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L'uso delle funzioni generalizzate per la formulazioni di elementi finiti di travi non omogenee ed inelastiche

Panoramica sugli approcci di modellazione agli elementi finiti per la trave inelastica. L’attenzione è principalmente ri-volta agli approcci a plasticità diffusa e analisi dello stato dell’arte relativo alla definizione di ele-menti finiti di travi in presenza di discontinuità in ambito elastico line-are attualmente limitato alla sola trave di Eulero.

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Articoli tecnico scientifici o articoli contenenti case history
Dottorato, Università degli Studi di Catania, Anno Accademico 2011- 2012

Pubblicato
da Alessia De Giosa
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Estratto del testo
NOTA: tagliare il blocco di pagine della tesi (stampata fronte-retro)
lungo le due linee qui tracciate prima di effettuare la rilegatura
NOT A: an ch e qu est a pa gi n a bi an ca f a pa rt e de l b lo cc o di p ag in e della te si UNIVERSIT' DEGLI STUDI DI CATANIA Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Davide Rapicavoli L''USO DELLE FUNZIONI GENERALIZZATE PER LA FORMULAZIONE DI ELEMENTI FINITI DI TRAVI NON OMOGENE ED INELASTICHE Tesi di dottorato in Ingegneria strutturale e geotecnica Supervisore: Coordinatore del Dottorato: Prof. Ing. Ivo Caliò Prof. Ing. G. Oliveto Gruppo di Tesi Prof. Ing. Salvatore Caddemi
Dott. Ing. Francesco Cannizzaro
Dott. Ing. Bartolomeo Pantò Anno Accademico 2011-2012 INDICE Introduzione ........................................................................................... 5 Capitolo 1............................................................................................... 10
APPROCCI DI MODELLAZIONE DELLA TRAVE
INELASTICA ................................................................. 10

1.1 Premessa ........................................................................................... 10
1.2 Introduzione ..................................................................................... 10 1.2.1 Elementi finiti a plasticità concentrata .................................. 11 1.2.2 Elementi finiti a plasticità diffusa .......................................... 15 1.3 Elementi finiti a plasticità diffusa: formulazione generale ............. 22 1.3.1 Richiami generali sulla risoluzione delle strutture ................ 22 1.3.2 Definizione del modello ........................................................... 24 1.3.3 L''elemento finito trave a plasticità diffusa nella formulazione
DB 28 1.3.3.1 Ipotesi cinematica ..................................................... 28
1.3.3.2 Matrice di rigidezza .................................................. 29
1.3.3.3 Matrice di rigidezza della sezione ............................ 31
1.3.3.4 Forze nodali reattive (resisting forces) .................... 34
1.3.3.5 Determinazione dello stato dell''elemento (Element
State Determination) ............................................................... 35
1.3.3.6 Determinazione dello stato della sezione .................... 36 1.3.4 L''elemento finito trave a plasticità diffusa nella formulazione
FB 39 1.3.4.1 Relazioni fondamentali ................................................ 41 2 Indice 1.3.4.2 Determinazione dello stato dell''elemento secondo
Spacone et al. (1996) ................................................................ 43
1.3.4.3 Determinazione dello stato dell''elemento senza
iterazioni .................................................................................. 47 1.4 Bibliografia ....................................................................................... 49 Capitolo 2............................................................................................... 55
MODELLI DI TRAVE CON DISCONTINUIT' MULTIPLE55
2.1 Premessa ........................................................................................... 55
2.2 La trave di Eulero Bernoulli con una discontinuità ........................ 56 2.2.1 La trave di Eulero Bernoulli con una discontinuità nella
rigidezza flessionale di tipo Heaviside ............................................. 58 2.2.1.1 Esempio numerico ........................................................ 59 2.2.2 La trave di Eulero Bernoulli con una discontinuità nella
rigidezza flessionale di tipo Delta di Dirac ...................................... 62 2.2.2.1 Trave semplicemente appoggiata con singola
discontinuità nelle rotazioni .................................................... 66 2.3 La trave di Eulero Bernoulli con discontinuità multiple ................. 69
2.5 Soluzione della trave di Eulero-Bernoulli con discontinuità multiple
negli spostamenti assiali ......................................................................... 75
2.6 Bibliografia ....................................................................................... 80 Capitolo 3............................................................................................... 83
LA TRAVE DI TIMOSHENKO CON DISCONTINUIT'
MULTIPLE .................................................................... 83

3.1 Introduzione ..................................................................................... 83
3.2 Il modello trave in presenza di discontinuità .................................. 85
3.3 Soluzione in forma chiusa della trave con discontinuità ................. 88
3.4 Funzioni di forma ............................................................................. 93
3.5 Matrice di rigidezza .......................................................................... 96
3.6 Matrice di massa coerente ................................................................ 96
3.7 Analisi statica lineare di un telaio piano ......................................... 98
3.8 Bibliografia ..................................................................................... 103 Indice 3 Capitolo 4............................................................................................. 105
UN NUOVO ELEMENTO FINITO TRAVE A PLASTICIT'
DIFFUSA (GDB) .......................................................... 105

4.1 Premessa ......................................................................................... 105
4.2 Forze e spostamenti nodali ............................................................ 106
4.3 Ipotesi cinematiche ......................................................................... 107
4.3.1 Le funzioni di forma generalizzate adottate nella discretizzazione108 4.3.1.1 La definizione della trave non omogenea equivalente108 4.4 Campo di deformazione .................................................................. 112
4.6 Campo di tensione .......................................................................... 114
4.7 Matrice di rigidezza ........................................................................ 115
4.8 Forze nodali reattive ...................................................................... 117
4.9 Determinazione dello stato dell''elemento ...................................... 119 Capitolo 5............................................................................................. 125
APPLICAZIONI NUMERICHE .................................... 125
5.1 Premessa ......................................................................................... 125
5.2 Trave a mensola ............................................................................. 126 5.2.1 ADINA '' modelli DB ............................................................. 126 5.2.2 SeismoStruct '' modelli DB e FB .......................................... 129 5.2.3 OpenSees '' modello FB ........................................................ 132 5.2.4 Elemento finito GDB ............................................................. 133 5.2.5 Curve di capacità ................................................................... 139 5.3 Telaio piano (legame costitutivo EPP) ............................................ 141 5.3.1 ADINA '' modelli DB ............................................................. 142 5.3.2 SeismoStruct '' modelli DB e FB ........................................... 145 5.3.3 OpenSees '' modello FB ......................................................... 149 5.3.4 Elemento finito proposto GDB .............................................. 150 5.3.5 Analisi limite ......................................................................... 155 5.3.6 Curve di capacità ................................................................... 156 5.4 Telaio piano (legame costitutivo incrudente) .................................. 158 4 Indice 5.4.1 Elemento finito proposto GDB .............................................. 158 5.4.2 SeismoStruct '' modelli DB e FB ........................................... 165 5.4.3 Curve di capacità ................................................................... 167 5.5 Bibliografia ..................................................................................... 168 Appendice ............................................................................................ 169
Appendice A: L''algoritmo di Newton-Raphson ..................................... 169
Appendice B: Soluzione in forma chiusa della matrice di rigidezza .... 174
Appendice C: Soluzione in forma chiusa della matrice di massa coerente176

Introduzione Nell''ambito degli elementi finiti trave esiste un''enorme letteratura sia
in ambito lineare che in presenza di nonlinearità geometriche e/o costi-
tutive. Nonostante gli enormi progressi ottenuti vi sono ancora molti
ambiti suscettibili di ulteriori sviluppi che possono determinare ulteriori
miglioramenti sia in termini di accuratezza della soluzione, soprattutto
in ambito nonlineare, che in termini di facilità di implementazione e di
costi computazionali. Tra gli argomenti di maggiore interesse vi sono:
- studi orientati alla modellazioni di sistemi intelaiati di travi con di-
scontinuità che possono essere rappresentative della presenza di danni
concentrati e/o diffusi. L''analisi del problema diretto costituisce il primo
passo verso una più agevole formulazione dei problemi inversi per
l''indentificazione dell''intensità e della posizione del danno.
- ricerche rivolte alla definizione e al confronto di modelli di trave inela-
stica per l''analisi della risposta non lineare, statica e dinamica, di strut-
ture intelaiate.
Queste sono le tematiche di ricerca in cui si collocano gli studi riportati
nella presente tesi. In particolare, si propone l''uso di funzioni di forma
generalizzate per la formulazione di elementi finiti trave sia in ambito
lineare che nonlineare. In particolare tali funzioni, qualche volta definite
arricchite, possono essere utilizzate sia per la modellazione di sistemi di
travi non-omogene e/o in presenza di danni concentrati o distribuiti che
nel più generale ambito delle travi inelastiche per le quali si propone un
approccio agli spostamenti, a plasticità diffusa, coerente con funzioni di
forma discontinue variabili in relazione alla risposta dell''elemento. Le
due formulazioni, apparentemente disgiunte, sono in realtà strettamen- 6 Introduzione te legate essendo l''elemento relativo alla trave inelastica basato sui ri-
sultati ottenuti in ambito lineare per la trave con discontinuità.
Entrambe le formulazioni prendono spunto dalla determinazione della
soluzione flessionale esatta esplicita di una trave di Timoshenko con di-
scontinuità concentrate e diffuse, che presenta l''enorme vantaggio di di-
pendere, nel piano, soltanto da quattro costanti d''integrazione, come per
la trave omogenea, indipendentemente dal numero e dalla natura delle
discontinuità presenti. Tale circostanza consente una facile determina-
zione delle funzioni di forma che risulteranno generalizzate, nella natu-
ra algebrica, contentendo al loro interno una parte continua ed una di-
scontinua che tiene conto di tutte le discontinuità presenti nell''elemento
trave. E'' importante ribadire che per modellare la natura discontinua
dell''elemento non è necessario aggiungere gradi di libertà in corrispon-
denza delle discontinuità siano esse concentrate o distribuite.
La tesi è organizzata in 6 capitoli i cui contenuti sono riassunti nel se-
guito:

Il capitolo 1 riporta una panoramica degli approcci di modellazione agli
elementi finiti per la trave inelastica. L''attenzione è principalmente ri-
volta agli approcci a plasticità diffusa.

Il capitolo 2 considera lo stato dell''arte relativo alla definizione di ele-
menti finiti di travi in presenza di discontinuità in ambito elastico line-
are attualmente limitato alla sola trave di Eulero.

Il capitolo 3 è relativo alla formulazione in regime elastico lineare di un
nuovo elemento finito relativo alla trave di Timoshenko in presenza di
discontinuità concentrate e diffuse. Tale elemento è funzione dei soli
gradi di libertà nodali qualunque sia il numero e la natura delle discon-
tinuità. Oltre alla matrice di rigidezza è stata determinata la matrice di
massa coerente con le funzioni di forma discontinue e sono stati effet-
tuati alcuni confronti con risultati di letturatura ottenuti con diversi
approcci. Introduzione 7
Il capitolo 4 si rivolge alle travi inelastiche a plasticità diffusa, e consi-
dera la formulazione di un nuovo elemento finito di trave inelastica con
approccio agli spostamenti basato sull''uso di funzioni di forma genera-
lizzate e variabili nel passo. La procedura proposta permette di aggior-
nare la distribuzione delle discontinuità flessionali di ciascun elemento
finito, in maniera coerente con la rigidezza flessionale delle sezioni di
controllo adottate nell'integrazione numerica alla Gauss-Lobatto. Tale
procedura permette di cogliere all'interno di ciascun elemento finito di-
stribuzioni non lineari nelle curvature causate dalla formazione e dalla
diffusione delle deformazioni plastiche. Ciò è possibile operando con un
solo elemento finito grazie alla capacità dell''elemento di cogliere le va-
riazioni di discontinutà all suo interno e tradurle in un aggiornamento
delle funzioni di forma che dipendono dai soli gradi di libertà nodali
dell''elemento.

Il capitolo 5 riporta una validazione numerica dell''elemento inelastico
proposto attraverso il confronto con i risultati ottenuti da altre formula-
zioni a plasticità diffusa implementate nei software OpenSees, Seismo-
Struct e ADINA. Alla fine del capitolo vengono illustrati i vantaggi e gli
svantaggi della formulazione proposta rispetto agli altri approcci esi-
stenti.
I risultati relativi all''elemento finito proposto sono stati ottenuti at-
traverso un codice di calcolo agli elementi finiti, attualmente implemen-
tato in ambiente MATLAB, con cui è possibile eseguire analisi statiche
lineari e non lineari di strutture intelaiate. E'' in corso
d''implementazione la parte di codice necessaria per l''esecuzione di ana-
lisi dinamiche.

8 Introduzione
































[Questa pagina è volontariamente lasciata in bianco] Introduzione 9 Capitolo 1
APPROCCI DI MODELLAZIONE DELLA TRAVE
INELASTICA
1.1 Premessa In questo capitolo si riporta una breve panoramica dei principali ap-
procci di modellazione agli elementi finiti proposti da diversi autori per
la valutazione della risposta non lineare di strutture intelaiate. Esiste
ormai una vastissima letteratura su tale argomento, quanto nel seguito
riportato vuole costituire soltanto un inquadramento generale orientato
alla formulazione di base dei diversi approcci attualmente utilizzati sia
in ambito accademico che professionale. 1.2 Introduzione Seguendo un ordine cronologico dapprima si accennerà ai modelli a pla-
sticità concentrata, ancora largamente utilizzati nella pratica professio-
nale ed implementati in numerosi software strutturali. Successivamen-
te verranno illustrati gli approcci a plasticità diffusa, agli spostamenti e
agli sforzi, con particolare riferimento alle formulazioni utilizzate nei
software più diffusi in ambito accademico e professionale. In conclusione
si riporteranno alcune considerazioni sui pregi e difetti di ciascuna for-
mulazione e sugli ambiti ritenuti suscettibili di ulteriori sviluppi. La
trattazione è limitata all''ambito dei piccoli spostamenti. Approcci di modellazione della trave inelastica 11 1.2.1 Elementi finiti a plasticità concentrata I modelli di trave a plasticità concentrata sono stati inizialmente propo-
sti per lo studio della risposta inelastica dei pilastri snelli (Clough &
Jonston 1966, Giberson 1967). Nelle diverse formulazioni proposte si i-
potizza che il comportamento inelastico della trave sia equivalente a
quello di un elemento elastico monodimensionale alle cui estremità sono
presenti due molle rotazionali rigido-plastiche il cui legame isteretico è
prestabilito: in fase elastica il comportamento delle molle è rigido al fine
di ripristinare la congruenza negli spostamenti senza che si determinino
spostamenti e/o rotazioni plastiche nelle molle stesse; in fase plastica la
rigidezza delle molle assume un valore finito e risulta funzione del le-
game inelastico attribuito alla sezione della trave che si intende model-
lare. In generale tali modelli ammettono che le deformazioni inelastiche
possano svilupparsi solamente in corrispondenza delle estremità della
trave: tali zone sono note anche come ''plastic hinge region', ossia zone
dove potenzialmente possono svilupparsi cerniere plastiche.
Le motivazioni che hanno spinto la ricerca scientifica di quegli anni ver-
so questi tipi di modelli sono dovute al presupposto che i momenti flet-
tenti, sotto la combinazione delle azioni sismiche e dei carichi di eserci-
zio, sono maggiori in corrispondenza delle sezioni di estremità degli e-
lementi. Sebbene tale ipotesi sia generalmente riscontrabile nei pilastri,
non è sempre verificata nelle travi, in particolare in quelle dei piani più
alti dell''edificio, dove le cerniere plastiche possono formarsi in zone dif-
ferenti da quelle di estremità della trave. Inoltre, poiché si assume che il
comportamento inelastico della trave viene completamente condensato
nelle molle non lineari di estremità, non è possibile riprodurre tutti quei
fenomeni associati alla diffusione del danneggiamento nelle vicinanze
delle sezioni di estremità della trave per effetto dello sviluppo di defor-
mazioni plastiche.
Un'altra limitazione sull''uso di modelli a plasticità concentrata è dovuta
al fatto che è possibile assumere un unico e prestabilito tipo di legame
isteretico che descrive il comportamento sotto carico ciclico delle molle
non lineari: la scelta dei valori numerici da assegnare ai parametri che 12 Capitolo 1 caratterizzano il legame isteretico richiede una considerevole esperienza
e, in genere, viene fatta su formule di origini semi-empiriche.
Il principale vantaggio è il loro limitato onere computazionale richiesto
nell''esecuzione delle analisi e la possibilità di tenere in conto diverse ca-
ratteristiche, tra cui è possibile citare la degradazione della rigidezza
sia a flessione che a taglio, del pinching per effetto dei carichi ciclici, fi-
xed end rotations per simulare il fenomeno dello sfilamento delle arma-
ture (bar pull-out). Inoltre questi modelli sono in grado di seguire un
prestabilito legame momento-curvatura (che richiede comunque una ul-
teriore analisi a livello sezionale da eseguire), mentre l''iterazione tra il
momento flettente e lo sforzo normale è solo approssimativamente rap-
presentata. In letteratura è possibile reperire ampie descrizioni di que-
ste formulazioni come, ad esempio, in Carr (2007) e Filippou & Fenves
(2004). Il modello proposto da Clough and Johnston (1967), detto anche
parallel-component-element, è stato suggerito per lo studio di strutture
intelaiate caratterizzate da travi aventi un legame costitutivo momento-
rotazione bilineare: il modello è composto da due sub-elementi disposti
in parallelo caratterizzati, il primo, da un legame elastico perfettamente
plastico per rappresentare la fase di snervamento ed, il secondo, da un
legame indefinitamente elastico per rappresentare la fase di incrudi-
mento. Nel parallel-component-element la matrice di rigidezza è data
dalla somma delle rigidezze possedute dai suoi componenti.. Figura 1 '' Il modello a plasticità concentrata ''parallel component' (Clough & Johnston 1967) Il modello proposto da Giberson (1967), noto anche sotto il nome di one-
component-element, è composto da sub-elementi disposti in serie e consi- Approcci di modellazione della trave inelastica 13 ste in un elemento elastico monodimensionale alle cui estremità sono
presenti due molle rotazionali non lineari. Lo schema di questo modello
è riportato in Figura 2. Figura 2 '' Il modello a plasticità concentrata ''one''component''element' (Giberson, 1967) Il legame inelastico momento-rotazione di ciascuna molla è calcolato i-
potizzando che il punto di inflessione della trave coincida sempre con la
mezzeria. Uno dei principali vantaggi del modello di Giberson è che la
risposta di ciascuna molla è indipendente da quella degli altri elementi
della trave.
Suko & Adams (1971) propongono un modello analogo a quello di Giber-
son, in cui il punto di inflessione non coincide con la mezzeria della tra-
ve ma si localizza nel punto in cui si manifesta inizialmente nella fase di
carico elastica. La posizione del punto di inflessione si assume fissa nel
corso dell''analisi non lineare.
I modelli di Giberson (1967) e di Suko & Adams (1971) non sono utiliz-
zabili laddove si determina una diversa posizione del punto di inflessio-
ne durante la storia di carico. Se infatti, in una estremità della trave, si
sviluppa una cerniera plastica, avviene una ridistribuzione dei carichi
che, in genere, determina una diversa distribuzione delle curvature e,
quindi, una diversa posizione del punto di inflessione. Al contempo si
determina, nei pressi della sezione critica dove si è formata la cerniera
plastica, un notevole incremento delle deformazioni plastiche. Pertanto
l''ipotesi che prevede un punto di inflessione fisso appare contradditto-
ria.
Takizawa (1976) ha esteso il modello di Clough and Johnston (1967) in-
troducendo il multi-component-element, ossia un elemento finito trave 14 Capitolo 1 composto da più sub-elementi disposti in parallelo e caratterizzati da di-
stinti legami costitutivi, adatto per poter descrivere la risposta di travi
caratterizzate da un legame momento-rotazione di tipo multilineare.
Un elenco esteso di modelli a plasticità concentrata è riportato in Zeris
(1986) e Taucer (1991). Tra gli altri è possibile ricordare i modelli a pla-
sticità concentrata che includono il degrado di rigidezza flessionale e a
taglio sotto carichi ciclici (Clough and Benuska 1966, Takeda et al.
1970, Brancaleoni et al. 1983), il degrado per pinching (Banon et al.
1981, Brancaleoni et al. 1983, D''Ambrisi and Filippou 1999), rotazioni
rigide nelle interfacce dei nodi trave-colonna per modellare il fenomeno
dello sfilamento delle armature (bar pull-out) (Otani 1974, Filippou and
Issa 1988, D''Ambrisi and Filippou 1999). In questi modelli in genere
viene trascurata l''interazione momento-sforzo normale. Il modello pro-
posto da Ozdemir (1981) è basato su legami isteretici con leggi costituti-
ve continue per la definizione del comportamento non lineare delle molle
di estremità. Un estesa trattazione dei legami costitutivi utilizzabili in
questi modelli è fornita da Iwan (1978).
Il modello di Lai et al. (1984), proposto per lo studio di travi prismatiche
in c.a. a sezione rettangolare, permette di valutare la risposta inelastica
delle sezioni di estremità attraverso un approccio a fibre. ' composto da
un elemento elastico tipo trave alle cui estremità sono presenti due ele-
menti di interfaccia inelastici, aventi lunghezza nulla, posti rispettiva-
mente alle estremità di un elemento elastico. Ciascun elemento di inter-
faccia è composto al suo interno da quattro molle non lineari, poste in
corrispondenza dei quattro angoli dell''elemento e da una molla centrale
reagente solo a compressione. Le armature longitudinali sono modellate
tramite le molle d''angolo mentre la molla centrale modella il comporta-
mento della sezione in calcestruzzo.
Lo sviluppo degli elementi finiti a plasticità concentrata ha raggiunto il
suo apice in termini di popolarità e diffusione, almeno qui in Italia, negli
anni appena successivi all''introduzione della nuova norma sismica
(OPCM. 3274/2003). Tuttavia tale filone di ricerca oggi appare molto ri-
dimensionato di fronte ai progressi compiuti dagli elementi finiti a non
linearità diffusa. Approcci di modellazione della trave inelastica 15 Figura 3 '' Il modello a plasticità concentrata con cerniere a fibre (Lai et al, 1984) 1.2.2 Elementi finiti a plasticità diffusa Gli elementi finiti trave a plasticità diffusa sono stati sviluppati tra
gli anni 70-80 (J. T. Oden, 1969, 1972; P. V. Marcal, 1967; H. D. Hibbitt
P. V. Marcal and J. R. Rice, 1970; P. K. Larsen, 1971; J. F. McNamara,
1972 ; K.J. Bathe and H. Ozdemir, 1976; K.J. Bathe and E. L. Wilson,
1976; Bathe & Bolourchi, 1979 ) e descrivono in maniera più accurata il
comportamento inelastico delle travi. In questi elementi le deformazioni
plastiche possono diffondersi all''interno dell''elemento. Il comportamento
non lineare viene introdotto mediante legami costitutivi non lineari a
livello di sezione che possono essere espressi in termini di caratteristi-
che della sollecitazione ( , , ) N M V e deformazioni generalizzate ( , , )    in accordo alla teoria classica della plasticità, ovvero derivati esplicita-
mente secondo una modellazione a fibre della sezione. In quest''ultimo
caso viene assegnata a ciascuna fibra un legame costitutivo monoassiale
non lineare espresso in genere in termini di tensioni e deformazioni ( )   ' . L''approccio adottato in questi elementi prevede la valutazione della risposta tramite integrazione numerica. Ciò implica la suddivisio-
ne dell''elemento in un numero finito di conci. Per ciascun concio si defi-
nisce una sezione di controllo, che si assume essere rappresentativa del
comportamento inelastico delle altre sezioni del concio. La lunghezza dei 16 Capitolo 1 conci e la posizione delle rispettive sezioni di controllo dipendono esclu-
sivamente dal metodo di integrazione numerica adottato. Figura 4 - Elemento finito a plasticità diffusa con sezioni di controllo ''modellate a fibre' Un importante vantaggio di questi tipi di modelli è dovuto al fatto che le
zone potenzialmente plasticizzabili non sono più confinate alle sole se-
zioni di estremità della trave poiché tutte le sezioni di controllo possono
avere escursioni in campo plastico. Inoltre nel caso in cui le sezioni di
controllo siano modellate secondo l''approccio ''a fibre' non è necessario
ricorrere a tecniche di calibrazione dei parametri che regolano il legame
costitutivo isterertico momento-curvatura delle sezioni di controllo e,
pertanto, non è necessario ricorrere a formule empiriche di dubbia vali-
dità. L''approccio di modellazione a fibre presenta numerosi vantaggi che
possono essere riassunti nel seguito: ' nessun obbligo di svolgere, per gli elementi, un''analisi propedeu- tica momento-curvatura; ' nessun bisogno di introdurre alcun tipo di comportamento istere- tico associato agli elementi (dal momento che tale comportamen-
to è implicitamente definito dai legami costitutivi dei materiali
associati alle fibre; ' modellazione diretta dell''interazione tra lo sforzo normale ed i momenti flettenti (sia in termini di resistenza che di rigidezza), ' rappresentazione diretta del carico biassiale;
' interazione tra le resistenze flessionali nelle direzioni ortogonali. Approcci di modellazione della trave inelastica 17 I primi modelli a plasticità diffusa erano molto semplici e poco efficaci,
non consideravano l''interazione tra il momento e lo sforzo normale (O-
tani 1974, Soleimani et al. 1979, Meyer et al. 1983) tuttavia ben presto
si evolsero. Il modello proposto da Otani (1974) è composto da due ele-
menti a mensola, disposti in serie, connessi rigidamente tra loro in cor-
rispondenza del punto di inversione della curvatura (cfr. Figura 5). Tale
punto si assume fisso durante la storia di carico. Nelle sezioni di estre-
mità sono presenti due molle inelastiche le cui rotazioni dipendono dalla
distribuzione delle curvature nell''elemento.
Figura 5 '' Modello di Otani (1974):
A) distribuzione del momento,
B) distribuzione della curvatura,
C) molle rotazionali inelastiche equivalenti,
I.P. punto di inversione della curvatura.
Tratto da Taucer et al (1991)
Il modello proposto da Soleimani et al. (1979) è composto da un ele-
mento finito trave elastico i cui conci di estremità sono plasticizzabili.
Ciascun concio di estremità ha una lunghezza variabile e dipendente dal
livello di sollecitazione. Il modello di trave proposto da Meyer et al.
(1983)
è simile a quello di Soleimani et al. (1979) e si distingue per la
procedura di calcolo adottata nella valutazione della rigidezza delle zone
inelastiche nelle fasi di carico ciclico e nel legame isteretico momento-
curvatura che viene adottato secondo il modello di Takeda (1970) per la
caratterizzazione della rigidezza flessionale dell'elemento. Questo mo-
dello è stato successivamente esteso da Roufaiel e Meyer (1987), per 18 Capitolo 1 includere gli effetti dello sforzo normale e dello sforzo taglio sulla rispo-
sta flessionale dell'elemento tramite l''introduzione di regole empiriche.
La risposta assiale dell'elemento risulta comunque indipendente da
quella flessionale. Figura 6 '' Modello di Roufaiel e Meyer (1987) Darvall and Mendis (1985) proposero un modello simile a quello di
Roufaiel e Meyer (1987) in cui il legame momento curvatura adottato è
trilineare. Figura 7 '' Legame costitutivo trilineare (Darvall and Mendis, 1985)
Il modello di Takayanagi and Schnobrich (1979), noto anche sotto il
nome di multiple spring model, è stato proposto inizialmente per lo stu-
dio della risposta sismica di strutture intelaiate accoppiate a pareti di
taglio. In questo modello la trave viene suddivisa in numero finito di
conci. Ciascun concio viene modellato mediante una molla rotazionale
non lineare ubicata nella mezzeria del concio stesso (cfr. Figura 8). Le
molle non lineari sono caratterizzate da una superficie di snervamento
tridimensionale (N-My-Mz) attraverso cui è possibile valutare Approcci di modellazione della trave inelastica 19 l''interazione tra lo sforzo normale e i momenti flettenti nelle due dire-
zioni. Figura 8 '' Multiple spring model (Takayanagi and Schnobrich, 1979) I primi elementi a plasticità diffusa venivano risolti con la classica pro-
cedura in termini di rigidezza in cui si assume che il campo degli spo-
stamenti sia ottenuto mediante l''uso di funzioni di forma, quali ad e-
sempio le funzioni di Hermite (Hellesland & Scordelis, 1981; Mari &
Scordelis, 1984). In questi elementi la matrice di rigidezza e le forze no-
dali (resisting forces), sono ottenute mediante integrazione numerica at-
traverso l''applicazione del principio dei lavori virtuali (PLV), imponendo
l''equilibrio in forma debole. I principali vantaggi derivanti dall''uso degli
elementi finiti formulati in termini di spostamento possono essere rias-
sunti nei seguenti punti: ' possibilità di descrivere la diffusione della plasticizzazione nell''elemento; ' la plasticizzazione non è vincolata alla definizione di sezioni cri- tiche; 20 Capitolo 1 ' estrema semplicità di implementazione nell''ambito dell''algoritmo di Newton Raphson; ' il campo degli spostamenti dell''elemento finito è sempre noto tramite l''uso di funzioni di forma negli spostamenti. Tuttavia tali elementi presentano diversi svantaggi: ' la costrizione cinematica associata all''uso delle funzioni di forma con curvatura lineare introduce notevoli errori e per ottenere ri-
sultati accurati occorre discretizzare la trave in più elementi; ' nel caso di softening non è possibile determinare una soluzione in quanto la rigidezza flessionale della trave non può assumere
valori negativi; ' l''equilibrio tra le forze nodali e le tensioni interne è imposto in forma debole; ' l''approccio di integrazione determina una dipendenza dei risulta- ti dal numero di sezioni di Gauss.
La maggiore limitazione dell'approccio in termini di spostamenti è dovu-
ta all''ipotesi cinematica basata sull''uso di funzioni di forma cubiche, che
determinano una distribuzione delle curvature lineare lungo l'elemento.
Questa ipotesi porta a risultati soddisfacenti solo nel caso in cui la ri-
sposta dell'elemento sia lineare o quasi lineare. Tuttavia, quando le e-
scursioni in campo plastico divengono significative, la distribuzione del-
le curvature diventa altamente non lineare, specialmente in strutture
soggette a carichi ciclici, poiché le funzioni di forma utilizzate non si a-
dattano allo stato inelastico in cui si trova l''elemento e pertanto non so-
no in grado di riprodurre l''effettiva distribuzione delle deformazioni
(Neuenhofer & Filippou, 1997). Per superare tali problemi si ricorre in
genere ad una opportuna discretizzazione della trave in una mesh di e-
lementi finiti. Tuttavia l''utilizzo di questi elementi finiti può determina-
re problemi di convergenza e stabilità numerica.
Alcuni autori proposero nei primi anni '80 diverse strategie di solu-
zione alternative mediante l'introduzione di funzioni di forma variabili
(Mahasurevachai, 1982; Zeris & Mahin, 1988). Tuttavia tali approcci
non riscossero successo proprio perché non riuscirono a dare una chiara Approcci di modellazione della trave inelastica 21 e stabile procedura per la loro implementazione in un programma gene-
rale agli elementi finiti (Zeris & Mahin, 1988), o non convinsero perché
utilizzavano solo parzialmente questa strategia (Menegotto & Pinto,
1977).
Una soluzione definitiva e decisiva a tali problemi venne fornita da
Ciampi & Carlesimo (1986). Gli autori proposero una originale procedu-
ra iterativa per la valutazione dello stato dell''elemento (Element State
Determination) capace di soddisfare, al contempo, le condizioni di equi-
librio, indefinite ed al contorno, con le relazioni costitutive di sezione,
tramite l''uso di funzioni di forma nelle forze, imponendo la congruenza
del campo degli spostamenti tramite l''applicazione del principio dei la-
vori virtuali in forma debole. Tale procedura, nota anche come formula-
zione in termini di forze (FB - force based), ha aperto la strada ad un
importante filone di ricerca, in seguito sviluppata da numerosi ricerca-
tori che l''hanno resa sempre più chiara ed efficace (Taucer et al., 1991,
Spacone et al., 1996; Petrangeli & Ciampi, 1997). La procedura proposta
da Neuenhofer & Filippou (1997) non richiede iterazioni interne alla fa-
se di valutazione dello stato dell''elemento, sebbene si ammetta il soddi-
sfacimento delle equazioni indefinite di equilibrio soltanto al raggiun-
gimento della convergenza della soluzione.
Negli ultimi anni diversi ricercatori hanno cercato di ampliare le poten-
zialità dell''elemento finito formulato in temini di forze, al fine di poter
considerare anche l''influenza di altri fattori nella risposta inelastica del-
la trave, quali il taglio, lo sfilamento delle armature delle travi in c.a..
Un elenco esteso di modelli FB che considerano l''influenza del taglio
nella risposta è riportato in Ceresa et al (2008). Tra gli altri è possibile
ricordare: ' i modelli che utilizzano schemi di tirante puntone (Guedes et al., 1994, 1997; Martinelli, 1998; Ranzo & Petrangeli, 1998); ' i modelli che utilizzano legami di fibra di tipo microplane (Pe- trangeli et al., 1999); ' i modelli che utilizzano i legami di fibra MCTF o smeared crack (Vecchio & Collins, 1998; Gregori et al., 2007; Ceresa et al., 2009) 22 Capitolo 1 ' i modelli che utilizzano l''approccio proposto da Vecchio & Collins (1988) noto come Dual Section Method (Tortolini, 2011) 1.3 Elementi finiti a plasticità diffusa: formulazione generale In questo paragrafo vengono analizzati alcuni tradizionali modelli di e-
lementi finiti trave a plasticità diffusa. Al fine di rendere chiara la sim-
bologia adottata vengono inizialmente richiamate le equazioni fonda-
mentali per la risoluzione delle strutture secondo il noto approccio del
Direct Stiffness Method. Successivamente vengono analizzati gli ele-
menti finiti formulati in termini di spostamenti (DB) e di forze (FB) evi-
denziandone vantaggi e limiti. 1.3.1 Richiami generali sulla risoluzione delle strutture La risoluzione delle strutture secondo il Direct Stiffness Method prevede
la definizione delle seguenti equazioni: ' equazione di congruenza;
' equazione di equilibrio;
' equazione costitutiva.
L''equazione di congruenza mette in relazione il vettore degli sposta-
menti dei gradi di libertà della struttura, U, con il vettore degli sposta-
menti dei gradi di libertà dell''elemento finito, q, , e R e e ' q L L U (1.1) essendo e L la matrice di connettività ed Re L la matrice di rotazione che opera la trasformazione delle coordinate dal sistema di riferimento glo-
bale (rispetto a cui sono definite le componenti del vettore U) a quello
locale dell''elemento finito (rispetto a cui sono definite le componenti del
vettore q).
L''equazione di equilibrio può essere ottenuta applicando il principio
dei lavori virtuali. Siano P e 'U rispettivamente i vettori delle forze e
degli spostamenti virtuali nodali della struttura, e Q e ' e q rispettivamen- Approcci di modellazione della trave inelastica 23 te i vettori delle forze e degli spostamenti virtuali nodali dell''elemento
finito, applicando il principio dei lavori virtuali si ottiene: 1 ' ' e N t t
e e e' '' ' '' ' U P q Q (1.2) Sostituendo l''eq. (1.1) nell''eq. (1.2) si ottiene , 1 ' ' ' , e N t t t t R e e e e' '' ' '' '' '' ' ' U P U L L Q U (1.3) Ciò implica in definitiva che , 1 e N t t R e e e e' ' '' '' ' P L L Q (1.4) L''eq. (1.4) rappresenta la condizione di equilibrio tra il vettore delle for-
ze applicate alla struttura, P , e le forze nodali dei singoli elementi fini-
ti, e Q . Con riferimento ai metodi di analisi non lineare basate sull''algoritmo
di Newton- Raphson è possibile distinguere due livelli principali di ana-
lisi che coinvolgono ' la struttura; ' l''elemento finito. Nel caso di analisi non lineari a controllo di forze si definisce in genere
una storia di carico in termini incrementali e, ad ogni iterazione
dell''algoritmo di Newton-Raphson, si verifica a livello strutturale il sod-
disfacimento dell''equazione di equilibrio (1.4). In tale equazione appaio-
no le forze nodali degli elementi finiti, e Q , che in generale non sono immediatamente note per un fissato campo di spostamenti imposti. Tali
forze nodali possono essere ottenute tramite l''equazione costitutiva
dell''elemento finito che mette in relazione i vettori delle forze e Q e degli spostamenti nodali e q dell''elemento finito ( ) e e f ' Q q (1.5) L''operatore (...) f , noto in letteratura come Element State Determina- tion, permette la determinazione delle forze nodali, e Q , per un fissato campo di spostamenti e q imposto all''elemento finito. Come vedremo nei successivi paragrafi, dipende dalla particolare formulazione 24 Capitolo 1 dell''elemento finito stesso. Nel caso elastico lineare l''eq. (1.5) può essere
scritta nella seguente forma e e e ' '' Q K q (1.6) essendo e K la matrice di rigidezza dell''elemento finito. 1.3.2 Definizione del modello Si consideri una trave i cui nodi di estremità I e J risultano individuati
rispetto ad un sistema di riferimento globale OXYZ . Tale asta risulta
orientata nello spazio secondo il sistema di riferimento locale
dell''elemento oxyz ortogonale e levogiro con origine o ' I . Per definire
l''orientamento degli assi del sistema di riferimento locale si definisca un
sistema di riferimento ausiliario ox y z ' ' ' in modo che l''asse x' risulti di- sposto come il vettore J - I , l''asse y' sia tale che 0 x y ' ' '' ' e e e 0 Z y' '' ' e e l''asse z' sia tale che z x y ' ' ' ' ' e e e . L''asse x del sistema di riferimento lo- cale oxyz risulta coincidente con l''asse x' mentre gli assi y e z risul-
tano individuati in funzione dell''angolo di rotazione  . Figura 9 '' Individuazione dell''elemento finito tipo trave nello spazio rispetto al sistema di riferimento globale OXYZ ed a quello locale dell''elemento oxyz Si definiscono e Q e e q rispettivamente i vettori delle forze e degli spo- stamenti nodali dell''elemento finito trave, espressi nel sistema di rife-
rimento locale dell''elemento (cfr. figura 10) ' ' 1 2 3 4 5 6 7, 8 9 10 11 12 , , , , , , , , , , T e Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q ' Q (1.7) ' ' 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 , , , , , , , , , , , T e q q q q q q q q q q q q ' q (1.8) La risposta torsionale risulta governata da un legame elastico lineare ed
è disaccoppiata da quella flessionale e non verrà considerata nel prosie-
guo della trattazione. 1 e 2 e 3 e X Y Z O y ' x x ' z o ' I J ' y y z ' z  Approcci di modellazione della trave inelastica 25 Figura 10 '' Forze e spostamenti nodali dell''elemento finito trave Nella trave a plasticità diffusa si assume che sia soddisfatta l''ipotesi di
conservazione delle sezioni piane, per cui il campo delle deformazioni
longitudinali risulta
' ' 0 ( , , ) x x x F x y z   ' ' ' ' e e ' P G (1.9)
Nella relazione (1.9): ' ( , , ) x x y z  è la deformazione longitudinale nel punto P di coor- dinate '  , , x y z ' P ; ' 0 ( ) ( ,0,0) x x x   ' è la deformazione longitudinale nel punto G di coordinate '  ,0,0 x ' G ; ' x e è il versore nella direzione x del sistema di riferimento locale della sezione; ' ( ) F x ' è il vettore delle curvature nella sezione di ascissa x : ( ) 0, ( ), ( ) T F y z x x x   ' ' ' ' ' ' 26 Capitolo 1 Figura 11 '' Sezione trasversale della trave Tenuto conto delle definizioni introdotte, l''eq. (1.9) si scrive ' ' 0 ( , , ) x x x y z x x y z z y     ' ' ' e e e ovvero '  0 0 ( , , ) 1 ( , ) ( ) x y z y z x y z z y z y y z x        ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' α d (1.10) Nella eq. (1.10) il campo delle deformazioni ( , , ) x x y z  è descritto dal prodotto scalare tra il vettore ( , ) y z α ed il vettore delle deformazioni generalizzate ( ) x d , realizzando in tal modo una separazione delle varia- bili da quelle dipendenti dalle ascisse ( , ) y z a quelle dipendenti dalla posizione x della sezione.
Con riferimento alle deformazioni trasversali principali ( , ) y z   que- ste sono ovunque trascurate mentre gli scorimenti angolari risultano
nulli nel caso di trave indeformabile a taglio secondo il modello di Eule-
ro-Bernoulli, ovvero non nulli secondo il modello di Timoshenko. y z G ' P F ' Approcci di modellazione della trave inelastica 27 Nell''ipotesi in cui la trave sia indeformabile a taglio il tensore di defor-
mazione diventa 0 0 0 0 0
0 0 0 x  ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' E (1.11)
Inoltre si assume che il campo delle tensioni sia monodimensionale per
cui
( , , ) ( , , ) ( , , ) x x x y z E x y z x y z   ' '' (1.12)
Per un fissato campo di tensioni le caratteristiche della sollecitazione ( ) ( ), ( ), ( ) y z x N x M x M x ' ' ' ' ' D , in corrispondenza della sezione x , sono ottenute tramite la seguente equazione
( ) 1 ( ) ( ) ( , , ) ( , ) ( , , ) ( ) T y x x z N x x M x z x y z d y z x y z d M x y   ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' D α (1.13)
dove ' è l''area della sezione trasversale della trave. Procedendo ad una modellazione ''a fibre' della sezione trasversale della trave l''equazione
(1.13) fornisce il metodo di calcolo del vettore delle caratteristiche della
sollecitazione agenti nella sezione
1 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , , ) ( ) Nfib T y ifib ifib x ifib ifib ifib ifib z N x x M x y z x y z A M x  ' ' ' ' ' ' ' '' '' ' ' ' ' ' ' ' D α (1.14) 28 Capitolo 1 1.3.3 L''elemento finito trave a plasticità diffusa nella formula- zione DB In questo paragrafo si intende analizzare in dettaglio gli elementi finiti
a plasticità diffusa nella formulazione agli spostamenti. In particolare
vengono discusse le ipotesi di base e le procedure che vengono adottate
per il calcolo della matrice di rigidezza e delle forze nodali reattive (resi-
sting forces) tramite la procedura nota in letteratura come Element Sta-
te Determination. 1.3.3.1 Ipotesi cinematica
Il campo degli spostamenti ( ) x u di un punto situato lungo la linea d''asse dell''elemento finito dipende dagli spostamenti nodali e q ed è ot- tenuto tramite funzioni di forma.
Sia ( ) ( ,0,0), ( ,0,0), ( ,0,0) t x y z x u x u x u x ' ' ' ' ' u dove (1.15) essendo ( ), ( ), ( ) xi yj zj N x N x N x le funzioni di forma e i q gli spostamenti nodali dell''elemento. L''eq.(1.15) può scriversi nella seguente forma com-
patta ( ) ( ) e x x ' u N q (1.16) dove (1.17) Le deformazioni generalizzate 0 ( ) ( ), ( ), ( ) T y z x x x x    ' ' ' ' ' d sono ottenute derivando il campo degli spostamenti ' ( ) ( ) x x ' '' d B u (1.18) dove 1 1 2 7 1 2 2 6 3 8 4 12 1 3 2 5 3 9 4 11 ( , 0, 0) ( ) ( ) ( , 0, 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , 0, 0) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x y y y y y z z z z z u x N x q N x q u x N x q N x q N x q N x q u x N x q N x q N x q N x q ' '' ' '' ' '' ' '' ' '' ' '' ' '' ' '' ' '' ' '' 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 x x y y y y z z z z N x N x x N x N x N x N x N x N x N x N x ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' N Approcci di modellazione della trave inelastica 29 2 2 2 2 0 0 ' 0 0 0 0 x x x ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' B (1.19)
Sostituendo l''eq. (1.16) nell''eq. (1.18) si ottiene
' ( ) ( ) ( ) e e x x x ' '' ' d B N q B q (1.20)
essendo ' ( ) ( ) x x ' '' B B N . Bisogna rilevare che nell''approccio classico agli spostamenti le funzioni di forma ( ) x N , e quindi la matrice ( ) x B , sono indipendenti dallo stato di danneggiamento dell''elemento. Nel caso in
cui la trave risulti danneggiata localmente o in maniera diffusa la rispo-
sta in termini di spostamenti si discosta da quella ottenibile Tale aspet-
to sarà oggetto di studio dei successivi capitoli. 1.3.3.2 Matrice di rigidezza
La relazione che lega le forze nodali e Q agli spostamenti nodali e q dell'elemento finito si ottiene applicando il principio dei lavori virtuali
(PLV). Ipotizzando che la trave sia soggetta a solo a forze e spostamenti
nodali e risulti scarica lungo la sua lunghezza il PLV fornisce ( ) t t e e x x e e V V tr dv dv      '' ' '' '' ' '' ' ' T E Q q Q q (1.21) sostituendo l''eq. (1.12) nell''eq. (1.21) si ottiene t x x e e V E dv    '' '' ' '' ' Q q (1.22) sostituendo l''eq. (1.10) nell''eq. (1.22) ( ) ( , ) ( , ) ( ) t t t
e e V x y z E y z x dv   '' '' '' '' ' '' 'd α α d Q q (1.23) L'integrale di volume contenuto nell''eq. (1.23) può essere ancora scritto
come un integrale di area esteso all''area della sezione trasversale ( ) x ' 30 Capitolo 1 per un integrale di linea esteso sulla lunghezza L della elemento finito
trave 0 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) L t t t
e e x x y z E y z d x dx x   ' ' ' '' '' '' ' '' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' d α α d Q q k (1.24) L''integrale esteso all''area della sezione trasversale ( ) x ' è noto in lette- ratura come matrice di rigidezza della sezione x e viene usualmente in- dicato con il simbolo ( ) x k . Nel successivo paragrafo verrà dato un signi- ficato fisico e matematico a questo integrale. Sostituendo l''eq.(1.20)
nell''eq. (1.24) si ottiene 0 ( ) ( ) ( ) L t t t e e e e e x x x dx    '' '' '' ' '' ' ' q B k B q Q q q (1.25) portando tutti i termini al primo membro si ottiene 0 ( ) ( ) ( ) 0 L t t t e e x x x dx   ' ' '' '' ' '' ' ' ' ' ' ' ' q B k B Q q q (1.26) poiché l''eq. (1.26) deve essere soddisfatta  ' q deve accadere che 0 ( ) ( ) ( ) L t t t e e x x x dx '' '' ' ' q B k B Q (1.27) e quindi t t t e e e e e e ' '' ' q K Q Q K q (1.28) essendo e K la matrice di rigidezza dell''elemento finito trave. Stante la sua simmetria risulta 0 ( ) ( ) ( ) L t e x x x dx ' '' '' ' K B k B (1.29) Nell''ambito delle procedure numeriche non lineari l''integrale presente
nell''eq. (1.29) viene risolto numericamente tramite un metodo di inte-
grazione quale, ad esempio, quello di Gauss-Lobatto. In tal caso l''eq.
(1.29) si scrive 1 ( ) ( ) ( ) 2 r N t e r r r r r L w x x x ' ' '' '' '' ' K B k B (1.30) Approcci di modellazione della trave inelastica 31 essendo , r r x w le ascisse ed i relativi pesi definiti dal metodo di integra- zione numerica adottato.
Figura 12 '' Diagramma di flusso per l''assemblaggio della matrice di rigidezza dell''elemento finito DB 1.3.3.3 Matrice di rigidezza della sezione
La matrice di rigidezza della sezione costituisce un importante tas-
sello nella determinazione della risposta dell''elemento finito trave a
plasticità diffusa. Nel presente paragrafo si intende chiarire meglio il
ruolo di questa matrice fornendo al contempo un significato fisico e ma-
tematico.
Si consideri un incremento infinitesimo del vettore delle deformazioni
generalizzate ( ) d x d . Tale incremento determina un incremento infinite- simo della deformazione longitudinale x d  ( , , ) ( , ) ( ) x d x y z y z d x  ' '' α d (1.31) A tale incremento infinitesimo corrisponde un incremento infinitesimo
della tensione longitudinale ( , , ) ( , , ) ( , , ) x x d x y z E x y z d x y z   ' '' (1.32) 32 Capitolo 1 dove con E si indica la derivata del legame costitutivo monodimensio-
nale x x   ' valutato nel punto di coordinate ( , , ) x y z ( , , ) ( , , ) x x P x y z E x y z   ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (1.33)
Ricordando l''eq. (1.13) scritta in termini incrementali si ha ( ) ( , ) ( , , ) T x d x y z d x y z d  ' ' '' ' ' D α (1.34) Sostituendo l''eq. (1.31) e l''eq. (1.32) nell''eq. (1.34) è possibile ottenere la
relazione che sussiste tra l''incremento infinitesimo delle caratteristiche
della sollecitazione e quello associato alle deformazioni
( ) ( , ) ( , , ) ( , ) ( ) T d x y z E x y z y z d d x ' ' '' '' ''' ' D α α d ovvero
( ) ( ) ( ) d x x d x ' '' D k d (1.35)
Nella eq.(1.35) si è indicato con il simbolo ( ) x k la matrice di rigidezza della sezione già ottenuta precedentemente nell''eq. (1.24)
( ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , ) T x x y z E x y z y z d ' ' '' '' ' ' k α α (1.36) Tale matrice di rigidezza assume il significato matematico di derivata
del vettore delle caratteristiche della sollecitazione, ( ) x D , rispetto al vettore delle deformazioni generalizzate, ( ) x d ( ) y z y y y y z z z z y z N N N M M M x M M M          ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' D k d (1.37) Approcci di modellazione della trave inelastica 33 La matrice di rigidezza della sezione può ancora scriversi esplicitando
l''eq. (1.36) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) A x A x A x A x A x A x A x A x A x E x y z dA E x y z zdA E x y z ydA x E x y z zdA E x y z z dA E x y z yzdA E x y z ydA E x y z yzdA E x y z y dA ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' k (1.38)
Nel caso in cui la sezione sia composta da materiale omogeneo ed il si-
stema di riferimento locale dell''elemento finito sia principale di inerzia,
l''eq. (1.38) si riduce nella seguente relazione ( ) 0 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0 ( ) y z A x x E J x E x J x ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' k J (1.39) dove J(x) è la matrice di inerzia della sezione. Procedendo ad una mo-
dellazione a fibre della sezione trasversale della trave è possibile calco-
lare la matrice di rigidezza della sezione tramite l''eq. (1.36) in funzione
delle rigidezze assunte dalle singole fibre ( ) 1 ( ) ( , ) ( , ) n x T ifib ifib ifib ifib ifib ifib ifib x y z E y z A ' ' '' '' '' ' k α α (1.40) dove ifib E è la derivata del legame costitutivo x x   ' della i-esima fibra contenuta nella sezione. Dall''eq. (1.40) si ottiene ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 ( ) n x n x n x ifib ifib ifib ifib ifib ifib ifib ifib ifib ifib ifib n x n x n x ifib ifib ifib ifib ifib ifib ifib ifib ifib ifib ifib ifib ifib ifib ifib ifib ifib E A E A z E A y x E A z E A z E A y z E A y ' ' ' ' ' ' ' '' '' '' ' '' '' ' '' '' '' '' ' '' '' '' ' '' '' ' ' ' ' ' ' k ( ) ( ) ( ) 2 1 1 n x n x n x ifib ifib ifib ifib ifib ifib ifib ifib ifib E A y z E A y ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' '' '' '' '' ' ' ' ' ' ' ' (1.41) 34 Capitolo 1 L''eq. (1.35) può ancora essere scritta in termini finiti
( ) ( ) ( ) x x x ' ' ''' D k d (1.42)
Con riferimento alle procedure di analisi strutturale la determinazione
della matrice di rigidezza dell''elemento finito trave e K avviene tramite integrazione numerica dell''eq. (1.29). Nel caso in cui si adotti il metodo
di integrazione alla Gauss l''eq. (1.29) diventa
1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 r L N t t e r r r r r L x x x dx x x x w ' ' '' '' ' '' '' '' ' ' K B k B B k B (1.43)
essendo r w i pesi di Gauss. Affinchè sia possibile calcolare la matrice di rigidezza dell''elemento finito tramite l''eq. (1.43) è necessario determina-
re le matrici di rigidezza delle sezioni ( ) r x k in corrispondenza delle se- zioni r x di controllo (o di Gauss): solo in corrispondenza di queste sezio- ni è necessario, dunque, valutare lo stato di sollecitazione e di deforma-
zione in cui si trovano le fibre della sezione. La valutazione di
quest''ultime avviene in maniera diretta tramite le eq.(1.10) e eq.(1.20).
Dal legame costitutivo delle fibre è possibile ricavare l''incremento di
tensione x  ' e valutare la corrispondente rigidezza tangente ifib E della fibra stessa. Le caratteristiche della sollecitazione ( ) r x 'D sono allora immediatamente determinate attraverso l''eq. (1.13) scritta in termini
incrementali
( ) ( , ) ( , , ) T x x y z x y z d  ' ' ' ''' ' ' D α (1.44) 1.3.3.4 Forze nodali reattive (resisting forces)
Nota la distribuzione delle caratteristiche della sollecitazione lungo
l''elemento, ( ) r x D , il vettore delle forze nodali dell'elemento (element re- sisting forces), e Q , può essere calcolato applicando il principio dei lavori virtuali Approcci di modellazione della trave inelastica 35 0 ( ) ( ) L T T e e x x dx   ' ' q Q d D (1.45)
Sostituendo l''eq. (1.20) nella eq. (1.45) si ottiene 0 ( ) ( ) L T T T e e e x x dx   ' ' q Q q B D (1.46)
Portando tutti i termini al primo membro si ha 0 ( ) ( ) 0 L T T e e e x x dx   ' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' q Q B D q (1.47)
Tale relazione deve essere soddisfatta per un arbitrario campo di spo-
stamenti e q per cui dovrà essere 0 ( ) ( ) L T e x x dx ' '' ' Q B D (1.48) Con riferimento alle procedure di analisi strutturale la determinazione
della matrice di rigidezza dell''elemento finito trave e Q avviene tramite integrazione numerica dell''eq. (1.48). Nel caso in cui si adotti il metodo
di integrazione alla Gauss l''eq. (1.48) diventa 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 r L N T T e r r r r L x x dx x x w ' ' '' ' '' '' ' ' Q B D B D (1.49) essendo r w i pesi di Gauss. 1.3.3.5 Determinazione dello stato dell''elemento (Element State Determination) Con il termine ''determinazione dello stato dell''elemento' (Element State
determination) si intende la soluzione del problema della ricerca delle
forze nodali dell''elemento per spostamenti nodali imposti. Simbolica-
mente ciò si può esprimere come
( ) e e f ' ' ' Q q (1.50)
in cui e 'Q e e 'q sono rispettivamente l''incremento delle forze e degli spostamenti nodali dell''elemento. Tale problematica non si pone in re- 36 Capitolo 1 gime elastico-lineare, in quanto le relazioni tra il campo di forze ed il
campo degli spostamenti sono lineari ed invertibili.
Con riferimento agli elementi finiti DB, la sequenza delle operazioni
contenute nell''eq. (1.50) è riassumibile nei seguenti punti: 1) Per un incremento finito di spostamenti nodali e 'q si impone a ciascuna sezione r x di controllo un campo di deformazioni gene- ralizzate congruente ( ) r x 'd tramite l''eq. (1.20): ( ) ( ) r r e x x ' ' ' d B q 2) Le caratteristiche della sollecitazione ( ) r x 'D che scaturiscono dal campo di deformazioni imposto ( ) r x 'd sono ottenute me- diante l''analisi sezionale (Section State Determination, cfr. §
1.3.3.6) Tale procedura si può esprimere simbolicamente come '  ( ) ( ) r r x g x ' ' ' D d 3) Noti gli incrementi delle caratteristiche della sollecitazione ( ) r x 'D nelle sezioni di controllo è possibile calcolare l''incremento delle forze nodali reattive (resisting forces) tramite
l''eq. (1.49) 1 ( ) ( ) 2 r N T e r r r r L x x w ' ' ' ''' '' ' Q B D 1.3.3.6 Determinazione dello stato della sezione
Con il termine ''analisi sezionale' o ''determinazione dello stato della se-
zione' (Section State Determination), si intende il problema relativo alla
determinazione delle caratteristiche della sollecitazione che scaturisco-
no per un fissato campo di deformazioni generalizzate imposto alla se-
zione. Simbolicamente ciò si può esprimere come '  ( ) ( ) r r x g x ' ' ' D d (1.51)
La soluzione di questo tipo di problema può essere ottenuta mediante la
teoria classica della plasticità basata sull''uso di legami costitutivi non
lineari a livello di sezione che possono essere espressi in termini di ca-
ratteristiche della sollecitazione ( , , ) N M V e deformazioni generalizzate Approcci di modellazione della trave inelastica 37 ( , , )    , ovvero mediante una modellazione a fibre della sezione. In quest''ultimo caso la procedura usualmente adottata consiste nella valu-
tazione del campo di tensioni che si instaura in ciascuna fibra della se-
zione. A tal fine si calcola, per ciascuna fibra della sezione, l''incremento
della deformazione x  ' tramite l''eq.(1.31) qui riportata per semplicità ( , , ) ( , ) ( ) x r ifib ifib ifib ifib r x y z y z x  ' ' ''' α d (1.52)
essendo ( , ) ifib ifib y z le coordinate che individuano la posizione della fibra nella sezione di ascissa r x . Noto l''incremento di deformazione si calcola tramite l''eq.(1.32) l''incremento della tensione elastica E x x E   ' ' ' della fibra ed il suo valore totale E E x x x    ' ' ' . Quindi si verifica la condi- zione di ammissibilità plastica della tensione elastica, E x  , tramite la legge di flusso plastico ( ) 0 E x   ' assegnata alla fibra. Nel caso in cui la verifica non sia soddisfatta si procede alla correzione plastica della ten-
sione ed al calcolo della deformazione plastica in accordo alla teoria
classica della plasticità, viceversa la tensione elastica si assume ammis-
sibile e non si hanno incrementi di deformazione plastica. In entrambi i
casi tale operazione fornisce lo stato tensionale effettivo x  ovvero il suo incremento x  ' nonché la relativa rigidezza tangente ifib E della fibra. Noto il campo di tensione in ciascuna fibra della sezione di controllo in r x è possibile calcolare l''incremento delle caratteristiche della sollecita- zione ( ) r x 'D tramite l''eq. (1.14) espressa in termini incrementali 1 ( ) ( , ) ( , , ) Nfib t r ifib ifib x r ifib ifib ifib ifib x y z x y z A  ' ' ' ''' '' ' D α

Nel seguente grafico si riporta il diagramma di flusso dell''Element State
Determination relativo all''elemento finito formulato in termini di spo-
stamenti.
38 Capitolo 1 Figura 13 '' Diagramma di flusso dell''Element State Determination dell''elemento finito DB Approcci di modellazione della trave inelastica 39 1.3.4 L''elemento finito trave a plasticità diffusa nella formula- zione FB Gli elementi finiti trave formulati in termini di forze (FB), sono basati
sull''uso di funzioni interpolanti delle caratteristiche della sollecitazione,
dette anche funzioni di forma nelle forze. Per travi ad asse rettilineo è
possibile descrivere la risposta della trave mediante la cosiddetta formu-
lazione co-rotazionale che permette la riduzione dei gradi di libertà fles-
sionali dell''elemento finito alle sole componenti rotazionali, escludendo
quelli traslazionali che possono essere associati a puri atti di moto rigi-
do. In tal senso è possibile indicare con e Q e e q rispettivamente i vettori delle forze e degli spostamenti nodali dell''elemento finito con modi di
corpo rigido, ' ' 1 2 3 4 5 6 7, 8 9 10 11 12 , , , , , , , , , , T e Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q ' Q (1.53) ' ' 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 , , , , , , , , , , , T e q q q q q q q q q q q q ' q (1.54) e con e e e Q q rispettivamente i vettori delle forze e degli spostamenti nodali dell''elemento finito senza modi di corpo rigido ' ' 1 2 3 4 5 , , , , T e Q Q Q Q Q ' Q (1.55) ' ' 1 2 3 4 5 , , , , T e q q q q q ' q (1.56) Nella formulazione co-rotazionale tali quantità vettoriali sono messe in
relazione tramite le seguenti equazioni e RBM e ' q L q (1.57) T e RBM e ' Q L Q (1.58) essendo RBM L la matrice di trasformazione 0 1/ 0 0 0 1 0 1/ 0 0 0 0 0 1/ 0 0 0 0 0 1/ 0 0 0 1 0 0 1/ 0 1 0 0 0 1/ 0 0 0 0 0 1/ 0 0 0 0 0 1/ 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 RBM L L L L L L L L ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' L 40 Capitolo 1 Figura 14 - Forze e spostamenti nodali dell''elemento finito con modi di corpo rigido Figura 15 '' Forze e spostamenti nodali dell''elemento finito senza modi di corpo rigido Sotto queste ipotesi è possibile individuare dei polinomi che descrivono
la distribuzione delle caratteristiche della sollecitazione in modo che
siano contemporaneamente soddisfatte sia le equazioni indefinite di e-
quilibrio che le equazioni di equilibrio al contorno (Zeris and Mahin
1988, 1991). Nell''ipotesi che la trave sia soggetta a sole forze nodali le
caratteristiche della sollecitazione sono espresse tramite la seguente re-
lazione vettoriale 3 3 , Q q 1 1 , Q q 5 5 , Q q 2 2 , Q q 4 4 , Q q J I X Y Z O Approcci di modellazione della trave inelastica 41 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y e z N x x M x x M x ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' D b Q (1.59) essendo ( ) x b 1 0 0 0 0 ( ) 0 1 0 0 , 0 0 0 1 x x L      ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' b (1.60) la matrice che contiene le funzioni interpolanti. Tali funzioni, note an-
che come integrali di equilibrio, sono ottenute direttamente dalle ben
note equazioni indefinite di equilibrio 0, 0, 0 x z N V M p p V m x x x ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (1.61) dove ( , , ) x z p p m sono i carichi distribuiti applicati alla trave (rispetti- vamente carichi assiali, flessionali e momenti distribuiti), e ( , , ) N V M rispettivamente lo sforzo normale, lo sforzo di taglio e il momento flet-
tente. Tali equazioni sono soddisfatte sia in campo elastico che in quello
inelastico, indipendentemente dal particolare legame costitutivo o dalla
variabilità della sezione della trave. 1.3.4.1 Relazioni fondamentali
La relazione di congruenza tra il campo degli spostamenti nodali e q e delle deformazioni generalizzate d è ottenuta in forma debole applican- do il principio dei lavori virtuali 0 ( ) ( ) L t t e e x x dx   '' ' '' ' q Q d D (1.62) Sostituendo l''eq.(1.59) nell''eq.(1.62) si ottiene 0 ( ) ( ) L t t e e e e x x dx    '' ' '' '' ' ' q Q d b Q Q Tale relazione deve essere soddisfatta per ogni campo di forze equilibra-
to. Pertanto risulta 0 ( ) ( ) L t e x x dx ' '' ' q b d (1.63) 42 Capitolo 1 L''eq.(1.63) costituisce la condizione di congruenza tra il campo di defor-
mazioni interne ( ) x d e gli spostamenti nodali e q . Nella trave a plastici- tà diffusa FB si assume che sia sempre possibile esprimere le caratteri-
stiche della sollecitazione in funzione delle deformazioni generalizzate
tramite la cosiddetta analisi sezionale (Section State Determination, de-
scritta al § 1.3.3.5 nell''ambito dell''elemento finito trave DB), che simbo-
licamente si può esprimere come '  ( ) ( ) x g x ' D d (1.64) Nel caso in cui la sezione venga modellata a fibre tale analisi consiste
nel determinare il campo di tensioni nella fibre scaturenti per un fissato
campo di deformazioni imposto. Le caratteristiche della sollecitazione
sono quindi ottenute per integrazione numerica tramite l''eq. (1.14).
La relazione inversa non si può esprimere in termini espliciti ma solo in
forma incrementale ( ) ( ) ( ) x x x ' ' ' d f D (1.65) dove ( ) x f è la matrice di flessibilità della sezione. Quest''ultima si ottie- ne invertendo la matrice di rigidezza della sezione ( ) x k già descritta al § 1.3.3.3. 1 ( ) ( ) x x ' ' f k (1.66) Con riferimento alle procedure di analisi non lineare basate sul Direct
Stiffness Method è necessario esprimere la relazione tra le forze e gli
spostamenti nodali dell''elemento finito FB. Tale relazione si ottiene me-
diante l''applicazione del principio dei lavori virtuali 0 ( ) ( ) L t t e e x x dx   '' ' '' ' q Q d D (1.67) Sostituendo le eq. (1.59) (1.65) nell''eq.(1.62) si ottiene 0 ( ) ( ) ( ) L t t t e e e e e x x x dx    '' ' '' '' '' ' ' q Q Q b f b Q Q Tale relazione deve essere soddisfatta per ogni campo di forze equilibra-
to. Pertanto risulta 0 ( ) ( ) ( ) L t e e x x x dx ' '' '' ' q b f b Q ovvero e e e ' '' q F Q (1.68) Approcci di modellazione della trave inelastica 43 dove con e F si indica la matrice di flessibilità dell''elemento 0 ( ) ( ) ( ) L t e x x x dx ' '' ' F b f b (1.69) Nell''ambito delle procedure non lineari l''integrale nell''eq. (1.69) viene
risolto mediante metodi di integrazione numerica 1 ( ) ( ) ( ) 2 r N t e r r r r r L w x x x ' ' '' '' ' F b f b (1.70) dove , r r x w sono le ascisse e i pesi del metodo di integrazione numerica adottato. Con riferimento all''elemento finito FB dotato di gradi di liber-
tà di corpo rigido, eq. (1.54) è possibile ottenere, in definitiva, la matrice
di rigidezza e K tramite le equazioni (1.57), (1.58) e (1.68) 1 e RBM e RBM e e e ' ' '' '' '' ' '' Q L F L q K q (1.71) 1.3.4.2 Determinazione dello stato dell''elemento secondo Spaco- ne et al. (1996) In questo paragrafo viene sinteticamente presentata la procedura riso-
lutiva proposta da Spacone et al. (1996) in una veste parzialmente rivi-
sitata nella simbologia adottata. Questa procedura, basata
sull''algoritmo di Newton Raphson a controllo di spostamenti, fornisce le
forze resistenti dell''elemento in corrispondenza di un campo di sposta-
menti nodali imposti, in maniera tale che siano sempre soddisfatte le
condizioni di equilibrio e di congruenza. Come già premesso, non essen-
do questo l''argomento principe della ricerca sviluppata, la trattazione
sarà improntata sull''operatività più che sugli aspetti teorici. 1) Per un fissato incremento di spostamenti nodali i 'q si calcola l''incremento delle forze nodali di primo tentativo 0 j i ' 'Q tramite la matrice di flessibilità iniziale dell''elemento 0 j' F ovvero la sua inversa, quest''ultima calcolata tramite l''eq. (1.70) ' ' 1 0 j j i i ' ' ' ' ''' Q F q (1.72) e si assegna 1 1 1 j j i i i ' ' ' ' ' ' Q Q Q (1.73) Nelle espressioni si è indicato con i l''indice di iterazione a livello
strutturale e con j l''indice di iterazione di elemento. 44 Capitolo 1 2) Note le forze nodali j i 'Q , per ciascuna sezione r x di controllo si impone una distribuzione di caratteristiche della sollecitazione
tramite le funzioni di forma nelle forze ( ) ( ) j j r r i x x ' ' ''' D b Q (1.74) dove nel termine ( ) j r x 'D si è omesso il pedice i per semplicità 3) Nell''approccio in termini di forze le deformazioni generalizzate ( ) j r x 'd non possono essere calcolate direttamente dalle caratte- ristiche della sollecitazione ( ) j r x 'D perché le relazioni costituti- ve sono in genere fornite in termini di deformazione e non di for-
ze. Per superare questo ostacolo si calcola una soluzione di tenta-
tivo delle deformazioni generalizzate ( ) j r x 'd ottenuta tramite la matrice di flessibilità tangente della sezione ( ) j r x f 1 ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j r r r U r x x x x ' ' ' ' ' ' d f D d (1.75) dove 1( ) j U r x ' 'd è un vettore inizialmente nullo. Quindi si valuta- no gli incrementi delle caratteristiche della sollecitazione tramite
l''analisi sezionale (Section State Determination) che scaturiscono
dal campo di deformazioni generalizzate imposto (cfr. § 1.3.3.6).
Simbolicamente ciò si traduce nella relazione ( ) ( ) j j r r x g x ' ' ' ' ' ' ' D d (1.76) 4) Le caratteristiche della sollecitazione così calcolate non risultano in generale in equilibrio con le forze nodali j i 'Q tramite le fun- zioni di forma nelle forze (essendo state ottenute mediante una
soluzione di tentativo), per cui si determina un residuo locale del-
le caratteristiche della sollecitazione ( ) ( ) ( ) j j j U r r U r x x x ' ' ''' ' ' D b Q D (1.77) 5) Successivamente, riassemblata la matrice di flessibilità tangente della sezione, ( ) j r x f , si calcola il residuo delle deformazioni ge- neralizzate, ( ) j U r x 'd , associato al residuo delle caratteristiche della sollecitazione, ( ) j U r x 'D , tramite la relazione ( ) ( ) ( ) j j j U r r U r x x x ' ' ' d f D (1.78) Approcci di modellazione della trave inelastica 45 Tale residuo ( ) j U r x 'd sta a significare che il campo di deforma- zioni ( ) j r x 'd assunto lungo l''elemento non è esatto, ma necessi- ta di una correzione. Per correggere il campo di deformazioni, si
intraprende una procedura iterativa. 6) Si calcola il vettore degli spostamenti nodali residui j U 'q che ri- sulti congruente con le deformazioni residue ( ) j U r x 'd tramite l''eq.(1.63) 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 r N L j t j t j U U r r U r r L x x dx w x x ' ' ' ''' ' '' ''' ' ' q b d b d (1.79) Si riassembla la matrice di flessibilità tangente dell''elemento e si
aggiorna il vettore delle forze nodali dell''elemento ' ' 1 1 j j j j i i U ' ' ' ' ' Q Q F q (1.80) 7) Nel caso in cui il residuo, valutato integralmente sull''elemento in termini energetici, eccede la tolleranza ritenuta accettabile si
applica all''elemento finito un nuovo campo di forze nodali ' ' 1 1 j j j i U ' ' ' ' ' ' Q F q (1.81) e si ripete la procedura descritta al punto (2) per j=j+1.
Nei seguenti grafici si riporta una descrizione visiva dell''Element State
Determination come suggerita da Spacone et al. (1996).
46 Capitolo 1 Figura 16 '' Element State Determination dell''elemento finito FB tratto da Spacone et al (1996) Approcci di modellazione della trave inelastica 47 1.3.4.3 Determinazione dello stato dell''elemento senza iterazioni
In questo paragrafo viene sinteticamente presentata la procedura riso-
lutiva proposta da Neuenhofer & Filippou (1997) in una veste parzial-
mente rivisitata nella simbologia adottata. La procedura numerica pro-
posta da Neuenhofer & Filippou (1997), come detto al § 1.2.2, non ri-
chiede iterazioni interne alla fase di valutazione dello stato
dell''elemento, sebbene si ammetta il soddisfacimento delle equazioni in-
definite di equilibrio soltanto al raggiungimento della convergenza della
soluzione. Come già premesso negli altri paragrafi, non essendo questo
l''argomento principe della ricerca sviluppata, la trattazione sarà im-
prontata sull''operatività più che sugli aspetti teorici. 1) Per un fissato incremento di spostamenti nodali i 'q imposto all''elemento finito nell''iterazione i-esima dell''algoritmo di
Newton-Raphson a livello strutturale, si calcola l''incremento del-
le forze nodali i 'Q tramite la matrice di flessibilità tangente dell''elemento 1 i' F , ovvero la sua inversa, valutata nell''iterazione precedente (i-1) ' ' 1 1 i i i ' ' ' ' ''' Q F q (1.82) 2) Note le forze nodali i 'Q si impone all''elemento una distribuzio- ne di caratteristiche della sollecitazione tramite le funzioni di
forma nelle forze 1 ( ) ( ) ( ) U i r r i i r x x x ' ' ' ''' ' D b Q D (1.83) a cui corrisponde un campo di deformazioni generalizzate 1 ( ) ( ) ( ) i r i r i r x x x ' ' ' ' d f D (1.84) dove 1( ) U i r x ' D è un vettore inizialmente nullo che contiene le ca- ratteristiche della sollecitazione non bilanciate nell''iterazione
precedente (i-1). Quindi si valutano gli incrementi delle caratte-
ristiche della sollecitazione tramite l''analisi sezionale (Section
State Determination) che scaturiscono dal campo di deformazioni
generalizzate imposto (cfr. § 1.3.3.6) '  ( ) ( ) i r i r x g x ' D d (1.85) dove 1 ( ) ( ) ( ) i r i r i r x x x ' ' ' ' d d d 48 Capitolo 1 3) Successivamente, riassemblata la matrice di flessibilità tangente della sezione, ( ) i r x f , si calcola le deformazioni generalizzate re- sidue, ( ) U i r x 'd , tramite la relazione 1 ( ) ( )[ ( ) ( ) ( )] U i r i r i r i r i r x x x x x ' ' ' ' ' ' d f D D D (1.86) 4) Tale deformazioni residue ( ) U i r x 'd stanno a significare che il campo di deformazioni ( ) i r x 'd assunto lungo l''elemento non è esatto, ma necessita di una correzione. Per correggere il campo di
deformazioni, si calcola il vettore degli spostamenti nodali resi-
dui U
i 'q che risulti congruente con le deformazioni residue ( ) U i r x 'd tramite l''eq.(1.63) ottenuta mediante il PLV 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 r N L U t U t U i i r r i r r L x x dx w x x ' ' ' ''' ' '' ''' ' ' q b d b d (1.87) 5) Questi spostamenti residui vengono trasformati in forze nodali residue in maniera tale che le forze nodali resistenti risultino 1 1 U i i i i i ' ' ' ' ' ' ' Q Q Q F q (1.88) dove i F è la matrice di flessibilità tangente ottenuta tramite l''eq.(1.70). Le caratteristiche della sollecitazione ( ) i r x D , imposte all''elemento mediante l''eq. (1.85), non risultano in generale in
equilibrio con le forze nodali i Q tramite le funzioni di forma nel- le forze, per cui si determina in ciascuna sezione di controllo un
residuo locale delle caratteristiche della sollecitazione ( ) ( ) ( ) U i r r i i r x x x ' ' D b Q D (1.89) tale residuo indica che il campo delle caratteristiche della solleci-
tazione non è esatto e dovrà essere corretto nell''iterazione suc-
cessiva tramite l''eq.(1.83).
La procedura così definita consente all''elemento finito di ottenere il sod-
disfacimento delle condizioni di congruenza sebbene le condizioni inde-
finite di equilibrio risultano soddisfatte soltanto quando si raggiunge la
convergenza della soluzione a livello strutturale. In tal caso il residuo
nelle caratteristiche della sollecitazioni, ( ) U i r x D , tende a zero. Approcci di modellazione della trave inelastica 49 Figura 17 '' Determinazione del residuo nelle caratteristiche della sollecitazione e nelle deformazioni generalizzate. Tratto da Neuenhofer & Filippou (1997). In figura i U i  ' 'd . 1.4 Bibliografia 1. Banon, H., Biggs, J. and Irvine, M., 1981. "Seismic Damage in Rein- forced Concrete Frames" Journal of Structural Engineering, ASCE,
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tronic Computation, St. Louis. 41.Spacone, E., Filippou, F.C., Taucer, F., 1996. "Fiber Beam-Column Model for Nonlinear Analysis of R/C Frames: I. Formulation", Inter-
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ics, Vol. 25, No. 7, July 1996, pp. 727-742. 43.Spacone, E., Filippou, F.C., 1996. "Flexibility-Based Frame Models for Nonlinear Dynamic Analysis", Proceedings, 11th World Confer-
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240, Part I in Feb. 1976, pp. 51-62, Part II in March 1976, pp. 65-77. 54 Capitolo 1 47.Takizawa, H. and Aoyama, H., 1976. "Biaxial Effects in Modeling Earthquake Response of RC Structures." Earthquake Engineering
and Structural Dynamics, 4, pp. 523-552. 48.Takeda, T., Sozen, M.A. and Nielsen, N., 1970. "Reinforced Concrete Response to Simulated Earthquakes." Journal of Structural Engi-
neering, ASCE, 96(ST12), pp. 2557-2573. 49.Taucer, F.F., Spacone, E., Filippou, F.C., 1991. ''A fiber beam-column element for seismic response analysis of reinforced concrete struc-
tures' Report No. UCB/EERC-91/17 Earthquake Engineering Re-
search Center College of Engineering University of California, Berke-
ley. 50.Zeris, C.A., 1986. "Three Dimensional Nonlinear Response of Rein- forced Concrete Buildings." Ph. D. Thesis, University of California,
Department of Civil Engineering, Berkeley. 51.Zeris, C.A. and Mahin, S.A. 1988. "Analysis of Reinforced Concrete Beam-Columns under Uniaxial Excitation." Journal of Structural
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Engineering, ASCE, 117(ST9), pp. 2657-2673. 53.Zienkiewicz, O.C. and Taylor, R.L., 1989. The Finite Element Meth- od. Volume 1. Basic Formulation and Linear Problems. Fourth Edi-
tion. McGraw Hill, London. Capitolo 2
MODELLI DI TRAVE CON DISCONTINUIT'
MULTIPLE
2.1 Premessa In questo capitolo vengono riportate alcune originali modellazioni
della trave di Eulero-Bernoulli in presenza di discontinuità multiple,
che consentono di ottenere la soluzione dell''equazione governante ope-
rando in un unico dominio di integrazione. Tali modellazioni servono ad
analizzare travi con discontinuità concentrate dovute a danni, rigidezze,
forze, cedimenti anelastici, attraverso l''uso di funzioni tratte dalla teo-
ria delle distribuzioni, note in letteratura come funzioni generalizzate. Il
vantaggio di tale approccio è che la risoluzione dell''equazione della tra-
ve di Eulero-Bernoulli non richiede alcuna condizione di continuità in
corrispondenza di tali discontinuità. Inoltre è possibile correlare i para-
metri che definiscono la discontinuità con quelli relativi all''intensità del
danno attraverso modelli di danno verificati su basi sperimentali. Tali
soluzioni, seppur difficili da ricavare a causa delle peculiarità delle ope-
razioni tra le funzioni adottate, gettano le basi per uno studio più vasto
riguardante le analisi di travi deformabili a taglio dotate di discontinui-
tà multiple, che verrà affrontato nel capitolo successivo.

56 Capitolo 2 2.2 La trave di Eulero Bernoulli con una discontinuità Il primo studio condotto sulle travi con discontinuità è dovuto a
Biondi e Caddemi (2005) i quali proposero un interessante metodo di in-
tergrazione dell''equazione differenziale in regime statico della trave di
Eulero-Bernoulli soggetta ad una arbitraria distribuzione di carico, la
cui rigidezza flessionale è discontinua in corrispondenza di una sezione
di ascissa 0 x . La discontinuità nella rigidezza flessionale viene introdot- ta attraverso l''uso di funzioni generalizzate, quali la funzione gradino di
Heaviside o la funzione Delta di Dirac. L''equazione differenziale della
trave di Eulero Bernoulli è esprimibile come ' ' ' ' ( ) ( ) E x I x u x q x ' ' ' ' ' ' ' (2.1) dove ' ' E x è il modulo di Young, ' ' I x è il momento di inerzia della se- zione trasversale, ( ) u x è lo spostamento in direzione trasversale, ( ) q x il carico distribuito. La rigidezza flessionale della trave ' ' ' ' E x I x viene definita dagli autori come somma di due termini, il primo costante 0 0 E I ed il secondo che dipende dalla funzione generalizzata considerata: ' ' ' ' ' ' 0 0 0 1 D E x I x E I x x  ' ' ' ' ' ' ' (2.2) dove: 0 0 E I la rigidezza flessionale costante di riferimento, ' ' 0 D x x ' la funzione generalizzata adottata, 0 x la posizione della discontinuità, '  l'' intensità della discontinuità.
I ricercatori citati hanno analizzato due tipi di funzioni generalizzate, la
funzione gradino di Heaviside 0 ( ) U x x ' e la funzione Delta di Dirac 0 ( ) x x  ' , ottenendo per ciascuna di esse la soluzione in forma chiusa dell''equazione differenziale (2.1). Nel caso in cui si consideri la funzione
gradino di Heaviside l''eq. (2.2) diventa ' ' ' ' ' ' 0 0 0 1 U E x I x E I x x  ' ' ' ' ' ' ' (2.3) L''eq. (2.3) fornisce una distribuzione della rigidezza flessionale della
trave E(x)I(x) costante a tratti in cui è presente una brusca variazione Modelli di trave con discontinuità multiple 57 della rigidezza flessionale attribuibile ad una brusca variazione della
sezione trasversale o ad una brusca riduzione del modulo di Young.
La discontinuità causata dalla funzione di Heaviside determina una va-
riazione della rigidezza flessionale che si mantiene costante e pari a 0 0 E I  per x > x 0 . Figura 18 '' Trave semplicemente appoggiata con brusca variazione della rigidezza flessionale Il secondo tipo di funzione generalizzata che Biondi e Caddemi (2005)
analizzarono, fu la funzione Delta di Dirac:
' ' ' ' 0 0 δ D x x x x ' ' ' , (2.4)
dove ' ' 0 δ x x ' è la distribuzione Delta di Dirac centrata nell''ascissa 0 x . Sostitendo l''eq. (2.4) nell''eq.(2.2), si ottiene
' ' ' ' ' ' 0 0 0 1 δ E x I x E I x x  ' ' ' ' ' ' ' , (2.5)
dove con ' si è indicata il parametro di intensità della discontinuità. La (2.5) definisce un modello di trave la cui rigidezza flessionale è ovunque
costante e pari ad 0 0 E I ad eccezione dell''ascissa 0 x , in cui la funzione delta di Dirac determina una discontinuità. Biondi e Caddemi (2005)
dimostrarono che tale discontinuità determina un salto nella risposta in
termini di rotazioni come quelli causati dalla presenza di cerniere inter-
ne irrigidite da molle rotazionali di rigidezza k (Figura 19). In particola- 58 Capitolo 2 re gli autori hanno dimostrato che sussiste la seguente relazione tra il
parametro di discontinuità ' e la rigidezza della molla k 0 0 1 A k E I    ' ' (2.6) essendo A una costante adottata per la definizione del prodotto tra due
distribuzioni Delta di Dirac. Figura 19 '' Trave semplicemente appoggiata con cerniera interna in cui è presente una molla rotazionale di rigidezza k 2.2.1 La trave di Eulero Bernoulli con una discontinuità nella rigidezza flessionale di tipo Heaviside La soluzione in forma chiusa dell''equazione differenziale della trave di
Eulero Bernoulli (2.1) la cui rigidezza flessionale è definita dall''eq. (2.3)
si esprime come ' ' ' ' ' ' ' ' '  '  '  '  ' ' 2 2 1 2 3 0 0 3 3 2 3 4 0 0 0 4 4 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) U 1 3 2 U 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) U 1 u x c c x c x x x x x c x x x x x x x q x q x q x x x q x x x E I E I       ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.7) Le rotazioni sono ottenute derivando il campo degli spostamenti Modelli di trave con discontinuità multiple 59 ' ' ' ' ' ' ' ' '  '  '  ' ' 2 3 0 0 2 2 2 4 0 0 3 3 3 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 2 U 1 3 U 1 ( ) ( ) ( ) U . 1 x u x c c x x x x x c x x x x x q x q x q x x x E I E I        ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.8)
Le curvature si ottengono derivando la distribuzione delle rotazioni '  ' ' 2 3 4 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 6 1 U 1 q x x u x c c x x x E I    ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.9) La risposta in termini di momento flettente si può ottenere moltiplican-
do la curvatura, eq.(2.9), per la rigidezza flessionale della trave, eq.(2.3) '  2 0 0 3 4 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 q x M x E x I x x E I c c x E I  ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' . (2.10) Derivando l''eq. (2.10) è possibile ottenere la risposta della trave in ter-
mini di sforzo di taglio ' 1 0 0 4 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 q x V x M x E x I x x E I c E I  ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.11) Nelle eq. (2.7)-(2.11) 1 2 3 4 ( , , , ) c c c c sono le costanti di integrazione. La ri- sposta della trave risulta continua negli spostamenti e nelle rotazioni,
cfr. eq.(2.7)-(2.8), e discontinua nelle curvature eq. (2.9) come mostrato
anche dal seguente esempio numerico. Per tale ragione la discontinuità
nella rigidezza flessionale causata dalla funzione di Heaviside viene an-
che detta discontinuità nelle curvature. 2.2.1.1 Esempio numerico
Si consideri la trave in Figura 18 ( ' 10m, I0=6.666e7mm4, E0=206000MPa), soggetta ad un carico uniformemente distribuito 0 q ' 1kNm-1, la cui rigidezza flessionale è ridotta del 10% per 0 3 x x m ' ' . Tale variazione della rigidezza viene modellata tramite una discontinui-
tà nella rigidezza flessionale di tipo Heaviside (  ' 0.9, 0 x ' 3 m), che 60 Capitolo 2 riduce la rigidezza flessionale del 10% per 0 3 x x m ' ' . L''eq.(2.7) forni- sce la risposta della trave in termini di spostamenti a meno delle co-
stanti di integrazione. Queste possono essere determinate imponendo le
seguenti condizioni al contorno (0) 0, M(0) 0, ( ) 0, M( ) 0 u u ' ' ' ' e dopo semplici passaggi algebrici si ottiene 1 3 2 2 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 4 0 0 0, 3 8 6 1 , 1 24 1 24 0, , 12 c q q x x x c E I E I c q c E I    ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' (2.12) Sostituendo le costanti nelle eq.(2.7)-(2.11) si ottiene ' ' ' ' ' ' 3 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 2 3 0 0 0 0 0 0 4 4 4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 8 6 1 ( ) 1 24 1 24 3 2 U 12 1 4 ( ) U 24 1 24 0 q q x x x u x x E I E I q x x x x x x x E I q x q x q x q x x x x x E I E I x        ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.13) ' ' ' ' ' ' 3 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 3 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 8 6 1 ( ) 1 24 1 24 U 4 1 U , 0 6 1 6 q q x x x x E I E I q x x x x x E I q x q x q x x x x E I E I         ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.14) ' ' 2 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 1 U , 0 2 2 1 q x q x x x x x E I E I    ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' (2.15) Modelli di trave con discontinuità multiple 61 2 0 0 ( ) , 0 2 2 q x q x M x x ' ' ' ' 0 0 ( ) , 0 2 q V x q x x ' ' ' ' Figura 20. Risposta della trave in termini di spostamento, rotazione, curvatura, momento e taglio 0 2 4 6 8 10 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 u(x) x[m] [m ] 0 2 4 6 8 10 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 (x) x [m] [r a d ] 0 2 4 6 8 10 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 (x) x [m] [m -1 ] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 5 10 15 M(x) x [m] [kN m ] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -5 0 5 V(x) x [m] [kN ] 62 Capitolo 2 Dai grafici si evince che la risposta in termini di spostamenti, rotazioni,
momento e taglio risulta continua mentre la risposta in termini di cur-
vature risulta discontinua a causa della variazione della rigidezza fles-
sionale in 0 x x ' . 2.2.2 La trave di Eulero Bernoulli con una discontinuità nella rigidezza flessionale di tipo Delta di Dirac La soluzione in forma chiusa dell''equazione differenziale della trave di
Eulero Bernoulli (2.1) la cui rigidezza flessionale è definita dall''eq. (2.5)
si esprime come ' ' ' ' ' ' ' ' '  '  ' ' ' ' 2 1 2 3 0 0 3 4 0 0 0 4 2 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 2 U 1 6 U 1 ( ) ( ) U . 1 u x c c x c x x x x x A c x x x x x x A q x q x x x x x E I A E I       ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.16) La risposta in termini di rotazioni si ottiene come derivata del campo
degli spostamenti ' ' ' ' '  '  ' ' 2 3 0 2 4 0 0 3 2 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 2 U 1 3 2 U 1 ( ) ( ) U , 1 x u x c c x x x A c x x x x A q x q x x x E I A E I        ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.17) La curvatura si ottiene derivando il campo delle rotazioni. '  ' ' 2 3 4 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 6 1 δ 1 q x x u x c c x x x E I A    ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.18) L''espressione del momento flettente e del taglio formalmente coinci-
dono con l''equazioni (2.10) e (2.11) rispettivamente. Infatti, per travi
staticamente determinate, M(x) e V(x) non dipenderanno dalla espres-
sione adottata della rigidezza flessionale. Viceversa, per travi statica- Modelli di trave con discontinuità multiple 63 mente indeterminate, la rigidezza flessionale adottata influenzerà an-
che le espressioni delle costanti di integrazione 3 c e 4 c . L''eq.(2.17), che definisce il campo di rotazioni della trave, presenta
un salto ' ' 0 x  ' nell''ascissa 0 x , che può essere valutato esplicitamente come segue:
' ' '  2 0 0 3 4 0 0 0 ( ) 2 6 1 q x x c c x A E I    ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' , (2.19)
Il salto nelle rotazioni ' ' 0 x  ' è stato originato dall''aver introdotto la funzione Delta di Dirac nella definizione della rigidezza flessionale della
trave, eq. (2.5). Per tale motivo la discontinuità nella rigidezza flessiona-
le causata dalla funzione Delta di Dirac viene anche detta discontinuità
nelle rotazioni. Confrontando l''eq. (2.19) con l''espressione del momento
data nell''eq. (2.10), valutata sempre in 0 x , si osserva che: ' ' 0 0 0 0 ( ) 1 M x x A E I    ' ' ' . (2.20)
L''eq. (2.20) è equivalente al caso di una trave con cerniera interna posta
in 0 x , dotata di una molla rotazionale di rigidezza k , come mostrata in Figura 21, fornita da:
0 0 1 A k E I    ' ' . (2.21)
Pertanto la rigidezza rotazionale k può assumere valori compresi tra
zero (assenza di molla rotazionale), ed infinito (ossia trave continua in 0 x , senza cerniere interne); ciò implica che  può assumere valori com- presi tra zero ed 1/A. 64 Capitolo 2 ' facile osservare che assegnato il valore della rigidezza flessionale k  , il corrispondente valore di intensità della discontinuità  è fornito dalla seguente equazione:
0 0 1 , k A E I   ' ' (2.22) Figura 21. Uno schema di trave equivalente al modello di trave con discontinuità nelle rotazioni. Poiché la rigidezza k  della molla flessionale si misura dimensional- mente come prodotto di una forza per una lunghezza, mentre il prodotto 0 0 E I si misura dimensionalmente come prodotto di una forza per una lunghezza al quadrato, il seguente rapporto dovrà avere la dimensione
dell''inverso di una lunghezza:
1 1 . A L   ' ' ' ' ' ' (2.23)
Ciò implica che  dovrà essere espresso in termini di una lunghezza, mentre il parametro A in termini dell''inverso di una lunghezza:
'  1 , , L A L  ' ' ' ' ' (2.24)
in tal modo risulta verificata dimensionalmente l''equazione (2.21).
Modelli di trave con discontinuità multiple 65 Si introduce il concetto di lunghezza caratteristica * , ossia quella lun-
ghezza il cui inverso moltiplicato per la rigidezza flessionale 0 0 E I , con- sente di ottenere la rigidezza della molla equivalente:
0 0 * , E I k ' (2.25) ovvero: * 0 0 . E I k ' (2.26) Confrontando le equazioni (2.21) e (2.25) si può osservare che la lun-
ghezza caratteristica * è uguale al seguente rapporto: * 1 A   ' ' . (2.27) Da ciò si evince che l''assenza di discontinuità ( 0)  ' 'comporta * = 0, mentre l''annullamento della rigidezza ( 0) k ' della molla flessionale equivalente nel punto di discontinuità 0 x comporta un valore della lun- ghezza caratteristica tendente all''infinito, * ' '' . In definitiva la lunghezza caratteristica * può assumere valori non negativi: * 0 ' . (2.28) Sostituendo l''eq.(2.27) nella risposta della trave in termini di spo-
stamento definita dall''eq.(2.16), si ottiene: ' ' ' ' ' ' ' ' '  '  ' ' ' ' 2 * 1 2 3 0 0 3 * 4 0 0 0 4 2 * 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 2 U 6 U ( ) ( ) U . u x c c x c x x x x x c x x x x x x q x q x x x x x E I E I ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.29) Sostituendo l''eq.(2.27) nella risposta della trave in termini di rotazione
definita dall''eq.(2.17), si ottiene: 66 Capitolo 2 ' ' ' ' '  '  ' ' * 2 3 0 2 * 4 0 0 3 2 * 0 0 0 0 0 0 ( ) 2 U 3 2 U ( ) ( ) U . x c c x x x c x x x x q x q x x x E I E I  ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.30)
Sostituendo l''eq.(2.27) nella risposta della trave in termini di curvatura
definita dall''eq.(2.18), si ottiene:
'  ' ' 2 * 3 4 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 6 1 δ q x x u x c c x x x E I  ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' . (2.31)
In tal modo è possibile eliminare la dipendenza dal costante A di Baga-
rello. 2.2.2.1 Trave semplicemente appoggiata con singola discontinui- tà nelle rotazioni Si consideri la trave in Figura 22 ( ' 10m, I0=6.666e7mm4, E0=206000MPa), soggetta ad un carico uniformemente distribuito 0 q ' 1kNm-1, in cui è presente in 0 x ' 3m una cerniera interna con molla di rigidezza k ' 1000kNm. Figura 22 '' Trave semplicemente appoggiata con cerniera interna in cui è presente una molla rotazionale di rigidezza k Tale vincolo interno viene modellato tramite una discontinuità nelle ro-
tazioni. la lunghezza caratteristica * della discontinuità, per l''eq.(2.25)
risulta:
Modelli di trave con discontinuità multiple 67 3 8 2 4 * 0 0 1 0.10 0.20 2.06 10 kNm m 12 13.73m 1000kNm E I k ' ' '' '' ' ' ' . (2.32) L''eq.(2.7) fornisce la risposta della trave in termini di spostamenti a
meno delle costanti di integrazione. Queste possono essere determinate
introducendo le seguenti condizioni al contorno (0) 0, M(0) 0, ( ) 0, M( ) 0 u u ' ' ' ' e dopo semplici passaggi algebrici si ottiene ' ' 1 3 2 * 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 4 0 0 0, , 24 2 0, , 12 c q q x c x E I E I c q c E I ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' (2.33)
Sostituendo le eq. (2.33) nell''eq.(2.29), si ottiene la risposta in termini
di spostamento
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 3 2 * 0 0 0 0 0 0 0 0 3 * 0 0 0 0 0 0 2 4 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 24 2 6 U 12 U . 24 2 q q x u x x x E I E I q x x x x x x E I q q x x x x x x E I E I ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.34) 68 Capitolo 2 0 2 4 6 8 10 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 u(x) x[m] [m ] 0 2 4 6 8 10 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 (x) x [m] [r a d ] 0 2 4 6 8 10 0 0.5 1 1.5 2 x 10 -3 (x) x [m] [m -1 ] Analogamente sostituendo le eq. (2.33) nell''eq.(2.30), si ottiene la rispo-
sta in termini di rotazione:
' ' ' ' ' ' 3 2 * 0 0 0 0 0 0 0 0 2 * 0 0 0 0 0 2 3 * 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 24 2 2 U 4 U . 6 2 q q x x x E I E I q x x x x E I q q x x x x E I E I  ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.35)
Infine sostituendo le eq. (2.33) nell''eq. (2.31) si ottiene la risposta in
termini di curvatura:
' ' ' ' * 0 0 0 0 ( ) 1 δ . 2 q x x x x x E I  ' ' ' ' ' ' ' ' (2.36)








Figura 23. Risposta della trave sempli-
cemente appoggiata con discontinuità
nelle rotazioni posta in 0 x ' 3 m sogget- ta ad un carico uniformemente distribui-
to 0 q ' 1kNm-1. Modelli di trave con discontinuità multiple 69 2.3 La trave di Eulero Bernoulli con discontinuità multiple Il modello di trave di Eulero Bernoulli con discontinuità multiple è stato
proposto da Biondi e Caddemi (2007). Questo modello consente la trat-
tazione di travi reali, realizzate con materiali aventi differenti moduli di
Young, con sezioni trasversali distinte e dotate di cerniere interne lungo
il loro sviluppo. In questo modello la rigidezza flessionale è definita co-
me: ' ' ' ' ' ' ' ' 0 0 , , 1 1 1 U δ , n m i i j j i j E x I x E I x x x x     ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.37) dove i parametri , 1, 2,..., , i i n  ' e , 1, 2,... , j j m  ' rappresentano le in- tensità delle discontinuità di tipo Heaviside e di tipo Delta di Dirac e , , , i j x x   le relative posizioni. Nel lavoro di Biondi e Caddemi (2007) si dimostra che le discontinuità di tipo Heaviside determinano variazioni
nella rigidezza flessionale che causano discontinuità nella risposta in
termini di curvature, mentre le discontinuità di tipo Delta di Dirac de-
terminano brusche variazioni della rigidezza flessionale equivalenti a
cerniere interne dotate di molle rotazionali Figura 24. Trave con discontinuità nelle curvature, ovvero con disconti- nuità nella definizione del momento di inerzia I(x) e del modulo di Young E(x). 70 Capitolo 2 Figura 25. Trave con discontinuità nelle rotazioni (a), corrispondente ad una trave con cerniere intere e molle rotazionali di rigidezza , j k poste nei punti di discontinuità , j x (b).
Sostituendo l''eq. (2.37) nell''eq. differenziale (2.1) che governa il pro-
blema statico della trave di Eulero-Bernoulli, si ottiene: ' ' ' ' 0 0 , , 1 1 1 U δ ( ) ( ). n m i i j j i j E I x x x x u x q x     ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.38)
L''eq. differenziale (2.38) integrata due volte fornisce:
' ' '  ' ' 2 1 2 , , 1 1 0 0 ( ) 1 U ( ) ( )δ . n m i i j j i j b b x q x x x u x u x x x E I     ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.39)
Per risolvere l''eq. (2.39) rispetto ad ( ) u x ' , si moltiplicano entrambi i membri dell''eq. (2.39) per ' ' , δ k x x ' e poiché il prodotto di due distri- buzioni Delta di Dirac secondo Bagarello (1995, 2002) è esprimibile co-
me: Modelli di trave con discontinuità multiple 71 ' ' ' ' ' ' δ , δ δ 0, j j k A x x j k x x x x j k ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' (2.40) si ottiene: ' ' ' ' '  ' ' ' ' 2 1 2 , , , 1 0 0 , ( ) 1 U ( )δ δ ( ) δ . n i i k k i k k b b x q x x x u x x x x x E I u x A x x       ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.41) Portando ' ' , ( ) δ k k u x A x x  ' ' al primo membro è possibile esplicitare il seguente prodotto: ' ' ' ' '  ' ' 2 1 2 , , 0 0 , 1 ( ) 1 ( )δ δ . 1 U k k n k i i i b b x q x u x x x x x E I x x      ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.42) L''eq. (2.42) può essere scritta nella seguente forma: ' ' '  ' '' ' ' ' ' ' 2 , 3 4 0 0 1 , , , 1 1 ( ) ( )δ 2 6 1 U δ , 1 1 1 j n i i i j i j i j i j i j q x u x x x c c x E I x x x x A A A             ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.43) dove 1 3 0 0 2 b c E I ' , 2 4 0 0 6 b c E I ' , 1 1 1 1 i i k k   ' ' ' ' ' (2.44) La seguente espressione esplicita della curvatura per il modello di trave
considerato è ottenuta sostituendo l''eq. (2.43) nell''eq. (2.39): '  ' ' ' ' 2 3 4 0 0 1 , , 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 6 1 U 1 δ , 1 n m j i i i i j j i j j q x x u x c c x E I x x x x A          ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.45) dove j  sono definiti come segue ' '' ' ' ' 1 , , 1 1 U , 1, 2,..., . 1 1 n i i i j j j i i i j i j x x j m A A            ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.46) 72 Capitolo 2 Un integrazione dell''eq. (2.45) fornisce l''espressione della risposta in
termini di rotazione per il modello di trave analizzato: ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '  ' ' '  ' ' '  ' ' ' ' '  ' ' ' ' 2 3 , , , 1 1 2 2 2 4 , , , , 1 1 3 3 3 , , 1 0 0 0 0 2 , , 1 0 0 ( ) ( ) 2 U U 3 U 2 U U U n m i i i j j i j n m i i i j j j i j n i i i i m j j j j x u x c c x x x x x x x c x x x x x x x x q x q x q x x x E I E I q x x x E I                   ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.47) dove sono state fatte le seguenti posizioni: 1 i i i i     ' ' . (2.48) ' ' , , 1 1 1 U 1 n j j j i j i i j x x A        ' ' '' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.49) Un ulteriore integrazione dell''eq. (2.47) fornisce l''espressione della ri-
sposta in termini di spostamento per il modello di trave analizzato: ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '  ' ' '  ' ' '  ' ' '  ' '' ' ' ' '  1 2 2 2 3 , , , , 1 1 3 3 2 3 4 , , , 1 , , , 1 4 4 3 4 , , , , 1 0 0 0 0 2 ( ) U 2 U 3 2 U 6 U U n m i i i j j j i j n i i i i i m j j j j j n i i i i i i j u x c c x c x x x x x x x x x c x x x x x x x x x x x x q x q x q x x x q x x x E I E I q x                      ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' , , , 1 0 0 U . m j j j j x x x x E I   ' ' ' ' (2.50) Modelli di trave con discontinuità multiple 73 Nell''eq. (2.50) compaiono le quattro costanti di integrazione 1 2 3 , , c c c e 4 c che possono essere determinate fissando opportune condizioni al con- torno. Si può osservare inoltre che le soluzioni finora trovate, mostrano
delle funzioni di risposta continue in termini di spostamento e rotazio-
ne, mentre risulta discontinua in 0 x solo la legge di variazione della curvatura. Infine è possibile ottenere l''espressione del momento fletten-
te moltiplicando la curvatura [eq.] per la rigidezza flessionale [eq. (2.3)]: '  2 0 0 3 4 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 q x M x E x I x x E I c c x E I  ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' . (2.51) La legge di variazione dello sforzo di taglio si può determinare come: ' 1 0 0 4 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 q x V x M x E x I x x E I c E I  ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' . (2.52) Le equazioni (2.51) e (2.52) forniscono le leggi di variazione del momento
flettente e dello sforzo di taglio come funzioni continue, a meno di di-
scontinuità presenti nelle funzioni '  ' ' 1 q x e '  ' ' 2 q x , dovute ad eventuali carichi esternamente applicati. Inoltre si può osservare che l''intensità
della discontinuità nelle curvature  non appare esplicitamente nelle equazioni (2.51) e (2.52), ma la sua influenza è contenuta nelle costanti 3 c e 4 c , ovvero nelle condizioni al contorno. Pertanto, sulla base della procedura di integrazione che Biondi e Caddemi (2005) proposero, è sta-
to possibile trasferire l''influenza delle discontinuità dalla rigidezza fles-
sionale della trave alle condizioni al contorno. Per travi staticamente
determinate, M(x) e V(x) non dipenderanno dalla espressione della rigi-
dezza flessionale adottata, di conseguenza le costanti 3 c e 4 c risulte- ranno indipendenti dalle discontinuità presenti. Viceversa, per travi
staticamente indeterminate, la rigidezza flessionale adottata influenze-
rà anche le espressioni delle costanti di integrazione 3 c e 4 c . L''eq.(2.47), che definisce il campo di rotazioni della trave, presenta m
discontinuità ' ' , j x  ' nell''ascisse , j x , che possono essere valutate e- splicitamente come segue:
74 Capitolo 2 ' ' '  2 , , 3 4 , 0 0 ( ) 2 6 j j j j q x x c c x E I      ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' , 1, 2,..., . j m ' (2.53)
Le discontinuità nelle rotazioni fornite dall''eq.(2.53) possono essere
messe in relazione all''espressione del momento flettente, fornita nell''eq.
(2.51), valutata nei punti , j x mediante la seguente relazione: ' ' , , 0 0 ( ) , j j j M x x E I     ' ' 1, 2,..., . j m ' (2.54)
L''eq. (2.54) è equivalente al caso di una trave con salti nella rigidezza
flessionale ( ) ( ) E x I x posti in ,i x , 1,2,..., , i n ' e con cerniere interne po- ste in , j x , 1,2,..., , j m ' ciascuna dotata di una molla rotazionale di ri- gidezza , j k , come mostrata in Figura 26, esprimibile come segue: 0 0 , , j j E I k  ' 1, 2,..., . j m ' (2.55)
Analogamente al caso della trave con singola discontinuità nelle ro-
tazioni è possibile definire anche per questo modello una lunghezza ca-
ratteristica relativa alla j-esima discontinuità nelle rotazioni, come:
* , , j j   ' 1, 2,..., . j m ' (2.56)
Le equazioni (2.47) e (2.50) forniscono le espressioni in forma chiusa
della risposta in termini di rotazione e spostamento, per i due tipi di di-
scontinuità considerata, in cui le quattro costanti di integrazione 1 2 3 4 , , , c c c c devono essere comunque valutate in base a determinate con- dizioni al contorno.
Nel successivo capitolo si analizzerà una soluzione esplicita più gene-
rale, indipendente da particolari condizioni al contorno, per lo studio di
travi deformabili flessionalmente alla Eulero-Bernoulli. Modelli di trave con discontinuità multiple 75 Figura 26. Schema di trave equivalente al modello proposto con discontinuità flessionali multiple. 2.5 Soluzione della trave di Eulero-Bernoulli con discontinuità multiple negli spostamenti assiali Gli spostamenti assiali della trave di Eulero-Bernoulli dotata di rigidez-
za assiale ( ) ( ) E x A x variabile rispetto all''ascissa x , sono individuati dalla risoluzione della seguente equazione differenziale del secondo or-
dine, secondo il modello rappresentato in Figura 27:
'  ( ) ( ) ( ) ( ), x x E x A x u x q x ' ' ' ' (2.57)
dove ( ), ( ) x x u x q x sono rispettivamente lo spostamento assiale e il carico assiale.
Figura 27. Modello per lo studio della trave con multiple discontinuità negli spostamenti assiali 76 Capitolo 2 La rigidezza assiale della trave è definita come segue:
' ' 0 0 , 1 ( ) ( ) 1 . n i i i E x A x E A x x   ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.58)
Nell''eq.(2.58) sono stati introdotte n funzioni generalizzate Delta di Di-
rac ciascuna moltiplicata per la corrispondente intensità i  . Sostituen- do l''eq. (2.58) nell''eq.(2.57) ed integrando si ottiene:
'  ' ' ' ' 1 1 , 1 0 0 ( ) ( ) , n x x i x i i a q x u x u x x x E A    ' ' ' ' ' ' ' ' (2.59)
dove 1 a è una costante di integrazione. Poiché l''eq. (2.59) scritta in que- sta forma non può essere risolta esplicitamente rispetto ad ( ) x u x ' , si moltiplicano ambo i membri per ' ' ,k x x  ' : ' ' '  ' ' ' ' ' ' ' ' 1 1 , 0 0 0 , , 1 ( ) ( ) . x x k n i x i k i a q x u x x x x x E A u x x x x x         ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.60)
Ricordando le regole che definisce il prodotto di due distribuzioni delta
di Dirac (cfr. Biondi e Caddemi, 2005) si può ancora scrivere:
' ' '  ' ' ' ' ' ' 1 1 , 0 , 0 0 ( ) A ( ) . x x i i x i a q x u x x x x x u x x x E A       ' ' ' ' ' ' ' ' (2.61)
Dopo semplici passaggi si ottiene la seguente equazione:
' ' '  ' ' ' ' 1 1 , , 0 0 1 ( ) . 1 A x x i i i a q x u x x x x x E A      ' ' ' ' ' ' (2.62) Modelli di trave con discontinuità multiple 77 Sostituendo l''eq. (2.62) nell''eq. (2.59), dopo semplici passaggi, si ottiene
la risposta in termini di deformazione assiale:
'  ' ' ' ' 1 1 , 1 0 0 ( ) ( ) 1 . 1 A n x i x i i i a q x x u x x x E A      ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.63)
Un ulteriore integrazione fornisce l''espressione dello spostamento assia-
le:
' ' '  ' ' '  ' ' ' ' 1 2 , 1 0 0 1 2 , , 1 0 0 0 0 ( ) U 1 A U , 1 A n i x i i i n x i x i i i i a u x a x x x E A q x q x x x E A E A        ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.64)
dove 1 2 , a a sono le costanti di integrazione da individuare in base alle condizioni al contorno. Nell''espressione (2.64) è possibile notare la di-
scontinuità della risposta ( ) x u x in corrispondenza dell''ascissa ,i x . Lo sforzo normale ( ) T x , è esprimibile come: '  1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x T x E x A x x a q x  ' ' ' . (2.65)
Lo spostamento assiale previsto dall''eq.(2.64), presenta dei salti , ( ) x i u x ' in corrispondenza delle ascisse ,i x , esprimibili come: '  ' ' 1 1 , , 0 0 ( ) , 1, 2,..., , 1 A x i i x i i a q x u x i n E A     ' ' ' ' ' (2.66) e confrontando l''eq. (2.66) con l''espressione (2.65) dello sforzo normale,
si deduce che: ' ' , , 0 0 ( ) , 1, 2,..., . 1 A i i x i i T x u x i n E A     ' ' ' ' (2.67) L''eq. (2.67) è equivalente al caso di una trave con un vincolo assiale ce-
devole interno posto in ,i x , dotato di una molla traslazionale che lavora 78 Capitolo 2 nella direzione assiale della trave, avente rigidezza , x i k come mostrato in Figura 28. Tale rigidezza , x i k è esprimibile come: , 0 0 1 A , 1, 2,..., . i x i i k E A i n   ' ' ' (2.68) Pertanto la rigidezza traslazionale k può assumere valori compresi tra zero (assenza di molla traslazionale), ed infinito (ossia trave senza di-
scontinuità in 0 x ); ciò implica che  può assumere valori compresi tra zero ed 1/A.
' facile osservare che assegnato il valore della rigidezza traslazionale , x i k , il corrispondente valore di intensità della discontinuità i  è fornito dalla seguente equazione: 0 0 1 , A i i x k E A  ' ' (2.69) per un valore del parametro A scelto tra quelli proposti da Bagarello
(1995). Figura 28. Una trave equivalente al modello con discontinuità assiali Esaminando l''eq. (2.68) si osserva che dimensionalmente la rigidezza x k della molla traslazionale si misura come prodotto di una forza per
l''inverso di una lunghezza, mentre il prodotto 0 0 E A si misura dimensio- nalmente come una forza. Si deduce quindi che il seguente rapporto do-
vrà avere la dimensione dell''inverso di una lunghezza: 1 1 A , i i L   ' ' ' ' ' ' (2.70) Modelli di trave con discontinuità multiple 79 Ciò implica che i  dovrà essere espresso in termini di una lunghezza, mentre il parametro A in termini dell''inverso di una lunghezza, analo-
gamente al caso flessionale di discontinuità nelle rotazioni: '  1 , A , i L L  ' ' ' ' ' (2.71) in tal modo risulta verificata dimensionalmente l''equazione (2.70).
Si introduce il concetto di lunghezza caratteristica * , x i , ossia quella lunghezza il cui inverso moltiplicato per la rigidezza assiale 0 0 E A , con- sente di ottenere la rigidezza della molla equivalente: 0 0 , * , x i x i E A k ' (2.72) ovvero: '  * 0 0 , , x i x i E A L k ' (2.73) Ricordando l''eq.(2.68) si può osservare che la lunghezza caratteristica * , x i è uguale al seguente rapporto: * , 1 A i x i i   ' ' (2.74) Da ciò si evince che l''assenza di discontinuità ( 0) i  ' 'comporta * , x i = 0, mentre l''annullamento della rigidezza , ( 0) x i k ' della molla assiale e- quivalente nei punti di discontinuità ,i x comporta un valore della lun- ghezza caratteristica tendente all''infinito, * , x i ' '' . In definitiva la lunghezza caratteristica * , x i può assumere valori non negativi: * , 0 x i ' . (2.75) Sostituendo l''eq. (2.74) nell''eq. (2.64), si ottiene la risposta della trave
in termini di spostamento: ' ' '  ' ' '  ' ' ' ' * 1 2 , , 1 0 0 2 * 1 , , , 1 0 0 0 0 ( ) U U . n x x i i i n x i x x i i i a u x a x x x E A q x q x x x E A E A    ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.76) La risposta in termini di deformazione assiale si ottiene calcolando la
derivata prima dell''eq. (2.76): 80 Capitolo 2 '  ' ' ' ' 1 1 * , , 1 0 0 ( ) ( ) 1 . n x x x i i i a q x x u x x x E A    ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (2.77) 2.6 Bibliografia 1. Bagarello, F., 1995. ''Multiplication of distribution in one dimension: possible approaches and applications to d-function and its deriva-
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Capitolo 3
LA TRAVE DI TIMOSHENKO
CON DISCONTINUIT' MULTIPLE
3.1 Introduzione Le analisi di travi in presenza di discontinuità lungo la campata sono
ampiamente studiate in letteratura in quanto è un problema di interes-
se comune in differenti settori dell'ingegneria. I tipi di discontinuità che
sono stati studiati riguardano, per esempio, variazioni brusche della se-
zione o del modulo di Young, presenza di vincoli interni e presenza di
cracks. Nel caso di strutture intelaiate composte da vari elementi trave
e con un gran numero di discontinuità per risolvere sia problemi diretti
di analisi che problemi inversi di identificazione sono richieste procedu-
re competitive.
L'analisi di travi in presenza di diversi tipi di discontinuità solitamente
è condotta, sia in statica che in contesti dinamici, mediante classiche
procedure basate sull''integrazione delle equazioni differenziali che go-
vernano il problema tra discontinuità. In letteratura sono state proposte
procedure alternative basate sul metodo della trave ausiliaria per la
formulazione delle equazioni governanti per un dominio di integrazione
unico lungo l''intera campata della trave (Yavari et al. 2000, 2001).
Altri approcci, basati sul metodo della cosidetta matrice di trasferimen-
to, permettono di trattare diversi tipi di discontinuità fornendo una so-
luzione ricorsiva conveniente nel senso che la soluzione ad una generica
sezione trasversale dipende dalla risposta alla discontinuità immedia- 84 Capitolo 3 tamente precedente la sezione corrente. Questi ultimi approcci compor-
tano una valutazione sequenziale della soluzione (Khiem & Lien 2001,
Li 2002; Ruotolo & Surace 2004; Binici 2005; Wang Qiao e 2007).
A conoscenza dell'autore in letteratura non è stato dedicato molto sforzo
al caso di strutture intelaiate in presenza di più discontinuità. In parti-
colare, è auspicabile una formulazione per l''elemento trave in grado di
incorporare, mediante espressioni esplicite in forma chiusa, un numero
arbitrario di discontinuità differenti.
Recentemente, facendo uso di funzioni generalizzate (distribuzioni) è
stato trattato mediante la matrice di rigidezza dinamica il caso di strut-
ture intelaiate in presenza di cracks (Caddemi & Caliò 2010).
Nell'ambito della teoria delle distribuzioni, è stata formulata una proce-
dura d''integrazione per la trave di Eulero-Bernoulli e le trave di Timo-
shenko con discontinuità di tipo diverso (Biondi & Caddemi 2007). Solu-
zioni esplicite in forma chiusa, dipendenti da sole quattro costanti
d''integrazione, sono state fornite solo per il campo statico, e le disconti-
nuità richiedevano il soddisfacimento di tutte le condizioni di continuità.
In questo lavoro, sono sfruttate le suddette soluzioni in forma chiusa per
formulare un elemento trave da adottare per la discretizzazione agli e-
lementi finiti di strutture intelaiate con discontinuità multiple.
Nell'elemento trave proposto possono essere inclusi diversi tipi di di-
scontinuità e in numero arbitrario senza aumentare lo sforzo computa-
zionale. Tuttavia, in questo lavoro particolare attenzione è dedicata al
caso di elemento trave con un numero arbitrario di cracks; quest'ultimo
viene opportunamente modellato mediante distribuzioni delta di Dirac.
In accordo al modello presentato, sono formulate le funzioni di forma
per il caso statico e l''espressione esplicita della matrice di rigidezza
dell'elemento spaziale della trave danneggiata. Assemblando, con pro-
cedure classiche, le matrici di rigidezza degli elementi, la matrice di ri-
gidezza globale della struttura è ottenuta senza alcun incremento di
gradi di libertà dovuti alla presenza delle discontinuità.
Considerando le funzioni di forma proposte, viene valutata la matrice di
massa coerente dell'elemento trave e viene svolta l'analisi dinamica del- La trave di Timoshenko con discontinuità multiple 85 le strutture intelaiate in presenza di cracks in numero e posizioni arbi-
trarie.
Vengono presentati e discussi analisi di strutture intelaiate in presenza
di danni concentrati. Particolare attenzione è stata dedicata alla valuta-
zione dell'influenza dei cracks sui parametri della risposta dinamica. La
caratterizzazione della risposta dinamica dell''elemento danneggiato
mediante il modello di elemento finito proposto porta ad una maggiore
consapevolezza verso la soluzione dei problemi inversi di identificazione
dei danni.
3.2 Il modello trave in presenza di discontinuità In questa sezione viene presentato un modello di trave di Timoshenko
con singolarità multiple e viene mostrata la capacità del modello nel de-
scrivere le discontinuità nelle funzioni di risposta. Il modello considera-
to è una generalizzazione al contesto dinamico e alla trave di Timoshen-
ko di quanto recentemento proposto in (Biondi & Caddemi 2007).
Le equazioni che governano il problema statico della trave di Timoshen-
ko soggetta a carichi trasversali ( ) q x e momenti distribuiti ( ) m x , te- nendo conto della variabilità spaziale della rigidezza flessionale ( ) ( ) E x I x e di quella a taglio ( ) ( ) G x A x , possono essere scritte come se- gue: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E x I x x G x A x v x x m x   ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' I I I (3.1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G x A x v x x q x  ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' I I (3.2) dove ( ) v x , ( ) x  sono le funzioni di spostamento e rotazione, rispetti- vamente. Le equazioni (3.1) e (3.2) possono essere adottate per l''analisi
di travi in presenza di discontinuità lungo l''asse. Adottando opportune
distribuzioni possono ottenersi singolarità di diverso tipo nelle funzioni
di risposta, sia nelle espressioni della rigidezza flessionale che in quelle
a taglio, come segue: 86 Capitolo 3 0 0 1 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) j i n n j j i j i E x I x E I U x x x x         ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (3.3) 0 0 1 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) j k n n j j k j k G x A x G A U x x x x         ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (3.4) dove U è la funzione di Heaviside (gradino unitario) e  è la distribu- zione nota come funzione delta di Dirac. I modelli presentati nelle eq.
(3.3) e (3.4) possono essere adottati per il caso di singolarità , , n n n    di diverso tipo contemporaneamente presenti l''ungo l''elemento nelle posi-
zioni , , j i k x x x    . In paricolare, i termini contenenti la funzione di Hea- viside rappresentano brusche variazioni di sezione o del materiale che
producono discontinuità nelle curvature, j  , e negli scorrimenti angola- ri, j ' , mentre la presenza di funzioni delta Dirac, sia nella rigidezza flessionale che in quella a taglio, rappresentano discontinuità rotaziona-
li i  e nelle deformazioni trasversali k  . I parametri , j i   e , j k   ' rap- presentano, rispettivamente, l''intensità della variazione di rigidezza
flessionale e a taglio, e governano le corrispondenti discontinuità della
risposta. Per semplicità, considerando le coordinate adimensionalizzate x L  ' , e indicando con l''apice la derivata rispetto a  , le equazioni differenziali che governano il problema della trave di Timoshenko (3.1) e (3.2), in ac-
cordo alle singolarità introdotte attraverso le (3.3) e (3.4), assumono la
seguente forma: 1 1 1 2 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) j i k n n j j i j i n k k U b r H u m                          ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' I I I (3.5) 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) j k n n j j k j k b r U u q                 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' I I (3.6) La trave di Timoshenko con discontinuità multiple 87 Le equazioni (3.5) e (3.6), espresse in termini della funzione norma- lizzata ( ) ( ) v u L   ' , tengono in conto dei carichi esterni attraverso il pa- rametro di carico trasversale normalizzato 3 0 0 ( ) ( ) q q L E I   ' e il paramen- tro del carico da momento normalizzato 2 0 0 ( ) ( ) m m L E I   ' . Inoltre, nelle eq. (3.5) e (3.6) sono introdotti i parametri adimensionali delle singolari- tà i i L   ' , k k L   ' , j j L   ' , j j L   ' ' ' , e il parametro della rigidezza a taglio 2 br , con 0 0 G b E ' e 2 2 0 0 A r L I ' . La presenza di discontinuità nelle curvature j  e negli scorrimenti angolari j ' determina la modifica locale della rigidezza flessionale e a taglio del concio di trave compreso tra le ascisse j x ed 1 j x ' . ' possibile infatti dimostrare che sussitono la seguenti relazioni 0 0 0 0 ( ) / j j j E I E I E I  ' ' (3.7) 0 0 0 0 ( ) / j j j G A G A G A ' ' ' (3.8) essendo j j E I e j j G A rispettivamente la rigidezza flessionale e a taglio del concio di trave compreso tra le ascisse j x ed 1 j x ' . Dall''eq. (3.7) è possibile osservare inoltre che se 0 j  ' la rigidezza flessionale del con- cio risulta pari a 0 0 j j E I E I ' , se invece accade che 1 j  ' allora la stessa rigidezza si annulla 0 j j E I ' . Analogamente se 0 j ' ' la rigidezza a ta- glio del concio risulta pari a 0 0 j j G A G A ' , viceversa se accade che 1 j ' ' allora la stessa rigidezza si annulla 0 j j G A ' . Le discontinuità rotazionali i  e nelle deformazioni trasversali k  , invece, sono equivalenti a vincoli interni deformabili di rigidezza ,i k e , v k k rispettivamente nelle rotazioni e negli spostamenti, localizzati nelle ascisse , i k x x   . E'' possibile dimostrare le seguenti relazioni 88 Capitolo 3 , 0 0 1 i i i A k E I    ' ' (3.9) , 0 0 1 k v k k A k G A   ' ' (3.10) essendo ,i k e ,vk k rispettivamente le rigidezze delle molle rotazionali e traslazionali equivalenti alle discontinuità i  e k  ed A un parametro dovuto a Bagarello (1995, 2002) che definisce il prodotto di due distribu-
zioni delta di Dirac. Figura 29 '' Trave equivalente al modello proposto. Le equazioni differenziali (3.5) e (3.6), governanti la trave di Timo-
shenko con singolarità, sono state recentemente risolte nella forma
chiusa presentata nella sezione successiva con l''obbiettivo di mostrare
che esse possono essere impiegate con successo in accurate analisi di-
namiche di elementi danneggiati.
3.3 Soluzione in forma chiusa della trave con discontinuità Facendo uso della procedura d''integrazione recentemente proposta in
Caddemi et al. (2012), le Eq. (3.5) e (3.6) portano alle seguenti espres-
sioni della derivata della rotazione ( )   I e derivata della deformazione normalizzata ( ) u  I : 1 2 1 1 2 1 1 ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) i i j n i n j j j q m b b U                   ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' I (3.11) ,1 k ,1 k ,1 v k ,1 v k ' ' 1 1 1 1 , E I G A ' ' 2 2 2 2 , E I G A ' ' 3 3 3 3 , E I G A La trave di Timoshenko con discontinuità multiple 89 ' 1 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) k j n k k n j j j q b u b r b r U                  ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' I (3.12) dove 1 2 , b b sono costanti d''integrazione e l''apice [ ] j indica la primitiva di ordine j . Inoltre nelle Eq. (3.11) e (3.12) sono stati introdotti i para- metri adimensionali 1 i i i A     ' ' e 1 k k k A     ' ' , dove A è una costante definita dal prodotto di due delta di Dirac (Biondi & Caddemi 2007).
Questi ultimi parametri moltiplicano le delta di Dirac che compaiono
nelle derivate della rotazione ( )   I e della deformazione normalizzata ( ) u  I ciò mostra che il modello adottato implica salti sia nella rotazione ( )   che nella deformazione ( ) u  . In particolare i   e k   rappresen- tano le flessibilità, normalizzate rispetto 0 0 L E I e 0 0 L G A , delle molle in- terne rotazionali e traslazionali alle posizioni , 1,..., , i x i n   ' , 1,..., k x k n   ' , che equivalgono alle singolarità nelle rigidezze flessiona- li e a taglio introdotte nel modello adottato attraverso le equazioni (3.3),
(3.4). Le Eq. (3.11), (3.12) possono essere riscritte come segue:
* 1 1 2 1 1 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) j i i n n j j i U q m b b                  ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' I (3.13) 1 * 1 2 2 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) j k k n n j j k u b q U br br                 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' I (3.14) dove sono stati definiti i seguenti parametri aggiuntivi: 1 1 1 1 * * , 1 1 1 1 j j j j j j j j j j           ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (3.15) (a,b)
L''integrazione dell''eq. (3.13), per via delle regole d''integrazione delle di-
stribuzioni e da semplici passaggi algebrici, porta alla seguente espres-
sione esplicita della funzione rotazione ( )   : 90 Capitolo 3 5 2 2 3 3 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c d c d c d d       ' ' ' ' (3.16) dove le costanti d''integrazione sono ridefinite come 3 2 4 1 / 2, / 6 c b c b ' ' ' ' , è introdotta la costante aggiuntiva 2 c e le funzioni ( ), 2,...,5 j d j  ' , sono definite come segue: ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 2 * * 3 1 1 2 * 2 2 * 4 1 1 [3] [2] * [2] [1] 5 1 * [3] [2] ; ; ( ) 1 ; ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) 3 3 ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( i i j j i i i j j i i i i n n j j i n n j j i n i j d d U U d U U d q m q m U q m                                                    ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' [3] [2] 1 ) ( ) ( ) ( ) j j j n j q m U         ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (3.17)
Sostituendo la funzione rotazione, data dalla (3.16), all''interno
dell''eq.(3.14), dopo l''applicazione delle note regole d''integrazione di di-
stribuzioni, si perviene alla seguente espressione esplicita della funzio-
ne spostamento ( ) u x : 5 1 1 2 2 3 3 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u c f c f c f c f f       ' ' ' ' ' (3.18) dove: * 2 1 1 2 * 2 2 * 3 1 1 * 3 3 2 3 * 4 1 1 * 2 2 ( ) ( ) 1 ; ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( 3 2 ) ( ) 6 ( ) ( ) 6 6 ( ) ( ) 6 k k i i i j j i i i i j j j j j n k n n j j i n n j j i j U b r f f f U U f U U U b r b r                                                            ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' * [1] 2 1 * [4] [3] [4] [3] [4] [3] 5 1 * [2] [1] 1 * [2] [2] [2] 2 2 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k j j j i i i i i j j n j n j j n i j q b r f q m q m q m U q m U q q q U b r b r                                        ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 1 1 3 2 * 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k j j j j n k n j n j j U q m U                    ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (3.19) La trave di Timoshenko con discontinuità multiple 91 Nelle eq. (3.17) e (3.19) sono stati introdotti i seguenti parametri: , * 1 , * 1 ( ) 1 1 i i i j i n j i j j j i U               ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (3.20) , * 1 , * 1 ( ) 1 1 k k k j k n j k j j j k U               ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (3.21) Nelle eq. (3.20) e (3.21) viene tenuto conto delle definizioni introdotte
nell''eq (3.15) mentre , j i  e , j k ' indicano i valori dei parametri j  e j  ' nel segmento di trave dove la i-esima discontinuità rotazionale i  e la k- esima discontinuità k  traslazionale agiscono. Analogamente ai para- metri i   e k   , i parametri * i   e * k   rappresentano le flessibilità, delle molle interne rotazionali e traslazionali, normalizzate rispetto alle per- tinenti flessibilità flessionali , 0 0 , 1 1 j i j i L E I   ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' e a taglio , 0 0 , 1 1 j k j k L G A   ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' . L''eq. (3.18), dove le costanti d''integrazione c1,c2,c3,c4 sono determinabi- li imponendo opportune condizioni al contorno, rappresenta la soluzione
esplicita della stepped Timoshenko trave in presenza di discontinuità in
rotazioni e spostamenti trasversali. Quest''ultima tipoligia di disconti-
nuitàpuò essere pensata come indotta dalla presenza di vincoli interni
dotati di molle rotazionali e traslazionali con flessibilità * i   e * k   , ri- spettivamente.
La soluzione per il caso della trave di Eulero-Bernoulli può essere facil-
mente ricavata assumendo che il parametro di taglio lungo l''asse della
trave sia 2 br ' ' ; imponendo che * * 0 j j  ' ' ' si ottiene il caso della trave omogenea.
L''espressione del momento flettente ( ) M  viene valutata a partire da quella adimensionale ( ) M  tramite la relazione ( ) ( ) ( ) ( ) E I M M L     ' (3.22) 92 Capitolo 3 L''espressione della ( ) M  può essere ottenuta moltiplicando la rigidezza flessionale della trave 0 0 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) j n j j j E I E I U         ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' per la funzione ( ) ( ) x x  ' ' che definisce la curvatura della trave 2 1 0 0 3 4 ( ) 2 6 ( ) ( ) M E I c c q m     ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (3.23) Analogamente, l''espressione dello sforzo di taglio ( ) V  dimensionale viene valutata a partire da quella adimensionale ( ) V  tramite la rela- zione ( ) ( ) ( ) ( ) E I V V L     ' (3.24) e l''espressione della ( ) V  può essere ottenuto dall''equazione indefinita di equilibrio ( ) ( ) ( ) 0 M V m    ' ' ' I tramite l''equazione (3.23) 1 0 0 4 ( ) 6 ( ) V E I c q   ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (3.25)

La trave di Timoshenko con discontinuità multiple 93 3.4 Funzioni di forma La soluzione generale in forma chiusa della trave di Timoshenko in pre-
senza di discontinuità multiple fornite dalle eq. (3.16) e (3.18), rispetti-
vamente in termini di rotazione e deformazione, sono qui utilizzate per
formulare un nuovo elemento finito trave per l'analisi dei telai con di-
scontinuità. Tale elemento finito non richiede l'introduzione di ulteriori
nodi in corrispondenza delle sezioni in cui si verificano le discontinuità.
Precisamente, le espressioni esplicite della deflessione e funzioni di ro-
tazione della trave Timoshenko con singolarità vengono riscritti qui per
comodità, in assenza di carichi esterni, come segue: 2 2 3 3 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c d c d c d      ' ' ' (3.26) 1 1 2 2 3 3 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u c f c f c f c f      ' ' ' ' (3.27) in cui sono stati omessi i termini 5 5 ( ) ed ( ) d f   perché dipendenti dai carichi esterni Figura 30 '' Elemento finito trave Per una trave doppiamente incastrata soggetta a spostamenti imposti al
contorno, le costanti di integrazione che appaiono nelle eq. (3.26) e (3.27)
sono valutati imponendo le seguenti condizioni al contorno: 1 1 2 2 (0) ; (0) ; (1) ; (1) u u u u     ' ' ' ' ' ' (3.28) dove ' ' ' ' 1 1 2 2 , , , u u   sono rispettivamente gli spostamenti e le rotazioni dei nodi di estremità adimensionalizzati.
Attraverso semplici passaggi è possibile ricavare le costanti di integra-
zione cercate 1 u 2  1  2 u 94 Capitolo 3 1 1 2 1 4 4 4 4 4 3 1 1 2 2 3 3 3 3 3 4 1 1 2 2 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) ' ' ' ' c u c d d f d f c u u d d f d f c u u              ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (3.29) Le equazioni (3.26) e (3.27) possono essere riscritte nella seguente forma
1 1 2 1 3 2 4 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u u u u u N u N N u N        ' ' ' ' (3.30) 1 1 2 1 3 2 4 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N u N N u N             ' ' ' ' (3.31)
essendo ( ) uj N  e ( ) j N  le funzioni di forma rispettivamente negli spo- stamenti e nelle rotazioni della trave di Timoshenko con discontinuità 4 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 1 4 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 1 4 3 3 3 3 3 3 1 2 3 4 1 4 4 4 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( u k k u k k u k k u k k k N n N n N n N n f n f n f n f n f f n f n f n f n f f n f n f n f n f f n f n f                       ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 4 4 4 4 1 4 ) ( ) ( ) k k k n f n f   ' ' ' ' (3.32) 4 1 1 1 1 1 2 3 4 2
4 2 2 2 2 2 2 3 4 2 4 3 3 3 3 3 2 3 4 2 4 4 4 4 4 4 2 3 4 2 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k k k k k k k k N d d d d N d d d d N d d d d N d d d d n n n n n n n n n n n n n n n n                         ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (3.33) dove ( ), ( ) i i d f   sono fornite nelle eq.(3.17) e (3.19), r k n sono indicate nelle eq. (3.34) La trave di Timoshenko con discontinuità multiple 95 1 1 1 1 4 3 1 2 3 4 2 2 2 2 2 4 4 2 3 2 2 3 1 2 3 4 3 3 3 3 4 3 1 2 3 4 4 4 4 4 4 3 1 2 3 4 (1) (1) 1 ; 0 ; ; ; (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 0 ; 1 ; ; ; (1) (1) 0 ; 0 ; ; ; (1) (1) 0 ; 0 ; ; ; d d n n n f d f d f d f d n n n d d n n n f f n n n n n n n         ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (3.34) Le eq. (3.30) e (3.31) possono essere scritte ancora in forma compatta 0 ( ) ( ) T
u u   ' N u 0 ( ) ( ) T     ' N u (3.35) essendo ( ), ( ) u    N N i vettori che collezionano rispettivamente le fun- zioni di forma negli spostamenti e nelle rotazioni ed 0 u un vettore che colleziona gli spostamenti nodali, definiti come segue 1 1 1 2 2 1 0 3 3 2 4 4 2 ( ) ( ) (0) ( ) ( ) (0) ( ) ; ( ) ; ( ) ( ) (1) ( ) ( ) (1) u u u u u N N u u L N N N N u u L N N                    ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' N N u
L''espressione della curvatura può essere ottenute tramite derivazione
dell''eq. (3.31) ( ) ( )     ' ' 1 1 2 1 3 2 4 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N u N N u N             ' ' ' ' (3.36)
dove ( ) j N  sono le funzioni di forma in termini di curvature 1 1 1 3 4 2 2 2 3 4 3 3 3 3 4 4 4 4 3 4 3 4 3 4 3 4 4 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n N
N
N
N d d d d d d d d                 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (3.37)
Nell''eq. (3.37) le funzioni 3 4 ( ), ( ) d d   ' ' sono le derivate delle funzioni 3 4 ( ), ( ) d d   indicate nelle eq. (3.17) 96 Capitolo 3 * 3 1 2 * 4 1 ( ) 2 2 ( ) ( ) 3 6 ( ) j j n j j n j j d U d U                ' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' (3.38) L''eq. (3.36) può essere scritta nella seguente forma compatta 0 ( ) ( ) T     ' N u (3.39) essendo 1 2 3 4 ( ) ( ), ( ), ( ), ( ) t N N N N           ' ' ' ' ' N il vettore che colle- ziona le funzioni di forma nelle curvature 3.5 Matrice di rigidezza Gli sforzi nodali interni, quali lo sforzo di taglio e il momento flettente,
possono essere collezionati nel vettore '  '  0 1 1 2 2 (0) (0) (1) (1) T V M V M V M V M ' ' ' ' S e messi in rela- zione al vettore degli spostamenti nodali 0 u attraverso la seguente e- spressione 0 0 b ' S K u dove b K è la matrice 4 x 4 di rigidezza dell''elemento finito trave con di- scontinuità multiple definita, in base all''eq. (3.33), come segue 0 0 1 1 [( ( ) ( ) ) ) ] [ ( ) ( ) ( ) ] [( ( ) ( ) ( ) ) ] [ ( ) ( ) ( ) ] T T b T T E I E I E I E I                     ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' N ( N K N N (3.40) L''espressione esplicita della matrice di rigidezza è riportata
nell''appendice B. 3.6 Matrice di massa coerente Al fine di effettuare un analisi dinamica di una struttura intelaiata la
distribuzione delle forze d''inerzia lungo l''elemento con discontinuità
proposto può essere ricavata attraverso la costruzione della matrice di
massa coerente. In particolare, la matrice di massa coerente La trave di Timoshenko con discontinuità multiple 97 dell''elemento finito proposto con le funzioni di forma fornite dall''eq.
(3.32) può essere valutata come segue: 1 0 ( ) ( ) ( ) T b u u m d     ' ' M N N (3.41) dove ( ) m  è la massa per unità di lunghezza dell''elemento. L''eq. (3.41) può essere sfruttata per formulare un''espressione esplicita della matrice
di massa della trave con discontinuità come riportato nell''Appendice C
per il caso di massa uniformemente distribuita.
Le forze d''inerzia contenute nel vettore I S possono essere relazionate al vettore delle acelerezioni nodali 0 u come segue: 0 I b ' S M u (3.42) dove b M è la matrice di massa consistente 4 4 ' dell''elemento trave con discontinuità le cui componenti sono valutate in accordo alle eq. (3.41)
Le forze d''inerzia contenute nel vettore I S possono essere relazionate al vettore delle acelerezioni nodali u0 come segue:
La formulazione proposta definisce un elemento finito di tipo trave 2D
con discontinuità multiple. Tuttavia, la matrice di rigidezza globale b K e la matrice di massa b M possono essere facilmente estese al caso 3D per un elemento finito con 12 DOF.



98 Capitolo 3 3.7 Analisi statica lineare di un telaio piano In questo paragrafo si vuole dimostrare l''efficacia dell''elemento finito
proposto attraverso l''analisi statica lineare del telaio piano rappresenta-
to in Figura 31 soggetto ai seguenti carichi: -1 0.75kN, 1.5kNm . F q ' ' Il telaio è composto da due ritti in acciaio ( 8 2 2.06 10 / E kN m ' ' ) di lun- ghezza h=3,00m aventi sezione trasversale rettangolare 12 30 ' cm ( 4 4 2.7 10 m c I ' ' ' ) ed un traverso in acciaio di lunghezza L=5,00m con sezione trasversale rettangolare 10 20 ' cm ( 5 4 0 6.6 10 m b I ' ' ' ) rappre- sentato in Figura 32, presenta diverse discontinuità interne. Al fine di
modellare il comportamento meccanico del traverso si introducono le se-
guenti discontinuità: 0 10 2.25 1000 / 0.5 ; 0 ; ; ; 3.50 1000 / 4.50 10 m m kN m x m x k m kN m m    ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' β
Pertanto la rigidezza flessionale del traverso ( ) b EI x è funzione delle singolarità secondo il modello proposto al §3.5. Figura 31. Modello di calcolo del telaio piano La trave di Timoshenko con discontinuità multiple 99 Figura 32. Schema di trave adottato per il modello agli elementi finiti
Nelle seguenti figure sono riportati i grafici della risposta del telaio mo-
dellato mediante elementi finiti con discontinuità multiple. I risultati
sono stati confrontati con quelli ottenuti mediante il noto codice di calco-
lo SAP2000. Figura 33. E.F. proposto: deformata del telaio in Figura 31. Il traverso subisce uno spo-
stamento flessionale massimo in x=2.25m pari a 0.39286 mm, mentre l''implacato trasla
orizzontalmente di 0.818 mm nel punto di applicazione della forza F. 1 0 (1 ) b EI  ' 2 0 (1 ) b EI  ' 3 0 (1 ) b EI  ' 1 k 2 k 100 Capitolo 3 Figura 34. E.F. proposto: diagramma del momento flettente del telaio in Figura 31. I va-
lori del momento flettente sono espressi in kNm. Figura 35. E.F. proposto: diagramma dello sforzo di taglio del telaio in Figura 31. I valo-
ri dello sforzo di taglio V sono espressi in kN. La trave di Timoshenko con discontinuità multiple 101 Figura 36. SAP2000: deformata del telaio in Figura 31. Il traverso subisce uno sposta-
mento flessionale massimo in x=2.25m pari a 0.3928 mm, mentre l''implacato trasla o-
rizzontalmente di 0.818 mm nel punto di applicazione della forza F. Figura 37. SAP2000: diagramma del momento flettente del telaio in Figura 31
102 Capitolo 3 Figura 38. SAP2000: diagramma dello sforzo di taglio del telaio in Figura 31
Dal confronto della risposta locale del telaio si deduce che il modello ba-
sato su elementi finiti con discontinuità fornisce i medesimi risultati ot-
tenibili mediante il modello generato dal codice di calcolo SAP2000 ba-
sato su elementi finiti standard. In quest''ultimo modello è stato neces-
sario discretizzare il traverso in cinque elementi finiti, per cui il numero
dei gradi di libertà del sistema risolvente risulta pari a 18. D''altra par-
te, il modello basato su elementi finiti con discontinuità multiple non
necessita alcuna discretizzazione, per cui il numero dei gradi di libertà
del sistema risolvente si riduce a 6. Si sottolinea l''evidente riduzione
dell''onere computazionale che apporta l''elemento finito proposto.

La trave di Timoshenko con discontinuità multiple 103 3.8 Bibliografia 1. Yavari, A., Sarkani, S., Moyer, E.T., 2000. On applications of generalised functions to beam bending problems, International
Journal of Solids and Structures, 37, 5675-5705. 2. Yavari, A., Sarkani, S., Reddy, J.N., 2001. On nonuniform Euler- Bernoulli and Timoshenko traves with jump discontinuities: ap-
plication of distribution theory, International Journal of Solids
and Structures 38: 8389-8406. 3. Khiem, N.T., Lien, T.V., 2001. A simplified method for natural frequency analysis of a multiple cracked beam, Journal of Sound
and Vibrati8on, 245, 737-751. 4. Ruotolo, R., Surace, C., 2004. Natural frequencies of a bar with multiple cracks, Journal of Sound and Vibration 272: 301-316. 5. Li, Q.S. 2002. Free vibration analysis of non-uniform traves with an arbitrary number of cracks and concentrated masses, Journal
of Sound and Vibration, 252, 509-525. 6. Binici, B. 2005. Vibration of traves with multiple open cracks subjected to axial force. Journal of Sound and Vibration, 287,
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bration, 308, 12-27. 8. Biondi, B., Caddemi, S. 2007. Euler-Bernoulli traves with multi- ple singularities in the flexural stiffness, European Journal of
Mechanics A/Solids, 26, 789-809. 9. Bilello, C. 2001. Theoretical and experimental investigation on damaged traves under moving systems. Ph.D. Thesis, University
of Palermo, Italy. 10. Caddemi, S. & Caliò, C. 2010. The influence of concentrated cracks on framed structures by means the dynamic stiffness
method. Fifth European Workshop on Structural Health Monitor-
ing, Sorrento, Naples, Italy. 104 Capitolo 3 11. Caddemi, S., Caliò, I., Cannizzaro, F, 2012. Closed-form solutions for stepped Timoshenko traves with internal singularities and
along-axis external supports. Archive of Applied Mechanics
doi:10.1007/s00419-012-0704-7 (2012). 12. Dimarogonas, A.D., 1996. Vibration of cracked structures: a state of the art review. Engineering Fracture Mechanics 55, 831-857. 13. Ostachowicz, W.M., Krawczuk, C., 1991. Analysis of the effect of cracks on the natural frequencies of a cantilever beam. Journal
of Sound and Vibration 150(2), 191-201. 14. Rizos, P.F., Aspragathos, N., Dimarogonas, A.D., 1990. Identifi- cation of crack location and magnitude in a cantilever beam from
the vibration modes. Journal of Sound and Vibration 138(3),
381''388. 15. Bilello, C., 2001. Theoretical and experimental investigation on damaged traves under moving systems. PhD. Thesis, Università
degli Studi di Palermo, Palermo, Italy.



Capitolo 4
UN NUOVO ELEMENTO FINITO TRAVE A PLA-
STICIT' DIFFUSA (GDB)
4.1 Premessa Nel presente capitolo si propone un nuovo elemento finito trave a
plasticità diffusa, formulato in termini di spostamenti, basato sulla so-
luzione statica della trave di Timoshenko con discontinuità. Tale ele-
mento, indicato successivamente con la sigla GDB, acronimo associato
alla frase ''Generalised Displacement Based beam element'', si distingue
dagli elementi finiti DB tradizionali per la possibilità di modificare la
rigidezza dell''elemento attraverso l''uso di funzioni di forma arricchite
dalla presenza di funzioni generalizzate il cui contributo si considera re-
golato da variabili interne. Nell''ambito della procedure numerica di
analisi non lineare, basata sull''algoritmo di Newton Raphson, la modifi-
ca delle funzioni di forma dell''elemento finito viene governata dallo sta-
to dell''elemento determinato a partire dalla risposta ottenuta nelle se-
zioni di controllo il cui numero e la cui posizione dipendono dal partico-
lare metodo di integrazione alla Gauss considerato. Tale procedura mira
ad una valutazione più accurata dello stato dell'elemento (Element Sta-
te Determination). In questa prima veste la procedura proposta non tie-
ne conto della deformabilità a taglio dell''elemento finito. Tale limitazio-
ne non preclude comunque la possibilità, anche attraverso successivi
studi, di un''ulteriore estensione della procedura numerica al caso in cui
l''elemento finito a plasticità diffusa sia anche deformabile a taglio. 106 Capitolo 4 L''elemento finito proposto, a differenza degli elementi finiti DB tradi-
zionali, non richiede una discretizzazione della trave in sub-elementi
per cogliere le variazioni di curvatura, per cui a parità di accuratezza il
numero dei gradi di libertà richiesti rispetto agli approcci DB classici ri-
sulta di gran lunga inferiore. Rispetto agli approcci FB l''elemento pos-
siede il vantaggio di restituire il campo degli spostamenti interno
all''elemento e di non necessitare di ulteriori iterazioni nella fase di ''sta-
te element determination''. Inoltre la dipendenza delle funzioni di forma
dai carichi direttamente applicati sull''elemento nè consente una facile
implementazione anche in presenza di carichi concentrati o parzialmen-
te distribuiti in campata senza la necessità di modifiche dell''elemento
base (come per gli approcci FB) o di ulteriori discretizzazioni. 4.2 Forze e spostamenti nodali Si consideri una trave i cui nodi di estremità I e J risultano individuati
rispetto ad un sistema di riferimento globale OXYZ . Tale asta risulta
orientata nello spazio secondo il sistema di riferimento locale
dell''elemento oxyz ortogonale e levogiro con origine o ' I .
Figura 39 '' Individuazione dell''elemento finito trave nello spazio rispetto al sistema di riferimento globale OXYZ ed a quello locale dell''elemento oxyz Per definire l''orientamento degli assi del sistema di riferimento locale si
definisca un sistema di riferimento ausiliario ox y z ' ' ' in modo che l''asse x' risulti disposto come il vettore I - J , l''asse y' sia tale che 0 x y ' ' '' ' e e e 0 Z y' '' ' e e l''asse z' sia tale che z x y ' ' ' ' ' e e e . L''asse x del sistema di ri- 1 e 2 e 3 e X Y Z O y ' x x ' z o ' I J ' y y z ' z  Un nuovo elemento finito a plasticità diffusa (DB++) 107 ferimento locale oxyz risulta coincidente con l''asse x' mentre gli assi y
e z risultano individuati in funzione dell''angolo di rotazione  . Si definiscono e Q e eq rispettivamente i vettori delle forze e degli spo- stamenti nodali dell''elemento finito trave, espressi nel sistema di rife-
rimento locale dell''elemento (cfr. figura 10) ' ' 1 2 3 4 5 6 7, 8 9 10 11 12 , , , , , , , , , , T e Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q ' Q (4.1) ' ' 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 , , , , , , , , , , , T e q q q q q q q q q q q q ' q (4.2) Nella presente trattazione la risposta torsionale si assume governata da
un legame elastico lineare e si considera disaccoppiata da quella flessio-
nale, pertanto non verrà considerata nel prosieguo della trattazione. Figura 40 '' Forze e spostamenti nodali dell''elemento finito trave 4.3 Ipotesi cinematiche L''approccio adottato introduce un ipotesi sul campo degli spostamenti
della linea d''asse della trave che si assume possano essere espressi me-
diante una combinazione lineare di funzioni di forma generalizzate e
variabili in funzione dello stato dell''elemento. 108 Capitolo 4 4.3.1 Le funzioni di forma generalizzate adottate nella discretiz-
zazione
E'' ben noto che il principale limite dell''approccio agli spostamenti clas-
sico, basato sulle funzioni di forma della trave elastica ed omogenea, ri-
siede nell''incapacità di cogliere, nel singolo elemento, le variazioni di
curvatura associate alle deformazioni plastiche nell''elemento e di conse-
guenza l''inadeguatezza della rappresentazione del campo degli sposta-
menti. L''idea alla base della presente formulazione consiste nel proporre
un approccio agli spostamenti in cui le funzioni di forma, alla base della
discretizzazione, risultino dipendenti dalle variazioni locali di rigidezza
della trave. In particolare nella presente formulazione si propone di as-
sociare al monitoraggio dello stato dell''elemento nel passo la definizione
di una trave non omogenea, con variabilità a tratti, la cui rigidezza pos-
sa ritenersi rappresentativa dello stato corrente dell''elemento. Tale ap-
proccio diviene competitivo se associato alle soluzioni in forma chiusa,
riportate nel capitolo precedente e relativa alla trave con variabilità a
tratti. Tali soluzioni sono relative alle funzioni di forma di un elemento
trave con variabilità brusca nella rigidezza e posseggono l''enorme van-
taggio di dipendere esclusivamente dai gradi di libertà nodali
dell''elemento, come per la trave omogenea. Le discontinuità sono regola-
te delle variabili interne che identificano le variazioni di rigidezza fles-
sionale dell''elemento regolando i contributi dei termini generalizzati
delle funzioni. 4.3.1.1 La definizione della trave non omogenea equivalente
Diversi possono essere gli approcci di definizione della trave nonomoge-
na equivalente, nella presente formulazione si è considerato un approc-
cio dipendente dal metodo di integrazione adottato.
Il livello di conoscenza dello stato inelastico dell''elemento dipende dalla
sua discretizzazione ed in particolare da: - metodo di integrazione di linea e numero di sezioni di controllo;
- discretizzazione della sezione in fibre;
- legame costitutivo delle fibre. Un nuovo elemento finito a plasticità diffusa (DB++) 109 I metodi di integrazione numerica generalmente adottati prevedono la
suddivisione della trave in un numero finito di conci e l''introduzione di
sezioni di controllo per ciascun concio. Ciascuna sezione di controllo si
può allora ritenere rappresentativa della risposta e delle proprietà mec-
caniche delle altre sezioni che ricadono all''interno del concio di apparte-
nenza. Si può allora assumere che, nel generico passo dell''analisi, la
trave inelastica ai fini della rigidezza possa considerarsi equivalente ad
una trave con rigidezza, variabile a tratti, individuata dallo stato delle
sezione di controllo. In figura Figura 41 viene qualitativamente rappre-
sentata una trave non omogenea rappresentativa del generico stato
dell''elemento, in accordo ad una procedura di integrazione di Gauss in
cui le Nr sezioni di controllo risultano rappresentative di conci di lun- ghezza 2 r L w . Figura 41 '' Rappresentazione qualitativa della trave non omogenea equivalente. In particolare con riferimento al metodo di integrazione di Gauss, detti r  e r w (r=1,2,',Nr) rispettivamente i pesi e le posizioni delle sezioni di controllo rispetto al sistema di riferimento intrinseco, la trave può allora considerarsi suddivisa in conci di lunghezza pari a 2 r L w rispetto al si- stema di riferimento naturale. Per ciascun concio si introduce quindi una sezione di controllo posta in (1 ) 2 r r L x  ' ' che, come detto poc''anzi, si assume essere rappresentativa delle altre sezioni del concio. Ciò im- 110 Capitolo 4 plica che ciascun concio di trave può considerarsi a rigidezza sezionale
costante.
Per tale ragione si introducono discontinuità nelle curvature in numero
pari a quello delle sezioni di controllo, posizionate in corrispondenza del-
le ascisse
1 1 1, 2,..., 2 j j r r r L x w j N  ' ' ' ' ' (4.3)
Le ascisse j x possono essere raccolte in un vettore  x che individua le posizioni delle variazioni di rigidezza nella trave equivalente, rispetto
all''origine posizionata al primo estremo.
1 1 2 1 2 1 0, , ( ),..., ( ... ) 2 2 2 r N L L L w w w w w w  ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' x (4.4)
Ciascuna discontinuità è individuata dal parametro j  associato alla rigidezza flessionale della sezione di controllo j j E I in funzione di un va- lore di riferimento 0 0 E I generalmente assunto pari alla rigidezza inizia- le della trave omogenea.
0 0 0 0 ( ) / j j j E I E I E I  ' ' (4.5)
I parametri che individuano le intensità delle discontinuità j  possono essere raccolte in un unico vettore   1 1 , ,..., r N    ' β (4.6)
In tal modo ciascun piano di inflessione della trave sarà caratterizzato
nel passo da una coppia di vettori ' ' ,  x β che caratterizza la distribu- zione delle discontinuità. Le discontinuità così introdotte modellano la
trave a conci, ciascuno dei quali ha una rigidezza sezionale costante pari Un nuovo elemento finito a plasticità diffusa (DB++) 111 a quella della sezione di controllo ad esso associata. Inizialmente si as-
sume che ciascun concio abbia rigidezza j j E I pari a quella iniziale 0 0 E I per cui 0 j  ' , il che comporta assenza di discontinuità. Pertanto alla base della formulazione dell''elemento finito Generalised
Displacement Based vi è l''ipotesi che il campo degli spostamenti della
linea d''asse della trave si possa esprimere attraverso le funzioni di for-
ma associate alla trave nonomogenea equivalente ed in particolare:
1 1 2 7 1 2 2 6 3 8 4 12 1 3 2 5 3 9 4 11 ( ,0,0) ( ) ( ) ( ,0,0) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ,0,0) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x x x y y z y z y z y z z z y z y z y z y u x N q N q u x N q N q N q N q u x N q N q N q N q           ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' β β β β β β β β (4.7)
in cui ( ) xj N  sono le funzioni di forma assiali negli spostamenti, per le quali si trascurano gli effetti associati alle discontinuità.
1 2 ( ) 1 , ( ) x x N N     ' ' ' (4.8) ( , ), ( , ) yj y zj z N N   β β sono le funzioni di forma flessionali in termini di spostamento. Le espressioni delle funzioni di forma flessionali ( ) uj N  della trave con discontinuità sono state derivate nel capitolo precedente
[eq. (3.32)] e valutate rispettivamente per le discontinuità nelle curva-
ture di intensità yr zr e   , quest''ultime associate alle rigidezze flessio- nali y EI ed z EI di ciascuna sezione di controllo. I vettori , y z β β colle- zionano i salti nella rigidezza flessionale zr yr e   . L''eq.(4.7) può scriversi nella seguente forma compatta
( ) ( , , ) y z e x x ' '' u N β β q (4.9) 112 Capitolo 4 dove ( ) ( ,0,0), ( ,0,0), ( ,0,0) t x y z x u x u x u x ' ' ' ' ' u è il vettore che raccoglie le componenti di spostamento lungo la linea d''asse mentre ( , , ) y z x N β β è la matrice che raccoglie le funzioni di forma sopra citate.
1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x y z y y y y z z z z N N x N N N N N N N N ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' N β β (4.10) 4.4 Campo di deformazione Per l''elemento finito proposto si assume inoltre che sia soddisfatta
l''ipotesi di conservazione delle sezioni piane, per cui il campo delle de-
formazioni longitudinali può essere espresso nella forma
'  0 0 ( , , ) 1 ( , ) ( ) x y z y z x y z z y z y y z x        ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' α d (4.11) Nella eq. (4.11) il campo delle deformazioni ( , , ) x x y z  è descritto dal prodotto scalare tra il vettore ( , ) y z α ed il vettore delle deformazioni generalizzate ( ) x d , realizzando in tal modo una separazione delle varia- bili da quelle dipendenti dalle ascisse ( , ) y z a quelle dipendenti dalla posizione x della sezione. Un nuovo elemento finito a plasticità diffusa (DB++) 113 Figura 42 '' Sezione trasversale della trave Con riferimento alle deformazioni trasversali principali ( , ) y z   que- ste sono ovunque trascurate. Nell''ipotesi in cui la trave sia indeformabi-
le a taglio gli scorimenti angolari risultano nulli ed il tensore di defor-
mazione si scrive
0 0 0 0 0
0 0 0 x  ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' E (4.12)
Le deformazioni generalizzate 0 ( ), ( ), ( ) y z x x x    sono messe in relazio- ne al vettore degli spostamenti nodali tramite le relazioni
0 1 1 2 7 1 3 2 5 3 9 4 11 1 2 2 6 3 8 4 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) y y y y z z z z x x y y y y y z z z z z x N q N q x N q N q N q N q x N q N q N q N q                      ' ' ' '' ' '' ' '' ' '' ' '' ' '' ' '' ' '' ' '' ' '' β β β β β β β β (4.13)
Nelle eq. (4.13) / x L  ' è l''ascissa adimensionalizzata rispetto alla lunghezza L dell''elemento finito, ( ) xj N  ' sono le derivate prime delle y z G ' P F ' 114 Capitolo 4 funzioni di forma assiali [eq.(4.8)], ( , ) y j y N  β e ( , ) z j z N  β sono le fun- zioni di forma flessionali in termini di curvatura ( ) j N  della trave con discontinuità ottenute al capitolo precedente [eq. (3.37)] valutate rispet-
tivamente per i vettori delle discontinuità nelle curvature di intensità y e z β β , quest''ultime associate alle rigidezze flessionali EIy ed EIz delle sezioni di controllo della trave. Le eq.(4.13) possono essere scritte ancora
nella seguente forma compatta
( ) ( , , ) y z e x x ' '' d B β β q (4.14)
essendo 0 ( ) ( ), ( ), ( ) T y z x x x x    ' ' ' ' ' d il vettore delle deformazioni gene- ralizzate, ( , , ) y z x B β β la matrice che raccoglie le funzioni di forma nelle deformazioni assiali e nelle curvature definite superiormente.
1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y y y y z z z z x x yr zr N N x N N N N N N N N           ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' B (4.15) 4.6 Campo di tensione Nella presente formulazione si assume che il campo delle tensioni assia-
li sx(x, y,z) sia indipendente dalle azioni associate alla torsione e al ta- glio di cui si ignora l''influenza. Si ha pertanto
( , , ) ( , , ) ( , , ) x x x y z E x y z x y z   ' '' (4.16)
Noto il campo di tensioni nella direzione dell''asse della trave ( , , ) x x y z  le caratteristiche della sollecitazione, derivanti da tale campo di tensio-
ne, si possono raccogliere nel vettore ( ) ( ) ( ) ( ) T y z x N x M x M x ' ' ' ' ' D , e si possono esprimere nella forma compatta: Un nuovo elemento finito a plasticità diffusa (DB++) 115 ( ) 1 ( ) ( ) ( , , ) ( , ) ( , , ) ( ) T y x x z N x x M x z x y z d y z x y z d M x y   ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' D α (4.17)
essendo ' l''area della sezione trasversale della trave. Con riferimento ad una discretizzazione ''a fibre' della sezione trasversale della trave
l''eq. (4.17) si traduce nella sommatoria estesa estesa al numero di fibre
considerate
1 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , , ) ( ) Nfib T y ifib ifib x ifib ifib ifib ifib z N x x M x y z x y z A M x  ' ' ' ' ' ' ' '' '' ' ' ' ' ' ' ' D α (4.18) 4.7 Matrice di rigidezza La relazione che lega le forze nodali e Q agli spostamenti nodali e q dell'elemento finito si ottiene applicando il principio dei lavori virtuali
(PLV). Ipotizzando che l''elemento finito sia soggetto solo a forze e spo-
stamenti nodali il PLV fornisce
( ) T T e e x x e e V V tr dv dv      '' ' '' '' ' '' ' ' T E Q q Q q (4.19)
sostituendo l''eq. (4.16) nell''eq. (4.19) si ottiene
( , , ) T x x e e V E x y z dv    '' '' ' '' ' Q q (4.20)
sostituendo l''eq. (4.11) nell''eq. (4.20)
( ) ( , ) ( , , ) ( , ) ( ) T T T e e V x y z E x y z y z x dv     '' '' '' '' ' '' 'd d Q q (4.21) 116 Capitolo 4 L'integrale di volume nell''eq. (4.21) può essere ancora scritto come un
integrale esteso all''area della sezione trasversale ( ) x ' per un integrale esteso alla lunghezza L della elemento finito
0 ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) L t T t
e e x x y z E y z d x dx x     ' ' ' '' '' '' ' '' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' d d Q q k (4.22)
L''integrale esteso all''area della sezione trasversale ( ) x ' è noto in lette- ratura come matrice di rigidezza della sezione x e viene usualmente in- dicato con il simbolo ( ) x k . Sostituendo l''eq. (4.14) nell''eq. (4.22) si ottie- ne
0 ( , , ) ( ) ( , , ) L t t t e y z y z e e e e x x x dx    '' '' '' ' '' ' ' q B β β k B β β q Q q q (4.23)
portando tutti i termini al primo membro si ottiene
0 ( , , ) ( ) ( , , ) 0 L t t t e y z y z e e x x x dx   ' ' '' '' ' '' ' ' ' ' ' ' ' q B β β k B β β Q q q (4.24)
poiché l''eq. (4.24) deve essere soddisfatta per un arbitrario campo di
spostamenti e q si ha 0 ( , , ) ( ) ( , , ) L t t t e y z y z e x x x dx '' '' ' ' q B β β k B β β Q (4.25)
e in forma compatta
t t t e e e e e e ' '' ' q K Q Q K q (4.26) Un nuovo elemento finito a plasticità diffusa (DB++) 117 essendo e K 0 ( , , ) ( ) ( , , ) L t e y z y z x x x dx ' '' '' ' K B β β k B β β (4.27) la matrice di rigidezza dell''elemento finito trave che dipende dallo stato
corrente dell''elemento attraverso i vettori , y z β β . In Figura 43 è riportato, mediante diagramma di flusso, lo schema di
aggiornamento della matrice di rigidezza dell''elemento.
Figura 43 '' Diagramma di flusso per l''assemblaggio della matrice di rigidezza dell''elemento finito GDB 4.8 Forze nodali reattive Il vettore delle forze nodali dell'elemento (element resisting forces), e Q , viene determinato applicando il principio dei lavori virtuali 0 ( ) ( ) L T T e e x x dx   ' ' q Q d D (4.28) 118 Capitolo 4 Sostituendo l''eq. (4.14) nella eq. (4.28) si ottiene
0 ( , , ) ( ) L T T T e e e y z x x dx   ' '' ' q Q q B β β D (4.29)
Portando tutti i termini al primo membro si ha
0 ( , , ) ( ) 0 L T T e e y z e x x dx   ' ' '' ' '' ' ' ' ' ' ' ' q Q B β β D q (4.30)
Tale relazione deve essere soddisfatta per un arbitrario campo di spo-
stamenti e q per cui dovrà essere 0 ( , , ) ( ) L T e y z x x dx ' '' ' Q B β β D (4.31)
Con riferimento alle procedure di analisi non lineare basate
sull''algoritmo di Newton-Raphson la determinazione del vettore delle
forze nodali e Q avviene tramite integrazione numerica dell''eq.(4.31). Nel caso in cui si adotti il metodo di integrazione alla Gauss l''eq. (4.31)
diventa
1 0 ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) 2 r L N T T e y z r y z r r r L x x dx x x w ' ' '' ' '' '' ' ' Q B β β D B β β D (4.32)
essendo r w i pesi di Gauss. Appare evidente che a differenza dell''approccio agli spostamenti stan-
dard, i vettore delle forze nodali oltre a dipendere dai valori correnti del-
le caratteristiche della sollecitazione nelle sezioni di controllo risulta
anche influenzato dalla variabilità delle funzioni di forma. Un nuovo elemento finito a plasticità diffusa (DB++) 119 4.9 Determinazione dello stato dell''elemento La determinazione dello stato dell''elemento (Element State Determina-
tion) consente la determinazione delle forze nodali dell''elemento e 'Q che scaturiscono da un campo di spostamenti nodali imposti e 'q . La procedura proposta è molto simile a quella adottata nell''approccio clas-
sico agli spostamenti, già esposta nel capitolo 1 (cfr. § 1.3.3.5). L''unica
differenza è associata alla necessita di aggiornare i vettori , y z β β che collezionano i salti nella rigidezza flessionale in accordo alla rigidezza
corrente delle sezioni di controllo. Con riferimento all''elemento finito
trave a plasticità diffusa GDB e per un fissato incremento del vettore
degli spostamenti nodali e 'q , la sequenza delle operazioni, espresse simbolicamente
dall''eq.Errore. L'origine riferimento non è stata trovata., è rias-
sumibile nei seguenti punti:
1) Per un incremento finito di spostamenti nodali e 'q si impone a ciascuna sezione r x di controllo un campo di deformazioni gene- ralizzate congruente ( ) r x 'd tramite l''eq. (1.20): 1 1 ( ) ( , , ) j j j j r r y z e x x ' ' ' ' ''' d B β β q 2) Le caratteristiche della sollecitazione ( ) r x 'D che scaturiscono dal campo di deformazioni imposto ( ) r x 'd sono ottenute me- diante l''analisi sezionale (Section State Determination, cfr. §
1.3.3.6) Tale procedura si può esprimere simbolicamente come '  ( ) ( ) r r x g x ' ' ' D d 3) Aggiornamento delle discontinuità. Per ciascuna sezione r x di controllo si eseguono le seguenti ope- razioni:
a) Aggiornamento della discontinuità j y β . Sia 1 , j y r  ' e , j y r  l''intensità della discontinuità nella sezione r-esima rispettiva-
mente valutate nell''iterazione precedente (j-1) ed in quella cor-
rente (j); 120 Capitolo 4 sia 1( ) e ( ) j j y r y r x x   ' ' ' l''incremento della curvatura nella se- zione r-esima valutati rispettivamente nell''iterazione precedente
(j-1) ed in quella corrente (j). Se 1 , 0 j y r  ' ' e se 1( ) ( ) 0 j j y r y r x x   ' ' ''' ' allora si è in presenza di uno scarico da una fase di carico plastico. In tal caso si assegna
una intensità della discontinuità nulla alla sezione di controllo r-
esima: , 0 j y r  ' Viceversa, se ( ) 0 j y r x  ' ' , si calcola la rigidezza corrispondente , ( ) / ( ) j j j y r y r y r EI M x x  ' ' ' per cui l''intensità della discontinuità è fornita dalla eq.(4.5): , 0 , 0 ( ) / j j y r y y r y EI EI EI  ' ' . Se invece ( ) 0 j y r x  ' ' non si procede all''aggiornamento di , j y r  e si conser- va il suo valore assunto all''iterazione precedente 1 , j y r  ' b) Aggiornamento della discontinuità j z β . Si ripete quanto detto al punto a) considerando le corrispondenti quantità vetto-
riali che riportano il pedice z . 4) Noti gli incrementi delle caratteristiche della sollecitazione ( ) r x 'D nelle sezioni di controllo è possibile calcolare l''incremento delle forze nodali reattive (resisting forces) tramite
l''eq.(4.31) 1 ( , , ) ( ) 2 r N j T j j j e r y z r r r L x x w ' ' ' ''' '' ' Q B β β D Il valore cumulato del vettore delle forze nodali e Q è ottenuto, infine, sommando l''incremento calcolato al valore ottenuto
nell''iterazione precedente 1 j j j e e e ' ' ' ' Q Q Q Un nuovo elemento finito a plasticità diffusa (DB++) 121 In Figura 44 è riportato il diagramma di flusso relativo alla procedura a-
dottata. 122 Capitolo 4 Figura 44 '' Diagramma di flusso dell''Element State Determination dell''elemento finito proposto Un nuovo elemento finito a plasticità diffusa (DB++) 123



Capitolo 5
APPLICAZIONI NUMERICHE
5.1 Premessa In questo capitolo si riportano alcuni esempi applicativi dell''elemento
finito proposto GDB. I risultati ottenuti vengono confrontati con quelli
ottenuti attraverso elementi finiti DB e FB già implementati nei softwa-
re ADINA, SeismoStruct e OpenSees.
Le prime applicazioni sono relative ad una trave a mensola costituito da
materale elastico perfettamente plastico le cui caratteristiche sono ri-
portate in tabella 5.1. La trave si assume caricata in corrispondenza
dell''estremo libero. Le applicazioni successive sono relative ad un sem-
plice telaio piano costituito dallo stesso materiale elasto-plastico consi-
derato per la mensola e soggetto ad una distribuzione costante di carichi
verticali e azioni orizzontali crescenti fino alla condizione di incipiente
collasso. Tali applicazioni sono orientate ad effettuare una prima vali-
dazione del modello proposto mediante analisi statiche non lineari su
modelli semplici ma sufficientemente rappresentativi.
. Tabella 5.1 '' Parametri meccanici del legame costitutivo 0 E 0  [MPa] [MPa] 37439 17.43 Legenda: 0 E = modulo di Young; 0  = tensione al limite elastico. 126 Capitolo 5 5.2 Trave a mensola La prima applicazione è relativa ad una trave a mensola avente sezione
rettangolare 30x50 cm e lunghezza L=3.00m, soggetta ad un carico ap-
plicato all''estremo libero fino al raggiungimento della condizione di in-
cipiente collasso. Nella modellazione che utilizza l''elemento finito pro-
posto GDB, sono stati implementati due tipi di modelli con differente di-
scretizzazione: il primo indicato con la sigla M1-GDB prevede la model-
lazione delle trave con un solo elemento finito, il secondo indicato con la
sigla M2-GDB considera una discretizzazione associata all''utilizzo di 2
elementi finiti. Ciascun elemento presenta 7 sezioni di controllo localiz-
zate in corrispondenza dei punti di integrazione di Gauss-Lobatto. Cia-
scuna sezione, a sua volta, è discretizzata in 8x34 fibre ed il legame co-
stitutivo associato ad ogni fibra è assunto elastico perfettamente plasti-
co (E=37439 MPa, 0  = 17.43 MPa). I risultati numerici sono stati confrontati con quelli ottenuti mediante
modelli basati su elementi finiti trave tradizionali DB, implementati nei
codici di calcolo commerciali ADINA e SeismoStruct, nonché attraverso
modelli basati su elementi finiti FB presenti nei codici di calcolo Open-
Sees e SeismoStruct. Per tutti i modelli sono state condotte analisi sta-
tiche non lineari incrementali facendo crescere monotonicamente il cari-
co applicato.
Nei successivi sottoparagrafi si riportano i risultati ottenuti nei diversi
approcci. I primi risultati, riportati nel successivo sottoparagrafo, sono
relativi ad un applicazione in ADINA coerente con un approccio agli
spostamenti classico, basato sulla discretizzazione mediante i polinomi
cubici di Hermite. 5.2.1 ADINA '' modelli DB Le analisi numeriche condotte con il codice ADINA sono state esegute
impiegando l''elemento finito ''nonlinear elasto-plastic beam element' in
cui viene adottato il metodo di integrazione numerica di Newton-Cotes.
Sono stati utilizzati tre diversi livelli di discretizzazione. Nel modello Applicazioni numeriche 127 A1-DB5 la trave viene modellata con un solo elemento finito in cui sono
presenti 5 sezioni di controllo localizzate in corrispondenza dei punti di
integrazione del metodo di Newton-Cotes.
Nel modello A1-DB7 la trave viene modellata ancora con un solo ele-
mento finito in cui sono presenti 7 sezioni di controllo.
Il modello A10-DB5 è relativa ad una discretizzazione accurata in cui la
trave viene discretizzata in 10 elementi finiti e ciascun elemento finito
presenta 5 sezioni di controllo.
Il legame costitutivo della sezione è stato assegnato fornendo le coppie
di valori che mettono in relazione le caratteristiche della sollecitazione
con le deformazioni generalizzate. Tali coppie di valori sono state otte-
nute attraverso un analisi momento-curvatura della sezione della trave
per vari valori di sforzo normale attraverso una discretizzazione per fi-
bre coerente con quella adottata nella modellazione proposta.
Nelle seguenti figure si riportano i grafici della risposta dei diversi mo-
delli considerati. La risposta è espressa in termini di (a) spostamento,
(b) curvatura, (c) curvatura plastica e (d) momento flettente.
(a) (b) (c) (d) Figura 45 '' ADINA: modello A1-DB. Risposta della trave modellata con un elemento
finito DB 5 sezioni di controllo ( =0.15): (a) spostamento, (b) curvatura, (c) curvatura plastica, (d) momento. 128 Capitolo 5 (a) (b) (c) (d) Figura 46 '' ADINA: modello A1-DB7. Risposta della trave modellata con un elemento finito DB 7 sezioni di controllo ( =0.15): (a) spostamento, (b) curvatura, (c) curvatura plastica, (d) momento. Le figure 45 e 46 sono relative ad una discretizzazione basata
sull''utilizzo di un solo elemento finito, vi è assoluta evidenza
dell''inacuratezza della soluzione. Il diagramma del momento flettente è
palesemente erratto ed inoltre l''elemento prevede una distribuzione di
curvatura plastica per tutta la lunghezza, contro l''evidenza fisica. Dai
risultati ottenuti, peraltro ben noti nella letteratura, emerge con assolu-
ta evidenza che operando con l''approccio Displacement Based classico
non è accettabile la discretizzazione che prevede l''utilizzo di un solo e-
lemento. (a) (b) (c) (d) Figura 47 '' ADINA: modello A10-DB. Risposta della trave modellata con 10 elementi
finiti DB ( =0.1087): (a) spostamento, (b) curvatura, (c) curvatura plastica, (d) momento. Applicazioni numeriche 129
In figura 47 si riporta la risposta del modello ADINA, denominato A10-
DB5, in cui la trave viene discretizzata con 10 elementi finiti DB. In
questo caso i risultati hanno raggiunto un grado di accuratezza accetta-
bile ai fini ingegneristici, il diagramma del momento flettente risulta
pressocchè lineare e si riscontrano sensibili aumenti nel diagramma del-
le curvature in corrispondenza delle sezioni in cui si ha la diffusione del-
la plasticità. 5.2.2 SeismoStruct '' modelli DB e FB Le analisi numeriche condotte con il codice SeismoStruct sono state ese-
gute impiegando l''elemento finito ''Inelastic frame elements - infrmDB',
formulato in termini di spostamenti secondo Hellesland and Scordelis
(1981) e Mari and Scordelis (1984), in cui viene adottato il metodo di in-
tegrazione numerica di Gauss-Lobatto.
Nel modello SS1-DB5 la trave viene modellata con un solo elemento fi-
nito in cui sono presenti 5 sezioni di controllo localizzate in corrispon-
denza dei punti di integrazione del metodo di Gauss-Lobatto.
Nel modello SS1-FB7 la trave viene modellata con un solo elemento fini-
to ''Inelastic frame elements - infrmFB' formulato in termini di forze se-
condo Spacone et al. (1996), in cui sono presenti 7 sezioni di controllo lo-
calizzate in corrispondenza dei punti di integrazione del metodo di
Gauss-Lobatto.
In tutti i modelli ogni sezione di controllo viene modellata mediante di-
scretizzazione a fibre ed il legame costitutivo delle fibre è elastico-
perfettamente plastico. I parametri che caratterizzano questo legame
costitutivo sono riportati nel § 5.2. 130 Capitolo 5 Figura 48 '' SeismoStruct: discretizzazione in fibre delle sezioni di controllo (a) (b) (c) Figura 49 '' SeismoStruct: modello SS1-DB5 ( =0.125): risposta in termini di (a) spo- stamenti, (b) sforzo di taglio e (c) momento flettente (a) (b) (c) Figura 50 '' SeismoStruct: modello SS10-DB5 ( = 0.110): risposta in termini di (a) spo- stamenti, (b) sforzo di taglio e (c) momento flettente Applicazioni numeriche 131 (a) (b) (c) Figura 51 '' SeismoStruct: modello SS1-FB7 ( =0.10865): risposta in termini di (a) spo- stamenti, (b) sforzo di taglio e (c) momento flettente (a) (b) (c) Figura 52 '' SeismoStruct: modello SS10-FB7: risposta in termini di (a) spostamenti, (b) sforzo di taglio e (c) momento flettente ( =0.109232).
Occorre rilevare che l''approccio agli spostamenti operato in Seismo-
Struct con l''adozione di un solo elemento restituisce un diagramma dei
momenti lineare, a differenza dell''ADINA, tuttavia i confronti riportati
nel seguito tra i diversi approcci evidenziano l''inaccuratezza in termini
di carico ultimo.

132 Capitolo 5 5.2.3 OpenSees '' modello FB In questo paragrafo si riportano i risultati delle analisi numeriche con-
dotte con il codice di calcolo OpenSees in cui è stato impiegato
l''elemento finito ''Nonlinear Beam Column Element' formulato in ter-
mini di forze in accordo all''approccio proposto da Neuenhofer and Filip-
pou (1997), che presenta il vantaggio di non richiedere ulteriori itera-
zioni associate alla ''fase element state determination''.
Nei modelli OS1-FB5 e OS1-FB7 la trave viene modellata con un solo
elemento finito in cui sono presenti rispettivamente 5 e 7 sezioni di con-
trollo localizzate in corrispondenza dei punti di integrazione del metodo
di Gauss-Lobatto. Ogni sezione di controllo viene modellata mediante
discretizzazione a fibre ed il legame costitutivo delle fibre è elastico-
perfettamente plastico. I parametri che caratterizzano questo legame
costitutivo sono riportati nel § 5.2.
I risultati sono riportati nelle figure 53 e 54.
E'' interessante rilevare come in entrambe le discretizzazioni l''elemento
riesce a cogliere concentrazioni di curvatura in corrispondenza delle zo-
ne soggette a plasticizzazione.
1 ( 0.0276)[ ] y m  ' ' ( 326.25)[ ] y M kNm ' (a) (b) Figura 53 '' OpenSees: modello OS1-FB5 ( =0.10875): risposta in termini di (a) curvatura, (b) momento. Applicazioni numeriche 133 1 ( 0.0276)[ ] y m  ' ' ( 326.25)[ ] y M kNm ' (a) (b) Figura 54 '' OpenSees: modello OS1-FB7 ( =0.10875): risposta in termini di (a) curvatu- ra, (b) momento flettente. 5.2.4 Elemento finito GDB Nelle successive figure sono riportati i risultati ottenuti con l''approccio
proposto GDB. Sono stati implementati due tipi di modelli con differente
discretizzazione: il primo indicato con la sigla M1-GDB prevede la mo-
dellazione delle trave con un solo elemento finito, il secondo indicato con
la sigla M2-GDB considera una discretizzazione associata all''utilizzo di
2 elementi finiti. Ciascun elemento presenta 7 sezioni di controllo loca-
lizzate in corrispondenza dei punti di integrazione di Gauss-Lobatto.
Ciascuna sezione, a sua volta, è discretizzata in 8x34 fibre ed il legame
costitutivo associato ad ogni fibra è assunto elastico perfettamente pla-
stico (E=37439 MPa, 0  = 17.43 MPa). La figura 55 riporta i risultati in termini di (a) spostamento, (b) momento flettente, (c) curvatura. Inoltre
la figura 55 (d) riporta le variazioni del parametro beta, in condizioni di
incipiente collasso, indicative delle variazioni di rigidezza locale
dell''elemento in corrispondenza dei ritenuti conci rappresentati dalle
corrispondenti sezioni di controllo. E'' interessante notare come il meto-
do proposto restituisca una sorta di trave equivalente al collasso che
puà ritenersi indicativa di uno stato di danneggiamento indotto,
un''ulteriore immagine dello stato dell''elemento è riportata in figura 57
in cui si utilizza una scala di colore. In figura 56 si riportano alcuni 134 Capitolo 5 snapshoot relativi alle variazioni delle funzioni di forma durante il pro-
cesso di carico.
(a) (b) (c) (d) Figura 55 '' Modello M1-GDB7 ( =0.11), in blu le sezioni di controllo in cui si sono mani- festate plasticizzazioni: (a) spostamenti, (b) momenti flettenti,
(c) curvature, (d) intensità della discontinuità nelle curvature. Le figure 58, 59 e 60 riportano rispettivamente le tensioni, le deforma-
zioni totali e le deformazioni plastiche relative alle modellazioni con un
solo elemento finito.
I risultati relativi all''utilizzo di due elementi finiti sono riportati nelle
figure successive, si riscontra un piccolo miglioramento nell''accuratezza
della soluzione. E'' interessante osservare come l''elemento proposto, con
approccio agli spostamenti, riesce a cogliere con sufficiente accuratezza
la risposta del sistema anche attraverso l''adozione di un unico elemento
finito. -1 0 1 0 1 2 3 4 1 X [m] Step=23 - Spostamenti (x 50) [m] Z [m] -1 0 1 0 1 2 3 4 1 X [m] Step=23 - momento My (x 0.001) [kNm] Z [m] -1 0 1 0 1 2 3 4 1 X [m] Step=23 - Curvature (x 100) [m-1] Z [m] -1 0 1 0 1 2 3 4 1 X [m] Step=23 Z [m] 3 ( 10 )[ ] y M kNm ' 2 1 ( 10 )[ ] y m  ' ' ' ( 0.02)[ ] U m ' y  Applicazioni numeriche 135 Figura 56 '' Modello M1-GDB7, funzioni di forma ai vari step di carico.
Figura 57 '' Modello M1-GDB7 ( =0.11): intensità della discontinuità y  0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 N 1 - Step =23 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 N 2 - Step =23 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 N 3 - Step =23 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 N 4 - Step =23 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -40 -30 -20 -10 0 10 N1 - Step =23 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -20 -15 -10 -5 0 5 N2 - Step =23 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -10 0 10 20 30 40 N3 - Step =23 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -15 -10 -5 0 5 N4 - Step =23 136 Capitolo 5 Figura 58 '' Modello M1-GDB7 ( =0.11): tesioni longitudinali ( 0  = 17.43 MPa) Figura 59 '' Modello M1-GDB7 ( =0.11): deformazioni longitudinali x  ( 10)[ ] x MPa  ' Applicazioni numeriche 137 Figura 60 '' Modello M1-GDB7 ( =0.11): deformazioni plastiche pl x  (a) (b) (c) (d) Figura 61 '' Modello M2-GDB7 ( =0.11), in blu le sezioni di controllo in cui si sono mani- festate plasticizzazioni: (a) spostamenti, (b) momenti flettenti,
(c) curvature, (d) intensità della discontinuità nelle curvature. -1 0 1 0 1 2 3 4 Step=20 - Spostamenti (x 50) [m] X [m] Z [m] -1 0 1 0 1 2 3 4 X [m] Step=20 - momento My (x 0.001) [kNm] Z [m] -1 0 1 0 1 2 3 4 X [m] Step=20 -  y (x 100)[m-1] Z [m] -1 0 1 0 1 2 3 4 X [m] Step=20 Z [m] 3 ( 10 )[ ] y M kNm ' 2 1 ( 10 )[ ] y m  ' ' ' ( 0.02)[ ] U m ' y  138 Capitolo 5 Figura 62 '' Modello M2-GDB7 ( =0.11): intensità delle discontinuità y  Figura 63 '' Modello M2-GDB7 ( =0.11): tensioni longitudinali ( 0  = 17.43 MPa) Figura 64 '' Modello M2-GDB7 ( =0.11): deformazioni longitudinali ( 10)[ ] x MPa  ' Applicazioni numeriche 139 Figura 65 '' Modello M2-GDB7 ( =0.11): deformazioni plastiche pl x  5.2.5 Curve di capacità Un ulteriore confronto tra le diverse modellazioni adottate è riportato,
nel presente paragrafo, in termini di curve di capacità. Il valore del ta-
glio limite, V=653.63 kN, ottenuto dalla condizione di equilibrio al col-
lasso, viene inoltre riportato quale ulteriore parametro utile alla valuta-
zione dell''accuratezza dei risultati ottenuti. Dai grafici si evince che i ri-
sultati numerici ottenuti con l''elemento finito GDB sono confrontabili
con quelli ottenibili mediante elementi finiti FB. In paricolare è suffi-
ciente discretizzare la trave con due elementi finiti GDB (cfr. Figura 67 , curva M2-GDB7), per ottenere una risposta quasi sovrapponibile a quel-
la ottenuta mediante un solo elemento finito FB (cfr. Figura 67 , curva OS1-FB7). 140 Capitolo 5 Figura 66 '' Curve di capacità Figura 67 '' Dettaglio curve di capacità Applicazioni numeriche 141 5.3 Telaio piano (legame costitutivo EPP) La seconda modellazione è relativa ad un telaio piano composto da pila-
stri e travi aventi sezione rettangolare 30x50 cm e lunghezza L=3.00m e
L=4.00m rispettivamente, soggetta a due carichi concentrati applicate
alle estremità delle travi di piano, ciascuna di intensità pari a
F=1000kN (Figura 68). Il telaio è stato modellato mediante l''elemento
finito proposto GDB. In particolare sono stati implementati due tipi di
modelli: il primo indicato con la sigla M1-GDB7 prevede la modellazione
delle travi e dei pilastri con un solo elemento finito, il secondo indicato
con la sigla M2-GDB7 modella ciascuna trave e ciascun pilastro con 2
elementi finiti. In entrambi i modelli ciascun elemento finito presenta 7
sezioni di controllo localizzate in corrispondenza dei punti di integrazio-
ne di Gauss-Lobatto. Ciascuna sezione, a sua volta, è discretizzata in
8x34 fibre ed il legame costitutivo associato ad ogni fibra è elastico per-
fettamente plastico (EPP) (E0=37439 MPa, 0  = 17.43 MPa). I risultati numerici vengono confrontati con quelli ottenuti mediante
modelli basati su elementi finiti trave tradizionali DB, implementati nei
codici di calcolo commerciali ADINA e SeismoStruct, nonché attraverso
modelli basati su elementi finiti trave FB presenti nei codici di calcolo
OpenSees e SeismoStruct. I risultati vengono altresì confrontati con
quelli ottenuti tramite l''analisi limite. Per tutti i modelli sono state con-
dotte analisi statiche non lineari incrementali facendo crescere monoto-
nicamente i carichi applicati. Figura 68 '' Caso di studio telaio piano 142 Capitolo 5 5.3.1 ADINA '' modelli DB Figura 69 '' ADINA, modello A1-DB5 ( =0.30): risposta in termini di spostamenti Figura 70 '' ADINA, modello A10-DB5 ( =0.30): risposta in termini di spostamenti. Applicazioni numeriche 143 Figura 71 '' ADINA: modello A1-DB5 ( =0.30). Curvature. Figura 72 '' ADINA: modello A10-DB5 ( =0.30). Curvature. 144 Capitolo 5 Figura 73 '' ADINA: modello A1-DB5 ( =0.50). Diagramma del momento flettente. Figura 74 '' ADINA: modello A10-DB5 ( =0.30). Diagramma del momento flettente.
Applicazioni numeriche 145 5.3.2 SeismoStruct '' modelli DB e FB
Figura 75 '' SeismoStruct, discretizzazione della sezione in fibre Figura 76 '' SeismoStruct, modello SS1-DB5 ( =0.5539): risposta in termini di spostamento 146 Capitolo 5 Figura 77 '' SeismoStruct, modello SS1-DB5 ( =0.5539): sforzo di taglio
Figura 78 '' SeismoStruct, modello SS1-DB5 ( =0.5539): momento flettente Applicazioni numeriche 147 Figura 79 '' SeismoStruct, modello SS10-DB5 ( =0.3332): risposta in termini di spostamento Figura 80 '' SeismoStruct, modello SS10-DB5 (( =0.3332): sforzo di taglio Figura 81 '' SeismoStruct, modello SS10-DB5 (( =0.3332): momento flettente 148 Capitolo 5 Figura 82 '' SeismoStruct, modello SS1-FB7 ( =0.3241): risposta in termini di spostamento Figura 83 '' SeismoStruct, modello SS1-FB7 ( =0.3241): sforzo di taglio Figura 84 '' SeismoStruct, modello SS1-FB7 ( =0.3241): momento flettente Applicazioni numeriche 149 5.3.3 OpenSees '' modello FB ( 0,0236)[ ] U m ' Figura 85 '' OpenSees: modello OS1-FB5 ( =0.32): risposta in termini di spostamenti. 1 ( 0,0273)[ ] y m  ' ' Figura 86 '' OpenSees: modello OS1-FB5 ( =0.32): risposta in termini di curvature 150 Capitolo 5 ( 326.24)[ ] y M kNm ' Figura 87 '' OpenSees: modello OS1-FB5 ( =0.32): momento flettente 5.3.4 Elemento finito proposto GDB Figura 88 '' Elemento finito proposto M1-GDB7 ( =0.31): risposta in termini di spostamenti. In blu le sezioni plasticizzate. -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 7 10 2 4 6 9 X [m] Step=31 - Spostamenti (x 50) [m] 1 3 5 8 Z [m] Applicazioni numeriche 151 Figura 89 '' Modello M1-GDB7 ( =0.31): risposta in termini di curvature. In blu le sezioni plasticizzate. -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 7 10 2 4 6 9 X [m] Step=31 - Curvature (x 100) [m-1] 1 3 5 8 Z [m] 152 Capitolo 5 Figura 90 '' Modello M1-GDB7 ( =0.31): momento flettente. In blu le sezioni plasticizzate. Figura 91 '' Modello M2-GDB7 ( =0.32): risposta in termini di spostamenti. In blu le sezioni plasticizzate. -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 7 10 2 4 6 9 X [m] Step=31 - momento My (x 0.001) [kNm] 1 3 5 8 Z [m] -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 X [m] Step=32 - Spostamenti (x 20) [m] Z [m] Applicazioni numeriche 153 Figura 92 '' Modello M2-GDB7 ( =0.32): risposta in termini di curvature. In blu le zone plasticizzate. Figura 93 '' Modello M2-GDB7 ( =0.32): momento flettente. In blu le zone plasticizzate. -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 X [m] Step=32 - Curvature (x 20) [m-1] Z [m] -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 X [m] Step=32 - momento My (x 0.001) [kNm] Z [m] 154 Capitolo 5 Figura 94 '' Modello M2-GDB7 ( =0.32): intensità delle discontinuità Figura 95 '' Modello M2-GDB7 ( =0.32): tensioni nelle fibre. Figura 96 '' Modello M2-GDB7 ( =0.32): deformazioni nelle fibre. 10[ ] x MPa  ' Applicazioni numeriche 155 Figura 97 '' Modello M2-GDB7 ( =0.32): deformazioni plastiche nelle fibre.

5.3.5 Analisi limite
La valutazione del carico limite della struttura in esame è valutabile at-
traverso l''applicazione del teorema cinematico dell''analisi limite.
Dall''analisi dei grafici ottenuti mediante le analisi statiche non lineari
si evince che le sezioni critiche sono quelle identificate con un cerchio
nero in figura 109.
Figura 98 - Cinematismo di collasso

Poiché il momento plastico delle sezioni delle travi risulta: F F       156 Capitolo 5 2 0 0 4 p bh M W   ' ' ' 326.8125 kNm Dall''analisi del cinematismo in Figura 98 il lavoro virtuale interno risulta 6 vi p L M  ' Il lavoro virtuale esterno è pari a 2 ve L Fh   ' Il moltiplicatore di collasso associato al cinematismo in figura si ottiene
uguagliando il lavoro virtuale esterno ed interno 3 p M Fh  ' =0.3268125 Il tagliante alla base associato al moltiplicatore  risulta 2 V F  ' '653.625 kN 5.3.6 Curve di capacità Nella figura seguente si riportano il confronto delle curve di capacità ot-
tenute mediante i diversi approcci di modellazione
Figura 99 '' Curve di capacità Applicazioni numeriche 157 Figura 100 '' Dettaglio delle curve di capacità
158 Capitolo 5 5.4 Telaio piano (legame costitutivo incrudente) Nel presente paragrafo si intende analizzare la risposta del telaio piano
descritto al §5.3 in cui si assume per le fibre un legame costitutivo ela-
sto-plastico con incrudimento cinematico lineare il cui modulo di elasti-
cità tangente risulta pari a Et = 0.05 E0. 5.4.1 Elemento finito proposto GDB Figura 101 '' Modello M1-GDB7 ( =0.45): risposta in termini di spostamenti Figura 102 '' Modello M1-GDB7 ( =0.45): risposta in termini di curvatura 0 2 4 6 8 0 1 2 3 4 5 6 7 X [m] Step=45 - Spostamenti (x 20) [m] Z [m] -2 0 2 4 6 8 0 1 2 3 4 5 6 7 X [m] Step=45 - Curvature (x 100) [m-1] Z [m] Applicazioni numeriche 159 Figura 103 '' Modello M1-GDB7 ( =0.45): momento flettente (x1000) kNm. Figura 104 '' Modello M1-GDB7 ( =0.45): intensità delle discontinuità. 0 2 4 6 8 0 1 2 3 4 5 6 7 X [m] Step=45 - momento My (x 0.001) [kNm] Z [m] 0 2 4 6 8 0 1 2 3 4 5 6 7 X [m] Step=45 Z [m] 160 Capitolo 5 Figura 105 '' Modello M1-GDB7 ( =0.45). Intensità delle discontinuità Figura 106 '' Modello M1-GDB7 ( =0.45): risposta in termini di tensioni 10[ ] x MPa  ' Applicazioni numeriche 161 Figura 107 '' Modello M1-GDB7 ( =0.45): risposta in termini di deformazione. Figura 108 '' Modello M1-GDB7 ( =0.45): deformazione plastica cumulata nelle fibre 162 Capitolo 5 Figura 109 '' Modello M2-GDB7 ( =1.00): risposta in termini di spostamenti Figura 110 '' Modello M2-GDB7 ( =1.00): risposta in termini di curvature -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 X [m] Step=100 - Spostamenti (x 1) [m] Z [m] -2 0 2 4 6 8 10 0 1 2 3 4 5 6 7 X [m] Step=100 - Curvature (x 10) [m-1] Z [m] Applicazioni numeriche 163 Figura 111 '' Modello M2-GDB7 ( =0.45): momento flettente Figura 112 '' Modello M2-GDB7 ( =1.00): intensità delle discontinuità -2 0 2 4 6 8 10 0 1 2 3 4 5 6 7 X [m] Step=45 - momento My (x 0.001) [kNm] Z [m] 164 Capitolo 5 Figura 113 '' Modello M2-GDB7 ( =1.00): risposta in termini di tensioni Figura 114 '' Modello M2-GDB7 ( =1.00): risposta in termini di deformazioni Figura 115 '' Modello M2-GDB7 ( =1.00): risposta in termini di deformazioni plastiche Applicazioni numeriche 165 5.4.2 SeismoStruct '' modelli DB e FB Figura 116 '' Modello SS1-DB5 ( =1.00): risposta in termini di spostamenti Figura 117 '' Modello SS1-DB5 ( =1.00): risposta in termini di sforzo di taglio Figura 118 '' Modello SS1-DB5 ( =1.00): risposta in termini di momenti flettenti 166 Capitolo 5 Figura 119 '' Modello SS1-FB7 ( =1.00): risposta in termini di spostamenti Figura 120 '' Modello SS1-FB7 ( =1.00): risposta in termini di sforzo di taglio Figura 121 '' Modello SS1-FB7 ( =1.00): risposta in termini di momento flettente Applicazioni numeriche 167 5.4.3 Curve di capacità Nella figura seguente si riportano il confronto delle curve di capacità ot-
tenute mediante i diversi approcci di modellazione
168 Capitolo 5 5.5 Bibliografia 1. ADINA R & D, Inc., ''Theory and Modeling Guide', Report ARD 08-7, February 2008. 2. Bathe K.J., 1996, ''Finite Element Procedures in Engineering Analy- sis', 2nd Edition, Prentice Hall. 3. Neuenhofer A., Filippou F.C., 1997, "Evaluation of nonlinear frame finite-element models," Journal of Structural Engineering, Vol. 123,
No. 7, pp. 958-966. 4. OpenSees, Pacific Earthquake Engineering Research Center (PEER), sito web: http://opensees.berkeley.edu/index.php 5. Seismosoft Srl, ''SeismoStruct. Manuale utente per la versione 6', 2012. 6. Spacone E., Ciampi V., Filippou F.C., 1996, "Mixed formulation of nonlinear beam finite element," Computers & Structures, Vol. 58, No.
1, pp. 71-83. 7. The MathWorks, Inc., 1984''2007. ''Matlab user manual'.

Appendice Appendice A: L''algoritmo di Newton-Raphson L''analisi non lineare di strutture inelastiche può essere condotta trami-
te l''algoritmo di Newton-Raphson. Noto anche come metodo delle tan-
genti è uno dei metodi numerici noti in letteratura per il calcolo appros-
simato di una soluzione di un'equazione nella forma ( ) 0 f x ' . Le ipotesi di base sono: ' Sia ( ) f x continua e derivabile nell'intervallo [ , ] a b ' Le derivate prima e seconda di ( ) f x siano continue e diverse da zero. ' Sia ( ) ( ) 0 f a f b ' : si richiede che la funzione assuma segni alter- ni all''interno dell''intervallo; questo implica che esisterà almeno
un punto x tale che ( ) 0 f x ' ; ' Sia [ , ] a b sufficientemente piccolo. Quest''ultimo requisito scatu- risce dall''approssimazione della funzione ( ) f x che viene operata nel metodo, con lo sviluppo in serie di Taylor: è noto, infatti, che
l''errore dello sviluppo del polinomio di Taylor è direttamente
proporzionale alla dimensione dell''intervallo. Dato un punto iniziale 0 x detto '' punto di innesco', che appartiene all''intervallo [ , ] a b , si costruisce una successione di valori 1 2 , ,..., n x x x mediante una funzione di interazione ( ) g x tale che 1 ( ) n n x g x ' ' . La suc- cessione così costruita, al crescere di n, converge allo zero della funzio-
ne, o in altre parole 170 Appendice lim n n x x '' ' e ( ) 0 f x ' Nel metodo di Newton-Raphson il punto di innesco si ottiene conside-
rando la tangente alla curva in uno dei due estremi dell''intervallo [ , ] a b ( ) ( )( ) y f a f a x a ' ' ' ' (7.1) Ponendo 0 y ' dall''eq. (7.1) si ottiene 0 ( ) ( ) f a x a f a ' ' ' (7.2) La funzione ( ) g x si ottiene considerando la tangente alla curva nel punto di innesco 0 x 0 0 0 ( ) ( )( ) y f x f x x x ' ' ' ' (7.3) Ponendo 0 y ' si ottiene dall''eq. (7.3) 0 1 0 0 ( ) ( ) f x x x f x ' ' ' (7.4) essendo 1 x la prima radice di tentativo della soluzione. Ripetendo il pro- cedimento per 1 x otteniamo una nuova approssimazione della radice 1 2 1 1 ( ) ( ) f x x x f x ' ' ' (7.5) Procedendo in modo iterativo si ottiene la relazione di ricorrenza 1 ( ) ( ) ( ) n n n n n f x x x g x f x ' ' ' ' ' (7.6) che permette di determinare successive approssimazioni della radice
dell'equazione ( ) 0 y f x ' ' . Con le ipotesi poste, si dimostra che la suc- cessione delle n x converge alla radice piuttosto rapidamente. Appendice 171 Figura 122 '' Metodo di Newton-Raphson La procedura numerica del metodo di Newton Raphson è iterativa. Ad
ogni iterazione n esima ' si valuta una predizione della radice n x trami- te l''eq. (7.6). Tuttavia tale radice potrebbe non soddisfare l''equazione ( ) 0 n f x ' e l''errore computazionale commesso nella determinazione del- la soluzione, detto anche residuo, è pari a ( ) n R f x ' . Le iterazioni si ar- resteranno quando il residuo sarà al di sotto di una certa tolleranza fis-
sata.
L''analisi statica non lineare delle strutture basata sull''algoritmo di
Newton-Raphson a controllo di forza fornisce lo spostamento U dei gradi di libertà della struttura per un fissato vettore di carico P . La procedura iterativa muove le sue mosse con l''assemblaggio della matrice di rigi-
dezza della struttura K . 1) Si definisce R il vettore residuo che inizialmente viene posto pa- ri al vettore di carico P ' R P (7.7) 2) Si calcola l''incremento del vettore degli spostamenti dei gradi di libertà della struttura 'U tramite l''equazione 1 ' ' ' U K R (7.8) Lo spostamento totale U è ottenuto sommando il suo incremento ' ' ' U U U (7.9) 172 Appendice 3) Il campo degli spostamenti della struttura 'U deve essere con- gruente con gli spostamenti nodali di ciascun elemento finito. Di
conseguenza si applica a ciascun elemento finito un campo di
spostamenti nodali e 'q che soddisfi l''equazione di congruenza (1.1). 4) Ogni elemento finito risulta soggetto ad un campo di spostamenti nodali che, in generale, determina un campo di deformazione e di
tensione interno all''elemento. Tali campi vengono determinati
tramite la procedura nota come determinazione dello stato
dell''elemento (Element State Determination, cfr. eq. (1.5)), at-
traverso cui è possibile, inoltre, calcolare le forze nodali e 'Q che risultino in equilibrio con lo stesso campo di tensioni interni
all''elemento. 5) Le forze nodali reattive (resisting forces) e Q sono ottenute som- mando gli incrementi e 'Q . così valutati. Tali forze nodali do- vranno essere in equilibrio con il vettore dei carichi imposti alla
struttura P , ossia deve essere soddisfatta l''equazione di equili- brio (1.4). In tal caso il residuo R è un operatore vettoriale che ri-
sulta , 1 e N t t R e e e e' ' ' '' '' ' R P L L Q (7.10) 6) Verifica della convergenza. Le iterazioni si arresteranno quando il residuo sarà al di sotto di una certa tolleranza fissata.
Viceversa si dovrà iterare ripetendo la procedura dal punto 2.
In figura 10 è riportato il diagramma di flusso dell''analisi non lineare
basata sull''algoritmo di Newton-Raphson a controllo di forza. Appendice 173 Figura 123 '' Diagramma di flusso dell''algoritmo di Newton Raphson
174 Appendice Appendice B: Soluzione in forma chiusa della matrice di rigi-
dezza
Le espressioni in forma chiusa dei termini che compaiono nella matrice
di rigidezza della trave di Timoshenko con discontinuità multiple de-
scritta al §4 sono ottenute mediante la procedura descritta in questa
appendice.
Gli sforzi nodali interni adimensionalizzati (i.e., sforzi di taglio e mo-
menti flettenti) vengono raccolti nel vettore '  '  0 1 1 2 2 (0) (0) (1) (1) T V M V M V M V M ' ' ' ' S e sono messi in relazione al vettore degli spostamenti nodali adimensio-
nalizzati '  0 1 1 2 2 T u u   ' u attraverso la matrice di rigidezza b K 0 0 b ' S K u (7.11) Dalle equazioni (3.23) e (3.25) e tenendo conto delle eq. (3.29) è possibile
ricavare le espressioni che legano le forze nodali agli spostamenti nodali
adimensionalizzati 1 3 3 3 3 3 1 1 2 2 (1) (1) (1) (1) (1) (0) 6 d d f d f V V u u w w w w   ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (7.12) 2 3 3 3 3 3 1 1 2 2 (1) (1) (1) (1) (1) (1) 6 d d f d f V V u u w w w w   ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (7.13) 4 4 4 4 4 1 1 1 2 2 (1) (1) (1) (1) (1) (0) 2 d d f d f M u u w w w w M   ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (7.14) 4 3 4 4 3 3 2 1 1 4 3 4 3 2 2 (1) 3 (1) (1) (1) 3 (1) 3 (1) (1) 3 (1) (1) 3 (1) (1) 2 d d d f d f M u w w d d f f u w w M   ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' '' ' (7.15) Le eq. (7.12)-(7.15) possono essere scritte nella seguente forma matricia-
le 1 1 11 12 13 14 1 1 21 22 23 24 0 0 31 32 33 34 2 2 41 42 43 44 2 2 b V u k k k k M k k k k k k k k V u k k k k M   ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' S K u (7.16) dove Appendice 175 4 3 4 4 3 3 3 3 3 3 11 12 13 14 4 4 4 4 4 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 3 3 3 3 3 (1) 3 (1) (1) (1) 3 (1) 3 2 2 (1) (1) (1) (1) (1) 6 6 6 6 (1) (1) (1) (1) (1) 2 2 2 2 6 6 6 6 (1) (1) (1) (1) (1) d d d f d w d f d d f k k k k w w w w d d f d f k k k k w w w w k k k k k k d d f d f w w w w ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 3 4 3 4 3 43 44 (1) (1) 3 (1) (1) 3 (1) 2 2 f d d f f w w w k k ' ' ' ' ' (7.17)
176 Appendice Appendice C: Soluzione in forma chiusa della matrice di massa
coerente
Le espressionni integrali della matrice di massa consistente, riportate
nell''Eq. (3.41) possono fornire un''espressione in forma chiusa per il caso
di massa uniformemente distribuita ' ' m m  ' nella maniera di seguito indicata.
Il generico termine della matrice di massa coerente è dato da: ' ' ' ' 1 0 ( ) k l u k u l M N m N d     ' ' (7.18) Per il calcolo degli integrali che compaiono nell''Eq.(7.18), in virtù delle
Eq. (3.19), si riscrivono le espressione delle funzioni di forma date dalle
Eq.(3.32) nella seguente forma esplicita: 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) j i u k u k u k u k n n j i N N N N          ' ' ' ' ' ' ' (7.19) dove 1 2 3 4 4 * * * 2 3 2 3 3 4 4 2 * * * 3 4 4 2 2 3 2 ( ) ( ) ( ) ( 3 2 ) 6 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 6 ( ) 6 ( ) 6 j j j j j j i i i i i i i i k k k k k u k j k k k u k j j k k k u k N n n n n n N n n n U b r N n n n U b r b r                                              ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (7.20) Il generico termine della matrice, fornita dalle (7.18), può essere scritto
per il caso di distribuzione uniforme di massa, per via delle (7.19), come
di seguito: 1 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j p q i k l u k u k u k ul ul ul n n n n j i p q M m N N d N N N N                  ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (7.21) Gli integrali che compaiono in queste ultime equazioni possono essere
risolti esplicitamente, tendendo conto delle equazioni (7.20), così come
segue:
Appendice 177 1 1 4 1 1 1 2 1 3 1 4 1 2 2 2 3 2 2 0 4 3 4 2 1 1 4 2 1 3 2 3 3 3 4 3 1 4 2 4 2 2 2 2 4 1 1 1 3 1 1 1 ( ) ( ) 2 3 4 2 3 4 3 1 2 1 1 1 1 1 3 1 5 3 4 5 6 2 4 5 2 l k k l l k l k l k k l k l k l u k u l k l k l k l k l k l k l k l k l k l k l k l n n N N d n n n n n n n n n n n n n n b r n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b r b r b r n n b r      ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 2 2 2 4 2 3 1 1 12 12 6 2 7 5 k l k l k l k l k l n n n n n n n n n n b r b r b r ' ' ' ' ' (7.22) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' * 4 * 2 2 4 4 4 4 * 2 4 1 2 3 2 3 1 2 0 3 3 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 3 1 2 2 1 1 6 3 4 5 3 8 6 1 5 5 2 5 1 1 3 8 6 12 ( ) ( ) 4 6 1 10 5 j j j j j j j j j j j j j k k k k k j k k l u k u l l k j l l k N n n n n n n br n n n n n br br br b N d r n n n                               ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 2 * 2 2 4 * 2 2 4 * 2 2 4 4 * 2 4 3 3 3 3 3 1 3 3 3 2 2 4 1 5 5 1 2 6 15 10 5 2 9 8 60 4 1 3 3 3 1 6 8 12 1 1 10 24 15 10 42 35 60 70 1 6 j j j j j j j j j j j j j j j l l l l l l l l k j k j k j j n n n n n n n n n n n br br                                   ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 4 1 2 3 3 3 4 1 3 2 3 * 4 4 4 2 * * 4 2 3 5 4 * 4 4 4 3 3 3 1 1 1 6 30 10 5 3 10 2 5 1 1 4 9 5 12 12 60 1 1 2 5 60 60 70 3 j j j j j j j j j j j j j j k k k k k l l l l l l l l l k j k k j j k k l j n n n n n n n br n n n n n n n n n n n n                                 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (7.23) ' ' ' ' ' ' ' ' 2 2 3 3 1 * 1 2 0 3 * 4 1 2 3 2 2 4 2 2 2 4 2 2 1 1 (1 ) (2 ) 3 2 3 20(2 ) 4 3 2 3 12 1 1 (1 ) 6 3 (1 ) 2 ( ) ( ) 6 1 1 2 0 1 i i i i i i i i i i i i i i i i l k k k l k k k u u k k k l n n n n r n r n N N n n n n br b r d b b                                      ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 2 2 2 2 2 4 * 3 2 4 1 2 3 1 (1 ) 3 (2 ) 3 2 2 1 2 2 4 3 2 3 10 i i i i i i i i i i i l k k k k n n n n br n br                     ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' (7.24) 178 Appendice ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 1 max 7 max 6 4 4 4 3 3 4 0 max 4 3 4 4 3 4 2 2 max 5 4 4 * * * * * * * * * 1 1 7 6 2 6 ( ) ( ) 1 1 1 1 2 6 1 6 5 j p j p j p j p j p j j p p j p k l k j p j p j l k l u k u l k k k l l l k p j p p l b N N d n n n r b n n n n n n n n n n r br n                                       ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '  ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 4 4 3 3 4 2 2 2 2 4 3 4 4 3 4 4 3 4 2 2 max 4 * * * * * * * * * * * 2 2 3 3 4 * 4 * * * 6 2 2 3 6 6 1
4 1 2 3 j p j p p j j p j p j p j j p j p j k l k l l k l l l k k k l l k l l p p j j p j p j p k n n n n n n n n n n n n n n n n n n b r n r br b                                       ' '' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 2 2 3 3 3 4 4 4 2 2 4 * * * 3 4 2 max 2 4 3 4 2 * * 4 * (3 ) 2 36 6 2 1 6 2 2 3 2 3 1 2 j p j p j p p j p p j p j p j j p j j p l l k l k l l l k k k j p j p p j n n n n n n n n n br br br br n                                               ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 2 4 3 3 3 4 * * * * 6 4 2 3 3 4 j p p j p j p p j j p p j p l l k l p j l j p n n n n n                                ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 2 4 4 4 4 2 2 2 max 3 2 2 2 4 4 3 4 4 * * 3 2 2 2 2 * * * * * * 4 3 * * 3 6 6 3 3 2 1 6 3 9 3 1 2 3 2 3 3 2 4 p j p j p j j p j p j p p j p j j p p k l k l l k k k l l k l j p j p p j l j p j p n n n n n n n n l br br br n n n n br n n                                                ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (7.25)
dove   max max , j p j p        ' Appendice 179 ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' * 4 4 * * 2 1 max 5 * 3 0 * max 3 3 * max 4 3 4 4 4 2 2 * 3 4 4 4 1 3 5 2 1 6 2 3 1 2 1 3 3 ( ) ( ) 2 j i i j i j j j i i i i i i i i j i i j l l k j j k k k l j u k u k k l j l l l l n n n n n n n n br br n n n n N N d n                                           ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '  ' ' ' '' ' * * max 3 * 3 * 3 3 4 2 * * 4 4 3 4 2 2 * 2 * * max 2 4 4 * 4 4 3 4 2 2 4 1 6 3 3 3 3 3 2 6 3 3 1 2 3 i i i j i i i i i i i j i j j i j i l l l l l l l k j k k j k k j j k k n br n n n n n br br n n n n n n n n br br n                                       ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' * 3 * 3 4 3 * 4 2 * 4 2 3 2 2 3 3 j j j i j i i j i j i k k j k k j l l l n n br n n n n                         ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' (7.26) dove   max max , i j i j        '
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' * * 1 4 max 4 , 0 3 4 max 2 max , , * 3 4 * 4 max , 3 4 max * max , 2 2 , 2 3 6 3 1 2 2 3 1 1 3 1 2 ( ) ) 3 1 3 ( 1 p i p i i p p p i p i p p p i i i p p i p p i p p u k u l k l l l k k l l l N N d n n n n n br br br n n n n                                              ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' 3 i p     ' ' ' ' ' ' '' (7.27)
dove   max , max , i p i p        '


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