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Le equazioni di conservazione e la loro forma quasi-unidimensionale

Si è dimostrato che nel modello di flusso Q1D il termine di dissipazione interna che compare nell’equazione di conservazione dell’energia termodinamica è espresso coerentemente (e correttamente) da un parametro di parete. Ciò potrebbe generare dei dubbi sulla validità di tale modello. In merito, si rileva che la validità di una teoria è soggetta alla sua verifica sperimentale; e numerosissimi studi numerici del moto nei condotti di aspirazione e scarico dei motori a combustione interna basati sulle equazioni Q1D hanno prodotto risultati in ottimo accordo con i risultati sperimentali, previa taratura del coefficiente di attrito a parete, si veda ad esempio [2] e [5] tra le innumerevoli pubblicazioni disponibili in letteratura. Si potrebbe obiettare che tali risultati sono ottenuti integrando le equazioni di conservazione della massa, quantità di moto e di energia totale, in cui il lavoro di dissipazione non compare.

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La Termotecnica, settembre 2017

Pubblicato
da Alessia De Giosa




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Estratto del testo
Grandi Maestri 37 LA TERMOTECNICA 33 Panorama SETTEMBRE 2017 1. PREMESSA
Ho scelto di trattare le equazioni di conservazione nella mia lezione tenuta
in occasione della giornata di studio in onore del prof. Umberto Ruggiero,
nel giorno del suo novantesimo compleanno, per tre ragioni principali:
la prima che esse mi hanno sempre affascinato, tanto che ho dedicato
gran parte della mia vita scientifica allo studio ed alla risoluzione numerica
delle stesse; la seconda che la loro forma quasi-unidimensionale presenta
un'anomalia che mi piace mettere in rilievo a un pubblico pi ampio di
quello degli esperti di fluidodinamica; la terza, non meno importante delle
precedenti, che la mia attivit scientifica nata con uno studio sperimen-
tale sui flussi non stazionari nei condotti, nella mia tesi di laurea del 1970
[1], al Politecnico di Torino, sotto la guida del prof. Andrea Dadone, che
mi ha voluto con s prima a Torino e poi a Bari, e che ringrazio, insieme
al prof. Ruggiero, per avermi consentito di svolgere il meraviglioso lavoro
di professore universitario.
In questo breve articolo, che la versione scritta della suddetta lezione,
tratter in forma ridotta, ma con qualche osservazione aggiuntiva origi-
nale, il primo capitolo dei miei appunti del corso di Gasdinamica, che
ho insegnato al Politecnico di Bari a partire dall'A.A. 1976/77. La parte
relativa ai flussi quasi-unidimensionali la rielaborazione di una dispensa
didattica preparata insieme al prof. Dadone [2].
Il lettore abituale della Termotecnica potr essere sorpreso dal titolo e dai
contenuti di questo articolo. Tuttavia, mi auguro che la curiosit lo spinga a
leggerlo, cos da approfondire aspetti di solito ignorati dai libri di testo della
teoria quasi-unidimensionale del moto dei fluidi nei condotti, teoria alla
base dei corsi di Sistemi Energetici e Macchine a Fluido e di applicazioni
abitualmente trattate su questa rivista. 2. EQUAZIONI DI CONSERVAZIONE GENERALI
Si consideri una regione fissa dello spazio, ovvero un volume di controllo R,
racchiusa da una superficie S ed occupata da fluido in moto. Una qualsiasi
propriet estensiva G del fluido contenuto in R, cui corrisponde la propriet
intensiva Q, data da: dove ' indica la densit del fluido nell'elemento di volume dt . Essendo R fissa nello spazio, G dipende solo dal tempo t. Volendo calcolare dG/dt,
si devono prendere in considerazione tutte le cause di variazione di G. In
generale queste possono essere:
1. trasporto netto di G all'interno di R attraverso S;
2. altre cause di variazione di G, dipendenti dalla sua natura.
In generale quindi si pu scrivere: dove u indica il vettore velocit ed n il versore perpendicolare all'elemento
di superficie dS che punta verso l'esterno di R (figura 2.1).
Si consideri ora la (2.1) nel caso particolare della legge di conservazione
della massa. In tal caso la propriet G la massa e Q = 1, ovvio che in assenza di termini sorgenti, la massa contenuta in R pu
variare nel tempo solo se la portata in massa che entra in R attraverso
una parte di S diversa da quella che ne esce dalla rimanente parte di S,
ovvero, la derivata nel tempo della massa contenuta in R pari al flusso
netto di massa entrante in R attraverso S. Matematicamente si ha: di M. Napolitano Le equazioni di conservazione e la
loro forma quasi-unidimensionale
Michele Napolitano - Dipartimento di Meccanica, Matematica e Management, Politecnico di Bari FIGURA 2.1 - Volume
di controllo
tn S -pn n u dS R (2.1) (2.2) THE GAS DYNAMICS CONSERVATION LAWS AND THEIR QUASI-ONE-DIMENSIONAL FORM
This paper addresses a specific peculiarity of the quasi-one-dimensional conservation laws for a compressible fluid. The general three-dimensional
equations for a finite control volume are provided and the corresponding differential equations are derived from them. It is shown that the viscous forces
produce both a mechanical work ' which can be either positive or negative, i. e., can either accelerate or decelerate a given fluid particle, depending
on the surrounding flow-field ' and a non-negative thermodynamic dissipation work. The quasi-one-dimensional equations are then derived: for them,
no mechanical work is produced by the wall-friction, since the physical velocity is zero at the wall, and the thermodynamic dissipation work is shown
to be equal to minus the product of the wall shear times the average (one-dimensional) velocity of the flow inside the duct. Panorama Grandi Maestri 34 LA TERMOTECNICA SETTEMBRE 2017 Si consideri ora l'equazione di conservazione, o meglio, di varia-
zione della quantit di moto. In questo caso G la quantit di moto,
Q = u, e sono presenti altre cause di variazione che, ovviamente, sono le for-
ze esterne applicate al fluido contenuto in R, esprimibili come somma
di forze di massa e di superficie. Pertanto l'equazione (2.1) diventa: Nell'equazione (2.3) l'integrale delle forze di superficie stato diviso
nei contributi dovuti alla forza di pressione (-pn) e allo sforzo d'at-
trito (t n). Quest'ultimo contributo nullo nel caso di flussi non viscosi. Infine, le forze di massa, ' R 'f dt, sono trascurabili quando si trattano flussi comprimibili.
Si consideri ora l'equazione di conservazione dell'energia. In questo
caso G l'energia totale contenuta in R e Q = E, l'energia totale all'uni-
t di massa, pari alla somma delle energie interna, e, e cinetica, u2/2. Anche in questo caso si hanno altre cause di variazione, costituite
dalla potenza trasferita al fluido dalle forze esterne (di massa e
di superficie) e dalla potenza termica di conduzione (trascurando
l'irraggiamento) fornita al fluido contenuto in R attraverso S. Mate-
maticamente si ha: dove q il vettore flusso termico di conduzione.
Partendo dalle equazioni integrali sopra riportate possibile ottenere
le corrispondenti equazioni differenziali mediante tre passi succes-
sivi: i) si trasformano gli integrali di superficie in integrali di volume
mediante il teorema di Gauss; ii) si usa la propriet che la somma di
integrali estesi allo stesso dominio pari all'integrale sul dominio stes-
so della somma degli integrandi cos da ottenere ciascuna equazione
integrale come un unico integrale identicamente nullo; iii) siccome un
integrale esteso ad un volume di controllo arbitrario nullo se e solo
se nullo l'integrando in ogni punto dello spazio occupato dal fluido,
ciascuna equazione di conservazione differenziale data appunto
dal corrispondente integrando posto uguale a zero. Le equazioni
differenziali cos ottenute sono espresse in forma conservativa o
di divergenza (euleriana). Da ciascuna di esse, mediante semplici
passaggi matematici, si ottiene la corrispondente equazione in forma
lagrangiana. Qui di seguito vengono riportate, senza alcuna deriva-
zione, le tre equazioni di conservazione, sia in forma di divergenza sia in forma lagrangiana Nelle equazioni di cui sopra t il tensore degli sforzi di attrito da cui si
ottiene t n = n t. Il sistema delle equazioni 2.5-2.7 (o 2.8-2.10) viene solitamente chiuso:
i) utilizzando la legge di Fourier, ove k la conduttivit termica e T la temperatura termodinamica; ii)
ipotizzando che il fluido sia Newtoniano e soddisfi l'ipotesi di Stokes, in cui la viscosit dinamica, 'u e 'uT sono il tensore gradiente di
u e il suo trasposto, e I il tensore identit o unitario; iii) aggiungendo
al sistema un'equazione di stato p = p(', T), o altra, e due equazioni
costitutive (T ) e k(T ).
Se si analizzano i vari termini nella equazione (2.10), si verifica facilmen-
te che alcuni di essi hanno natura meccanica, mentre altri hanno natura
termodinamica. Il modo migliore per verificare tali nature applicare
una trasformazione galileiana al sistema di riferimento in cui scritta
l'equazione; ovvero, sommare al sistema di riferimento una velocit U,
uniforme nello spazio e costante nel tempo. Per effetto di tale trasforma-
zione, i termini di natura meccanica cambiano di valore, mentre quelli
di natura termodinamica restano invariati; ovviamente, il contributo
complessivo dei termini meccanici aggiuntivi nullo. Se infine si sottrae
dall'equazione di conservazione dell'energia totale (2.10) quella di con-
servazione dell'energia mecccanica'ottenuta moltiplicando scalarmente
l'equazione della quantit di moto (2.9) per il vettore velocit u'si ottiene
l'equazione di conservazione dell'energia termodinamica (CET), ovvero: Dove : indica il doppio prodotto scalare che, applicato a due tensori,
produce uno scalare. Nella (2.11) la somma della potenze di com-
pressione termodinamica, dissipazione interna (sempre non negativa)
e conduzione termica, uguale alla derivata sostanziale dell'energia
interna in ogni punto del campo di moto.
fondamentale osservare come la CET (2.11), espressa in forma vet-
toriale/tensoriale per flusso tridimensionale (3D) non stazionario, sia
formalmente identica alla ben nota equazione che combina il I e il II
principio della termodinamica, come espressa nei manuali di termodi-
namica applicata (si veda ad esempio [3], Eq. 1.32): ove, v = 1/' il volume specifico, dL w e dQe sono rispettivamente il lavoro/calore di dissipazione interna ed il calore fornito dall'esterno e
S l'entropia. (2.4) (2.5) (2.6) (2.7) (2.8) (2.9) (2.10) (2.11) (2.12) (2.3) Grandi Maestri 37 LA TERMOTECNICA 35 Panorama SETTEMBRE 2017 3. FLUSSO QUASI-UNIDIMENSIONALE
Nelle pagine precedenti si sono ricavate le equazioni del flusso non stazio-
nario con attrito e con scambio di calore. Si consideri ora il caso di flusso
quasi-unidimensionale (Q1D) o strettamente unidimensionale (S1D) in un
condotto rigido di sezione A = A(x), costante nel caso S1D.
Un flusso rigorosamente unidimensionale ' in cui ogni propriet del fluido
uniforme in tutti i punti di ogni sezione del condotto ' non pu esistere;
tuttavia, se il condotto considerato attraversato da un flusso ad elevato
numero di Reynolds ed caratterizzato da modeste curvature e variazioni
di sezione trasversale, il flusso pu, con buona approssimazione, essere
ritenuto unidimensionale. Infatti: -la velocit in una generica sezione di un condotto rettilineo a sezione costante varia, a causa dell'attrito fluidodinamico, dalla parete verso il
centro. Tuttavia, per flussi turbolenti ad alti numeri di Reynolds (di interesse
pratico per lo studio delle macchine), la pressione pressoch costante
in ciascuna sezione ed i profili di velocit e temperatura lo sono in gran
parte della sezione, essendo gli strati limite cinetico e termico molto sottili. -in un condotto curvo a sezione costante, la pressione aumenta dall'interno all'esterno del gomito in modo da bilanciare la forza centrifuga legata alla
curvatura dei filetti fluidi: tale effetto trascurabile se il raggio di curvatura
dell'asse del condotto molto elevato rispetto al suo diametro, R >> D; -in un condotto rettilineo convergente o divergente, la velocit assiale in corrispondenza dell'asse dello stesso, mentre in prossimit della parete
risulta necessariamente parallela ad essa e quindi non pi assiale; se la
variazione di sezione piccola al variare dell'ascissa curvilinea, ovvero se
l'angolo formato da una parete e dall'asse piccolo, possibile trascurare
tali variazioni di direzione. Pertanto, nel e condizioni sopra citate, possibile considerare il flusso
Q1D facendo riferimento a grandezze termodinamiche e di flusso (medie)
uniformi in ciascuna sezione e dipendenti quindi solo dalla coordinata
curvilinea lungo il condotto, x, e dal tempo, t.
Al fine di ricavare le equazioni di conservazione Q1D, si consideri un
volume di controllo fisso nello spazio di lunghezza infinitesima dx (si veda
la figura 3.1). Nel derivare tali equazioni, considerando che la variazione della propriet G all'interno del volume infinitesimo A dx,
data semplicemente da ed il flusso netto della quantit G entrante nel volume A dx dato da L'equazione di conservazione della massa, in assenza di altre cause di
variazione, risulta quindi: Nel caso di flusso stazionario l'equazione (3.1) diventa: e, per il caso di flusso S1D, Si consideri ora la conservazione della quantit di moto che, nel caso in
esame, si riduce ad una sola componente. Oltre ai termini di variazione
locale in A dx e di flusso netto entrante, bisogna considerare le forze di
pressione e di attrito a parete agenti sulla superficie del volume di controllo.
Le prime agiscono sulle superfici di ingresso e di uscita del flusso e sulla
parete laterale del condotto; le seconde solo su quella laterale. Trascurando
le forze di massa ed esprimendo lo sforzo d'attrito a parete in funzione del
coefficiente di attrito f, si ottiene la seguente espressione dell'equazione di
conservazione della quantit di moto: ove c il perimetro del condotto, cos che c dx la superficie laterale del
volume di controllo, e il termine di attrito normalmente scritto come 'f cu2/2
stato moltiplicato per u/|u| perch deve essere sempre opposto ad u,
ovvero frenante, sia per u > 0 sia per u < 0.
Questa una peculiarit dei flussi Q1D, perch nei flussi 3D la risultante
delle forze di attrito agente su di una particella fluida pu sia frenarla sia
accelerarla, a seconda del campo di velocit locale.
Si noti che l'equazione (3.4), anche nel caso di flusso stazionario e senza
attrito, a differenza delle equazioni di conservazione della massa (3.1) e
di quella dell'energia in assenza di scambio termico, ricavata in seguito,
(3.9), non ha in generale una forma integrale a causa del termine sorgente
-A'p/'x.
Attraverso semplici passaggi analitici e utilizzando la (3.1), la (3.4) diventa: Si consideri infine l'equazione di conservazione dell'energia. Oltre ai termi-
ni di variazione locale in A dx e di flusso netto entrante, bisogna considerare
la potenza fatta dalle forze di pressione sulle superfici di ingresso ed uscita
del volume di controllo e la potenza termica di conduzione fornita dalle
pareti al fluido, q c dx, ove q il flusso termico di conduzione entrante a
parete. Appare ovvio che, pur nell'ipotesi di flusso Q1D (velocit media
uniforme nella sezione) non pu esserci scambio di energia meccanica tra le
pareti del condotto ed il fluido, perch la sua velocit fisica a parete nulla.
Pertanto, l'equazione di conservazione dell'energia, dopo aver diviso tutti
i termini per il fattore comune dx, risulta: FIGURA 3.1 -
Tratto di condotto
di lunghezza
infinitesima
dx n = - i n = i 1 2 x (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) Panorama Grandi Maestri 36 LA TERMOTECNICA SETTEMBRE 2017 in cui, a differenza del caso 3D, manca il contributo della potenza delle
forze di attrito. La (3.6), sviluppando le derivate dei prodotti, utilizzando
la (3.1) e dividendo ambo i membri per ' A, diventa: in cui la potenza di compressione termodinamica ha un termine aggiuntivo
dovuto alla variazione d'area del condotto. La (3.6), per flussi stazionari,
dividendo tutti i termini per la costante 'uA, diventa: che, nel caso in cui sia trascurabile lo scambio termico con le pareti, assume
la forma integrale: dove h = e+p/' l'entalpia. Se dall'equazione (3.7) si sottrae l'equazione
di conservazione dell'energia meccanica ' ottenuta moltiplicando l'equa-
zione della quantit di moto (3.5) per la velocit u ' si ottiene: che, facendo uso dell'equazione di conservazione della massa (3.1),
diventa dove indica l'operatore derivata sostanziale Q1D. La (3.11) la forma Q1D del
principio di conservazione dell'energia termodinamica, corrispondente
al e equazioni (2.11) e (2.12); essa eguaglia la derivata sostanziale
dell'energia interna del fluido alla somma delle potenze di compressio-
ne termodinamica, dissipazione interna, e conduzione termica fornita
dall'esterno. L'aspetto significativo che la potenza dissipata per attrito
(non negativa) risulta essere uguale a quella meccanica di frenamento del
flusso dovuta all'attrito a parete (non positiva), cambiata di segno. Ci vale,
pi in generale, nel caso di flussi 3D quando le forze di attrito vengono
approssimate come forze di volume, si veda [4, p. 51]. Tale eguaglianza,
conseguenza dell'ipotesi di flusso unidimensionale, ne costituisce un limite
concettuale in quanto costringe a calcolare la dissipazione interna al fluido
con un parametro di parete.
Ad ulteriore riprova che il termine di potenza meccanica dovuta alle forze
di attrito a parete non deve comparire nella equazione dell'energia totale
(3.6 ' 3.9), il collega P. Giannattasio, dell'Universit di Udine, suggerisce
di considerare un volume di controllo, simile a quello di figura 3.1, ma
comprendente anche un sottile strato di parete del condotto. In tal caso
facile verificare che le equazioni di conservazione della massa e della
quantit di moto restano invariate e che in quella dell'energia l'eventuale
potenza all'interfaccia fluido-solido sarebbe interna al volume di controllo,
e come tale non compare nell'equazione stessa. Mi piace osservare, infine che se, erroneamente, inserissimo nella equa-
zione (3.6) il termine di lavoro delle forze di attrito a parete, considerando
la velocit a parete pari ad u, questo termine sparirebbe dalla equazione
dell'energia termodinamica, che risulterebbe corretta solo per flussi privi
di attrito, in cui u ' 0. 4. CONCLUSIONI
Si dimostrato che nel modello di flusso Q1D il termine di dissipazione
interna che compare nell'equazione di conservazione dell'energia termo-
dinamica espresso coerentemente (e correttamente) da un parametro di
parete. Ci potrebbe generare dei dubbi sulla validit di tale modello. In
merito, si rileva che la validit di una teoria soggetta alla sua verifica
sperimentale; e numerosissimi studi numerici del moto nei condotti di aspi-
razione e scarico dei motori a combustione interna basati sulle equazioni
Q1D hanno prodotto risultati in ottimo accordo con i risultati sperimentali,
previa taratura del coefficiente di attrito a parete, si veda ad esempio [2] e
[5] tra le innumerevoli pubblicazioni disponibili in letteratura. Si potrebbe
obiettare che tali risultati sono ottenuti integrando le equazioni di conser-
vazione della massa, quantit di moto e di energia totale, in cui il lavoro
di dissipazione non compare.
Tuttavia, l'equazione di conservazione dell'energia termodinamica non
altro che la differenza tra l'equazione dell'energia totale e quella della
quantit di moto moltiplicata per la velocit u. Pertanto, se essa venisse
usata al posto di quella dell'energia totale, si otterrebbe un sistema di equa-
zioni alle derivate parziali formalmente equivalente al primo; e quindi, in
assenza di urti (la CET non espressa in forma conservativa) le soluzioni
numeriche dei due sistemi dovrebbero coincidere a meno dell'errore di
troncamento ' invito qualche collega attualmente impegnato in calcoli di
questo tipo a verificare numericamente quanto enunciato. Ergo, nell'ambi-
to di un modello Q1D logico e coerente, la potenza di dissipazione interna
va valutata come il parametro di parete, espresso dal penultimo termine
nell'equazione (3.11). Mi auguro che questo lavoro possa contribuire a far
comprendere al meglio la natura delle equazioni di conservazione Q1D
ai miei colleghi pi giovani e, quindi, ai futuri ingegneri. BIBLIOGRAFIA
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da flusso preesistente, Tesi di laurea, Politecnico di Torino, 22/12/1970.
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13-19, 2009, Lake Buena Vista, Florida, USA. (3.8) (3.9) (3.10) (3.11) (3.7)


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