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Co-simulazione e co-progetto non lineare/elettromagnetico di sistemi wireless non convenzionali

Questo lavoro presenta un metodo rigoroso per considerare le interazioni tra due sistemi posti sia in condizioni di campo vicino che in condizioni di campo lontano. In sostanza, gli effetti del sistema trasmittente sono rappresentati da un generatore equivalente di Norton posto in parallelo all’antenna del sistema ricevente, calcolato per mezzo del teorema di reciprocità e del teorema di equivalenza. La correttezza del metodo è stata verificata per mezzo di simulazioni e misure, concordi tra loro. La stessa teoria, ampliata con l’introduzione degli effetti di scattering, è stata usata per valutare una condizione analoga, dove l’elemento trasmittente coincide con quello ricevente (DIE) contenuto all’interno di una struttura metallica (package).

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Tesi di Dottorato di Ricerca in Ingegneria Elettronica, Informatica e delle Telecomunicazioni. Bologna, 2012

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da Martina Gambini
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Alma Mater Studiorum Universit` a degli Studi di Bologna DOTTORATO DI RICERCA Ingegneria Elettronica, Informatica e delle Telecomunicazioni CICLO XXIV Settore Concorsuale di afferenza: 09/F1 - Campi Elettromagnetici Settore Scientifico Disciplinare di afferenza: ING-INF/02 - Campi Elettromagnetici Co-simulazione e co-progetto non lineare\elettromagnetico di sistemi wireless non convenzionali Presentata da: Ing. Nicola Arbizzani Coordinatore Dottorato: Relatore: Chiar.mo Prof. Luca Benini Chiar.mo Prof. Vittorio Rizzoli Correlatori: Dott. Ing. Diego Masotti Prof. Ing. Alessandra Costanzo Esame finale anno 2012 . A Maria Stella. A Laura. Indice Introduzione 9 1 Rappresentazione di un collegamento RF tramite generatori di Norton equivalenti alle porte 15 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1 Teoria di Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.1 Reazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.2 Teorema di Reciprocit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.1.3 Uso del teorema di reciprocit`a con le antenne . . . . . 22 1.1.4 Modello circuitale: calcolo del generatore equivalente di Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.1.5 Alimentazione dell''antenna ricevente: calcolo di U in funzione della potenza disponibile del generatore . . . . 27 1.1.6 Teorema di Love (Equivalenza) . . . . . . . . . . . . . 29 1.1.7 Calcolo approssimato della Jeq . . . . . . . . . . . . . 32 1.1.8 Nuovo approccio per il calcolo esatto della Jeq . . . . . 36 1.2 Calcolo dei campi E e H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.2.1 Dipendenza di E e H dal momento M . . . . . . . . . 39 1.2.2 Dipendenza dei campi dalla componente X del momento 41 1.2.3 Dipendenza dei campi dalla componente Y del momento 42 1.2.4 Dipendenza dei campi dalla componente Z del momento 44 1.3 Applicazione del metodo rigoroso per la valutazione della Jeq 46 1.3.1 Dipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Calcolo del campo tramite la discretizzazione del Mo- mento Equivalente Esteso . . . . . . . . . . . 50 6 Indice Campo approssimato in zona di Fraunhofer . . . . . . 51 1.4 Piano Integrale: dimensioni e mesh . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.4.1 Percorso del collegamento e definizione del passo della mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.4.2 Piano circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Mesh variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Mesh fissa (a passo costante) . . . . . . . . . . . . . . . 59 Posizione ottimale del piano . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.4.3 Piano quadrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.4.4 Dimensioni del piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 1.5 Applicazione e confronto dei metodi proposti per il calcolo della Jeq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 1.5.1 Dipolo disposto lungo l''asse Z . . . . . . . . . . . . . . 69 Metodo A) Calcolo approssimato . . . . . . . . . . . . 69 Metodo B) Calcolo Integrale, Modello analitico . . . . 70 Metodo C) Calcolo Integrale, Modello del Dipolo Di- scretizzato e applicazione del Metodo dei Mo- menti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Metodo D) Calcolo Integrale, Valori dei campi ottenuti tramite simulatore commerciale CST . . . . . 72 1.5.2 Confronto risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.6 Misure sperimentali con antenne Patch . . . . . . . . . . . . . 73 1.6.1 Patch allineate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.6.2 Patch disassate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 1.7 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2 Descrizione rigorosa degli effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF 81 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.1 Formulazione teorica del metodo[30] . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.1.1 Formule base di reciprocit`a . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.1.2 Calcolo della corrente sul package . . . . . . . . . . . . 85 2.1.3 Calcolo dei generatori di Norton . . . . . . . . . . . . . 88 2.1.4 Osservazioni conclusive . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Indice 7 2.2 Procedura Operativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.2.1 Quadro complessivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.2.2 Estrazioni CST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Correnti superficiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Campo incidente sul package: estrazione da CST del campo vicino . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Campo presente in una cavit`a alle frequenze di risonanza 94 2.2.3 Elaborazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Elaborazione dei dati estratti: Campi e Correnti super- ficiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Impostazioni delle simulazioni del package . . . . . . . 99 Calcolo delle matrici Q e R . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.3 Risultati delle simulazioni del Package . . . . . . . . . . . . . 101 2.3.1 Dimensioni del package . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Frequenze di risonanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 2.3.2 Grafici dei campi ottenuti a 7 e 21 GHz . . . . . . . . . 103 Risultati di CST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Risultati di HFSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2.4 Amplificatore 8 [GHz] a un FET . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2.4.1 Risultati senza Package . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Risultati MWO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Risultati CST e HFSS . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 2.4.2 Risultati con Package . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Risultati CST e HFSS . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Risultati con Package con l''applicazione del metodo descritto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 2.5 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 3 Rid: sistema di localizzazione di TAG attivi in ambienti in- door 149 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 3.1 Descrizione Hardware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 3.1.1 Alimentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 3.1.2 Microcontrollore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 8 Indice 3.1.3 Front-end . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 3.1.4 Rat-Race . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 3.1.5 Balun-Adattatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 3.1.6 Phase Shifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 3.1.7 Convertitori DAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 3.1.8 Antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 3.2 Progettazione e funzionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3.2.1 Caratteristiche tecniche e principio di funzionamento . 160 Logica di funzionamento: modalit`a operative . . . . . . 166 3.2.2 Parte Digitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 3.2.3 Antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 3.2.4 Phase Shifter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Phase Shifter commerciale . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Phase Shifter distribuito . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 3.2.5 Balun e Adattatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 3.2.6 Rat-Race . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 3.3 Misure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 3.3.1 Scenari indoor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 3.3.2 Oggetti in movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 3.3.3 Selettivit`a del Rid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Misure ripetute in isofrequenza . . . . . . . . . . . . . 200 Misure ripetute con frequency-hopping . . . . . . . . . 202 Osservazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Ringraziamenti 211 Introduzione Trent''anni fa la ricerca concentrava le sue attenzioni sui metodi di simulazio- ne per il progetto assistito dal calcolatore di circuiti e sottosistemi lineari e non (Computer Aided Design, CAD), sebbene nelle industrie non fossero an- cora pronti per queste innovazioni. Infatti, in quel periodo i circuiti venivano ancora progettati usando metodi formali di sintesi e, spesso, considerandoli in condizioni di piccoli segnali, e questo obbligava a lunghe e costose fasi di correzione al progetto. Al crescere delle frequenze d''impiego di tali circuiti e alle conseguenti riduzione delle dimensioni dei medesimi le azioni di ''tuning' dei circuiti sono diventate sempre pi` u difficili. Con l''avvento poi dei circuiti monolitici a microonde questi interventi a fine progetto sono risultati addi- rittura impossibili. E il CAD per i circuiti a microonde (basato soprattutto sul metodo del Bilanciamento Armonico) `e diventato uno standard anche a livello industriale. Lo stesso si pu`o dire quando, circa una ventina di anni or sono, l''uso di frequenze sempre pi` u elevate ha spostato l''interesse del mondo accademico verso l''accurata modellizzazione dei circuiti distribuiti, con con- seguente sviluppo dei simulatori elettromagnetici. La complessit`a algoritmica iniziale di questi ultimi, e i tempi elevati di simulazione mal si combinava- no con le esigenze temporali del mondo produttivo; ma l''evoluzione di questi strumenti di calcolo e l''aumento della potenza di calcolo dei computer, ne mi- glior`o progressivamente le prestazioni al punto di giustificarne e consigliarne sempre pi` u l''impiego, qualora fosse richiesta una elevata accuratezza in sede progettuale. La storia ha quindi dato ragione ai ricercatori: oggi `e difficile tro- vare aziende dedicate alla progettazione di sistemi wireless che non utilizzino simulatori circuitali a RF basati sul metodo del Bilanciamento Armonico e simulatori elettromagnetici almeno per gli elementi radianti del transceiver. L''attivit`a di ricerca condotta nei tre anni del corso di dottorato ha avuto, 10 Introduzione come fulcro, lo sviluppo e l''applicazione pratica di tecniche di co-simulazione e co-progetto non lineare/elettromagnetico di sistemi wireless ''non conven- zionali'. Con questo appellativo, durante tutto il lavoro di tesi, ci si riferir`a a quella vasta categoria di radio collegamenti che si contrappongono a quelli tradizionali, ossia ai ''sistemi wireless convenzionali' la cui configurazione `e costituita da un trasmettitore e un ricevitore situati a grande distanza l''uno dall''altro in un mezzo normale e omogeneo, orientati in modo da ga- rantire il massimo trasferimento di potenza. Quando queste condizioni non sono verificate, o perch´e i due attori del collegamento non sono sufficiente- mente distanti e \o perch´e la direzione del collegamento `e lontana da quella di massimo trasferimento di potenza, ci si trova nel caso ''non convenzio- nale', ossia tutti i radio-sistemi, oggi in via di rapida diffusione in tutti i settori merceologici, che non rispondono alla configurazione standard e per i quali non `e pi` u lecita la descrizione del campo incidente sul ricevitore me- diante l''approssimazione di onda piana uniforme. Gli approcci al problema disponibili all''interno della comunit`a scientifica mancano, da diversi punti di vista, del rigore del metodo oggetto di questo lavoro di tesi, che rappresenta quindi, nell''opinione dello scrivente, un valido passo avanti nella descrizione numerica dei collegamenti radio. I metodi comunemente usati per esegui- re l''analisi di un collegamento radio sono i cosiddetti metodi sistemistici[1], ossia metodi che descrivono i vari blocchi del trasmettitore e del ricevitore del collegamento mediante modelli comportamentali, mentre le antenne so- no tipicamente considerate come radiatori isotropi. Questi veloci metodi di calcolo trascurano per`o le interazioni tra i vari blocchi dei circuiti non lineari e tra front-end e antenna: sull''importanza di queste interazioni nulla si pu`o dire a priori, ma non considerarle pu`o portare in certi casi a valutazioni della tratta radio molto lontane dalla realt`a. Altri gruppi di ricerca fanno ricorso a semplici modelli equivalenti a costanti concentrate per descrivere gli ele- menti radianti del collegamento[2], anzich´e utilizzare un accurato modello elettromagnetico. Questo approccio semplificato obbliga ovviamente a calco- lare il modello per ognuna delle frequenze (e relative armoniche) impiegate nel collegamento (ad es. nell''energy harvesting multi-frequenza), mentre un modello elettromagnetico larga banda risolve automaticamente il problema, garantendo anche una maggiore accuratezza. Un altro fattore molto impor- Introduzione 11 tante nel bilancio di una tratta radio riguarda le interazioni dei front-end con l''ambiente che li circonda. Nelle ordinarie analisi di radiocollegamenti queste interazioni non sono prese in considerazione, attribuendo alle antenne il ruolo di radiatori isotropi e puntiformi che non influenzano quindi il trasferimento del segnale[3], oppure si tiene conto dell''influenza che l''antenna ha sulla sola stima del canale di propagazione[4]. Al contrario invece gli accoppiamenti elettromagnetici tra antenna (o schiera di antenne) e il front-end influenza- no fortemente sia le propriet`a radianti dell''antenna, sia il comportamento non lineare del ricetrasmettitore[5]. La letteratura scientifica ha offerto an- che approcci accurati al problema dell''analisi di radiocollegamenti, ma anche in questi casi l''introduzione di importanti approssimazioni rende tali metodi non adatti all''analisi di sistemi wireless non convenzionali. Ad esempio i fe- nomeni di scattering e diffrazione che si verificano negli scenari realistici di propagazione sono inevitabilmente causa di trasferimenti di potenza tra com- ponenti ortogonali del campo trasmesso; viceversa in [6] l''impiego di fattori di guadagno scalari nella descrizione del canale radio mediante raggi elettro- magnetici impedisce di tenere conto della potenza trasferita alla componente cross-polarizzata del segnale. L''approccio utilizzato per risolvere queste complesse problematiche, che co- stituisce l''idea unificante e il filo conduttore dell''attivit`a svolta, `e stato lo sviluppo di un sistema di CAD originale che combina le pi` u avanzate tecni- che di analisi circuitale non lineare e di analisi elettromagnetica consentendo una co-simulazione rigorosa di interi sistemi wireless a livello circuitale. Il trasmettitore viene analizzato con tecniche circuitali non lineari basate sul metodo del Bilanciamento Armonico, inserendo nella sotto-rete lineare le an- tenne caratterizzate per via elettromagnetica tenendo conto della eventuale presenza di centri di scattering nella tratta radio. Il campo irradiato viene cal- colato anch''esso tramite tecniche numeriche a partire dal regime elettrico del trasmettitore, e funge da input del sistema ricevente. Sul lato del ricevitore si d`a una rigorosa rappresentazione circuitale degli effetti dei campi incidenti per mezzo di generatori equivalenti di Norton, calcolati mediante i teoremi di reciprocit`a e di equivalenza; il ricevitore pu`o quindi essere analizzato nuova- mente con simulatori circuitali non lineari. Per implementare queste tecniche sono state realizzate procedure per estrarre ed elaborare automaticamente 12 Introduzione dai simulatori elettromagnetici commerciali basi-dati di informazioni riguar- danti le distribuzioni spaziali di grandezze elettromagnetiche quali i campi irradiati e le densit`a di corrente sulle superfici dei centri di scattering. La sfida ambiziosa che questo lavoro di tesi intende lanciare `e quella di proporre questo rigoroso metodo numerico come strumento di analisi e progetto dei complessi radiocollegamenti descritti. La pretesa non `e quella di sostituire i pi` u veloci, ma approssimati, metodi sistemistici, bens`ı di costituire un valido riferimento per questi, per verificare in certi casi la validit`a, in altri casi la scarsa accuratezza. Cos`ı quindi, come fu decenni fa per il CAD dei circui- ti non lineari, oggi il mondo produttivo non pu`o o fa fatica ad affidarsi al complesso strumento di calcolo qui proposto. Ma in un non lontano futuro `e convinzione dello scrivente che anche la piattaforma di calcolo multi-dominio qui sviluppata potrebbe diventare uno standard di progetto nel settore indu- striale delle Telecomunicazioni dedicato ai radiocollegamenti a RF, con enfasi particolare ai collegamenti wireless non convenzionali. La prima applicazione dei concetti sopra esposti ha riguardato la valutazione della potenza ricevuta da qualsiasi sistema ricevente (come i sistemi di re- cupero energetico dall''ambiente ''energy harvesting'), anche in condizioni di campo vicino. Per l''applicazione di questo metodo sono state utilizzate delle correnti superficiali (equivalenti) distribuite su un piano virtuale posto tra il trasmettitore e il ricevitore. A questo scopo si `e resa necessaria l''implemen- tazione di ulteriori procedure per l''esecuzione di operazioni di integrazione discreta. In particolare, le ricerche hanno permesso di definire la migliore po- sizione del piano di integrazione rispetto ai sistemi ricevente e trasmittente, la discretizzazione ottimale del piano di integrazione in funzione della frequenza di lavoro e la dimensione del piano di integrazione sufficiente a garantire la convergenza dell''integrale. Per la verifica del nuovo metodo `e stata eseguita una campagna di misure su antenne a microstriscia risonanti alla frequenza di 5.8 [GHz]. Le antenne sono state poste sia in condizioni di radiocollegamen- to tradizionale (zona di Fraunhofer e orientazione nelle rispettive direzioni di massimo irraggiamento) sia in condizioni di radiocollegamento non conven- zionale (zona di campo vicino e orientazione disassata rispetto alle direzioni di massimo irraggiamento, condizioni che non permettono di descrivere il campo ricevuto come un''onda piana uniforme). Le misure hanno permes- Introduzione 13 so di confermare la bont`a del rigoroso metodo di calcolo oggetto del lavoro di tesi in qualsiasi condizione di collegamento, riscontrando un''ottima cor- rispondenza tra i valori calcolati e i valori misurati. Si `e cos`ı ottenuta una corretta valutazione degli effetti prodotti da un campo incidente non appros- simabile localmente con un''onda piana, il che si `e rivelato di fondamentale importanza soprattutto per i sistemi operanti con segnali di potenza molto bassa (harvesting da RF) per i quali `e indispensabile una stima molto ac- curata del campo ricevuto. Infatti, un aspetto qualificante delle tecniche di co-simulazione consiste nella possibilit`a di tenere conto in maniera rigorosa delle propriet`a dispersive delle antenne nonch´e delle interazioni di queste con i front end, anche in presenza di forti non linearit`a (inclusi, per esempio, sistemi a commutazione per lo stoccaggio dell''energia). La stessa filosofia di calcolo `e stata applicata per la modellistica degli effetti di un package metallico sulle prestazioni di circuiti integrati lineari e non lineari. In questo caso in luogo delle correnti (equivalenti) distribuite su un piano sono state utilizzate le correnti superficiali (fisiche) sul package pro- dotte dal campo irradiato dal circuito da esso racchiuso. Come benchmark `e stato utilizzato un amplificatore a FET, per il quale sono stati riscontrati picchi di guadagno molto selettivi, sintomo di potenziale instabilit`a, in pros- simit`a della frequenza di risonanza del package. I risultati sono stati validati per confronto con simulatori commerciali basati sul metodo FEM, rispetto ai quali si sono ottenuti tempi di calcolo inferiori di due ordini di grandezza con ottima rispondenza dei risultati numerici. In questo caso `e il layout del circuito che funge contemporaneamente da ''trasmettitore' e da ''ricevitore', mentre il package `e trattato come un centro di scattering. In altre parole, la distribuzione di corrente sulla sua superficie interna, sostenuta dalle correnti che fluiscono nel circuito e valutata per via elettromagnetica, reirradia un campo i cui effetti retroattivi sul circuito vengono quantificati introducendo nella topologia i generatori di Norton (in questo caso dipendenti) di cui si `e detto sopra. La tecnica di simulazione e progetto sviluppata nell''ambito della ricerca si presta anche in maniera ottimale all''analisi e al progetto di sensori wireless, anche operanti in ambienti altamente non omogenei. A questo particolare set- tore `e dedicato il terzo capitolo di questa tesi, dove `e visibile il progetto e la 14 Introduzione realizzazione di un sistema di telerilevamento impiegato per la localizzazione di TAG attivi all''interno di edifici. Il radiocollegamento tra il localizzatore, chiamato Rid (Remotely Identify and Detect), e i numerosi TAG, applicati ad oggetti anche di natura diversa, rientra, se non per tutto almeno per alcuni di questi, nella categoria dei radiocollegamenti non convenzionali, per i qua- li un''accurata stima del bilancio di tratta `e di fondamentale importanza. Il Rid, gestito da un microcontrollore (MSP430) interconnesso a due front end (CC2500), combina la tecnica ''monopulse radar' alla scansione elettronica degli array di antenne, ottenuta grazie alla presenza di due Phase Shifter che permettono il controllo del fattore di schiera. Ovviamente, data la necessaria compattezza della soluzione portatile adottata, `e stato indispensabile l''uso combinato di simulatori circuitali ed elettromagnetici in sede progettuale. Il Rid `e stato sviluppato nell''ambito di un Progetto Europeo ''Smart Ob- jects For Intelligent Applications' (SOFIA), indirizzato alla domotica e alla gestione intelligente della manutenzione delle grandi strutture. Capitolo 1 Rappresentazione di un collegamento RF tramite generatori di Norton equivalenti alle porte Introduzione Non sempre `e semplice eseguire una corretta valutazione dell''interazione presente tra due circuiti connessi tramite il canale radio. Molte sono le tecniche usate, sia in condizioni Line-of-Sight (LOS) che nelle condizioni Non-line-of-sight (NLOS): ' Modelli empirici (Okumura-Hata, Epstein-Peterson)
' Modelli statistici (Walfish-Ikegami, COST 259)
' Modelli semi-deterministici (Berg, Saunders-Bonar)
' Modelli deterministici (Ray Tracing) Tutti i metodi sopra elencati non sono pi` u validi quando antenna trasmitten- te e antenna ricevente non sono l''una nella regione di Fraunhofer dell''altra, quando, quindi, gli effetti reattivi sono ancora presenti e difficili da quan- tificare, se non tramite simulazioni elettromagnetiche complesse, lunghe e onerose. Oltre a questo, la progettazione ''classica' rappresenta queste ite- razioni in maniera troppo semplicistica, caratterizzando spesso le antenne 16 Valutazione rigorosa Jeq in link radio come semplici carichi resistivi negli stadi in trasmissione, o come normali generatori connessi alla porta d''ingresso dei ricevitori (con potenze propor- zionali a quanto calcolato con i metodi sopra esposti). Oltre a questo, in alcune situazioni diventa fondamentale conoscere correttamente l''interazione tra i due circuiti: basti pensare ad un sistema di recupero energetico (energy harvesting) necessario all''alimentazione di parti di sistemi non raggiungibili tramite cavi (sensori posti sull''estremit`a di un braccio robotizzato, etc...). In questo caso, conoscendo le caratteristiche della sorgente (potenza emessa, WSVR e diagrammi di radiazione) e del sistema ricevente (WSVR e diagram- mi di radiazione), con il metodo qui descritto diventa possibile quantificare rigorosamente l''effetto di un circuito sull''altro. La presente trattazione si basa sull''applicazione di due teoremi fondamentali nel campo dell''elettromagnetismo: il ''Teorema di reciprocit`a' e il ''Teorema di equivalenza' . L''applicazione di questo metodo richiede solamente l''estra- zione del campo irradiato dai due sistemi in studio, in un insieme di punti giacenti su un piano e opportunamente scelti. Il risultato sar`a la rappre- sentazione a livello circuitale dell''azione del sistema trasmittente su quello ricevente tramite un generatore di Norton equivalente (Jeq) connesso alla
porta ricevente. Cos`ı facendo risulta possibile integrare in fase di progetto in un simulatore non-lineare anche l''effetto del canale e una rappresentazio- ne rigorosa dei sistemi riceventi e trasmittenti, rappresentazione basata su modelli ottenuti dalle simulazioni elettromagnetiche. Simulazioni eseguite, misure e risultati Per verificare il corretto funzionamento del metodo di calcolo della Jeq presen-
tato in questo capitolo, ci si `e avvalsi di una sua implementazione in ambiente MatLab. Sono state eseguite delle prove utilizzando dei semplici dipoli, sia in ricezione che in trasmissione. Il campo da essi irradiato `e stato calcolato in pi` u modi: ' modello analitico ' metodo dei momenti (modello discretizzato) ' simulazione elettromagnetica Valutazione rigorosa Jeq in link radio 17 La verifica sperimentale `e stata svolta utilizzando delle antenne Patch, sia posizionandole in modo perfettamente allineato sia in modo disassato. I ri- sultati hanno confermato la validit`a di questo metodo, mettendo in evidenza l''errore che si compie con l''impiego di metodi approssimati. 18 Valutazione rigorosa Jeq in link radio 1.1 Teoria di Base Il Teorema di Reciprocit` a[15] `e conseguenza diretta della teo- ria dell''elettromagnetismo sviluppata da Maxwell1, ed `e uno dei tasselli fondamentali per lo studio delle interazioni trami- te i campi elettromagnetici di circuiti differenti. Oltre ad esso, in questa prima parte del capitolo sar` a trattata l''applicazione del teorema al caso specifico di due antenne al fine di ottene- re una equazione rigorosa e una approssimata, con particolare attenzione ai circuiti equivalenti del sistema. Altra equazione fondamentale che sar` a utile nelle elaborazioni successive `e il Teorema di Equiva- lenza, che applicato alla soluzione rigorosa sopra citata ne consentir` a il calcolo in maniera semplice e sempre rigorosa. Tutto questo sar` a discusso nella prima parte del capitolo. Nella seconda parte del capitolo verranno valutati alcuni casi specifici di collegamenti (sia convenzionali che non) nei quali saranno applicati i risultati precedentemente ottenuti, validandoli con misure sperimentali. 1.1.1 Reazione Al fine di spiegare il teorema di reciprocit`a risulta importante definire il concetto di Reazione. Si consideri, allora, un insieme di correnti impresse
Jb i , M b
i , rispettivamente elettriche e magnetiche, definite in una regione dello spazio V (limitata o illimitata), e il campo elettromagnetico {E a, Ha} definito nella stessa regione V , ma non necessariamente coincidente con il capo generato dalle sorgenti impresse Jb i , M b
i . Definizione 1.1 Si definisce reazione del campo {E a, Ha} sulle sorgenti 1 James Clerk Maxwell N. Edimburgo 13 giugno 1831, M. Cambridge 1879. Il suo pi`u importante lavoro, le ''Equazioni di Maxwell', `e l''unificazione di quelli sull''elettricit` a e sul magnetismo di Michael Faraday, Andr´e-Marie Amp`ere. Lo present` o alla Royal Society nel 1864. Le quattro equazioni sono il punto pi` u alto raggiunto dalla fisica classica. Inoltre, grazie ai dati disponibili all''epoca, Maxwell misur`o sperimentalmente la velocit`a
delle onde, giungendo al risultato che esse viaggiavano a circa 310.740.000 m/s. Maxwell nel 1865 scriveva: ''Questa velocit` a ` e cos`ı vicina a quella della luce che ho ragione di supporre che la luce stessa sia un''onda elettromagnetica' . Maxwell era nel giusto e la scoperta delle onde elettromagnetiche fu uno dei trionfi assoluti della fisica ottocentesca.[16] 1.1.2 Teorema di Reciprocit`a 19 Jb i , M b
i nella regione di volume V la quantit`a scalare: R = ha, bi = y V E a ' Jb i '' H a ' Mb i  dV (1.1) 1.1.2 Teorema di Reciprocit` a Teorema 1.1 Consideriamo una regione V sede di due coppie di sorgenti (ossia correnti impresse) {J a
i , M a
i } e Jb i , M b
i , rispettivamente generatori dei campi {E a, Ha} e Eb, Hb , occupata da un mezzo lineare, stazionario, non dispersivo, dissipativo e isotropo, e delimitata da una superficie S su cui ` e fissata una normale esterna ' n0 e su cui `e assegnata una condizione al contorno del tipo impedenza Et = ZsHt ' ' n0 (o una condizione di ammet- tenza Ht = Ys' n0 ' Et). Allora, la reazione del campo {E a, Ha} sulle sor- genti Jb i , M b
i coincide con la reazione del campo Eb, Hb sulle sorgenti {J a
i , M a
i }, cio`e: y V E a ' Jb i '' H a ' Mb i  dV = y V E b ' Ja i '' H b ' Ma i  dV (1.2) Il teorema continua a valere anche se il mezzo che riempie la regione V ` e ani- sotropo, purch´ e i diadici di permettivit` a e permeabilit` a si possano esprimere come matrici diagonali in qualche sistema di coordinate cartesiani ortogona- li. Inoltre il teorema si pu` o estendere a regioni dello spazio illimitate, purch´ e sia assegnata, come condizione al contorno, la condizione di radiazione. Dimostrazione Per semplicit`a si considerer`a il caso di una regione limitata, riempita da un mezzo isotropo, con una condizione di impedenza sulla superficie S. Ta- le situazione `e schematizzata nella figura 1.1. Le equazioni di Maxwell cui soddisfano i campi {E a, Ha} e Eb, Hb sono rispettivamente: '' ' E a = ''''µHa '' Ma i (1.3a) '' ' H a = ''cEa + Ja i (1.3b) '' ' E b = ''''µHb '' Mb i (1.4a) '' ' H b = ''cEb + Jb i (1.4b) 20 Valutazione rigorosa Jeq in link radio Figura 1.1: Schema del problema per l''illustrazione del teorema di reciprocit`a Moltiplicando scalarmente la (1.3a) per Hb e la (1.3b) per Eb e sommando i risultati membro a membro, si ottiene: H b ''''Ea+Eb''''Ha = ''''µHa'Hb''Hb'Ma i +''cE a 'Eb+Ea'Ja i (1.5) Analogamente, moltiplicando scalarmente la (1.4a) per Ha e la (1.4b) per Ea e sommando i risultati membro a membro, si ottiene: H a ''''Eb+Ea''''Hb = ''''µHb'Ha''Ha'Mb i +''cE b 'Ea+Eb'Jb i (1.6) Sottraendo poi, membro a membro, la (1.5) dalla (1.6), riordinando i termini ed integrando il tutto sulla regione V , si ricava: y V H b ' '' ' Ea '' Ea ' '' ' Hb dV'' '' y V H a ' '' ' Eb '' Eb ' '' ' Ha dV = = y V E b ' Ja i '' H b ' Ma i  dV '' y V E a ' Jb i '' H a ' Mb i  dV (1.7) Sfruttando l''identit`a vettoriale: '' ' (A ' B) = A ' '' ' B '' B ' '' ' A (1.8) 1.1.2 Teorema di Reciprocit`a 21 la (1.7) pu`o essere scritta come: y V '' ' E a ' Hb dV '' y V '' ' E b ' Ha dV = = y V '' '  E a ' Hb '' Eb ' Ha dV = = y V E b ' Ja i '' H b ' Ma i  dV '' y V E a ' Jb i '' H a ' Mb i  dV (1.9) Applicando il teorema della divergenza al termine centrale della (1.9) si ottiene la relazione fondamentale del teorema di reciprocit`a: x S ' n0 '  E a ' Hb '' Eb ' Ha dS = = y V E b ' Ja i '' H b ' Ma i  dV '' y V E a ' Jb i '' H a ' Mb i  dV (1.10) A questo punto occorre studiare due casi: 1. la superficie S possiede ZS 6= 0, ossia non `e un PEC 2. la superficie S possiede ZS = 0, ossia `e un PEC Nel primo caso risulta comodo utilizzare la condizione d''impedenza del bordo, ossia che Et = ZsHt ' ' n0. Cos`ı facendo, dalla (1.10) si ottiene: x S ' n0 ' E a ' Hb '' 'n0 ' Eb ' Ha dS = = x S 1 ZS E b
t ' E a '' Ea t ' E b dS = x S 1 ZS Eb t ' (' n0E a n + E a
t ) '' E a
t ' ' n0E b n + E b
t  dS = = x S 1 ZS E b
t ' E a
t '' E a
t ' E b
t  dS = 0 (1.11) Nel secondo caso, invece, sfruttiamo le propriet`a delle superfici dei PEC, ossia che Et = 0. Da essa ricaviamo che l''unica componente non nulla rimane quella
perpendicolare alla superficie. Questo `e importante in quanto vale anche la seguente propriet`a: ' n0 ' E = ' n0 ' (' n0En + Et) = ' n0 ' ' n0En = 0 (1.12) 22 Valutazione rigorosa Jeq in link radio Sfruttando un''ulteriore identit`a vettoriale (mantenendo le stesse operazioni e ruotando i termini il risultato non cambia): A ' (B ' C) = C ' (A ' B) = B ' (C ' A) (1.13) e analizzando il primo membro della (1.10), grazie alla (1.12), possiamo scrivere: x S ' n0 ' E a ' Hb '' 'n0 ' Eb ' Ha dS = = x S Hb ' ('n0 ' E a) '' Ha ' 'n0 ' Eb dS = 0 (1.14) Pertanto dalla (1.11) e dalla (1.14), utilizzate dipendentemente dall''ambiente in cui `e inserito il sistema, otteniamo che 0 = y V E b ' Ja i '' H b ' Ma i  dV '' y V E a ' Jb i '' H a ' Mb i  dV (1.15) ossia y V E a ' Jb i '' H a ' Mb i  dV = y V E b ' Ja i '' H b ' Ma i  dV (1.16) c.v.d. Il teorema di reciprocit`a stabilisce quindi che, quando sono verificate le sue ipotesi, sussiste una ''intercambiabilit`a' tra due distinti insiemi di sorgen- ti: se le sorgenti {J a
i , M a
i }, agendo da sole, danno luogo ad un certo campo {E a, Ha} nei punti che in una diversa situazione sono sede di un''altra sor- gente Jb i , M b
i , allora il campo Eb, Hb (generato dalle sorgenti Jb i , M b
i quando agiscono da sole) nei punti che sono sede delle sorgenti {J a
i , M a
i } non `e indipendente dal campo {E a, Ha}. Il teorema di reciprocit`a `e pertanto uno strumento potente per calcolare il campo generato da certe sorgenti in una certa regione, partendo dalla co- noscenza di un campo gi`a noto prodotto nella stessa regione da sorgenti diverse. 1.1.3 Uso del teorema di reciprocit` a con le antenne Se consideriamo due antenne immerse in un mezzo omogeneo, normale pas- sivo praticamente privo di perdite, poste ad una distanza r (tra i centri di 1.1.3 Uso del teorema di reciprocit`a con le antenne 23 fase dei momenti equivalenti) che garantisca la loro presenza nelle rispettive zone di Fraunhofer (l''una dell''altra), e verificata la relazione: r  λ (1.17) allora risulta applicabile facilmente il teorema di reciprocit`a[13]. Consideriamo due scenari, visibili nella figura 1.2 e descritti dalle lettere ''a' e ''b', cos`ı composti: Figura 1.2: Situazioni ''a' e ''b' per l''applicazione del teorema di reciprocit`a a) '' l''antenna 2 funge da trasmittente ed `e descritta mediante la sche- matizzazione di correnti impresse (solo elettriche di densit`a J2)
diverse da zero solo nei punti di una regione limitata V2; '' l''antenna 1 (ricevente) `e una struttura fisica dotata di una sola porta TEM connessa ad una rete monoporta passiva (ricevitore) tramite la sua unica porta S1; '' la struttura `e in PEC, tranne che nei punti di S1;
'' le sorgenti saranno solo quelle dell''antenna 2, ossia: M a
i = 0 (1.18a) J a
i = J2 (P2) (1.18b) (P2 '' V2) (1.18c) 24 Valutazione rigorosa Jeq in link radio '' il campo magnetico {E a, Ha} `e quello irradiato dalle sorgenti del punto precedente in presenza dell''antenna 1 e del ricevitore, soddi- sfacente le condizioni di radiazione di Sommerfeld. In questo caso `e possibile definire sulla porta del ricevitore una tensione e una corrente come segue: E a
t (PS ) = V ae1 (PS) (1.19a) H a
t (PS ) = I ah1 (PS) (1.19b) (PS '' S1) (1.19c) dove V a e Ia sono la tensione e la corrente alla porta del ricevito- re, ed e1 (PS) e h1 (PS) sono i campi vettoriali reali tangenti alla
superficie S1 e soddisfacenti la condizione di normalizzazione: x S1 e1 (PS) ' h1 (PS) ' ' n dS = 1 (1.20) '' descriviamo il ricevitore tramite la sua matrice di impedenza ZR, ottenendo: V a = ZRIa (1.21) '' l''antenna 1 viene descritta con la sua matrice di impedenza Z1. b) '' non `e presente l''antenna 2 (pertanto si avr`a J2 (P2) ' 0); '' l''antenna 1 funge da trasmittente;
'' il trasmettitore risulta fisicamente equivalente al ricevitore del caso ''a' (tranne che ora imporr`a le correnti); '' il campo irradiato dall''antenna, soddisfacente le condizioni di Som- merfeld, `e indicato Eb, Hb ; '' alle componenti tangenti delle intensit`a di campo sulla porta 1 si pu`o dare la forma: E b
t (PS ) = V be1 (PS) (1.22a) H b
t (PS ) = I bh1 (PS) (1.22b) (PS '' S1) (1.22c) dove V b e Ib sono la tensione e la corrente alla porta del trasmet- titore; 1.1.3 Uso del teorema di reciprocit`a con le antenne 25 '' l''antenna 1 carica il trasmettitore con un''impedenza Z1, ottenen- do: V b = ''Z1Ib (1.23) Applichiamo ora il teorema di reciprocit`a, nella forma espressa dall''equazio- ne (1.10), semplicemente cambiata di segno, per comodit`a. In questo caso il dominio di integrazione, definito D'', `e rappresentato da tutto lo spazio
esclusa la regione racchiusa in S (ossia la zona occupata dal ricevitore o dal trasmettitore a seconda del caso in analisi). Consideriamo, come contorno, una superficie sferica S'' con centro in un punto al finito, raggio infinito e
la superficie S. Si ha che il contorno del dominio di integrazione soddisfa la seguente equazione: ''D'' = S'' ' S (1.24) Si noti che le uniche sorgenti racchiuse nel dominio di integrazione sono quelle indicate dalla (1.18), relative alla situazione ''a', mentre all''esterno di D'' agisce la distribuzione di correnti impresse dal trasmettitore relativo alla
situazione ''b'. Il teorema di reciprocit`a diviene: x S ' ni '  E b ' Ha '' Ea ' Hb dS = = y D'' E a ' Jb i '' H a ' Mb i  dV '' y D'' E b ' Ja i '' H b ' Ma i  dV (1.25) Nel primo termine `e stato annullato il contributo relativo alla superficie S''
in quanto i campi, per ipotesi, soddisfano la condizione di radiazione. Come indica la figura 1.2, ' ni `e il versore normale alla superficie S orientato verso l''esterno di D''. Tenuto conto di quanto indicato sulle sorgenti e sulla natura
della superficie S, la (1.25) si pu`o semplificare come segue: x S1 ' ni '  E b ' Ha '' Ea ' Hb dS = '' y V2 E b ' J2 dV (1.26) Considerando quanto indicato dalle (1.19) e dalle (1.22), e tenendo conto dell''equazione di normalizzazione (1.20), il primo membro della (1.26) si pu`o 26 Valutazione rigorosa Jeq in link radio indicare come: x S1 ' ni '  E b ' Ha '' Ea ' Hb dS = = x S1 ' ni '  E b
t (PS ) ' H a
t (PS )  '' E a
t (PS ) ' H b
t (PS )  dS = = V bIa '' V aIb x S1 e1 (PS) ' h1 (PS) ' ' n dS = = V bIa '' V aIb (1.27) Se adesso consideriamo la (1.23) e la (1.21), otteniamo: V bIa '' V aIb = '' (Z1 + ZR) IaIb (1.28) Infine, considerando la (1.18), la relazione di reciprocit`a (1.26) assume la forma: (Z1 + ZR) I aIb = y V2 E b (P2) ' J2 (P2) dV2 (1.29) 1.1.4 Modello circuitale: calcolo del generatore equi- valente di Norton Facendo riferimento allo scenario descritto in figura 1.2, analizziamo il circui- to equivalente delle due situazioni. In questo paragrafo calcoleremo mediante la Jeq del generatore di Norton gli effetti del sistema trasmittente su quello
ricevente, da applicare in parallelo all''ammettenza YR del sistema riceven-
te. Partendo con l''applicazione del teorema di Kirchhoff delle tensioni nel circuito della ''situazione a' di figura 1.3 otteniamo: I a = '' Jeq 1 + ZRY1 (1.30) Con l''applicazione del teorema di Kirchhoff delle correnti nel circuito della ''situazione b' di figura 1.3 otteniamo: I b = '' U Y1 1 + ZRY1 (1.31) 1.1.5 Alimentazione dell''antenna ricevente: calcolo di U in funzione della
potenza disponibile del generatore 27 Figura 1.3: Schemi circuitali delle situazioni ''a' e ''b' per l''applicazione del teorema di reciprocit`a Infine, combinando le equazioni (1.30) e (1.31) con la (1.29) si ottiene: (Z1 + ZR) Jeq 1 + ZRY1 U Y1 1 + ZRY1 = y V2 E b (P2) ' J2 (P2) dV2 (1 + ZRY1) 1 Y1 Jeq 1 + ZRY1 U Y1 1 + ZRY1 = y V2 E b (P2) ' J2 (P2) dV2 U Jeq 1 + ZRY1 = y V2 E b (P2) ' J2 (P2) dV2 (1.32) da cui: Jeq = 1 U 1+ZRY1 y V2 E b (P2) ' J2 (P2) dV2 (1.33) 1.1.5 Alimentazione dell''antenna ricevente: calcolo di U in funzione della potenza disponibile del gene- ratore Le notazioni indicate dalla figura 1.4 rappresentano ''situazione b' di figura 1.3. Il generatore presenta un impedenza caratteristica del valore di ZR, che 28 Valutazione rigorosa Jeq in link radio Figura 1.4: Schema alimentazione e schema equivalente circuitale consideriamo, come spesso si impone, uguale alla resistenza di normalizza- zione ZR = R0 (= 50'). Siccome l''antenna presenta un impedenza del valore
di Z1 6= R0, non `e garantito l''accoppiamento coniugato, e quindi non avre- mo il massimo trasferimento di potenza dal generatore all''antenna. Diventa necessario calcolare il valore della corrente Ib che alimenta l''antenna. Per quanto riguarda il valore dell''impedenza Z1 `e possibile ottenerlo attraverso
un simulatore elettromagnetico. Il valore della Ib risulta: I b = U R0 + Z1 (1.34) Per poter confrontare il campo generato dall''antenna in esame con quello cal- colato da un qualsiasi simulatore elettromagnetico diventa necessario riuscire a calcolare il valore della U in funzione della potenza con cui il simulatore alimenta l''antenna. Definiamo PA [W ] la potenza incidente fornita alla porta
dal simulatore. PA = 1
2 |a| 2 = 1
2


1
2  V '' R0 + I p R0 

2 = 1
8


V '' R0 + V Z1 p R0


2 = = |V | 2 8 R0


1 + R0 Z1


2 = |V | 2 8 R0 |1 + R0Y1| 2 (1.35) La tensione V dipende direttamente da U : V = U Z1 R0 + Z1 = U R0 Z1 + 1 = U 1 + R0Y1 (1.36) pertanto, con le opportune sostituzioni, si ottiene: PA = 1 8 R0


U 1 + R0Y1


2 |1 + R0Y1| 2 = | U | 2 8 R0 (1.37) 1.1.6 Teorema di Love (Equivalenza) 29 ossia: U = p8 R 0 PA (1.38) 1.1.6 Teorema di Love (Equivalenza) Il Teorema di Equivalenza[15] sar`a fondamentale per gli sviluppi della nuova metodologia per il calcolo accurato della Jeq nelle condizioni di collegamento
non convenzionali. Dalle espressioni delle equazioni di Maxwell (prive del termine di densit`a di corrente magnetica impressa) sembrerebbe che, per risolvere il problema elettromagnetico, sia sempre necessario individuare una ben precisa funzio- ne del punto Ji corrispondente alle autentiche sorgenti fisiche. Per`o, ai fini
della determinazione del campo in una assegnata regione dello spazio non sempre `e necessario: `e possibile sostituire insiemi di sorgenti assegnate con altri insiemi ''equivalenti', ossia tali da, purch`e non si variano le condizioni al contorno, produrre nella regione assegnata lo stesso campo generato dalle sorgenti originali. Nel seguito si considereranno mezzi lineari, stazionari, non dispersivi e con Figura 1.5: Sistema di sorgenti {Ji, Mi}, campo da esse generato {E, H} e suddivisione della regione V , delimitata da C conducibilit`a non nulla, tali cio`e da consentire l''applicazione del teorema di 30 Valutazione rigorosa Jeq in link radio unicit`a. Per la dimostrazione del Teorema di Love occorre considerare una regione V dello spazio, delimitata dalla superficie C, in cui `e, definito il cam- po elettromagnetico. Su C si suppongano assegnate condizioni al contorno tali che il campo risulti unico in tutto V , se specificate in esso le sorgenti impresse {Ji, Mi}. Si supponga inoltre che l''insieme di sorgenti {Ji, Mi} si trovi in una porzione interna di V , definita Vi, delimitata da una superficie S
con normale esterna ' n0, chiusa e regolare, tale che risulti nulla la presenza di sorgenti nella regione compresa tra S e C, che definiremo Ve. Naturalmente V pu`o anche essere l''intero spazio: in tal caso C `e all''infinito e si ammette verificata la condizione di radiazione. Se si vuole determinare il campo nella sola regione Ve (priva di sorgenti), al-
lora, in base al teorema di unicit`a, qualsiasi insieme di sorgenti poste in Vi o
su S che diano luogo al corretto valore del componente tangenziale di E (o di H) sulla faccia esterna di S, genera in Ve un campo {E, H} coincidente con quello generato dalle vere sorgenti {Ji, Mi}. Al fine di illustrare il teorema di Figura 1.6: Sistema di sorgenti {Ji, Mi}, campo da esse generato {E, H} e regione illimitata V suddivisa dalla superficie S in Vi (limitata e che contiene
le sorgenti) e Ve (illimitata). equivalenza si consideri dunque la situazione di figura 1.6, dove si `e assunto che la regione Ve sia illimitata. Il sistema di sorgenti {Ji, Mi} sar`a l''unico responsabile del campo {E, H} (soddisfacente la condizione di radiazione), e sia {Es, Hs} il valore assunto da tale campo sui punti della superficie S. Si 1.1.6 Teorema di Love (Equivalenza) 31 consideri ora un altro campo {E1, H1} definito in tutto lo spazio come: {E1, H1} = ( {0, 0} in Vi {E, H} in Ve (1.39) e un sistema di correnti superficiali impresse {Js, Ms} definite sulla superficie S come: {Js, Ms} = {' n0 ' Es, Hs ' ' n0 } (1.40) La situazione `e illustrata in figura 1.7. In Ve il campo {E1, H1} coincide Figura 1.7: Problema equivalente al problema di figura 1.6. Il campo {E1, H1} `e uguale al campo {E, H} in Ve e identicamente nullo in Vi. Le sorgenti equivalenti sono le densit`a di corrente superficiale {Js, Ms} definite sulla superficie S. con il campo {E, H} che `e soluzione delle stesse equazioni di Maxwell; in questo caso non sono presenti sorgenti in Vi e il campo identicamente nullo
{0, 0} `e ancora una possibile soluzione delle equazioni di Maxwell. Il campo
{E1, H1} `e discontinuo a causa della superficie S, essendo presenti su di essa
delle distribuzioni superficiali di corrente, e il valore della discontinuit`a `e in accordo con il fatto che: E +
1 '' E ''
1  ' 'n0 = (Es '' 0) ' 'n0 = E s ' ' n0 = Ms (1.41) ' n0 ' H +
1 '' H ''
1  = ' n0 ' (Hs '' 0) = ' n0 ' Hs = Js (1.42) In questo caso si `e indicato con E+ 1 , H +
1 e E'' 1 , H ''
1 il valore del campo rispettivamente sulla faccia esterna e sulla faccia interna di S. Perci`o il campo 32 Valutazione rigorosa Jeq in link radio {E1, H1} `e una soluzione delle equazioni di Maxwell in presenza delle sorgenti
{Js, Ms} : per il teorema di unicit`a, tale soluzione `e anche l''unica. Si pu`o
pertanto affermare quanto segue: Definizione 1.2 Il campo elettromagnetico {E, H} all''esterno di una super- ficie chiusa S che racchiuda le sue sorgenti {Ji, Mi} `e esprimibile in termi- ni di sorgenti equivalenti {Js, Ms} , che possono essere determinate a par- tire dalla conoscenza delle componenti tangenziali del campo {E, H} sulla superficie S stessa. Questa `e anche la formulazione elettromagnetica del noto principio di Huy- gens, che considera ciascun punto dello spazio investito dal campo come una nuova sorgente del campo stesso. 1.1.7 Calcolo approssimato della Jeq Per questa trattazione risulta necessario ricordare il calcolo semplificato del campo irradiato a grande distanza[8] (zona di Fraunhofer): E (P ) '' ''' exp ( '''βr) 2λr [η' r ' M (θ, ') ' 'r + N (θ, ') ' 'r] (1.43) H (P ) '' ''' exp ( '''βr) 2λr  ' r ' M (θ, ') + 1
η ' r ' N (θ, ') ' 'r  (1.44) dove i termini M ed N rappresentano rispettivamente il Momento Elettrico e il Momento Magnetico, definiti come segue[9] per sorgenti di qualsiasi natura: M (θ, ') '' y V Ji (Po) exp ('¯r ' ¯ w) dVo (1.45a) N (θ, ') '' y V Mi (Po) exp ('¯r ' ¯ w) dVo (1.45b) Consideriamo l''integrale a secondo membro della (1.33) (che `e il medesimo della (1.29)). Si indichi con V1 la regione limitata occupata dall''insieme del
trasmettitore e dell''antenna 1 della situazione ''b' di figura 1.2. Per calcolare il campo Eb (P2), si pu`o sostituire la disomogeneit`a del mezzo legata alla
presenza della regione V1 con una distribuzione di correnti di polarizzazione, 1.1.7 Calcolo approssimato della Jeq 33 Figura 1.8: Calcolo approssimato della Jeq: scenario in considerazione per ipotesi di natura solamente elettrica e di densit`a J1 (P1), dove P1 `e un
punto generico di V1. Facendo riferimento alla figura 1.8, definiamo i seguenti
termini: ¯ w1 = P1 '' O1 (1.46) ¯ w2 = P2 '' O2 (1.47) ¯ r = O2 '' O1 (1.48) L = |P2 '' O1| (1.49) 'i l = P2 '' O1 L (1.50) Facendo uso della (1.45a), data la sola presenza delle correnti elettriche come sorgenti del campo Eb (P2), il momento equivalente della sorgente J1 (P1)
rispetto al centro di fase O1, calcolato nella direzione del punto (P2), si pu`o
scrivere nella forma: M1 (P2) '' y V1 J1 (P1) exp  'β ¯ w1 ''il  dV1 (1.51) Dalle relazioni indicate nella (1.46), e ovviamente dalla figura 1.8, si ottiene L = |¯r + ¯ w2 | = p(¯r + ¯ w2) ' (¯r + ¯ w2) = = q r2 + w2 2 + 2 (¯ r + ¯ w2) '' r + ¯ w2 ''ir (1.52) 34 Valutazione rigorosa Jeq in link radio l''approssimazione si `e ottenuta sviluppando la radice quadrata come serie di Taylor, arrestandosi ai termini di primo ordine. ´ E ragionevole pensare che L/r '' 1 per r '' ''. Pertanto, l''ultima equazione della (1.46), considerando che L '' r, pu`o essere scritta come 'i l = ' ir + ¯ w2 r (1.53) che sostituito nella (1.51) fornisce M1 (P2) '' y V1 J1 (P1) exp  'β ¯ w1 ''ir  exp  'β ¯ w1 ' ¯ w2 r  dV1 (1.54) Se si definiscono W1 e W2 come le massime distanze dei punti delle antenne 1
e 2 dai rispettivi centri di fase, ricordando che in zona di Fraunhofer valgono le disuguaglianze r >> W 2 1 r r >> W 2 2 r (1.55) `e possibile apportare ulteriori approssimazioni: β ¯ w1 ' ¯ w2 r ' 2' W1W2 λr << 2' '' exp  'β ¯ w1 ' ¯ w2 r  '' 1 (1.56) quindi si ottiene dalla (1.54) M1 (P2) '' y V1 J1 (P1) exp  'β ¯ w1 ''ir  dV1 '' M1 (O2) '' M1 (θ2, '2) (1.57) che abbinata alla (1.43) mi permette di calcolare Eb (P2): E b (P2) '' '''η exp ( '''βL) 2λL 'i l ' M1 (P2) ''il '' '' '''η exp ( '''βL) 2λr 'i r ' M1 (θ2, '2) ''ir (1.58) Ne segue y V2 E b (P2) ' J2 (P2) dV2 '' '' ' η 2λr 'i r ' M1 (θ2, '2) ''ir ' y V2 J2 (P2) exp ( '''βL)dV2 '' '' '''η exp ( '''βr) 2λr 'i r 'M1 (θ2, '2)''ir' y V2 J2 (P2) exp [ '''β (L '' r)]dV2 , , E1 ' y V2 J2 (P2) exp [ '''β (L '' r)]dV2 (1.59) 1.1.7 Calcolo approssimato della Jeq 35 Si noti che per la prima delle (1.43) (considerata, come in questo caso, senza sorgenti magnetiche) si ha E 1 '' E b (O2) (1.60) dove Eb (O2) `e l''intensit`a di campo elettrico sostenuta dall''antenna 1 nel cen- tro di fase dell''antenna 2 in assenza di quest''ultima. Dalla (1.52) otteniamo: L '' r + ¯ w2 ''ir '' L '' r '' ¯ w2 ''ir (1.61) con questo termine possiamo semplificare l''integrale della (1.59) come segue y V2 J2 (P2) exp [ '''β (L '' r)]dV2 '' '' y V2 J2 (P2) exp '''β  ¯ w2 ''ir  dV2 '' M1 (O2) (1.62) dove si `e indicato con M2 (O1) il momento equivalente della sorgente J2 (P2)
rispetto al centro di fase O2, calcolato nella direzione del punto O1. Combi-
nando la (1.33) con le (1.59), (1.62) si ottiene Jeq = 1 + ZRY1 U '' E1 ' M2 (O1) (1.63) Consideriamo adesso E 2, ossia l''intensit` a di campo elettrico sostenuta dall''an- tenna 2 nel centro di fase dell''antenna 1 in assenza di quest''ultima. Sempre per la prima delle (1.43) si ha E 2 '' '''η exp ( '''βr) 2λr ( '''ir) ' M2 (O1) ' ('''ir) (1.64) Essendo ( '''ir) ' M2 (O1) ' ('''ir) '' M2 (O1) '' M2 (O1) ''ir'ir si ha E 1 ' E2 '' '''η exp ( '''βr) 2λr E 1 ' M2 (O1) (1.65) che posta nella (1.63) mi da il risultato finale atteso: Jeq = ' 1 + ZRY1 U 2λr η exp ('βr)E 1 ' E2 (1.66) Nelle trattazioni successive, la (1.66) verr`a utilizzata come termine di parago- ne della nuova teoria. Sar`a utilizzata impiegando una notazione leggermente 36 Valutazione rigorosa Jeq in link radio differente[17]. Saranno individuati due ''attori' nel collegamento: antenna trasmittente (o sorgente a RF) e antenna ricevente (o harverster). La forma che prender`a la (1.66) sar`a la seguente: Jeq = ' 2λr η e 'βr Einc (r, θ, ') ' EA (r, θ, ') U 1+RoYA(') = = ' 2λr [1 + RoYA (')] e'βr η U E inc ' EA (1.67) Infatti, i valori di E inc (r, θ, ') e EA (r, θ, ') sono rispettivamente il campo elettrico nel centro di fase dell''harvester generato dall''antenna trasmittente posta alla distanza r nella direzione (θ, '), e del campo elettrico nel cen- tro di fase dell''antenna trasmittente generato dall''harvester alimentato da un generatore con tensione U e resistenza interna Ro. La YA rappresenta
l''ammettenza dell''harvester, in funzione della frequenza, ottenuta tramite si- mulazioni EM (o calcolata analiticamente, qualora possibile). Questa relazione, sebbene approssimata, `e molto utile nel fornire una rappre- sentazione circuitale degli effetti del campo incidente sull''antenna ricevente qualora questo sia esprimibile mediante onda piana uniforme, ossia nel caso in cui le due antenne siano nella zona di Fraunhofer l''una dell''altra (link con- venzionale). A questo punto `e possibile simulare il circuito ricevente con un tradizionale simulatore circuitale (ad esempio basato sull''Harmonic Balance). 1.1.8 Nuovo approccio per il calcolo esatto della Jeq Nel progetto di sistemi wireless non convenzionali, cio`e non soddisfacenti le condizioni di cui sopra, diventa fondamentale valutare correttamente l''im- patto che un trasmettitore esterno pu`o avere sul circuito in studio, al fine di poter considerare accuratamente gli effetti elettromagnetici che impone su di esso. Se si pensa alla Rectenna, sapere esattamente il range (tipicamente molto basso) del generatore equivalente permette la migliore ottimizzazione del circuito rettificatore, in quanto si possono conoscere i valori massimi di correnti con cui lavorano i componenti del circuito non lineare. In questo ambito, le equazioni ottenute fino ad ora non sempre sono efficaci: il teorema di reciprocit`a, nella forma (1.33), diventa difficile da implementare mentre l''equazione approssimata non sempre valuta correttamente la Jeq; essa cade 1.1.8 Nuovo approccio per il calcolo esatto della Jeq 37 in difetto se non ci troviamo in zona di Fraunhofer, in quanto non sono pi` u applicabili le approssimazioni che permettono di considerare il campo inci- dente come un onda piana uniforme. Infatti, considerare il campo incidente come un vettore costante produce un errore di fase o (W 2/λd), dove W `e la dimensione dell''antenna ricevente e d `e la distanza dal trasmettitore, e que- sto errore `e trascurabile, per definizione, se le antenne sono nelle reciproche zone di Fraunhofer. Oltre al fattore di fase bisogna mettere in conto anche l''errore di ampiezza: la (1.67) introduce un errore d''ampiezza o (W 2/d2) se e solo se il ricevitore si trova lungo una direzione di massima radiazione del trasmettitore, altrimenti l''errore introdotto pu`o essere molto pi` u grande a seconda del diagramma di radiazione dell''antenna trasmittente.[28] Per ovviare a questo problema `e stata studiata una nuova metodologia che parte dall''applicazione congiunta del teorema di reciprocit`a e del teorema di equivalenza, garantendo un approccio rigoroso in qualsiasi condizione di col- legamento ci si trovi (non necessita essere in zona di Fraunhofer). A questo Figura 1.9: Situazione considerata per il calcolo rigoroso di Jeq scopo, consideriamo un arbitrario piano Σ situato tra le due antenne, come visibile in figura 1.9, e applichiamo il teorema di equivalenza per sostituire il trasmettitore con le correnti superficiali elettriche e magnetiche equivalenti 38 Valutazione rigorosa Jeq in link radio su Σ. Jsurf (PΣ) = ' n ' Hs (PΣ) (1.68) Msurf (PΣ) = E s (PΣ) ' ' n (1.69) dove (PΣ) rappresenta un punto qualsiasi del piano Σ. Se nella (1.33) assu-
miamo le seguenti notazioni: ZR = R0 Y1 = YA (') V2 = VS E b (P2) = ES (PΣ) J2 (P2) = JS (PΣ) e applichiamo il teorema di equivalenza[28], per il calcolo della corrente Jeq del
generatore di Norton posto in parallelo all''ammettenza dell''antenna ricevente otteniamo quanto segue: Jeq = 1 U 1+R0YA(') y VS JS (PS) ' EH (PS) dVS '' '' 1 U 1+R0YA(') x Σ [Jsurf (PΣ) ' EH (PΣ) '' Msurf (PΣ) ' HS (PΣ)] dΣ = = 1 U 1+R0YA(') ' n ' x Σ [ES (PΣ) ' HH (PΣ) '' EH (PΣ) ' HS (PΣ)] dΣ (1.70) L''approssimazione `e dovuta alla dimensione finita del piano: si avrebbe l''u- guaglianza se la superficie piana risultasse infinita. Concentrando l''attenzione sul solo integrale, valutiamo l''espressione esplicita dell''integrando analizzan- do tutte le sue componenti: ES (PΣ) ' HH (PΣ) =  
 ' x ' y ' z ESx ESy ESz HHx HHy HHz  
 = = (ESyHHz '' ESzHHy) 'x + (ESzHHx '' ESxHHz) 'y+ + (ESxHHy '' ESyHHx) 'z (1.71a) 1.2 Calcolo dei campi E e H 39 EH (PΣ) ' HS (PΣ) = = (EHyHSz '' EHzHSy) 'x + (EHzHSx '' EHxHSz) 'y+ + (EHxHSy '' EHyHSx) 'z (1.71b) Da cui otteniamo: Jeq '' 1 U 1+R0YA(') ' n ' x Σ [(ESyHHz '' ESzHHy '' EHyHSz + EHzHSy) 'x+ + (ESzHHx '' ESxHHz '' EHzHSx + EHxHSz) 'y+ + (ESxHHy '' ESyHHx '' EHxHSy + EHyHSx) 'z] dΣ (1.72) 1.2 Calcolo dei campi E e H Al fine dell''applicazione del nuovo metodo di valutazione della Jeq, e per
la sua validazione, `e necessario poter calcolare i campi in prossimit`a delle rispettive sorgenti. Pertanto, nella sezione seguente verranno studiate le di- pendenze dei campi E e H dai momenti M, al fine di poter implementare, nelle sezioni successive, dei modelli matematici di antenne semplici (dipoli) per poter calcolare correttamente il campo da loro emesso e quantificare, per via numerica, i valori delle Jeq al variare della discretizzazione del piano Σ. 1.2.1 Dipendenza di E e H dal momento M Partiamo dal calcolo rigoroso dei campi E e H (anche in zona prossima della sorgente)[12]. Nel caso in cui la sorgente sia solamente di natura elettrica si ha: E = η 2'  1 '' ' λ 2'r  exp ( '''βr) r2 (M ' 'r)'r'' '' ' η 2λ  1 '' ' λ 2'r '' λ2 4'2r2  exp ( '''βr) r ' r ' M ' 'r (1.73a) H = ''' 1 2λ  1 '' ' λ 2'r  exp ( '''βr) r ' r ' M (1.73b) dove `e stata definita la distanza dall''origine del sistema di riferimento al punto in cui viene calcolato il campo dalla: r , p x2 + y2 + z2 (1.74) 40 Valutazione rigorosa Jeq in link radio Il Momento M pu`o essere scomposto nelle sue componenti cartesiane, ossia: M = Mx ' x + My ' y + Mz ' z (1.75) Per valutare correttamente il campo `e necessario calcolare esplicitamente i termini (M ' 'r), ('r ' M ' 'r) e ('r ' M). Si ha: M ' 'r = Mr = Mx sin (θ) cos (') + My sin (θ) sin (') + Mz cos (θ) = = Mx x px2 + y2 + z2 + My y px2 + y2 + z2 + Mz z px2 + y2 + z2 = = x Mx r + y My r + z Mz r (1.76) ' r ' M ' 'r = ('r ' M) ' 'r =  
 ' x ' y ' z x r y
r z
r Mx My Mz  
 ' ' r = = h y r Mz '' z r My  ' x +  z r Mx '' x r Mz  ' y +  x r My '' y r Mx  ' z i ' 'r = = h z r  z r Mx '' x r Mz  '' y r  x r My '' y r Mx i ' x+ + h x r  x r My '' y r Mx  '' z r  y r Mz '' z r My i ' y+ + h y r  y r Mz '' z r My  '' x r  z r Mx '' x r Mz i ' z = =  z 2 + y2 ' x '' (xy) 'y '' (xz) 'z  M x r2 + + '' (xy) 'x + x 2 + z2 ' y '' (yz) 'z  M y r2 + + '' (xz) 'x '' (zy) 'y + x 2 + y2 'z Mz r2 (1.77) ' r ' M =  
 ' x ' y ' z x r y
r z
r Mx My Mz  
 = =  y r Mz '' z r My  ' x +  z r Mx '' x r Mz  ' y +  x r My '' y r Mx  ' z = = (z ' y '' y 'z) Mx r + (x ' z '' z 'x) My r + (y ' x '' x 'y) Mz r (1.78) 1.2.2 Dipendenza dei campi dalla componente X del momento 41 1.2.2 Dipendenza dei campi dalla componente X del momento Per focalizzare meglio la dipendenza dei campi dal momento che li gene- ra valuteremo il legame tra le componenti dei campi e quelle dei momenti generanti. Per far ci`o ipotizzeremo la presenza di una sola componente del momento generante, ripetendo l''operazione per tutte e tre le componenti cartesiane. Questo perch´e la seguente trattazione diventi immediatamente applicabile per la maggior parte delle antenne che presentano, tipicamente, una sola componente del momento (es.: dipolo), o una componente predomi- nante sulle altre. Qualora le antenne in considerazione presentino pi` u compo- nenti, data la linearit`a del problema, sar`a sufficiente sovrapporne gli effetti. Nel primo caso tratteremo la presenza della sola componente lungo l''asse ' x. Pertanto il momento varr`a: M = Mx ' x + My ' y + Mz ' z , Mx ' x Le equazioni (1.76), (1.77) e (1.78) diventano: M ' 'r = x Mx r (1.79) ' r ' M ' 'r =  z 2 + y2 ' x '' (xy) 'y '' (xz) 'z  M x r2 (1.80) ' r ' M = (z 'y '' y 'z) Mx r (1.81) Sostituendo le (1.79) nelle (1.73), otteniamo il calcolo esatto dei campi in funzione del momento elementare Mx: E = η 2'  1 '' ' λ 2'r  x exp ( '''βr) r3  x r ' x + y r ' y + z r ' z  Mx '' '' ' η 2λ  1 '' ' λ 2'r '' λ2 4'2r2  exp ( '''βr) r3  z 2 + y2 ' x '' '' (xy) 'y '' (xz) 'z] Mx = = η exp ( '''βr) 2 r3  x '  1 '' ' λ 2'r   x r ' x + y r ' y + z r ' z  '' '' ' λ  1 '' ' λ 2'r '' λ2 4'2r2   z 2 + y2 ' x '' (xy) 'y '' (xz) 'z   Mx (1.82a) 42 Valutazione rigorosa Jeq in link radio H = ' 1 2λ  1 '' ' λ 2'r  exp ( '''βr) r2 (y ' z '' z 'y) Mx (1.82b) Esplicitiamo le componenti cartesiane: Ex = η e'''βr 2 r3  x2 r'  1 '' ' λ 2'r  '' ''' z2 + y2 λ  1 '' ' λ 2'r '' λ2 4'2r2  Mx (1.83a) Ey = η e'''βr 2 r3  xy r'  1 '' ' λ 2'r  + ' xy λ  1 '' ' λ 2'r '' λ2 4'2r2  Mx = = η e'''βr 2 r3  1 r'  1 '' ' λ 2'r  + ' 1 λ  1 '' ' λ 2'r '' λ2 4'2r2  xy Mx (1.83b) Ez = η e'''βr 2 r3  xz r'  1 '' ' λ 2'r  + ' xz λ  1 '' ' λ 2'r '' λ2 4'2r2  Mx = = η e'''βr 2 r3  1 r'  1 '' ' λ 2'r  + ' 1 λ  1 '' ' λ 2'r '' λ2 4'2r2  xz Mx (1.83c) Hx = 0 (1.83d) Hy = ''' z 2λ  1 '' ' λ 2'r  e'''βr r2 Mx (1.83e) Hz = ' y 2λ  1 '' ' λ 2'r  e'''βr r2 Mx (1.83f) 1.2.3 Dipendenza dei campi dalla componente Y del momento In questo caso saranno presenti solamente le componenti lungo l''asse ' y: M = Mx ' x + My ' y + Mz ' z , My ' y 1.2.3 Dipendenza dei campi dalla componente Y del momento 43 Le equazioni (1.76), (1.77) e (1.78) diventano: M ' 'r = y My r (1.84a) ' r ' M ' 'r = '' (xy) 'x + x 2 + z2 ' y '' (yz) 'z  M y r2 (1.84b) ' r ' M = (x 'z '' z 'x) My r (1.84c) Sostituendo le (1.84) nelle (1.73) otteniamo il calcolo esatto dei campi in funzione del momento elementare My: E = η 2'  1 '' ' λ 2'r  y exp ( '''βr) r3  x r ' x + y r ' y + z r ' z  My '' '' ' η 2λ  1 '' ' λ 2'r '' λ2 4'2r2  exp ( '''βr) r3 [ '' (xy) 'x+ + x 2 + z2 ' y '' (yz) 'z  M y = = η exp ( '''βr) 2 r3  y '  1 '' ' λ 2'r   x r ' x + y r ' y + z r ' z  '' '' ' λ  1 '' ' λ 2'r '' λ2 4'2r2  '' (xy) 'x + x 2 + z2 ' y '' (yz) 'z   My (1.85a) H = ' 1 2λ  1 '' ' λ 2'r  exp ( '''βr) r2 (z ' x '' x 'z) My (1.85b) Come nel caso precedente, esplicitiamo le componenti cartesiane: Ex = η e'''βr 2 r3  xy r'  1 '' ' λ 2'r  + ' xy λ  1 '' ' λ 2'r '' λ2 4'2r2  My = = η e'''βr 2 r3  1 r'  1 '' ' λ 2'r  + ' 1 λ  1 '' ' λ 2'r '' λ2 4'2r2  xy My (1.86a) Ey = η e'''βr 2 r3  y2 r'  1 '' ' λ 2'r  '' ' x2 + z2 λ  1 '' ' λ 2'r '' λ2 4'2r2  My 44 Valutazione rigorosa Jeq in link radio (1.86b) Ez = η e'''βr 2 r3  yz r'  1 '' ' λ 2'r  + ' yz λ  1 '' ' λ 2'r '' λ2 4'2r2  My = = η e'''βr 2 r3  1 r'  1 '' ' λ 2'r  + ' 1 λ  1 '' ' λ 2'r '' λ2 4'2r2  yz My (1.86c) Hx = ' z 2λ  1 '' ' λ 2'r  e'''βr r2 My (1.86d) Hy = 0 (1.86e) Hz = ''' x 2λ  1 '' ' λ 2'r  e'''βr r2 My (1.86f) 1.2.4 Dipendenza dei campi dalla componente Z del momento Per completezza, terminiamo questa trattazione matematica inserendo i cam- pi generati dalle componenti lungo l''asse ' z, cos`ı come fatto per gli altri assi nei paragrafi precedenti: M = Mx ' x + My ' y + Mz ' z , Mz ' y Le equazioni (1.76), (1.77) e (1.78) diventano: M ' 'r = z Mz r (1.87a) ' r ' M ' 'r = '' (xz) 'x '' (zy) 'y + x 2 + y2 'z Mz r2 (1.87b) ' r ' M = (y 'x '' x 'y) Mz r (1.87c) 1.2.4 Dipendenza dei campi dalla componente Z del momento 45 Sostituendo le (1.87) nelle (1.73), come nei casi precedenti, otteniamo il calcolo esatto dei campi in funzione del momento elementare Mz: E = η 2'  1 '' ' λ 2'r  z exp ( '''βr) r3  x r ' x + y r ' y + z r ' z  Mz '' '' ' η 2λ  1 '' ' λ 2'r '' λ2 4'2r2  exp ( '''βr) r3 [ '' (xz) 'x'' '' (zy) 'y + x 2 + y2 'z Mz = = η exp ( '''βr) 2 r3  z '  1 '' ' λ 2'r   x r ' x + y r ' y + z r ' z  '' '' ' λ  1 '' ' λ 2'r '' λ2 4'2r2  '' (xz) 'x '' (zy) 'y + x 2 + y2 'z  Mz (1.88a) H = ' 1 2λ  1 '' ' λ 2'r  exp ( '''βr) r2 (x ' y '' y 'x) Mz (1.88b) Esplicitiamo le componenti cartesiane: Ex = η e'''βr 2 r3  xz r'  1 '' ' λ 2'r  + ' xz λ  1 '' ' λ 2'r '' λ2 4'2r2  Mz = = η e'''βr 2 r3  1 r'  1 '' ' λ 2'r  + ' 1 λ  1 '' ' λ 2'r '' λ2 4'2r2  xz Mz (1.89a) Ey = η e'''βr 2 r3  zy r'  1 '' ' λ 2'r  + ' zy λ  1 '' ' λ 2'r '' λ2 4'2r2  Mz = = η e'''βr 2 r3  1 r'  1 '' ' λ 2'r  + ' 1 λ  1 '' ' λ 2'r '' λ2 4'2r2  zy Mz (1.89b) Ez = η e'''βr 2 r3  z2 r'  1 '' ' λ 2'r  '' ' x2 + y2 λ  1 '' ' λ 2'r '' λ2 4'2r2  Mz (1.89c) Hx = ''' y 2λ  1 '' ' λ 2'r  e'''βr r2 Mz (1.89d) 46 Valutazione rigorosa Jeq in link radio Hy = ' x 2λ  1 '' ' λ 2'r  e'''βr r2 Mz (1.89e) Hz = 0 (1.89f) 1.3 Applicazione del metodo rigoroso per la valutazione della Jeq Con la trattazione che segue si applicher`a il nuovo metodo rigoroso di va- lutazione della Jeq tra un''antenna trasmittente, che si chiamer`a Sorgente,
e un''antenna ricevente, che si chiamer`a Harvester. Cos`ı facendo si determi- ner`a il valore della corrente del generatore di Norton (Jeq) da applicare in
parallelo all''ammettenza dell''antenna ricevente per rappresentare gli effetti indotti dall''antenna trasmittente sul sistema ricevente, modello di fonda- mentale importanza per la rappresentazione nei simulatori non lineari degli accoppiamenti tra i due sistemi. Questa indagine sar`a condotta utilizzando, sia in ricezione che in trasmissione, dei dipoli ma, grazie alla linearit`a del pro- blema, i risultati ottenuti potranno essere estesi a qualsiasi situazione (anche collegamenti non convenzionali in campo vicino). La prima parte della se- zione studier`a la discretizzazione migliore del piano Σ per avere una buona convergenza del risultato. Per il calcolo dei campi incidenti sul piano Σ saran- no implementate due metodologie differenti: la prima metodologia prevede l''uso del metodo dei Momenti, calcolando il momento dell''antenna tramite una sua discretizzazione (in questo caso il valore del campo incidente sar`a rigoroso in tutte le zone dello spazio attorno al dipolo, compreso la zona di campo vicino); il secondo metodo prevede l''uso delle forme analitiche chiuse del diagramma di radiazione che sono valide solamente in zona di Fraunhofer. Lo scenario in cui si studier`a la nuova metodologia ipotizza che: 1. l''antenna ricevente sia uguale all''antenna trasmittente (dipoli); 2. ogni antenna abbia il suo sistema di riferimento posto nel rispettivo cen- tro di fase e ogni sistema di riferimento si possa ottenere semplicemente eseguendo una traslazione lungo un asse dell''altro (~x, ~y o ~z); 1.3 Applicazione del metodo rigoroso per la valutazione della Jeq 47 Figura 1.10: Collegamento lungo l''asse Z di due antenne poste sui rispettivi assi Y, paralleli tra loro 3. la direzione del collegamento coincida con l''asse di cui sopra dei due sistemi di riferimento (in figura 1.10 viene utilizzato l''asse ~z) 4. le due antenne si trovino alla distanza 2 '' d; 5. le antenne siano poste sui piani perpendicolari alla direzione di trasla- zione scelta precedentemente; 6. le due antenne siano orientate per il massimo accoppiamento (ossia che il lobo di massima radiazione dell''una sia orientato verso l''altra an- tenna, e viceversa); nei casi specifici che saranno trattati la condizione sar`a sempre verificata in quanto i dipoli sono omnidirezionali nel pia- no contenente il segmento che congiunge le origini dei due sistemi di riferimento; 7. il piano Σ su cui verr`a eseguito il calcolo integrale si trovi alla distanza d dalla Sorgente e, conseguentemente, alla distanza ''d dall''Harvester, secondo i rispettivi sistemi di riferimento; la trattazione non sfrutter`a questa condizione al fine di poter porre il piano su cui verr`a calcolato 48 Valutazione rigorosa Jeq in link radio l''integrale in un qualsiasi punto tra le due antenne; come per`o si evin- cer`a dagli esiti delle prove, la posizione intermedia del piano Σ `e la pi` u conveniente in quanto i valori della Jeq che si ottengono ponendolo in
altri punti non convergono al valore atteso (sono sempre inferiori). 1.3.1 Dipoli Figura 1.11: Disposizione dei Dipoli di lunghezza λ/2 lungo i vari assi. Nei tre casi specifici si potranno associare agli assi (α, γ, κ) rispettivamente le terne (x, y, z), (y, z, x) e (z, x, y). Come anticipato, in questa sezione verranno analizzati i campi creati da dipoli posti sui vari assi cartesiani. Con le opportune sostituzioni, la trattazione pu`o essere ricondotta ad un solo caso in cui chiameremo gli assi cartesiani ' α ,' γ e ' κ . Per riportarci ai tre casi specifici, dove i dipoli saranno posti rispettivamente sugli assi ' x, ' y e ' z come visibile in figura 1.11, saranno necessarie le seguenti sostituzioni: 1. dipolo posto lungo l''asse ' x '' α = x, γ = y, κ = z; 2. dipolo posto lungo l''asse ' y '' α = y, γ = z, κ = x; 3. dipolo posto lungo l''asse ' z '' α = z, γ = x, κ = y; Il dipolo sar`a di lunghezza 2L, corrispondente a λ/2 in termini di lunghez- za d''onda. Le dimensioni delle antenne richiedono il calcolo del Momento 1.3.1 Dipoli 49 Equivalente Esteso in ogni punto del piano/spazio[10]: M (r, θ, ') = y V Ji (Po) r |¯r '' ¯ w | exp [ ''' (|¯r '' ¯ w | '' r)] dVo (1.90) Se trascuriamo la sezione del conduttore del dipolo, l''integrale si pu`o calcolare considerando la sola distribuzione di corrente lungo i rami. In questo caso si definisce[14]:                Ji (Po) = I (αo) ' α =      Io sin [β (L + αo)] ' α α ' 0 Io sin [β (L '' αo)] ' α α > 0 0' α |α| > L ' = 'β Io = '2A exp ( '''βL) (1.91) Quello che si ottiene `e: M (r, θ, ') = ' α +L Z ''L I (αo) r |¯r '' αo' α | exp [ '''β (|¯r '' αo' α | '' r)] dαo = = ' α +L Z ''L I (αo) pα2 + γ2 + κ2 q (α '' αo) 2 + γ2 + κ2 '' '' e h '''β  '' (α''αo) 2+γ2+κ2'' '' α2+γ2+κ2 i dαo = M (α, γ, κ) (1.92) Avendo sostituito r con la sua definizione pα2 + γ2 + κ2. Definendo, per semplicit`a di scrittura, DistA , |¯r '' αo' α |, portando fuori dall''integrale i termini costanti e tornando ad esprimere la distanza del punto P (α, γ, κ) dal centro di fase del dipolo con il termine r otteniamo: M (α, γ, κ) = ' α r e 'βr +L Z ''L I (α) e'''βDistA DistA dαo = = ' α r e 'βr    0 Z ''L Io sin [β (L + αo)] e'''βDistA DistA dαo+ +L Z 0 Io sin [β (L '' αo)] e'''βDistA DistA dαo    (1.93) 50 Valutazione rigorosa Jeq in link radio Calcolo del campo tramite la discretizzazione del Momento Equi- valente Esteso Figura 1.12: Dipolo 2L=lambda/2 suddiviso in 2N parti uguali posto lungo l''asse α Consideriamo il gap dell''alimentazione trascurabile rispetto alle dimensioni dell''antenna e discretizziamo il dipolo, suddividendolo in 2 '' N parti, come si vede in figura 1.12, dove sono indicati i seguenti termini: αh , αo (h) = L N h + L 2N = 2h + 1 2N L h '' [''N; (N '' 1)] (1.94) DistAh , s  α '' 2h + 1 2N L 2 + γ2 + κ2 h '' [''N; (N '' 1)] (1.95) 1.4 Piano Integrale: dimensioni e mesh 51 Per il calcolo dell''integrale si valuter`a la corrente nei punti mediani dei seg- menti che si sono creati dalla discretizzazione del dipolo. Pertanto, l''equazio- ne (1.93) diviene M (α, γ, κ) '' ' α r e 'βr  ( 0 X h=''N Io sin  βL  1 + 2h + 1 2N  e'''βDistAh DistAh L N + + N ''1 X h=1 Io sin  βL  1 '' 2h + 1 2N  e'''βDistAh DistAh L N ) = = ' α L Io r e 'βr N ( 0 X h=''N sin  βL 2 (N + h) + 1 2N  e'''βDistAh DistAh + + N ''1 X h=1 sin  βL 2 (N '' h) '' 1 2N  e'''βDistAh DistAh ) (1.96) Campo approssimato in zona di Fraunhofer Come anticipato all''inizio di questa sezione, qualora ci trovassimo in Zona di Fraunhofer risulterebbe possibile calcolare direttamente i campi prodotti dal dipolo tramite l''applicazione di una forma analitica chiusa ottenuta diretta- mente dal modello del dipolo (e dal suo diagramma di radiazione). Anche in questo caso si ipotizza il dipolo di lunghezza 2L, alimentato al centro da una corrente Io. Le equazioni che descrivono i campi sono le seguenti: E (r, θ, ') = 'ηIo exp ( '''βr) 2'r cos [βL cos (θ)] '' cos (βL) sin (θ) ' θ (1.97a) H (r, θ, ') = 1
η ' r ' E (r, θ, ') = = 'Io exp ( '''βr) 2'r cos [βL cos (θ)] '' cos (βL) sin (θ) ' ' (1.97b) La (1.97) ipotizza il dipolo orientato lungo l''asse ' z. Questo risultato pu`o essere applicato, con una semplice rotazione, anche per i dipoli posti lungo gli altri assi (' x e ' y). 1.4 Piano Integrale: dimensioni e mesh In questa sezione verr`a analizzato il piano su cui eseguire l''integrale super- ficiale: la sua dimensione, la posizione e la suddivisione ottimale. In parti- 52 Valutazione rigorosa Jeq in link radio colare, valutando la distanza che intercorre tra il punto del piano e i centri di fase della sorgente e del ricevitore, si trover`a una formula analitica chiusa per dimensionare opportunamente la suddivisione del piano in funzione della frequenza in uso e della distanza. 1.4.1 Percorso del collegamento e definizione del passo della mesh In questa prima parte si studier`a il collegamento con la tecnica dell''ottica geometrica. Si ipotizza che i raggi partano (e arrivino) dal centro di fase del- le antenne, come visibile in figura 1.13. I punti in cui i raggi intersecano la superficie Σ saranno selezionati per la discretizzazione del piano stesso. La suddivisione del piano avverr`a per cerchi e corone circolari, a loro volta sud- divisi a spicchi. Tutti i punti appartenenti ad una corona circolare saranno equidistanti dai centri di fase delle due antenne. L''unica imposizione riguar- Figura 1.13: Modellizzazione, tramite Ray Tracing, del collegamento tra Sorgente e Harvester der`a la lunghezza dei percorsi: la differenza tra le lunghezze dei raggi di due corone attigue sar`a posta pari a λ/k, dove k indica lo step di discretizzazione che si vuole assumere. Pertanto, sempre facendo riferimento alla figura 1.13, definendo d0 la lunghezza del percorso tra uno dei centri di fase di una an-
tenna e il piano Σ, e d1 quello del primo raggio di lunghezza maggiore, si ha: 1.4.1 Percorso del collegamento e definizione del passo della mesh 53 2 d1 = 2 d0 + λ k '' d1 = d0 + λ 2 k (1.98) procedendo per i raggi successivi si ottiene d2 = d1 + λ 2k = d0 + 2 λ 2k (1.99) d3 = d2 + λ 2k = d0 + 3 λ 2k (1.100) · · · dn = d0 + n λ 2k (1.101) Il raggio rn, che caratterizza la distanza dal punto centrale del piano Σ di
tutti i punti della n-esima corona circolare, varr`a: q d2 n '' d 2 0 = r d2 0 + n 2 λ2 4k2 + 2 n d0 λ 2k '' d 2 0 = = r 2 n d0 λ 2k + n2 λ2 4k2 = nλ k r 1 4 + d0k nλ (1.102) A questo punto `e possibile calcolare il passo della discretizzazione della mesh, ovvero i termini xn come indicati in figura 1.13: xn = rn '' rn''1 = nλ k r 1 4 + d0k nλ '' (n '' 1) λ k s 1
4 + d0k (n '' 1) λ (1.103) Per valori di n molto grandi, i termini fratti sotto radice tendono a 0. Pertanto, per n '' '' si pu`o scrivere: lim n'''' xn '' nλ k r 1 4 '' (n '' 1) λ k r 1 4 '' λ 2k (1.104) Questa soluzione porta a definire, per tutto il piano, un fattore di mesh pari a: xn = λ 2k (1.105) La soluzione `e valida nelle ipotesi su cui `e basata, ossia che il piano si trovi equidistante dalle due antenne in studio. 54 Valutazione rigorosa Jeq in link radio 1.4.2 Piano circolare Una prima scelta sulla mesh del piano, ampiamente descritta nella sezione precedente, prevede una geometria circolare. Con questa geometria sono sta- te eseguite varie simulazioni, sempre impiegando i dipoli come Sorgente e Harvester, per indagare sul passo da scegliere e sulla dimensione del piano Σ per garantire la convergenza della soluzione. ´ E stata provata sia la mesh variabile, definita nella formula (1.103), che la mesh fissa (formula (1.105)), adottando vari valori di k. Escluso il cerchio associato all''origine, negli anelli successivi si `e operata la suddivisione che segue: la prima corona circolare `e stata suddivisa in otto zone, le corone circolari successive aggiungono sempre un numero costante di punti. Dalle prove svolte si `e visto che il numero otti- male di punti da aggiungere `e quattro. La figura 1.13 mostra il caso specifico dove i punti in aggiunta erano otto, condizione che porta velocemente alla crescita del numero totale dei punti da elaborare, con conseguente richiesta eccessiva di risorse per il calcolo dei campi incidenti sul piano Σ. Il nume- ro dei punti di ogni corona circolare si pu`o quindi calcolare con il seguente algoritmo: #P unti1 = 8 (1.106) #P unti2 = 8 + 4 = 12 (1.107) · · · #P untin = #P untin''1 + 4 (1.108) Mesh variabile Per quanto riguarda la mesh variabile, osservabile in figura 1.13, si `e visto che non rappresenta la soluzione ottimale: sicuramente con valori di k molto elevati si ottengono soluzioni raffinate, ma il ridotto numero di punti attorno all''origine del piano Σ, ossia il punto di intersezione tra il piano e il segmen- to d0, moltiplicato per l''area piuttosto grande della circonferenza associata
(rispetto alla discretizzazione delle corone circolari), porta ad avere delle grosse variazioni nel risultato finale. Consideriamo le seguenti condizioni di collegamento: ' due dipoli posti ad una distanza di 200 [mm], 1.4.2 Piano circolare 55 ' operanti a 1 [GHz],
' lunghi λ 2 ' orientati lungo 'z,
' la congiungente dei due centri di fase giace su 'y,
' il campo irradiato viene calcolato per mezzo della (1.88), ovvero della (1.89), ' la Sorgente `e alimentata da una PA = 0.5 [W ] = 27 [dBm],
' il momento dei dipoli calcolato per mezzo della (1.96), con una discre- tizzazione definita da N = 20 (ovvero in 40 parti) La Jeq che si ottiene in funzione del parametro k `e visibile in figura 1.14. Si Figura 1.14: Jeq al variare del parametro k per la discretizzazione della mesh vede chiaramente che il valore finale della Jeq, eccetto il caso particolare per k = 1, decresce al calare di k. Il valore risulta stabile per k ' 30, numero molto alto che impone una discretizzazione del piano Σ molto dettagliata. Il metodo matematico impiegato per calcolare l''integrale superficiale permet- te di valutare la convergenza dell''integrale stesso grazie alla metodologia con cui si `e scelto di discretizzare il piano: i punti sono tabulati partendo dal- l''origine (definita precedentemente), passando alla prima corona circolare e procedendo con le successive, spostandosi verso l''esterno. Questo permette di sospendere il calcolo ogni qual volta si concludono i punti di una corona 56 Valutazione rigorosa Jeq in link radio circolare, e di registrare in un report il valore parziale. Gli andamenti dei risultati parziali, in funzione del numero della corona circolare, sono visi- bili in figura 1.15. Il primo grafico, associato a k = 30, mostra una buona Figura 1.15: Convergenza integrale Jeq con mesh variabile, per k = 30, 5 e 1 convergenza del risultato e un''oscillazione residua limitata. Anche il secondo grafico, associato a k = 5, presenta una discreta convergenza, ma mostra un comportamento anomalo nei primi valori, a conferma dell''importanza di una buona discretizzazione dei punti attorno all''origine del piano Σ, ed un valore finale molto diverso da quello ottenuto con una mesh pi` u fine. Il terzo grafico, associato a k = 1, nonostante il valore finale sia casualmente quello atteso, mostra un andamento molto diverso dai precedenti. ´ E invece positivo il fatto che il primo grafico si presenti come un''oscillazione smorzata, dato 1.4.2 Piano circolare 57 che tale comportamento era quello atteso: di fatto il contributo dei primi anelli `e costruttivo perch´e lo sfasamento relativo dei vari percorsi rimane confinato in un determinato range. Per gli anelli successivi questa condizione non sar`a pi` u soddisfatta, ed il contributo dei raggi non sar`a pi` u costruttivo: si creer`a una variazione negativa nel risultato finale. Il fenomeno si ripete ciclicamente, formando il grafico smorzato ottenuto. L''effetto mostrato `e ben conosciuto in letteratura negli studi sulla diffrazione elettromagnetica, ed `e descritto mediante gli Ellissoidi di Fresnel. L''integrazione parziale che si esegue riproduce il cosiddetto fenomeno della Diffrazione da Apertura Circolare , ossia si comporta come se il piano Σ fosse Figura 1.16: Ellissoidi di Fresnel[20] formato da un conduttore elettrico perfetto, ad esclusione della zona circo- lare su cui si esegue l''integrale. La cosa `e confermata dal valore del raggio per il quale si ha il massimo valore della Jeq: per k = 30 questa condizione
si verifica tra la settima e l''ottava corona circolare, quindi per quei raggi caratterizzati da un ritardo pari a 2 d7 '' 2 d0 = 7λ k = 7λ 30 '' λ 4 '' sfasamento di ' 2 (1.109) Come scritto, la condizione varia nuovamente attorno al ventesimo anello, che corrisponde al segmento d19 (nel grafico si ha il primo punto, associato a d0, sull''ascissa 1): 2 d19 '' 2 d0 = 19λ k = 19λ 30 '' 2λ 3 '' sfasamento di 4' 3 (1.110) 58 Valutazione rigorosa Jeq in link radio Figura 1.17: Diffrazione da apertura circolare[21]: valori del campo in funzione del raggio dell''apertura Il picco positivo si ritrova al trentaduesimo anello: 2 d31 '' 2 d0 = 31λ k = 31λ 30 '' λ '' sfasamento di 2' (1.111) Questo fenomeno `e stato riscontrato anche con passi di griglia differenti e a distanze tra i dipoli differenti. In particolare, se si adotta un valore k = 20 ci si attende il primo massimo per la quinta corona circolare, il primo minimo per la quindicesima corona circolare e il massimo successivo per la ventesima corona circolare: 2 d5 '' 2 d0 = 5λ 20 = λ 4 2 d15 '' 2 d0 = 15λ 20 = 2λ 3 2 d20 '' 2 d0 = 20λ 20 = λ Il fenomeno `e visibile in figura 1.18, dove la distanza tra i dipoli `e rispet- tivamente pari a 2 λ, 10 λ e 20 λ. In tutti e tre i casi si riscontra quanto ipotizzato precedentemente: il primo massimo alla quinta corona circolare, il 1.4.2 Piano circolare 59 primo minimo alla quindicesima corona circolare e il massimo successivo alla ventesima corona circolare. Figura 1.18: Convergenza integrale Jeq con mesh variabile, per k = 20, al variare della distanza tra le antenne: 2λ, 10λ 20λ Mesh fissa (a passo costante) La scelta di adottare una distanza fissa tra i raggi su cui posizionare i punti d''integrazione presenta molteplici vantaggi. In primo luogo permette di sem- plificare l''algoritmo per la discretizzazione del piano Σ, in secondo luogo si ottiene una mesh molto pi` u fine nella regione attorno all''origine del piano dove, normalmente, si concentra un importante contributo del campo. Tutti 60 Valutazione rigorosa Jeq in link radio questi fattori contribuiscono ad ottenere il valore della Jeq con minore incer-
tezza, riducendo il numero di iterazioni necessarie e velocizzando il processo. Lo studio sulla scelta del passo migliore della mesh `e stato condotto a di- stanze dei dipoli differenti, e pi` u precisamente a 200 [mm] e a 2000 [mm]. Le altre condizioni sono analoghe al caso precedente: ' dipoli operanti a 1 [GHz],
' lunghi λ 2 ' orientati lungo 'z,
' la congiungente dei due centri di fase giace su 'y,
' il campo irradiato viene calcolato per mezzo della (1.88), ovvero della (1.89), ' la Sorgente `e alimentata da una PA = 0.5 [W ] = 27 [dBm],
' il momento dei dipoli calcolato per mezzo della (1.96), con una discre- tizzazione definita da N = 20 (ovvero in 40 parti) La Jeq che si ottiene nei due casi, in funzione del parametro k, `e visibile in
figura 1.19. Il risultato dell''integrale, nel caso in cui 2d0 = 200 [mm], rimane
costante per valori di k ' 5, mentre per 2d0 = 2000 [mm] il risultato converge per valori di k ancora pi` u bassi (k ' 2). La convergenza `e stata verificata an- che a frequenze differenti (10 [GHz] con 2d0 = 200 [mm]) ottenendo lo stesso
risultato: k ' 2. Come anticipato, il caso 2d0 = 200 [mm] `e stato studiato anche con la mesh variabile e questo permette di fare alcuni confronti. Intan- to, il valore della Jeq a cui convergono le due metodologie di mesh non `e il
medesimo: per la mesh variabile otteniamo una Jeq = 32.5 [mA], mentre con
la mesh fissa il valore risulta Jeq = 41.9 [mA]. Siccome i risultati sono cos`ı
differenti e, per la frequenza di 1 [GHz] su cui eseguiamo queste simulazioni, la zona in cui abbiamo operato fino ad ora `e di campo vicino, pu`o essere utile considerare un altro collegamento caratterizzato dalla distanza tra le antenne di 2d0 = 10000 [mm] = 10 [m], che garantisce la locazione in zona di Frau-
nhofer l''una dell''altra. Cos`ı facendo risulta possibile calcolare la Jeq anche
tramite l''equazione di Friis[11] trascurando l''attenuazione supplementare: PR = PT gt gR  λ 4'r 2 in forma lineare (1.112) PR = PT + GT + GR + 20 log10  λ 4'r  in dB (1.113) 1.4.2 Piano circolare 61 Figura 1.19: Jeq al variare del parametro k per la discretizzazione della mesh fissa, per d=200[mm] e d=2000[mm] Dal valore della potenza ricevuta si ottiene direttamente il valore della IA
(indicata in figura 1.3): PR = 1
2 VAIA = 1
2 ZRI 2 A '' IA = r 2 PR
ZR (1.114) Tramite l''equazione (1.30), ipotizzando R0 = < {ZR}, risulta possibile otte- nere il valore della Jeq: |Jeq| = |IA (1 + R0Y1)| = IA q (1 + R0 < {Y1}) 2 + (R 0 = {Y1}) 2 (1.115) 62 Valutazione rigorosa Jeq in link radio Ipotizzando Y1 '' R e imponendo anche che R0 = Z1 = 1/Y1 il risultato diviene: |Jeq| = |IA (1 + 1)| = 2 IA (1.116) Ricordando che il dipolo a mezz''onda ha un guadagno di 2.15 [dBi], dalla for- mula di Friis otteniamo PR = ''21.14 [dBm], che corrisponde ad un valore di Jeq pari a 0.918 [mA]. Applicando un fattore k = 30 alla mesh variabile e un
fattore k = 5 alla mesh fissa, imponendo un raggio di 15 [m] al piano Σ, i ri- sultati ottenuti dai due metodi sono rispettivamente 1.14 [mA] e 0.923 [mA]. Come si osserva, il primo risultato (mesh variabile) discosta sensibilmente (24.05%) dal valore ottenuto con la formula di Friis, mentre con la mesh a passo fisso la differenza `e molto piccola (0.51%), a conferma della bont`a di questo metodo di meshing. Inoltre, il valore di k richiesto per una buona con- vergenza risulta differente nei due casi: per la mesh variabile occorre k ' 30 mentre per la mesh fissa `e k ' 5. Il fatto che la mesh variabile necessiti di un k cos`ı elevato rafforza quanto detto in precedenza: occorre una buona discre- tizzazione della superficie attorno all''origine (i primi termini d''integrazione possono condizionare fortemente il risultato complessivo). Come per la mesh variabile, i punti con cui si discretizza Σ sono scelti con il medesimo algoritmo; unica differenza `e, ovviamente, il raggio che risulta fisso, contrariamente a quanto fatto per la mesh variabile. Anche in questo caso, la Jeq viene calcolata riportando e graficando i risultai parziali, come
visibile in figura 1.20. Posizione ottimale del piano Per le conclusioni tratte dai paragrafi precedenti, si `e scelto di operare uni- camente con mesh fissa. La teoria sviluppata fino ad ora `e valida se il piano d''integrazione Σ si trova equidistante dalle due antenne. Ci`o nonostante sono state svolte alcune prove per verificare fino a che punto i risultati sono anco- ra attendibili, mantenendo la stessa griglia e spostandola verso la sorgente o verso l''harvester. Il risultato `e visibile in figura 1.21 e, data la simmetria del sistema, si osserva la specularit`a dei risultati: spostarsi verso la sorgente o verso l''harvester di uguale misura provoca le medesime variazioni sulla Jeq. Le prove sono state eseguite sempre con le condizioni definite in 1.4.2. Per 1.4.2 Piano circolare 63 Figura 1.20: Convergenza integrale Jeq con mesh fissa, per k = 60, 5 e 1 la mesh si `e scelto un passo molto fine: k = 60. Escludendo i risultati a 5 [mm] dalla sorgente o dall''harvester, si nota un calo del valore ottenuto al crescere della distanza del piano d''integrazione dalla posizione centrale. La motivazione pu`o essere trovata sempre riferendosi agli ellissoidi di Fresnel: spostandosi dalla posizione centrale, l''ellissoide di Fresnel riduce il suo raggio e la mesh varia il suo rapporto tra la dimensione della cella e il raggio del pri- mo ellissoide. Il comportamento `e il medesimo che si ha riducendo il numero k che definisce il passo della mesh. Il risultato rimane comunque stabile se lo spostamento del piano resta in un intorno del 10% della posizione centrale. Quanto affermato `e sempre osservabile nei risultati parziali dell''integrazione, visibili in figura 1.22: se il piano `e posto ad una distanza di 5 [mm] da uno 64 Valutazione rigorosa Jeq in link radio Figura 1.21: Andamento complessivo della Jeq al variare della posizione del
piano Σ dei due dipoli si osserva una risposta oscillante gi`a dalle prime integrazioni, sintomo di una griglia sub-ottima. Questo comportamento `e rilevabile fino a valori della distanza da uno dei due dipoli ' 20 [mm]. Figura 1.22: Convergenza integrale Jeq con mesh fissa al variare della posizione del piano Σ dal centro (posizioni 0, 30, 60, 80, 90 e 95) 1.4.3 Piano quadrato 65 1.4.3 Piano quadrato I risultati ottenuti con i piani Σ di forma circolare hanno presentato un in- conveniente, soprattutto quando la distanza tra Sorgente e Harvester inizia a diventare elevata: la convergenza richiede superfici Σ molto grandi. Quanto detto `e gi`a osservabile in figura 1.18, ma un esempio pi` u significativo `e visibi- le in figura 1.23. Dall''inviluppo complessivo (prima immagine) si osserva una Figura 1.23: Convergenza integrale Jeq con piano Σ circolare di raggio 30 [m],
per antenne poste a distanza 2d0 = 9 [m] lenta convergenza al valore atteso. La terza immagine mostra in dettaglio gli ultimi risultati parziali dell''integrale: l''oscillazione rimane confinata tra i valori 1.011 [mA] e 1.032 [mA], ossia una variazione di ±1% attorno al valore medio. Occorre precisare che se le due antenne si trovano in zona di Fraunho- 66 Valutazione rigorosa Jeq in link radio fer `e possibile utilizzare altre metodologie di calcolo per ottenere comunque dei risultati affidabili. Come si vedr`a dalle sezioni successive, il metodo qui esposto diventa efficace e efficiente quando gli altri metodi approssimati ca- dono in difetto. Come si osserva dalla figura 1.24, la scelta di un piano quadrato riduce note- Figura 1.24: Convergenza integrale Jeq con piano Σ circolare, nel primo caso,
e quadrato nei restanti volmente le oscillazioni. La figura figura 1.24 confronta le due metodologie di mesh a parit`a d''area d''integrazione. I dettagli del collegamento sono i mede- simi del caso 1.4.2, a patto che la distanza del collegamento `e di 2000 [mm]. Per la discretizzazione si `e scelto il parametro k = 5 per tutti e tre gli in- tegrali. Per quanto riguarda il caso quadrato, sono state eseguite due mesh 1.4.3 Piano quadrato 67 differenti: la prima utilizza il medesimo passo usato per il raggio del caso circolare mentre la seconda mesh riduce il passo di un fattore '' 2 al fine di imporre lo stesso passo della mesh circolare sulla diagonale della mesh qua- drata. Un dettaglio delle tre mesh `e visibile in figura 1.25. Come anticipato, Figura 1.25: Sovrapposizione mesh circolare e mesh quadrate con i due passi la convergenza con la mesh quadrata, a parit`a d''area d''integrazione, risulta migliore rispetto alla mesh circolare. Non sono presenti vantaggi nell''impor- re il passo pi` u fine in quanto il risultato ottenuto `e il medesimo ma con un impegno maggiore nel calcolo. La scelta della mesh circolare fa s`ı che tutti i punti di ogni circonferenza si trovino in fase tra di loro, dato che la lunghezza del percorso dell''onda `e il medesimo, e questo enfatizza l''oscillazione. La cosa non `e vera per la mesh quadrata: i valori parziali della Jeq saranno intrinsecamente mediati dato che
i percorsi dei singoli punti che formano un anello sono differenti tra di loro. 68 Valutazione rigorosa Jeq in link radio 1.4.4 Dimensioni del piano Non `e stata studiata una regola specifica che associa la distanza tra le anten- ne alla dimensione del piano Σ. Dalle numerose prove che sono state svolte si `e osservato che scegliere il lato del piano LatoΣ = 5 d0, ossia di due volte e
mezzo la distanza tra le antenne, ha sempre dato risultati soddisfacenti. Co- me gi`a mostrato nei paragrafi precedenti, all''aumentare della distanza tra le antenne aumenta anche il livello di ripple sul segnale, pertanto deve aumen- tare anche il rapporto tra la dimensione del piano e la distanza tra le antenne stesse (LatoΣ = 6, 7, 8 · · · d0). Per come `e stato pensato l''algoritmo con cui si definiscono i punti del piano, ossia partendo dal centro ed estendendolo con degli anelli come graficato in figura 1.26, se il risultato non mostra una buona Figura 1.26: Algoritmo per la discretizzazione della superficie Σ quadrata convergenza (cio`e `e ancora presente un livello di ripple elevato) `e possibile estendere il piano in uso aggiungendo semplicemente dei nuovi punti attorno a quelli gi`a presenti, e riprendere il calcolo dell''integrale dal punto in cui ci si era arrestati. 1.5 Applicazione e confronto dei metodi proposti per il calcolo della Jeq 69 1.5 Applicazione e confronto dei metodi pro- posti per il calcolo della Jeq In questa sezione si confronter`a la Jeq ottenuta usando il calcolo appros-
simato (1.67) con quelle ottenute tramite il metodo dell''integrale superfi- ciale e i vari modelli di dipolo (analitico, calcolo del momento e simulato elettromagneticamente). 1.5.1 Dipolo disposto lungo l''asse Z Consideriamo i dipoli orientati lungo i rispettivi assi ~z e i rispettivi centri di fase distanti tra di loro 2 [m]. La frequenza di risonanza dei dipoli sar`a quella usata fino ad ora: 1 [GHz]. Pertanto si avr`a λ del valore di circa 0.29979 [m]. Valuteremo il caso in cui la congiungente dei due centri di fase corrispon- de ai rispettivi assi ' x. Per ovvie ragioni, se la congiungente tra le antenne corrispondesse all''asse ' y il risultato atteso sarebbe il medesimo (sarebbe suf- ficiente effettuare una rotazione dei sistemi di riferimento per passare da una configurazione all''altra, senza cambiare la natura fisica del problema). Metodo A) Calcolo approssimato Tale modello sarebbe valido solamente in Zona di Fraunhofer, ossia se sod- disfatte le condizioni: d >> W = 2L = λ 2 '' 0.15 [m] d >> 2W 2 λ = 8L2 λ = 2λ '' 0.6 [m] ) Zona di Fraunhofer d >> λ ' d > 10λ '' 3 [m]      Campo Lontano (1.117) Avendo scelto d0 = 1 [m], anche se non siamo nella zona di Campo Lontano, il
modello matematico risulta valido in quanto sono soddisfatte le richieste per la Zona di Fraunhofer. Per il calcolo approssimato si richieder`a al simulatore CST MICROWAVE STUDIO R il valore della E inc nei centri di fase dell''altra antenna, ossia ad una distanza di 2 [m] dal proprio centro di fase. I valori ottenuti tramite la formula (1.67) sono: 70 Valutazione rigorosa Jeq in link radio JeqRe [mA] JeqIm [mA] |Jeq| [mA] Arg {Jeq} [ '] 3.13 -1.68 3.55 -28.17 Tabella 1.1: Valori ottenuti dal calcolo approssimato Metodo B) Calcolo Integrale, Modello analitico Anche per il modello analitico valgono le considerazioni fatte nel paragrafo precedente. Pertanto le approssimazioni che si eseguono nel calcolo dei campi sul piano intermedio alla distanza di 1 [m], al fine dell''esecuzione del calcolo integrale definito nell''equazione (1.70), sono trascurabili. Il piano Σ `e stato suddiviso in quadrati di lato 0.025 [m], ossia k = 12, per garantire una buona convergenza. Per il calcolo dei campi sulla superficie Σ si `e applicata l''equa- zione (1.97). I risultati parziali sono visibili nella figura 1.27 sia in funzione dell''area di integrazione (proporzionale al numero di celle) che in funzione del numero di cornici. La dimensione totale della superficie (quadrato di 2.425 [m] di lato, per un Figura 1.27: Convergenza del calcolo Integrale utilizzando i valori dei campi ottenuti dal modello Analitico totale di 50 cornici) ha garantito una discreta convergenza dei risultati. In questo caso si `e ottenuto quanto segue: 1.5.1 Dipolo disposto lungo l''asse Z 71 JeqRe [mA] JeqIm [mA] |Jeq| [mA] Arg {Jeq} [ '] 3.53529 2.4459 4.29892 34.6776 Tabella 1.2: Valori ottenuti con il Calcolo Integrale e il modello Analitico Metodo C) Calcolo Integrale, Modello del Dipolo Discretizzato e applicazione del Metodo dei Momenti Per la valutazione della Jeq si `e ripetuta la procedura indicata nel paragrafo
precedente, esclusi i valori dei campi sostenuti dal trasmettitore e dall''har- vester che sono stati ottenuti per mezzo delle equazioni (1.89) e (1.96). I risultati sono visibili in figura 1.28 e in tabella 1.3. Figura 1.28: Convergenza del calcolo Integrale utilizzando i valori dei campi ottenuti col Metodo dei Momenti JeqRe [mA] JeqIm [mA] |Jeq| [mA] Arg {Jeq} [ '] 3.81917 2.00832 4.31502 27.7378 Tabella 1.3: Valori ottenuti con il Calcolo Integrale e il Metodo dei Momenti 72 Valutazione rigorosa Jeq in link radio Metodo D) Calcolo Integrale, Valori dei campi ottenuti tramite simulatore commerciale CST Per terminare il confronto analizziamo i risultati ottenuti impiegando il simu- latore commerciale CST MICROWAVE STUDIO R . I risultati sono visibili in figura 1.29 e in tabella 1.4. Figura 1.29: Convergenza del calcolo Integrale utilizzando i valori dei campi ottenuti dal simulatore commerciale CST JeqRe [mA] JeqIm [mA] |Jeq| [mA] Arg {Jeq} [ '] 2.64182 3.23003 4.17281 -129.279 Tabella 1.4: Valori ottenuti con il Calcolo Integrale e il simulatore commerciale CST 1.5.2 Confronto risultati Per quanto riguarda l''andamento dell''integrale nei tre casi in cui si valuta l''equazione (1.70), si osserva che la convergenza segue sempre lo stesso an- damento qualitativo. Per il confronto tra i moduli della Jeq raccogliamo tali
valori nella tabella 1.5: 1.6 Misure sperimentali con antenne Patch 73 Metodo Metodo Metodo Metodo A B C D |Jeq| [mA] 3.55 4.29892 4.31502 4.17362 Tabella 1.5: Confronto delle Jeq Tutti i valori ottenuti sono dello stesso ordine di grandezza. I valori ottenuti con l''applicazione della (1.70) sono molto prossimi tra loro, a conferma che i vari modelli impiegati sono equivalenti. Il valore ottenuto con l''applicazione della (1.67) rispetto a quelli ottenuti dalla (1.70) si scosta di circa il 16 %. 1.6 Misure sperimentali con antenne Patch Per verificare la bont`a del metodo descritto fino ad ora, sono state eseguite delle misure utilizzando due antenne Patch operanti a 5.8 [GHz], visibili in figura 1.30. Le antenne sono state costruite su Telnec dello spessore di 1.524 [mm], dal- Figura 1.30: Antenna utilizzata per le misure e diagramma |S11| le dimensioni quadrate di 35 [mm] di lato, caratterizzato da r = 2.08 e
tan δ = 0.0006. Le dimensioni della Patch sono indicate direttamente in fi- gura. L''antenna risuona correttamente alla frequenza per cui `e stata proget- tata, come si pu`o apprezzare dai grafici presenti sempre in figura 1.30 che mostrano la buona corrispondenza tra progetto e misure. Altri parametri che caratterizzano l''antenna sono il guadagno di 7.15 [dB] e l''efficienza di radiazione dell''82%, come visibili in figura 1.31. Sono state svolte misure che 74 Valutazione rigorosa Jeq in link radio Figura 1.31: Diagrammi di radiazione dell''antenna Patch utilizzata per le misure: a sinistra `e mostrato il Guadagno mentre a destra il |E| a 1 [m] di distanza prevedevano: ' collegamento con le antenne patch poste una di fronte all''altra in asse
' collegamento con le antenne patch poste una di fronte all''altra disassate di 100 [mm] In entrambi i casi si `e stimato il valore della Jeq ipotizzando di spostare
le antenne a determinate distanze, come mostrato in figura 1.32. Per quanto riguarda primo caso (antenne in asse) si `e scelto di eseguire le misure a cinque distanze: 1λ, 3λ, 6λ, 10λ e 30λ. Nel caso delle antenne disassate ci si `e limitati ad eseguire le misure in tre zone distinte, ossia in zona di campo vicino, in zona intermedia e in zona di Fraunhofer, ossia per 1λ, 6λ e 30λ. Lo schema di figura 1.33 rappresenta il link del collegamento. In particolare, i due cavi utilizzati per connettere le antenne con i rispettivi strumenti (generatore e analizzatore di spettro, visibili in figura 1.34) introducono, alla frequenza operativa, un''attenuazione supplementare pari a: ' ATX = 5.4 [dB]
' ARX = 2 [dB] Questi valori, cos`ı come i valori dell'' |S11| dell''antenna, sono stati ottenuti tramite l''analizzatore di spettro che implementa al suo interno la possibilit`a 1.6.1 Patch allineate 75 Figura 1.32: Passi eseguiti durante le misure Figura 1.33: Schema a blocchi del collegamento di misurare la ''Two Port Insertion Loss' (perdita d''inserzione) e il ''Return Loss' . La conoscenza di questi dati `e di fondamentale importanza per poter confrontare le misure sperimentali con quanto ipotizzato per via numerica: il Return Loss permetter`a di calcolare l''ammettenza YA dell''antenna (ipotiz-
zando che la parte reattiva alla risonanza sia molto limitata, e possa quindi essere considerata nulla), mentre le attenuazioni supplementari dei cavi per- metteranno di conoscere il valore effettivo delle potenze presenti alle porte delle antenne. Per quanto riguarda i guadagni GTX e GRX assumeremo validi
i valori ottenuti tramite il simulatore elettromagnetico CST MICROWAVE STUDIO R . 1.6.1 Patch allineate Come termine di paragone per il nuovo metodo di misura si `e scelto di uti- lizzare l''equazione (1.67), sia per questa prova che per quella successiva. I valori dei campi da utilizzare per entrambe le equazioni sono stati estrat- 76 Valutazione rigorosa Jeq in link radio Figura 1.34: Strumenti usati per le misure ti direttamente dalla simulazione elettromagnetica di CST MICROWAVE STUDIO R dell''antenna patch. Le misure sono state svolte trasmettendo una portante a 5.8 [GHz] a tre potenze differenti: 0, 5 e 10 [dBm]. I valori misurati in ricezione, come atteso, variano di 5 e 10 [dBm] al rispettivo cre- scere della potenza del generatore; data la linearit`a del sistema, nelle tabelle e nei grafici verranno riportati i valori della potenza ricevuta ipotizzando che il generatore trasmetta 0.5 [W ], ossia 27 [dBm], che `e la stessa condizione con cui vengono eccitate le porte dal simulatore elettromagnetico CST MICRO- WAVE STUDIO R . Inoltre saranno aggiunti altri 5.4 [dBm] per compensare le perdite dovute al cavo di interconnessione tra l''antenna in trasmissione e il generatore. In figura 1.35 `e possibile osservare la misura effettuata con l''a- nalizzatore di spettro quando la distanza tra le antenne patch `e di d0 = λ e il
generatore emette la portante con PTX = 10 [dBm], senza alcuna correzione. I risultati della tabella 1.6 sono visibili in forma grafica nella figura 1.36. Metodo d0 = 1λ d0 = 3λ d0 = 6λ d0 = 10λ d0 = 30λ Approssimato 95.22 34.46 17.38 10.45 3.48 Nuovo Metodo 87.65 33.00 16.91 10.49 3.52 Misurato 87.01 31.18 15.47 8.58 2.14 Tabella 1.6: Confronto delle Jeq con le misure - Antenne Patch in linea Come si osserva sia dalla tabella 1.6 che dalla figura 1.36, i valori dei due metodi sono molto simili, e vengono confermati anche dalle misure. Solo per d0 = λ il nuovo metodo risulta pi` u preciso rispetto all''equazione approssima- ta, che in zona di campo vicino cade in difetto perch´e l''ipotesi di onda piana uniforme non `e pi` u valida. 1.6.1 Patch allineate 77 Figura 1.35: Misura PRX per d0 = λ con PTX = 10 [dBm] Figura 1.36: Confronto tra i valori Misurati di Jeq e quelli calcolati: antenne
allineate 78 Valutazione rigorosa Jeq in link radio 1.6.2 Patch disassate In queste condizioni otteniamo, volutamente, un link la cui direzione `e diver- sa da quella di massima irradiazione delle antenne. Quindi, in questo caso, l''ipotesi di onda piana uniforme non ` e mai valida e l''errore che si com- mette nel ritenerla valida cresce al diminuire della distanza del collegamento. In questo caso, il nuovo metodo risulta pi` u preciso rispetto al metodo ap- prossimato, e le misure visibili sia in tabella 1.7 che in figura 1.37 ne sono la conferma. Metodo d0 = 1λ d0 = 6λ d0 = 30λ Approssimato 3.87 13.19 3.43 Nuovo Metodo 8.02 10.85 2.60 Misurato 7.90 11.50 2.40 Tabella 1.7: Confronto delle Jeq con le misure - Antenne Patch disassate Figura 1.37: Confronto tra i valori Misurati di Jeq e quelli calcolati: antenne
disassate 1.7 Conclusioni 79 1.7 Conclusioni In questo capitolo `e stata descritta la nuova metodologia, fondata sul teore- ma di reciprocit`a e sul teorema di equivalenza, per poter valutare il valore della Jeq del generatore di Norton da applicare alla porta dell''antenna rice-
vente che rappresenta gli effetti prodotti dall''antenna trasmittente. La nuova metodologia `e stata confermata con una campagna di misure. Capitolo 2 Descrizione rigorosa degli effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF Introduzione La produzione di circuiti per applicazioni in radio frequenza richiede processi di ottimizzazione sempre pi` u accurati, precisi e veloci. I processi di progetta- zione attuali si basano sull''ottimizzazione dei singoli componenti del sistema di trasmissione/ricezione, seguiti da aggiustamenti finali che rendono il pro- dotto perfettamente funzionante. Avere a disposizione un simulatore circuitale che riesca a considerare con- temporaneamente tutto il sistema permetterebbe l''ottimizzazione globale del progetto, senza la necessit`a di apportare aggiustamenti una volta assemblati i vari blocchi. Inoltre, costituirebbe uno strumento rigoroso in grado di valuta- re la validit`a o meno dei modelli impiegati nei simulatori di tipo sistemistico, sicuramente pi` u veloci ma meno accurati. Per avere una rappresentazione circuitale corretta di tutti i blocchi che com- pongono il sistema finale, oltre a rappresentare nel modo pi` u rigoroso possi- bile gli elementi radianti e la loro interazione basandosi su quanto indicato nel capitolo precedente, occorre poter considerare tutti i componenti attivi e passivi presenti, comprese le schermature metalliche. La teoria che verr`a illustrata in questo capitolo `e stata pensata per dare una 82 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF risposta a questa problematica, ossia per creare una modellizzazione matema- tica degli effetti del Package sui circuiti che vengono dallo stesso schermati. La rappresentazione degli accoppiamenti elettromagnetici tra circuiti differenti o parti differenti dello stesso circuito avviene nello stesso modo utilizzato fi- no ad ora in qualsiasi radiocollegamento non convenzionale: si rappresentano gli effetti del circuito interferente come Generatori di Norton alle porte del circuito in esame, che si comporta quindi come antenna ricevente dal punto di vista dei campi incidenti su di esso. La teoria qui esposta estende questo concetto, legando le correnti dei generatori di Norton alle grandezze in essere sui circuiti in esame che sono le sorgenti del campo all''interno del Package. Cos`ı facendo, il circuito rappresentato all''interno di un simulatore non-lineare permette di integrare, in maniera rigorosa, gli effetti lineari/elettromagnetici dovuti alla presenza del package. Simulazioni eseguite e risultati Per le simulazioni necessarie per la verifica della nuova teoria sono stati im- piegati i due simulatori commerciali elettromagnetici, CST MICROWAVE STUDIO R e Ansoft HFSSTM , che risolvono i sistemi rispettivamente nel dominio del tempo e della frequenza. Oltre ad essi `e stato usato il simulato- re circuitale non lineari AWR Design Environment 2010 basato sul metodo Harmonic Balance . 2.1 Formulazione teorica del metodo[30] 83 2.1 Formulazione teorica del metodo[30] La presente sezione `e la trattazione teorica sviluppata dal Chiar.mo Prof. Vittorio Rizzoli che, sfruttando la teoria dello scattering e il teorema di reciprocit` a, sta alla base del calcolo dei generatori equivalenti di Norton, oppure della matrice di am- mettenza modificata, per simulare la presenza di un package attorno al dispositivo in esame. Sia dato un circuito integrato a microonde non lineare la cui sotto-rete lineare `e descritta mediante il layout, e si supponga che il circuito sia racchiuso entro un package metallico descritto mediante superficie regolare SP , contorno di un con- duttore metallico perfetto che circonda completamente il circuito. La distanza dei punti di SP dai punti del circuito sia tale da rendere le interazioni significative, e sia grande abbastanza da non consentire una analisi elettromagnetica diretta del circuito racchiuso nel package. Si vuole eseguire l''analisi del circuito con il metodo del bilanciamento armonico tenendo conto della presenza del package 2.1.1 Formule base di reciprocit` a Il metodo di calcolo `e basato sulla combinazione della teoria dei problemi di scattering e dal teorema di reciprocit`a. L''idea base consiste nel descrivere gli effetti della presenza del package ai fini dell''analisi circuitale mediante un insieme di generatori di Norton connessi in parallelo alle device ports. Come in un generico problema di scattering, il campo {E, H} all''interno del package viene descritto come la sovrapposizione di un campo incidente
{Ei, Hi}, irradiato dal circuito in assenza del package (cio`e in spazio libero)
e di un campo diffuso {Es, Hs}, reirradiato dal package. Questo campo reir- radiato sostituisce l''onda piana uniforme incidente sul circuito nel problema di compatibilit`a elettromagnetica, e i suoi effetti vengono rappresentati cir- cuitalmente mediante i generatori di Norton, con una procedura di calcolo concettualmente analoga a quella usata nel caso di onda piana incidente, ma operativamente diversa come descritto nel seguito. Si indichi con JP m la corrente impressa del generatore di Norton connesso a una generica device port (1 ' m ' nD). ´E ovvio che nella situazione qui con- siderata JP m non ` e una costante , ma dipende dal regime elettrico del circuito. Per trovare questa dipendenza, si comincia col considerare una situazione in 84 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF cui tutte le device ports della sotto-rete lineare, salvo la m-esima, vengono cortocircuitate, e il circuito cos`ı ottenuto viene trattato come una ordi- naria antenna monoporta descritta mediante il layout. Il campo incidente
{Eim, Him} in queste condizioni, nonch´e l''impedenza d''antenna ZAm, vengo-
no determinati mediante una ordinaria analisi elettromagnetica dell''antenna in assenza del package e con un confine assorbente. La densit`a di corren- te sulla metallizzazione del circuito nelle stesse condizioni sar`a indicata con JLm (PL). Si pu` o ora pensare di applicare il teorema di reciprocit`a in maniera simile a quanto fatto con le antenne (capitolo 1.1, sezione 1.1.3). Facendo ri- ferimento alla figura 1.2, la situazione ''b' `e quella sopra descritta. L''antenna 1 non `e altro che il circuito visto alla m-esima device port, e il trasmettitore `e semplicemente costituito da un generatore di tensione di forza elettromotrice U e impedenza R0 (livello di impedenza del sistema). Tenendo conto che il verso di riferimento per la corrente Ib `e quello entrante nel trasmettitore, le grandezze elettriche relative alla situazione ''b' sono: Z1 = ZAm (2.1a) ZT = ZR = R0 (2.1b) I b = '' U R0 + ZAm (2.1c) E b (P ) = Eim (P ) (2.1d) Si consideri ora la situazione ''a'. In questo caso l''antenna 2 `e costituita dal package, e la densit`a di corrente impressa Ja non `e altro che la componente della densit`a di corrente superficiale sulla superficie SP che sostiene il campo
diffuso o reirradiato, ovvero J a
i (P2) = JS (PP ) δ (n) = ' n ' HS (PP ) δ (n) (2.2) Nella (2.2), la densit`a di corrente JS (PP ) si intende eccitata sulla superficie
del package dal campo incidente irradiato dal circuito in una situazione di eccitazione del tutto generica, descritta dal vettore delle tensioni alle device ports. Il calcolo di JS (PP ) verr`a eseguito nel prossimo paragrafo. L''antenna 1 `e invece sempre costituita dal circuito con tutte le device ports cortocircuitate tranne la m-esima, e il ricevitore si riduce all''impedenza di normalizzazione R0. Tenendo conto del fatto che il verso positivo per I a `e quello entrante nel 2.1.2 Calcolo della corrente sul package 85 ricevitore, si ha pure I a = '' JP m 1 + R0YAm (2.3) Ricordando che J2 (P2) = J a
i (P2) (2.4) si pu`o far uso direttamente della relazione di reciprocit`a che qui si scrive: (Z1 + ZR) I aIb = y V2 J2 (P2) ' E b (P2) dV2 (2.5) Sostituendo nella (2.5) le equazioni precedenti si ottiene ancora JP m = 1 + R0YAm U x SP JS (PP ) ' Eim (PP ) dSP (2.6) Si noti che la (2.6) `e assolutamente generale e rigorosa, nel senso che la sua validit`a non `e condizionata dall''ipotesi che il package sia posizionato nella zona di Fraunhofer del circuito visto come antenna. Ai fini delle applicazioni, conviene riformulare la (2.6) mediante il campo incidente normalizzato. Os- servato che per la linearit`a del problema il campo {Eim, Him} `e proporzionale a U , si pu`o introdurre la definizione [Eim (P ) , Him (P )] = U [eim (P ) , him (P )] (2.7) dove le lettere minuscole denotano il campo incidente eccitato da un genera- tore di ampiezza unitaria (U = 1V ). Si ha allora JP m = (1 + R0YAm) x SP JS (PP ) ' eim (PP ) dSP (2.8) 2.1.2 Calcolo della corrente sul package Per eseguire questo calcolo si deve valutare il campo complessivo, e qui oc- corre naturalmente una precisazione. Se il simulatore elettromagnetico `e in grado di analizzare regolarmente il circuito racchiuso nel package, allora que- sto calcolo risolve completamente il problema e il metodo qui proposto `e inutile. Se invece l''analisi `e mal condizionata, significa che il simulatore ha 86 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF difficolt`a a rendere contemporaneamente soddisfatte le condizioni al contorno sul layout del circuito e sul package a causa delle differenze di scala tra le due superfici. Per svincolarsi da questa difficolt`a, sembra allora ragionevole fare l''ipotesi che il circuito sia ''visto' dal sistema come una sorgente elementare (a causa delle sue ridotte dimensioni) e quindi il campo complessivo possa essere calcolato per via elettromagnetica come il campo in una cavit`a (quella racchiusa dal package) eccitata da una sorgente elementare (il circuito). Si consideri di nuovo il circuito con tutte le porte cortocircuitate salvo la m-esima, come nella situazione ''b' di figura 1.2 di pagina 23. In queste con- dizioni il momento del circuito visto come antenna elettrica elementare `e dato da M b
m = x SL JLm (PL) dSL (2.9) dove SL `e la superficie metallica del circuito (layout) e PL `e un suo punto
generico. Nelle stesse condizioni, la corrente di alimentazione del circuito `e data dalla terza delle (2.1a) cambiata di segno. Poich´e la sorgente `e vista come elementare, il suo momento `e proporzionale alla corrente di alimentazione, per cui se quest''ultima assume un valore generico Im il momento diviene Mm = M b
m Im Ib (2.10) ossia Mm = Im (R0 + ZAm) U x SL JLm (PL) dSL = = Im (R0 + ZAm) x SL jLm (PL) dSL (2.11) nella quale, analogamente alla (2.7), si `e introdotta la densit`a di corrente normalizzata jLm (PL) definita da JLm (PL) = U jLm (PL) (2.12) Si consideri ora il circuito in presenza del package e in una condizione generica di eccitazione descritta da un vettore di tensioni VDn applicate alle device
ports (1 ' m ' nD). La corrente alla porta m-esima `e data da Im = JP m + nD X n=1 YLmnVDn (2.13) 2.1.2 Calcolo della corrente sul package 87 nella quale i parametri YLmn sono gli elementi della matrice YL calcola-
ta per via elettromagnetica in assenza del package (in quanto gli effetti di quest''ultimo sono introdotti dai generatori JPm). Si noti che ZAm = 1 YLmn (2.14) Il momento complessivo del circuito nella situazione considerata `e quindi la sovrapposizione di nD contributi del tipo (2.12) con correnti di alimentazione
espresse dalle (2.13), e vale M = nD X m=1 Mm = = nD X m=1 (R0 + ZAm) x SL jLm (PL) dSL JP m + nD X n=1 YLmnVDn ! = = nD X m=1 AmJPm nD X n=1 BnVDn (2.15) nella quale si sono introdotti i vettori Am = (R0 + ZAm) x SL jLm (PL) dSL (2.16a) Bn = nD X m=1 YLmnAm (2.16b) Si pu`o ora procedere al calcolo del campo elettromagnetico mediante l''analisi elettromagnetica della cavit`a eccitata da una sorgente elettrica elementare, per i motivi sopra esposti. Indicato con [E (M) , H (M)] (2.17) il campo sostenuto da una sorgente di momento M, per la (2.15) si ha E (P ) = nD X m=1 E (Am) JPm + nD X n=1 E (Bn) VDn (2.18a) H (P ) = nD X m=1 H (Am) JPm + nD X n=1 H (Bn) VDn (2.18b) Il campo incidente `e invece semplicemente una combinazione lineare dei cam- pi {Eim, Him} gi`a introdotti nel paragrafo precedente. Il meccanismo della 88 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF combinazione lineare `e simile a quello utilizzato nella (2.15), salvo che in questo caso JPm = 0 perch´e il campo incidente `e calcolato in assenza del
package. Si ha quindi (Ei, Hi) = nD X m=1 (R0 + ZAm) (eim, him) nD X n=1 YLmnVDn = = nD X n=1 " nD X m=1 YLmn (R0 + ZAm) (eim, him) # VDn = nD X n=1 (en, hn) VDn (2.19) nella quale si sono introdotti i campi vettoriali en (P ) = nD X m=1 YLmn (R0 + ZAm) eim (P ) (2.20a) hn (P ) = nD X m=1 YLmn (R0 + ZAm) him (P ) (2.20b) La densit`a di corrente sul package che sostiene il campo reirradiato `e allora JS (PP ) = ' n ' HS (PP ) = ' n ' [H (PP ) '' Hi (PP )] = = nD X m=1 ' n ' H (Am) JPm + nD X n=1 ' n ' [H (Bn) '' hn (PP )] VDn (2.21) 2.1.3 Calcolo dei generatori di Norton Facendo uso della (2.21) nella (2.8) si ottiene JP m = (1 + R0YAm)    nD X n=1 JP n x SP ' n ' H (An) ' eim (PP ) dSP+ + nD X n=1 VDn x SP ' n ' [H (Bn) '' hn (PP )] ' eim (PP ) dSP    (2.22) (1 ' m ' nD) Nella prima sommatoria a secondo membro della (2.22) si `e cambiato l''indice m in n per chiarezza di linguaggio. Si introducano ora le grandezze (aventi 2.1.4 Osservazioni conclusive 89 il significato di reazioni elettromagnetiche normalizzate) Qmn = (1 + R0YAm) x SP ' n ' H (An) ' eim (PP ) dSP (2.23a) Rmn = (1 + R0YAm) x SP ' n ' [H (Bn) '' hn (PP )] ' eim (PP ) dSP (2.23b) nonch´e le matrici quadrate Q ' [Qmn] (2.24a) R ' [Rmn] (2.24b) le nD equazioni (2.22) si possono allora compattare nell''unica equazione
vettoriale JP = QJP + RVD (2.25) dove si sono introdotti i vettori JP, VD delle correnti di Norton e delle
tensioni alle device ports, rispettivamente, entrambi di dimensioni nD. Dalla
(2.25) si ottiene finalmente la soluzione del problema: JP = [1n D '' Q] ''1 RV D ' DVD (2.26) dove con 1n D si `e indicata la matrice identit`a. Come previsto, le correnti impresse dei generatori di Norton non sono costanti, bens`ı funzioni lineari delle tensioni applicate alle device ports . In pratica, anche ai fini dell''analisi HB, tutto va come se la matrice ammettenza della sottorete lineare non fosse semplicemente Y, bens`ı YT = [1n D '' Q] ''1 R + Y L ' D + YL (2.27) 2.1.4 Osservazioni conclusive Il metodo `e abbastanza complicato da implementare. Tuttavia, dal punto di vista delle analisi elettromagnetiche esso richiede soltanto: 1. la normale analisi elettromagnetica del circuito basata sul layout al fine di determinare la matrice ammettenza e il campo irradiato; 2. due analisi elettromagnetiche della cavit`a eccitata da un elemento di corrente orientato in direzioni x e y, rispettivamente. 90 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF Tutte le altre grandezze si possono ottenere con operazioni lineari ordinarie il cui costo `e irrisorio in confronto a quello delle analisi EM. E'' quindi lecito attendersi che il tempo di calcolo sia ragionevole. Dal punto di vista filosofico, il metodo evita la difficolt`a di dover imporre contemporaneamente le condizioni al contorno sul chip e sul package, cio`e su componenti di dimensioni molto diverse, spezzando il problema EM in due parti. In assenza del package il circuito viene analizzato in maniera or- dinaria nello spazio libero; in presenza del package il circuito viene ridotto a un elemento di corrente. Ci`o presenta il vantaggio di ricondurre un''analisi mal condizionata a due analisi canoniche indipendenti. Cos`ı facendo per`o si introducono due incongruenze di carattere fisico, ovvero: 1. si perde il dettaglio dell''interazione tra il campo complessivo e il Layout circuitale, dal momento che quest''ultimo `e sostituito da un elemento di corrente; 2. si perde l''accoppiamento tra i due aspetti del fenomeno EM, il quale nella realt`a esiste, in quanto il campo reirradiato dal package dipende (attraverso il campo incidente) dal regime elettrico del circuito, che a sua volta viene modificato dall''incidenza sul circuito stesso del campo reirradiato. Il procedimento descritto serve appunto a eliminare queste due incongruen- ze ripristinando la correttezza fisica della descrizione. Per quanto riguarda il primo punto la soluzione `e offerta dalla rappresentazione circuitale degli effetti del package in termini di generatori di Norton attraverso il concetto di scattering e il teorema di reciprocit`a. L''equazione chiave in questo senso `e ovviamente la (2.6). Per quanto riguarda il secondo punto la soluzione `e data dal calcolo del momento attraverso l''analisi del circuito, tenendo conto dell''ef- fetto dei generatori di Norton (ancorch´e incogniti). L''equazione chiave sotto questo punto di vista `e la (2.22), in cui le correnti di Norton vengono espres- se in funzione di se stesse, oltre che dell''eccitazione applicata dall''esterno, reintroducendo cos`ı per via algebrica l''accoppiamento prima eliminato dalla separazione dell''analisi EM. Una volta implementato correttamente, il metodo potrebbe rivelarsi molto utile nella risoluzione di una variet`a di problemi SIP (system in package) 2.2 Procedura Operativa 91 oggi difficili da trattare in modo rigoroso. Si pensi ad esempio (ma `e solo un caso fra tanti) a un sistema multichip in cui un certo numero di chip MMIC sono racchiusi entro un medesimo package. In un caso come questo occorre: calcolare gli accoppiamenti tra i chip e i loro effetti sulla funzionalit`a del sistema (non lineare); determinare la forma pi` u opportuna del package ed eventualmente introdurre in posizioni opportune materiale assorbente per eliminare eventuali effetti nocivi; ecc.. 2.2 Procedura Operativa La seguente sezione illustra le operazioni da svolgere per ricavare le correnti in- cognite dei generatori di Norton partendo da risultati di simulazioni e da calcoli. Verranno applicati i risultati analitici ottenuti nella sezione 2.1. 2.2.1 Quadro complessivo Per risolvere il problema ed ottenere il valore delle correnti, o la nuova matrice YT, risulta fondamentale calcolare (o ottenere tramite simulazioni) i seguenti
termini (nell''ordine): jLm (2.28a) Am (2.28b) Bm (2.28c) [E (M) , H (M)] (2.28d) [eim (P ) , him (P )] (2.28e) [en (P ) , hn (P )] (2.28f) Q (2.28g) R (2.28h) 2.2.2 Estrazioni CST Per quanto riguardano le risposte ai punti ''a', ''d' e ''e' indicati nella equa- zione (2.28), risulta necessario avvalersi di un simulatore elettromagneti- 92 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF co, come CST MICROWAVE STUDIO R o come Ansoft HFSSTM . Come indicato nella sezione 2.1, occorrer`a simulare: ' il singolo DIE in spazio libero, con la condizione al contorno di piano elettrico in corrispondenza della metallizzazione inferiore del substra- to e la condizione di radiazione nelle restanti superfici che delimitano il volume d''integrazione del simulatore. Inoltre occorre distanziare op- portunamente il confine superiore dalle piste (dimensione paragonabile alla lunghezza d''onda maggiore in gioco) ' il singolo package eccitato da due elementi di corrente (riferiti come massa al package stesso) in direzione x e y (piano su cui deve trovarsi il layout del DIE), appoggiati sopra ad un piccolo parallelepipedo delle dimensioni e dello stesso materiale del substrato del DIE. Correnti superficiali Dalla prima simulazione sar`a possibile ottenere le distribuzioni di corrente superficiali del layout al fine di calcolare, per mezzo di un''ulteriore proce- dura, i momenti equivalenti delle sorgenti (porta per porta), ossia ricavare Am e, successivamente, Bn (rispondere ai punti, in ordine, (2.28a), (2.28b) e
(2.28c)). CST MICROWAVE STUDIO R permette di estrarre i valori del campo ma- gnetico in prossimit`a dei conduttori, campo dal quale si pu`o ottenere il valore della corrente superficiale. ´ E stata realizzata un''opportuna macro in Visual Basic for Applications (VBA) che, una volta definite le aree in cui suddivi- dere i conduttori e i rispettivi punti in cui calcolare la corrente superficiale, calcola il momento equivalente totale restituendo l''integrale superficiale. Tale procedura pu`o eseguire l''integrale di superficie sul campo E, sul campo H o sulle Js a seconda delle scelte operate nelle finestre di dialogo. Ricordando
che la corrente superficiale (indotta o impressa) interviene come termine di discontinuit`a tra due materiali omogenei (in questo caso mediamente sono aria e conduttore), e che soddisfa la seguente equazione[7], gi`a introdotta come (2.2): JS = 'in ' H (2.29) 2.2.2 Estrazioni CST 93 risulta possibile calcolare il termine Am modificando la (2.16a) come segue: Am =  Amx'i+ Amy'j  = (R0 + ZAm) x SL jLm (PL) dSL = = (R0 + ZAm) x SL 'i n ' H (PL) dSL = = (R0 + ZAm) x SL ' k ' h Hx (PL)'i+ Hy (PL)'j i dSL = = (R0 + ZAm)   x SL Hy (PL)'idSL '' x SL Hx (PL)'jdSL   (2.30) dove si `e posto JS = jLm, 'in = ' k e posizionato il DIE sul piano xy con la normale rivolta come l''asse z. Il termine Bn, invece, si ottiene direttamente
dalla (2.16b), una volta estratto dal simulatore la matrice Y del DIE. La procedura sul campo magnetico si `e resa necessaria in quanto CST MI- CROWAVE STUDIO R non esegue direttamente l''integrale superficiale delle correnti, al contrario di altri simulatori come Ansoft HFSS TM . Pertanto, si fa eseguire a CST MICROWAVE STUDIO R l''integrale delle componenti 'x e ' y del campo magnetico H in prossimit`a dei conduttori (alle frequenze che eccitano i modi risonanti nella cavit`a o a altre frequenze di interesse) e, una volta ottenuti i valori, si eseguono le seguenti associazioni: ( jLm x = ''Hy jLm y = Hx (2.31) Queste operazioni sono svolte dalla macro scritta per CST MICROWAVE STUDIO R , sopra citata. Campo incidente sul package: estrazione da CST del campo vicino Per conoscere i valori del campo incidente sul package prodotto dal DIE `e stata scritta una nuova macro in VBA che permette di ricavare da CST MICROWAVE STUDIO R i valori di E e H in punti elencati in un appo- sito file indicato nella procedura. In realt`a, questa macro `e gi`a stata usata nel capitolo 1, perch´e con essa si calcolavano i valori dei campi per l''inte- grale superficiale per il calcolo della Jeq ampiamente descritto. La macro
ottiene i valori dei campi sfruttando la funzione per il calcolo del Farfield 94 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF di CST MICROWAVE STUDIO R , richiedendo espressamente di non ap- plicare le approssimazioni per il campo lontano . Per la modellizzazione del package occorrer`a far eseguire l''estrazione dei campi in punti ben definiti gia- centi sulla superficie interna del package. La funzione di CST MICROWAVE STUDIO R risponde con tutte le componenti del campo E (e del campo H) in coordinate sferiche: la nuova macro provvede alla loro conversione in coor- dinate cartesiane. Considerando il campo E come appartenente ad una sfera di raggio ' r si ha: ei (θ, ', r = ' r ) = Eiθ (θ, ', ' r ) ' θ + Ei' (θ, ', ' r ) ' ' + Eir (θ, ', ' r ) ' r (2.32) la conversione in coordinate cartesiane porta ad avere (nei punti (x, y, z) associati al raggio ' r ): " Eiθ zx px2 + y2 + z2px2 + y2 ' x + zy px2 + y2 + z2px2 + y2 ' y+ '' px2 + y2 px2 + y2 + z2 ' z ! + Ei' '' y px2 + y2 ' x + x px2 + y2 ' y ! + +Eir x px2 + y2 + z2 ' x + y px2 + y2 + z2 ' y + z px2 + y2 + z2 ' z !# = = Eix (x, y, z) ' x + Eiy (x, y, z) ' y + Eiz (x, y, z) ' z (2.33) in definitiva si ottengono le seguenti relazioni:            Eix = Eiθ zx '' x2+y2+z2 '' x2+y2 '' Ei' y '' x2+y2 + Eir x '' x2+y2+z2 Eiy = Eiθ zy '' x2+y2+z2 '' x2+y2 + Ei' x '' x2+y2 + Eir y '' x2+y2+z2 Eiz = ''Eiθ '' x2+y2 '' x2+y2+z2 + Eir z '' x2+y2+z2 (2.34) Campo presente in una cavit` a alle frequenze di risonanza La simulazione del package permette di ottenere il campo al suo interno in funzione del momento M, ossia dare risposta al punto (2.28d). Terminate le simulazioni `e sufficiente estrarre i valori dei campi in corrispondenza del package ed elaborarli opportunamente, data la linearit`a del problema, per ottenere i termini da inserire nella (2.23) che fornisce i termini della matrice incognita. 2.2.3 Elaborazioni 95 La simulazione va eseguita collocando, nella posizione in cui andr`a posto il DIE, un parallelepipedo delle dimensioni e del materiale dielettrico del sub- strato del DIE e un piccolo cilindro ad esso appoggiato, caricato all''estremit`a opposta della porta d''alimentazione con una resistenza da 50 [']. Tale cilin- dro svolge le veci di un dipolo elementare. Per i progetti su cui `e stato testato questo metodo si `e utilizzato un cilindro in PEC della lunghezza di 1 [mm] e del diametro di 0.25 [µm]. La simulazione va eseguita orientando il cilindro prima nel verso dell''asse x e poi nel verso dell''asse y, dato che si considera il DIE adagiato sul piano xy. I valori del campo che si ottengono possono cos`ı essere associati, rispettivamente, ai campi che sostengono le componenti JSx
e JSy delle correnti superficiali del DIE.
Le varie frequenze di risonanza possono essere calcolate usando la seguente espressione: 'm,n,k = 1 '' µ00 s  m' a 2 +  n' b 2 +  k' d 2 (2.35) Con la simulazione del package si ottengono i valori del campo H sui punti precedentemente scelti sulle pareti del package; tali punti devono coincidere con quelli in cui viene richiesto il farfield (campo incidente in assenza di package). 2.2.3 Elaborazioni I dati estratti numericamente sono frutto di simulazioni eseguite imponendo sui circuiti in esame condizioni di alimentazione e carico differenti da quanto previsto dalla teoria descritta in questa tesi: occorre quindi normalizzare o adattare tali valori prima di poterli utilizzare nelle formule precedentemente descritte. Elaborazione dei dati estratti: Campi e Correnti superficiali I risultati fino ad ora ottenuti, esclusi quelli relativi al solo package, fanno ri- ferimento a condizioni di prova differenti da quelle illustrate nella sezione 2.1, ovvero i DIE non vengono alimentati come richiesto nel caso di matrice Y (generatore di tensione alla porta eccitata e cortocircuiti alle porte non ec- citate) ma sono simulati con le condizioni della matrice S (porta d''alimen- 96 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF tazione caratterizzata da una impedenza pari a Z0 e porte non alimentate
caricate con la stessa impedenza di normalizzazione, che mediamente vale Z0 = R0 = 50 [']). Pertanto, i valori dei fields ottenuti non possono essere
usati direttamente, ma devono essere rielaborati al fine di ottenere le stesse condizioni richieste dalla teoria (alimentazione per la matrice Y). Per rendere pi` u chiaro questo concetto occorre un''ulteriore precisazione. I si- mulatori provvedono (secondo la definizione di matrice S) all''alimentazione del circuito n-porte mediante n analisi successive; ad ogni analisi una sola porta viene eccitata da un segnale ad una potenza prestabilita (CST usa 0.5 [W ]) e fornisce la misura della potenza uscente (o riflessa) a tutte le por- te. Una volta eseguite tutte le n- simulazioni si `e a conoscenza della potenza uscente da ogni porta in funzione di quella entrante in un''altra o nella stessa. Da qui `e possibile risalire all''intensit`a d''onda incidente (a) e riflessa (b) alle porte. Non solo, conoscendo i vari complessi di a e b `e ossibile ottenere le tensioni e le correnti alle porte (purch´e porte TEM). Se partiamo dal caso semplice di una sola porta valgono le seguenti espressioni[18]:    a = 1
2  V '' Zc + I '' Zc  b = 1
2  V '' Zc '' I '' Zc  (2.36) Si pu`o estendere il caso a un N-porte generico (la definizione si riferisce alla sola porta i-esima):    ai = 1
2  Vi '' Zci + Ii '' Zci  bi = 1
2  Vi '' Zci '' Ii '' Zci  (2.37) Ora occorre esprimere a in funzione di V, in modo da poter alimentare il circuito mediante una sola porta con 1V e far s`ı che tutte le altre abbiano tensioni nulle, al fine di ottenere la stessa condizione necessaria per la de- scrizione della matrice Y. Il legame lineare che si trova tra le tensioni e le intensit`a d''onda ai sar`a estendibile a tutti i risultati ottenuti dalle simula-
zioni (campi, correnti superficiali, etc.). Per prima cosa rimuoviamo la dipendenza dalla corrente In sommando tra
di loro le due equazioni della (2.37). Se ripetiamo l''operazione per tutte N le 2.2.3 Elaborazioni 97 porte otteniamo il seguente sistema:                      a1 + b1 = V1 '' Zc1 a2 + b2 = V2 '' Zc2 . . . ai + bi = Vi '' Zci . . . aN + bN = VN '' ZcN (2.38) Esprimendo i termini bn in funzione di am, ricordando che b = Sa, si ha:                      a1 + PN m=0 S1mam = V1 '' Zc1 a2 + PN m=0 S2mam = V2 '' Zc2 . . . ai + PN m=0 Simam = Vi '' Zci . . . aN + PN m=0 SN mam = VN '' ZcN (2.39) Esprimendola in forma matriciale si ha 1N ' a + S ' a = (1N + S) ' a = G ' V (2.40) avendo definito G = diag  1 '' Zci  V = [V1; V2; . . . ; Vi; . . . ; VN ] T a = [a1; a2; . . . ; ai; . . . ; aN ] T 1N = diag [1] (matrice identit`a) Dalla formula (2.40) `e possibile ricavare il legame tra le tensioni alle porte e i rispettivi valori dei termini ai da utilizzare: a Y = a = (1N + S) ''1 ' G ' V (2.41) 98 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF Elaborazione correnti superficiali Siccome esiste una dipendenza lineare tra le correnti superficiali calcolate dalle simulazioni e le eccitazioni alle porte usate per ottenerle, `e possibile normalizzare tali correnti e combinarle tra loro, moltiplicandole per i coef- ficienti necessari (che si ricavano dalla (2.41)) per ottenere il valore della corrente superficiale che si avrebbe nelle condizioni di eccitazione per la ma- trice Y precedentemente descritte. In sostanza, applicando la relazione (2.42) otteniamo la corrente superficiale che si avrebbe qualora il circuito fosse ali- mentato da un generatore di tensione a 1V ad una sola porta (j-esima) con tutte le restanti porte cortocircuitate: J Y
L (j) = N X i=1 J ai
L aY i(j) ai = N X i=1 J ai
L aY i(j) ' a ''
i |ai| 2 (2.42) Come gi`a anticipato, CST MICROWAVE STUDIO R eccita i circuiti con una potenza di 0.5 [W ] e senza sfasamenti, salvo diverse indicazioni in fase di impostazione della simulazione. Pertanto vale la seguente uguaglianza[19]: 1
2 [W ] = 1
2 |ai| 2 '' ai = 1 (2.43) Inoltre, come gi`a anticipato, si definiscono le impedenze alle porte ugua- li tra loro e di valore reale: Z0 = R0 = 50 [']. Pertanto la matrice G
si semplifica e diviene una matrice diagonale con tutti i termini uguali a 1 '' 50 '' 0.1414213562. In definitiva, il calcolo delle correnti superficiali (e dell''integrale di esse) nelle condizioni d''eccitazione tipiche della matrice Y valgono: J Y
L (j) = N X i=1 J ai
L a Y
i(j) = N X i=1 J ai
L N X j=1 (1N + S) ''1 ' G ij Vj = = N X i=1 J ai
L (1N + S) ''1 ' G ij (2.44) dove si `e assunto Vj = [0; 0; . . . ; 1; . . . ; 0], ossia nullo in tutte le componenti
tranne la j-esima che assume il valore unitario. 2.2.3 Elaborazioni 99 Elaborazione Campi Incidenti Tutti i ragionamenti fatti sulle correnti superficiali si possono riportare di- rettamente anche sui campi, grazie alla linearit`a del problema. Pertanto `e possibile mostrare direttamente il risultato finale, del tutto analogo a quanto indicato nella (2.44): e Y
i (j) = N X k=1 e ak
i a Y
k(j) = N X k=1 e ak
i (1N + S) ''1 ' G kj (2.45a) h Y
i (j) = N X k=1 h ak
i aY k(j) '' 2 = N X k=1 h ak
i (1N + S) ''1 ' G kj (2.45b) Impostazioni delle simulazioni del package I risultati ottenuti dalle simulazioni del package si riferiscono, come descritto in precedenza, al campo sostenuto dall''elemento infinitesimo inserito all''in- terno del package stesso. Per l''applicazione del metodo per la modellizzazione del package occorre ottenere il valore del campo nel Package che si avrebbe qualora fossero le correnti superficiali del DIE ad eccitarlo. Se indichiamo col termine H (Mx) i risultati ottenuti eccitando il package
con il dipolo infinitesimo posto parallelo all''asse x e, analogamente, H (My)
i risultati ottenuti eccitando il package con il cilindro posto parallelo all''asse y , allora il campo magnetico sul package pu`o essere ottenuto in funzione dei momenti sul DIE (ossia rispondendo al punto (2.28f)) applicando le seguenti relazioni: H (Amx) = H (Mx) Amx Mx (2.46a) H (Amy) = H (My) Amy My (2.46b) Il momento elementare del dipolo che eccita la cavit`a pu`o essere approssimato come segue: Mx = IL'i (2.47) 100 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF dove per`o `e complicato il calcolo della corrente I. Pertanto conviene ottenere tale corrente direttamente dalla simulazione. Il momento elementare varr`a: Mx = x Sdip Js exp n ' ~ w ''ir o dSL '' x Sdip JsdSL '' x Sdip JsxdSL = = x Sdip < [Jsx] dSL + ' x Sdip = [Jsx] dSL = {< [Mx] + '= [Mx]}'i (2.48) dove Sdip corrisponde alla superficie del dipolo. La combinazione delle (2.46)
con la (2.48) risolve il punto (2.28f)), ossia il calcolo del campo all''interno del Package sostenuto dalle correnti presenti sul DIE. Calcolo delle matrici Q e R Gli ultimi termini da calcolare sono le matrici Q e R, ossia i punti (2.28g) e (2.28h). Si applicano direttamente le equazioni descritte nella sezione 2.1. In particolare, occorrer`a implementare in un qualsiasi software le equazio- ni (2.20a) e (2.20b), qui riportate per chiarezza: en (P ) = nD X m=1 YLmn (R0 + ZAm) eim (P ) (2.49a) hn (P ) = nD X m=1 YLmn (R0 + ZAm) him (P ) (2.49b) Si ricorda che per quanto riguarda i termini (eim, him) occorre usare i valori
rielaborati secondo quanto indicato nella sessione 2.2.3 di questo capitolo. I valori ottenuti dall''equazioni (2.20) (ossia dalle (2.49)) possono essere inse- riti direttamente nella (2.23b) assieme al campo sostenuto dal package e al campo incidente opportunamente trattato, ottenendo cos`ı la matrice R. Rmn = (1 + R0YAm) x SP ' n ' [H (Bn) '' hn (PP )] ' eim (PP ) dSP (2.50) Per la matrice Q, invece, `e possibile applicare direttamente la (2.23a), che per chiarezza `e riportata di seguito: Qmn = (1 + R0YAm) x SP ' n ' H (An) ' eim (PP ) dSP (2.51) 2.3 Risultati delle simulazioni del Package 101 In conclusione, note le matrici Q e R `e possibile calcolare sia le correnti dei generatori di Norton tramite la (2.26), o la matrice ammettenza YT
comprendente il package tramite la (2.27). Le due equazioni risultano: JP = [1n D '' Q] ''1 RV D ' DVD (2.52a) YT = [1n D '' Q] ''1 R + Y L ' D + YL (2.52b) 2.3 Risultati delle simulazioni del Package Nella seguente sezione saranno mostrati i risultati delle simulazioni del package, con particolare attenzione al piano z = zmax alle frequenza di risonanza 7 e 21 [GHz]. 2.3.1 Dimensioni del package Per poter verificare l''interazione del package con un DIE si `e scelto di dimen- sionare il Package in maniera tale che la prima frequenza di risonanza e la sua terza armonica cadano entro la banda di funzionamento dei circuiti am- plificatori considerati. Inoltre si `e cercato un compromesso nelle dimensioni affinch´e le distanze tra DIE e package non siano n´e troppo piccole (altrimen- ti sarebbero preponderanti gli effetti capacitivi), n´e troppo grandi (e quindi distanti dal caso reale). I risultati che si ottengono, dopo aver eseguito tut- te le operazioni descritte nella sezione 2.2, vengono trattati da simulatori non lineari basati sul metodo Harmonic Balance. Per analizzare gli effetti del Package risulta sufficiente estrarre informazioni solamente alle frequenze vicine alla frequenza di risonanza e alle sue armoniche, dato che `e plausibile attendersi interazioni circuito-Package soprattutto attorno a esse. Scegliendo come armonica fondamentale la frequenza di 7 [GHz], imponendo che una dimensione del package sia ininfluente e che le altre due siano uguali tra loro (Package a base quadrata), dalla (2.35): m = 0; n = 1; k = 1; b = d '0,1,1 = ' b r 2 µ00      b = ' '0,1,1 r 2 µ00 = 1 2 '' fc 0,1,1 r 2 µ00 (2.53) Ricordando che µ0 ' = 4' '' 10 ''7  H m  e che 0 ' = 8.85 '' 10 ''12  F m  si ottiene: b '' 1 2 '' 7 '' 109 r 2 4' '' 10''7 '' 8.85 '' 10''12 '' 30.291 [mm] (2.54) 102 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF Per cercare di soddisfare tutte le ipotesi iniziali si `e scelto di definire l''altezza del package pari a 10 [mm], ossia zMAX [mm]. Pertanto il package `e a forma
di parallelepipedo, di dimensioni 30.291 X 30.291 X 10 [mm], come visibile in figura 2.1 Figura 2.1: Package Frequenze di risonanza Se si calcolano le frequenze di risonanza della cavit`a utilizzando sempre la formula (2.35) e si graficano, associando un asterisco ad ognuna di esse, si ottiene la figura 2.2. Le analisi, come anticipato, si concentrano solo attorno alla frequenza fon- damentale e alle sue armoniche e qualora il DIE venisse progettato per ope- rare su bande contenenti altre frequenze di risonanza occorrer`a, ovviamente, 2.3.2 Grafici dei campi ottenuti a 7 e 21 GHz 103 Figura 2.2: Frequenze di risonanza nominali del package (senza il parallelepipedo di dielettrico al suo interno) estrarre i dati relativi al package attorno a queste altre frequenze. Nella tabella 2.1 sono elencati alcuni valori. m n k frequenza [GHx] m n k frequenza [GHx] 0 1 1 7.000 0 1 3 15.653 0 2 1 11.068 0 2 3 17.847 0 3 1 15.653 0 3 3 21.000 0 4 1 20.408 0 4 3 24.749 0 1 2 11.068 0 1 4 . . . Tabella 2.1: Alcune frequenze di risonanza nominali del package (senza il parallelepipedo di dielettrico al suo interno) 2.3.2 Grafici dei campi ottenuti a 7 e 21 GHz Per calcolare i valori dei campi all''interno del Package sostenuti dal dipolo infinitesimo si `e proceduto utilizzando due simulatori elettromagnetici: CST MICROWAVE STUDIO R e Ansoft HFSSTM . Il primo simulatore, CST MI- CROWAVE STUDIO R , calcola il campo presente nel dominio d''integrazio- ne mediante il metodo Finite-Difference Time-Domain (FDTD), quindi nel 104 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF dominio del tempo (alimenta la struttura dalle porte indicate al simulatore e studia la propagazione del campo al passare del tempo). Ansoft HFSS TM , invece, `e un simulatore elettromagnetico basato sul Finite-Element-Method (FEM) e risolve il sistema nel dominio della frequenza. Per problemi riso- nanti, come quello che tratteremo con il Package, risulta pi` u adatto il metodo usato da Ansoft HFSS TM . Le simulazioni sono state eseguite su un computer con le seguenti caratteri- stiche: ' Processore: Pentium 4
' Clock: 2.53 [GHz]
' Ram: 1.5 [GB]
' HD: 160 [GB] EIDE Risultati di CST I risultati che si ottengono con CST MICROWAVE STUDIO R , versione CST STUDIO SUITE TM 2010.02, sono qualitativamente analoghi a quelli ot- tenuti da Ansoft HFSS TM , che vedremo di seguito. Come anticipato, CST MICROWAVE STUDIO R eccita la cavit`a con un segnale a Banda Larga e risolve il problema di Maxwell nel dominio del tempo. Il termine delle simula- zioni avviene qualora l''energia del sistema arriva al di sotto di un determinato valore, impostabile come indicato dalla casella in giallo nell''immagine 2.3, op- pure se `e trascorso troppo tempo, misurato in numero di cicli (la durata del ciclo `e dettata dalla durata dell''impulso che eccita il circuito, casella in gial- lo nell''immagine 2.4). Durate le simulazioni `e possibile controllare il valore dell''energia residua del sistema. Non essendo presenti elementi dissipativi (sia le pareti del package che il dipolo sono costituiti di PEC ), l''energia che la cavit`a immagazzina per effetto della risonanza rimane quasi costante nel tempo, e quindi non si riesce a soddisfare la richiesta di CST MICROWAVE STUDIO R di minima energia per l''arresto della simulazione, come mostrato in figura 2.5, e il termine delle simulazioni avviene per time-out. La durata delle simulazioni, come si vedr`a in seguito, risulta notevolmente superiore rispetto quella di Ansoft HFSS TM . Ci`o `e dovuto alle condizioni che determinano l''arresto delle simulazioni, ovvero il numero massimo di ci- cli (con 1000 cicli il PC descritto in questa sezione ha impiegato mediamente 2.3.2 Grafici dei campi ottenuti a 7 e 21 GHz 105 Figura 2.3: Settaggio parametro minima energia per il termine della simulazione Figura 2.4: Settaggio parametro massimo tempo per il termine della simulazione 75 ore), dato che il valore dell''energia residua non `e mai sceso sotto la so- glia impostata. Nonostante l''andamento qualitativo del campi sia analogo a quanto si ottiene con Ansoft HFSS TM , i valori numerici variano sensibilmen- te a seconda del numero di cicli massimo impostato. Comunque, a parit`a di condizioni di simulazione i risultati ottenuti con l''eccitazione lungo x sono analoghi a quanto ottenuto con l''eccitazione lungo y. 106 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF Figura 2.5: andamento dell''energia durante la simulazione e al suo termine per Time-Out Occorre osservare che con il metodo FDTD non viene discriminata bene la frequenza di risonanza in quanto i valori dei campi alle frequenze adiacenti ad esse sono simili. A causa di questi inconvenienti, si `e deciso non usare i campi all''interno del 2.3.2 Grafici dei campi ottenuti a 7 e 21 GHz 107 package ottenuti con CST MICROWAVE STUDIO R . Risultati di HFSS La versione di Ansoft HFSS TM `e la 11.0 del 18 Luglio 2007. Il tempo totale della simulazione del package `e di 14 minuti e 52 secondi, con 5 passaggi per la convergenza del valore di S a 40 [GHz] (modifica della mesh affinch´e la variazione tra una simulazione e l''altra non risultasse superiore a 0.02), ottenendo in totale 13987 tetraedri. Come gi`a indicato precedentemente, si eccita la cavit`a con un dipolo infinitesimo (1 [mm] di lunghezza) adagiato sopra ad un supporto delle dimensioni e del materiale utilizzato per il sub- strato del DIE. Questo perch´e la sua presenza all''interno del package altera lievemente la frequenza di risonanza del sistema. I valori dei campi ottenuti hanno evidenziato gli effetti della risonanza, ovviamente, sia in termini di campo magnetico che di campo elettrico. Sono stati esportati i valori dei campi alle frequenze: ' da 6.990 a 7.010 [GHz] a passi di 1 [MHz]
' da 13.980 a 14.020 [GHz] a passi di 2 [MHz]
' da 20.970 a 21.030 [GHz] a passi di 3 [MHz] sia per quanto riguarda la simulazione del package con eccitazione lungo l''asse x , che con l''eccitazione lungo l''asse y. In entrambi i casi i risultati ottenuti sono significativi soprattutto alle frequenze di 6.996 e 20.988 [GHz] mentre gi`a alle frequenze adiacenti i valori risultano pi` u piccoli di almeno un ordine di grandezza, come visibile nelle figure 2.6, 2.8, 2.10, 2.12, 2.7, 2.9, 2.11 e 2.13 che rappresentano tali campi a parit`a di fondo-scala. Pertanto, nonostante i valori numerici dei campi a 14 [GHz] siano stati estratti e utilizzati per il calcolo delle matrici YT, non verranno rappresentati graficamente in questo
capitolo perch´e poco significativi. Inoltre sono state graficate solamente le componenti principali dei modi della cavit`a in quanto le altre componenti hanno valori molto inferiori. I modi eccitati sono i TE0,1,1 e del TE0,3,3. Nelle immagini che seguono,
pertanto, sono visibili le sole componenti principali dei modi, ossia Ez, Hx e Hy: in particolare si hanno valori maggiori nelle componenti reali del campo
E e nelle componenti immaginarie del campo H. Questo vale ad entrambe le 108 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF frequenze e per entrambe le eccitazioni del package. Si ricorda che le equazioni che definiscono il campo all''interno della cavit`a sono: hxm,n,k = C1 γm,n k2 c m,n m' a sin  m'x a  cos  n'y b  sin  k'z d  (2.55a) hy m,n,k = C1 γm,n k2 c m,n n' b cos  m'x a  sin  n'y b  sin  k'z d  (2.55b) hzm,n,k = C1 cos  m'x a  cos  n'y b  sin  k'z d  (2.55c) exm,n,k = C1 ''µ k2 c m,n n' b cos  m'x a  sin  n'y b  sin  k'z d  (2.55d) ey m,n,k = ''C1 ''µ k2 c m,n m' a sin  m'x a  cos  n'y b  sin  k'z d  (2.55e) ezm,n,k = 0 (2.55f) 2.3.2 Grafici dei campi ottenuti a 7 e 21 GHz 109 Figura 2.6: Confronto campo E a frequenza di risonanza e adiacente con eccitazione lungo x: 6.996 [GHz] 110 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF Figura 2.7: Confronto campo E a frequenza di risonanza e adiacente con eccitazione lungo y: 6.996 [GHz] 2.3.2 Grafici dei campi ottenuti a 7 e 21 GHz 111 Figura 2.8: Confronto campo H a frequenza di risonanza e adiacente con eccitazione lungo x: 6.996 [GHz] 112 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF Figura 2.9: Confronto campo H a frequenza di risonanza e adiacente con eccitazione lungo y: 6.996 [GHz] 2.3.2 Grafici dei campi ottenuti a 7 e 21 GHz 113 Figura 2.10: Confronto campo E a frequenza di risonanza e adiacente con eccitazione lungo x: 20.988 [GHz] 114 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF Figura 2.11: Confronto campo E a frequenza di risonanza e adiacente con eccitazione lungo y: 20.988 [GHz] 2.3.2 Grafici dei campi ottenuti a 7 e 21 GHz 115 Figura 2.12: Confronto campo H a frequenza di risonanza e adiacente con eccitazione lungo x: 20.988 [GHz] 116 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF Figura 2.13: Confronto campo H a frequenza di risonanza e adiacente con eccitazione lungo y: 20.988 [GHz] 2.3.2 Grafici dei campi ottenuti a 7 e 21 GHz 117 Figura 2.14: Campo < {Ez} a 6.996 [GHz] (eccitazione lungo x sopra e y sotto) 118 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF Figura 2.15: Campo = {Hx} e = {Hy} a 6.996 [GHz] (eccitazione lungo x) 2.3.2 Grafici dei campi ottenuti a 7 e 21 GHz 119 Figura 2.16: Campo = {Hx} e = {Hy} a 6.996 [GHz] (eccitazione lungo y) 120 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF Figura 2.17: Campo < {Ez} a 20.988 [GHz] (eccitazione lungo x sopra e y sotto) 2.3.2 Grafici dei campi ottenuti a 7 e 21 GHz 121 Figura 2.18: Campo = {Hx} e = {Hy} a 20.988 [GHz] (eccitazione lungo x) 122 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF Figura 2.19: Campo = {Hx} e = {Hy} a 20.988 [GHz] (eccitazione lungo y) 2.4 Amplificatore 8 [GHz] a un FET 123 2.4 Amplificatore 8 [GHz] a un FET Il circuito in esame `e un amplificatore per segnali con frequenza massima di 8 [GHz]. Saranno illustrate le grandezze caratteristiche e le loro variazioni in fun- zione del modello usato, ossia se il circuito viene caratterizzato tramite modelli matematici o tramite risultati di simulazioni elettromagnetiche, sia in presenza che in assenza del package. 2.4.1 Risultati senza Package Le prime simulazioni, e l''ottimizzazione della topologia dell''amplificatore, so- no state eseguite tramite AWR Design Environment 2010 (Microwave Office MWO), versione 9.05r build 4980rRev1 - MWO-449, VSS-350. Pertanto so- no stati utilizzati i modelli matematici di spezzoni di stub aperti delle librerie del software. In seconda istanza sono state ripetute le stesse simulazioni in- serendo, al posto della topologia descritta con i componenti di libreria, la matrice S ottenuta da CST MICROWAVE STUDIO R (CST) e la matrice S ottenuta da Ansoft HFSS TM (HFSS). Il progetto simulato con CST e con HFSS `e stato realizzato importando la topologia circuitale da MWO, visibile in figura 2.20. Le dimensioni del DIE sono: 6000 [µm] lungo x per 3200 [µm] lungo y. La microstriscia pi` u sottile misura 40 [µm] di larghezza: questa `e la dimensione inferiore che i simulatori elettromagnetici devono riu- scire a discretizzare mediante la loro mesh, ed `e circa 8300 volte pi` u piccola rispetto la dimensione maggiore del package. La grande differenza tra queste due dimensioni permette di comprendere come la discretizzazione di tutto il sistema (DIE e package) richieda un grosso dispendio di risorse (memoria e tempo per il calcolo), mentre la simulazione disgiunta del package e del DIE permetta di creare la mesh ottimale in ogni condizione, usando solamente le risorse necessarie. La figura 2.21 mostra quanto inserito in CST e la figu- ra 2.22 mostra quanto inserito in HFSS. Lo schema disegnato in MWO `e visibile nella figura 2.23, mentre lo schema definito in MWO con inserita la matrice S ottenuta da CST o da HFSS `e visibile in figura 2.24. ´ E stato scelto questo circuito perch´e la sua topologia ´e ricca di discontinuit`a in microstriscia (curve, spigoli e salti d''impedenza), particolari che la rendono sensibile alla presenza del Package visto che, in 124 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF Figura 2.20: Layout disegnato con MWO. Dimensioni: 6000 X 3200 [µm] Figura 2.21: Layout disegnato con CST. Dimensioni: 6000 X 3200 [µm] corrispondenza di ogni variazione della sezione trasversale di una microstri- scia vengono eccitati i modi superiori radianti della struttura. Nelle otti- mizzazioni si ´e posto come obiettivo primario il Guadagno di Trasduzione. Pertanto, i risultati riportati ottenuti dalle simulazioni di MWO riguardano prevalentemente questa funzione di rete, definita come: GT = PL PA (2.56) 2.4.1 Risultati senza Package 125 Figura 2.22: Layout disegnato con HFSS. Dimensioni: 6000 X 3200 [µm] dove PL `e la potenza attiva afferente al carico e PA `e la potenza disponibile
fornita dal generatore posto in ingresso all''amplificatore. L''amplificatore contiene un dispositivo attivo di tipo FET (MF T421A11 11V 1) simulato con il modello Materka. Risultati MWO Guadagno di trasduzione in funzione della frequenza In figura 2.25 sono visibili i risultati delle simulazioni di MWO ottenuti usando i modelli in forma chiusa del software stesso. I grafici sono stati ot- tenuti per differenti livelli di potenza del segnale in ingresso, elencati nella legenda a destra dell''immagine. Come si pu`o notare, fintanto che il segnale in ingresso rimane inferiore a 10 [dBm] non si hanno effetti di compressione e il Guadagno di Trasduzione non subisce variazioni a parit`a di frequenza. Per segnali di 15 e 20 [dBm] di potenza in ingresso, invece, il Guadagno di Tra- sduzione cala anche alle frequenze inferiori ai 7 [GHz]. ´ E comunque visibile il 126 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF Figura 2.23: Circuito disegnato con MWO tipico calo del Guadagno gi`a al crescere delle frequenze, in particolare per fre- quenze superiori a 8 [GHz] tale calo `e indipendente dalla potenza d''ingresso. 2.4.1 Risultati senza Package 127 Figura 2.24: Circuito disegnato con MWO con inserita la matrice S ottenuta da CST Guadagno di trasduzione al variare della potenza in ingresso Concentriamo l''attenzione al comportamento dell''amplificatore solamente al- le frequenze attorno ai 7 [GHz] al variare del parametro PA. Come visibile in figura 2.26, e come gi`a accennato nel paragrafo precedente, all''aumentare della PA si ha una diminuzione del Guadagno di Trasduzione.
Ciononostante, l''andamento del guadagno nella banda selezionata `e presso- ch´e costante. Se ci si concentra sul guadagno a potenze PA piccole si pos-
sono apprezzare valori che si aggirano attorno ai 6.8 [dB] con variazioni di
±0.4 [dB]. Inoltre, come nel paragrafo precedente, si osserva una diminuzio-
ne del GT all''aumentare della frequenza. Return Loss (Perdite di ritorno) Il Return Loss alla porta d''ingresso viene calcolato da MWO al variare della potenza del segnale (PA). Le simulazioni ottenute usando i modelli di 128 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF Figura 2.25: Guadagno di trasduzione ottenuto con i modelli di MWO al variare della frequenza Figura 2.26: Guadagno di trasduzione ottenuto con i modelli di MWO al variare della Potenza in Ingresso MWO mostrano il migliore adattamento dai 6 ai 7 [GHz]. Inoltre il valore migliore (ossia quello minore) si ottiene quando in ingresso si ha la minore potenza. 2.4.1 Risultati senza Package 129 Figura 2.27: Perdita di Ritorno ottenuta con i modelli di MWO al variare della frequenza Risultati CST e HFSS Le matrici S sono state ottenute da CST e da HFSS. La simulazione di CST ha dato risposta dopo 22 ore, 48 minuti e 44 secondi (circa 3 ore e 30 minuti per porta), lavorando con una mesh di 251022 celle, mentre la simulazione di HFSS `e durata 1 ora, 52 minuti e 17 secondi, lavorando con una mesh di 32979 celle. Occorre precisare che i metodi di Mesh del volume d''integrazione sono differenti: CST lavora con una suddivisione dello spazio in parallelepipedi, tagliando tutto il volume con piani paralleli agli assi car- tesiani e passando in punti significativi come gli spigoli delle piste o come le connessioni delle porte. HFSS, come descritto in precedenza, applica il FEM, e quindi suddivide gli oggetti presenti nel dominio d''integrazione in tanti tetraedri. L''impostazione di CST prevedeva l''arresto ad un livello energetico di ''60 [dB] e impostava il Maximum Number of pulses a 20. Inoltre calcolava i parametri S suddividendo le frequenze da 0 a 30 [GHz] in 6001 punti (ossia a passi di 5 [M Hz]). L''impostazione della Mesh prevedeva la suddivisione dello spazio con geometria Hexahedral, 35 Lines per wavelenght, 20 Lower Mesh limit, 2 µm come Smallest mesh step e 1.8 come Equilibrate mesh ratio, escludendo la funzione di Subgridding. 130 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF Per quanto riguarda HFSS, invece, le impostazioni prevedono un adatta- mento della Mesh alla frequenza di 40 [GHz] fintanto che le variazioni dei parametri S non siano inferiori a 0.02, per un massimo di 15 passi. In questo caso si `e ottenuta la convergenza dopo 12 passi. Le ulteriori impostazioni di HFSS richiedevano il calcolo dei Fields come indicato nella seguente tabella: ' da 6.995 a 7.005 [GHz] a passi di 1 [MHz], Metodo DISCRETO
' da 13.990 a 14.010 [GHz] a passi di 2 [MHz], Metodo DISCRETO
' da 20.985 a 21.015 [GHz] a passi di 3 [MHz], Metodo DISCRETO
' da 0 a 30 [GHz] a passi di 250 [MHz], Metodo FAST Guadagno di trasduzione in funzione della frequenza In figura 2.28 sono visibili i risultati delle simulazioni di MWO calcolati usando le matrici S ottenute da CST e da HFSS, come indicato nella dida- scalia della figura stessa. Anche in questo caso, i grafici sono stati ottenuti per differenti livelli di potenza in ingresso, elencati nella legenda a destra dell''im- magine. Gli andamenti, e quindi anche le considerazioni, sono molto simili al caso di simulazione con modelli di MWO vista nel paragrafo precedente. L''unica differenza si ha per i risultati che si ottengono a frequenze inferiori ai 7 [GHz] con la potenza in ingresso di 15 e 20 [dBm]: usando i modelli di CST e di HFSS i valori sono lievemente superiori rispetto a quanto ottenuto con il modello matematico di MWO. Entrambi i grafici mostrano una compressione del Guadagno alle frequenze superiori a 8 [GHz], indipendentemente dalla potenza d''ingresso. In parti- colare i risultati ottenuti con il modello di CST iniziano a calare a frequenze inferiori rispetto ai risultati ottenuti con il modello di HFSS i quali, a loro volta, calano a frequenze inferiori rispetto ai risultati ottenuti con il model- lo di MWO. Il fatto che i risultati ottenuti usando le matrici S calino a frequenze inferiori `e probabilmente dovuto agli accoppiamenti parassiti tra ingresso e uscita che tali simulazioni tengono in considerazione, mentre nel progetto completo con MWO non sono state incluse in alcun componente. Guadagno di trasduzione al variare della potenza in ingresso Se concentriamo l''attenzione alle frequenze attorno ai 7 [GHz], possiamo 2.4.1 Risultati senza Package 131 Figura 2.28: Guadagno di trasduzione ottenuto con la matrice S da CST (sopra) e con la matrice S da HFSS (sotto) al variare della frequenza valutare meglio il comportamento dell''amplificatore al variare della Potenza in Ingresso (PA). Come visibile in figura 2.29, e come gi`a accennato nel para- grafo precedente, all''aumentare della PA si ha una diminuzione del Guadagno
di Trasduzione. Inoltre si pu`o osservare che i risultati ottenuti impiegando le matrici S ottenute da CST e da HFSS mostrano, a questa frequenza, 132 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF Figura 2.29: Guadagno di trasduzione ottenuto con la matrice S da CST (sopra) e con la matrice S da HFSS (sotto) al variare della Potenza in Ingresso guadagni inferiori rispetto a quelli ottenuti usando il modello di MWO. In particolare il guadagno che si ha usando il modello di CST risulta inferiore rispetto al guadagno ottenuto usando il modello di HFSS (il primo si ag- gira attorno ai 6 [dB], ±0.5 [dB] mentre il secondo ha valori di 6.5 [dB], ±0.5 [dB]). Questo si era gi`a osservato nei risultati precedenti, in merito
al calo del guadagno a frequenze inferiori dipendentemente dal modello im- 2.4.2 Risultati con Package 133 piegato nelle simulazioni. Analizzando i valori massimi e minimi del guada- gno, rispettivamente alle frequenze minime e massime, ´e possibile calcolare la pendenza approssimata della curva alla frequenza di 7 [GHz]. I risultati sono: ' ''G T M W O = 6.521''6.942 7.1''6.9  dB GHz  ' = ''2.105  dB GHz  ' ''G T C ST = 5.444''6.202 7.1''6.9  dB GHz  ' = ''3.790  dB GHz  ' ''G T H F SS = 5.895''6.553 7.1''6.9  dB GHz  ' = ''3.290  dB GHz  Questo risultato indica che la pendenza della curva GT (f ), commentata nel
paragrafo precedente, attorno alla frequenza di 7 [GHz] ´e maggiore quando vengono impiegate le matrici S rispetto ai valori che si ottengono usando i modelli di MWO. Inoltre si ha pendenza maggiore quando si usa la matrice S calcolata da CST rispetto a quella ottenuta da HFSS. Return Loss Come per le simulazioni di MWO, il Return Loss viene calcolato al variare della potenza in ingresso. In questo caso si osservano i migliori accoppiamenti a frequenze inferiori rispetto ai risultati ottenuti con MWO, ossia dai 5.5 ai 6.5 [GHz] per le simulazioni con il modello di CST e a frequenze di poco superiori per il modello HFSS. Anche in questo caso il valore migliore (ossia quello minore) si ottiene quando in ingresso si ha la minore potenza. Come gi`a indicato in precedenza, nelle simulazioni che impiegano le matrici S ottenute da un simulatore elettromagnetico si pu`o ipotizzare che i valori del Return Loss risultino inferiori a causa degli accoppiamenti parassiti presenti tra le piste connesse al Gate del Fet e quelle connesse al Drain, accoppiamenti non contemplati dai modelli circuitali usati da MWO. 2.4.2 Risultati con Package Anche le simulazioni per vedere gli effetti del Package sono state eseguite usando MWO, il simulatore per circuiti Non Lineari basato sul metodo Harmonic Balance . Per verificare l''efficacia del metodo per la descrizione degli effetti del package sui circuiti a RF, invece, `e stato sviluppato un pro- gramma in cui sono implementate le procedure descritte nella sezione 2.2 che 134 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF Figura 2.30: Perdita di Ritorno ottenuta con la matrice S da CST (sopra) e con la matrice S da HFSS (sotto) al variare della frequenza operano sui dati estratti dai simulatori elettromagnetici (campi incidenti sul Package e sostenuti dal DIE, matrici S e Y, ecc.). Per quanto riguarda i ri- sultati ottenuti modellando il DIE e l''effetto del Package con i due simulatori elettromagnetici, si sono osservate delle sostanziali differenze usando la ma- trice S calcolata da CST o la matrice S calcolata da HFSS. Questo perch´e, come sar`a apprezzabile nei prossimi paragrafi, il metodo FDTD impiega- to da CST non riesce ad evidenziare correttamente le risonanze (problema 2.4.2 Risultati con Package 135 gi`a evidenziato nella sezione 2.3 riguardo le simulazioni del Package), mentre HFSS, risolvendo il sistema direttamente nel dominio delle frequenze, risulta pi` u adatto a questo tipo di problema. Risultati CST e HFSS I seguenti risultati sono stati ottenuti usando MWO come simulatore non lineare e inserendo le matrici S contenenti gli effetti sia del DIE che del pack- age, ottenute da CST e da HFSS. Il progetto simulato con CST `e visibile in figura 2.31. La figura 2.32 mostra, invece, il corrispondente progetto di HFSS. Lo schema disegnato in MWO `e uguale a quello mostrato nella figura 2.24 Figura 2.31: Circuito e Package descritti con CST per la simulazione del circuito senza gli effetti del package, a patto che il componente centrale cambi in funzione della matrice S che si utilizza. Per quanto riguarda i risultati occorre fare alcune precisazioni. Come anti- cipato, i dati ottenuti da CST in termini di campi sono calcolati risolvendo 136 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF Figura 2.32: Circuito e Package descritti con HFSS le equazioni di Maxwell nel dominio dei tempi, e le informazioni nel dominio delle frequenze si ottengono a seguito di una Trasformazione di Fourier (il software impiega la FFT). Pertanto il dettaglio dei dati `e fortemente legato alla discretizzazione sia temporale che in frequenza. La simulazione suddi- vide il range di frequenze da 0 a 30 [GHz] in 6001 punti, ossia estrae un valore ogni 5 [M Hz]. Per quanto riguarda i dati ottenuti da HFSS, invece, `e stato richiesto uno sweep in frequenza a passi di 250 [M Hz], oltre che tre simulazioni pi` u mirate attorno alle frequenze di 7, 14 e 21 [GHz], a passi rispettivamente di 1, 2 e 3 [M Hz] (metodo Discreto). La simulazione com- pleta, invece, calcola i parametri della matrice S suddividendo le frequenze da 0 a 30 [GHz] a passi di 250 [M Hz], e applicando il metodo Interpolato (come definito da HFSS), ossia continua a risolvere il circuito in determinate frequenze scelte dal software stesso fintanto che il risultato non presenta un errore inferiore allo 0.5 % dalla curva interpolata ottenuta con le simulazioni svolte fino a quel momento, per un massimo di 50 simulazioni. Un ulteriore fattore da evidenziare sulla simulazione eseguita da CST ri- 2.4.2 Risultati con Package 137 guarda la sua durata. Come per la simulazione del solo Package, anche in questo caso a determinarne l''arresto `e stato il numero massimo di cicli, in quanto il livello energetico si `e stabilizzato a valori superiori al limite im- posto ( ''60 [dB]). Per questa simulazione si `e volutamente ridotto il numero massimo di cicli da eseguire, ossia si `e passati da 1000 del Package a 20. I valori energetici dei campi a cui si `e arrivati variano a seconda della porta che eccita il circuito: il range `e comunque tra i ''30.61 [dB] e i ''36.57 [dB]. La simulazione di ogni porta ha impegnato il computer per un tempo che oscilla tra le 7 ore e 25 minuti e le 8 ore e 10 minuti, per un totale di 45 ore 51 minuti e 32 secondi. Il livello energetico a cui si `e giunti non ga- rantisce, comunque, una precisione elevata. Le ulteriori impostazioni di CST riguardano la Mesh: si `e prevista la suddivisione dello spazio con geometria Hexahedral , 20 Lines per wavelenght, 15 Lower Mesh limit, 2 µm come Smal- lest mesh step e 1.5 come Equilibrate mesh ratio, escludendo la funzione di Subgridding. Cos`ı facendo si sono ottenute 443420 Meshcells. La simulazione di HFSS ha impiegato, invece, 27 ore 34 minuti e 44 secon- di a causa dell''elevato numero di tetraedri (54767) con cui `e stata suddivisa la struttura per avere la convergenza dei parametri S in 10 passi. Per questi risultati non ha senso parlare di livelli energetici in quanto, come preceden- temente detto, HFSS impiega il metodo FEM, ossia lavora direttamente in frequenza. Oltre alle impostazioni precedentemente riportate, il calcolo della Mesh tramite il metodo adattativo ha richiesto a HFSS di raggiungere la convergenza dei parametri della matrice S alla frequenza di 40 [GHz] (mas- simo ''S di 0.02). Guadagno di trasduzione in presenza del Package e in funzione della frequenza In figura 2.33 sono visibili i risultati delle simulazioni di MWO ottenu- ti usando le matrici S calcolate da CST e da HFSS. Come per i risultati precedenti, per ottenere i grafici si `e provveduto ad eccitare il sistema con dif- ferenti livelli di potenza, elencati nella legenda a destra dell''immagine. Anche in presenza del package, fintanto che il segnale in ingresso rimane inferiore a 10 [dBm] non si hanno effetti di compressione e il Guadagno di Trasduzione 138 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF Figura 2.33: Guadagno di trasduzione in presenza del Package ottenuto con la matrice S da CST (sopra) e con la matrice S da HFSS (sotto) al variare della frequenza non subisce variazioni a parit`a di frequenza. Per segnali di 15 e 20 [dBm] di potenza in ingresso, come in precedenza, il Guadagno di Trasduzione cala anche alle frequenze inferiori ai 7 [GHz]. Anche in questo caso e in maniera pi` u accentuata rispetto ai risultati senza Package, entrambi i grafici mostrano una perdita di Guadagno alle frequenze superiori a 8 [GHz], indipendente- 2.4.2 Risultati con Package 139 mente dalla potenza d''ingresso, con una pendenza lievemente superiore. In particolare i risultati ottenuti con il modello di CST iniziano a calare a fre- quenze inferiori rispetto ai risultati ottenuti con il modello di HFSS. Gi`a da questi grafici, per`o, `e possibile notare una forte differenza tra quanto si ottiene usando la matrice S calcolata da CST rispetto all''impiego della matrice S calcolata da HFSS: nel secondo caso `e apprezzabile una forte va- riazione del guadagno alla frequenza di risonanza del package, ossia attorno ai 7 [GHz]. Se si concentra l''attenzione sull''intervallo delle frequenze prossime ai 7 [GHz] `e possibile osservare che alla frequenza di 6.997 [GHz] si ha un forte aumento del Guadagno di Trasduzione. In particolare il picco massimo del Guadagno ha valori che si aggirano attorno ai 9 [dB], come `e visibile in figura 2.34, rispetto il valore medio del guadagno alle frequenze limitrofe che si aggira attorno ai 6 [dB]. Come osservato, la frequenza si risonanza di tutto il sistema subisce una deviazione (cala di 3 [M Hz]). Figura 2.34: Guadagno di trasduzione in presenza del Package ottenuto con la matrice S da HFSS. Dettaglio attorno i 7 [GHz] 140 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF Guadagno di trasduzione in presenza del Package al variare della potenza in ingresso Anche in questo caso, concentrando l''attenzione alle frequenze attorno alla Figura 2.35: Guadagno di trasduzione in presenza del Package ottenuto con la matrice S da CST (sopra) e con la matrice S da HFSS (sotto) al variare della Potenza in Ingresso frequenza di risonanza di 6.997 [GHz], possiamo valutare meglio il compor- tamento dell''amplificatore al variare della Potenza in Ingresso (PA). Come 2.4.2 Risultati con Package 141 visibile in figura 2.35, e come gi`a accennato nei paragrafi precedenti, all''au- mentare della PA si ha sempre una diminuzione del Guadagno di Trasduzione.
Inoltre i risultati ottenuti impiegando la matrice S (contenente l''effetto del Package) ottenuta da CST mostrano guadagni inferiori rispetto a tutti i ri- sultati precedentemente esposti. La differenza dei risultati `e dovuta al fatto che la simulazione completa `e molto meno accurata (per quanto riguarda il DIE) di quella ottenuta con lo stesso metodo ma col solo DIE. I risultati ottenuti usando la matrice di HFSS, invece, evidenziano l''aumento del gua- dagno alla frequenza di risonanza in quanto la traccia indicata dal marker P4 si trova a valori superiori a tutte le altre. Da osservare che la traccia con
guadagno inferiore contraddistinta dal marker P3, invece, risulta quella alla
frequenza adiacente alla frequenza di risonanza. Return Loss in presenza del Package Le simulazioni ottenute usando la matrice S comprendente gli effetti del Package calcolata da CST mostrano un adattamento migliore rispetto a quanto osservato usando la matrice S senza gli effetti del Package. Oltre a questo, i Return Loss calcolati impiegando matrici S generate con CST mo- strano il migliore accoppiamento dai 6 ai 6.5 [GHz], al contrario di quanto si ottiene usando i modelli matematici di MWO o la matrice S comprendente gli effetti del Package calcolata da HFSS, che mostrano un buon accoppia- mento a qualsiasi potenza d''ingresso dai 6 ai 7 [GHz]. Anche nel Return Loss `e ben visibile l''effetto del Package, in quanto il valore ottenuto usando la matrice S calcolata da HFSS presenta un picco positi- vo sempre nell''intorno della frequenza di risonanza, come visibile sia nella figura 2.36 che nella figura 2.37, dove `e stato evidenziato l''andamento in una piccola banda attorno ai 7 [GHz]. Come gi`a osservato in precedenza, il valore migliore di qualsiasi simulazione (ossia quello minore) si ottiene quando in ingresso si ha la minore potenza. Risultati con Package con l''applicazione del metodo descritto In questa fase possiamo confrontare quanto ottenuto con le simulazioni elet- tromagnetiche con i risultati che si ottengono grazie all''applicazione del me- 142 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF Figura 2.36: Perdita di Ritorno in presenza del Package ottenuta con la ma- trice S da CST (sopra) e con la matrice S da HFSS (sotto) al variare della frequenza todo per la modellizzazione del package sul circuito RF, precedentemente descritta. Guadagno di Trasduzione L''applicazione del metodo per la modellizzazione del package `e stata eseguita 2.4.2 Risultati con Package 143 Figura 2.37: Perdita di Ritorno in presenza del Package ottenuta con la matrice S di HFSS: dettaglio attorno i 7 [GHz] usando i valori del campo ottenuti con la simulazione di HFSS per quanto riguarda i campi sostenuti nel Package. Per il campo incidente sul Package e le correnti superficiali presenti sul Die si `e deciso di utilizzare i valori ottenuti dalle simulazioni di CST. Questo perch´e HFSS risponde correttamente ed evidenzia la presenza del package, al contrario di CST. Questa informazione, oltre alle osservazioni fatte riguardo alle variazioni e inaffidabilit`a dei risul- tati ottenuti da CST riguardo le simulazioni del solo Package, ha portato alla scelta dell''uso di HFSS per ottenere dei valori affidabili riguardo i campi sostenuti nel Package. La scelta dell''uso dei risultati di CST per il calcolo dei campi incidenti e delle correnti superficiali (momenti) ha un duplice motivo: ' facilit`a dell''estrazione dei valori dei campi irradiati e degli integrali superficiali grazie alla implementazione di macro in linguaggio VBA nel simulatore ' dimostrazione che il nuovo metodo pu`o essere applicato come strumento per affrontare il problema delle cavit`a risonanti nei simulatori basati sul metodo FDTD La risposta dell''amplificatore con gli effetti dovuti alla presenza del package, ottenuta con l''applicazione del metodo descritto, `e visibile in figura 2.38, as- sieme alle risposte ottenute impiegando le matrici S ottenute dalle analisi 144 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF elettromagnetiche. La prima osservazione riguarda la frequenza di risonanza di tutto il sistema. Figura 2.38: Risposta del circuito attorno alla frequenza di 7 [GHz] Come detto in precedenza, i valori ottenuti usando la matrice S di HFSS mostrano una frequenza di risonanza inferiore ai 7 [GHz]: lo stesso si pu`o dire per il metodo per la modellizzazione del package, come si evince dalla figura 2.38 in cui si nota che il picco valutato raggiunge gli 11 [dB] ed `e leggermente spostato in basso in frequenza (di 1 [M Hz]). Inizialmente sono state svolte delle prove che usavano un package completamente vuoto (senza il parallelepipedo rappresentante il substrato del DIE). In questo caso si era evidenziata la stessa variazione di guadagno proprio ai 7 [GHz], ossia alla frequenza di risonanza nominale del Package. Questo conferma che le dimen- sioni del DIE non sono completamente trascurabili rispetto alle dimensioni del package, come ipotizzato nelle condizioni iniziali, e quindi la sua presen- za perturba la frequenza di risonanza di tutto il sistema facendola calare di qualche [M Hz]. Return Loss Con il simulatore circuitale NONLIN, sviluppato presso il DEIS UNI- 2.4.2 Risultati con Package 145 Figura 2.39: Perdita di Ritorno attorno alla frequenza di 7 [GHz] BO, si `e potuto valutare anche la Perdita di Ritorno. Osservando i grafici di figura 2.39 si osserva un andamento analogo tra quanto calcolato usando le matrici ottenute con il metodo per la modellizzazione del package e quanto calcolato usando la matrice S ricavata da HFSS. Come nel caso precedente, la frequenza di risonanza risulta leggermente inferiore (comportamento atte- so) ma le variazioni che si hanno al valore della perdita di ritorno sono dello stesso ordine di grandezza. Osservazione A seguito di quanto si `e visto con le analisi precedenti, si pu`o affermare che l''andamento ottenuto con il metodo per la modellizzazione del package ri- specchia quanto ottenuto con la S calcolata da HFSS, a conferma della validit` a del metodo; impiegando invece la matrice S calcolata da CST con il metodo FDTD non sono apprezzabili gli effetti della risonanza . 146 Effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF 2.5 Conclusioni I risultati delle simulazioni effettuate hanno evidenziato il forte problema nel rilevare gli effetti delle risonanze tramite simulatori che adottano la tecnica FIT associata al metodo FDTD al contrario di simulatori che lavorano di- rettamente nel dominio delle frequenze con metodi quali il FEM o il Metodo dei Momenti. Pertanto, la tesi qui sviluppata si propone come strumento di supporto ai primi simulatori, potendo da essi estrarre tutte le informazioni utili ai fini della sua applicazione, o ai secondi permettendo di risparmiare tempo. Il metodo proposto prevede, come ampiamente descritto, la simulazione del solo DIE e la simulazione del Package. Da queste occorre estrarre delle infor- mazioni riguardanti i campi (sostenuti o irradiati) e le correnti superficiali. Il tempo maggiore di elaborazione rimane sempre quello impiegato dalle si- mulazioni elettromagnetiche. Per poter confrontare l''impegno delle risorse (tempi di calcolo) nella successiva tabella sono riportati i tempi che sono stati necessari per i calcoli svolti per questa tesi: ' Simulazione Package con HFSS = 14 min 52 sec
' Simulazione Package con CST = Variabile (75 ore perch´e impostati molti cicli di time-out) Occorre evidenziare che con CST sono state eseguite molte simulazioni ca- ratterizzate dal diverso numero di cicli di time-out (da 10 a 1000). Come gi`a indicato, i risultati che si ottengono sono differenti tra loro sia come fase che come modulo (escursioni di almeno un ordine di grandezza). Non trovando correlazione tra le impostazioni del simulatore e i valori ottenuti si desume che tale strumento sia poco affidabile. Per quanto riguarda le tempistiche delle simulazioni degli amplificatori si ha: ' Ampli 8GHz solo DIE con HFSS = 1 Ora 52 min 17 sec
' Ampli 8GHz solo DIE con CST = 22 Ore 48 min 44 sec Questi tempi andranno paragonati ai tempi delle simulazioni di tutto il sistema completo: ' Ampli 8GHz DIE + Package con HFSS = 27 Ore 34 min 44 sec
' Ampli 8GHz DIE + Package con CST = 45 Ore 51 min 32 sec 2.5 Conclusioni 147 Come `e possibile constatare, l''impiego di CST con il metodo per la model- lizzazione del package comporta un tempo paragonabile a quello della simula- zione di tutto il sistema completo con HFSS, escluso il tempo di simulazione del package. Se invece si utilizza il metodo per la modellizzazione del pack- age congiuntamente a HFSS si riesce a ridurre sensibilmente (circa 1/10) il tempo globale, evitando di simulare tutto il sistema. In tutte queste considerazioni non `e stato contemplato il tempo per l''appli- cazione del metodo per la modellizzazione del package (estrazione dei Fields, calcolo degli integrali superficiali e calcolo della matrice YT), tempo comun-
que molto piccolo rispetto a quelli appena elencati, e quindi trascurabile. Capitolo 3 Rid: sistema di localizzazione di TAG attivi in ambienti indoor Figura 3.1: Rid 150 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi Introduzione Come precedentemente definito, i ''sistemi wireless convenzionali' sono tut- ti quei sistemi la cui configurazione `e costituita da un trasmettitore e un ricevitore situati a grande distanza l''uno dall''altro in un mezzo normale e omogeneo, e che tramite il canale radio si trasferiscono informazioni. In que- sto capitolo, il sistema che verr`a progettato e testato operer`a in condizioni molto differenti: sebbene per le frequenze impiegate potremmo trovarci in zona di Fraunhofer, sicuramente non saranno rispettate le altre prerogati- ve (polarizzazione, direzione di massimo accoppiamento, mezzo omogeneo, etc...), ed il canale radio verr`a utilizzato per scambiare pochissime informa- zioni in forma diretta (Id dei TAG) ma moltissime in forma indiretta (misure delle potenze ricevute al variare delle condizioni di collegamento). La non omogeneit`a del mezzo si riferisce agli ambienti in cui `e impiegato il sistema qui proposto. Nell''ambito di spazi domestici e/o industriali[31], la possibi- lit`a di interagire con oggetti presenti nell''ambiente permette una migliore gestione delle risorse e tempi sempre minori di intervento in caso di guasti. La possibilit`a di individuare e segnalare alla societ`a di manutenzione le parti danneggiate, con gesti semplici e naturali, agevola sia gli utenti che gli addetti alla manutenzione. In quest''ambito, `e stato sviluppato e testato un sistema intelligente RFID, denominato Rid (Remotely Identify and Detect), in grado di selezionare gli oggetti, eventualmente nascosti, distribuiti appun- to in ambienti elettromagnetici ostili. Questo si `e ottenuto implementando, nella tecnologia RFID, la tecnica Ra- dar Monopulse, che permette di individuare la direzione di provenienza dei segnali emessi dai TAG posti in prossimit`a (o all''interno) degli oggetti presenti nell''ambiente. Sia per gli oggetti taggati che per il sistema di localiz- zazione sono stati impiegati dei ricetrasmettitori a basso costo. La procedura prevede una prima fase, denominata Selection, nella quale l''utente seleziona l''oggetto da segnalare. Il Rid rileva le caratteristiche dell''oggetto ''puntato' memorizzate nel TAG, e invia le informazioni all''unit`a centrale. Le stesse in- formazioni vengono poi utilizzate nella seconda fase, denominata Detection, per guidare gli addetti alla manutenzione nella localizzazione dello stesso og- getto. In entrambe le modalit`a operative gli oggetti vengono rilevati con Rid - Rilevatore posizione TAG attivi 151 successo per mezzo della misura del loro campo lontano irradiato. Il Rid contiene al suo interno un array di antenne a due elementi, due Phase Shif- ter, un rat-race e due front-end, il tutto gestito da un microcontrollore. Per la sua progettazione sono stati impiegate simulazioni elettromagnetiche, per la caratterizzazione delle parti lineari del circuito, e simulazioni non-lineari per l''ottimizzazione di tutto il sistema, con particolare attenzione alla sezione del Phase Shifter, tassello fondamentale per il controllo del Radar Monopulse. Le caratteristiche vincenti del Rid sono legate a tre elementi fondamentali, che lo rendono unico nel suo genere rispetto ad altri sistemi di localizzazione[27]: economicit`a del prodotto, scansione elettronica e capacit`a di rilevare pi` u TAG contemporaneamente. L''economicit`a del prodotto `e una conseguenza diretta legata alla componentistica che costituisce i front-end e il microcontrollore: sono prodotti dalla Texas Instruments e rappresentano i componenti di pun- ta, oltre che per il prezzo contenuto, per quanto riguarda i minori consumi. Anche la scansione elettronica `e una scelta importante per il progetto per- ch´e `e molto pi` u veloce rispetto ad una scansione meccanica, non necessita di manutenzione ed `e molto pi` u affidabile nel tempo. Infine, la possibilit`a di lo- calizzare contemporaneamente pi` u TAG permette di impiegare il Rid anche per scopi differenti rispetto alla gestione di spazi intelligenti, come indicato fino ad ora. Ad esempio, se collegato ad un sistema di gestione intelligente di nastri trasportatori, pu`o regolare il flusso degli oggetti taggati traspor- tati dai nastri definendo l''ordine con cui essi arriveranno, oltre ad indicare precisamente quando e quale di essi si trover`a innanzi al Rid stesso posto, ovviamente, in prossimit`a degli scambi. Il Rid `e stato sviluppato nell''ambito del progetto europeo SOFIA[22] - (Smart Objects For Intelligent Applications). Tratto dal sito http://www.sofia-project.eu/: SOFIA project is resear- ch project targeting to make ''information'' in the physical world available for smart services - connecting physical world with information world. Common target is to enable and maintain cross-industry interoperability, to foster in- novation while maintaining value of existing legacy and to create new user interaction and interface concepts to enable users to benefit from smart en- vironments. SOFIA is funded through the European Artemis programme under the sub- 152 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi programme SP3 Smart environments and scalable digital service. 3.1 Descrizione Hardware 153 3.1 Descrizione Hardware In questa sezione verr`a descritto l''hardware del Rid, ossia le varie parti che lo compongono, indicando le funzioni che svolgono e i dettagli tecnici che ne hanno determinato la scelta. Il Rid `e suddiviso in otto parti: 1. alimentazione 2. Microcontrollore (CPU o unit`a di controllo) 3. due Front-end 4. stadi balun-adattatori 5. rat-race 6. Phase Shifter 7. Convertitori Digitali-Analogico (DAC) 8. Antenne 3.1.1 Alimentazione L''alimentazione della scheda `e molto semplice in quanto non sono richieste tensioni negative. I circuiti digitali e i front-end prevedono una tensione fissa di 3.3 [V ], mentre i convertitori DAC richiedono un valore di tensione di almeno 12 [V ]. Pertanto il Rid prevede due morsetti di alimentazio- ne nei quali collegare un alimentatore esterno che fornisce 13.2 [V ] continui. Per evitare problemi di polarit`a `e stato inserito all''interno del Rid un diodo in serie all''alimenta- zione. La tensione per i circuiti digitali viene ottenuta gra- zie all''integrato LM1086-CS-3.3 ''Low Dropout Positive Regulators', sempre alimentato a valle del diodo per evitare le inversioni di polarit`a. 3.1.2 Microcontrollore Il microcontrollore selezionato per il Rid `e il modello MSP430F2274 pro- dotto dalla Texas Instruments: `e il dispositivo pi` u completo della famiglia ''F22' , opera a 16 [bit] con architettura RISC ed `e equipaggiato con 32 [KB] + 256 [B] di Flash Memory e 1 [KB] di RAM. La CPU dialoga direttamente con i due front-end (CC2500) tramite connessione SPI, svolgendo il ruolo Master. La selezione del front-end con cui dialogare avviene tramite due op- 154 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi Figura 3.2: MSP430 portune uscite digitali connesse ai rispettivi pin CS (chip select) dei CC2500. Di contro, i due front-end possono indicare la necessit`a di comunicare even- tuali dati ricevuti attraverso due ingressi dedicati del microcontrollore, con- figurati come interrupt. La scelta del microcontrollore `e stata dettata, oltre che per le prestazioni, dalla caratteristica fondamentale che lo distingue dagli altri, ovvero dal ridotto consumo: 220 [µA] quando attivo e meno di 1 [µA] in fase di stand-by. Oltre alla gestione dei front-end, il microcontrollore co- manda, attraverso 10 uscite digitali (8 dati e 2 CS), due convertitori Digitale Analogico (DAC) che servono per comandare i Phase Shifter (vedi rispettive sezioni). 3.1.3 Front-end I front-end del Rid sono composti principalmente dal CC2500 ''Low-Cost Low-Power 2.4 [GHz] RF Transceiver', prodotto sempre dalla Texas Instruments. Il CC2500 riceve i comandi direttamente dal MSP430 tramite il bus SPI, come gi`a descritto nel paragrafo del microcontrollore. L''uscita bilanciata del CC2500 si interfaccia al sistema trasmittente attraverso un balun ed un successivo adattatore . Dal punto di vista tecnologico, il CC2500 `e stato adottato per molteplici motivi: ' il consumo ridotto: correnti inferiori ai 400 [nA] in condizioni di stand- by, 13.3 ÷ 19.6 [mA] in ricezione e 11.1 ÷ 21.5 [mA] in trasmissione; ' la sensitivity elevata: ''104 [dBm] @ data rate = 2.4 [kBaud], modula- zione = 2-FSK; 3.1.4 Rat-Race 155 Figura 3.3: Front-End ' la facilit`a di programmazione. Il Rid dispone di due stadi front-end, ognuno dei quali connesso ad una porta del rat-race: questo determiner`a la funzione che ogni stadio dovr`a svolgere, ossia la selettivit`a della misura in funzione dei diagrammi di radiazione del sistema radiante a cui saranno connessi. Per questo motivo, uno stadio prende il nome di Somma (Σ) e l''altro il nome di Differenza (''). 3.1.4 Rat-Race Figura 3.4: Rat-Race Rappresenta uno dei tasselli fondamentali del sistema. La sua funzione `e quella di connettere con gli opportuni sfasamenti i front-end alle antenne, 156 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi al fine di creare le due porte Σ e '' (il cui significato sar`a spiegato nella sezione 3.2); inoltre mantiene le due porte disaccoppiate (tra di esse sono presenti due interconnessioni lunghe rispettivamente λ/2 e λ, e quindi il segnale di una porta giunge all''altra attraverso due percorsi, uno in fase e l''altro in contro-fase, facendo s`ı che il segnale risultante sia nullo). In fase di progettazione del Rat-Race si `e adottata una topologia meandrizzata per motivi di ingombro, ottenendo comunque un buon funzionamento nella banda compresa tra i 2.4 e i 2.5 [GHz]. 3.1.5 Balun-Adattatori Figura 3.5: Balun e Adattatori Come anticipato in precedenza, l''uscita del CC2500 `e di tipo bilanciato, e presenta un''impedenza complessa del valore di (80 + '74) ['], molto diversa dalla Zc = R0 = 50 ['] utilizzata nella parte restante del Rid. Il circuito `e stato ottimizzato tramite simulatore elettromagnetico CST MICROWAVE STUDIO R . Il primo stadio (balun) `e stato ottenuto prendendo come spunto la topologia del rat-race: le due porte somma e differenza contribuiscono ad una uscita del rat-race con uno sfasamento reciproco di '. Questo permette di invertire la fase di una delle uscite, per far si che il segnale risultante sia dato dalla sovrapposizione degli effetti di due segnali in fase tra loro (rami esterni). Il circuito interno, che completa il rat-race, aiuta l''eventuale soppressione di segnali fuori dalla banda di funzionamento del dispositivo. A valle del rat- race `e posto un adattatore d''impedenza a doppio stub, con la predisposizione 3.1.6 Phase Shifter 157 di alcune piazzole utili al perfezionamento dell''adattamento tra CC2500 e la restante parte del circuito. 3.1.6 Phase Shifter Figura 3.6: Phase Shifter L''altro tassello fondamentale che caratterizza il Rid `e composto dai Pha- se Shifter inseriti tra il Rat-race ed ogni antenna. La loro funzione `e quella di variare il fattore di schiera delle antenne agendo solamente sulla fase. Questo permette di controllare la direzione di osservazione del Rid, agendo contemporaneamente sulla direzione di minimo per la '' e la direzione di massimo per la Σ (che rimangono sempre coincidenti tra di loro grazie al Rat-race). Sono stati inseriti su entrambi i lati per mantenere la simmetria del progetto e permettere la regolazione della direzione del lobo in entrambe le direzioni. Sono stati impiegati due differenti tipologie di Phase Shifter: commerciale e progettuale. La soluzione commerciale impiega il PS196-315 ''Voltage Controlled Phase Shifter 1.5 ÷ 3.0 [GHz]' di Skyworks, che introduce uno sfasamento, controllato con una tensione continua compresa tra 1 e 10 [V ], tra 25'e 110'@ 2.4 [GHz]. Per il Rid `e necessario ottenere uno sfasamento pari almeno a ', pertanto sono stati inseriti due PS196- 315 in cascata per lato. La versione progettuale, invece, impiega un divisore Branch-line caricato da due varicap (progetto eseguito con la collaborazione dell''Ing. Massimo Del Prete). 3.1.7 Convertitori DAC I convertitori DAC sono necessari per selezionare opportunamente le ten- sioni di controllo per i Phase Shifter che ne determinano lo sfasamento . Il 158 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi Figura 3.7: AD558 - Convertitore Digitale/Analogico componente scelto per questo scopo `e l''AD558 ''DACPORT Low Cost, Complete, µP-Compatible 8 [Bit] DAC' della Analog Device. I motivi fondamentali della scelta sono molteplici: ' la presenza al suo interno di un registro Latches per poter memorizzare il dato da convertire, potendo cos`ı collegare i due convertitori sullo stesso bus dati; ' la necessit`a della singola alimentazione, nonostante l''uscita possa spa- ziare da 0 a 10 [V ], ' la rapidit`a nella variazione dell''uscita (800 [ns] per un salto full-scale),
' il ridotto assorbimento degli ingressi digitali (100 [µA] max),
' la soglia del livello logico ''1' (2 [V ] < 3.3 [V ] in uscita dall''MSP430),
' il consumo ridotto (15 ÷ 20 [mA]). Il Rid, come anticipato, `e equipaggiato di due convertitori DAC, ognuno dedicato al controllo dello sfasamento dell''alimentazione di una sola antenna. 3.1.8 Antenne Figura 3.8: Antenne Rid 3.2 Progettazione e funzionamento 159 Le specifiche con cui sono state pensate e progettate le antenne sono state dettate dalla possibilit`a di spaziare con il Rid in un angolo di ±45 'rispetto la direzione broad-side dell''array. Questa necessit`a si traduce nell''esigenza di controllare il diagramma di radiazione complessivo dell''array ope- rando solamente sul fattore di schiera, ovvero che il diagramma di radia- zione della singola antenna sia costante il pi` u possibile in quest''arco angolare al fine di non degradare il segnale proveniente dalle direzioni differenti rispet- to a quella di massima direttivit`a della singola antenna. La soluzione ottimale sarebbe stata un''antenna omnidirezionale rispetto al piano su cui si effettua la misura. La scelta finale `e ricaduta sulla tipologia ''Printed Dipole An- tenna'[24] che presenta una discreta omnidirezionalit`a sul piano interessato. La presenza del piano di massa parziale la rende leggermente direttiva, ma l''antenna presenta un angolo d''apertura a met`a potenza di 128' e nell''angolo di interesse ( ±45 ' dalla direzione di massimo) la direttivit`a varia solamente di 1.25 [dB] rispetto al valore massimo. L''antenna `e stata ottimizzata elet- tromagneticamente tramite il simulatore CST MICROWAVE STUDIO R . L''ottimizzazione ha tenuto conto delle condizioni di lavoro dell''antenna, os- sia delle connessioni con il circuito stampato del Rid sul quale sono presenti gli altri elementi sopra descritti e soprattutto del piano di massa di tale circuito. Per confronto, si `e misurato il coefficiente di riflessione dell''anten- na collegandola direttamente ad un opportuno connettore, e simulando tale condizione, riscontrando un ottimo paragone. 3.2 Progettazione e funzionamento In questa sezione, dopo aver definito le caratteristiche del Rid e il suo fun- zionamento, verranno descritti e mostrati i vari passi della progettazione dell''hardware, seguendo il seguente ordine: 1. Parte Digitale 2. Antenne e Phase Shifter 3. Balun e Adattatore 4. Rat-Race 160 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi Per inquadrare meglio come sono interconnesse le varie sezioni che compon- gono il Rid pu`o venire in aiuto lo schema a blocchi del sistema di figura 3.9. Figura 3.9: Schema a blocchi del Rid 3.2.1 Caratteristiche tecniche e principio di funziona- mento Il Rid `e stato pensato per localizzare i TAG attivi in ambienti indoor. Il principio su cui si basa `e il Monopulse Radar: alimentando opportuna- mente la schiera di antenne (due simili tra di loro)[32] montate su di esso, si possono ottenere le informazioni necessarie per la localizzazione dei TAG sfruttando il campo irradiato dai TAG stessi. Le misure di campo vengono eseguite direttamente dai due stadi front-end grazie alla lettura e successiva memorizzazione nei registri dell''RSSI (Received Signal Strength Indicator). Ma per comprendere meglio il principio fisico che permette la localizzazione dei TAG occorre ragionare sul Fattore di Schiera che governa il diagramma di radiazione del sistema. Il Fattore di Schiera `e una funzione matematica che compare nel calcolo dei campi lontani di antenne composte: `e possibile calcolarlo quando le sorgenti sono composte da elementi uguali tra di loro, dislocati nello spazio tramite semplici traslazioni e nell''ipotesi di assenza di interazioni (scattering) tra di 3.2.1 Caratteristiche tecniche e principio di funzionamento 161 essi. Quindi, il Fattore di Schiera dipende solamente dalla dislocazione fisica degli elementi che compongono l''array di antenne e da come tali elementi vengono alimentati. Il campo totale che un array irradia si ottiene semplice- mente moltiplicando il campo prodotto dal singolo elemento per il Fattore di Schiera : poter controllare il Fattore di Schiera permette quindi di controllare la direzione verso cui l''array orienta il suo lobo. Definiamo le seguenti grandezze (la figura 3.10 pu`o aiutare nella compren- Figura 3.10: Fattore di schiera - caso generale sione delle definizioni): ' 'k `e il coefficiente che definisce l''ampiezza dell''alimentazione dell''an- tenna k-esima rispetto all''antenna base (elemento 0), posta nell''origine; ' δk `e il coefficiente che definisce lo sfasamento dell''alimentazione del- l''antenna k-esima rispetto all''antenna base; ' Lk `e il vettore che definisce lo spostamento dell''antenna k-esima rispet- to all''antenna base. 162 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi Il Fattore di Schiera si ottiene dalla seguente equazione: F (θ, ') = n''1 X k=0 'k exp {'''δk} exp  ' 2' λ Lk ' 'r  = = n''1 X k=0 'k exp  '  2' λ Lk ' 'r '' δk  (3.1) Se definiamo E 0 (r, θ, ') il campo elettrico prodotto da un singolo elemento della schiera, il campo totale irradiato dall''array varr`a: E (r, θ, ') = E 0 (r, θ, ') F (θ, ') (3.2) |E (r, θ, ')| = |E0 (r, θ, ')| |F (θ, ')| (3.3) Tornando al solo Fattore di Schiera, nel caso in analisi la definizione si sem- plifica grazie al numero limitato di antenne allineate lungo ' x (2 antenne '' k = 1): ' '1 = 1
' δ1 variabile a seconda delle esigenze
' L1 = La 'x Pertanto il fattore di schiera diventa: F (θ, ') = 1 + exp  '  2' λ La cos (') sin (θ) '' δ1  (3.4) Eseguiamo una prima indagine limitandoci al piano xy e ipotizzando che i TAG si trovino su di esso. Il Fattore di Schiera si semplifica in quanto il termine sin (θ) pu`o essere omesso (= 1): verifichiamo due condizioni estreme nell''alimentazione dei dipoli: a) δ1 = 0
b) δ1 = ' L''andamento del solo Fattore di Schiera `e visibile in figura 3.11. Le prime osservazioni importanti, che stanno alla base del Rid, sono le seguenti: a) verso la direzione broad-side abbiamo un massimo poco selettivo; b) questa condizione pu`o essere utile nella creazione di schiere End-Fire, ma la nostra osservazione si concentra in direzione broad-side dove ritroviamo un minimo molto selettivo. 3.2.1 Caratteristiche tecniche e principio di funzionamento 163 Figura 3.11: Fattore di schiera - condizioni in analisi In conclusione, associando alla condizione a) il front-end Σ e alla condizione b) il front-end '' possiamo localizzare i TAG ricercando la direzione di provenienza dei segnali in maniera grossolana grazie alla direzione di massimo, e in maniera molto precisa grazie alla ricerca del mini- mo. Definiamo allora la figura di merito Maximum Power Ratio (MPR)[33]: MPR = Σ [dB] '' '' [dB] (3.5) Per comprendere appieno il suo significato occorrono alcune precisazioni. In- nanzitutto i diagrammi mostrati non rappresentano il diagramma di radiazio- ne del sistema ma solo il Fattore di Schiera. Come gi`a spiegato in precedenza, per ottenere il diagramma di radiazione del sistema occorre moltiplicare il fattore di schiera per il diagramma di radiazione della singola antenna. Il risultato che si otterr`a eliminer`a i campi irradiati nella direzione '''y, al fine di massimizzare il campo in direzione ' y opposta in cui si eseguir`a la ricerca dei TAG. La seconda precisazione riguarda il funzionamento del Rid. Per 164 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi comprendere e individuare le direzioni da cui provengono i segnali dei TAG, il Rid esegue una scansione angolare. La prima versione del Rid eseguiva la scansione angolare per mezzo di un motore elettrico. Il sistema si `e dimostra- to poco pratico, ma la sua realizzazione `e stata di fondamentale importanza per verificare l''efficacia della metodologia di ricerca. Nel progetto descritto in questa tesi si `e deciso di rimuovere la scansione meccanica e di sostituirla con una scansione elettronica, ossia di agire sul termine δ1. Questo permette
di orientare a proprio piacere il lobo del fattore di schiera al fine di spaziare su un determinato settore angolare, senza introdurre movimenti meccanici. Rimane la necessit`a di spostare contemporaneamente (mantenendoli il pi` u al- lineati possibile) sia il diagramma di radiazione del caso a) che quello del b). Questo si `e ottenuto inserendo tra i due front-end e le antenne un Rat-race: un front-end alimenter`a le antenne in fase perch´e il segnale da lui emesso in- contrer`a, fisicamente, due percorsi di pari lunghezza, mentre l''altro front-end alimenter`a le antenne in controfase perch´e il segnale da lui emesso incontrer`a due percorsi differenti tra di loro di un fattore λ/2. Il primo front-end prende il nome Σ (Somma) mentre il secondo si chiama '' (Differenza). Per creare la rotazione dei diagrammi di radiazione si `e deciso, come anticipato nella sezione precedente, di inserire dei Phase Shifter tra le uscite del Rat-race e le antenne: cos`ı facendo si agisce direttamente sul parametro δ1. Per Σ si avr`a
uno sfasamento tra le antenne coincidente proprio con δ1 mentre per '' lo
sfasamento varr`a δ1 + 180'. Gli andamenti dei diagrammi di radiazione al
variare della fase introdotta dal Phase Shifter sono visibili nelle figure 3.12 e figure 3.13, dove lo sfasamento viene inserito rispettivamente nel ramo di destra e nel ramo di sinistra. Ovviamente, i diagrammi delle figure 3.12 e 3.13 rappresentano gi`a il dia- gramma di radiazione completo, ossia tengono conto anche del diagramma di radiazione della singola antenna. Come ci si attendeva ci sono due condizioni particolari: 1- introducendo uno sfasamento di 90' i diagrammi di radiazione di Σ e '' sono uguali ma speculari; 2- introducendo uno sfasamento di 180' i diagrammi di radiazione si inver- tono completamente e a Σ viene associato il diagramma di '' quando misura in direzione broadside, e viceversa. 3.2.1 Caratteristiche tecniche e principio di funzionamento 165 Figura 3.12: Diagramma di Radiazione al variare di δ1 nel ramo di destra
(risp. 0', 30', 60', 90', 120', 150'e 180') Quello appena descritto rappresenta l''aspetto fisico/tecnologico che caratte- rizza il Rid, ossia la possibilit`a di localizzare la direzione di provenienza dei segnali trasmessi dai TAG (in una dimensione). 166 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi Figura 3.13: Diagramma di Radiazione al variare di δ1 nel ramo di sinistra
(risp. 0', 30', 60', 90', 120', 150'e 180') Logica di funzionamento: modalit` a operative Come descritto nell''introduzione, il Rid `e stato studiato per interagire con oggetti presenti nell''ambiente, per permettere una migliore gestione delle ri- 3.2.1 Caratteristiche tecniche e principio di funzionamento 167 sorse, con tempi di intervento sempre pi` u brevi in caso di guasto. Quindi, il normale utente del Rid dovr`a usarlo con gesti semplici e intuitivi: questa fase d''utilizzo `e stata denominata Selection. Viceversa, il manutentore im- piegher`a il Rid per individuare gli oggetti/dispositivi su cui operare, segnalati precedentemente dall''utente: questa fase `e stata denominata Detection Selection In questa fase, per segnalare l''oggetto su cui far intervenire i manutentori, oppure indicare per qualche motivo al sistema centrale un opportuno dispo- sitivo, sar`a sufficiente ''puntare' l''oggetto e premere un pulsante sul PDA (connesso tramite la seriale al Rid). Il Rid, tramite la scansione angolare, riuscir`a ad individuare l''oggetto su cui si punta semplicemente riconoscendo il rispettivo TAG associato all''oggetto che gli si presenta dinnanzi. L''algoritmo Figura 3.14: Flow Chart di massima della fase Selection che governa la fase di Selection `e descritto dalla Flow Chart di figura 3.14. Come si pu`o osservare, il Rid rimane in attesa dei comandi da parte del PDA (o di un computer) provenienti dalla porta seriale sull''operazione da eseguire. 168 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi Quando il comando inviato dal PDA risulta essere Start Selection, il Rid si attiva e invia ai TAG, sul canale radio, il comando specifico Send Id. I TAG che ricevono il comando, con un algoritmo di anti collisione implemen- tato in essi, rispondono inviando il loro Id (identificativo). Il Rid rimane in attesa delle risposte da parte dei TAG per un tempo massimo programmabi- le (attualmente posto a 200 [ms]): in questa fase registra gli Id dei TAG che rispondono alla sua richiesta. Terminato il tempo d''attesa, il Rid passa alla fase di localizzazione vera e propria: polarizzando opportunamente i Phase Shifter varia i diagrammi di radiazione per Σ e per '' facendo in modo che la scansione angolare parta da sinistra e si sposti verso destra. Ad ogni posizione angolare interpella i TAG (presenti nella lista che ha creato nella fase prece- dente) uno alla volta con il comando Locate(Id) e ne misura la potenza del segnale ricevuto, sia con Σ che con '', tramite l''RSSI. La durata di questa fase varia in funzione del numero di TAG rilevati e del numero di angoli per i quali si vuole eseguire la misura. La versione attuale, che pu`o gestire fino a 9 TAG contemporaneamente, esegue 80 misure a 40 angoli differenti (una misura per Σ e una per '' ad ogni angolo). Per ogni misura di ogni TAG impiega circa 2 [ms], quindi il tempo di scansione va da un minimo di 80 [ms] (nel caso di un solo TAG rilevato) ad un massimo di 720 [ms] (nel caso di 9 TAG). Nella versione attuale del software, i dati vengono immagazzinati nella RAM del Rid, e poi trasferiti tutti insieme al PDA una volta terminata la scansione. In questo modo si velocizza il processo di scansione a discapito del numero massimo di TAG rilevabili. ´ E possibile aumentare il numero di TAG (oltre 200) modificando leggermente la procedura di trasmissione dei dati verso il PDA, ovvero non memorizzando le misure nel Rid ma inviandole di volta in volta al PDA. Questa scelta comporta un tempo di scansione molto pi` u alto, ma potrebbe essere adottato per applicazioni dedicate con variazioni lente dello scenario, come applicazioni che non richiedono lo spostamento del Rid ma ne prevedono l''installazione fissa (es.: individuazione di oggetti muniti di TAG transitanti su un nastro trasportatore). Terminata la scansione, tutte le misure saranno in gestione del PDA, che avr`a il compito di calcolare la figura di merito MPR (3.5) ed individuare quale TAG presenti il valore massimo pi` u vicino al centro, ossia alla direzione puntata dall''utente. Per comprendere meglio cosa il Rid invia al PDA analizziamo l''esempio di figura 3.15, dove 3.2.1 Caratteristiche tecniche e principio di funzionamento 169 sono stati posti in linea quattro TAG. Nella prima figura di 3.16 sono visibili Figura 3.15: Esempio di Selection i segnali distinti che Σ (linee continue) e '' (linee tratteggiate) misurano per ogni TAG (distinti dai colori) ottenuti tramite simulazione elettromagnetica del sistema. La seconda figura `e analoga alla prima, ma mostra solamente le informazioni utili di ogni TAG nel rispettivo intorno angolare. Il PDA calcola il MPR e il risultato `e visibile in figura 3.17, dove si pu`o osservare il picco centrale associato al TAG puntato. A questo punto la Selection `e terminata e il PDA pu`o indicare la selezione del TAG-01 al sistema centrale. Detection Mentre la fase di Selection serve per selezionare l''oggetto che ''si punta', del quale non si conosce l''Id, la fase di Detection `e molto pi` u semplice ed `e stata pensata per localizzare un TAG del quale si conosce l''Id. Pertanto, il Rid richiama direttamente il TAG interessato tramite il comando Locate(Id). Se non ottiene risposta entro un determinato tempo il Rid deduce che il TAG cercato non si trova nel suo raggio d''azione, altrimenti indica all''operatore (manutentore) in che direzione muoversi. Anche questo processo `e descritto tramite una Flow Chart, visibile in figura 3.18. 170 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi Figura 3.16: Esempio di Selection - Segnali inviati dal Rid al PDA Figura 3.17: Esempio di Selection - MPR 3.2.1 Caratteristiche tecniche e principio di funzionamento 171 Figura 3.18: Flow Chart di massima della fase Detection TAG I TAG impiegati sono il modello commerciale della Texas Instruments ''eZ430- Figura 3.19: TAG RF2500', visibile in figura 3.19, equipaggiati con lo stesso microcontrollore e lo stesso front-end implementati nel Rid, come sar`a spiegato in seguito. La loro programmazione `e molto semplice: devono rispondere ai due comandi inviati dal Rid (Send Id e Locate(Id)) tramite l''invio verso il Rid del 172 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi proprio Id. Nel primo caso, all''interno del CC2005 sar`a abilitato l''algoritmo di anti-collisione, che determina in maniera casuale l''istante in cui inviare il proprio Id, per permettere al Rid di non perderne nemmeno uno. Nel se- condo caso non saranno presenti problemi di collisione in quanto uno e un solo TAG dovr`a rispondere all''appello. La risposta da parte del TAG sar`a immediata, per non introdurre ulteriori ritardi durante la fase di scansione del Rid. 3.2.2 Parte Digitale Come gi`a anticipato, il Rid si interfaccia via radio con i TAG commerciali della Texas Instruments ''eZ430-RF2500', dei quali Texas Instruments forni- sce gli schemi dettagliati che sono stati presi come spunto per la progettazione di questa parte. La sostanziale differenza della parte digitale del Rid e quella del singolo sensore si riscontra nel numero di front-end (CC2500) che il micro- controllore gestisce: il singolo sensore occupa il bus SPI con un solo CC2500 mentre il Rid ne gestisce due, come descritto nella presentazione dell''hard- ware. L''altra differenza sostanziale riguarda la presenza dei due convertitori DAC, utilizzati per polarizzare opportunamente i Phase Shifter (come sar`a descritto in seguito). Lo schema elettrico `e visibile in figura 3.20. In figura 3.21 `e invece visibile la disposizione dei componenti della parte digitale sullo stampato del Rid in scala 2 : 1. Come si pu`o osservare, per permettere di inviare informazioni immediate all''operatore sono stati inse- riti due led (rosso e verde). Attualmente sono usati per definire se il Rid `e in fase di attesa (led verde), di misura (led Rosso) e di trasmissione dati verso il PDA (led rosso lampeggiante). Il Rid dispone anche di una porta di comunicazione seriale utilizzabile sia per dialogare con il PDA, che per la programmazione del microcontrollore. 3.2.3 Antenne La parte digitale, date le basse frequenze con cui opera (il quarzo di riferi- mento per il CC2500 lavora a 26 [M Hz]), non presenta particolari esigenze riguardo al substrato su cui realizzarla. Pertanto si `e deciso di realizzare tutto il circuito sullo stesso substrato, la cui scelta diventa fortemente vincolata 3.2.3 Antenne 173 Figura 3.20: Schema elettrico del Rid alle specifiche richieste dalla parte a radiofrequenza. Il progetto `e stato rea- lizzato su Taconic RF-60, caratterizzato da r = 6.15, tan δ = 0.0028, da 174 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi Figura 3.21: Disposizione dei componenti del Rid, in scala 2:1 uno spessore del dielettrico di 635 [µm] e dallo spessore delle metallizzazioni di 35 [µm]. La scelta di un substrato caratterizzato da questo valore dell''r
rappresenta un compromesso tra substrati con valori maggiori, che favorireb- bero la miniaturizzazione dei circuiti distribuiti, e substrati con valori molto pi` u bassi, spesso utilizzati per la realizzazione di antenne. Le antenne, come elementi radianti, non devono essere troppo direttive, al- trimenti lo diviene anche la superficie di radiazione totale della schiera, pe- nalizzando i segnali ricevuti dai sensori posti lateralmente rispetto al sensore puntato. La tipologia d''antenna che, per antonomasia, non pregiudicherebbe tali segnali `e il dipolo, il quale, posto su un qualsiasi asse verticale risulta omnidirezionale rispetto al piano orizzontale normale a tale asse. Si `e quindi ricercata una soluzione di questo tipo[24]. Logicamente, combinando in una schiera due semplici dipoli il diagramma di radiazione nel piano di scansione presenterebbe dei lobi di retro-irradiazione (non voluti). La soluzione che si `e adottata per il Rid, visibile in figura 3.8, `e quella di un monopolo che, per la presenza di un piano di massa parziale, mostra un diagramma di radia- zione in un solo semi-spazio. Questa caratteristica verr`a enfatizzata (ossia 3.2.3 Antenne 175 migliorato il rapporto avanti/indietro) grazie al piano di massa del circuito finale su cui saranno fissate le antenne. La figura 3.22 mostra l''ottimo anda- mento del termine S11 ottenuto dalle simulazioni elettromagnetiche di CST
MICROWAVE STUDIO R , mentre i diagrammi di radiazione associati alla sola simulazione dell''antenna sono visibili in figura 3.23. L''adattamento dell''antenna `e soddisfatto ampiamente per tutta la banda Figura 3.22: Andamento coefficiente di riflessione delle antenne Figura 3.23: Campo E a 1 [m] di distanza dall''antenna di lavoro del Rid, e i suoi diagrammi di radiazione rispecchiano le attese: 176 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi nella direzione di massimo il diagramma si presenta poco selettivo nel piano di scansione, ma abbastanza selettivo nel piano ortogonale. Il coefficiente di riflessione S11 `e stato misurato, ma per far questo `e stato necessario inserire
un connettore sull''antenna che ne ha condizionato fortemente la risposta a causa di un campo di retroirradiazione non trascurabile che interessa proprio il connettore e il cavo. Per verificare la corrispondenza tra questa misura e le simulazioni si `e ripetuta la simulazione tramite CST MICROWAVE STU- DIO R dell''antenna con il connettore, ed i risultati sono coerenti, come visi- bile in figura 3.24. Il fissaggio delle antenne al Rid avviene per mezzo di tre Figura 3.24: Simulazione e misura del coefficiente di riflessione delle antenne con connettore aperture nella piastra base. Nell''apertura centrale si crea la giunzione tra la pista proveniente dai Phase Shifter e quella d''alimentazione dell''antenna. Il collegamento di massa, invece, avviene con il piano posteriore della scheda principale del Rid, come visibile in figura 3.25. La scelta della distanza tra le antenne si `e basata sulla massimizzazione della direttivit`a della schiera. Il valore della direttivit`a, in funzione della distanza La, dello sfasamento tra
le antenne δ1 e della funzione di radiazione della singola antenna f (θ, '), si
ottiene dalla seguente formula[29]: D = 4' R 2' 0 R ' 0 f 2 (θ, ')
cos 'La λ sin θ cos ' '' δ1 2  2 sin θdθd' (3.6) 3.2.3 Antenne 177 Figura 3.25: Fissaggio antenne alla scheda principale del Rid Per quanto riguarda il Rid, il termine δ1 varia in funzione delle tensioni di
controllo applicate ai Phase Shifter. La figura 3.26 `e stata ottenuta impo- nendo δ = 0, ossia nelle condizioni di partenza dell''algoritmo di selezione quando il Rid deve attivare solamente i TAG che gli si trovano dinnanzi. Come si evince dalla figura 3.26, la massima direttivit`a si ottiene imponendo una distanza La = 0.65λ = 80 [mm] tra le antenne, che `e proprio la distanza
scelta per il Rid. Il Rid non realizza esattamente una schiera d''antenne nel senso stretto della Figura 3.26: Calcolo distanza da imporre tra le antenne del Rid al fine di massimizzare la direttivit`a, e grafico della Superficie di Radiazione ottenuto. definizione, ossia che ogni elemento della schiera sia ottenuto tramite una tra- slazione dell''elemento posto nell''origine, ma `e equipaggiato con due antenne ottenute per ''effetto specchio' (mirroring). Si pu`o considerare che formino una schiera (ossia siano uguali tra di loro) solo se si assume nullo lo spessore del substrato su cui le antenne sono realizzate (635 [µm]). La condizione pu`o 178 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi essere considerata valida perch´e la distanza che intercorre mediamente tra i TAG e il Rid `e superiore di almeno tre ordini di grandezza, ed almeno un ordine di grandezza rispetto alla dimensione della lunghezza d''onda nell''a- ria, dove il campo viene propagato. Questo `e dimostrato dalle misure dei diagrammi di radiazione al variare della fase di alimentazione delle antenne (creata per mezzo dei Phase Shifter opportunamente comandati), visibile in figura 3.27, dove si trova corrispondenza con quanto ipotizzato e quanto mi- surato. I diagrammi sono stati ottenuti usando, in ricezione, una parabola Figura 3.27: Simulazioni e misure dei daigrammi di radiazione primo fuoco con un''antenna patch posta nel suo fuoco. La rotazione del Rid `e stata eseguita mediante un motore passo-passo (200 passi/giro) connesso ad un riduttore di giri dal rapporto 3 : 1 (figura 3.28). Questo metodo di 3.2.4 Phase Shifter 179 Figura 3.28: Sistema di misura dei diagrammi di radiazione misurazione dei diagrammi di radiazione limita l''effetto dei cammini multipli presenti in tutti gli ambienti (escluse le camere anecoiche) sfruttando la forte direttivit`a tipica dei sistemi a riflettore parabolico. Infatti, se si ragiona con l''ottica geometrica, l''antenna patch posta nel fuoco riceve solamente le onde piane che incidono sul riflettore giungendovi parallele all''asse della parabola stessa. Tutte gli altri raggi che giungono sullo specchio parabolico con incli- nazioni differenti vengono riflessi con direzioni che non interessano il fuoco della parabola e quindi non ricevibili dall''antenna patch. 3.2.4 Phase Shifter Come indicato precedentemente, i Phase Shifter inseriti tra il Rat-race e le antenne, sono di due tipologie: componenti commerciali prodotti dalla societ`a Skyworks (modello PS196-315) o modello distribuito (progetto in collaborazione con l''Ing. Massimo Del Prete). 180 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi Phase Shifter commerciale Il componente introduce nominalmente una variazione di fase di circa 100', non sufficienti per eseguire tutta la scansione angolare. Per questo motivo il Rid prevede, per ogni antenna, due Phase Shifter inseriti in serie tra di loro. Il componente non risulta particolarmente lineare nella variazione della Fase in funzione della tensione di controllo: questo si ripercuote nella linearit`a della scansione angolare. Pertanto si `e deciso di effettuare una campagna di misura della direzione del minimo di '' in funzione della tensione di controllo dei Phase Shifter controllata dai DAC. Non si `e preso in esame Σ perch´e presenta un angolo piuttosto ampio e non `e quindi adatto allo scopo; Inoltre, `e sempre tramite '' che si identifica correttamente la posizione dei TAG perch´e i suoi dati contengono un contributo informativo maggiore. Il risultato `e visibile in figura 3.29 dove la parte alta del grafico prevede la variazione della tensione del DAC di destra mantenendo costante a 1 [V ] la tensione dell''altro convertitore, mentre la parte inferiore inverte questa condizione. La curva ottenuta permette di definire quaranta punti opportuni per cercare Figura 3.29: Andamento direzioni di puntamento del Rid in funzione della tensione applicata dai DAC ai Phase Shifter di rendere il pi` u lineare possibile la scansione angolare. 3.2.4 Phase Shifter 181 Phase Shifter distribuito ´ E stato realizzato un ''continuously electrically tunable Phase Shifter', per la cui realizzazione si `e scelta la ben nota architettura reflection-type, mo- strata in figura 3.30. La soluzione `e costituita da un accoppiatore a 3 [dB] Figura 3.30: Generica architettura del Phase Shifter che divide il segnale di ingresso in due segnali in quadratura. Questi segnali sono poi riflessi da opportuni carichi reattivi (Reflective Load) e ricombinati in fase alla porta di uscita del Phase Shifter e in contro fase alla porta di ingresso. Questo principio permette di garantire un buon adattamento alle porte anche se sono presenti componenti reattivi. Il progetto del Phase Shif- ter si riduce, quindi, al solo dimensionamento dei reflective load. Tali carichi dovranno variare la loro impedenza in funzione della tensione di controllo. Questo comportamento si ottiene utilizzando dei diodi varicap che si com- portano come capacit`a variabili in funzione della tensione di polarizzazione inversa, collegata ai convertitori DAC tramite una semplice rete di bias. Le principali caratteristiche che si richiedono in fase di progetto del Phase Shifter sono: ' Minima return loss (< ''10 [dB])
' Minima insertion loss (< ''10 [dB])
' Massimo sfasamento ottenibile (almeno 180 ') ' Linearit`a della fase in funzione della tensione
' Sfasamento costante in funzione della frequenza Mentre i primi due punti sono risolti grazie alla particolare architettura scelta, gli ultimi tre sono pi` u difficili da conseguire. Infatti, tali specifiche dipendono unicamente dai reflective load che, come detto, sono componenti non lineari. 182 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi Per quanto riguarda il massimo sfasamento ottenibile, si ha un suo aumento con l''aumentare della variazione di impedenza prodotta dai reflective load. Sfortunatamente i diodi varicap non sono in grado di produrre variazioni significative della propria impedenza, come visibile in figura 3.31, dove `e mo- strata la caratteristica del diodo BB833, scelto per questo progetto, che opera fino a 2.5 [GHz]. La capacitance ratio 1 tipica `e pari a 12.4, ed `e ovviamente Figura 3.31: Caratteristica a 1MHz del diodo varicap selezionato riferita alla massima tensione a cui pu`o operare il diodo, ovvero 28 [V ]. Tut- tavia, nel progetto del Rid la massima tensione di lavoro `e di 10 [V ], quindi il rapporto si riduce al valore di 4.08, come mostrato sempre in figura 3.31, dove `e evidenziata la zona di effettivo utilizzo (e la corrispondente variazione di capacit`a usufruibile). Per superare tali limiti sono state elaborate topologie in grado di accrescere lo sfasamento fino a, teoricamente, 360', a discapito della linearit`a della va- riazione. In termini pratici, maggiore `e lo sfasamento minore sar`a la linearit`a e viceversa. Perci`o il dimensionamento del Phase Shifter dovr`a necessaria- mente essere frutto di un compromesso tra le due specifiche a seconda della loro importanza. Per gli scopi di questo progetto la linearit`a `e una speci- fica secondaria rispetto allo sfasamento massimo. Inoltre, anche per questa tipologia come per la precedente, la linearit`a `e sempre ottenibile mediante 1Rapporto tra il valore massimo e il valore minimo della capacit`a che presenta il varicap nelle condizioni estreme di polarizzazione 3.2.4 Phase Shifter 183 un''opportuna mappatura delle tensioni di controllo del Phase Shifter. Il progetto del Phase Shifter `e stato diviso in due fasi: 1. progettazione dell''accoppiatore branch line 2. ottimizzazione dei reflective load Progetto accoppiatore Branch Line Il branch line `e un classico accoppiatore usato in molte applicazioni. La sua configurazione standard `e mostrata nella figura 3.32 a sinistra. Tale soluzione risulta, in questo progetto, ingombrante. Per ridurre le dimensioni sono sta- ti inseriti ripiegamenti (bend) lungo i quattro rami dell''accoppiatore, aven- do cura di compensare le discontinuit`a introdotte attraverso il cosiddetto chamfering (taglio degli angoli), come gi`a realizzato precedentemente per il rat-race. La configurazione finale, mostrata in figura 3.32 a destra, `e stata ottenuta mediante ottimizzazione circuitale e successiva verifica per mezzo di simulazione elettromagnetica. Le prestazioni finali simulate del nuovo bran- Figura 3.32: Standard Branch-Line e versione meandrizzata ch line sono mostrate nelle figure 3.33 e 3.34, dove si evince che le specifiche richieste da un ibrido a 3 [dB] e con sfasamento di 90'sono soddisfatte nella banda di interesse (2.4 ÷ 2.5 [GHz]). 184 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi Figura 3.33: Moduli della matrice di scattering simulata del branch line meandrizzato Figura 3.34: Simulazione dello sfasamento introdotto dal branch line meandrizzato Progetto del Reflective Load I reflective load per i Phase Shifter basati sul branch-line sono mediamen- te costituiti da un solo diodo varicap polarizzato inversamente. Tuttavia il massimo sfasamento ottenibile `e limitato a circa 90'. In letteratura esisto- no pubblicazioni [26] che illustrano diverse topologie per ottenere sfasamenti maggiori. Il principio su cui si basano `e l''inserimento di uno zero (risonanza) nella funzione impedenza del carico in modo da ottenere una significativa variazione di impedenza. In questo progetto tale risonanza `e stata ottenuta inserendo un secondo diodo varicap collegato al primo mediante una linea a λ/ 4 (figura 3.35) in modo da trasformare la capacit`a variabile in induttan- 3.2.4 Phase Shifter 185 za variabile. La fase di ottimizzazione non-lineare ha interessato proprio il Figura 3.35: Topologia scelta del reflective load dimensionamento di tale linea per ottenere una soluzione che soddisfi le spe- cifiche. I risultati finali sono mostrati in figura 3.36 e la topologia ottenuta `e mostrata in figura 3.37. Come si evince dai grafici, le specifiche sono ampia- mente soddisfatte nella banda di lavoro e per tutte le tensioni di controllo previste. Analisi di stabilit` a Il dispositivo `e stato progettato nell''ipotesi che i parametri fisici e geometrici della struttura siano quelli nominali, e che le varie porte si interfaccino con le parti restanti del circuito, caratterizzate dalle co-simulazioni non linea- ri/elettromagnetiche. Tuttavia, in fase di realizzazione le dimensioni fisiche delle piste non sempre rispettano quelle di progetto, cos`ı pure i modelli ma- tematici dei componenti non garantiscono una corretta corrispondenza. Per rendere il progetto del circuito robusto a tali variazioni si procede con una analisi/ottimizzazione statistica del circuito. In questo progetto sono state due le cause che hanno spinto a intraprendere tale approccio. La prima de- riva da una caratteristica intrinseca dei reflection-type Phase Shifter, per cui un buon adattamento alle porte e una buona insertion loss sono garan- titi solo se i reflective load risultano identici; diversamente le performance degradano in maniera significativa. In secondo luogo, data la frequenza di lavoro elevata, piccole variazioni di lunghezza (per esempio prodotte dal mal posizionamento dei componenti discreti sui pad del circuito) creano varia- zioni di fase non trascurabili. L''analisi statistica del circuito `e stata eseguita applicando una statistica uniforme ai parametri elencati in tabella 3.1. La 186 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi Figura 3.36: Return loss, insertion loss e sfasamento della soluzione finale del Phase Shifter percentuale di variazione `e indicata nell''ultima colonna della tabella. I para- metri scelti sono quelli non deterministici del diodo varicap e le dimensioni della linea a λ/4 e dei pad dei componenti discreti. I risultati dell''analisi statistica della soluzione finale sono mostrati nella figura 3.38. Dalle figure si osserva che le specifiche sono sempre rispettate, anche se return loss e in- sertion loss subiscono un peggioramento. Inoltre si riduce anche il massimo sfasamento ottenibile. Comunque `e evidente che la configurazione finale sod- disfa sempre le specifiche richieste. Come per il modello commerciale, le misure del Phase Shifter non sono state effettuate in maniera canonica (con un analizzatore di rete vettoriale), ma bens`ı si `e utilizzato una metodologia a posteriori, ovvero si `e proceduto nello stesso modo impiegato per il Phase Shifter commerciale (misurando la ro- tazione del diagramma di radiazione in funzione della tensione generata dai 3.2.4 Phase Shifter 187 Figura 3.37: Topologia finale del Phase Shifter Figura 3.38: Return loss, insertion loss e sfasamento della soluzione finale applicando l''analisi statistica 188 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi Parametri Valori nominali Percentuali di variazione Cj0 0.029 [nF ] 10% Is 4.2156e-11 [mA] 10% Vj 0.39089 [V ] 10% Rs 0.10785 ['] 5% L λ 4 14.4 [mm] 5% Lcap pad 1,7 [mm] 10% Lind pad 1 [mm] 3% Ldiode pad 1,2 [mm] 3% Tabella 3.1: Elenco dei parametri soggetti a variazione DAC). Tuttavia, questo metodo permette solo di determinare lo sfasamen- to che introduce il Phase Shifter e non gli altri parametri della matrice di scattering. Seguendo il procedimento descritto precedentemente e applican- do la regola fornita dal simulatore EM (ogni 3'di sfasamento alle porte si ha 1'di rotazione del diagramma), si sono ottenute le curve di figura 3.39. Rispetto alla simulazione lo sfasamento si `e ridotto, come ci aspettavamo, ma comunque vengono raggiunti e superati i 180'di sfasamento. Figura 3.39: Simulazione dello sfasamento introdotto dal branch line meandrizzato 3.2.5 Balun e Adattatore 189 Figura 3.40: Balun e Adattatore doppio stub nel simulatore CST 3.2.5 Balun e Adattatore Tutto il circuito distribuito `e stato progettato adottando, come resistenza di normalizzazione, R0 = 50 [']. Come gi`a indicato nella sezione 3.1.5, la porta
del CC2500 presenta l''impedenza complessa del valore di (80 + '74) ['], e la sua uscita `e di tipo bilanciato: diventa necessario rendere la porta da bilancia- ta a sbilanciata e, successivamente, adattarla. Il progetto del balun, pensato e progettato inizialmente tramite il simulatore circuitale AWR Design En- vironment 2010 , ma poi ottimizzato tramite il simulatore elettromagnetico CST MICROWAVE STUDIO R , sfrutta semplicemente una linea di ritardo applicata ad uno dei due terminali del CC2500. La linea, meandrizzata, `e caratterizzata da Zc = 80 ['] (stessa parte reale della porta del CC2500),
ossia realizzata adottando la larghezza di 0.3 [mm]. Il ramo pi` u lungo misura 49.895 [mm], che corrisponde ad una lunghezza elettrica di 285' a 2.4 [GHz] e 297' a 2.5 [GHz], mentre la linea corta misura 17.63 [mm] (lunghezza elet- trica di 101' a 2.4 [GHz] e 105' a 2.5 [GHz]). Come constatato dai valori appena elencati, la differenza di sfasamento tra i due rami si attesta nomi- nalmente attorno ai 180'. All''interno del balun `e presente anche una pista ad anello meandrizzato che congiunge l''inizio dei due rami appena descritti e la sua lunghezza `e di 36.5 [mm]: la presenza di questa connessione non crea variazioni nella banda di funzionamento del Rid mentre contribuisce ad ef- fettuare un filtraggio ai segnali fuori della banda, come si `e potuto osservare dalle due simulazioni elettromagnetiche della stessa topologia caratterizzate dalla sua presenza/assenza. 190 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi Per quanto riguarda l''adattamento, `e stato usato un adattatore a doppio stub, la cui ottimizzazione `e stata affidata inizialmente al simulatore circui- tale AWR Design Environment 2010 e poi al simulatore elettromagnetico CST MICROWAVE STUDIO R . Una volta ottenuta la topologia pi`u adatta allo scopo si `e eseguito un confronto tra il modello di AWR Design Environ- ment 2010 (sia con la pista aggiuntiva tra le porte di cui sopra, che senza) e il modello di CST MICROWAVE STUDIO R (solo con la pista aggiuntiva) riscontrando una buona corrispondenza. I risultati di AWR Design Environ- Figura 3.41: Andamento del coefficiente di riflessione a valle dell''adattatore doppio stub, osservando verso il CC2500 ment 2010 e di CST MICROWAVE STUDIO R di tutto il circuito balun e adattatore sono visibili in figura 3.41 Nella realizzazione finale, visibile in figura 3.40, si `e deciso di accorciare leggermente gli stub e di predisporre delle piazzole per effettuare il tuning una volta montati i componenti. Per decidere come predisporre le piazzo- le sono state eseguite numerose simulazione di CST MICROWAVE STU- DIO R nelle quali si `e fatta variare la lunghezza degli stub chiudendo o aprendo i collegamenti con le piazzole. In questo caso, CST MICROWAVE STUDIO R interpretava il circuito come un ''3-porte' perch´e non conside- rava la porta connessa al CC2500 come porta bilanciata ma ne creava due riferite a massa (e quindi sbilanciate). Per calcolare il valore dell''impedenza visibile al CC2500 ci si `e avvalsi del metodo descritto nell''articolo [23], dove si inserisce una massa virtuale a met`a della porta bilanciata per creare due 3.2.5 Balun e Adattatore 191 Figura 3.42: Circuito per la misura della Zd porte sbilanciate (come in figura 3.42). Per la definizione di matrice Z si ha: V1 = Z11I1 + Z12I2 V2 = Z21I1 + Z22I2 Considerando I1 = I0 e I2 = ''I0, la tensione differenziale diventa: Vd = V1 '' V2 = (Z11 '' Z21 '' Z12 + Z22) I0 (3.7) e l''impedenza risulta: Zd = Vd I0 = (Z11 '' Z21 '' Z12 + Z22) (3.8) Applicando la conversione tra matrice Z e matrice S, riferita a R0, si ottiene: Zd = 2R0 (1 '' S11S22 + S12S21 '' S12 '' S21) (1 '' S11) (1 '' S22) '' S12S21 (3.9) L''equazione (3.9) si pu`o semplificare qualora sussistano le condizioni S11 = S 22 e S12 = S21 (che rappresentano, ad esempio, carichi simmetrici e bilan- ciati): Zd = 2R0 (1 '' S 2 11 + S 2 21 '' 2S12) (1 '' S11) 2 '' S2 21 (3.10) Il calcolo del coefficiente di riflessione si ottiene da: ρ = Zd '' Z '' c Zd + Z''c (3.11) 192 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi Nel caso in esame verr`a applicata la (3.9) perch´e non `e soddisfatta la condi- zione S11 = S22. Il risultato `e visibile in figura 3.43, dove vengono mostrate le
migliori condizioni d''adattamento, che si verificano collegando 3 o 4 piazzole in ogni stub. Figura 3.43: Valori del coefficiente di riflessione alla porta del CC2500 3.2.6 Rat-Race Figura 3.44: Rat Race nel simulatore CST e schema funzionale[25] Del compito del Rat-Race (figura 3.44) e del suo funzionamento se ne `e gi`a parlato precedentemente: in sostanza il suo compito `e quello di connettere Σ e '' alle antenne ma con fasi differenti e facendo in modo che Σ e '' ri- sultino isolati tra di loro. Pertanto, le specifiche tecniche da soddisfare sono 3.2.6 Rat-Race 193 poche e semplici, e tutte si riferiscono alle frequenze comprese nella banda di funzionamento del Rid, ossia da 2.4 a 2.5 [GHz]. Considerando le antenne connesse alle porte numerate 3 e 4, come visibile in figura 3.44, Σ connesso alla porta 1 e '' alla porta 2, diventa necessario: a) arg {S41} '' arg {S31} '' 0 ' b) arg {S42} '' arg {S32} '' 180 ' c) |S11| '' |S22| '' |S33| '' |S44| ' ''20 [dB] d) |S21| '' |S43| ' ''20 [dB] e) |S31| '' |S32| '' ''3 [dB] f ) |S41| '' |S42| '' ''3 [dB] Il Rat Race, opportunamente progettato, risponde a tutte queste richieste. Nel caso del Rid, la sua realizzazione non poteva essere nella forma ''cano- nica' (circolare, visibile in figura 3.44) per il ridotto spazio disponibile. Si `e quindi cercato di compattarne la realizzazione meandrizzando i suoi rami. La struttura ad anello `e stata progettata usando una microstriscia con im- pedenza caratteristica di Z0 '' '' 2 '' 71 ['], ossia con piste di larghezza di 0.4212 [mm]. La lunghezza dei rami `e stata ottimizzata tramite il simulatore elettromagnetico CST MICROWAVE STUDIO R . Il percorso tra le porte 1 e 3, identico a quello tra le porte 1 e 4, `e risultato di lunghezza di 15.05 [mm] che corrisponde idealmente ad uno sfasamento di 87.25'a 2.4 [GHz] e di 90.89'a 2.5 [GHz] (senza gomiti). Il percorso tra le porte 2 e 3, invece, `e risultato di lunghezza pari a 15.48 [mm], mentre quello tra le porte 2 e 4 `e di 47.88 [mm], ossia 3.09 volte pi` u grande rispetto al percorso precedente. I risultati pi` u im- portanti, riguardati i puti a) e b), sono raccolti nella tabella 3.2 e visibili in figura 3.45, e confermano le differenze angolari molto piccole richieste in tut- ta la banda. Le restanti specifiche sono tutte soddisfatte in una banda molto ampia, maggiore di 500 [M Hz], centrata rispetto i 2.45 [GHz], come visibile in figura 3.46. In particolare, i valori richiesti dai punti e) e f) presentano variazioni massime di 0.1 [dB]. 194 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi Figura 3.45: Sfasamenti nel Rat-Race Frequenza arg {S41} arg {S31} arg {S41} '' arg {S31} [GHz] [' ] [' ] [' ] 2.4 -79.41 -80.67 1.26 2.5 -87.27 -85.78 -1.49 Frequenza arg {S42} arg {S32} arg {S42} '' arg {S32} [GHz] [' ] [' ] [' ] 2.4 -260.35 -81.61 -178.74 2.5 -270.78 -89.17 -180.83 Tabella 3.2: Sfasamenti nel Rat-Race 3.2.6 Rat-Race 195 Figura 3.46: Moduli della matrice S del Rat-Race 196 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi 3.3 Misure In questa sezione saranno mostrati i risultati ottenuti in alcuni scenari dove il Rid ha dimostrato la validit`a del progetto individuando correttamente il TAG su cui era orientato e la disposizione dei TAG presenti. Le prove sono state effettuate sia con TAG posti in posizioni statiche, che con TAG in movi- mento, ed anche in questo caso il Rid `e riuscito ad indicare correttamente la disposizione degli oggetti su cui erano stati posti. In ultimo saranno mostrati i risultati di una campagna di misure finalizzata alla ricerca della selettivit`a del Rid. Per queste misure sono stati usati entrambi i Rid, ovvero sia quello equipaggiato dal Phase Shifter commerciale che quello equipaggiato dal Pha- se Shifter discreto, ma i risultati ottenuti sono analoghi grazie alla taratura che si esegue ad ogni dispositivo per linearizzare la scansione angolare. Per- tanto saranno mostrati solamente alcuni risultati ottenuti, senza indicare da quale Rid sono stati prodotti. 3.3.1 Scenari indoor Figura 3.47: Disposizione dei TAG in un ambiente indoor affetto da Fading Facendo riferimento alla figura 3.17, si `e cercato di riproporre la stessa con- dizione in ambiente idoor. La distanza tra il Rid e i il piano in prossimit`a del quale si trovano i TAG `e di 3 [m]. Le distanze dei TAG dal TAG centrale sono visibili in tabella 3.3. 3.3.2 Oggetti in movimento 197 Il risultato ottenuto `e in stretta corrispondenza con quanto ipotizzato tra- TAG 03 TAG 02 TAG 01 TAG 04 Distanze relative -1.73 -0.53 0.00 2.52 Tabella 3.3: Distanse relative tra i TAG mite simulazione elettromagnetica, come si pu`o constatare dalla figura 3.48. I grafici sono sufficientemente esaustivi senza bisogno di ulteriori commenti. Figura 3.48: Disposizione dei TAG in un ambiente indoor affetto da Fading 3.3.2 Oggetti in movimento La prova qui descritta `e stata di fondamentale importanza per verificare il corretto funzionamento del Rid anche con oggetti in movimento. Nelle misu- re che saranno mostrate, il Rid `e stato in grado di individuare correttamente la disposizione dei TAG, nonch´e di segnalare quale di essi si trovava di fronte nel momento iniziale della scansione. Lo scenario prevedeva sei oggetti (du- rante le prove sono stati usati dei libri) ognuno di essi equipaggiato da un 198 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi TAG. Gli oggetti erano posti su di un nastro, a sua volta appoggiato su di un tavolo, ad una distanza di 15 [cm] l''uno dall''altro, e venivano trascinati ad una velocit`a di circa 0.5  m s , al fine di simulare un normale nastro tra- sportatore (es.: i nastri trasportatori per le valige, presenti negli aeroporti). Il Rid era posto a 1.5 [m] dal piano su cui scorrevano gli oggetti, e impiegava circa 500 [ms] per eseguire la scansione, tempo durante il quale gli oggetti si spostavano di circa 0.25 [m], ossia 25 [cm]. Lo scenario descritto e i risultati ottenuti dalle misure sono visibili in figura 3.49. Come si evince dal grafico del MPR, e come anticipato in questa sezione, il Figura 3.49: TAG posti su oggetti (libri) che si spostano su un piano e relative misure Rid individua correttamente la sequenza dei TAG che gli si mostra innanzi, e pone al centro del grafico il rispettivo TAG su cui puntava all''inizio della scansione. Oltre a questa informazione, i picchi delle serie dei dati presenti nel grafico, rappresentanti l''angolo di puntamento del Rid verso il rispet- tivi TAG, sono circa equidistanti, cos`ı come i rispettivi oggetti a cui sono associati. 3.3.3 Selettivit` a del Rid Per misurare fino a che punto e con che definizione il Rid riesce a rilevare la corretta posizione di uno o pi` u TAG, si `e portata la scansione angolare alla 3.3.3 Selettivit`a del Rid 199 massima risoluzione possibile, che avviene quando si comandando i DAC con tutti i valori numerici ammissibili (bit per bit), ovvero non soltanto usando i quaranta valori tabulati scelti per la funzione Selection descritta nella sezione 3.2.1. Cos`ı facendo, la scansione angolare non risulta pi` u lineare per colpa della non linearit`a dei Phase Shifter (sia per il modello commerciale che per quello distribuito), ma questo non pregiudica la capacit`a del Rid di individuare l''angolo ottimale da cui provengono i segnali dei TAG attivati. Di fatto, i DAC generano tutti i valori possibili di tensione da 1 a 10 [V ], che corrispondono alla conversione di tutte le ''parole' comprese da 27 a 255 (da 1B a FF in esadecimale); la figura 3.50 mostra proprio l''andamento delle tensioni di comando in uscita dai DAC che polarizzano i Phase Shifter durante una scansione angolare. Ovviamente, ad ogni variazione delle ''paro- le' di comando dei DAC viene eseguita la misura dell''RSSI dei due TAG in analisi. In totale si effettuano 456 misure per ogni TAG durante una singola scansione. Lo scenario in cui sono state eseguite le misure `e visibile in figura 3.51. La Figura 3.50: Andamento delle tensioni dei DAC del Rid durante una scansione angolare prova consiste nella rilevazione della posizione di due TAG in determinate 200 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi condizioni ''relative', ossia si parte ponendo i due TAG a contatto tra di loro (distanza nulla) e si allontanano gradualmente a passi di 1 [cm] fino ad arrivare alla distanza di 20 [cm]. La misura vera e propria, che sar`a graficata successivamente, rappresenta la differenza di posizione tra i due TAG rilevata dal Rid, in termini di ''parole' di controllo dei DAC. Figura 3.51: Setup per la determinazione della selettivit`a del Rid Misure ripetute in isofrequenza Ogni misura `e stata ripetuta quattro volte, senza variare la frequenza di lavo- ro e la posizione dei TAG e del Rid, per contrastare l''effetto del fading e del rumore bianco del canale/sistema attraverso la media dei risultati ottenuti. I TAG sono equipaggiati con antenne del tipo patch, anzich´e le quasi omni- direzionali chip-antenna in dotazione, in modo da ridurre il mutuo accoppia- mento. La direzione di provenienza `e stata determinata usando solamente i dati ottenuti da differenza ('') anzich´e l''MPR, al fine di ridurre l''incertezza causata dal rumore e dal fading del canale somma. La direzione di provenienza dei segnali, corrispondente alla direzione di pun- tamento dei TAG, `e stata ottenuta usando quattro metodologie differenti di elaborazione sui dati ottenuti dalla media delle quattro scansioni: 1. Ricerca del minimo del RSSI senza alcuna elaborazione 3.3.3 Selettivit`a del Rid 201 2. Ricerca del minimo del RSSI applicando la funzione smooth di Matlab (che armonizza l''andamento della curva) 3. Ricerca del minimo del RSSI applicando l''interpolazione di 2'grado 4. Ricerca del minimo del RSSI applicando l''interpolazione di 3'grado Le figure che seguono mostrano l''andamento di queste serie. Figura 3.52: Andamento distanza tra i TAG con il Rid posto a 1 [m] da essi Figura 3.53: Andamento distanza tra i TAG con il Rid posto a 2 [m] da essi 202 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi Figura 3.54: Andamento distanza tra i TAG con il Rid posto a 3 [m] da essi Figura 3.55: Andamento distanza tra i TAG con il Rid posto a 4 [m] da essi Misure ripetute con frequency-hopping Le misure su cui si eseguono le analisi sono frutto della media dei dati ottenuti da quattro scansioni angolari svolte su quattro frequenze differenti, anzich´e in isofrequenza come nel caso precedente. Questo `e stato fatto per combattere in maniera ancora pi` u efficiente il fading di canale. Le frequenze usate sono le seguenti: 1. Prima scansione a 2435.75 [M Hz] 2. Seconda scansione a 2460.50 [M Hz] 3.3.3 Selettivit`a del Rid 203 3. Terza scansione a 2463.00 [M Hz] 4. Quarta scansione a 2464.75 [M Hz] I grafici che seguono mostrano i risultati ottenuti. Figura 3.56: Andamento distanza tra i TAG con il Rid posto a 1 [m] da essi e riducendo l''effetto del Fading grazie alla tecnica del Frequency Hopping Figura 3.57: Andamento distanza tra i TAG con il Rid posto a 2 [m] da essi e riducendo l''effetto del Fading grazie alla tecnica del Frequency Hopping 204 Rid - Rilevatore posizione TAG attivi Figura 3.58: Andamento distanza tra i TAG con il Rid posto a 3 [m] da essi e riducendo l''effetto del Fading grazie alla tecnica del Frequency Hopping Figura 3.59: Andamento distanza tra i TAG con il Rid posto a 4 [m] da essi e riducendo l''effetto del Fading grazie alla tecnica del Frequency Hopping Osservazioni Sia per le misure in isofrequenza che per quelle con frequency hopping, si attendevano dei grafici ''lineari', ovvero che il Rid vedesse crescere progres- sivamente la distanza che intercorre tra i due TAG. Purtroppo questo non `e sempre avvenuto e, soprattutto per grandi distanze tra Rid e TAG, l''anda- mento `e tutt''altro che regolare. Le condizioni migliori si hanno per distanze 3.3.3 Selettivit`a del Rid 205 medio/basse (max 2 [m]) con l''applicazione del metodo frequency-hopping. Fortunatamente, la distanza di 2 [m] `e una distanza tipica di rilevamento di oggetti con TAG in ambiente indoor. Quindi, tenendo presente questo limite applicativo, il Rid offre una accurata selettivit`a. Conclusioni I sistemi a microonde, col passare degli anni, stanno diventando sempre pi` u complessi. La loro progettazione richiede l''uso di tecniche di simulazione che riescano a considerare contemporaneamente tutto il sistema. L''approccio co- mune adottato ancora oggi consiste nel suddividere il sistema in blocchi fun- zionali, ricavare un modello comportamentale per ciascun blocco e, infine, valutare le prestazioni dell''intero sistema combinando tali modelli a casca- ta. Questo approccio ignora alcuni aspetti essenziali del comportamento del sistema, come ad esempio le interazioni non lineari tra i blocchi, gli effetti lineari e non lineari di riflessioni nei collegamenti tra i blocchi e gli accop- piamenti tra i sottosistemi. Queste approssimazioni possono causare delle condizioni imprevedibili per i sistemi in studio, e pu`o variare di poco o dra- sticamente il loro comportamento. Questo comporta la necessit`a di apportare successivamente correzioni, modeste o sostanziali, al progetto finale per con- trastare gli effetti indesiderati e imprevedibili che si possono verificare usando i simulatori sistemistici. ` E quindi evidente la necessit`a di avere a disposizione un potente e rigoroso strumento di riferimento per stabilire l''accuratezza dei simulatori sistemistici e per contribuire allo sviluppo di modelli comporta- mentali avanzati e affidabili. La risposta a questa esigenza `e un simulatore completo a livello circuitale di tutto il sistema, dal trasmettitore al ricevitore, compresa la parte del canale radio. La possibilit`a di rappresentare l''interazione tra due sistemi, tramite l''inser- zione di un generatore di Norton alla porta ricevente, ha permesso di inserire in maniera rigorosa, all''interno dei simulatori non-lineari, gli effetti del col- legamento wireless. La condizione risulta valida per qualsiasi tipo di collega- mento, sia quello convenzionale, ma soprattutto per quello non convenzionale, dove non risulta possibile approssimare con un onda piana il campo incidente. 208 Conclusioni Questo metodo permette di prevedere, in modo accurato, i valori di corrente da associare al generatore di Norton in funzione di tutti i parametri fisici del problema (caratteristiche elettriche delle antenne, disposizione delle stesse nello spazio, etc...). Nel nostro caso ha permesso di valutare l''interazione tra un sistema di localizzazione di TAG e i TAG stessi (valori confermati dalle misure sperimentali). Basandosi sempre sulla stessa teoria, ma introducendo anche l''effetto di scattering, si `e ottenuto un metodo rigoroso per la valuta- zione degli effetti di un package sul circuito che viene da esso schermato. Come anticipato nell''introduzione, questo metodo numerico potrebbe diven- tare uno standard di progetto, o per lo meno un modello di riferimento, nella progettazione di sistemi wireless commerciali. Sviluppi futuri o in corso di studio Al fine di verificare la bont`a del metodo rigoroso di calcolo descritto nel Ca- pitolo 1 in un''applicazione e scenario realistico, una breve parentesi della attivit`a di Dottorato `e consistita nel progetto di una antenna rettificatrice (rectenna) multibanda in tecnologia planare per scopi di energy harvesting. La volont`a di sintonizzare 4 modi risonanti dell''antenna (la topologia di par- tenza era una patch ad anello) in corrispondenza delle frequenze degli stan- dard della telefonia mobile (900, 1800, 2150 [M Hz]) e del WiFi (2450 [M Hz]) rappresentava un problema troppo complesso da affrontare con gli strumen- ti tradizionali offerti dai simulatori elettromagnetici: il mio ruolo in questa attivit`a `e stato quello di interfacciare il simulatore elettromagnetico con la libreria Algoritmo Genetico di Matlab, al fine di ottimizzare automaticamen- te una topologia che offrisse le risonanze in corrispondenza delle frequenze di progetto. L''esito dell''ottimizzazione `e stato molto soddisfacente, al punto da consentire all''Ing. Massimo Del Prete di ottimizzare il circuito di alimen- tazione/rettificazione dell''antenna. ´ E stato realizzato in questo periodo un prototipo dell''intero sistema e sono in corso, proprio in questi giorni, lunghe campagne di misura: per quanto riguarda l''antenna ''genetica' le misure ot- tenute sono in accordo con le simulazioni, sia per le informazioni inerenti il campo vicino (parametri di diffusione) sia per quelle di campo lontano (dia- grammi di radiazione). Pi` u articolata `e invece la campagna di misura della Conclusioni 209 potenza raddrizzata in uscita dalla rectenna, per la quale sar`a necessario an- cora un po'' di tempo. Per quanto riguarda invece il sistema di localizzazione dei TAG, saranno pos- sibili ulteriori sviluppi per migliorarne le prestazioni in termini di selettivit`a: ci`o pu`o essere ottenuto lavorando contemporaneamente sulla definizione di nuovi algoritmi di elaborazione delle misure (software) e/o progettando un nuovo sistema di antenne pi` u direttivo (hardware). Inoltre c''`e l''intenzione di complicare leggermente il progetto, dotandolo di una schiera bidimensionale di quattro elementi che consenta la scansione elettronica su un intero pia- no per poter selezionare e rilevare oggetti muniti di TAG non allineati, ma disposti in modo pi` u casuale, al fine di agevolare ulteriormente il compito dell''eventuale manutentore che debba individuare un guasto in un ambiente multi-TAG. Infine, la teoria per la valutazione degli effetti del package sui circuiti scher- mati ha messo in evidenza la comparsa di guadagni elevati in corrispondenza della frequenza di risonanza del package. Un''indagine molto interessante pu`o essere quella di investigare la comparsa di fenomeni di instabilit`a dovuti alla risonanza del package utilizzando l''efficiente e rigoroso strumento di calcolo implementato in questo lavoro di tesi. Il gruppo di ricerca nel quale ho svolto la mia attivit`a `e gi`a in possesso di accurati algoritmi per la ricerca di soluzio- ni spurie (biforcazioni di Hopf) nei circuiti non lineari a microonde. L''analisi del circuito (tipicamente autonomo, ossia un oscillatore) comprensivo della descrizione del package pu`o essere condotta con il tradizionale metodo del Bi- lanciamento Armonico abbinato alla teoria matematica delle biforcazioni per decidere della stabilit`a o meno della soluzione trovata. Uno studio di questo genere potrebbe anche consentire di progettare un oscillatore che sfrutti pro- prio la cavit`a come elemento risonante per la stabilizzazione della frequenza di oscillazione. Ringraziamenti Mi piacerebbe poter dire un semplicissimo ''GRAZIE A TUTTI!', per essere sicuro di non fare torto a nessuno, ma ritengo che sarebbe riduttivo e ingiusto verso tutte le persone che mi sono state accanto, che mi hanno sostenuto e/o che hanno lavorato con e per me in questi anni di dottorato. Un primo sentito ringraziamento al Chiar.mo Prof. Vittorio Rizzoli, per gli argomenti che mi ha proposto, le teorie su cui ho potuto lavorare e che mi hanno permesso di arricchire la mia (scarsa) conoscenza; ma soprattutto per tutte le preziose informazioni e consigli che mi ha donato e per tutto il tempo che mi ha dedicato come Tutor. Ringrazio vivamente il Prof. Diego Masotti e la Prof. Alessandra Costanzo, con i quali ho avuto la gioia di collaborare attivamente in queste ricerche, per tutti gli insegnamenti che mi hanno profuso e per il bellissimo clima cordiale e familiare che si `e creato durante questi anni di studio e ricerca. Ringrazio il Prof. Franco Mastri per le preziose informazioni che mi ha forni- to per il corretto uso del simulatore non lineare ''NONLIN', del quale `e uno dei padri e profondo conoscitore, e il Chiar.mo Prof. Alessandro Lipparini, per l''immensa disponibilit`a che mi ha sempre mostrato e per i Suoi preziosi insegnamenti ricevuti durante gli anni universitari. Ringrazio i miei compagni di corso, Dott. Ing. Francesco Donzelli e Ing. Mar- tino Aldrigo, e tutti gli altri colleghi con cui ho avuto il piacere di collabo- rare nello sviluppo dei nuovi prototipi: Ing. Giacomo Bichicchi, Ing. Manuel Faccioli e Ing. Massimo Del Prete, prezioso collaboratore nello sviluppo, rea- lizzazione e misure del Rid. Ancora un sentito grazie a tutti i miei colleghi di lavoro che mi hanno dato la possibilit`a, sopperendo alle mie indisponibilit`a, di dedicare tempo alla ri- 212 Ringraziamenti cerca. Ringrazio la mia famiglia: Franco, Anna Maria, Emanuela, Francesco, Mat- teo, Sara, Stefano, Luciana e Patrizia. La loro disponibilit`a e il loro appoggio `e sempre stato preziosissimo e fondamentale. Ringrazio tutti i miei amici che mi sono stati accanto in tutto questo tempo. Ma il ringraziamento pi` u importante `e per mia moglie Laura, che in tutti questi anni di studio (e lavoro) mi `e sempre stata di grandissimo aiuto, con- dividendo con me tutte le gioie per i risultati e le preoccupazioni per le tappe difficoltose e avverse. Ringrazio anche il mio angioletto Maria Stella, che `e arrivato proprio durante questi anni di dottorato: il tuo arrivo mi ha riempito il cuore di gioia e mi ha fatto capire cosa sia veramente importante nella vita! Nicola Arbizzani Bibliografia [1] Simulink e AWR-VSS, come esempi di simulatori sistemistici, che fanno uso di modelli comportamentali [2] A. Douyere, J.D.Lan Sun Luk, F. 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Introduzione Rappresentazione di un collegamento RF tramite generatori di Norton equivalenti alle porte Introduzione Teoria di Base Reazione Teorema di Reciprocità Dimostrazione Uso del teorema di reciprocità con le antenne Modello circuitale: calcolo del generatore equivalente di Norton Alimentazione dell'antenna ricevente: calcolo di U in funzione della potenza disponibile del generatore Teorema di Love (Equivalenza) Calcolo approssimato della Jeq Nuovo approccio per il calcolo esatto della Jeq Calcolo dei campi E e H Dipendenza di E e H dal momento M Dipendenza dei campi dalla componente X del momento Dipendenza dei campi dalla componente Y del momento Dipendenza dei campi dalla componente Z del momento Applicazione del metodo rigoroso per la valutazione della Jeq Dipoli Calcolo del campo tramite la discretizzazione del Momento Equivalente Esteso Campo approssimato in zona di Fraunhofer Piano Integrale: dimensioni e mesh Percorso del collegamento e definizione del passo della mesh Piano circolare Mesh variabile Mesh fissa (a passo costante) Posizione ottimale del piano Piano quadrato Dimensioni del piano Applicazione e confronto dei metodi proposti per il calcolo della Jeq Dipolo disposto lungo l'asse Z Metodo A) Calcolo approssimato Metodo B) Calcolo Integrale, Modello analitico Metodo C) Calcolo Integrale, Modello del Dipolo Discretizzato e applicazione del Metodo dei Momenti Metodo D) Calcolo Integrale, Valori dei campi ottenuti tramite simulatore commerciale CST Confronto risultati Misure sperimentali con antenne Patch Patch allineate Patch disassate Conclusioni Descrizione rigorosa degli effetti elettromagnetici del package di circuiti a RF Introduzione Formulazione teorica del metodoNicolaArbizzaniC Formule base di reciprocità Calcolo della corrente sul package Calcolo dei generatori di Norton Osservazioni conclusive Procedura Operativa Quadro complessivo Estrazioni CST Correnti superficiali Campo incidente sul package: estrazione da CST del campo vicino Campo presente in una cavità alle frequenze di risonanza Elaborazioni Elaborazione dei dati estratti: Campi e Correnti superficiali Impostazioni delle simulazioni del package Calcolo delle matrici Q e R Risultati delle simulazioni del Package Dimensioni del package Frequenze di risonanza Grafici dei campi ottenuti a 7 e 21 GHz Risultati di CST Risultati di HFSS Amplificatore 8 [GHz] a un FET Risultati senza Package Risultati MWO Risultati CST e HFSS Risultati con Package Risultati CST e HFSS Risultati con Package con l'applicazione del metodo descritto Conclusioni Rid: sistema di localizzazione di TAG attivi in ambienti indoor Introduzione Descrizione Hardware Alimentazione Microcontrollore Front-end Rat-Race Balun-Adattatori Phase Shifter Convertitori DAC Antenne Progettazione e funzionamento Caratteristiche tecniche e principio di funzionamento Logica di funzionamento: modalità operative Parte Digitale Antenne Phase Shifter Phase Shifter commerciale Phase Shifter distribuito Balun e Adattatore Rat-Race Misure Scenari indoor Oggetti in movimento Selettività del Rid Misure ripetute in isofrequenza Misure ripetute con frequency-hopping Osservazioni Conclusioni Ringraziamenti


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