento viene stimato in termini
assoluti e non relativi: di conseguenza gli addendi nella valutazione del modulo non sono
direttamente confrontabili e sommabili fra di loro. Questi, riferendosi a forze e momenti,
sono infatti espressi secondo differenti unità di misura. Si è pertanto utilizzata l''espressione
in Eq. (12): anch''essa è scritta nella forma del calcolo di una norma, tuttavia gli errori
relativi alle singole componenti sono ora calcolati in termini relativi e quindi
adimensionalizzati e correttamente sommabili. Nella stessa equazione si sono inoltre
aggiunti dei coefficienti di peso ( β1, ',β6), che permettono di calibrare in maniera differente l''errore sulle diverse componenti. Nella fattispecie, i coefficienti di peso sono
stati tutti considerati unitari, eccetto il primo, β1, posto pari 0,5, per tenere conto del fatto che la stima esatta della forza di spinta è solitamente considerata di minore importanza. Di
conseguenza, l''errore su questa componente viene pesato di meno. [ ] 2078 3042 3616 234 917 559 92 38 '' '' '' '' '' '' = T ε ' ... -2078 µε Segnale nominale (condizioni di calibrazione) 92 µε 38 µε [ ] 2106 2957 3645 195 783 649 101 43 '' '' '' '' '' '' = T ε Segnale random (simulazione di un disturbo) 158 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 a z m z a y m y a x m x a z m z a y m y a x m x a m M M M M M M F F F F F F F F '' + '' + '' + + '' + '' + '' = '' (11) 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1       '' +  
   
  '' +       '' + +       '' +  
   
  '' +       '' = a z a z m z a y a y m y a x a x m x a z a z m z a y a y m y a x a x m x M M M M M M M M M F F F F F F F F F Errore β β β β β β (12)
Una volta dotatisi di questi strumenti, si è quindi entrati nel vivo della procedura per la determinazione del coefficiente di smorzamento. In prima battuta si è considerata una delle
letture campione prima citate: a partire da questa si sono stimate 500 letture random.
Successivamente, si è impostato un ciclo che, anche sulla scorta di [15], ponesse il valore
del coefficiente di smorzamento inizialmente pari ad uno, e poi lo dimezzasse ad ogni
passo. A ciascuna iterazione sono stati quindi replicati i passaggi consistenti nella
valutazione del vettore delle letture diminuito del termine di offset e nel calcolo della
matrice di calibrazione regolarizzata secondo Eq. (10). Si è infine valutato il vettore delle
azioni, pervenendo quindi alla stima dell''errore, secondo l''Eq. (12). Questi calcoli sono
stati operati, fino a che, a seguito dei dimezzamenti, il termine α ha assunto un valore praticamente nullo. Le intere operazioni descritte sono state ripetute per ciascuno dei 500
segnali random, inizialmente generati, cumulando gli errori calcolati per ciascuno dei valori
di α. Infine, si sono valutati gli errori medi per i diversi valori di α, dividendo gli errori cumulati per il numero di segnali (500) considerati. Terminata questa fase, si è riportato in
un grafico l''andamento dell''errore mediato, in funzione dei diversi valori di α considerati, per valutare se questo presentasse un punto di minimo. Lo studio di tale funzione ha
permesso di individuare i valori ottimali per il parametro in studio. L''algoritmo di calcolo
qui descritto è facilmente implementabile tramite un qualunque programma di calcolo: nella
fattispecie è stato messo a punto tramite routines di Matlab (Versione 7.9.0.529, R2009b). A fronte della descrizione fornita si potrebbe obiettare che la procedura messa in pratica dipende dal segnale campione considerato, a partire dal quale vengono generati i
500 segnali random. Tuttavia, per accertarsi della generalità dei risultati ottenuti, tale
procedura è stata ripetuta anche per gli altri segnali campione precedentemente individuati,
valutando se i valori di α individuati come ottimali fossero tra loro coerenti. I paragrafi successivi mostrano i risultati trovati, la stima del coefficiente di smorzamento ottimale e le
conseguenze benefiche sul comportamento del sistema di misura. Risultati e determinazione del coefficiente di smorzamento La Fig. (11) mostra il diagramma prima citato, ossia il grafico dell''errore mediato in
funzione dei valori considerati per il parametro α. Per l''esattezza, in ascissa viene indicato il numero di iterazioni it., l''Eq. (13) mostra il semplice legame esistente tale numero ed il
valore corrente del coefficiente di smorzamento.
1 . . 2 1 ''       = it it α (13) 159 Figura 11. Andamento dello stimatore dell''errore nel calcolo iterativo: valutazione del punto di minimo e stima di α.
L''analisi del diagramma mostra che il punto di minimo corrisponde alla settima iterazione: inserendo il valore it. = 7 nell''Eq. (13), si ottiene quindi il valore ottimale di α, che risulta circa 0,016. E'' questo il valore che minimizza l''errore in risposta al disturbo
simulato, ossia che massimizza la robustezza e la precisione del sistema. Il diagramma si
riferisce al segnale campione, che corrisponde all''applicazione di tutte e sei le componenti
di carico, ciascuna al suo valore di fondo scala (si vedano la Tab. (1) e la Fig. (6)). Come
specificato nel paragrafo precedente, si è replicata la medesima procedura anche per gli altri
segnali campione precedentemente individuati. I risultati hanno mostrato come in tutti i casi
considerati la curva dell''errore medio presentasse un punto di minimo e come tale minimo
si collocasse sempre in corrispondenza della settima o, al più, della sesta o dell''ottava
iterazione. Il valore sopra indicato, α '' 0,016, già si colloca in posizione intermedia a quelli corrispondenti alle iterazioni appena citate. Discussione e rivisitazione dei risultati delle prove di validazione I risultati ottenuti sono apparsi fin da subito molto promettenti: il fatto che la curva
dell''errore medio presentasse sempre un minimo ben accentuato, in tutte le numerose
casistiche considerate, era un chiaro indicatore che la regolarizzazione attuata avesse una
certa efficacia nella riduzione dell''errore sulla misura. In secondo luogo, la coerenza dei
risultati, in particolare il medesimo andamento qualitativo della curva sopra citata e la
presenza del punto di minimo, sempre in corrispondenza degli stessi valori per il
coefficiente di smorzamento, rassicuravano sull''attendibilità del procedimento attuato e
sulla possibilità di generalizzare i risultati. Infatti, il valore ottimale ottenuto, proprio perché
ricavato per segnali random generati a partire da situazioni di carico anche molto diverse tra
loro, appariva generalizzabile a tutte le possibili applicazioni della cella di carico in campo
dinamico. Questo ha aperto le porte ad una rivisitazione dei risultati di calibrazione, in cui
alla matrice inizialmente considerata nell''Eq. (3) si è sostituita quella ricavata in Eq. (10),
con α posto uguale a 0,016.
Per concludere, l''impatto delle due operazioni attuate e descritte nel presente paragrafo, ossia la riconsiderazione del termine di offset e la sua detrazione dalla lettura corrente e la
regolarizzazione della matrice di calibrazione, è riassunto nelle Figg. (12-13). 0.2 0.3 0.4 5 7 9 11 13 15 17 19 Iterazione Erro re m e d ia to s u 5 0 0 se g n a li r a n d o m 160 Figura 12. Impatto della regolarizzazione (risultati da confrontarsi con quelli di Figg. (5,7).
Figura 13. Impatto della regolarizzazione (risultati da confrontarsi con quelli di Fig. (6). -400 0 400 800 1200 Fx Fy Fz Fo rz e [ N ] Misurato
Applicato Fx Fy Fz -200 -100 0 100 Mx My Mz Mo me n ti [ N m ] Misurato
Applicato Mx My Mz Mo m e n ti [ N m] 0 400 800 1200 Fx Fy Fz Fo rz e [ N ] Misurato
Applicato Fx Fy Fz 0 100 200 Mx My Mz Mo me n ti [ N m] Misurato
Applicato Mx My Mz Mo me n ti [ N m] 161 Questi istogrammi vanno posti a confronto rispettivamente con quelli delle Figg. (5,7) e (6), dato che si riferiscono alla misura delle sei azioni a fronte di segnali disturbati nelle
stesse condizioni di carico applicato. I risultati finali sono ora rivisti alla luce delle due
operazioni di cui sopra. La Fig. (12) fa riferimento ai seguenti carichi: [Fx; Fy; Fz; Mx; My;
Mz] T = [147 N; -39,2 N; 785 N; -18,1 Nm; -137 Nm; 27,5 Nm]T: pur in presenza di un segnale estensimetrico alterato secondo le modalità prima specificate, le azioni misurate
risultano molto vicine a quelle reali. Nel Par. (2) si erano sottolineati errori alquanto elevati
a carico delle stime di Fx ed My: tali scostamenti sono ora ben più ridotti, intorno al 3%,
mentre cala anche il divario nella stima di Fz, ora intorno all''8%. La Fig. (13) fa invece
riferimento alla condizione in cui tutti i carichi sono pari al rispettivo valore di fondo scala:
anche in questo caso si ottiene un''ottima corrispondenza fra carichi applicati e carichi
misurati, con errori di pochi punti percentuali, eccetto il caso della Fx, per cui si arriva
all''11%. A questo proposito, si è comunque evidenziato come questa azione sia spesso la
meno importante fra quelle da stimare, il che rende accettabile tale risultato. 4. CONCLUSIONI A conclusione del lavoro eseguito, sviluppatosi in un arco temporale alquanto lungo, ad
iniziare dai contributi [12-13, 16], si può sottolineare quanto segue:
' La realizzazione di celle di carico a sei gradi di libertà per la misura delle azioni trasmesse fra scarpone e sci presenta numerose applicazioni, che vanno dagli studi in
ambito biomeccanico a quelli di sviluppo di nuove attrezzature. ' La cella di carico sviluppata in [12-13] si presentava come abbastanza pionieristica dal punto di vista progettuale, tanto che anche lavori successivi [10], ne hanno ripreso
l''impostazione, tuttavia presentava alcuni problemi di mal condizionamento, ben
evidenziati da prove sperimentali qui documentate a seguito della calibrazione
sperimentale. ' Tali problemi erano riconducibili ad una scarsa accuratezza nella valutazione dei carichi e soprattutto in una scarsa precisione, in particolare quando le letture sperimentali erano
disturbate o comunque alterate rispetto alle condizioni di calibrazione sperimentale in
laboratorio. Da questo tipo di comportamento emergeva una scarsa robustezza del
sistema di misura nell''accezione usata da Taguchi [17]. ' A fronte di questo si è operata una rivisitazione dei risultati, tenendo conto di offset delle caratteristiche di taratura che erano stati inizialmente trascurati. Soprattutto, si è
operata una regolarizzazione secondo il metodo di Tikhonov-Phillips [1-2]. Tale
procedura richiede la determinazione e l''adozione nei calcoli di un parametro detto
coefficiente di smorzamento, senza che esistano in letteratura metodi pratici per la sua
determinazione. ' Un metodo semplice ed efficace è stato qui introdotto per la stima di tale parametro. Tale metodo è strettamente legato alla logica che si trova alla base dell''operazione di
regolarizzazione, consistente nel rendere stabile la soluzione pur in presenza di disturbi
sulle letture sperimentali. La coerenza e ripetibilità dei risultati dimostrano la piena
attendibilità della procedura adottata. ' La matrice di calibrazione, ricalcolata a seguito della regolarizzazione attuata, permette ora di calcolare in maniera accurata e precisa le sei azioni, compensando i disturbi sui
rilievi sperimentali, determinando così un comportamento robusto per il dispositivo in
studio. 162 ' L''analisi effettuata apre ora le porte all''utilizzo della cella di carico in prove sul campo ed in condizioni dinamiche. Il lavoro presenta da questo punto di vista una valenza
pratica, ma anche metodologica. Il procedimento qui illustrato può infatti essere esteso
con successo a molti altri trasduttori, cui siano richieste misure accurate e precise in
molteplici condizioni di utilizzo. Ringraziamenti L''autore desidera ringraziare il Prof. Alessandro Freddi per averlo stimolato nell''intrapresa
del presente lavoro ai tempi della Tesi di Laurea e, successivamente, ad un suo
completamento alla luce dell''esperienza maturata in dieci anni di ricerca universitaria.
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ELEVATA FLESSIBILIT'


Aldo Rossi
Dipartimento di Innovazione Meccanica e Gestionale
Università degli Studi di Padova, Italia
E-mail: aldo.rossi@unipd.it

Alessandro Persona
Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali
Università degli Studi di Padova, Italia
E-mail: alessandro.persona@unipd.it

Giulio Rosati
Dipartimento di Innovazione Meccanica e Gestionale
Università degli Studi di Padova, Italia
E-mail: giulio.rosati@unipd.it

Maurizio Faccio
Dipartimento di Innovazione Meccanica e Gestionale
Università degli Studi di Padova, Italia
E-mail: maurizio.faccio@unipd.it

Stefano Cenci
Dipartimento di Innovazione Meccanica e Gestionale
Università degli Studi di Padova, Italia
E-mail: stefano.cenci@unipd.it

Andrea Carli
Dipartimento di Innovazione Meccanica e Gestionale
Università degli Studi di Padova, Italia
E-mail: andrea.carli@mechatronics.it

Christian Finetto
Dipartimento di Innovazione Meccanica e Gestionale
Università degli Studi di Padova, Italia
E-mail: christian.finetto@mechatronics.it


165 Abstract. L''assemblaggio   flessibile   è   una   necessità   in   forte   crescita   per   molte   realtà
industriali,   per   motivi   legati   principalmente   all''aumento   della   richiesta   di   piccoli   lotti  
produttivi. Questo articolo vuole presentare una nuova categoria di sistemi per
l''assemblaggio  flessibile,  che  chiamiamo  fully-flexible assembly systems (F-FAS), la quale
permette di lavorare su mix produttivi molto vari e in cui la dimensione del singolo lotto
può essere anche di un solo prodotto. Viene poi fornito un confronto tra un sistema FAS
Tradizionale e un F-FAS in termini di produttività e di costo orario e vengono mostrati dei
primi risultati sperimentali che mettono in evidenza il comportamento reale del sistema.

Parole chiave: sistema di assemblaggio flessibile, cella robotizzata flessibile, costi unitari
diretti di produzione
1. INTRODUZIONE
Al  giorno  d''oggi il mercato è caratterizzato da prodotti sempre più vari e con cicli di vita
sempre più brevi. Per adattarsi a questo contesto e per restare competitive a livello
internazionale, molte aziende stanno adottando dei sistemi di assemblaggio flessibili (FAS).
Tali  sistemi  devono  garantire,  oltre  alla  flessibilità,  anche  un''elevata  produttività  e  un  basso  
costo unitario diretto, il che richiede lo sviluppo di nuove tecnologie per i moderni sistemi
di assemblaggio [1]. Le strategie di assemblaggio tradizionali possono essere classificate come sistemi di assemblaggio manuale, sistemi di assemblaggio (automatico) flessibili e sistemi di
assemblaggio (automatico) dedicati [2]. In Figura 1 , tratta da [3], viene mostrato come
queste tre strategie sono collocate in funzione della dimensione del lotto, del volume
produttivo, del numero di varianti e della flessibilità. Se si desidera ottenere un'elevata flessibilità, una prima possibilità è ricorrere all'assemblaggio manuale. Questo può però influire negativamente sulla produttività, dato
che l'assemblaggio manuale è soggetto a fluttuazioni della qualità e dei tempi ciclo, è legato
a problematiche di salute e sicurezza degli operatori [4] ed è fortemente influenzato da
fattori ergonomici i quali, se non ottimizzati, possono ridurre ulteriormente la produttività
[5, 6]
Figura 1. Criteri per la selezione dei sistemi d'assemblaggio: La cella di lavoro
F-FAS presentata in questo articolo può essere posizionata nell'angolo in basso a
destra del grafico. 166 Sebbene   in   alcuni   contesti   l''assemblaggio   manuale   possa ancora   essere   un''opzione valida,   nei   paesi   occidentali   l''automazione   è   spesso   la   soluzione migliore per abbattere i
costi di produzione [7].   Delle   due   soluzioni   per   l''assemblaggio   automatico   elencate  
precedentemente,   l''assemblaggio   dedicato   rappresenta   l''approccio   tradizionale
all''automazione   industriale. In questo caso si parla di produzione di serie con grandi
dimensioni dei lotti, grandi volumi produttivi e flessibilità limitata. In questo contesto una
qualsiasi variazione nella produzione influisce fortemente sul processo di automazione,
comportando importanti investimenti e costi di gestione. Ad esempio, il cambio o la
modifica di un componente può richiedere l'acquisto di nuovi vibro-alimentatori, la
lavorazione delle trappole e lunghi e costosi tempi di setup [8]. Di recente sono stati sviluppati dei FAS innovativi e capaci di risolvere sia il problema della produttività che quello della flessibilità. Di fatto i progressi nel campo dei sistemi di
controllo dei robot e dei sistemi di visione hanno reso più accessibili i sistemi di
assemblaggio flessibile, anche se spesso si deve trovare un compromesso tra efficienza e
flessibilità [9]. Per essere efficace il progetto di un FAS deve tenere conto delle seguenti richieste: flessibilità: la capacità di operare su molte tipologie di componenti, di eseguire rapidamente i frequenti cambi di prodotto e di lavorare contemporaneamente su più
tipologie di componenti e di assemblati. compattezza: la necessità di poco spazio intorno al perimetro della stazione di assemblaggio produzione oraria: il numero di componenti assemblati per unità di tempo
costo unitario diretto di produzione: il rapporto tra il costo orario della cella di lavoro e la produzione oraria media Negli ultimi anni alcuni autori hanno proposto degli alimentatori flessibili basati sul concetto dell'orientamento e/o dell'isolamento dei componenti, i quali ottengono le
caratteristiche di flessibilità tramite l'uso di sistemi di visione e richiedono tempi di setup
molto brevi [4, 8, 10]. L'idea di usare robot guidati da sistemi di visione per il
riconoscimento dimensionale e la manipolazione di assemblati è stata introdotta in [11], in
cui Perks propone un sistema robotico capace di riconoscere e localizzare dei componenti
in movimento su nastri trasportatori. Il sistema di visione fornisce le coordinate esatte dei
componenti, i quali sono sparsi casualmente sul piano di riconoscimento, permettendo così
al robot di prendere il pezzo desiderato dal nastro. Gli autori di [12] hanno studiato un alimentatore composto da un manipolatore robotico industriale, un sistema di visione e tre nastri trasportatori disposti in modo da far circolare i
componenti , isolandoli allo stesso tempo, e hanno studiato la velocità ottimale dei nastri
trasportatori. Altri autori hanno usato approcci molto simili per la misura e l'ispezione
dimensionale dei componenti [13, 14, 15, 16]. In questo articolo vogliamo presentare il concetto di un sistema di assemblaggio completamente flessibile, o fully-flexible assembly system (F-FAS). Questo sistema, che
verrà descritto in maggior dettaglio nei paragrafi seguenti, sfrutta un sistema di visione per
il riconoscimento in linea di insiemi di componenti assemblabili, il quale viene integrato
con un robot dedicato al pick and place e con un vibro-alimentatore completamente
flessibile. La combinazione di questi elementi permette di ottenere una cella di lavoro
robotizzata con la massima flessibilità e quindi una riduzione dei costi orari di produzione
dovuti alle operazioni di setup e all'intervento degli operatori umani, e una riduzione del
costo dell'hardware. 167 L'obiettivo di questo articolo è di presentare la modellazione e la simulazione di una cella di lavoro robotizzata completamente flessibile. Viene derivata una stima della
produttività dell'F-FAS e del costo orario diretto, confrontando i risultati con i valori
ottenuti con un sistema FAS Tradizionale. Vengono poi mostrati dei risultati sperimentali
ottenuti tramite un prototipo di cella di lavoro conforme con i criteri che caratterizzano un
F-FAS. Tali prove sperimentali sono state effettuate per verificare il comportamento reale
del sistema in una tipica condizione di lavoro. 2. LAYOUT DEL SISTEMA F-FAS
Il progetto di sistemi flessibili di assemblaggio ha come obiettivo quello di ridurre la
rigidità tipica dei comuni sistemi automatici. Perciò gli impianti flessibili devono essere
costituiti da dei sottosistemi che possono essere facilmente o automaticamente riconfigurati
in accordo con la tipologia di prodotto che contribuiscono ad assemblare. Le tipologie di
prodotti assemblabili in un impianto flessibile devono appartenere ad una stessa famiglia e
richiedono un numero ragionevolmente limitato di componenti per essere assemblati. Esistono due configurazioni base per I sistemi flessibili di assemblaggio (FAS): la singola cella robotizzata, la quale assembla un prodotto alla volta, e le linee di
assemblaggio robotizzato [4].   Nella   seconda   tipologia   di   sistemi   FAS   l''operazione   di  
assemblaggio è suddivisa in una serie di sotto operazioni, ognuna delle quali è svolta in una
stazione programmabile della linea robotizzata. In questo articolo ci focalizzeremo sulla
prima tipologia di sistemi FAS, in particolare analizzeremo il sistema che abbiamo
denominato Fully-Flexible Assembly System (F-FAS), nel quale la riconfigurazione della
cella di lavoro, dovuta a cambiamento del lotto produttivo, può essere considerata
istantanea. Questa soluzione sarà poi comparata con un sistema FAS Tradizionale, ovvero
una cella di lavoro robotizzata nella quale un cambiamento di lotto produttivo richiede del
tempo di riattrezzaggio. I due sistemi presentano alcuni sottosistemi uguali: entrambi hanno
una o più maschere di assemblaggio e un manipolatore per la presa dei componenti e il loro
deposito  presso  la  maschera  di  assemblaggio.  D''altra  parte,  il  sistema  di  alimentazione  dei  
componenti è molto diverso per i due sistemi. Sistema FAS Tradizionale
Il sistema FAS tradizionale che consideriamo in questo articolo è una cella di lavoro
robotizzata composta dai seguenti sottosistemi (vedi Figura 2): un sistema di alimentazione dei componenti, che comprende un alimentatore riconfigurabile, ad alta produttività, per ogni tipo di componente necessario per
evadere   l''ordinativo; la flessibilità di questi alimentatori permetterà, una volta
riconfigurati   da   un   operatore,   di   alimentare   un''ampia   varietà   di   componenti   con  
diverse forme e dimensioni [4]; una o più maschere di assemblaggio flessibili che sono stazioni automaticamente riconfigurabili  che  permettono  l''assemblaggio  di  prodotti  diversi  appartenenti  alla  
stessa famiglia; un manipolatore programmabile il cui ciclo di lavoro si deve adattare automaticamente  all''ordinativo  da  evadere. 168 Figura 2. Layout del sistema FAS Tradizionale. Questa tipologia di celle di lavoro è in grado di assemblare una famiglia di prodotti originati da uno specifico gruppo di componenti. Poiché ogni alimentatore flessibile può
alimentare un solo tipo di componente alla volta [3], la cella di lavoro dovrà avere tanti
alimentatori flessibili quanti sono le tipologie di componenti da assemblare. Perciò in un
sistema FAS tradizionale il costo degli alimentatori è una parte davvero ragguardevole del
costo   dell''intero   impianto.   Inoltre   gli   alimentatori   flessibili   necessitano   di   un   tempo   non  
trascurabile di riconfigurazione per poter cambiare la tipologia di componente che riescono
ad alimentare, questo influenza la produttività e il costo unitario diretto di produzione, in
particolar modo, quando i lotti di produzione sono particolarmente piccoli. D''altra   parte,     il   fatto   che   i   componenti   siano   orientati   e   singolarizzati   in   tempo   mascherato permette di avere dei cicli di lavoro limitati, che comprendono solo la presa e il
posizionamento del componente eseguiti dal robot, oltre al tempo necessario per
l''assemblaggio.   Il   manipolatore   prende   i   componenti   da   posizioni   fisse   e   conosciute   e   li  
posiziona,  nell''ordine  corretto,  nella   maschera  di  assemblaggio, inoltre svolge, insieme ai
meccanismi   automatici   presenti   nella   maschera,   l''assemblaggio   vero   e   proprio   dei  
componenti.   Per   cambiare   il   lotto   di   produzione,   le   maschere   di   assemblaggio   e   l''end-
effector del robot possono essere sostituiti automaticamente durante il riattrezzaggio del
sistema di alimentazione.

Il sistema Fully-FAS
La cella robotizzata di assemblaggio che proponiamo differisce dai tradizionali sistemi FAS
in particolar modo per il suo sistema di alimentazione dei componenti: una vasca vibrante,
contenente tutti i componenti da assemblare per completare il lotto in produzione, è
utilizzata per far cadere casualmente alcuni componenti su un piano vibrante; il piano è
retroilluminato ed una telecamera è utilizzata per identificare i componenti su di esso
presenti, calcolando la loro posizione ed orientazione, in modo che essi possano essere presi
dal manipolatore industriale. Le vibrazione del piano sono utilizzate per movimentare i
componenti presenti e riorientarli. 169 Figura 3. Layout del sistema F-FAS. Il sistema F-FAS è composto dai seguenti sottosistemi: un sistema di alimentazione completamente flessibile: comprendente una vasca vibrante, un piano vibrante e una telecamera; questo sistema di alimentazione è in
grado di alimentare diverse tipologie di piccoli componenti contemporaneamente
con   nessuna   necessità   di   riconfigurazione;;   d''altra   parte   la   produttività   è   limitata  
dal tempo di acquisizione   ed   elaborazione   dell''immagine,   poiché questo è un
tempo morto nel ciclo di lavoro. una o più maschere flessibili di assemblaggio;
un manipolatore programmabile, il cui ciclo di lavoro si deve adattare automaticamente al particolare insieme di componenti identificati di volta in volta
dalla telecamera. Un ciclo di lavoro tipico del sistema F-FAS è mostrato in Figura 4: dopo che la vasca e il   piano   hanno   vibrato   una   prima   volta,   viene   acquisita   ed   elaborata   un''immagine   per  
identificare i componenti presenti sul piano. Il numero di oggetti presenti sul piano è
indicato come Np. A questo punto può verificarsi una o più situazioni di questo tipo: alcuni componenti non sono riconosciuti; questo può accadere ad esempio quando due oggetti sono parzialmente sovrapposti; alcuni componenti riconosciuti non   sono   prendibili   dall''end-effector del manipolatore poiché sono troppo vicini gli uni agli altri; alcuni componenti sono riconosciuti e prendibili; il numero di questi componenti sarà indicato con Ncr. Solo i componenti appartenenti   all''ultimo   gruppo   possono essere usati per l''assemblaggio. Tuttavia solo una parte di loro viene effettivamente usata
nell''assemblaggio  ed  il  loro  numero  è   indicato  con ' . Infatti solo certe combinazioni di
componenti permettono di assemblare un prodotto. Se almeno un prodotto può essere
assemblato (' > 0), il manipolatore sarà istruito per la presa dei componenti e il loro
posizionamento nella maschera di assemblaggio. Altrimenti il processo ricomincerà con 170 una nuova fase di alimentazione (quando ' risulta minore del limite inferiore ' ) e/o la riorientazione dei componenti. Alla luce di ciò possiamo fare delle osservazioni preliminari: il sistema F-FAS necessita solo di un alimentatore dei componenti il quale è teoricamente in grado di alimentare contemporaneamente qualsiasi tipologia di
piccoli componenti, infatti il processo di alimentazione non si basa sulla
singolarizzazione e orientazione dei componenti; non  c''è   né  una   sequenza  predefinita  di  prodotti  da  assemblare,  né  un  insieme  di   posizioni predefinite di presa dei componenti: il ciclo di lavoro è dinamicamente
determinato dal processo stocastico di caduta e orientazione dei pezzi sul piano e
dal particolare ordine produttivo che si sta elaborando; il tempo ciclo è negativamente influenzato dal tempo necessario per acquisire ed elaborare  l''immagine,  per  questo  motivo  il  numero  di  componenti  effettivamente  
assemblati per ogni immagine è il principale parametro che influenza la
produttività, quindi tale parametro dovrà essere massimizzato; d''altra parte, la totale flessibilità del sistema di alimentazione della cella permette di eliminare i tempi di set-up dovuti al cambiamenti di lotto produttivo e questo
comporta un aumento di produttività, in particolar modo, per lotti produttivi
piccoli; Figura 4. Diagramma di flusso rappresentante il ciclo di lavoro di un sistema F-FAS. 171 3. CONFRONTO TRA FAS TRADIZIONALE E FULLY-FAS: COSTI DIRETTI DI PRODUZIONE E ANALISI DI CONVENIENZA In questo paragrafo sono modellizzati e comparati i costi diretti di produzione dei due
sistemi di assemblaggio fino ad ora descritti in modo da analizzare la convenienza
nell''introdurre la completa flessibilità in questi impianti. Costi Diretti di Produzione per il Sistema F-FAS
La produttività oraria (in termini di component manipolati) del sistema F-FAS può essere
calcolata come segue: pp a f fas f t N t Q 1 (1) dove ' è il tempo medio di manipolazione e assemblaggio di un singolo componente, ' è
il tempo per acquisizione ed elaborazione immagine, ' è il numero medio di componenti
assemblati per ogni immagine acquisita. Tutti i tempi devono essere espressi in ore. Il
parametro ' influenza direttamente la produttività della cella, perciò deve essere
massimizzato per ridurre il numero di immagini acquisite necessarie per evadere un
ordinativo.  D''altra   parte,  aumentare   eccessivamente   il   numero  di  componenti  presenti   sul  
piano   potrebbe   comportare   l''aumento   del   tempo   necessario per   elaborare   l''immagine  
acquisita ' . In questo articolo noi considereremo un valore di ' costante e
ragionevolmente stimato. Il costo orario diretto di produzione della cella di lavoro è:
pb flexfeed camera robot pb plant fas f h C C C h C C (2) Figura 5. Produttività (linea tratteggiata) e costo unitario diretto di produzione (linea
continua) per un sistema F-FAS. 172 dove Cplant è il costo diretto della cella di lavoro, mentre hpb è il numero di ore di lavoro nel
periodo di ritorno dell''investimento. Il costo unitario diretto di produzione del sistema F-FAS, che qui definiamo come il costo diretto per ogni componente assemblato dalla cella di lavoro, è ottenuto dal rapporto
tra il costo orario del sistema e il numero di componenti manipolati dalla cella di lavoro in
un''ora 𝐶 /'' . La Figura 5 mostra la produttività oraria (linea tratteggiata) e il costo unitario diretto (linea continua) del sistema F-FAS in funzione del numero di componenti effettivamente
assemblati per ogni immagine acquisita (' ). Il grafico è ottenuto per i valori dei parametri
mostrati in Tabella 1 (i tempi devono essere espressi in ore prima di inserirli nelle formule).
Può essere notato che l''effetto   dell''aumento   di   ' è maggiore per piccoli valori di ' .
Infatti non appena ' diventa   sufficientemente   grande,   l''impatto   sulla   produttività   del  
tempo ' ,   necessario   per   la   manipolazione   e   l''assemblaggio,   aumenta   rispetto   all''effetto  
dovuto al tempo ' necessario  per  acquisire  ed  elaborare  l''immagine.

Costi Diretti di Produzione per il Sistema FAS Tradizionale
La produttività oraria (in termini di componenti manipolati) del sistema FAS tradizionale
può essere calcolata come segue: pp res set c res fas t h t N h Q (3) dove tset è il tempo di riconfigurazione per ogni alimentatore flessibile, Nc è il numero di
tipologie di componenti (quindi di alimentatori flessibili), hres è il tempo di lavoro medio tra
due riattrezzaggi consecutivi della cella di lavoro (cioè il tempo medio necessario per
completare un ordinativo). Si può notare, in questo caso, che la produttività è
negativamente influenzata dal numero di tipologie di componenti Nc, infatti per maggiori
valori di Nc si ha un aumento dei costi unitari diretti di produzione. La produttività della
cella di lavoro è mostrata nella Figura 6, dove si può notare che in termini di produttività un
sistema FAS tradizionale può arrivare a valori massimi più elevati rispetto al sistema F-
FAS. Il costo orario diretto di produzione di una cella di lavoro FAS tradizionale è esprimibile come: op h res set c pb feed c robot fas C h t N h C N C C , (4) dove Ch,op è il costo orario di un operatore che riattrezza gli alimentatori flessibili. In questo
caso il numero di tipologie di componenti Nc ha un effetto determinante sul costo diretto di
produzione. Il costo unitario diretto di produzione del sistema FAS Tradizionale è ottenuto dal rapporto tra il costo orario del sistema e il numero di componenti manipolati dalla cella di
lavoro  in  un''ora 𝐶 /'' .
Analisi di Convenienza:
La Figura 7 mostra i costi unitari diretti di produzione delle due celle di lavoro in funzione
di Nc. Le curve colorate rappresentano il costo unitario diretto di produzione per il sistema
FAS, le quali sono parametrizzate rispetto al tempo medio necessario per completare un
ordinativo (hres). 173 Tabella 1. Parametri usati per il calcolo. Tutti i valori sono tipici per i sistemi studiati e in
accordo con altri autori [4]. Si può notare che i costi unitari diretti per il sistema FAS aumentano con Nc ( a causa di un  maggior  costo  dell''impianto  e  del  tempo  di  riattrezzaggio),  mentre  diminuisce  con  
l''aumentare  di  hres (grazie  alla  diminuzione  dell''influenza  del  tempo  di  riattrezzaggio  sulla  
produttività). Le linee rosse orizzontali rappresentano i costi unitari diretti di produzione per il sistema F-FAS. Si può notare che in questo caso i costi unitari diretti non sono influenzati
dal numero delle tipologie di componenti (' ), ma sono funzione del numero di
componenti assemblati per ogni immagine acquisita (' ). Il confronto tra i costi unitari diretti di produzione dei due sistemi suggerisce che il sistema F-FAS risulta ancora competitivo con il sistema FAS tradizionale per valori
relativamente modesti di ' . La differenza tra i due sistemi diventa sostanziale: per valori elevati di Na, cioè per un sistema F-FAS ad alta efficienza; per un alto numero di tipologie di componenti Nc, cioè in caso di prodotti molto complessi; per piccoli valori di hres, cioè per piccoli lotti di produzione. Figura 6. Produttività del sistema F-FAS (linee rosse orizzontali) e del sistema FAS
Tradizionale (linee colorate). 174 Figura 7. Costi unitari diretti di produzione per il sistema F-FAS (linee orizzontali rosse)
e per sistema FAS Tradizionale (linee colorate). Un confronto diretto tra FAS e F-FAS è presentato in Figura 8, dove il numero minimo di tipologie di componenti per cui il F-FAS diventa conveniente è funzione di ' . In questo
grafico,   l''area   sotto   le   curve   (in   basso   a   sinistra)   indica   minori   costi   unitari   diretti   di  
produzione che si ottengono con un FAS  tradizionale,  mentre  l''area  sopra  le curve (in alto a
destra) indica che minori costi si ottengono con un sistema F-FAS. Le curve indicate in
Figura 8 si sposteranno verso il basso se consideriamo che gli alimentatori flessibili usati in un sistema FAS tradizionale possono incepparsi, poichè questo comporta una riduzione
della produttività del sistema ed un aumento dei costi unitari diretti di produzione.
Figura 8. Numero minimo di componenti per il quale il sistema F-FAS diventa
conveniente rispetto al sistema FAS Tradizionale, in funzione di N .
175 Figura 9. Prototipo di sistema F-FAS. 4. PROVE SPERIMENTALI
Per l''esecuzione   dei   test   sperimentali è stata predisposta una cella robotizzata
completamente automatizzata. Tale cella di lavoro è compatibile con i requisiti di un F-FAS
ed è composta di: Un vibro-alimentatore Anyfeed SX240 della ditta Flexfactory. Questo alimentatore è adatto   ad   un''ampia   gamma   di   componenti   e   può   essere   programmato in linea. Il
piano di pick è retroilluminato e ha una dimensione di 240 mm per 320 mm. Un robot antropomorfo Adept Viper s650 dotato di pinza pneumatica a griffe parallele per la presa dei componenti. Una telecamera industriale Allied Pike F-505 che consente di ottenere una risoluzione effettiva di 8 pixel/mm. Una barriera di protezione in profilati di alluminio chiusa con dei pannelli in policarbonato fumé, necessari per delimitare lo spazio di lavoro del robot e per
isolare  l''interno  della  cella  di  lavoro  dall''illuminazione  dell''ambiente  esterno. Un software per la gestione del ciclo di lavoro. Il programma acquisisce ed elabora le immagini provenienti dal sistema di visione, riconosce i componenti sul piano e
individua quelli prendibili ed assemblabili, genera la sequenza di presa e fornisce le
coordinate al robot. Con questo apparato sperimentale sono stati svolti dei test per studiare il comportamento reale di un F-FAS. Il sistema è stato programmato in modo da evadere un
ordine comprendente varie tipologie di prodotti, ognuno dei quali è a sua volta costituito da
una determinata combinazione di componenti. 176 Figura 10. Interfaccia software per la gestione del ciclo di lavoro.
Ogni ordine è caratterizzato da una matrice di assemblaggio 𝐴, avente i prodotti sulle righe e i singoli componenti sulle colonne, e da un vettore ordinativo '' il quale contiene la
quantità desiderata di ogni prodotto. Ad esempio la coppia matrice-ordinativo mostrata
identifica cinque prodotti ottenuti combinando sei diversi componenti. Vengono richiesti
otto unità del primo prodotto, tre del secondo ecc. 𝐴 =   ' ' ' ' ' 1 0 1 1 0 2 1 0 2 3 1 2
2 1 0 2 1 1
1 0 0 3 2 2 1 2 0 1 1 1' ' ' ' ' '' =   ' ' ' ' ' 8 3 10
13 5 ' ' ' ' ' (5) Il magazzino necessario per evadere  l''ordine  è  dato  dal  prodotto  di  '' per 𝐴, dove la colonna j-esima contiene la quantità necessaria del componente j-esimo: '' = '' 𝐴 = [  49 20 14 81 44 63]
Le prove sono state eseguite con 8 combinazioni matrice-ordinativo, per ognuna delle quali   l''ordine   è   stato   evaso   venti   volte.   Per   ogni   immagine   scattata   sono   stati   registrati   il  
numero di componenti sul piano, il numero dei componenti riconosciuti e il numero di
componenti riconosciuti e prendibili.

Risultati dei primi test sperimentali
I test sperimentali condotti sul prototipo del sistema F-FAS conferma la validità della
soluzione. La cella di lavoro è stata in grado di completare gli ordinativi in tutte le prove
indipendentemente dalla particolare sequenza dei componenti che cadevano dalla vasca e
che erano riconosciuti dal sistema di visione. 177 Figura 11. Numero delle immagini acquisite in funzione del numero medio di
componenti riconosciuti e prendibili ' per i test sperimentali condotti. Il grafico di Figura 11 mostra il numero delle immagini acquisite per evadere un ordinativo ' contro il numero medio dei componenti riconosciuti e prendibili ' . Il
numero medio di componenti riconosciuti e prendibili è compreso in un intervallo che va
da 3.5 a 6.8, mentre il numero totale di immagini (cicli) necessari per completare
l''ordinativo   è   compreso   tra   30   e   86.   '   evidente   dal   grafico   che   l''andamento   di ' è
approssimativamente iperbolico con ''''', allo stesso   modo   dell''andamento   del   costo  
unitario diretto in funzione di ' (vedi Figura 5). Infatti, un aumento di ' determina un
aumento   del   numero   di   componenti   effettivamente   utilizzati   nell''assemblaggio.   Questo  
comporta una riduzione del numero delle immagini acquisite ed elaborate e il
corrispondente tempo morto, ciò implica un aumento di produttività e una riduzione dei
costi. La dispersione dei dati può essere interpretata considerando non solo che i parametri
del sistema sono stati intenzionalmente cambiati durante le prove (setting1, setting2), ma
anche che il processo di alimentazione dei componenti è un processo stocastico. 5. CONCLUSIONI E ATTIVIT' DI RICERCA FUTURA
Questo articolo introduce una nuova classe di sistemi flessibili di assemblaggio, Fully-
Flexible Assembly System (F-FAS) e individua le linee guida per comparare i costi diretti
di produzione con quelli di un tradizionale cella robotizzata di assemblaggio flessibile, la
quale richiede del tempo di riattrezzaggio per cambiare lotto di produzione. Il concetto di F-
FAS   è   basato   sull''uso   di   un   sistema   di   visione   per   il   riconoscimento   in   linea   dei  
componenti, integrato con un manipolatore riprogrammabile adibito a compiti di presa e
posizionamento dei componenti. Questa soluzione tecnologica permette di assemblare lotti
di  dimensioni  molto  modeste  e  di  cambiare  l''ordinativo  molto  spesso  senza  la  necessità  di  
riprogrammare o riattrezzare la cella di lavoro. Inoltre il sistema F-FAS è una soluzione
molto   compatta   per   l''assemblaggio   automatico,   poiché   prevede   un   solo   alimentatore  
flessibile in grado di alimentare tutte le tipologie di componenti, invece di avere bisogno di
un alimentatore per ogni tipo di componente, come nel caso di un sistema FAS. 178 Come   suggerito   dall''analisi   di   convenienza,   si   avrà   una   maggiore   competitività   del   sistema F-FAS, in termini di aumento del costo unitario diretto di produzione, quando: il numero di tipologie di componenti per una data famiglia di prodotti è elevato;
il   numero   medio   di   componenti   effettivamente   usati   nell''assemblaggio   ad   ogni   immagine acquisita è elevato; il tempo medio intercorrente tra due successivi riattrezzaggi della cella è modesto (piccoli lotti). Sono inoltre stati studiati i limiti della convenienza economica per questi sistemi e la Figura 8 offre un valido strumento decisionale nella fase progettuale di un sistema di assemblaggio flessibile. Le prime prove sperimentali sul prototipo di sistema F-FAS
confermano i vantaggi, in termini di flessibilità, della cella di assemblaggio proposta ed
inoltre evidenziano come la sua produttività dipenda in particolar modo dal numero dei
componenti   effettivamente   usati   nell''assemblaggio   per   ogni   immagine   acquisita.   Questo
parametro è fortemente correlato al numero dei componenti riconosciuti e prendibili, il
quale può essere legato da una funzione iperbolica al numero di immagini acquisite per
evadere  l''ordinativo,  come  illustrato  in Figura 11. Dai primi test sperimentali si evince che il
numero delle immagini acquisite per evadere un ordinativo (quindi la produttività del
sistema) è influenzata da diversi fattori: il numero medio di componenti riconosciuti e prendibili;
la probabilità di assemblare almeno un prodotto con i componenti presenti sul piano, questa dipende dalle caratteristiche della matrice di assemblaggio e dal
particolare ordinativo considerato; l''algoritmo  di  sequenziamento  degli  assemblaggi;; L''attività   di   ricerca   futura   sarà   rivolta   ad   investigare   l''influenza   di   ognuno   di   questi   fattori sulla produttività del sistema. Gli autori sono attualmente impegnati oltre che nello
svolgimento di prove sperimentali sul prototipo, testando diverse matrici di assemblaggio,
anche nello sviluppo e nella validazione di modelli matematici in grado di prevedere la
produttività  del  sistema  in  base  ai  parametri  citati  sopra.  Questo  risultato,  insieme  l''analisi  
dei costi diretti di produzione, sviluppata in questo articolo, completerà i requisiti teorici
per il progetto e la gestione del sistema F-FAS.
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

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180 A SIMPLE RIG FOR PRECISE MEASUREMENTS OF
THE KNEE AND ANKLE JOINT MOTION UNDER
STATIC LOADING CONDITIONS


Diego Zannoli
Department of Mechanical and Aeronautical Engineering,
University of Bologna, Italy
E-mail: diego.zannoli@unibo.it

Nicola Sancisi
Department of Mechanical and Aeronautical Engineering,
University of Bologna, Italy
E-mail: nicola.sancisi@unibo.it

Vincenzo Parenti Castelli
Department of Mechanical and Aeronautical Engineering,
University of Bologna, Italy
E-mail: vincenzo.parenti@unibo.it


Abstract. In this paper, a rig for the analysis of the motion of the knee and ankle joints
under static loading conditions is presented and described. The rig is simple, versatile and
precise: experimental tests can be performed both on the knee and ankle joints, by a wide
range of anatomical specimen sizes; the loads applied to the joints during tests can be
measured and controlled with a high precision; specimen position and orientation can be
accurately set. Thus, this structure makes it possible to measure precise and repeatable
experimental data on the joint motion under static loading conditions, by means of a
stereophotogrammetric device. Such experimental data are generally not available in the
literature, where all details on the loading conditions are often not reported. However,
these data are necessary in many applications, such as joint modelling and prosthesis and orthosis design.
Keywords: Knee, ankle, static loads, model, identification, validation, experimental data
1. INTRODUCTION
Static models of human joints describe the joint behaviour under static loading conditions.
These models are used in many practical and theoretical applications, such as joint analysis,
and prosthesis and orthosis design. All these applications need a particularly precise and
accurate description of the joint motion. For instance, in prosthetic applications it is very
important to precisely predict the behaviour of the joint under loads, in order to design a 181 prosthetic device which is able to accurately reproduce the articular motion. It is thus
necessary to perform a precise experimental identification of these models in order to
guarantee an appropriate experimental validation. To define a static model of a human joint, models of all anatomical structures, such as ligaments, bones, menisci and articular surfaces, must be provided at first. Finally, all these
models are combined to obtain a single mathematical model that describes the global
behaviour of the joint. Experimental data are required to define each anatomical structure;
experimental reference motions are needed for the model identification and validation.
However, experimental data in the literature are often incomplete or not repeatable:
experimental results are partially reported in some papers and experimental procedures are
characterized by several boundary conditions that are not completely described in full
details. As a consequence, for a correct validation of the model new specific experiments
are required, in order to obtain precise and repeatable experimental data. In this paper, a simple rig for the measure of the knee and ankle joint motion under static loading conditions is presented and described. These joints were considered since
they are widely studied in the literature and many models have been proposed for the
modelling of their kinematic and static behaviour [1-8]. With respect to other rigs
previously presented in the literature [9,10], the proposed one is a simple and low-cost
solution that makes it possible to control and to measure the applied loads and the joint
motion with a high accuracy: the boundary conditions of the experiments are clearly
defined and, as a consequence, the experimental procedure is highly repeatable. Moreover,
the rig is designed to be versatile: experiments can be performed both for the knee and
ankle joints on a wide range of specimen sizes, and several loading conditions can be
considered. Finally, the specimen pose (i.e. position and orientation) with respect to the rig
can be accurately set, according to the experimental requirements; a reference mechanism
allows this pose to be restored, in case the specimen has to be removed from the rig. This
aspect improves the accuracy and the repeatability of the proposed solution. The characteristics, the design and geometrical details are presented and discussed. An experimental procedure is also proposed, to set the specimen pose on the rig and to perform
the experimental tests under several loading conditions. 2. GENERAL CHARACTERISTICS Purposes And Characteristics Of The Rig
The rig makes it possible to perform load tests on anatomical specimens of human ankle
(Fig. (1)) and knee (Fig. (2)) joints. As explained in the introduction, such a rig has been
designed according to the following specifications: precise measurement and control of the
geometrical and force parameters of the system, precise positioning of the specimen on the
rig, versatility and repeatability of the experimental tests, low cost of the entire equipment,
ease of set-up and cleaning. 182 Firstly, the control precision of the system geometrical parameters and of the loads which are applied to the specimen during tests makes it possible to obtain precise and
repeatable experimental data on the motion of the knee and ankle joints. In particular, the rig is able to analyse both the passive and the loaded motion of specimens. The passive
motion is the motion of the joint when no loads are applied: thus, it represents the natural
motion of the joint. The loaded motion is the motion of the joint under the action of
external loads: it represents the joint behaviour in loading conditions. All these loading
conditions will be better described in the next section. The possibility to analyse both the knee and the ankle motion and the number of loading conditions that can be studied are just two aspects of the versatility of the proposed
rig. The rig was indeed also designed to accept a wide range of specimen sizes, in order to
meet the requirements of a particular experimental session. The repeatability of experimental conditions is an important feature to obtain reliable results for the joint analysis and for the definition and validation of static models of the
joint. Repeatability is reached on one hand by means of the precise measure and control of
the experimental boundary conditions (like the loads and the geometrical parameters, as
previously described). On the other hand, an adjustment system is included to precisely
position the specimen on the rig. The function of this system is twofold. Firstly, it allows
the specimen to be connected on the rig in the desired position with respect to the load Figure 1. The rig: configuration for ankle testing. 183 directions. Secondly, it makes it possible to measure this position, in order to allow a
correct repositioning in case the specimen has to be detached from the rig, to be
reconnected in a later experimental session (Section 3). The ease and the velocity of assembly and set-up is another important characteristic. The overall experimental procedure indeed should not take more than a day in order to
avoid the perishability of the specimens. In particular, set-up and regulation time should be
as short as possible. Finally, the whole structure must be easily washable, since many components can come in contact with the specimen or other perishable and potentially infected bodies and fluids.
For this reason, all electronic components have been eliminated in the design process. Load Tests
As described in the previous section, the rig can be used to analyze both the passive and the
loaded motion of the knee and ankle joints. The passive motion of these joints exhibits one
degree of freedom [3,5,6]. The passive motion of the knee is generally analyzed by
blocking the femur and by moving the tibia, at the same time trying not to apply loads.
Similarly, the passive motion of the ankle is generally analyzed by blocking the tibia and by
moving the foot, without applying loads. Figure 2. The rig: configuration for knee testing. 184 As for the loaded motion, a large number of different loading conditions can be considered, even though the rig was specifically designed to replicate three clinical tests
which are known in the literature as the drawer, the internal/external rotation and the
abduction/adduction tests. These tests are usually performed by orthopaedists on patients in
order to assess any damage in the joint structures. Three reference frames can be introduced
to describe these tests: Sf
the calcaneus (Fig. (3-5)). The drawer test for the ankle, which is showed in Fig. (3a), is
performed by orthopaedists by
a force to the foot directed along the
flexion angle is fixed by applying an additional load to the foot. Similarly, the drawer test
for the knee, which is showed in Fig. (3b), is performed by
fixed flexion angle, by applyi
direction (i.e. the x axis of
showed in Fig. (4a), is performed by
applying a torque to the foot directed along the distal/proximal direction (i.e., the y axis of
Sp). Similarly, the internal/external rotation test for the knee, which is showed in Fig. (4b),
is performed by blocking the femur and, at a fixed flexion angle, by appl
the tibia directed along the
abduction/adduction test for the ankle, which is showed in Fig. (5a), is performed by
blocking the tibia and, at a fixed flexion angle, by applying a torque
along the posterior/anterior direction abduction/adduction test for the knee, which is showed in Fig. (5b), is performed by
blocking the femur and, at a fixed flexion angle, by applying a torque
along the posterior/anterior direction different flexion angle values. (a) The motion, a large number of different loading conditions can be considered, even though the rig was specifically designed to replicate three clinical tests
which are known in the literature as the drawer, the internal/external rotation and the uction tests. These tests are usually performed by orthopaedists on patients in order to assess any damage in the joint structures. Three reference frames can be introduced is fixed into the femur, St is fixed into the tibia and Sp ). The drawer test for the ankle, which is showed in Fig. (3a), is performed by orthopaedists by blocking the tibia and, at a fixed flexion angle, by applying
a force to the foot directed along the posterior/anterior direction (i.e. the x axis of flexion angle is fixed by applying an additional load to the foot. Similarly, the drawer test
for the knee, which is showed in Fig. (3b), is performed by blocking the femur and, at a
fixed flexion angle, by applying a force to the tibia directed along the posterior/anterior (i.e. the x axis of St). The internal/external rotation test for the ankle, which is showed in Fig. (4a), is performed by blocking the tibia and, at a fixed flexion angle, by a torque to the foot directed along the distal/proximal direction (i.e., the y axis of ). Similarly, the internal/external rotation test for the knee, which is showed in Fig. (4b), blocking the femur and, at a fixed flexion angle, by applying a torque to the tibia directed along the distal/proximal direction (i.e., the y axis of St). Finally, the abduction/adduction test for the ankle, which is showed in Fig. (5a), is performed by
blocking the tibia and, at a fixed flexion angle, by applying a torque to the foot directed posterior/anterior direction (i.e. the x axis of Sp). Similarly, the abduction/adduction test for the knee, which is showed in Fig. (5b), is performed by
blocking the femur and, at a fixed flexion angle, by applying a torque to the tibia directed posterior/anterior direction (i.e. the x axis of St). These tests are repeated at different flexion angle values. (a) The ankle. (b) The knee. Figure 3. The drawer test. Sp motion, a large number of different loading conditions can be considered, even though the rig was specifically designed to replicate three clinical tests
which are known in the literature as the drawer, the internal/external rotation and the uction tests. These tests are usually performed by orthopaedists on patients in order to assess any damage in the joint structures. Three reference frames can be introduced p is fixed into ). The drawer test for the ankle, which is showed in Fig. (3a), is blocking the tibia and, at a fixed flexion angle, by applying (i.e. the x axis of Sp). The flexion angle is fixed by applying an additional load to the foot. Similarly, the drawer test blocking the femur and, at a posterior/anterior ). The internal/external rotation test for the ankle, which is blocking the tibia and, at a fixed flexion angle, by a torque to the foot directed along the distal/proximal direction (i.e., the y axis of ). Similarly, the internal/external rotation test for the knee, which is showed in Fig. (4b), ying a torque to ). Finally, the abduction/adduction test for the ankle, which is showed in Fig. (5a), is performed by the foot directed ). Similarly, the abduction/adduction test for the knee, which is showed in Fig. (5b), is performed by to the tibia directed ). These tests are repeated at St 185 3. THE RIG Overall Description of the Rig
The rig is formed by square
with bolts and standard angle connections (Fig. (6)). Basically, the rig is composed by a Description of the Rig The rig is formed by square section standard aluminium profiles which are fixed together
with bolts and standard angle connections (Fig. (6)). Basically, the rig is composed by a (a) The ankle. (b) The knee. Figure 4. The internal/external test. (a) The ankle. (b) The knee. Figure 5. The abduction/adduction test. Sp Sp section standard aluminium profiles which are fixed together with bolts and standard angle connections (Fig. (6)). Basically, the rig is composed by a St St 186 base (Fig. (6a)) and by a portal that can be configured both for ankle (Fig. (6b)) and knee
(Fig. (6c)) specimens. The base is fixed with respect to the laboratory, while the portal can
rotate with respect to the base about the axis a passing through two hinge joints. The portal
makes it possible both to anchor the specimen and to modify the flexion angle during a test.
Moreover, an adjustment system included in the portal allows the precise positioning of the
specimen in the rig, by tuning the five degrees of freedom (two rotations and three (a) Base. (b) Portal in the configuration for the ankle. (c) Portal in the configuration for the knee. Figure 6. Overall structure of the rig. pulley 3 pulley 1 pulley 2 pulley 4 pulley 5 pulley 7 pulley 6 axis a 187 displacements) that, together with the flexion, allow the pose of the specimen to be defined
with respect to the rig. When testing the ankle joint (Fig. (1)), the tibia is blocked with respect to the portal through an anchor system at first; then, the pose of the tibia with respect to the portal is
modified through the adjustment system. In particular, this pose is modified in order to
guarantee that the average rotation axis between the foot and the tibia coincides with the
rotation axis a between the base and the portal. In this way, when the portal rotates about
the axis a, the tibia also rotates about the same axis and the foot tends to remain quite
stationary with respect to the base. This fact ensures that the directions of the loads on the
foot remain almost constant with respect to the foot, as generally required by the load tests.
When testing the knee joint (Fig. (2)), the rig configuration is similar to the ankle one, but the configuration of the portal is different because of the different anatomy between the
knee and the ankle specimens (Fig. (6b-c)). However, it is worth noting that the
reconfiguration from the ankle to the knee portal can be done quickly, since the portal
components remain practically the same (apart from four additional bars), as evident in Fig.
(6). During knee tests, the femur is blocked with respect to the portal; the pose of the femur
is then adjusted in order to make the average knee flexion axis coincide with the rotation
axis of the portal. Anchor System
The specimen is anchored to the portal through the green element G which is a perforated
metal sheet (Fig. (7)). This sheet is symmetrical and each side could be divided into two
parts: a perforated plate and a curved sheet, having constant curvature. The first part is used
to anchor the specimen; the second part is used in the adjustment system, as described in
the next section. On the whole, G was designed to meet the shape of a wide range of
specimen sizes. Anchoring occurs through tap bolts that pass through the holes H1 in G and (a) Configuration for the knee. (b) Configuration for the ankle. Figure 7. Anchor system. calibrated holes H2 for
reference pins holes H1 for tap bolts G 188 tap directly the bones (i.e. the tibia for the ankle, the femur for the knee). The preliminary
specimen position is guessed at first; then the specimen is connected to G by screwing the
screws in the bone. After this operation, three reference pins are inserted into corresponding
calibrated holes H2 in G, the pins and the holes having the same nominal diameter. The pins
are then screwed directly in the bones in order to record the relative pose between the
specimen and G. These pins indeed remain anchored to the bone and serve as a reference in
order to reposition the specimen exactly at the same pose with respect to the portal, in case
the specimen has to be detached from the rig. It is indeed necessary in some applications to
repeat a particular experiment under the same loading conditions. For instance, the same
experiment could be performed before and after the implantation of a prosthesis, in order to
evaluate how the prosthesis modifies the joint motion. Adjustment System
After fixing the specimen to G, its position and orientation with respect to the portal must
be tuned in order to align the average flexion axis with the axis a, as previously described.
In Fig. (1) and Fig. (2) the correct poses of the ankle and knee specimens are respectively
represented. To align the two axis, five degrees of freedom must be controlled. In
particular, if three axes are defined as in Fig. (8)-(9), where x is anterior/posterior, y is
proximal/distal and z is medial/lateral, these five degrees of freedom are the three
translations along the x, y, and z axes, and the two rotations about the x and y axes. The adjustment system for testing the ankle is showed in Fig. (8). The rotation about the longitudinal axis of the tibia, that is parallel to the y axis, is adjusted through the
relative rotation between G and an aluminum O-profile (R), represented in red color in Fig.
(8). G and R can rotate one respect to the other about the axis of the tibia and can be
blocked by bolts through corresponding slots in G and holes in R (Fig. (8a)). The
translations along the x and y axes are adjusted through the translation between R and the
profiles 1 and 2. R can translate with respect to profiles 1 and 2 along the x and y directions
and can be blocked by bolts lodged in corresponding slots (Fig. (8b)). The translation along
the z axis and the rotation about the x1 axis, which is parallel to the x axis, are tuned all at
once by modifying the relative pose between the profiles 1 and 2, and the profiles 3 and 4.
These two pairs of profiles can translate one respect to the other along the z axis, can rotate
about the x1 axis and can be blocked by bolts lodged in corresponding holes and slots (Fig.
(8c)). The adjustment system for testing the knee is similar to the ankle one, and is showed in Fig. (9). The adjustment of the rotation about the femur longitudinal axis is performed by
modifying the relative rotation between G and R (Fig. (9a)). The adjustment of the
translations along the x and y axes occurs through the translations between R and the
profiles 1 and 2 (Fig. (9b)). The translation along the z axis and the rotation about the y1
axis, which is parallel to the y axis, are tuned all at once by modifying the relative pose
between the profiles 3 and 4, and the profiles 5, 6, 7 and 8 (Fig. (9c)). 189 (a) Adjustment of the rotation about the axis of the tibia. (b) Adjustment of the translations along the x and y axes. (c) Adjustment of the rotation about the x1 axis and of the translation along the z axis. Figure 8. Adjustment system for an ankle specimen. x1 holes slots z 1 2 3 4 1 2 slot holes axis of
the tibia R x y slots G 190 Figure 9. Adjustment system for a knee specimen. (a) Adjustment of the rotation about the axis of the
femur. (b) Adjustment of the translations along the x and y
axes. (c) Adjustment of the rotation about the y1 axis and of the translation along the z axis. z y1 holes slot 3 4 5 6 7 8 x y slots hole axis of
the femur slots R G 2 1 191 Experimental Tests
The rig is able to handle both the passive and the loaded motion of the knee and the ankle
joints. The passive motion test of the ankle, that is showed in Fig. (10a), is obtained by
anchoring and tuning the tibia with respect to the portal, and by rotating the portal back and
forth with respect to the base about the axis a. To cover the entire range of motion, the foot
is kept parallel to the base of the structure by applying a small force F to the foot, along the
x direction. This force is applied through a weight hanged on a string which wraps the
pulley 1 and is anchored to a rod (S), which is attached to the base of the foot through
bonds. The pulley 1 can pivot about the y axis in order to better follow the movements of
the foot during the test and to not allow the string to run over the pulley. Similarly, the
passive motion test of the knee, that is showed in Fig. (10b), is obtained by anchoring and
tuning the femur with respect to the portal and by rotating the portal back and forth with
respect to the base. In this case there is no need of the balancing force F, because the tibia
weight makes the tibia longitudinal axis quite fixed with respect to the base during test. The loaded motion tests of the ankle are obtained by anchoring and tuning the tibia with respect to the portal, by applying the loads to the foot and by rotating the portal back
and forth with respect to the base. The loads are applied to the foot through weights hanged
on strings which wrap the pulleys 2-7 (Fig. (6)), depending on the desired loading condition
and are anchored to the tips of a pin (P). P is inserted within the calcaneus along an axis
which is parallel to the average axis of rotation between the talus and tibia and is positioned
about 5 centimetres under it. To replicate the anterior drawer test, two equal weights are
hanged on strings wrapping the pulleys 2 and 3, in order to apply an anterior force directed
approximately along the x axis of Sp (Fig. (11)); the posterior drawer test can be simulated
in a similar way, by means of the pulleys 6 and 7. For the internal/external rotation test two
equal weights are hanged on strings wrapping the pulleys 3 and 7 or, contrariwise, the
pulleys 2 and 6 in order to apply a positive or negative moment directed approximately
along the y axis of Sp (Fig. (12)). Finally, to replicate the abduction/adduction test, two
equal weights are hanged on strings wrapping the pulleys 5-3 and 4-7, in order to apply a
negative moment directed approximately along the x axis of Sp (Fig. (13)). To apply a
positive moment along the x axis, the position of the pulley 4 and 5 must be inverted and
the strings must wrap the pulleys 4-3 and 5-7. Similarly to the passive motion test, the foot
is kept quite parallel to the base of the structure through the application of a small balancing
force F to the foot along the x direction: this makes it possible to cover the entire range of
motion of the specimen and to keep the direction of the loads applied to the foot constant
during tests. This balancing force is applied through the pulley 1. The loaded motions of the
knee are generated like the corresponding motions of the ankle, by using the relevant
configuration of the rig (Fig. (11)-(13)). The only difference is that for the knee tests there
is no need to apply the balancing force, because the tibia weight keeps the tibia longitudinal
axis quite fixed during test. The final goal of the rig is the reproduction of the passive and loaded motions of the specimens. In order to record the motion, various measuring systems can be used. For
instance, a common method is based on stereophotogrammetry: two reference frames 192 (trackers) are connected to the tibia and to the foot (or to the femur and the tibia) during
tests. The motion is obtained as a set of poses, each representing the position and
orientation of the two trackers with respect to a laboratory reference frame, by means of a
set of external cameras that simultaneously record the tracker poses. Nominal accuracy is
0.5 mm/0.5° for electronic systems.
(a) The ankle configuration. (b) The knee configuration. Figure 11. Drawer test. (a) The ankle configuration. (b) The knee configuration. Figure 10. Passive motion test. pulley 1 F weight rod S F Q Q Q Q 193 4. CONCLUSIONS Static models that simulate the loaded motion of the knee and ankle joints are very useful in
rehabilitation field and prosthesis and orthosis design, but require a precise experimental
validation. Validation of these models is however difficult because experimental data in the (a) The ankle configuration. (b) The knee configuration. Figure 13. Abduction/adduction test. (a) The ankle configuration. (b) The knee configuration. Figure 12. Internal/external rotation test. F Q Q Q Q F Q Q Q Q 194 literature are not repeatable or the experimental conditions cannot be reproduced in details.
This requires new experiments to be specifically performed. In this paper a simple rig that
makes it possible to analyse both the passive and the loaded motion of the ankle and the
knee joints is presented and described. The rig is inexpensive, versatile, easy to set-up and
clean, and allows accurate and repeatable experimental data to be measured on specimens,
for the identification and validation of static models of the knee and ankle joints. Acknowledgements
The financial support of INAIL and MIUR is gratefully acknowledged.
REFERENCES [1] Dul, J., Johnson, G., 1985. ''A kinematic model of the ankle joint'. Journal of Biomedical Engineering, 7, pp. 137''143. [2] Hefzy, M. S., Cooke, T. D. V., 1996. ''Review of knee models: 1996 update'. Applied Mechanics Reviews, 49(10''2), pp. 187''193. [3] Leardini, A., O'Connor, J., Catani, F., Giannini, S., 1999. ''A geometric model of the human ankle joint'. Journal of Biomechanics, 32(6), pp. 585''591. [4] Hansen Andrew, H., Childress Dudley, S., Miff Steve, C., Gard Steven, A., Mesplay Kent, P., 2004. ''The human ankle during walking: implications for design of biomimetic ankle
prostheses'. Journal of Biomechanics, 37(10), pp. 1467''1474. [5] Franci, R., Parenti-Castelli, V., Belvedere, C., Leardini, A., 2009. ''A new one-DOF fully parallel mechanism for modelling passive motion at the human tibiotalar joint'. Journal of Biomechanics,
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quasi-static stress MRI technique'. Journal of Biomechanics, 38(3), pp. 567''578. 195 196 COMPENSAZIONE ELASTICA DI ATTUATORI A
MEMORIA DI FORMA MEDIANTE MECCANISMI
CEDEVOLI


Giovanni Scire'' Mammano
Department of Scienze e Metodi dell''Ingegneria,
University of Modena and Reggio Emilia, Italy
E-mail: giovanni.sciremammano@unimore.it

Eugenio Dragoni
Department of Scienze e Metodi dell''Ingegneria,
University of Modena and Reggio Emilia, Italy
E-mail: eugenio.dragoni@unimore.it


Abstract. La compensazione elastica di attuatori SMA fornisce grandi vantaggi in termini
di corsa e forza erogata. Per realizzarla è necessario introdurre nell''attuatore un sistema
elastico a rigidezza negativa. Tali sistemi possono essere realizzati mediante meccanismi
aventi un punto di equilibrio instabile. Soluzioni a membri rigidi e discreti hanno però lo
svantaggio di aumentare le dimensioni dell''attuatore e di svilirne l''intrinseca semplicità.
Per ovviare a questa problematica si propone un sistema di compensazione di tipo
cedevole (compliant). La soluzione proposta è quella di un compensatore di tipo modulare,
serializzabile o parallelizzabile al fine di incrementarne rispettivamente la corsa o la forza
erogata. Gli elementi funzionali di ogni modulo sono 4 aste in instabilità elastica, ognuna
vincolata agli estremi mediante due cerniere.
Nel lavoro si sviluppa una soluzione approssimata per la previsione del comportamento
dell''asta in instabilità elastica e si propone, sulla base di questa, una metodologia
generale di progettazione dell''intero compensatore cedevole. Infine si verifica, mediante
analisi agli elementi finiti di un modulo campione, la capacità dell''architettura proposta
di realizzare le leggi richieste.

Keywords: attuatori, SMA, compensazione, elastica, compliant, asta inflessa, instabilità
1. INTRODUZIONE
Gli attuatori a memoria di forma rappresentano una classe di attuatori molto interessante
grazie all''elevato rapporto potenza-peso, alla possibilità di lavorare in ambiente ostili e alla
loro intrinseca semplicità costruttiva. Questi attuatori sono generalmente costituiti da fili o molle a memoria di forma (SMA) e da un sistema di contrasto. Gli elementi attivi SMA hanno la capacità di ritornare ad una
forma memorizzata qualora siano riscaldati sopra ad una nota temperatura di
trasformazione (dipendente dal tipo di lega), mentre il sistema di contrasto è indispensabile
per rideformare gli elementi attivi una volta disattivati. Il difetto principale di questa tecnologia è rappresentato dalla difficoltà di realizzare corse elevate. Questo è dovuto essenzialmente a tre cause. In primo luogo per la ridotta 197 deformazione che si può imporre agli elementi attivi, funzione della vita attesa del
dispositivo [1,2,3]. La seconda causa è legata all''elemento di contrasto che se da un lato è
indispensabile per il funzionamento del dispositivo dall''altro impedisce all''elemento attivo
di recuperare completamente la sua forma. Ultima causa di inefficienza è dovuta alla
sfavorevole curva caratteristica che questi attuatori presentano, per i quali la forza erogata
dipende linearmente dalla posizione dell''attuatore. Poiché normalmente ad un attuatore è
richiesto di garantire una forza minima su tutta la corsa, ne consegue che la corsa
effettivamente utile è tanto più bassa quanto più alta è la forza minima da erogare. Una possibile soluzione alle inefficienze sopra citate è rappresentata dall''introduzione di un sistema di compensazione elastica capace di bilanciare globalmente il lavoro prodotto
dall''attuatore durante l''intera corsa. In particolare il compensatore deve essere in grado di
sottrarre opportunamente energia all''elemento SMA nelle posizioni dove la generazione di
forza è elevata e restituirla nelle posizioni in cui la generazione è limitata. Un sistema di questo tipo può essere realizzato mediante un meccanismo bistabile associato ad un elemento elastico tradizionale (molla). Il sistema di compensazione così creato ha una caratteristica elastica negativa, ossia genera una forza che diminuisce tanto più la deflessione dell''attuatore aumenta. In un recente lavoro [4], gli autori hanno presentato la teoria generale per il dimensionamento congiunto dell''attuatore SMA e del sistema di compensazione noti i
valori nominali di forza richiesta nelle due direzioni (FON1 e FON2 per attuatori a SMA
contrapposti, FON e FOFF per attuatori a singolo SMA) e la corsa da compiere S. In
particolare il dimensionamento del sistema di compensazione si riconduce
all''individuazione del valore di rigidezza ottimale kcomp e del valore di precarico nella
posizione di minima estensione dell''attuatore min comp z z F . In accordo con il modello teorico sviluppato, prove sperimentali preliminari [4] hanno dimostrano che la compensazione elastica produce incrementi di forza (a parità di corsa) o
incrementi di corsa (a parità di forza utile) di 2.5 volte rispetto allo stesso attuatore non
compensato. Le prove sono state condotte su un prototipo di attuatore a molle SMA
contrapposte, corredato di un sistema di compensazione con architettura a bilanciere. I meccanismi di compensazione fino ad ora presentati mostrano diversi lati negativi: morfologia relativamente complessa (almeno rispetto alla semplicità intrinseca di un
attuatore SMA); elevato numero di coppie cinematiche; elevati ingombri; alti costi di
fabbricazione e di industrializzazione; scarsa libertà di progettazione; definizione di uno o
più elementi elastici (molle) ad hoc. L''idea che sta alla base del lavoro è quella di realizzare un sistema di compensazione elastica mediante meccanismi cedevoli (compliant mechanism), che inglobino in sé anche
la funzione di accumulo di energia elastica (sistema springless). Una prima soluzione vagliata è stata quella di utilizzare molle di tipo Belleville [5]. Questi elementi, se opportunamente dimensionati, presentano un punto di equilibrio
instabile e per questo motivo sono idonei alla realizzazione di un sistema di
compensazione. Purtroppo da un''analisi di fattibilità è emersa l''inapplicabilità di questa
soluzione in quanto per le normali rigidezze e forze richieste al sistema di compensazione
la molla avrebbe una dimensione diametrale troppo elevata. 198 Figura 1a. Asta indeformata. Figura 1b. Asta compressa. Figura 1c. Asta compressa con cerniere non allineate. L''idea sviluppata è stata invece quella di creare dei moduli serializzabili il cui elemento base di compensazione è un''asta presso-inflessa in regime di instabilità elastica. Il lavoro fornisce gli strumenti per il corretto dimensionamento sia dell''asta base sia dell''intero modulo, mediante una procedura semplice e guidata. 2. ELEMENTO BASE COMPENSATORE: ASTA INFLESSA
Analisi comportamento
In Fig. 1a è mostrata una semplice asta di momento di inerzia I, lunghezza libera l,
realizzata in materiale avente modulo elastico E. Si ipotizzi di vincolare le due estremità
rispettivamente con una cerniera e un carrello che consentano il moto in direzione dell''asse
dell''asta, come mostrato in Fig. 1b. Applicando un carico P in direzione assiale maggiore
del carico critico:
2 2 cr EI P l (1)
l'asta subisce una deformazione considerevole e la sua deformata è in letteratura chiamata
''Elastica'. La soluzione di questo problema di stabilità elastica è nota. Ad esempio in [6] è riportata la soluzione per un''asta con un''estremità incastrata e l''altra libera, caso
riconducibile a quello in esame in quanto rappresenta metà della struttura considerata.
La soluzione, opportunamente elaborata per tener conto del diverso vincolamento
(cerniera-carrello), permette di calcolare la distanza tra le cerniere a, la freccia trasversale
massima xa e la lunghezza l dell''asta mediante le seguenti relazioni:
4 ( ) E p a l k (2) 2 ( ) K p l k (3) 2 a p x k (4)
E, I a A B Pa u Pt y x c P E, I a A B f P xa E, I l B A 199 dove K(p) è l''integrale ellittico completo di primo tipo, E(p) è l''integrale ellittico completo
di secondo tipo, mentre k e p sono le seguenti espressioni funzione rispettivamente del
carico applicato P e dell''angolo di inflessione nei vincoli :
P k EI (5) sin 2 p (6) Per comodità di trattazione definiamo f lo spostamento assiale della cerniera B, differenza fra la lunghezza libera l e la distanza fra le cerniere a. Mettendo a sistema le equazioni (2) '' (5) e normalizzando tutte le lunghezze rispetto alla lunghezza libera dell''asta l e il carico rispetto al carico critico Pcr (1) si ottengono le
seguenti relazioni:
( ) 2 1 ( ) E p K p f l (7) 2 2 4 ( ) cr P K p P (8) ( ) a x p l K p (9) Il momento flettente massimo si ha in corrispondenza della mezzeria dell''asta e vale:
max f a M Px (10)
Normalizzandolo rispetto alla lunghezza libera dell''asta l e rispetto al carico critico Pcr e introducendo l''equazioni (8) e (9) si perviene alla seguente espressione: 2 max 4 ( ) f cr M P l pK p (11)
Gli integrali ellittici che compaiono nelle espressioni (7), (8), (9), (11), essendo funzioni trascendenti in ostacolano la trattazione. Introduciamo quindi due espressioni
K''( ) ed E''( ) funzioni approssimate, rispettivamente, di K(p) e E(p) definite come: 2 ' 0.1 2 K (12) 2 ' 0.1 2 E (13) in cui è espresso in radianti. 200

In Fig. 2 si riporta il confronto in termini di angolo di inflessione (2a), carico normalizzato (2b), freccia trasversale massima normalizzata (2c) e momento flettente
massimo normalizzato (2d), tra la soluzione vera che utilizza gli integrali ellittici (pallini) e
la soluzione approssimata (linea continua) che al loro posto utilizza le espressioni
approssimate introdotte nelle equazioni (12) e (13). Si può osservare che la soluzione approssimata fornisce in modo accurato l''angolo di inflessione per qualsiasi valore di freccia. Inoltre stima correttamente fino a valori freccia
normalizzata di 0.6 sia la freccia trasversale che il momento flettente massimo e risulta
sufficientemente precisa nella stima del carico normalizzato, almeno per rapporti di freccia
normalizzata inferiori a 0.4. 0 30 60 90 120 150 180 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 ( °) f/l "Elastica" Approssimata (a) 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 P/P cr f/l "Elastica" Approssimata (b) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x a /l f/l "Elastica" Approssimata (c) 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 M MA X /( P cr l) f/l "Elastica" Approssimata (d) Figura 2. Confronto soluzione stabilità elastica con integrali ellittici veri e approssimati: a) angolo inflessione rispetto freccia normalizzata; b) carico normalizzato rispetto freccia
normalizzata, c) la freccia trasversale massima normalizzata rispetto freccia normalizzata d)
momento flettente massimo normalizzato asta rispetto freccia normalizzata. 201 Ora, spostando in direzione trasversale x la cerniera B di una quantità u (Fig. 1c), la distanza delle cerniere c aumenta rispetto alla distanza iniziale a e vale: cos a c (14) dove rappresenta l''angolo di inclinazione rispetto all''asse y della retta AB congiungente
le cerniere. L''angolo può essere espresso in funzione dello spostamento u della cerniera B secondo la relazione:
u ArcTan a (15) Inserendo la (15) nella (14) si ottiene:
cos u ArcTan a a c (16)
e la freccia normalizzata f(u)/l effettivamente sperimentata dall''asta risulta: 1 1 cos u ArcTan a f u c a l l (17)
Uguagliando la (7) e la (17) si ottiene la seguente equazione trascendente:
( ) 2 1 ) 1 s ( co E p K p u ArcTan a a (18) che risolta numericamente in p per ogni spostamento u della cerniera, consente di calcolare tramite la (8) il carico P(u)/Pcr generato dalla trave nella direzione della congiungente le cerniere AB. Noto P(u)/Pcr, il carico normalizzato in direzione x Pa(u)/Pcr necessario ad equilibrare l''asta vale: sin a cr cr P u P u P P (19) 202 Considerando piccoli valori dell''angolo è possibile sostituire alle funzioni trigonometriche della (16) i relativi sviluppi in serie trascurando i termini di ordine
superiore al secondo ottenendo:
2 1 1 2 u c a a (20) Conseguentemente l''equazione trascendente (18) diviene: 2 ( ) 2 1 ( 1
2 ) 1 1 E p K p a u l a (21)
Introducendo poi in quest''ultima equazione le espressioni approssimate (12) e (13) si perviene ad una equazione ordinaria in , che risolta fornisce l''angolo di curvatura
approssimato della trave nei vincoli per ogni posizione u della cerniera B: 2 2 2 2 5 2 6 approx l u a a l u a a (22)
In Fig. 3a si riporta per diversi valori di precarico iniziale f(0)/l l''angolo di curvatura dell''asta nei vincoli A e B, calcolato numericamente mediante l''equazioni (18) e (6) (pallini vuoti) e secondo l''espressione approssimata (22) (linea continua). Le curve sono
limitate al valore di u tale per cui l''angolo di curvatura dell''asta si annulla (asta scarica). Noto approx tramite la (12) si risale al valore di K''( ) e successivamente con la (8) si calcola il valore del carico normalizzato P(u)/Pcr generato dalla trave nella direzione delle cerniere AB:
2 2 2 2 64 6 cr approx a l u l a a P u P (23) In Fig. 3b si mostra per diversi valori di precarico iniziale f(0)/l il carico normalizzato P(u)/Pcr calcolato numericamente mediante l''utilizzo delle espressioni non approssimate
(18) e (8) (pallini vuoti) e secondo l''espressione approssimata (23) (linea continua). Le
curve sono limitate al valore di u tale per cui l''angolo di curvatura dell''asta si annulla (asta scarica). Inserendo la (23) nella (19) e introducendo l''approssimazione sen( u/a) u/a si ottiene quindi la relazione approssimata per il carico normalizzato in direzione x Pa(u)/Pcr necessario ad equilibrare l''asta: 203
2 2 2 64 2 6 a cr approx u
a a l u l P a P u a (24)
In Fig. 4 si mostrano per diversi valori di precarico iniziale f(0)/l la forza assiale equilibratrice normalizzata calcolata numericamente mediante l''utilizzo delle espressioni
non approssimate (18) e (19) (pallini vuoti) e secondo l''espressione approssimata (24)
(linea continua). Anche in questo caso le curve sono limitate al valore di u tale per cui l''angolo di curvatura dell''asta si annulla (asta scarica). Come si può notare dai tracciati, l''asta così utilizzata ha una caratteristica elastica negativa e la risposta è in buona approssimazione lineare per rapporti u/a compresi fra ±0.5. Per tale motivo questo elemento è idoneo alla realizzazione di un compensatore per
attuatore SMA. Inoltre nell''intervallo di linearità individuato la soluzione approssimata
risulta essere applicabile con ottima precisione. La rigidezza dell''asta si ottiene derivando la (24) rispetto allo spostamento u/a. La funzione che si ottiene è di ordine superiore al secondo in u/a. Per spostamenti u/a <<1 si possono trascurare detti termini ottenendo la seguente espressione approssimata: 2 2 2 2 3 64 2 2 64 6 6 asta app ox c r r P EI a l l k a a l a a (25) 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 (r ad) u/a "Elastica" Approssimata 0.05 f/l=0.1 f/l=0.2 f/l=0.4 (a) 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 P/P cr u/a "Elastica" Approssimata f/l=0.05 f/l=0.1 f/l=0.2 f/l=0.4 (b) Figura 3. Angolo di inflessione dell''asta nei vincoli (a) e carico normalizzato P(u)/Pcr (b) in funzione della posizione trasversale normalizzata della cerniera B u/a, per diversi valori di precarico iniziale dell''asta f(0)/l. 204 Dimensionamento asta
Per il dimensionamento dell''asta è necessario conoscere la rigidezza kasta di progetto (vedi paragrafo ''dimensionamento del modulo') e il modulo elastico del materiale E con cui si realizzerà l''asta. Inoltre bisogna fissare la corsa massima normalizzata umax/a e quindi l''angolo max (15) che consente di rimanere nell''intervallo di validità della trattazione
approssimata (Fig. 4). Per garantire il corretto funzionamento dell''asta è poi necessario assicurare che all''inclinazione max l''asta si trovi ancora in condizione di instabilità elastica. A questo
scopo si mettano a sistema la (2) e la (3) e si inseriscano l''espressioni approssimate (12) e
(13) al fine di ricavare la seguente relazione che lega , a, l: -1,6 -1,2 -0,8 -0,4 0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 P a /P cr u/a "Elastica" Approssimata (a) f(0)/l=0.05 -1,6 -1,2 -0,8 -0,4 0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 P a /P cr u/a "Elastica" Approssimata (b) f(0)/l=0.1 -1,6 -1,2 -0,8 -0,4 0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 P a /P cr u/a "Elastica" Approssimata (c) f(0)/l=0.2 -1,6 -1,2 -0,8 -0,4 0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 P a /P cr u/a "Elastica" Approssimata (d) f(0)/l=0.4 Figura 4. Carico normalizzato Pa/Pcr necessario ad equilibrare l''asta inflessa in funzione della posizione normalizzata u/a, per diversi valori di precarico f(0)/l: a) 0.05, b) 0.1, c) 0.2, d) 0.4.
205 2 2 2 0.1
2 0.3 l a (26)
Imponendo che ad inclinazione max la distanza fra le cerniere c (14) sia inferiore alla lunghezza dell''asta l (26) si ricava la seguente relazione che lega l''angolo minimo di curvatura (0) all''angolo max imposto: 2 5 3 0 8 1.1 max max (27)
dove il coefficiente 1.1 è stato introdotto come coefficiente di sicurezza per garantire che
l''asta lavori sempre in condizione di instabilità elastica. Determinato (0) è possibile dimensionare l''asta desumendo la lunghezza libera l tramite la (26) e il momento di inerzia della sezione dell''asta dall''inversione della (25):
2 3 2 6 64 2 asta l a a I k E (28) La freccia trasversale massima dell''asta xa si registra a u=0. Inserendo la (12) e la (26) nella (9) e approssimando p /2 si ottiene: 2 0 0.6 a a x (29) Il carico assiale massimo P si registra anch''esso a u=0. Mettendo a sistema questa relazione con la (1), la (23) e la (26) si ottiene: 2 2 2 4 0.3 2 (0) EI P a (30)
Infine, inserendo quest''ultima espressione e la (29) nella (10) si ricava il momento flettente massimo che l''asta sperimenta:
2 2 2 4 2 0.3 (0) (0) 0.6 f max a EI M P x a (31) Ipotizzando di realizzare l''asta di sezione rettangolare di larghezza w e spessore t è possibile infine ricavare le dimensioni della sezione che limitano la tensione massima ad un
valore fissato amm e realizzano al contempo il corretto momento d''inerzia I:
206 2 amm f max I t M (32) 3 12 I w t (33) 3. COMPENSATORE MODULARE AD ASTE INFLESSE
Architettura modulo compensatore
Il compensatore modulare ideato, rappresentato in Fig. 5a, è composto da 4 aste A
precompresse in instabilità elastica e vincolate mediante cerniere P ad una telaio esterno T
e ad un cursore mobile C. In virtù della simmetria del dispositivo al cursore è consentito
solo lo spostamento z in direzione orizzontale. La variabile z individua la posizione dell''attuatore a partire dalla posizione indeformata dell''elemento SMA principale [4]. Le quattro aste del modulo risultano in parallelo fra loro e la rigidezza complessiva del compensatore vale quattro volte quella della singola asta. Oltre alle aste di compensazione elastica, ogni modulo contiene gli elementi attivi a memoria di forma (molle o fili) che possono essere in numero variabile a seconda delle
esigenze di forza richiesta [4]. Nel caso di attuatore a SMA contrapposti l''elemento attivo
SMA 1 sarà collegato da un estremità a telaio (E in Fig. 5a) e dall''altra estremità al cursore
mobile C nel punto O. L''elemento SMA2 invece sarà collegato da un estremità al cursore
mobile C nel punto O e dall''altra estremità a telaio nel punto F. Da un punto di vista
funzionale è sempre possibile differenziare i punti di collegamento degli elementi attivi al
cursore: in particolare, qualora il punto di collegamento dell''elemento SMA1 sia
posizionato a destra del punto di collegamento dell''elemento SMA 2 si ottiene una
riduzione dell''ingombro assiale dell''intero modulo. In questo caso i due elementi devono
essere disposti non coassiali in modo che non si sovrappongano. In Fig. 5 è mostrato la morfologia del compensatore compliant nelle tre posizioni principali di funzionamento: posizione centrale simmetrica z=S/2 (Fig. 5a) in cui l''azione del compensatore è nulla, posizione di finecorsa sinistro z=0 (Fig. 5b), in cui l''azione del compensatore aiuta l''elemento SMA1 e posizione di finecorsa destro z=S (Fig. 5c), in cui l''azione del compensatore è a supporto dell''elemento SMA2. Nel caso di attuatore a singolo elemento attivo, il modulo compensatore è ancora identico, se non che risulta armato da un solo elemento attivo. In questa architettura
l''azione del compensatore è sempre in opposizione all''elemento attivo [4], come si può
osservare dalla Fig. 6 in cui sono rappresentati i due estremi di funzionamento. I moduli, siano essi a singolo SMA o a SMA contrapposti possono essere serializzati per aumentare la corsa erogata o parallelizzati per incrementare la forza fornita, senza
necessità di alcuna riprogettazione e mantenendo la caratteristica di attuatore a forza
costante. Nel caso di moduli in serie il cursore di un modulo deve essere connesso al telaio
del successivo, mentre nel caso di moduli in parallelo è necessario collegare insieme tutti i
cursori tra loro e tutti i telai tra loro. 207 Figura 5. Modulo compensatore a SMA contrapposti: a) posizione centrale simmetrica ( z=S/2); b) posizione di finecorsa sinistro (z=0); c) posizione di finecorsa destro (z=S). Dimensionamento del modulo
A seconda delle caratteristiche dell''attuatore da compensare [4], lo spostamento del sistema
di compensazione può essere sia monolatero che bilatero a sua volta simmetrico o
asimmetrico rispetto alla sua posizione di equilibrio instabile ( u=0). Per il dimensionamento del compensatore è importante conoscere il valore assoluto
dell''estensione monolatera massima umax del compensatore che dipende dalla corsa S, dalla rigidezza kcomp e dalla forza di precarico nella posizione di minima estensione dell''attuatore Fcomp(z=zmin):
min min max , comp comp c z z omp max comp co z z mp k S u k k F F (34)
L''estensione monolatera massima realizzabile dal compensatore compliant a 4 aste vale (15): max max tan u a (35)
Uguagliando la (34) e (35) e fissando un valore dell''angolo di massima inclinazione dell''asta max è possibile ricavare la distanza trasversale delle cerniere a e quindi
l''ingombro assiale del modulo (poco maggiore di 2 a): min min , tan max comp comp z z z z comp comp comp max k S k k F a F (36)
(a) z SMA1 SMA2 T C A P O E F (b) SMA1 SMA2 (c) SMA2 SMA1 208 Figura 6. Modulo compensatore singolo SMA: a) posizione completa attivazione elemento ( z=zmin); b) posizione di finecorsa destro (z=S).

Nota la rigidezza obiettivo del compensatore kcomp [4] la rigidezza di progetto dell''asta da inserire nella (28) vale: 4 comp asta k k (37)
Vale la pena osservare che essendo kcomp sempre negativa (sistema di compensaizone) anche la rigidezza dell''asta che si calcola con la (37) è negativa, in accordo con il valore da
inserire nella (28). Il sistema di compensazione, oltre a rispettare il valore di rigidezza di progetto kcomp deve anche imporre il corretto valore di precarico Fcomp(z=zmin) [4]. Per rispettare questa condizione è sufficiente determinare la deflessione assiale u(zmin) che le aste devono assumere quando l''attuatore si trova nella posizione di minima estensione zmin: min comp z m n c mp z i o F u z k (38)
Essendo la rigidezza di compensazione sempre negativa, se il precarico è anch''esso negativo (tipicamente attuatori a singolo SMA) la deflessione del compensatore u(zmin) sarà positiva, mentre in caso contrario (tipicamente attuatori a SMA contrapposti) la deflessione
del compensatore u(zmin) sarà negativa. Dal punto di vista costruttivo, per applicare correttamente il precarico del sistema di compensazione è utile definire la distanza EO tra i perni di collegamento dell''elemento
SMA (SMA 1 nel caso di attuatore a SMA contrapposti) nella posizione di equilibrio
instabile ( u=0) del compensatore (Fig. 5a): 0 0 min min EO u l z u z (39)
dove l0 è la lunghezza libera dell''elemento SMA. (a) u SMA O E (b) SMA2 SMA O 209 Dall''equazione (39) si può osservare che per quanto esposto precedentemente a proposito di u(zmin) nel caso di attuatori a singolo SMA, nella posizione di equilibrio instabile del compensatore la distanza tra i perni EO dell''elemento SMA è inferiore alla
lunghezza libera dell''elemento stesso. Nel caso di attuatore a SMA contrapposti è necessario definire anche la distanza FO tra gli estremi dell''elemento SMA2 nella posizione di equilibrio instabile ( u=0) del compensatore (Fig. 5a). Tale distanza deve valere: 0 min 0 FO u l S u z (40)
dove S è la corsa di progetto dell''attuatore. Per completare il corretto dimensionamento del modulo è necessario far sì che il cursore mobile venga bloccato da opportuni fine corsa al raggiungimento dell''estensioni
massime della corsa ( zmin e zmax). 4. DIMENSIONAMENTO E VERIFICA DI UN COMPENSATORE MODULARE
Al fine di validare la procedura di dimensionamento del modulo compensatore ad aste
inflesse e di verificare le prestazioni del compensatore così costituito si propone la
progettazione e la verifica agli elementi finiti di un modulo compensatore a SMA
contrapposti. Dimensionamento modulo
Le prestazioni richieste al compensatore sono una rigidezza kcomp= -0.2N/mm, un precarico Fcomp(z=0)=4N, e una corsa S=40mm. Determiniamo da prima la deflessione massima del compensatore mediante la (34). Limitando la rotazione dell''asta a max=0.3488rad ( 20°), corrispondente ad uno spostamento ( umax/a)=0.36397, in modo da far lavorare le aste in linearità (Fig. 4) è possibile calcolare con la (36) la distanza fra le cerniere a delle singole aste e mediante la (27) l''angolo di precarico minimo dell''asta ( =0). Noto questo valore si risale successivamente dalla (26) alla lunghezza l dell''asta scariche. Dalla rigidezza di progetto del compensatore si ricava mediante la (37) la rigidezza dell''asta kasta. Fissato il materiale costituente le lamine (in termini di modulo elastico E e tensione ammissibile amm), dalla (28) si ricava il momento di inerzia I dell''asta e,
ipotizzando di utilizzare una sezione rettangolare, le dimensioni w e t della sezione mediante le (31) '' (33). In questo esempio si assume che le lamine siano realizzate in nylon con modulo elastico E=3GPa e tensione ammissibile amm=40MPa. In Tab. 1 si riportano tutte le grandezze di interesse del compensatore progettato. Verifica del modulo agli elementi finiti
Il compensatore così dimensionato è stato modellato agli elementi finiti in ambiente
ABAQUS 6.9, al fine di valutarne il comportamento. Si è realizzato un modello piano del dispositivo, modellando tutti i membri con elementi di tipo trave di dimensione di circa 0.1mm. Il modello considera le non linearità
geometriche e i grandi spostamenti. 210 Con riferimento alla Fig. 7a le aste inflesse AB, CD, EF, GH hanno lunghezza libera di 58.34mm e sezione rettangolare di 3.47x1.02mm. I due semitelai RSC e UVH hanno
invece sezione di 5x5mm. Tutti gli elementi travi sono stati modellati con materiale elastico
lineare avente modulo di elasticità di 3000MPa. Le aste sono collegate al cursore 1 e ai semitelai tramite cerniere ideali, mentre il cursore 1 è vincolato mediante carrelli che ne consentono il moto lungo la sola direzione
orizzontale. L''introduzione di detto vincolo è realistica in quanto il modulo compensatore è
simmetrico rispetto ad un piano passante per il cursore 1. Entrambi i telai invece sono
vincolati medianti carrelli che impediscono il moto in direzione orizzontale. L''analisi è composta da una sequenza di 5 fasi distinte, illustrate in Fig. 7. Partendo dalla configurazione indeformata di Fig. 7a, nella prima fase si vincola il moto orizzontale
del cursore C e si applicano a tutte le quattro aste una forza in mezzeria di 2N, in modo da
indurne la deformazione trasversale e consentirne il successivo caricamento in l''instabilità
elastica (Fig. 7b). Quindi nella seconda fase si impone uno spostamento in direzione
verticale di valore pari a ( l '' a) ad entrambi i semitelai con verso tale da precaricare le aste al valore desiderato (Fig. 7c). La terza fase prevede di rimuovere le forze orizzontali
applicate nella mezzeria delle aste e il vincolo che impedisce la traslazione orizzontale del
cursore 1. La configurazione così raggiunta dal compensatore è quella di equilibrio
instabile e la sua forma geometrica è ancora rappresentata in Fig. 7c. Successivamente la
fase 4 prevede uno spostamento del cursore C verso destra di valore pari alla metà della
corsa di progetto, ottenendo la configurazione di massima estensione del compensatore
(Fig. 7d). La quinta e ultima fase fa compiere al cursore una spostamento verso sinistra pari
all''intera corsa, ottenendo la configurazione di massima contrazione (Fig. 7e). Il risultato dell''analisi è la forza Fa necessaria ad equilibrare il cursore 1 in funzione della posizione assiale u del cursore stesso (Fig. 8a). In Fig. 8b è invece mostrato l''errore % sulla forza assiale del compensatore rispetto al valore teorico.
Parametro Simbolo Valore Unità misura Rigidezza compensatore kcomp -0.2 N/mm Precarico compensatore a zmin Fcomp(z=0) 4 N Corsa attuatore S 40 mm Estensione monolatera massima compensatore umax 20 mm Angolo max rotazione asta max 0.3485 rad Estensione monolatera massima normalizzata umax/a 0.36397 Distanza fra le cerniere a 55 mm Angolo precarico asta ( =0) 0.5253 rad Lunghezza asta l 58.34 mm Rigidezza asta kasta -0.05 N/mm Modulo elastico materiale compensatore E 3 GPa Tensione ammissibile materiale compensatore amm 40 MPa Momento inerzia sezione asta I 0.307 mm 4 Momento flettente massimo asta Mfmax 24.03 Nmm Spessore sezione asta t 1.02 mm Larghezza sezione asta w 3.47 mm Tabella 1. Grandezze di interesse del modulo compensatore. 211 (a) (b) (c) (d) (e) Figura 7. Configurazioni assunte dal modulo compensatore nelle varie fasi di simulazione agli elementi finiti: a) configurazione indeformata; b) fase 1 di squilibrio trasversale delle
aste; c) fase 2 di precarico delle aste (configurazione di equilibrio instabile); d)
configurazione di massima estensione del compensatore; e) configurazione di massima
contrazione del compensatore. 212 5. DISCUSSIONE
Come visibile da Fig. 2b l''asta inflessa in instabilità elastica presenta una relazione forza
freccia di tipo pressoché lineare almeno per deflessioni assiali minori del 30%. In questo
intervallo inoltre la rigidezza è molto limitata così che eventuali variazioni della freccia
producono basse variazioni di carico. L''introduzione dell''approssimazioni (12) e (13) nella soluzione elastica dell''asta fornisce una ottima previsione dell''angolo assunto dalla trave nei vincoli (Fig. 2a) e una
buona approssimazione, almeno fino a valori di deflessioni assiali del 40%, sia per il carico
normalizzato (Fig. 2b), che per la freccia trasversale xa (Fig. 2c) che per il momento massimo sperimentato dall''asta Mfmax (Fig. 2d). Applicando uno spostamento in direzione trasversale ad una delle due cerniere, l''asta precaricata si scarica progressivamente (Fig. 3b) in quanto aumenta la distanza fra le
cerniere AB. Fino a valori di precarico iniziale f(0)/l del 20%, la soluzione approssimata è perfettamente sovrapposta alla soluzione elastica esatta e per valori di precarico del 40%
l''errore che si commette risulta per difetto di circa il 3%. L''angolo di inflessione assunto dall''asta nei vincoli è stimato con ottima precisione dalla soluzione approssimata (Fig. 3a) a prescindere dal livello di precarico almeno fino a
valori di spostamento trasversale normalizzato u/a di circa 1 ( =45°). Oltre tale valore la discrepanza fra le due soluzioni è imputabile all''approssimazione introdotta sen( u/a) u/a che produce errori considerevoli. A seguito dello spostamento in direzione trasversale di una delle due cerniere dell''asta precaricata, il sistema è instabile e la forza di equilibrio Pa da applicare esternamente aumenta tanto più quanto più lo spostamento applicato è grande. Come si osserva da Fig. 4
(curve ''Elastica') la caratteristica del sistema è pressoché lineare in un intervallo di
spostamenti traversali normalizzati u/a di circa ±0.5 indipendentemente dal livello di precarico iniziale f(0)/l. -6 -4 -2 0 2 4 6 -30 -20 -10 0 10 20 30 P a (N ) u (mm) Numerica EF Teorica (a) -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 -30 -20 -10 0 10 20 30 Er ro re (% ) u (mm) (b) Figura 8. a) Caratteristica forza assiale '' spostamento del compensatore modulare ottenuta mediante modello agli elementi finiti in confronto con la caratteristica teorica richiesta. b)
Errore % sulla forza assiale del compensatore rispetto al valore teorico. 213 Il livello di precarico iniziale f(0)/l influisce, seppur in modo modesto, sulla pendenza del tratto lineare, che è in valore assoluto maggiore quanto più il precarico è alto. Nell''intervallo di rettilineità della risposta dell''asta (soluzione ''Elastica') la soluzione approssimata presenta un errore pressoché trascurabile. In virtù di questo incoraggiante comportamento, l''asta inflessa in instabilità è utilizzata per la realizzazione di un dispositivo di compensazione degli attuatori SMA che richiedono
l''introduzione di un sistema elastico a rigidezza negativa. Il compensatore proposto si basa su una architettura modulare in modo da poter essere combinato in serie o in parallelo per realizzare attuatori con diverse corse e forze. In
particolare ponendo i moduli in serie si riesce a moltiplicare la corsa erogata, mentre con la
disposizione in parallelo si moltiplica la forza. Ciascun modulo contiene e funge da telaio per l''elemento attivo (attuatore a singolo SMA) o i due elementi attivi SMA (attuatore a SMA contrapposti). Al fine di ottenere la massima semplicità costruttiva, il modulo compensatore sfrutta la disposizione simmetrica in parallelo di 4 aste per realizzare carrelli virtuali che lascino la
sola libertà di moto assiale al compensatore. Inoltre questa architettura fornisce un''idonea e
integrata struttura per il fissaggio degli elementi SMA. La procedura di progettazione proposta consente di dimensionare cinematicamente e strutturalmente il modulo compensatore noti che siano, dalla procedura di progettazione
dell''attuatore compensato [4], i valori di rigidezza e precarico. La procedura è univoca e
sequenziale e consiste nella risoluzione di semplici equazioni algebriche. Oltre ai dati di progetto occorre conoscere il modulo elastico e la tensione ammissibile del materiale che costituirà le aste e scegliere in modo ottimizzato l''angolo max di massima
inclinazione della retta congiungente le cerniere dell''asta. All''aumentare di detto angolo
l''ingombro in direzione trasversale del modulo diminuisce a scapito però della costanza
della rigidezza del compensatore. L''esempio di dimensionamento di un compensatore per attuatore a SMA contrapposti e la relativa verifica agli elementi finiti della risposta del sistema convalida sia la
metodologia di dimensionamento sia la validità della soluzione individuata. Rispetto al
compensatore ideale, la cui risposta è perfettamente proporzionale allo spostamento u (Fig. 8a), il sistema simulato ha una caratteristica lievemente non lineare. La differenza della
forza realmente erogata dal compensatore rispetto a quella teorica (Fig. 8b) cresce
pressoché linearmente all''aumentare della deflessione con un errore massimo del 9% a
massima o minima estensione. Questo risultato è comunque soddisfacente se si considerano
le approssimazioni introdotte nella modellazione del materiale a memoria di forma [4]. Qualora si voglia diminuire questo errore è possibile intervenire riducendo l''angolo massimo di rotazione dell''asta max (nell''esempio 20°). Viste le modeste forze in gioco, il compensatore proposto si presta molto bene ad essere realizzato in materiale plastico, sia per stampaggio ad iniezione sia con tecniche di
prototipazione rapida. La necessità di realizzare delle cerniere all''estremità delle aste apre la strada a tre possibili soluzioni. La prima è di realizzare dei fori all''estremità delle aste e dei perni sui
membri del compensatore o viceversa. La seconda prevede di realizzare delle sedi ad
esempio a ''V' sui membri nelle quali andare a inserire le estremità delle aste. Infine la
terza soluzione prevede di realizzare l''intero compensatore monolitico e di realizzare anche
le cerniere deformabili [7]. 214 Gli sviluppi del lavoro vertono sull''analisi di queste possibilità di implementazioni delle cerniere, con l''obiettivo di realizzare un prototipo di attuatore SMA compensato
mediante l''architettura proposta, al fine di una verifica anche sperimentale. 6. CONCLUSIONI
Nel lavoro si presenta una nuova architettura di compensatore modulare di tipo cedevole
per attuatori a memoria di forma, basato sull''utilizzo di aste inflesse in instabilità elastica. L''asta in instabilità è stata analizzata ricorrendo alla teoria elastica, estendendo il modello al caso di spostamento trasversale di una delle due cerniere. Parallelamente si è
messo a punto un modello approssimato utile per la risoluzione del problema con equazioni
ordinarie e lo si è comparato con il modello esatto. Sulla base di questo studio si è stilata una metodologia di progettazione che partendo dai valori di rigidezza e di precarico richiesti al compensatore determina la geometria
complessiva del modulo. Un esempio numerico di dimensionamento è sviluppato passo passo. Parallelamente si è realizzato un modello agli elementi finiti della geometria individuata con l''obiettivo di
valutare le prestazioni del sistema. I risultati ottenuti sono soddisfacenti, con un errore di
linearità della forza di compensazione limitato al 9%.
REFERENCES [1] L. Fumagalli, F. Butera, A. Coda, 2009. ''SmartFlex NiTi Wires for Shape Memory Actuators'. J. of Materials Engineering and Performance, 18, pp. 691''695 [2] M. Mertmann, G. Vergani, 2008. ''Design and application of shape memory actuator'. Eur. Phys. J. Special Topics, 158, pp. 221''230. [3] G. Scirè Mammano, E. Dragoni, 2011. ''Functional fatigue of shape memory wires under constant-stress and constant-strain loading conditions'. Engineering Procedia, 10, pp. 3962''
3707. [4] G. Scirè Mammano, E. Dragoni, 2011. ''Increasing stroke and output force of linear shape memory actuators by elastic compensation', Mechatronics, 21, pp. 570''580. [5] R. L. Norton, 2006. Machine Design '' An Integrated Approach, Third edition, Prentice Hall. [6] S.P. Timoshenko, J. M. Gere, 2009. Theory of elastic stability, second edition, Dover publication. [7] N. Lobontiu, 2003. Compliant mechanism. Design of flexure hinges, CRC Press. 215 216 MODELLAZIONE MEDIANTE BOND GRAPHS DI UN ATTUATORE A FORZA COSTANTE BASATO SU ELASTOMERI DIELETTRICI Giovanni Berselli Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Civile, Universit`a di Modena e Reggio Emilia
E-mail: giovanni.berselli@unimore.it Rocco Vertechy Laboratorio PERCRO,
Scuola Superiore Sant''Anna, Pisa
E-mail: r.vertechy@sssup.it Gabriele Vassura Dipartimento di Ingegneria delle Costruzioni Meccaniche, Nucleari, Aeronautiche e di
Metallurgia, Universit`a di Bologna E-mail: gabriele.vassura@unibo.it Vincenzo Parenti Castelli Dipartimento di Ingegneria delle Costruzioni Meccaniche, Nucleari, Aeronautiche e di
Metallurgia, Universit`a di Bologna E-mail: vincenzo.parenti@unibo.it Riassunto. Gli attuatori a forza costante basati su elastomeri dielettrici (ED) si possono teoricamente ottenere accoppiando un film di ED a particolari strutture di supporto
cedevoli. Ciononostante, l''ottenimento pratico di un profilo desiderato in forza pu`o diventare un compito gravoso a causa dei fenomeni tempo-dipendenti che influenzano la
risposta elettromeccanica dell''ED. In questo contesto, la presente memoria propone un
modello iperviscoelastico di attuatori a forza costante aventi geometria rettangolare. Il
modello, basato sul formalismo dei Bond Graphs, pu`o essere utilizzato come strumento nella progettazione e/o nel controllo di attuatori che debbano operare nell''intorno di
condizioni nominali prestabilite. Il modello `e in grado di prevedere la risposta del sistema a rapide variazioni nella lunghezza dell''attuatore e nel voltaggio di attivazione imposte da un
utilizzatore esterno. Parole chiave: attuatori a forza costante, elastomeri dielettrici, Bond Graphs 1. INTRODUZIONE
L''interesse per gli attuatori lineari basati su Elastomeri Dielettrici (ED) [1] `e stato favorito dalle svariate potenziali applicazioni in campi come la robotica [2], l''ingegneria medica [3], 217 Attuatore Stato OFF F a F a V B (a) Attuatore Stato ON F a F a (b) Struttura di Supporto Membrana Attiva (c) Link 1 Link 2 x y Giunto elastico P O MSC (d) Figura 1: Soluzione concettuale proposta e modello CAD dell''attuatore, stato disattivato (a), stato attivato (b), esploso d''assieme (c), e schematico della struttura di supporto (d). Giunto elastico (a) (b) (c) (d) Figura 2: Prototipo dell''attuatore. Struttura di Supporto in condizione indeformata (a) e soggetta ad un carico esterno (b), attuatore in stato disattivato (c) ed attivato (d). lo smorzamento attivo di vibrazioni [4] ed il rendering aptico [5] in ambienti di realt`a vir- tuale. Nel loro utilizzo come attuatori, gli ED sono generalmente utilizzati in forma di sottili membrane, dapprima pretensionate ed in seguito rivestite con elettrodi cedevoli (compliant) per formare un film di Polimero ElettroAttivo (PEA). L''attivazione del PEA mediante applicazione di una differenza di potenziale elettrico (voltaggio) tra gli elettrodi pu`o indurre un''espansione in area del film e, di conseguenza, uno spostamento dei suoi punti. Tale spostamento pu`o essere utilizzato per produrre lavoro mec- canico utile nel caso in cui forze esterne siano applicate ad uno o pi`u di questi punti. In letteratura sono state proposte diverse tipologie di attuatori ad ED, caratterizzate da di- verse forme e dimensioni e da diverse prestazioni in termini di efficienza, densit`a di potenza ed affidabilit`a (si veda, ad esempio, [6]). Nonostante queste differenze, un tipico attuatore ad ED `e formato da un PEA mono o multi-strato che fornisce una conversione elettromeccanica di energia, da una fonte di energia elettrica che invia gli impulsi per l''attivazione del PEA e da una struttura flessibile passiva che si rende necessaria per supportare la membrana elet- troattiva. In particolare, come mostrato da diversi autori [7''9], peculiari strutture cedevoli possono essere utilizzate per ottenere attuatori mono o bidirezionali caratterizzati da una spinta utile costante in un dato intervallo di corsa. Tali attuatori a forza costante sono tipicamente ap- prezzati poich`e possiedono un comportamento uniforme, consentono un utilizzo ottimale del 218 lavoro disponibile in uscita, e sono facilmente controllabili [10, 11]. Ciononostante, il rag- giungimento pratico di un profilo desiderato di forza diventa difficoltoso poich`e la risposta dell''attuatore `e altamente influenzata da effetti non lineari di creep e stress-relaxation, in- trinseci della natura viscoelastica dell''ED. Pertanto, si rendono necessari modelli dinamici affidabili ed in grado di prevedere correttamente i fenomeni tempo-dipendenti che si gener- ano durante il funzionamento dell''attuatore. In questo contesto, la presente memoria si propone di investigare le propriet`a dinamiche di un attuatore a forza costante di forma rettangolare, la cui progettazione concettuale `e stata presentata in [8]. Le Fig. 1(a) e 1(b) rappresentano l''attuatore nello suo stato disattivato (OFF) ed attivato (ON). La struttura di supporto del PEA (Fig. 1(c)), la cui schematizzazione per mezzo di un modello pseudo rigido [12] `e visibile in Fig. 1(d), `e un esalatero artico- lato cedevole. Il PEA rettangolare (Fig. 1(c)), `e collegato al link 1 (telaio) ed al link 2 (piattaforma mobile). Lo spostamento lungo la direzione y (cos`ı come, alternativamente, la rotazione) `e impedito sia dalla simmetria dell''esalatero articolato sia dalla distribuzione di tensioni nell''EDF, cosicch`e i link 1 e 2 si trovano sempre ad essere tra loro paralleli. Met`a struttura pu`o essere quindi schematizzata come un Manovellismo di Spinta Cedevole (MSC) (Fig. 1(d)), le cui propriet`a elastiche consentono di ottenere la forza costante desiderata [8]. Il prototipo della struttura di supporto `e mostrato in Fig. 2(c) (condizione indeformata) ed in Fig. 2(b) (piattaforma mobile caricata con un carico costante agente in direzione x). Il pro- totipo complessivo dell''attuatore `e presentato in Fig. 2(c) (attuatore nello stato disattivato) e in Fig. 2(d) (attuatore in stato attivato). Similmente ad approcci precedentemente presentati in letteratura, il modello trattato in questo lavoro include una descrizione del comportamento elettrostatico, iperviscoelastico del PEA [13''16] connesso ad una sorgente ideale di potenza elettrica ad alto voltaggio [5, 11]. Diversamente dai suddetti lavori, questa memoria considera il contributo in forza della strut- tura cedevole. In riferimento alla metodologia modellistica, i risultati sono presentati ed interpretati sulla base del formalismo dei Bond Graphs (BG) [17], tecnica che descrive il flusso di potenza all''interno del sistema e l''interconnessione tra i fenomeni elettrici e mecca- nici. Infine, si presentano alcune simulazioni numeriche che mostrano come il modello sia in grado di prevedere la risposta del sistema a rapide variazioni nella lunghezza dell''attuatore e nel voltaggio imposto. 2. ATTUATORI RETTANGOLARI A FORZA COSTANTE: RICHIAMO DEI CON- CETTI DI BASE Si ignori inizialmente qualsiasi fenomeno tempo-dipendente che potrebbe sorgere durante il funzionamento dell''attuatore. Richiamando le linee guida generali riportate in [8], si pu`o affermare che la deformazione del PEA produce sia una variazione della lunghezza dell''attuatore x = |(P O)|, dove P e O sono, per esempio, due punti dell''attuatore gia- centi sull''asse di simmetria del PEA (Fig. 1(d)), che una forza avente la stessa direzione del vettore OP 1 la quale pu`o essere fornita ad un utente esterno. Questa forza, denominata spinta utile dell''attuatore, Fa, `e data dalla somma di due contributi: Fs, cio`e la forza di reazione della struttura di supporto (dovuta alla rigidezza propria della struttura), ed Ff , o forza del PEA, cio`e la forza risultante nella direzione di attuazione dovuta al campo di tensione che si genera nel polimero. La forza Ff decresce in modulo con l''attivazione del PEA. In particolare, in accordo con un modello monodimensionale, il PEA si comporta come una molla non lineare 1la direzione del vettore OP verr`a definita come direzione di attuazione. 219 δ s1 S δ s1 ' Curve FL della struttura di supporto A F Curve FL del PEA C F f off x F f on Figura 3: Curve FL qualitative ove si mostrano i moduli di Ff e Fs e l''effetto di una molla a ''rigidezza negativa'. di trazione avente rigidezza Kf = dFf /dx, mentre la struttura flessibile si comporta come una molla non lineare di compressione avente rigidezza Ks = dFs/dx ed accoppiata in paral- lelo con il PEA. Figura 3 mostra un diagramma qualitativo di curve Forza-Lunghezza (FL)
riguardanti i moduli di Ff e Fs. In particolare, le curve continue F o f f f e Fon f rappresentano la forza del film Ff quando il PEA `e rispettivamente disattivato (modalit`a di stato OFF) o attivato (modalit`a di stato ON). La curva tratteggiata S rappresenta il modulo della forza di reazione della struttura Fs. Assumendo come date le caratteristiche elettromeccaniche del PEA, un attuatore a forza costante pu`o essere ottenuto accoppiando un PEA con particolari meccanismi cedevoli (come, per esempio, il MSC), progettati in modo tale da fornire una forza di reazione elastica neg- ativa che incrementi in modulo all''aumentare della lunghezza x dell''attuatore (i.e. Ks < 0). Come esempio, considerando una struttura avente il profilo FL rappresentato dalla curva S, quando l''attuatore `e nello stato OFF, Fa mantiene un valore costante, Faof f , uguale alla dis- tanza AC per una parte consistente della corsa (i.e. δ's1). In questo caso la corsa complessiva dell''attuatore, δs1, pu`o essere limitata per mezzo di fermi meccanici allo scopo di prevenire il suo funzionamento in regioni in cui Faof f non `e costante. Produzione di attuatori rettangolari a forza costante
Figura 4 riassume i passaggi concettuali messi in atto per la produzione del''attuatore rettan- golare mostrato in Fig. 1. Un PEA indeformato (configurazione di riferimento, Fig. 4(a)), viene pretensionato lungo le direzioni x e y, (Fig. 4(b)). In parallelo, la struttura di sup- porto viene precompressa (Fig. 4(c)). Il PEA viene poi incollato al link fisso (telaio) della struttura ed alla piattaforma mobile. In questo modo, il pretensionamento del PEA imposto lungo la direzione y viene completamente mantenuto. Partendo da questa configurazione non caricata (modalit`a OFF dell''attuatore, Fig. 1(a)), l''attivazione del PEA per mezzo di una fonte di energia ad alto voltaggio (Fig. 4(d)) pu`o indurre una espansione del film lungo la direzione svincolata x del PEA. Come descritto in [9], una sintesi appropriata delle lunghezze dei link della struttura e della rigidezza dei giunti elastici permette di modulare la rigidezza complessiva dell''attuatore ed, in particolare, permette di ottenere la forza costante desiderata. 220 PEA y' x' x y (a) PEA indeformato. O P y p x y x F f F f x (b) PEA pretensionato. x y F s F s Giunto elastico P O Telaio Piattaforma mobile (c) Struttura di supporto precompressa. x y Telaio P O Piattaforma mobile V B (d) Attuatore complessivo, stato ON. Figura 4: Produzione di attuatori rettangolari a forza costante. 3. DESCRIZIONE DEL MODELLO A PARAMETRI CONCENTRATI
Dal punto di vista progettuale, gli ED possono essere considerati come dielettrici lineari in- comprimibili ed iperelastici, la cui polarizzazione elettrica `e indipendente dalla deformazione del materiale [18, 19]. La risposta elettromeccanica dell''attuatore ad ED riportato in Fig. 1 pu`o quindi essere rappresentata e compresa per mezzo dei modelli a parametri concentrati mono dimensionali, rappresentati in Fig. 5. Con riferimento alla Figura 5(a), il sottosistema elettrico include: ' una sorgente ideale di potenza ad alto voltaggio; ' un modello elettrico del PEA, composto da: '' una capacit`a variabile CDE =CDE(x) dipendente dalla configurazione, x, dell''attuatore;
'' la resistenza degli elettrodi Re (assunta costante);
'' una resistenza Rl che modella le perdite di corrente attraverso il PEA (assunta costante). Con riferimento alla Fig. 5(b), il sottosistema meccanico comprende: ' un termine elettricamente indotto ed avente la dimensione di una forza, Fem. La forza Fem rappresenta l''accoppiamento elettromeccanico del PEA ed `e assunta dipendente dalla posizione x dell''attuatore, dalla tensione applicata V , e dalla permittivit`a dielet- trica assoluta dell''ED, ε. 221 R e R l C DE V B (a) Modello elettrico. F em F em F ve F ve F s F s F F em F ve F ve F s F Struttura di Supporto Utilizzatore C s I s 1/ κ e κ v1 κ v2 κ vn r s (t) η vn η v2 η v1 Forza elettricamente indotta F a (b) Modello meccanico. Figura 5: Modelli elettrico e meccanico dell''attuatore ad ED. ' una forza interna e conservativa, Fve, che rassume gli effetti puramente elastici e vis- coelastici all''interno del PEA. Tale forza `e descritta per mezzo di un modello Vis- coelastico Quasi-Lineare (VQL) [20''22]. In accordo con le ipotesi del VQL, la forza Fve dipende dai parametri costitutivi del PEA, dalla posizione dell''attuatore x, e dalla velocita 'x, cosicch`e Fv(x, 'x). ' una forza interna conservativa, Fs, dovuta alla rigidezza ed all''inerzia della struttura di supporto. La forza Fs `e funzione delle masse dei link mobili, della rigidezza dei giunti elastici, della lunghezza x dell''attuatore, e dell''accelerazione ¨x, cio`e Fs(x, ¨x). Le masse del PEA soggette a deformazione sono assunte rigidamente connesse alla piattaforma mobile della struttura. Il modello a BG del sistema complessivo, con relative assunzioni causali, `e mostrato in Fig. 6. In particolare, grazie alla particolare geometria dell''attuatore, `e possibile derivare un''espressione analitica delle forze del sistema. 222 MS f: r s (t) 1 Utilizzatore 1 0 R: R e C: C DE Sor gente di voltaggio Modello elettrico del PEA Se: V B Supporto 1 1 1 T C T k f s ' c ' r e C c e C r e c s e I s ' c r s ' r ' K1 ' K2 ' K3 1/K 1 1/K 2 1/K 3 ' K1 ' K2 ' K2 e kI e C m w c 0 0 0 C: 1/ κ e S f: 0 1 R: η v1 1 Modello meccanico del PEA C: 1/ κ v1 R: η vn C: 1/ κ vn 0 Forza elettrica mente indotta Dominio Elettrico Dominio Meccanico R: R l C s F s MS e 1 F SCCM I s :(m s +m E AF )/2 Figura 6: Bond Graph dell''attuatore ad ED. Struttura di Supporto r c = 21 .5 mm r r = 33 mm m s = 20 g m E AF = 4g K 1 = 6. 30 N mm K 2 = 10 .5 N mm K 3 = 9. 31 N mm ' 20 = 22 ' ' 30 = 173 .5 ' PEA x' = 15 mm y p = 100 mm ,λ p = 3mm z' = 1mm µ 1 = 272 .4 kP a α 1 = 1. 8 c 0 = 0. 22 c 1 = 0. 63 c 2 = 0. 150 ν 1 = 7. 2s 1 ν 2 = 0. 75 s 1 R E = 20 k' R l = 2. 5M ' Table 1: Parametri del modello. Coef ficienti del modello viscoelastico da [16]. 223 4. MODELLO DELLA FORZA DEL FILM DI ELASTOMERO DIELETTRICO
In riferimento alla cinematica del PEA, si definiscano λi (i = x,y,z) come gli stretch princi- pali, x' e y' come le dimensioni planari del PEA nella configurazione di riferimento (PEA non allungato, Fig. 4(a)) mentre x e yp sono le dimensioni planari del PEA nella configurazione attuale (Fig. 4(b) e 4(d)). Come detto, yp si mantiene costante durante il funzionamento dell''attuatore cos`ı come il prestretch principale λp = yp/y' applicato lungo la direzione y. Imponendo la condizione di incomprimibilit`a ( λxλyλz = 1), lo stato di deformazione del PEA (deformazione di taglio puro2) `e caratterizzata dai seguenti stretch principali λx = λ = x x' ; λy = λp; λz = 1 λxλy = z z' (1) Modello elettrico del Polimero Elettroattivo
Dal punto di vista elettrico, il PEA pu`o essere modellato come un capacit`a planare cosicch`e CEDF(x) = ε ypx z = ε ypλp z'x' x2 (2) = CEDF(x/x')2 (3) dove ε = ε0εr, ε0 = 8.85e 12F/m `e la costante dielettrica del vuoto e ε = 4.5 `e la permettivit`a dielettrica relativa dell''ED. Il termine costante CEDF `e la capacit`a minima dell''EDF ottenuta per x = x'. Data una sorgente ideale di voltaggio VB, la derivata nel tempo del carico elettrico immagazzinato sulla superficie dell''elettrodo del PEA pu`o essere ottenuta direttamente dal BG di Fig. 6. In particolare si ottiene la seguente espressione: 'qDE = VB RE qDE CDE(x) ! R 1 E + R 1 L " (4) Accoppiamento Elettromeccanico Del Polimero Elettroattivo
In una configurazione generica x dell''attuatore, l''espressione della forza complessiva esterna, Ff , che deve essere fornita ad O e P (e diretta lungo la linea che congiunge questi punti) per bilanciare il campo di tensione del PEA `e data da: Ff = zyp' (5) = zyp('ve) # $% & Fve + zyp('em) # $% & Fem (6) dove ' `e la tensione sulle facce estremali dell''attuatore (vedi Fig. 4(b)). In modo simile a [14], la tensione ' `e espressa come la somma di una tensione viscoelastica 've e di un termine 'elettricamente indotto' 'em (che in letteratura viene denominato stress di Maxwell [14]). La forza complessiva Ff = Ff (x,V) viene poi divisa in una componente viscoelastica, Fve, ed in un termine elettricamente indotto, Fem, avente le dimensioni di una forza e solitamente denominato forza di Maxwell [13, 24]. 2in accordo con la definizione data da [23], una deformazione di taglio puro `e caratterizzata dalla costanza dell''allungamento principale (per esempio λy). Una deformazione di taglio puro `e ottenibile per PEA infinitamente larghi, cio`e per yp >> x '' '(t) dove '(t) sono le possibili configurazioni dell''attuatore nelle condizioni di lavoro. 224 A causa della semplice forma dell''attuatore, come dimostrato in [24], il termine 'em pu`o essere espresso come 'em = ε !VDE z "2 = ε ! qDE zCDE "2 = q2DE εy2px2 (7) ove si sono applicate la relazione VDE = qDE/CDE e l''Eqn. 2. Il termine Fem `e quindi dato da Fem = x'z'q2DE ελpypx3 (8) Comportamento Viscoelastico Del Polimero Elettroattivo
Come precedentemente riportato, il comportamento meccanico del PEA `e condizionato da ril- evanti fenomeni tempo-dipendenti (isteresi, creep e stress relaxation). In generale, il compor- tamento del PEA `e quindi descrivibile per mezzo di modelli viscoelastici tridimensionali in grandi deformazioni [25]. Tuttavia, il controllo degli attuatori ad ED necessita generalmente di modelli drasticamente semplificati [26]. In alcuni casi, se le variabili coinvolte variano all''interno di intervalli ristretti, si possono applicare la teorie lineari. All''interno dell''ipotesi di linearit`a, la tensione risulta proporzionale allo spostamento in un determinato istante di tempo ed `e possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Svariati modelli di questo tipo sono stati proposti in passato (e.g. i modelli di Maxwell e Kelvin [21, 22]). Ad esempio, il modello di Kelvin `e formato da un molla ed uno smorzatore in parallelo, mentre il modello viscoelastico lineare standard (chiamato modello di Zener e mostrato in Fig. 7 ) `e formato da un modello di Kelvin posto in serie ad un ulteriore molla lineare. In quest''ultimo caso, tensione e deformazione sono correlate attraverso la seguente equazione differenziale: 've + η κ1 + κ2 ' 've = κ1 κ1 + κ2 ( κ2ε + η 'ε) (9) Equazione 9 pu`o essere risolta in riferimento alla deformazione ε(t) o alla tensione 've(t) considerando, rispettivamente, una tensione di input costante, 've,0, o una deformazione di input costante, ε0, ed assumendo, in entrambi i casi, condizioni iniziali identicamente nulle. Si ottiene: ε(t) = ' J (t) · 've,0 = ' 1 κ1 + 1 κ2 ! 1 e κ2 η t "( · 've,0 (10) 've(t) = ' K (t) · ε0 = κ1 κ1 + κ2 ) κ2 + κ1 ·e κ1+κ2 η t * · ε0 (11) κ1 κe κ1 η 1 F F Modello di Kelvin Figura 7: Modello viscoelastico lineare standard 225 La funzione ' J , chiamata creep compliance (o funzione di deformabilit`a per scorrimento plastico), e la funzione ' K , chiamata funzione di rilassamento [21], specificano rispettiva- mente la risposta della deformazione ad un cambiamento unitario di tensione e la risposta della tensione ad un cambiamento unitario di deformazione. Nel seguente lavoro, in modo simile a [16], verr`a considerata solo la risposta nel tempo del campo tensionale. Tuttavia, poich`e creep e stress relaxation sono due aspetti del medesimo comportamento viscoelas- tico, le funzioni ' J e ' K sono correlate [20''22]. Considerando un profilo imposto di defor- mazione variabile nel tempo ε(t) ed applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, da Eqn. 11, la risposta in tensione `e data da: 've(t) = + t 0 ' K (t ') ·d[ε(')] = + t 0 ' K (t ') d ε(') d ' d ' (12) avendo assunto ε = 0 per t < 0 ed un profilo di tensione differenziabile. Modello Viscoelastico Quasi Lineare
Quando l''ipotesi lineare non `e applicabile, emerge la necessit`a di superare le difficolt`a della teoria non lineare. In tal caso, allo scopo di raggiungere un compromesso tra la semplicit`a dei modelli lineari classici e la difficolt`a degli approcci non lineari, si pu`o adottare un mod- ello Viscoelastico Quasi-Lineare (VQL), frequentemente utilizzato per descrivere il com- portamento di tessuti biologici, In accordo con le ipotesi del VQL, cos`ı come proposte da Fung [21], la funzione di rilassamento `e espressa nella forma ' K (λ ,t) = 'e(λ ) · g(t) con g(0) = 1 (13) dove 'e(δ) `e la risposta elastica, cio`e l''ampiezza della tensione istantaneamente generata da uno allungamento λ, mentre g(t), chiamata funzione di rilassamento ridotta, descrive il comportamento tempo-dipendente del materiale. Per quanto riguarda la risposta elastica non lineare, essa pu`o essere descritta, per esempio, utilizzando un modello di Ogden di ordine appropriato [23]. In condizioni di taglio puro, la tensione sul piano terminale di un PEA rettangolare, pretensionato lungo la direzione y, pu`o essere scritta come [23, 24] 'e = k '' p=1 µp(λ αp x λ αp x λ αp p ) (14) dove k `e l''ordine del modello e µp, αp sono parametri costitutivi del materiale. Per quanto riguarda la funzione di rilassamento g(t), essa `e una funzione del tempo continua, monotona decrescente, e normalizzata a 1 per t = 0. E'' consuetudine assumere g(t) come combinazione lineare di funzioni esponenziali, ove i coefficienti ci dipendono dal materiale mentre gli esponenti νi identificano il rateo temporale dei fenomeni di rilassamento g(t) = r '' i=0 cie νi·t con r '' i=0 ci = 1 (15) I parametri νi (i = 1...r) dipendono dal comportamento del sistema, mentre ν0 = 0. L''andamento temporale della tensione pu`o essere calcolato per mezzo del principio di sovrap- posizione degli effetti [21]. In particolare, per t > ', la tensione prodotta a seguito di un 226 cambiamento infinitesimale nell''allungamento d λ('), superimposto su uno stato di stretch λ in un istante di tempo ' `e data da d 've(t) = g(t ') '''e[λ(')] ''λ d λ(') (16) Infine, la tensione totale all''istante t `e data dalla somma dei contributi di tutti i cambia- menti passati [22], i.e. 've(t) = + t 0 g(t ') '''e[λ(')] ''λ ''λ(') ''' d ' (17) Interpretazione Fisica del Modello Viscoelastico Quasi-Lineare
Allo scopo di migliorare la comprensione fisica del modello VQL, Eqn. 17 pu`o essere riscritta nella forma 've(t) = + t 0 g(t ') Ke[λ(')] 'λ(')d' (18) dove Ke(λ) = '''e [ λ] ''λ . Richiamando il modello di Zener illustrato in Fig. 7, la cui funzione di rilassamento ' K `e espressa da Eqn. 11, la tensione monodimensionale calcolata sulla base di Eqn. 12 diventa: 've(t) = + t 0 κ1 ' κ 2 κ1 + κ2 + κ1 κ1 + κ2 · e κ1+κ2 η ( t ') ( · 'ε(')d' (19) D''altro canto, per un materiale VQL non lineare, sostituendo le Eqn. 13 e 15 in Eqn. 18, si ottiene: 've(t) = + t 0 Ke(δ) · , c0 + r '' i=1 cie νi(t ') - · 'λ (')d' (20) Notando che ε = λ 1, un confronto tra Eqn. 20 e 19 rivela che la risposta in tensione del modello VQL pu`o essere interpretata come quella di una molla non lineare connessa ad una serie di r modelli di Kelvin lineari, come illustrato in Fig. 5(b) e nel BG di Fig. 6. 5. MODELLO DELLA STRUTTURA DI SUPPORTO CEDEVOLE
Come detto, la struttura di supporto `e realizzata come meccanismo compliant a cedevolezza concentrata [12]. E'' quindi possibile derivare un modello pseudo rigido in accordo con le procedure di analisi descritte in [12, 27]. In particolare, la struttura di supporto `e modellata come un doppio MSC (Fig. 1(d)). Grazie alla simmetria dell''attuatore, `e possibile consider- are met`a struttura (i.e. un singolo MSC, Fig. 8). Seguendo la metodologia descritta in [28], si definisca un vettore ordinato ' qk di velocit`a generalizzate (riferite al telaio del meccanismo) ' qk = ['qkI | 'qkD]t (21) ' qkI = ['rs]; 'qkD = [ ''c ''r]t (22) dove, con riferimento al BG di Fig. 6, ' qkI `e il vettore di flows indipendenti, e 'qkD `e il vettore di flows dipendenti. Con riferimento a Fig. 8, 'rs `e la velocit`a dello spingitore mentre ''c e ' 'r sono le velocit`a angolari di manovella e biella. Pertanto qk = [qkI |qkD]t = [rs |'c 'r] 227 rappresenta un vettore ordinato di spostamenti generalizzati. Si definisca, per convenienza, Si = sin'i, Sij = sin('i 'j), Ci = cos'i, Cij = cos('i 'j). I pedici i e j variano in conformit`a con il pedice dell''argomento della funzione. Dall''analisi di posizione del meccanismo, si possono ricavare le seguenti relazioni: Cc = r2s + r2c r2r 2rsrc ; Sr = rc
rr Sc (23) Dall''analisi di velocit`a del meccanismo, la relazione tra le variabili flows dipendenti ed indipendenti e gli efforts statici `e data da ' qkD = Tk 'qkI; (24) ekD = TtkekI (25) T = [βc βr]t (26) avendo definito βc = ( r2cScCc . ξ rcSc) 1, βr = 'crcCc . ξ, e ξ = ! r2r r2cS2c "1/2 . Le inerzie di manovella e biella vengono ignorate. L''inerzia della piattaforma mobile, a cui vengono aggiunte le masse mobili del PEA, `e descritta da un elemento Is con causalit`a derivativa. L''effort e `e semplicemente dato da: eIs = ms + mEAF 2 ( ¨rs + g) (27) dove ms e mEAF sono la massa dello spingitore ed una massa equivalente che rappresenta le masse mobili del PEA, mentre g `e l''accelerazione di gravit`a. La rigidezza intrinseca della struttura `e descritta da un campo Cf con causalit`a integrale e composto da 3 elementi (i.e. le rigidezze dei singoli giunti). Con riferimento alla Fig. 6, il vettore vC '' R3 di velocit`a correlate al campo Cf `e dato da vC = [ ''K1 ''K2 ''K3]t = TC 'qk (28) ove la matrice TC `e definita come TC = ' ' 0 1 0 0 1 1 0 0 1 ' ' (29) F s ' c , ' K1 K 3 r c r s K 1 K 2 r s r r ' c ' r ' r ' K3 ' K2 Figura 8: Schematico di un MSC. 228 Gli efforts wC nei bonds del campo Cf sono semplicemente dati da wC = Kf 3 vC vC0 4 (30) dove Kf = diag{K1,K2,K3} '' R3 `e una matrice diagonale di coefficienti di rigidezza dei giunti, e vC0 = vC(t = 0). Il vettore di efforts eC dovuto al campo Cs, pu`o essere calcolato come eC = TCtwC = TCtKf 3 vC vC0 4 (31) Il termine eC `e suddiviso nei seguenti termini (vedi Fig. 6) eC = ) eCs eCm * (32) dove il pedice 's' si riferisce agli efforts associati allo spingitore ed il pedice 'm' di riferisce a gli efforts associati ad ogni altro membro del meccanismo. Gli efforts nelle giunzioni '1' ed associati al vettore qk sono dati da FSCCN = fs + eIs + eCs (33) ekI = eCm (34) Infine, notando che due MSC identici sono connessi allo stesso spingitore ed inserendo Eqn. 25 e 34 in Eqn. 33, la forza complessiva della struttura pu`o essere calcolata come: Ff = 2 3 Tt(eCm) + eIs + eCs 4 (35) Gli effetti dissipativi e l''effetto delle inerzie di manovella e spingitore possono essere inclusi seguendo la procedura descritta in [28]. Ai fini del seguente lavoro, tale inclusione appare non necessaria. 6. RISULTATI NUMERICI
Vengono in seguito forniti i risultati di alcune simulazioni numeriche in grado di mostrare l''applicabilit`a della procedura descritta. I parametri del modello sono riportati in Tab. I ed il contributo della gravit`a `e ignorato. Si noti che i valori della funzione di Ogden (Eq. 14) sono correlati alla risposta istantanea del materiale ad un rateo di deformazione imposta di 8e3s. I parametri del modello VQL sono stati determinati in accordo con la procedura descritta in [20,21] e differiscono leggermente da risultati precedentemente pubblicati [16]. L''attuatore `e soggetto a cicli di lavoro in cui la posizione della piattaforma mobile x = rs, la velocit`a 'x = 'rs, l''accelerazione ¨x = ¨rs, cos`ı come il voltaggio VB sono imposti da un utente esterno. Partendo dalla lunghezza minima dell''attuatore, la lunghezza viene incrementata (ciclo in apertura) mentre si applica un voltaggio costante (VB = 7.5kV). Quando la lunghezza massima imposta `e raggiunta, il voltaggio di attivazione viene rimosso e la direzione del movimento viene invertita (ciclo in chiusura). Figura 9 mostra qualitativamente gli andamenti nel tempo delle variabili di simulazione. Figura 10 riporta i risultati della simulazione in riferimento alla forza Ff del PEA durante i cicli di apertura e chiusura per diversi profili di velocit`a (essendo 'xmax la velocit`a massima). La differenza in forza tra i profili in apertura e chiusura (''F in Fig. 10) `e la spinta utile Fa che pu`o essere utilizzata per trasferire lavoro ad un sistema 229 t 0 x,x,x,V B x 0 Posizione Velocita'' Accelerazione Voltaggio x max Figura 9: Andamenti qualitativi di posizione della piattaforma mobile x = rs, velocit`a 'x = 'rs, accelerazione ¨x = ¨rs e voltaggio VB in funzione del tempo. 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Lunghezza Attuatore x (mm) F (N) V=0 V=7.5kV apertura chiu sura ''F x max=1.13 mm/s x max=2.25 mm/s x max=0.22 mm/s Figura 10: Forza Ff del PEA in funzione della lunghezza dell''attuatore e del valore massimo della velocit`a imposta, 'xmax. esterno. Il termine Fa varia sia con la corsa dell''attuatore, sia con la velocit`a applicata. In particolare, a causa della natura viscoelastica dell''ED, la spinta utile decresce all''aumentare della velocit`a fino, eventualmente, ad annullarsi. Figura 11 mostra la spinta utile complessiva dell''attuatore qualora accoppiato alla struttura di supporto. La spinta dell''attuatore nello stato ON `e approssimativamente costante (circa 0N) nel range 16 30mm qualora la velocit`a massima imposta eguagli 2.22mm/s. Tale forza si annulla per x = 15mm. 7. CONCLUSIONI
E'' stato presentato un modello iperviscoelastico di un attuatore a forza costante basato su ED. L''accoppiamento elettromeccanico dell''ED ed il suo comportamento viscoelastico sono stati investigati attraverso il formalismo dei Bond Graphs. Per quanto riguarda la visco-elasticit`a, `e stato adottato un modello quasi-lineare. Tale modello rappresenta un compromesso tra la semplicit`a dei modelli lineari classici e l''estrema complicazione degli approcci non lineari. Infine, il PEA `e stato accoppiato ad una struttura di supporto cedevole progettata, sulla base 230 15 20 25 30 ''1 ''0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Lunghezza Attuatore x (mm) F (N) V=0 V=7.5kV Forza PEA @ 0.22mm/s
Spinta utile Attuatore @ 1.13mm/s
Spinta utile Attuatore @ 2.25mm/s V=0 V=7.5kV Figura 11: Forza Ff del PEA e forza complessiva dell''attuatore Fa. delle simulazioni proposte, allo scopo di ottenere un profilo desiderato di spinta utile. Poich`e la risposta complessiva dell''attuatore `e altamente influenzata da fenomeni tempo-dipendenti, il modello proposto rappresenta un importante strumento ingegneristico nel dimensionamento dei parametri elastici della struttura. Validazioni sperimentali sono in corso allo scopo di valutare l''affidabilit`a delle assunzioni riportate in questa memoria. BIBLIOGRAFIA [1] Carpi, F., Rossi, D. D., Kornbluh, R., Pelrine, R., and Sommer-Larsen, P., 2008. Dielectric elastomers as electromechanical transducers. Elsevier. [2] Kim, L., and Tadokoro, S., 2007. Electroactive Polymers for robotic applications. Springer.
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STRATO SOTTILE: CARATTERIZZAZIONE
SPERIMENTALE ATTRAVERSO UN NUOVO PROVINO
TUBOLARE


Andrea Spaggiari
Department of Engineering Sciences and Methods,
University of Modena and Reggio Emilia, Italy
E-mail: andrea.spaggiari@unimore.it

Davide Castagnetti
Department of Engineering Sciences and Methods,
University of Modena and Reggio Emilia, Italy
E-mail: davide.castagnetti@unimore.it


Abstract. Il presente lavoro riguarda la caratterizzazione di adesivi in strato sottile
sottoposti a condizioni di caricamento uniforme e multiassiale. Si utilizza un provino
tubolare incollato testa a testa, precedentemente sviluppato dagli autori, che realizza
tensioni  uniformi  nello  strato  adesivo,  sia  normali  sia  tangenziali.  L''analisi   delle tensioni
nel provino mostra che oltre alla tensione assiale e tangenziale, dovute al carico, si
instaurano componenti di tensione radiale e circonferenziale dovute all'effetto effetto
Poisson combinato al vincolamento prodotto dagli aderendi. Ne deriva un forte stato di
triassialità nell'adesivo. Le prove sperimentali, che considerano cinque differenti
condizioni di carico mostrano che l'adesivo ha un comportamento migliore a taglio che a
trazione. Le tensioni di rottura ricavate sono interpretate utilizzando sia criteri di
letteratura sia un criterio sviluppato ad-hoc, che ben si presta all'individuazione di una
tensione ideale.

Keywords: adesivi, caratterizzazione, modo misto, provino tubolare, criterio di cedimento.
1. INTRODUZIONE
Il lavoro riguarda la caratterizzazione quasi-statica della resistenza in modo misto di un
adesivo in strato sottile, attraverso un nuovo provino tubolare. La caratterizzazione
dell''adesivo   è   di   fondamentale   importanza   per   la   corretta   progettazione   delle   strutture  
incollate. In letteratura si incontrano due tipologie di prove sperimentali molto differenti tra
loro. La prima impiega provini massicci, sottoposti a prove di trazione tipiche della
meccanica dei materiali dei materiali [1]-[3]. La seconda impiega provini con adesivo in
strato sottile [4]-[8]. Ambedue i metodi presentano aspetti positivi e negativi. Il test sul
provino massiccio da un lato si svincola dalla geometria e da problemi legati alla superficie
degli aderendi. Dall'altro, non è garantito che le proprietà dell''adesivo  misurate  sul  provino  
massiccio siano direttamente applicabili anche nelle giunzioni strutturali che si incontrano
nella  pratica.  Infatti,  nelle  giunzioni  reali  l''adesivo  è  normalmente  deposto  in  strato  sottile   233 tra aderendi solitamente molto più  rigidi.  Si  ha,  quindi,  un  forte  vincolamento  dell''adesivo  
nelle direzioni normali allo spessore ed il conseguente insorgere di uno stato di forte
triassialità non presente nel provino massiccio. Come la maggioranza dei polimeri, anche gli
adesivi strutturali presentano una forte sensibilità alla triassialità, sia in caso di materiali
duttili [9] sia fragili [10]. Il   principale   vantaggio   nell''impiego   di   provini   con   adesivo   in   strato   sottile   è   l''ottenimento  di  informazioni  sulla  resistenza  del  materiale  più simili a quelle che si hanno
nelle  giunzioni  reali.  Per  contro,  le  prove  sperimentali  sull''adesivo  in  strato  sottile,  possono  
essere   affette   da   problemi  legati  all''anisotropia   o  contaminazione   chimica   dell''adesivo  da  
parte degli aderendi e del loro strato protettivo [3], il che può modificare le proprietà
meccaniche misurate. I provini comunemente impiegati per la caratterizzazione dell'adesivo
in strato sottile (giunto a singola sovrapposizione in campo elastico e Double Cantilever
Beam in campo post elastico) presentano, inoltre, delle concentrazioni di tensione dovute
alle differenti proprietà elastiche tra aderendi e adesivo. Diversi autori [11]-[12], inoltre,
hanno riscontrato la dipendenza delle proprietà meccaniche dallo spessore del provino. Per avvicinarsi alle condizioni di lavoro reali, risulta utile realizzare nell'adesivo uno stato tensionale che combini differenti condizioni di sollecitazione, quali, ad esempio,
componenti normali e tangenziali di tensione. Come gran parte dei polimeri, infatti,
l''adesivo   presenta   un   comportamento   molto   differente   quando   sottoposto   a   sollecitazioni  
normali (modo I) o tangenziali (modo II). In particolare, resistenza ed energia di frattura
sono più basse in modo in modo I, dando luogo a comportamenti quasi fragili e più alte in
modo II dove si ha una maggior duttilità. A tale scopo, nella letteratura recente sono stati proposti provini in grado di realizzare uno stato tensionale pluriassiale ed uniforme, così da eliminare i disturbi legati a
concentrazioni di tensione o singolarità. Cognard et al. [13]-[14] propongono un provino
denominato Arcan test modificato, che permette di combinare carichi normali (di trazione o
compressione) con carichi tangenziali al fine di caratterizzare adesivi in strato sottile. In
[15] lo stesso Cognard propone una modifica alla geometria degli aderendi al fine di
abbassare le concentrazioni di tensioni al bordo libero del provino. I fianchi del provino
sono lavorati ottenendo una sporgenza con un angolo tra i 30 e i 45°, che ne aumenta la
cedevolezza di estremità. Il provino Arcan [16] modificato presenta, però, tre limitazioni.
Primo,   la   sporgenza   introdotta   sull''aderendo   consente   di   diminuire   le   concentrazioni   di  
tensioni   principalmente   sul   piano   medio   dell''adesivo   ma   molto   meno   efficacemente
all''interfaccia   aderendo-adesivo. Secondo, la struttura è in grado di applicare solo un
numero finito di combinazioni di carico in modo misto. Terzo, la complessità e il costo del
provino rendono poco appetibile questa geometria per campagne sperimentali estese. Per superare questi problemi in due precedenti lavori [17]-[18], gli autori hanno studiato un provino tubolare, incollato testa a testa, con adesivo in strato sottile. Applicando
un   momento   torcente   nell''adesivo   si   crea   un   campo   di   tensioni tangenziali variabili
linearmente con il raggio e per bassi rapporti tra spessore di parete e raggio medio la
tensione è quasi uniforme. Se al provino si applica un carico assiale, insorge un campo di
tensioni normali che presenta delle singolarità sui bordi dello strato di adesivo [8]-[17], in
particolare   all''interfaccia   aderendo-adesivo. Al fine di eliminare queste singolarità di
tensione,   in   [17]   si   è   proposta   l''introduzione   di   opportune   gole   schermo   sugli   aderendi  
tubolari (sia sulla faccia interna che esterna, Fig. 1a). I risultati numerici evidenziano come
le gole introdotte siano in grado di eliminare queste concentrazioni di tensione sia
all''interfaccia  sia  nel  piano  medio.  Ciò  è  mostrato  chiaramente nel diagramma di Fig. 1b, in 234 cui la linea tratteggiata si riferisce al provino con gole, quella continua al provino liscio. In
[18] si è svolta, invece, la verifica sperimentale dell'efficacia delle gole in pura trazione. I
risultati permettono di affermare che, in caso di rottura coesiva, le gole, consentono una
efficace riduzione delle concentrazioni di tensione. Le gole realizzate tramite utensile per
filettatura metrica (Fig. 1a), si ottengono in modo semplice ed economico. L''obiettivo   del   presente   lavoro   è   impiegare   questo   provino   per   valutare la resistenza statica  intrinseca  dell''adesivo  in  strato  sottile  in  presenza  di  componenti  di  tensione  in  modo  
misto. A tal fine si è svolta una campagna sperimentale che considera un solo adesivo, con
un unico spessore e sollecita il provino fino a rottura. Cinque sono le condizioni di carico
applicate al provino, corrispondenti ad altrettanti rapporti tra tensione normale e
tangenziale:  dalla  pura  torsione,  fino  alla  pura  trazione.  Dall''analisi  delle  tensioni  sviluppate
sotto il carico assiale e torsionale di rottura emerge la maggiore criticità delle tensioni
normali rispetto a quelle tangenziali. Sulla base dei punti sperimentali gli autori propongono
un possibile criterio di cedimento che fornisce una tensione critica indipendente dalla
triassialità presente nello strato incollato. 2. MATERIALI E METODO
Prove sperimentali
La   campagna   sperimentale,   conforme   alla   metodologia   del   ''Design   of   Experiment'   [19],  
valuta   la   resistenza   statica   dell''adesivo   secondo   cinque   combinazioni   di   carico   differenti  
(Fig. 2). In tal modo si esplora il piano '-' da puro modo I (0) a puro modo II (4) passando
per tre condizioni in modo misto (Fig. 2)  definite  tramite  l''angolo   : z z arctg (1) dove 1='/8, 2='/4 e 3=3'/8. Il provino tubolare impiegato è identico a quello verificato
sperimentalmente in [18] e mostrato schematicamente in Fig. 1a. Gli aderendi sono in
acciaio Fe360 (modulo di Young  206000,  coefficiente  di  Poisson  0.3)  e  l''adesivo  impiegato  
è il Loctite Multibond 330 [20] (modulo di Young 880 MPa, coefficiente di Poisson 0.35).
Lo  spessore  nominale  dell''adesivo  è  di  0.05  mm,  valore  che  garantisce  la  polimerizzazione  
ottimale per l''adesivo  scelto  ed  è   ottenuto  grazie  alla   rugosità  degli  aderendi.  La  scelta  di  
non utilizzare spessori calibrati è dovuta sia alla necessità di avere una distribuzione di
tensione più uniforme possibile sia alla semplicità realizzativa. La procedura sperimentale si è svolta nei seguenti tre passi: pulitura e preparazione superficiale, applicazione dell'adesivo, cura. La pulitura da sostanze oleose e residui di
lavorazione è stata svolta con diluente Loctite 7063 [21] applicato con tessuto non tessuto.
Di seguito si è carteggiata la superficie di incollaggio degli aderendi con carta abrasiva di
grana P200, ed infine si è ripetuta la pulitura per la rimozione delle particelle residue,
mediante lo stesso solvente. L'applicazione dell'adesivo si è articolata nelle seguenti fasi:
applicazione   di   un   perno   in   Teflon   all'interno   dell''aderendo   inferiore,   deposizione  
dell'adesivo   sulla   superficie   di   incollaggio   dell''aderendo   inferiore,   applicazione  
dell'attivatore  sulla  superficie  dell''aderendo  superiore  ed  infine  assemblaggio del provino. 235 Te n si o n e d i Vo n M is e s No rm a liz za ta Spessore radiale (mm) (a) (b) Figura 1. Sezione del semigiunto con gola schermo (a) e distribuzione delle tensioni assiali all'interfaccia (curva continua per il provino liscio, curva tratteggiata per il provino con gole).

Nella  fase  di  cura,  dopo  dieci  minuti  dall''unione  delle  parti,  si  è  asportato  tramite  cutter   l'adesivo fuoriuscito dal bordo esterno della giunzione, così da evitare la formazione di bave
nelle gole esterne. Quindi, il provino è stato lasciato polimerizzare a temperatura ambiente
per 72h ed infine si è rimosso il perno in PTFE. La presenza del perno in Teflon è
necessaria per assicurare due importanti funzioni: garantire il centraggio degli aderendi e
prevenire la formazione di bave interne di adesivo. Il Teflon, grazie alle sue proprietà
antiaderenti e lubrificanti impedisce l'incollaggio indesiderato e può essere sfilato senza
forti sollecitazioni per la giunzione. Le prove di rottura sono state eseguite mediante la macchina di prova biassiale MTS Mini Bionix 858. I provini sono stati vincolati agli afferraggi tramite spine di acciaio ad alte
prestazioni. Il caricamento del provino è stato gestito controllando simultaneamente sia la
velocità di caricamento assiale, sia quella di caricamento torsionale. La velocità di
caricamento assiale è stata fissata a 1000N/min per tutte le cinque condizioni di carico. La
velocità di applicazione del momento torcente, invece, è stata calcolata di conseguenza, in
modo da riprodurre le cinque condizioni di carico di Fig. 2. Questa scelta è stata fatta
basandosi su una campagna sperimentale preliminare, qui non riportata per brevità,
mediante la quale si è verificato che la velocità di carico non influenza la risposta
dell''adesivo  in  prove  quasi  statiche.  Pertanto,  è  indifferente  ai  fini  della  prova  quale  delle  
due viene mantenuta costante e quale fatta variare. Si sono svolte quattro ripetizioni per
ciascuna configurazione, per un totale di 20 provini. Analisi delle tensioni
Sulla base di Fig. 1b, si ipotizza uniforme lo stato tensionale nello strato adesivo e si
ricavano analiticamente le componenti di tensione in funzione delle caratteristiche di
sollecitazione normale e del momento torcente agenti sul provino. Con riferimento allo
strato adesivo (Fig. 4) si assume un sistema di coordinate cilindriche r, z, rispetto al quale 236 è possibile scrivere le componenti dello stato tensionale agenti sul generico cubetto
infinitesimo. In particolare, la forza assiale F ed il momento torcente Mt inducono le
seguenti componenti di tensione assiale z e tangenziale z : 2 2 ( ) z e i F r r (2) 4 4 ( ) 2 t z e i M r r r (3)
L'adesivo è inoltre vincolato in senso radiale e circonferenziale da aderendi in acciaio, considerabili perfettamente rigidi, per cui insorgono due componenti di tensione indirette
dovute all'effetto Poisson. Scrivendo la legge di Hooke si ha:
1 ( ) 0 r r z E (4) 1 ( ) 0 r z E (5)
Sviluppando il sistema di equazioni dato dalla (4) e (5) si ha che le componenti di tensione nel piano normale alla direzione assiale del provino sono uguali e dipendono
tramite il coefficiente di Poisson dalla tensione assiale z secondo la seguente relazione:

Figura 2. Piano delle prove sperimentali sui provini al variare della tensione normale e tangenziale. 237 (a) (b) Figura 3. Provino montato sulla macchina di prova (a), sezione di provino tagliato con elettroerosione a filo (b).
'z
'r

'zθ
'z
'r
'zθ
z
r
θ F
Mt
ri
re
Figura 4. Sistema di riferimento per il calcolo dello stato tensionale nello strato incollato.
1 r z (6) La presenza di componenti di tensione indirette (radiale e circonferenziale) indica che il provino adottato è in grado di replicare nello strato incollato la stessa situazione tensionale
tipica dei giunti incollati ossia la forte triassialità che tipicamente per i polimeri promuove
la rottura prematura del giunto. Al fine di ricercare un criterio di cedimento è utile ricavare
le tensioni principali agenti sull'adesivo. Il tensore degli sforzi risulta essere: 238 0 0 0
0 r z z z T (7) inserendo l'equazione (6) in (7) e calcolandogli autovalori del tensore T , ossia le tensioni principali, si ottengono le seguenti espressioni: 2 2 2 2 max 1 2 4 1 2 1 z z (8) 1 med z (9) 2 2 2 2 min 1 2 4 1 2 1 z z (10) Si noti che la tensione principale media è sempre coincidente con la tensione radiale e circonferenziale, a causa delle particolari condizioni al contorno. Facendo riferimento alle tensioni principali (8)-(10) è possibile poi calcolare la tensione ideale corrispondente a questo stato tensionale. Si considerano, in particolare, il criterio di
Von  Mises,  quello  di  Rankine  e  il  criterio  di  Stassi  D''Alia  [22]: 2 2 2 max min max max min min Mises med med med (11)
max Rankine (12) max min 2 2 2 2 2 max min max max min min ( 1)( ) 2 1 2 4 1 2 med SdA med med med (13)
dove ρ è il rapporto tra la tensione limite di compressione e quella di trazione. Pur non
disponendo di dati sperimentali per il calcolo del parametro ρ per l'adesivo considerato,
tenendo conto che il comportamento degli adesivi è molto migliore in compressione che in
trazione, si è scelto un valore di ρ =  2.  Si  osserva  che  il  criterio  di  Stassi  D''Alia  degenera  
nel criterio di Von Mises per materiali isotropi che non mostrano differenti comportamenti
in trazione e compressione (ρ = 1). 239 3. RISULTATI
In Fig. 5 sono mostrate le curve sperimentali forza-spostamento (Fig. 5a) e momento
torcente-angolo di rotazione (Fig. 5b) ottenute per la condizione α =  '/4.  Le  quattro  curve  
corrispondono alle quattro ripetizioni effettuate. Per la medesima condizione di
caricamento, Fig. 6 mostra un ingrandimento (100x) della superficie di frattura di un
provino ottenuta con microscopio ottico. Tabella 1 riporta, per ciascuna prova, la forza assiale massima ed il momento torcente massimo ricavati dalle curve sperimentali. Inoltre, sono riportate la tensione assiale z , la
tensione tangenziale z , la tensione radiale r e circonferenziale calcolate in base alle
equazioni (2), (3) e (6) impiegando i carichi massimi corrispondenti. In Fig. 7, in accordo con Fig. 2 riportano i le tensioni di rottura dei provini in termini di tensione assiale z e tensione tangenziale z , riprese da Tabella 1. In Tabella 2 per ciascuna   prova,   sono   riportate   le   tre   tensioni   principali   ,   l''indice   di   triassialità   (calcolato  
come rapporto tra la tensione idrostatica ed equivalente di Von Mises), la tensione ideale
secondo   Von   Mises,   Rankine,   Stassi   D''Alia   e   secondo   un   criterio   proposto   dagli   autori,  
basato sulla seguente formula: * 2 2 2 max min max max min min id med med med (14) La Fig. 8  mostra  l''andamento  delle  tensioni  ideali  secondo  Von  Mises  (quadrato  pieno),   Rankine   (triangolo   vuoto),   Stassi   D''Alia   (cerchio   pieno)   e   criterio   proposto dagli autori
(rombo  pieno)  al  variare  della  triassialità  dello  stato  tensionale  applicato  all''adesivo. 4. DISCUSSIONE
I diagrammi di Fig. 5 mostrano che la rigidezza in campo elastico delle quattro ripetizioni è
abbastanza variabile, in particolare per quanto riguarda il carico assiale. Questo è
imputabile al fatto che gli spostamenti e le rotazioni non sono misurate direttamente sullo
strato adesivo, ma a monte della catena cinematica della macchina e quindi possono
insorgere recuperi di giochi tra provino e afferraggi. Buona è la ripetibilità della forza e
momento torcente massimi ottenuti. Le curve, inoltre, evidenziano che il cedimento
dell'adesivo è di tipo fragile, con poca differenza tra le prove in modo I (Fig. 5a) e in modo
II (Fig. 5b). Se da un lato il comportamento fragile in modo I è tipico per gli adesivi, più
difficile da spiegare è la risposta fragile in modo II. Una possibile spiegazione può essere
che normalmente gli strati di adesivo sperimentano tensioni puntualmente anche molto
elevate, ma mediamente basse e ciò fornisce una riserva plastica specie in modo II. Nel caso
specifico l'intera sezione dell'adesivo è investita da una tensione quasi uguale alla massima e
questo riduce drasticamente le risorse post-elastiche del materiale. La Fig. 6 mette in evidenza la buona qualità della superficie di frattura dei provini, caratterizzati da una rottura di tipo coesivo, come si deduce dalla presenza di un velo
uniforme di adesivo (Fig. 6) che si rileva anche sull'altro aderendo.

240 (a) (b) Figura 5. Diagramma forza-corsa (a) e coppia-angolo (b) per la condizione di carico 2. Figura 6. Superficie di frattura del provino (ingrandimento 100x). Tabella 1. Carichi massimi e tensioni nominali di rottura. Tipo giunto F (N) Mt (Nm) 'z-max (MPa) 'z -max
(MPa) r-max = -max (MPa) 0 5326.5 0.3 13.6 0.1 7.3 0 4181.0 0.2 10.6 0.0 5.7 0 4513.7 0.6 11.5 0.1 6.2 0 4000.4 0.1 10.2 0.0 5.5 1 4413.7 29.0 11.2 6.8 6.1 1 4378.8 28.8 11.2 6.8 6.0 1 4222.9 27.6 10.8 6.5 5.8 1 5120.9 33.7 13.0 7.9 7.0 2 3612.6 47.5 9.2 11.2 5.0 2 4271.0 56.0 10.9 13.2 5.9 2 3774.1 49.6 9.6 11.6 5.2 2 3128.0 41.0 8.0 9.6 4.3 3 2996.1 78.6 7.6 18.5 4.1 3 3070.7 80.4 7.8 18.9 4.2 3 2216.8 58.1 5.6 13.6 3.0 3 2682.0 70.4 6.8 16.6 3.7 4 80.0 104.2 0.2 24.5 0.1 4 33.2 112.7 0.1 26.5 0.0 4 64.8 66.6 0.2 15.6 0.1 4 122.1 79.1 0.3 18.6 0.2 241 0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 Te n si o n e ta n ge n zi al e, z (M Pa ) Tensione assiale, z (MPa) Figura 7. Tensioni assiali z e tangenziali z di rottura ricavate dalle prove sperimentali.
Tabella 2. Triassialità e tensioni ideali secondo differenti criteri di cedimento. Tipo giunto '1-max (MPa) '2-max (MPa) '3-max (MPa) Triassialità Von Mises (MPa) Rankine (MPa) Stassi D''Alia (MPa) Autori (MPa) 0 13.6 7.3 7.3 1.50 6.3 13.6 12.5 21.0 0 10.6 5.7 5.7 1.50 4.9 10.6 9.8 16.5 0 11.5 6.2 6.2 1.50 5.3 11.5 10.6 17.8 0 10.2 5.5 5.5 1.50 4.7 10.2 9.4 15.8 1 15.9 6.1 1.4 0.60 12.9 15.9 15.5 18.7 1 15.8 6.0 1.3 0.60 12.8 15.8 15.4 18.6 1 15.2 5.8 1.3 0.61 12.3 15.2 14.8 17.9 1 18.5 7.0 1.6 0.60 15.0 18.5 18.0 21.7 2 18.4 5.0 -4.3 0.32 19.8 18.4 19.6 18.1 2 21.8 5.9 -5.0 0.32 23.4 21.8 23.2 21.4 2 19.3 5.2 -4.5 0.32 20.7 19.3 20.5 18.9 2 15.9 4.3 -3.7 0.32 17.1 15.9 17.0 15.7 3 24.4 4.1 -12.7 0.16 32.2 24.4 28.6 21.9 3 25.0 4.2 -13.0 0.16 32.9 25.0 29.3 22.5 3 18.1 3.0 -9.4 0.16 23.8 18.1 21.1 16.2 3 21.9 3.7 -11.4 0.16 28.9 21.9 25.6 19.7 4 24.6 0.1 -24.3 0.00 42.4 24.6 33.6 24.5 4 26.5 0.0 -26.4 0.00 45.9 26.5 36.3 26.5 4 15.8 0.1 -15.5 0.00 27.1 15.8 21.5 15.6 4 18.8 0.2 -18.3 0.01 32.2 18.8 25.6 18.6
I risultati riportati in Tabella 1 evidenziano che sia dal punto di vista delle caratteristiche di sollecitazione (forza assiale F e momento torcente Mt), sia relativamente
allo stato tensionale, i valori di picco ottenuti si posizionano bene sulle rette di caricamento
mostrate in Fig. 2. Tabella 1 mostra inoltre che le tensioni dovute all'effetto Poisson 242 (tensione radiale r e tensione circonferenziale ) e indotte dal carico applicato F sono di
intensità rilevante rispetto alla tensione assiale z e non possono quindi essere trascurate. In Fig. 7 si  osserva  che  la  resistenza  dell''adesivo  a  taglio  puro  (modo  II)  è  circa  doppia   di quella a trazione pura (modo I). La dispersione dei risultati, inoltre, aumenta spostandosi
verso la condizione di taglio puro. L''indice   di   triassialità   mostrato   in   Tabella 2 denota che le condizioni di caricamento esaminate  corrispondono  ad  una  variazione  significativa  dello  stato  tensionale  nell''adesivo,  
da elevata triassialità   1.5   per   α   =   0,   a   triassialità   nulla   per   α   =   '/2. Le tensioni principali
mostrate in Tabella 2 evidenziano che il materiale soffre maggiormente uno stato di
caricamento misto che un caso di torsione pura (condizione 4 di Fig. 2). Il valore di
tensione   ideale   calcolato   con   i   criteri   di   letteratura   (Von   Mises,  Rankine   e   Stassi  D''Alia)  
appare molto variabile in funzione del tipo di caricamento considerato (o alternativamente
dello stato di triassilità). La condizione  di  crisi  dell''adesivo,  quindi,  non  è  modellabile  con  
un criterio valido per i materiali duttili (come Von Mises), ma anche un criterio tipico dei
materiali fragili (come Rankine) non è in grado di mostrare una chiara tensione limite per il
materiale. La tesione ideale di Von Mises, penalizza maggiormente lo stato deviatorico e
non considera la componente idrostatica, mentre i polimeri in genere si comportano in
maniera  opposta.  Anche  il  criterio  di  Stassi  D''Alia,  pur  considerando  la  differente  risposta
del materiale a trazione e compressione tipica degli adesivi, non riesce a descrivere con
accuratezza   la   condizione   di   crisi   dell''adesivo.   La Fig. 8 esplicita questa situazione
mostrando le dipendenze delle tensioni ideali critiche dalla triassialità. I criteri di Von
Mises e Stassi D'Alia avendo una grande variabilità in funzione della triassialità non
evidenziano un valore che possa essere preso come riferimento di tensione critica del
materiale. Il criterio di Rankine, seppure in maniera minore, non riesce a cogliere con la
sola tensione principale massima il complesso comportamento dell'adesivo.
Figura 8. Andamento delle tensioni ideali secondo i criteri di Von Mises, Rankine, Stassi D''Alia  e  il  criterio  proposto  in funzione della triassialità dello stato tensionale. 243 La tensione critica ottenuta mediante la legge (14) risulta, invece, pressoché costante indipendentemente dallo stato di triassilità che sperimenta l'adesivo sotto carico. Questo
criterio, ancora oggetto di studio da parte degli autori, non è legato a considerazioni di tipo
energetico, ma combina le tensioni principali rispettando la fisicità del materiale. Inoltre, il
criterio proposto ha una formulazione semplice che nel caso di sola tensione normale e tangenziale si riduce a * 2 2 id e in caso di pura torsione o pura trazione ricade nella formulazione proposta da Rankine. Applicando questo criterio ne deriva un valore
medio  di  tensione  ideale  per  l''adesivo  Multibond  330  di  19  MPa.  Questo valore, in linea sia
con le prove a pura torsione, sia con quelle sul provino massiccio, sia con i dati del
produttore e può essere considerato come valore limite del materiale. In futuro si valuterà
l'applicabilità sia del valore di tensione critica sia del criterio proposto per la previsione di
giunzioni  e  strutture  incollate.  Una  linea  di  ricerca  ulteriore  riguarderà  l''ampliamento  della  
sperimentazione considerando anche condizioni di caricamento con combinazione di
torsione e compressione. 5. CONCLUSIONI
L'obiettivo della ricerca è la caratterizzazione di adesivi in strato sottile sottoposti a
condizioni di caricamento uniforme e in modo misto. In particolare si è usato un provino
tubolare incollato testa a testa già sviluppato dagli autori. Il provino permette di realizzare
nell''adesivo   sia   stati   di   pura   torsione,   sia   stati   altamente   triassiali.   I   risultati   sperimentali  
mostrano una migliore resistenza in modo I rispetto al modo II, in accordo con i dati di
letteratura. Le tensioni di rottura ricavate dalle prove sperimentali e analizzate
analiticamente sono interpretate utilizzando sia criteri di letteratura per materiali duttili
(Von Mises) che fragili (Rankine). I risultati mostrano una forte variazione della tensione
ideale rispetto alla triassialità. Gli autori propongono un criterio ad-hoc poco sensibile alla
triassialità che permette di trovare una tensione ideale massima nell'adesivo stabile e in
linea con i dati forniti dal produttore. In futuro si intende validare sia il criterio proposto sia
il  valore  critico  di  rottura  dell''adesivo  mediante  prove  mirate  su  giunzioni  strutturali. REFERENCES [1] Dolev, G. and Ishai, O., 1981.   ''Mechanical   Characterization   of   adhesive   layer   in-situ as bulk material'.  J.  Adhesion, 12, pp. 283-294. [2] da Silva, L. F. M., Adams, R. D., and Gibbs, M., 2004. ''Manufacture of adhesive joints and bulk specimens with high-temperature  adhesives'. Int. J. Adhesion and Adhesives, 24(1), pp. 69-83. [3] Jeandrau, J. P., 1986. ''Intrinsic   Intrinsic   mechanical   characterization   of   structural   adhesives'.   Int. J. Adhesion and Adhesives, 6(4), pp. 229-231. [4] ASTM D343 ''99, 2005. ''Standard  Test  Method  for  Fracture  Strength  in  Cleavage  of  Adhesives   in  Bonded  Metal  Joints'. [5] ASTM D5656 '' 04e1, 2005. ''Standard  Test  Method  for  Thick-Adherend Metal Lap-Shear Joints for Determination of the Stress-Strain  Behavior  of  Adhesives  in  Shear  by  Tension  Loading'. 244 [6] da Silva, L. F. M., da Silva, R. A. M., Chousal, J. A. G., and Pinto, A. M. G., 2008. ''Alternative   Methods to Measure the Adhesive Shear Displacement in the  Thick  Adherend  Shear  Test'. J. of
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A THEORY FOR BIMATERIAL HELICAL SPRINGS


Eugenio Dragoni
Department of Engineering Sciences and Methods,
Universiy of Modena and Reggio Emilia, Italy
E-mail: eugenio.dragoni@unimore.it

William J. Bagaria Aerospace Engineering Department,
United States Naval Academy, USA
E-mail: gfwjb207@verizon.net


Abstract. The paper deals with the numerical and experimental validation of a theoretical
model for bimaterial helical springs developed by the authors in a recent paper. The
numerical validation is performed on finite element models involving one half turn of
several springs identified by three spring indices (c = 3, 5, 10) and three section types
(solid homogeneous, solid bimaterial, thin hollow). The experimental validation involves
compression tests on two polymer (ABS) spring configurations produced by rapid
prototyping and cladded by ionic infiltration with CrNiCo alloy. The numerical results
confirm the theoretical stress concentration factors within an error of 5 per cent. The
experimental results confirm with excellent agreement the spring rate of all springs, either
fully plastic or bimaterial.

Keywords: helical springs, bimaterial section, finite elements, ionic infiltration, testing
1. INTRODUCTION A proprietary process named Metafuse  has lately been marketed by a leading polymer manufacturer [1] to strengthen and stiffen plastic parts with a thin cladding (0.1-0.3 mm) of
high-performance nanocrystalline metals. Application of this new technology to polymer
helical springs has been recently suggested by the authors [2] with the intent of producing
hybrid springs which are as light as the polymer core and as strong as the nanometal
cladding. To understand the merits of this solution, the authors developed a theoretical
model for bimaterial springs with circular cross-section undergoing bending moment or
axial loading as shown in Fig. (1). Reference [2] presents closed-form equations for stresses
and deflections which generalize the corresponding expressions of the classical theory for
homogeneous springs, with either solid [3] or hollow [4-6] cross-section. The paper [2]
provides equations for any composition of the spring section, without limitations on the
elastic properties and the relative dimensions of core and cladding. Based on those
equations, for a load P = 150 N at a deflection δ = 15 mm, reference [2] designs a
Metafuse  spring which is smaller and lighter than homogeneous designs made either by spring steel or glass-fibre-reinforced nylon (Tab. (1)). 247 The present paper is focused on the numerical and experimental validation of the theory developed in [2] for the most common case of axial loading. Numerically, finite
element models are developed to verify the maximum stresses produced in the section by
shear and torsion so as to check the stress concentration factor due to the curvature of the
spring. Experimentally, polymer blanks are produced by rapid prototyping (Fig. (3)), then
coated with hard metals and the force-deflection curves are measured and compared with
the all-plastic precursors. The paper is organized as follows. The first section contains a short summary of the theoretical model developed in [2], followed by two sections presenting the numerical and
the experimental results, respectively. A final section with analysis and discussion of the
results closes the presentation.
2. THEORETICAL MODEL
Although the theoretical model put forward in [2] deals with both the end loadings shown
in Fig. (1), only the case of end axial force is considered here because of its greater
practical meaning. The general theory for a bimaterial spring with whatever ratio of core-
to-cladding dimensions and Young''s moduli is summarized first. The special case of a thin
cladding much stiffer than the core follows next. General theory
With reference to the symbols clarified in Fig. (1) and (2a), the maximum shear stress in the
cladding, ' max, due to the end axial force, P, is given by:
( ) { } 4 4 4 8 o o max P i i o o i PDG d K G d G d d ' ' = + '' (1)
where the curvature stress concentration factor, KP, reads:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) { } ( ) ( ) { } 2 2 4 4 2 2 2 2 2 4 2 2 4 1 1 4 1 1 1 1 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 1 1 1 P c b b b b K c b b b b b b c b b ' ' ' ν ν ' ν ν ν ' '' + '' + '' = + '' '' + '' + + + + + '' + + + '' + '' + + (2) Factor KP is plotted in Fig. (3) as a function of the spring index c = D/do for the limit cases of homogeneous solid section (solid line: b = di /do = 0, ' = Gi /Go = 1, ν = 0.3) and
infinitely thin hollow section (dashed line: b = 1 and ' = 0). For a truly bimaterial section
(0 < b < 1 and 0 < ' <1), the values of KP fall between the two previous curves in Fig. (3) .
For example, for b = 0.8, ' = 0.05 and ν = 0.3, the stress concentration factor is given by
the dotted line. 248 The axial deflection of the spring, δ, produced by the axial force is given by: ( ) 3 4 4 4 8 i i o o i PD n G d G d d δ = + '' (3) Soft-core spring with stiff cladding
Figure (2b) illustrates the particular case of a bimaterial section with soft core (e.g. a
polymer) coated by a thin but much stiffer cladding (e.g. a metal). The section is identified
by the mean diameter, d, and the thickness, t, of the cladding, with t << d. Further, the
elastic properties of the polymer core are assumed much lower than those of the cladding.
Figure 1. Longitudinal section of a bimaterial helical spring with design variables, typical loading conditions and deflections.
Figure 2. Dimensions and elastic properties of the bimaterial cross-section: (a) general case; (b) limit case for very thin cladding and soft core. do Eo, Go , di t << d d Eo, Go Ei << Eo Gi << Go (b) (a) Ei, Gi , D di do n P M L 249 Under these assumptions, letting do '' di '' d, do '' di '' 2 t, 4 4 3 8 o i d d td '' = , Gi '' 0 and Ei '' 0, the general equations of the previous Section simplify considerably. The maximum shear stress (1) becomes: 2 max P PD K t d ' ' = (4)
in which P K , limit case for b = 1, ' = 0 of the curvature stress concentration factor (2), is given by (dashed curve in Fig. (3)):
( ) 2 1 2 2 1 P c K c c '' = + '' (5) The deflection (3) can be written as: 3 3 o PD n G t d δ = (6)

Figure 3. Chart of the curvature stress concentration factor for all possible spring sections as a function of the spring index, c. Theory F.E. 250 (a) (b) Figure 4. Final meshes adopted for the springs with solid section (a) and thin hollow section (b). Spring inedex c = 5. 3. NUMERICAL ANALYSIS Method
The numerical work was mainly devoted to verifying the correctness of the stress
concentration factor (2) and (5) or, equivalently, the curves in Fig. (3). To this aim, a plane
half turn of the spring was analyzed by finite elements for three spring indices (c = 3, 5, 10)
and three section configurations: homogeneous solid section, bimaterial solid section and
thin hollow section. Fig. (4) shows the FE meshes for the solid-section coil (Fig. (4a)) and
the hollow-section coil (Fig. (4b)) with indication of constraints (blue arrows) and loading
(red arrows) applied to the end sections. The solid mesh in Fig. (4a) was used also for the
bimaterial spring by assigning different material properties to the outer layers of elements
with respect to the centre elements. Tab. (1) lists the dimensions and the elastic properties
of the models investigated and provides details of the forces applied. For the solid mesh in Fig. (4a), 20-noded, hexahedral elements with quadratic interpolation were used. The mesh in Fig. (4b) for the hollow spring was based on 8-noded,
quadrilateral shells with quadratic interpolation. The final meshes in Fig. (4) were the result of a mesh convergence procedure which included two additional meshes with half or twice the number of elements as in Fig. (4). All
meshes gave only slightly different results from each other and the meshes in Fig. (4) were
used as a trade-off between numerical accuracy and computational effort. When the spring
index c of the model was changed, care was taken that the length of the elements in the
circumferential direction was nearly equal to the side of the outer elements on the section. Results
Figure (5) displays the contours of the maximum shear stresses in the models of Fig. (4),
with Fig. (5a) referring to the homogeneous solid section. Tab. (2) lists the stress values
with the corresponding stress concentration factors calculated for all the spring indices and
sections types investigated. The nominal stresses in Tab. (2) were calculated by entering the
spring data from Tab. (1) in Eqn. (1), for the solid sections, and Eqn. (4), for the hollow
section, and letting 1 P P K K = = . The maximum shear stresses from the hollow spring models (see Fig. (5b)) were read on the midplane of the shells. This choice was coherent
with the assumption of infinitely thin wall implicit in Eqn. (4). The stress concentration
factors from Tab. (2) are superimposed in Fig. (3) to the theoretical curves for KP. FR FR FA FR FR FA 251 Table 1. Geometry, elastic properties and loading of the FE spring models investigated. Model property Units Homogeneous solid section Bimaterial solid section Thin hollow section di mm 0 1.6 (1.9) do mm 2.0 2.0 (2.1) d mm --- --- 2.0 t mm --- --- 0.1 Ei MPa 206 000 10 300 --- Eo MPa 206 000 206 000 206 000 ν --- 0.3 0.3 0.3 D mm 6.0 (c = 3) 10.0 (c = 5) 20.0 (c = 3) FR N 1.5 (c = 3) 2.5 (c = 5) 5.0 (c = 3) FA N 1.0 Table 2. Finite element stresses (MPa) with corresponding stress concentration factors. Section type Spring index, c Nominal shear stress Maximum shear stress Stress concentr. factor 3 1.910 2.974 1.557 5 3.183 4.120 1.294 Homogeneous solid section 10 6.366 7.234 1.136 3 3.126 5.357 1.714 5 5.211 7.190 1.380 Bimaterial solid section 10 10.421 12.257 1.176 3 4.775 9.023 1.890 5 7.958 11.69 1.469 Thin hollow section 10 15.92 19.34 1.215
(a) (b) Figure 5. Contour plots of the maximum shear stresse for the FE models with spring index c = 5: (a) homogeneous solid section; (b) thin hollow section. 252 4. EXPERIMENTAL WORK Method
The experimental work was essentially devoted to verifying the correctness of Eqn. (3) and
(6) for the spring deflection. To this aim, several plastic springs (ABS) with the properties
corresponding to the two configurations (small and large) given in Tab. (3) were
manufactured with a 3D printing machine based on the Fused Deposition Modeling
technique. One spring from each configuration was coated with a thin CrNiCo layer by
means of the ionic infiltration method [7], leading to the overall dimensions also provided
in Tab. (3). Figure (6) displays an overall view of the prototype springs. The springs were
tested in compression between flat plates to record the force-deflection curve under loading
and unloading. The tests were performed on an electromechanical machine (Galdabini SUN
500), equipped with a 250 N load cell and operated at a speed of 1 mm /min. Along with the springs in Tab. (3), several prismatic ABS specimens with rectangular cross-section of 4'10 mm and overall length of 80 mm were also produced by rapid
prototyping. Some of these specimens were then coated by ionic infiltration for an effective
cladding thickness of 0.3 mm. These specimens were tested under three-point bending
according to the ISO 178 standard (span between supports = 60 mm) to find the elastic
properties of the ABS core and the coating. The elastic modulus of the ABS specimens was
calculated directly from the equations provided in the ISO 178 standard. Starting from this
value, the elastic modulus of the coating was calculated using standard formulas for the
deflection of composite beams [8]. Results
The bending tests on the flat specimens gave the elastic moduli reported in Tab. (3). For
both ABS core and CrNiCo cladding, a Poisson''s ratio ν = 0.3 was assumed, giving the
shear moduli also listed in Tab. (3). Figures (7a) and (7b) show the force-deflection curves measured for the fully polymer springs, small and large respectively. Superimposed on the test curves is the theoretical
characteristic (dashed line) predicted using Eqn. (3) with the spring data from Tab. (3). The experimental force-deflection curves for the cladded springs are shown in Fig. (8a) and (8b), for small and large springs, respectively. Again, the dashed lines in Fig. (7)
identify the theoretical characteristic calculated from Eqn. (6) for both springs.
The theoretical and experimental spring rates from Fig. (7) and (8) are summarized in
Tab. (4), together with the mass of the springs.
5. DISCUSSION Numerical analysis
The contour plots in Fig. (5) show that the stress distribution in both solid and hollow
springs is fairly uniform along the coil axis, as is expected from the symmetry of the model.
The maximum stress (red color) correctly takes place at the inner fibre of the coil.


253
Table 3. Geometrical and material characteristics of the tested springs. Spring configuration Spring property Units Homogeneous solid section Bimaterial solid section di mm 0 4.6 do mm 4.5 5.5 d mm --- 5.05 t mm --- 0.5 D mm 26 26 c --- 5.8 4.7 N --- 2.7 2.7 L mm 38 38 Material --- ABS ABS + CrNiCo Mass g 5.5 30.0 E, G MPa 1 300, 500 35 600, 13 692 Small ν --- 0.3 0.3 di mm 0 6.0 do mm 6.0 6.6 d mm --- 6.3 t mm --- 0.3 D mm 50 50 c --- 8.3 7.6 N --- 4.5 4.5 L mm 63 63 Material --- ABS ABS + CrNiCo Mass g 28.5 91.5 E, G MPa 1 300, 500 35 600, 13 692 Large ν --- 0.3 0.3

254 Figure 6. Overall view of the springs tested: fully polymer (to left) and cladded (to right).
(a) (b) Figure 7. Force-deflection curves for the polymeric springs: (a) small; (b) large.
(a) (b) Figure 8. Force-deflection curves for the bimaterial springs: (a) small; (b) large. 255 Table 4. Comparison of theoretical and measured spring rates. Spring rate (N/mm) Spring size Spring material Theory Experiment Relative Mass Polymer 0.540 0.528 5.5 Small Bimaterial 18.75 18.05 '35 30.0 '5.5 Polymer 0.144 0.142 28.5 Large Bimaterial 1.974 1.850 '14 91.5 '3.2
When compared to the theoretical curves in Fig. (3), the numerical stress concentration factors are in close agreement for the homogeneous solid section (lower curve). The
agreement is also fair for the bimaterial solid section (intermediate dotted curve) while
errors of about 5% affect the thin hollow section (upper dashed curve). This slight
discrepancy is perhaps due to minor warping of the section that occurred in the FE model
and that was not included in theoretical model. Experimental work
The experimental force-deflection curves in Fig. (7) for the fully polymer springs show a
very slight degree of hystheresis (solid lines), partly due to imperfect elasticity of the
material and to microslippages of the spring terminals against the loading plates during
compression. In the same figure, the theoretical characteristic (dashed line) predicts very
well the stiffness of the spring calculated for very small deflections. The experimental force-deflection curves in Fig. (8) show a marked hystheresis loop between loading and unloading which is imputable to the very low elastic limit of the
cladding material. However, as far as the loading leg of the diagrams is concerned, the
theoretical predictions (dashed lines) are fairly accurate. Table 4 shows that the spring rate of the cladded springs ranges between 14 and 35 times that of the fully polymer springs. These improvements are obtained with a much less
increase of the spring mass, which ranges from 3.2 to 5.5 times. Overall, the numerical and experimental work validate the theoretical finding developed in the reference paper [2].


6. CONCLUSIONS
The paper validates numerically and experimentally a theoretical model for bimaterial
helical springs developed by the authors in a recent paper. The numerical validation
involves the finite element analysis of half-turn spring models identified by three spring
indices (c = 3, 5, 10) and three section types (solid homogeneous, solid bimaterial, thin
hollow). The experimental work involves compression tests on two polymer (ABS) spring
configurations produced by rapid prototyping and cladded by ionic infiltration with CrNiCo
alloy. The finite element stress concentrations agree within an error of 5 per cent with the
theoretical predictions. The experimental results confirm very closely the spring rate of all
springs, either fully plastic or bimaterial.
256 REFERENCES [1] Day, M.R., 2008. ''Nanometal-polymer hybrid'. Advanced Materials and Processes, 166(4), pp. 25-27. [2] Dragoni, E., and Bagaria, W.J., 2011. ''Mechanical design of bimaterial helical springs with circular cross-section'. J. Strain Analysis, 46(4), pp. 304-314. [3] Wahl, A. M., 1963. Mechanical Springs. 2nd ed., McGraw-Hill, New York. [4] Bagaria, W.J., 2000. ''Stress analysis of light weight closely coiled hollow helical springs', Annual summary of the United States Naval Academy. See URL www.usna.edu/AcResearch/
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COMPOSITE INTERFERENCE-FITTED AND
ADHESIVELY BONDED CONNECTIONS


Dario Croccolo
Department of Mechanical and Aeronautical Engineering,
University of Bologna, Italy
E-mail: dario.croccolo@ unibo.it

Massimiliano De Agostinis
Department of Mechanical and Aeronautical Engineering,
University of Bologna, Italy
E-mail: m.deagostinis@unibo.it

Nicolò Vincenzi
IGMI SpA '' Divisione Giuliani, Italy
E-mail: nicolo.vincenzi@igmi.it


Abstract. The work deals with the definition of the axial push-out force in hybrid
connections realized by means of a carbon-epoxy composite bush which is press fitted into
a steel housing and, eventually, supplemented with anaerobic adhesive, in order to obtain
an innovative (hybrid) journal bearing. Lamè''s solution has been extended to orthotropic
material (composite bush) in order to evaluate analytically the coupling pressure due to
interference assembly, while experimental campaigns have provided the values of
coefficient of friction and of the adhesive shear strength (steel-composite). The mere
application of the anaerobic adhesive before the assembly operation does not provide any
sensible increase in push out force especially if compared with metal-metal interference
connections. In order to take advantage of the adhesive strength, specific hoop channels for
the adhesive hosting have been realised on the external surface of the composite bush.

Keywords: anaerobic, composites, steels, joint design
1. INTRODUCTION
Filament winding technology makes composite materials competitive with metals for many
uses, from mechanical to aerospace and marine applications [1, 2]. Even if only rotational
symmetry and axial constancy of geometry can be easily realized, the application to journal
bearings [3 - 7] finds an innovative solution for industry, mainly due to the good
tribological and strength behaviour of composites over conventional materials. In
particular, the hybrid journal bearing is realized by means of a carbon-epoxy composite
bush, which is press fitted (with high interference level) into a steel housing (Fig.1). Macro
mechanical properties of the two components (Young''s modulus E [MPa] and Poisson''s
ratio ν) are reported in Tab.1. The assembly operation and the high level of interference
guarantee the tolerance of the journal bearing internal ring: the composite bush is radially
and circumferentially compressed while the steel housing remains nearly unchanged. 259 Figure 1. Composite bushes and steel housings before the assembly operation.
Table 1. Macro mechanical properties of the components under investigation. Young's modulus [MPa] radial (r) axial (z) hoop (θ) Steel housing 206,000 Composite bush 6,500 30,300 23,000 Poisson's ratio rz Steel housing 0.29 Composite bush 0.07 0.76 0.33
Finally, due to the specific application, the internal diameter of the composite bush is covered by a PTFE layer (0.10-0.15 mm thick) which does not influence the structural
response of the joint, but changes the tribological behaviour of the bush with the aim of
reducing the use of lubricant during the bearing life (Fig.1). The weakness of this
connection, also highlighted in [3, 6], depends on its low push out force Fp [kN] that can be calculated by Eqn. (1) in which A [mm2] is the coupling contact surface, pC [MPa] the coupling pressure and µA the axial static coefficient of friction. In fact pC has low values caused by the low stiffness of the composite bushes (low values of Young''s moduli (Tab.1)
and small thickness (Fig.1)). Furthermore, the coefficient of friction µA between the steel and the composite material has low values usually in the range of 0.08 - 0.25 for dry
conditions [7, 8]. Composite bush Steel housing PTFE layer 260 A p F C A P '' '' = µ (1) In press fit connections it is necessary to guarantee an adequate joining load which can be considered as a design parameter [9] as well as the endurance of components [6] in
terms of wear or strength performances [10]. This work deals with the methods for
increasing the axial (push out) load on composite bush and steel housing joints, which
reveals to have a low and inadequate value. The actual coefficient of friction and the
coupling pressure acting between the two components were accurately evaluated as well as
the strength performances of an anaerobic adhesive (Loctite 648®) added to the mating
surfaces before the coupling operation. This type of anaerobic adhesive is a high strength,
single component, that cures in absence of oxygen and which is usually applied in metal-
metal contacts [11 - 15] in order to increase, under the same boundary conditions, the joint
transmittable loads. This paper aims at evaluating the effectiveness of the adhesive
contribution in increasing the coupling strength also in metal-composite connections. 2. JOINTS GEOMETRY
The specimens tested were carbon fibre reinforced composite bush and steel housing whose
drawing and dimension parameters are reported in Fig.2a. A schematic representation of the
assembly (coupling) and disassembly (release) process is reported in Fig.2b. Three different
values of the internal diameter of the bush (Dint,bush = 30, 50 and 80 mm) and three different coupling lengths (LC = 20, 50 and 80 mm) were investigated, for a total of 9 coupling configurations (see Fig.1). All the other joint parameters (composite bush thickness sbush [mm], steel housing thickness shousing [mm] and nominal interference U [mm]) are reported in Tab.2. For each of the 9 configurations, 4 specimens (nominally identical) were realized
for a total of 36 joints.
Figure 2a. Geometrical parameters of the coupling (a) and schematic representation of coupling and releasing process (b). 261 Figure 2b. Geometrical parameters of the coupling (a) and schematic representation of coupling and releasing process (b).
Table 2. Geometrical dimensions of the specimens. Composite bush Steel housing # LC [mm] Dint,bush [mm] Dext,bush [mm] sbush [mm] Dint,housing [mm] Dext,housing [mm] shousing [mm] U* [mm] 1 20 29.99 35.05 2.53 34.95 45.01 5.03 0.10 2 50 29.98 35.08 2.55 34.95 45.00 5.03 0.13 3 80 30.00 35.07 2.54 34.95 45.00 5.03 0.12 4 20 50.00 55.10 2.55 54.95 65.01 5.03 0.15 5 50 49.99 55.07 2.54 54.92 64.97 5.03 0.15 6 80 49.98 55.08 2.55 54.92 64.95 5.02 0.16 7 20 80.04 85.09 2.53 84.95 94.95 5.00 0.13 8 50 80.02 85.14 2.56 84.99 94.98 5.00 0.15 9 80 80.01 85.11 2.55 84.93 95.20 5.14 0.18 * nominal interference U = Dext,bush - Dint,housing [mm] 3. DRY PRESS FIT JOINTS 3.1 Static coefficient of friction µS
In order to estimate the static coefficient of friction µS between the two materials (composite and steel, realized as small plates with the same surface finishing and macro
mechanical properties of actual components), the classical test of the inclined plane was
performed, as reported in Fig.3. Ten replicas provided the mean angle values of the static
coefficient of friction α S (defined when the composite plate starts moving) equal to 9.0°. Being the static coefficient of friction µS = tan(αS), its value is equal to 0.159 with standard deviation equal to 0.02.
262 Figure 3. Estimation of coefficient of friction by means of the inclined plane test. 3.2 Coupling pressure pC
To evaluate the coupling pressure due to the interference fit assembly, Lamè''s solution for
thick walled isotropic cylinders [16] was extended to orthotropic tubes [1, 17, 18]. The mathematical solution is reported in the Appendix section. The theoretical solution was verified and confirmed by some strain gages applied to the internal surface of the
composite bush (Fig.4) able to provide the hoop (εθ) and the axial (εz) strains due to the interference-fit coupling. 3.3 Push out force FP tests
Once the coupling pressure pC was precisely evaluated, a set of eight coupling and release tests were performed at room temperature on a hydraulic press (Italsigma 100 kN load cell)
in order to evaluate the push out force due to interference (Eqn.(1)). An example of a load-
displacement curve is reported in Fig.5 (a: coupling phase; b: release phase). The maximum
coupling (FC [kN]) and push out (FP = Fint [kN]) forces for the tested specimens are reported in Tab.3, as well as the evaluated coupling pressure and the axial coefficient of friction µA between the components, according to Eqn.(2).
C C C A L D p F '' '' '' = ' µ int (2) The values reported in Tab.3 point out, as mentioned in the Introduction Section, the limited coupling pressure, which produces an inadequate push out force. Furthermore, the
static coefficient of friction µA, calculated by means of Eqn.(2), has a mean value equal to 0.162, which is very close to the value obtained by the ''inclined plane test'' (µS = 0.159): this result confirms the accuracy in coupling pressure estimation.
263 Figure 4. Example of strain gage location to measure the hoop and the axial strain.
(a) (b) Figure 5. Example of load-displacement curves (a: coupling force; b: release force) for a specimen with LC = 50 mm, Dint,bush = 50 mm (speed = 0.5 mm/s). 264 Table 3. Experimental results of coupling and releasing tests on dry specimens. # according to Tab.2 FC [kN] FP [kN] pC [MPa] µA 7 1.2 1.2 1.8 0.12 5 9.0 8.5 6.9 0.14 8 4.5 4.3 2.5 0.13 6 12.5 13.0 6.4 0.15 1 3.7 3.5 4.7 0.34 9 8.0 7.6 2.6 0.14 9 7.5 7.0 2.9 0.11 9 10.0 9.8 2.6 0.17
4. ADHESIVELY BONDED JOINTS
The addition of an anaerobic adhesive between the composite bush and the steel housing
was studied with the purpose of increasing the axial push out force. The strong points in
adding this type of adhesive are: (i) the ease of application that consists in spreading the
anaerobic adhesive on the steel housing, followed by the assembly operation performed
with the same procedure used for the dry press fitted couplings [15]; (ii) the encouraging
results obtained in metal to metal contacts [15, 19, 20]. The weak points that must be
investigated, because never analysed before, are: (i) the behaviour of the adhesive in
presence of one adherend made of composite material; (ii) the curing time needed, at room
temperature, for polymerisation in presence of composite material (the minimum time
observed in [15, 21] of 24 hours usually needed in presence of metals could be
insufficient); (iii) the effectiveness of the adhesive with the same assembly method (press
fit) because steel and composite have different stiffness and they are assembled with a high
amount of interference. 4.1 Adhesively bonded slip fit joints
In order to evaluate the mean shear strength ('ad) of the anaerobic adhesive Loctite 648® in steel composite connections, four specimens were machined in order to realize a clearance
in the range 0.05 - 0.1 mm between the external diameter of the composite bush and the
internal diameter of the steel housing; this value is in accordance with the adhesive data
sheet and ISO 10123 Standard. Specimens were cleaned with Loctite 7061®, which is a
general purpose cleaner for preparing surfaces to be bonded with adhesive. Then,
specimens were cured for 72 hours at room temperature because some screening tests
proved that this is the minimum time needed to fully polymerize the adhesive layer.
Increasing the cure temperature reduces the curing time but, on the other hand, introduces
variation in interference amount due to different coefficient of thermal expansion between
composite and steel [3,4]. The release tests allow to calculate the adhesive shear strength 'ad
by dividing the push out force (FP = Fad [kN]), by the overlap surface A = '''DC''LC. The
mean value obtained was equal to 13.9 MPa with a standard deviation of 0.7 MPa. This 265 value, between 24.5 MPa obtained in steel-steel connections and 9.6 MPa obtained in steel-
aluminium connections by the authors [21], is encouraging about the use of anaerobic
adhesive on composite steel joints. An example of specimen after the release test is reported
in Fig.6, in which the fully polymerized adhesive is well visible on both the mating
surfaces. 4.2 Adhesively bonded press fit joints
The mere application of the anaerobic adhesive on the internal surface of steel housing,
followed by the press fit operation of the composite bush does not provide any sensible
increase in push out force (values reported in Tab.3 were obtained again). However, the
press fit operation is necessary to guarantee the coaxiality between bushing and housing.
Contrarily from metal-metal contacts, in which the adhesive fills the microspaces between
the crests of surface roughness [11, 13, 15, 20], here the adhesive is completely ejected by
the insertion of the bush. In order to exploit the adhesive shear strength and, accordingly, to
increase the push out force, the joint was redesigned with the aim of maintaining the same
interference level and of creating, simultaneously, a portion of clearance needed for
entrapping the adhesive. The designed and tested solution is reported in Fig.7: some hoop
channels (depth dHoopChannel = 0.1 mm, height hHoopChannel = 6 mm) work as ''adhesively bonded slip fit joint'' while the remaining unmodified portion of material works as ''dry
press fit joint''. The number of equally spaced channels n depends only on the axial length LC: 5 for LC = 80 mm, 3 for LC = 50 mm and 1 for LC = 20 mm. A comparison between dry press fit joint and adhesively bonded press fit joint (modified according to Fig.7) is reported in Fig.8
(LC = 50 mm, three channels). An attentive examination of Fig.8a shows that before the first channel the coupling force necessary for the assembly is almost the same (no adhesive remains between
components) while after each channel a force increase is observed. As demonstrated in
steel-steel or steel-aluminium adhesively bonded press fit joints [15, 21], the increase in
coupling force highlights the presence of adhesive that starts to polymerise between the
coupled parts when the oxygen is absent. Furthermore, during the decoupling phase
(Fig.8b), the push out force (FP = Fint + Fad [kN]) at the beginning of the release slightly increased. Immediately after the peak load, a drastic decrease in force appears with a
subsequent re-increase before continuing the linear (regular) release curve; this occurrence
is due to the storage of elastic energy in the composite bush, which is pushed out by the
piston of the hydraulic press. The same occurrence was also observed in presence of
aluminium components [15]. Figure 6. Example of surfaces after the release test in adhesively bonded slip fit joints. 266 Figure 7. Realization of hoop channels to take advantage of the adhesive strength. (a) (b) Figure 8. Comparison in coupling (a) and release (b) phases between dry press fit joint and adhesively bonded press fit joint (LC = 50 mm, Dint,bush = 50 mm, 3 channels). 267 Table 4. Experimental results of adhesively bonded press fit joints. # according to Tab.2 FC [kN] Fint+Fad [kN] pC [MPa] n DC [mm] LC [mm] Fint [kN] Fad [kN] 'ad [MPa] 5 18.1 53.1 6.9 3 55.0 50.0 6.1 46.9 15.1 9 19.3 100.0* 2.8 5 85.1 80.0 6.0 - - 6 38.2 88.2 6.5 5 55.0 80.0 9.0 79.0 15.2 3 41.6 56.1 4.9 5 35.0 80.0 4.3 51.7 15.7 8 10.5 67.2 2.7 3 85.0 50.0 3.7 63.3 13.2 2 19.7 33.4 4.2 3 35.0 50.0 2.4 30.6 15.5 1 5.3 13.1 4.4 1 35.0 20.0 1.1 11.9 18.1 4 5.0 18.2 6.3 1 55.1 20.0 2.4 15.6 15.0 7 2.7 32.3 3.3 1 85.0 20.0 2.0 30.3 18.9 * Maximum force of hydraulic press insufficient to release the joint The total push out force can be reasonably obtained as the addition of the adhesive contribution Fad (Eqn.3) with the interference contribution Fint (Eqn.4). l HoopChanne C ad ls HoopChanne ad ad h D n A F '' '' '' '' = '' = ' ' ' (3) ( ) ( ) l HoopChanne C C C A ls HoopChanne C A h n L D p A A p F '' '' '' '' '' '' = '' '' '' = ' µ µ int (4) In order to verify that the two contributions work as independent of each other, the mean adhesive shear strength 'ad was calculated by applying Eqn.(5) to 9 different joints with the aim of comparing ' ad calculated in adhesively bonded press fit joints with ' ad previously calculated in adhesively bonded slip fit joints. (Fint + Fad) is the total push out force given by the load cell of the hydraulic press, while all the other parameters are easily
known once the geometry is defined. The results are reported in Tab.4.
( ) ( ) ( ) l HoopChanne C l HoopChanne C C C A ad ls HoopChanne ad ls HoopChanne ad ad h n D h n L D p F F A F F F A F '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' + = = '' + = = ' ' µ ' int int int (5) The mean adhesive shear strength 'ad (Eqn.(5)) is equal to 15.8 MPa (standard deviation equal to 1.8 MPa). The present mean value results higher (+14%) than the one calculated
for adhesively bonded slip fit joints (13.9 MPa): this occurrence is mainly related to the
actual working area of the adhesive. As a matter of fact, the adhesive is entrapped in the 268 hoop channels realized for this specific purpose, but it also remains, slightly, between the
press fitted surfaces, as show Figs.9 and 10. In Fig.9, the adhesive is well visible in the
hoop channel of the composite bush, whereas in Fig.10 it is possible to see in the steel
housing two different scenarios. The first scenario (Fig.10, left) in which only the hoop
channels area is covered with the adhesive, while the remaining portion of surface is
characterized by a ''cleaned' area (this joint corresponds to the #8 in Tab.4: ' ad = 13.2 MPa); conversely, the second scenario (Fig.10, right) in which the hoop channels area is,
again, covered with the adhesive while the remaining portion of surface is partially covered
with an adhesive layer similar to the one shown in Fig.6 (this joint corresponds to the #7 in
Tab.4: 'ad = 18.9 MPa). Figure 9. Example of the anaerobic adhesive presence in the hoop channel of the composite. Figure 10. Examples of the anaerobic adhesive presence on steel housing. 269 5. DISCUSSION
In steel-composite dry and press fitted couplings, a limited push out force was observed
despite the high interference level (Tab.3). The addition of an anaerobic adhesive with the
same assembly method does not provide any encouraging improvement of efficiency in
composite-metal assemblies because the adhesive is almost completely ejected from the
coupling area (the push out force does not change in case of adhesive addition). Conversely, slip fit tests between the composite bush and the steel housing, highlighted a good effectiveness of the anaerobic adhesive in presence of steel-composite joint.
Grooved bushes are a smart solution to improve the joint performances: a portion of
coupling surface works as adhesively bonded slip fit connection (adhesive contribution)
whereas the remaining portion as dry press fit connection (interference contribution). The
different dimensions of the joint and the different number of channels does not affect
significantly the mean adhesive shear strength 'ad, as indicated by the result values reported in Tab.4; the proposed superposition of effects between interference Fint (Eqn.(4)) and adhesive Fad (Eqn.(3)) contributions is confirmed by the limited scatter of values. Furthermore, the channels presence produces an actual working area for the adhesive
slightly higher (+14%) than the nominal one (AHoopChannels). Unfortunately, the increased portion of area involved by the adhesive is difficult to be thoroughly forecasted. To design
the joint and, therefore, to define the push out force (in particular to define the adhesive
contribution), it is advisable to consider solely AHoopChannels with 'ad = 13.9 MPa evaluated in adhesively bonded slip fit joints and to neglect the contribution of the increased portion of
area involved by the adhesive during the press fit operation. 6. CONCLUSIONS
The axial push out force in adhesively bonded and press fitted (hybrid) connections made
by a carbon-epoxy bush press fitted into a steel housing was deeply studied. The static
coefficient of friction and the coupling pressure produced between the mating parts were
precisely calculated. Experimental tests reveal a low value of the axial push out force for
the dry joint so that the addition of an anaerobic adhesive (Loctite 648®) was analysed in
order to increase the axial transmittable load. Even though an adherend is made of
composite material, this type of adhesive was demonstrated to be effective. The mean
adhesive shear strength for the slip fit couplings realized in accordance with ISO 10123
Standard is aligned to the values obtained when the mating components are made of metal.
In case of composite-steel press fitted connections, the external surface of the composite
bush must be machined in order to produce some specific hoop channels for the adhesive
hosting. By means of this strategy, it is possible to sensibly increase the axial push out force
of this type of joint. Acknowledgements
The technical assistance of Paolo Proli (DIEM-Lab Director) and Pierfranco Mauri
(HENKEL-LOCTITE) is gratefully acknowledged. APPENDIX A
In order to calculate the coupling pressure pC, the problem was solved in cylindrical coordinates (θ, r, z): the radial equilibrium equation (neglecting inertia forces due to
rotation) is reported in Eqn.(A1), where 'r and 'θ are radial and hoop stresses at a generic radius r, within the internal Rint and external Rext diameters of the tube. 270 0 = '' + r dr d r r θ ' ' ' (A1) Neglecting the thermal contribution, strains ε and stresses ' were related by the material constitutive relation, based of the symmetric compliance matrix [C], reported in
Eqn.(A2):
{ } [ ] { } j ji i ij z r z r rz z z zr r r z z r r z r E E E E E E E E E E E C ν ν ' ' ' ν ν ν ν ν ν ε ε ε ' ε θ θ θ θ θ θ θ θ θ = % & % ' ( % ) % * + '' - - - - - - - . / 0 0 0 0 0 0 0 1 2 '' '' '' '' '' '' = % & % ' ( % ) % * + '' = , 1 1 1 (A2) The strain-displacement relations for the case of axisymmetric geometries are described by Eqn.(A3), where u and w are the radial and axial displacements [16]:
dz dw dr du r u z r = = = ε ε ε θ , , (A3) It was assumed that the z-direction axial strain, constant along the radius, is an unknown constant ε0 that must be calculated by means of boundary conditions [17, 18]. The expression for stresses is reported in Eqn.(A4), where the stiffness matrix [S] is the inverse
of the compliance matrix [C].
{ } [ ] { } [ ] { } ε ε ' '' = '' = '' S C 1 (A4) After substituting Eqns.(A3) and (A4) into (A1), the governing equation (Eqn.(A5)) for radial displacements can be obtained, where Sij is the generic element of the stiffness matrix [S]. Space restrictions do not allow the presentation of the whole solution process.
r S S S u S S r dr du r dr u d '' '' '' = '' '' '' + '' 0 22 23 13 22 11 2 2 2 ε (A5) The general solution of Eqn.(A5) is reported in Eqn. (A6), where A, B and ε 0 are unknown constants which must be determined via boundary conditions:
271 ( ) r S S S S r B r A r u S S S S '' '' '' '' + '' + '' = '' 0 11 22 23 13 22 11 22 11 ε (A6) Finally, after substituting Eqn.(A6) in Eqns.(A3) and (A4) the expressions of stresses in Eqn.(A7) are obtained (generic radius r is converted into a dimensionless parameter,
according to [16], by dividing r by the external radius of the orthotropic tube Q = r/Rext). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! ! ! ! ! " !! ! ! ! # $ % & ' ( ) * + + '' '' '' '' + - -
. / 0 0
1 2 '' '' '' + - -
. / 0 0
1 2 '' + '' = % & ' ( ) * + + '' '' '' '' + - -
. / 0 0
1 2 '' '' '' + - -
. / 0 0
1 2 '' + '' = % & ' ( ) * + + '' '' '' '' + - -
. / 0 0
1 2 '' '' '' + - -
. / 0 0
1 2 '' + '' = '' '' '' '' '' '' '' '' '' 33 23 13 11 22 23 13 0 1 23 22 11 13 1 23 22 11 13 23 22 12 11 22 23 13 0 1 22 22 11 12 1 22 22 11 12 13 12 11 11 22 23 13 0 1 12 22 11 11 1 12 22 11 11 22 11 22 11 22 11 22 11 22 11 22 11 ; ; S S S S S S S Q S S S S B Q S S S S A Q S S S S S S S Q S S S S B Q S S S S A Q S S S S S S S Q S S S S B Q S S S S A Q S S S S z S S S S r S S S S ε ' ε ' ε ' θ (A7) In order to determine the constants A, B and ε0 the three boundary conditions according to Fig.A1 and reported in Eqn.(A8) can be used, where QT is the ratio between internal and external diameters of a generic orthotropic tube (QT = Rint/Rext): ( ) ( ) ( ) z z Q ext ext r T r F dQ Q Q R iii p Q ii p Q Q i T = '' '' '' '' '' '' = = '' = = ' ' ' ' ' 1 2 int 2 ) ; 1 ) ; ) (A8) Figure A1. Boundary conditions for the generic orthotropic tube 272 The first two conditions correspond to the internal and external radial equilibrium, while the third is the axial equilibrium of the tube. The coupling pressure pC generated by the interference fit connection between the orthotropic composite bush and the steel
housing can be calculated by means of the compatibility equation of displacements reported
in Eqn.(A9), which relates the total displacement (nominal interference U reported in
Tab.2) to the bush and housing radial displacements.
bush g hou U U U + = sin (A9) Since the hoop strain εθ is related to the radial displacement u and linked to the relevant stresses 'θ, 'r and 'z by joining Eqns.(A2) and (A7), the coupling pressure pC acting on the coupling surface of the composite bush can be related to the actual displacement Ubush as follows, once the internal pressure at Q = Qbush = Dint,bush/Dext,bush is imposed equal to zero and the external pressure at Q =1 is imposed equal to the unknown pC. ( ) ( ) ( ) ( ) ! " # $ % & = '' '' = '' '' = = = = z z z r r r C bush E Q E Q E Q D Q U 1 1 1 1 ' ν ' ν ' ε θ θ θ θ θ (A10) On the other hand, the same coupling pressure pC acting on the coupling surface of the steel housing is easily related to the actual displacement Uhousing by applying the Lamè''s equations for isotropic materials (the pressure at Q = Qhousing = Dint,housing/Dext,housing is equal to the unknown coupling pressure pC, whereas the external pressure at Q = 1 is equal to zero) as follows [16]:
( ) ! !
" # $ $
% & + '' + '' = = ν 2 sin 2 sin sin sin 1 1 g hou g hou C C g hou g hou Q Q E p D Q Q U (A11) The total amount of interference U reported in Tab.2 can be, therefore, related to the coupling pressure pC by means of Eqns. (A9), (A10) and (A11). REFERENCES [1] G. Kress. 1995. Minimized computational effort for the thick-walled composite tube problem. Computers & Structures 54 633-639. [2] M. Xia, H. Takayanagi, K. Kemmochi. 2001. Analysis of multi-layered filament wounds composite pipes under internal pressure. Composite Structures 53 483-491. [3] S.W. Lee, D.G. Lee. 2007. Torque transmission capability of composite''metal interference fit joints. Composite Structures 78 584''595. [4] S.S. Kim, H.N. Yu, D.G. Lee. 2007. Adhesive joining of composite journal bearings to back-up metals. Composites Science and Technology 67 3417''3424. [5] H.N. Yu, S.S. Kim, D.G. Lee. 2009. Optimum design of aramid-phenolic/glass-phenolic composite journal bearings. Composites: Part A 40 1186''1191. 273 [6] S.S. Kim, D.G. Lee. 2006. Design of the hybrid composite journal bearing assembled by interference fit. Composite Structures 75 222''230. [7] S.S. Kim, D.C. Park, D.G. Lee. 2004. Characteristics of carbon fiber phenolic composite for journal bearing materials. Composite Structures 66 359''366. [8] J. Bijwe, J. Indumathi, B.K. Satapathy, A.K. Ghosh. 2002. Influence of carbon fabric on fretting wear performance of polyetherimide composite. J Tribol 124 834''839. [9] D. Croccolo, N. Vincenzi. 2011. On the design of interference-fitted and adhesively bonded joints for lightweight structures. Journal of Mechanical Design 133 051006-1/8. DOI:
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Adhesion Science and Technology 25 2521-2538. 274 A CONTRIBUTION TO THE LEGENDRE SERIES
SOLUTION OF THE MECHANICAL ANALYSIS OF
CYLINDRICAL PROBLEMS
Antonio Strozzi+, Andrea Baldini, Matteo Giacopini, Enrico Bertocchi, Eleonora
Campioni, Sara Mantovani
Department of Mechanical and Civil Engineering,
University of Modena and Reggio Emilia, Italy
E-mail: antonio.strozzi@unimore.it
+ Corresponding author
Abstract. A series solution in terms of Legendre polynomials of the stress function suitable
for modelling the mechanical response of a cylindrical component is revisited, and some
contributions to the definition of the series terms are given. In particular, the correction to
be imparted to a logarithmically singular series solution is considered, and a recursive
approach for its determination is developed. A preliminary example dealing with an elastic,
deformable cylindrical hub forced onto a rigid shaft is presented.

Keywords: Laplace equation, cylindrical problems, stress function, series solution,
Legendre polynomials 1. INTRODUCTION A series solution of the stress function suitable for modelling the mechanical response of a
cylindrical component has been considered in Chapter 24 of the recent edition of the book
of Barber, see reference [1]. This series solution is only partially available in explicit form.
In particular, a numerical evaluation of an osculating polynomial supplementing each
logarithmically singular term of the series solution has been proposed in reference [1], p.
385. In this paper, a recursive determination of the above polynomials is obtained. This paper is organized as follows. Section 2 reports the classical equation that the stress function must fulfil. The following section collects equations of general validity, that
are employed in the third and fourth sections to get polynomial and logarithmically singular
expressions for the harmonics Φn of the stress function Φ. 2. THE STRESS FUNCTION Φ The stress function Φ must satisfy the following biharmonic equation, e.g. e.g. reference
[2], p. 344 0 2 2 = Φ '' '' (1) where the Laplacian operator ''2 is defined as 2 2 2 2 2 2 2 1 1 z r r r r z r r r '' '' +       '' '' '' '' = '' '' + '' '' + '' '' = '' (2) 275 where r and z represent the radial and axial coordinates, respectively. The corresponding stresses are, e.g. reference [2], p. 343 ( ) ( )         '' Φ '' '' Φ '' '' '' '' =         '' Φ '' '' Φ '' '' '' '' =       '' Φ '' '' Φ '' '' '' =  
   
  '' Φ '' '' Φ '' '' '' = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 z r z z r r z r z rz z r ν ' ν ' ν ' ν ' θ (3) The radial, u, and axial, w, displacements are ( )         '' Φ '' + '' Φ '' + Φ '' '' + = '' '' Φ '' + '' = r r r E w z r E u 1 2 1 1 1 2 2 2 2 ν ν ν (4) If the problem is symmetric in z, then Φ must be skew-symmetric in z. 3. SERIES SOLUTION FOR THE STRESS FUNCTION Φ This section considers purely polynomial solutions and logarithmically singular solutions.

The Available Solutions
The analogy with the Michell series solution , e.g. reference [1], p. 106, suggests that a
series solution to the cylindrical problem be formed by harmonics, where each harmonic is
the sum of four expressions that are solutions to the bi-Laplacian equation (1), multiplied
by four unknown coefficients. In the following, the four expressions are considered in
detail. In reference [1], p. 306, a series solution to equation (1) is reported that is suitable for treating the problem of a solid, hollow circular cylinder, loaded by imposed tractions on its
boundaries. This solution is revisited below. Following reference [2], p. 348, the variable R
is introduced 2 2 z r R + = (5) Two kinds of solutions are considered, namely a purely polynomial solution, and a logarithmically singular solution. The two types of solutions are addressed in the next
sections. Purely polynomial solutions. In reference [2], p. 347, it is shown that a general solution to equation (1) is available in terms of harmonics of index n, possessing the form
276       = Φ R z P R n n n (6) where Pn denotes the Legendre polynomial of degree n. The expression of the harmonic Φn
is a homogeneous polynomial in r and z of degree n. If n is odd (even), the polynomial
expression of Φn is odd (even) in z and even in r. In reference [1], p. 309, it is noted that
only even powers of r occur in these functions. In reference [2], p. 349, it is shown that a second, independent solution is available of the kind
      = Φ + + R z P R n n n 2 2 (7) The above expression of Φn+2 is a homogeneous polynomial in r and z of degree n+2. If n is odd (even), the polynomial expression of Φ is odd (even) in z and even in r. An additional, not independent form of the solution may be derived from the Bonnet''s recursion formula ( ) ( ) ( ) 0 1 3 2 2 1 2 =       + +       + ''       + + + R z P n R z P R z n R z P n n n n (8) By multiplying the above expression (8) by Rn+2, one obtains ( ) ( ) ( ) 0 1 3 2 2 2 1 2 2 2 =       + +       + ''       + + + + + + R z P R n R z P R R z n R z P R n n n n n n n (9)
By taking into account the property that expressions (6-7) are solutions to equation (1), it may be deduced that the following formula is an additional solution to equation (1)
      = Φ + + R z P R R z n n n 1 1 (10) The above expression of Φn+1 is a homogeneous polynomial in r and z of degree n+1. If n+1 is odd (even), the polynomial expression of Φ is odd (even) in z and even in r.
Logarithmically Singular Solutions. In addition to the two independent polynomial expressions (6,7) of the harmonics of Φ, singular expressions are also available. In fact, in
reference [1], p. 309, a logarithmically singular expression in r of Φn is reported of the kind r R z P R n n n log       = Φ (11) 277 The above expression of Φn is formed by a homogeneous polynomial of degree n in r and z, multiplying log r. If n is odd (even), this polynomial coefficient is odd (even) in z
and even in r. The above expression of Φn fulfils equation (1) for n'3. For n>3, the above expression of Φn, once introduced into equation (1), produces a purely polynomial residual of degree
n -4. If n is odd (even), this polynomial residual is odd (even) in z and even in r. Therefore, if the above logarithmically singular expression of Φn is supplemented by a suitable
polynomial of degree n, the residual may be annulled, and expression (11) actually becomes
a solution to equation (1). It may be promptly verified that a second, independent, logarithmically singular expression of Φn exists that, once introduced into the bi-Laplacian operator, produces a
purely polynomial residual. This expression is r R z P R n n n log 2       = Φ '' (12)
The above expression of Φn is formed by a homogeneous polynomial of degree n in r and z, multiplying log r. If n is odd (even), this polynomial coefficient is odd (even) in z
and even in r. The above expression of Φn fulfils equation (1) for n'3. For n>3, the above expression of Φ, once introduced into equation (1), produces a purely polynomial residual of degree n-
4. If n is odd (even), this polynomial residual is odd (even) in z and even in r. An additional, not independent form of an harmonic of Φ may be derived as before from the Bonnet''s recursion formula r R z P R R z n n n log 1 1       = Φ + + (13)
It may therefore be deduced that the following expression
r R z P R a r R z P R a R z P R a R z P R a n n n n n n n n n log log 2 4 3 2 2 1       +       +       +       = Φ '' '' (14) depending on four independent coefficients ai, once introduced into equation (1), produces
a purely polynomial residual. Consequently, if expression (14) is supplemented by a
suitable osculating polynomial that cancels the purely polynomial residual, it constitutes a
solution to equation (1). The following sections address the evaluation of the polynomial
residual and of its osculating polynomial. 4. THE FORM OF THE TWO POLYLNOMIAL RESIDUALS In this section the explicit forms of the polynomial residuals for the two logarithmically
singular expressions (11) and (12) of Φn are derived. 278 It is first noted that, if the logarithmically singular expressions (11) and (12) for Φn are written in the form ( ) r z r f n log , = Φ (15) when the above expression (15) is introduced into the bi-Laplacian operator of (1), and all
terms including the log function are annulled, the following expression for the residual is
obtained ( ) [ ] ( ) [ ]         + 2 2 2 2 , , 4 dz z r f d dr z r f d dr d r (16) which is useful in computing the explicit form of the residuals. In the following, the logarithmically singular expression (11) for Φn
r R z P R n n n log       = Φ (17) is considered first. It is deduced from the previous result that the expression of this
polynomial residual may be computed as follows  
  
   
  
              +             2 2 2 2 4 dz R z P R d dr R z P R d dr d r n n n n (18) and its explicit expression in terms of Legendre polynomials is  
   
   
   
        +       ''       ''                   +       '' '' '' 2 2 3 1 4 n 2 1 3 2) - ( 1) - ( 4 - R z R z P R z P R z R z P R z P r R n n n n n n n (19)
By repeatedly employing the Bonnet''s recursion formula, the previous expression may be recast as follows ( ) ( ) ( )             '' +       '' ''       '' '' '' R z P n R z P n R z P n r R n n n n n n n n n n 4 2 4 n 1 2 3 2 2 5 2 5) - 3)(2 - (2 1) - (2 3) - 2)( - ( 1) - ( 4 - (20) If the logarithmically singular expression (17) of Φn is supplemented by a suitable polynomial of degree n, whose residual equals the opposite of expression (20), the residual
(20) may be annulled. This suitable polynomial is referred to in this paper as ''osculating
polynomial'. 279 Unfortunately, although the form of the residual (20) is relatively simple, it is difficult to devise the analytical form of the osculating polynomial such that, once inserted into the
bi-Laplacian operator, produces the desired polynomial residual. The evaluation of this
osculating polynomial is considered in the next sections. The second logarithmically singular expression (12) of Φn
r R z P R n n n log 2       = Φ '' (21) is considered in the following. By proceeding as before, the explicit expression of the
corresponding residual, expressed in terms of Legendre polynomials, is
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ]                 '' + '' '' +       '' '' + + '' ''                 '' '' + + '' +       '' '' '' '' '' '' R z P n r n z n R z P n n z n n r R R z P n n z n n r R z P R n n z r R n n n n n 4 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 5 2 4 3 - n 2 4 3 3 4 3 2 4 3 3 20 13 3 4 3 2) - ( 4 - (22)
By exploiting the identity
2 2 2 2 1 R z R r '' = (23) the above residual (22) may be recast as ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )      
                ''  
   
  '' + '' '' +  
                '' '' + + ''  
   
  '' ''  
         
   
  '' '' + + ''  
   
  ''    +       '' ''    '' '' '' '' R z P n R z n R z n R z P n n R z n n R z R z P n n R z n n R z R z P n n R Z r R n n n n n 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 5 4 n 2 1 4 3 3 4 3 2 1 4 3 3 20 13 3 1 4 3 2) - ( 4 - (24) and also as 280 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )                   '' + '' + '' +               '' '' + '' +                   '' '' + '' '' ''       '' '' '' '' '' '' R z P R z n n n R z P R z R z n n n R z P R z n n n n R z P R z n n r R n n n n n 2 2 2 2 3 2 2 2 4 2 2 5 4 n 5 3 2 2 2 8 20 13 3 5 3 2 3 2 4 3 2) - ( 4 - (25)
By repeatedly employing the Bonnet''s recursion formula, the previous expression may be recast as follows ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )          '' '' '' ''       + '' '' '' +          + '' '' '' ''       '' '' '' ' '' '' '' '' '' '' '' R z P n n n R z P n n n n R z P n n n n R z P n n n n r R n n n n n n n n n n 6 2 4 2 2 2 4 n 5 4 1 2 2 5 7 2 1 2 4 1 7 2 4 5 9 2 9 2 7 2 1 2 9 2 7 2 5 2 1 2 3) - 2)( - 4( - (26)
As previously noted, no simple rule is available for evaluating the osculating polynomial, that is, the polynomial to be added to the logarithmic expression, capable of
osculating the residual. In reference [1], p. 306, it is noted that ''these polynomials may be
obtained by assuming a general polynomial form of the appropriate order and substituting
into the Laplace equation to obtain constraint equations.' This approach suffers from the
limit that the order of the system of equations to be solved increase with the series index n. In Section 5 two approaches for determining the osculating polynomial are proposed. 5. THE DETERMINATION OF THE OSCULATING POLYNOMIALS In this section, two approaches are presented for evaluating the osculating polynomial. The
first approach is a recursive technique, whose merit is that it does not require the solution of
a system of linear equations. The second approach, instead, is similar to the one proposed in
reference [1], p. 306, which relies upon the solution of a system of equations.

The Recursive Determination of the Osculating Polynomial
The expressions of the polynomial residuals (20) and (26) of the logarithmically singular
formulae (17) and (21) of Φn may be interpreted as the sum of several terms of the kind
z prq. In this section it is shown how to recursively construct an osculating polynomial such that, once introduced into the bi-Laplacian operator (1), produces a residual that equals a
single term of the form z prq. Consequently, it is possible to compute the expression of the polynomial to be added to the logarithmically singular Φ function so that its residual is null.
It is recalled that the exponent p is null, even or odd, whereas the exponent q is always even
or null, see reference [1], p. 309. The merit of this recursive approach is that it does not
require the solution of a system whose rank increases with the series index n. The following expression of Φn is considered first
281 n n n n z R z R =       = Φ (27)
Once the above expression is introduced into the bi-Laplacian operator (1), the residual is ( )( )( ) 4 2 2 3 2 1 '' '' '' '' = '' '' n n z n n n n z (28)
Consequently, the following expression of Φn
4 4 4 + + + =       = Φ n n n n z R z R (29) produces the residual [ ] ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) n n n n z n n n n R z R n n n n z 4 3 2 1 4 3 2 1 4 2 2 + + + + =       + + + + = '' '' + (30)
Finally, the following expression of Φn
( )( )( )( ) ( )( )( )( ) 4 3 2 1 4 3 2 1 4 4 4 + + + + = + + + +       = Φ + + + n n n n z n n n n R z R n n n n (31) produces the simple residual ( )( )( )( ) n n n n z R z R n n n n z =       =         + + + + '' '' + 4 3 2 1 4 2 2 (32) The form of the polynomial expression osculating a residual term of the form zn has therefore been derived. A second expression of Φn is considered in the following
2 2 2 '' '' =       = Φ n n n n z R R z R (33)
Once the above expression is introduced into the bi-Laplacian operator (1), it produces the following residual [ ] ( )( ) ( ) ( )( ) [ ] 5 4 8 3 2 2 2 2 6 2 2 2 2 '' '' + + '' '' '' = '' '' '' '' n n r z n n z n n z R n n (34) 282 Therefore, if the following expression of Φn is employed
2 2 2 4 + + + =       = Φ n n n n z R R z R (35) its residual is
[ ] ( )( ) ( ) ( ) [ ]2 2 2 2 2 2 2 1 20 7 2 1 '' + '' + + + + + = '' '' n n n z r n n z n n n n z R (36)
If the following expression of Φn is considered
( )( ) ( ) 20 7 2 1 2 2 2 + + + + = Φ + n n n n z R n n (37) its residual is ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 20 7 1 20 7 2 1 '' + + + '' + =         + + + + '' '' n n n z r n n n n z n n n n z R (38)
Finally, when the following expression of Φn is adopted
( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) 4 3 2 1 1 4 3 8 1 20 7 4 3 2 1 20 7 2 1 2 2 4 2 4 2 2 2 + + + + ''         + + '' '' = '' + +         + + + + '' + + + + = Φ + + + n n n n n n z r n n z n n n n n n n n z n n n n z R n n n n (39) its residual is simply ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) 2 2 2 2 4 2 2 4 3 2 1 1 4 3 8 '' + =               + + + + ''         + + '' '' '' '' n n z r n n n n n n z r n n z (40) The form of the polynomial expression osculating a residual term of the form r2zn-2 has therefore been obtained. A third expression of Φn is considered in the following
283 4 4 4 '' '' =       = Φ n n n n z R R z R (41)
Once the above expression is introduced into the bi-Laplacian operator (1), its residual is [ ] ( ) [ ( ) ( ) ]2 2 2 3 4 4 2 3 4 4 2 3 4 8 4 4 2 2 880 596 174 28 2 840 638 179 22 160 86 27 6 z r n n n n r n n n n z n n n n z z R n n + '' + '' + + '' + '' + + '' + '' = '' '' '' '' (42)
Therefore, if the following expression of Φn is employed
n n n n z R R z R 4 4 =       = Φ + (43) its residual is [ ] ( ) ( ) ( ) 4 4 2 3 2 2 2 3 2 3 4 4 2 2 6 11 6 18 15 2 2 120 98 51 10 '' '' '' + '' + '' + + + + + + + = '' '' n n n n z r n n n n z r n n n n z n n n n z R (44)
If the following expression of Φn is used
( ) 120 98 51 10 2 3 4 4 + + + + = Φ n n n n z R n n (45) its residual is ( ) ( ) ( ) 4 4 2 3 4 2 3 2 2 2 3 4 2 3 2 3 4 4 2 2 120 98 51 10 6 11 6 120 98 51 10 18 15 2 2 120 98 51 10 '' '' + + + + '' + '' + + + + + '' + + + =         + + + + '' '' n n n n z r n n n n n n n n z r n n n n n n n n z n n n n z R (46)
Finally, when the following expression of Φn is considered
284 ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) 4 3 2 1 1 2 3 24 50 35 10 384 224 32 192 4 3 2 1 1 4 3 8 120 98 51 10 18 15 2 2 4 3 2 1 120 98 51 10 6 11 6 120 98 51 10 4 2 3 4 2 2 2 4 2 2 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 2 3 2 3 4 + + + + '' '' '' + + + + + + + '' =        + + + + ''         + + '' + + + + '' + + +     + + + + '' + + + + ' '' + '' + + + + = Φ + + n n n n n n n n r n n n n z r n n z z n n n n n n z r n n z n n n n n n n n n n n n z n n n n z R n n n n n n n n n n n n n (47) its residual is simply ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) 4 4 4 2 3 4 2 2 2 4 2 2 4 3 2 1 1 2 3 24 50 35 10 384 224 32 192 '' =         + + + + '' '' '' + + + + + + + '' '' '' n n z r n n n n n n n n r n n n n z r n n z z (48)
The form of the polynomial expression osculating a residual term of the form r 4zn-4 has thus been obtained. The above computations show that, if the expression of the polynomial residual is known, it may be interpreted as the sum of terms of the kind z nrm, and an osculating polynomial may be determined whose residual equals the opposite of the above polynomial
residual. Consequently, it is possible to compute the expression of the osculating
polynomial to be added to the logarithmically singular Φ function so that its residual is null.
This approach does not involve the solution of a system whose rank increases with the
index n. The above computations also evidence that the evaluation of the polynomials that
produce a desired residual may be carried out automatically with the aid of an algebraic
manipulator. In reference [1], p. 306, a method is outlined to evaluate the polynomial to be added to the logarithmically singular Φ function. According to reference [1], a general polynomial is
considered, whose coefficients are evaluated so that its residual coincides with the
polynomial residual of expression (12). Contrary to the above method, the approach
favoured in this paper does not require the solution of a system of linear equations, and,
therefore, it may be employed for high values of the series index for Φ. An Approach Based Upon the Solution of a System of Equations
In this section it was decided to follow an approach slightly different from that favoured by
Barber, see reference [1], p. 306. In the present approach, a single expression for each
harmonic of Φ is considered, without addressing separately the purely polynomial and the
logarithmic-polynomial parts. Moreover, the employment of the Lagrange polynomials has
been abandoned. 285 As suggested by the previously quoted results, the general harmonic of degree n of Φ is expressed as the sum of a polynomial-logarithmic complete expression of degree n, and of a
purely polynomial complete expression of the same degree. For instance, for n=6, the expression adopted for the harmonic Φ6 is
( ) 6 0 , 6 2 4 2 , 4 4 2 4 , 2 6 6 , 0 6 0 , 6 2 4 2 , 4 4 2 4 , 2 6 6 , 0 6 log r b z r b z r b z b r r a z r a z r a z a + + + + + + + = Φ (49) where, if the problem is skew symmetric in the z direction, only even terms are considered.
The above expression is then inserted into the bi-Laplacian equation (1), and the
corresponding residual is computed. This residual is formed by a polynomial-logarithmic
part, and by a purely polynomial part. By imposing the vanishing of the residual, two sets
of linear equations in the coefficients of the polynomial expressions are obtained. Each set
is formed by n/2-1 equations, so that the total available equations are n-2. The total
unknown coefficients of the two polynomial expressions of equation (49) are n+2, and,
therefore, four degrees of freedom are available for each harmonic of Φ, apart from n=0.
This result is expected on the basis of its similarity with the Michell series solution for
polar problems, e.g. reference [1], p. 106. One of the defects of the traditional approach based upon four independent solutions for each harmonic of Φ is that the polynomial-logarithmic solution may include terms
already comprised by the purely polynomial solution. The adoption of a single expression
for each harmonic of Φ, favoured in this paper, overcomes this problem. The first seven harmonics of Φ are as follows
( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 6 62 2 4 63 60 62 61 4 2 63 60 62 61 6 61 6 63 24 4 63 60 4 2 60 63 6 60 6 3 2 50 51 52 53 4 51 5 53 4 50 2 2 50 52 4 52 5 4 42 2 2 43 40 42 41 4 41 4 43 2 2 43 40 4 40 4 2 32 3 31 2 31 2 30 3 2 22 2 21 2 23 2 20 2 11 10 1 01 00 0 16 64 45 192 30 3 20 15 24 15 8 log 8 96 15 40 64 8 6 4 8 15 15 log 6 8 15 2 4 3 8 3 2 log 2 8 3 2 ; log log log log r C z r C C C C z r C C C C z C r r C z r C C z r C C z C z r C C C C z r C z C r z r C z r C C z C r C z r C C C C z C r r C z r C C z C z r C z C r z r C z C r C z C r r C z C z C r z C C r C + + + + '' '' + + + '' + + + '' + '' + = Φ + + '' '' + +       + + '' = Φ + + '' + '' + + '' '' + = Φ + + + = Φ + + + = Φ + = Φ + = Φ (50) 286 The tedious computations of the high degree harmonics of Φ have been relegated to an algebraic manipulator. 6. PRELIMINARY EXAMPLE A preliminary example is developed. An elastic, deformable cylindrical hub of purely
rectangular cross section is frictionlessly forced onto a rigid shaft. Since the problem of
interest is symmetric in z, only expressions of Φ must be considered that are skew-
symmetric in z, as it appears from formulae (4) for the stresses. It is first noted that, since the shaft is assumed as rigid, the edges of the hub cavity do not promote any endpoint singular pressure peaks. This is not an obvious result. In fact, in
general, in contact problems of significant axial length, the central portion is usually in
plane strain, whereas the lateral parts are in plane stress, and, therefore, they are more
deformable. Consequently, the contact pressure generally diminishes laterally, e.g.
reference [3], p. 132. In the case under scrutiny, instead, the particular form of the radial
and hoop stresses produces a uniform axial strain. Consequently, the whole hub is in plane
stress, and the contact pressure remains perfectly constant in the axial direction. A series expansion of the stress function Φ up to n=7 has been considered. Only even indexes have been accounted for, since the problem is symmetrical with respect to z=0. The
number of unknown coefficients is 1+4 '3=13. The unknown coefficients have been determined by imposing the minimum condition on the residual squared and integrated
along the hub sides, see reference [4] for details. In particular, along the hub outer side, the
radial and tangential stresses must be null; along the hub lateral side, the axial and
tangential stresses must be null; along the hub inner side, the tangential stress must be null,
and the radial displacement is imposed. Encouragingly, the preliminary results provide a nearly uniform contact pressure, and residuals of the stresses along the hub periphery of the order of 1/1000 times the contact
pressure. 7. CONCLUSIONS A series solution in terms of Legendre polynomials has been revisited, and some
contributions to the definition of the series terms have been given. In particular, the
polynomial correction to be imparted to a logarithmically singular series solution has been
considered, and a recursive approach for its determination is developed. These results have
allowed the explicit expressions recently presented in reference [5] to be obtained. A
preliminary example has been presented, dealing with an elastic, deformable cylindrical
hub of purely rectangular cross section, frictionlessly forced onto a rigid shaft.

REFERENCES [1] Barber, J.R., 2002. Elasticity. Kluver, London. [2] Timoshenko, S. and Goodier, J.N., 1970. Theory of Elasticity. McGraw-Hill, N.Y. [3] Johnson, K.L., 1985. Contact Mechanics. Cambridge University Press, Cambridge. [4] Strozzi, A., Baldini, A., Giacopini, M., Rivasi, S., and Rosi, R., 2007. ''Maximum stresses in a taper-shanked round-ended lug loaded by an oblique concentrated force'. Strain, 43, pp. 109''
118. [5] Strozzi, A., ''A Note on the Legendre Series Solution of the Biharmonic Equation for Cylindrical Problems'. J. Elasticity, preprint available. 287 288 VALUTAZIONE DELLA DISSIPAZIONE ENERGETICA IN COMPONENTI REALIZZATI CON POLIMERI Gianluca Medri Dipartimento di Ingegneria Industriale, Università di Parma, Italia E-mail: gmedri@racine.ra.it Sommario. Si presenta una procedura analitica di valutazione della dissipazione energetica in componenti polimerici (anche elastomerici) sottoposti a sollecitazioni variabili nel tempo. Gli strumenti fisico-analitici proposti sono basati sulla Teoria della Termoviscoelasticità Accoppiata. Keywords: dissipazioni energetiche, termodinamica della sollecitazione. 1. INTRODUZIONE
La determinazione delle variazioni di temperatura all''interno di componenti realizzati con materiali polimerici è necessaria, ex ante ed ex post, principalmente per tre ragioni: 1. valutazione dello stato di deformazione del componente comprendente anche le deformazioni generate dal campo di temperatura; 2. corretta valutazione del comportamento fisico-meccanico dei punti materiali nel componente in esercizio (alla ''reale' temperatura di esercizio!); 3. valutazione di grandezze funzionali relative al componente (energia assorbita '.). Strumenti teorici per l''analisi termostrutturale sono disponibili da quasi due secoli, e permettono una previsione abbastanza accurata del comportamento in esercizio di componenti polimerici a configurazione geometrica semplice (con soluzioni analitiche dirette) o complessa (con l''ausilio di metodi numerici FE): si verificano sperimentalmente differenze che rientrano nel campo ± 10% del valore calcolato del parametro energetico di controllo. Nell''analisi che segue si deducono le equazioni di base per la determinazione della dissipazione energetica generica (in situazione generale di storia della sollecitazione) e della dissipazione energetica in regime stazionario (sotto sollecitazioni ciclicamente variabili) di componenti realizzati con materiali polimerici/elastomerici. Queste equazioni sono facilmente applicabili (dal punto di vista qualitativo, anche se è richiesta una time- consuming elaborazione matematica - ''manuale' e digitale) all''analisi termoenergetica di guarnizioni, sospensioni e pneumatici. 2. TERMODINAMICA DELLE DEFORMAZIONI
Se si indica con [1][2]
u* = energia interna per unità di massa, qi = vettore che individua il flusso di calore q (dall'interno verso l'esterno) dalla superficie 289 avente normale ni per mezzo della q = qini z = costante di irraggiamento per unità di tempo e di massa,
il Primo Principio della Termodinamica (nell'ipotesi quasi-statica e in forma locale) si può esprimere con la ρ(du*/dt) = 'ijDij '' qi,i + z = 'ij(d!ij/dt) - qi,i + z (1) dove (vi sono le componenti di dx/dt) Dij = (δvi/δxj + δvj/δxi)/2 (2) è il gradiente della velocità di deformazione (simmetrico). Il Secondo Principio della Termodinamica fissa i criteri di distinzione tra trasformazioni reversibili e irreversibili. Le variazioni di entropia ds (per unità di massa) possono essere dovute a fattori esterni (dsE) e a fattori interni (dsI). Se il processo è reversibile si ha dsI = 0, mentre se è irreversibile dsI > 0. In un processo reversibile si ha dq' = TdsE (3) dove T è la temperatura assoluta e q' è il calore fornito al continuo. Scomponendo lo stress power W* in una parte conservativa W*E ed in una parte dissipativa W*D, l''equazione dell'energia diventa ρ(du*/dt) = W*E + W*D - qi,i + z (4) e, trascurando l'irraggiamento, nel caso di solido elastico (poiché le trasformazioni, ovvero le deformazioni, sono reversibili) si ottiene ρ(du*/dt) = 'ij(d!ij/dt) + T(ds/dt) (5) Per trasformazione irreversibile (materiale dissipativo), sottraendo Eqn. (5) da Eqn (4), con Eqn. (3): (ds/dt) = (1/T)dq'/dt+W*D/ρT (6) se il processo è adiabatico (dq'/dt = 0), essendo ds/dt > 0, risulta che W*D >0. Esprimendo Eqn. (5) in termini differenziali, (caso elastico) si ha du* = 'ijd!ij + ρTds (7) e riferendosi alle funzioni per unità di volume du*V = 'ijd!ij + TdsV (7 bis) Se si introduce la funzione Energia Libera (di Helmoltz) data da F = u*V '' TsV (8) in Eqn. (7 bis) si ottiene dF = -sVdT + 'ijd!ij (9) TRASFORMAZIONI ISOTERMICHE: dT = 0 '' sVdT = 0 '' dF = 'ijd!ij '' 'ij = δF/δ!ij 290 F = W = ( T:E)/2, ovvero l'energia di deformazione per unità di volume coincide con l'energia libera. TRASFORMAZIONI ADIABATICHE: dq' = 0 '' dsV = 0 '' du*V = 'ijd!ij '' u*V = W l'energia di deformazione per unità di volume coincide con l'energia interna per unità di volume. E'' interessante, nel caso in cui ci si voglia limitare al campo della elasticità infinitesima, la formulazione di F = W, per un corpo isotropo e in caso isotermo, come espansione in
serie di potenze di !ij. Dallo stato naturale ('ij = 0) e indeformato (!ij = 0) si ricavano informazioni sulla forma dello sviluppo in serie: esso non deve contenere termini lineari,
perché in caso contrario non sarebbe nullo 'ij per !ij = 0. Trascurando le potenze di ! superiori alla seconda, si ha quindi F = F0 + f1(tr E)2+f2E:E = F0 + f1(!ii)2 +f2!ij!ij (10) che, ponendo f1 = λ/2 e f2 = µ, introducendo l'identità
!ij = (!ij - δij!KK/3) + δij!KK/3 = eij + δij!KK/3 (11) e differenziando, porta alla Legge di Hooke [ T = λIE1I + 2µE '' 'ij = λδijεKK + 2µεij] come 'ij = δij '!KK + 2µ(!ij - δij!KK/3) = - δijpmedia + sij (12) (dove K è il modulo di comprimibilità o bulk modulus). 3. EFFETTI TERMICI DELLE DEFORMAZIONI L'equazione dell'energia (5) nel caso di materiale elastico isotropo e per piccole deformazioni e piccole variazioni di temperatura (potenziale elastico coincidente con l'energia libera) diventa [3]: kT,ii = ρC!dT/dt + 3KαT0(d!KK/dt) (13) dove C! è il calore specifico a deformazione costante (che assume valori 1000 ÷ 2000 J/kg°C), T0 è una temperatura di riferimento (assoluta), α è la costante di dilatazione termica lineare, k è la costante di trasmissione del calore della Legge di Fourier qi,i = - kT,ii (14) Nel caso di scambio termico nullo (processi o deformazioni molto veloci), Eqn. (13) assume una forma semplice e di immediata interpretazione fisica: dT/dt = - C(d!KK/dt) (15) dove C = 3K αT0/ρC!. In base a Eqn. (15) variazioni positive della deformazione volumetrica determinano variazioni negative di temperatura e viceversa. Inoltre, variazioni della componente distorsiva delle deformazioni non danno luogo a variazioni della temperatura del corpo. 291 Per un modello ''materiale viscoelastico lineare con componente sferica perfettamente elastica' (usualmente utilizzato per la descrizione degli elastomeri), la legge dell'energia in forma locale diventa [1] W*D + kT,ii = ρC!dT/dt + 3KαT0(d!KK/dt) (16) dove la potenza dissipativa W*D si può determinare per mezzo della Teoria della Viscoelasticità. Questa equazione rappresenta la relazione fondamentale della Termoviscoelasticità Accoppiata. Usando la schematizzazione grafica a molle e smorzatori, vedi Figg. (1) e (2), il materiale è costituito da un certo numero di rami, ciascuno comprendente uno o due di questi elementi. Il ramo k-esimo si deforma di una quantità K! sotto una sollecitazione K '; al suo interno si può scindere la deformazione nella parte dissipativa K!D (dovuta all'eventuale smorzatore presente nel ramo) e nella parte elastica K!E (dovuta all'eventuale molla) [4]. Per triassializzare il modello monoassiale del materiale [5] si trasforma la relazione costitutiva lineare generale P ' = Q! nell''insieme di due relazioni: ''distorsiva' P''sij = Q'eij e ''idrostatica' P' 'κκ = Q' !kk. P'', P'''', Q'' e Q'''' sono indipendenti e, dati i loro valori, si possono ricavare P = P'Q''+2Q'P'' e Q = 3Q'Q'' (ma non viceversa!). Per materiale elastico P'' = 1, Q'' = 2G, P'''' = 1, Q'''' = 3K; per materiale incomprimibile: P'''' = 0 , Q'''' = 1, P'' = P/2 , Q'' = Q/3; per materiale con componente idrostatica perfettamente elastica: P''''=1, Q''''= 3K, P'' = P/6K - Q/54K2, Q'' = Q/9K, per cui P = 2P''+ Q''/3K, Q = 3Q''. Passando alle componenti distorsive di tensione e deformazione sij ed eij (perché, come si è detto, la parte idrostatica è assunta perfettamente elastica) si può scrivere W*D = ΣKKsij[d(KeDij)/dt] (17) in cui la sommatoria è estesa a tutti i rami del modello. L'espansione di Eqn. (17) in termini di costanti del materiale e di sollecitazioni applicate è laboriosa ma non presenta difficoltà concettuali per modelli fino a tre parametri (o per ''combinazioni' di modelli semplici). Si deve notare che l''imprecisione di Eqn. (17) nel descrivere il comportamento dei materiali reali può essere rilevante ai fini delle analisi strutturali, e deriva a) dall''imprecisione intrinseca delle relazioni costitutive in quanto modelli imperfetti della realtà, b) dall''assunzione della non dissipatività delle componenti idrostatiche, c) dalla tridimensionalizzazione dello stato tensionale-deformativo per il modello ''a molle e smorzatori' e, infine, d) dalla formulazione stessa di Eqn. (17) che deriva dal modello a parametri concentrati (approssimazione intrinseca del calcolo dell''energia che è accettabile per situazioni tendenzialmente uniassiali ma non accreditabile di assoluto rigore teorico in casi ''tridimensionali'). Si può affermare che il valore di W*D determinato con Eqn. (17) approssima per difetto la dissipazione reale con errore tanto minore quanto meno comprimibile è il materiale reale (perché tendono ad annullarsi le cause b) e c) di imprecisione) e quanto più una componente della tensione è preponderante rispetto alle altre. Per materiali con sensibile comprimibilità (coefficiente di Poisson inferiore a 0.45) vanno usate le componenti globali dello stato
tensionale-deformativo (i.e. ' e ε). Nel caso di scambio termico nullo, Eqn. (16) diventa dT/dt = W*D/(ρC!) - C(d!KK/dt) (18) dove il secondo membro è costituito da un termine sempre positivo (quello della dissipazione) e da un termine con segno opposto a quello delle variazioni volumetriche. Ne 292 consegue che la variazione di temperatura è il risultato di due comportamenti, elastico e dissipativo, che possono essere contrastanti (per d!KK/dt > 0) o concordi (per d!KK/dt < 0). Variazioni delle deformazioni distorsive portano sempre ad un aumento della temperatura. Per alcuni elastomeri (gomme) o fusi polimerici, per i quali vale la cosiddetta Elasticità Entropica, le relazioni presentate in questa sezione non valgono e ad una deformazione corrisponde sempre un aumento di temperatura. 4. VALUTAZIONE DELLA DISSIPAZIONE NEI POLIMERI ELASTOMERICI
Come applicazione si riporta il calcolo della W*D per il modello viscoelastico Solido di Zener, Fig. (1), che è il modello più usato nella descrizione delle deformazioni viscoelastiche dei materiali strutturali (gomme e materie plastiche in particolare), costituito da un Solido di Kelvin, Fig. (2), in serie con una molla, con relazione costitutiva [5]: P ' = ' + "#"p1d'/dt = q0! + q1d!/dt = Q! (19) dove:
'' q1/p1 = E0 = E1 modulo istantaneo '' q1 = E1η/(E1 + E2)
'' q0 = E'' = E1E2/(E1 + E2) modulo di rilassamento '' p1 = 'R = η/(E1 + E2) tempo di rilassamento '' q1/q0 = 'C = η/E2 tempo di creep ('C = 'RE0/E'' >'R) La funzione di creep risulta: ( ) ! !
" # $ $
% & '' + = ' '' '' ' '' C C t 0 t e 1 E 1 E e t J (20) mentre la funzione di rilassamento è ( ) ( ) R t 0 e E E E t Y ' '' '' '' '' + = (21) Figura 1. Modello di Zener. ' ' Ramo 2 E2 Ramo 3 η Ramo 1 E1 293 Applicando una sollecitazione a gradino in deformazione per il tempo t1 si ha (se t > t1): ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) R R 1 t t 0 0 1 0 e 1 e E E t t Y t Y t ' '' ' '' ! !
" # $ $
% & '' '' ε = '' '' ε = ' (22) dove si può notare che la tensione non si annulla immediatamente all'istante t1. Chiamata i! (i ') la componente della deformazione (tensione) del ramo i-esimo del modello di Zener si può scrivere
1! = '/E1 = 'p1/q1 3! = 2! = ! - 1! ' = 1' = 2' + 3' (23) 2! = 2 '/E2 3 ' = ηd(3!)/dt L''Equazione (19), per mezzo delle Eqn. (23)I e (23)II diventa l''equazione del Solido di Kelvin ''interno', Fig. (2), '(q1 '' q0p1)/q1 = 3!q0 + q1d(3!)/dt (24) con η = q12/(q1 '' q0p1) e E2 = q1q0/(q1 '' q0p1). L''Equazione (24) permette di determinare 3! dato '(t) e 3' con Eqn. (23)V. La potenza dissipativa si può determinare con Eqn. (17) espandendo in termini tridimensionali Eqn. (24). Supponendo in questo caso che il materiale sia incomprimibile (come accade virtualmente per gli elastomeri), Eqn. (24) diventa sij3(q1 '' q0p1)/2q1 = 3eijq0 + q1d(3eij)/dt (24 bis) cioè
sij = 3eijQ0 + Q1d(3eij)/dt (24 ter) dove Q0 = 2q1q0/3(q1 - q0p1) (25) Q1 = 2q12/3(q1 - q0p1) Figura 2. Modello di Kelvin (Voigt). E2 η 294 L''Equazione (23)V diventa 3sij = [2q12/3(q1 - q0p1)]d(3eij)/dt = Q1d(3eij)/dt (26) e quindi Eqn. (17) diventa [6]
W*D = 3sijd(3eij)/dt = Q1[d(3eij)/dt][d(3eij)/dt] (27) Per una forzante a gradino in tensione sij = s0ijH(t), si ha da Eqn. (24bis) d(3eij)/dt = s0ij[3(q1 - q0p1)/2q12]exp(- q0t/q1) (28) W*D-ZENER-STEP = [s0ijs0ij3(q1 '' q0p1)/2q12]exp(- 2q0t/q1) (27 bis) Nel caso di una gomma si può trascurare la trasmissione del calore e (tenendo conto anche dell''incomprimibilità) localmente Eqn. (16) diventa con Eqn. (27 bis) [dT/dt]GOMMA = W*D-ZENER-STEP/ρC! = [s0ijs0ij3(q1 '' q0p1)/2q12ρC!]exp(- 2q0t/q1) (16 bis)
dove, per sensibili variazioni di T, va tenuto conto della dipendenza da T delle costanti del modello del materiale (time-temperature shift). Per una sollecitazione ciclica forzante in tensione sij = s0ijsen't ( trascurando il transitorio)
3eij = s0ij(J1sen't '' J2cos't) (29) dove, per Eqn. (24 bis) e (24 ter), J1 = Q0/(Q02 + '2Q12) (30) J2 = 'Q1/(Q02 + '2Q12) Quindi, con Eqn. (29), (26) e (27) si può scrivere d(3eij)/dt = 's0ij(J1cos't + J2sen't) (31) W*D-ZENER-SIN = Q1s0ijs0ij['(J1cos't + J2sen't)]2 (27 ter) 5. CONCLUSIONI
L''Equazione (27) permette di determinare a) l''evoluzione della temperatura T nel corpo se inserita in adeguate equazioni di equilibrio termico (che tengano conto di: andamento spazio-temporale delle sollecitazioni, conduzione termica del materiale, time-temperature shift e condizioni termiche al contorno del corpo), e b) la potenza dissipativa e quindi l''energia assorbita (e non restituita) dalla struttura durante il servizio. I risultati presentati sono facilmente applicabili alle analisi su corpi realizzati con materiali modellati con serie di Solidi di Kelvin, sommando i contributi energetici di ogni singolo componente del modello. REFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
[1] Booley B. A., Weiner J. H., 1960, Theory of Thermal Stresses, J. Wiley & Sons, New York. [2] Sarti G. C., Medri G., 1985, ''Thermodynamic Basis for Viscoelastic and Non isothermal Fracture Mechanics'. Theoretical and Applied Fracture Mechanics Journal, 4 (3), pp. 175 '' 179. 295 [3] Duhamel J. M. C., 1837. ''Second mémoire sur le phénomènes thermomécaniques'. Journal de l''Ecole Polytechnique. 15 (25), pp. 1 '' 57. [4] Biot M. A., 1954. ''Theory of Stress-Strain Relaxations in Anisotropic Viscoelasticity and Relaxation Phenomena'. Journal of Applied Physics, 25 (11), pp. 1385 '' 1391. [5] Flugge W., 1975, Viscoelasticity, Springer Verlag, New York. [6] Medri G., 1988. ''Coupled Thermoviscoelasticity: a Way to the Stress-Strain Analysis of Polymeric Industrial Components''. Meccanica, 23 (4), pp. 226 '' 231. 296 EFFECT OF THE BOUNDARY CONDITIONS ON THE
VIBRATIONS OF FUNCTIONALLY GRADED SHELLS


Angelo Oreste Andrisano
Department of Mechanical and Civil Engineering,
University of Modena and Reggio Emilia, Italy
E-mail: angelooreste.andrisano@unimore.it

Francesco Pellicano
Department of Mechanical and Civil Engineering,
University of Modena and Reggio Emilia, Italy
E-mail: francesco.pellicano@unimore.it

Matteo Strozzi
Department of Mechanical and Civil Engineering,
University of Modena and Reggio Emilia, Italy
E-mail: matteo.strozzi@unimore.it


Abstract. In this paper, the effect of the boundary conditions on the nonlinear vibrations of
functionally graded (FGM) cylindrical shells is analyzed. The Sanders-Koiter theory is
applied to model the nonlinear dynamics of the system in the case of finite amplitude of
vibration. The shell deformation is described in terms of longitudinal, circumferential and
radial displacement fields. Simply supported, clamped and free boundary conditions are
considered. The displacement fields are expanded by means of a double mixed series based
on Chebyshev polynomials for the longitudinal variable and harmonic functions for the
circumferential variable. Numerical analyses are carried out in order to characterize the
nonlinear response when the cylindrical shell is subjected to a harmonic external load; a
convergence analysis is carried out by considering a different number of axisymmetric and
asymmetric modes. The analysis is focused on determining the nonlinear character of the
response as the geometry (thickness, radius) and boundary conditions of the shell vary.

Keywords: functionally graded, cylindrical shells, nonlinear vibrations
1. INTRODUCTION
Functionally graded materials (FGMs) are composite materials obtained by combining and
mixing two or more different constituent materials, which are distributed along the
thickness in accordance with a volume fraction law. Most of the FGMs are employed in the
high-temperature environments because of their heat shielding capacity.
The idea of FGMs was first introduced in 1984/87 by a group of Japanese material
scientists [1]. They studied many different physical aspects such as temperature and thermal
stress distributions, static and dynamic responses.
Loy et al. [2] analyzed the vibrations of the circular cylindrical shells made of FGM,
considering simply supported boundary conditions. They found that the natural frequencies
are affected by the constituent volume fractions and configurations of the materials. 297 Pradhan et al. [3] studied the vibration characteristics of FGM cylindrical shells made
of stainless steel and zirconia, under different boundary conditions. They found that the
natural frequencies depend on the material distributions and boundary conditions.
Leissa [4] analyzed the linear dynamics of shells having different topologies, materials
and boundary conditions, considering the most important shell theories, such as Donnell,
Flugge and Sanders-Koiter.
Yamaki [5] studied buckling and post-buckling of the shells in the linear and nonlinear
field, reporting the solution methods, numerical and experimental results.
A modern treatise on the shells dynamics and stability can be found in Ref. [6], where
also FGMs are considered.
Pellicano et al. [7] considered the effect of the geometry on the nonlinear vibrations of
homogeneous isotropic shells, leading to similar conclusions of the present work.
The method of solution used in the present work was presented in Ref. [8].
In Refs. [9-10] the effect of the boundary conditions on the vibrations of circular
cylindrical shells is considered.
In this paper, the effect of the boundary conditions on the nonlinear vibrations of FGM
cylindrical shells is analyzed.
The Sanders-Koiter theory is applied to model the nonlinear dynamics of the system in
the case of finite amplitude of vibration.
The shell deformation is described in terms of longitudinal, circumferential and radial
displacement fields.
The theory considers geometric nonlinearities due to large amplitude of vibration.
Simply supported, clamped and free boundary conditions are considered.
The FGM is made of a uniform distribution of stainless steel and nickel, and the
material properties are graded in the thickness direction, according to a volume fraction
power-law distribution.
The solution method consists of two steps:
1) linear analysis and eigenfunctions evaluation;
2) nonlinear analysis, using an eigenfunction based expansion.
In the linear analysis, the displacement fields are expanded by means of a double series
based on harmonic functions for the circumferential variable and Chebyshev polynomials
for the longitudinal variable.
A Ritz based method allows to obtain the approximate natural frequencies and mode
shapes (eigenvalues and eigenvectors).
In the nonlinear analysis, the three displacement fields are re-expanded by using the
approximate eigenfunctions.
An energy approach based on the Lagrange equations is then considered, in order to
reduce the nonlinear partial differential equations to a set of nonlinear ordinary differential
equations.
Numerical analyses are carried out in order to characterize the nonlinear response when
the shell is subjected to a harmonic external load.
A convergence analysis is carried out to obtain the correct number of axisymmetric and
asymmetric modes able to describe the actual nonlinear behaviour of the shells.
The effect of the geometry on the nonlinear vibrations of the shells is analyzed, and a
comparison of nonlinear amplitude-frequency curves of the FGM cylindrical shells with
different geometries is carried out.
The influence of the boundary conditions on the natural frequencies and nonlinear
responses of the shells is analyzed. 298 2. EQUATIONS OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIALS
A generic material property '' of an FGM depends on the material properties and the volume fractions of the constituent materials, and it is expressed in the form [2] '' ('', ') = '' ('')'' (')                                                           (1) where '' and '' are the material property and volume fraction of the constituent material '',
respectively.
The material property '' of a constituent material can be described as a function of the
environmental temperature ''(K) by   Touloukian''s   relation   [2] (the index '' is dropped for
the sake of simplicity) ''('') = '' ('' '' + 1 + '' '' + '' '' + '' '' )                                        (2) where '' , '' , '' , '' and '' are the coefficients of temperature of the constituent material.
In the case of an FGM thin cylindrical shell with a uniform thickness '' and a reference
surface at its middle surface, the volume fraction '' of a constituent material can be written
as [2] '' (') = '   + ''/2 ''                                                                   (3) where the power-law exponent ' is a positive real number, (0 ' ' ' ''), and ' describes
the radial distance measured from the middle surface of the shell, (''''/2 ' ' ' ''/2), see
Fig. 1.
For an FGM thin cylindrical shell made of two different constituent materials 1 and 2,
the volume fractions '' and '' can be written in the following form [3] '' (') = 1 '' ' + ''/2 ''          '' (') = ' + ''/2 ''           '' (') + '' (') = 1          (4) where the sum of the volume fractions of the constituent materials is equal to unity.
Young''s  modulus  𝐸,  Poisson''s  ratio  '' and mass density '' are expressed as [3] 𝐸 ('', ') = 𝐸 ('') '' 𝐸 ('') '   + '' 2 '   '' + 𝐸 ('')                             (5) '' ('', ') = '' ('') '' '' ('') '   + '' 2 '   '' + '' ('')                              (6) '' ('', ') = '' ('') '' '' ('') '   + '' 2 '   '' + '' ('')                            (7) 299 3. SANDERS-KOITER THEORY OF CIRCULAR CYLINDRICAL SHELLS
In Figure 1, an FGM circular cylindrical shell having radius '', length 𝐿 and thickness '' is
represented; a cylindrical coordinate system (''; ', '', ') is considered in order to take
advantage from the axial symmetry of the structure, the origin ''  of the reference system is
located at the centre of one end of the shell. Three displacement fields are represented in
Fig. 1: longitudinal '(', '', '), circumferential '(', '', ') and radial '(', '', '). Elastic Strain Energy, Kinetic Energy, Virtual Work, Damping Forces
The Sanders-Koiter nonlinear theory of circular cylindrical shells, which is an eight-order
shell   theory,   is   based   on   the   Love''s   ''first   approximation'   [4].   The strain components ('' , '' , ' ) at an arbitrary point of the shell are related to the middle surface strains '' , , '' , , ' , and to the changes in the curvature and torsion ('' , '' , '' ) of the middle surface of the shell by the following relationships [5] '' = '' , + '''            '' = '' , + '''            ' = ' , + '''                      (8) where ' is the distance of the arbitrary point of the cylindrical shell from the middle surface
and (', '') are the longitudinal and angular coordinates of the shell, see Fig. 1. Figure 1. Geometry of the functionally graded cylindrical shell. (a) Complete shell; (b) cross-section of the shell surface. h O x v u w R L h u (a) v θ w R z h (b) 300 The middle surface strains and changes in curvature and torsion are given by [5] '' , = ''' 𝐿'''' + 1
2 ''' 𝐿'''' + 1
8 ''' 𝐿'''' '' ''' '''''' + ''' 𝐿'''' ''' 𝐿'''' '' , = ''' '''''' + ' '' + 1
2 ''' '''''' '' ' '' + 1
8 ''' '''''' '' ''' 𝐿'''' + ''' '''''' ''' '''''' '' ' '' ' , = ''' '''''' + ''' 𝐿'''' + ''' 𝐿'''' ''' '''''' '' ' '' + ''' 𝐿'''' ''' '''''' '' ' '' + ''' 𝐿'''' ''' ''''''  '' = '' '' ' 𝐿 ''''     '' = ''' '' '''' '' '' ' '' ''''      '' = ''2 '' ' 𝐿'''''''''' + 1 2'' 3 ''' 𝐿'''' '' ''' ''''''     (9) where ('' = '/𝐿) is the nondimensional longitudinal coordinate.
In the case of FGMs, the stresses are related to the strains as follows [6] '' = 𝐸(') 1 '' '' (') ('' + ''(')'' )   '' = 𝐸(') 1 '' '' (') ('' + ''(')'' )   ' = 𝐸(') 2 1 + ''(') ' (10) where  𝐸(') is  the  Young''s  modulus  and  ''(') is  the  Poisson''s  ratio ('' = 0, plane stress).
The elastic strain energy '' of a cylindrical shell is given by [6] '' = 1
2 𝐿'' ('' '' + '' '' + ' ' ) / / '''''''''''                       (11) The kinetic energy '' of a cylindrical shell (rotary inertia effect is neglected) is given
by [6] '' = 1
2 𝐿'' ''(') / / ('' + '' + '' ) '''''''''''                          (12) where ''(') is the mass density of the shell.
The virtual work '' done by the external forces is written as [6] '' = 𝐿'' ('' ' + '' ' + '' ')''''''''                                    (13) with ('' , '' , '' ) as distributed forces in longitudinal, circumferential and radial direction.
The nonconservative damping forces are assumed to be of viscous type and are taken
into account by using Rayleigh''s  dissipation  function  (viscous damping coefficient ') [6] 𝐹 = 1
2 '𝐿'' ('' + '' + '' ) ''''''''                                      (14) 301 4. VIBRATION ANALYSIS
In order to carry out the dynamic analysis of the shell a two-steps procedure is considered
[8]: i) the Rayleigh-Ritz method is applied to the linearized formulation of the problem, in
order to obtain an approximation of the eigenfunctions; ii) the displacement fields are re-
expanded using the approximate eigenfunctions, the Lagrange equations are considered in
conjunction with the fully nonlinear expression of the potential energy, in order to obtain a
set of nonlinear ordinary differential equations in modal coordinates. Linear Vibration Analysis: Discretization Approach
In order to carry out a linear vibration analysis only the quadratic terms are retained in Eqn. (11). A modal vibration, i.e. a synchronous motion, is obtained in the form [8] '('', '', ') = ''('', '')''(')       '('', '', ') = ''('', '')''(')       '('', '', ') = ''('', '')''(')      (15) where '('', '', '), '('', '', '), '('', '', ') are the displacement fields, ''('', ''), ''('', ''), ''('', '')
represent the modal shape, ''(') describes the time law, which is supposed to be the same
for each displacement field (synchronous motion hypothesis). The components of the modal shape are expanded by means of a double mixed series: the periodicity of deformation in the circumferential direction suggests the use of harmonic
functions (cos '''' , sin ''''), while Chebyshev orthogonal polynomials are considered in the
longitudinal direction '''' ('') [8] ''('', '') = '' , '''' ('') cos ''''             ''('', '') = '' , '''' ('')'''''  ''''   ''('', '') = '' , '''' ('') cos ''''                                      (16) where '''' ('') = '' (2'' '' 1), '' is the number of longitudinal half-waves, '' is the number
of nodal diameters and '' , , '' , , '' , are the generalized coordinates. Simply Supported '' Simply Supported Boundary Conditions
Simply supported '' simply supported (S '' S) boundary conditions are given by [4] ' = 0            ' = 0            '' = 0            ' = 0                 for     '' = 0,1                  (17) The previous conditions imply the following equations [8] '' , '''' ('') = 0                ''''[0,2'']            ''''[0, ']                      for      '' = 0,1            (18) 302 '' , '''' ('') = 0                 ''''[0,2'']            ''''[0, ']                     for      '' = 0,1             (19) '' , '' ,'' ('') = 0            ''''[0,2'']            ''''[0, ']                    for      '' = 0,1             (20) '' , '' ,'' ('') = 0               ''''[0,2'']           ''''[0, ']                    for      '' = 0,1             (21) The linear algebraic system given by Eqns. (17)  can be solved analytically in terms of
the coefficients '' , , '' , , '' , , '' , , '' , , '' , , '' , , '' , , for ''''[0, ']. Clamped '' Clamped Boundary Conditions
Clamped '' clamped boundary conditions are given by [4] ' = 0                 ' = 0                  ' = 0                  ', = 0                for      '' = 0,1             (22) The previous conditions imply the following equations [8] '' , '''' ('') = 0                  ''''[0,2'']            ''''[0, ']                    for      '' = 0,1            (23) '' , '''' ('') = 0                  ''''[0,2'']            ''''[0, ']                     for      '' = 0,1            (24) '' , '''' ('') = 0                 ''''[0,2'']            ''''[0, ']                      for      '' = 0,1            (25) '' , '' ,'' ('') = 0              ''''[0,2'']            ''''[0, ']                      for      '' = 0,1           (26) The linear algebraic system given by Eqns. (22)  can be solved analytically in terms of
the coefficients '' , , '' , , '' , , '' , , '' , , '' , , '' , , '' , , for ''''[0, ']. Free '' Free Boundary Conditions
Free '' free (F '' F) boundary conditions are given by [4] ' = 0         ' + '' '' = 0         '' = 0         '' + 1 '' '''' '''' = 0         for     '' = 0,1         (27) 303 where forces and moments are given by [4] ' = 𝐸'' 1 '' '' '' , + '''' ,       ' = 𝐸'' 2(1 + '') ' ,      '' = 𝐸'' 12(1 '' '' ) ('' + '''' )         '' = 𝐸'' 24(1 + '') ''          '' = 𝐸'' 12(1 '' '' ) '' , + '''' , + 𝐸'' 24(1 + '') '' ,         (28) In this case, all   the   boundary   conditions   are   ''natural',   i.e.,   they   involve   essentially  
''forces'.  In  such  a  case,  it  is  well  known  that  the  Ritz procedure can be applied even if the
natural boundary conditions are not respected; therefore, here no boundary conditions are
imposed for the free-free case. Linear Vibration Analysis: Rayleigh-Ritz Procedure
The maximum number of variables needed for describing a generic vibration mode can be
calculated by the following relation ' = '' + '' + '' + 3 '' '' , with ('' = '' =
'' ) as maximum degree of the Chebyshev polynomials and '' as number of equations for
the boundary conditions considered.
For a multi-mode analysis including different nodal diameters, the number of degrees
of freedom of the system is computed by the relation ' = ' ' (' + 1) , where ' describes the maximum number of nodal diameters considered.
Equations (15)  are inserted in the expressions of '' and '' (Eqns. (11 '' 12)).
Consider now the Rayleigh quotient ''(𝐪) = '' , where '' is the maximum of the potential energy, '''' = , '' is the maximum of the kinetic energy, '' is the circular frequency of the harmonic motion, 𝐪 = ' , '' , , '' , , '' , , '   is a vector containing all
the unknowns.
After imposing the stationarity to the Rayleigh quotient, one obtains the eigenvalue
problem [8] ('''' ' + ')𝐪 = ''                                                              (29) which furnishes natural frequencies and modes of vibration (eigenvalues and eigenvectors)
of the system.
The modal shape is given by the Eqns. (16), where coefficients ('' , , '' , , '' , ) are
substituted with ('' , ( ) , '' , ( ) , '' , ( ) ), which are the components of the j-th eigenvector 𝐪 of the Eqn. (29).
The vector function '( )('', '') = ''( )('', ''), ''( )('', ''), ''( )('', '') represents an
approximation of the j-th mode of the original problem; the eigenfunctions obtained are
normalized by imposing ''''' ''''' ''( )('', '') , ''''' ''( )('', '') , ''''' ''( )('', '') = 1, see Ref. [8] for explanation. Nonlinear Vibration Analysis: Lagrange Equations
In the nonlinear vibration analysis, the full expression of the elastic strain energy (11),
containing terms up to the fourth order (cubic nonlinearity), is considered. 304 The displacement fields '('', '', '), '('', '', '), '('', '', ') are then expanded by using the
linear mode shapes ''('', ''), ''('', ''), ''('', '') obtained in the previous section [8] '('', '', ') = ''( )('', '')'' , (') '('', '', ') = ''( )('', '')'' , (') '('', '', ') = ''( )('', '')'' , (')                                           (30) These expansions respect exactly the boundary conditions except for the free case; the
synchronicity is relaxed as for each mode and each component (', ', ') different time laws
are allowed.
Mode shapes ''( )('', ''), ''( )('', ''), ''( )('', '') are known functions expressed in terms
of polynomials and harmonic functions.
The Lagrange equations for forced vibrations are expressed in the following form [8] '' ''' ''𝐿 ''''' '' ''𝐿 '''' = ''            for  ''''[1, ' ]             (𝐿 = '' '' '' )                      (31) where the modal coordinates are now ordered in a vector 𝐪(') = ' '' , , '' , , '' , , ' , ' depends on the number of modes considered in the expansions (30).
The generalized forces '' are obtained by differentiation  of  the  Rayleigh''s  dissipation  
function 𝐹 (14) and the virtual work done by external forces '' (13), in the form [8] '' = '' ''𝐹 ''''' + '''' ''''                                                                  (32) Expansions (30) are inserted into strain energy (11), kinetic energy (12), virtual work
of the external forces (13) and damping forces (14).
Using Lagrange Eqns. (31), a set of nonlinear ordinary differential equations (ODE) is
then obtained. 5. NUMERICAL RESULTS
In this section, the nonlinear vibrations of functionally graded circular cylindrical shells
with different modal shape expansions, geometries and boundary conditions are analyzed.
Analyses are carried out on an FGM made of stainless steel and nickel.
FGM properties are graded in the thickness direction according to a volume fraction
distribution, where ' is the power-law exponent.
The material properties against coefficients of temperature at '' = 300K are reported in
Tab. 1 [2]. 305 Table 1. Properties of stainless steel and nickel against coefficients of temperature. stainless  steel nickel E ν ρ E ν ρ P 2.0 ' 10  Nm 0.326 8166  kgm 2.2 ' 10  Nm 0.310 8900  kgm P 0  K 0  K 0  K 0  K 0  K 0  K P 3.1 ' 10  K ''2.0 ' 10  K 0  K ''2.8 ' 10  K 0  K 0  K P ''6.5 ' 10  K 3.8 ' 10  K 0  K ''4.0 ' 10  K 0  K 0  K P 0  K 0  K 0  K 0  K 0  K 0  K P 2.1 ' 10  Nm 0.318 8166  kgm 2.0 ' 10  Nm 0.310 8900  kgm Nonlinear Response Convergence Analysis
The convergence analysis is carried out on a simply supported cylindrical shell excited with
an harmonic force; the excitation frequency is close to the mode ('', '').
The convergence is checked by adding suitable modes to the resonant one:
asymmetric modes ('' ' '', '' ' '')  '' = 1,3  '' = 1,2,3 due to the presence both of quadratic
and cubic nonlinearities;
axisymmetric modes ('', 0)  '' = 1,3,5,7 due to the quadratic nonlinearities.
The convergence analysis is then developed by introducing a different number of
asymmetric and axisymmetric modes in the expansions of the displacement fields ', ', ',
see Tab. 2.
The FGM cylindrical shell is excited by means of an external modally distributed radial
force '' = '' , sin '' cos 6'' cos Ω'; the amplitude of excitation is '' , = 0.0012'' '''' , and
the frequency of excitation ' is close to the mode (1,6), Ω '' '' , .
The external forcing '' , is normalized with respect to mass, acceleration and thickness;
the damping ratio is equal to '' , = 0.0005.
The nonlinear amplitudes '' , , '' , , '' , of expansions (30) refer to the displacement
fields ', ', ' of the mode (1,6), respectively.
In Figure 2, a comparison of nonlinear amplitude-frequency curves of the cylindrical
shell (''/'' = 0.002, 𝐿/'' = 20, ' = 1) with different nonlinear expansions is shown; the
shell is very thin and long.
The nonlinear 6 dof model describes a wrong softening nonlinear behaviour, while the
higher-order nonlinear expansions converge to a hardening nonlinear behaviour.
Higher- order models (dof from 9 to 18) behave quite similarly, this means that in this
case the accuracy is acceptable for the 9 dof model.

Table 2. Asymmetric and axisymmetric modes inserted in the different nonlinear models. 6  dof  model 9  dof  model 12  dof  model 15  dof  model 18  dof  model mode  (1,6)  u, v, w mode  (1,6)  u, v, w mode  (1,6)  u, v, w mode  (1,6)  u, v, w mode  (1,6)  u, v, w mode  (1,12)  v mode  (1,12)  v mode  (3,6)  u, v, w mode  (3,6)  u, v, w mode  (3,6)  u, v, w mode  (1,0)  u, w mode  (3,12)  v mode  (1,12)  v mode  (1,12)  v mode  (1,12)  v mode  (1,0)  u, w mode  (3,12)  v mode  (3,12)  v mode  (3,12)  v mode  (3,0)  u, w mode  (1,0)  u, w mode  (1,18)  v mode  (1,18)  v mode  (3,0)  u, w mode  (1,0)  u, w mode  (3,18)  v mode  (3,0)  u, w mode  (1,0)  u, w mode  (5,0)  u, w mode  (3,0)  u, w mode  (5,0)  u, w
mode  (7,0)  u, w 306 Figure  2.  Comparison  of  nonlinear  amplitude-frequency  curves  of  the  cylindrical  shell   (h/R = 0.002, L/R = 20, p = 1).  ''''',  6  dof  model;;  '''' ''',  9  dof  model;; '' '',  12  dof  model;;  '''' '' ''',  15  dof  model;;  ''''',  18  dof  model.

Figure  3.  Comparison  of  nonlinear  amplitude-frequency  curves  of  the  cylindrical  shell   (h/R = 0.025, L/R = 20, p = 1).  ''''',  6  dof  model;;  '''' ''',  9  dof  model;;   '' '',  12  dof  model;;  '''' '' ''',  15  dof  model;;  ''''',  18  dof  model. 0.99 0.992 0.994 0.996 0.998 1 1.002 1.004 1.006 1.008 1.01 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 / 1,6 Ma x [f w, 1 (t )/ h ] 6 dof model
9 dof model
12 dof model
15 dof model
18 dof model 6 dof model 18 dof model 0.99 0.992 0.994 0.996 0.998 1 1.002 1.004 1.006 1.008 1.01 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 / 1,6 Ma x [f w, 1 (t )/ h ] 6 dof model
9 dof model
12 dof model
15 dof model
18 dof model 6 dof model 18 dof model 307 In Figure 3, a comparison of nonlinear amplitude-frequency curves of the cylindrical
shell (''/'' = 0.025, 𝐿/'' = 20, ' = 1) with different nonlinear expansions is shown; the
shell is moderately thick and long.
The nonlinear 6 dof model describes a wrong slightly hardening nonlinear behaviour,
the higher-order nonlinear expansions converge to a softening nonlinear behaviour.
Also in this case, the models having 9-18 dof behave quite similarly.
In Figure 4, a comparison of nonlinear amplitude-frequency curves of the cylindrical
shell (''/'' = 0.050, 𝐿/'' = 20, ' = 1) with different nonlinear expansions is shown: the
nonlinear 6 dof model describes a wrong softening nonlinear behaviour, the higher-order
nonlinear expansions converge to a hardening nonlinear behaviour.
The shell is slightly thicker than that of Fig. 3, but now the behaviour is hardening.
From these convergence analyses, one can say that the 9 dof model gives satisfactory
results with the minimal computational effort; therefore, in the following, the 9 dof model
will be used.
Considering a generic resonant mode ('', ''), the expansion is: modes ('', ''), (1,0), (3,0) in the longitudinal displacement field '
modes ('', ''), ('', 2''), (3'', 2'') in the circumferential displacement field '
modes ('', ''), (1,0), (3,0) in the radial displacement field ' After selecting such modes, each expansion present in the Eqns. (30) is reduced to a
three-terms modal expansion; the resulting nonlinear system has 9 dof.
It is to note that the present convergence analysis confirms the results available in the
literature: in the nonlinear field, axisymmetric modes play a role of primary importance.

Figure  4.  Comparison  of  nonlinear  amplitude-frequency  curves  of  the  cylindrical  shell   (h/R = 0.050, L/R = 20, p = 1).  ''''',  6  dof  model;;  '''' ''',  9  dof  model;;   '' '',  12  dof  model;;  '''' '' ''',  15  dof  model;;  ''''',  18  dof  model. 6 dof model 0.99 0.992 0.994 0.996 0.998 1 1.002 1.004 1.006 1.008 1.01 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 / 1,6 Ma x [f w, 1 (t )/ h ] 6 dof model
9 dof model
12 dof model
15 dof model
18 dof model 6 dof model 18 dof model 308 Effect of the Geometry
The goal of the present section is to clarify the role of the geometric parameters '', 𝐿, '' and
in particular their ratios '' '' ' and 𝐿 '' ' on the nonlinear response of FGM shells. In Figure 5, a comparison of nonlinear amplitude-frequency curves of simply supported
shells with different geometries is shown.
This figure represents the maximum of the modal amplitude '' , (') of the mode (1,6)
(normalized by the thickness '' of the shell) versus the frequency of the external excitation
Ω (normalized by the frequency '' , of the driven mode).
The nonlinear response is: hardening in the case (''/'' = 0.002, 𝐿/'' = 20, ' = 1)
softening in the case (''/'' = 0.025, 𝐿/'' = 20, ' = 1)
hardening in the case (''/'' = 0.050, 𝐿/'' = 20, ' = 1) The nonlinear response of the thicker shell (''/'' = 0.050) is more hardening than the
thinner one (''/'' = 0.002).
A wide intermediate interval of thicknesses gives rise to softening type behaviour.
Effect of the Boundary Conditions on the Nonlinear Response
In the present section, the effect of the boundary conditions on the natural frequencies and
nonlinear responses of the shells is analyzed. Simply supported '' simply supported (S '' S),
clamped '' clamped (C '' C), clamped '' simply supported (C '' S), clamped '' free (C '' F),
simply supported '' free (S '' F) and free '' free (F '' F) boundary conditions are considered.


Figure 5. Comparison of nonlinear amplitude-frequency curves of simply supported shells with different geometries, 9 dof model. ''''',  (h/R = 0.002, L/R = 20, p = 1);
'' '' ''',  (h/R = 0.025, L/R = 20, p = 1); '''' '' ''',  (h/R = 0.050, L/R = 20, p = 1). 0.99 0.992 0.994 0.996 0.998 1 1.002 1.004 1.006 1.008 1.01 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 / 1,6 Ma x [f w, 1 (t )/ h ] h / R = 0.002, L / R = 20, p = 1
h / R = 0.025, L / R = 20, p = 1
h / R = 0.050, L / R = 20, p = 1 simply supported boundary conditions stainless steel on the outer surface and nickel on the inner surface 309 In Figure 6, the natural frequencies of the FGM shell (''/'' = 0.002, 𝐿/'' = 20, ' = 1)
under various boundary conditions are shown.
For all the six boundary conditions, the frequencies initially decrease and then increase
as the circumferential wavenumber '' increases (number of longitudinal half-waves '' = 1).
For all the boundary conditions, the minimum frequency occurs in between '' = 2 and '' = 4 (note that the minimum is also influenced by the ratios '' '' ' and 𝐿 '' ' ); the natural frequencies converge for '' > 6, i.e., the effect of the boundary conditions on the natural
frequencies is prominent for low circumferential wavenumbers '' '' [1,5] and disappears for
higher circumferential wavenumbers, when the corresponding six natural frequency curves
merge into a single curve.
In particular, for '' '' [1,5], the value of the natural frequency for the F '' F shell is the
highest one, followed by the C '' F, C '' C, S '' F, C '' S and S '' S values, in that order.
In Figure 7, a comparison of nonlinear amplitude-frequency curves of the cylindrical
shell (''/'' = 0.002, 𝐿/'' = 20, ' = 1) for the driven mode (1,6) is shown; six different
boundary conditions are analyzed: the S '' S and C '' S behave similarly, the S '' F, C '' C
and C '' F behave similarly, the F '' F gives the strongest nonlinearity.


Figure 6. Variation of natural frequencies of the shell (''/'' = 0.002, 𝐿/'' = 20, ' = 1). '' ''''',  Free  '' Free; ''''',  Clamped  '' Free; '''' '' ''',  Clamped  '' Clamped; '' '',  Simply  '' Free; '''' ''',  Clamped  '' Simply; ''''', Simply '' Simply. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f (Hz) n m = 1 F - F C - F C - C S - F C - S S - S 310
Figure 7. Comparison of nonlinear amplitude-frequency curves of the cylindrical shell (h/R = 0.002, L/R = 20, p = 1). ''''', Simply '' Simply;;  '''' '' ''',  Clamped '' Clamped;
'' ''''',  Free  '' Free; '''' ''',  Clamped  '' Simply;;  ''''',  Clamped  '' Free;;  '''',  Simply  '' Free. 6. CONCLUSIONS
In this paper, the nonlinear vibrations of FGM circular cylindrical shells are analyzed; the
Sanders-Koiter theory is applied to model the nonlinear dynamics of the system in the case
of finite amplitude of vibration.
The functionally graded material is made of a uniform distribution of stainless steel and
nickel, and the material properties are graded in the thickness direction, according to a
volume fraction power-law distribution.
Numerical analyses are carried out in order to characterize the nonlinear response when
the shell is subjected to a harmonic external load.
A convergence analysis is carried out by introducing in longitudinal, circumferential
and radial displacement fields a different number of asymmetric and axisymmetric modes;
the fundamental role of the axisymmetric modes is confirmed, and the role of the higher-
order asymmetric modes is clarified in order to obtain the actual character of nonlinearity.
The effect of the geometry on the nonlinear vibrations of the FGM shells is analyzed:
very thin and thick shells show a hardening nonlinear behaviour, conversely, a softening
nonlinearity is found in a wide range of the shell geometries. This confirms the results
available in literature concerning homogeneous shells.
The effect of the boundary conditions on the natural frequencies and nonlinear
responses of the shells is analyzed. The effect of the boundary conditions on the natural
frequencies is prominent for the low circumferential wave numbers, and disappears for high
circumferential wave numbers. The boundary conditions strongly influence the nonlinear
character of the shell response. 0.996 0.997 0.998 0.999 1 1.001 1.002 1.003 1.004 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 / 1,6 Ma x [f w, 1 (t )/ h ] S - S
C - S
S - F
C - C
C - F
F - F m = 1 n = 6 311 REFERENCES [1] Technical Report, Japanese Government, 1987. Research on the Basic Technology for the Development of Functionally Gradient Materials for Relaxation of Thermal-stress. Science and
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Mechanical Sciences, 48, pp. 1126''1138. 312 ANALYSIS OF FRICTION IN TRANSIENT PIPE FLOW
USING NON-CONVENTIONAL MODELS


Giuseppe Catania
DIEM, Department of Mechanical Engineering,
University of Bologna, Italy
E-mail: giuseppe.catania@unibo.it

Silvio Sorrentino
DIMEC, Department of Mechanical and Civil Engineering,
University of Modena and Reggio Emilia, Italy
E-mail: silvio.sorrentino@unimore.it


Abstract. The design of hydraulic transmission lines for control and actuation requires
accurate knowledge of their dynamic response. Some standard techniques are known to
obtain a consistent dynamic model of a fluid line, including the contribution of inertia,
compressibility and friction.
In this paper an efficient procedure is developed for simulating frequency-dependent
friction in transient laminar liquid flow. This is investigated by means of a bi-dimensional
approach and the laminar flow frequency-dependent friction is modelled using non-integer
order derivatives, which may improve the accuracy of the simulated line response in
comparison with more traditional newtonian models.
The results of the theoretical analysis are compared with experimental data obtained from
frequency-response tests, and discussed in detail.

Keywords: friction, transient flow, fractional derivative.


1. INTRODUCTION Fluid transmission lines are employed in both hydraulic control and actuation of
mechanical devices in several industrial applications. For high speed running conditions as
well as fast transient operations, an accurate model of the dynamical response of the fluid
transmission line is generally required, in order to know the system critical behaviour and
its fuctionality limitations in advance. Fluid transmission lines have been extensively studied by several authors taking into account attenuation phenomena. These models range from the simplest approach, which
assumes a one dimensional uniformly distributed flow [1, 2], to more complex ones, in
which the effects of compressibility and frequency-dependent friction are considered as
well [3, 4]. A relevant problem consists of properly modelling the effects of fluid frequency- dependent friction. In several applications the fluids consist of mixtures including particles
affecting the properties of the resulting liquids, which may be treated as non-newtonian
viscoelastic fluids [5]. For this purpose, several analogical models or constitutive equations
have been proposed, most of them empirical or semiempirical. Attempts were made to fit
the properties of the fluid with conventional models, like the integer order Maxwell 313 viscoelastic model, but it was not possible to achieve satisfactory fittings of the
experimental data over a wide range of frequencies [6]. Recently, fractional calculus was successfully used to model the viscoelastic behaviour [6, 7, 8]. The starting point of a non integer derivative model of a non-newtonian fluid is
usually a classical differential equation modified by replacing the integer order time
derivatives by fractional calculus differential operators (i.e. non-integer order derivatives,
commonly called fractional derivatives). In this study the effects of fluid viscosity and compressibility are included to derive transfer functions and frequency response functions relating the average pressure and
displacement or velocity variables at two cross-sections of a fluid line. The transient
laminar flow in a circular, constant section pipe-line is investigated by means of a bi-
dimensional approach [9, 10, 11], modelling the flow frequency-dependent friction using a
non-integer order derivative constitutive law [7, 12], according to the Scott-Blair and the
fractional Maxwell models. The results of the theoretical analysis are compared with
experimental data obtained from frequency-response tests.

2. LINEAR MODEL OF A VISCOELASTIC FLUID
The constitutive equation of a viscoelastic fluid according to the linear fractional Maxwell
model is [5, 6, 7]:

(1)
where is the shear stress, is the shear strain, its first derivative with respect to time t is
the shear rate, f is a fractional relaxation time, f is a fractional viscosity coefficient, 1
and 2 are non-integer derivative orders, with 0 1 2 1 [5]. If f = 0 and 2 = 1, Eq. (1) reduces to the classical Newton model, in which case f = has the dimension of an absolute viscosity coefficient. If f = 0 and 2 < 1, Eq. (1) gives the
fractional Newton or Scott-Blair model [7]. If f 0 and 1 = 2 = 1, Eq. (1) yields the
integer order Maxwell model, in which case f = has the dimension of a relaxation time. Laplace transforming Eq. (1) yields:

(2)
in which (s) represents the complex viscosity of the fluid [6]. It is worth noting that the
modulus of (s) has the dimension of an absolute viscosity.

3. TRANSIENT FLOW EQUATIONS The transient flow in the pipe-line is modelled using linearized Navier-Stokes'' equations in
cylindrical coordinates. Assuming that:
1) the flow is laminar;
2) the elasticity of the pipe walls is negligible if compared with the fluid compressibility;
3) the temperature and pressure variations are small enough so that both the fluid viscosity
and density may be considered to be constant;
4) the body forces are null;
5) the mean fluid velocity is less than the acoustic velocity in the fluid; 314 6) the fluid velocity in the circumferential direction is null, due to rotational symmetry;
7) the pressure is constant across the cross-section. Consequently, referring to Fig.1, the Navier-Stokes'' equations can be simplified in the following form [9]:
(3) where is the density of the fluid, x is the spatial coordinate in axial direction, r is the
coordinate in radial direction, t is time, u and w are the deviations from the steady state
displacement of the fluid in the axial and radial directions respectively, pa is the deviation
of the fluid pressure (constant across the section, hence depending on x and t only), and
are the absolute (dinamic) viscosity and the bulk modulus of the fluid respectively. Equations (3) can be applied to pipe-lines of finite length with arbitrary boundary conditions, and also to lines with slightly flexible walls after introducing small modifications
to the bulk modulus of the fluid [4].

4. SOLUTION IN THE LAPLACE DOMAIN Laplace-transforming the first of Eqs. (3), and introducing the notation:

(4)
yields a Bessel equation:

(5) In Eq. (5) the complex expression of the absolute viscosity in the Laplace domain Eq. (2) replaces the real-valued .


Figure 1. Pipe coordinates. x x = x1 r R x = x2 u(x,r,t) w(x,r,t) 315 After introducing the notation: (6)
the solution of Eq. (5) can be expressed in terms of the Bessel function of first kind and
order 0, say J0:
(7)
where F is an unknown function of x and s. Equation (7) must satisfy the boundary
conditions U = 0 at r = R (radius of the cross-section), so that:

(8) Defining the average value of U across the cross-section as:
(9)
after multiplying both sides of the second of Eqs. (8) by 2 r and integrating with respect to
r from 0 to R the following expression for Ua can be obtained:
(10) Similarly, multiplying both sides of the second of Eqs. (3) by 2 r and integrating with respect to r from 0 to R (the terms depending on w vanish ater integrating by parts [9])
yields:
(11) Laplace-transforming Eq. (11) with zero initial condition, i.e. p(x,0) = 0 gives: (12) Substituting the second of Eqs. (12) in the first of Eqs. (8) and recalling Eq. (10) yields: (13)
where c is the non-viscous fluid speed of sound. Finally, the solutions of Eqs. (12) and (13) can be expressed in the form: (14)
where A(s) and B(s) are constants of integration, which can be obtained from two boundary
conditions. 316 5. FREQUENCY RESPONSE FUNCTION A transfer matrix equation can be obtained directly from Eqs. (14), connecting the average
pressures Pa and the average displacements Ua at two different sections of the fluid line, say x1 and x2 [10]: (15) Equation (15) models the dynamic characteristic of the fluid line. Considering for example a harmonic average displacement in x = x1 and Ua = 0 in x = x2, Eq. (15) gives an analytical frequency response function (Frf) of the fluid line in the form:

(16)
where i is obtained from s simply by substituting s = i : (17) The expression of in Eq. (17) is valid for the fractional Maxwell model. For the classic Newton, Scott-Blair and integer order Maxwell models it takes the form:

while the expression of i as well as Eq. (16) do not change.
6. EXPERIMENTAL APPLICATION AND DISCUSSION The analytical tools for the frequency response analysis developed in section 5 are applied
by considering the first generalization of the Newton model, i.e. the Scott Blair model.
According to reference [10], experimental tests were performed on a pipe line (Fig. 2, with
x2 '' x1 = 12.25 m; R = 3.5 mm; = Kg m ''3; = / = 160 cSt; = 1500 Mpa). In x = x2 the line was closed (Ua = 0), while in x = x1 a harmonic displacement was imposed: (18) by means of a moving cylinder with radius R0 = 16 mm driven by a cylindrical cam with
eccentricity = 0.25 mm, rotating at a fixed speed n = 30 / ranging from 0 to 5000 rpm.
Two piezoelectric pressure transducers were disposed at the ends of the line, and the Frf
defined in Eq. (16) was experimentally estimated in k = k n / 30, k N, with n = 200 rpm. 317 Figure 2. Experimental test setup.
The experimentally estimated Frf was compared with the analytical one, computed according to Eq. (16) considering the Newton model, as shown in Fig. 3. Even though a
very good match can be observed between the analytical and experimental Frfs up to 5000
rpm, due to limitations in the experimental test devices it was not possible to prove the
effectiveness of the Newton model on a wide frequency range, including higher order
modes. Since at higher frequencies the analytical Frf computed according to the Newton
model may fail in fitting the experimental data, numerical simulations were performed in
order to investigate the effects on the frequency response behaviour of a more general
model, i.e. the Scott-Blair model.
Figure 3. Modulus (left) and phase (right) of the fluid line Frf (analytical vs. experimental ). 0 2500 5000 7500 10000 12500 15000 0.5 1 1.5 2 2.5 n [rpm] Abs[H(n)] Analytical: Newton model
Experimental 0 2500 5000 7500 10000 12500 15000 -450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 n [rpm] Arg[H(n)] [°] Analytical: Newton model
Experimental 318 Two different approaches were adopted for comparing the newtonian Frfs of Fig. 3 with those computed according to the Scott-Blair model by varying the fractional derivative
order 2. First, the amplitude of the first mode was assumed to be constant with respect to 2 (selecting appropriate values for the fractional viscosity coefficient f). The results are shown in Figs. 4 and 5, where 2 ranges from 1 down to 0.3. Then, an equivalent fractional viscosity coefficient was adopted, according to the following definition: (19) where is the absolute viscosity of the Newton model and ref is a reference frequency selected to obtain a good fit among the Frfs over the first mode. The results obtained taking ref = 100 rad/s are shown in Fig. 6 for 2 ranging from 1 (Newton model) to 0.8.
Figure 4. Modulus (left) and phase (right) of the fluid line Frf. Comparison of analytical plots for the Newton and Scott-Blair models (same amplitude of the first mode). Figure 5. Modulus (left) and phase (right) of the fluid line Frf. Comparison of analytical plots for the Newton and Scott-Blair models (same amplitude of the first mode). 0 250 500 750 1000 1250 1500 0.5 1 1.5 2 2.5 2 = 1.0 2 = 0.7 2 = 0.8 2 = 0.9 [rad/s] Abs[H( )] 0 250 500 750 1000 1250 1500 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Arg[H( )] [rad] [rad/s] 2 = 1.0 0 250 500 750 1000 1250 1500 0.5 1 1.5 2 2.5 [rad/s] Abs[H( )] 2 = 1.0 2 = 0.6 2 = 0.3 0 250 500 750 1000 1250 1500 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 [rad/s] Arg[H( )] [rad] 2 = 1.0 319 Figure 6. Modulus (left) and phase (right) of the fluid line Frf. Comparison of analytical plots for the Newton and Scott-Blair models computed by means of the equivalent fractional viscosity coefficient.
It is worth noting that the non-integer derivative order 2 influences both the frequency dependent attenuation and the mode frequencies. Similar effects can be outlined with
respect to the fluid absolute viscosity [10, 11]. The effects of reducing 2 are more
evident on the modulus than on the phase behaviour. In both cases, for 2 > 0.7 approximatively, the effect of the non-integer derivative order is almost negligible on the
first mode. For higher order modes, a reduction of 2 reduces the attenuation (primary
effect) and increases the mode frequencies (secondary effect). For 2 < 0.7 the non-integer derivative order has a strong influence even on the first mode, as shown in Fig. 4.

7. CONCLUSIONS In this study a methodology for the frequency response analysis of fluid transmission lines
with linear viscoelastic fluids is presented and discussed. By means of the basic Navier
Stokes'' equations, a transfer matrix is derived relating the dynamic pressure and
displacement (or velocity) at two different points of a fluid line, adopting a general
fractional derivative constitutive law. The effects on the frequency response behaviour of a non-newtonian constitutive model, namely the Scott-Blair model, are investigated and discussed by comparing experimentally
estimated and theoretical frequency response functions. The proposed procedure may be
used for modelling the frequency response behaviour of lines with non-newtonian fluids
over wide frequency ranges.

Acknowledgments This study was developed within the laboratory INTERMECH with the contribution of the
Regione Emilia Romagna - Assessorato Attività Produttive, Sviluppo Economico, Piano
telematico, PRRIITT misura 3.4 azione A Obiettivo 2.
0 250 500 750 1000 1250 1500 0.5 1 1.5 2 2.5 [rad/s] Abs[H( )] 2 = 1.00 2 = 0.95 2 = 0.80 0 250 500 750 1000 1250 1500 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 [rad/s] Arg[H( )] [rad] 2 = 1.00 320 REFERENCES [1] Iberall, A.S., 1950. ''Attenuation of oscillatory pressures in instrument lines'. Journal of Research. National Bureau of Standards 45, pp. 85-108. [2] Achard, J.L., Lespinard, G.M., 1981. ''Structure of the transient wall-friction law in one-dimensional models of laminar pipe flows'. Journal of Fluid Mechanics 113, pp. 283-298. [3] Zielke, W., 1968. ''Frequency-dependent friction in transient pipe flow'. Journal of basic engineering. Transactions of the ASME, pp. 109-115. [4] Trikha, A.K., 1975. ''An efficient method for simulating frequency-dependent friction in transient liquid flow'. Journal of Fluids Engineering, pp. 97-105. [5] Wenchang, T., Wenxiao, P., Mingyu, X., 2003. ''A note on unsteady flows of a viscoelastic fluid with fractional Maxwell model between two parallel plates'. International Journal of non-linear
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Theoretical and Applied Mechanics. [11]Catania, G., Naldi, G., 2003. ''Numerical modelling of a mechanical structure coupled to a fluid line subsystem'. In Proceedings of the 2003 ASME International Conference IMECE. [12]Catania G., Sorrentino S., 2007. ''Analysis of frequency-dependent friction in transient pipe-flow using non-integer order derivative models'. In Proceedings of IMAC XXV, 2007. 321 322 FLEXIBLE MULTIBODY MODELLING OF A
MOTORBIKE TIMING SYSTEM AS A TOOL FOR THE
ENGINE DESIGN OPTIMIZATION.


Roberto Cipollini
Department of Mechanical and Aeronautical Engineering,
University of Bologna, Italy
E-mail: roberto.cipollini3@unibo.it

Alessandro Rivola
Department of Mechanical and Aeronautical Engineering,
University of Bologna, Italy
E-mail: alessandro.rivola@unibo.it


Abstract. This paper describes a flexible multibody model of the Ducati Moto GP timing
system. The model is developed by means of the Ricardo''s commercial software Valdyn.
The aim of the work is to provide the designers and the analysts of the Ducati company
with a useful tool for the optimization of the engine dynamic behaviour. The predictive
model of the system was developed and validated by means of experimental tests. The
comparison between the simulation results and the experimental data proves the
effectiveness of the model. Several examples of model applications are presented.

Keywords: Elastodynamic modelling, Motorbike engine, Crankshaft dynamics.
1. INTRODUCTION
This work is part of a research program involving the DIEM of the University of Bologna
and the Ducati Corse Division of Ducati Motor Holding S.p.A., which have been long
collaborating on the engineering development in the field of competitive race [1, 2]. In particular, this paper focuses on an elastodynamic model of the engine timing system of
the Ducati Moto GP motorbike. A proper functioning of the engine valve train is decisive
to achieve high overall performance; if the vibratory characteristics of the system lead to
undesirable dynamic phenomena '' such as excessive forces, high fatigue stress levels, or
gear rattle '' performance and/or durability of the engine may be compromised. The model
simulation results can be employed to guide the design refinement of the mechanical
system. The time spent in each stage of the engine design process is determinant for the competitiveness and leads to employ advanced CAE methods for the engine design. In
fact, the use of proper CAE tools provides an understanding of the dynamic behaviour of
the system and detailed information that would either be prohibitively expensive or
impossible to obtain by experimental testing. In order to create a model of such a complex
mechanical system, that allows the designer to easily and quickly evaluate different design
solutions, it is necessary to use software that enables a modular model development (so as 323 to facilitate design modifications), and that allows the handling of simulation results as
efficiently as possible. To this end, the modelling of the timing system is carried out by
using the commercial software VALDYN (by Ricardo), long used in Formula 1. To help the development and the validation of the numerical model, numerous experimental tests were carried out at the Ducati laboratory. The comparison between the
numerical results and the experimental data shows that the effectiveness of the model is
satisfactorily achieved for a wide range of operating conditions. The paper provides some
possible applications of the model in order to show how it can be employed to conduct the
engine design optimization. Section 2 describes the mechanical system; the model and the validation process are presented in Section 3; finally, Section 4 deals with the results of some predictive and
comparative analyses. 2. MECHANICAL SYSTEM AND EXPERIMENTAL TESTS The Ducati motorbike is equipped with a four-cylinder 800cc V-engine and a
desmodromic valve train moving sixteen valves, four per cylinder (Fig. (1)). The motion is
transmitted from the crankshaft to the double overhead camshafts, by means of a geartrain
consisting of twelve spur gears with involute tooth profile (Fig. (1b)). In particular, the
crankshaft pinion '' not reported in Fig. (1b) '' moves a gear-wheel and two pinions fitted
to the same shaft (the so called triple gear); these two pinions drive the horizontal and the
vertical banks where, by means of a couple of idler gears, the motion is transferred to the
gears fitted to the camshafts [2]. Concerning the valve train, each valve '' either intake or exhaust '' is driven by a mechanism made up of two conjugate cams and two rockers (i.e.
the desmodromic cam-valve mechanism): one cam and its related rocker give valve
positive acceleration, the others give negative acceleration [1]. As mentioned in the Introduction, in order to help the timing system modelling, several experimental tests were performed at the Ducati Laboratory by means of the test
bench schematically depicted in Fig. (2). Several engine configurations were tested, each
one being a combination of the crankshaft throw arrangement and the engine firing order.
Camshafts Triple gear Horizontal bank Vertical bank GEARTRAIN Desmodromic mechanism VALVE TRAIN (a) (b) Figure 1. Schematic of the system: a) CAD model of engine; b) the timing system. 324 Figure 2. Schematic of the test bench. On the test bench the engine can operate both in firing and motoring conditions. During firing condition the combustion inside cylinders provides the mechanical power,
while a brake dissipates it. Conversely, in the case of motoring condition a brushless motor
provides power to the engine, while there is no combustion inside the cylinders. The bench consists of a brake (which acts as brushless motor in the motoring condition), two flexible couplings, a first gear stage (Gear 2 and Gear 3), a torque limiting
coupling, and a second gear stage (Gear 1 meshing with the crankshaft pinion). As shown in the following Section, the crankshaft angular velocity measurements are employed for the comparison with the results of numerical simulations. The crankshaft
speed is obtained by means of an encoder with 360 notches that is mounted close to the
alternator fitted on the crankshaft as shown in Fig. (2). 3. MODEL DESCRIPTION AND VALIDATION
In order to easily build the model of the mechanical system, the commercial software
VALDYN was used [3]. VALDYN is a multibody elastodynamic simulation package
which is specifically developed for the analysis of valve trains and drive systems. It
enables complex models to be built through the use of a wide range of ''building block'
models of engine components that can be linked together. The VALDYN solver is
particularly efficient, so that the software allows parametric analysis of the model
response. The complete engine timing system is included in the model, together with the
test bench driveline and the crankshaft, as critical dynamic effects are likely to be
overlooked without this level of modelling. The comparison between numerical results and experimental data is mainly based on the order analysis (the 1st order refers to one crankshaft revolution) of the crankshaft
angular velocity as a function of the engine rotation speed. For the sake of confidentiality,
the results that will be presented hereafter are normalized with respect to a reference
value. TEST BENCH Brake/Brushless motor Flexible coupling Gear coupling Gear 3 Gear 2 Gear 1 Torque limiting coupling Alternator Encoder Crankshaft Crankshaft pinion 325 The model description
The system was modelled with a combination of lumped-parameter (LP) elastodynamic
model and finite element (FE) blocks, that encompasses both the test bench and the engine
timing system. Indeed, VALDYN allows FE models to be connected to other elements to
form a fully coupled system. In particular, the software uses reduced FE models which are derived from the full ones by means of the Craig-Bampton method [4]. A constant angular velocity is imposed to the brushless motor (to the brake) in order to simulate the motoring (firing) condition and the model takes into account both the
torsional and the bending motion of the system mechanical components. In particular, a
LP three-dimensional (3D) model accounts for both the flexural and torsional behaviour of
the test bench shafts. The crankshaft is modelled by a FE model and it is coupled with the connecting rods and the crankcase through hydrodynamically lubricated journal bearings, which are modelled as in [5]. A simple 4-dof plane model of the pistons and connecting
rods is employed; the pressure acting on pistons is evaluated with a commercial software
for engine and gas dynamics simulation. As regards the geartrain, only transversal plane
dynamics is taken into account, because it consists of spur gears. The meshing stiffness
and the gear backlash are taken into account, as well as the compliance of the needle roller
bearings that support the gears (by the non linear model presented in [6]). Each camshaft
is modelled with LP 3D elements, leading to a 48-dof camshaft model, and it is coupled
with the casing through hydrodynamic journal bearings. Each cam-valve mechanism is
modelled with a transversal plane LP model having 8 dof. As regards the damping, for the LP model parts it is globally taken into account by means of a viscous damping model that is evaluated as suggested in [3], whereas the crankshaft structural damping is taken into
account by means of damping ratios '' one for each crankshaft vibrational mode '' derived
from an experimental modal analysis carried out on the crankshaft. The model validation
Numerical simulations were performed in the case of an engine configuration which is
conventionally denoted as ''V4', both in firing and motoring conditions. The numerical
results were compared to the experimental measurements by means of the order tracks of
the crankshaft angular velocity. Only the orders which are of the main interest, or that
exhibit the higher amplitude in the experimental case, were considered: namely the orders
1 and 3. In addition, it was observed that the experimental measurement of the crankshaft
angular velocity could be affected by the flexural vibrations of the shaft. Therefore, in
order to correctly compare the numerical and the experimental results, the first ones are
obtained by properly combining the velocity of torsional and flexural dof of the element
block that models the crankshaft encoder. In order to reach a good agreement between numerical and experimental results, it was necessary to adjust the structural damping coefficients of the crankshaft. Figure (3)
shows the numerical results (solid lines) compared to the experimental ones (dashed
lines): the comparison proves that the model is suitable in predicting the dynamic
behaviour of the timing system. In particular, the 3rd order amplitude of the crankshaft
angular velocity is accurately simulated both in firing and motoring conditions, even
though the order 1 is slightly overestimated.
326 Figure 3. Order analysis of the crankshaft angular velocity; engine configuration V4. Numerical results (solid line) and experimental measures (dashed line): a) firing; b) motoring. Figure 4. Crankshaft angular velocity (engine configuration V4, firing condition): a) low regime; b) high regime. Figure 5. Crankshaft angular velocity (engine configuration VT, firing condition): a) low regime; b) high regime. 327 Figure (4) makes it possible to recognize the quality of the model simulations by comparing the numerical and the experimental crankshaft angular velocity over one
engine cycle, at low and high engine regimes, in the firing condition. In addition, Figure
(5) shows the same comparison for a different engine configuration, conventionally called VT, which differs from V4 by both the crankshaft throw arrangement and the engine firing
order. Also in this case, the model generally shows a good reliability even though it underestimates the oscillation amplitude of the crankshaft angular velocity at high engine
regimes. It can be concluded that the model is able to simulate the dynamic behaviour of the engine timing system in a wide range of operating conditions and for different engine
configurations; it can therefore be employed as a tool for the engine optimization, as
shown in the following Section. 4. MODEL APPLICATION
Once the model has been validated and its effectiveness satisfactorily proved, it is useful to gain knowledge on the dynamics of the motorbike timing system, to calculate the
transmitted loads in order to properly design the links so as to avoid excessive stresses or
early fatigue failures, and to predict the effects of variations of some parameters so as to be
used as a tool for design optimization. With regard to this, some examples are shown
hereafter. Comparison of different engine configurations The aim of this analysis is to compare six engine configurations resulting from three
crankshaft throw arrangements and several cylinder firing orders. In particular, starting
from the configuration V4, another crankshaft throw arrangement leads to the engine
configurations VT and VT2, and a further one gives the configurations denoted as A, B,
and C (depending on the firing order). In order to identify the best engine configuration among the inspected ones, the comparison is carried out at the maximum engine regime by analyzing a set of loads
acting on the timing system, together with the crankshaft angular velocity. The peak value is considered when dealing with crankshaft bearing forces and geartrain meshing forces, and the irregularity degree is computed for the crankshaft
angular velocity. An assessment is given to each of these dynamic characteristics, by
calculating the percentage difference respect to the corresponding feature of the engine
configuration V4, which is taken as reference. In particular, the score is 0 if the percentage
difference is within ±5%, +1 for percentage difference between +5% and +10%, and +2
for percentage difference greater than +10% (''1 and ''2 in the case of negative percentage
differences, respectively). The results of the comparative analysis are shown in Tab. (1), where a single score for each engine configuration is obtained by averaging the assessments under the hypothesis of giving the same importance to each dynamic feature. As a result, the engine
configuration C gets the best score, whilst VT2 and A configurations obtain the worst
scores. Obviously, instead of simply taking the arithmetic mean of the assessments, they
could be weighted according to their importance within the overall group (due to specific
requirements). Analogously, different statistical operators may be used to measure the
loads and the crankshaft speed fluctuations. 328 Table 1. Assessment of different engine configurations. Engine configuration V4 VT VT2 A B C Bearing 1 0 1 2 2 2 ''1 Bearing 2 0 0 2 1 ''2 ''1 Magnitude of the crankshaft bearing transversal force Bearing 3 0 0 ''2 ''2 ''1 ''2 Gear1''R0 0 0 1 1 1 1 R0''R1 0 ''1 ''1 ''1 2 0 R1H''R2H 0 2 1 2 2 2 R2H ''R3H 0 2 2 2 2 2 R3H ''R4H-INTAKE 0 1 1 2 2 2 R3H ''R4H-EXHAUST 0 1 1 2 2 1 R1V''R2V 0 ''2 ''1 ''1 ''2 ''2 R2V ''R3 V 0 ''2 ''1 ''1 ''2 ''2 R3V ''R4V-INTAKE 0 ''1 0 0 ''1 0 Geartrain meshing force R3V ''R4V-EXHAUST 0 1 2 1 0 0 Crankshaft speed regularity 0 ''1 0 0 ''1 ''2 Averaged assessment 0 0.1 0.5 0.6 0.3 ''0.1 Analysis of the piston-to-valve clearance
Racing motorbike engines need for a substantial power increase at high regimes. Higher
valve lift at top dead centre, as well as larger valve opening duration and inlet/outlet valve
overlap, improve the cylinder filling at high engine regimes, so that they are desirable
features. However, it is important to evaluate the minimum distance between valve and piston (i.e. the piston to valve clearance), as an insufficient distance might cause a
collision between valve and piston, especially at high engine speeds. This quantity is
estimated through dynamic simulations at the maximum engine regime for a crankshaft
throw arrangement in the case of two different firing orders, namely the engine
configurations VT and VT2. Figure (6) shows the results both for intake and exhaust valves
(the scale is made dimensionless with reference to the maximum computed value). The
firing order VT has lower values than VT2 for six intake valves; however, VT2 exhibits the
most critical values (see the intake valves 1 and 3 of the vertical bank, and exhaust valves
2 and 4 of the horizontal bank).
329 Figure 6. Piston-to-valve minimum distance (normalized): a) intake valves; b) exhaust valves. Figure 7. Peak of meshing force and number of impacts in the geartrain. Damping element: a feasibility study
In order to reduce the gear meshing forces and to obtain a more stable dynamic behaviour
of the geartrain (so as to improve the durability and stability of the system), the
introduction of damping elements may lead benefits. The possibility of inserting a
damping element between the gear-wheel and the first pinion of the triple gear is thus examined, with the aim of reducing the dynamic coupling between the geartrain and the crankshaft, so as to ideally filter out the effects of the crankshaft speed irregularity. The model of the damping element is very simple: it is a LP model consisting of a torsional spring and a viscous damper (the damper coefficient being proportional to the
spring stiffness). Several values of damping element stiffness are considered, each one
being a fraction of that of the same triple gear part in the case of damping element
absence (that is, the stiffness reference value). Obviously, the damping element has to be
stiff enough to keep its relative rotation very low (in order to assure a proper
thermodynamic cycle). By limiting the relative rotation to a maximum of 1 degree, the
minimum allowed value of the stiffness is 1/750 of the reference one. The simulation is performed for several engine regimes and the peak value of the meshing force and the number of impacts (over one engine cycle) are computed for each 330 meshing gear of the geartrain. These features are averaged over the ensemble of both the
simulated engine speeds and the meshing gears, and compared to those obtained from a
simulation where a constant angular velocity is imposed to the crankshaft. The latter
stands for an ideal case where no damping element is needed. The results of the
comparative analysis are shown in Fig. (7). The damping element with stiffness ratio
equal to 1/750 gives the best performances; in fact, with respect to the ideal case, it
provides the lowest meshing force as well as the minimum number of impacts. 5. CONCLUSION
This paper presents a flexible multibody model of the Ducati Moto GP timing system. The
numerical results show a good agreement with the experimental measurements in a wide
range of operating conditions. The model is thus suitable to investigate and understand the
dynamic behaviour of the system. In addition, it can be employed as a tool for the engine
optimization, as shown in the paper by means of some examples of its application. REFERENCES [1] Rivola A., Troncossi M., Dalpiaz G. and Carlini A., 2007. ''Elastodynamic Analysis of the Desmodromic Valve Train of a Racing Motorbike Engine by Means of a Combined
Lumped/Finite Element Model'. Mechanical Systems and Signal Processing, 21(2),
pp. 735 ''760. [2] Milandri M., Mucchi E. and Rivola A., 2008. ''A Model for the Elastodynamic Analysis of the Geared Timing System of a Motorbike Engine'. In Proceedings of ISMA 2008, Leuven,
Belgium, September 15 ''17, 2008. [3] Valdyn 4.4 user manual, Ricardo Consulting Engineers. [4] Craig R.R. JR., 2000. ''Coupling of substructures for dynamic analysis: an overview'. In Proceedings of AIAA Dynamics Specialists Conference, Atlanta, GA, April 5, 2000. AIAA Paper
number 2000 ''1573. [5] Childs D., Moes H., van Leeuwen H., 1977. ''Journal bearing impedance descriptions for rotordynamic applications'. ASME Journal of Lubrication Technology, 99(2), pp. 198 ''214. [6] Brändlein J., Eschmann P., Hasbargen L., Weigand K., 1985. Ball and roller bearings: theory, design and applications, Wiley. 331 332 EXPERIMENTAL CHARACTERIZATION OF THE
DYNAMIC RESPONSE OF ACCELEROMETERS
MOUNTED WITH STRUCTURAL ADHESIVES


Marco Cocconcelli
Department of Engineering Sciences and Methods,
University of Modena and Reggio Emilia, Italy
E-mail: marco.cocconcelli@unimore.it

Andrea Spaggiari
Department of Engineering Sciences and Methods,
University of Modena and Reggio Emilia, Italy
E-mail: andrea.spaggiari@unimore.it

Riccardo Rubini
Department of Engineering Sciences and Methods,
University of Modena and Reggio Emilia, Italy
E-mail: riccardo.rubini@unimore.it

Eugenio Dragoni
Department of Engineering Sciences and Methods,
University of Modena and Reggio Emilia, Italy
E-mail: eugenio.dragoni @unimore.it


Abstract. The use of accelerometers to monitor the vibrations of either complex machinery
or simple component involves some considerations about the mounting of the sensor to the
structure. Different types of mounting solutions are commonly used but in all cases they
can be classified in one of these categories: stud mounting, screw mounting, adhesive
mounting, magnetic mounting and probe sensing. Indeed each of them has a specific field
of application depending on e.g. the mounting surface conditions, the temperature, the
accessibility to the specific mounting point, etc. The choice of the mounting solution has a
important effect on the accuracy of the usable frequency response of the accelerometer,
since the higher the stiffness of the fixing, the higher the low-pass frequency limit of the
mounting. This paper specifically focuses on adhesive mounting of accelerometers, which
includes a great number of different products from the temporary adhesives like the
beeswax to the permanent ones like cyanoacrylate polymers. Among the variety of
commercial adhesives, three specific products have been experimentally compared to
assess their transmissivity and the results are reported in this paper. A two component
methylmethacrylate (HBM X60), a modified silane (Terostat 737) and a cyanoacrylate
(Loctite 401) adhesives have been used to joint two aluminium bases, one connected to an
accelerometer and the other to the head of electromagnetic shaker. A design of experiments
(DOE) approach was used to test the system at several levels of amplitude and frequency of
the external sinusoidal excitation supplied by the shaker.
333 Sommario. L'uso di accelerometri per monitorare le vibrazioni delle macchine complesse o
semplici componenti comporta alcune considerazioni sul montaggio del sensore sulla
struttura. Diverse tipologie di montaggio sono usate nella pratica, esse si possono
classificare in una delle seguenti categorie: montaggio con basetta, montaggio con
collegamento filettato, montaggio tramite adesivo, montaggio magnetico e misura a
sonda. Ognuno di essi ha uno specifico campo di applicazione in base, ad esempio alle
condizioni della superficie da monitorare, alla temperatura di esercizio, all'accessibilità al
punto specifico di misura, etc. La scelta della tipologia di montaggio ha una grande
rilevanza sulla precisione della risposta in frequenza fornita dell'accelerometro, dato che,
più è alta è la rigidezza del montaggio, maggiore è la frequnza limite che il sistema di
misura è in grado di cogliere. Questo lavoro riguarda specificamente il montaggio di
accelerometri tramite adesivo, molto usato nella pratica, che comprende un gran numero
di prodotti diversi dagli adesivi temporanei come la cera d'api a quelli permanenti come
colle cianoacriliche. Tra gli adesivi commerciali, tre colle diverse tra loro per
caratteristiche meccaniche e chimiche sono state testate sperimentalmente per valutarne la
trasmissività. Gli adesivi considerati sono: un metilmetacrilato bi-componente (HBM X60)
tipicamente usate in applicazioni estensimentriche, un silano modificato (Terostat 737)
comunemente applicato come adesivo sigillante e un cianoacrilato (Loctite 401) a presa
ultrarapida per applicazioni generali. Gli adesivi sono stati applicati per incollare due
basette di alluminio, una collegata alla testa di un mini-shaker e l'altra ad un
accelerometro, in ambo i casi con collegamenti filettati. Le prove sperimentali, affrontate
tramite metodo del Design of Experiment (DoE) sono state effettuate considerando diversi
valori di frequenza e ampiezza di eccitazione della base, per valutare la risposta in
frequenza dei differenti adesivi in un campo di applicazione sufficientemente ampio.

Keywords: structural adhesive, accelerometers mounting, dynamic response, vibration
transmissivity.
1. INTRODUCTION
The vibration monitoring activity is the most used technique to assess the working condition
of a machinery. The aim of this activity could be monitoring the noise level of a component,
monitoring the vibration transmitted to closed components, increasing the precision of an
end-effector, reducing the health risk for a user, and determining the health condition of
specific components like bearing and gears. Regardless the specific aim, all the vibration
measurements are normally performed by means of a piezoelectric accelerometer or based
on Micro Electro-Mechanical Systems (MEMS) technology. The development of both
piezoelectric and MEMS technology leads to robust products, resistant to hostile
environments, with small dimensions and a wide frequency response. Since the introduction
of the first piezoelectric accelerometer was in   the   ''50s   (MEMS   come lately), a relevant
amount of papers on signal processing can be traced in literature, defining the know-how on
vibration analysis so far. It is interesting to observe that despite the thousands of papers
describing how to treat the vibration signal, only few papers focuses on a correct setup of
the vibration sensors [1],[2]. This practical aspect is demanded to the university courses on
vibrations analysis, personal experience or to information given by the accelerometer
suppliers [3], [4] and [5]. This paper focuses on a specific aspects of the accelerometer
setup, the mounting between the sensor and the surface of the component. The most 334 frequent solutions adopted can be classified in few categories: stud mounting, screw
mounting, adhesive mounting, magnetic mounting and probe mounting. Each of them has a
specific field of application depending on e.g. the mounting surface conditions, the
temperature, the accessibility to the specific mounting point, etc. A detailed description of
all the mounting techniques is not the purpose of the paper, but in the classic handbook on
shock and vibration [6] all details are provided. Among the several techniques, the
stud/screw and adhesive mounting are the most used. These types of mounting results in a
rigid connection with high stiffness and wide frequency range response. The higher the
stiffness of the fixture, the higher the low-pass frequency limit of the mounting. While an
high stiffness is always provided through the screw coupling, the stiffness of the adhesive
bond depends on the physical characteristics of the adhesive, which are not always supplied
by the vendor. The aim of this paper is to assess experimentally the dynamic response of
three different adhesives which cover the different type of structural adhesive used in on-
field applications. The use of structural adhesives in mechanical fastening is becoming more and more popular nowadays. This is because it leads to many advantages over other methods like
bolts, rivets and welds. It is simple, reasonably fast and mostly important, no machining is
needed which represents a great advantage in the mounting of accelerometers on a chassis.
Moreover adhesives allow the spreading of the load and ease of joining thin or dissimilar
materials which would have been not possible with welding. Although adhesive bonding is
not as easy to disassemble as the bolting, in case of vibration monitoring the adhesive stud
bonded to the chassis of the machine under monitoring is quite simple to be broken using a
hammer. The aim of the paper is to assess which is the effect of the adhesive film used to
bond the stud in terms of vibration monitoring and signal transmission. Despite the wealth
of information about static mechanical properties of adhesive, like elastic modulus and
strength, often supplied directly from the manufacturer, technical literature reports less
information about the dynamic of adhesives and mainly in case of high strain rate loading
[7] and viscoelastic properties [8]. This work investigates the effects of different adhesives
on the vibration monitoring commonly used in industry. The adhesives are used to join two
aluminium bases, the first one connected with a threaded coupling to an accelerometer and
the second one coupled with the head of electromagnetic shaker. The design of experiment
approach used considers three variables in the experimental plan: adhesive type, frequency
of the signal and amplitude. The adhesive choice is led by a practical consideration:
typically the adhesive mounting of an accelerometer is performed with a commercial,
general purpose adhesive which can be found in every industrial site. Thus a superglue, a
modified silane adhesive and a strain gauge adhesive are considered in the experimental
plan. The frequency and the amplitude are chosen in order to span the entire range of the
electromagnetic shaker used. The vibrator signal is post-processed to extract two significant
output parameters: the amplitude of the main frequency and its weight percent over the
energy of the signal. These data are elaborated with a statistical software to evaluate which
variable affects the system response and which is the adhesive effect on the vibration
monitoring. The experimental tests highlight that the higher the elastic modulus of the
adhesive the better the signal transmission in terms of amplitude, but the signal shape is not
affected by the adhesive type. The main conclusion which can be drawn is that stiff
adhesive performs better in terms of absolute vibration response, but since the shape of the
signal do not change, standard adhesives like superglue and modified silane may be used as
well to mount the threaded stud. 335 2. MATERIALS AND METHOD
2.1 Design of Experimental plan

The concept of Design of Experiments (DoE) was developed to optimize the experimental
effort for multiple variables involved in a problem [9]. The same principles can be also
applied to numerical studies, treating each numerical analysis with a different set of problem
parameters   as   a   ''virtual   experiment''   [10]. In this work the DoE technique was used to
estimate the factors with the strongest influence on the dynamic mechanical response of
adhesive for mounting accelerometers. Three factors were considered in the analysis
namely:
a) Excitation frequency, f b) Excitation amplitude, A c) Adhesive type, G Four values of excitation frequency, f, are examined viz. 5 Hz, 2500 Hz, 5000 Hz and 7500 Hz, in order to span the entire range of the accelerometer. (Using the DoE notation, f
is varied over four levels). The values chosen for the excitation amplitude are expressed as a
percent of the maximum amplitude, A=50% and A=100%. The adhesive type are four, G1
is the commercial superglue (Loctite 401), the G2 is an elastic adhesive modified silane
(Terostat 937), the G3 is a very stiff two component methylmethacrialte adhesive (HBM
X60), G4 is a reference configuration in which there is no adhesive but continuum material. A summary of the variable levels is reported in Table 1 with a schematic of the mounting configuration. The two aluminium blocks (white squares in the schematics of
Table 1) are connected with a thin layer of adhesive (in black), the lower one is connected
to the shaker, the upper one has a threaded connection for the accelerometer (grey
semicircles). The only difference for the reference configuration with respect to the other
cases, is the mass of the single block which is double weighted in order to keep the same
nominal natural frequency.
Table 1. Levels of the variables considered in the problem Variables Level 1 Level 2 Level 3 Level 4 f (Hz) 5 2500 5000 7500 A (%) 50 100 G Loctite 454 Terostat 737 HBM X-60 None Mount 336 Among the several DoE techniques available, a full factorial plan is adopted, with three replicates for each experimental plan. This approach is combined with a blocking procedure
to take into account the different bonding of the adherents. The total amount of 72
computational experiments is used to estimate the influence of the primary variables and the
interactions. The statistical software Design Expert [19] was used to build the set of
experimental test to be run and to randomize the order of the experiment. The software was
also used to post process the results of the analysis by means of the analysis of variance
analyses (ANOVA).
2.2 System response
The statistical influence of the variables is evaluated in terms of two system responses.
Since the shaker excitation is a sine wave at given frequency, the amplitude of the
corresponding spectral component is the base of output choice. In particular the outputs of
the experiments are: i. Spectral amplitude at excitation frequency (SA for brevity) ii. Percentage of signal energy stored at excitation frequency (SE for brevity) The SA is obtained after the FFT of the measured signal, considering the amplitude of the vibratory signal at the excitation frequency, the SE is the energy of the signal at the
excitation frequency over the total energy of the system. Since one of the level of the adhesive is a reference level obtained with a block with double mass and no adhesive, it is possible to add two other system response, by dividing
the values of the experimental points by the value of the reference configuration (on
average). The other two outputs are not dependent on the system configuration and allow
the adhesive effect to be compared more efficiently. iii. SAR = SA/SAno adhesive Spectral amplitude ratio (SAR for brevity) iv. SER = SE/SEno adhesive Stored energy ratio (SAR for brevity) 2.3 Experimental set-up
The experimental set-up consists in a small electrodynamic shaker, a monoaxial
accelerometer, an input and an output boards of National Instruments. Table 2 summarizes
the model and the characteristics of the components. The shaker is provided with an
embedded amplifier, open-chain controlled with 0-1 VRMS signal supplied by the NI
myDAQ board. The shaker has three different amplitude gain which can be selected by the
user, but which are kept constant for all the tests. The accelerometer is connected to the NI-
9233 board which is specifically designed for IEPE devices. The aluminium blocks have a
1cmx1cm square base and 1.2cm height. The reference block has the same square base but a
2.4 height, simulating two single blocks connected together. All the block have been tapped
in order to fix it with the shaker head and the accelerometer by means of threads. The
resulting setup is showed in Figure 1a and b. 337 Table 2. Specifications of the components used in the experiment Coponent Model Specifications Shaker ModalShop K2004E01 20N peak sine force, frequency range up to 11kHz Accelerometer PCB353B18 Monoaxial, frequency range 1-10kHz and sensitivity 10mV/g Output board NI myDAQ Analogue output, 200 kS/s, 16-bit Input board NI cDAQ with NI-9233 51,2 kS/s per Channel, 24-Bit IEPE In each test the head of shaker moves harmonically with characteristics listed in Table 1. The amplitude  is  not  measured  in  absolute  ''g'  value,  but  as  percentage  of  the  maximum  
control voltage. The sampling frequency is 50kHz and the acquisition time is 2 seconds.
The acquisition systems waits a couple of seconds before starting to avoid acquisition of
transient effects of the shaker. 3. RESULTS AND DISCUSSION
3.1 Post Processing of the data
Vibration data are post-processed  in  National  Instruments''  LabVIEW  environment.  The  two  
seconds of acquisition are split in three contiguous parts of 0.5, 1 and 0.5 seconds
respectively, and only the central part of the signal is used (1 second), in order to avoid
transient effect on the acquisition. The resulting spectrum resolution '' 1Hz '' is still
sufficient to clearly match the excitation frequencies.
(a) (b) Figure 1. Experimental setup (a) and detailed picture of the adhesive mounting (b) 338 In order to obtain the system response, the power spectrum of the vibration data is computed as reported in (1) * 2 FFT x FFT x PS f n (1)
where FFT* denotes the complex conjugate of the Fast Fourier Transform (FFT) of
vibration data ( x ) and n is the number of elements of samples. In an ideal condition the sine excitation signal of the shaker '' measured by the accelerometer '' generates a single
peak in the frequency domain at the excitation frequency fex. On equal terms except the
adhesive used, an interesting comparison among different adhesive type is made on two
outputs (despite connected): the amplitude of the power spectrum at the excitation frequency. (SA)
The ratio between the amplitude of the spectrum at the excitation frequency and the sum of all the power spectrum components, i.e. the total energy of the acquired
vibration signal. (SE) The choice of these parameters follows a simple consideration: SA is what is usually measured   in   experimental   activity,   i.e.   it''s   an   absolute   value   depending   of   the   energy   of  
input source, while SE returns the quality of the acquired signal independently of the energy
of input source. The  Parseval''s  theorem  gives  a  further  consideration  regarding  the  choice  
of  the   power  spectrum  instead  of  a   simple   spectrum.  In  fact  the  Parseval''s  theorem  states  
that the total energy contained in a time domain waveform is equal to the total energy of the
waveform's Fourier Transform along the frequency domain. The equality is reported in
equation (2)
2 2 x t dt X f df (2) It follows that the total energy of the signal can be computed as a simple sum of power spectrum components. As mentioned in paragraph 2.2 further parameters are obtained from
SA and SE dividing by the corresponding values computed in the case of the reference
configuration (SAR and SER respectively). 3.2 ANOVA analyses
Multivariable problems can be approached following a statistical method. The Design of
Experiment procedure, a powerful statistical technique based on the analysis of variance
analyses can be conveniently applied to these class of problems. ANOVA calculates the
variance (standard deviation) of a response considering a specific variable and the global
variance of the responses. The ratio between these two variances is called the F-Test value. In a stochastic (random) process F-value equals one, which means that the considered variable has no effect on the response, because it cannot be distinguished from experimental
noise (or numerical error). Conversely the larger the F-Test value the more the variable
influences the process. There are a number of approaches to represent the results
graphically to demonstrate the effects of the variables on the system outputs. One of the
most popular is the normal plot, used to estimate whether a certain set of data follows a
Gaussian distribution or not. If the data approximates a straight line the phenomenon is 339 statistically "normal" i.e. follows a stochastic law. The variables affecting the system
response will then fall outside the normal distribution line, thus their effect cannot be
ascribed to a stochastic process. The greater the deviation of the point from the normal line
the larger the confidence interval (i.e. the probability that the variables are significant is
higher). The half normal plot, used in this paper is interpreted in the same way as the normal
plot but allows absolute values of the effects to be considered. The replicates of the system
are important because they are used to built the error line because they are ruled by a
stochastic law by definition.

3.2.1 Half Normal plot of the responses
Figure 2 shows the half-normal probability plots from an ANOVA following [9]. The
analysis was performed on two outputs of the problem (system response) described in
Section 3.1. Figure 2a shows the SA, Figure 2b the SE.
In Figure 2 the X-axis represents the standardized effect associated with each factor
considered. The greater the standardized effect, the higher the influence of the variable on
the response. The Y-axis represents the half-normal probability associated with each effect. These values represent the probability that the effect of the variable is significant. The solid line interpolating the points represents the error of the test (given by the replicates and
the non influent interactions between the variables). The points that fall off the error line
represent the factors that mainly affect each response. Thus, Figure 2 shows that f and A
have the strongest influence both on SA and SE. The effect of the frequency is more
relevant for SA (note the logarithmic transformation applied) while the interaction of
amplitude and frequency is important for the SE only. As can be noticed by the labels of the
axes in Figure 2 a transformation is applied to SA and SE in order to normalize the data.
This transformation, called Box-Cox transformation, is strongly recommended [10] in
dealing with experimental set of data by means of ANOVA technique. Thus in Figure 2a the effect of the variables are reported on the natural logarithm of the SA and on the SE raised to the power of 1.5. The half normal plots of the SAR and SER is
reported in Figure 3a-b respectively. The Figure shows that dividing SA and SE by the
reference configuration causes the adhesive type to be important in the system response, in
terms of peak frequency (Figure 3a) but not in terms of percent energy of the signal (Figure
3b). The effect of the amplitude, relevant for the absolute measurement, obviously vanish in
Figure 3, because the signal is normalized over the reference.

3.2.2 Variables interactions and relevance
The effect of the variables in case of interaction is reported in Figure 4a for SA and in
Figure 4b for SE. The same graphs are reported in Figure 5 for SAR (a) and for SER (b).
These plots are interesting especially in case of variable interactions (Figure 4b) and in case
of multiple variables involved in the problem (Figure 4a - Figure 5a), while in Figure 5b the
experimental point collapse on a single line because only the excitation frequency affects
the system response. The error bars in Figure 4 and Figure 5 are due to the standard
deviation of the experiments in the three replicates for each configuration tested.
340 Hal f - Nor ma l % P rob ab ili ty Hal f - Nor ma l % P rob ab ili ty |Normal effect| on Ln(SA) |Normal effect| on (SE)^1.5 (a) (b)
Figure 2. Half normal plots of SA (a) and SE (b) with the proper Box-Cox transformation
Hal f - Nor ma l % P rob ab ili ty Hal f - Nor ma l % P rob ab ili ty |Normal effect| on (SAR)^-2.5 |Normal effect| on SER (a) (b) Figure 3. Half normal plots of SAR (a) and SER (b) Figure 4a shows that the amplitude of signal produce an increase in the SA, which is more pronounced at some specific frequencies (2500 Hz and 7500 Hz), while is not evident
at the lowest frequency. This behaviour is probably due to the dynamics (e.g. resonance) of
the shaker foundation. This is consistent with the subsequent Figure 5a (despite the different
ordinate), showing that a normalization with respect to the reference condition removes the
variability highlighted in Figure 4a. The adhesive influence is quite evident in Figure 5a, in
which it is shown that there is an influence of the adhesive in terms of amplitude of the 341 signal, but the shape of three curves is the same, both for very stiff adhesive like the HBM
X60 and very flexible polymers like the silano-modified Terostat 937. From the point of view of an accelerometer user this behaviour is positive, because the adhesive do not disturb the signal but it only scale the amplitude. The absence of the
adhesive influence in Figure 3b confirms that there is no effect of the adhesive in the shape
of the measured signal. Moreover Figure 5b shows that only the frequency slightly affect
SER.
Lo g (SA ) S E ^1.5 Frequency (Hz) Frequency (Hz) (a) (b) Figure 4. Variables interactions (A, f) for SA (a) and SE (b) parameters, SAR SER Frequency (Hz) Frequency (Hz) (a) (b) Figure 5. Variables interactions (f, G ) for SAR (a) and SER (b) parameters 342 4. CONCLUSION
In this paper three structural adhesive have been experimentally compared to assess their
transmissivity in terms of dynamic response. The chosen adhesives are usually used in
accelerometers setup for diagnostics purposes in both laboratory and on-field environments.
In particular, a two component methylmethacrylate (HBM X60), a modified silane (Terostat
737) and a cyanoacrylate (Loctite 401) adhesives have been used to joint two aluminium
bases, one connected to an accelerometer and the other to the head of an electromagnetic
shaker. A further test has been performed on a double-length aluminium base, i.e. a
continuum block without any adhesive acting as reference condition. The shaker provides a
sine wave vibration in terms of acceleration at different combinations of frequency and
amplitude, as summarised in Table 2. A monoaxial accelerometer gave the feedback
vibration signal which has been used to compute four different parameters assessing the
dynamic response of the structure by hand. The output parameters are all based on the
power spectrum of the vibration signal. In details they are the amplitude of the spectrum at
the shaker excitation frequency (SA), the ratio between SA and the total energy of the signal
(SE), and finally the values of SA and SE for a given adhesive compared to the
corresponding values in the reference condition (SAR and SER respectively). A design of
experiments (DOE) approach led to the salient results which are summarized in the
following: Frequency and amplitude have the strongest influence both on SA and SE
The effect of the frequency is more relevant for SA while the interaction of amplitude and frequency is important for the SE only SAR and SER shows the importance the adhesive type in the system response, in terms of peak frequency (SAR) but not in terms of percent energy of the
signal (SER). The effect of the amplitude, relevant for the absolute measurement SA and SE, obviously vanish in both SAR and SER, because the signal is normalized over
the reference. The adhesive influence is quite evident in SA, in which it is shown that there is an influence of the adhesive in terms of amplitude of the signal, The variable interaction for SAR and SER parameters is the same, both for very stiff adhesive like the HBM X60 and very flexible polymers like the
silano-modified Terostat 937. Above them two results are worth mentioning as design guidelines: the response amplitude depends on the structural characteristics of the adhesive and the transfer function
of  the  adhesive  layer  doesn''t  distort  the  signal  regardless  of  the  type  of adhesive. 5. ACKNOWLEDGEMENTS
The authors wish to thank the Inter Departmental Research Center INTERMECH MoRE of
the University of Modena and Reggio Emilia for the financial support.




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Antonio Carminelli
DIEM - Dipartimento di Ingegneria meccanica
University of Bologna, Italy
e-mail: antonio.carminelli@unibo.it

Umberto Meneghetti
DIEM - Dipartimento di Ingegneria meccanica
University of Bologna, Italy
e-mail: umberto.meneghetti@unibo.it

Alberto Maggiore
DIEM - Dipartimento di Ingegneria meccanica
University of Bologna, Italy
e-mail: alberto.maggiore@unibo.it


Abstract. The measure of vibrations is well known in literature as a simple and efficient way for
detecting structural damages of a vibrating system. Among the modal parameters, that can be
estimated from experimental measurements, the eigenfrequencies are often used for crack de-
tection issues, because they can be estimated in a quick, easy and accurate manner. A compari-
son of eigenfrequecies measured on the undamaged and damaged structure can reveal infor-
mations about the damage location. With reference to straight beams in flexural motion, a sim-
ple analytical expression, called Local Modal Stiffness Sensitivity (LMSS), has been previously
introduced in order to relate the frequency shift with the bending stiffness variation due to a
damage. In the present paper an extended expression of the LMSS is adopted in order to locate
the crack position in a stepped beam with three varying sections. The stepped beam is parti-
tioned into uniform spans with constant cross section. Each span is modelled by adopting the
well known eigenfunctions of homogeneous beam with constant cross section. The needed coef-
ficients of the mode shapes are calculated by imposing the boundary conditions at the edges of
the beam and the continuity conditions on points where the cross section varies. A robust indi-
cator of the crack location is proposed. The approach is experimentally tested and the effectiv-
ity and usefulness of the method for crack localisation on stepped beam is assessed. 1. INTRODUCTION
The problem of damage detection arises from the need to ensure the integrity of structures and
machine elements by means of non-destructive testing. Vibration measurements can be used to
detect fatigue cracks in structures. In fact, a crack in a structural element alters the dynamic
characteristics of the structure, reducing the stiffness associated with decreases in eigenfre-
quencies and changes in mode shapes. Measurement of shifts of one or more of the above- 345 cies and changes in mode shapes. Measurement of shifts of one or more of the above-
mentioned characteristics have therefore been used to identify a structural damage 1] 12 . Many of the proposed methods choose to make use of changes in eigenfrequencies, because frequency measurement is usually quick, easy and accurate, even if only one or a few points of
the structure are accessible. In crack detection from vibration frequency measurements, the ba-
sic idea is that the change, d r, in the natural frequency, r, of the r-th mode of a vibrating system depends on the position, x*, of the localized damage and on the stiffness reduction, dkr, due to the fact that the damage is present: d ( *,d ). r r f x k (1) It has been observed [1] that, if the change in stiffness due to certain damage is independent of the eigenmode, the ratio of frequency changes of two modes, j and l, is only a function of the
damage location, that is: * d . d j l f x (2) It is therefore possible to use sensitivity analysis for crack localization.
In this paper, use of eigenfrequency shift measurement and local modal sensitivity for crack identification is shown. An analytical expression for local sensitivity is first obtained with
reference to beams in flexural motion and use of local sensitivity for damage localization is
illustrated. A general interpretation of sensitivity itself, as a measure of how much local stiff-
ness variation affects each eigenfrequency, is also proposed. Experimental investigations on
stepped beams are finally reported and the usefulness of frequency measurement and sensitivity
analysis for crack identification is assessed. Some limited tips about using local modal sensitivity for crack localization have been al- ready exposed by the Authors in references [3] and [5]. In the present paper, the robustness of
the approach is evaluated and a different crack indicator is proposed. 2. LOCAL MODAL STIFFNESS SENSITIVITY 2.1. Definition and evaluation of local modal stiffness sensitivity
In order to make the relation (2) between crack location and eigenfrequency shift explicit, we
consider the equation of free transverse vibration of a beam, which for the r-th eigenmode can
be written in the form: 2 2 2 2 2 d d 0 d d r r r D A x x (3) 346 where A is the cross-sectional area of the beam, D = D(x) the flexural rigidity, x the abscissa
along beam longitudinal axis, the mass density, r and r, respectively, the mode shape and the angular frequency of the r-th eigenmode. We assume the normalization condition: 2 0 d 1 l r A x (4) where l denotes the total length of the beam. If the flexural rigidity undergoes a small variation D = D(x), equation (3) becomes [13]: 2 2 2 2 2 d d 0 d d r r r r r r D D A x x (5) where r and r are the variation of the mode shape and of the angular frequency, respec- tively. The normalization condition is now: 2 0 d 1. l r r A x (6) Developing equation (5) and taking into account only terms of first order in small variations D, r and r, we obtain 14 : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d d d d d d d d d d 2 0. r r r r r r r r r r D D D x x x x x x A A A (7) Taking into account equation (3) it results: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d d 2 0. d d d d r r r r r r r D A D A x x x x (8) In the same manner from equations (4) and (6) one deduces: 0 d 0. l r r A x (9) 347 After multiplying equation (8) by r, the integration from 0 to l, taking into account rela- tions (4) and (9), leads to: 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 d d d d 2 d d . d d d d l l r r r r r r D x D x x x x x (10) The first integral at second member of equation (10) can be evaluated integrating by parts: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 d d d d d d d d d . d d d d d d d l l l r r r r r r r o D x D D D x x x x x x x x (11) Assuming that D takes place for x 0, l, that is, the damage is not at the ends of the beam, equation (11) simplifies as follows: 2 2 2 2 2 2 2 0 0 d d d d d . d d d l l r r r D x D x x x x (12) Now we model the rigidity variation as due to damage like a crack of small width x at ab- scissa x*; therefore we can put: 2 2 2 2 0 2 2 2 * 2 2 2 2 2 2 0 * * * d d d d d d d d d d d d d l r r l x x r r r x x x x x D x x x D x D x B x x x (13) where B is representative of the damage intensity. To evaluate the second integral of second member of equation (10), we first observe that it is: 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 d d d d d d d d d d d + d . d d d d d d l r r l l r r r r r r o D x x x D D D x x x x x x x (14) 348 To evaluate the last integral of the second member, we consider equation (3): multiplying it by r, integrating from 0 to l and taking into account relation (9) we find: 2 2 2 2 0 d d d 0. d d l r r D x x x (15) Integrating by parts we obtain: 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 d d d d d d d d d d d + d 0. d d d d d d l r r l l r r r r r r o D x x x D D D x x x x x x x (16) Substituting expression (16) in equation (14) we can write: 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d d d d d d d d d d d + . d d d d d d d d l r r l r r r r r r r r o D x x x D D D D x x x x x x x x (17) We are finally able to write the expression (10) in the general form: 2 2 2 * d 2 d r r r x x B x (18) where: 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 0 d d d d d d d d d d d d d d d + . d d d d d r r r r r r l r r r r r r D D D x x x x x D D D x x x x x (19) 349 In case of homogeneous boundary conditions, that is if each end of the beam is free, pinned or clamped, is equal to zero, so it results: 2 2 2 * d 2 . d r r r x x B x (20) As a conclusion, dividing both members of relation (20) by 2 r and taking into account that due to the normalization condition (4) it is 2 , r r k we obtain: 2 2 2 * d d 1 . 2 d r r r r x x B k x (21) In case of non homogeneous boundary conditions, general relations (18) and (19) are to be used to relate rigidity variation and eigenfrequency shift. The coefficient of proportionality in equation (21) between the relative frequency shift, d r / r, and the bending stiffness variation can be called Local Modal Stiffness Sensitivity (LMSS). It is a measure of how much local damage affects each eigenfrequency of the undam-
aged beam, as a function of crack location. This concept can obviously be generalized for other
cases besides that of a beam in bending. Moreover, it could be useful not only for diagnostic
purposes, but also for other engineering applications. 2.2. LMSS patterns
From equation (21), the following expression of LMSS for a beam in bending can be deduced: 2 2 2 d 1 . 2 d r r r S k x (22) Mode shape r(x) has the expression (see e. g. Shabana [14]): A sin B cos C sinh D cosh r r r r r r r r r x x x x x (23) where Ar, Br, Cr, Dr, r depend on boundary conditions. By introducing expression (23) in relation (22), expressions of Sr(x) can be easily written for each case of different boundary conditions. These expressions are not explicitly reported here for the sake of brevity. As exam-
ple, the patterns of LMSS for the first four modes of a straight uniform and homogeneous free-
free beam are reported in Fig. 1. 350 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 10 -5 x/L S i S 1 S 2 S 3 S 4 S 1 S 2 S 3 S 4 Figure 1. Patterns of LMSS for the first four modes of a straight uniform and homogeneous free-free beam. The pattern of LMSS is closely associated with the second derivative of mode shape, that is with mode shape curvatures. It has already been observed that eigenfrequency shift of each
eigenmode depends on mode shape curvature at damage location, see e. g. 10 , 15 ; here the
general connection between eigenfrequency shift and local modal rigidity has been strongly
illustrated. As one can recognize by observing Fig. 1, there are points where LMSS is zero: this means that a crack at one of these points does not induce a change in the frequency of the correspond-
ing mode. Points where a crack does not affect the eigenfrequency are generally different for
each mode, so considering more than two modes it is possible to apply the method of LMSS, as
suggested in the next sections, to identify damage at every point. Practical cases are often more complex than uniform cross-section beam. In such cases, mode shapes can be obtained by the finite element method (FEM); LMSS can then still be
evaluated as for uniform beam. More precisely, in each finite element, the element shape func-
tion must be used to find the different mode shapes. Mode shapes are then utilized to determine
LMSS by the expression (22). However, stiffness sensitivity usually assumes different values at
each node belonging to adjacent elements and high-order finite elements are necessary as well.
In order to model beam with an arbitrary number of step changes in cross section, the present
paper makes use of the approach already presented in [16], where each span, with constant
cross section, is modelled by adopting the shape function (23) and the resulting constants are
determined by four boundary conditions at the beam edges and four continuity conditions at
each point where the cross-section varies. 351 3. CRACK IDENTIFICATION BY LOCAL MODAL SENSITIVITY
From expressions (21) and (22) one obtains: d . r r r S x B (24) Equation (24) can also be written as: * d . r r r B S x (25) Expression (25) suggests that modal stiffness sensitivity can be used for crack localization if two or more eigenmodes are considered and the stiffness variation B is the same for all the
considered eigenmodes. This is the case if, for example, only flexural vibrations in a given
plane are considered. In this case, no matter what the eigenmode, the ratio at the second mem-
ber of equation (25) has the same value at the abscissa x* where the crack is localized, that is,
for two generic eigenmodes j and l, we can write: * * d d . j j l l j l B S x S x (26) From this we immediately derive a means for crack detection and localization when mode shapes are analytically known. Consider, in fact, two eigenmodes j and l. First of all, the eigen-
frequencies j and l of these modes are measured for the undamaged beam. After a crack has appeared in the beam, they experience little shifts j and l, which are easily determined by measuring the eigenfrequencies for the damaged beam. Having found, by means of relation
(22), the expressions of Sj (x) and Sl (x), we are able to plot the patterns of: j j j j w x S x (27) and of:
. l l l l w x S x (28) 352 At the abscissa x* corresponding to the crack''s location, w j and wl must have the same value, which is representative of the relative decrease in the bending stiffness of the beam. The
intersection of two patterns like w j and wl gives the crack location. Of course, for better estima- tion of the intersection, one must use more than two modes, say modes j, l, ..., r, to overcome
effects of unavoidable experimental errors: all curves w j , wl, ..., wlr intersect each other at ab- scissa x*. However, only a few lower modes can be effectively utilized, because higher mode
shapes and related w curves do change too abruptly from point to point, so a small experimental
error in eigenfrequency measurement gives rise to a large error in crack identification. In some cases, due to the structure symmetry, more than one intersection can be found, thus producing an inevitable amount of uncertainty. A more efficient way of crack localization is to consider the distance between some w(x) curves. In fact, all these curves should intersect at crack location, consequently, the distance be-
tween two such curves should reach zero near the abscissa x*. However, due to measuring errors,
they do not usually intersect exactly at abscissa x*, but at points lying near it. If we consider the
normalized sum ( x)of the absolute values of the distances between the considered curves [17]: 1 1 1 1 1 + + ... ( 1) ( ) ( 1) ( ) n n i j i j i k i j i n n r r r r w x w x w x w x w x w x x n w x n w x (29) we can say that ( x) reaches its minimum value at the point where the crack is localized. In
expression (29), n is the total number of considered eigenmodes, so the denominator at the sec-
ond member of (29) normalizes ( x)between 0 and 1. If no error has affected either the ex-
perimental results or the analytical model, the minimum value of ( x) should be zero. How-
ever this kind of measure is not robust: a too small Si(x) sensitivity value tends to amplify ex- perimental errors in eigenfrequencies so that incorrect wi(x) value may result (see Eq. 27). A slightly different measure (x) is therefore proposed by taking into account, for each x value in
Eq.(29), only terms wk(x) for which Sk(x) is over a threshold value . The proposed measure (x) can be expressed as follows: 1 1 1 ( ) ( 1) ( ) 0 n n ij i j i r r R i j i j ij f and otherwise C x x m w w x w x i S S x x C x (30) 353 where R is the set of indices for which Sk(x) is over the threshold value : 1,..., : k R k n S x and m is the number of elements in R.

4. EXPERIMENTAL TESTS AND RESULTS
Experimental tests were carried out on a set of two l = 1 m long straight stepped beams of cir-
cular cross section. Each beam, having two section variations as reported in Fig. 2, was sus-
pended by means of very soft springs to simulate free-free conditions. The geometric dimen-
sion of the beams are reported in Fig. 2 in millimeters. Eigenfrequencies of each undamaged
beam were first measured. A narrow slot s = 1 mm wide and h = 5 mm deep, was then milled
at two different locations (see Fig. 3) to simulate structural damage. The beam having the slot
next to a variation of the cross-section (x*/l = 0.8) will be referred to as ''CASE I', the beam
having the slot in the middle (x*/l = 0.5) will be referred to as ''CASE II'. The eigenfrequencies
of the two damaged beams were subsequently measured to obtain frequency shifts for the first
six eigenmodes, see Table 1; related ratios, w(x), were then evaluated, making use of the ana-
lytical expressions of LMSS.
300 500 200 25
O 35
O 50
O Figure 2. Geometry of tested rotor. Dimensions are in millimeters. h Figure 3. Positions of the cut milled to simulate a crack in Test Case I (x*/l = 0.8) and Test Case II (x*/l = 0.5).
Case II Case I 354 Table 1. Measured eigenfrequencies of uncracked and one-crack beams. Case Mode No. Eigenfrequencies of the uncracked beams, Hz Eigenfrequencies of the cracked beams, Hz 1 257.81 256.84 2 474.13 472.36 3 874.02 869.33 4 1579.06 1573.80 5 2286.56 2285.79
I 6 2950.77 2949.85 1 256.83 256.26 2 472.01 471.87 3 871.87 869.13 4 1569.61 1569.17 5 2285.36 2279.08
II 6 2941.24 2941.10
Table 2. Crack localisation in one-crack beams. Crack localization by LMSS using
function x . Crack localization by LMSS using
function x ( = 10-7). Case Actual crack
location,
x*/l. using 5 modes using 6 modes using 5 modes using 6 modes I 0.8 0.8006 0.7996 0.8005 0.7997 II 0.5 0.4654 0.4736 0.5157 0.4953
The eigenfrequencies were identified by means of Auto Power Spectra (APS) of free vibra- tion, obtained by thirty averages. Impulse excitation and exponential window were used. Cubic
Bezier interpolation of spectra near each eigenfrequency peak allowed high frequency resolu-
tion. Repeatability of results was checked and proved. Determination of eigenfrequencies by
APS of free vibration is always much more accurate and repeatable than the use of Frequency
Response Function, which involves unnecessary errors in excitation performing, response
measurement and greater data manipulation. A slot was used instead of a fatigue crack for the sake of simplicity and for more precise lo- cation and quantization. For the small vibration displacements imposed during the test, the non-
linearity effect of the crack is negligible and the only practical difference between a crack and a
slot having the same depth h is the amount of stiffness decrease and related eigenfrequency
shifts; see for example reference [18]. 355 To illustrate the fundamental concept used for damage localization, in Fig. 4 the patterns of ratios wi(x) are plotted for the first five eigenmodes and a particular crack depth and location, referred to as Case I, in Tables 1-2. As one can see, the curves representing the first five wi(x) ratios intersect at the correct slot location x*. The use of distance (x) adopting five eigenmodes
is illustrated in Fig. 5: the damage is precisely located. The adoption of measure (x) gives the
same result (see Table 2). The use of a greater number of eigenmodes confirms the location
detection (Fig. 6). Figure 7 reports the pattern of the first five wi(x) referring to the case II: as can be seen, the function w2(x) does not intersect the others at the correct crack location. This is the main rea- son why the adoption of measure (x), considering five eigenmodes, does not allow the precise
crack location (Fig. 8). Although the adoption of six eigenmodes seems to ameliorate the crack
location detection, the improvement is very small (Fig. 9). The use of the (x) measure im-
proves the crack location both with five eigenmodes (Fig. 10) and with six eigenmodes (Fig.
11). The little uncertainty shown in Fig. 10 is resolved by using six eigenmodes. The results
reported in Table 2 show a very satisfactory agreement between evaluated and actual values of
crack location by adopting the (x) measure.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 10 10 10 12 x/L w i w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 Figure 4. Plot of functions wi: case I by using five modes.
356 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x/L Figure 5. Plot of function (x): case I by using five modes.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x/L Figure 6. Plot of function (x): case I by using six modes. 357 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 10 10 10 12 x/L w i w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 Figure 7. Plot of functions wi(x): case II by using five modes.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x/L Figure 8. Plot of function ( x ): case II by using five modes. 358 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x/L Figure 9. Plot of function ( x ): case II by using six modes. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x/L Figure 10. Plot of function ( x) (black continuous lines) and function ( x ) (red dotted line): case II sigma by using five modes. 359 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x/L Figure 11. Plot of function ( x) (black continuous lines) and function ( x ) (red dotted line): case II sigma by using six modes. 5. CONCLUSIONS
A parameter called Local Modal Stiffness Sensitivity (LMSS) has been proposed for crack
identification. LMSS is a measure of the local stiffness alteration affecting each eigenfrequency
of the structure, as a function of the location of the alteration itself. Its analytical expression can
be easily written for a flexural vibrating beam of uniform cross section and other elementary
cases where analytical expression of mode shapes is known. Stepped beams are modelled by
adopting, for each span with constant cross section, the just mentioned analytical expression of
mode shapes. The resulting constants are determined by four boundary conditions at the beam
edges and four continuity conditions at each point where the cross-section varies. A previously
introduced (x) measure, that reaches its minimum value at the point where the crack is local-
ized, is modified in order to improve its robustness. Experimental verifications proved that the
newly introduced (x) measure effectively locates the crack even when the (x) measure fails.
In future research, the optimal choice of the parameter , needed to define the (x) measure,
will be investigated. REFERENCES [1] Cawley P.., Adams R. D ., 1979. ''The location of defects in structures from measurements of natural frequencies'. Journal of Strain Analysis 14 (2), pp. 49-57. 360 [2] Rizos P. F., Aspragathos N., Dimarogonas A. D., 1990. ''Identification of crack location and magni- tude in a cantilever beam from the vibration modes'. Journal of Sound and Vibration 138 (3), pp.
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361 362 A SURVEY ON THE PREDICTABILITY OF THE DIE
DEFLECTION IN ALUMINUM EXTRUSION BY MEANS
OF EXPERIMENTAL INVESTIGATION AND
NUMERICAL ANALYSES



Barbara Reggiani
Department of Mechanical and Aeronautical Engineering,
University of Bologna, Italy
E-mail: barbara.reggiani4@unibo.it

Lorenzo Donati
Department of Mechanical and Aeronautical Engineering,
University of Bologna, Italy
E-mail: l.donati@unibo.it

Luca Tomesani
Department of Mechanical and Aeronautical Engineering,
University of Bologna, Italy
E-mail: luca.tomesani@unibo.it


Abstract. The direction of the market demand in extrusion is to push towards higher quality products. With this aim, is it nowadays a common practice to make use of
numerical methods, especially of the finite element simulations in order to get information
on the material flow, temperature distribution, process load and other process related
issues. Therefore, in parallel to the requirement of higher quality products there is the
demand of more accurate, stable and reliable simulation codes. The International
Conference on Extrusion and Benchmark (ICEB) works as a meeting point between finite
element codes developers and extruders and die makers to asses and compare the
capability of each code to predict the parameters of interest in the field of extrusion. The
2009 edition of the conference has been focused on the die deflection evaluation, also
accounting for the experimental complexity to monitor this data for the high temperature
involved in the process as well as for the reduced direct accessibility to the die. Aim of the
present work is to present the results of this activity in which a controlled extrusion
experiment has been carried out and to compare the recorded data with the prediction of
three process simulations codes in terms of profiles exit velocity and temperature, die
temperature, process load and die deflection in the extrusion direction. The codes are
based on different approaches: ALTAIR HyperXtrude® based on the Arbitrarian
Lagrangian Eulerian formulation, COMSOL® Multiphysics based on a pure Eulerian
approach and finally DEFORM 3D based on a pure Lagrangian approach.

Keywords: tool deflection, Finite Element method, aluminum extrusion.
363 1. INTRODUCTION
Hot aluminum extrusion is an high efficiency manufacturing process in which a workpiece
(billet) is forced by means of a ram to flow through a die having an opening that resembles
the desired shape of the profile. By this process, long profiles can be produced with a huge
variety of cross-sections thus serving different markets such as transport, aerospace,
building industries. Before the process starting, aluminum billet and tools are preheated at
specified temperatures in order to reduce the required loads. Thus, during the extrusion, the
die is subjected to complex working conditions due to the combination of high loads and
high temperatures. The resulting stress-strain distributions and the amount of die deflection
that occur during the process significantly affect the die lifetime [1]. In addition,
accounting for the experimental observation that extrusion starts when the die is already
deflected [2], its configuration during the extrusion process also have a great influences on
the final profile tolerances and quality. Hence, a reliable prediction of these information is
of crucial importance both for the prediction of the die lifetime and to guarantee reduced
scraps and time-energy losses. Nowadays, manufacturing process can be considered in
terms of material flow, temperature and profile speed distribution, load-stroke history and
die deflection by means of finite element (FE) simulations [3,4]. This allow to avoid
expensive and time-consuming experimental trial-and-error procedure. Different
formulations have been proposed for the numerical simulation of manufacturing process as
the Eulerian and updated Lagrangian approaches based on a fluid-dynamic and flow
formulation respectively. However, an important role is still played by experimental
investigations in the mean to form a basis for evaluating the numerical code predictability
and capabilities. In order to verify and estimate the quality of simulations, with specific
attention paid to the extrusion process, a periodical meeting between developers of FE
codes and the users, industrial and university, has been set [5,6]. With specific reference to
the die deflection or pressure on the die face measurement, it can be understood how
challenging is this task especially in an industrial extrusion environment explaining why till
10 years ago their prediction was merely based on FE computation. After that different
approaches have been proposed for the experimental measure of the pressure distribution
on the die face and the deformation of the die [7,8,9]. The benchmark trials of the 2009
edition were specifically focused on the measurement of the die deflection during the
process stroke: the extrusion of 2 U-shaped profiles made by AA6082-O aluminium alloy
was investigated while two laser displacement sensors were used for monitoring the
''tongues'' deflection (i.e. the part of the die internal to the U shape) [6]. The two tongues
were differently supported, one fully and the other partially, thus leading to different die
deflection and different material flows. In the present work, experimental set-up and results
of the benchmark 2009 experimental activities are presented and discussed. The capability
and reliability of commercial FE codes to predict the amount of die deflection was then
tested. To this aim, the benchmark 2009 experiment was simulated by means of three FE
codes: DEFORMTM 3D, COMSOL® Multiphysics and Altair® HyperXtrude. The first
code is based on the flow-formulation in which the material is considered as an isotropic
continuum while the other two FE codes are based on a fluid dynamic approach. Numerical
results were firstly compared with experimental data in terms of profile exit temperatures
and speed, maximum ram load and die temperature. Then, the tongues deflection and the
stress distribution were predicted. The quality of the code was judged in term of percentage
error of the predicted parameters with respect to the corresponding experimental values. 364 2. EXPERIMENTAL INVESTIGATION
The benchmark 2009 experiment
The die for the experimental trials was flat with two orifices. Both profiles had the same
thicknesses and U-shape but a different support length: 36.95 mm and 10 mm for the
supported and less supported respectively (Figure 1). The deflection of the two tongues
was monitored by means of two laser beam distance sensors all over the extrusion of
each billet. Two thermocouples were used to control the die heating system, while the
other two measured the die temperature during extrusion near the die bearings.
Thermocouples were placed as close as possible near to the bearings. The temperature
evolution of the upper (less supported) profile was monitored with a pyrometer placed at
about 145 mm after the die external surface. In addition, the profile exit speeds were
measured by means of two laser surface velocitymeters. A bolster was also introduced in
order to assist the material flow into the die pockets (Figure 1). The sensors operated on the basis of the triangulation method. Significant advantages emerged from the use of the laser sensor instead of strain gauges or tactile
deflection sensors; in particular, the laser sensor did not required any direct contact with
the die and any holes or joining procedure. This allowed to get a continuous
measurement if the tool deflection. However, on the other side, the use of the laser
sensor involved a correction of the measurement due to the beam moving along a
complex path. The operating principle of the laser sensor is the triangulation method as
described in detail in [6]. Billets made of aluminum alloy AA6082-O of 140 mm
diameter and 302 mm length were used for the experiments. Experiments have been
carried out on a 10 MN extrusion press at the laboratory of the IUL Department at TU
Dortmund. The diameter of the container was 146 mm so that an upsetting of the billets
takes place at the beginning of the extrusion process. The tool material was the AISI H-
13 hot-working tool steel tempered to 45 HRC hardness. The billets were preheated at a
temperature of 432°C in a resistance heated oven with air circulation. Due to only small
changes of ±5°C before and after extrusion, temperature of the container was considered
as constant 427°C over the entire process. The die and the bolster were heated by a
surrounding die heating to 393° C. The extrusion experiments were performed at a ram
Figure 1. (left) Die design; (right) the laser sensors and pyrometer position. Laser sensor Laser sensor Unsupported Supported Heating system
thermocouple Pyrometer Thermocouple
for measurement Heating system
thermocouple Thermocouple
for measurement Die Back-up plate 365 speed of 10 mm/sec. Five billets were consecutively extruded on after the other: two
of these were extruded before the beginning of the benchmark experiment in order to
reach thermal steady-state conditions. Thus, the other three billets were extruded at constant process parameters thus providing repetition of the process conditions

Experimental results
The first of the three repetitions was taken as the reference experimental condition. In
Figure 2 are shown the load-stroke diagram and the upper profile temperature as
measured by the pyrometer over the stroke. As can be observed, the load history showed the trend typical of an extrusion process. The peak value reached during the extrusion was 8 MN. The temperature of the
upper profile continuously increased during the extrusion process reaching a peak value
of 490°C at the end of the process. The die temperature history of the upper (D1)
thermocouple was unusual showing a decreasing trend during the process. This could be
due to a detachment of the thermocouple tip and the housing hole bottom; alternatively,
the reason can be searched in the reduction of friction caused by the die deflection of the
upper tongue. Concerning the exit speed, the two profiles ran at a similar speed, even if
the full supported always flowed a little slower than the unsupported profile. For a
stroke range between 50 and 250 mm, the average velocities were 158 mm/s for the
former and 156 mm/s for the latter. The selected die design thus produced a deflection
ranging from 0.4 to 0.5 mm for the unsupported profile and no deflection for the
unsupported one. At the end of the experimental trials, aluminum was removed from the
die cavities by means of caustic soda bath and no appreciable permanent deformations of
tongues were observed. 3. NUMERICAL ANALYSES
In Figure 3 are shown the CAD and FE models developed for each code. For the
Eulerian and ALE codes, the CAD model of the billet copied the final configuration and
all the components were meshed. For the Lagrangian code, the starting configuration of
the workpiece was a cylinder, the only meshed components. The flow of aluminium at
elevated temperature exhibits a viscoplastic behaviour. Figure 2. Experimental ram force and upper profile exit temperature over the ram stroke. 366 Figure 3. CAD and FE models developed in the present study: (a) HX (b) COMSOL and (c) DEFORM. Thus, the generalized Zener-Hollomon function was used to express the effective flow stress in all three codes: n n A Z RT Q A 1 1 1 1 sinh 1 exp 1 sinh 1 (1) in which n=6.88, Q=199960J/mol, A=1.16099'1015 s-1, R=8.314 J/(K°'mol), a=0.019
MPa-1 for the AA6082-O alloy. All the tools were modelled as made of the AISI H13 steel
by means of a linear elastic model with a Young modulus E equal to 189000 MPa
(corresponding to the value at 393°C) and a Poisson coefficient of 0.3. In the following
the three numerical approaches are explained in more detail and numerical predictions
compared to benchmark results.

COMSOL® Multiphysics
The aluminum billet was modelled as a Non-Newtonian fluid and studied adopting the
Eulerian flow formulation. The procedure used to solve the extrusion problem consisted in
subsequent steady-state solutions moving through the modules of fluid-dynamic and heat
transfer. Five unknown variable (3 components of velocity, pressure and temperature) have
to be predicted in order to determine the aluminium flow into the die. The first decoupled
thermal analysis (Step 1) solved the energy equation via the convection and heat source
term starting from the initial imposed temperature. Then mass-momentum set of equations
was solved (Step 2) with the temperature distribution as derived by Step 1 to obtain the
pressure and velocity fields under the simplified hypothesis of Newtonian and
incompressible fluid to reduce the computing time. In Step 3, the energy equation was
solved once more for the temperature field but now accounting also for the velocity field
produced by the fluid-dynamic analysis in Step 2. These three steps were used to obtain a
good initial guess of the velocity, pressure and thermal fields to be used as input for the
final coupled fluid-dynamic and thermal analysis in which the fluid was set as Non-
Newtonian. All the steps were carried out until the convergence criteria on the various field
were satisfied. The die, container and the billet were modelled within the code and all the
CAD components were meshed (Figure 3b). The final FE model consisted of 226908 linear Container Billet Bolster Die 367 tetrahedral elements and 51243 nodes. An initial temperature of 393°C was imposed to the
die while 427°C and 432°C were those imposed to the container and the billet respectively.
Profiles over of the bearing length were set to the air temperature (25°C). The ram
temperature (365°C) was defined as the boundary condition for the billet back in the heat
transfer analysis. The ram speed has been imposed by applying the prescribed velocity at
the billet back. The interface between billet and tools was set as wall-no-slip except in the
bearing regions where the wall-slip condition was used. On the exit surfaces of the profiles
the non traction boundary condition was imposed. The heat exchange between tools and
billet was accounted for by imposing the proper thermal parameters. In Figure 4 are shown
examples of output parameters as predicted by COMSOL. The peak differences in terms of profiles exit temperature and velocities with respect to experimental data were 9% and 18%. Of the same order of magnitude was the error in the
prediction of the die temperature with values of 9% and 8% for points D1 and D2. A good
prediction of the peak extrusion load was found with a value of 8988 kN compared to
experimental 8000 kN. On the contrary, the code showed a poor prevision of the absolute
tongues deflection; the fully supported and unsupported profiles deformed 0.5 mm and 0.85
mm respectively in the extrusion direction compared to no deflection and 0.39 mm
experimentally observed. However, the code correctly assessed a relative displacement of
0.35 mm of the two tongues. The simulation last after 2.5 hours

DEFORM TM 3D The code is based on the flow formulation approach using an updated Lagrangian
procedure. Opposite to an Eulerian code, DEFORM performs a rigid-plastic simulation in
which the transitory phases of the extrusion process, i.e. the billet upsetting, the progressive
die filling and profile exiting (Figure 5b), can be simulated. Concerning the benchmark
2009 experiment, the 3D CAD models of the ram, container and bolster were included in
the simulation even if not meshed and considered as rigid bodies at a constant temperature
(Figure 3). The initial configuration of the billet was a cylinder of 140 mm diameter and
302 mm length consisting of 27890 tetrahedral linear elements. The same boundary
conditions applied in COMSOL were set in DEFORM. In particular, the tools-billet contact
behaviour was described with a plastic shear friction model and a sticking condition was
imposed. DEFORM solved the problem of the aluminum extrusion by means of a single
coupled thermo-mechanical transient analysis. Then, the stress state analysis in the die was
performed by means of a dedicated tool within the code.

Figure 4. Output results of COMSOL: (from left to right) temperature distribution (°K), velocity fields (m/s) and deflection along the extrusion direction (mm). 368 Figure 5. (a) Initial FE model of the billet; (b) final FE model of the billet; (c-d) 3D FE model of the die and bolster used for the die stress analysis.


The die and the bolster were modelled with 105204 four-node linear tetrahedral elements, the only type available in the code (Figure 5c). No volume constancy was
imposed accounting for the high computational cost of a pure Lagrangian code. The boundary conditions applied for the die stress analysis were the forces interpolated, automatically by the software, from the nodes of the billet to those of the die.
In addition, the contact areas of the die with the die-holder were constrained except that in
the extrusion (Z) direction (Figure 5c) while the opposite was for the exit surface (Figure
5d). Numerical results are reported in Figure 6. DEFORM showed a reliable prediction of the peak extrusion load and unsupported profile temperature with percentage errors of 2.6% and 11% compared to experimental
data. Profiles exit velocities, as computed by the code, were in each case lower than those
measured by the velocitymeters (0.098 m/s fully supported and 0.140 m/s unsupported). On
the opposite, the tongues displacement were both higher than the experimental values
(0.334 mm for the fully supported and 0.516 mm for the unsupported). The die temperature
was not computed and kept as constant to the initial value all over the simulation. The
simulation took more than 4 days for the extrusion of 12 mm of profiles.


Figure 6. Output results of DEFORM: (from left to right), temperature distribution (°C), die deflection along the extrusion direction (mm) and Von Mises stress distribution (MPa). (a) (b) (d) (c) 369 ALTAIR HYPERXTRUDE® (HX)
As COMSOL, HX is an FE code based on the fluid-dynamic formulation. Hence, the 3D
CAD model of the billet copied the steady-state configuration as showed in Figure 3a.
However, if compared to the former code, HX uses a transient moving boundary technique
to simulate the billet length decrease during the process thus adopting an ALE (Arbitrary
Lagrangian Eulerian) approach. Except for the initial billet upsetting that is not accounted
for, this allows to simulate the load-stroke trend of the process. The die and bolster were
included in the model and meshed resulting in a total number of 1542468 linear tetrahedral
element and 484858 nodes. In a first step, a coupled transient thermal-fluid-dynamic
simulation was performed to compute the profiles exit velocities and temperatures and the
extrusion load. Multiple billets were used to reach steady-state conditions. The same
boundary conditions used in DEFORM and COMSOL were adopted excluding optimized
values of the heat exchange coefficients. In particular, an HTC value of 110000 W/m2°C
was imposed at the die-billet interface in the bearing region while a convection coefficient
of 300 W/m2°C was set at the billet surface in contact with the container. Afterwards, a
static structural analysis was carried out including only the die and the bolster meshed with
parabolic tetrahedral elements (406816 elements and 584564 nodes) by mapping the
pressure acting on the die face as computed from the previous transient simulation. In
Figure 7 are shown examples of output results as obtained from HX. HX showed a good agreement with experimental data in terms of profile exit speed (peak error 5%), die temperature (peak error 1%) and die deflection of the unsupported tongue
(0.3% of peak error). As COMSOL and DEFORM, a poor estimation of the fully supported
tongue emerged (0.22 mm predicted by HX). The peak extrusion load assessed was 9468 kN,
higher than that experimentally measured. Finally, also the computed profile exit temperature
was 52 degrees more than the measure acquired with the pyrometer. The total simulation time
was 49 hours for the transient analysis and 30 minutes for the static analysis.
Figure 7. Example of HX results: (a) temperature distribution (°C), (b) velocity fields (m/s)
and (c) deflection along the extrusion direction (mm). 4. CONCLUSIONS
By experimental investigations it was found out a new system to monitor the die deflection
that was tested on the extrusion benchmark 2009 die with two U-shaped profiles. The
experimental trials were simulated by means of three FE codes, based on the Eulerian
(COMSOL), Lagrangian (DEFORM) and ALE (HX) approaches respectively. As a first
result, it was found out that an Eulerian and ALE description, avoiding the mesh (a) (b) (c) 370 regeneration as in Lagrangian codes, significantly reduce the computational costs thus
resulting more compatible to industrial time. In addition, extrusion is a steady-state process
in which a reference domain can be easily identified thus further supporting the use of
fluid-dynamic approaches. All the three codes showed a poor prediction of the profiles exit
temperature. For COMSOL this was due to the fact that the control point used in the
numerical simulation to evaluate the profile temperature was near the die exit instead of
145 mm form the die face. This justified the higher numerical than experimental value. For
HX, the higher computed value was ascribable to the neglected heat exchanged with air.
Instead, DEFORM, gave a poor comparison since the transient thermal state of the tools,
not meshed, was not accounted for thus leading to lower numerical than experimental
profile temperature. A better estimation was achieved in terms of profiles exit velocities for
COMSOL and HX. For DEFORM, the profile exit velocities were in each case lower than
the experimental value in relation to the volume reduction effect related to the frequent
remeshing. In addition, all the three codes overpredicted the experimental peak extrusion.
The adopted material model of aluminum was the Zener-Hollomon function in which the
dependence of the flow stress from the deformation is neglected. In such a way the
softening of the material was not considered resulting in a more hard material. Concerning
the tongues deflection, the benchmark 2009 experiment showed a relative difference of
0.39 mm in the displacement of the fully supported and unsupported profiles, the former
not deflecting over the extrusion time. Even if a more realistic prediction of the aluminum
flow would require coupled simulation of the process and tool deflection, this significantly
increases the total computational time. Thus, in the present work, aimed to understand to
code potentiality for industrial application, the die stress analysis was computed in all the
three codes by means of decoupled static structural analysis mapping the load on the die
face as predicted by previous process simulations. While all the codes overestimated the
fully profile deflection, the best agreement with experimental data of the unsupported
profile displacement was achieved by HX. This can be ascribable both to a good estimation
of the output velocities and temperatures and to the use of parabolic tetrahedral elements
more suitable to model curved and complex geometries. REFERENCES [1] Lemaitre. J. and Chaboche J.L., 1990. ''Mechanics of solid materials'. Cambridge University Press, U.K.. [2] Assaad, W.A., 2010. Aluminum extrusion with a deformable die. PhD thesis, University of Twente, CTW. [3] Donati, L, Tomesani, L., 2004. ''The prediction of seam welds quality in aluminum extrusion". J. Mater. Proc. Techn. 153-154, pp. 366-373. [4] Zhou, J., 2003. ''3D FEM simulation of the while cycle of aluminium extrusion throughout the transient state and the steady state using the updated Lagrangian approach'. J. Mater. Proc.
Techn. 134, pp. 383-397. [5] Donati L., Tomesani L., Schikorra M., Tekkaya A.E., 2008. ''Extrusion Benchmark 2007 '' Benchmark Experiments: Study on Material Flow Extrusion of a Flat Die'. Proceedings of the
Extrusion Workshop and Benchmark, Key Engineering Materials 367, pp. 1-8. 371 [6] D. Pietzka, N. Ben Khalifa, L. Donati, L. Tomesani and A. E. Tekkaya ''Extrusion Benchmark 2009-Experimental analysis of deflection in extrusion dies', Proceedings of the Extrusion
Workshop and Benchmark, Key Engineering Materials Vol. 424 (2009) pp. 19-26. [7] Jowet, C.W., Hay, G., Parson, N., 2004. ''Extrusion Technology'. Upset. Orlando, USA. [8] Bourqui, B., Huber, A., Moulin, C., Brunetti, A., Krhenbuhl, Y., 2002. ''Improved weld seam quality using 3D FEM simulation in correlation with practice'. Brescia. The first EAA Extruders
Division Congress. [9] Moe, P.T., Storen, S., 2002. ''A technique for measuring pressure on the die face during extrusion'. Krakow. ESAFORM Conference. 372 INDICE DEGLI AUTORI

Agazzi Alessandro 39 Andrisano Angelo Oreste 97, 297 Angelini Guido 71 Ansaloni Matteo 97 Bagaria William J. 247 Baldini Andrea 275 Berselli Giovanni 217 Bertocchi Enrico 275 Bignami Stefano 71 Campioni Eleonora 275 Carli Andrea 165 Carminelli Antonio 345 Castagnetti Davide 233 Catania Giuseppe 313 Cavallini Andrea 23 Cenci Stefano 165 Cipollini Roberto 323 Cocconcelli Marco 333 Croccolo Dario 259 Dalpiaz Giorgio 39 De Agostinis Massimiliano 259 D''Elia Gianluca 39 Donati Lorenzo 363 Dragoni Eugenio 197, 247, 333 Faccio Maurizio 165 Finetto Christian 165 Freddi Alessandro 115 Gherardini Francesco 97 Giacopini Matteo 275 Leali Francesco 97 Lionello Giacomo 71 Maggiore Alberto 345 Mantovani Sara 275 Maraldi Mirko 71 Marin Tito 61 Medri Gianluca 289 Meneghetti Umberto 345 Molari Pier Gabriele 1, 71 373 Mucchi Emiliano 39 Olmi Giorgio 143 Parenti Castelli Vincenzo 181, 217 Pellicano Francesco 297 Pellicciari Marcello 97 Persona Alessandro 165 Pini Fabio 97 Prati Edzeario 61 Reggiani Barbara 363 Rivola Alessandro 323 Rosati Giulio 165 Rossi Aldo 165 Rubini Riccardo 333 Sancisi Nicola 181 Scirè Mammano Giovanni 197 Sorrentino Silvio 313 Spaggiari Andrea 233, 333 Strozzi Antonio 275 Strozzi Matteo 297 Tasora Alessandro 61 Tomesani Luca 363 Vassura Gabriele 217 Vergnano Alberto 97 Vertechy Rocco 217 Vincenzi Nicolò 259 Zanarini Alessandro 23 Zannoli Diego 181 374 Giornata di studio in onore di Ettore Funaioli 18 luglio 2007 A cura di Umberto Meneghetti, Alberto Maggiore e Vincenzo Parenti Castelli In questo volume sono raccolte le memorie presentate in
occasione della ''Giornata di studio in onore di Ettore Funaioli',
che si è tenuta il 18 luglio 2007 presso la Facoltà di Ingegneria
dell''Alma Mater Studiorum - Università di Bologna.
La giornata è stata organizzata dagli ex allievi del Prof. Funaioli
con la collaborazione del DIEM, Dipartimento di Ingegneria delle
costruzioni meccaniche, nucleari, aeronautiche e di Metallurgia
dell''Alma Mater Studiorum '' Università di Bologna e con il
patrocinio del GMA '' Gruppo di Meccanica Applicata.
L''incontro scienti co è stato preceduto da una cerimonia
commemorativa svoltasi nell''Aula Magna della Facoltà di
Ingegneria, alla presenza dei familiari del Prof. Funaioli, del
rappresentante del Preside della Facoltà e del Direttore del
DIEM. Quaderni di ricerca Giornata di studio in onore di Ettore Funaioli - 18 luglio 2007 Alma-DL è la Biblioteca Digitale dell''Alma Mater Studiorum Università di
Bologna. Gestita e coordinata dal CIB, Centro Inter-bibliotecario di Ateneo,
Alma-DL ospita al suo interno gli archivi Open Access AMS Acta, AMS
Campus e AMS Miscellanea che rendono pubblicamente disponibili i con-
tributi derivanti dalle attività di ricerca, didattiche e culturali dell''ateneo
bolognese. Alma-DL attua così i principi del movimento internazionale
a sostegno dell''accesso aperto alla letteratura scienti ca, sottoscritti
dall''Università di Bologna assieme a molte altre istituzioni accademiche,
di ricerca e di cultura, italiane e straniere.
http://almadl.cib.unibo.it
ISBN 978-88-902128-9-5 DIEM
GMA
Quaderni di ricerca Alm DL Giornata di studio in onore di Ettore Funaioli 18 luglio 2007 A cura di Umberto Meneghetti, Alberto Maggiore e Vincenzo Parenti Castelli In questo volume sono raccolte le memorie presentate in
occasione della ''Giornata di studio in onore di Ettore Funaioli',
che si è tenuta il 18 luglio 2007 presso la Facoltà di Ingegneria
dell''Alma Mater Studiorum - Università di Bologna.
La giornata è stata organizzata dagli ex allievi del Prof. Funaioli
con la collaborazione del DIEM, Dipartimento di Ingegneria delle
costruzioni meccaniche, nucleari, aeronautiche e di Metallurgia
dell''Alma Mater Studiorum '' Università di Bologna e con il
patrocinio del GMA '' Gruppo di Meccanica Applicata.
L''incontro scienti co è stato preceduto da una cerimonia
commemorativa svoltasi nell''Aula Magna della Facoltà di
Ingegneria, alla presenza dei familiari del Prof. Funaioli, del
rappresentante del Preside della Facoltà e del Direttore del
DIEM. Quaderni di ricerca Giornata di studio in onore di Ettore Funaioli - 18 luglio 2007 Alma-DL è la Biblioteca Digitale dell''Alma Mater Studiorum Università di
Bologna. Gestita e coordinata dal CIB, Centro Inter-bibliotecario di Ateneo,
Alma-DL ospita al suo interno gli archivi Open Access AMS Acta, AMS
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bolognese. Alma-DL attua così i principi del movimento internazionale
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ISBN 978-88-902128-9-5 DIEM
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Quaderni di ricerca Alm DL Quinta giornata di studio Ettore Funaioli 15 luglio 2011 A cura di Umberto Meneghetti, Alberto Maggiore e Vincenzo Parenti Castelli DIEM GMA In questo volume sono raccolte le memorie presentate in occa- sione del a ''Quinta Giornata di studio Ettore Funaioli', che si è tenuta il 15 luglio 2011 presso la Facoltà di Ingegneria del ''Alma Mater Studiorum '' Università di Bologna. La giornata è stata organizzata dagli ex allievi del Prof. Funaioli con la col aborazione del DIEM '' Dipartimento di Ingegneria delle Costruzioni Meccaniche, Nucleari, Aeronautiche e di Met- al urgia del ''Alma Mater Studiorum '' Università di Bologna e con il patrocinio del GMA '' Gruppo di Meccanica Applicata. Questo volume è stato stampato con il contributo di G.D S.p.A. Alma-DL è la Biblioteca Digitale dell''Alma Mater Studiorum Univer-
sità di Bologna. Gestita e coordinata dal CIB, Centro Interbibliotecario
di Ateneo, Alma-DL ospita al suo interno gli archivi Open Access che
rendono pubblicamente disponibili i contributi derivanti dalle attività
di ricerca, didattiche e culturali dell''Ateneo bolognese. Alma-DL attua
così i principi del movimento internazionale a sostegno dell''accesso
assieme a molte altre istituzioni accademiche, di ricerca e di cultura,
italiane e straniere.
http://almadl.cib.unibo.it Quinta giornata di studio Ettore Funaioli - 15 luglio 201 1 Quaderni di ricerca Quaderni di ricerca ISBN 978-88-7488-516-9 ISBN 978-88-7488-516-9 Copertina.indd 1 28/06/2012 09:15:27


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