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Calore disperso attraverso le pareti di un edificio: un modello di calcolo a parametri distribuiti

In materia di efficienza energetica degli edifici, i requisiti di legge sono ormai tali da richiedere al progettista uno studio rigoroso del comportamento termico delle strutture. È spesso necessario, tra l’al-tro, determinare l’andamento nel tempo della temperatura nei vari ambienti, e perfino all’interno dello spessore delle singole pareti.
I metodi di calcolo oggi disponibili per questo scopo si basano su modelli con elementi concentrati. I vari elementi (strati) di parete sono disposti in serie tra loro. Si tratta, come è facile comprendere, di mo-delli approssimati, che presentano significative limitazioni di impiego. La più importante è forse quella legata all’errore di discretizzazione. La parete viene idealmente suddivisa in strati paralleli, per ciascuno dei quali viene calcolata la temperatura transitoria.

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La Termotecnica, dicembre 2017

Pubblicato
da Alessia De Giosa




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Tecnica 52 LA TERMOTECNICA DICEMBRE 2017 Energia & Edifici GENERALIT
In materia di efficienza energetica degli edifici, i requisiti di legge
sono ormai tali da richiedere al progettista uno studio rigoroso del
comportamento termico delle strutture. spesso necessario, tra l'al-
tro, determinare l'andamento nel tempo della temperatura nei vari
ambienti, e perfino all'interno dello spessore delle singole pareti.
I metodi di calcolo oggi disponibili per questo scopo si basano su
modelli con elementi concentrati. I vari elementi (strati) di parete sono
disposti in serie tra loro. Si tratta, come facile comprendere, di mo-
delli approssimati, che presentano significative limitazioni di impiego.
La pi importante forse quella legata all'errore di discretizzazione.
La parete viene idealmente suddivisa in strati paralleli, per ciascuno
dei quali viene calcolata la temperatura transitoria. Ogni strato ha
uno spessore piccolo ma finito; si perde cos il carattere 'continuo'
dell'intero sistema, a favore di una rappresentazione discreta. La
precisione del calcolo ne risulta ridotta. Per mantenere gli errori entro
limiti accettabili, indispensabile ridurre lo spessore dei singoli strati,
aumentandone di conseguenza il numero complessivo. Evidente l'ag-
gravio che da ci deriva, quanto all'occupazione di memoria ed al
tempo di calcolo necessario.
Il metodo che qui proponiamo (lo indicheremo come il 'metodo del
doppio bipolo') considera la parete scomposta in strati di spessore infinitesimo. Ne risulta un circuito a parametri distribuiti, il quale non
affetto da errore di discretizzazione. Di pi: il calcolo viene limitato
alla sola superficie (quella, ad esempio, di confine tra la muratura e
l'intonaco) della quale interessa studiare la temperatura, con enorme
risparmio di risorse (memoria, tempo di calcolo). Immediata, poi,
l'estensione del metodo a casi pi complessi. Ad esempio, per stu-
diare una parete composta da pi strati (laterizio, isolante, intonaco
ecc.), si pu applicare il metodo del doppio bipolo a ciascuno strato
singolarmente. Si collegheranno poi tra loro i vari doppi bipoli cos
ottenuti, fino a ridurli ad uno solo, equivalente a quelli. DESCRIZIONE DEL METODO DI CALCOLO
Per introdurre il metodo faremo riferimento (figura 1) ad un caso parti-
colarmente semplice: una parete orizzontale attraversata da un flusso
di calore verticale verso il basso. Potr trattarsi, ad esempio, della
copertura orizzontale di un edificio, esposta, sulla faccia superiore,
alla radiazione solare. Scegliamo, per comodit, un asse x verticale
orientato verso il basso; consideriamo due sezioni trasversali, a
distanza x e, rispettivamente, x+dx dalla faccia superiore, assunta
come origine. Tali due sezioni definiscono un elemento di spessore
dx: lo indicheremo con E(x).
E(x) caratterizzato dallo spessore dx, ed inoltre da una capacit
termica e da una resistenza termica. Entrambe tali grandezze si
calcolano a partire dalle caratteristiche del materiale che compone
la parete.
All'istante t, l'elemento E(x) soggetto, sulle due facce, alle temperatu-
re T e T+dT, rispettivamente. Durante un intervallo di tempo infinitesi-
mo dt, la faccia superiore viene attraversata da una quantit di calore
dQ; l'inferiore invece attraversata da una quantit di calore Q+dQ.
facile convincersi che l'elemento E(x) pu rappresentarsi con un
circuito elettrico equivalente come quello di figura 2.
necessario, ovviamente, stabilire una corrispondenza tra grandezze
termiche e grandezze elettriche. La corrispondenza la seguente: -La resistenza elettrica (R') corrisponde alla resistenza termica di un di G. Dell'Olio Calore disperso attraverso le pareti di un edificio:
un modello di calcolo a parametri distribuiti
La trasmissione del calore attraverso le pareti di un edificio viene di solito studiata con modelli a parametri concentrati, che comportano un 'errore
di discretizzazione'. In questo articolo si propone un metodo di calcolo esente da tale errore, perch basato su equazioni formalmente identiche a
quelle dei circuiti elettrici a parametri distribuiti. Il calcolo fornisce, negli strati interni della parete, l'andamento temporale della temperatura dovuto
alle variazioni climatiche esterne. HEAT TRANSMISSION THROUGH THE WALLS OF A BUILDING: A DISTRIBUTED PARAMETERS CALCULATION MODEL
Heat transmission through the walls of a building is usually studied by means of lumped parameter models, which are prone to discretization errors.
In this paper, a method is proposed which is not affected by such error, since it is based on equations formally identical to those that describe electric
circuits with distributed parameters. Calculation outputs are weather-related temperature-vs-time curves in the internal layers of the wall. Giuseppe Dell'Olio - GSE - Gestore dei servizi energetici FIGURA 1 - Sistema in esame Fig. 1 Tecnica LA TERMOTECNICA DICEMBRE 2017 53 Energia & Edifici metro quadrato di parete; -la capacit elettrica (C') corrisponde alla capacit termica di un metro quadrato di parete; -la corrente elettrica corrisponde al flusso di calore (o, pi esattamen- te, alla potenza termica) che attraversa la parete; -la tensione elettrica corrisponde alla temperatura (le superfici iso- termiche sono, ovviamente, i piani paralleli alle due facce estreme
della parete). Le prime due grandezze, contraddistinte da un pedice, si intendono
rapportate allo spessore della parete, e vanno quindi espresse 'per
unit di spessore'. Tenendo conto di ci, risulta assai semplice cal-
colarne i valori rispettivi: R' l'inverso della conduttivit termica; C'
il prodotto tra il calore specifico e la densit. L'intera parete si pu
rappresentare connettendo in serie infiniti circuiti elementari, come
quello di figura 2. Ne risulta un circuito a parametri distribuiti, del
tutto analogo a quelli che si utilizzano per rappresentare lunghe linee
elettriche. Dalla teoria di tali circuiti sappiamo [1] che la serie di tutti
i circuiti elementari equivalente ad un doppio bipolo: questo si pu
rappresentare con quattro costanti complesse A, B, C, D, dipendenti
dalla pulsazione '. CIRCUITO EQUIVALENTE DELL'INTERO IMPIANTO
La figura 3 mostra il circuito equivalente globale che rappresenta la
parete. Le due coppie di morsetti 1-1' e 2-2' rappresentano le due
facce estreme della parete, verso l'esterno dell' edificio e, rispettiva-
mente, verso l'interno. Per ciascuna faccia, una resistenza di valore
opportuno [2] simula, se necessario, la resistenza termica superfi-
ciale. L'ingresso del circuito il generatore di tensione G, che simula
la 'temperatura aria-sole' agente sulla faccia esterna. L'andamento nel tempo di tale temperatura pu essere qualsiasi, e va scelto in
modo da simulare il pi fedelmente possibile l' energia termica che
colpisce la parete durante il periodo considerato (ad esempio, una
data settimana).
Dal lato interno, il circuito si chiude su una capacit di valore molto
elevato, che mantiene costante la tensione. Ci corrisponde ad una
temperatura costante sulla faccia interna, quale si manifesta, ad esem-
pio, quando all'interno dell'edificio presente un dispositivo di rego-
lazione, o semplicemente quando il locale sufficientemente ampio.
Utilizzando la trasformata di Fourier, la tensione V1 viene decompo-
sta nelle sue componenti armoniche: sufficiente, per questo, utiliz-
zare il comando FFT di MATLAB. Ciascuna armonica viene applicata
singolarmente al circuito, e genera, sulla faccia opposta della parete
(morsetti 2 e 2') una tensione V2, sinusoidale con una data frequenza.
Il calcolo di V2 immediato: basta applicare le note equazioni del
doppio bipolo (le costanti A,B,C e D, ricordiamo, sono note).
Infine, l'antitrasformazione (comando IFFT) di tutte le tensioni V2
consente di determinare, in funzione del tempo, la temperatura sulla
faccia verso l'interno. POSSIBILI VARIANTI DEL MODELLO
Finora abbiamo assunto che la parete in esame fosse omogenea. In
quasi tutti i casi pratici, per, ci si imbatte in pareti composte di strati
di diversa natura: muratura, isolante termico, intonaco ecc. spesso
interessante, anzi, determinare la temperatura in corrispondenza
di qualcuna delle superfici interne che separano tra loro due strati.
Come fare'
Per rappresentare una parete omogenea sufficiente, abbiamo visto,
un unico doppio bipolo. Nulla vieta, per, di 'spezzare' la parete in
pi doppi bipoli, collegati in cascata tra loro. In tal caso, l'impedenza
terminale va 'riportata' da destra verso sinistra fino alla superficie di
interesse. Si impiega per questo una formula ricorsiva ben nota, nella
quale A, B, C e D assumono, in successione, i valori corrispondenti
ai vari doppi bipoli.
A sua volta, il generatore di corrente che rappresenta la temperatura
dell'aria esterna viene 'riportato' verso destra fino alla stessa super-
ficie, partendo dalla faccia esterna. Anche in questo caso si utilizza
una formula ricorsiva.
Il calcolo procede poi in modo analogo a quello gi descritto. Il
risultato , in questo caso, la temperatura in corrispondenza della
superficie in esame, all'interno dello spessore della parete.
Altra utile variante del modello quella in cui, nel circuito infinitesimo,
compare un elemento aggiuntivo: una conduttanza G' collegata in
parallelo alla capacit C', per rappresentare le fughe 'trasversali'
di calore. Ovviamente, anche G' (come abbiamo gi visto per C') va
espressa 'per unit di spessore' della parete. VALIDAZIONE DEL MODELLO
Per validare il modello, abbiamo applicato il metodo del doppio
bipolo ad un caso ben documentato nella letteratura tecnica [3]: si
tratta di un edificio ubicato a Palermo, la cui copertura in lateroce-
mento isolata con pannelli di poliuretano. Sono presenti, inoltre,
una barriera al vapore, uno strato di prima impermeabilizzazione e
uno di impermeabilizzazione vera e propria; occorre quindi simulare, Fig.2 FIGURA 2 - Circuito elettrico infinitesimo equivalente
dell'elemento E(x)
Fig.3 FIGURA 3 - Circuito elettrico equivalente
globale della parete
Tecnica 54 LA TERMOTECNICA DICEMBRE 2017 Energia & Edifici complessivamente, cinque strati. La faccia superiore della copertura
soggetta alle variabili condizioni climatiche esterne, rappresentate da
una data 'temperatura sole-aria'. La faccia inferiore rivolta verso
un ambiente nel quale la temperatura mantenuta in permanenza
al valore di 20 C. Per lo strato di pannelli in poliuretano sono stati
ipotizzati due diversi spessori: 5 e 10 cm, rispettivamente.
Consideriamo dapprima il caso nel quale l'isolante spesso 5 cm. La figura 4a si riferisce ai calcoli di letteratura [3], eseguiti con metodi
gi noti (elementi finiti). La curva verde mostra, in una data settimana,
l'andamento nel tempo della 'temperatura sole-aria'. In arancio ri-
portata invece 'pure in funzione del tempo, e per lo stesso periodo- la
temperatura calcolata nella superficie di separazione tra la barriera
al vapore e l'isolante: questa la curva dei valori attesi, con la quale
dovremo confrontare i risultati del nostro calcolo.
La figura 4b relativa, appunto, ai calcoli da noi eseguiti con il metodo
del doppio bipolo. Le grandezze mostrate sono le stesse: temperatura
sole-aria (curva blu); temperatura calcolata sulla superficie tra bar-
riera al vapore e isolante (curva verde). La curva blu, che costituisce
l'ingresso del nostro circuito equivalente, stata costruita in modo da
riprodurre la curva corrispondente in 4a (particolarmente fedele la
riproduzione nelle prime tre oscillazioni). La curva verde, finalmente,
il risultato del calcolo: si tratta di una oscillazione periodica la cui
ampiezza e il cui periodo hanno valori assai prossimi a quelli attesi
(figura 4a). Ci conferma l'accuratezza del modello da noi proposto.
Risultati analoghi si ottengono nel caso di isolante di spessore 10
cm: di nuovo, le oscillazioni di temperatura , calcolate col metodo
del doppio bipolo, hanno ampiezza e periodo in ottimo accordo con
i rispettivi valori attesi. In particolare, l'ampiezza risulta assai ridotta
rispetto al caso precedente, come ragionevole attendersi in presenza
di uno spessore doppio di isolante. CONCLUSIONI
I vantaggi del metodo del doppio bipolo, rispetto ai metodi tradizio-
nali, sono numerosi e significativi: -Si evitano gli errori dovuti a discretizzazioni. -Non intervengono problemi di convergenza numerica. -Per calcolare la temperatura in una superficie distante x dall'e- stremit della parete, non necessario (come accade invece con
i metodi tradizionali) includere nel calcolo l'intero tratto di parete
compreso tra l'estremit stessa e la distanza x. Il calcolo limitato
alla sola superficie di interesse, il che consente, ancora una volta, un
notevole risparmio sul tempo di calcolo e sulla capacit di memoria
necessaria. quest'ultimo, forse, il vantaggio pi degno di nota. Lo si deve
all'estrema semplicit del metodo di calcolo. Si consideri, a questo
riguardo, che per determinare le curve nella figura 4b sono state
sufficienti poche decine di righe di codice MATLAB, con un tempo di
calcolo inferiore a 4 secondi.
Tutte le valutazioni formulate dall'autore in questo articolo hanno
carattere personale. BIBLIOGRAFIA
1. Francesco Iliceto, 'Impianti elettrici', Vol. 1, PATRON Editore, Bologna, 1981. 2. Norma UNI EN ISO 6946, 'Componenti ed elementi per l'edi- lizia ' Resistenza termica e trasmittanza termica ' Metodo di
calcolo', 2007. 3. Piercarlo Romagnoni, Francesca Cappelletti, 'Studio delle tempe- rature superficiali in opera di tetti piani isolati', in 'Poliuretano'
n.55, novembre 2015. Fig.4b FIGURA 4a - Strato isolante di spessore 5 cm (fonte
[3]). Curva verde: temperatura sole-aria sulla faccia
esterna. Curva arancio: temperatura sulla superficie di
separazione tra la barriera al vapore e l'isolante
FIGURA 4b - Strato isolante di spessore 5 cm. Curva
blu: temperatura sole-aria sulla faccia esterna. Curva
verde: temperatura sulla superficie di separazione tra
la barriera al vapore e l' isolante


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